考点48 基本不等式——2021年高考数学专题复习讲义
2021高考浙江版数学一轮复习讲义： 第6章 第3节 基本不等式
第三节 根本不等式1．根本不等式ab ≤a ＋b2(1)根本不等式成立的条件：a >0，b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b . 2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )； (2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号且不为零)； (3)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )； (4)⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )． 3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，那么a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，根本不等式可表达为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4．利用根本不等式求最值问题 x >0，y >0，那么(1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)．(2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 24(简记：和定积最大)．1．(思考辨析)判断以下结论的正误．(正确的打“√〞，错误的打“×〞) (1)函数y ＝x ＋1x 的最小值是2.( )(2)函数f (x )＝cos x ＋4cos x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2的最小值等于4.( )(3)x >0，y >0是x y ＋yx ≥2的充要条件．( ) (4)假设a >0，那么a 3＋1a 2的最小值为2a .( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)×2．假设a ，b ∈R ，且ab >0，那么以下不等式中，恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2abD.b a ＋a b ≥2D [∵a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，∴A 错误；对于B ，C ，当a <0，b <0时，明显错误．对于D ，∵ab >0，∴b a ＋ab ≥2b a ·a b ＝2.]3．(2021·绍兴二模)假设a ，b 都是正数，那么⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4a b 的最小值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10C [∵a ，b 都是正数，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4a b ＝5＋b a ＋4a b ≥5＋2b a ·4ab ＝9，当且仅当b ＝2a >0时取等号，应选C.]4．假设函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，那么a 等于( ) A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3D ．4C [当x >2时，x －2>0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2(x －2)×1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2(x >2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x ＝3，即a ＝3，选C.]5．(教材改编)假设把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地，那么矩形场地的最大面积是__________m 2. 【导学号：51062190】25 [设矩形的一边为x m ，矩形场地的面积为y ， 那么另一边为12×(20－2x )＝(10－x )m ， 那么y ＝x (10－x )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋(10－x )22＝25， 当且仅当x ＝10－x ，即x ＝5时，y max ＝25.]利用根本不等式求最值(1)假设实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，那么ab 的最小值为( ) A.2 B ．2 C ．2 2D ．4(2)(2021·湖州二次质量预测)正数x ，y 满足x 2＋2xy －3＝0，那么2x ＋y 的最小值是__________．(1)C (2)3 [(1)由1a ＋2b ＝ab 知a >0，b >0，所以ab ＝1a ＋2b ≥22ab ，即ab ≥22，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧1a ＝2b ，1a ＋2b ＝ab ，即a ＝42，b ＝242时取“＝〞，所以ab 的最小值为2 2.(2)由x 2＋2xy －3＝0得y ＝3－x 22x ＝32x －12x ，那么2x ＋y ＝2x ＋32x －12x ＝3x 2＋32x≥23x 2·32x ＝3，当且仅当x ＝1时，等号成立，所以2x ＋y 的最小值为3.] [规律方法] 1.利用根本不等式求函数最值时，注意“一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小〞．2．在求最值过程中假设不能直接使用根本不等式，可以考虑利用拆项、配凑、常数代换、平方等技巧进展变形，使之能够使用根本不等式．[变式训练1] (1)(2021·金华十校4月联考)a >0，b >0，且2a ＋b ＝1，假设不等式2a ＋1b ≥m 恒成立，那么m 的最大值等于( )A ．10B ．9C ．8D ．7(2)(2021·杭州学军中学一模)实数m ，n 满足m ·n >0，m ＋n ＝－1，那么1m ＋1n 的最大值为__________．(1)B (2)－4 [(1)∵2a ＋1b ＝2(2a ＋b )a ＋2a ＋b b ＝4＋2b a ＋2a b ＋1＝5＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥5＋2×2b a ×a b ＝9，当且仅当a ＝b ＝13时取等号．又2a ＋1b ≥m ，∴m ≤9，即m的最大值等于9，应选B.(2)∵m ·n >0，m ＋n ＝－1，∴m <0，n <0， ∴1m ＋1n ＝－(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋n m ＋m n ≤－2－2n m ·mn＝－4， 当且仅当m ＝n ＝－12时，1m ＋1n 取得最大值－4.]利用根本不等式证明不等式a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证： (1)1a ＋1b ＋1ab ≥8； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9. [证明] (1)1a ＋1b ＋1ab ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ，∵a ＋b ＝1，a >0，b >0，∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋a b ＋ba ≥2＋2＝4，4分 ∴1a ＋1b ＋1ab ≥8(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立).7分(2)法一：∵a >0，b >0，a ＋b ＝1，∴1＋1a ＝1＋a ＋b a ＝2＋b a ，同理1＋1b ＝2＋ab ， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋a b ＝5＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥5＋4＝9，12分∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立).14分 法二：⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1ab ，由(1)知，1a ＋1b ＋1ab ≥8，12分 故⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1ab ≥ [规律方法] 1.“1”的代换是解决问题的关键，代换变形后能使用根本不等式是代换的前提，不能盲目变形．2．利用根本不等式证明不等式，关键是所证不等式必须是有“和〞式或“积〞式，通过将“和〞式转化为“积〞式或将“积〞式转化为“和〞式，到达放缩的效果，必要时，也需要运用“拆、拼、凑〞的技巧，同时应注意屡次运用根本不等式时等号能否取到．[变式训练2] 设a ，b 均为正实数，求证：1a 2＋1b 2＋ab ≥2 2. [证明] 由于a ，b 均为正实数， 所以1a 2＋1b 2≥21a 2·1b 2＝2ab ，4分当且仅当1a 2＝1b 2，即a ＝b 时等号成立， 又因为2ab ＋ab ≥22ab ·ab ＝22， 当且仅当2ab ＝ab 时等号成立， 所以1a 2＋1b 2＋ab ≥2ab ＋ab ≥22，12分当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＝1b 2，2ab ＝ab ，即a ＝b ＝42根本不等式的实际应用运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x ≤100(单位：千米/时)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 2360升，司机的工资是每小时14元． (1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值． [解] (1)设所用时间为t ＝130x (h)，y ＝130x ×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 2360＋14×130x ，x ∈[50,100].4分所以这次行车总费用y 关于x 的表达式是 y ＝130×18x ＋2×130360x ，x ∈[]50，100.(或y ＝2 340x ＋1318x ，x ∈[]50，100).6分 (2)y ＝130×18x ＋2×130360x ≥26 10，当且仅当130×18x＝2×130360x ， 即x ＝1810故当x ＝1810千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为2610 [规律方法] 1.设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数． 2．根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用根本不等式求得函数的最值．3．在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．[变式训练3] 某化工企业2021年年底投入100万元，购入一套污水处理设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．设该企业使用该设备x年的年平均污水处理费用为y(单位：万元)．(1)用x表示y；(2)当该企业的年平均污水处理费用最低时，企业需重新更换新的污水处理设备．那么该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备．[解](1)由题意得，y＝，即y＝x＋100x＋1.5(x∈N*).6分(2)由根本不等式得：y＝x＋100x≥2x·100x＋1.5＝21.5，12分当且仅当x＝100x，即x＝10时取等号．[思想与方法]1．根本不等式具有将“和式〞转化为“积式〞和将“积式〞转化为“和式〞的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围．如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用根本不等式对两个正数的和与积进展转化，然后通过解不等式进展求解．2．根本不等式的两个变形：(1)a2＋b22≥⎝⎛⎭⎪⎫a＋b22≥ab(a，b∈R，当且仅当a＝b时取等号)．(2)a2＋b22≥a＋b2≥ab≥21a＋1b(a>0，b>0，当且仅当a＝b时取等号)．[易错与防范]1．使用根本不等式求最值，“一正〞“二定〞“三相等〞三个条件缺一不可．2．“当且仅当a＝b时等号成立〞的含义是“a＝b〞是等号成立的充要条件，这一点至关重要，无视它往往会导致解题错误．3．连续使用根本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致．课时分层训练(三十二)根本不等式A组根底达标(建议用时：30分钟)一、选择题1．x>－1，那么函数y＝x＋1x＋1的最小值为()A．－1B．0 C．1 D．2C[由于x>－1，那么x＋1>0，所以y＝x＋1x＋1＝(x＋1)＋1x＋1－1≥2(x＋1)·1x＋1－1＝1，当且仅当x＋1＝1x＋1，由于x>－1，即当x＝0时，上式取等号．]2．设非零实数a，b，那么“a2＋b2≥2ab〞是“ab＋ba≥2”成立的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件B [因为a ，b ∈R 时，都有a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，即a 2＋b 2≥2ab ，而ab ＋b a ≥2⇔ab >0，所以“a 2＋b 2≥2ab 〞是“a b ＋ba ≥2”的必要不充分条件．]3．(2021·金华十校联考)函数f (x )＝a x －1－2(a >0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，假设点A 在直线mx －ny －1＝0上，其中m >0，n >0，那么1m ＋2n 的最小值为( )A ．4B ．5C ．6D ．3＋2 2D [由题意知A (1，－1)，因为点A 在直线mx －ny －1＝0上，所以m ＋n ＝1，所以1m ＋2n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋2n (m ＋n )＝3＋n m ＋2mn ，因为m >0，n >0，所以1m ＋2n ＝3＋n m ＋2mn ≥3＋2n m ·2mn＝3＋2 2.当且仅当n m ＝2mn 时，取等号，应选D.]4．(2021·湖州二模)a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ，那么1a ＋2b 的最小值为( )【导学号：51062191】A ．4B ．2 2C ．8D ．16 B [由a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ＝a ＋bab ， 得ab ＝1， 那么1a ＋2b ≥21a ·2b ＝2 2.当且仅当1a ＝2b ，即a ＝22，b ＝2时等号成立．应选B.]5．(2021·杭州二中月考)假设a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，那么( ) A ．R <P <Q B ．Q <P <R C ．P <Q <RD ．P <R <QC [∵a >b >1，∴lg a >lg b >0， 12(lg a ＋lg b )>lg a ·lg b ，即Q >P .∵a ＋b 2>ab ，∴lg a ＋b 2>lg ab ＝12(lg a ＋lg b )＝Q ，即R >Q ，∴P <Q <R .] 二、填空题6．(2021·浙江金华3月联考)假设2x ＋4y ＝4，那么x ＋2y 的最大值是__________．2 [因为4＝2x ＋4y ＝2x ＋22y ≥22x ×22y ＝22x ＋2y ， 所以2x ＋2y ≤4＝22，即x ＋2y ≤2， 当且仅当2x ＝22y ＝2，即x ＝2y ＝1时，x ＋2y 取得最大值2.] 7．函数f (x )＝x ＋px －1(p 为常数，且p >0)，假设f (x )在(1，＋∞)上的最小值为4，那么实数p 的值为__________．94 [由题意得x －1>0，f (x )＝x －1＋p x －1＋1≥2p ＋1，当且仅当x ＝p ＋1时取等号，所以2p ＋1＝4，解得p ＝94.]8．某公司一年购置某种货物400吨，每次都购置x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，那么x ＝__________吨．20 [每次都购置x 吨，那么需要购置400x 次． ∵运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元， ∴一年的总运费与总存储费用之和为4×400x ＋4x 万元．∵4×400x ＋4x ≥160，当且仅当4x ＝4×400x 时取等号，∴x ＝20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小．]三、解答题9．(1)当x <32时，求函数y ＝x ＋82x －3的最大值； (2)设0<x <2，求函数y ＝x (4－2x )的最大值．[解] (1)y ＝12(2x －3)＋82x －3＋32 ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2x 2＋83－2x ＋32.2分 当x <32时，有3－2x >0，∴3－2x 2＋83－2x ≥23－2x 2·83－2x＝4，4分 当且仅当3－2x 2＝83－2x，即x ＝－12时取等号． 于是y ≤－4＋32＝－52，故函数的最大值为－52.6分(2)∵0<x <2，∴2－x >0，∴y ＝x (4－2x )＝2·x (2－x )≤2·x ＋2－x 2＝2，10分当且仅当x ＝2－x ，即x ＝1时取等号，∴当x ＝1时，函数y ＝x (4－2x )的最大值为 2.15分10．x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，求：(1)xy 的最小值；(2)x ＋y 的最小值. 【导学号：51062192】[解] (1)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y ＝1，2分 又x >0，y >0，那么1＝8x ＋2y ≥2 8x ·2y ＝8xy，得xy ≥64，当且仅当x ＝16，y ＝4时，等号成立．所以xy(2)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y ＝1，那么x ＋y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋2y ·(x ＋y )＝10＋2x y ＋8y x ≥10＋2 2x y ·8yx当且仅当x ＝12且y ＝6时等号成立，∴x ＋yB 组 能力提升(建议用时：15分钟)1．要制作一个容积为4 m 3 ，高为1 m 的无盖长方体容器．该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，那么该容器的最低总造价是( )A ．80元B ．120元C ．160元D ．240元C [由题意知，体积V ＝4 m 3，高h ＝1 m ，所以底面积S ＝4 m 2，设底面矩形的一条边长是x m ，那么另一条边长是4xm ．又设总造价是y 元，那么y ＝20×4＋10×⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋8x ≥80＋202x ·8x ＝160.当且仅当2x ＝8x ，即x ＝2时取得等号．]2．(2021·浙江名校(柯桥中学)交流卷三)设a >0，b >0，a ＋b －2a 2b 2－6＝0，那么1a ＋1b 的最小值是________，此时ab 的值为________．43 3 [∵a >0，b >0，a ＋b ＝2a 2b 2＋6，∴1a ＋1b ＝6＋2(ab )2ab ＝6ab ＋2ab ≥43，当且仅当6ab ＝2ab ，即ab ＝3时，1a ＋1b 取到最小值4 3.]3．经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内(以30天计)，第t 天(1≤t ≤30，t ∈N *)的旅游人数f (t )(万人)近似地满足f (t )＝4＋1t ，而人均消费g (t )(元)近似地满足g (t )＝120－|t －20|.(1)求该城市的旅游日收益W (t )(万元)与时间t (1≤t ≤30，t ∈N *)的函数关系式；(2)求该城市旅游日收益的最小值．[解] (1)W (t )＝f (t )g (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋1t (120－|t －20|) ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 401＋4t ＋100t ，1≤t ≤20，559＋140t －4t ，20<t ≤30.6分(2)当t ∈[1,20]时，401＋4t ＋100t ≥401＋24t ·100t ＝441(t ＝5时取最小值).9分 当t ∈(20,30]时，因为W (t )＝559＋140t －4t 递减，所以t ＝30时，W (t )有最小值W (30)＝44323，12分所以t ∈[1,30]时，W (t。
高考数学复习考点48 基本不等式(讲解)(解析版)
因为b，c>0，所以 ＋ ≥2 ＝4.
当且仅当 ＝ 时等号成立．
由此可得b＝2c，且b＋c＝1，即b＝ ，
c＝ 时， ＋ 取得最小值9.
4．若直线 过△ 的重心 ，且 ， ，其中 ， ，则 的最小值是。
【答案】
【解析】如图：连接 并延长交 于 点，所以 点是 中点
， 的取值分别为 ， ， ， ， ．则 的最小值为 ．
3．已知直线ax＋by＋c－1＝0(b，c>0)经过圆x2＋y2－2y－5＝0的圆心，则 ＋ 的最小值是。
【答案】9
【解析】圆x2＋y2－2y－5＝0化成标准方程，得x2＋(y－1)2＝6，
所以圆心为C(0，1)．
因为直线ax＋by＋c－1＝0经过圆心C，所以a×0＋b×1＋c－1＝0，即b＋c＝1.
【答案】
【解析】 在 中， 、 、 依次成等比数列，
，
利用正弦定理化简得 ，
由余弦定理得 （当且仅当 时取等号），因为 ,则 的范围为 ， ，
2．已知正项等比数列 满足： ，若存在两项 、 使得 ，则 的最小值为。
【答案】
【解析】设正项等比数列 的公比为 ， 满足： ， ，解得 ．
存在两项 、 使得 ， ， ．
∴2a＋b＋c≥2 ＝2( －1)＝2 －2.
考法四：消元型
1．若正数 满足 ，则 的最小值是。
【答案】4
【解析】因为正数 满足 ，所以 ，
所以 ，当且仅当 ，即 时，等号成立.
2．若正数 满足 ，则 的最小值为。
【答案】4
【解析】方法一：由 ，可得 ，
所以 .
由 为正数且 ，可得 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时等号成立.
2023届高考数学一轮复习讲义：第5讲 基本不等式
第5讲 基本不等式1．基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0.(2)等号成立的条件：当且仅当 时取等号．(3)其中 称为正数a ，b 的算术平均数， 称为正数a ，b 的几何平均数． 2．利用基本不等式求最值 已知x ≥0，y ≥0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当 时，x ＋y 有最小值是 ．(简记：积定和最小)(2)如果和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当 时，xy 有最大值是 ．(简记：和定积最大)常用结论 几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号．(2)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号． (3)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号． (4)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时取等号．➢考点1 利用基本不等式求最值[名师点睛]1.通过配凑法利用基本不等式求最值的策略拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；(2)代数式的变形以配凑出和或积的定值为目标； (3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提． 2.常数代换法求最值的步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)； (2)把确定的定值(常数)变形为1；(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式； (4)利用基本不等式求解最值． 3.消元法求最值的方法消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．但应注意保留元的范围． [典例]1.（2022·河北·高三阶段练习）已知实数a ，b 满足条件33ba b ++，则22a b +的最小值为（ ） A ．8B ．6C ．4D ．22．（2022·湖南湖南·二模）函数()122y x x x =+>-+的最小值为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．03．（多选）（2022·河北石家庄·二模）设正实数m ，n 满足2m n +=，则下列说法正确的是（ ） A ．11m n+上的最小值为2 B ．mn 的最大值为1C 4D ．22m n +的最小值为544.[2021河南平顶山模拟]若对于任意x >0，不等式xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．⎣⎡⎭⎫15，＋∞B ．⎝⎛⎭⎫15，＋∞C ．⎝⎛⎭⎫－∞，15D ．⎝⎛⎦⎤－∞，15 [举一反三]1．（2022·山西·怀仁市第一中学校二模（文））函数413313y x x x ⎛⎫⎪⎝=>-⎭+的最小值为（ ）A ．8B ．7C ．6D ．52．（2022·安徽·高三阶段练习（文））已知0x >，0y >，22x y +=，则12x y+的最小值是（ ）A ．1B ．2C ．4D ．63．（2022·全国·模拟预测）已知a ，b 为非负数，且满足26a b +=，则()()2214a b ++的最大值为（ ） A ．40B ．1674C ．42D ．16944．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知正实数a ，b 满足220ab a +-=，则4a b +的最小值是（ ）A ．2B ．2C ．2D ．65．（多选）（2022·河北保定·一模）下面描述正确的是（ ） A ．已知0a >，0b >，且1a b +=，则22log log 2a b +≤-B ．函数()lg f x x =，若0a b <<，且()()f a f b =，则2+a b 的最小值是C．已知()1210,012x y x x y+=>>++，则3x y +的最小值为2+ D ．已知()22200,0x y x y xy x y +---+=>>，则xy 的最小值为7126．（多选）（2022·重庆八中高三阶段练习）设001a b a b >>+=，，，则下列不等式中一定成立的是（ ） A ．114a b+≥B ．2212a b +≥C D ．10b +<7．（2022·天津市西青区杨柳青第一中学高三阶段练习）已知a ，b 为正实数，且2a b +=，则2221a b a b +++的最小值为____________，此时=a ____________． 8．（2022·浙江·镇海中学模拟预测）已知1x y >>，则()41x y x y xy y-+++-的最小值为___________.9．（2022·天津·大港一中高三阶段练习）设0m n >>，那么()41m m n n+-的最小值是___________.10．（2022·天津河北·一模）已知0a >，0b >，且1a b +=，则11a ba b +++的最大值为__________.11．（2022·全国·高三专题练习）已知0,0,0,233x y z x y z >>>++=，求222111()(2)(3)462x y z y z x+++++ 的最小值；➢考点2 利用基本不等式证明不等式[典例]（2022·全国·高三专题练习）已知,,a b c 都是正数，求证： (1)()()24a b ab cabc ++≥；(2)若1a b c ++=，则11192a b b c c a ++≥+++.[举一反三]1．（2022·云南·昆明一中高三阶段练习（文））已知a ，b ，c 为正数. (1)求24a a +的最小值； (2)求证：bc ac ab a b c a b c++≥++.2．（2022·陕西·西安工业大学附中高三阶段练习（文））已知0,0a b >>. (1)若2a b +=，求1411+++a b的最小值； (2)求证：2222(1)++≥++a b a b ab a b .3．（2022·河南开封·二模（文））已知,,R a b c +∈，且abc =1. (1)求证：222111a b c a b c++++≥；(2)若a =b +c ，求a 的最小值.4．（2022·全国·高三专题练习）已知正数a ，b ，c 满足3a b c ++=． (1)求abc 的最大值；(2)证明：3333a b b c c a abc ++≥．➢考点3 基本不等式中的恒成立问题[典例]1．（2022·全国·高三专题练习）若对任意220,1xx a x x >≥++恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[1,)-+∞B ．[3,)+∞C ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．(,1]-∞2．（2022·全国·高三专题练习）设,a b c >>，n N ∈，且2110n a b b c a c+≥---恒成立，则n 的最大值是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5[举一反三]1．（2021·重庆梁平·高三阶段练习）已知正实数a ，b 满足191a b +=，若不等式2418a b x x m +≥-++-对任意的实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[)3,+∞B ．(],3-∞C ．(],6-∞D ．[)6,+∞2．（2021·浙江·模拟预测）对任意正实数,a b 不等式2(1)2a b ab a bλλ+-++则（ ） A ．实数λ有最小值1 B ．实数λ有最大值1 C ．实数λ有最小值12D ．实数λ有最大值123．（多选）（2022·全国·高三专题练习）当0x >，0y >，R m ∈时，2222y xm m k x y+>-++恒成立，则k 的取值可能是（ ） A ．2-B ．1-C ．1D ．24．（2022·全国·高三专题练习）不等式22221122xy yz a a x y z ++-++≤对任意正数x ，y ，z 恒成立，则a 的最大值是__________．5．（2021·重庆一中高三阶段练习）已知对任意正实数x ，y ，恒有()2222x y a x xy y +-+≤，则实数a 的最小值是___________.6．（2022·全国·高三专题练习）若不等式()22x x y a x y +≤+对一切正实数,x y 恒成立，则实数a 的最小值为_____．➢考点4 基本不等式与其他专题综合[名师点睛]有关函数最值的实际问题的解题技巧1．根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值． 2．解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．3．在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解． [典例]1．（2022·安徽安庆·二模（文））若函数()41sin 2cos 33f x x x a x =-+在(),-∞+∞内单调递增，则实数a 的取值范围是___________.2.[2021湖北鄂东南联考]方程(x 2 018＋1)(1＋x 2＋x 4＋…＋x 2 016)＝2 018x 2 017的实数解的个数为________．3．（2022·广东·高三阶段练习）在足球比赛中，球员在对方球门前的不同的位置起脚射门对球门的威胁是不同的，出球点对球门的张角越大，射门的命中率就越高.如图为室内5人制足球场示意图，设球场（矩形）长BC 大约为40米，宽AB 大约为20米，球门长PQ 大约为4米.在某场比赛中有一位球员欲在边线BC 上某点M 处射门（假设球贴地直线运行），为使得张角PMQ ∠最大，则BM 大约为（ ）（精确到1米）A ．8米B ．9米C ．10米D ．11米[举一反三]1．（2022·北京·101中学高三阶段练习）已知某产品的总成本C （单位：元）与年产量Q （单位：件）之间的关系为23300010C Q =+．设该产品年产量为Q 时的平均成本为f （Q ）（单位：元/件），则f （Q ）的最小值是（ ） A ．30B ．60C ．900D ．18002．（多选）（2022·重庆·模拟预测）已知ABC 为锐角三角形，且sin sin sin A B C =，则下列结论中正确的是（ ） A ．tan tan tan tan B C B C += B ．tan tan tan tan tan tan A B C A B C =++ C ．41tan 3A <≤D ．tan tan tan A B C 的最小值为43．（2021·全国·高三专题练习）如图，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求点B 在AM 上，点D 在AN 上，且对角线MN 过点C ，已知4AB =，3AD =，那么当BM =_______时，矩形花坛的AMPN 面积最小，最小面积为______.第5讲 基本不等式1．基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．(3)其中a ＋b2称为正数a ，b 的算术平均数，ab 称为正数a ，b 的几何平均数．2．利用基本不等式求最值 已知x ≥0，y ≥0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p ．(简记：积定和最小)(2)如果和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是s 24．(简记：和定积最大)常用结论 几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号． (2)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号． (3)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号．(4)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时取等号．➢考点1 利用基本不等式求最值[名师点睛]1.通过配凑法利用基本不等式求最值的策略拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；(2)代数式的变形以配凑出和或积的定值为目标； (3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提． 2.常数代换法求最值的步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)； (2)把确定的定值(常数)变形为1；(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式； (4)利用基本不等式求解最值． 3.消元法求最值的方法消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．但应注意保留元的范围． [典例]1.（2022·河北·高三阶段练习）已知实数a ，b 满足条件336a ba b ++，则22a b +的最小值为（ ） A ．8B ．6C ．4D ．2【答案】D【解析】因为33ba b ++≥33a b=，即a b =时取等号，所以643a b a b ++≥⋅，所以24a b +≥，2a b +≥，()222122a b a b +≥+=，当且仅当1a b ==时等号成立，所以22a b +的最小值为2 故选：D.2．（2022·湖南湖南·二模）函数()122y x x x =+>-+的最小值为（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．0【答案】D【解析】因为2x >-，所以20x +>，102x >+，利用基本不等式可得11222022x x x x +=++-≥=++， 当且仅当122x x +=+即1x =-时等号成立.故选：D.3．（多选）（2022·河北石家庄·二模）设正实数m ，n 满足2m n +=，则下列说法正确的是（ ） A ．11m n+上的最小值为2 B ．mn 的最大值为1C 4D ．22m n +的最小值为54【答案】AB【解析】∵0,0,2m n m n >>+=，∴()1111111222222n m m n m n m n m n ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝， 当且仅当n mm n=，即1m n ==时等号成立，故A 正确；2m n +=≥∴1mn ≤，当且仅当1m n ==时，等号成立，故B 正确；(22224m ⎡⎤+≤+=⎢⎥⎣⎦，2=，当且仅当1m n ==时等号成立，最大值为2，故C 错误；()22222m n m n ++≥=，当且仅当1m n ==时等号成立，故D 错误．故选：AB4.[2021河南平顶山模拟]若对于任意x >0，不等式xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．⎣⎡⎭⎫15，＋∞B ．⎝⎛⎭⎫15，＋∞C ．⎝⎛⎭⎫－∞，15 D ．⎝⎛⎦⎤－∞，15 [答案] A [解析] 由x >0，x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3，令t ＝x ＋1x，则t ≥2x ·1x＝2， 当且仅当x ＝1时，t 取得最小值2. x x 2＋3x ＋1取得最大值15，所以对于任意的x >0，不等式x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a ≥15.[举一反三]1．（2022·山西·怀仁市第一中学校二模（文））函数413313y x x x ⎛⎫⎪⎝=>-⎭+的最小值为（ ）A ．8B ．7C ．6D ．5【答案】D【解析】因为13x >，所以3x －1>0，所以()443311153131y x x x x =+=-++≥=--， 当且仅当43131x x -=-，即x =1时等号成立， 故函数413313y x x x ⎛⎫⎪⎝=>-⎭+的最小值为5． 故选：D ．2．（2022·安徽·高三阶段练习（文））已知0x >，0y >，22x y +=，则12x y+的最小值是（ ）A ．1B ．2C ．4D ．6【答案】C【解析】解：因为0x >，0y >，22x y +=，所以()1211214122244222y x x y x y x y x y ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当4y x x y =，即12x =，1y =时取等号；故选：C3．（2022·全国·模拟预测）已知a ，b 为非负数，且满足26a b +=，则()()2214a b ++的最大值为（ ） A ．40 B ．1674C ．42D ．1694【答案】D 【解析】()()222222222214444444a b ab a b a b ab ab a b ++=+++=++-++()()()22222362a b ab ab =++-=+-，又2112902()2222a b ab a b +≤=⋅⋅≤=，当且仅当3,32a b ==时取“=”，则22916936(2)36(2)24ab +-≤+-=，所以当3,32a b ==时，()()2214a b ++的最大值为1694. 故选：D4．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知正实数a ，b 满足220ab a +-=，则4a b +的最小值是（ ）A ．2B ．2C ．2D ．6【答案】B【解析】由220ab a +-=，得22a b =+，所以()a b b b b b b +=+=++-⋅=+++888422222222，当且仅当,a b b b ==+++28222，即a b ==2取等号. 故选：B.5．（多选）（2022·河北保定·一模）下面描述正确的是（ ） A ．已知0a >，0b >，且1a b +=，则22log log 2a b +≤-B ．函数()lg f x x =，若0a b <<，且()()f a f b =，则2+a b 的最小值是C ．已知()1210,012x y x x y+=>>++，则3x y +的最小值为2+D ．已知()22200,0x y x y xy x y +---+=>>，则xy 的最小值为712【答案】AC【解析】对于选项A ，∵0a >，0b >，1a b +=，∴1a b =+≥∴14ab ≤，当且仅当12a b ==时取等号，∴22221log log log log 24a b ab +=≤=-，∴A 正确；对于选项B ：因为1ab =，所以22a b a a+=+，又01a <<，所以由对勾函数的单调性可知函数()2=+h a a a在()0,1上单调递减，所以()()3,h a ∈+∞，即23+>a b ，故B 不正确； 对于选项C ，根据题意，已知()()3121x y x x y +=+++-，则()()()2112212331212x x y x x y x x y x x y +⎛⎫+++++=++≥+⎡⎤ ⎪⎣⎦++++⎝⎭()21212++=++x x y x x y，即1==x y时，等号成立，所以32x y +≥+C 正确；对于选项D ，()()2222032x y x y xy x y x y xy +---+=⇒+-+=-，令0x y t +=>，所以214t t -≥-，所以1732412xy xy -≥-⇒≥，此时1,2712x y xy ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩无解，所以选项D 不正确，故选：AC ．6．（多选）（2022·重庆八中高三阶段练习）设001a b a b >>+=，，，则下列不等式中一定成立的是（ ） A ．114a b+≥B ．2212a b +≥ CD ．10b +<【答案】AB【解析】对于A ：因为001a b a b >>+=，，，所以()11111124b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=+++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当b a a b =，即12a b ==时取等号，所以114a b+≥成立.故A 正确；对于B ：因为001a b a b >>+=，，，所以2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时取等号.所以()22212122a b a b ab ab +=+-=-≥成立.故B 正确； 对于C ：因为001a b a b >>+=，，，所以()()113a b +++=，所以()()311a b =+++≥记u =0u >，所以21111336u ab b =+++++≤+=，所以0u <≤故C 错误；对于D ：因为0,b >所以10+>b .故D 错误. 故选：AB7．（2022·天津市西青区杨柳青第一中学高三阶段练习）已知a ，b 为正实数，且2a b +=，则2221a b a b +++的最小值为____________，此时=a____________． 【答案】 6-3【解析】a ,b 为正实数, 且2a b +=,222221111a b b a a b a b +-+∴+=++++2111a b a b =++-++2111a b =+++ ()()1211131a b a b ⎛⎫=++++ ⎪+⎝⎭()2111331ba ab ⎛⎫+=+++ ⎪+⎝⎭ (1133≥++=当且仅当()2112b aa b a b ⎧+=⎪⎨+⎪+=⎩即6a =-4b =时取“=”故答案为:6-38．（2022·浙江·镇海中学模拟预测）已知1x y >>，则()41x y x y xy y-+++-的最小值为___________. 【答案】9 【解析】()()()()41414411911x y x y x y x y x y xy yx y x y -+⎡⎤-+⎛⎫⎡⎤⎣⎦++=++=-++++ ⎪⎢⎥---⎣⎦⎝⎭≥， 当且仅当32x y =⎧⎨=⎩时等号成立，取等条件满足1x y >>，所以()41x y x y xy y -+++-的最小值为9.故答案为：99．（2022·天津·大港一中高三阶段练习）设0m n >>，那么()41m m n n+-的最小值是___________.【答案】8【解析】解：0m n >>，所以()()2224m n n m m n n ⎡⎤-+-≤=⎢⎥⎣⎦，当且仅当m n n -=，即2m n =时取等号；所以214()m n n m ≥-，所以()()42422448114m m m m n nm m +≥+-⨯≥+==，当且仅当2244m m =，即1m =时取等号，所以()481m m n n+≥-，当且仅当1m =、12n =时取等号；故答案为：810．（2022·天津河北·一模）已知0a >，0b >，且1a b +=，则11a b a b +++的最大值为__________. 【答案】23【解析】1111111111211111111a b a b a b a b a b a b +-+-⎛⎫+=+=-+-=-+ ⎪++++++++⎝⎭. 因为0a >，0b >，且1a b +=，所以()1111111111311a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+⋅=++++ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭()1111142222311333b a a b ⎛++⎛⎫=++≥+=+= ⎪ ++⎝⎭⎝，当且仅当11111b a a b a b ++⎧=⎪++⎨⎪+=⎩即12a b ==时取等.所以114222111133a b a b a b ⎛⎫+=-+≤-= ⎪++++⎝⎭.，即11a b a b +++的最大值为23. 故答案为：23.11．（2022·全国·高三专题练习）已知0,0,0,233x y z x y z >>>++=，求222111()(2)(3)462x y z y z x+++++ 的最小值；【答案】274【解析】由222111[()(2)(3)]462x y z y z x+++++ 222(111)++2111[()1(2)1(3)1]462x y z y z x ≥+⨯++⨯++⨯2111[(23)()]462x y z y z x=+++++21232323[3()]623x y z x y z x y z x y z++++++=+++212332[3(3)]62323y x z x z y x y x z y z =+++++++2381(3)24≥+=.所以222111()(2)(3)462x y z y z x +++++≥274，当且仅当231x y z ===时等号成立，综上，222111()(2)(3)462x y z y z x +++++的最小值为274.➢考点2 利用基本不等式证明不等式[典例]（2022·全国·高三专题练习）已知,,a b c 都是正数，求证： (1)()()24a b ab cabc ++≥；(2)若1a b c ++=，则11192a b b c c a ++≥+++. 【解】(1)()()2222244a b ab c abc a b ac ab bc abc ++-=+++-()()()()22222222b a ac c a b bc c b a c a b c =-++-+=-+-，∵,,a b c 都是正数，∴()()220b a c a b c -+-≥， 当且仅当“a b c ==”时等号成立，∴()()24a b ab c abc ++≥.(2)()()()11111112a b b c c a a b b c c a a b b c c a ⎛⎫++=+++++++⎡⎤ ⎪⎣⎦++++++⎝⎭132a b b c b c c a c a a b b c a b c a b c a b c a ⎡++++++⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦132⎛≥+ ⎝ ()19322222=+++=， 当且仅当“13a b c ===”时等号成立，∴11192a b b c c a ++≥+++. [举一反三]1．（2022·云南·昆明一中高三阶段练习（文））已知a ，b ，c 为正数. (1)求24a a +的最小值； (2)求证：bc ac ab a b c a b c++≥++. 【解】(1)因为24a a+24=322a a a ++≥，当且仅当“2a =”时等号成立，所以当2a =时，24a a+的最小值为3.(2)因为2bc ac c a b +≥=，同理2ac ab a b c +≥，2bc ab b a c +≥， 所以三式相加得22()bc ac ab a b c a bc ⎛⎫++≥++ ⎪⎝⎭，所以bc ac aba b c a b c++≥++，当且仅当“a b c ==”时等号成立 2．（2022·陕西·西安工业大学附中高三阶段练习（文））已知0,0a b >>. (1)若2a b +=，求1411+++a b的最小值； (2)求证：2222(1)++≥++a b a b ab a b .【解】(1)因为0,0a b >>，所以10,10a b +>+>， 又2a b +=，所以1++14a b +=，所以14114114(1)19()[(1)(1)][5](54)1141141144b a a b a b a b a b +++=++++=++≥+=++++++ 当且仅当14(1)112b a a b a b ++⎧=⎪++⎨⎪+=⎩，即1353a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时取等号，所以1411+++a b 的最小值为94.(2)因为22222a b a a b +≥①，222a b ab +≥②，22222a b b ab +≥③，所以，由①②③，同向不等式相加可得：222222222222a b a b a b ab ab ++≥++，当且仅当ab a b ==，即1a b ==时取等号. 即2222(1)++≥++a b a b ab a b 成立.3．（2022·河南开封·二模（文））已知,,R a b c +∈，且abc =1. (1)求证：222111a b c a b c++++≥；(2)若a =b +c ，求a 的最小值. 【解】(1)111abc abc abcbc ac ab a b c a b c++=++=++ 222222222222b c a c a b a b c +++≤++=++，当且仅当1a b c ===时等号成立. (2)依题意,,R a b c +∈，11,abc bc a==，所以a b c =+≥=b c =时等号成立. 所以23322,2a a ≥≥，所以a 的最小值为232，此时23222a b c ===.4．（2022·全国·高三专题练习）已知正数a ，b ，c 满足3a b c ++=． (1)求abc 的最大值；(2)证明：3333a b b c c a abc ++≥．【解】(1)由a b c ++≥，当且仅当a b c ==时，取得等号． 又3a b c ++=，所以3313abc ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭．故当且仅当1a b c ===时，abc 取得最大值1．(2)证明：要证3333a b b c c a abc ++≥，需证2223a b c c a b++≥．因为()222222a b c a b c a b c c a b c a b c a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()26a b c ≥=++=，即2223a b c c a b++≥，当且仅当1a b c ===时取得等号．故3333a b b c c a abc ++≥．➢考点3 基本不等式中的恒成立问题[典例]1．（2022·全国·高三专题练习）若对任意220,1xx a xx >≥++恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[1,)-+∞ B ．[3,)+∞C ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．(,1]-∞【答案】C【解析】解：因为0x >，所以22221131x x x x x ==++++，当且仅当1x x =即1x =时取等号，因为221x a x x ≥++恒成立，所以23a ≥，即2,3a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭； 故选：C2．（2022·全国·高三专题练习）设,a b c >>，n N ∈，且2110n a b b c a c+≥---恒成立，则n 的最大值是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】C【解析】解：2110n a b b c a c+≥---等价于2110()a c n a b b c ⎛⎫+-≥⎪--⎝⎭， ()110110()a c a b b c a b b c a b b c ⎛⎫⎛⎫+-=+-+- ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭10()111111b c a b a b b c --=++≥++--故得到211,n n N +∈则n 的最大值是4.故选：C. [举一反三]1．（2021·重庆梁平·高三阶段练习）已知正实数a ，b 满足191a b +=，若不等式2418a b x x m +≥-++-对任意的实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．[)3,+∞B ．(],3-∞C ．(],6-∞D ．[)6,+∞【答案】D【解析】因为0a >，0b >，191a b+=，所以()199101016a a b a b a b a b b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当9b a a b =，即4a =，12b =时取等号．由题意，得241186x x m ≥-++-，即242x x m --≥-对任意的实数x 恒成立，又()2242266x x x --=--≥-，所以6m -≥-，即6m ≥． 故选：D ．2．（2021·浙江·模拟预测）对任意正实数,a b不等式2(1)2a b ab a bλλ+-++则（ ） A ．实数λ有最小值1 B ．实数λ有最大值1 C ．实数λ有最小值12D ．实数λ有最大值12【答案】C【解析】2(1)2a b ab a b λλ+-++故222a b ab ab a b a b λ+⎛⎫- ⎪++⎝⎭，()()22022a b a b ab a b a b -+-=≥++， 当a b =时，不等式恒成立；当ab时，222aba b a b ab a bλ+≥=+-+12=，a b =时等号成立，a b12=，故12λ≥. 故选：C.3．（多选）（2022·全国·高三专题练习）当0x >，0y >，R m ∈时，2222y x m m k x y+>-++恒成立，则k 的取值可能是（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】AB【解析】因为0x >，0y >，所以222y x x y +≥=，当且仅当2x y =时，等号成立． 因为()222111m m k m k k -++=--++≤+．若2222y xm m k x y+>-++恒成立，则12k +<，解得1k <． 故选：AB.4．（2022·全国·高三专题练习）不等式22221122xy yz a a x y z ++-++≤对任意正数x ，y ，z 恒成立，则a 的最大值是__________． 【答案】1 【解析】因为222222212222xy yz xy yz xy yz x y z x y y z xy yz +++==++++++≤，当x y z ==时取等号，所以 2222xy yz x y z +++的最大值是12，即211122a a +-≥， 解得112a -≤≤，所以a 的最大值是1．故答案为：15．（2021·重庆一中高三阶段练习）已知对任意正实数x ，y ，恒有()2222x y a x xy y +-+≤，则实数a 的最小值是___________. 【答案】2【解析】解：因为0,0x y >>，则()2220x xy y x y xy -+=-+>， 则()2222x y a x xy y +-+≤，即2222x y a x xy y+-+≤， 又22222211x y xy x xy y x y +=-+-+， 因为222x y xy +≥，所以22112xy x y -≥+，所以22121xy x y≤-+， 即22222x y x xy y +≤-+，当且仅当x y =时，取等号，所以2222max2x y x xy y ⎛⎫+= ⎪-+⎝⎭， 所以2a ≥，即实数a 的最小值是2. 故答案为：2.6．（2022·全国·高三专题练习）若不等式()2x x y a x y +≤+对一切正实数,x y 恒成立，则实数a 的最小值为_____． 【答案】2【解析】()()22222=22x x y a x y x x y x x y x y +≤+∴+≤+++，当且仅当=2x y 时取等号，0,0x y >>0x y ∴+>()22x x y a x y +≤+max2x ya y ⎫∴≥⎪⎪⎝⎭ 22222x x y x yx y x y ++≤=++max2=2x y a y ⎫∴≥⎪⎪⎝⎭，a ∴的最小值为2 故答案为：2➢考点4 基本不等式与其他专题综合[典例]1．（2022·安徽安庆·二模（文））若函数()41sin 2cos 33f x x x a x =-+在(),-∞+∞内单调递增，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】[ 【解析】因函数()f x 在(),-∞+∞内单调递增，则R x ∀∈，42()cos 2sin 033f x x a x '=--≥，即42sin cos 233a x x ≤-，整理得242sin sin 33a x x ≤+， 当sin 0x =时，则203≤成立，R a ∈， 当sin 0x >时，42sin 33sin a x x ≤+，而42214sin (2sin )233sin 3sin 3x x x x +=+≥， 当且仅当12sin sin x x=，即2sin 2x 时取“=”，则有423a ≤， 当sin 0x <时，42sin 33sin a x x ≥+，而42214sin [(2sin )]233sin 3sin 3x x x x +=--+≤--， 当且仅当12sin sin x x -=-，即2sin 2x =-时取“=”，则有423a ≥-， 综上得，424233a -≤≤所以实数a 的取值范围是4242[,]33-. 故答案为：4242,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦2.[2021湖北鄂东南联考]方程(x 2 018＋1)(1＋x 2＋x 4＋…＋x 2 016)＝2 018x 2 017的实数解的个数为________．[答案] 1 [解析] 由题意知x >0，∴(x 2 018＋1)(1＋x 2＋x 4＋…＋x 2 016)≥ 2x 2 018·1×12(21·x 2 016＋2x 2·x 2 014＋…＋2x 2 016·1)＝2 018x 2 017，当且仅当x ＝1时等号成立，因此实数解的个数为1.3．（2022·广东·高三阶段练习）在足球比赛中，球员在对方球门前的不同的位置起脚射门对球门的威胁是不同的，出球点对球门的张角越大，射门的命中率就越高.如图为室内5人制足球场示意图，设球场（矩形）长BC 大约为40米，宽AB 大约为20米，球门长PQ 大约为4米.在某场比赛中有一位球员欲在边线BC 上某点M 处射门（假设球贴地直线运行），为使得张角PMQ ∠最大，则BM 大约为（ ）（精确到1米）A ．8米B ．9米C ．10米D ．11米【答案】C【解析】由题意知，8,12PB QB ==，设,,PMB QMB BM x ∠=∠==αβ，则812tan ,tan x x==αβ，所以()212844tan tan 12896961x x x PMQ x x x x x -∠=-===≤=++⋅+βα，当且仅当96x x =，即x =10，所以BM 大约为10米.故选：C. [举一反三]1．（2022·北京·101中学高三阶段练习）已知某产品的总成本C （单位：元）与年产量Q （单位：件）之间的关系为23300010C Q =+．设该产品年产量为Q 时的平均成本为f （Q ）（单位：元/件），则f （Q ）的最小值是（ ） A ．30 B ．60C ．900D ．1800【答案】B【解析】23300010()Q C f Q Q Q +==3300010Q Q =+23060≥=⨯=，当且仅当3300010Q Q =，即当100Q =时等号成立. 所以f （Q ）的最小值是60. 故选：B.2．（多选）（2022·重庆·模拟预测）已知ABC 为锐角三角形，且sin sin sin A B C =，则下列结论中正确的是（ ） A ．tan tan tan tan B C B C += B ．tan tan tan tan tan tan A B C A B C =++ C ．41tan 3A <≤D ．tan tan tan A B C 的最小值为4【答案】ABC【解析】解：因为()sin sin sin cos sin cos sin sin A B C B C C B B C =+=+=， 两边同除cos cos B C 得tan tan tan tan B C B C +=，故A 正确；由均值不等式tan tan tan tan B C B C +=≥tan tan 4B C ≥当且仅当tan tan 2B C ==时取等号，()tan tan tan tan 1tan tan B CA B C B C+=-+=--，所以tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=，故B 正确；tan tan 1tan 1tan tan 1tan tan 1B C A B C B C ==+--，由tan tan 4B C ≥，所以110tan tan 13B C <≤-，所以得31tan 1ta 1n tan 14A B C =+≤-<，故C 正确；22tan tan 1tan tan 12tan tan t 1ta t n t 1a n t n a n an a A B C B C B C B B C C ==-++--，由tan tan 13B C -≥且1y x x =+在[)3,+∞上单调递增，所以tan tan tan A B C 的最小值为163，故D 错误． 故选：ABC3．（2021·全国·高三专题练习）如图，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求点B 在AM 上，点D 在AN 上，且对角线MN 过点C ，已知4AB =，3AD =，那么当BM =_______时，矩形花坛的AMPN 面积最小，最小面积为______.【答案】 4 48 【解析】解：设BM x =，则34x x AN =+，则123AN x=+， 则()12484843324232448AMPN S x x x x x x ⎛⎫=++=++⋅= ⎪⎝⎭， 当且仅当483x x=，即4x =时等号成立，故矩形花坛的AMPN 面积最小值为48． 即当4BM =时，矩形花坛的AMPN 面积最小，最小面积为48. 故答案为：4；48.。
2021高考数学一轮复习统考第7章不等式第4讲基本不等式课件北师大版
解析
通过消元法利用基本不等式求最值的方法
消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转 化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基 本不等式求解．
[即时训练]
3.(2019·安徽阜阳模拟)若直线
x a
＋
y b
＝1(a>0，b>0)过点
(1,1)，则a＋b＋3ab的最小值为___6_____．
(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数 的调整，做到等价变形．
(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标． (3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．
[即时训练] 1.设a，b均大于0，a＋b＝5，则 a＋1 ＋ b＋3 的最大值 为__3___2___．
解析 ∵( a＋1＋ b＋3)2＝a＋1＋b＋3＋ 2 a＋1b＋3＝9＋2 a＋1b＋3， 又2 a＋1b＋3≤a＋1＋b＋3＝9 当且仅当a＋1＝b＋3，即a＝27，b＝32时取“＝”， ∴( a＋1＋ b＋3)2≤18， ∴ a＋1＋ b＋3的最大值为3 2.
值是8，故选D.
解析 答案
常数代换法求最值的步骤
常数代换法适用于求解条件最值问题．运用此种方法求解最值的基本 步骤为：
(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)． (2)把确定的定值(常数)变形为1. (3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积 的形式． (4)利用基本不等式求解最值．
(2)等号成立的条件：当且仅当 04 ___a_＝__b___时等号成立；
(3)其中
a＋b 2
叫做正数a，b的
05
__算__术__平__均__数_____，
考点48 基本不等式——2021年高考数学专题复习真题附解析
考点48 基本不等式(练习)【题组一 直接型】1．若a ，b 都是正数，且2a b +=，则()()11a b ++的最大值为 。
【答案】4【解析】由题意，可知：2211(1)(1)421122a b a b +++⎛⎫⎛⎫++== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭++，当且仅当11a b +=+即1a b ==时取等号；2．已知数列{}n a 是等差数列，且0n a >，若12100500a a a ++⋯+=，则5051a a ⋅的最大值_____. 【答案】25 【解析】()505112100505110050010,2a a a a a a a +++⋯+==⇒+=0n a >，∴2505110252a a ⎛⎫⋅≤= ⎪⎝⎭，当且仅当50515a a ==时取等号.故答案为：25.3．若102a <<，则()12a a -的最大值是 。
【答案】1 8【解析】102a <<，故120a ->，则()()()()221211112212?2228a a a a a a ⎛⎫+--=-≤= ⎪⎝⎭，当14a =时取“=”【题组二 换1型】1．正实数,x y 满足：21x y +=，则21x y+的最小值为_____. 【答案】9【解析】()21212225559y x x y xy x y x y +=++=++⎛⎫≥+≥+ ⎝⎭=⎪，当且仅当13x y == 时取等号．故答案为：9． 2．已知0,0a b >>，122a b+=，则a b +的最小值为_______________；【解析】采用常数1的替换，()1121213332222b a a b a b a b a b ⎛+⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当2b a a b =即a b == 3.若a ，b ，c 都是正数，且a ＋b ＋c ＝2，则4a ＋1＋1b ＋c的最小值是________． 【答案】 3【解析】 ∵a ，b ，c 都是正数，且a ＋b ＋c ＝2，∴a ＋b ＋c ＋1＝3，且a ＋1>0，b ＋c >0.∴4a ＋1＋1b ＋c ＝13·(a ＋1＋b ＋c )·⎝⎛⎭⎫4a ＋1＋1b ＋c ＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤5＋4(b ＋c )a ＋1＋a ＋1b ＋c ≥13(5＋4)＝3. 当且仅当a ＋1＝2(b ＋c )，即a ＝1，b ＋c ＝1时，等号成立． 4．已知1,0,2a b a b >>+=，则1112a b+-的最小值为 。
高考数学复习考点知识与题型专题讲解44---基本不等式
高考数学复习考点知识与题型专题讲解基本不等式 考试要求1.掌握基本不等式及常见变型.2.会用基本不等式解决简单的最值问题． 知识梳理1．基本不等式：ab ≤a ＋b 2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．(3)其中a ＋b 2叫做正数a ，b 的算术平均数，ab 叫做正数a ，b 的几何平均数．2．几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )．(2)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)．(3)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )． (4)a 2＋b 22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )． 以上不等式等号成立的条件均为a ＝b .3．利用基本不等式求最值(1)已知x ，y 都是正数，如果积xy 等于定值P ，那么当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2P . (2)已知x ，y 都是正数，如果和x ＋y 等于定值S ，那么当x ＝y 时，积xy 有最大值14S 2.注意：利用不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)不等式ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22与ab ≤a ＋b 2等号成立的条件是相同的．(×) (2)y ＝x ＋1x 的最小值是2.(×)(3)若x >0，y >0且x ＋y ＝xy ，则xy 的最小值为4.(√)(4)函数y ＝sin x ＋4sin x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2的最小值为4.(×)教材改编题1．已知x >2，则x ＋1x －2的最小值是() A ．1B ．2C ．22D ．4答案D解析∵x >2，∴x ＋1x －2＝x －2＋1x －2＋2≥2(x －2)1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时，等号成立．2．函数y ＝4－x －1x (x <0)()A ．有最小值2B ．有最小值6C ．有最大值2D ．有最大值6答案B解析y ＝4＋(－x )＋1(－x )≥4＋2(－x )·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ＝6. 当且仅当－x ＝1－x ，即x ＝－1时取等号． 3．若a ，b ∈R ，下列不等式成立的是________．①b a ＋a b ≥2；②ab ≤a 2＋b 22；③a 2＋b 22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22； ④2ab a ＋b≤ab . 答案②③解析当b a 为负时，①不成立．当ab <0时，④不成立.题型一 利用基本不等式求最值命题点1配凑法例1(1)(2022·乐山模拟)设0<x <32，则函数y ＝4x (3－2x )的最大值为()A.94B ．4C.92D ．9答案C解析y ＝4x (3－2x )＝2·2x ·(3－2x )≤2·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3－2x 22＝92. 当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时取等号，∴当x ＝34时，y max ＝92.(2)若x <23，则f (x )＝3x ＋1＋93x －2有() A ．最大值0B ．最小值9C ．最大值－3D ．最小值－3答案C解析∵x <23，∴3x －2<0，f (x )＝3x －2＋93x －2＋3 ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(2－3x )＋92－3x ＋3≤－2(2－3x )·92－3x＋3＝－3. 当且仅当2－3x ＝92－3x ，即x ＝－13时取“＝”． (3)(2022·绍兴模拟)若－1<x <1，则y ＝x 2－2x ＋22x －2的最大值为________． 答案 －1解析因为－1<x <1，则0<1－x <2，于是得y ＝－12·(1－x )2＋11－x＝－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤(1－x )＋11－x ≤－12·2(1－x )·11－x＝－1， 当且仅当1－x ＝11－x，即x ＝0时取“＝”， 所以当x ＝0时，y ＝x 2－2x ＋22x －2有最大值－1.命题点2常数代换法例2(2022·重庆模拟)已知a >0，b >0，且a ＋b ＝2，则2a ＋12b 的最小值是()A ．1B ．2C.94D.92答案C解析因为a >0，b >0，且a ＋b ＝2，所以a ＋b 2＝1，所以2a ＋12b ＝12(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋12b ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a ＋a 2b ＋52 ≥12×⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋52＝94， 当且仅当a ＝43，b ＝23时，等号成立．命题点3消元法例3已知x >0，y >0且x ＋y ＋xy ＝3，则x ＋y 的最小值为________．答案2解析方法一(换元消元法)∵x ＋y ＋xy ＝3，则3－(x ＋y )＝xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22， 即(x ＋y )2＋4(x ＋y )－12≥0，令t ＝x ＋y ，则t >0，∴t 2＋4t －12≥0，解得t ≥2，∴x ＋y 的最小值为2.方法二(代入消元法)由x＋y＋xy＝3得y＝3－x x＋1，∵x>0，y>0，∴0<x<3，∴x＋y＝x＋3－xx＋1＝x＋4x＋1－1＝x＋1＋4x＋1－2≥2(x＋1)·4x＋1－2＝2，当且仅当x＋1＝4x＋1，即x＝1时取等号，∴x＋y的最小值为2.延伸探究本例条件不变，求xy的最大值．解∵x＋y＋xy＝3，∴3－xy＝x＋y≥2xy，当且仅当x＝y时取等号，令t＝xy，则t>0，∴3－t2≥2t，即t2＋2t－3≤0，即0<t≤1，∴当x ＝y ＝1时，xy 最大值为1. 教师备选1．(2022·哈尔滨模拟)已知x >0，y >0，且2x ＋8y －xy ＝0，则当x ＋y 取得最小值时，y 等于()A ．16B ．6C ．18D ．12答案B解析因为x >0，y >0,2x ＋8y ＝xy ，所以2y ＋8x ＝1，所以x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫2y ＋8x ＝10＋2x y ＋8y x ≥10＋22x y ·8y x ＝10＋2×4＝18， 当且仅当⎩⎨⎧ 2x y ＝8y x ，2x ＋8y －xy ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝6时取等号， 所以当x ＋y 取得最小值时，y ＝6.2．已知函数f (x )＝－x 2x ＋1(x <－1)，则() A ．f (x )有最小值4B ．f (x )有最小值－4C ．f (x )有最大值4D ．f (x )有最大值－4答案A解析f (x )＝－x 2x ＋1＝－x 2－1＋1x ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1＋1x ＋1＝－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1＋1x ＋1－2 ＝－(x ＋1)＋1－(x ＋1)＋2. 因为x <－1，所以x ＋1<0，－(x ＋1)>0，所以f (x )≥21＋2＝4，当且仅当－(x ＋1)＝1－(x ＋1)，即x ＝－2时，等号成立． 故f (x )有最小值4.思维升华(1)前提：“一正”“二定”“三相等”．(2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．(3)条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是消元法．跟踪训练1(1)已知函数f (x )＝22x －1＋x (2x >1)，则f (x )的最小值为________． 答案52解析∵2x >1，∴x －12>0，f (x )＝22x －1＋x ＝1x －12＋x －12＋12≥21x －12·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＋12 ＝2＋12＝52， 当且仅当1x －12＝x －12，即x ＝32时取“＝”．∴f (x )的最小值为52.(2)已知x >0，y >0且x ＋y ＝5，则1x ＋1＋1y ＋2的最小值为________． 答案12解析令x ＋1＝m ，y ＋2＝n ，∵x >0，y >0，∴m >0，n >0，则m ＋n ＝x ＋1＋y ＋2＝8， ∴1x ＋1＋1y ＋2＝1m ＋1n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n ×18(m ＋n )＝18⎝ ⎛⎭⎪⎫n m ＋m n ＋2≥18×(21＋2)＝12. 当且仅当n m ＝m n ，即m ＝n ＝4时等号成立．∴1x ＋1＋1y ＋2的最小值为12. 题型二 基本不等式的常见变形应用例4(1)(2022·宁波模拟)《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF ⊥AB ，设AC ＝a ，BC ＝b ，则该图形可以完成的无字证明为()A.a ＋b 2≥ab (a >0，b >0)B ．a 2＋b 2≥2ab (a >0，b >0)C.2ab a ＋b ≤ab (a >0，b >0)D.a ＋b 2≤a 2＋b 22(a >0，b >0) 答案D解析由图形可知，OF ＝12AB ＝12(a ＋b )，OC ＝12(a ＋b )－b ＝12(a －b )，在Rt △OCF 中，由勾股定理可得，CF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 22＝12(a 2＋b 2)， ∵CF ≥OF ，∴12(a 2＋b 2)≥12(a ＋b )(a >0，b >0)．(2)(2022·广州模拟)已知0<a <1，b >1，则下列不等式中成立的是()A ．a ＋b <4ab a ＋b B.ab <2ab a ＋bC.2a 2＋2b 2<2abD ．a ＋b <2a 2＋2b 2答案D 解析对于选项A ，因为0<a <1，b >1，所以(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2>4ab ，故选项A 错误；对于选项B ，ab >21a ＋1b＝2ab a ＋b ，故选项B 错误； 对于选项C ，2(a 2＋b 2)>2×2ab ＝2ab ，故选项C 错误；对于选项D,2a 2＋2b 2>a 2＋2ab ＋b 2＝(a ＋b )2，所以a ＋b <2a 2＋2b 2，故选项D 正确．教师备选若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是()A ．a 2＋b 2>2abB ．a ＋b ≥2abC.1a ＋1b >2abD.b a ＋a b ≥2答案D解析a 2＋b 2≥2ab ，所以A 错误；ab >0，只能说明两实数同号，同为正数，或同为负数，所以当a <0，b <0时，B 错误；同时C 错误；a b 或b a 都是正数，根据基本不等式求最值，a b ＋b a ≥2a b ×ba ＝2，故D 正确．思维升华基本不等式的常见变形(1)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22. (2)21a ＋1b ≤ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22(a >0，b >0)．跟踪训练2(1)(2022·浙南名校联盟联考)已知命题p ：a >b >0，命题q ：a 2＋b 22>⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，则p 是q 成立的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案A解析∵a >b >0，则a 2＋b 2>2ab ，∴2(a 2＋b 2)>a 2＋b 2＋2ab ，∴2(a 2＋b 2)>(a ＋b )2，∴a 2＋b 22>⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22， ∴由p 可推出q ，当a <0，b <0时，命题q 成立，如a ＝－1，b ＝－3时，a 2＋b 22＝5>⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝4， ∴由q 推不出p ，∴p 是q 成立的充分不必要条件．(2)(2022·漳州质检)已知a ，b 为互不相等的正实数，则下列四个式子中最大的是()A.2a ＋bB.1a ＋1bC.2ab D.2a 2＋b 2 答案B解析∵a ，b 为互不相等的正实数， ∴1a ＋1b >2ab， 2a ＋b <22ab＝1ab <2ab ，2a 2＋b 2<22ab ＝1ab <2ab， ∴最大的是1a ＋1b .柯西不等式是法国著名的数学家、物理学家、天文学家柯西(Cauchy,1789－1857)发现的，故命名为柯西不等式．柯西不等式是数学中一个非常重要的不等式，除了用柯西不等式来证明一些不等式成立外，柯西不等式还常用于选择、填空求最值的问题中，借助柯西不等式的技巧可以达到事半功倍的效果．1．(柯西不等式的代数形式)设a ，b ，c ，d 均为实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2，当且仅当ad ＝bc 时，等号成立．推广一般情形：设a 1，a 2，…，a n ，b 1，b 2，…，b n ∈R ，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2(当且仅当b i ＝0(i ＝1,2，…，n )或存在一个实数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1,2，…，n )时，等号成立)．2．(柯西不等式的向量形式)设α，β为平面上的两个向量，则|α||β|≥|α·β|，其中当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使α＝k β时等号成立．3．(柯西不等式的三角不等式)设x 1，y 1，x 2，y 2，x 3，y 3为任意实数，则：(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＋(x 2－x 3)2＋(y 2－y 3)2 ≥(x 1－x 3)2＋(y 1－y 3)2. 一、利用柯西不等式求最值例1已知x ，y 满足x ＋3y ＝4，则4x 2＋y 2的最小值为________．答案6437解析(x ＋3y )2≤(4x 2＋y 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋9， 所以4x 2＋y 2≥16×437＝6437，当且仅当y ＝12x 时，等号成立，所以4x 2＋y 2的最小值为6437.例2已知正实数x ，y ，z 满足x 2＋y 2＋z 2＝1，正实数a ，b ，c 满足a 2＋b 2＋c 2＝9，则ax ＋by ＋cz 的最大值为________．答案3解析(ax ＋by ＋cz )2≤(a 2＋b 2＋c 2)·(x 2＋y 2＋z 2)＝9，∴ax ＋by ＋cz ≤3，当且仅当a ＝3x ，b ＝3y ，c ＝3z 时取“＝”，∴ax ＋by ＋cz 的最大值为3.例3函数y ＝5x －1＋10－2x 的最大值为________．答案6 3解析y 2＝(5x －1＋10－2x )2＝(5x －1＋2·5－x )2≤(52＋2)(x －1＋5－x )＝108，当且仅当x ＝12727时等号成立，∴y ≤6 3.二、利用柯西不等式证明不等式例4已知a 1，a 2，b 1，b 2为正实数，求证：(a 1b 1＋a 2b 2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1b 1＋a 2b 2≥(a 1＋a 2)2. 证明(a 1b 1＋a 2b 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1b 1＋a 2b 2 ＝[(a 1b 1)2＋(a 2b 2)2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1b 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b 22 ≥⎝⎛⎭⎪⎫a 1b 1·a 1b 1＋a 2b 2·a 2b 22 ＝(a 1＋a 2)2.当且仅当b 1＝b 2时，等号成立．例5已知a 1，a 2，…，a n 都是实数，求证：1n (a 1＋a 2＋…＋a n )2≤a 21＋a 22＋…＋a 2n .证明根据柯西不等式，有⎝⎛⎭⎫12＋12＋…＋12n 个 (a 21＋a 22＋…＋a 2n )≥(1×a 1＋1×a 2＋…＋1×a n )2，所以1n (a 1＋a 2＋…＋a n )2≤a 21＋a 22＋…＋a 2n .课时精练1．下列函数中，最小值为2的是()A．y＝x＋2 xB．y＝x2＋3 x2＋2C．y＝e x＋e－xD．y＝log3x＋log x3(0<x<1) 答案C解析当x<0时，y＝x＋2x<0，故A错误；y＝x2＋3x2＋2＝x2＋2＋1x2＋2≥2，当且仅当x2＋2＝1x2＋2，即x2＝－1时取等号，∵x2≠－1，故B错误；y＝e x＋e－x≥2e x·e－x＝2，当且仅当e x＝e－x，即x＝0时取等号，故C正确；当x∈(0,1)时，y＝log3x<0，故D错误．2．(2022·汉中模拟)若a>0，b>0且2a＋b＝4，则ab的最大值为()A ．2B.12C ．4D.14答案A解析4＝2a ＋b ≥22ab ，即2≥2ab ，平方得ab ≤2，当且仅当2a ＝b ，即a ＝1，b ＝2时等号成立，∴ab 的最大值为2.3．(2022·苏州模拟)若a ，b 是正常数，a ≠b ，x ，y ∈(0，＋∞)，则a 2x ＋b 2y ≥(a ＋b )2x ＋y，当且仅当a x ＝b y 时取等号．利用以上结论，函数f (x )＝2x ＋91－2x，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12取得最小值时x 的值为()A.15B.14C.24D.13答案A解析f (x )＝2x ＋91－2x ＝42x ＋91－2x≥(2＋3)22x ＋1－2x ＝25，当且仅当22x ＝31－2x，即x ＝15时等号成立． 4．(2022·重庆模拟)已知x >2，y >1，(x －2)(y －1)＝4，则x ＋y 的最小值是()A ．1B ．4C ．7D ．3＋17答案C解析∵x >2，y >1，(x －2)(y －1)＝4， ∴x ＋y ＝(x －2)＋(y －1)＋3 ≥2(x －2)(y －1)＋3＝7，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4，y ＝3时等号成立． 5．已知函数f (x )＝14x ＋9x －1(x <1)，下列结论正确的是() A ．f (x )有最大值114B ．f (x )有最大值－114C ．f (x )有最小值132D ．f (x )有最小值74答案B解析f (x )＝x －14＋9x －1＋14＝－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－x 4＋91－x ＋14≤－21－x 4·91－x ＋14＝－114，当且仅当x ＝－5时等号成立．6．已知函数f (x )＝x x 2－x ＋4(x >0)，则() A ．f (x )有最大值3B ．f (x )有最小值3C ．f (x )有最小值13D ．f (x )有最大值13答案D解析f (x )＝x x 2－x ＋4＝1x ＋4x －1≤124－1＝13， 当且仅当x ＝4x ，即x ＝2时等号成立， ∴f (x )的最大值为13.7．(2022·济宁模拟)已知a ，b 为正实数，则“ab a ＋b ≤2”是“ab ≤16”的() A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件答案B解析由a ，b 为正实数，∴a ＋b ≥2ab ，当且仅当a ＝b 时等号成立，若ab ≤16，可得aba ＋b ≤ab 2ab ＝ab 2≤162＝2，故必要性成立； 当a ＝2，b ＝10，此时ab a ＋b≤2，但ab ＝20>16，故充分性不成立， 因此“ab a ＋b≤2”是“ab ≤16”的必要不充分条件．8．已知正实数a，b满足a>0，b>0，且a＋b＝1，则下列不等式恒成立的有() ①2a＋2b≥22；②a2＋b2<1；③1a＋1b<4；④a＋1a>2.A．①②B．①③C．①②④D．②③④答案C解析∵2a＋2b≥22a·2b＝22a＋b＝22，当且仅当a＝b时取等号，∴①正确；∵a2＋b2<a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2＝1，∴②正确；∵1a＋1b＝(a＋b)⎝⎛⎭⎪⎫1a＋1b＝2＋ba＋ab≥2＋2ba×ab＝4，当且仅当a＝b时取等号，∴③错误；∵a>0，b>0，a＋b＝1，∴0<a<1，∵a＋1a≥2a·1a＝2，当且仅当a＝1时取等号，∴a＋1a>2，④正确．9．若0<x<2，则x4－x2的最大值为________．答案2解析∵0<x <2，∴x 4－x 2＝x 2(4－x 2)≤x 2＋4－x 22＝2， 当且仅当x 2＝4－x 2，即x ＝2时取“＝”．10．若a >0，b >0，lg a ＋lg b ＝lg(a ＋b )，则a ＋b 的最小值为________． 答案4解析依题意ab ＝a ＋b ，∴a ＋b ＝ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22， 即a ＋b ≤(a ＋b )24，∴a ＋b ≥4，当且仅当a ＝b 时取等号，∴a ＋b 的最小值为4.11．已知x >0，y >0且3x ＋4y －xy ＝0，则3x ＋y 的最小值为________． 答案27解析因为x >0，y >0,3x ＋4y ＝xy ，所以3y ＋4x ＝1，所以3x ＋y ＝(3x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫3y ＋4x ＝15＋9x y ＋4y x ≥15＋29x y ·4y x ＝27，当且仅当⎩⎨⎧ 9x y ＝4y x ，3x ＋4y －xy ＝0即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝9时取等号，所以3x ＋y 的最小值为27.12．(2021·天津)若a >0，b >0，则1a ＋a b 2＋b 的最小值为________． 答案2 2解析∵a >0，b >0，∴1a ＋a b 2＋b ≥21a ·a b 2＋b ＝2b ＋b ≥22b ·b ＝22， 当且仅当1a ＝a b 2且2b ＝b ，即a ＝b ＝2时等号成立，∴1a ＋a b 2＋b 的最小值为2 2.13．(2022·南京模拟)若实数x ，y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的取值范围是() A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－233，233 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，233 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－223，223 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，223 答案A解析∵x 2＋y 2＋xy ＝1⇔xy ＝(x ＋y )2－1，又∵xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22， ∴(x ＋y )2－1≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，令x ＋y ＝t ， 则4t 2－4≤t 2，∴－233≤t ≤233，即－233≤x ＋y ≤233，当且仅当x ＝y 时，取等号，∴x ＋y 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－233，233. 14．设a >0，b >0，则下列不等式中一定成立的是________．(填序号) ①a ＋b ＋1ab ≥22； ②2ab a ＋b>ab ； ③a 2＋b 2ab≥a ＋b ； ④(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥4. 答案①③④解析因为a >0，b >0，所以a ＋b ＋1ab ≥2ab ＋1ab ≥22， 当且仅当a ＝b 且2ab ＝1ab， 即a ＝b ＝22时取等号，故①正确；因为a ＋b ≥2ab >0，所以2ab a ＋b ≤2ab 2ab＝ab ，当且仅当a ＝b 时取等号， 故②错误；因为2ab a ＋b ≤2ab 2ab ＝ab ，当且仅当a ＝b 时取等号， 所以a 2＋b 2a ＋b ＝(a ＋b )2－2ab a ＋b ＝a ＋b －2ab a ＋b≥ 2ab －ab ＝ab ，当且仅当a ＝b 时取等号，所以a 2＋b 2a ＋b≥ab ，即a 2＋b 2ab ≥a ＋b ，故③正确； 因为(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b ≥ 2＋2b a ·ab ＝4，当且仅当a ＝b 时取等号，故④正确．15．已知a >0，b >0，且a ＋b ＝1，则1a ＋1b ＋ab 的最小值为____________．答案174解析因为a >0，b >0，且a ＋b ＝1，所以1＝a ＋b ≥2ab ，即0<ab ≤14，当且仅当a ＝b 时取等号， 令t ＝ab ，则1a ＋1b ＋ab ＝1ab ＋ab ＝1t ＋t ，t ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14，因为函数y ＝1t ＋t 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14上为减函数， 所以当t ＝14时，函数y ＝1t ＋t 取得最小值，即y min ＝14＋4＝174.16．(2022·沙坪坝模拟)若x >0，y >0且x ＋y ＝xy ，则x x －1＋2y y －1的最小值为________． 答案3＋2 2解析因为x >0，y >0且x ＋y ＝xy ，则xy ＝x ＋y >y ，即有x >1，同理y >1，由x ＋y ＝xy 得，(x －1)(y －1)＝1，于是得xx －1＋2yy －1＝1＋1x －1＋2＋2y －1＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1＋2y －1≥3＋21x －1·2y －1＝3＋22， 当且仅当1x －1＝2y －1，即x ＝1＋22，y ＝1＋2时取“＝”，所以xx －1＋2yy －1的最小值为3＋2 2.。
基本不等式，高考离不开
１ ２
２＝１２３，当且仅当点犉 为线段犕犖 的中
点时，等号成立．
故填答案：１ ６，１２３．
２犮＝２槡犪２ ＋犫２ ≥２槡２犪犫 ＝８，当且仅当犪＝犫＝２槡２ 时，等号成立，所以犆 的焦距的最小值为８．
故选 Ｂ．
五、证明问题
ห้องสมุดไป่ตู้
例５ （２０２０年全国卷 Ⅲ 第２３题）设犪，犫，犮∈犚， 犪＋犫＋犮＝０，犪犫犮＝１．
数量积公式，代入即可确定参数λ 的值；结合辅助线 的构造，利用平面向量的线性运算与数量积公式加以
转化，分别利用两向量的夹角的余弦值大于等于 －１，
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复习
２０２１年４月 学习交流
复习 备考 学习交流 ２０２１年４月
基本不等式，高考离不开
? 江苏省海安市曲塘中学 崔益斌
基本不等式及其应用是高考中的一个重要考点 之一，是 高 考 数 学 命 题 的 一 个 热 点 与 亮 点，备 受 高 考 命题者的青睐．基本不等式及其应用有时直接单独命 制，有 时 与 其 他 数 学 知 识 进 行 融 合 与 交 汇，涉 及 代 数 式的最值、大小比较、平面向量、三角函数、圆锥曲线、 证明以及实际应用等问题．下面结合２０２０年高考数学 中的基本不等式的应用真题，实例展示基本不等式的 应用与技 巧，抛 砖 引 玉，以 期 为 高 考 复 习 与 备 考 提 供 些许帮助．
备考
以及基本不等式的应用，通过不等式的性质转化来确
定相应的最值问题． 解：由于犃→犇 ＝λ犅→犆，可得
犃犇 ∥犅犆，又 ∠犅 ＝６０°，所以
∠犃＝１２０°，结合犃犅＝３，犅犆＝ ６，可得犃→犇·犃→犅 ＝λ犅→犆·犃→犅
2021年高考数学高分套路 基本不等式(解析版)
mn
2
3．已知
a
1, b
0, a
b
2
，则
a
1 1
1 2b
的最小值为（
）
A． 3 2 2
B． 3 2 42
C． 3 2 2
D． 1 2 23
【答案】A
【解析】由题意知 a 1,b 0, a b 2 ，可得： (a 1) b 1, a 1 0 ，
则
a
1 1
1 2b
[(a
1)
b](
∴ ＋ ＝ [(x＋2)＋(y＋1)] x＋2 y＋1 ＝ y＋1 x＋2 ≥
x＋2 y＋1 4
4
4
x＋2 4y＋1
·
9
y＋1 x＋2 ＝ ，
4
41
2
＋
9
当且仅当 x＝2y＝ 时， x＋2 y＋1 ＝ min .
3
4
【套路总结】 在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用“变量替换”或“常数 1”的替换，或构造不等式 求解．
2 的最大值为 .
4
2
1
(2)因为 x<5，所以 5－4x>0，则 f(x)＝4x－2＋
1
5－4x＋
＝－
5－4x ＋3
4
4x－5
1
1
≤－2 （5－4x）· ＋3＝－2＋3＝1.当且仅当 5－4x＝ ，即 x＝1 时，等号成立.
5－4x
5－4x
1 故 f(x)＝4x－2＋ 的最大值为 1.
4x－5 x2＋2
1
1
【解析】 x(4－3x)＝ ·(3x)(4－3x)≤ ·
2
2＝4，
3
3
3
2021年高考数学大一轮复习 第八章 第48课 基本不等式及其应用(二)自主学习
2021年高考数学大一轮复习第八章第48课基本不等式及其应用（二）自主学习1. 基本不等式的应用(1) 研究函数的性质;(2) 求解最值问题;(3) 确定参数的取值范围;(4) 解决实际问题.2. 基本不等式的综合应用三角函数、数列、立体几何、解析几何中的最值问题.3. 解不等式的问题的一般步骤(1) 分析题意;(2) 建立数学模型;(3) 解决数学问题;(4) 检验作答.1. (必修5P91习题3改编)函数y=x+(x≠0)的值域为.[答案](-∞,-4]∪[4,+∞)[解析]分x>0与x<0两种情况讨论,再结合基本不等式求解.2. (必修5P91习题4改编)已知函数y=tan θ+,θ∈,那么函数y的最大值为.[答案]-2[解析]因为θ∈,所以sin θ>0,cos θ<0,<0,y=tan θ+=-≤-2,当且仅当sin θ=-cos θ,即θ=时取等号.3. (必修5P90例3改编)过定点P(1,2)的直线在x轴与y轴的正半轴上的截距分别为a,b,则ab的最小值为.[答案]8[解析]设直线方程为+=1,则+=1≥2,所以ab≥8,所以ab的最小值为8,当且仅当=,即a=2,b=4时取等号.4. (必修5P91习题3改编)函数y=的最小值为.[答案][解析]y==+,设t=(t≥2),易知y=t+在[2,+∞)上单调递增,所以当t=2,即=2,x=0时,y=.min5. (必修5P90练习1改编)已知(m-2)(n-1)=4,且m>2,n>1,那么m+n的最小值是.[答案]7[解析]由(m-2)(n-1)=4,得m=+2,所以m+n=+2+n=+(n-1)+3≥2+3=7(当且仅当n=3时取等号),故m+n的最小值为7.34597 8725 蜥40571 9E7B 鹻38616 96D8 雘&37723 935B 鍛32449 7EC1 绁:) w21818 553A 唺L20925 51BD 冽。
高考数学一轮复习考点知识专题讲解48---基本不等式的综合应用
高考数学一轮复习考点知识专题讲解基本不等式的综合应用题型一 基本不等式与其他知识交汇的最值问题例1(1)(2022·成都模拟)已知直线ax ＋by －1＝0(a >0，b >0)与圆x 2＋y 2＝4相切，则log 2a ＋log 2b 的最大值为() A ．3B ．2C ．－2D ．－3 答案D解析因为直线ax ＋by －1＝0(a >0，b >0)与圆x 2＋y 2＝4相切， 所以1a 2＋b2＝2，即a 2＋b 2＝14， 因为a 2＋b 2≥2ab ，所以ab ≤18(当且仅当a ＝b 时，等号成立)，所以log 2a ＋log 2b ＝log 2(ab )≤log 218＝－3，所以log 2a ＋log 2b 的最大值为－3.(2)(2022·合肥质检)若△ABC 的内角满足sin B ＋sin C ＝2sin A ，则() A ．A 的最大值为π3B ．A 的最大值为2π3C ．A 的最小值为π3D ．A 的最小值为π6答案A解析∵sin B ＋sin C ＝2sin A . ∴b ＋c ＝2a . 由余弦定理知cos A ＝b 2＋c 2－a22bc ＝b 2＋c 2－(b ＋c )242bc＝3(b 2＋c 2)－2bc 8bc ≥6bc －2bc 8bc ＝12，当且仅当b ＝c 时取等号． 又A ∈(0，π)，∴0<A ≤π3，即A 的最大值为π3.教师备选已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两焦点分别为F 1，F 2.若椭圆上有一点P ，使PF 1⊥PF 2，则ba 的取值范围是()A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，22 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 答案B解析设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ， 则m ＋n ＝2a ，m 2＋n 2＝4c 2，∴2mn ＝4a 2－4c 2＝4b 2， 又2mn ≤2⎝⎛⎭⎪⎫m ＋n 22， 即4b 2≤2⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 22，∴2b 2≤a 2，∴0<b a ≤22. 思维升华基本不等式与其他知识相结合时，往往是提供一个应用基本不等式的条件，一般利用常数代换法求最值，要注意最值成立的条件．跟踪训练1(1)若a >0，b >0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则1a ＋4b的最小值等于()A ．2 B.32 C.12 D ．1答案B解析∵函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值， ∴f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ， 则f ′(1)＝12－2a －2b ＝0， 即a ＋b ＝6， 又a >0，b >0.∴1a ＋4b ＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b (a ＋b ) ＝56＋16⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋4a b ≥56＋16×2b a ·4a b ＝32，当且仅当2a ＝b ＝4时，等号成立． 此时满足在x ＝1处有极值． ∴1a ＋4b 的最小值等于32. (2)已知数列{a n }是等比数列，若a 2a 5a 8＝－8，则a 9＋9a 1的最大值为________． 答案－12解析∵a 2a 5a 8＝－8， ∴a 35＝－8， ∴a 5＝－2， ∴a 1<0，a 9<0， a 9＋9a 1＝－(－a 9－9a 1) ≤－2(－a 9)(－9a 1) ＝－29a 1a 9 ＝－29·a 25 ＝－12，当且仅当－a 9＝－9a 1时取等号．题型二 求参数值或取值范围例2(1)已知函数f (x )＝4x ＋ax(x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a 等于() A ．6 B ．8 C ．16 D ．36 答案D解析因为f (x )＝4x ＋a x(x >0，a >0)，故4x ＋a x≥24x ·a x＝4a ，当且仅当4x ＝a x，即x ＝a 2时取等号，故a 2＝3，a ＝36.(2)已知x ，y 属于正实数，若不等式4x ＋9y ≥mx ＋y 恒成立，则实数m 的取值范围是()A ．(－∞，9]B ．(－∞，16]C ．(－∞，25]D ．(－∞，36] 答案C解析因为x ，y 属于正实数， 所以不等式4x ＋9y ≥mx ＋y 恒成立，即m ≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋9y (x ＋y )min ，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋9y (x ＋y )＝13＋4y x ＋9x y≥13＋24yx·9xy＝25，当且仅当4y x ＝9xy，即3x ＝2y 时，等号成立，所以m ≤25.教师备选(2022·沙坪坝模拟)已知函数f (x )＝2x 3＋3x (x ∈R )，若不等式f (2m ＋mt 2)＋f (4t )<0对任意实数t ≥1恒成立，则实数m 的取值范围为() A ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，43C ．(－∞，－2)D ．(－2，－2) 答案C解析∵f (x )的定义域为R ，且f (－x )＝－2x 3－3x ＝－f (x )，∴f (x )是奇函数， 且f (x )在R 上单调递增，则不等式f (2m ＋mt 2)＋f (4t )<0等价于f (2m ＋mt 2)<－f (4t )＝f (－4t )， ∴2m ＋mt 2<－4t ，即m <－4tt 2＋2对t ≥1恒成立， ∵－4t t 2＋2＝－4t ＋2t≥－42t ·2t＝－2，当且仅当t ＝2t，即t ＝2时等号成立，∴m <－ 2.思维升华求参数的值或取值范围时，要观察题目的特点．利用基本不等式确定等号成立的条件，从而得到参数的值或范围．跟踪训练2(1)(2022·杭州模拟)已知k ∈R ，则“对任意a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥kab ”是“k≤2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析因为对任意a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，而对任意a，b∈R，a2＋b2≥kab，所以－2≤k≤2，因为[－2,2]是(－∞，2]的真子集，所以“对任意a，b∈R，a2＋b2≥kab”是“k≤2”的充分不必要条件．(2)(2022·济宁质检)命题p：∃x∈(0，＋∞)，x2－λx＋1＝0，当p是真命题时，则λ的取值范围是________．答案[2，＋∞)解析依题意，方程x2－λx＋1＝0有正解，即λ＝x＋1x有正解，又x>0时，x＋1x≥2，∴λ≥2.题型三基本不等式的实际应用例3小王于年初用50万元购买了一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小王在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x 年年底出售，其销售价格为(25－x )万元(国家规定大货车的报废年限为10年)． (1)大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？(2)在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大？(利润＝累计收入＋销售收入－总支出)解(1)设大货车运输到第x 年年底， 该车运输累计收入与总支出的差为y 万元，则y ＝25x －[6x ＋x (x －1)]－50＝－x 2＋20x －50(0<x ≤10，x ∈N *)， 由－x 2＋20x －50>0，可得10－52<x ≤10. 因为2<10－52<3，所以大货车运输到第3年年底，该车运输累计收入超过总支出． (2)因为利润＝累计收入＋销售收入－总支出， 所以二手车出售后， 小王的年平均利润为y ＋(25－x )x ＝19－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋25x ≤19－225＝9，当且仅当x ＝25x ，即x ＝5时，等号成立，所以小王应当在第5年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大． 教师备选某高级中学高二年级部为了更好的督促本年级学生养成节约用水、珍惜粮食、爱护公物的良好习惯，现要设计如图所示的一张矩形宣传海报，该海报含有大小相等的左中右三个矩形栏目，这三栏的面积之和为60000cm 2，四周空白的宽度为10cm ，栏与栏之间的中缝空白的宽度为5cm.怎样确定矩形栏目高与宽的尺寸，能使整个矩形海报面积最小，其最小值是________cm 2.答案72600解析设矩形栏目的高为a cm ，宽为b cm ， 由题意可得3ab ＝60000， 所以ab ＝20000，即b ＝20000a，所以该海报的高为(a ＋20)cm ，宽为(3b ＋10×2＋5×2)cm，即(3b ＋30)cm ， 所以整个矩形海报面积S ＝(a ＋20)(3b ＋30)＝3ab ＋30a ＋60b ＋600 ＝30(a ＋2b )＋60600＝30⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋40000a ＋60600 ≥30×2a ·40000a＋60600＝30×400＋60600＝72600， 当且仅当a ＝40000a，即a ＝200时等号成立，所以当广告栏目的高为200cm ，宽为100cm 时，能使整个矩形海报面积最小，其最小值是72600cm 2.思维升华利用基本不等式求解实际问题时，要根据实际问题，设出变量，注意变量应满足实际意义，抽象出目标函数的表达式，建立数学模型，再利用基本不等式求得函数的最值．跟踪训练3网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内，成为商业的一个主要发展方向．某品牌行车记录仪支架销售公司从2021年10月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式．根据几个月运营发现，产品的月销量x万件与投入实体店体验安装的费用t万元之间满足函数关系式x＝3－2t＋1.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是______万元．答案37.5解析由题意知t＝23－x－1(1<x<3)，设该公司的月利润为y万元，则y＝⎝⎛⎭⎪⎫32×150%＋t2xx－32x－3－t＝16x－t2－3＝16x－13－x＋12－3＝45.5－⎣⎢⎡⎦⎥⎤16(3－x)＋13－x≤45.5－216＝37.5，当且仅当x＝114时取等号，即最大月利润为37.5万元．课时精练1．(2022·苏州模拟)设直线l与曲线y＝x3－2x＋1相切，则l斜率的最小值为()A. 6 B．4 C．2 6 D．3 2 答案C解析因为x ≠0，所以x 2>0，因为y ′＝3x 2＋2x 2≥26⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当3x 2＝2x 2，等号成立，所以l 斜率的最小值为2 6.2．(2021·新高考全国Ⅰ)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 29＋y 24＝1的两个焦点，点M 在C 上，则|MF 1|·|MF 2|的最大值为()A ．13B ．12C ．9D ．6 答案C解析由椭圆C ：x 29＋y 24＝1，得|MF 1|＋|MF 2|＝2×3＝6，则|MF 1|·|MF 2|≤⎝⎛⎭⎪⎫|MF 1|＋|MF 2|22＝32＝9，当且仅当|MF 1|＝|MF 2|＝3时等号成立． 3．(2022·北京人大附中模拟)数列{a n }是等差数列，{b n }是各项均为正数的等比数列，公比q >1，且a 5＝b 5，则() A ．a 3＋a 7>b 4＋b 6B ．a 3＋a 7≥b 4＋b 6 C ．a 3＋a 7<b 4＋b 6D ．a 3＋a 7＝b 4＋b 6 答案C解析因为数列{a n }是等差数列，{b n }是各项均为正数的等比数列， 所以a 3＋a 7＝2a 5＝2b 5，b 4＋b 6≥2b 4b 6＝2b 5， 所以a 3＋a 7≤b 4＋b 6， 又因为公比q >1，所以a 3＋a 7<b 4＋b 6.4．已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为()A ．2B ．4C ．6D ．8 答案B解析已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，只要求(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y 的最小值大于或等于9，∵(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ＝1＋a ＋y x ＋ax y≥a ＋2a ＋1，当且仅当y ＝ax 时，等号成立， ∴a ＋2a ＋1≥9，∴a ≥2或a ≤－4(舍去)，∴a ≥4， 即正实数a 的最小值为4.5．(2022·湖南五市十校联考)原油作为“工业血液”“黑色黄金”，其价格的波动牵动着整个化工产业甚至世界经济．小李在某段时间内共加油两次，这段时间燃油价格有升有降，现小李有两种加油方案：第一种方案是每次加油40升，第二种方案是每次加油200元，则下列说法正确的是() A ．第一种方案更划算 B ．第二种方案更划算 C ．两种方案一样 D ．无法确定 答案B解析设小李这两次加油的油价分别为x 元/升、y 元/升(x ≠y )，则 方案一：两次加油平均价格为 40x ＋40y 80＝x ＋y2>xy ， 方案二：两次加油平均价格为 400200x ＋200y＝2xyx ＋y <xy ，故无论油价如何起伏，方案二比方案一更划算．6．已知p ：存在实数x ，使4x ＋2x ·m ＋1＝0成立，若綈p 是假命题，则实数m 的取值范围是()A ．(－∞，－2]B ．(－∞，－2)C ．(0，＋∞)D ．(1，＋∞) 答案A解析∵綈p 为假命题，∴p 为真命题， 即关于x 的方程4x ＋2x ·m ＋1＝0有解． 由4x ＋2x ·m ＋1＝0， 得m ＝－2x－12x ＝－⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋12x≤－22x·12x ＝－2，当且仅当2x ＝12x ，即x ＝0时，取等号．∴m 的取值范围为(－∞，－2]．7．(2022·焦作质检)若数列{a n }满足a 2＝9，a n －1＋n ＝a n ＋1(n ≥2且n ∈N *)，则a nn的最小A.72B.185C.113D.92答案A解析因为数列{a n}满足a2＝9，a n－1＋n＝a n＋1(n≥2且n∈N*)，所以a1＋2＝a2＋1，解得a1＝8，所以a n＝a2－a1＋a3－a2＋a4－a3＋…＋a n－a n－1＋a1＝1＋2＋3＋…＋n－1＋8＝n2－n＋162，则ann＝n2－n＋162n＝12⎝⎛⎭⎪⎫n＋16n－1≥12⎝⎛⎭⎪⎫2n·16n－1＝72，当且仅当n＝16n，即n＝4时，等号成立，所以ann的最小值为72.8.如图，在半径为4(单位：cm)的半圆形(O为圆心)铁皮上截取一块矩形材料ABCD，其顶点A，B在直径上，顶点C，D在圆周上，则矩形ABCD面积的最大值为(单位：cm2)()A．8 B．10 C．16 D．20解析连接OC ，如图，设BC ＝x ，则OB ＝16－x 2，所以AB ＝216－x 2， 所以矩形ABCD 的面积S ＝2x 16－x 2，x ∈(0,4)， S ＝2x 16－x 2＝2x 2(16－x 2) ≤x 2＋16－x 2＝16，当且仅当x 2＝16－x 2，即x ＝22时取等号，此时S max ＝16.9．已知向量m ＝(x ,2)，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，y －12(x >0，y >0)，若m ⊥n ，则xy 的最大值为________．答案124解析因为向量m ＝(x ,2)，n ＝⎝⎛⎭⎪⎫3，y －12， 且m ⊥n ，所以3x ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫y －12＝0，即3x ＋2y ＝1.因为x >0，y >0，所以1＝3x ＋2y ≥23x ×2y ， 即xy ≤124，当且仅当3x ＝2y ＝12，即x ＝16，y ＝14时取等号．10．在中国，周朝时期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例．在西方，最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他们用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和．若一个直角三角形的斜边长等于5，则这个直角三角形周长的最大值为________． 答案52＋5解析设直角三角形的两条直角边边长分别为a ，b ， 则a 2＋b 2＝25.因为(a ＋b )2＝25＋2ab ≤25＋2×(a ＋b )24，所以(a ＋b )2≤50， 所以5<a ＋b ≤52， 当且仅当a ＝b ＝522时，等号成立． 故这个直角三角形周长的最大值为52＋5.11．已知圆C 1：x 2＋y 2＋4ax ＋4a 2－4＝0和圆C 2：x 2＋y 2－2by ＋b 2－1＝0只有一条公切线，若a ，b ∈R 且ab ≠0，则1a 2＋1b2的最小值为________．答案9解析因为圆C 1：x 2＋y 2＋4ax ＋4a 2－4＝0和圆C 2：x 2＋y 2－2by ＋b 2－1＝0只有一条公切线， 所以两圆相内切，其中C 1(－2a ,0)，r 1＝2；C 2(0，b )，r 2＝1， 故|C 1C 2|＝4a 2＋b 2，由题设可知4a 2＋b 2＝2－1⇒4a 2＋b 2＝1，所以(4a 2＋b 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋1b 2＝4a 2b2＋b2a 2＋5≥24a 2b 2·b 2a 2＋5＝9， 当且仅当b 2＝2a 2时等号成立．12．(2022·北京朝阳区模拟)李明自主创业，经营一家网店，每售出一件A 商品获利8元．现计划在“五一”期间对A 商品进行广告促销，假设售出A 商品的件数m (单位：万件)与广告费用x (单位：万元)符合函数模型m ＝3－2x ＋1.若要使这次促销活动获利最多，则广告费用x 应投入________万元． 答案3解析设李明获得的利润为f (x )万元，则x ≥0， 则f (x )＝8m －x ＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2x ＋1－x ＝24－16x ＋1－x ＝25－⎣⎢⎡⎦⎥⎤16x ＋1＋(x ＋1) ≤25－216x ＋1(x ＋1)＝25－8＝17， 当且仅当x ＋1＝16x ＋1， 因为x ≥0，即当x ＝3时，等号成立．13．(2022·柳州模拟)已知△ABC 中，a 2＋b 2－c 2＝ab ≥c 2，则△ABC 一定是() A ．等边三角形B ．钝角三角形C．直角三角形D．等腰三角形答案A解析由a2＋b2－c2＝ab，则cos C＝a2＋b2－c22ab＝ab2ab＝12，又因为0°<C<180°，所以C＝60°，因为a2＋b2－c2≥2ab－c2，当且仅当a＝b时取等号，即ab≥2ab－c2，解得ab≤c2，又因为ab≥c2，所以ab＝c2，且a＝b时取等号，因为C＝60°，所以△ABC一定是等边三角形．14．(2022·武汉模拟)已知平面向量OA→，OB→，OC→为三个单位向量，且〈OA→，OB→〉＝120°，若OC→＝xOA→＋yOB→(x，y∈R)，则x＋y的取值范围为________．答案[－2,2]解析由OC→＝xOA→＋yOB→，两边同时平方得OC→2＝(xOA→＋yOB→)2，即OC→2＝x2OA→2＋y2OB→2＋2xyOA→·OB→，∵平面向量OA→，OB→，OC→为三个单位向量，且〈OA→，OB→〉＝120°，∴x2＋y2－xy＝1，∴(x ＋y )2＝1＋3xy ≤1＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22， 即(x ＋y )2≤4，即－2≤x ＋y ≤2.15．(2022·大庆模拟)设函数f (x )＝|lg x |，若存在实数0<a <b ，满足f (a )＝f (b )，则M ＝log 2a 2＋b 28，N ＝log 2⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋b 2，Q ＝ln 1e 2的关系为() A ．M >N >Q B ．M >Q >N C ．N >Q >M D ．N >M >Q 答案B解析∵f (a )＝f (b )， ∴|lg a |＝|lg b |， ∴lg a ＋lg b ＝0， 即ab ＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b 2＝1a ＋b ＋2 ＝1a ＋1a＋2<12＋2＝14， ∴N ＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b 2<－2， 又a 2＋b 28>ab 4＝14， ∴a 2＋b 28>14， ∴M ＝log 2a 2＋b 28>－2，又∵Q ＝ln 1e2＝－2，∴M >Q >N .16．设0<t <12，若1t ＋21－2t ≥k 2＋2k 恒成立，则k 的取值范围为()A ．[－4,2]B ．[－2,4]C ．[－4,0)∪(0,2]D ．[－2,0)∪(0,4] 答案A解析依题意k 2＋2k ≤1t＋21－2t 对∀t ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，12恒成立，所以k 2＋2k ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋21－2t min ， 因为t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，所以1－2t >0，所以1t ＋21－2t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋21－2t (2t ＋1－2t ) ＝2＋2＋1－2tt＋4t 1－2t ≥4＋21－2tt·4t1－2t＝8， 当且仅当1－2t t ＝4t1－2t 时取“＝”，即t ＝14时取得最小值，所以k 2＋2k ≤8， 所以(k －2)(k ＋4)≤0，解得－4≤k ≤2，即k ∈[－4,2]．。
考点48 基本不等式——2021年高考数学专题复习讲义附解析
考点48 基本不等式(讲解)【思维导图】【常见考法】考法一：直接型1．若103x <<，则()13x x -取最大值时x 的值是 。
2．已知正数a 、b 满足236a b +=，则ab 的最大值为 。
3()())3663a a a -+-≤≤的最大值为 。
考法二：换1型1．已知实数0,0,31x y x y >>+=，则11x y+的最小值为 。
2．已知0,0,1x y x y >>+=,则11x y+的最小值是 。
3．已知0x >，0y >，且211x y+=，若222x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是______.考法三：配凑型1．已知1x >，则41x x +-的最小值为 。
2．已知1,1a b >>，且11111a b +=--，则4a b +的最小值为 。
3．函数233(1)1x x y x x ++=>-+的最小值为 。
4．若a 、b 、c >0且a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－，则2a ＋b ＋c 的最小值为 。
考法四：消元型1．若正数,x y 满足220x xy +-=，则3x y +的最小值是 。
2．若正数,a b 满足111a b +=，则1411a b +--的最小值为 。
3．若实数,x y 满足0xy >，则的最大值为 、考法五：求参数1．设a 、b 、c 都是正实数，且a 、b 满足191a b+=，则使a b c +≥恒成立的c 的范围是。
2．已知0x >，0y >，且280x y xy +-=，若不等式a x y ≤+恒成立，则实数a 的范围是 。
考法六： 综合运用1．已知ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin A ，sin B ，sin C 成等比数列，则角B 的取值范围为 。
2．已知正项等比数列{}n a 满足：7652a a a =+，若存在两项m a 、n a 14m n a a a =，则14m n+的最小值为 。
2021版新高考数学一轮复习讲义：第六章第四讲 基本不等式 (含解析)
第四讲 基本不等式ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE知识梳理·双基自测 知识梳理知识点一 重要不等式a 2＋b 2≥__2ab __(a ，b ∈R )(当且仅当__a ＝b __时等号成立)． 知识点二 基本不等式ab ≤a ＋b2(均值定理) (1)基本不等式成立的条件：__a >0，b >0__； (2)等号成立的条件：当且仅当__a ＝b __时等号成立；(3)其中a ＋b2叫做正数a ，b 的__算术平均数__，ab 叫做正数a ，b 的__几何平均数__．知识点三 利用基本不等式求最大、最小值问题 (1)如果x ，y ∈(0，＋∞)，且xy ＝P (定值)，那么当__x ＝y __时，x ＋y 有最小值2P .(简记：“积定和最小”) (2)如果x ，y ∈(0，＋∞)，且x ＋y ＝S (定值)，那么当x ＝y 时，xy 有最大值S 24.(简记：“和定积最大”)重要结论常用的几个重要不等式(1)a ＋b ≥2ab (a >0，b >0)．(当且仅当a ＝b 时取等号) (2)ab ≤(a ＋b 2)2(a ，b ∈R )．(当且仅当a ＝b 时取等号)(3)(a ＋b 2)2≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )．(当且仅当a ＝b 时取等号)(4)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)．(当且仅当a ＝b 时取等号)． (5)21a ＋1b≤ab ≤a ＋b2≤a 2＋b 22(a ，b >0当且仅当a ＝b 时取等号)． 双基自测题组一 走出误区1．(多选题)下列命题不正确的是( ABC )A ．“x >0且y >0”是“x y ＋yx ≥2”的充要条件B ．若x >0，则x 3＋1x2的最小值为2xC ．不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 有相同的成立条件D ．两个正数的等差中项不小于它们的等比中项 题组二 走进教材2．(必修5P 100练习T1改编)若x <0，则x ＋1x ( D )A ．有最小值，且最小值为2B ．有最大值，且最大值为2C ．有最小值，且最小值为－2D ．有最大值，且最大值为－2[解析] 因为x <0，所以－x >0，－x ＋1－x ≥21＝2，当且仅当x ＝－1时，等号成立，所以x ＋1x≤－2．3．(必修五P 100A 组T2改编)若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是__25__m 2．[解析] 设矩形的一边为x m ，面积为y m 2， 则另一边为12×(20－2x )＝(10－x )m ，其中0<x <10，∴y ＝x (10－x )≤[x ＋(10－x )2]2＝25，当且仅当x ＝10－x ，即x ＝5时，y max ＝25． 题组三 考题再现4．(2017·江苏)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是__30__．[解析] 总费用为4x ＋600x ×6＝4(x ＋900x )≥4×2900＝240，当且仅当x ＝900x ，即x ＝30时等号成立．5．(2019·天津，13)设x >0，y >0，x ＋2y ＝4，则(x ＋1)(2y ＋1)xy 的最小值为 92 ．[解析] (x ＋1)(2y ＋1)xy ＝2xy ＋x ＋2y ＋1xy ＝2xy ＋5xy ＝2＋5xy ．∵x >0，y >0，∴4＝x ＋2y ≥2x ·2y ，解得0<xy ≤2， 当且仅当x ＝2y ＝2，即x ＝2且y ＝1时“＝”成立．此时1xy ≥12，∴2＋5xy ≥2＋52＝92，故(x ＋1)(2y ＋1)xy 的最小值为92．KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU考点突破·互动探究考点一 利用基本不等式求最值——多维探究角度1 配凑法求最值例1 (1)已知a ，b 是正数，且4a ＋3b ＝6，则a (a ＋3b )的最大值是( C ) A ．98B ．94C ．3D ．9(2)(2020·吉林模拟)已知x >2，若f (x )＝x ＋1x －2在x ＝n 处取得最小值，则n ＝( B )A ．52B ．3C ．72D ．4(3)(2020·重庆南开中学质检)已知实数a ，b >1，且满足ab －a －b ＝5，则2a ＋3b 的最小值为__17__．[解析] (1)∵a >0，b >0,4a ＋3b ＝6，∴a (a ＋3b )＝13·3a (a ＋3b )≤13(3a ＋a ＋3b 2)2＝13×(62)2＝3，当且仅当3a ＝a ＋3b ，即a ＝1，b ＝23时，a (a ＋3b )的最大值是3．(2)由f (x )＝x ＋1x －2＝(x －2)＋1x －2＋2≥4，当且仅当x －2＝1x －2>0，即x ＝3时，取得等号，故选B ．(3)由ab －a －b ＝5⇒6＝(a －1)(b －1) ⇒36＝(2a －2)(3b －3)≤(2a －2＋3b －32)2则2a ＋3b ≥17，当且仅当a ＝4，b ＝3取最小值． [易错警示] 求最值时忽视两项和或积为定值致错利用基本不等式求最值，在保证各项为正数的情况下，必须考虑两项和或两项积为定值，本题解答易忽视两项和为定值的条件，即错误解法为：a (a ＋3b )≤(a ＋a ＋3b2)2，当且仅当a＝a ＋3b ，且4a ＋3b ＝6，即a ＝32，b ＝0时，a (a ＋3b )的最大值为94，从而错选B ．[引申]f (x )＝x ＋1x －2的值域为__(－∞，0]∪[4，＋∞)__． [解析] f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2， ∵|(x －2)＋1x －2|＝|x －2|＋1|x －2|≥2 (当且仅当|x －2|＝1即x ＝3或1时取等号) ∴(x －2)＋1x －2≥2或x －2＋1x －2≤－2，∴f (x )≥4或f (x )≤0，即f (x )的值域为(－∞，0]∪[4，＋∞)． 名师点拨 ☞拼凑法求最值的技巧(1)用均值定理求最值要注意三个条件：一正、二定、三相等．“一正”不满足时，需提负号或加以讨论，“二定”不满足时，需变形，“三相等”不满足时，可利用函数单调性．(2)求乘积的最值．同样要检验“一正、二定、三相等”，如例(2)的关键是变形，凑出积为常数．角度2 换元法求最值例2 (1)函数y ＝x －1x ＋3＋x －1的最大值为 15 ．(2)(2020·百校联盟尖子生联考)已知a ，b ∈R ＋，且a ＋2b ＝ab －16，则ab 的最小值为( B )A ．16B ．32C ．64D ．128[解析] (1)令t ＝x －1≥0，则x ＝t 2＋1，所以y ＝t t 2＋1＋3＋t ＝tt 2＋t ＋4．当t ＝0，即x ＝1时，y ＝0；当t >0时，即x >1时，y ＝1t ＋4t＋1，因为t ＋4t ≥24＝4(当且仅当t ＝2时取等号)，所以y ＝1t ＋4t ＋1≤15，即y 的最大值为15(当t ＝2，即x ＝5时y 取得最大值)．(2)ab －16＝a ＋2b ≥22ab ，令ab ＝t ， 则t 2－22t －16≥0⇒t ≥22＋722＝42，故ab ≥32，即ab 最小值为32.(当且仅当a ＝8，b ＝4时取等号)故选B ． 角度3 常数代换法求最值例3 (1)(2020·天津七校期中联考)已知a >0，b >0，且1a ＋1＋1b＝1，求a ＋b 的最小值__3__．(2)(2020·浙江宁波适应性考试)已知正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则1a (b ＋1b )的最小值是( C )A ．112B ．5C ．2＋2 2D ．3＋ 2[解析] (1)∵a >0，b >0，且1a ＋1＋1b ＝1，∴a ＋b ＝[(a ＋1)＋b ]－1＝(1a ＋1＋1b )[(a ＋1)＋b ]－1＝b a ＋1＋a ＋1b ＋1≥2b a ＋1·a ＋1b＋1＝3， 当且仅当a ＋1＝b ，即a ＝1，b ＝2时取等号， ∴a ＋b 的最小值为3，另解：(换元法)由1a ＋1＋1b ＝1得b ＝1＋1a ，(a >0)，∴a ＋b ＝a ＋1a＋1≥2a ·1a＋1＝3， 当且仅当a ＝1，b ＝2时取等号，。
2023年数学高考复习真题演练(2021-2022年高考真题)04 基本不等式及其应用 (含详解)
专题04基本不等式及其应用【考点预测】 1.基本不等式如果00>>b a ，，那么2b a ab +≤，当且仅当b a =时，等号成立．其中，2ba +叫作b a ，的算术平均数，ab 叫作b a ，的几何平均数．即正数b a ，的算术平均数不小于它们的几何平均数． 基本不等式1：若a b ∈，R ，则ab b a 222≥+，当且仅当b a =时取等号； 基本不等式2：若a b ∈，+R ，则ab ba ≥+2（或ab b a 2≥+），当且仅当b a =时取等号. 注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件.（2）连续使用不等式要注意取得一致. 【方法技巧与总结】 1.几个重要的不等式（1）()()()20,00,0.a a R a a a a R ≥∈≥≥≥∈ （2）基本不等式：如果,a b R +∈，则2a bab +≥(当且仅当“a b =”时取“”). 特例：10,2;2a ba a ab a>+≥+≥（,a b 同号）. （3）其他变形：①()2222a b a b ++≥(沟通两和a b +与两平方和22a b +的不等关系式)②222a b ab +≤(沟通两积ab 与两平方和22a b +的不等关系式)③22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭(沟通两积ab 与两和a b +的不等关系式)④重要不等式串：)222,1122a b a b ab a b R a b+++≤≤≤∈+即 调和平均值≤几何平均值≤算数平均值≤平方平均值(注意等号成立的条件). 2.均值定理 已知,x y R +∈.（1）如果x y S +=(定值)，则2224x y S xy +⎛⎫≤=⎪⎝⎭(当且仅当“x y =”时取“=”).即“和为定值，积有最大值”.（2）如果xy P =(定值)，则x y +≥=当且仅当“x y =”时取“=”).即积为定值，和有最小值”. 3.常见求最值模型 模型一：)0,0(2>>≥+n m mn x nmx ，当且仅当mnx =时等号成立； 模型二：)0,0(2)(>>+≥+-+-=-+n m ma mn ma ax na x m a x n mx ，当且仅当mna x =-时等号成立； 模型三：)0,0(2112>>+≤++=++c a bac xc b ax c bx ax x ，当且仅当a cx =时等号成立；模型四：)0,0,0(4)21)()(22m n x n m m n mx n mx m m mx n mx mx n x <<>>=-+⋅≤-=-（，当且仅当mnx 2=时等号成立.【题型归纳目录】题型一：基本不等式及其应用 题型二：直接法求最值 题型三：常规凑配法求最值 题型四：消参法求最值 题型五：双换元求最值 题型六：“1”的代换求最值 题型七：齐次化求最值题型八：利用基本不等式证明不等式 题型九：利用基本不等式解决实际问题 【典例例题】题型一：基本不等式及其应用例1．（2022·宁夏·银川一中二模（理））下列不等式恒成立的是（ ）A ．12x x+≥ B ．a b +≥C ．22222a b a b ++⎛⎫≥⎪⎝⎭D ．222a b ab +≥例2．（2022·黑龙江·哈九中三模（理））已知x ，y 都是正数，且x y ≠，则下列选项不恒成立的是（ ）A ．2x y+ B ．2x yy x+>C ．2xyx y<+D ．12xy xy +>例3．（2022·江苏·高三专题练习）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF AB ⊥，设AC a =，BC b =，则该图形可以完成的无字证明为（ ）A ．(0,0)2a bab a b +≥>> B ．222(0,0)a b ab a b +≥>>C ．20,0)aba b a b≤>>+ D ．0,0)2a b a b +>>例4．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高三阶段练习（文））下列不等式中一定成立的是（ ） A ．()2111x x >∈+R B ．()12,sin sin xx k x k π+>≠∈Z C ．21ln ln (0)4x x x ⎛⎫+>> ⎪⎝⎭D ．()212x x x +≥∈R（多选题）例5．（2022·全国·高三专题练习）下列函数中最小值为6的是（ ） A ．9ln ln y x x=+ B ．36sin 2sin y x x=+C ．233xxy -=+D ．2y =（多选题）例6．（2022·江苏·扬州中学高三开学考试）设0a >，0b >，下列结论中正确的是（ ）A ．()1229a b a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭B ．()2221a b a b +≥++C ．22b a a b a b +≥+D ．22a b a b+≥+【方法技巧与总结】熟记基本不等式成立的条件，合理选择基本不等式的形式解题，要注意对不等式等号是否成立进行验证.题型二：直接法求最值例7．（2022·全国·模拟预测（文））若实数a ，b 满足1a b +=，则ab 的最大值为（ ） A ．2B ．1C ．12D ．14例8．（2022·甘肃酒泉·模拟预测（理））若x ，y 为实数，且26x y +=，则39x y +的最小值为（ ） A ．18B ．27C ．54D ．90例9．（2022·河南河南·三模（理））已知二次函数()22f x ax x c =++（x ∈R ）的值域为[)0,∞+，则14c a+的最小值为（ ）A ．4-B ．4C ．8D ．8-例10．（2022·湖北十堰·三模）函数()1111642xx x f x -=++的最小值为（ ） A．4B ．C ．3D ．（多选题）例11．（2022·广东·汕头市潮阳区河溪中学高三阶段练习）已知a ，b 是两个正数，4是2a 与16b 的等比中项，则下列说法正确的是（ ） A ．ab 的最小值是1 B ．ab 的最大值是1 C ．11a b+的最小值是94D ．11a b+的最大值是92例12．（2022·四川·广安二中二模（文））若,R a b +∈，且11b a +=，则2b a的最大值是_______________. 例13．（2022·全国·高三专题练习）已知正数x 、y 满足124x y +=，则yx的最小值是___________. 【方法技巧与总结】直接利用基本不等式求解，注意取等条件.题型三：常规凑配法求最值例14．（2022·全国·高三专题练习（理））若11x -<< ，则22222x x y x -+=-有（ ）A ．最大值1-B ．最小值1-C ．最大值1D ．最小值1例15．（2022·全国·高三专题练习）函数131y x x =+-(1)x >的最小值是（ ）A ．4B ．3C ．D ．3例16．（2022·全国·高三专题练习）若0x >，0y >且x y xy +=，则211x y x y +--的最小值为（ ）A ．3B ．52C ．3D ．3+例17．（2022·上海·高三专题练习）若1x >，则函数211x x y x -+=-的最小值为___________.例18．（2021·江苏·常州市北郊高级中学高一阶段练习）已知1xy =，且102y <<，则22416x y x y -+最大值为______．例19．（2022·全国·高三专题练习）（1）求函数()411y x x x =+>-的最小值及此时x 的值； （2）已知函数25102x x y x ++=+，()2,x ∈-+∞，求此函数的最小值及此时x 的值.【方法技巧与总结】1．通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式． 2．注意验证取得条件．题型四：消参法求最值例20．（2022·浙江绍兴·模拟预测）若直线30(0,0)ax by a b --=>>过点(1,1)-为___________.例21．（2022·全国·高三专题练习）设正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=，则当xyz取得最大值时，212x y z+-的最大值为（ ） A ．0 B ．3C ．94D ．1例22．（2022·全国·高三专题练习（理））已知正实数a ，b 满足220ab a +-=，则4a b +的最小值是（ ）A ．2B ．2C ．2D ．6例23．（2022·浙江·高三专题练习）若正实数a ，b 满足32+=b a ab ，则2+a bab 的最大值为______． 例24．（2022·全国·高三专题练习）若,x y R +∈，23()()-=x y xy ，则11x y+的最小值为___________.例25．（2022·浙江绍兴·模拟预测）若220,0,422>>+-=a b a b ab ，则12++ab a b的取值范围是_________． 【方法技巧与总结】消参法就是对应不等式中的两元问题，用一个参数表示另一个参数，再利用基本不等式进行求解.解题过程中要注意“一正，二定，三相等”这三个条件缺一不可！ 题型五：双换元求最值例26．（2022·浙江省江山中学高三期中）设0a >，0b >，若221a b +=，2ab -的最大值为（ ）A ．3B ．C ．1D ．2+例27．（2022·天津南开·一模）若0a >，0b >，0c >，2a b c ++=，则4a ba b c+++的最小值为______． 例28．（2022·天津市蓟州区第一中学一模）已知x ＋y ＝1，y ＞0，x ＞0，则121x x y ++的最小值为____________． 例29．（2022·全国·高三专题练习）已知0a >，0b >，21a b +=，则11343a b a b+++取到最小值为 ________．例30．（2022·全国·高三专题练习）若,x y R +∈，且21x y +=，则22212x y x y +++的最小值为_________ 例31．（2022·全国·高三专题练习）若正实数x ，y 满足22x y +=，则224122x y y x +++的最小值是__________．【方法技巧与总结】若题目中含是求两个分式的最值问题，对于这类问题最常用的方法就是双换元，分布运用两个分式的分母为两个参数，转化为这两个参数的不等关系． 1．代换变量，统一变量再处理．2．注意验证取得条件． 题型六：“1”的代换求最值例32．（2022·辽宁·模拟预测）已知正实数x ，y 满足211x y+=，则436xy x y --的最小值为（ ）A ．2B ．4C ．8D ．12例33．（2022·河南·鹤壁高中模拟预测（文））设正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若20132013S =，则2201211a a +的最小值为（ ） A ．1B ．2C ．4D ．8例34．（2022·安徽·南陵中学模拟预测（理））若实数a ，b 满足123,12a b a b ⎛⎫+=>> ⎪⎝⎭，则2211a b a b +--的最小值为（ ） A ．6B ．4C ．3D ．2例35．（2022·安徽·南陵中学模拟预测（文））已知20,0,61a b a b >>+=，则162b a +的最小值为（ ）A ．13B ．19C ．21D ．27例36．（2022·四川·石室中学三模（文））已知0a >，0b >且1a b +=，则1811a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值是( )A ．49B ．50C ．51D ．52例37．（2022·河南·宝丰县第一高级中学模拟预测（文））已知正数a ，b 满足0ab a b --=，则4a b +的最小值为___________.例38．（2022·天津·南开中学模拟预测）设0x >，0y >，1x y +=，则212x xy+的最小值为______．例39．（2022·新疆阿勒泰·三模（理））函数11x y a -=+图象过定点A ，点A 在直线()31,0mx ny m n +=>>上，则121m n+-最小值为___________. 【方法技巧与总结】1的代换就是指凑出1，使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为定值，凑的过程中要特别注意等价变形．1．根据条件，凑出“1”，利用乘“1”法． 2．注意验证取得条件．题型七：齐次化求最值例40．（2022·全国·高三专题练习）已知0,0a b >>，满足222232390,a b a b --+=则32b aa b+的最小值是（ ） A．B．C．D．例41．（2022·浙江嘉兴·二模）已知函数())f x a b =<的定义域为R ，则24b aa b c-++的最大值是___________.例42．（2022·全国·高三专题练习（理））若a ，b ，c 均为正实数，则2222ab bca b c +++的最大值为（ ）A ．12B ．14C D 例43．（2022·全国·高三专题练习）已知三次函数32()()f x ax bx cx d a b =+++<在R 上单调递增，则a b c b a++-最小值为（ ）A B C D 例44．（2022·天津·高三专题练习）已知0a >，0b >，且21a b +=，则12bb a b++的最小值为____________.例45．（2022·浙江·高三专题练习）已知x ，y ，z 为正实数，且240x y z +-=，则2xyz 的最大值为______． 例46．（2022·全国·高三专题练习）若0,0x y >>且224log 3log 9log 81x y +=，则433x y x y++的最小值为___________. 【方法技巧与总结】齐次化就是含有多元的问题，通过分子、分母同时除以得到一个整体，然后转化为运用基本不等式进行求解．题型八：利用基本不等式证明不等式例47．（2022·安徽·马鞍山二中模拟预测（理））已知0a >，0b >． (1)若21a b +=，证明：2233348a b ≤+<；(2)若2a b ab +=，证明：410a b ab ++≥+例48．（2022·陕西渭南·二模（文））设函数()124f x x x =+--． (1)求不等式()23f x x ≥-的解集．(2)若()f x 的最大值为222a b c ++，证明：3ab bc ca ++≤．例49．（2022·全国·高三专题练习）已知正数a ，b ，c 满足3a b c ++=． (1)求abc 的最大值；(2)证明：3333a b b c c a abc ++≥．例50．（2022·安徽省芜湖市教育局高三期末（理））设a ，b ，c 为正实数，且1a b c ++=.证明： (1)11192a b b c c a ++≥+++； (2)33332ab bc ca abca b c ++-++≥.例51．（2022·河南洛阳·一模（文））已知a ，b ，c 都是正数.(1)证明：a b c ++≥ (2)若3a b c ++=，证明：11132a b b c c a ++≥+++. 【方法技巧与总结】类似于基本不等式的结构的不等式的证明可以利用基本不等式去组合、分解、运算获得证明. 题型九：利用基本不等式解决实际问题例51．（2021·全国·高三专题练习（理））设计用232m 的材料制造某种长方体形状的无盖车厢，按交通部门的规定车厢宽度为2m ，则车厢的最大容积是（ ）A．（38－ m 3 B ．16 m 3C ．m 3D ．14 m 3例53．（2021·全国·高三专题练习）如图，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求点B 在AM 上，点D 在AN 上，且对角线MN 过点C ，已知4AB =，3AD =，那么当BM =_______时，矩形花坛的AMPN 面积最小，最小面积为______.例54．（2022·全国·高二课时练习）根据不同的程序，3D 打印既能打印实心的几何体模型，也能打印空心的几何体模型．如图所示的空心模型是体积为317176cm π的球挖去一个三棱锥P ABC -后得到的几何体，其中PA AB ⊥，BC ⊥平面P AB ，1BC cm =．不考虑打印损耗，求当用料最省时，AC 的长．例55．（2022·全国·高三课时练习）为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在2019年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用t(t≥0)万元满足421kx t =-+(k 为常数)．如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件．已知2019年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分)．(1)将该厂家2019年该产品的利润y 万元表示为年促销费用t 万元的函数； (2)该厂家2019年的年促销费用投入多少万元时厂家利润最大？ 【方法技巧与总结】1．理解题意，设出变量，建立函数模型，把实际问题抽象为函数的最值问题． 2．注意定义域，验证取得条件．3.注意实际问题隐藏的条件，比如整数，单位换算等． 【过关测试】一、单选题 1．（2022·甘肃省武威第一中学模拟预测（文））已知点E 是ABC 的中线BD 上的一点（不包括端点）．若AE xAB y AC =+，则21x y +的最小值为（ ） A ．4B ．6C ．8D ．92．（2022·河南安阳·模拟预测（文））已知,a b 为正实数，且196a b a b+=++，则a b +的最小值为（ ） A ．6B ．8C ．9D ．123．（2022·安徽马鞍山·三模（理））若0a >，0b >，()lg lg lg 3a b a b +=+，则a b +的最小值为（ ）A．B．4+C ．6D．3+4．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知1e ，2e 为平面的单位向量，且其夹角为2π3，若()1222,xe ye x y +=∈R ，则2x y +的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．-5．（2022·天津红桥·一模）设0a >，1b >，若2a b +=，则411a b +-的最小值为（）A ．6B ．9C ．D ．186．（2022·山西运城·模拟预测（理））已知等比数列{}n a 的公比为q ，且51a =，则下列选项不正确的是（ ） A ．372a a +≥B ．462a a +≥C ．76210a a -+≥D ．191911a a a a +=+ 7．（2022·河南·鹤壁高中模拟预测（文））已知a ，Rb ∈，满足e e 1a b +=，则下列错误的是（ ） A ．2ln 2a b +≤- B ．e <0a b +C ．1≥abD ．()222e e 1a b+≥8．（2022·河北保定·二模）已知a ，()0,b ∈+∞，且22347a ab b ++=，则2+a b 的最大值为（） A ．2 B ．3C ．D ．二、多选题9．（2022·河北张家口·三模）已知,x y +∈R ，x y m +=（m 是常数），则下列结论正确的是（ ）A ．若141x y ++的最小值为1m +，则3m = B ．若(1)x y +的最大值为4，则3m =C m ，则2m =D ．若4m =，则29y x+的最小值为210．（2022·河北·模拟预测）已知220,0,2a b a b >>+=，则以下不等式成立的是（ ） A ．2a b +>B ．332a b +≥C ．114a b b a ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ D ．112a b +≥11．（2022·山东菏泽·二模）设a ，b 为两个正数，定义a ，b 的算术平均数为()2a bA a b +=,，几何平均数为()G a b ,上个世纪五十年代，美国数学家D ．H. Lehmer 提出了“Lehmer 均值”，即()11,p pp p p a b L a b a b --+=+，其中p 为有理数．下列结论正确的是（ ） A ．()()0.51,,L a b L a b ≤ B ．()()0,,L a b G a b ≤C ．()()2,,L a b A a b ≤D ．()()1,,n n L a b L a b +≤12．（2022·湖北·荆门市龙泉中学二模）已知函数2()log x f x =，且正实数a ，b 满足()()1f a f b +=，则下列结论可能成立的是（ ） A ．2a b = B ．1122a b --+的最大值为32C．2ab = D ．2211a b +的最小值为三、填空题13．（2022·黑龙江齐齐哈尔·三模（理））已知正实数x ，y 满足12e (2)e yxx y -=+，则22y xy x y++的最小值为__________．14．（2022·吉林·模拟预测（理））已知2x >，则42x x +-的最小值是______． 15．（2022·重庆·三模）已知0a >，0b >，且2233a b ab a b +=+，则3a b +的最小值为___________.16．（2022·浙江·模拟预测）已知正实数x ，y 满足：222xx xy y ++=，则232x y y++的最小值为_________． 四、解答题17．（2022·江西·二模（理））已知函数()263f x x x =++-． (1)解不等式()10f x ≥的解集；(2)设()()3g x f x x =-+到的最小值为t ，若正数m ，n 满足2m n t +=，求11211m n +++的最小值．18．（2022·江西南昌·三模（理））已知函数()24f x x x =-+-，已知不等式()()0f x kx k ≥>恒成立. (1)求k 的最大值0k ； (2)设0a >，0b >，求证：1223a b a b a b k +≥++. 19．（2022·江西九江·三模（文））设函数()||()f x x a a =-∈R ． (1)若关于x 的不等式()(2)4+-≥f x f x 恒成立，求a 的取值范围；(2)在平面直角坐标系xOy 中，()()1+≤f x f y 所围成的区域面积为S ，若正数b ，c ，d 满足()()++=b d c d S ，求23++b c d 的最小值．20．（2022·陕西·模拟预测（理））设函数()142a f x x x x a=-++-()0a > (1)当1a =时，求不等式()52f x ≤的解集； (2)已知不等式()1f x x a ≥+的解集为{}1xx ≤∣，0m >，0n >，m n a +=，求28m n+的最小值. 21．（2022·河南·模拟预测（文））设a ，b 为正数，且1a b +=．证明：(1) (2)()()222a b b a a ++>．22．（2022·云南昆明·模拟预测（理））设a ，b ，c 均为正数，且1a b c ++=．(1)求14a b c++的最小值；(2)专题04基本不等式及其应用【考点预测】 1.基本不等式如果00>>b a ，，那么2b a ab +≤，当且仅当b a =时，等号成立．其中，2ba +叫作b a ，的算术平均数，ab 叫作b a ，的几何平均数．即正数b a ，的算术平均数不小于它们的几何平均数． 基本不等式1：若a b ∈，R ，则ab b a 222≥+，当且仅当b a =时取等号； 基本不等式2：若a b ∈，+R ，则ab ba ≥+2（或ab b a 2≥+），当且仅当b a =时取等号. 注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件.（2）连续使用不等式要注意取得一致. 【方法技巧与总结】 1.几个重要的不等式（1）()()()20,00,0.a a R a a a a R ≥∈≥≥≥∈ （2）基本不等式：如果,a b R +∈，则2a bab +≥(当且仅当“a b =”时取“”). 特例：10,2;2a ba a ab a>+≥+≥（,a b 同号）. （3）其他变形：①()2222a b a b ++≥(沟通两和a b +与两平方和22a b +的不等关系式)②222a b ab +≤(沟通两积ab 与两平方和22a b +的不等关系式)③22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭(沟通两积ab 与两和a b +的不等关系式)④重要不等式串：)222,1122a b a b ab a b R a b+++≤≤≤∈+即 调和平均值≤几何平均值≤算数平均值≤平方平均值(注意等号成立的条件). 2.均值定理 已知,x y R +∈.（1）如果x y S +=(定值)，则2224x y S xy +⎛⎫≤=⎪⎝⎭(当且仅当“x y =”时取“=”).即“和为定值，积有最大值”.（2）如果xy P =(定值)，则x y +≥=当且仅当“x y =”时取“=”).即积为定值，和有最小值”. 3.常见求最值模型 模型一：)0,0(2>>≥+n m mn x nmx ，当且仅当mnx =时等号成立； 模型二：)0,0(2)(>>+≥+-+-=-+n m ma mn ma ax na x m a x n mx ，当且仅当mna x =-时等号成立； 模型三：)0,0(2112>>+≤++=++c a bac xc b ax c bx ax x ，当且仅当a cx =时等号成立；模型四：)0,0,0(4)21)()(22m n x n m m n mx n mx m m mx n mx mx n x <<>>=-+⋅≤-=-（，当且仅当mnx 2=时等号成立.【题型归纳目录】题型一：基本不等式及其应用 题型二：直接法求最值 题型三：常规凑配法求最值 题型四：消参法求最值 题型五：双换元求最值 题型六：“1”的代换求最值 题型七：齐次化求最值题型八：利用基本不等式证明不等式 题型九：利用基本不等式解决实际问题 【典例例题】题型一：基本不等式及其应用例1．（2022·宁夏·银川一中二模（理））下列不等式恒成立的是（ ）A ．12x x+≥ B ．a b +≥C ．22222a b a b ++⎛⎫≥⎪⎝⎭D ．222a b ab +≥【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式成立的条件依次判断各选项即可得答案. 【详解】解：对于A 选项，当0x <时，不等式显然不成立，故错误；对于B 选项，a b +≥0,0a b ≥≥，故错误； 对于C 选项，当0a b =-≠时，不等式显然不成立，故错误； 对于D 选项，由于()22220a b ab a b +-=-≥，故222a b ab +≥，正确. 故选：D例2．（2022·黑龙江·哈九中三模（理））已知x ，y 都是正数，且x y ≠，则下列选项不恒成立的是（ ）A ．2x y+ B ．2x yy x+>C ．2xyx y<+D ．12xy xy +>【答案】D 【解析】 【分析】根据基本不等式判断． 【详解】 x ，y 都是正数，由基本不等式，2x y +≥2y x x y +≥，2xy x y =+x y =时等号成立，而题中x y ≠，因此等号都取不到，所以ABC 三个不等式恒成立； 12xy xy +≥中当且仅当1xy =时取等号，如1,22x y ==即可取等号，D 中不等式不恒成立． 故选：D ．例3．（2022·江苏·高三专题练习）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF AB ⊥，设AC a =，BC b =，则该图形可以完成的无字证明为（ ）A ．(0,0)2a bab a b +≥>> B ．222(0,0)a b ab a b +≥>>C ．20,0)aba b a b ≤>>+ D ．0,0)2a b a b +>>【答案】D 【解析】 【分析】设,AC a BC b ==，得到2a b r OF +==，2a b OC -=，在直角OCF △中，利用勾股定理，求得222=2a b FC +，结合FO FC ≤，即可求解. 【详解】设,AC a BC b ==，可得圆O 的半径为122a br OF AB +===， 又由22a b a bOC OB BC b +-=-=-=， 在直角OCF △中，可得2222222()()222a b a b a b FC OC OF -++=+=+=，因为FO FC ≤，所以2a b +≤a b =时取等号． 故选：D.例4．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高三阶段练习（文））下列不等式中一定成立的是（ ） A ．()2111x x >∈+R B ．()12,sin sin xx k x k π+>≠∈Z C ．21ln ln (0)4x x x ⎛⎫+>> ⎪⎝⎭D ．()212x x x +≥∈R【答案】D 【解析】 【分析】 由211x +≥得211x +的范围可判断A ；利用基本不等式求最值注意满足一正二定三相等可判断B ；作差比较214x +与x 的大小可判断C ；作差比较21x +与2x 的大小可判断D.【详解】因为x ∈R ，所以211x +≥，所以21011x <≤+，故A 错误； 1sin 2sin x x +≥只有在sin 0x >时才成立，故B 错误；因为2211042x x x ⎛⎫-+=-≥ ⎪⎝⎭，所以214x x +≥，所以21ln ln 4x x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，故C 错误；因为()221210x x x +-=-≥，所以212x x +≥，故D 正确.故选：D.（多选题）例5．（2022·全国·高三专题练习）下列函数中最小值为6的是（ ） A ．9ln ln y x x=+B ．36sin 2sin y x x=+C ．233x xy -=+ D ．2y =【答案】BC 【解析】 【分析】根据基本不等式成立的条件“一正二定三相等”，逐一验证可得选项. 【详解】解：对于A 选项，当()0,1x ∈时，ln 0x <，此时9ln 0ln x x+<，故A 不正确.对于B 选项，36sin 62sin y x x =+≥，当且仅当36sin 2sin x x =，即1sin 2x =时取“=”，故B 正确.对于C 选项，2336x x y -=+≥=，当且仅当233x x -=，即1x =时取“=”，故C 正确.对于D 选项，26y ≥，=27x =-无解，故D 不正确.故选：BC.（多选题）例6．（2022·江苏·扬州中学高三开学考试）设0a >，0b >，下列结论中正确的是（ ） A ．()1229a b a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭B ．()2221a b a b +≥++C ．22b a a b a b +≥+D ．22a b a b+≥+【答案】ACD 【解析】 【分析】利用基本不等式可判断ACD 选项的正误，利用特殊值法可判断B 选项的正误.【详解】对于A 选项，()12222559b a a b a b a b ⎛⎫++=++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当a b =时，等号成立，A 对；对于B 选项，取1a b ==，则()2221a b a b +<++，B 错；对于C 选项，22b a b a +≥=，22a b a b +≥， 所以，2222b a a b a b a b+++≥+，即22b a a b a b +≥+，当且仅当a b =时，等号成立，C 对； 对于D 选项，因为222a b ab +≥，则()()2222222a b a b ab a b +≥++=+，所以，()()22222a b a b a ba b a b +++≥=≥++a b =时，两个等号同时成立，D 对. 故选：ACD. 【方法技巧与总结】熟记基本不等式成立的条件，合理选择基本不等式的形式解题，要注意对不等式等号是否成立进行验证.题型二：直接法求最值例7．（2022·全国·模拟预测（文））若实数a ，b 满足1a b +=，则ab 的最大值为（ ） A ．2 B ．1 C ．12D ．14【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式求解积的最大值. 【详解】∵22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，1a b +=，∴212ab ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，即14ab ≤，当且仅当12a b ==时等号成立，∴()max 14ab =． 故选：D ．例8．（2022·甘肃酒泉·模拟预测（理））若x ，y 为实数，且26x y +=，则39x y +的最小值为（ ） A ．18B ．27C ．54D ．90【答案】C 【解析】 【分析】利用基本不等式可得答案． 【详解】由题意可得2393322754x y x y +=+≥⨯=， 当且仅当233x y =时，即2x y =等号成立. 故选：C ．例9．（2022·河南河南·三模（理））已知二次函数()22f x ax x c =++（x ∈R ）的值域为[)0,∞+，则14c a+的最小值为（ ） A ．4-B ．4C ．8D ．8-【解析】 【分析】根据()f x 的值域求得1ac =，结合基本不等式求得14c a+的最小值.【详解】由于二次函数()22f x ax x c =++（x ∈R ）的值域为[)0,∞+，所以0Δ440a ac >⎧⎨=-=⎩，所以1,0ac c =>，所以144c a +≥=，当且仅当14c a=即12,2a c ==时等号成立.故选：B例10．（2022·湖北十堰·三模）函数()1111642xx x f x -=++的最小值为（ ）A ．4B ．C ．3D ．【答案】A 【解析】 【分析】利用不等式性质以及基本不等式求解. 【详解】因为116224xx x +≥⨯，当且仅当1164x x =，即0x =时等号成立，1122222422x xx x -⨯+=⨯+≥=，当且仅当2222xx⨯=，即0x =时等号成立， 所以()f x 的最小值为4. 故选：A（多选题）例11．（2022·广东·汕头市潮阳区河溪中学高三阶段练习）已知a ，b 是两个正数，4是2a 与16b 的等比中项，则下列说法正确的是（ ） A ．ab 的最小值是1 B ．ab 的最大值是1 C ．11a b+的最小值是94D ．11a b+的最大值是92【答案】BC 【解析】根据等比中项整理得44a b +=，直接由基本不等式可得ab 的最大值，可判断AB ；由111()(4)4a b a b +⋅+⋅展开后使用基本不等式可判断CD. 【详解】因为22164a b ⋅=，所以4422a b +=，所以4424a b ab +=，可得1ab ，当且仅当4a b =时等号成立， 所以ab 的最大值为1，故A 错误，B 正确．因为1111419()(4)(14)(524444b a a b a b a b +⋅+⋅=++++=， 故11a b +的最小值为94，无最大值，故C 正确，D 错误． 故选：BC例12．（2022·四川·广安二中二模（文））若,R a b +∈，且11b a +=，则2b a的最大值是_______________. 【答案】12##0.5. 【解析】 【分析】利用基本不等式可直接求得结果. 【详解】,R a b +∈，10a ∴>，0b >，11b a ∴+=≥即14b a ≤（当且仅当1b a =，即2a =，12b =时取等号），212b a ∴≤，即2b a 的最大值为12. 故答案为：12.例13．（2022·全国·高三专题练习）已知正数x 、y 满足124x y +=，则yx的最小值是___________. 【答案】14【解析】 【分析】利用基本不等式可求得yx的最小值. 【详解】因为x 、y 为正数，由基本不等式可得124x y =+≥=14y x ≥，当且仅当41124xy x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩时，即当41x y ==时，等号成立，故y x 的最小值为14.故答案为：14.【方法技巧与总结】直接利用基本不等式求解，注意取等条件. 题型三：常规凑配法求最值例14．（2022·全国·高三专题练习（理））若11x -<< ，则22222x x y x -+=-有（ ）A ．最大值1-B ．最小值1-C ．最大值1D ．最小值1【答案】A 【解析】 【分析】将给定函数化简变形，再利用均值不等式求解即得. 【详解】因11x -<<，则012x <-<，于是得21(1)1111[(1)]121212x y x x x -+=-⋅=--+≤-⋅---，当且仅当111x x -=-，即0x =时取“=”，所以当0x =时，22222x x y x -+=-有最大值1-.故选：A例15．（2022·全国·高三专题练习）函数131y x x =+-(1)x >的最小值是（ ） A ．4 B．3 C．D．3【答案】D 【解析】 由()13131y x x =-++-，利用基本不等式求最小值即可. 【详解】因为1x >，所以()131331y x x =-++≥-3=，当且仅当()1311x x -=-，即1x =+时等号成立.所以函数131y x x =+-(1)x >的最小值是3. 故选：D. 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 例16．（2022·全国·高三专题练习）若0x >，0y >且x y xy +=，则211x y x y +--的最小值为（ ）A ．3B ．52C ．3D ．3+【答案】D 【解析】 【分析】利用给定条件确定1,1x y >>，变形211x yx y +--并借助均值不等式求解即得. 【详解】因0x >，0y >且x y xy +=，则xy x y y =+>，即有1x >，同理1y >， 由x y xy +=得：(1)(1)1x y --=，于是得11222123()33111111x y x y x y x y +=+++=++≥++------当且仅当2111x y =--，即11x y ==“=”，所以211x y x y +--的最小值为3+ 故选：D例17．（2022·上海·高三专题练习）若1x >，则函数211x x y x -+=-的最小值为___________.【答案】3 【解析】 【分析】由2111111x x y x x x -+==-++--，及1x >，利用基本不等式可求出最小值. 【详解】由题意，()()()()222211111111111111x x x x x x x y x x x x x -++-+-+-+-+====-++----，因为1x >，所以111131y x x =-++≥=-，当且仅当111x x -=-，即2x =时等号成立.所以函数211x x y x -+=-的最小值为3.故答案为：3.例18．（2021·江苏·常州市北郊高级中学高一阶段练习）已知1xy =，且102y <<，则22416x y x y -+最大值为______．【解析】 【分析】由1xy =且102y <<，可得1(2)y x x=>，可得40x y ->，再将22416x y x y -+化为18(4)4x y x y-+-后利用基本不等式求解即可． 【详解】解：由1xy =且102y <<，可得1(2)y x x =>，代入440x y x x-=->，又222441816(4)8(4)4x y x y x y x y xy x y x y--==≤=+-+-+-当且仅当844x y x y -=-，即4x y -=1xy =，可得xy =时，不等式取等， 即22416x y x y -+，． 例19．（2022·全国·高三专题练习）（1）求函数()411y x x x =+>-的最小值及此时x 的值； （2）已知函数25102x x y x ++=+，()2,x ∈-+∞，求此函数的最小值及此时x 的值.【答案】（1）函数y 的最小值为5，此时3x =；（2）函数y 的最小值为5，此时0x =. 【解析】 （1）整理441111y x x x x =+=-++--，利用基本不等式求解即可；（2）令()20t x t =+>，将2x t =-代入整理得41y t t=++，利用基本不等式求解即可； 【详解】 （1）∵1x >，∴4411141511y x x x x =+=-++≥=+=--， 当且仅当411x x -=-即3x =时，等号成立.故函数y 的最小值为5，此时3x =； （2）令()20t x t =+>， 将2x t =-代入得：()()22521041t t y t t t-+-+==++，∵0t >，∴411415y t t =++≥=+=， 当且仅当4t t=， 即422x x +=+， 即0x =时，等号成立.故函数y 的最小值为5，此时0x =.【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值的问题.属于中档题. 【方法技巧与总结】1．通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式． 2．注意验证取得条件． 题型四：消参法求最值例20．（2022·浙江绍兴·模拟预测）若直线30(0,0)ax by a b --=>>过点(1,1)-为___________.【答案】【解析】 【分析】将点(1,1)-代入直线方程可得3a b +=. 【详解】直线30ax by --=过点(1,1)-，则3a b +=又0,0a b >>，设t =0t >2126t a b =++++=+()()2121292a b a b +++⎛⎫++≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12+=+a b ，即2,1a b ==时等号成立.所以2612t =+≤，即t ≤2,1a b ==时等号成立. 故答案为：例21．（2022·全国·高三专题练习）设正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=，则当xyz取得最大值时，212x y z+-的最大值为（ ） A ．0 B ．3C ．94D ．1【答案】D 【解析】 【分析】利用22340x xy y z -+-=可得143xy x y z y x=+-，根据基本不等式最值成立的条件可得22,2x y z y ==，代入212x y z++可得关于y 的二次函数，利用单调性求最值即可. 【详解】由正实数x ，y ，z 满足22340x xy y z -+-=， 2234z x xy y ∴=-+．∴22111434432?xy xy x y z x xy y x y y x===-++-， 当且仅当20x y =>时取等号，此时22z y =．∴222122121(1)1122x y z y y y y+-=+-=--+，当且仅当1y =时取等号， 即212x y z +-的最大值是1． 故选：D 【点睛】本题主要考查了基本不等式的性质和二次函数的单调性，考查了最值取得时等号成立的条件，属于中档题. 例22．（2022·全国·高三专题练习（理））已知正实数a，b 满足220ab a +-=，则4a b +的最小值是（ ） A ．2 B ．2C ．2D ．6【答案】B 【解析】 【分析】根据220ab a +-=变形得22a b =+，进而转化为a b b b +=++842， 用凑配方式得出()b b ++-+8222，再利用基本不等式即可求解. 【详解】由220ab a +-=，得22a b =+，所以()a b b b b b b +=+=++-⋅=+++888422222222， 当且仅当,a b b b ==+++28222，即a b ==2取等号. 故选：B.例23．（2022·浙江·高三专题练习）若正实数a ，b 满足32+=b a ab ，则2+a bab 的最大值为______． 【答案】12【解析】 【分析】由已知得a ＝23b b -，代入2+a b ab ＝32323bb b b b +--＝222b b-+＝﹣2 （112b -）2+12，然后结合二次函数的性质可求． 【详解】因为正实数a ，b 满足b +3a ＝2ab ， 所以a ＝23bb -， 则2+a b ab＝32323bb b b b +--＝222b b -+＝﹣2 （112b -）2+12， 当112b =，即b ＝2 时取得最大值12．故答案为：12． 【点睛】思路点睛：b +3a ＝2ab ，可解出a ，采用二元化一元的方法减少变量，转化为1b的一元二次函数，利用一元二次函数的性质求最值.例24．（2022·全国·高三专题练习）若,x y R +∈，23()()-=x y xy ，则11x y+的最小值为___________.【答案】2 【解析】 【分析】根据题中所给等式可化为211()xy y x -=，再通过平方关系将其与11x y +联系起来，运用基本不等式求解最小值即可. 【详解】因为23()()-=x y xy 且,x y R +∈，则两边同除以2()xy ，得211()xy y x-=，又因为224(111111()44)xy y y x xy xy x -+=+=+≥，当且仅当14xy xy =，即22x y ==等号成立，所以211x y+≥.故答案为:2例25．（2022·浙江绍兴·模拟预测）若220,0,422>>+-=a b a b ab ，则12++ab a b的取值范围是_________．【答案】23⎡⎢⎣⎦【解析】 【分析】根据已知可得2(2)206a b ab +-=>，求得2a b +>再将条件变形2(2)26a b ab +=+结合基本不等式可求得02a b <+≤12++ab a b变形为14262a b a b ⎛⎫++ ⎪+⎝⎭，采用换元法，利用导数求得结果.【详解】由题意220,0,422>>+-=a b a b ab 得：2(2)206a b ab +-=> ，则2a b +>，又222(2)26232+⎛⎫+=+≤+⨯ ⎪⎝⎭a b a b ab ，当且仅当2b a ==时取等号，故02a b <+≤2a b <+≤ 所以1142262ab a b a b a b +⎛⎫=++ ⎪++⎝⎭，令2,t a b t =+∈ ，则14()()6f t t t =+ ，222144()(1)66t f t t t -'=-=，2t << 时，()0f t '<，()f t 递减，当2t <≤时，()0f t '>，()f t 递增，故min 2()(2)3f t f ==，而f =，f =故2()[3f t ∈，即2[312ab a b ∈++，故答案为：23⎡⎢⎣⎦【方法技巧与总结】消参法就是对应不等式中的两元问题，用一个参数表示另一个参数，再利用基本不等式进行求解.解题过程中要注意“一正，二定，三相等”这三个条件缺一不可！ 题型五：双换元求最值例26．（2022·浙江省江山中学高三期中）设0a >，0b >，若221a b +=，2ab -的最大值为（ ）A．3 B．C．1D．2+【答案】D 【解析】 【分析】法一：设c b =-，进而将问题转化为已知221a c +=，求ac 的最大值问题，再根据基本不等式求解即可；法二：由题知221()14a b +=进而根据三角换元得5cos ,(0)62sin a b πθθθθ⎧=⎪<<⎨=⎪⎩，再根据三角函数最值求解即可. 【详解】解：法一：（基本不等式）设c b =-2ab -=)a b ac -=，条件222211a b a c +=⇔+=，2212a c ac +=+≥，即2≤ac 故选：D.法二：（三角换元）由条件221()14a b +=，故可设cos sin 2a b θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即cos ,2sin a b θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩， 由于0a >，0b >，故cos 02sin 0θθθ⎧>⎪⎨>⎪⎩，解得506πθ<<。
2021高中数学一轮复习课件第一章 集合与常用逻辑用语、不等式第四节 基本不等式
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3．(2019·河南许昌、洛阳第三次质量检测)已知 x>0，y>0，
且1x＋2y＝1，则 xy＋x＋y 的最小值为________． 解析：因为1x＋2y＝1，所以 xy＝y＋2x，xy＋x＋y＝3x＋2y＝
(3x
＋
2y)· 1x＋2y
＝
7
＋
2y x
＋
6x y
≥7
＋
4
3
当且仅当y＝ 3x，即x＝1＋233，y＝2＋ 3时取等号， 所以 xy＋x＋y 的最小值为 7＋4 3.
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2. 变设问 保持本例条件不变，则 1＋1a 1＋1b 的最小值为 ________．
解析：1＋1a1＋1b＝1＋a＋a b1＋a＋b b ＝2＋ba2＋ab＝5＋2ba＋ab≥5＋4＝9.当且仅当 a＝b＝12 时，取等号．
答案：9
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[解题技法] 通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本步骤 (1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；
x＋12y＋1 xy
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的最小值为________．
解析：∵ x>0，y>0，∴ xy>0.
∵
x＋2y＝5，∴
x＋12y＋1＝2xy＋x＋2y＋1
xy
xy
＝2xyx＋y 6＝2 xy＋ 6xy≥2 12＝4 3.
当且仅当2
xy＝
6 时取等号． xy
∴ x＋1x2yy＋1的最小值为4 3.
答案：4 3
解析：因为x＋y＝18，所以 xy≤x＋2 y＝9，当且仅当x＝y＝9
时，等号成立．
答案：A
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2．(必修5P100练习T1改编)设a>0，则9a＋1a的最小值为
基本不等式-2021新高考数学自主复习课件39张
基本不等式
精编优质课PPT第8章第2节基本不等式-2021年新高考数学自主复习课件(共39张PPT)(获奖课件推荐下载) 精编优质课PPT第8章第2节基本不等式-2021年新高考数学自主复习课件(共39张PPT)(获奖课件推荐下载) 精编优质课PPT第8章第2节基本不等式-2021年新高考数学自主复习课件(共39张PPT)(获奖课件推荐下载) 精编优质课PPT第8章第2节基本不等式-2021年新高考数学自主复习课件(共39张PPT)(获奖课件推荐下载) 精编优质课PPT第8章第2节基本不等式-2021年新高考数学自主复习课件(共39张PPT)(获奖课件推荐下载) 考点3 利用基本不等式证明不等式 精编优质课PPT第8章第2节基本不等式-2021年新高考数学自主复习课件(共39张PPT)(获奖课件推荐下载) 利用基本不等式证明不等式的题型与解法： 精编优质课PPT第8章第2节基本不等式-2021年新高考数学自主复习课件(共39张PPT)(获奖课件推荐下载) 精编优质课PPT第8章第2节基本不等式-2021年新高考数学自主复习课件(共39张PPT)(获奖课件推荐下载) 考点3 利用基本不等式证明不等式 精编优质课PPT第8章第2节基本不等式-2021年新高考数学自主复习课件(共39张PPT)(获奖课件推荐下载) 精编优质课PPT第8章第2节基本不等式-2021年新高考数学自主复习课件(共39张PPT)(获奖课件推荐下载) 考点3 利用基本不等式证明不等式 精编优质课PPT第8章第2节基本不等式-2021年新高考数学自主复习课件(共39张PPT)(获奖课件推荐下载) 精编优质课PPT第8章第2节基本不等式-2021年新高考数学自主复习课件(共39张PPT)(获奖课件推荐下载) 4．(多选)[山东莱州一中2020届月考]若正实数a，b满足a＋b＝1，则下列选项中正确的是( ) 精编优质课PPT第8章第2节基本不等式-2021年新高考数学自主复习课件(共39张PPT)(获奖课件推荐下载) 精编优质课PPT第8章第2节基本不等式-2021年新高考数学自主复习课件(共39张PPT)(获奖课件推荐下载) 精编优质课PPT第8章第2节基本不等式-2021年新高考数学自主复习课件(共39张PPT)(获奖课件推荐下载) 利用基本不等式求参数的取值范围的常见题型和解题策略： 精编优质课PPT第8章第2节基本不等式-2021年新高考数学自主复习课件(共39张PPT)(获奖课件推荐下载)
高考数学专题7不等式48不等式的概念及性质文
【步步高】(江苏专用)2017版高考数学专题7不等式48不等式的概念及性质文1. (2015 •金华十校联考)设a, b是实数，则“ a>b>l”是“ a+^>b+£”的_____________ 条件.2 •已知实数x, y满足a x<a y(0< a<1)，则下列关系式恒成立的是___________ .1 12 2①X2+7>y2+7 :②叫x +1)>|n( y +1)；③sin x>sin y;④ x1 2 3>y3.1 1 1 a b3 •已知0<a<b，且M=芹 + 市，N= 芹 + 订£，则M N的大小关系是__________________ •4•设点A与平面a的距离为d, B为平面a上的任意一点，则d与AB的大小关系为5. 已知a1，a2€(0,1)，记M= a1 •a?，N= a1+ a2—_________ 1，贝UM与N的大小关系是.一一16. (2015 •江西南昌八中上学期第三次月考)已知a，b，c€ R a+ b+ c = 0，abc>0，T=-+a1 1 厂+ -，贝U T与0的大小关系是b c7 •若存在x使不等式&成立，则实数m的取值范围为__________________ .8.若K a w5，—K b<2，贝U a—b的取值范围是____________ •29 .已知a>b>0，且ab= 1，设c= ，P= log c a，N= log c b，M= log c( ab)，贝U P，N, M 的a + b大小关系是 _________ •10. ________________________________________________________ 已知0<a<b，且a+ b= 1,则下列不等式中，正确的是 _______________________________________ •a—b 1 a b 1①log 2a>0；②2 <二：③log 2a+ log 2b<—2 :④2「+ <：.2 b a 211. 已知a1 w a2, b1> b2,贝U a1b+ a2b2与ab2+比4的大小关系是_______________________ . 12•如下图所示的两种广告牌，其中图(1)是由两个等腰直角三角形构成的，图(2)是一个矩形，则这两个广告牌面积的大小关系可用含字母a , b(a^ b)的不等式表示为3213.设a >0且a ^l ，则log a ( a + 1)与log a (a + 1)的大小关系为 14.已知a , b , c €｛正实数｝，且a 2 + b 2= c 2，当n € N, n >2时，c n 与a '+ b n的大小关系为U)所以若 a >b >1,显然 a + 1 — (b + b) =a —babab —11 2 当 a = 2，b =3时,显然不等式a +〕>» + b 成立，但a >b >1不成立,a b所以必要性不成立.2.④3. M >N4. d w AB5. M >N解析 M- N= a 1a 2— a 1 — a ?+1=a 1( a 2 — 1) — (a 2 — 1)=(a 1 —1)( a 2 — 1).又 a 1, a 2€ (0,1),故(a 1 —1)( a 2 — 1)>0 ,故 M >N6. T <0解析 由a + b + c = 0, abc >0，知三数中一正两负，不妨设a >0,b <0,c <0,2■/ ab <0,— c <0, abc >0, /• T <0.7. ( —a,0)x — m 厂 x 厂解析 由 ----- > x 得：一n >e x , x — x (x >0),ex令 f (x ) = e x x x — x (x >0)，则一n >f (x )min .答案解析1.充分不必要解析因为a +(b +》a —b ab —1ab(x) = e x ■ x + e x — 1 Xe2"x— 1>0(x >0),>0,则充分性成立;贝 y T = -+2+-=abcaa b c abcab + c b + aabcab — c2abc所以f (X )为(0，+m )上的增函数， 所以 f (x ) >f (0) = 0,— m >0, m <0.8. [ — 1,6]解析 •.• — 1< b w 2,「. — 2W — b w 1,又 1< a w 5.••• — 1 w a — b w 6.9. P <M k N解析 方法一 因为a >b >0,且ab = 1, 所以 a >1,0< b <1，a +b >2 ab = 2,0<c = a ^b<1，所以 log c a <log c ( ab )<log c b , 即 P <M k N I1方法二不妨取a = 2, b = ^,…亠 4441 则有 c = , P = log ；2<0, Nh log>0, 5 5524M= log -1 = 0，所以 P <M k N10 .③解析 若0<a <1，此时log 2a <0,①错误;a —b <0,此时2a — b <1,②错误;由 a + b = 1>2 ab ，即 ab <4,因此 log 2a + log 2b = log 2( ab )<log 2- =— 2.故③正确. 411. a 1d + a 2b ?w &卜 + a ?® 1 2 212. [a + b )>ab ( a * b ) 3213. log a ( a + 1)>log a ( a +1)解析 (a 3+ 1) — (a 2+ 1) = a 2(a — 1),32①当 0<a <1 时，a + 1<a + 1, 32• log a ( a + 1)>log a ( a + 1)； ②当 a >1 时，a 3 + 1>a 2+ 1, 32• log a (a + 1)>log a ( a + 1),• •总有 log a ( a + 1)>log a ( a + 1).s ,n n ■ n14. c >a + b 十 an + bn a n b nbC b c2 ,a= 2,2a +評=4,④错误;由a + bb a解析•/ a, b, c € ｛正实数｝,5 / 5而h叫）+（）2 .2 M ra 2b 2 a b•- a + b= c ,则（c）+（C）= 1，二0<c<1,0<c<1.••• n€NW”）2,（护（『an+ bn（里）n+ （b）n<畔=1. •••『+ b n<c n.c c c2 cn。
通用版2021版高考数学一轮复习第7章不等式4第4讲基本不等式教案理
通用版2021版高考数学一轮复习第7章不等式4第4讲基本不等式教案理第4讲基本不等式(3)其中1．基本不等式：ab≤a＋b2(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．a＋b称为正数a，b的算术平均数，ab称为正数a，b的几何平均数．2222．几个重要的不等式(1)a＋b≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．?a＋b?(2)ab≤?(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．?2??2a2＋b2?a＋b?2(3)≥?(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．2?2??(4)＋≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号．3．利用基本不等式求最值已知x≥0，y≥0，则baab(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2p．(简记：积定和最小)(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是．(简记：和定积最大)判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝x＋的最小值是2.( )s241x?a＋b?(2)ab≤?成立的条件是ab>0.( )?2??xyyx32(3)“x>0且y>0”是“＋≥2”的充要条件．( )(4)若a>0，则a＋的最小值是2a.( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)×1a2(教材习题改编)设x＞0，y＞0，且x＋y＝18，则xy的最大值为( )B．77A．80D．82C．81?x＋y??18?解析：选C.xy≤?＝??＝81，当且仅当x＝y＝9时等号成立，故选C.??2??2?若x0，－x＋1≥21＝2，当且仅当x＝－1时，等号成立，所－x若x>1，则x＋解析：x＋以x＋≤－2.1x4的最小值为________．x－144＝x－1＋＋1≥4＋1＝5.x－1x－14，即x＝3时等号成立．x－1答案：5当且仅当x－1＝(教材习题改编)若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________．解析：设矩形的长为xm，宽为ym，则x＋y＝10，?x＋y?所以S＝xy≤?＝25，当且仅当x＝y＝5时取等号．?2??答案：25 m22利用基本不等式求最值(高频考点)利用基本不等式求最值是高考的常考内容，题型主要为选择题、填空题．高考对利用基本不等式求最值的考查常有以下三个命题角度： (1)求不含等式条件的函数最值； (2)求含有等式条件的函数最值； (3)已知不等式恒成立求参数范围． [典例引领](1)函数f(x)＝角度一求不含等式条件的函数最值x(x>0)的最大值为________．x2＋3x＋11的最大值为________．4x－511x·＋3x＝，当且仅当x＝(2)已知x0，则f(x)＝x1＝≤x2＋3x＋11x＋＋32x151x则f(x)＝4x－2＋时等号成立．(2)因为x0，541?1?＝－?5－4x＋＋3≤－2＋3＝1.5－4x?4x－5??1，即x＝1时，等号成立．5－4x1的最大值为1.4x－515当且仅当5－4x＝故f(x)＝4x－2＋【答案】 (1) (2)1角度二求含有等式条件的函数最值(1)(2021·高考山东卷)若直线＋＝1(a>0，b>0)过点(1，2)，则2a＋b的最小值为________．xyab(2)已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值为________．【解析】 (1)由题设可得＋＝1，因为a>0，b>0，12ab所以2a＋b＝(2a＋b)?＋?＝2＋＋＋2≥4＋2ab?ab??12?b4ab4a·＝ab??8?当且仅当＝，即b＝2a时，等号成立?.??故2a＋b的最小值为8.(2)因为x>0，y>0，b4aab?x＋2y?所以8＝x＋2y＋x·2y≤(x＋2y)＋?，?2??令x＋2y＝t，则228≤t＋，即t＋4t－32≥0，解得t≥4或t≤－8，t24即x＋2y≥4或x＋2y≤－8(舍去)，当且仅当x＝2y，即x＝2，y＝1时等号成立．【答案】 (1)8 (2)4角度三已知不等式恒成立求参数范围?1a?已知不等式(x＋y)?＋?≥9对任意的正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为?xy?________．yax?1a?2【解析】 (x＋y)?＋?＝1＋a＋＋≥1＋a＋2a＝(a＋1)(x，y，a>0)，?xy?xy当且仅当y＝ax时取等号，??2所以(x＋y)·?＋?的最小值为(a＋1)，于是(a＋1)≥9恒成立．所以a≥4.【答案】 421a?xy?利用基本不等式求最值的方法(1)知和求积的最值：“和为定值，积有最大值”．但应注意以下两点：①具备条件——正数；②验证等号成立．(2)知积求和的最值：“积为定值，和有最小值”，直接应用基本不等式求解，但要注意利用基本不等式求最值的条件．(3)构造不等式求最值：在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用“变量替换”或“常数1”的替换，构造不等式求解．[通关练习]1．(2021·石家庄市教学质量检测(一))已知直线l：ax＋by－ab＝0(a>0，b>0)经过点(2，3)，则a＋b的最小值为________．解析：因为直线l经过点(2，3)，所以2a＋3b－ab＝0，则＋＝1，32ab??所以a＋b＝(a＋b)?＋?＝5＋＋32?ab?3b2a≥5＋26.ab3b2a，ab当且仅当＝即a＝3＋6，b＝2＋6时等号成立．答案：5＋26 2．(2021·高考天津卷)若a，b∈R，ab>0，则a4＋4b4＋1的最小值为________．ab14ab·＝4，ab解析：因为ab＞0，所以a4＋4b4＋124a4b4＋14a2b2＋11≥＝＝4ab＋≥2ababababa2＝2b2，??a4＋4b4＋1当且仅当?时取等号，故的最小值是4.1abab＝?2? 答案：42x 3．当x∈R时，3－(k＋1)3＋2>0恒成立，则k的取值范围是________．解析：由3－(k＋1)·3＋2>0，解得k＋10恒成立，所以当x∈R时，k＋1。
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网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时
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考点 1 利用基本不等式求最值(自主演练)
1．若 a>0，b>0 且 2a＋b＝4，则a1b的最小值为(
)
A．2
1 B.2
C．4 解析：因为
1 a>0，b>0，D故.4 2a＋b≥2
2ab(当且仅当
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1．基本不等式的两个变形．
(1)a2＋2 b2≥a＋2 b2≥ab(a，b∈R，当且仅当 a＝b 时 取等号)．
(2)
a2＋b2≥a＋b≥
2
2
ab(a>0，b>0，当且仅当 a＝
b 时取等号)．
2．使用基本不等式求最值，“一正，二定，三相等”
三个条件缺一不可．
2a＝b 时取等号)．
又因为 2a＋b＝4，
所以 2 2ab≤4⇒0<ab≤2，
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所以a1b≥12，故a1b的最小值为12(当且仅当 a＝1，b＝2 时等号成立)．
答案：B
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休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休息时 间，你们休息一下眼睛，
看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一 动，久坐对身体不好哦~
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考点48 基本不等式(讲解)【思维导图】【常见考法】考法一：直接型1．若，则取最大值时的值是 。
103x <<()13x x -x2．已知正数a 、b 满足，则ab 的最大值为 。
23a b +=3的最大值为。
)63a -≤≤考法二：换1型1．已知实数，则的最小值为 。
0,0,31x y x y >>+=11x y +2．已知,则的最小值是 。
0,0,1x y x y >>+=11x y +3．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是______. 0x >0y >211x y+=222x y m m +>+m考法三：配凑型1．已知，则的最小值为 。
1x >41x x +-2．已知，且，则的最小值为 。
1,1a b >>11111a b +=--4a b +3．函数的最小值为 。
233(1)1x x y x x ++=>-+4．若a 、b 、c >0且a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－，则2a ＋b ＋c 的最小值为。
考法四：消元型1．若正数满足，则的最小值是 。
,x y 220xxy +-=3x y +2．若正数满足，则的最小值为 。
,a b 111a b+=1411a b +--3．若实数满足，则的最大值为 、,x y 0xy >考法五：求参数1．设、、都是正实数，且、满足，则使恒成立的的范围是。
a b c a b 191a b+=a b c +≥c 2．已知，，且，若不等式恒成立，则实数的范围是 。
0x >0y >280x y xy +-=a x y ≤+a考法六： 综合运用1．已知中，角，，的对边分别为，，，且，，成等比数列，则角ABC A B C a b c sin A sin B sin C 的取值范围为 。
B2．已知正项等比数列满足：，若存在两项、，则的最{}n a 7652a a a =+m a n a 14a =14m n +小值为。
3．已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(b ，c >0)经过圆x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则＋的最小值是 。
4b 1c 4．若直线过△的重心，且，，其中，，则的MN ABC G AM mAB = AN nAC = 0m >0n >2m n +最小值是 。
如何学好数学1.圆锥曲线中最后题往往联立起来很复杂导致k算不出，这时你可以取特殊值法强行算出k过程就是先联立，后算代尔塔，用下伟达定理，列出题目要求解的表达式，就ok了2.选择题中如果有算锥体体积和表面积的话，直接看选项面积找到差2倍的小的就是答案，体积找到差3倍的小的就是答案，屡试不爽！3.三角函数第二题，如求a(cosB+cosC)/(b+c)coA之类的先边化角然后把第一题算的比如角A等于60度直接假设B和C都等于60°带入求解。
省时省力！4.空间几何证明过程中有一步实在想不出把没用过的条件直接写上然后得出想不出的那个结论即可。
如果第一题真心不会做直接写结论成立则第二题可以直接用！用常规法的同学建议先随便建立个空间坐标系，做错了还有2分可以得！5.立体几何中第二问叫你求余弦值啥的一般都用坐标法！如果求角度则常规法简单！6.高考选择题中求条件啥的充要和既不充分也不必要这两个选项可以直接排除！考到概率超小7.选择题中考线面关系的可以先从D项看起前面都是来浪费你时间的7.选择题中求取值范围的直接观察答案从每个选项中取与其他选项不同的特殊点带入能成立的就是答案8.线性规划题目直接求交点带入比较大小即可（这个看楼下的说用这条要碰运气，文科可以试试。
）9.遇到这样的选项 A 1/2 B 1 C 3/2 D 5/2 这样的话答案一般是D因为B可以看作是2/2 前面三个都是出题者凑出来的如果答案在前面3个的话 D应该是2(4/2).数学无耻得分综合篇！做选择题时注意各种方法的运用，比较简单的自己会的题正常做就可以了，遇到比较复杂的题时，看看能否用做选择题的技巧进行求解（主要有排除法、特殊值代入法、特例求解法、选项一一带入验证法、数形结合法、逻辑推理验证法等等），一般可以综合运用各种方法，达到快速做出选择的效果。
填空题也是，比较简单的会的就正常做，复杂的题如果答案是一个确定的值时，看能否用特殊值代入法以及特例求解法。
选择填空题的答题时间要自己掌握好，遇到不会的先放下往后答，我们的目标是把卷子上所有会的题都答上了、都答对了，审题要仔细（一个字一个字读题），计算要准确（一步一步计算），千万不要有马虎的地方。
大题文科第一题一般是三角函数题，第一步一般都是需要将三角函数化简成标准形式Asin（wx+fai）+c，接下来按题做就行了，注意二倍角的降幂作用以及辅助角（合一）公式，周期公式，对称轴、对称中心、单调区间、最大值、最小值都是用整体法求解。
求最值时通过自变量的范围推到里面整体u=wx+fai的范围，然后可以直接画sinu的图像，避免画平移的图像。
这部分题还有一种就是解三角形的问题，运用正弦定理、余弦定理、面积公式，通常有两个方向，即角化成边和边化成角，得根据具体问题具体分析哪个方便一些，遇到复杂的题就把未知量列成未知数，根据定理列方程组，然后解方程组即可。
理科如果考数列题的话，注意等差、等比数列通项公式、前n项和公式；证明数列是等差或等比直接用定义法（后项减前项为常数/后项比前项为常数），求数列通项公式，如为等差或等比直接代公式即可，其它的一般注意类型采用不同的方法（已知Sn求an、已知Sn与an关系求an（前两种都是利用an=Sn-Sn-1，注意讨论n=1、n>1）、累加法、累乘法、构造法（所求数列本身不是等差或等比，需要将所求数列适当变形构造成新数列lamt，通过构造一个新数列使其为等差或等比，便可求其通项，再间接求出所求数列通项）；数列的求和第一步要注意通项公式的形式，然后选择合适的方法（直接法、分组求和法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等）进行求解。
如有其它问题，注意放缩法证明，还有就是数列可以看成一个以n为自变量的函数。
第二题是立体几何题，证明题注意各种证明类型的方法（判定定理、性质定理），注意引辅助线，一般都是对角线、中点、成比例的点、等腰等边三角形中点等等，理科其实证明不出来直接用向量法也是可以的。
计算题主要是体积，注意将字母换位(等体积法)；线面距离用等体积法。
理科还有求二面角、线面角等，用建立空间坐标系的方法（向量法）比较简单，注意各个点的坐标的计算，不要算错。
第三题是概率与统计题，主要有频率分布直方图，注意纵坐标（频率/组距）。
求概率的问题，文科列举，然后数数，别数错、数少了啊，概率=满足条件的个数/所有可能的个数；理科用排列组合算数。
独立性检验根据公式算K方值，别算错数了，会查表，用1减查完的概率。
回归分析，根据数据代入公式（公式中各项的意义）即可求出直线方程，注意（x平均，y平均）点满足直线方程。
理科还有随机变量分布列问题，注意列表时把可能取到的所有值都列出，别少了，然后分别算概率，最后检查所有概率和是否是1，不是1说明要不你概率算错了，要不随机变量数少了。
第四题是函数题，第一步别忘了先看下定义域，一般都得求导，求单调区间时注意与定义域取交。
看看题型，将题型转化一下，转化到你学过的内容（利用导数判断单调性（含参数时要利用分类讨论思想，一般求导完通分完分子是二次函数的比较多，讨论开口a=0、a<0、a>0和后两种情况下delt<=0、delt>0）、求极值（根据单调区间列表或画图像简图）、求最值（所有的极值点与两端点值比较）等），典型的有恒成立问题、存在问题（注意与恒成立问题的区别），不管是什么都要求函数的最大值或最小值，注意方法以及比较定义域端点值，注意函数图象（数形结合思想：求方程的根或解、曲线的交点个数）的运用。
证明有关的问题可以利用证明的各种方法（综合法、分析法、反证法、理科的数学归纳法）。
多问的时候注意后面的问题一般需要用到前面小问的结论。
抽象的证明问题别光用眼睛在那看，得设出里面的未知量，通过设而不求思想证明问题。
第五题是圆锥曲线题，第一问求曲线方程，注意方法（定义法、待定系数法、直接求轨迹法、反求法、参数方程法等等）。
一定检查下第一问算的数对不，要不如果算错了第二问做出来了也白算了。
第二问有直线与圆锥曲线相交时，记住我说的“联立完事用联立”，第一步联立，根据韦达定理得出两根之和、两根之差、因一般都是交于两点，注意验证判别式>0，设直线时注意讨论斜率是否存在。
第二步也是最关键的就是用联立，关键是怎么用联立，即如何将题里的条件转化成你刚才联立完的x1+x2和x1x2，然后将结果代入即可，通常涉及的题型有弦长问题（代入弦长公式）、定比分点问题（根据比例关系建立三点坐标之间的一个关系式（横坐标或纵坐标），再根据根与系数的关系建立圆锥曲线上的两点坐标的两个关系式，从这三个关系式入手解决）、点对称问题（利用两点关于直线对称的两个条件，即这两点的连线与对称轴垂直和这两点的中点在对称轴上）、定点问题（直线y=kx+b过定点即找出k与b的关系，如b=5k+7，然后将b代入到直线方程y=kx+5k+7=k（x+5）+7即可找出定点（-5,7））、定值问题（基本思想是函数思想，将要证明或要求解的量表示为某个合适变量（斜率、截距或坐标）的函数，通过适当化简，消去变量即得定值。
）、最值或范围问题（基本思想还是函数思想，将要求解的量表示为某个合适变量（斜率、截距或坐标）的函数，利用函数求值域的方法（首先要求变量的范围即定义域—别忘了delt>0，然后运用求值域的各种方法—直接法、换元法、图像法、导数法、均值不等式法（注意验证“=”）等）求出最值（最大、最小），即范围也求出来了）。
抽象的证明问题别光用眼睛在那看，得设出里面的未知量，通过设而不求思想证明问题。
选修题我只说下参数方程与极坐标，各种曲线的参数方程的标准形式要记准，里面谁是参数，以及各量的意义以及参数的几何意义，一般都是先画成直角坐标，变成直角坐标题意就简单了，有的题要用到参数方程里参数的几何意义来解题（注意直线参数方程只有是标准的参数方程才能用t的几何意义，要不会差一个倍数，弦长|AB|=|t1-t2|，|PA||PB|=|t1t2|（注意P点得是你参数方程里前面的（a，b），只有这样联立后的参数t才表示PA、PB）），这时会简单许多。
极坐标也是，先化成直角坐标再解题，这样就简单了。