第08章截交线

Ⅱ Ⅳ Ⅲ
正垂线
Ⅰ
正平线
平面与圆柱相交
具体步骤如下：
（1）先作出截交线上的特殊点 2’
5’(6’) 3’4’ 1’
7’8’
（2）再作一般点。
2”
6”
4”
8”
5” 3”
7”
（3）依次光滑连接各点，即得 截交线的水平投影和侧面投影。 （4）补全侧面转向轮廓线。
1” 4
Ⅱ
6 2
8
Ⅳ Ⅲ
正垂线
1
7
3 5 平面与圆锥相交
1
7 2
求 4 交 6 线 1。求交点连线 方 2。根据条件直接求交线 法
求切割体的投影就是在 基本体的基础上，画出 截断面的投影，去掉截 去部分轮廓的投影
注意利用平面投影特 性中“类似形”“积 聚性”这些投影特征 来分析、作图、检查。
例2 求立体截切后的投影
4 5 1
（3）
3 6
4
3” 2”
1”
二：作图:①求正垂面 与立体的交线
1 ·
4 3
2
(a) 求正垂面与立体的交线
作图:②，判别可见性， 完成轮廓投影、加深。
2’ (4’)
1’
3’ 4” 1”
3” 2”
4 3 1 2
(c) 整理、加深 正四棱锥被一正垂面截切
作图: ③检查、完成
(d) 检查、完成 图3-21 正四棱锥被一正垂面截切
8
1 7 6 2
4
3
(d) 整理、加深
图3-22 正四棱锥被两平面截切
作图: ③检查、完成
(e) 检查、完成 图3-22 正四棱锥被两平面截切
例：求立体截割后的投影
1’(2’) 1〞 4〞 2〞 3〞
3’(4’)
5’(6’)
6〞
4 DY 1 DY
5〞
6
5 3
2
例、已知四棱锥开一方孔（正垂），试补 画水平投影和侧面投影中的漏线。
Ⅰ
正平线
例2、如图所示，圆锥被水平面截切， 求出截交线的另外两个投影。
3' 1' 5" 4” (4’) (5’) 2' 3" 2" 1"
具体步骤如下：
（1）先求特殊点。
（2）再求一般点。
（3）依次光滑连接各点。
5
4
3 2 1
平面与圆锥相交
3、圆球切割体
平面与球面的交线总是圆 求圆球截交线共 有点的方法： 纬圆法 在圆锥表 面上取若干个纬圆 ，并求出这些纬圆 与截平面的交点.
7‫׳‬
例一 求六棱柱被截切后的水平投影和侧 面投影 1‫״‬ 2‫״‬ 1‫׳2 ׳‬ 作图步骤: 3‫׳‬ 1）进行形体分析、 4‫״‬ 4‫׳‬ 3‫״‬ 投影分析 5‫״‬ ‫׳‬ 5 2) 求棱线与截平面 的 6‫״‬ 6‫׳‬ 共有点 7‫״‬ 3) 连线判别可见性 4 )根据可见性完成轮 廓投影 3 5
( )
a"
b"
a
P
Q
b
（a）
（b）
图3-28 球体切割后的投影
求截交线的投影小结
• 一般步骤： 1、分析被截立体和截平面之间的相对位置，再由它们 对投影面的相对位置，预见截交线的投影特征。 2、确定作图方法 表面取点法；辅助素线法；辅助纬圆法 3、作图 • 作图步骤： 求特殊点
作中间点
判断可见性
光滑连线
(三) 特殊点
特殊点是指影响曲线形状的各种点： 1 极限点 确定曲线范围的最高、最低、最前、最后、最左 和最右点。 2 转向点 曲线上处于曲面投影转向线上的点，它们是区分 曲线可见与不可见部分的分界点。 3 特征点 点。 曲线本身具有特征的点，如椭圆长短轴上四个端
4 结合点 截交线由几部分不同线段（曲线、直线）组成时 结合处的那些点。
图3-27 平面与球面交线的基本作图
圆球截交线例题
例1 求圆球截交线
解题步骤 1 分析 截交线的水平投影和 侧面投影均为椭圆；
2 求出截交线上的特殊点Ⅰ、 Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、 Ⅷ ；
3 求出若干个一般点N、R； 4 光滑且顺次地连接各点，作 出截交线，并且判别可见性； 5 整理轮廓线。
例2 完成立体的投影
例2 求作立体被截切后的投影
1’ 1”
2’ 3’(4’) 4” 3”
4 2
1
3
例3：试求正四棱锥被两平面截切后的投影
P Q
(a) 题图 图3-22 正四棱锥被两平面截切
分析：形体分析与投影分析；
(b) 形体分析与投影分析 图3-22 正四棱锥被两平面截切
作图:①求水平面、正 垂面与立体的交线
b″ (c〞) b a
f
c n
a〞 m″(n〞)
y2 y
1
m
f〞 C B A
N
b m a f
c n
y2 y1
M
F
例、已知四棱锥开一方孔（正垂），试补画 水平投影和侧面投影中的漏线。
b″(c〞) b m a f c n
y2 y1
a〞 m″(n〞) f〞 C B A
N
b m a f
圆锥体的截切（续）
根据截平面与圆锥轴线的相对位 置不同，截交线有五种形状。
PV
PV θ PV
θ
PV
α
α
θ PV
α
θ = 90°
圆
过锥顶
两相交直线
θ ＞α
椭圆
θ =α
抛物线
θ = 0°＜α
双曲线
例1、如图所示，圆锥被正垂面截 切，求出截交线的另外两个投影。
此种截交线为一 椭圆。由于圆锥前后对称， 故椭圆也前后对称。椭圆的 长轴为截平面与圆锥前后对 称面的交线——正平线，椭 圆的短轴是垂直于长轴的正 垂线。
c n
y2 y1
M
F
例4:求作切割体的投影
正垂面
1′ (4)′
4″
3″
1″
侧垂面 2″
(3')2′
3
4
●
1
Ⅳ Ⅲ
2
Ⅰ
●
Ⅱ
二、平面与曲面立体相交
(一)截交线的性质与形状
截交线 1、截交线是回转 体表面和截平面的 共有线 2、回转体截交线 是封闭的平面曲线 或多边形或平面曲 线与直线 围成的 封闭图形 截交线 截平面 截平面
一、切割体及截交线的概念
截平面 基本体被平面截切后，截平 面与立体表面的交线——截交线 截交线性质： 1、截交线是截平面与立体表面的 共有线。 2、截交线是封闭的平面图形。 3、截交线的形状取决于: ① 立体表面的几何形状 ② 截平面与立体的相对位置 截断面
截交线
切割体
生产实际中经常见到一些立体与平面相交，或者说， 立体被平面截去一部分的情况。
二、 平面与平面立体相交
（一）平面立体截交线形状： 截交线通常是封闭的平面多边形。多边形的各顶点是平 面立体的各棱线与截平面的交点，多边形的各边是平面立体 的棱面与截平面的交线，或是截平面与截平面的交线。 （二）求平面立体截交线的方法： 求两平面交线的方法和求直线与 平面交点的方法。 （三）求平面立体截交线的方法举例： 1、棱柱截交线画法
特殊点： 转向轮廓线上的共有点；极限点；对称轴上的顶点。
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例2：求侧面投影
转向线端点
7’ 6’ 1’ (8’) 5” 8” 4” 1” 3” 7” 6” 2”
3’ 2’ (5’) (4’)
5 8
4
3
1 7 6 2
(c) 求水平面、正垂面与立体的交线 图3-22 正四棱锥被两平面截切
作图:②整理、加深
7’ 6’ 1’ (8’) 5” 8” 3’ 2’ (5’) (4’) 5
7” 6” 4” 1” 3” 2”
(二) 求作截交线的方法
求得截交线上若干点，光滑连接。 求交点方法： 1、素线法 在曲面立体表面取若干条素线，并求出这些素线 与截平面的交点，将其依次光滑连接即得所求的截交线。 2、纬圆法 在曲面立体表面取若干个纬圆，并求出这些纬圆 与截平面的交点，将其依次光滑连接即得所求的截交线。 3、辅助平面法 用三面共点原理作适当数量的辅助平面，然 后求作辅助平面与立体表面以及截平面的交线，则这两条交 线的交点就是截交线上的点，将这些点依次光滑连接即得所 求截交线。
平面与圆柱相交
圆柱的矩形槽、孔、缺口
例4 求截切圆柱的侧面投影，完成水平投影。
6" 5"
5' (6') a' (b') c' (d') 6 b(d)
7'(8')
(8″) b″ d″
(7〞)
a″ c″
Ⅱ Ⅳ B D
Ⅷ
Ⅰ ⅢⅤ A Ⅶ
8
a(c)
C
5 7
二、圆锥体的截切
圆
三角形
椭圆
双曲线加直线段
抛物线加直线段
对于特殊点，根据现有的知识凡是能求出来的都应求出 来。
（四）求回转体截交线的一般步骤
⒈ 空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线 的相对位置，以便确定截交线的形状。 ☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交 线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出 截交线的已知投影，预见未知投影。 ⒉ 画出截交线的投影 当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为： ☆ 先找特殊点，补充一般点。 ☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可 见性。
Ⅵ Ⅴ Ⅳ Ⅲ Ⅷ
Ⅶ
3 平面与圆柱相交
Ⅰ
Ⅱ
求截切圆柱的水平投影
1
2(7)
1〞 7〞 2〞 3〞 4〞〞 8
3(6) a(b) 6〞 4(5) 8(9) 9〞〞 5