2019年数学一轮复习第2章函数与基本初等函数第7课时对数函数练习理

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【高考数学】一轮总复习：第二章第8讲对数函数

(1)若 f(1)＝1，求 f(x)的单调区间； (2)若 f(x)的最小值为 0，求 a 的值．
【解】 (1)因为 f(1)＝1，所以 log4(a＋5)＝1，因此 a＋5＝4，即 a＝－1，所以 f(x)＝log4(－x2＋2x＋3)．由－x2＋2x＋3>0 得－1<x<3，即函数 f(x)的定义域为(－1，3)．令 g(x)＝－x2＋2x＋3. 则 g(x)在(－1，1)上单调递增，在[1，3)上单调递减．又 y＝log4x 在(0，＋∞)上单调递增，所以 f(x)的单调递增区间是(－1，1)，单调递减区间是[1，3)．
A．a<b<c
B．b<a<c
√C．c<b<a
D．c<a52，所以 3>53，所以 log53>log553＝23，所以 b>c，所以 a<c<b，故选 A．
(2)因为 f(x)为奇函数，所以 f(－x)＝－f(x)，
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数 y＝log2x 及 y＝log13x 都是对数函数．( × )
3
(2)对数函数 y＝logax(a>0 且 a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( × ) (3)函数 y＝ln 11＋－xx与 y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同．( √ )
(2)构造函数 f(x)＝4x 和 g(x)＝logax，当 a>1 时不满足条件，

(江苏专用)高三数学一轮总复习第二章函数与基本初等函数Ⅰ 第七节对数与对数函数课时跟踪检测理

课时跟踪检测（十）对数与对数函数一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1．(2015·某某调研)函数y ＝log 232x －1的定义域是________．解析：由log 23(2x －1)≥0⇒0<2x －1≤1⇒12<x ≤1.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1 2．函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间为________．解析：函数y ＝f (x )的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，因为函数y ＝f (x )是由y ＝log 12t 与t ＝g (x )＝x 2－4复合而成，又y ＝log 12t 在(0，＋∞)上单调递减，g (x )在(－∞，－2)上单调递减，所以函数y ＝f (x )在(－∞，－2)上单调递增．答案：(－∞，－2)3．(2016·某某模拟)已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是________．解析：因为a ＝log 23＋log 23＝log 233＝32log 23>1，b ＝log 29－log 23＝log 233＝a ，c ＝log 32<log 33＝1.答案：a ＝b >c4．(2015·某某高考)lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝________.解析：lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝lg 5－lg 2＋2lg 2－2＝(lg 5＋lg 2)－2＝1－2＝－1. 答案：－15．函数y ＝log 2|x ＋1|的单调递减区间为______，单调递增区间为______．解析：作出函数y ＝log 2x 的图象，将其关于y 轴对称得到函数y ＝log 2|x |的图象，再将图象向左平移1个单位长度就得到函数y ＝log 2|x ＋1|的图象(如图所示)．由图知，函数y ＝log 2|x ＋1|的单调递减区间为(－∞，－1)，单调递增区间为(－1，＋∞)．答案：(－∞，－1) (－1，＋∞)二保高考，全练题型做到高考达标1．函数f (x )＝|x －2|－ln x 在定义域内零点的个数为________．解析：在同一坐标系中分别作函数y ＝|x －2|与y ＝ln x 的图象如图所示．由图可知y ＝|x －2|与y ＝ln x 有2个交点，所以函数f (x )零点的个数为2.答案：22．(2016·某某五校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3－x＋1，x ≤0，则f (f (1))＋f ⎝⎛⎭⎪⎫log 312的值是________．解析：由题意可知f (1)＝log 21＝0，f (f (1))＝f (0)＝30＋1＝2，f ⎝⎛⎭⎪⎫log 312＝331-log 2＋1＝33log 2＋1＝2＋1＝3，所以f (f (1))＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312＝5.答案：53．设a ＝log 323，b ＝log 525，c ＝log 727，则a ，b ，c 的大小关系为________．解析：因为log 323＝log 32－1，log 525＝log 52－1，log 727＝log 72－1，log 32>log 52>log 72，故a >b >c .答案：a >b >c4．计算：log 2.56.25＋lg 0.001＋ln e ＋2－1＋log 23＝______. 解析：原式＝log 2.5(2.5)2＋lg 10－3＋ln e 12＋2log 232 ＝2－3＋12＋32＝1.答案：15．若函数f (x )＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋32x (a >0，a ≠1)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞内恒有f (x )>0，则f (x )的单调递增区间为________．解析：令M ＝x 2＋32x ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞时，M ∈(1，＋∞)，f (x )>0，所以a >1.所以函数y ＝log a M 为增函数，又M ＝⎝⎛⎭⎪⎫x ＋342－916，因此M 的单调递增区间为⎝⎛⎭⎪⎫－34，＋∞.又x 2＋32x >0，所以x >0或x <－32.所以函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)．答案：(0，＋∞)6．如图，矩形ABCD 的三个顶点A ，B ，C 分别在函数y ＝log22x ，y ＝x 12，y ＝⎝⎛⎭⎪⎫22x的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴．若点A 的纵坐标为2，则点D 的坐标为________．解析：由条件得，点A 在函数y ＝log22x 的图象上，从而由2＝2，得x A ＝12.而点B 在函数y ＝x 12上，从而2＝x 12，解得x B ＝4.于是点C 的横坐标为4.又点C 在函数y ＝⎝⎛⎭⎪⎫22x上，从而y C ＝14，所以点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14 7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x，x ≤0，关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值X 围是______．解析：问题等价于函数y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图象有且只有一个交点，结合函数图象可知a >1.答案：(1，＋∞)8．(2016·某某四市调研)函数f (x )＝log 2x ·log 2(2x )的最小值为______．解析：依题意得f (x )＝12log 2x ·(2＋2log 2x )＝(log 2x )2＋log 2x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2x ＋122－14≥－14，当且仅当log 2x ＝－12，即x ＝22时等号成立，因此函数f (x )的最小值为－14.答案：－149．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝log 12x .(1)求函数f (x )的解析式； (2)解不等式f (x 2－1)>－2.解：(1)当x <0时，－x >0，则f (－x )＝log 12(－x )．因为函数f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )．所以函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎨⎧log 12x ，x >0，0，x ＝0，log 12－x ，x <0.(2)因为f (4)＝log 124＝－2，f (x )是偶函数，所以不等式f (x 2－1)>－2可化为f (|x 2－1|)>f (4)．又因为函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数，所以|x 2－1|<4，解得－5<x <5，即不等式的解集为(－5，5)．10．已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，(a >0且a ≠1)． (1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明； (3)当a >1时，求使f (x )>0的x 的解集．解：(1)要使函数f (x )有意义．则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，1－x >0，解得－1<x <1.故所求函数f (x )的定义域为(－1,1)． (2)证明：由(1)知f (x )的定义域为(－1,1)，且f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x ) ＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )]＝－f (x )，故f (x )为奇函数．(3)因为当a >1时，f (x )在定义域(－1,1)内是增函数，所以f (x )>0⇔x ＋11－x>1，解得0<x <1.所以使f (x )>0的x 的解集是(0,1). 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知函数f (x )＝log a (2x －a )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，23上恒有f (x )>0，则实数a 的取值X 围是________．解析：当0<a <1时，函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，23上是减函数，所以log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫43－a >0，即0<43－a <1，解得13<a <43，故13<a <1；当a >1时，函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，23上是增函数，所以log a (1－a )>0，即1－a >1，解得a <0，此时无解．综上所述，实数a 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 2．(2016·某某中学月考)已知函数f (x )＝log a 1－xb ＋x (0<a <1)为奇函数，当x ∈(－1，a ]时，函数f (x )的值域是(－∞，1]，则a ＋b 的值为________．解析：由1－xb ＋x >0，解得－b <x <1(b >0)．又奇函数定义域关于原点对称，故b ＝1.所以f (x )＝log a 1－x 1＋x (0<a <1)．又g (x )＝1－x x ＋1＝－1＋2x ＋1在(－1，a ]上单调递减，0<a <1，所以f (x )在(－1，a ]上单调递增．又因为函数f (x )的值域是(－∞，1]，故f (a )＝1，此时g (a )＝a ，即1－a a ＋1＝a ，解得a ＝2－1(负根舍去)，所以a ＋b ＝ 2. 答案： 23．已知函数f (x )＝3－2log 2x ，g (x )＝log 2x .(1)当x ∈[1,4]时，求函数h (x )＝[f (x )＋1]·g (x )的值域；(2)如果对任意的x ∈[1,4]，不等式f (x 2)·f (x )>k ·g (x )恒成立，某某数k 的取值X 围．解：(1)h (x )＝(4－2log 2x )·log 2x ＝－2(log 2x －1)2＋2，因为x ∈[1,4]，所以log 2x ∈[0,2]，故函数h (x )的值域为[0,2]． (2)由f (x 2)·f (x )>k ·g (x )，得(3－4log 2x )(3－log 2x )>k ·log 2x ，令t ＝log 2x ，因为x ∈[1,4]，所以t ＝log 2x ∈[0,2]，所以(3－4t )(3－t )>k ·t 对一切t ∈[0,2]恒成立， ①当t ＝0时，k ∈R ；②当t ∈(0,2]时，k <3－4t 3－tt恒成立，即k <4t ＋9t－15，因为4t ＋9t ≥12，当且仅当4t ＝9t ，即t ＝32时取等号，所以4t ＋9t－15的最小值为－3.综上，实数k 的取值X 围为(－∞，－3)．。

2023年高考数学一轮复习第二章函数7对数与对数函数练习含解析

对数与对数函数考试要求 1.理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.2.通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点.3.了解指数函数y ＝a x与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数．知识梳理 1．对数的概念一般地，如果a x＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．以10为底的对数叫做常用对数，记作lg N . 以e 为底的对数叫做自然对数，记作ln N . 2．对数的性质与运算性质(1)对数的性质：log a 1＝0，log a a ＝1，log a Na ＝N (a >0，且a ≠1，N >0)．(2)对数的运算性质如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么： ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a M N＝log a M －log a N ； ③log a M n＝n log a M (n ∈R )．(3)换底公式：log a b ＝log c b log c a (a >0，且a ≠1，b >0，c >0，且c ≠1)．3．对数函数的图象与性质y ＝log a x a >1 0<a <1图象定义域 (0，＋∞)值域R性质过定点(1,0)，即x ＝1时，y ＝0当x >1时，y >0；当0<x <1时，当x >1时，y <0；当0<x <1时，y <0y >0在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数4.反函数指数函数y ＝a x(a >0且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称．常用结论1．log a b ·log b a ＝1，log nm b a ＝n mlog a b . 2．如图给出4个对数函数的图象则b >a >1>d >c >0，即在第一象限，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大．3．对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象恒过点(1,0)，(a,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，－1.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若MN >0，则log a (MN )＝log a M ＋log a N .( × )(2)对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( × ) (3)函数y ＝log a 1＋x1－x 与函数y ＝ln(1＋x )－ln(1－x )是同一个函数．( × )(4)函数y ＝log 2x 与y ＝121log x的图象重合．( √ ) 教材改编题1．函数y ＝log a (x －2)＋2(a >0且a ≠1)的图象恒过定点．答案 (3,2) 解析 ∵log a 1＝0，令x －2＝1，∴x ＝3， ∴y ＝log a 1＋2＝2，∴原函数的图象恒过定点(3,2)． 2．计算：(log 29)·(log 34)＝. 答案 4解析 (log 29)·(log 34)＝lg9lg2×lg4lg3＝2lg3lg2×2lg2lg3＝4.3．若函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1，则a ＝. 答案 12或2解析当a >1时，log a 4－log a 2＝log a 2＝1， ∴a ＝2；当0<a <1时，log a 2－log a 4＝－log a 2＝1， ∴a ＝12，综上有a ＝12或2.题型一对数式的运算例1 (1)设2a ＝5b＝m ，且1a ＋1b＝2，则m 等于( )A.10B ．10C ．20D ．100 答案 A解析 2a ＝5b＝m ， ∴log 2m ＝a ，log 5m ＝b ，∴1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5 ＝log m 10＝2， ∴m 2＝10，∴m ＝10(舍m ＝－10)． (2)计算：log 535＋122log 2－log 5150－log 514＝.答案 2解析原式＝log 535－log 5150－log 514＋()212log 2＝log 535150×14＋12log 2 ＝log 5125－1＝log 553－1＝3－1＝2. 教师备选计算：1－log 632＋log 62·log 618log 64＝.答案 1 解析原式＝ 1－2log 63＋log 632＋log 663·log 66×3log 64＝1－2log 63＋log 632＋1－log 632log 64＝21－log 632log 62＝log 66－log 63log 62＝log 62log 62＝1.思维升华解决对数运算问题的常用方法 (1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简． (2)将同底对数的和、差、倍合并．(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．跟踪训练1 (1)已知a >b >1，若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a，则a ＋b ＝.答案 6解析设log b a ＝t ，则t >1，因为t ＋1t ＝52，所以t ＝2，则a ＝b 2.又a b ＝b a，所以b 2b＝2b b ，即2b ＝b 2，又a >b >1，解得b ＝2，a ＝4. 所以a ＋b ＝6.(2)计算：lg25＋lg50＋lg2·lg500＋(lg2)2＝. 答案 4解析原式＝2lg5＋lg(5×10)＋lg2·lg(5×102)＋(lg2)2＝2lg5＋lg5＋1＋lg2·(lg5＋2)＋(lg2)2＝3lg5＋1＋lg2·lg5＋2lg2＋(lg2)2＝3lg5＋2lg2＋1＋lg2(lg5＋lg2) ＝3lg5＋2lg2＋1＋lg2 ＝3(lg5＋lg2)＋1 ＝4.题型二对数函数的图象及应用例2 (1)已知函数f (x )＝log a (2x＋b －1)(a >0，且a ≠1)的图象如图所示，则a ，b 满足的关系是( )A ．0<a －11.函数图象与y 轴的交点坐标为(0，log a b )，由函数图象可知－1<log a b <0，解得1a <b <1.综上有0<1a<b <1.(2)若方程4x＝log a x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上有解，则实数a 的取值范围为．答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22 解析若方程4x ＝log a x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上有解，则函数y ＝4x和函数y ＝log a x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上有交点，由图象知⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，log a 12≤2，解得0<a ≤22. 教师备选已知x 1，x 2分别是函数f (x )＝e x ＋x －2，g (x )＝ln x ＋x －2的零点，则1e x＋ln x 2的值为( ) A ．e 2＋ln2 B ．e ＋ln2 C ．2 D ．4答案 C解析根据题意，已知x 1，x 2分别是函数f (x )＝e x＋x －2，g (x )＝ln x ＋x －2的零点，函数f (x )＝e x＋x －2的零点为函数y ＝e x的图象与y ＝2－x 的图象的交点的横坐标，则两个函数图象的交点为(x 1，1e x )，函数g (x )＝ln x ＋x －2的零点为函数y ＝ln x 的图象与y ＝2－x 的图象的交点的横坐标，则两个函数图象的交点为(x 2，ln x 2)，又由函数y ＝e x与函数y ＝ln x 互为反函数，其图象关于直线y ＝x 对称，而直线y ＝2－x 也关于直线y ＝x 对称，则点(x 1，1e x )和(x 2，ln x 2)也关于直线y ＝x 对称，则有x 1＝ln x 2，则有1e x ＋ln x 2＝1e x ＋x 1＝2. 思维升华对数函数图象的识别及应用方法(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．跟踪训练2 (1)已知函数f (x )＝log a x ＋b 的图象如图所示，那么函数g (x )＝a x＋b 的图象可能为( )答案 D解析结合已知函数的图象可知，f (1)＝b <－1，a >1，则g (x )单调递增，且g (0)＝b ＋1<0，故D 符合题意． (2)(2022·广州调研)设x 1，x 2，x 3均为实数，且1e x -＝ln x 1，2ex -＝ln(x 2＋1)，3ex -＝lg x 3，则( ) A ．x 1<x 2<x 3 B ．x 1<x 3<x 2 C ．x 2<x 3<x 1D ．x 2<x 1<x 3答案 D解析画出函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x，y ＝ln x ，y ＝ln(x ＋1)，y ＝lg x 的图象，如图所示．数形结合，知x 2<x 1<x 3. 题型三对数函数的性质及应用命题点1 比较指数式、对数式大小例3 (1)设a ＝log 3e ，b ＝e 1.5，c ＝131log 4，则( ) A ．b <a <c B ．c <a log 3e ＝a . 又c ＝log 34<log 39＝2，b ＝e 1.5>2， ∴a <c <b .(2)(2022·昆明一中月考)设a ＝log 63，b ＝log 126，c ＝log 2412，则( ) A ．b <c <a B ．a <c log 62>log 122，即1a >1b >1c，所以a 0，a ≠1)，则实数a 的取值范围是．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1 解析依题意log a (a ＋1)<log a (2a )<log a 1， ∴⎩⎨⎧a >1，a ＋1<2a <1或⎩⎨⎧0<a <1，a ＋1>2a >1，解得14<a <1.命题点3 对数性质的应用例5 (2020·全国Ⅱ)设函数f (x )＝ln|2x ＋1|－ln|2x －1|，则f (x )( )A ．是偶函数，且在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上单调递增B ．是奇函数，且在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12上单调递减 C ．是偶函数，且在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12上单调递增 D ．是奇函数，且在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12上单调递减答案 D解析 f (x )＝ln|2x ＋1|－ln|2x －1|的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠±12. 又f (－x )＝ln|－2x ＋1|－ln|－2x －1| ＝ln|2x －1|－ln|2x ＋1|＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数，故排除A ，C. 当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12时，f (x )＝ln(－2x －1)－ln(1－2x )＝ln－2x －11－2x＝ln 2x ＋12x －1＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋22x －1，∵y ＝1＋22x －1在⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12上单调递减， ∴由复合函数的单调性可得f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12上单调递减．教师备选1．(2022·安徽十校联盟联考)已知a ＝log 23，b ＝2log 53，c ＝13log 2，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a >c >b B ．a >b >c C ．b >a >c D ．c >b >a答案 B解析 ∵a ＝log 23>1，b ＝2log 53＝log 59>1，c ＝13log 2<0，∴a b ＝log 23log 59＝lg3lg2×lg5lg9＝lg3lg2×lg52lg3＝lg52lg2＝lg5lg4＝log 45>1， ∴a >b ，∴a >b >c .2．若f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上单调递减，则a 的取值范围为( ) A ．[1,2) B ．[1,2] C ．[1，＋∞) D ．[2，＋∞)答案 A解析令函数g (x )＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a )2＋1＋a －a 2，对称轴为x ＝a ，要使函数f (x )在(－∞，1]上单调递减，则有⎩⎪⎨⎪⎧g 1>0，a ≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧2－a >0，a ≥1，解得1≤a <2，即a ∈[1,2)．思维升华求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三个问题：一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成．跟踪训练3 (1)若实数a ，b ，c 满足log a 2<log b 2<log c 2<0，则下列关系中正确的是( ) A ．a <b <c B ．b <a <c C ．c 1时，函数f (x )＝log a x 在[2，＋∞)上单调递增，无最值，不满足题意，故0<a <1.当x ≥2时，函数f (x )＝log a x 在[2，＋∞)上单调递减，f (x )≤f (2)＝log a 2；当0<x <2时，f (x )＝－log a x －4在(0,2)上单调递增，f (x )<f (2)＝－log a 2－4，则log a 2≥－log a 2－4，即log a 2≥－2＝log a a －2，即1a 2≥2,0<a ≤22，故实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22. (3)(2022·潍坊模拟)已知f (x )＝1＋log 3x (1≤x ≤9)，设函数g (x )＝f 2(x )＋f (x 2)，则g (x )max －g (x )min ＝. 答案 5解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤9，1≤x 2≤9，∴1≤x ≤3，∴g (x )的定义域为[1,3]，g (x )＝f 2(x )＋f (x 2)＝(1＋log 3x )2＋1＋log 3x 2＝(log 3x )2＋4log 3x ＋2，设t ＝log 3x ，则0≤t ≤1，则y ＝t 2＋4t ＋2＝(t ＋2)2－2，在[0,1]上单调递增， ∴当t ＝0即x ＝1时，g (x )min ＝2，当t ＝1即x ＝3时，g (x )max ＝7， ∴g (x )max －g (x )min ＝5.课时精练1．(2022·重庆巴蜀中学月考)设a ＝12，b ＝log 75，c ＝log 87，则( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．c >b >aD ．c >a >b解析 a ＝12＝log 77>b ＝log 75，c ＝log 87>log 88＝12＝a ，所以c >a >b .2．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)的反函数且f (2)＝1，则f (x )等于( ) A ．log 2x B.12x C ．12log x D ．2x －2答案 A解析函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)的反函数是f (x )＝log a x ，又f (2)＝1，即log a 2＝1，所以a ＝2.故f (x )＝log 2x .3．(2022·昆明模拟)我们知道：人们对声音有不同的感觉，这与它的强度有关系．一般地，声音的强度用(W/m 2)表示，但在实际测量时，声音的强度水平常用L 1＝10lgII 0(单位：分贝，L 1≥0，其中I 0＝1×10－12是人们平均能听到的最小强度，是听觉的开端)．某新建的小区规定：小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在50分贝以下，则声音强度I 的取值范围是( )A ．(－∞，10－7) B ．[10－12，10－5)C ．[10－12，10－7)D ．(－∞，10－5)答案 C解析由题意可得，0≤10·lg II 0<50，即0≤lg I －lg(1×10－12)<5，所以－12≤lg I <－7，解得10－12≤I <10－7，所以声音强度I 的取值范围是[10－12,10－7)．4．设函数f (x )＝()212log ,0,log ,0.x x x x >⎧⎪⎨-<⎪⎩若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1)解析由题意得2120,log log a a a >⎧⎪⎨>⎪⎩或()()1220,log log a a a <⎧⎪⎨->-⎪⎩解得a >1或－1<a <0.5.(多选)函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a >0，a ≠1)的图象如图所示，则下列结论成立的是( )A ．a >1B ．0<c <1C ．0<a <1D ．c >1 答案 BC解析由图象可知函数为减函数，∴0<a <1，令y ＝0得log a (x ＋c )＝0，x ＋c ＝1，x ＝1－c ，由图象知0<1－c <1，∴0<c <1.6．(多选)已知函数f (x )＝ln(e 2x＋1)－x ，则( ) A ．f (ln2)＝ln 52B ．f (x )是奇函数C ．f (x )在(0，＋∞)上单调递增D ．f (x )的最小值为ln2 答案 ACD 解析 f (ln2)＝ln(e 2ln2＋1)－ln2＝ln 52，故A 项正确；f (x )＝ln(e 2x ＋1)－x ＝ln(e 2x ＋1)－lne x＝ln e 2x＋1ex＝ln(e x ＋e －x)，所以f (－x )＝ln(e x ＋e －x)，所以f (－x )＝f (x )，所以f (x )为偶函数，故B 项错误；当x >0时，y ＝e x ＋e －x在(0，＋∞)上单调递增，因此y ＝ln(e x＋e －x)在(0，＋∞)上单调递增，故C 项正确；由于f (x )在(0，＋∞)上单调递增，又f (x )为偶函数，所以f (x )在(－∞，0]上单调递减，所以f (x )的最小值为f (0)＝ln2，故D 项正确． 7．(2022·海口模拟)log 327＋lg25＋lg4＋27log 7＋138的值等于．答案152解析原式＝323log 3＋lg52＋lg22＋2＋1332⨯＝32＋2lg5＋2lg2＋2＋2 ＝32＋2(lg5＋lg2)＋2＋2 ＝32＋2＋2＋2 ＝152. 8．函数f (x )＝log 2x ·()2log 2x 的最小值为．答案－14解析依题意得f (x )＝12log 2x ·(2＋2log 2x )＝(log 2x )2＋log 2x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2x ＋122－14≥－14，当log 2x ＝－12，即x ＝22时等号成立，所以函数f (x )的最小值为－14.9．设f (x )＝log 2(a x－b x)，且f (1)＝1，f (2)＝log 212. (1)求a ，b 的值；(2)当x ∈[1,2]时，求f (x )的最大值．解 (1)因为f (x )＝log 2(a x－b x)，且f (1)＝1，f (2)＝log 212，所以⎩⎪⎨⎪⎧log 2a －b ＝1，log 2a 2－b 2＝log 212，即⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝2，a 2－b 2＝12，解得a ＝4，b ＝2.(2)由(1)得f (x )＝log 2(4x－2x)，令t ＝4x－2x，则t ＝4x －2x＝⎝⎛⎭⎪⎫2x －122－14，因为1≤x ≤2，所以2≤2x≤4，所以94≤⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －122≤494，即2≤t ≤12，因为y ＝log 2t 在[2,12]上单调递增，所以y max ＝log 212＝2＋log 23，即函数f (x )的最大值为2＋log 23.10．(2022·枣庄模拟)已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a >0且a ≠1. (1)判断f (x )的奇偶性并予以证明； (2)当a >1时，求使f (x )>0的x 的解集．解 (1)f (x )是奇函数，证明如下：因为f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，1－x >0，解得－1<x <1，f (x )的定义域为(－1,1)．f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x )＝－[log a (1＋x )－log a (－x ＋1)]＝－f (x )，故f (x )是奇函数．(2)因为当a >1时，y ＝log a (x ＋1)是增函数，y ＝log a (1－x )是减函数，所以当a >1时，f (x )在定义域(－1,1)内是增函数，f (x )>0即log a (x ＋1)－log a (1－x )>0， log a x ＋11－x >0，x ＋11－x >1，2x 1－x>0，2x (1－x )>0，解得0<x <1，故使f (x )>0的x 的解集为(0,1)．11．设a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，则( )A ．a ＋b <ab <0B ．ab <a ＋b <0C ．a ＋b <0<abD ．ab <0<a ＋b答案 B解析 ∵a ＝log 0.20.3>log 0.21＝0，b ＝log 20.3<log 21＝0，∴ab <0.∵a ＋b ab ＝1a ＋1b＝log 0.30.2＋log 0.32＝log 0.30.4， ∴1＝log 0.30.3>log 0.30.4>log 0.31＝0， ∴0<a ＋bab<1，∴ab <a ＋b <0. 12．若实数x ，y ，z 互不相等，且满足2x＝3y＝log 4z ，则( ) A ．z >x >y B ．z >y >x C ．x >y ，x >z D ．z >x ，z >y答案 D解析设2x＝3y＝log 4z ＝k >0，则x ＝log 2k ，y ＝log 3k ，z ＝4k，根据指数、对数函数图象易得4k >log 2k ， 4k>log 3k ，即z >x ，z >y .13．(2022·沈阳模拟)函数f (x )＝|log 3x |，若正实数m ，n (m <n )满足f (m )＝f (n )，且f (x )在区间[m 2，n ]上的最大值为2，则n －m 等于( ) A.83B.809C.154D.25516 答案 A解析 ∵f (x )＝|log 3x |，正实数m ，n (m <n )满足f (m )＝f (n )，∴0<m <1<n ，且|log 3m |＝|log 3n |， ∴log 3m ＝－log 3n ，∴log 3m ＋log 3n ＝0，解得mn ＝1，又∵f (x )在区间[m 2，n ]上的最大值为2，易知f (m 2)＝－log 3m 2＝2，此时⎩⎪⎨⎪⎧m ＝13，n ＝3，∴n －m ＝83.14．(2022·惠州模拟)若函数f (x )＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－ax ＋12有最小值，则实数a 的取值范围是．答案 (1，2)解析令u ＝x 2－ax ＋12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22＋12－a24，则u 有最小值12－a24，欲使函数f (x )＝log a ⎝⎛⎭⎪⎫x 2－ax ＋12有最小值，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >1，12－a 24>0，解得1<a <2，即实数a 的取值范围为(1，2)．15．(2022·丽水模拟)已知log a (a ＋1)<log (a ＋1)a (a >0且a ≠1)，则a 的取值范围是．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫－1＋52，1解析 ∵log a (a ＋1)－log (a ＋1)a ＝lg a ＋1lg a －lg alg a ＋1＝lg 2a ＋1－lg 2a lg a lg a ＋1＝[lg a ＋1－lg a ][lg a ＋1＋lg a ]lg a lg a ＋1当a >1时，lg(a ＋1)>lg a >0， ∴log a (a ＋1)>log (a ＋1)a ，不符合题意；当0<a <1时，lg a <0，lg(a ＋1)>0， lg(a ＋1)－lg a ＝lga ＋1a>lg 1＝0， lg(a ＋1)＋lg a ＝lg [a (a ＋1)]＝lg ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122－14， ∴log a (a ＋1)<log (a ＋1)a (0<a <1)即为lg ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122－14>0，由于y ＝lg x (x >0)单调递增，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122－14>1. 又0<a <1，解得－1＋52<a <1，综上有a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－1＋52，1.16．已知函数f (x )＝log 2(2x＋k )(k ∈R )． (1)当k ＝－4时，解不等式f (x )>2；(2)若函数f (x )的图象过点P (0,1)，且关于x 的方程f (x )＝x －2m 有实根，求实数m 的取值范围．解 (1)当k ＝－4时，f (x )＝log 2(2x－4)．由f (x )>2，得log 2(2x－4)>2，得2x－4>4，得2x >8，解得x >3.故不等式f (x )>2的解集是(3，＋∞)．(2)因为函数f (x )＝log 2(2x＋k )(k ∈R )的图象过点P (0,1)，所以f (0)＝1，即log 2(1＋k )＝1，解得k ＝1.所以f (x )＝log 2(2x＋1)．因为关于x 的方程f (x )＝x －2m 有实根，即log 2(2x＋1)＝x －2m 有实根．所以方程－2m ＝log 2(2x＋1)－x 有实根．令g (x )＝log 2(2x＋1)－x ，则g (x )＝log 2(2x ＋1)－x ＝log 2(2x＋1)－log 22x＝log 22x＋12x ＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12x . 因为1＋12x >1，log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12x >0，所以g (x )的值域为(0，＋∞)．所以－2m >0，解得m <0.所以实数m 的取值范围是(－∞，0)．。

高考数学一轮总复习教学课件第二章函数第7节对数函数

g(x)=(a-1)x2-ax在同一坐标系中的图象可能是(
√
)
解析:(1)g(x)=(a-1)x2-ax的图象过原点,排除A,C;
当0<a<1时,f(x)=logax单调递减,g(x)开口向下,排除D.故选B.
(2)(2024·浙江杭州模拟)已知二次函数f(x)的图象如图所示,将
其向右平移2个单位长度得到函数g(x)的图象,则不等式g(x)>
在[-1,4)上单调递减,所以f(x)max=f(-1)=2log25,则B正确;
因为f(x)在(-6,-1)上单调递增,在[-1,4)上单调递减,
且f(-4)=f(2)=4,
所以不等式f(x)<4的解集是(-6,-4)∪(2,4),则C错误;
因为f(x)在[-1,4)上单调递减,所以D错误.
故选AB.

.
解析:(3)因为函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在(-∞,0]上单
调递减,
所以可将 f(lo (2x-5))>f(log38)等价于|lo (2x-5)|>|log38|,

即 log3(2x-5)>log38 或 log3(2x-5)<-log38=log3 ,即 2x-5>8 或
再借助y=logax的单忽略函数的定义域
调性求解
角度三
对数函数性质的综合应用
[例4] (多选题)(2023·河北邯郸模拟)已知函数f(x)=log2(x+6)+
log2(4-x),则(
)
√
B.f(x)有最大值
√
A.f(x)的定义域是(-6,4)
C.不等式f(x)<4的解集是(-∞,-4)∪(2,+∞)

数学课标通用(理科)一轮复习配套教师用书：第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ 对数与对数函数

§2.6对数与对数函数考纲展示►1。

理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数;了解对数在简化运算中的作用．2．理解对数函数的概念，和对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点．3．知道对数函数是一类重要的函数模型．4．了解指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x互为反函数（a〉0，且a≠1)．考点1 对数的运算1.对数的概念如果a x＝N(a>0且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作________，其中________叫做对数的底数，________叫做真数．答案:x＝log a N a N2．对数的性质与运算法则（1）对数的运算法则:如果a>0且a≠1,M〉0，N>0,那么①log a（MN）＝____________；②log a错误!＝____________；③log a M n＝________（n∈R）；④log a m M n＝错误!log a M。

（2)对数的性质：①a log a N＝________；②log a a N＝________(a>0且a≠1）．(3）对数的重要公式：①换底公式：log b N＝错误!（a，b均大于0且不等于1)；②log a b＝错误!，推广log a b·log b c·log c d＝________。

答案:（1)①log a M＋log a N②log a M－log a N③n log a M (2）①N②N(3)②log a d（1）[教材习题改编］lg错误!＋lg错误!的值是（)A。

错误!B．1C．10 D．100答案:B(2）［教材习题改编］(log29)·(log34）＝（)A.错误!B．错误!C．2 D．4答案:D(3）[教材习题改编］已知log53＝a，log54＝b，lg 2＝m，求错误!＋lg 4b的值（用m表示）．解:错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝2lg 5＝2(1－lg 2)＝2(1－m）．误用对数运算法则．(1）log3错误!－log3错误!＋错误!－1＝________.（2）(log29)·(log34)＝________.答案：(1)2 （2)4解析：（1)原式＝log3错误!＋31＝log3错误!＋3＝－1＋3＝2。

数学(文)一轮复习：第二章基本初等函数、导数及其应用第讲对数与对数函数

第6讲对数与对数函数,)1．对数概念如果a x＝N(a〉0,a≠1），那么数x叫做以a 为底N的对数，记作x＝log a N．其中a叫做对数的底数，N叫做真数性质底数的限制：a>0，且a≠1对数式与指数式的互化：a x＝N⇒log a N＝x负数和零没有对数1的对数是零：log a1＝0底数的对数是1：log a a＝1对数恒等式：a log a N＝N运算性质log a（M·N)＝log a M＋log a N a>0，且a≠1, log a错误!＝log a M－log a Nlog a M n＝n log a M（n∈R)M >0,N〉0 2.对数函数的图象与性质a〉10<a<1图象性质定义域：（0，＋∞）值域:R过定点（1，0）当x〉1时，y〉0当0〈x〈1时,y<0当x〉1时，y〈0当0<x<1时，y〉在（0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞）上是减函数指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x互为反函数,它们的图象关于直线y＝x对称．1．辨明三个易误点（1）在运算性质中，要特别注意条件，底数和真数均大于0，底数不等于1。

（2)对公式要熟记，防止混用．（3）对数函数的单调性、最值与底数a有关，解题时要按0〈a 〈1和a〉1分类讨论，否则易出错．2．对数函数图象的两个基本点（1）当a>1时，对数函数的图象“上升”；当0<a〈1时，对数函数的图象“下降”．(2)对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1）的图象过定点（1，0），且过点(a，1），错误!，函数图象只在第一、四象限．3．换底公式及其推论(1）log a b＝错误!(a，c均大于0且不等于1，b〉0）；(2）log a b·log b a＝1，即log a b＝错误!（a，b均大于0且不等于1)；（3)log am b n＝错误!log a b（a〉0且a≠1，b>0，m≠0,n∈R）；(4)log a b·log b c·log c d＝log a d（a，b，c均大于0且不等于1,d>0）．1．函数y＝错误!ln(1－x）的定义域为（)A．(0，1) B．D．B 因为y＝错误!ln(1－x）,所以错误!解得0≤x〈1.2.错误!(log29）·（log34)＝（)A．错误!B．错误!C．2 D．4D原式＝错误!·错误!＝4。

高考数学第一轮复习教案-专题2函数概念与基本初等函数

函数三要素是定义域，对应法则和值域，而定义域和对应法则是起决定作用的要素，因为这二者确定后，值域也就相应得到确定，因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数才是同一函数. （3）反函数
反函数的定义
设函数 y f (x)(x A) 的值域是 C，根据这个函数中 x,y 的关系，用 y 把 x 表
高考数学第一轮复习教案汇总【精华】
专题二函数概念与基本初等函数
一、考试内容：映射、函数、函数的单调性、奇偶性．反函数．互为反函数的函数图像间的关系．指数概念的扩充．有理指数幂的运算性质．指数函数．对数．对数的运算性质．对数函数．函数的应用．二、考试要求：（1）了解映射的概念，理解函数的概念．（2）了解函数单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法．（3）了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系，会求一些简单函数的反函数．（4）理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图像和性质．（5）理解对数的概念，掌握对数的运算性质；掌握对数函数的概念、图像和性质．（6）能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题．三、命题热点
y f 1(x)
（二）函数的性质函数的单调性
定义：对于函数 f(x)的定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1,x2, ⑴若当 x1<x2 时，都有 f(x1)<f(x2),则说 f(x)在这个区间上是增函数； ⑵若当 x1<x2 时，都有 f(x1)>f(x2),则说 f(x) 在这个区间上是减函数.
奇函数的定义：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有 f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数.

(通用版)2019版高考数学一轮复习第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ 第六节对数与对数函数实用

34＋llgg
38＝llgg
23＋2llgg23·
2llgg32＋3llgg32＝32llgg
2 5lg 3·6lg
32＝54.
[方法技巧]
解决对数运算问题的常用方法 (1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简． (2)将同底对数的和、差、倍合并． (3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用． (4)利用常用对数中的 lg 2＋lg 5＝1.
解得
x>10
或
1 0<x<10.
答案：A
3.[考点二]已知函数 f(x)＝loga(2x＋b－1)(a>0， a≠1)的图象如图所示，则 a，b 满足的关系是
()
A．0<a－1<b<1 B．0<b<a－1<1
C．0<b－1<a<1
D．0<a－1<b－1<1
解析：由函数图象可知，f(x)在 R 上单调递增，故 a>1.函
(3)对数函数 y＝logax(a>0，且 a≠1)在(0，＋∞)上是增
函数．
( ×)
2．填空题 (1)函数 y＝loga x－3(a>0 且 a≠1)的定义域为________．
答案：a>b
讲练区研透高考· 完成情况
[全析考法]
对数函数图象的辨析
[例 1] (2018·青岛模拟)函数 f(x)＝lg(|x|－1)的大致图象是( )
[解析] 法一：易知函数 f(x)＝lg(|x|－1)的定义域为(－∞，－ 1)∪(1，＋∞)，值域为 R .又当 x>1 时，函数 f(x)单调递增，所以只有选项 B 正确．

近年高考数学总复习第二章基本初等函数(Ⅰ)2.2.2对数函数及其性质(第一课时)练习新人教A版必修

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2。

2 对数函数及其性质（第一课时）一、选择题1．给出下列函数：①y ＝log x 2;②y ＝log 3(x －1）；③y ＝log (x ＋1）x ；④y ＝log πx . 其中是对数函数的有( ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案 A解析 ①②不是对数函数，因为对数的真数不是只含有自变量x ；③不是对数函数，因为对数的底数不是常数；④是对数函数．2．已知函数f (x )＝1－x 1的定义域为M ，g (x ）＝ln （1＋x ）的定义域为N ,则M ∩N 等于（）A ．{x |x >－1｝B ．{x |x 〈1}C ．{x |－1〈x 〈1}D ．∅ 答案 C3．已知a 〉0,且a ≠1,函数y ＝a x与y ＝log a (－x ）的图象只能是下图中的（）答案 B解析 y ＝a x与y ＝log a (－x ）的单调性相反，排除A ，D.y ＝log a （－x ）的定义域为(－∞，0），排除C ，故选B 。

4．已知函数f （x )＝log a (x ＋2)，若图象过点（6，3),则f (2)的值为( ） A ．－2 B ．2 C.21D ．－21答案 B解析代入（6，3)，3＝log a （6＋2）＝log a 8，即a 3＝8,∴a ＝2。

高三数学一轮复习 1.2 函数、基本初等函数的图象与性质学案

专题一：集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数第二讲函数、基本初等函数的图象与性质【最新考纲透析】1．函数（1）了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念。

（2）在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数。

（3）了解简单的分段函数，并能简单应用。

（4）理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；结合具体函数，了解函数奇偶性的含义。

（5）会运用函数图象理解和研究函数的性质。

2．指数函数（1）了解指数函数模型的实际背景。

（2）理解有理指数幂的含义，了解褛指数幂的意义，掌握幂的运算。

（3）理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点。

（4）知道指数函数是一类重要的函数模型。

3．对数函数（1）理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用。

（2）理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点。

（3）知道对数函数是一类重要的函数模型。

（4）了解指数函数xy a=与对数函数log ay x=互为反函数（0,1a a>≠且）。

4．幂函数（1）了解幂函数的概念（2）结合函数12321,,,,y x y x y x y y xx=====的图象了解它们的变化情况。

【核心要点突破】要点考向一：基本初等函数问题考情聚焦：1．一元二次函数、指数函数、对数函数和幂函数是最重要的基本初等函数，在每年高考中都有涉及到直接考查它们定义、定义域和值域、图象和性质的问题。

2．常与函数的性质、方程、不等式综合命题，多以选择、填空题的形式出现，属容易题。

考向链接：1．一元二次、二次函数及指数\对数函数和幂函数的定义、定义域、值域、图象和性质是解决此类题目的关键，同时要注意数形结合、化归和分类讨论思想的应用。

2.熟记幂和对数的运算性质并能灵活运用。

例1：（2010·全国高考卷Ⅱ文科·Ｔ4）函数y=1+ln（x-1）(x>1)的反函数是（A）y=1xe+-1(x>0) (B) ）y=1x e-+1(x>0)(C) y=1x e+-1(x ∈R) (D）y=1x e-+1 (x ∈R)【命题立意】本题考查了反函数的概念及其求法。

高考数学大一轮复习第二章函数与基本初等函数Ⅰ第7课函数的奇偶性文

第7课函数的奇偶性(本课时对应学生用书第页)自主学习回归教材1.(必修1P43练习6改编)函数f (x )=42-1(-1)x x x 是函数.(填“奇”、“偶”或“非奇非偶”) 【答案】奇【解析】由题知定义域{x|x ∈R ，且x ≠0，x ≠±1}关于原点对称，且f (-x )=-f (x )，所以f (x )为奇函数.2.(必修1P94习题28改编)设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x>0时，f (x )=2x-3，则f (-2)= . 【答案】-1【解析】f (-2)=-f (2)=-1.3.(必修1P55习题8改编)若函数f (x )=(x+a )(x-4)为偶函数，则实数a= . 【答案】4【解析】因为函数f (x )=(x+a )(x-4)为偶函数，所以f (-x )=f (x )，由f (x )=(x+a )(x-4)=x 2+(a-4)x-4a ，得x 2-(a-4)x-4a=x 2+(a-4)x-4a ，即a-4=0，a=4.4.(必修1P43习题4改编)已知函数f (x )=4x 2+bx+3a+b 是偶函数，其定义域为[a-6，2a ]，则点(a ，b )的坐标为 . 【答案】(2，0)【解析】因为f (x )为偶函数且定义域为[a-6，2a ]，所以0-(-6)2b a a =⎧⎨=⎩，，即02b a =⎧⎨=⎩，，故点(a ，b )的坐标为(2，0).5.(必修1P111复习题17改编)若函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0，+∞)上是增函数，f(1)=2，则不等式f(lg x)>2的解集为.【答案】110⎛⎫⎪⎝⎭，∪(10，+∞)【解析】因为f(x)为偶函数，所以由f(lg x)>2⇔f(|lg x|)>2=f(1)，又因为f(x)在[0，+∞)上是增函数，所以|lg x|>1，所以0<x<110或x>10，故不等式f(lg x)>2的解集为110⎛⎫⎪⎝⎭，∪(10，+∞).1.奇、偶函数的定义对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)(或f(-x)+f(x)=0)，则称f(x)为奇函数；对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)(或f(-x)-f(x)=0)，则称f(x)为偶函数.2.奇、偶函数的性质(1)具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称(也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称).(2)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称.(3)若奇函数的定义域包含0，则f(0)=0.(4)定义在(-∞，+∞)上的任意函数f(x)都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和. 【要点导学】要点导学各个击破函数奇偶性的判定例1 判断下列各函数的奇偶性.(1)f (x )=32--1x x x ；(2)f (x )(3)f (x )=|x+2|-|x-2|；(4)f (x )=220-0.x x x x x x ⎧+<⎨>⎩，，，【思维引导】先求定义域，看定义域是否关于原点对称，在定义域下，解析式带绝对值符号的，要利用绝对值的意义判断f (-x )与f (x )的关系，分段函数应分情况判断.【解答】(1)定义域是{x|x ≠1}，不关于原点对称，所以f (x )是非奇非偶函数. (2)定义域是{-1，1}，f (x )=0，所以f (x )既是奇函数又是偶函数.(3)定义域是R ，f (-x )=|-x+2|-|-x-2|=-(|x+2|-|x-2|)=-f (x )，所以f (x )是奇函数. (4)当x<0时，-x>0，则f (-x )=(-x )2-(-x )=x 2+x=f (x )；当x>0时，-x<0，则f (-x )=(-x )2+(-x )=x 2-x=f (x ).综上所述，对任意的x ∈(-∞，0)∪(0，+∞)，都有f (-x )=f (x )，所以f (x )为偶函数. 【精要点评】利用定义判断函数奇偶性的步骤： (1)首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称. (2)确定f (-x )与f (x )的关系.(3)作出相应结论：若f (-x )=f (x )或f (-x )-f (x )=0，则f (x )是偶函数；若f (-x )=-f (x )或f (-x )+f (x )=0，则f (x )是奇函数.变式求证：函数f(x)=x112-12x⎛⎫+⎪⎝⎭+a(其中a为常数)为偶函数.【解答】易知此函数的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，关于原点对称.因为f(-x)=-x-112-12x⎛⎫+⎪⎝⎭+a=x212-12xx⎛⎫-⎪⎝⎭+a=x2-111-2-12xx⎛⎫+⎪⎝⎭+a=x112-12x⎛⎫+⎪⎝⎭+a=f(x)，所以f(x)=x112-12x⎛⎫+⎪⎝⎭+a为偶函数.【精要点评】函数奇偶性的证明与函数奇偶性的判断的区别在于我们已经知道函数具有奇偶性，从而有了解决问题的方向，只是在对式子的变形上可能要下一定的功夫，特别是对于抽象函数我们还是要牢牢抓住奇偶性的定义找到解决问题的突破口.函数奇偶性的应用例2(1)已知函数f(x)是定义在(-∞，+∞)上的偶函数.当x∈(-∞，0)时，f(x)=x-x4，则当x∈(0，+∞)时，f(x)= .(2)(2014·湖南卷改编)已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)-g(x)=x3+x2+1，则f(1)= ，g(1)= .【思维引导】(1)要求f(x)在(0，+∞)上的表达式，由于已知f(x)在(-∞，0)上的表达式，因此解答本题可先设x∈(0，+∞)，然后将它转化到已知解析式的区间(-∞，0)上，最后利用函数的奇偶性定义即可得出结论.(2)先利用函数的奇偶性，确定f(x)和g(x)的解析式，然后代值计算.【答案】 (1)-x-x4(2)2-1【解析】(1)当x∈(0，+∞)时，有-x∈(-∞，0)，注意到函数f(x)是定义在(-∞，+∞)上的偶函数，于是有f(x)=f(-x)=-x-(-x)4=-x-x4.(2)由题意得f(-x)-g(-x)=-x3+x2+1，因为f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，所以f(x)+g(x)=-x3+x2+1，联结f(x)-g(x)=x3+x2+1，解得f(x)=x2+1，g(x)=-x3，所以f(1)=2，g(1)=-1.【精要点评】(1)解决本题第(1)问的关键是利用偶函数的关系式f(-x)=f(x)成立，但要注意求给定哪个区间的解析式就设这个区间上的变量x，然后把x转化为-x(另一个已知区间上的解析式中的变量)，通过适当的推导，求出所求区间上的解析式.(2)本题第(2)问也可以直接用赋值法解决，即赋值x=±1，然后利用奇偶性化归为关于f(1)和g(1)的方程组，进行求解.变式(1)设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=2x+2x+b(b为常数)，则f(-1)= .(2)已知f(x)=223pxx q++是奇函数，且f(2)=53，那么p= ，q= .【答案】 (1)-3(2)20【解析】(1)因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)=20+2×0+b=0，解得b=-1，故当x≥0时，f(x)=2x+2x-1，所以f(-1)=-f(1)=-(2+2×1-1)=-3.(2)因为f(x)是奇函数，所以f(-x)+f(x)=0，即22-3pxx q+++223pxx q++=0，得q=0.又由f(2)=53，得426p+=53，解得p=2.函数奇偶性与单调性的综合应用微课2● 问题提出奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反.抽象函数中的不等式问题，核心是去掉抽象函数中的符号“f”，除了画出草图利用数形结合思想求解外，本质是利用奇偶性和单调性.那么，求解此类问题的解题模板是怎样的?● 典型示例例3 已知函数f (x )是定义在R 上的单调函数，且对任意的实数a ∈R ，f (-a )+f (a )=0恒成立，若f (-3)=2.(1)试判断函数f (x )在R 上的单调性，并说明理由；(2)解关于x 的不等式：f-m x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭+f (m )<0，其中m ∈R 且m>0. 【思维导图】【规范解答】(1)函数f (x )为R 上的减函数.理由如下：由题知f (x )是R 上的奇函数，所以f (0)=0，又因为f (x )是R 上的单调函数，由f (-3)=2，f (0)<f (-3)，知f (x )为R 上的减函数.(2)由f -m x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭+f (m )<0，得f-m x x ⎛⎫⎪⎝⎭<-f (m )=f (-m )，结合(1)得-m x x >-m ，整理得(1-)-m x mx <0. 当m>1时，不等式的解集为|01-m x x x m ⎧⎫><⎨⎬⎩⎭或；当m=1时，不等式的解集为{x|x>0}；当0<m<1时，不等式的解集为|01-m x x m ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭. 【精要点评】利用函数的单调性解函数不等式要特别注意必须考虑函数的定义域，进而结合函数单调性去求不等式的解集.● 总结归纳奇函数在对称的两个区间上具有相同的单调性，偶函数在对称区间上具有相反的单调性，因此，若函数具有奇偶性，研究单调性、最值或作图象等问题时，只需在非负值范围内研究即可，在负值范围内由对称性可得.● 题组强化1.(2014·江苏压题卷)若奇函数f (x )在(0，+∞)上单调递减，且f (2)=0，则不等式3(-)-2()5f x f x x ≤0的解集为.(第1题)【答案】[-2，0)∪(0，2]【解析】根据已知条件可画出f (x )的草图如图所示.不等式3(-)-2()5f x f x x ≤0⇔()f x x ≥0，即0()0x f x >⎧⎨≥⎩，或0()0.x f x <⎧⎨≤⎩，由图可知不等式的解集为[-2，0)∪(0，2].2.(2015·全国卷)设函数f (x )=ln(1+|x|)-211x +，则使得f (x )>f (2x-1)成立的x 的取值范围是 .【答案】113⎛⎫ ⎪⎝⎭，【解析】由f (x )=ln(1+|x|)-211x +可知f (x )是偶函数，且在[0，+∞)是增函数，所以f (x )>f (2x-1)⇔f (|x|)>f (|2x-1|)⇔|x|>|2x-1|⇔13<x<1.3.已知偶函数f (x )在[0，+∞)上是增函数，如果f (ax+1)≤f (x-2)在x ∈112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上恒成立，求实数a 的取值范围.【解答】由于f (x )为偶函数，且在[0，+∞)上为增函数，则在(-∞，0]上为减函数. 由f (ax+1)≤f (x-2)，知|ax+1|≤|x-2|.又x ∈112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，故|x-2|=2-x ，即x-2≤ax+1≤2-x. 故x-3≤ax ≤1-x ，1-3x ≤a ≤1x -1在112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上恒成立.由于min 1-1x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=0，max 31-x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=-2，故-2≤a ≤0，即实数a 的取值范围为[-2，0].4.已知奇函数f (x )是定义在(-3，3)上的减函数，且满足不等式f (x-3)+f (x 2-3)<0，求x 的取值范围.【解答】由题知2-3-33-3-33x x <<⎧⎨<<⎩，，解得0600x x x <<⎧⎪⎨<<<⎪⎩，或故0<x<因为f (x )是奇函数，所以f (x-3)<-f (x 2-3)=f (3-x 2)，又f (x )在(-3，3)上是减函数，所以x-3>3-x 2，即x 2+x-6>0，解得x>2或x<-3. 综上，2x 的取值范围是{x|2.1.(2015·北京卷改编)已知下列函数：①y=x 2sin x ；②y=x 2cos x ；③y=|ln x|；④y=2-x.其中为偶函数的是 .(填序号) 【答案】②【解析】根据奇偶性的定义知①为奇函数，②为偶函数，③的定义域为(0，+∞)，故③不具有奇偶性，④既不是奇函数，也不是偶函数.2.(2015·南通模拟)已知函数f(x)=·2-221xxa a++(x∈R)是奇函数，那么实数a= .【答案】1【解析】因为f(x)=·2-221xxa a++(x∈R)是奇函数，因此f(0)=0，解得a=1.3.(2016·苏州期中)已知定义在R上的奇函数f(x)，当x>0时，f(x)=2x-x2，则f(-1)+f(0)+f(3)= .【答案】-2【解析】由题意知，f(0)=0，f(-1)=-f(1)，又因为当x>0时，f(x)=2x-x2，所以f(-1)+f(0)+f(3)=-f(1)+0+f(3)=-21+12+23-32=-2.4.(2015·天津卷)已知定义在R上的函数f(x)=2|x-m|-1 (m为实数)为偶函数，记a=f(log0.53)，b=f(log25)，c=f(2m)，则a，b，c的大小关系为.【答案】c<a<b【解析】因为函数f(x)=2|x-m|-1为偶函数，所以m=0，即f(x)=2|x|-1，所以a=f(log0.53)=f21log3⎛⎫⎪⎝⎭=21log32-1=2log32-1=3-1=2，b=f(log25)=2log52-1=4，c=f(2m)=f(0)=20-1=0.所以c<a<b.5.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且在[0，+∞)上为增函数，若f(1-a)+f(-2a)<0，求实数a的取值范围.【解答】因为f(x)是定义在R上的奇函数，且在[0，+∞)上为增函数，所以f(x)在R上为增函数. 又f(1-a)+f(-2a)<0，所以f(1-a)<-f(-2a)=f(2a).所以1-a<2a，即a>1 3.所以实数a的取值范围为13∞⎛⎫+⎪⎝⎭，.【融会贯通】融会贯通能力提升已知函数f(x)的定义域D={x|x≠0}，且满足对于任意的x1，x2∈D，有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2).(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性，并给出证明；(3)如果f(4)=1，f(3x+1)+f(2x-6)≤3，且f(x)在(0，+∞)上是增函数，求x的取值范围.【思维引导】【规范解答】(1)令x1=x2=1，得f(1×1)=f(1)+f(1)，解得f(1)=0.……………………………………………………………2分(2)f(x)为偶函数.证明如下：…………………………………………………………………4分令x1=x2=-1，得f[(-1)×(-1)]=f(-1)+f(-1)，解得f(-1)=0.令x1=-1，x2=x，有f(-x)=f(-1)+f(x)，所以f(-x)=f(x)，所以f(x)为偶函数.…………………………7分(3)f(4×4)=f(4)+f(4)=2，f (16×4)=f (16)+f (4)=3.…………………………………………………………………………9分将f (3x+1)+f (2x-6)≤3，变形为f [(3x+1)(2x-6)]≤f (64).(*) 因为f (x )为偶函数，所以f (-x )=f (x )=f (|x|). 所以不等式(*)等价于f [|(3x+1)(2x-6)|]≤f (64).………………11分又因为f (x )在(0，+∞)上是增函数，所以|(3x+1)(2x-6)|≤64，且(3x+1)(2x-6)≠0，解得-73≤x<-13或-13<x<3或3<x ≤5.所以x 的取值范围是711---335333x x x x ⎧⎫≤<<<<≤⎨⎬⎩⎭或或.………………………………14分【精要点评】抽象函数的奇偶性就是要判断-x 对应的函数值与x 对应的函数值之间的关系，从而得到函数图象关于原点或y 轴对称.在利用单调性解决抽象不等式时，不仅要注意单调性的应用，还要注意定义域的限制，以保证转化的等价性.趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习第13~14页.【检测与评估】第7课函数的奇偶性一、填空题1.(2015·湖南卷改编)设函数f (x )=ln(1+x )-ln(1-x )，则f (x )的奇偶性是 .2.(2015·全国卷)若函数f(x)=x ln(x为偶函数，则实数a= .3.(2015·淮安中学)已知函数f(x)=a+x)+bx3+x2，其中a，b为常数，f(1)=3，则f(-1)= .4.已知a为常数，函数f(x)=x2-4x+3.若f(x+a)为偶函数，则a= .5.(2014·福建三明)设f(x)是定义在R上以3为周期的奇函数，且f(1)>1，f(2 015)=2-31aa+，则实数a的取值范围是.6.已知g(x)是定义在R上的奇函数，且当x<0时，g(x)=-ln(1-x)，函数f(x)=30()0. x xg x x⎧≤⎨>⎩，，，若f(2-x2)>f(x)，则实数x的取值范围是.7.(2015·启东联考)若函数f(x)同时满足：(1)对于定义域上的任意x，恒有f(x)+f(-x)=0；(2)对于定义域上的任意x1，x2，当x1≠x2时，恒有1212()-()-f x f xx x<0，则称函数f(x)为“理想函数”.给出下列四个函数中：①f(x)=1x；②f(x)=x2；③f(x)=2-121xx+；④f(x)=22-0x xx x⎧≥⎨<⎩，，，，能被称为“理想函数”的有.(填序号)8.(2014·南京、盐城一模)若函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞)上单调递增.如果实数t满足f(ln t)+f1lnt⎛⎫⎪⎝⎭≤2f(1)，那么t的取值范围是.二、解答题9.已知函数f (x )=x 2+a x (x ≠0，常数a ∈R ).(1)讨论函数f (x )的奇偶性，并说明理由；(2)若函数f (x )在[2，+∞)上为增函数，求实数a 的取值范围.10.已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ∈(-∞，0)时，f (x )=-x lg(2-x )，求函数f (x )的解析式.11.设函数f (x )的定义域为D ，若存在非零实数l 使得对于任意的x ∈M(M ⊆D)，有x +l ∈D ，且f (x +l )≥f (x )，则称f (x )为M 上的l 高调函数.(1)如果定义域为[-1，+∞)的函数f (x )=x 2为[-1，+∞)上的m 高调函数，求实数m 的取值范围； (2)如果定义域为R 的函数f (x )是奇函数，当x ≥0时，f (x )=|x -a 2|-a 2，且f (x )为R 上的4高调函数，求实数a 的取值范围.三、选做题(不要求解题过程，直接给出最终结果)12.已知定义域为R 的函数f (x )=1-222x x b +++是奇函数.(1)求实数b 的值；(2)判断函数f (x )的单调性；(3)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2-2t )+f (2t 2-k )<0恒成立，求实数k 的取值范围.【检测与评估答案】第7课函数的奇偶性1.奇函数【解析】显然，f (x )的定义域为(-1，1)，关于原点对称.又因为f (-x )=ln(1-x )-ln(1+x )=-f (x )，所以f (x )为奇函数.2.1 【解析】由题知y=ln(是奇函数，所以ln(+ln(-=ln(a+x 2-x 2)=ln a=0，解得a=1.3.-1 【解析】已知函数f (x )=a+x )+bx 3+x 2，所以f (x )+f (-x )=2x 2，由f (1)=3，得f (-1)=-1.4. 2 【解析】f (x+a )=(x+a )2-4(x+a )+3=x 2+(2a-4)x+a 2-4a+3.因为f (x+a )为偶函数，所以a=2.5.2-13⎛⎫ ⎪⎝⎭，【解析】因为f (2 015)=f (2)=f (-1)=-f (1)<-1，所以2-31a a +<-1，解得-1<a<23.6. (-2，1) 【解析】设x>0，则-x<0.因为当x<0时，g (x )=-ln(1-x )，所以g (-x )=-ln(1+x ).又因为g (x )是奇函数，所以g (x )=ln(1+x )(x>0)，所以f (x )=30ln(1)0x x x x ⎧≤⎨+>⎩，，，，其图象如图所示.由图象知，函数f (x )在R 上是增函数.因为f (2-x 2)>f (x )，所以2-x 2>x ，即-2<x<1.(第6题)7.④ 【解析】依题意，性质(1)反映函数f (x )在定义域上为奇函数，性质(2)反映函数f (x )在定义域上为单调减函数.①f (x )=1x 为定义域上的奇函数，但不是定义域上的单调减函数，其单调减区间为(-∞，0)，(0，+∞)，故排除①；②f (x )=x 2为定义域上的偶函数，排除②；③f (x )=2-121x x +，定义域为R ，由于y=2x+1在R 上为增函数，故函数f (x )为R 上的增函数，排除③；④根据f (x )=22-00x x x x ⎧≥⎨<⎩，，，的图象，显然此函数为奇函数，且在定义域上为减函数，故④为理想函数.8.1ee⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【解析】f(ln t)+f1lnt⎛⎫⎪⎝⎭=f(ln t)+f(-ln t)=2f(ln t)，于是f(lnt)+f1lnt⎛⎫⎪⎝⎭≤2f(1)⇔f(ln t)≤f(1)⇔|ln t|≤1⇔-1≤ln t≤1⇔1e≤t≤e.9.(1) 当a=0时，f(x)=x2，对任意x∈(-∞，0)∪(0，+∞)，有f(-x)=(-x)2=x2=f(x)，所以f(x)为偶函数.当a≠0时，f(x)=x2+ax(x≠0，常数a∈R)，若x=±1，则f(-1)+f(1)=2≠0，所以f(-1)≠-f(1)，f(-1)≠f(1).所以函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数. 综上所述，当a=0时，f(x)为偶函数；当a≠0时，f(x)为非奇非偶函数.(2) 设2≤x1<x2，f(x1)-f(x2)=21x+1ax-22x-2ax=1212-x xx x[x1x2(x1+x2)-a]，要使函数f(x)在x∈[2，+∞)上为增函数，必须f(x1)-f(x2)<0恒成立.因为x1-x2<0，x1x2>4，即a<x1x2(x1+x2)恒成立.又因为x1+x2>4，所以x1x2(x1+x2)>16，所以实数a的取值范围是(-∞，16].10.因为f(x)是R上的奇函数，可得f(0)=-f(0)，所以f(0)=0.当x>0时，-x<0，由已知得f(-x)=x lg(2+x)，所以-f(x)=x lg(2+x)，即f(x)=-x lg(2+x)(x>0).所以f(x)=-lg(2-)0 -lg(2)0. x x xx x x<⎧⎨+≥⎩，，，即f(x)=-x lg(2+|x|)(x∈R).11. (1) f(x)=x2(x≥-1)的图象如图(1)所示，图(1)图(2) (第11题)要使f (-1+m )≥f (-1)，只要m ≥2，此时恒有f (x+m )≥f (x )，所以实数m 的取值范围为[2，+∞).(2) 由f (x )为奇函数及x ≥0时的解析式知f (x )的图象如图(2)所示. 因为f (3a 2)=a 2=f (-a 2)，由f (-a 2+4)≥f (-a 2)=a 2=f (3a 2)，得-a 2+4≥3a 2，从而a 2≤1. 又当a 2≤1时，恒有f (x+4)≥f (x ). 所以实数a 的取值范围为[-1，1].12.(1) 因为f (x )是奇函数，所以f (0)=0，即-122b +=0，解得b=1.(2) 由(1)知f (x )=11-222x x ++=-12+121x+，设x 1<x 2，则f (x 1)-f (x 2)=1121x +-2121x +=21122-2(21)(21)x x x x++.因为函数y=2x在R 上是增函数，且x 1<x 2，所以22x -12x >0，又(12x +1)(22x +1)>0，所以f (x 1)-f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2). 所以f (x )在定义域R 上为减函数.(3) 因为f (x )是奇函数，从而不等式f (t 2-2t )+f (2t 2-k )<0等价于f (t 2-2t )<-f (2t 2-k )=f (k-2t 2).由(2)知f (x )为减函数，所以t 2-2t>k-2t 2，即对一切t ∈R 有3t 2-2t-k>0，从而判别式Δ=4+12k<0，解得k<-13，所以实数k 的取值范围是1-.-3∞⎛⎫ ⎪⎝⎭.。

2019届高考数学一轮复习第二章函数与基本初等函数第7课时对数函数课件文.pptx

5
推论：
①logab·logba＝1．
②logab·logbc＝logac．
③loganbn＝logab. ④logambn＝mn logab．
对数函数
(1)对数函数的概念．
函数 y＝logax(a>0 且 a≠1)叫做对数函数．
6
(2)对数函数的图像．
(3)对数函数的性质． ①定义域为(0，＋∞)，值域为 R． ②恒过定点(1，0)．
2
课前自助餐
3
对数 (1)对数的定义．如果 a(a>0，a≠1)的 b 次幂等于 N，即 ab＝N，那么数 b 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 logaN＝b． (2)对数恒等式． ①alogaN＝N(a>0 且 a≠1，N>0)． ②logaab＝b(a>0 且 a≠1，b∈R)．
4
(3)对数运算法则．(a>0 且 a≠1，M>0，N>0) ①loga(M·N)＝logaM＋logaN． ②logaMN ＝logaM－logaN． ③logaMn＝nlogaM． (4)换底公式． logbN＝llooggaaNb (a>0 且 a≠1，b>0 且 b≠1，N>0)．
2．对于 a>0 且 a≠1，下列结论正确的是( )
①若 M＝N，则 logaM＝logaN；
②若 logaM＝logaN，则 M＝N；
③若 logaM2＝logaN2，则 M＝N；
④若 M＝N，则 logaM2＝logaN2.
A．①③
B．②④
C．②
D．①②④
11
ห้องสมุดไป่ตู้
答案 C 解析若 M＝N＝0，则 logaM，logaN，logaM2，logaN2 无意义，若 logaM2＝logaN2，则 M2＝N2，即|M|＝|N|，①③④不正确， ②正确．

2024年高考数学总复习第二章函数的概念与基本初等函数真题分类8对数与对数函数

显然 A，B，C，D 四个选项都不符合．故选 D.
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真题分类8 对数与对数函数
高考·数学
01 掌握对数函数图象的特征，底数大小决定了图象的高低，指数函数 y＝ax(a>0 且 a≠1)
图象中“底大图高”，而对数函数 y＝logax 图象中“底大图低”．具体见下图(图 1 中 a>b>1>c>d>0，图 2 中 b>a>1>d>c>0).
C5.对数函数的图象及性质
高考·数学
命题者说：(1)理解对数函数的图象的特点及性质，能应用其性质比较大小，解不等式，并能处理简单的对数型复合函数问题．
第1题第2题第11题
第3题
第4题
第5题
第6题
第7题
第8题
第9题
第10题
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真题分类8 对数与对数函数
高考·数学
Ⅰ.对数函数图象过定点问题 Ⅱ.对数函数图象的辨析
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真题分类8 对数与对数函数
高考·数学
6．(2023·北京，11，5
分)已知函数
f(x)＝4x＋log2x，则
1 f(2
)＝____1____．
答案：1
函数
f(x)＝4x＋log2x，所以
1 f(2
1 )＝42
＋log212
＝2－1＝1.
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真题分类8 对数与对数函数
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真题分类8 对数与对数函数
高考·数学
5．(2017·北京，8，5 分)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限 M 约为 3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数 N 约为 1080.则下列各数中与MN 最接近的是(参考数据： lg3≈0.48)( )

2020高考江苏数学(理)大一轮复习(理科提高版)复习练习题：练习册第二章函数与基本初等函数

第二章函数与基本初等函数Ⅰ第4课函数的概念及其表示法A. 课时精练一、填空题1. 已知函数y ＝f(x)，以下说法中正确的有________个．①y 是x 的函数；②对于不同的x ，对应的y 的值也不同；③f(a)表示当x ＝a 时，函数f(x)的值，是一个常量；④f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来．2. 若函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x>1，－x －2，x ≤1，则f(f(2))＝________．3. 已知函数f(x)＝x 3＋3x 2＋1，若a ≠0，且f(x)－f(a)＝(x －b)(x －a)2，x ∈R ，则a ＝________，b ＝________．4. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2，x<1，x 2＋ax ，x ≥1，若f(f(0))＝4a ，则实数a ＝________．5. 下列各组函数中，表示同一个函数的是________．(填序号)①y ＝x －1，y ＝x 2－1x ＋1； ②y ＝x 0，y ＝1；③f(x)＝x 2，g(x)＝(x ＋1)2；④f(x)＝（x ）2x ，g(x)＝x （x ）2.6. 若某等腰三角形的周长为20，底边长y 是腰长x 的函数，则y 关于x 的函数解析式为____________．7. 已知实数m ≠0，函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －m ，x ≤2，－x －2m ，x>2，若f(2－m)＝f(2＋m)，则m 的值为________． 8. 已知f(x)＝2x ＋a ，g(x)＝14(x 2＋3)，若g(f(x))＝x 2＋x ＋1，则实数a ＝ ________．二、解答题9. 已知函数f(x)＝x ＋2x －6. (1) 点(3，14)在函数f(x)的图象上吗？(2) 当x ＝4时，求函数f(x)的值；(3) 当f(x)＝2时，求x 的值．10. 已知函数f(x)＝x 2－1，g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x>0，2－x ，x<0. (1) 求f(g(2))和g(f(2))的值；(2) 求函数f(g(x))和g(f(x))的表达式．11. 已知f(x)是定义在[－6，6]上的奇函数，它在[0，3]上是一次函数，在[3，6]上是二次函数，且当x ∈[3，6]时，f(x)≤f(5)＝3，f(6)＝2，求函数f(x)的解析式．B. 滚动小练1. 已知集合A ＝{x|log 2x ≤2}，B ＝(－∞，a)，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是________．2. 已知p ：－1＜m ＜5，q ：方程x 2－2mx ＋m 2－1＝0的两个根均大于－2且小于 4，那么p 是q 的________________条件．3. 已知命题p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的实负根，命题q ：方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实数根．若“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，求实数m 的取值范围．第5课函数的定义域与值域A. 课时精练一、填空题1. 函数f(x)＝x ＋1＋（1－x ）02－x的定义域为________．2. (2018·苏北四市期末)函数y ＝log 12x 的定义域为________．3. 若定义域为R 的函数y ＝f (x )的值域为[a ，b ]，则函数y ＝f (x ＋a )的值域为________．4. (2017·常州期末)函数y ＝1－x ＋lg (x ＋2)的定义域为________．5. 函数y ＝1x 2－4x ＋3(x ≠1且x ≠3)的值域为________．6. 已知函数f(x)的定义域为⎣⎡⎦⎤－12，12，那么函数f ⎝⎛⎭⎫x 2－x －12的定义域为________．7. 若函数f(x)＝2x 2＋2ax －a ＋1的定义域为R ，则a 的取值范围为________．8. 若函数y ＝2x －1的定义域是(－∞，1)∪[2，5)，则其值域是 ________．二、解答题9. 求下列函数的定义域．(1) y ＝4－x 2x －1＋(x ＋2)0； (2) y ＝1x ＋3＋－x ＋x ＋4.10. 求下列函数的值域．(1) f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ＋1，x<1，1x ，x>1； (2) y ＝x －x.11. 已知函数f(x)＝x 2－4ax ＋2a ＋6(a ∈R )．(1) 若函数f (x )的值域为[0，＋∞)，求a 的值；(2) 若函数f (x )的值均为非负数，求函数g (a )＝2－a |a ＋3|的值域．B. 滚动小练1. 命题“∀x ∈R ，x 2－x ＋3>0”的否定是______________________．2. “a ＝1”是“直线x ＋y ＝0和直线x －ay ＝0互相垂直”的________条件．3. 已知p ：方程a 2x 2＋ax －2＝0在[－1，1]上有解；q ：只有一个实数x 满足不等式x 2＋2ax ＋2a ≤0.若“p 或q ”是假命题，求实数a 的取值范围．第6课函数的单调性A. 课时精练一、填空题1. 若函数f(x)＝(2k －1)x ＋1在R 上单调递减，则实数k 的取值范围是________________．2. 函数y ＝1－x 1＋x 的单调减区间是________．3. 若函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x>0，0，x ＝0，－1，x<0，g(x)＝x 2f(x －1)，则函数g(x)的单调减区间是________．4. 已知函数f(x)为R 上的单调减函数，那么满足f (|x |)<f (1)的实数x 的取值范围是________．5. (2018·太原期末)已知函数f(x)＝x ＋1x －1，x ∈[2，5]，那么f(x)的最大值为________．6. 给出下列函数：①y ＝x 12；②y ＝log 12(x ＋1)；③y ＝|x －1|；④y ＝2x ＋1.其中在区间(0，1)上单调递减的函数是________．(填序号)7. 若函数y ＝x x ＋a在(－2，＋∞)上为增函数，则a 的取值范围是________．8. 若函数f(x)＝x 2＋a|x －2|在(0，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是________．二、解答题9. 已知函数f(x)＝ax ＋1x ＋2(a 为常数)． (1) 若a ＝0，试判断f(x)的单调性；(2) 若f(x)在[0，＋∞)上单调递增，求实数a 的取值范围．10. 已知函数f(x)＝ax ＋1x 2(x ≠0，a ∈R )． (1) 讨论函数f (x )的奇偶性，并说明理由；(2) 若函数f (x )在x ∈[3，＋∞)上为增函数，求a 的取值范围．11. 已知函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的单调减函数，且满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f ⎝⎛⎭⎫13＝1.(1) 求f(1)的值；(2) 若存在实数m ，使得f(m)＝2，求实数m 的值；(3) 若f(x)＋f(2－x)<2，求x 的取值范围．B. 滚动小练1. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x<1，x 2＋ax ，x ≥1，若f(f(0))＝4a ，则实数a ＝________．2. 已知函数f(x)＝2|x －1|－x ＋1，那么函数f(x)的单调增区间是________．3. 已知函数g(x)＝ax ＋1，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1，0≤x ≤2，－x 2，－2≤x<0.若对任意的x 1∈[－2，2]，存在x 2∈ [－2，2]，使得g(x 1)＝f(x 2)成立，则a 的取值范围是________．第7课函数的奇偶性A. 课时精练一、填空题1. 若函数f(x)＝k－2x1＋k·2x在定义域上为奇函数，则实数k＝________．2. 已知函数f(x)为偶函数，且当x<0时，f(x)＝x2－1x，那么f(1)＝________．3. 已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝3x－7x＋2b(b为常数)，那么f(－2)＝________．4. 已知定义域为[a－4，2a－2]的奇函数f(x)＝2 016x3－sin x＋b＋2，那么f(a)＋f(b)＝________．5. 已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数．若f(1)＝－1，则满足－1≤f (x－2)≤1的x的取值范围是________．6. (2018·唐山期末)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，若f(－2)＝0，则满足xf(x－1)>0的x的取值范围是________．7. (2018·石家庄一模)已知f(x)是定义在[－2b，1＋b]上的偶函数，且在[－2b，0]上为增函数，那么f(x－1)≤f(2x)的解集为________．8. (2018·南师附中)已知定义在R上的奇函数f(x)满足：当x≥0时，f(x)＝x－sin x.若不等式f(－4t)>f(2mt2＋m)对任意的实数t恒成立，则实数m的取值范围是________．二、解答题9. 已知函数f(x)＝1＋x 21－x 2. (1) 求函数f(x)的定义域；(2) 判断函数f(x)的奇偶性；(3) 求证：f ⎝⎛⎭⎫1x ＋f(x)＝0.10. 已知函数f(x)＝ax 2＋1bx ＋c(其中a ，b ，c ∈Z )是奇函数且f (1)＝2，f (2)<3，求实数a ，b ，c 的值和函数f (x )的解析式．11. (2017·金陵中学)已知f(x)是定义在[－1，1]上的奇函数，且f(1)＝1，若a ，b ∈[－1，1]，且a ＋b ≠0时，有f （a ）＋f （b ）a ＋b>0恒成立． (1) 试用定义证明函数f(x)在[－1，1]上是单调增函数；(2) 解不等式：f ⎝⎛⎭⎫x ＋12<f(1－x)．B. 滚动小练1. 已知函数f(x)＝x x －a(x ≠a)，若a ＝－2，求证：f(x)在(－∞，－2)上单调递增．2. 已知函数f(x)是定义在R 上的单调函数，满足f (－3)＝2，且对任意的a ∈R ，有f (－a )＋f (a )＝0恒成立．(1) 试判断f (x )在R 上的单调性，并说明理由；(2) 解关于x 的不等式f ⎝⎛⎭⎫2－3x x <2.第8课函数的图象和周期性A. 课时精练一、填空题1. 已知函数f(x)＝ax3－2x的图象过点(－1，4)，那么实数a的值为________．2. (2018·泉州模拟)已知函数f(x)是偶函数，且f(x)＝f(x＋4)，f(1)＝1，那么f(－9)＝________．3.若f(x)是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，又f(－3)＝0，则x·f(x)<0的解集是________．4.使log2(－x)<x＋1成立的x的取值范围为________．5. 已知函数f(x)的图象关于原点对称，且周期为4，当x∈(0，2)时，f(x)＝(x－8)2－4，则f(210)＝________．(注：210∈(6，6.5))6. (2017·南师附中)已知函数f(x)的定义域为R，当x＜0时，f(x)＝x3－1；当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)；当x＞12时，f ⎝⎛⎭⎫x＋12＝f ⎝⎛⎭⎫x－12.则f(2 017)＝________．7. (2018·全国卷Ⅱ)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，且满足f(1－x)＝f(1＋x)，若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝________．8. 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f (x)＝f (12－x)，当x∈[0，6]时，f (x)＝log6(x＋1)，若f(a)＝1(a∈[0，2 020])，则a的最大值是________．二、解答题9. 已知f(x)是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－2x .(1) 当x <0时，求函数f (x )的解析式；(2) 作出函数f (x )的图象，并指出其单调区间．10. 已知函数f(x)＝1＋|x|－x 2(－2<x ≤2)． (1) 用分段函数的形式表示该函数解析式；(2) 画出该函数的图象；(3) 写出该函数的值域．11. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x<0，2x ，x ≥0，且f(－2)＝3，f(－1)＝f(1)． (1) 求函数f(x)的解析式，并求f(f(－2))的值；(2) 请利用“描点法”画出函数f(x)的大致图象．B. 滚动小练1. 若函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2co sπx ，－1<x<0，e 2x －1，x ≥0满足f ⎝⎛⎭⎫12＋f(a)＝2，则a 的所有可能取值为________．2. (2018·蚌埠一检)已知函数f(x)＝e |x|·lg (1＋4x 2＋ax)的图象关于原点对称，那么实数a 的值为________．3. 已知二次函数f(x)＝ax 2＋(a －1)x ＋a.(1) 函数f(x)在(－∞，－1)上单调递增，求实数a 的取值范围；(2) 若关于x 的不等式f （x ）x≥2在x ∈[1，2]上恒成立，求实数a 的取值范围．第9课二次函数A. 课时精练一、填空题1. 若二次函数f(x)＝－x 2＋2ax ＋4a ＋1有一个零点小于－1，一个零点大于3，则实数a 的取值范围是________．2. 函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3，－2≤x<0，x 2－2x －3，0≤x ≤3的值域是________．3. 若函数f(x)＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4]上是单调减函数，则实数a 的取值范围是________．4. 若二次函数f(x)＝(m －1)x 2＋(m 2－1)x ＋1是偶函数，则f(x)的单调增区间是________．5. 若f(x)＝x 2－ax ＋1有负值，则实数a 的取值范围是________．6. 已知函数f(x)＝－x 2＋4x ＋a(x ∈[0，1])，若函数f(x)有最小值－2，则函数f(x)的最大值为________．7. 已知二次函数f(x)同时满足条件：①图象的对称轴是x ＝1；②f(x)的最大值为15；③f(x)的两个根的立方和等于17.那么f(x)的解析式是________________．8. (2018·天津卷)已知a ∈R ，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋a －2，x ≤0，－x 2＋2x －2a ，x >0.若对任意的x ∈[－3，＋∞)，f (x )≤|x |恒成立，则a 的取值范围是________．二、解答题9. 已知f(x)＝2x2＋bx＋c，不等式f(x)<0的解集是(0，5)．(1) 求f(x)的解析式；(2) 对于任意的x∈[－1，1]，不等式f(x)＋t≤2恒成立，求t的取值范围．10. 已知函数f(x)＝ax2－|x|＋2a－1，其中a≥0，a∈R.(1) 若a＝1，作出函数f(x)的图象；(2) 若f(x)在区间[1，2]上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式．11. (1) 已知函数f(x)＝4x2－kx－8在[5，20]上具有单调性，求实数k的取值范围．(2) 若关于x的方程mx2＋2(m＋3)x＋2m＋14＝0有两个不同的实数根，且一个大于4，另一个小于4，求m的取值范围．B. 滚动小练1.若函数f(x)＝2x－(k2－3)·2－x，则“k＝2”是“函数f(x)为奇函数”的________________条件．2. 若函数f(x)是偶函数，且当x≥0时，f(x)＝lg(x＋1)，则满足f(2x＋1)<1的实数x的取值范围是________．3.已知函数f(x)＝ax2＋1x，其中a为实数．(1) 根据a的不同取值，判断函数f(x)的奇偶性，并说明理由；(2) 若a∈(1，3)，判断函数f(x)在[1，2]上的单调性，并说明理由．第10课指数与指数函数A. 课时精练一、填空题1. 计算：⎝⎛⎭⎫9412－(－9.6)0－⎝⎛⎭⎫278－23＋⎝⎛⎭⎫32－2＝________．2. 若函数f(x)＝a x －1＋3(a>0且a ≠1)的图象必过定点P ，则P 点的坐标为________．3. 函数y ＝4－2x 的定义域为________．4. 已知a ＝20.2，b ＝0.40.2，c ＝0.40.6，那么a ，b ，c 的大小关系为________．5. 若f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2，x>1，⎝⎛⎭⎫4－a 2x ＋2，x ≤1是R 上的单调增函数，则实数a 的取值范围为________．6. 已知函数y ＝f(x)是R 上的奇函数，满足f (3＋x )＝f (3－x )，当x ∈(0，3)时，f (x )＝2x ，则当x ∈(－6，－3)时，f (x )＝________．7. 已知函数221(2),1,()2,1,x f x x f x x -->⎧⎪=⎨≤⎪⎩则f(3)＝________；当x<0时，不等式f(x)<2的解集为________．8. (2018·石家庄二模)若函数f(x)，g(x)分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且满足f (x )＋2g (x )＝e x ，则g (－1)，f (－2)，f (－3)的大小关系为____________．二、解答题9. 已知函数f(x)＝3x ＋λ·3－x (λ∈R )．(1) 当λ＝1时，试判断函数f (x )＝3x ＋λ·3－x 的奇偶性，并证明你的结论；(2) 若不等式f (x )≤6在x ∈[0，2]上恒成立，求实数λ的取值范围．10. 已知函数f(x)＝－3x ＋a 3x ＋1＋b. (1) 当a ＝b ＝1时，求满足f(x)＝3x 的x 的值；(2) 若函数f(x)是定义在R 上的奇函数，存在t ∈R ，不等式f (t 2－2t )<f (2t 2－k )有解，求k 的取值范围．11. 已知函数f(x)＝2x －12|x|. (1) 若f(x)＝2，求x 的值；(2) 若2t f(2t)＋mf(t)≥0对于t ∈[1，2]恒成立，求实数m 的取值范围．B. 滚动小练1. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x ≤1，x ，x>1，那么f(2)＝________．2. 已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，在区间[－1，1)上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋a ，－1≤x ≤0，x 2－log 2x ，0<x <1.若f ⎝⎛⎭⎫－52－f ⎝⎛⎭⎫92＝0，则f (4a )＝________．3. 已知f(x)为定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )为二次函数，且满足f (2)＝1，f (x )在(0，＋∞)上的两个零点为1和3.(1) 求函数f (x )的解析式；(2) 作出函数f (x )的图象，并根据它的图象讨论关于x 的方程f (x )－c ＝0(c ∈R )的根的个数．(第3题)第11课对数的运算A. 课时精练一、填空题1. 计算：lg 2＋lg 5＋2log 510－log 520＝________．2. 已知lg 3＝a ，lg 5＝b ，那么log 515＝________．3. 计算：2log 32－log 3329＋log 38－5log 53＝________．4. 计算：(log 29＋log 227)(log 32＋log 34)＝________．5. 已知函数f(x)＝a log 3x ＋b log 4x ＋1，若f(2 015)＝3，则f ⎝⎛⎭⎫12 015＝________．6. 已知x>0，y>0，若2x ·8y ＝16，则2－1＋log 2x ＋log 927y ＝________．7. 若[x]表示不超过x 的最大整数，如[π]＝3，[－3.2]＝－4，则[lg 1]＋[lg 2]＋[lg 3]＋…＋[lg 100]＝________．8. (2018·江苏考前热身B 卷)已知函数f(x)＝log a x ，若对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，f(x 21)－f(x 22)＝1，则f(x 2 0181)－f(x 2 0182)的值为________．二、解答题9. 求下列各式的值．(1) log 48＋lg 50＋lg 2＋5log 53＋(－9.8)0；(2) log 327－log 33＋lg 25＋lg 4＋ln (e 2)．10. 已知2lgx －y 2＝lg x ＋lg y ，求 x y的值．11. 已知2x ＝3y ＝5z ，且x ，y ，z 都是正数，比较2x ，3y ，5z 的大小．B. 滚动小练1. 已知函数f(x)是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，f (x )＝4x ，则f ⎝⎛⎭⎫－52＋f (1)＝________．2. 若函数f(x)＝kx 2＋(k －1)x ＋2是偶函数，则f(x)的单调减区间是________．3. 已知二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c 满足：①对于任意的实数x ，都有f(x)≥x ，且当x ∈(1，3)时，f(x)≤18(x ＋2)2恒成立；②f(－2)＝0. (1) 求证：f(2)＝2；(2) 求f(x)的解析式．第12课对数函数A. 课时精练一、填空题1. (2018·南京、盐城、连云港二模)函数f(x)＝lg(2－x)的定义域为________．2. (2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝log2(x2＋a)，若f(3)＝1，则a＝________．3. 已知函数y＝log a(x＋b)的图象如图所示，那么a＝________，b＝________．(第3题)4. (2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调增区间是________．5.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝1－log2x，则不等式f(x)<0的解集是________．6. (2018·天津卷)已知a＝log372，b＝⎝⎛⎭⎫1413，c＝log1315，那么a，b，c的大小关系为________．7. 已知函数f(x)＝1－x＋log21－x1＋x，那么f⎝⎛⎭⎫12＋f⎝⎛⎭⎫－12的值为________．8. (2018·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝ln(1＋x2－x)＋1，f(a)＝4，那么f(－a)＝________．二、解答题9. 已知函数f(x)＝log a (x 2－x ＋1)(a>0且a ≠1)．(1) 当a 变化时，函数f(x)的图象恒过定点，试求该定点的坐标；(2) 若f(2)＝12，求实数a 的值； (3) 若函数f(x)在区间[0，2]上的最大值为2，求实数a 的值．10. 已知函数f(x)＝log 2g(x)＋(k －1)x.(1) 若g(log 2x)＝x ＋1，且f(x)为偶函数，求实数k 的值；(2) 当k ＝1，g(x)＝ax 2＋(a ＋1)x ＋a 时，若函数f(x)的值域为R ，求实数a 的取值范围．11. 已知a ∈R ，函数f (x )＝log 2⎝⎛⎭⎫1x ＋a .(1) 当a ＝1时，解不等式f (x )>1；(2) 若关于x 的方程f (x )＋log 2x 2＝0的解集中恰有一个元素，求a 的值；(3) 设a >0，若对任意的t ∈⎣⎡⎦⎤12，1，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围．B. 滚动小练1. 已知函数y ＝1＋x 1－x＋lg (3－4x ＋x 2)的定义域为M. (1) 求M ；(2) 当x ∈M 时，求f(x)＝a·2x ＋2＋3·4x (a>－3)的最小值．2. 已知函数f(x)＝22x －7－a 4x －1(a>0且a ≠1)．(1) 当a ＝22时，求不等式f(x)<0的解集；(2) 当x∈[0，1]时，f(x)<0恒成立，求实数a的取值范围．第13课幂函数、函数与方程A. 课时精练一、填空题1. 如图所示是幂函数y ＝x m 与y ＝x n 在第一象限内的图象，则m ，n 的取值范围分别是________和________．(第1题)2. 方程log 12x ＝－x ＋1的根的个数是________．3. 若幂函数的图象经过点⎝⎛⎭⎫2，14，则它的单调增区间是________．4. 函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3，x ≤0，－2＋ln x ，x>0的零点个数为________．5. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x>0，2x ，x ≤0，且关于x 的方程f(x)＋x －a ＝0有且只有一个实数根，那么实数a 的取值范围是________．6. 已知函数g(x)＝log a (x －3)＋2(a>0，a ≠1)的图象经过定点M ，若幂函数f(x)＝x a 的图象经过点M ，则a 的值为________．7. (2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≤0，ln x ，x>0，g(x)＝f(x)＋x ＋a.若g(x)存在2个零点，则a 的取值范围是________．8. (2018·海安、南外、金陵中学三校联考)已知关于x 的方程x 2－6x ＋(a －2)|x －3|－2a ＋9＝0有两个不同的实数根，那么实数a 的取值范围是________．二、解答题9. 已知f(x)是定义域为R 的奇函数，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝x 2－2x .(1) 写出函数f (x )的解析式；(2) 若方程f (x )＝a 恰有3个不同的解，求实数a 的取值范围．10. 若函数f(x)＝4x ＋a·2x ＋a ＋1在(－∞，＋∞)上存在零点，求实数a 的取值范围．11. 已知函数f(x)＝3ax 2－2(a ＋c)x ＋c(a>0，a ，c ∈R )．(1) 设a >c >0，若f (x )>c 2－2c ＋a 对x ∈[1，＋∞)恒成立，求c 的取值范围； (2) 试问：函数f (x )在区间(0，1)内是否有零点，有几个零点？并说明理由．B. 滚动小练1. 由命题“存在x ∈R ，使得e |x －1|－m ≤0”是假命题，得m 的取值范围是(－∞，a )，则实数a 的值是________．2. 已知f(x)为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x ＋2x ＋b (b 为常数)，则f (－1)＝________．3. 已知函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，对于任意的正实数m ，n 恒有f(mn)＝f(m)＋f(n)，且当x>1时，f(x)>0，f(2)＝1.(1) 求f ⎝⎛⎭⎫12的值；(2) 求证：f(x)在(0，＋∞)上是单调增函数．第14课函数模型及其应用A. 课时精练一、填空题1. 将进货价格为8元/个的商品按10元/个销售，每天可卖出100个．若每个商品涨价1元，则日销售量减少10个．为了获得最大利润，此商品当日销售价格应定为每个________元．2. 根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：min )为f(x)＝⎩⎨⎧cx，x<a ，ca ，x ≥a(a ，c为常数)．已知该名工人组装第4件产品用时30 min ，组装第a 件产品用时15 min ，那么c 和a 的值分别是________和________．3. 为了促进资源节约型和环境友好型社会建设，引导居民合理用电、节约用电，北京居民生活用电试行阶梯电价．其电价标准如下表：用户类别分档电量 (kW ·h /户·月)电价标准 (元/kW ·h )试行阶梯电价的用户一档 1～240(含) 0.488 3 二档 241～400(含) 0.538 3 三档400以上0.788 3若北京市某户居民2019年1月的平均电费为0.498 3元/kW ·h ，则该用户1月份的用电量为________．4. 已知有一批材料可以建成200 m 长的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，那么围成场地的最大面积为________．(围墙厚度不计)(第4题)5. 某工厂生产的A 种产品进入商场销售，商场为吸引厂家第一年免收管理费，因此第一年A 种产品定价为每件70元，年销售量为11.8万件，从第二年开始，商场对A 种产品征收销售额的x%的管理费(即销售100元要征收x 元)，于是该产品定价每件比第一年增加了70·x%1－x%元，预计年销售量减少x 万件，要使商场第二年在A 种产品经营中收取的管理费不少于14万元，则x 的最大值是________．6. 某食品的保鲜时间y(单位：h )与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y ＝e kx ＋b (k ，b 为常数)．若该食品在0℃的保鲜时间是192h，在22℃的保鲜时间是48h，则该食品在33℃的保鲜时间是________h.7. 某高校为了提升科研能力，计划逐年加大科研经费投入．若该高校2017年全年投入科研经费1 300万元，在此基础上，每年投入的科研经费比上一年增长12%，则该高校全年投入的科研经费开始超过2 000万元的年份是________年．(参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)8.某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆该种品牌车，则能获得的最大利润为________．二、解答题9. 食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P(单位：万元)、种黄瓜的年收入Q(单位：万元)与投入a(单位：万元)满足P＝80＋42a，Q＝14a＋120.设甲大棚的投入为x(单位：万元)，每年两个大棚的总收益为f(x)(单位：万元)．(1) 求f(50)的值；(2) 试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益f(x)最大？10. (2018·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调)将一铁块高温熔化后制成一张厚度忽略不计、面积为100 dm2的矩形薄铁皮，如图所示，并沿虚线l1，l2裁剪成A，B，C三个矩形(B，C全等)，用来制成一个柱体．现有以下两种方案：方案①：以l1为母线，将A作为圆柱的侧面展开图，并从B，C中各裁剪出一个圆形作为圆柱的两个底面；方案②：以l1为侧棱，将A作为正四棱柱的侧面展开图，并从B，C中各裁剪出一个正方形(各边分别与l1或l2垂直)作为正四棱柱的两个底面．(1) 设B，C都是正方形，且其内切圆恰为按方案①制成的圆柱的底面，求底面的半径；(2) 设l1的长为x dm，则当x为多少时，能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大？(第10题)11. (2018·姜堰、溧阳、前黄中学4月联考)经科学研究证实，二氧化碳等温空气体的排放(简称碳排放)对全球气候和生态环境产生了负面影响，环境部门对A市每年的碳排放总量规定不能超过550万吨，否则将采取紧急限排措施．已知A市2017年的碳排放总量为400万吨，通过技术改造和倡导低碳生活等措施，此后每年的碳排放量比上一年的碳排放总量减少10%.同时，因经济发展和人口增加等因素，每年又新增加碳排放量m万吨(m>0)．(1) 求A市2019年的碳排放总量(用含m的式子表示)；(2) 若A市永远不需要采取紧急限排措施，求m的取值范围．。

2022版高考数学大一轮复习第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ第7讲函数与方程2

第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ第七讲函数与方程1.［2021首都师大附中联考］已知函数f (x ）={log 5(1-x )(x <1),-(x -2)2+2(x ≥1),则方程f (｜x ｜)=a (a ∈R ）的实根个数不可能为 ( )A 。

1B .2 C.3 D 。

42.［角度创新]已知函数f (x ）={|x 2+2x |,x ≤0,1x,x >0,若方程f （x ）=a (x +3)有四个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（ )A 。

（—∞，4—2√3)B 。

(4—2√3，4+2√3)C .(0,4-2√3］D .(0,4—2√3）3.［2020武汉市部分学校质量监测]已知函数f （x ）=e x x-a 。

若f（x )没有零点,则实数a 的取值范围是 ( ）A 。

[0，e)B .（0，1)C 。

（0，e ） D.[0,1)4。

[2020江淮十校联考]对任意实数x ,恒有e x -ax —1≥0成立,关于x 的方程(x -a )ln x —x -1=0有两根，为x 1,x 2(x 1<x 2）,则下列结论正确的为（ )A 。

x 1+x 2=2B 。

x 1·x 2=1 C.x 1x 2=2 D 。

x 2=ex 15。

[2020江西红色七校联考］若函数f （x )=x —√x —a ln x 在区间（1，+∞)上存在零点，则实数a 的取值范围为 ( ）A.(0,12) B 。

(12，e ）C.（0,+∞）D.(12,+∞)6。

［2019陕西西安三模]若定义在R上的函数f（x）满足f （x+2)=f(x)，且当x∈［-1,1］时，f（x）=|x｜,则方程f(x）=log3｜x｜的根的个数是(）A.4 B。

5 C.6 D.77。

［新角度题］函数f(x）=x2-2x-1-｜x—1｜的所有零点之和等于.x2（x〈0) 8。

[2021湖北省四地七校联考]若函数f（x)=2x—120的零点为x0,且x0∈（a，a+1)，a∈Z，则a=。

2019高考数学一轮复习第2章函数与基本初等函数第7课时对数函数练习理

第7课时对数函数1．(log 29)·(log 34)的值为( ) A ．14 B ．12 C ．2 D ．4答案 D解析原式＝(log 232)·(log 322)＝4(log 23)·(log 32)＝4·lg3lg2·lg2lg3＝4.2．(2018·河北保定模拟)已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＝b ＜c B ．a ＝b ＞c C ．a ＜b ＜c D ．a ＞b ＞c 答案 B解析 a ＝log 23＋log 23＝log 233，b ＝log 29－log 23＝log 233，因此a ＝b ，而log 233＞log 22＝1，log 32＜log 33＝1，所以a ＝b ＞c ，故选B.3．若log a 23<1(a>0且a≠1)，则实数a 的取值范围是( )A ．(0，23)B ．(1，＋∞)C ．(0，23)∪(1，＋∞)D ．(23，1)答案 C解析当0<a<1时，log a 23<log a a ＝1，∴0<a<23；当a>1时，log a 23<log a a ＝1，∴a>1.∴实数a 的取值范围是(0，23)∪(1，＋∞)． 4．函数y ＝ln 1|2x －3|的图像为( )答案 A解析易知2x －3≠0，即x≠32，排除C ，D 项．当x>32时，函数为减函数，当x<32时，函数为增函数，所以选A.5.如图，函数f(x)的图像为折线ACB ，则不等式f(x)≥log 2(x ＋1)的解集是( ) A ．{x|－1<x≤0}B ．{x|－1≤x≤1}C ．{x|－1<x≤1}2好教育云平台——教育因你我而变2017年高考“最后三十天”专题透析D ．{x|－1<x≤2} 答案 C解析作出函数y ＝log 2(x ＋1)的大致图像，如图所示．其中函数f(x)与y ＝log 2(x ＋1)的图像的交点为D(1，1)，结合图像可知f(x)≥log 2(x ＋1)的解集为{x|－1<x ≤1}，故选C.6．设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 2（2－x ），x<1，2x －1，x ≥1，则f(－2)＋f(log 212)等于( )A ．3B ．6C ．9D ．12答案 C解析因为－2<1，所以f(－2)＝1＋log 2[2－(－2)]＝3. 因为log 212>1，所以f(log 212)＝2log 212－1＝2log 26＝6. 所以f(－2)＋f(log 212)＝9.故选C.7．若实数a ，b ，c 满足log a 2<log b 2<log c 2<0，则下列关系中正确的是( ) A ．a<b<c B ．b<a<c C ．c<b<a D ．a<c<b答案 C解析根据不等式的性质和对数的换底公式可得1log 2a <1log 2b <1log 2c<0，即log 2c<log 2b<log 2a<0，可得c<b<a<1.故选C. 8．(2014·天津，理)函数f(x)＝log 12(x 2－4)的单调递增区间为( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－2)答案 D解析函数y ＝f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，因为函数y ＝f(x)是由y ＝log 12t 与t ＝g(x)＝x 2－4复合而成，又y ＝log 12t 在(0，＋∞)上单调递减，g(x)在(－∞，－2)上单调递减，所以函数y ＝f(x)在(－∞，－2)上单调递增．选D.9．(2018·南京金陵中学模拟)设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x>0，log 12（－x ），x<0，若f(a)>f(－a)，则实数a 的取值范围是3( )A ．(－1，0)∪(0，1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1，0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0，1)答案 C解析由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a>0，log 2a>log 12a 或⎩⎪⎨⎪⎧a<0，log 12（－a ）>log 2（－a ），解得a>1或－1<a<0，故选C.10．已知定义在R 上的函数f(x)＝2|x －m|－1(m 为实数)为偶函数．记a ＝f(log 0.53)，b ＝f(log 25)，c ＝f(2m)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a<b<c B ．a<clog 23>0，而函数f(x)＝2|x －m|－1在(0，＋∞)上为增函数，所以f(log 25)>f(log 23)>f(0)，即b>a>c.故选C.11．若函数y ＝log a (x 2－ax ＋2)在区间(－∞，1]上为减函数，则a 的取值范围是( ) A ．(0，1) B ．[2，＋∞) C ．[2，3) D ．(1，3)答案 C解析当0<a<1时，由复合函数与对数函数的性质知，不合题意；当a>1时，要满足⎩⎪⎨⎪⎧12－a ＋2>0，a 2≥1，解得2≤a<3.12．已知函数f(x)＝2＋log 2x ，x ∈[1，2]，则函数y ＝f(x)＋f(x 2)的值域为( ) A ．[4，5] B ．[4，112]C ．[4，132]D ．[4，7]答案 B解析 y ＝f(x)＋f(x 2)＝2＋log 2x ＋2＋log 2x 2＝4＋3log 2x ，注意到为使得y ＝f(x)＋f(x 2)有意义，必有1≤x 2≤2，得1≤x≤2，从而4≤y≤112.13．已知函数f(x)＝xln(e 2x＋1)－x 2＋1，f(a)＝2，则f(－a)的值为( ) A ．1 B ．0 C ．－1 D ．－2答案 B解析 f(x)＋f(－x)＝xln(e 2x＋1)－x 2＋1＋[－xln(e －2x＋1)－(－x)2＋1]＝x[ln(e 2x＋1)－ln(e－2x＋1)]－2x 2＋24好教育云平台——教育因你我而变2017年高考“最后三十天”专题透析＝xln e 2x＋1e －2x ＋1－2x 2＋2＝xlne 2x －2x 2＋2 ＝2x 2－2x 2＋2＝2，所以f(a)＋f(－a)＝2，因为f(a)＝2，所以f(－a)＝2－f(a)＝0.故选B.14．(2017·课标全国Ⅰ)设x ，y ，z 为正数，且2x ＝3y ＝5z，则( ) A ．2x<3y<5z B ．5z<2x<3y C ．3y<5z<2x D ．3y<2x<5z答案 D解析 ∵2x ＝3y ＝5z ，∴ln2x ＝ln3y ＝ln5z， ∴xln2＝yln3＝zln5.∴x y ＝ln3ln2，∴2x 3y ＝2ln33ln2＝ln32ln23＝ln9ln8>1， ∴2x>3y ，同理可得2x<5z. ∴3y<2x<5z.故选D. 15．log 327－log 33＋(5－1)0－(94)12＋cos 4π3＝________．答案 0解析原式＝log 3(27÷3)＋1－32－12＝1＋1－32－12＝0.16．若log a (x ＋1)>log a (x －1)，则x∈________，a ∈________．答案 (1，＋∞) (1，＋∞)17．(1)若log a 3<log a π，则实数a 的取值范围是________． (2)若log 3a<log πa ，则实数a 的取值范围是________．答案 (1)a>1 (2)0<a<1 18．设函数f(x)＝|lgx|，(1)若0<a<b 且f(a)＝f(b)．证明：a·b＝1； (2)若0＜a ＜b 且f(a)＞f(b)．证明：ab ＜1. 答案略解析 (1)由|lga|＝|lgb|，得－lga ＝lgb.∴ab ＝1. (2)由题设f(a)＞f(b)，即|lga|＞|lgb|.上式等价于(lga)2＞(lgb)2，即(lga ＋lgb)(lga －lgb)＞0，lg(ab)lg a b ＞0，由已知b ＞a ＞0，得0＜a b ＜1.∴lg ab＜0，故lg(ab)＜0.∴ab＜1.51．已知a>b>1，若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a ，则ab ＋2＝________．答案 1解析 ∵log a b ＋log b a ＝log a b ＋1log a b ＝52，∴log a b ＝2或12.∵a>b>1，∴log a b<log a a ＝1，∴log a b ＝12，∴a ＝b 2.∵a b＝b a，∴(b 2)b＝bb 2，∴b 2b＝bb 2，∴2b ＝b 2，∴b ＝2，∴a ＝4，∴ab ＋2＝1. 2．已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．如果实数t 满足f(lnt)＋f(ln 1t )≤2f(1)，那么t 的取值范围是________．答案 [1e，e]解析由于函数f(x)是定义在R 上的偶函数，所以f(lnt)＝f(ln 1t )．由f(lnt)＋f(ln 1t )≤2f(1)，得f(lnt)≤f(1)．又函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，所以|lnt|≤1，－1≤lnt ≤1，故1e ≤t ≤e.3．已知函数f(x)＝lg[(a 2－1)x 2＋(a ＋1)x ＋1]． (1)若f(x)的定义域为R ，求实数a 的取值范围； (2)若f(x)的值域为R ，求实数a 的取值范围．答案 a≤－1或a>53 (2)1≤a≤53解析 (1)依题意(a 2－1)x 2＋(a ＋1)x ＋1>0，对一切x ∈R 恒成立，当a 2－1≠0时，其充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1>0，Δ＝（a ＋1）2－4（a 2－1）<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a>1或a<－1，a ＞53或a<－1. ∴a<－1或a>53.又a ＝－1时，f(x)＝0，满足题意． ∴a ≤－1或a>53.(2)依题意，只要t ＝(a 2－1)x 2＋(a ＋1)x ＋1能取到(0，＋∞)上的任何值，则f(x)的值域为R ，故有a 2－1>0，Δ≥0，解之1<a≤53，又当a 2－1＝0，即a ＝1时，t ＝2x ＋1符合题意；a ＝－1时不合题意，∴1≤a ≤53.。

高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数第6课时对数与对数函数练习题(含解析)(1)(2

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对数与对数函数一、填空题1．已知函数f（x)＝错误!则f错误!＝________.解析因为f错误!＝log2错误!＝－2，所以f错误!＝f(－2)＝3－2＝错误!.答案错误!2．函数y＝ln(1－x）的图象大致为________．解析由1－x〉0，知x〈1，排除①、②；设t＝1－x(x<1）,因为t＝1－x为减函数,而y ＝ln t为增函数，所以y＝ln(1－x）为减函数，故选③.答案③3．若实数x满足log3x＝1＋sin θ,则|x－1|＋|x－9|的值为________．解析log3x＝1＋sin θ∈[0，2]，x＝31＋sin θ∈[1，9］,|x－1|＋|x－9｜＝x－1＋9－x ＝8.答案84．已知函数f（x)＝错误!若f（3－2a2)＞f(a），则实数a的取值范围为________．解析画图象可得f（x）是(－∞，＋∞）上连续的单调减函数,于是由f(3－2a2）＞f(a),得3－2a2＜a，即2a2＋a－3＞0,解得a＜－错误!或a＞1。

答案错误!∪（1,＋∞）5．已知函数f（x）＝lg x．若f(ab）＝1，则f（a2)＋f(b2）＝________。

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第7课时对数函数1．(log 29)·(log 34)的值为( ) A ．14 B ．12 C ．2 D ．4答案 D解析原式＝(log 232)·(log 322)＝4(log 23)·(log 32)＝4·lg3lg2·lg2lg3＝4.2．(2018·河北保定模拟)已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＝b ＜c B ．a ＝b ＞c C ．a ＜b ＜c D ．a ＞b ＞c 答案 B解析 a ＝log 23＋log 23＝log 233，b ＝log 29－log 23＝log 233，因此a ＝b ，而log 233＞log 22＝1，log 32＜log 33＝1，所以a ＝b ＞c ，故选B.3．若log a 23<1(a>0且a≠1)，则实数a 的取值范围是( )A ．(0，23)B ．(1，＋∞)C ．(0，23)∪(1，＋∞)D ．(23，1)答案 C解析当0<a<1时，log a 23<log a a ＝1，∴0<a<23；当a>1时，log a 23<log a a ＝1，∴a>1.∴实数a 的取值范围是(0，23)∪(1，＋∞)． 4．函数y ＝ln 1|2x －3|的图像为( )答案 A解析易知2x －3≠0，即x≠32，排除C ，D 项．当x>32时，函数为减函数，当x<32时，函数为增函数，所以选A.5.如图，函数f(x)的图像为折线ACB ，则不等式f(x)≥log 2(x ＋1)的解集是( ) A ．{x|－1<x≤0}B ．{x|－1≤x≤1}C ．{x|－1<x≤1}D ．{x|－1<x≤2}答案 C解析作出函数y ＝log 2(x ＋1)的大致图像，如图所示．其中函数f(x)与y ＝log 2(x ＋1)的图像的交点为D(1，1)，结合图像可知f(x)≥log 2(x ＋1)的解集为{x|－1<x≤1}，故选C.6．设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 2（2－x ），x<1，2x －1，x ≥1，则f(－2)＋f(log 212)等于( )A ．3B ．6C ．9D ．12答案 C解析因为－2<1，所以f(－2)＝1＋log 2[2－(－2)]＝3. 因为log 212>1，所以f(log 212)＝2log 212－1＝2log 26＝6. 所以f(－2)＋f(log 212)＝9.故选C.7．若实数a ，b ，c 满足log a 2<log b 2<log c 2<0，则下列关系中正确的是( ) A ．a<b<c B ．b<a<c C ．c<b<a D ．a<c<b答案 C解析根据不等式的性质和对数的换底公式可得1log 2a <1log 2b <1log 2c<0，即log 2c<log 2b<log 2a<0，可得c<b<a<1.故选C. 8．(2014·天津，理)函数f(x)＝log 12(x 2－4)的单调递增区间为( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－2)答案 D解析函数y ＝f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，因为函数y ＝f(x)是由y ＝log 12t 与t ＝g(x)＝x 2－4复合而成，又y ＝log 12t 在(0，＋∞)上单调递减，g(x)在(－∞，－2)上单调递减，所以函数y ＝f(x)在(－∞，－2)上单调递增．选D.9．(2018·南京金陵中学模拟)设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x>0，log 12（－x ），x<0，若f(a)>f(－a)，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1，0)∪(0，1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1，0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0，1)答案 C解析由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a>0，log 2a>log 12a 或⎩⎪⎨⎪⎧a<0，log 12（－a ）>log 2（－a ），解得a>1或－1<a<0，故选C.10．已知定义在R 上的函数f(x)＝2|x －m|－1(m 为实数)为偶函数．记a ＝f(log 0.53)，b ＝f(log 25)，c ＝f(2m)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a<b<c B ．a<clog 23>0，而函数f(x)＝2|x －m|－1在(0，＋∞)上为增函数，所以f(log 25)>f(log 23)>f(0)，即b>a>c.故选C.11．若函数y ＝log a (x 2－ax ＋2)在区间(－∞，1]上为减函数，则a 的取值范围是( ) A ．(0，1) B ．[2，＋∞) C ．[2，3) D ．(1，3)答案 C解析当0<a<1时，由复合函数与对数函数的性质知，不合题意；当a>1时，要满足⎩⎪⎨⎪⎧12－a ＋2>0，a 2≥1，解得2≤a<3.12．已知函数f(x)＝2＋log 2x ，x ∈[1，2]，则函数y ＝f(x)＋f(x 2)的值域为( ) A ．[4，5] B ．[4，112]C ．[4，132]D ．[4，7]答案 B解析 y ＝f(x)＋f(x 2)＝2＋log 2x ＋2＋log 2x 2＝4＋3log 2x ，注意到为使得y ＝f(x)＋f(x 2)有意义，必有1≤x 2≤2，得1≤x≤2，从而4≤y≤112.13．已知函数f(x)＝xln(e 2x＋1)－x 2＋1，f(a)＝2，则f(－a)的值为( ) A ．1 B ．0 C ．－1 D ．－2答案 B解析 f(x)＋f(－x)＝xln(e 2x＋1)－x 2＋1＋[－xln(e －2x＋1)－(－x)2＋1]＝x[ln(e 2x＋1)－ln(e－2x＋1)]－2x 2＋2＝xln e 2x ＋1e －2x ＋1－2x 2＋2＝xlne 2x －2x 2＋2 ＝2x 2－2x 2＋2＝2，所以f(a)＋f(－a)＝2，因为f(a)＝2，所以f(－a)＝2－f(a)＝0.故选B.14．(2017·课标全国Ⅰ)设x ，y ，z 为正数，且2x＝3y＝5z，则( ) A ．2x<3y<5z B ．5z<2x<3y C ．3y<5z<2x D ．3y<2x<5z答案 D解析 ∵2x＝3y＝5z，∴ln2x＝ln3y＝ln5z， ∴xln2＝yln3＝zln5.∴x y ＝ln3ln2，∴2x 3y ＝2ln33ln2＝ln32ln23＝ln9ln8>1， ∴2x>3y ，同理可得2x<5z. ∴3y<2x<5z.故选D. 15．log 327－log 33＋(5－1)0－(94)12＋cos 4π3＝________．答案 0解析原式＝log 3(27÷3)＋1－32－12＝1＋1－32－12＝0.16．若log a (x ＋1)>log a (x －1)，则x∈________，a ∈________．答案 (1，＋∞) (1，＋∞)17．(1)若log a 3<log a π，则实数a 的取值范围是________． (2)若log 3a<log πa ，则实数a 的取值范围是________．答案 (1)a>1 (2)0<a<1 18．设函数f(x)＝|lgx|，(1)若0<a<b 且f(a)＝f(b)．证明：a·b＝1； (2)若0＜a ＜b 且f(a)＞f(b)．证明：ab ＜1. 答案略解析 (1)由|lga|＝|lgb|，得－lga ＝lgb.∴ab ＝1. (2)由题设f(a)＞f(b)，即|lga|＞|lgb|.上式等价于(lga)2＞(lgb)2，即(lga ＋lgb)(lga －lgb)＞0，lg(ab)lg a b ＞0，由已知b ＞a ＞0，得0＜a b ＜1.∴lg ab＜0，故lg(ab)＜0.∴ab＜1.1．已知a>b>1，若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a ，则ab ＋2＝________．答案 1解析 ∵log a b ＋log b a ＝log a b ＋1log a b ＝52，∴log a b ＝2或12.∵a>b>1，∴log a b<log a a ＝1，∴log a b ＝12，∴a ＝b 2.∵a b＝b a，∴(b 2)b＝bb 2，∴b 2b＝bb 2，∴2b ＝b 2，∴b ＝2，∴a ＝4，∴ab ＋2＝1. 2．已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．如果实数t 满足f(lnt)＋f(ln 1t )≤2f(1)，那么t 的取值范围是________．答案 [1e，e]解析由于函数f(x)是定义在R 上的偶函数，所以f(lnt)＝f(ln 1t )．由f(lnt)＋f(ln 1t )≤2f(1)，得f(lnt)≤f(1)．又函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，所以|lnt|≤1，－1≤lnt ≤1，故1e ≤t ≤e.3．已知函数f(x)＝lg[(a 2－1)x 2＋(a ＋1)x ＋1]． (1)若f(x)的定义域为R ，求实数a 的取值范围； (2)若f(x)的值域为R ，求实数a 的取值范围．答案 a≤－1或a>53 (2)1≤a≤53解析 (1)依题意(a 2－1)x 2＋(a ＋1)x ＋1>0，对一切x ∈R 恒成立，当a 2－1≠0时，其充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1>0，Δ＝（a ＋1）2－4（a 2－1）<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a>1或a<－1，a ＞53或a<－1. ∴a<－1或a>53.又a ＝－1时，f(x)＝0，满足题意． ∴a ≤－1或a>53.(2)依题意，只要t ＝(a 2－1)x 2＋(a ＋1)x ＋1能取到(0，＋∞)上的任何值，则f(x)的值域为R ，故有a 2－1>0，Δ≥0，解之1<a≤53，又当a 2－1＝0，即a ＝1时，t ＝2x ＋1符合题意；a ＝－1时不合题意，∴1≤a ≤53.。

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