2011高考数学真题考点分类新编：考点27二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题(新课标地区)
高中数学必考知识点二元一次不等式（组）及简单的线性规划问题
⾼中数学必考知识点⼆元⼀次不等式（组）及简单的线性规划问题⾼中数学必考知识点:⼆元⼀次不等式(组)及简单的线性规划问题|附习题对于⾼考来临，同学和家长⾮常关⼼数学如何去复习，⾼考数学考的知识点⾮常多，需要考⽣需要考⽣运⽤⼤量⽅法技巧进⾏解决问题，等等这些都增加⾼考数学的难度。
为了能帮助考⽣各个击破⾼考数学知识点，今天肖⽼师就来讲讲如何利⽤⼆元⼀次不等式(组)及简单的线性规划问题相关知识内容。
⼀、⼆元⼀次不等式(组)表⽰的平⾯区域(1)不等式组表⽰的平⾯区域的⾯积为________．(2)若不等式组表⽰的平⾯区域是⼀个三⾓形，则a的取值范围是________．规律⽅法：⼆元⼀次不等式(组)表⽰的平⾯区域的确定⽅法(1)确定⼆元⼀次不等式(组)表⽰的平⾯区域的⽅法是：“直线定界，特殊点定域”，即先作直线，再取特殊点并代⼊不等式(组)．若满⾜不等式(组)，则不等式(组)表⽰的平⾯区域为直线与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧的平⾯区域；(2)当不等式中带等号时，边界为实线，不带等号时，边界应画为虚线，特殊点常取原点． ⼆、求线性⽬标函数的最值(范围)线性⽬标函数的最值(范围)问题是每年⾼考的热点，题型多为选择题和填空题，难度为中档题．⾼考对线性⽬标函数最值(范围)问题的考查有以下三个命题⾓度：(1)求线性⽬标函数的最值(范围)；(2)已知线性⽬标函数的最值(范围)求参数值(范围)；(3)求⾮线性⽬标函数的最值(范围)．(1)(2017·⾼考浙江卷)若x，y满⾜约束条件则z＝x＋2y的取值范围是( )A．[0，6] B．[0，4]C．[6，＋∞) D．[4，＋∞)(2015·⾼考⼭东卷)已知x，y满⾜约束条件若z＝ax＋y的最⼤值为4，则a＝( )A．3 B．2C．－2 D．－3规律⽅法：利⽤线性规划求⽬标函数最值的步骤(1)画出约束条件对应的可⾏域；(2)将⽬标函数视为动直线，并将其平移经过可⾏域，找到最优解对应的点；(3)将最优解代⼊⽬标函数，求出最⼤值或最⼩值．[注意] 对于已知⽬标函数的最值，求参数问题，把参数当作已知数，找出最优解代⼊⽬标函数． ⾓度⼀ 求线性⽬标函数的最值(范围)(2017·贵阳市监测考试)已知O是坐标原点，若点M(x，y)为平⾯区域上的⼀个动点，则⽬标函数z＝－x＋2y的最⼤值是( )A．0 B．1C．3 D．4⾓度⼆ 已知线性⽬标函数的最值(范围)求参数值(范围)(2017·海⼝市调研测试)若x，y满⾜且z＝y－x的最⼩值为－12，则k的值为( )A. B．－C. D．－三、线性规划的实际应⽤(2016·⾼考全国卷⼄)某⾼科技企业⽣产产品A和产品B需要甲、⼄两种新型材料．⽣产⼀件产品A需要甲材料1.5 kg，⼄材料1 kg，⽤5个⼯时；⽣产⼀件产品B需要甲材料0.5 kg，⼄材料0.3 kg，⽤3个⼯时．⽣产⼀件产品A的利润为2 100元，⽣产⼀件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg，⼄材料90 kg，则在不超过600个⼯时的条件下，⽣产产品A、产品B的利润之和的最⼤值为________元．四、数形结合思想求解⾮线性规划问题(2015·⾼考全国卷Ⅰ)若x，y满⾜约束条件则的最⼤值为________．好了，今天⽼师就分享到这⾥了，同学们对于⾼中数学必考知识点⼆元⼀次不等式(组)都掌握了吗？本⽂章是根据⾼中数学必考知识点⼆元⼀次不等式(组)解题讲解，或者需要解题技巧⽅法可以给⽼师留⾔，同时⽼师以后继续给⼤家分享关于章节知识点技巧和⼲货习题和视频。
高考数学 专题27 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题热点题型和提分秘籍 理-人教版高三全册数
专题27 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题1．会从实际情境中抽象出二元一次不等式组。
2．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组。
3．会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决。
热点题型一 二元一次不等式(组)表示平面区域例1、 (1)在平面直角坐标系xOy 中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ＋y ≤3，－1≤x －y ≤1表示图形的面积等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4(2)已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －1≥0，3x －y －3≤0表示的平面区域为D ，若直线y ＝kx ＋1将区域D 分成面积相等的两部分，则实数k 的值是________。
解析：(1)不等式组对应的平面区域如图，对应的区域为正方形ABCD ， 其中A (0,1)，D (1,0)，边长AD＝2，则正方形的面积S＝2×2＝2，故选B。
(2)区域D如图中的阴影部分所示，直线y＝kx＋1经过定点C(0,1)，如果其把区域D划分为面积相等的两个部分，则直线y＝kx＋1只要经过AB的中点即可。
【提分秘籍】平面区域面积问题的解题思路(1)求平面区域的面积：①首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；②对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解。
若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和即可。
(2)利用几何意义求解的平面区域问题，也应作出平面图形，利用数形结合的方法去求解。
【举一反三】已知约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，kx －y ≤0表示面积为1的直角三角形区域，则实数k 的值为( )A ．1B ．－1C ．0D ．－2解析：先作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤4对应的平面区域，如图：热点题型二 求线性目标函数的最值例2、【2017课标II ，理5】设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值是（ ）A ．15-B ．9-C ．1D ．9 【答案】A【解析】x 、y 满足约束条件2+330{2330 30x y x y y -≤-+≥+≥的可行域如图：z =2x +y 经过可行域的A 时，目标函数取得最小值，由3{2330y x y =--+= 解得A (−6,−3)，则z =2x +y 的最小值是：−15. 故选：A.【变式探究】设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －y －1≤0，x －3y ＋3≥0，则z ＝x ＋2y 的最大值为( )A ．8B ．7C ．2D ．1【提分秘籍】利用可行域求线性目标函数最值的方法首先利用约束条件作出可行域，根据目标函数找到最优解时的点，解得点的坐标代入求解即可。
二元一次不等式组知识点讲解及习题
第三节：二元一次不等式组与简单的线性规划1、二元一次不等式表示的区域：二元一次不等式Ax+By+C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域。
注意：由于对直线同一侧的所有点(x,y)，把它代入Ax+By+C，所得实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0,y0) ，从Ax0+By0+C的正负可以判断出Ax+By+C>0表示哪一侧的区域（一般在C≠0时，取原点作为特殊点）2、二元一次不等式组表示的区域：二元一次不等式表示平面的部分区域，所以二元一次方程组表示各个区域的公共部分。
（二元一次不等式表示的区域）例1、画出不等式2x+y-6<0表示的平面区域。
（跟踪训练）画出不等式４ｘ－３ｙ≤１２表示的平面区域。
（点的分布）例2、已知点P(x 0,y 0)与点A(1,2)在直线l:3x+2y-8=0的两侧，则( ) A 、3x 0+2y 0>0 B 、3x 0+2y 0<0 C 、3x 0+2y 0>8 D 、3x 0+2y 0<8（跟踪训练）已知点（3 ，1）和点（－4 ，6）在直线 3x –2y + m = 0 的两侧，则（ ） A ．m ＜－7或m ＞24 B ．－7＜m ＜24 C ．m ＝－7或m ＝24D ．－7≤m ≤ 24（二元一次不等式组表示的平面区域） 例3、画出不等式组表示的区域。
（1） （2）⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+<242y y x xy ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+<≥+≥<9362323x y y x x y x(已知区域求不等式)例4、求由三直线x-y=0；x+2y-4=0及y+2=0所围成的平面区域所表示的不等式。
（跟踪训练）下图所示的阴影区域用不等式组表示为（已知不等式组求围成图形的面积）例5、求不等式组3,0,20xx yx y≤⎧⎪+≥⎨⎪-+≥⎩表示的平面区域的面积（跟踪训练）在直角坐标系中，由不等式组230,2360,35150,x yx yx yy->⎧⎪+-<⎪⎨--<⎪⎪<⎩所确定的平面区域内整点个数（绝对值不等式的画法）例6、画出不等式|x|+|y|<1所表示的区域。
高考专题练习： 二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题
1．二元一次不等式(组)表示的平面区域满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成的有序数对(x，y)，叫做二元一次不等式(组)的解，所有这样的有序数对(x，y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集．3．线性规划的有关概念1．画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域(1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．(2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0，1)或(1，0)来验证．2．利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域对于Ax＋By＋C>0或Ax＋By＋C<0，则有(1)当B(Ax＋By＋C)>0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的上方；(2)当B(Ax＋By＋C)<0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的下方．3．平移规律当b >0时，直线z ＝ax ＋by 向上平移z 变大，向下平移z 变小；当b <0时，直线z ＝ax ＋by 向上平移z 变小，向下平移z 变大．一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)不等式Ax ＋By ＋C >0表示的平面区域一定在直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方．( )(2)线性目标函数的最优解可能是不唯一的．( )(3)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上．( ) (4)在目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)中，z 的几何意义是直线ax ＋by －z ＝0在y 轴上的截距．( )答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)× 二、易错纠偏常见误区| (1)不会用代点法判断平面区域； (2)不明确目标函数的最值与等值线截距的关系； (3)不理解目标函数的几何意义； (4)对“最优解有无数个”理解有误．1．若点(－2，t )在直线2x －3y ＋6＝0的上方，则t 的取值范围是__________． 解析：因为直线2x －3y ＋6＝0的上方区域可以用不等式2x －3y ＋6＜0表示，所以由点(－2，t )在直线2x －3y ＋6＝0的上方得－4－3t ＋6＜0，解得t ＞23.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞2．设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧y ＋2≥0，x －2≤0，2x －y ＋1≥0.则z ＝x ＋y 的最大值与最小值的比值为________．解析：不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，z ＝x ＋y 可化为y ＝－x ＋z ，当直线y ＝－x ＋z 经过A 点时，z 最大，联立⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝0，2x －y ＋1＝0.得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝5，故A (2，5)，此时z ＝7；当直线y ＝－x ＋z 经过B 点时，z 最小，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2＝0，2x －y ＋1＝0，得⎩⎨⎧x ＝－32，y ＝－2，故B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－2，此时z ＝－72，故最大值与最小值的比值为－2.答案：－23．已知x ，y 满足条件⎩⎨⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3，则z ＝y －1x ＋3的最大值为________．解析：作出可行域如图中阴影部分所示，问题转化为区域上哪一点与点M (－3，1)连线斜率最大，观察知点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，52，使k MA 最大，z max ＝k MA ＝52－1－52＋3＝3.答案：34．已知x ，y 满足⎩⎨⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3，若使得z ＝ax ＋y 取得最大值的点(x ，y )有无数个，则a 的值为________．解析：先根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分所示，当直线z ＝ax ＋y 和直线AB 重合时，z 取得最大值的点(x ，y )有无数个，所以－a ＝k AB ＝1，所以a ＝－1.答案：－1二元一次不等式(组)表示的平面区域(多维探究) 角度一 平面区域的面积不等式组⎩⎨⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于()A ．32B ．23C ．43D ．34【解析】 由题意得不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43，B (1，1)，C (0，4)，则△ABC 的面积为12×1×83＝43.故选C ．【答案】 C角度二 平面区域的形状若不等式组⎩⎨⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是________．【解析】不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0表示的平面区域如图所示(阴影部分)．解⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，2x ＋y ＝2得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23；解⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，2x ＋y ＝2得B (1，0)．若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，则直线x ＋y ＝a 中的a 的取值范围是0<a ≤1或a ≥43.【答案】 (0，1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞(1)求平面区域面积的方法①首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；②对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和．(2)根据平面区域确定参数的方法在含有参数的二元一次不等式组所表示的平面区域问题中，首先把不含参数的平面区域确定好，然后用数形结合的方法根据参数的不同取值情况画图观察区域的形状，根据求解要求确定问题的答案．1．已知约束条件⎩⎨⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，kx －y ≤0表示面积为1的直角三角形区域，则实数k的值为( )A ．1B ．－1C ．0D ．－2解析：选A ．作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，要使阴影部分为直角三角形，当k ＝0时，此三角形的面积为12×3×3＝92≠1，所以不成立，所以k ＞0，则必有BC ⊥AB ，因为x ＋y －4＝0的斜率为－1，所以直线kx －y ＝0的斜率为1，即k ＝1，满足题意，故选A ．2．设不等式组⎩⎨⎧x ≥1，x －y ≤0，x ＋y ≤4表示的平面区域为M ，若直线y ＝kx －2上存在M内的点，则实数k 的取值范围是( )A ．[1，3]B ．(－∞，1]∪[3，＋∞)C ．[2，5]D ．(－∞，2]∪[5，＋∞)解析：选C ．作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －y ≤0，x ＋y ≤4表示的平面区域，如图中阴影部分所示，因为直线l ：y ＝kx －2的图象过定点A (0，－2)，且斜率为k ，由图知，当直线l 过点B (1，3)时，k 取最大值3＋21－0＝5，当直线l 过点C (2，2)时，k 取最小值2＋22－0＝2，故实数k 的取值范围是[2，5]．求目标函数的最值(多维探究) 角度一 求线性目标函数的最值(2021·郑州第一次质量预测)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≥0，x －y ≥0，3x ＋y －4≤0，则y －2x 的最小值是( ) A ．－1 B ．－6 C ．－10D ．－15【解析】不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －y ≥0，3x ＋y －4≤0表示的平面区域如图中阴影部分所示．令z ＝y －2x ，作出直线y ＝2x ，并平移，当直线z ＝y －2x 过点B (2，－2)时，z 的值最小，最小值为－6，故选B ．【答案】 B(1)求目标函数的最值形如z ＝ax ＋by (b ≠0)的目标函数，可变形为斜截式y ＝－a b x ＋zb (b ≠0)． ①若b >0，当直线过可行域且在y 轴上的截距最大时，z 值最大，在y 轴上截距最小时，z 值最小；②若b <0，当直线过可行域且在y 轴上的截距最大时，z 值最小，在y 轴上的截距最小时，z 值最大．(2)求目标函数最优解的常用方法如果可行域是一个多边形，那么一般在某顶点处使目标函数取得最优解，到底哪个顶点为最优解，可有两种方法判断：①将可行域各顶点的坐标代入目标函数，通过比较各顶点函数值大小即可求得最优解；②将目标函数的直线平移，最先通过或最后通过的顶点便是最优解． 角度二 求非线性目标函数的最值(范围)实数x ，y 满足⎩⎨⎧x －y ＋1≤0，x ≥0，y ≤2.(1)若z ＝yx ，则z 的取值范围为________；(2)若z ＝x 2＋y 2，则z 的最大值为________，最小值为________．【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x ≥0，y ≤2，作出可行域，如图中阴影部分所示．(1)z ＝yx 表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率，因此yx 的取值范围为直线OB 的斜率到直线OA 的斜率(直线OA 的斜率不存在，即z max 不存在)．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，y ＝2，得B (1，2)， 所以k OB ＝21＝2，即z min ＝2， 所以z 的取值范围是[2，＋∞)．(2)z ＝x 2＋y 2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间距离的平方． 因此x 2＋y 2的最小值为OA 2，最大值为OB 2. 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，x ＝0，得A (0，1)， 所以OA 2＝(02＋12)2＝1，OB 2＝(12＋22)2＝5.【答案】 (1)[2，＋∞) (2)5 1【迁移探究1】 (变问法)本例条件不变，求目标函数z ＝y －1x －1的取值范围．解：z ＝y －1x －1可以看作过点P (1，1)及(x ，y )两点的直线的斜率．所以z 的取值范围是(－∞，0]．【迁移探究2】 (变问法)本例条件不变，求目标函数z ＝x 2＋y 2－2x －2y ＋3的最值．解：z ＝x 2＋y 2－2x －2y ＋3 ＝(x －1)2＋(y －1)2＋1，而(x －1)2＋(y －1)2表示点P (1，1)与Q (x ，y )的距离的平方PQ 2，PQ 2max ＝(0－1)2＋(2－1)2＝2，PQ 2min ＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫|1－1＋1|12＋（－1）22＝12，所以z max ＝2＋1＝3，z min ＝12＋1＝32.常见两类非线性目标函数的几何意义(1)x 2＋y 2表示点(x ，y )与原点(0，0)间的距离，（x －a ）2＋（y －b ）2表示点(x ，y )与点(a ，b )间的距离；(2)yx 表示点(x ，y )与原点(0，0)连线的斜率，y －b x －a 表示点(x ，y )与点(a ，b )连线的斜率．角度三 求参数值或取值范围(2021·贵阳市第一学期监测考试)已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧x ＋2≥y ，x ≤2，y －1≥0，若z＝x ＋ay (a >0)的最大值为10，则a ＝ ( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，x －y ＋2＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，所以A (2，4)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1，所以B (2，1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝0，x －y ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1，所以C (－1，1)．若(2，4)是最优解，则2＋4a ＝10，a ＝2，经检验符合题意；若(2，1)是最优解，则2＋a ＝10，a ＝8，经检验不符合题意；若(－1，1)是最优解，则－1＋a ＝10，a ＝11，经检验不符合题意．综上所述，a ＝2，故选B ．【答案】 B求解线性规划中含参数问题的基本方法有两种：一是把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范围；二是先分离含有参数的式子，通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件，确定最优解的位置，从而求出参数．1．若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≥1，x ＋2y ≤2，x ≤a ，目标函数z ＝2x ＋3y 的最小值为2，则a ＝________．解析：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x ＋2y ≤2，x ≤a 表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线2x ＋3y ＝0，平移直线2x ＋3y ＝0，显然过A (a ，1－a )时，z ＝2x ＋3y 取得最小值，则2a ＋3(1－a )＝2，解得a ＝1.答案：12．(2021·开封市第一次模拟考试)已知点A (0，2)，动点P (x ，y )的坐标满足条件⎩⎨⎧x ≥0，y ≤x ，则|P A |的最小值是________．解析：依题意，画出不等式组⎩⎨⎧x ≥0，y ≤x 表示的平面区域，如图中阴影部分所示，结合图形可知，|P A |的最小值等于点A (0，2)到直线x －y ＝0的距离，即|0－2|2＝ 2.答案： 23．(2021·湖北八校第一次联考)已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧2x －y ＋3≥0，2x ＋y －5≤0，y ≥1，则z ＝|x－y |的取值范围为________．解析：画出可行域如图中阴影部分所示，z ＝|x －y |＝|x －y |2·2表示可行域内的点(x ，y )到直线x －y ＝0的距离的2倍．作出直线x －y ＝0，由图可得可行域内的点(x ，y )到直线x －y ＝0的距离的最小值为0，最大值为直线2x －y ＋3＝0与2x ＋y －5＝0的交点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，4到直线x －y ＝0的距离，即724，所以z 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，72.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，72线性规划的实际应用(师生共研)某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的限量如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得的最大利润为( )甲 乙 原料限量 A /吨 3 2 12 B /吨128A ．16万元 C ．18万元D ．19万元【解析】 设该企业每天生产x 吨甲产品，y 吨乙产品，可获得利润为z 万元，则z ＝3x ＋4y ，且x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线3x ＋4y ＝0并平移，可知当直线经过点(2，3)时，z 取得最大值，z max ＝3×2＋4×3＝18(万元)．故选C ．【答案】 C利用线性规划解决实际问题的五步曲某旅行社租用A ，B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A ，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆，则租金最少为________元．解析：设租用A 型车x 辆，B 型车y 辆，目标函数为z ＝1 600x ＋2 400y ，则约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧36x ＋60y ≥900，x ＋y ≤21，y －x ≤7，x ，y ∈N ，作出可行域，如图中阴影部分所示，可知目标函数过点A (5，12)时，有最小值z min ＝36 800(元)．答案：36 800[A 级 基础练]1．不等式组⎩⎨⎧x －3y ＋6≤0，x －y ＋2>0表示的平面区域是( )解析：选C ．用特殊点代入，比如(0，0)，容易判断为C ． 2．设集合A ＝{(x ，y )|x －y ≥1，ax ＋y >4，x －ay ≤2}，则( ) A ．对任意实数a ，(2，1)∈A B ．对任意实数a ，(2，1)∉A C ．当且仅当a <0时，(2，1)∉A D ．当且仅当a ≤32时，(2，1)∉A解析：选D ．若(2，1)∈A ，则⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋1>4，2－a ≤2，解得a >32，所以当且仅当a ≤32时，(2，1)∉A ，故选D ．3．(2020·高考浙江卷)若实数x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －3y ＋1≤0，x ＋y －3≥0，则z ＝x ＋2y的取值范围是( )A ．(－∞，4]B ．[4，＋∞)C ．[5，＋∞)D ．(－∞，＋∞)解析：选B ．画出可行域如图中阴影部分所示，作出直线x ＋2y ＝0，平移该直线，易知当直线经过点A (2，1)时，z 取得最小值，z min ＝2＋2×1＝4，再数形结合可得z ＝x ＋2y 的取值范围是[4，＋∞)．故选B ．4．若M 为不等式组⎩⎨⎧x ≤0，y ≥0，y －x ≤2表示的平面区域，则当a 从－2 连续变化到1时，动直线x ＋y ＝a 扫过M 中的那部分区域的面积为( )A ．1B ．32C ．34D ．74解析：选D ．在平面直角坐标系中作出区域M 如图中阴影部分所示，当a 从－2连续变化到1时，动直线x ＋y ＝a 扫过M 中的那部分区域为图中的四边形AODE ，所以其面积S ＝S △AOC －S △DEC ＝12×2×2－12×1×12＝74，故选D ．5．若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －m ≥0，x －3≤0，若z ＝2x －3y 的最大值为9，则正实数m 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．8解析：选A ．作出x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －m ≥0，x －3≤0表示的可行域如图中阴影部分所示，由图可知z ＝2x －3y 在点A 处取得最大值， 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －m ＝0，x ＝3解得A (3，m －3)， 由z max ＝2×3－3(m －3)＝9，解得m ＝2. 故选A ．6．(2021·广州市阶段训练)设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧1≤x ≤3，0≤x ＋y ≤2，则z ＝x －2y的最小值为________．解析：依题意，在平面直角坐标系内作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线x －2y ＝0，并平移，当平移到经过该平面区域内的点(1，1)时，相应直线在x 轴上的截距最小，此时z ＝x －2y 取得最小值，最小值为－1.答案：－17．(2021·合肥第一次教学检测)已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧x ≥y ，x ≤2y ，x ＋y －6≤0，则z ＝2x＋y 取得最大值时的最优解为________．解析：方法一：作不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥y ，x ≤2y ，x ＋y －6≤0表示的平面区域，如图中阴影部分所示，作出直线2x ＋y ＝0，并平移，根据z 的几何意义，很容易看出当直线平移到点B 处时z 取得最大值，联立⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0，x ＋y －6＝0，得B (4，2)．方法二：易知目标函数z ＝2x ＋y 的最大值在交点处取得，只需求出两两相交的三个交点的坐标，代入z ＝2x ＋y ，即可求得最大值．联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y ，x －2y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0为原点，代入可得z ＝0；联立得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y ，x ＋y －6＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3，将(3，3)代入可得z ＝9；联立⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0，x ＋y －6＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝2，将(4，2)代入可得z ＝10.通过比较可知，z 的最大值为10，故最优解为(4，2)．答案：(4，2)8．(2021·四省八校第二次质量检测)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －2≤0，x －2y ＋2≥0，x ＋y ＋1≥0，若－x ＋y ≥－m 2＋4m 恒成立，则实数m 的取值范围为________． 解析：设z ＝－x ＋y ，作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线－x ＋y ＝0，并平移可知当直线过点B (2，－3)时z 取得最小值，所以z min ＝－5，所以－m 2＋4m ≤－5，m 2－4m －5≥0⇒m ≤－1或m ≥5，所以m 的取值范围为(－∞，－1]∪[5，＋∞)．答案：(－∞，－1]∪[5，＋∞)9.如图所示，已知D 是以点A (4，1)，B (－1，－6)，C (－3，2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部)．(1)写出表示区域D 的不等式组；(2)设点B (－1，－6)，C (－3，2)在直线4x －3y －a ＝0的异侧，求a 的取值范围．解：(1)直线AB ，AC ，BC 的方程分别为7x －5y －23＝0，x ＋7y －11＝0，4x ＋y ＋10＝0.原点(0，0)在区域D 内，故表示区域D 的不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0.(2)根据题意有[4×(－1)－3×(－6)－a ]·[4×(－3)－3×2－a ]<0，即(14－a )(－18－a )<0，解得－18<a <14.故a 的取值范围是(－18，14)．10．已知x ，y 满足⎩⎨⎧y ＞0，x ＋y ＋1＜0，3x ＋y ＋9＞0，记点(x ，y )对应的平面区域为P .(1)设z ＝y ＋1x ＋3，求z 的取值范围； (2)过点(－5，1)的一束光线，射到x 轴被反射后经过区域P ，当反射光线所在直线l 经过区域P 内的整点(即横纵坐标均是整数的点)时，求直线l 的方程．解：平面区域如图所示(阴影部分)，易得A ，B ，C 三点坐标分别为A (－4，3)，B (－3，0)，C (－1，0)．(1)由z ＝y ＋1x ＋3知z 的值即是定点M (－3，－1)与区域内的点Q (x ，y )连接的直线的斜率，当直线过A (－4，3)时，z ＝－4； 当直线过C (－1，0)时，z ＝12.故z 的取值范围是(－∞，－4)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.(2)过点(－5，1)的光线被x 轴反射后的光线所在直线必经过点(－5，－1)，由题设可得区域内坐标为整数点仅有点(－3，1)，故直线l 的方程是y －1（－1）－1＝x ＋3（－5）＋3，即x －y ＋4＝0.[B 级 综合练]11．已知点(x ，y )满足⎩⎨⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2，目标函数z ＝ax ＋y 仅在点(1，0)处取得最小值，则a 的取值范围为( )A ．(－1，2)B ．(－2，1)C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12解析：选B ．作出不等式组对应的平面区域，如图中阴影部分所示，由z ＝ax ＋y 可得y ＝－ax ＋z ，直线的斜率k ＝－a ， 因为k AC ＝2，k AB ＝－1，目标函数z ＝ax ＋y 仅在点A (1，0)处取得最小值，则有k AB <k <k AC ， 即－1<－a <2，所以－2<a <1，即实数a 的取值范围是(－2，1)．故选B ．12．若点M (x ，y )满足⎩⎨⎧x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0，1≤x ≤2，0≤y ≤2，则x ＋y 的取值集合是( )A ．[1，2＋2]B ．[1，3]C ．[2＋2，4]D ．[1，4]解析：选A ．x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝(x －1)2＋(y －1)2＝1，根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分所示，令z ＝x ＋y ，则y ＝－x ＋z ，根据图象得到当直线过点(1，0)时目标函数取得最小值，为1，当直线和半圆相切时，取得最大值，根据点到直线的距离等于半径得到|2－z |2＝1⇒z ＝2±2，易知2－2不符合题意，故z ＝2＋2，所以x ＋y 的取值范围为[1，2＋2]．故选A ．13．已知点A (2，1)，O 是坐标原点，P (x ，y )的坐标满足⎩⎨⎧2x －y ≤0x －2y ＋3≥0y ≥0，设z ＝OP →·OA→，则z 的最大值是________． 解析：方法一：由题意，作出可行域，如图中阴影部分所示．z ＝OP →·OA →＝2x ＋y ，作出直线2x ＋y ＝0并平移，可知当直线过点C 时，z 取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝0，x －2y ＋3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，即C (1，2)，则z 的最大值是4.方法二：由题意，作出可行域，如图中阴影部分所示，可知可行域是三角形封闭区域．z ＝OP →·OA →＝2x ＋y ，易知目标函数z ＝2x ＋y 的最大值在顶点处取得，求出三个顶点的坐标分别为(0，0)，(1，2)，(－3，0)，分别将(0，0)，(1，2)，(－3，0)代入z ＝2x ＋y ，对应z 的值为0，4，－6，故z 的最大值是4.答案：414．某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A ，B ，C 三种主要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：原料 肥料ABC甲 4 8 3 乙5510现有A 种原料200吨，B 种原料360吨，C 种原料300吨，在此基础上生产甲、乙两种肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元．分别用x ，y 表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．(1)用x ，y 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； (2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润．解：(1)由已知得，x ，y 满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ≤200，8x ＋5y ≤360，3x ＋10y ≤300，x ≥0，y ≥0.二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分．(2)设利润为z 万元，则目标函数为z ＝2x ＋3y .考虑z ＝2x ＋3y ，将它变形为y ＝－23x ＋z 3， 这是斜率为－23，随z 变化的一族平行直线.z 3为直线在y 轴上的截距，当z3取最大值时，z 的值最大．又因为x ，y 满足约束条件，所以由图2可知，当直线z ＝2x ＋3y 经过可行域上的点M 时，截距z3最大，即z 最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ＝200，3x ＋10y ＝300，得点M 的坐标为(20，24)． 所以z max ＝2×20＋3×24＝112.即生产甲种肥料20车皮、乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元．[C 级 提升练]15．已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧6x ＋y －1≥0，x －y －3≤0，y ≤0，则z ＝y －ln x 的取值范围为________．解析：作出可行域如图(阴影部分)，其中A (16，0)，B (3，0)，C (47，－177)．由图可知，当y ＝ln x ＋z 过点A (16，0)时z 取得最大值，z max ＝0－ln 16＝ln 6.设y ＝ln x ＋z 的图象与直线y ＝x －3相切于点M (x 0，y 0)，由y ＝ln x ＋z 得y ′＝1x ，令1x 0＝1得x 0＝1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫47，3，故y ＝ln x ＋z 与y ＝x －3切于点M (1，－2)时，z 取得最小值，z min ＝－2－ln 1＝－2.所以z ＝y －ln x 的取值范围为[－2，ln 6]． 答案：[－2，ln 6]16．已知点A (53，5)，直线l ：x ＝my ＋n (n ＞0)过点A .若可行域⎩⎨⎧x ≤my ＋n ，x －3y ≥0，y ≥0的外接圆的直径为20，则n ＝________．解析：注意到直线l ′：x －3y ＝0也经过点A ，所以点A 为直线l 与l ′的交点． 画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤my ＋n ，x －3y ≥0，y ≥0表示的可行域，如图中阴影部分所示．设直线l 的倾斜角为α，则∠ABO ＝π－α. 在△OAB 中，OA ＝（53）2＋52＝10.根据正弦定理，得10sin （π－α）＝20，解得α＝5π6或π6.当α＝5π6时，1m ＝tan 5π6，得m ＝－ 3. 又直线l 过点A (53，5)， 所以53＝－3×5＋n ， 解得n ＝10 3.当α＝π6时，同理可得m ＝3，n ＝0(舍去)． 综上，n ＝10 3. 答案：10 3。
高三数学考点-二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
7．3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题1．二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的________．我们把直线画成虚线以表示区域________边界直线．当我们在坐标系中画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域时，此区域应________边界直线，则把边界直线画成________．(2)由于对直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C，所得的符号都________，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0，y0)(如原点)作为测试点，由Ax0＋By0＋C的________即可判断Ax ＋By＋C＞0表示的是直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．2．线性规划(1)不等式组是一组对变量x，y的约束条件，由于这组约束条件都是关于x，y的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件．Z＝Ax＋By是要求最大值或最小值的函数，我们把它称为________．由于Z＝Ax＋By是关于x，y的一次解析式，所以又可叫做________．另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示．(2)一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的________的问题，统称为线性规划问题．(3)满足线性约束条件的解(x，y)叫做________，由所有可行解组成的集合叫做________．其中，使目标函数取得最大值或最小值的可行解都叫做这个问题的________．线性目标函数的最值常在可行域的边界上，且通常在可行域的顶点处取得；而求最优整数解首先要看它是否在可行域内．(4)用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：①首先，要根据_________________ (即画出不等式组所表示的公共区域)．②设__________，画出直线l0.③观察、分析、平移直线l0，从而找到最优解．④最后求得目标函数的__________．(5)利用线性规划研究实际问题的解题思路：首先，应准确建立数学模型，即根据题意找出__________条件，确定__________函数．然后，用图解法求得数学模型的解，即__________，在可行域内求得使目标函数__________．自查自纠1．(1)平面区域不包括包括实线(2)相同符号2．(1)目标函数线性目标函数(2)最大值或最小值(3)可行解可行域最优解(4)①线性约束条件画出可行域②z＝0④最大值或最小值(5)约束线性目标画出可行域取得最值的解(2016·济南模拟)已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围为( ) A ．(－24，7) B ．(－7，24)C ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞)解：根据题意知(－9＋2－a )(12＋12－a )＜0，即(a ＋7)(a －24)＜0，解得－7＜a ＜24.故选B .(2017·全国卷Ⅲ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y －6≤0，x ≥0，y ≥0，则z ＝x －y 的取值范围是( )A ．[－3，0]B ．[－3，2]C ．[0，2]D ．[0，3]解：绘制不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义可得函数在点A (0，3) 处取得最小值z ＝0－3＝－3. 在点B (2，0) 处取得最大值z ＝2－0＝2.故选B .(2016·北京)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x ＋y ≤3，x ≥0，则2x ＋y 的最大值为( )A ．0B ．3C ．4D ．5解：作出可行域如图中阴影部分所示，则当z ＝2x ＋y 经过点P (1，2)时，取最大值，z max ＝2×1＋2＝4.故选C .(2017·全国卷Ⅲ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥0，则z ＝3x －4y 的最小值为________．解：由题意，画出可行域如图，目标函数为z ＝3x －4y ，则直线y ＝34x －z4纵截距越大，z 值越小．由图可知，在A (1，1)处取最小值，故z min ＝3×1－4×1＝－1.故填－1.(2017届云南四川贵州百校大联考)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －2≥0，2x ＋y －4≤0，4x －y ＋1≥0，则目标函数z ＝y －3x 的最大值是________．解：作可行域如图所示，由目标函数z＝y－3x得直线y＝3x＋z，当直线y＝3x＋z平移经过点A⎝⎛⎭⎫12，3时，目标函数z＝y－3x取得最大值为32.故填32.类型一二元一次不等式(组)表示的平面区域(2016·郑州模拟)在平面直角坐标系xOy中，满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧|x|≤|y|，|x|＜1的点(x，y)的集合用阴影表示为下列图中的()解：|x|＝|y|把平面分成四部分，|x|≤|y|表示含y轴的两个区域；|x|＜1表示x＝±1所夹含y轴的区域．故选C.【点拨】关于不等式组所表示的平面区域(可行域)的确定，可先由“直线定界”，再由“不等式定域”，定域的常用方法是“特殊点法”，且一般取坐标原点O(0，0)为特殊点．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x＋y－2≥0，x＋2y－4≤0，x＋3y－2≥0表示的平面区域的面积为________．解：不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，易求得|BD|＝2，C点坐标(8，－2)，所以S△ABC＝S△ABD＋S△BCD＝12×2×(2＋2)＝4.故填4.类型二利用线性规划求线性目标函数的最优解(2017·天津)设变量x，y满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x＋y≥0，x＋2y－2≥0，x≤0，y≤3，则目标函数z＝x＋y的最大值为()A.23 B ．1 C.32D ．3解：可行域为四边形ABCD 及其内部，所以直线z ＝x ＋y 过点B (0，3)时取最大值3.故选D .【点拨】线性规划问题有三类：(1)简单线性规划，包括画出可行域和考查截距型目标函数的最值，有时考查斜率型或距离型目标函数；(2)线性规划逆向思维问题，给出最值或最优解个数求参数取值范围；(3)线性规划的实际应用. 一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得．(2017·北京)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≤3，x ＋y ≥2，y ≤x ， 则x ＋ 2y 的最大值为( )A ．1B ．3C ．5D ．9解：如图，画出可行域，z ＝x ＋2y 表示斜率为－12的一组平行线，当过点C (3，3)时，目标函数取得最大值z max＝3＋2×3＝9.故选D .类型三 含参数的线性规划问题(1)(北京西城区2017届期末)实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≤3，x ＋y ≥0，x －y ＋6≥0. 若z ＝ax ＋y 的最大值为3a ＋9，最小值为3a－3，则a 的取值范围是( ) A ．[－1，0] B ．[0，1]C ．[－1，1]D ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)解：作出不等式组对应的平面区域如图，由z ＝ax ＋y 得y ＝－ax ＋z .因为z ＝ax ＋y 的最大值为3a ＋9，最小值为3a －3， 所以当直线y ＝－ax ＋z 经过点B (3，9)时直线截距最大， 当经过点A (3，－3)时，直线截距最小． 则直线y ＝－ax ＋z 的斜率－a 满足， －1≤－a ≤1，即－1≤a ≤1.故选C .(2)在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0 (a 为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a 的值为( )A ．－5B ．1C ．2D ．3解：如图可得阴影部分即为满足x －1≤0与x ＋y －1≥0的可行域，而直线ax －y ＋1＝0恒过点(0，1)，故看作直线绕点(0，1)旋转，若不等式组所表示的平面区域内的面积等于2，则它是三角形，设该三角形为△ABC ，因为△ABC 的点A 和B的坐标分别为A (0，1)和B (1，0)，且S △ABC ＝2，设点C 的坐标为C (1，y )，则12×1×y ＝2⇒y ＝4，将点C (1，4)代入ax －y ＋1＝0得a ＝3.故选D .【点拨】例3(1)考查了简单的线性规划中的斜率问题，通过y ＝－ax ＋z 得到参数－a 是动直线y ＝－ax ＋z 的斜率，z ＝ax ＋y 的最大值为3a ＋9，则动直线y ＝－ax ＋z 纵截距的最大值为3a ＋9，最优解在三个端点处取得；例3(2)中的ax －y ＋1＝0，即为y ＝ax ＋1，其中a 为动直线的斜率，利用数形结合的方法求解．注意把握两点：①参数的几何意义；②条件的合理转化．(1)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≤2，y ≥0. 若z ＝ax ＋y 的最大值为4，则a ＝( )A ．3B ．2C ．－2D ．－3解：画出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，因为目标函数z ＝ax ＋y 的最大值为4，即目标函数对应直线与可行域有公共点时，在y 轴上的截距的最大值为4，所以作出过点D (0，4)的直线，由图可知，目标函数在点B (2，0)处取得最大值，有a ×2＋0＝4，得a ＝2.故选B .(2)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤4，y ≥k ，且z ＝2x ＋y 的最小值为－6，则k ＝________.解：易得出约束条件中三条直线两两所成的交点(k ，k )，(4－k ，k )，(2，2)，且可行域如图，则k ≤2.最小值在点(k ，k )处取得，3k ＝－6，得k ＝－2.故填－2.类型四 非线性目标函数的最优解问题(2016·江苏)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≥0，2x ＋y －2≥0，3x －y －3≤0，则x 2＋y 2的取值范围是________．解：可行域如图中阴影部分所示，x 2＋y 2为可行域中任一点(x ，y )到原点(0，0)的距离的平方．由图可知，x 2＋y 2的最小值为原点到直线AC 的距离的平方，即⎝ ⎛⎭⎪⎫|－2|52＝45.易求得B (2，3)，最大值为OB 2＝22＋32＝13.故填⎣⎡⎦⎤45，13. 【点拨】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域，分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值或范围．即：一画，二移，三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．常见的目标函数有：(1)截距型：形如z ＝ax ＋by .求这类目标函数的最值常将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋zb ，通过求直线的截距的最值间接求出z 的最值．(2)距离型：形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2 .(3)斜率型：形如z ＝y －bx －a ，本题属于距离形式．(2015·全国卷Ⅰ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －y ≤0，x ＋y －4≤0，则yx的最大值为________．解：作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，yx是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A (1，3)与原点连线的斜率最大，故yx的最大值为3.故填3.类型五 线性规划与整点问题设实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5＞0，2x ＋y －7＞0，x ≥0，y ≥0， 若x ，y 为整数，则3x ＋4y 的最小值为( )A ．14B ．16C ．17D ．19解：画出可行域如图，令3x ＋4y ＝z ，y ＝－34x ＋z4，过x 轴上的整点(1，0)，(2，0)，(3，0)，(4，0)，(5，0)处作格子线，可知当y ＝－34x ＋z4过(4，1)时有最小值(对可疑点(3，2)，(2，4)，(4，1)逐个试验)，此时z min ＝3×4＋4＝16.故选B .【点拨】求解整点问题，对作图精度要求较高，可行域内的整点要找准，最好使用“网点法”先作出可行域中的各整点．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，y ＞0，y ≤－nx ＋3n （n ∈N *） 所表示的平面区域为D n ，记D n 内的整点(即横坐标和纵坐标均为整数的点)个数为a n (a n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为a n ＝______.解：直线y ＝－nx ＋3n ＝－n (x －3)，过定点(3，0)，由y ＝－nx ＋3n ＞0得x ＜3，又x ＞0，所以x ＝1或x ＝2.直线x ＝2交直线y ＝－nx ＋3n 于点(2，n )，直线x ＝1交直线y ＝－nx ＋3n 于点(1，2n )，所以整点个数a n ＝n ＋2n ＝3n .故填3n.类型六 线性规划在实际问题中的应用(2015·陕西)某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获得利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )甲 乙 原料限额 A (吨) 3 2 12 B (吨)128A.12万元 B ．16万元 C ．17万元 D ．18万元解：设每天生产甲、乙两种产品分别为x 、y 吨，利润为z 元，则⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，目标函数为z ＝3x ＋4y .作出二元一次不等式组所表示的平面区域(阴影部分)，即可行域．由z ＝3x ＋4y 得y ＝－34x ＋z 4，平移直线y ＝－34x 至经过点B 时，直线y ＝－34x ＋z4的纵截距最大，此时z 最大，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ＝12，x ＋2y ＝8， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3， 即B (2，3)．所以z max ＝3x ＋4y ＝6＋12＝18.即每天生产甲、乙两种产品分别为2吨、3吨，能够获得最大利润，最大的利润是18万元．故选D . 【点拨】对于此类有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限的一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形在第一象限的某个顶点．(2016·全国卷Ⅰ)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元．解：设某高科技企业生产产品A 和产品B 分别为x 件，y 件，生产产品A 、产品B 的利润之和为z 元，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ∈N ，y ∈N ， 即⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ≤300，10x ＋3y ≤900，5x ＋3y ≤600，x ∈N ，y ∈N ，目标函数z ＝2 100x ＋900y .作出可行域如图所示．当直线z ＝2 100x ＋900y经过点M (60，100)时，z 取得最大值．z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000.故生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为216 000元．故填216 000.1．解客观题可利用特殊点判断二元一次不等式(组)表示的平面区域所在位置，如果直线Ax ＋By ＋C ＝0不经过原点，则把原点代入Ax ＋By ＋C ，通过Ax ＋By ＋C 的正负和不等号的方向，来判断二元一次不等式(组)表示的平面区域所在的位置．2．求目标函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋zb，通过求直线的截距z b 的最值间接求出z 的最值．最优解一般在顶点或边界取得．但要注意：①当b ＞0时，截距zb取最大值，z 也取最大值；截距z b 取最小值，z 也取最小值；②当b ＜0时，截距z b 取最大值，z 取最小值；截距zb 取最小值时，z 取最大值．3．如果可行域是一个多边形，那么一般在其顶点处目标函数取得最大值或最小值．最优解一般是多边形的某个顶点，到底是哪个顶点为最优解，有三种解决方法：第一种方法：将目标函数的直线平行移动，最先通过或最后通过可行域的一个便是． 第二种方法：利用围成可行域的直线斜率来判断．特别地，当线性目标函数的直线与可行域某条边重合时，其最优解可能有无数组．第三种方法：将可行域所在多边形的每一个顶点P i 逐一代入目标函数Z P i ＝mx ＋ny ，比较各个ZP i ，得最大值或最小值．1．(2015·烟台模拟)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤－x ＋2，y ≤x －1，y ≥0所表示的平面区域的面积为( )A ．1 B.12 C.13 D.14解：作出不等式组对应的区域为如图△BCD ，由题意知x B ＝1，x C ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋2，y ＝x －1， 得y D ＝12，所以S △BCD ＝12×(x C －x B )×12＝14.故选D . 2．(湖北孝感市2017届期中)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤1，y ≥－1， 则目标函数z ＝2x －y 的最大值为( )A ．－3 B.12 C ．5 D ．6解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC 及其内部，其中A (－1，－1)，B (2，－1)，C (0.5，0.5)，将直线2x －y ＝0进行平移，当其经过点B 时，目标函数z 达到最大值．所以z 最大值＝5.故选C .3．(2016·天津)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x ＋3y －6≥0，3x ＋2y －9≤0.则目标函数z ＝2x ＋5y 的最小值为( )A ．－4B ．6C ．10D ．17解：可行域为一个三角形ABC 及其内部，其中A (0，2)，B (3，0)，C (1，3)，根据目标函数的几何意义，可知当直线y ＝－25x ＋z5过点B (3，0)时，z 取得最小值2×3－5×0＝6.故选B .4．(2017·浙江)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋y －3≥0，x －2y ≤0，则z ＝x ＋2y 的取值范围是( )A ．[0，6]B ．[0，4]C ．[6，＋∞)D ．[4，＋∞)解：如图，可行域为一开放区域，所以直线过点(2，1)时取最小值4，无最大值．故选D .5．(2016·浙江)在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影．由区域⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，x ＋y ≥0，x －3y ＋4≥0中的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成的线段记为AB ，则|AB |＝( ) A ．2 2 B ．4 C ．3 2 D ．6解：如图△PQR 为线性区域，区域内的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成了线段AB .由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4＝0，x ＋y ＝0得Q (－1，1)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，x ＋y ＝0得R (2，－2)，|AB |＝|RQ |＝（－1－2）2＋（1＋2）2＝3 2.故选C .6．(2016·商丘模拟)已知a ＞0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a （x －3），若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝( )A.14B.12C ．1D ．2解：作出可行域如图中阴影部分所示，当直线z ＝2x ＋y 通过A (1，－2a )时，z 取最小值，z min ＝2×1＋(－2a )＝1，所以a ＝12.故选B .7．(2016·全国卷Ⅲ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x －2y ≤0，x ＋2y －2≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为________．解：画出可行域，如图所示阴影部分，易得A (0，1)，B (－2，－1)，C ⎝⎛⎭⎫1，12，可得z ＝x ＋y 在C 点处取得最大值为32.故填32.8．(山西四校2017届联考)已知y ＝－2x －z 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0， 若2x ＋y ＋k ≥0恒成立，则实数k的取值范围为________．解：可行域为一个三角形ABC 及其内部，其中A (2，0)，B (－2，－2)，C (0，2)，直线z ＝－2x －y 过点B 时取最大值6，而2x ＋y ＋k ≥0恒成立等价于k ≥[－(2x ＋y )]max ＝6.故填[6，＋∞)．9．(2016·昆明模拟)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －2y ＋2≥0，x －y ≤0，求z ＝2x －y 的最大值．解：作出可行域如图中阴影部分所示．当直线过点B (2，2)时，z ＝2x －y 取得最大值2.10．变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1.(1)假设z 1＝4x －3y ，求z 1的最大值；(2)设z 2＝yx ，求z 2的最小值；(3)设z 3＝x 2＋y 2，求z 3的取值范围．解：作出可行域如图中阴影部分，联立易得A ⎝⎛⎭⎫1，225，B (1，1)，C (5，2)． (1)z 1＝4x －3y ⇔y ＝43x －z 13，易知平移y ＝43x 至过点C 时，z 1最大，且最大值为4×5－3×2＝14.(2)z 2＝y x 表示可行域内的点与原点连线的斜率大小，显然直线OC 斜率最小．故z 2的最小值为25.(3)z 3＝x 2＋y 2表示可行域内的点到原点距离的平方，而2＝OB 2＜OA 2＜OC 2＝29.故z 3∈[2，29]．11．(2015·广东模拟)某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都有一部分是一等品，其余是二等品，已知甲产品为一等品的概率比乙产品为一等品的概率大0.25，甲产品为二等品的概率比乙产品为一等品的概率小0.05. (1)分别求甲、乙产品为一等品的概率P 甲，P 乙；(2)已知生产一件产品需要用的工人数和资金数如表所示，且该厂有工人32名，可用资金55万元．设x，y分工人(名)资金(万元)甲420乙85解：(1)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧甲乙1－P甲＝P乙－0.05，解得⎩⎪⎨⎪⎧P甲＝0.65，P乙＝0.4，故甲产品为一等品的概率P甲＝0.65，乙产品为一等品的概率P乙＝0.4.(2)依题意得x，y应满足的约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧4x＋8y≤32，20x＋5y≤55，x≥0，y≥0，且z＝0.65x＋0.4y.作出以上不等式组所表示的平面区域(如图阴影部分)，即可行域．作直线l：0.65x＋0.4y＝0即13x＋8y＝0，把直线l向上方平移到l1的位置时，直线经过可行域内的点M，且l1与原点的距离最大，此时z取最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x＋2y＝8，4x＋y＝11，得⎩⎪⎨⎪⎧x＝2，y＝3.故M的坐标为(2，3)，所以z的最大值为z max＝0.65×2＋0.4×3＝2.5.当实数x，y满足⎩⎪⎨⎪⎧x＋2y－4≤0，x－y－1≤0，x≥1时，1≤ax＋y≤4恒成立，则实数a的取值范围是________．解：作出可行域为一三角形，且易求出三个顶点坐标分别为(1，0)，⎝⎛⎭⎫1，32，(2，1)，都代入1≤ax＋y≤4得⎩⎪⎨⎪⎧1≤a≤4，1≤a＋32≤4，1≤2a＋1≤4.解不等式组可得1≤a≤32.故填⎣⎡⎦⎤1，32.项目用量产品。
高中数学 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题PPT课件
情
【答案】 C
典
例
课
探
后
究
作
·
业
提
知
能
菜单
新课标 ·文科数学（安徽专用）
自 主 落
x≥1， 4．在平面直角坐标系中，不等式组 x＋y≤0， 表示
高 考 体 验
实 ·
x－y－4≤0
· 明
固 基
的平面区域的面积是________．
考 情
础
【解析】 不等式组表示的
区域如图中的阴影部分所示，
典
例
课
探 究
· 提 知
(x，y)与点(a，b)连线的斜率； （x－a）2＋（y－b）2 表示
业
知 能
点(x，y)与点(a，b)的距离．
菜单
新课标 ·文科数学（安徽专用）
高
自
考
主
体
落 实
(2012·课标全国卷)已知正三角形ABC的顶点A(1，1)，
验 ·
·
固 B(1，3)，顶点C在第一象限，若点(x，y)在△ABC内部，则
体 验
实
·
· 固
【答案】 B
明 考
基
情
础
典
例
课
探
后
究
作
·
业
提
知
能
菜单
新课标 ·文科数学（安徽专用）
高
自
考
主
体
落
验
实 ·
(2012·安徽高考改编)已知实数x，y满足约束条件
· 明
固 基
x≥0，
础
考 情
x＋2y≥3，
2x＋y≤3.
(1)求z＝x－y的最小值和最大值；
2011届高三数学一轮复习精品课件：二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
课堂互动讲练
考点三 求非线性目标函数的最值
此类问题首先应画出可行域， 此类问题首先应画出可行域，再 考虑目标函数的几何意义， 考虑目标函数的几何意义，使所求的 问题进行转化， 问题进行转化，从而求得目标函数的 最值． 最值．
课堂互动讲练
例3
x－4y＋3≤0， － ＋ ≤ ， ＋ － ≤ ， 变量 x，y 满足3x＋5y－25≤0， ， ≥ ， x≥1，
【答案】 答案】
B
课堂互动讲练
【误区警示】 注意不等式中不 误区警示】 等号有无等号， 等号有无等号，无等号时直线画成虚 有等号时直线画成实线． 线，有等号时直线画成实线．若直线 不过原点，特殊点常选取原点． 不过原点，特殊点常选取原点．
课堂互动讲练
考点二 求线性目标函数的最值
1．求目标函数的最值，必须先 ．求目标函数的最值， 准确地作出线性可行域， 准确地作出线性可行域，再作出目标 函数对应的直线， 函数对应的直线，据题意确定取得最 优解的点， 优解的点，进而求出目标函数的最 值．
基础知识梳理
2．线性规划的有关概念 ．
基础知识梳理
名称 约束条件 线性约束 条件 目标函数 线性目标 函数 可行解 可行域 最优解 线性规划 问题 意义 由变量x， 组成 组成的 由变量 ，y组成的 不等式组 . 不等式(或方程 或方程)组成的不等式组 由x，y的 一次 不等式 或方程 组成的不等式组 ， 的 关于x， 的 关于 ，y的函数 解析式 ，如z＝2x＋3y ＝ ＋ 关于x，y的 解析式 关于x，y的 一次 解析式 ， 满足线性约束条件的 满足线性约束条件的 解(x，y) . 所有可行解组成的 所有可行解组成的 集合 . 使目标函数取得最大值或 使目标函数取得最大值或 最小值 的可行解 在线性约束条件下求线性目标函数的 在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最 小值问题
二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
是
（C）
A.（0，0）
B.（-1，1）
C.（-1，3）
D.（2，-3）
2.若点(1,3)和(-4,-2)在直线2x+y+m=0的两侧，则m
的取值范围是 A.m<-5或m>10
（C ）
B.m=-5或m=10
C.-5<m<10
D.-5≤m≤10
PPT学习交流
6
3.设A={（x，y）|x，y，1-x-y是三角形的三边长}， 则A所表示的平面区域(不含边界的阴影部分)是
PPT学习交流
10
y x=3 x-y+5=0
5
( 5 , 5 ) 22
(3,8)
x y5 0
x
y
0
x 3
-5
O
3
x
(3,-3)
(1)x[5,3],y[3,8]. 2
(2)平面区域内的整点共有
x+y=0 2+4+6+8+10+12=42个.
PPT学习交流
11
知能迁移1 如图△ABC中,A(0,1), B(-2,2),C(2,6),写出△ABC区域 所表示的二元一次不等式组.
17
[06广东高考]
x 0,
在约束条件
y y
0, x
s
下，当 3≤s≤5 时，
y 2 x 4
目标函数 z = 3x + 2y 的最大值的变化范围是 D
(A) [6,15]
(B) [7,15] y
(C) [6,8]
(D) [7,8]
4
C(0,s) B(4-s,2s-4)
y+ x= s
高考数学复习讲义：二元一次不等式(组) 与简单的线性规划问题
返回
[解析] (1)作出满足约束条 件的可行域如图中阴影部分所 示．由 z＝3x＋2y，得 y＝－32x＋2z.
作直线 l0：y＝－32x. 平移直线 l0，当直线 y＝－32x＋2z过点(2,0)时， z 取最大值，zmax＝3×2＋2×0＝6.
返回
(2)
由
条
件
得
x＋1≤y， y≤2x，
即
x－y＋1≤0， 2x－y≥0，
返回
[方法技巧]
解决求平面区域面积问题的方法步骤 (1)画出不等式组表示的平面区域； (2)判断平面区域的形状，并求得直线的交点坐标、图形 的边长、相关线段的长(三角形的高、四边形的高)等，若为规 则图形则利用图形的面积公式求解；若为不规则图形则利用 割补法求解． [提醒] 求面积时应考虑圆、平行四边形等图形的对称性．
x<2y 选项 B 所表示的区域，故选 B. 答案：B
返回
3x＋y－6≥0， 2．(2019·河南豫北联考)关于 x，y 的不等式组x－y－2≤0，
x＋y－4≤0
表示的平面区域的面积为
()
A．3
B．52
C．2
D．32
解析：平面区域为一个直角三角形 ABC，其中 A(3,1)，
B(2,0)，C(1,3)，所以面积为12|AB|·|AC|＝12× 2× 8＝2，
－dc，－ba连线的斜率的ac倍的取值范围、最值等
返回
对形如 z＝|Ax＋By＋C|型的目标函数，可先 点到直线 变形为 z＝ A2＋B2·|Ax＋A2B＋y＋B2C|的形式，将 距离型 问题化为求可行域内的点(x，y)到直线 Ax＋
By＋C＝0 的距离的 A2＋B2倍的最值
返回
考法三 线性规划中的参数问题
高中 二元一次不等式(组)与简单的线性规划 知识点+例题 全面
辅导讲义――二元一次不等式（组）与简单的线性规划[例4] 若点A （1，1），B （2，-1）位于直线0=-+a y x 的两侧，则a 的取值范围是___________.)2,1([巩固] 若点A （1，a ）与原点在直线l ：01=-+y x 的同侧，则实数a 的取值范围是_________.)0,(-∞[例5] 如图所示的平面区域（阴影部分）用不等式表示为_________________.033<--x y[巩固] 能表示图中阴影区域的二元一次不等式组是__________________.⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤11y y x x y[例6] 画出不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥>≤-+02042y y x y x 所表示的平面区域.[巩固] 画出不等式0)4)(12(<--++yxyx表示的平面区域.1．基本概念名称意义约束条件由变量x，y组成的不等式组线性约束条件由x，y的一次不等式（或方程）组成的不等式组目标函数关于x，y的解析式，如：22yxz+=线性目标函数关于x，y的一次解析式，如yxz+=2可行解满足线性约束条件的解（x，y）可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题求线性目标函数在线性约束条件下的最值问题注意：（1）对于实际背景的线性规划问题，可行域通常位于第一象限内的一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的定点；（2）对于线性规划问题，结果可能有唯一最优解，或是有无穷最优解，或是无最优解.2．应用利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是（1）在平面直角坐标系内作出可行域．（2）考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．（3）确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解．（4）求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.[例1] 设yxz-=2，其中x，y满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-+≥+-221xyxyx，则z的取值范围是_________________.]4,21[-知识模块2简单的线性规划精典例题透析[例4] 不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥++≤020220x y y x x 表示的平面区域的面积为__________.3[巩固1] 若不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<++>>a y x x y x 11所确定的平面区域的面积为0，则实数a 的取值范围是____________.]3,(-∞[巩固2] 在平面直角坐标系中，不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥+a x y x y x 040（a 为常数）表示的平面区域的面积是9，则实数._____=a 1[巩固3] 在平面直角坐标系中，若不等式组⎪⎪⎨⎧≤-≥-+0101x y x （a 为常数）所表示的平面区域内的面积等于2，则.___=a[例5] 已知x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥-+≥-18360202y x y x y x ，且y ax z +=取得最大值的最优解恰为)3,23(，则a 的取值范围是______.（-2，2）[巩固] 若直线4=+by ax 与不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥++≤-+≥+-0420420852y x y x y x 表示的平面区域无公共点，则b a +的取值范围是________.（-3，3）[例6] 某公司计划招聘男职工x 名，女职工y 名，要求女职工人数不能多于男职工，女职工的人数不得少于男职工的31，最少10名男职工，则该公司最少能招聘多少名职工.CO的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表：[巩固] 铁矿石A和B的含铁率a，冶铁每万吨铁矿石的2a b（万吨）c（万吨）A50% 1 3B70% 5.0 6CO的排放量不超过2（万吨），求购买铁矿石的最少费用. 某冶铁厂至少要生产9.1（万吨）铁，若要求2知识模块3经典题型[例]（1）若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，则k 的值是________.（2）如图阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示为_____________．答案 (1) 73 (2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0解析 (1)不等式组表示的平面区域如图所示．由于直线y ＝kx ＋43过定点⎝⎛⎭⎫0，43.因此只有直线过AB 中点时，直线y ＝kx ＋43能平分平面区域． 因为A (1,1)，B (0,4)，所以AB 中点D ⎝⎛⎭⎫12，52.当y ＝kx ＋43过点⎝⎛⎭⎫12，52时，52＝k 2＋43，所以k ＝73. (2)两直线方程分别为x －2y ＋2＝0与x ＋y －1＝0. 由(0,0)点在直线x －2y ＋2＝0右下方可知x －2y ＋2≥0， 又(0,0)点在直线x ＋y －1＝0左下方可知x ＋y －1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0为所表示的可行域． [巩固]（1）在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －1≤0，ax －y ＋1≥0(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于4，则a=______.（2）如图所示的平面区域(阴影部分)满足不等式_______________．答案 (1) 7 (2)x ＋y －1>0解析 (1)直线ax －y ＋1＝0过点(0,1)，作出可行域如图知可行域由点A (1,0)，B (1，a ＋1)，C (0,1)组成的三角形的内部(包括边界)， 且a >－1，则其面积等于12×(a ＋1)×1＝4，解得a ＝7.(2)边界对应直线方程为x ＋y －1＝0，且为虚线，区域中不含(0,0)，由以上可知平面区域(阴影部分)满足x ＋y －1>0.题型二：求线性目标函数的最值（2）(2013·课标全国Ⅱ)已知a >0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a (x －3)，若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝________.答案 (1) 6 (2)12解析 (1)画出可行域，如图阴影部分所示． 由z ＝2x ＋y ，得y ＝－2x ＋z .由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，y ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1， ∴A (－1，－1)．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1，y ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1，∴B (2，－1)．当直线y ＝－2x ＋z 经过点A 时，z min ＝2×(－1)－1＝－3＝n .当直线y ＝－2x ＋z 经过点B 时，z max ＝2×2－1＝3＝m ，故m －n ＝6.(2)作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)． 易知直线z ＝2x ＋y 过交点A 时，z 取最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝a (x －3)， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2a ，∴z min ＝2－2a ＝1， 解得a ＝12.[巩固]（1）已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y给定．若M (x ，y )为D 上的动点，点A的坐标为(2，1)，则z ＝OM →·OA →的最大值为________.（2）(2014·北京)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为_______.答案 (1) 4 (2) －12解析 (1)由线性约束条件⎩⎨⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y画出可行域如图阴影部分所示，目标函数z ＝OM →·OA →＝2x ＋y ，将其化为y ＝－2x ＋z ，结合图形可知，目标函数的图象过点(2，2)时，z 最大，将点(2，2)代入z ＝2x ＋y 得z 的最大值为4.(2)作出可行域，如图中阴影部分所示，直线kx －y ＋2＝0与x 轴的交点为A (－2k，0)．∵z ＝y －x 的最小值为－4，∴2k ＝－4，解得k ＝－12，故选D.题型三：线性规划的实际应用[例] 某客运公司用A 、B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次．A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1 600元/辆和2 400元/辆，公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B 型车不多于A 型车7辆．若每天运送人数不少于900，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A 型车、B 型车各多少辆？解 设A 型、B 型车辆分别为x 、y 辆，相应营运成本为z 元，则z ＝1 600x ＋2 400y .由题意，得x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤21，y ≤x ＋7，36x ＋60y ≥900，x ，y ≥0，x ，y ∈N .作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为P (5，12)，Q (7,14)，R (15,6)．由图可知，当直线z ＝1 600x ＋2 400y 经过可行域的点P 时，直线z ＝1 600x ＋2 400y 在y 轴上的截距z 2 400最小，即z 取得最小值．故应配备A 型车5辆、B 型车12辆，可以满足公司从甲地去乙地的营运成本最小． [巩固] 某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨、B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨、B 原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨、B 原料不超过18吨，那么该企业可获得的最大利润是________万元．答案 27解析 设生产甲产品x 吨、乙产品y 吨， 则获得的利润为z ＝5x ＋3y .由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，3x ＋y ≤13，2x ＋3y ≤18，可行域如图阴影所示．由图可知当x 、y 在A 点取值时，z 取得最大值，此时x ＝3，y ＝4，z ＝5×3＋3×4＝27(万元)．1．在直角坐标平面内，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ＋1，y ≥0，0≤x ≤t所表示的平面区域的面积为32，则t 的值为_______.答案 1夯实基础训练解析 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ＋1，y ≥0，0≤x ≤t所表示的平面区域如图中阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x ＝t ，解得交点B (t ，t ＋1)，在y ＝x ＋1中，令x ＝0得y ＝1，即直线y ＝x ＋1与y 轴的交点为C (0,1)，由平面区域的面积S ＝(1＋t ＋1)×t 2＝32，得t 2＋2t －3＝0，解得t ＝1或t ＝－3(不合题意，舍去)，故选C. 2．x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为____________.答案 2或－1解析 如图，由y ＝ax ＋z 知z 的几何意义是直线在y 轴上的截距， 故当a >0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝2； 当a <0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝－1. 3．(2014·课标全国Ⅱ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －3y ＋1≤0，3x －y －5≥0，则z ＝2x －y 的最大值为_______.答案 8解析 画出可行域如图所示．由z ＝2x －y ，得y ＝2x －z ，欲求z 的最大值，可将直线y ＝2x 向下平移， 当经过区域内的点，且满足在y 轴上的截距－z 最小时， 即得z 的最大值，如图，可知当过点A 时z 最大，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －7＝0，x －3y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，即A (5,2)，则z max ＝2×5－2＝8. 4．在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x －y ＋2≥0，x ≤2表示的平面区域的面积为________．答案 4解析 作出可行域为△ABC (如图)，则S △ABC ＝4.5．设z ＝2x ＋y ，其中x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －y ≤0，0≤y ≤k ，若z 的最大值为6，则k 的值为________，z 的最小值为________．答案 2 －2解析 在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线2x ＋y ＝z ，结合图形分析可知，要使z ＝2x ＋y 的最大值是6，直线y ＝k 必过直线2x ＋y ＝6与x －y ＝0的交点，即必过点(2,2)，于是有k ＝2；平移直线2x ＋y ＝6，当平移到经过该平面区域内的点(－2,2)时，相应直线在y 轴上的截距达到最小，此时z ＝2x ＋y 取得最小值，最小值是z ＝2×(－2)＋2＝－2.6．在平面直角坐标系中画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧|x |≤|y |，|x |<1所表示的平面区域.解析 |x |＝|y |把平面分成四部分，|x |≤|y |表示含y 轴的两个区域； |x |<1表示x ＝±1所夹含y 轴的带状区域．7．若直线x ＋my ＋m ＝0与以P (－1，－1)、Q (2,3)为端点的线段不相交，求m 的取值范围．解 直线x ＋my ＋m ＝0将坐标平面划分成两块区域，线段PQ 与直线x ＋my ＋m ＝0不相交，则点P 、Q 在同一区域内，于是，⎩⎪⎨⎪⎧ －1－m ＋m >0，2＋3m ＋m >0，或⎩⎪⎨⎪⎧－1－m ＋m <0，2＋3m ＋m <0，所以，m 的取值范围是m <－12.8．某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．（1）试用每天生产的卫兵个数x 与骑兵个数y 表示每天的利润ω(元)； （2）怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？ 解 (1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x －y ， 所以利润ω＝5x ＋6y ＋3(100－x －y )＝2x ＋3y ＋300. (2)约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋7y ＋4(100－x －y )≤600，100－x －y ≥0，x ≥0，y ≥0，x 、y ∈N .整理得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≤200，x ＋y ≤100，x ≥0，y ≥0，x 、y ∈N .目标函数为ω＝2x ＋3y ＋300，作出可行域，如图所示，作初始直线l 0：2x ＋3y ＝0，平移l 0，当l 0经过点A 时，ω有最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3y ＝200，x ＋y ＝100，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝50，y ＝50.∴最优解为A (50,50)，此时ωmax ＝550元．故每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，且最大利润为550元．9．设变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤a ，x ＋y ≥8，x ≥6，且不等式x ＋2y ≤14恒成立，则实数a 的取值范围是__________.答案 [8，10]解析 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，显然a ≥8，否则可行域无意义． 由图可知x ＋2y 在点(6，a －6)处取得最大值2a －6，由2a －6≤14得，a ≤10.10．(2014·课标全国Ⅰ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥a ，x －y ≤－1，且z ＝x ＋ay 的最小值为7，则a=________.答案 3解析 当a ＝－5时，作出不等式组表示的可行域，如图(1)(阴影部分)．由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝－1，x ＋y ＝－5得交点A (－3，－2)， 则目标函数z ＝x －5y 过A 点时取得最大值．z max ＝－3－5×(－2)＝7，不满足题意，排除A ，C 选项． 当a ＝3时，作出不等式组表示的可行域，如图(2)(阴影部分)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝－1，x ＋y ＝3得交点B (1,2)，则目标函数z ＝x ＋3y 过B 点时取得最小值． z min ＝1＋3×2＝7，满足题意．11．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，y －1≤0，若目标函数z ＝ax ＋y (其中a >0)仅在点(3,0)处取得最大值，则a 的取值范围是__________．答案 ⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 解析 画出x 、y 满足约束条件的可行域如图所示，要使目标函数z ＝ax ＋y 仅在点(3,0)处取得最大值，则直线y ＝－ax ＋z 的斜率应小于直线x ＋2y －3＝0的斜率，即－a <－12，∴a >12.12．若函数y ＝log 2x 的图象上存在点(x ，y )，满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，2x －y ＋2≥0，y ≥m ，则实数m 的最大值为________．答案 1解析 如图，作出函数的可行域，当函数y ＝log 2x 过点(2,1)时，实数m 有最大值1.能力提升训练13．一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4吨，硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1吨，硝酸盐15吨．现库存磷酸盐10吨，硝酸盐66吨，在此基础上生产这两种混合肥料．如果生产1车皮甲种肥料产生的利润为10 000元，生产1车皮乙种肥料产生的利润为5 000元，那么适当安排生产，可产生的最大利润是________元．答案 30 000解析 设生产甲种肥料x 车皮，生产乙种肥料y 车皮， 则z ＝10 000x ＋5 000y ， ⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋y ≤10，18x ＋15y ≤66，x ≥0，y ≥0，画出图形可知，目标函数在D (2,2)处有最大值， 且z max ＝10 000×2＋5 000×2＝30 000(元)．。
二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
1．二元一次不等式表示的平面区域 (1)一般地，在平面直角坐标系中，二元一次不等式 Ax＋By＋C＞0 表示直线 Ax＋By＋C＝0 某一侧的所有点 组成的平面区域(半平面) 不包括 边界直线，把边界直 线画成虚线．
3x＋y≤4
＋43分为面积相等的两部分，则 k 的值是( )ຫໍສະໝຸດ 73A.3
B.7
4
3
C.3
D.4.
x－y≥0， 听前试做] (1)不等式组2x＋y≤2，表示的平面区域如图所示(阴影
y≥0
部分)．
解y2x＝＋x，y＝2得 A(23，23)；解y2＝x＋0，y＝2得 B(1，0)．若原不等式组 表示的平面区域是一个三角形，则直线 x＋y＝a 中 a 应满足 0<a≤1
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)×
二、牛刀小试
1．若点(m，1)在不等式 2x＋3y－5>0 所表示的平面区域内，
则 m 的取值范围是( )
A．[1，＋∞)
B．(－∞，1]
C．(－∞，1)
D．(1，＋∞)
解析：选 D ∵点(m，1)在不等式 2x＋3y－5>0 所表示的平面 区域内，∴2m＋3－5>0，即 m>1.
名称
意义
约束条件
由变量 x，y 组成的不等式
线性约束条件 由 x，y 的 一次 不等式(或方程)组成的不
等式(组)
目标函数
关于 x，y 的函数 解析式，如 z＝2x＋3y
湖南省2011届高考数学一轮复习：《二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题》(课件)
湖南长郡卫星远程学校
制作 12
2009年下学期
第三页，编辑于星期日：十六点 十五分。
(3)由几个不等式组成的不等式组表示 的平面区域是各个不等式所表示区域地公 共部分。
规律总结：当A>0时, Ax+By+C>0表示直 线右侧的平面区域, Ax+By+C<0表示直线左侧 的平面区域。
湖南长郡卫星远程学校
二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
湖南长郡卫星远程学校
制作 12
2009年下学期
第一页，编辑于星期日：十六点 十五分。
知识梳理
1. 二元一次不等式表示平面区域：
(1)一般地, 二元一次不等式Ax+By+C>0在 平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧的 所有点组成的平面区域(半平面)不含边界线； 不等式Ax+By+C≥0所表示的平面区域(半平面)包
③建立目标函数； ④作出可行域； ⑤运用图解法求出最优解。
湖南长郡卫星远程学校
制作 12
2009年下学期
第六页，编辑于星期日：十六点 十五分。
3.解法归类：
(1)图解法；(2)列表法；(3)待定系数法；(4) 调整优值法；(5)打网格线法；(6)交点定界法
湖南长郡卫星远程学校
制作 12
2009年下Biblioteka 期第七页，编辑于星期日：十六点 十五分。
4.注意运用线性规划的思想解题。
湖南长郡卫星远程学校
制作 12
2009年下学期
第八页，编辑于星期日：十六点 十五分。
括边界线。
湖南长郡卫星远程学校
制作 12
2009年下学期
高考数学总复习(基础知识+高频考点+解题训练)二元一次
第三节二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题[知识能否忆起]1．二元一次不等式(组)表示的平面区域(1)在平面直角坐标系中二元一次不等式(组)表示的平面区域：不等式表示区域Ax＋By＋C＞0 直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域不包括边界直线Ax＋By＋C≥0包括边界直线不等式组各个不等式所表示平面区域的公共部分(2)二元一次不等式表示的平面区域的确定：二元一次不等式所表示的平面区域的确定，一般是取不在直线上的点(x 0，y 0)作为测试点来进行判定，满足不等式的，则平面区域在测试点所在的直线的一侧，反之在直线的另一侧．2．线性规划中的基本概念名称 意义约束条件 由变量x ，y 组成的不等式(组)线性约束条件 由x ，y 的一次不等式(或方程)组成的不等式(组) 目标函数 关于x ，y 的函数解析式，如z ＝2x ＋3y 等线性目标函数 关于x ，y 的一次解析式 可行解 满足线性约束条件的解(x ，y ) 可行域 所有可行解组成的集合最优解 使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题[小题能否全取]1.(教材习题改编)如图所示的平面区域(阴影部分)，用不等式表示为( )A ．2x －y －3＜0B ．2x －y －3＞0C ．2x －y －3≤0D ．2x －y －3≥0解析：选B 将原点(0,0)代入2x －y －3得2×0－0－3＝－3＜0，所以不等式为2x －y －3＞0.2．(教材习题改编)已知实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≤2，x －y ≤0，则此不等式组表示的平面区域的面积是( )A.12B.14 C ．1D.18解析：选A 作出可行域为如图所示的三角形，∴S △＝12×1×1＝12.3．(2012·安徽高考)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋2y ≥3，2x ＋y ≤3则z ＝x －y 的最小值是( )A ．－3B ．0 C.32D ．3解析：选A根据⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋2y ≥3，2x ＋y ≤3得可行域如图中阴影部分所示，根据z ＝x －y 得y ＝x －z ，平移直线y ＝x ，当其经过点(0,3)时取得最小值－3.4.写出能表示图中阴影部分的二元一次不等式组是__________．解析：由可行域知不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，0≤y ≤1，2x －y ＋2≥0.答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，0≤y ≤1，2x －y ＋2≥05．完成一项装修工程需要木工和瓦工共同完成．请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2 000元，设木工x 人，瓦工y 人，则所请工人数的约束条件是________．答案：⎩⎪⎨⎪⎧50x ＋40y ≤2 000，x ∈N *，y ∈N *1.确定二元一次不等式表示平面区域的方法与技巧确定二元一次不等式表示的平面区域时，经常采用“直线定界，特殊点定域”的方法．(1)直线定界，即若不等式不含等号，则应把直线画成虚线；若不等式含有等号，把直线画成实线；(2)特殊点定域，即在直线Ax ＋By ＋C ＝0的某一侧取一个特殊点(x 0，y 0)作为测试点代入不等式检验，若满足不等式，则表示的就是包括该点的这一侧，否则就表示直线的另一侧．特别地，当C ≠0时，常把原点作为测试点；当C ＝0时，常选点(1,0)或者(0,1)作为测试点．2．最优解问题如果可行域是一个多边形，那么目标函数一般在某顶点处取得最大值或最小值，最优解就是该点的坐标，到底哪个顶点为最优解，只要将目标函数的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点便是．特别地，当表示线性目标函数的直线与可行域的某条边平行时，其最优解可能有无数个．二元一次不等式(组)表示平面区域典题导入[例1] (2011·湖北高考)直线2x ＋y －10＝0与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x －y ≥－2，4x ＋3y ≤20表示的平面区域的公共点有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个[自主解答] 由不等式组画出平面区域如图(阴影部分)． 直线2x ＋y －10＝0恰过点A (5,0)，且斜率k ＝－2＜k AB ＝－43，即直线2x ＋y －10＝0与平面区域仅有一个公共点A (5,0)．[答案] B由题悟法二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域．注意：不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，测试点常选取原点．以题试法1．(1)(2012·海淀期中)若满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －2≤0，y ≥a的整点(x ，y )恰有9个，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则整数a 的值为( )A ．－3B ．－2C ．－1D ．0(2)(2012·北京朝阳期末)在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －y ＋4≥0，x ≤a所表示的平面区域的面积是9，则实数a 的值为________．解析：(1)不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分，当a ＝0时，只有4个整点(1,1)，(0,0)，(1,0)，(2,0)；当a ＝－1时，正好增加(－1，－1)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)5个整点，故选C.(2)不等式组所表示的平面区域是如图所示的△ABC ，且A (－2,2)，B (a ，a＋4)，C (a ，－a )，若a ≤0，则有△ABC 的面积S △ABC ≤4，故a ＞0，BC 的长为2a＋4，由面积公式可得△ABC 的面积S △ABC ＝12(a ＋2)·(2a ＋4)＝9，解得a ＝1.答案：(1)C (2)1求目标函数的最值典题导入[例2] (1)(2012·新课标全国卷)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥－1，x ＋y ≤3，x ≥0，y ≥0，则z ＝x －2y 的取值范围为________．(2)(2012·广州调研)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≤1，2x －2y ＋1≤0，若目标函数z ＝ax ＋y (a ≠0)取得最小值时的最优解有无数个，则实数a 的值为________．[自主解答] (1)依题意，画出可行域，如图阴影部分所示，显然，当直线y ＝12x －z2过点B (1,2)时，z 取得最小值为－3；当直线过点A (3,0)时，z 取得最大值为3，综上可知z 的取值范围为[－3,3]．(2)画出平面区域所表示的图形，如图中的阴影部分所示，平移直线ax ＋y ＝0，可知当平移到与直线2x －2y ＋1＝0重合，即a ＝－1时，目标函数z ＝ax ＋y 的最小值有无数多个．[答案] (1)[－3,3] (2)－1若本例(2)条件变为目标函数z ＝ax ＋y (a ≠0)仅在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1处取得最小值，其它条件不变，求a 的取值范围．解：由本例图知，当直线ax ＋y ＝0的斜率k ＝－a ＞1， 即a ＜－1时，满足条件， 所求a 的取值范围为(－∞，－1)．由题悟法1．求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．2．常见的目标函数有： (1)截距型：形如z ＝ax ＋by .求这类目标函数的最值常将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－ab x ＋z b ，通过求直线的截距z b的最值间接求出z 的最值．(2)距离型：形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2. (3)斜率型：形如z ＝y －bx －a. 注意：转化的等价性及几何意义．以题试法2．(1)设z ＝2x ＋y ，其中x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －y ≤0，0≤y ≤k ，若z 的最大值为6，则k 的值为________；z 的最小值为________．(2)已知O 是坐标原点，点A (1,0)，若点M (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2上的一个动点，则|OAu u u r＋OM u u u u r|的最小值是________．解析：(1)在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域及直线2x ＋y ＝6，结合图形分析可知，要使z ＝2x ＋y 的最大值是6，直线y ＝k 必过直线2x ＋y ＝6与x －y ＝0的交点，即必过点(2,2)，于是有k ＝2；平移直线2x ＋y ＝6，当平移到经过该平面区域内的点(－2,2)时，相应直线在y 轴上的截距达到最小，此时z ＝2x＋y 取得最小值，最小值是z ＝2×(－2)＋2＝－2.(2)依题意得，OA u u u r ＋OM u u u u r ＝(x ＋1，y )，|OA u u u r ＋OM u u u u r|＝x ＋12＋y2可视为点(x ，y )与点(－1,0)间的距离，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合图形可知，在该平面区域内的点中，由点(－1,0)向直线x＋y ＝2引垂线的垂足位于该平面区域内，且与点(－1,0)的距离最小，因此|OA u u u r ＋OM u u u u r|的最小值是|－1＋0－2|2＝322.答案：(1)2 －2 (2)322线性规划的实际应用典题导入[例3] (2012·四川高考)某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是( )A ．1 800元B ．2 400元C ．2 800元D ．3 100元[自主解答] 设每天分别生产甲产品x 桶，乙产品y 桶，相应的利润为z 元，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤12，2x ＋y ≤12，x ≥0，y ≥0，z ＝300x ＋400y ，在坐标平面内画出该不等式组表示的平面区域及直线300x ＋400y ＝0，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点A (4,4)时，相应直线在y 轴上的截距达到最大，此时z ＝300x ＋400y 取得最大值，最大值是z ＝300×4＋400×4＝2 800，即该公司可获得的最大利润是2 800元．[答案] C由题悟法与线性规划有关的应用问题，通常涉及最优化问题．如用料最省、获利最大等，其解题步骤是：①设未知数，确定线性约束条件及目标函数；②转化为线性规划模型；③解该线性规划问题，求出最优解；④调整最优解．以题试法3．(2012·南通模拟)铁矿石A 和B 的含铁率a ，冶炼每万吨铁矿石的CO 2的排放量b 及每万吨铁矿石的价格c 如下表：ab (万吨)c (百万元)A 50% 1 3 B70%0.56某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁，若要求CO 2的排放量不超过2(万吨)，则购买铁矿石的最少费用为________百万元．解析：可设需购买A 铁矿石x 万吨，B 铁矿石y 万吨，则根据题意得到约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，0.5x ＋0.7y ≥1.9，x ＋0.5y ≤2，目标函数为z ＝3x ＋6y ，画出不等式组表示的平面区域如图所示当目标函数经过(1,2)点时目标函数取最小值，最小值为z min ＝3×1＋6×2＝15.答案：151．(2012·三明模拟)已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围为( )A ．(－24,7)B ．(－7,24)C ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞)解析：选B 根据题意知(－9＋2－a )·(12＋12－a )＜0. 即(a ＋7)(a －24)＜0，解得－7＜a ＜24.2．已知实数对(x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≤2，y ≥1，x －y ≥0，则2x ＋y 取最小值时的最优解是( )A ．6B ．3C ．(2,2)D ．(1,1)解析：选D 约束条件表示的可行域如图中阴影三角形，令z ＝2x ＋y ，y ＝－2x ＋z ，作初始直线l 0：y ＝－2x ，作与l 0平行的直线l ，则直线经过点(1,1)时，(2x ＋y )min ＝3.3．(2012·山东高考)设变量x ，y 满足约束条件错误!则目标函数z ＝3x －y 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，－1 C ．[－1,6]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－6，32解析：选A 不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数的几何意义是直线在y 轴上截距的相反数，其最大值在点A (2,0)处取得，最小值在点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3处取得，即最大值为6，最小值为－32.4．在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≤0，x ＋y ≥0，y ≤a确定的平面区域中，若z ＝x ＋2y 的最大值为3，则a 的值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选A 如图所示，作出可行域，是一个三角形区域，而由图可知，目标函数z ＝x ＋2y 在点A (a ，a )处取得最值，故a ＋2a ＝3，解得a ＝1.5．(2012·石家庄质检)已知点Q (5,4)，动点P (x ，y )满足错误!则|PQ |的最小值为( )A ．5 B.43 C ．2D ．7解析：选A 不等式组所表示的可行域如图所示，直线AB 的方程为x ＋y －2＝0，过Q 点且与直线AB 垂直的直线为y －4＝x －5，即x －y －1＝0，其与直线x ＋y －2＝0的交点为⎝⎛⎭⎪⎫32，12，而B (1,1)，A (0,2)，因为32＞1，所以点Q 在直线x ＋y －2＝0上的射影不在线段AB 上，则|PQ |的最小值即为点Q 到点B 的距离，故|PQ |min ＝5－12＋4－12＝5.6．(2013·山东烟台模拟)已知A (3，3)，O 是坐标原点，点P (x ，y )的坐标满足⎩⎨⎧3x －y ≤0，x －3y ＋2≥0，y ≥0，设 Z 为OA u u u r 在OP u u u r上的投影，则Z 的取值范围是( )A ．[－3， 3 ]B ．[－3,3]C ．[－3，3]D ．[－3， 3 ]解析：选B 约束条件所表示的平面区域如图．OA u u u r 在OP u u u r 上的投影为|OA u u u r|·cos θ＝23cos θ(θ为OA u u u r 与OP u u u r的夹角)，∵∠xOA ＝30°，∠xOB ＝60°， ∴30°≤θ≤150°， ∴23cos θ∈[－3,3]．7．(2013·成都月考)若点P (m,3)到直线4x －3y ＋1＝0的距离为4，且点P 在不等式2x ＋y ＜3表示的平面区域内，则m ＝________.解析：由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧|4m －9＋1|5＝4，2m ＋3＜3，解得m ＝－3.答案：－38．(2012·“江南十校”联考)已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y －2≤0，x ＋3≥0，x －y －1≤0，则x 2＋y 2的最大值为________．解析：作出如图所示的可行域．x 2＋y 2表示可行域内的点到原点的距离的平方，易知在点A (－3，－4)处取最大值(－3)2＋(－4)2＝25.答案：259．(2012·上海高考)满足约束条件|x |＋2|y |≤2的目标函数z ＝y －x 的最小值是________．解析：由题意知约束条件表示的可行域为如图所示的菱形区域，所以当x ＝2，y ＝0时，目标函数z ＝y －x 取得最小值－2.答案：－210．画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3表示的平面区域，并回答下列问题：(1)指出x ，y 的取值范围； (2)平面区域内有多少个整点？解：(1)不等式x －y ＋5≥0表示直线x －y ＋5＝0上及右下方的点的集合．x＋y ≥0表示直线x ＋y ＝0上及右上方的点的集合，x ≤3表示直线x ＝3上及左方的点的集合．所以，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3表示的平面区域如图所示．结合图中可行域得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，3，y ∈[－3,8]．(2)由图形及不等式组知⎩⎪⎨⎪⎧－x ≤y ≤x ＋5，－2≤x ≤3，且x ∈Z .当x ＝3时，－3≤y ≤8，有12个整点； 当x ＝2时，－2≤y ≤7，有10个整点； 当x ＝1时，－1≤y ≤6，有8个整点； 当x ＝0时，0≤y ≤5，有6个整点； 当x ＝－1时，1≤y ≤4，有4个整点；当x ＝－2时，2≤y ≤3，有2个整点；所以平面区域内的整点共有2＋4＋6＋8＋10＋12＝42(个)．11．某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．(1)用每天生产的卫兵个数x 与骑兵个数y 表示每天的利润W (元)； (2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？ 解：(1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x －y ， 所以利润W ＝5x ＋6y ＋3(100－x －y ) ＝2x ＋3y ＋300.(2)约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋7y ＋4100－x －y ≤600，100－x －y ≥0，x ≥0，y ≥0，x ∈Z ，y ∈Z ，整理得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ≤200，x ＋y ≤100，x ≥0，y ≥0，x ∈Z ，y ∈Z ，目标函数为W ＝2x ＋3y ＋300，如图所示，作出可行域．初始直线l 0：2x ＋3y ＝0，平移初始直线经过点A 时，W 有最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝200，x ＋y ＝100，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝50，y ＝50，最优解为A (50,50)，所以W max ＝550(元)．答：每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，为550元．12．变量x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1.(1)设z ＝yx，求z 的最小值； (2)设z ＝x 2＋y 2，求z 的取值范围．解：由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1作出(x ，y )的可行域如图所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，3x ＋5y －25＝0，解得A ⎝⎛⎭⎪⎫1，225. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x －4y ＋3＝0，解得C (1,1)．由⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3＝0，3x ＋5y －25＝0，解得B (5,2)．(1)z ＝y x ＝y －0x －0表示的几何意义是可行域中的点与原点O 连线的斜率.观察图形可知z min ＝k OB ＝25.(2)z ＝x 2＋y 2的几何意义是可行域上的点到原点O 的距离的平方．结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中，d min ＝|OC |＝2，d max ＝|OB |＝29.故z 的取值范围为[2,29]．1．(2012·龙岩阶段性检测)在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0，2x －y ≥0，a ＞0x ≤a表示的平面区域的面积为5，直线mx －y ＋m ＝0过该平面区域，则m 的最大值是________．解析：平面区域如图所示，A (a,2a )，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，－a 2.∴S △OAB ＝12×5a 2×a ＝54a 2＝5，∴a ＝2，即A (2,4)，B (2，－1)．又mx －y ＋m ＝0过定点(－1,0)，即y ＝mx ＋m ，斜率m 的最大值为过A 点时的值为42－－1＝43.答案：432．(2012·济南质检)已知实数x ，y 满足|2x ＋y ＋1|≤|x ＋2y ＋2|，且－1≤y ≤1，则z ＝2x ＋y 的最大值为( )A ．6B ．5C ．4D ．－3解析：选B |2x ＋y ＋1|≤|x ＋2y ＋2|等价于(2x ＋y ＋1)2≤(x ＋2y ＋2)2，即x 2≤(y ＋1)2，即|x |≤|y ＋1|.又－1≤y ≤1，作出可行域如图阴影部分所示．则当目标函数过C (2,1)时取得最大值， 所以z max ＝2×2＋1＝5.3．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2，(1)求目标函数z ＝12x －y ＋12的最值．(2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，求a 的取值范围． 解：(1)作出可行域如图，可求得A (3,4)，B (0,1)，C (1,0)． 平移初始直线12x －y ＋12＝0，过A (3,4)取最小值－2，过C (1,0)取最大值1.∴z 的最大值为1，最小值为－2.－a2<2，解得(2)直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1<－4<a <2.故所求a 的取值范围为(－4,2)．1．(2012·广东高考)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x －y ≤1，x ＋1≥0，则z ＝x ＋2y 的最小值为( )A ．3B ．1C ．－5D ．－6解析：选C 变量x ，y 满足的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x －y ≤1，x ＋1≥0表示的平面区域如图所示，作辅助线l 0：x ＋2y ＝0，并平移到过点A (－1，－2)时，z＝x ＋2y 达到最小，最小值为－5.2．(2011·四川高考)某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车．某天需送往A 地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元．该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z ＝( )A ．4 650元B ．4 700元C ．4 900元D ．5 000元21解析：选C 设当天派用甲型卡车x 辆，乙型卡车y 辆，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ≤19，x ＋y ≤12，10x ＋6y ≥72，0≤x ≤8，0≤y ≤7.设每天的利润为z 元，则z ＝450x ＋350y .画出可行域如图阴影部分所示．由图可知z ＝450x ＋350y ＝50(9x ＋7y )，经过点A 时取得最大值． 又由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝12，2x ＋y ＝19得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝7，y ＝5，即A (7,5)．所以当x ＝7，y ＝5时，z 取到最大值，z max ＝450×7＋350×5＝4 900元．。
湖南省2011届高考数学一轮复习：《二元一次不等式与简单的线性》
可行解
可行域
y
4
3
最优解
o
4
8
第八页，编辑于星期日：十六点 十五分。
合作学习
例题1.如图，已知 ΔABC 中的三顶点 A(2 , 4) , B(1 , 2) , C(1 , 0), 点 P(x, y) 在 ΔABC内部及边界运动，
请你探究并讨论以下问题：
① zxy
在__A__处有最大值__6_，
在_B__C_处有最小值__1_；
数据分析表：
甲产品
每件耗时 （h）
1
乙产品
2
日生产 满足
8
A配件 B配件（个） （个）
4
0
0
4
16 12
第三页，编辑于星期日：十六点 十五分。
【引例】：
某工厂用A、B两种配
4
件生产甲、乙两种产
品，每生产一件甲产
品使用4个A配件并耗
2
时1h，每生产一件乙
产品使用4个B配件并 耗时2h，该厂每天最
Z B
最优解
转化
求纵截距 的最值
四个步骤：画、作、移、答
（2）代点验算法(适用于封闭的可行域)
第十页，编辑于星期日：十六点 十五分。
思考与延伸：
已知目标函数是z=2x-ay，可行域如图所示（含边界）
（1）Z取最大值时最优解是（4，2），求a的取值范围。 （2）Z取得最大值的最优解有无数个，求实数a的值。
知识归纳
目标函数
（线性目标函数）
设z=2x+3y，式中变量满足下列条件：
x 2y 8
44
x y
16 12
x
0
y 0
求z的最大值与最小值。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
考点27 二元一次不等式（组）
与简单的线性规划问题
一、选择题
1.（2011·安徽高考文科·Ｔ6）设变量x ，y 满足⎪⎩
⎪⎨⎧≥≤≤+，，，
0x 1y -x 1y x 则x y
+2的最大值和
最小值分别为（ ）
（A ）1，-1 （B ）2，-2 （C ）1，-2 （D ）2，-1 【思路点拨】画出可行域，确定三条直线交点，代入x+2y 取最值.
【精讲精析】 选B. 0,1,1==-=+x y x y x 三条直线的交点分别为（0,1），（0，-1）， （1,0），画出可行域可知，分别在点（0,1），（0，-1）得到最大值为2，最小值为-2.
2.（2011·安徽高考理科·Ｔ4）设变量,x y 满足1,x y +≤则2x y +的最大值和最
小值分别为
（Ａ）１，－１ （Ｂ）２，－２ （Ｃ）１，－２ （Ｄ）２，－１ 【思路点拨】此题属于线性规划问题，先画出1x y +≤表示的平面区域，再求目标函数z=2x y +的最值. 【精讲精析】选B.首先画出1x
y +≤表示的平面区域
由图像可知当目标函数过点（0,1）时取得最大值2，
过点（0，-1）时取得最小值-2.
3.（2011·福建卷理科·Ｔ8）已知O 是坐标原点，点A （-1,1）若点M （x,y ）为平面区域
2,1,2x y x y +≥⎧⎪
≤⎨⎪≤⎩
上的一个动点，则OA OM ⋅
的取值范围是（ ）
(A).[-1,0] (B).[0,1] (C).[0,2] (D).[-1,2]
【思路点拨】结合约束条件画出可行域，O A O M x y
⋅=-+
令z=作为目标函数，数
形结合求值域.
【精讲精析】选C. 由题意,不等式组2,
1,2x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩
表示的平面区域如图所示：
由数量积的坐标运算易得：
[]m in m ax ,-,,1,10,0,22,0,2.
O A O M x y x y z y x z y x z B z y x z C z O A O M ⋅=-++==+=+==+=⋅
令即易知目标函数过点（）时，目标函数过点（）时，故的取值范围是 4.（2011·山东高考文科·Ｔ7）设变量x ，y 满足约束条件250200x y x y x +-≤⎧⎪
--≤⎨⎪≥⎩
，则目
标函数231z x y =++的最大值为 (A)11 (B)10 (C)9 (D)8.5
【思路点拨】本题可先根据题意画出平面区域，将目标函数化为斜截式，平移目标函数得最值.
【精讲精析】画出平面区域表示的可行域如图所示,由目标函数231z x y =++得直线2133
z y x -=-
+
，当直线平移至点A(3,1)时, 目标函数231z x y =++取得最大值
为10,故选B.
5.（2011·湖南高考理科·T7）设m>1，在约束条件下，
⎪⎩
⎪⎨⎧≤+≤≥1y x mx y x
y 目标函数z=x+my 的最大值小于2，则m 的取值范围为 A ．)21,1(+
B ．)
,21(+∞+
C ．（1，3）
D ．),3(+∞
【思路点拨】本题主要考查了线性规划的基础知识和数形结合思想的运用，只要准确认真作图，本题就容易了，而且题型只有两种：一是已知约束条件和目标函数求最值.二是已知最值和约束条件而求目标函数中的参数情况或已知最值和目标函数而求约束条件中的参数情况.
【精讲精析】选A.在平面直角坐标系中作出直线1≤+≥y x x y 和，再作出直线
y mx ≤和直线m
x m y
21+
-
=，即可解决.
6.（2011·天津高考文科·Ｔ2）设变量x ，y
满足约束条件1,
40,340,
x x y x y ì³ïï
+- íï-+ ïî则目标
函数3z x y =-的最大值为（ ） A ．-4 B ．0
C ．4
3 D ．4
【思路点拨】本题考查线性规划问题。
【精讲精析】作出线性约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≤+-≤-+≥043041
y x y x x 的可行域，如图所示，显然，可行
域是由点)3
5,
1(A 、)2,2(B 、)3,1(C 所围成的三角形区域，显然，当线性目标函数
03=--z y x 经过点)2,2(B 时，z
有最大值4223max
=-⨯=z ；故选
D 。
7.（2011·浙江高考理科·Ｔ5）设实数x 、y 满足不等式组25>027>0
0,0x y x y x y +-⎧⎪
+-⎨⎪≥≥⎩
，若x 、
y
为整数，则34x y + 的最小值是
（A ）14 （B ）16 （C ）17 （D ）19 【思路点拨】线性规划问题，要注意其中最优点应为整点。
【精讲精析】选B.
25=0x y +-与
27=0x y +-的交点为（3，1），通过直线平移可知（3，1）即为最优
点，因为25>0x y +-与27>0x y +-不包括边界,区域中不含（3，1）,所以当直线移至（4，1）时34x y + 取得最小值
16.
8.（2011·浙江高考文科·Ｔ3）若实数x ，y 满足不等式组250
270
0,0x y x y x y +-≥⎧⎪+-≥⎨⎪≥≥⎩
,则3x +4y
的最小值是
(A)13 (B)15 (C)20 (D)28 【思路点拨】线性规划问题，画出可行域,通过平移直线340x y +=可得. 【精讲精析】选A.
25=0x y +-与
27=0x y +-的交点为（3，1），通过直线平移可知（3，1）即为最优
点，此时34x y + 取得最小值13.
二、填空题
9.（2011·新课标全国高考理科·Ｔ13）若变量,x y 满足约束条件329,
69,x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩
则
2z x y
=+的最小值为______
【思路点拨】可以设2(2+)()z x y x y x y λμ=+=+-，然后利用待定系数法，求得λ和
μ
的值，然后通过"2"x y +和""x y -本身的范围求得2z x y =+的范围.另外本题也可以用线性规划的知识来解决.
【精讲精析】-6 解析1：令2(2)()z x y x y x y λμ=+=++-＝(2)()x y λμλμ++-，
212
λμλμ+=⎧∴⎨
-=⎩，1
1=⎧∴⎨=-⎩λμ，(2)()z x y x y ∴=+--， 又3299()6x y x y ≤+≤-≤--≤- ，，
6(2)()3x y x y ∴-≤+--≤，m in 6
z ∴=-.
解析2：由约束条件32969x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩，画出可行域如下图所示，将目标函数2=+z x y
化为斜截式为112
2
=-
+
y x z ，
平移目标函数，可知当目标函数过9x y -=和23
x y +=的交点（4,-5）时，Z 有最小值，将点（4,-5）代入目标函数2=+z x y 得m in
6.z =-
10.（2011·湖南高考文科T14）设m>1，在约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≤+≤≥1y x mx y x
y 下，目标函数z=x+5y
的最大值为4，则m 的值为______
【思路点拨】本题考查利用线性规划法求二元函数在不等式条件下的最值. 【精讲精析】答案：3. 在平面直角坐标系中作出对应的区域
和451,=+≤+≥
y x y x x y ,
.3=≤m mx y 直线，即可得到
再作出
11.（2011·陕西高考文科·T12）如图，点(,)x y 在四边形ABCD 内部和边界上运动，那么2x y -的最小值为________.
【思路点拨】本题为线性规划问题，采用数形结合法解答，解答本题的关键是确定目标函数过哪一个点时取得最小值．
【精讲精析】答案：1目标函数2z x y =-，当0x =时，z y =-，所以当y 取得最大值时，z 的值最小；移动直线20x y -=，当直线移动到过点A 的位置时，y 最大，即z 的值最小，此时2111z =⨯-=．。