09年一模二次函数压轴题汇编

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【初三数学】二次函数难题压轴题中考精选(共20页)

二次函数中考题精选 1、41、�2009年枣庄市�如图�抛物线的顶点为A �2�1��且经过原点O �与x 轴的另一个交点为B � �1�求抛物线的解析式� �2�在抛物线上求点M �使△M O B 的面积是△A O B 面积的3倍� �3�连结O A �A B �在x 轴下方的抛物线上是否存在点N �使△O B N 与△O A B 相似�若存在�求出N 点的坐标�若不存在�说明理由�2、�2009年株洲市�已知A B C �为直角三角形�90A C B ��A C B C �,点A 、C 在x 轴上�点B 坐标为�3�m ��0m ��线段A B 与y 轴相交于点D �以P �1�0�为顶点的抛物线过点B 、D � �1�求点A 的坐标�用m 表示�� 2�求抛物线的解析式� �3�设点Q 为抛物线上点P 至点B 之间的一动点�连结P Q 并延长交B C 于点E �连结 BQ 并延长交A C 于点F �试证明�()F C A C E C �为定值�y QE DBy x O AB 第24题图3、�2009年重庆市江津区�某商场在销售旺季临近时 �某品牌的童装销售价格呈上升趋势�假如这种童装开始时的售价为每件20元�并且每周�7天�涨价2元�从第6周开始�保持每件30元的稳定价格销售�直到11周结束�该童装不再销售。

�1�请建立销售价格y �元�与周次x 之间的函数关系� �2�若该品牌童装于进货当周售完�且这种童装每件进价z �元�与周次x 之间的关系为12)8(812��x z� 1≤ x ≤11�且x 为整数�那么该品牌童装在第几周售出后�每件获得利润最大�并求最大利润为多少�4、�2009年重庆市江津区�抛物线c b x x y ��2与x 轴交与A (1,0),B (- 3�0)两点��1�求该抛物线的解析式� �2�设�1�中的抛物线交y 轴与C 点�在该抛物线的对称轴上是否存在点Q �使得△Q A C 的周长最小�若存在�求出Q 点的坐标�若不存在�请说明理由. �3�在�1�中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P �使△P B C 的面积最大��若存在�求出点P 的坐标及△P B C 的面积最大值.若没有�请说明理由.5、�2009年滨州� 如图①�某产品标志的截面图形由一个等腰梯形和抛物线的一部分组成�在等腰梯形A B C D 中�A B D C ∥�20c m 30c m 45A B D C A D C ��°�对于抛物线部分�其顶点为C D 的中点O �且过A B 、两点�开口终端的连线M N 平行且等于D C � �1�如图①所示�在以点O 为原点�直线O C 为x 轴的坐标系内�点C 的坐标为(150)�� 试求A B 、两点的坐标� �2�求标志的高度�即标志的最高点到梯形下底所在直线的距离�� 3�现根据实际情况�需在标志截面图形的梯形部分的外围均匀镀上一层厚度为3c m 的保护膜�如图②�请在图中补充完整镀膜部分的示意图�并求出镀膜的外围周长�6、�2009年常德市�已知二次函数过点A �0�2��B �1��0��C �5948��1�求此二次函数的解析式��2�判断点M �1�12�是否在直线A C 上��3�过点M �1�12�作一条直线l 与二次函数的图象交于E 、F 两点�不同于A �B �C 三点��请自已给出E 点的坐标�并证明△B E F 是直角三角形�N BC D A M yx �第4题图①� � OA B C D �第4题图②� �� 20c m 30c m 45°7、(2009年陕西省)如图�在平面直角坐标系中�O B⊥O A�且O B�2O A�点A的坐标是(�1�2)��1�求点B的坐标��2�求过点A、O、B的抛物线的表达式��3�连接A B�在�2�中的抛物线上求出点P�使得S△A B P�S△A B O�8、(2009年黄冈市)新星电子科技公司积极应对2008年世界金融危机�及时调整投资方向�瞄准光伏产业�建成了太阳能光伏电池生产线�由于新产品开发初期成本高�且市场占有率不高等因素的影响�产品投产上市一年来�公司经历了由初期的亏损到后来逐步盈利的过程�公司对经营的盈亏情况每月最后一天结算1次��公司累积获得的利润y�万元�与销售时间第x�月�之间的函数关系式�即前x个月的利润总和y与x之间的关系�对应的点都在如图所示的图象上�该图象从左至右�依次是线段O A、曲线A B和曲线B C�其中曲线A B为抛物线的一部分�点A为该抛物线的顶点�曲线B C为另一抛物线252051230 y x x��的一部分�且点A�B�C的横坐标分别为4�10�12�1�求该公司累积获得的利润y�万元�与时间第x�月�之间的函数关系式��2�直接写出第x个月所获得S�万元�与时间x�月�之间的函数关系式�不需要写出计算过程��3�前12个月中�第几个月该公司所获得的利润最多�最多利润是多少万元�9、(2009武汉)某商品的进价为每件40元�售价为每件50元�每个月可卖出210件�如果每件商品的售价每上涨1元�则每个月少卖10件�每件售价不能高于65元��设每件商品的售价上涨x 元�x 为正整数��每个月的销售利润为y 元� �1�求y 与x 的函数关系式并直接写出自变量x 的取值范围� �2�每件商品的售价定为多少元时�每个月可获得最大利润�最大的月利润是多少元� �3�每件商品的售价定为多少元时�每个月的利润恰为2200元�根据以上结论�请你直接写出售价在什么范围时�每个月的利润不低于2200元�10、(2009武汉)如图�抛物线24y a x b x a ��经过(10)A ��、(04)C �两点�与x 轴交于另一点B � �1�求抛物线的解析式� �2�已知点(1)D m m ��在第一象限的抛物线上�求点D 关于直线B C 对称的点的坐标� �3�在�2�的条件下�连接B D �点P 为抛物线上一点�且45D B P ��°�求点P 的坐标�yx O ABC11、(2009年安顺)如图�已知抛物线与x 交于A (�1�0)、E (3�0)两点�与y 轴交于点B (0�3)。

09年中考二次函数考试试题

09年二次函数典型试题一、选择题1、（09年台湾）向上发射一枚炮弹，经x 秒后的高度为y 公尺，且时间与高度关系为y =ax 2+bx 。

若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则再下列哪一个时间的高度是最高的?( ) (A) 第8秒 (B) 第10秒 (C) 第12秒 (D) 第15秒。

2、(09年上海市)抛物线22()y x m n =++（m n ，是常数）的顶点坐标是（）A ．()m n ，B ．()m n -，C ．()m n -，D ．()m n --，3、(09年陕西省)根据下表中的二次函数c bx ax y ++=2的自变量x 与函数y 的对应值，可判断二次函数的图像与x 轴A ．只有一个交点B ．有两个交点，且它们分别在y 轴两侧C ．有两个交点，且它们均在y 轴同侧D ．无交点4、（09威海）二次函数2365y x x =--+的图象的顶点坐标是（）A ．(18)-，B ．(18)，C ．(12)-，D ．(14)-，5、（09湖北省荆门市）函数y =ax ＋1与y =ax 2＋bx ＋1（a ≠0）的图象可能是（）6、（09年贵州黔东）抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能．．是（）A 、y=x 2-x-2 B 、y=121212++-x C 、y=121212+--x x D 、y=22++-x x7、（09年齐齐哈尔市）已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则下列结论：0ac >①；②方程20ax bx c ++=的两根之和大于0；y ③随x 的增大而增大；④0a b c -+<，其中正确的个数（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个8、（09烟台市）二次函数2y ax bxc =++的图象如图所示，则一次函数24y bx b ac =+-与反比例函数a b cy x++=在同一坐标系内的图象大致为（） A ． B ． C ． D ．（15题图）图49、（09年南宁）已知二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象如图4所示，有下列四个结论：20040b c b ac <>->①②③④0a b c -+<，其中正确的个数有（ A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个10、（09年孝感）将函数2y x x =+的图象向右平移a (0)a >数232y x x =-+的图象，则a 的值为（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．411、（09泰安）抛物线1822-+-=x x y 的顶点坐标为（A ）（-2，7）（B ）（-2，-25）（C ）（2，7）（D ）（2，-9）12、（09年新疆）如图，直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，下列关系不正．．确．的是（） A ．h m =B ．k n =C ．k n >D ．00h k >>，13、（09年天津市）在平面直角坐标系中，先将抛物线22y x x =+-关于x 轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y 轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为（） A ．22y x x =--+ B ．22y x x =-+-C ．22y x x =-++D ．22y x x =++14、（09年济宁市）小强从如图所示的二次函数2y ax bx c =++的图象中，观察得出了下面五条信息：（1）0a <；（2） 1c >；（3）0b >；（4） 0a b c ++>；（5中正确信息的个数有A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个15、(09宁夏)二次函数2(0)y ax bx c a =++≠线1x =，则下列四个结论错误．．的是（）D A ．0c > B ．20a b +=C ．240b ac -> D ．0a b c -+>16、(09年南充)抛物线(1)(3)(0)y a x x a =+-≠的对称轴是直线（） A ．1x = B ．1x =- C ．3x =- D ．3x =17、（09年兰州）在同一直角坐标系中，函数y mx m =+和函数222y mx x =-++（m 是常数，且0m ≠）的图象可能．．是xxxx图618、（09年黄石市）已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，有以下结论：①0a b c ++<；②1a b c -+>；③0abc >；④420a b c -+<；⑤1c a ->其中所有正确结论的序号是（）A ．①②B ． ①③④C ．①②③⑤D ．①②③④⑤二、填空题1、（09年安徽）已知二次函数的图象经过原点及点（12-x 轴的另一交点到原点的距离为12、（09襄樊市）抛物线2y x bx c =-++的图象如图6为．3、（09湖北省荆门市）函数(2)(3)y x x =--4、5、（09年贵州省黔东南州）二次函数322--=x x y 的图象的解析式是_________________。

09年北京中考数学模拟分类汇编——二次函数综合题[1]

09年北京中考数学模拟分类——二次函数综合题1、［2009平谷区二模］24．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点(03)A ，、(10)C -，．将矩形OABC 绕原点O 顺时针方向旋转90o，得到矩形OA B C '''．设直线BB '与x 轴交于点M 、与y 轴交于点N ，抛物线经过点C 、M 、N ．解答下列问题：（1）求直线BB '的函数解析式；（2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线上求出使OABC C B P S 29S 矩形=''∆的所有点P 的坐标．2、［2009朝阳二模］23．（本小题7分）如图，点A 在x 轴的负半轴上，OA=4，将△ABO 绕坐标原点O 顺时针旋转90°，得到△O B A 11，再继续旋转90°，得到△O B A 22.抛物线y= ax 2+bx+3经过B 、1B 两点.（1）求抛物线的解析式；（2）点2B 是否在此抛物线上，请说明理由；（3）在该抛物线上找一点P ，使得△2PBB 是以2BB 为底的等腰三角形，求出所有符合条件的点P 的坐标；（4）在该抛物线上，是否存在两点M 、N ，使得原点O 是线段MN的中点，若存在，直接写出这两点的坐标；若不存在，请说明理由.3、［2009年昌平区二模］24．如图1，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线AC的解析式为y =AC 交x 轴于点C ，交y 轴于点A ．（1）若一个等腰直角三角板OBD 的顶点D 与点C 重合，求直角顶点B 的坐标；O（2）若（1）中的等腰直角三角板绕着点O 顺时针旋转，旋转角度为()0180αα︒<<︒，当点B 落在直线AC 上的点B '处时，求α的值；（3）在（2）的条件下，判断点B '是否在过点B 的抛物线23y mx x =+上，并说明理由．x4、［2009年海淀区］23、已知：关于x 的一元二次方程22(2)0x n m x m mn +-+-=①（1）求证：方程①有两个实数根；（2）若10m n --=，求证方程①有一个实数根为1；（3）在（2）的条件下，设方程①的另一个根为a ，当2x =时，关于m 的函数1y nx am =+与222(2)y x a n m x m mn =+-+-的图像交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），平行于y 轴的直线l 与1y 、2y 的图像分别交于点C 、D.当l 沿AB 由点A 平移到B 点时，求线段CD 的最大值.5、［2009年海淀区二模］24、如图，已知抛物线22(3)2(3)4y m x m x m m =-+-+-的顶点A 在双曲线3y x=上，直线y mx b =+经过点A ，与y 轴交于点B ，与x 轴交于点C.（1）确定直线AB 的解析式；（2）将直线AB 绕点O 顺时针旋转90︒，与x 轴交于点D ，与y轴交于点E ，求sin BDE ∠的值.（3）过点B 作x 轴的平行线与双曲线交于点G ，点M 在直线BG上，且到抛物线的对称轴的距离为6，设点N 在直线BG 上，请直接写出使得45AMB ANB ∠+∠=︒的点N 的坐标.6、［2009年丰台区二模］25．已知抛物线2y ax bx c =++经过点A （5，0）、B （6，-6）和原点．（1）求抛物线的解析式；（2）若过点B 的直线y kx n =+与抛物线相交于点C （2，m ），求∆OBC 的面积；（3）过点C 作平行于x 轴的直线交y 轴于点D ，在抛物线对称轴右侧位于直线DC 下方的抛物线上，任取一点P ，过点P 作直线PF 平行于y 轴交x 轴于点F ，交直线DC 于点E ．是否存在点P ，使得以C 、E 、P 为顶点的三角形与∆OCD 相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．7、［2009年石景山二模］23．如图，四边形ABCD 是菱形，点D 的坐标是（，3），以点C 为顶点的抛物线c bx ax y ++=2恰经过x 轴上的点A 、B ．（1）求点C 的坐标；（2）若抛物线向上平移后恰好经过点D ，求平移后抛物线的解析式．8、［2009年西城区二模］24．如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，AOB ∆为等边三角形，点A 的坐标是（34，0），点B 在第一象限，AC 是OAB ∠的平分线，并且与y 轴交于点E ，点M 为直线AC 上一个动点，把AOM ∆绕点A 顺时针旋转，使边AO 与边AB 重合，得到ABD ∆．（1）求直线OB 的解析式；（2）当M 与点E 重合时，求此时点D 的坐标；（3）是否存在点M ，使OMD ∆的面积等于33，若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．9、［2009年大兴二模］25.已知,抛物线c bx ax y ++=2过点)0,3(-A ,)0,1(B ,)3,0(C ，此抛物线的顶点为D.（1）求此抛物线的解析式；（2）把ABC △绕AB 的中点M 旋转180，得到四边形AEBC . ①求E 点的坐标；②试判断四边形AEBC 的形状，并说明理由．（3）试探求：在直线BC 上是否存在一点P ，使得PAD △的周长最小，若存在，请求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．10、［2009年房山二模］24．如图，已知抛物线经过点B (-2,3)、原点O 和x 轴上另一点A ,它的对称轴与x 轴交于点C （2，0），（1）求此抛物线的函数关系式；（2）联结CB, 在抛物线的对称轴上找一点E,使得CB=CE,求点E 的坐标；（3）在(2)的条件下, 联结BE,设BE 的中点为G,对称轴上是否存在点P PBG第23题11、［2009年房山二模］23．已知抛物线232y x x n =++，（1）若n=-1, 求该抛物线与x 轴的交点坐标；（2）当11<<-x 时，抛物线与x 轴有且只有一个公共点，求n 的取值范围．12、［2009年西城二模］24. 如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c 的顶点为A （0，1），与x 轴的一个交点B 的坐标为（2，0），点 P 在抛物线上，其横坐标为2n （0<n <1），作PC ⊥x 轴于C ，PC 交射线AB 于点D（1）求抛物线的解析式；（2）用n 的代数式表示CD 、PD 的长，并通过计算说明PD OCCD OB 与的大小关系；（3）若将原题中“0<n <1”的条件改为“n >1”，其他条件不变，请通过计算说明（2）中结论是否仍然成立.13、［2009平谷二模］25、已知，关于x 的一元二次方程:2(4)30x a x a ---+=（0a <）（1）求证：方程一定有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为1x ,2x （其中12x x <），若y是关于a 的函数，且2123x y x =+，求这个函数的解析式；（3）在（2）的条件下，利用函数图像，求关于a 的方程10y a ++=的解．14、［2009年延庆二模］25.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABOC 的边BO 在X 轴正半轴上，边CO 在Y 轴的正半轴上，且AB=2，OB=23，矩形ABOC 绕点O 逆时针旋转后得到矩形EFOD ，且点A 落在Y 轴上的E 点，点B 的对应点为点F ，点C 的对应点为点D.xx⑴求F 、E 、D 三点的坐标； ⑵若抛物线c bx ax y ++=2经过点F 、E 、D ，求此抛物线的解析式；⑶在X 轴上方的抛物线上求点Q 的坐标，使得△QOB 的面积等于矩形ABOC15、［2009年门头沟二模］23．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线212y x bx c =-++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在原点的左侧，点B 在原点的右侧），与y 轴交于点C ，且OA ＝2，OC ＝3．（1）求抛物线的解析式；（2）若点E 在第一象限内的此抛物线上，且OE ⊥BC 于D ，求点E 的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使线段PA 与PE 之差的值最大？若存在，请求出这个最大值和点P 的坐标；若不存在，请说明理由．16、［2009宣武区二模］23.（本题满分7分）已知二次函数2441y ax ax a =++-的图象是C 1．（1）求C 1关于点R （1，0）中心对称的图象C 2的函数解析式；（2）在（1）的条件下，设抛物线C 1、C 2与y 轴的交点分别为A 、B ，当AB=18时，求a 的值．17、［2009年密云二模］24．已知：抛物线2(1)y x b x c =+-+经过点(12)P b --，．（1）求b c +的值；（2）若3b =，求这条抛物线的顶点坐标；（3）若3b >，过点P 作直线PA y ⊥轴，交y 轴于点A ，交抛物线于另一点B ，且2BP PA =，求这条抛物线所对应的二次函数关系式．（提示：请画示意图思考）18、［2009顺义二模］24、在平面直角坐标系xOy 中，抛物线m x m x y ++-=)1(2（m 是常数）与y 轴交于点C ，与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧），且A 、B 两点在原点两侧．（1）求A 、B 两点的坐标（可用含m 的代数式表示）；（2）若6ABC S ∆=，求抛物线的解析式；（3）设抛物线的顶点为D ，在（2）的条件下，试判断△ACD 的形状，并求tan ∠ACB 的值．。

二次函数压轴题一题多问

二次函数压轴题一题多问如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA=OC=3，顶点为D．（1）求此函数的关系式；（2）判断△ACD的形状，并说明理由；（3）求四边形ABCD的面积．（4）在对称轴上找一点P，使△BCP的周长最小，求出P点坐标及△BPC的周长（5）在AC下方的抛物线上有一点N,过点N作直线l∥y轴，交AC与点M,当点N坐标为多少时，线段MN 的长度最大? 最大是多少?（6）在AC下方的抛物线上，是否存在一点N使△CAN面积最大？最大面积是多少？（7）在AC下方的抛物线上，是否存在一点N，使四边形ABCN面积最大，且最大面积是多少？（8）在y轴上是否存在一点E，使△ADE为直角三角形，若存在。

求出点E的坐标；若不存在，说明理由。

（9）在y轴上是否存在一点F，使△ADF为等腰三角形，若存在，求出点F的坐标；若不存在，说明理由。

（10）在抛物线上是否存在一点N,使S△ABN=S△ABC，若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由。

（11）在抛物线上是否存在一点H，使S△BCH=S△ABC，若存在，求出点H的坐标；若不存在，说明理由。

(12) 在抛物线上是否存在一点Q，使S△AOQ=S△COQ, 若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由。

(13) 在抛物线上是否存在一点E，使BE平分△ABC的面积, 若存在，求出点E的坐标；若不存在，说明理由。

（14）在抛物线上找一点F，做FM⊥X轴，交AC与点H，使AC平分△AFM的面积？（15）在对称轴上有一点K，在抛物线上有一点L，若使A,B,K,L为顶点形成平行四边形，求出K,L点的坐标。

（16）作垂直于x轴的直线x=-1，交直线AC于点M,交抛物线于点N，以A,M,N,E为顶点作平行四边形，求第四个顶点E的坐标。

（17）在抛物线上能不能找到一点P，使∠POC=∠PCO？若能，请求出点P的坐标；若不能，请说明理由．（18）在线段AC上是否存在点M，使△AOM与△ABC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．（19）点P是抛物线上一个动点，作PH⊥x轴于H，是否存在点P，使得△PAH与△OBC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．（20）若点P从点A出发向B运动，同时点Q从点O出发向C运动，当一点到达终点时，另一点也停止运动，设运动的时间为t秒，△OPQ的面积为S，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值.。

2009年全国各地中考数学模拟试题分类汇编压轴题

2009年中考模拟分类汇编压轴题一、解答题1、(2009年某某随州十校联考数学试题) 如图所示，在平面直角坐标系中．二次函数y=a(x-2)2-1图象的顶点为P ，与x 轴交点为 A 、B ，与y 轴交点为C ．连结BP 并延长交y 轴于点D. 连结AP ，△APB 为等腰直角三角形。

(1)求a 的值和点P 、C 、D 的坐标；(2)连结BC 、AC 、AD 。

将△BCD 绕点线段CD 上一点E 逆时针方向旋转90°，得到一个新三角形．设该三角形与△ACD 重叠部分的面积为S 。

①当点E 在（0，1）时，在图25—1中画出旋转后的三角形，并出求S.②当点E 在线段CD(端点C 、D 除外)上运动时，设E(0，b)，用含b 的代数式表示S ，并判断当b 为何值时,重叠部分的面积最大?写出最大值．解：（1）a=1 P （2，-1） C （0，3） D （0，-3），（各1分，共4分）（2）画出图形（1分）可用相似三角形的面积求S=23（2分）（3）当b ≥0如图，可用相似三角形的面积求21(3)6s b =- （2分）当b=0时，S=32（1分）当b ＜0时 BD 旋转后经过A 时，b=-1① -1＜b ≤0时，（2分） ② b ＜-1时（2分）2、(2009年某某一中摸底试卷)如图等腰直角三角形纸片ABC 中，AC=BC=4,90oACB ∠=直角边AC 在x 轴上，B 点在第二象限，A(1，0)，AB 交y 轴于E ，将纸片过E 点折叠使BE 与EA 所在直线重合，得到折痕EF （F 在x 轴上），再展开还原沿EF 剪开得到四边形BCFE ，然后把四边形BCFE 从E 点开始沿射线EA 平移，至B 点到达A 点停止．设平移时间为t(s)，移动速度为每秒1个单位长度，平移中四边形BCFE 与AEF ∆重叠的面积为S ． (1)求折痕EF 的长；(2)是否存在某一时刻t 使平移中直角顶点C 经过抛物线342++=x x y 的顶点？若存在，求出t 值；若不存在，请说明理由；(3)直接写出．．．．S 与t 的函数关系式及自变量t 的取值X 围.解：（1）折痕2EF =（2）2t = （s ）（3）212,(02).2s t t t =-≤≤222).s t =≤2121,(2232).4s t t t =--≤≤21228,(3242).4s t t t =-+≤≤3、（2009泰兴市济川实验初中初三数学阶段试题）如图，矩形A’B’C’D’是矩形OABC(边OA 在x 轴正半轴上，边OC 在y 轴正半轴上)绕B 点逆时针旋转得到的，O ’点在x 轴的正半轴上，B 点的坐标为(1，3)．O’C’与AB 交于D 点.(1)如果二次函数2y ax bx c =++(0a ≠)的图象经过O ，O ’两点且图象顶点M 的纵坐标为1-，求这个二次函数的解析式； (2)求D 点的坐标．(3)若将直线OC 绕点O 旋转α交点为点P ，则以O 、O’、B 、P 四边形？若能，求出αtan 的值；若不能，请说明理由．解：(1)x x y 22-=……3 分(2)D(1,34) ……7分 (3)tan α=1或31……12分(求出一个得3分,求两个得5分)4、（2009年某某三维斋一模试题）如图所示，已知抛物线21y x =-与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ．（1）求A 、B 、C 三点的坐标．（2）过点A 作AP ∥CB 交抛物线于点P ，求四边形ACBP （3）在x 轴上方的抛物线上是否存在一点M ，过M 作MG ⊥x 轴于点G ，使以A 、M 、G 三点为顶点的三角形与∆PCA 相似．若存在，请求出M 点的坐标；否则，请说明理由．解：（1）令0y =，得210x -= 解得1x =±令0x =，得1y =-∴A (1,0)-B (1,0)C (0,1)- ···· （2分）（2）∵O A =O B =O C =1∴∠BAC =∠AC O=∠BC O=45∵A P ∥CB ， ∴∠P AB =45过点P 作P E ⊥x 轴于E ，则∆A P E 为等腰直角三角形令O E =a ，则P E =1a +∴P (,1)a a +第28题图∵点P 在抛物线21y x =-上 ∴211a a +=-解得12a =，21a =-（不合题意，舍去）∴P E =3 ··········· 4分） ∴四边形ACB P 的面积S =12AB •O C +12AB •P E =112123422⨯⨯+⨯⨯= ············ 6分） (3)假设存在∵∠P AB =∠BAC =45∴P A ⊥AC∵MG ⊥x 轴于点G ， ∴∠MG A =∠P AC =90 在Rt △A O C 中，O A =O C =1∴AC在Rt △P AE 中，AE =P E =3∴AP=·················· 7分）设M 点的横坐标为m ，则M 2(,1)m m - ①点M 在y 轴左侧时，则1m <- (ⅰ) 当∆A MG ∽∆P CA 时，有AG PA =MGCA∵A G=1m --，MG=21m -2= 解得11m =-（舍去） 223m =（舍去）(ⅱ) 当∆M A G ∽∆P CA 时有AG CA =MGPA即2= 解得：1m =-（舍去） 22m =-∴M (2,3)- ························· （10分）② 点M 在y 轴右侧时，则1m > (ⅰ) 当∆A MG ∽∆P CA 时有AG PA =MGCA∵A G=1m +，MG=21m -2= 解得11m =-（舍去） 243m =∴M 47(,)39(ⅱ) 当∆M A G ∽∆P CA 时有AG CA =MGPA即2= 解得：11m =-（舍去） 24m =∴M∴存在点M ，使以A 、M 、G 三点为顶点的三角形与∆P CA 相似M 点的坐标为(2,3)-，47(,)39，(4,15) ··········· （12分）5、(2009年某某市数学模拟试卷)如图13，已知二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的象经过A (－1，0)、B (3，0)、N (2，3)三点，且与y 轴交于点C ． (1)（3分）求顶点M 及点C 的坐标；(2)（3分）若直线y =kx ＋d 经过C 、M 两点，且与x 轴交于点D ，试证明四边形CDAN 是平行四边形；(3)（4分）点P 是这个二次函数的对称轴上一动点，请探索：是否存在这样的点P ，使以点P 为圆心的圆经过A 、B 两点，并且与直线CD 相切，如果存在，请求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．解：图13解：(1)因为二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图象经过点A (－1，0)、B (3，0)、N (2，3)所以，可建立方程组：⎪⎩⎪⎨⎧++=++=+-=c b a c b a c b a 2433900，解得：⎪⎩⎪⎨⎧==-=321c b a所以，所求二次函数的解析式为y=－x 2＋2x ＋3，所以，顶点M (1，4)，点C (0，3) -------2分 (2)直线y=kx+d 经过C 、M 两点，所以⎩⎨⎧=+=43d k d ，即k ＝1，d ＝3，直线解析式为y ＝x ＋3令y ＝0，得x ＝－3，故D (－3，0） ∴ CD ＝23，AN ＝23，AD=2，=2 ∴CD ＝AN ，AD=∴四边形CDAN 是平行四边形(3)假设存在这样的点P ，使以点P 为圆心的圆经过A 、B 两点，并且与直线CD 相切，因为这个二次函数的对称轴是直线x =1，故可设P (1，0y )，则PA 是圆的半径且PA 2=y 02＋22，过P 作直线CD 的垂线，垂足为Q ，则PQ ＝PA 时以P 为圆心的圆与直线CD 相切。

二次函数压轴题(含答案)

二次函数压轴题一．解答题（共20小题）1．如图，已知二次函数y=ax2﹣4x+c的图象经过点A和点B．（1）求该二次函数的表达式；（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；（3）点P（m，m）与点Q均在该函数图象上（其中m＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q到x轴的距离．2．如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），其对称轴与x轴相交于点M．（1）求抛物线的解析式和对称轴；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接AC，在直线AC的下方的抛物线上，是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．3．已知二次函数y=x2﹣2mx+m2﹣1．（1）当二次函数的图象经过坐标原点O（0，0）时，求二次函数的解析式；（2）如图，当m=2时，该抛物线与y轴交于点C，顶点为D，求C、D两点的坐标；（3）在（2）的条件下，x轴上是否存在一点P，使得PC+PD最短？若P点存在，求出P点的坐标；若P点不存在，请说明理由．4．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B．（1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC 和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴x=﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；（3）设点P为抛物线的对称轴x=﹣1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．5．如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；（3）点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．6．如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（5，0），C（0，﹣）三点．（Ⅰ）求抛物线的解析式；（Ⅱ）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC 的值最小，求点P的坐标．（Ⅲ）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y 轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的表达式．（2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．8．如图，对称轴为x=﹣1的抛物线y=ax2+bx+c （a≠0）与x轴相交于A、B两点，其中点A的坐标为（﹣3，0）．（1）求点B的坐标．（2）已知a=1，C为抛物线与y轴的交点．①若点P在抛物线上，且S△POC=4S△BOC，求点P 的坐标．②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．9．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0）两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若没有，请说明理由．10．如图，已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点M是抛物线上一点，以B，C，D，M为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M的坐标．11．如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a ≠0）相交于A （，）和B（4，m），点P 是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC ⊥x轴于点D，交抛物线于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；（3）求△PAC为直角三角形时点P的坐标．12．如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B为x 轴上两点，C、D为y轴上的两点，经过点A、C、B的抛物线的一部分C1与经过点A、D、B的抛物线的一部分C2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线成为“蛋线”．已知点C的坐标为（0，﹣），点M是抛物线C2：y=mx2﹣2mx﹣3m（m＜0）的顶点．（1）求A、B两点的坐标；（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出△PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由；（3）当△BDM为直角三角形时，求m的值．13．如图，四边形OABC为直角梯形，A（4，0），B（3，4），C（0，4）．点M从O出发以每秒2个单位长度的速度向A运动；点N从B同时出发，以每秒1个单位长度的速度向C运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N作NP垂直x轴于点P，连接AC交NP于Q，连接MQ．（1）点（填M或N）能到达终点；（2）求△AQM的面积S与运动时间t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，当t为何值时，S的值最大；（3）是否存在点M，使得△AQM为直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．14．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于点A（﹣3，0）和点B，交y轴于点C（0，3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P在抛物线上，且S△AOP=4S△BOC，求点P的坐标；（3）如图b，设点Q是线段AC上的一动点，作DQ⊥x轴，交抛物线于点D，求线段DQ长度的最大值．15．如图，已知二次函数y=﹣+bx+c的图象经过A（2，0）、B（0，﹣6）两点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求△ABC的面积．16．如图，在直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，OA=1，tan∠BAO=3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到△DOC，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B、C．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t，①设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接PE，交CD于F，求出当△CEF与△COD相似时，点P的坐标；②是否存在一点P，使△PCD的面积最大？若存在，求出△PCD的面积的最大值；若不存在，请说明理由．17．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A （﹣1，0），B（5，0）两点，直线y=﹣x+3与y轴交于点C，与x轴交于点D．点P是x 轴上方的抛物线上一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E．设点P的横坐标为m．（1）求抛物线的解析式；（2）若PE=5EF，求m的值；（3）若点E′是点E关于直线PC的对称点，是否存在点P，使点E′落在y轴上？若存在，请直接写出相应的点P的坐标；若不存在，请说明理由．18．如图，抛物线y=ax2﹣2ax+c（a≠0）交x轴于A、B两点，A点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，4），以OC、OA为边作矩形OADC 交抛物线于点G．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴l在边OA（不包括O、A 两点）上平行移动，分别交x轴于点E，交CD 于点F，交AC于点M，交抛物线于点P，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示PM的长；（3）在（2）的条件下，连结PC，则在CD上方的抛物线部分是否存在这样的点P，使得以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似？若存在，求出此时m的值，并直接判断△PCM的形状；若不存在，请说明理由．19．如图，已知抛物线y=（x+2）（x﹣4）（k为常数，且k＞0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y=﹣x+b与抛物线的另一交点为D．（1）若点D的横坐标为﹣5，求抛物线的函数表达式；（2）若在第一象限内的抛物线上有点P，使得以A，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，求k 的值；（3）在（1）的条件下，设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？20．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与直线y=x+2交于C、D两点，其中点C在y轴上，点D的坐标为（3，）．点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交CD于点F．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P的横坐标为m，当m为何值时，以O、C、P、F为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由．（3）若存在点P，使∠PCF=45°，请直接写出相应的点P的坐标．二次函数压轴题参考答案一．解答题（共20小题）1．如图，已知二次函数y=ax2﹣4x+c的图象经过点A和点B．（1）求该二次函数的表达式；（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；（3）点P（m，m）与点Q均在该函数图象上（其中m＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q到x轴的距离．解：（1）将x=﹣1，y=﹣1；x=3，y=﹣9，分别代入y=ax2﹣4x+c得，解得，∴二次函数的表达式为y=x2﹣4x﹣6．（2）对称轴为直线x=2；顶点坐标为（2，﹣10）．（3）将（m，m）代入y=x2﹣4x﹣6，得m=m2﹣4m﹣6，解得m1=﹣1，m2=6．∵m＞0，∴m1=﹣1不合题意，舍去．∴m=6，∵点P与点Q关于对称轴x=2对称，∴点Q到x轴的距离为6．2．如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0），其对称轴与x轴相交于点M．（1）求抛物线的解析式和对称轴；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△PAB的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接AC，在直线AC的下方的抛物线上，是否存在一点N，使△NAC的面积最大？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）根据已知条件可设抛物线的解析式为y=a （x﹣1）（x﹣5），把点A（0，4）代入上式得：a=，∴y=（x﹣1）（x﹣5）=x2﹣x+4=（x﹣3）2﹣，∴抛物线的对称轴是：直线x=3；（2）P点坐标为（3，）．理由如下：∵点A（0，4），抛物线的对称轴是直线x=3，∴点A关于对称轴的对称点A′的坐标为（6，4）如图1，连接BA′交对称轴于点P，连接AP，此时△PAB的周长最小．设直线BA′的解析式为y=kx+b，把A′（6，4），B （1，0）代入得，解得，∴y=x ﹣，∵点P 的横坐标为3，∴y=×3﹣=， ∴P （3，）．（3）在直线AC 的下方的抛物线上存在点N ，使△NAC 面积最大．设N 点的横坐标为t ，此时点N （t ，t 2﹣t +4）（0＜t ＜5），如图2，过点N 作NG ∥y 轴交AC 于G ；作AD ⊥NG 于D ，由点A （0，4）和点C （5，0）可求出直线AC 的解析式为：y=﹣x +4，把x=t 代入得：y=﹣t +4，则G （t ，﹣t +4），此时：NG=﹣t +4﹣（t 2﹣t +4）=﹣t 2+4t ，∵AD +CF=CO=5， ∴S △ACN =S △ANG +S △CGN=AD ×NG+NG ×CF=NG•OC=×（﹣t 2+4t ）×5=﹣2t 2+10t=﹣2（t ﹣）2+，∴当t=时，△CAN 面积的最大值为，由t=，得：y=t 2﹣t +4=﹣3，∴N （，﹣3）．3．已知二次函数y=x 2﹣2mx +m 2﹣1．（1）当二次函数的图象经过坐标原点O （0，0）时，求二次函数的解析式；（2）如图，当m=2时，该抛物线与y 轴交于点C ，顶点为D ，求C 、D 两点的坐标；（3）在（2）的条件下，x 轴上是否存在一点P ，使得PC +PD 最短？若P 点存在，求出P 点的坐标；若P 点不存在，请说明理由．解：（1）∵二次函数的图象经过坐标原点O （0，0），∴代入二次函数y=x 2﹣2mx +m 2﹣1，得出：m 2﹣1=0，解得：m=±1，∴二次函数的解析式为：y=x 2﹣2x 或y=x 2+2x ；（2）∵m=2，∴二次函数y=x 2﹣2mx +m 2﹣1得：y=x 2﹣4x +3=（x ﹣2）2﹣1，∴抛物线的顶点为：D （2，﹣1），当x=0时，y=3，∴C 点坐标为：（0，3）， ∴C （0，3）、D （2，﹣1）；（3）当P 、C 、D 共线时PC +PD 最短，过点D 作DE ⊥y 轴于点E ， ∵PO ∥DE ，∴=，∴=，解得：PO=，∴PC +PD 最短时，P 点的坐标为：P （，0）．4．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，且抛物线经过A（1，0），C （0，3）两点，与x轴交于点B．（1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC 和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴x=﹣1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；（3）设点P为抛物线的对称轴x=﹣1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．解：（1）依题意得：，解之得：，∴抛物线解析式为y=﹣x2﹣2x+3∵对称轴为x=﹣1，且抛物线经过A（1，0），∴把B（﹣3，0）、C（0，3）分别代入直线y=mx+n，得，解之得：，∴直线y=mx+n的解析式为y=x+3；（2）设直线BC与对称轴x=﹣1的交点为M，则此时MA+MC的值最小．把x=﹣1代入直线y=x+3得，y=2，∴M（﹣1，2），即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时M的坐标为（﹣1，2）；（3）设P（﹣1，t），又∵B（﹣3，0），C（0，3），∴BC2=18，PB2=（﹣1+3）2+t2=4+t2，PC2=（﹣1）2+（t﹣3）2=t2﹣6t+10，①若点B为直角顶点，则BC2+PB2=PC2即：18+4+t2=t2﹣6t+10解之得：t=﹣2；②若点C为直角顶点，则BC2+PC2=PB2即：18+t2﹣6t+10=4+t2解之得：t=4，③若点P为直角顶点，则PB2+PC2=BC2即：4+t2+t2﹣6t+10=18解之得：t1=，t2=；综上所述P的坐标为（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或（﹣1，）或（﹣1，）．5．如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；（3）点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．解：（1）令y=0，解得x1=﹣1或x2=3∴A（﹣1，0）B（3，0）将C点的横坐标x=2代入y=x2﹣2x﹣3得y=﹣3∴C（2，﹣3）∴直线AC的函数解析式是y=﹣x﹣1；（2）设P点的横坐标为x（﹣1≤x≤2）则P、E的坐标分别为：P（x，﹣x﹣1）E（x，x2﹣2x﹣3）∵P点在E点的上方，PE=（﹣x﹣1）﹣（x2﹣2x ﹣3）=﹣x2+x+2=﹣（x ﹣）2+，∴当时，PE的最大值=；（3）存在4个这样的点F，分别是F1（1，0），F2（﹣3，0），F3（4+，0），F4（4﹣，0）．①如图，连接C与抛物线和y轴的交点，那么CG∥x轴，此时AF=CG=2，因此F点的坐标是（﹣3，0）；②如图，AF=CG=2，A点的坐标为（﹣1，0），因此F点的坐标为（1，0）；③如图，此时C，G两点的纵坐标互为相反数，因此G点的纵坐标为3，代入抛物线中即可得出G点的坐标为（1+，3），由于直线GF 的斜率与直线AC的相同，因此可设直线GF 的解析式为y=﹣x+h，将G点代入后可得出直线的解析式为y=﹣x+4+．因此直线GF与x 轴的交点F的坐标为（4+，0）；④如图，同③可求出F的坐标为（4﹣，0）．综合四种情况可得出，存在4个符合条件的F点．6．如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（5，0），C（0，﹣）三点．（Ⅰ）求抛物线的解析式；（Ⅱ）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC 的值最小，求点P的坐标．（Ⅲ）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．解：（Ⅰ）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），∵A（﹣1，0），B（5，0），C（0，﹣）三点在抛物线上，∴，解得．∴抛物线的解析式为：y=x2﹣2x ﹣；（Ⅱ）∵抛物线的解析式为：y=x2﹣2x ﹣，∴其对称轴为直线x=﹣=﹣=2，连接BC，如图1所示，∵B（5，0），C（0，﹣），∴设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），∴，解得，∴直线BC的解析式为y=x ﹣，当x=2时，y=1﹣=﹣，∴P（2，﹣）；（Ⅲ）存在点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形．如图2所示，①当点N在x轴下方时，∵抛物线的对称轴为直线x=2，C（0，﹣），∴N1（4，﹣）；②当点N在x轴上方时，如图，过点N2作N2D⊥x轴于点D，在△AN2D与△M2CO中，∴△AN2D≌△M2CO（ASA），∴N2D=OC=，即N2点的纵坐标为．∴x2﹣2x ﹣=，解得x=2+或x=2﹣，∴N2（2+，），N3（2﹣，）．综上所述，符合条件的点N的坐标为（4，﹣），（2+，）或（2﹣，）．7．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y 轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的表达式．（2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．解：（1）将B、C 两点的坐标代入得，解得：；所以二次函数的表达式为：y=x2﹣2x﹣3（2）存在点P，使四边形POP′C为菱形；设P点坐标为（x，x2﹣2x﹣3），PP′交CO于E若四边形POP′C是菱形，则有PC=PO；连接PP′，则PE⊥CO于E，∵C（0，﹣3），∴CO=3，又∵OE=EC，∴OE=EC=∴y=；∴x2﹣2x﹣3=解得x1=，x2=（不合题意，舍去），∴P点的坐标为（，）（3）过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P（x，x2﹣2x﹣3），设直线BC的解析式为：y=kx+d，则，解得：∴直线BC的解析式为y=x﹣3，则Q点的坐标为（x，x﹣3）；当0=x2﹣2x﹣3，解得：x1=﹣1，x2=3，∴AO=1，AB=4，S四边形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ=AB•OC+QP•BF +QP•OF==当时，四边形ABPC的面积最大此时P点的坐标为，四边形ABPC的面积的最大值为．8．如图，对称轴为x=﹣1的抛物线y=ax2+bx+c （a≠0）与x轴相交于A、B两点，其中点A 的坐标为（﹣3，0）．（1）求点B的坐标．（2）已知a=1，C为抛物线与y轴的交点．①若点P在抛物线上，且S△POC=4S△BOC，求点P 的坐标．②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．解：（1）∵对称轴为直线x=﹣1的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，∴A、B两点关于直线x=﹣1对称，∵点A的坐标为（﹣3，0），∴点B的坐标为（1，0）；（2）①a=1时，∵抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x=﹣1，∴=﹣1，解得b=2．将B（1，0）代入y=x2+2x+c，得1+2+c=0，解得c=﹣3．则二次函数的解析式为y=x2+2x﹣3，∴抛物线与y轴的交点C的坐标为（0，﹣3），OC=3．设P点坐标为（x，x2+2x﹣3），∵S△POC=4S△BOC，∴×3×|x|=4××3×1，∴|x|=4，x=±4．当x=4时，x2+2x﹣3=16+8﹣3=21；当x=﹣4时，x2+2x﹣3=16﹣8﹣3=5．∴点P的坐标为（4，21）或（﹣4，5）；②设直线AC的解析式为y=kx+t （k≠0）将A（﹣3，0），C（0，﹣3）代入，得，解得，即直线AC的解析式为y=﹣x﹣3．设Q点坐标为（x，﹣x﹣3）（﹣3≤x≤0），则D 点坐标为（x，x2+2x﹣3），QD=（﹣x﹣3）﹣（x2+2x﹣3）=﹣x2﹣3x=﹣（x +）2+，∴当x=﹣时，QD 有最大值．9．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（﹣3，0）两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若没有，请说明理由．解：（1）将A（1，0），B（﹣3，0）代y=﹣x2+bx+c 中得，∴．∴抛物线解析式为：y=﹣x2﹣2x+3；（2）存在．理由如下：由题知A、B两点关于抛物线的对称轴x=﹣1对称，∴直线BC与x=﹣1的交点即为Q点，此时△AQC周长最小，∵y=﹣x2﹣2x+3，∴C的坐标为：（0，3），直线BC解析式为：y=x+3，Q点坐标即为，解得，∴Q（﹣1，2）；（3）存在．理由如下：设P点（x，﹣x2﹣2x+3）（﹣3＜x＜0），∵S△BPC=S四边形BPCO﹣S△BOC=S四边形BPCO ﹣，若S四边形BPCO 有最大值，则S△BPC就最大，∴S四边形BPCO=S△BPE+S直角梯形PEOC，=BE•PE +OE（PE+OC）=（x+3）（﹣x2﹣2x+3）+（﹣x）（﹣x2﹣2x+3+3）=，当x=﹣时，S四边形BPCO最大值=，∴S△BPC最大=，当x=﹣时，﹣x2﹣2x+3=，∴点P 坐标为（﹣，）．10．如图，已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为D，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P，使得△PDC是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点M是抛物线上一点，以B，C，D，M为顶点的四边形是直角梯形，试求出点M的坐标．解：（1）∵抛物线与y轴交于点C（0，3），∴设抛物线解析式为y=ax2+bx+3（a≠0），根据题意，得，解得，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．（2）存在．由y=﹣x2+2x+3得，D点坐标为（1，4），对称轴为直线x=1．①若以CD为底边，则PD=PC，设P点坐标为（x，y），根据两点间距离公式，得x2+（3﹣y）2=（x﹣1）2+（4﹣y）2，即y=4﹣x．又P点（x，y）在抛物线上，∴4﹣x=﹣x2+2x+3，即x2﹣3x+1=0，解得x1=，x2=＜1，应舍去，∴x=，∴y=4﹣x=，即点P 坐标为．②若以CD为一腰，∵点P在对称轴右侧的抛物线上，由抛物线对称性知，点P与点C关于直线x=1对称，此时点P坐标为（2，3）．∴符合条件的点P 坐标为或（2，3）．（3）由B（3，0），C（0，3），D（1，4），根据勾股定理，得CB=，CD=，BD=，∴CB2+CD2=BD2=20，∴∠BCD=90°，设对称轴交x轴于点E，过C作CM⊥DE，交抛物线于点M，垂足为F，在Rt△DCF中，∵CF=DF=1，∴∠CDF=45°，由抛物线对称性可知，∠CDM=2×45°=90°，点坐标M为（2，3），∴DM∥BC，∴四边形BCDM为直角梯形，由∠BCD=90°及题意可知，以BC为一底时，顶点M在抛物线上的直角梯形只有上述一种情况；以CD为一底或以BD为一底，且顶点M在抛物线上的直角梯形均不存在．综上所述，符合条件的点M的坐标为（2，3）．11．如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a ≠0）相交于A （，）和B（4，m），点P 是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC ⊥x轴于点D，交抛物线于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；（3）求△PAC为直角三角形时点P的坐标．解：（1）∵B（4，m）在直线y=x+2上，∴m=4+2=6，∴B（4，6），∵A（，）、B（4，6）在抛物线y=ax2+bx+6上，∴，解得，∴抛物线的解析式为y=2x2﹣8x+6．（2）设动点P的坐标为（n，n+2），则C点的坐标为（n，2n2﹣8n+6），∴PC=（n+2）﹣（2n2﹣8n+6），=﹣2n2+9n﹣4，=﹣2（n ﹣）2+，∵PC＞0，∴当n=时，线段PC 最大且为．（3）∵△PAC为直角三角形，i）若点P为直角顶点，则∠APC=90°．由题意易知，PC∥y轴，∠APC=45°，因此这种情形不存在；ii）若点A为直角顶点，则∠PAC=90°．如答图3﹣1，过点A （，）作AN⊥x轴于点N，则ON=，AN=．过点A作AM⊥直线AB，交x轴于点M，则由题意易知，△AMN为等腰直角三角形，∴MN=AN=，∴OM=ON+MN=+=3，∴M（3，0）．设直线AM的解析式为：y=kx+b，则：，解得，∴直线AM的解析式为：y=﹣x+3 ①又抛物线的解析式为：y=2x2﹣8x+6 ②联立①②式，解得：x=3或x=（与点A重合，舍去）∴C（3，0），即点C、M点重合．当x=3时，y=x+2=5，∴P1（3，5）；iii）若点C为直角顶点，则∠ACP=90°．∵y=2x2﹣8x+6=2（x﹣2）2﹣2，∴抛物线的对称轴为直线x=2．如答图3﹣2，作点A （，）关于对称轴x=2的对称点C，则点C在抛物线上，且C （，）．当x=时，y=x+2=．∴P2（，）．∵点P1（3，5）、P2（，）均在线段AB上，∴综上所述，△PAC为直角三角形时，点P的坐标为（3，5）或（，）．12．如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B为x 轴上两点，C、D为y轴上的两点，经过点A、C、B的抛物线的一部分C1与经过点A、D、B的抛物线的一部分C2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线成为“蛋线”．已知点C的坐标为（0，﹣），点M是抛物线C2：y=mx2﹣2mx﹣3m（m＜0）的顶点．（1）求A、B两点的坐标；（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出△PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由；（3）当△BDM为直角三角形时，求m的值．解：（1）y=mx2﹣2mx﹣3m=m（x﹣3）（x+1），∵m≠0，∴当y=0时，x1=﹣1，x2=3，∴A（﹣1，0），B（3，0）；（2）设C1：y=ax2+bx+c，将A、B、C三点的坐标代入得：，解得，故C1：y=x2﹣x﹣．如图：过点P作PQ∥y轴，交BC于Q，由B、C的坐标可得直线BC的解析式为：y=x﹣，设P（x ，x2﹣x ﹣），则Q（x，x ﹣），PQ=x ﹣﹣（x2﹣x﹣）=﹣x2+x，S△PBC=S△PCQ+S△PBQ =PQ•OB=×（﹣x2+x）×3=﹣（x ﹣）2+，当x=时，S△PBC有最大值，Smax=，×（）2﹣﹣=﹣，P（，﹣）；（3）y=mx2﹣2mx﹣3m=m（x﹣1）2﹣4m，顶点M坐标（1，﹣4m），当x=0时，y=﹣3m，∴D（0，﹣3m），B（3，0），∴DM2=（0﹣1）2+（﹣3m+4m）2=m2+1，MB2=（3﹣1）2+（0+4m）2=16m2+4，BD2=（3﹣0）2+（0+3m）2=9m2+9，当△BDM为Rt△时有：DM2+BD2=MB2或DM2+MB2=BD2．①DM2+BD2=MB2时有：m2+1+9m2+9=16m2+4，解得m=﹣1（∵m＜0，∴m=1舍去）；②DM2+MB2=BD2时有：m2+1+16m2+4=9m2+9，解得m=﹣（m=舍去）．综上，m=﹣1或﹣时，△BDM为直角三角形．13．如图，四边形OABC为直角梯形，A（4，0），B（3，4），C（0，4）．点M从O出发以每秒2个单位长度的速度向A运动；点N从B同时出发，以每秒1个单位长度的速度向C运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N作NP垂直x轴于点P，连接AC交NP于Q，连接MQ．（1）点M（填M或N）能到达终点；（2）求△AQM的面积S与运动时间t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，当t为何值时，S的值最大；（3）是否存在点M，使得△AQM为直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．解：（1）点M．（2）经过t秒时，NB=t，OM=2t，则CN=3﹣t，AM=4﹣2t，∵A（4，0），C（0，4），∴AO=CO=4，∵∠AOC=90°，∴∠BCA=∠MAQ=45°，∴QN=CN=3﹣t∴PQ=1+t，∴S△AMQ=AM•PQ=（4﹣2t）（1+t）=﹣t2+t+2．∴S=﹣t2+t+2=﹣t2+t ﹣++2=﹣（t ﹣）2+，∵0≤t≤2∴当时，S的值最大．（3）存在．设经过t秒时，NB=t，OM=2t则CN=3﹣t，AM=4﹣2t∴∠BCA=∠MAQ=45°①若∠AQM=90°，则PQ是等腰Rt△MQA底边MA上的高∴PQ是底边MA的中线∴PQ=AP=MA∴1+t=（4﹣2t）∴t=∴点M的坐标为（1，0）②若∠QMA=90°，此时QM与QP重合∴QM=QP=MA∴1+t=4﹣2t∴t=1∴点M的坐标为（2，0）．14．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于点A（﹣3，0）和点B，交y轴于点C（0，3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P在抛物线上，且S△AOP=4S△BOC，求点P的坐标；（3）如图b，设点Q是线段AC上的一动点，作DQ⊥x轴，交抛物线于点D，求线段DQ长度的最大值．解：（1）把A（﹣3，0），C（0，3）代入y=﹣x2+bx+c，得，解得．故该抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣2x+3．（2）由（1）知，该抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3，则易得B（1，0）．∵S△AOP=4S△BOC，∴×3×|﹣x2﹣2x+3|=4××1×3．整理，得（x+1）2=0或x2+2x﹣7=0，解得x=﹣1或x=﹣1±2．则符合条件的点P的坐标为：（﹣1，4）或（﹣1+2，﹣4）或（﹣1﹣2，﹣4）；（3）设直线AC的解析式为y=kx+t，将A（﹣3，0），C（0，3）代入，得，解得．即直线AC的解析式为y=x+3．设Q点坐标为（x，x+3），（﹣3≤x≤0），则D点坐标为（x，﹣x2﹣2x+3），QD=（﹣x2﹣2x+3）﹣（x+3）=﹣x2﹣3x=﹣（x+）2+，∴当x=﹣时，QD 有最大值．15．如图，已知二次函数y=﹣+bx+c的图象经过A（2，0）、B（0，﹣6）两点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求△ABC的面积．解：（1）把A（2，0）、B（0，﹣6）代入y=﹣+bx+c，得：解得，∴这个二次函数的解析式为y=﹣+4x﹣6．（2）∵该抛物线对称轴为直线x=﹣=4，∴点C的坐标为（4，0），∴AC=OC﹣OA=4﹣2=2，∴S△ABC =×AC×OB=×2×6=6．16．如图，在直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，OA=1，tan∠BAO=3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到△DOC，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B、C．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t，①设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接PE，交CD于F，求出当△CEF与△COD相似时，点P的坐标；②是否存在一点P，使△PCD的面积最大？若存在，求出△PCD的面积的最大值；若不存在，请说明理由．解：（1）在Rt△AOB中，OA=1，tan∠BAO==3，∴OB=3OA=3．∵△DOC是由△AOB绕点O逆时针旋转90°而得到的，∴△DOC≌△AOB，∴OC=OB=3，OD=OA=1，∴A、B、C的坐标分别为（1，0），（0，3）（﹣3，0）．代入解析式为，解得：．∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3；（2）①∵抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3，∴对称轴l=﹣=﹣1，∴E点的坐标为（﹣1，0）．如图，当∠CEF=90°时，PE：CE=2：1，CO：OD=3：1，此时△CEF与△COD不相似．当∠CFE=90°时，△CFE∽△COD，过点P作PM⊥x轴于点M，则△EFC∽△EMP．∴，∴MP=3EM．∵P的横坐标为t，∴P（t，﹣t2﹣2t+3）．∵P在第二象限，∴PM=﹣t2﹣2t+3，EM=﹣1﹣t，∴﹣t2﹣2t+3=﹣（t﹣1）（t+3），解得：t1=﹣2，t2=﹣3（因为P与C重合，所以舍去），∴t=﹣2时，y=﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+3=3．∴P（﹣2，3）．∴当△CEF与△COD相似时，P点的坐标为：（﹣1，4）或（﹣2，3）；②设直线CD的解析式为y=kx+b，由题意，得，解得：，∴直线CD的解析式为：y=x+1．设PM与CD的交点为N，则点N的坐标为（t，t+1），∴NM=t+1．∴PN=PM﹣NM=﹣t2﹣2t+3﹣（t+1）=﹣t2﹣+2．∵S△PCD=S△PCN+S△PDN，∴S△PCD=PN•CM +PN•OM=PN（CM+OM）=PN•OC=×3（﹣t2﹣+2）=﹣（t +）2+，∴当t=﹣时，S△PCD的最大值为．17．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A （﹣1，0），B（5，0）两点，直线y=﹣x+3与y轴交于点C，与x轴交于点D．点P是x 轴上方的抛物线上一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E．设点P的横坐标为m．（1）求抛物线的解析式；（2）若PE=5EF，求m的值；（3）若点E′是点E关于直线PC的对称点，是否存在点P，使点E′落在y轴上？若存在，请直接写出相应的点P的坐标；若不存在，请说明理由．方法一：解：（1）将点A、B坐标代入抛物线解析式，得：，解得，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+4x+5．（2）∵点P的横坐标为m，∴P（m，﹣m2+4m+5），E（m，﹣m+3），F（m，0）．∴PE=|y P﹣y E|=|（﹣m2+4m+5）﹣（﹣m+3）|=|﹣m2+m+2|，EF=|y E﹣y F|=|（﹣m+3）﹣0|=|﹣m+3|．由题意，PE=5EF，即：|﹣m2+m+2|=5|﹣m+3|=|m+15|①若﹣m2+m+2=m+15，整理得：2m2﹣17m+26=0，解得：m=2或m=；②若﹣m2+m+2=﹣（m+15），整理得：m2﹣m﹣17=0，解得：m=或m=．由题意，m的取值范围为：﹣1＜m＜5，故m=、m=这两个解均舍去．∴m=2或m=．（3）假设存在．作出示意图如下：∵点E、E′关于直线PC对称，∴∠1=∠2，CE=CE′，PE=PE′．∵PE平行于y轴，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴PE=CE，∴PE=CE=PE′=CE′，即四边形PECE′是菱形．当四边形PECE′是菱形存在时，由直线CD解析式y=﹣x+3，可得OD=4，OC=3，由勾股定理得CD=5．过点E作EM∥x轴，交y轴于点M，易得△CEM ∽△CDO，∴，即，解得CE=|m|，∴PE=CE=|m|，又由（2）可知：PE=|﹣m2+m+2|∴|﹣m2+m+2|=|m|．①若﹣m2+m+2=m，整理得：2m2﹣7m﹣4=0，解得m=4或m=﹣；②若﹣m2+m+2=﹣m，整理得：m2﹣6m﹣2=0，解得m1=3+，m2=3﹣．由题意，m的取值范围为：﹣1＜m＜5，故m=3+这个解舍去．当四边形PECE′是菱形这一条件不存在时，此时P点横坐标为0，E，C，E'三点重合与y轴上，也符合题意，∴P（0，5）综上所述，存在满足条件的点P，可求得点P坐标为（0，5），（﹣，），（4，5），（3﹣，2﹣3）方法二：（1）略．（2）略．（3）若E（不与C重合时）关于直线PC的对称点E′在y轴上，则直线CD与直线CE′关于PC 轴对称．∴点D关于直线PC的对称点D′也在y轴上，∴DD′⊥CP，∵y=﹣x+3，∴D（4，0），CD=5，∵OC=3，∴OD′=8或OD′=2，①当OD′=8时，D′（0，8），设P（t，﹣t2+4t+5），D（4，0），C（0，3），∵PC⊥DD′，∴K PC×K DD′=﹣1，∴，∴2t2﹣7t﹣4=0，∴t1=4，t2=﹣，②当OD′=2时，D′（0，﹣2），设P（t，﹣t2+4t+5），∵PC⊥DD′，∴K PC×K DD′=﹣1，∴=﹣1，∴t1=3+，t2=3﹣，∵点P是x轴上方的抛物线上一动点，∴﹣1＜t＜5，∴点P的坐标为（﹣，），（4，5），（3﹣，2﹣3）．若点E与C重合时，P（0，5）也符合题意．综上所述，存在满足条件的点P，可求得点P坐标为（0，5），（﹣，），（4，5），（3﹣，2﹣3）18．如图，抛物线y=ax2﹣2ax+c（a≠0）交x轴于A、B两点，A点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，4），以OC、OA为边作矩形OADC 交抛物线于点G．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴l在边OA（不包括O、A 两点）上平行移动，分别交x轴于点E，交CD 于点F，交AC于点M，交抛物线于点P，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示PM的长；（3）在（2）的条件下，连结PC，则在CD上方的抛物线部分是否存在这样的点P，使得以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似？若存在，求出此时m的值，并直接判断△PCM的形状；若不存在，请说明理由．解：（1）∵抛物线y=ax2﹣2ax+c（a≠0）经过点A（3，0），点C（0，4），∴，解得，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x+4；（2）设直线AC的解析式为y=kx+b，∵A（3，0），点C（0，4），∴，解得，∴直线AC的解析式为y=﹣x+4．∵点M的横坐标为m，点M在AC上，∴M点的坐标为（m ，﹣m+4），∵点P的横坐标为m，点P在抛物线y=﹣x2+x+4上，∴点P的坐标为（m ，﹣m2+m+4），∴PM=PE﹣ME=（﹣m2+m+4）﹣（﹣m+4）=﹣m2+4m，即PM=﹣m2+4m（0＜m＜3）；（3）在（2）的条件下，连结PC，在CD上方的抛物线部分存在这样的点P，使得以P、C、F 为顶点的三角形和△AEM相似．理由如下：由题意，可得AE=3﹣m，EM=﹣m+4，CF=m，若以P、C、F为顶点的三角形和△AEM相似，P点在F上，PF=﹣m2+m+4﹣4=﹣m2+m．情况：①若△PFC∽△AEM，则PF：AE=FC：EM，即（﹣m2+m）：（3﹣m）=m：（﹣m+4），∵m≠0且m≠3，∴m=．∵△PFC∽△AEM，∴∠PCF=∠AME，∵∠AME=∠CMF，∴∠PCF=∠CMF．在直角△CMF中，∵∠CMF+∠MCF=90°，∴∠PCF+∠MCF=90°，即∠PCM=90°，∴△PCM为直角三角形；②若△CFP∽△AEM，则CF：AE=PF：EM，即m：（3﹣m）=（﹣m2+m）：（﹣m+4），∵m≠0且m≠3，∴m=1．∵△CFP∽△AEM，∴∠CPF=∠AME，∵∠AME=∠CMF，∴∠CPF=∠CMF．∴CP=CM，∴△PCM为等腰三角形．综上所述，存在这样的点P使△PFC与△AEM相。

2009二模压轴

09卢湾.在平面直角坐标系xOy 中，将抛物线22y x =沿y 轴向上平移1个单位，再沿x 轴向右平移两个单位，平移后抛物线的顶点坐标记作A ，直线3x =与平移后的抛物线相交于B ，与直线OA 相交于C ．（1）求△ABC 面积；（2）点P 在平移后抛物线的对称轴上，如果△ABP 与△ABC 相似，求所有满足条件的P 点坐标．．在等腰△ABC 中，已知AB =AC =3，1cos 3B ∠=，D 为AB 上一点，过点D 作DE ⊥AB 交BC 边于点E ，过点E 作EF ⊥BC 交AC 边于点F ．（1）当BD 长为何值时，以点F 为圆心，线段FA 为半径的圆与BC 边相切？（2）过点F 作FP ⊥AC ，与线段DE 交于点G ，设BD 长为x ，△EFG 的面积为y ，求y 关于x的函数解析式及其定义域．12345-1-2-3-4-5-1-2-3-4-512345x y 0 24题图 FE BCAD 25题图FE BCAD 25题图09静安已知：⊙O 的直径AB =8，⊙B 与⊙O 相交于点C 、D ，⊙O 的直径CF 与⊙B 相交于点E ，设⊙B 的半径为x ，OE 的长为y ，（1）如图7，当点E 在线段OC 上时，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（2）当点E 在直径CF 上时，如果OE 的长为3，求公共弦CD 的长；（3）设⊙B 与AB 相交于G ，试问△OEG 能否为等腰三角形？如果能够，请直接写出BC 的长度（不必写过程）；如果不能，请简要说明理由．闸北如图九，△ABC 中，AB=5，AC=3，cosA=310．D 为射线BA 上的点（点D 不与点B 重合），作DE//BC 交射线CA 于点E.．(1) 若CE =x ，BD =y ，求y 与x 的函数关系式，并写出函数的定义域； (2) 当分别以线段BD ，CE 为直径的两圆相切时，求DE 的长度；(3) 当点D 在AB 边上时，BC 边上是否存在点F ，使△ABC 与△DEF 相似？若存在，请求出线段BF 的长；若不存在，请说明理由．AOBCDEFEACB D （备用图二）EACB D （图九） EA CB D （备用图一）G F E D C BA 09黄埔二次函数c bx x y ++-=241的图像经过点()()4,4,0,4--B A ，且与y 轴交于点C . （1）试求此二次函数的解析式；（2）试证明：CAO BAO ∠=∠（其中O 是原点）；（3）若P 是线段AB 上的一个动点（不与A 、B 重合），过P 作y 轴的平行线，分别交此二次函数图像及x 轴于Q 、H 两点，试问：是否存在这样的点P ，使QH PH 2=？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.如图，在ABC ∆中，6,5===BC AC AB ，D 、E 分别是边AB 、AC 上的两个动点（D 不与A 、B 重合），且保持BC DE ∥，以DE 为边，在点A 的异侧作正方形DEFG . （1）试求ABC ∆的面积；（2）当边FG 与BC 重合时，求正方形DEFG 的边长；（3）设x AD =，ABC ∆与正方形DEFG 重叠部分的面积为y ，试求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域；（4）当BDG ∆是等腰三角形时，请直接写出AD 的长.09虹口在平面直角坐标系xOy 中（如图7），已知二次函数c bx x y ++=2的图像经过点(0,3)A 和点(3,0)B ，其顶点记为点C ．（1）确定此二次函数的解析式，并写出顶点C 的坐标；（2）将直线CB 向上平移3个单位长度，求平移后直线l 的解析式；（3）在（2）的条件下，能否在直线上l 找一点D ，使得以点C 、B 、D 、O 为顶点的四边形是等腰梯形．若能，请求出点D 的坐标；若不能，请说明理由.如图8，在ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，3tan 4B =，D 是BC 边的中点，E 为AB 边上的一个动点，作90DEF ∠=︒，EF 交射线BC 于点F ．设B E x =，BED ∆的面积为y ．（1）求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（2）如果以线段BC 为直径的圆与以线段AE 为直径的圆相切，求线段BE 的长；（3）如果以B 、E 、F 为顶点的三角形与BED ∆相似，求BED ∆的面积.09奉贤．在平面直角坐标系中，矩形ABOC 的边BO 在x 轴正半轴上，边CO 在y 轴的正AC D EFB图8ACD B备用图· O 1 2 3xy图7ABCDEFxyO第24题半轴上，且322==OB AB ，，矩形ABOC 绕点O 逆时针旋转后得到矩形EFOD ，且点A 落在y 轴上的E 点，点B 的对应点为点F ，点C 的对应点为点D . (1)求F 、E 、D 三点的坐标；（2）若抛物线c bx ax y ++=2经过点F 、E 、D ，求此抛物线的解析式；（3）在x 轴上方的抛物线上求点Q 的坐标，使得三角形QOB 的面积等于矩形ABOC 的面积？已知：在△ABC 中，AB =AC ，∠B =30º，BC =6，点D 在边BC 上，点E 在线段DC 上，DE =3，△DEF 是等边三角形，边DF 、EF 与边BA 、CA 分别相交于点M 、N ．（1）求证：△BDM ∽△CEN ；（2）当点M 、N 分别在边BA 、CA 上时,设BD =x ，△ABC 与△DEF 重叠部分的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域．（3）是否存在点D ，使以M 为圆心, BM 为半径的圆与直线EF 相切, 如果存在，请求出x的值；如不存在，请说明理由．09崇明如图，抛物线32++=bx ax y 与y 轴交于点C ，与x 轴交于A 、B 两点，31tan =∠OCA ，ABF DEMNC第25题 ABFD EMNC第25题6=∆ABC S ．（1）求点B 的坐标；（2）求抛物线的解析式及顶点坐标；（3）设点E 在x 轴上，点F 在抛物线上，如果A 、C 、E 、F 构成平行四边形，请写出点E 的坐标（不必书写计算过程）．在等腰ABC ∆中，已知5==AC AB cm ，6=BC cm ，动点P 、Q 分别从A 、B 两点同时出发，沿AB 、BC 方向匀速移动，它们的速度都是1 cm/秒. 当点P 到达点B 时，P 、Q 两点停止运动，设点P 的运动时间为t （秒）．（1）当t 为何值时，PQ ⊥AB ？（2）设四边形APQC 的面积为y cm 2，写出y 关于t 的函数关系式及定义域；（3）分别以P 、Q 为圆心，PA 、BQ 长为半径画圆，若⊙P 与⊙Q 相切，求t 的值；（4）在P 、Q 运动中，BPQ ∆与ABC ∆能否相似？若能，请求出AP 的长；若不能，请说明理由．09徐汇如图，抛物线c bx ax y ++=2与y 轴正半轴交于点C ，与x 轴交于点A BC ABC（备用图）CAB Oy x），（、04)0,1(B A ，OBC OCA ∠=∠．（1）求抛物线的解析式；（2）在直角坐标平面内确定点M ，使得以点C B A M 、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点M 的坐标；（3）如果⊙P 过点C B A 、、三点，求圆心P 的坐标．如图，ABC ∆中，10==AC AB ，12=BC ，点D 在边BC 上，且4=BD ，以点D 为顶点作B EDF ∠=∠，分别交边AB 于点E ，交射线CA 于点F ．（1）当6=AE 时，求AF 的长；（2）当以点C 为圆心CF 长为半径的⊙C 和以点A 为圆心AE 长为半径的⊙A 相切时，求BE 的长；（3）当以边AC 为直径的⊙O 与线段DE 相切时，求BE 的长．杨浦已知一次函数m x y +=43的图像分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点（如图），且与反比例函A B CO y x A B C DE F A B CD （备用图）数xy 24=的图像在第一象限交于点C （4，n ），CD ⊥x 轴于D 。

[09数学汇编]_2009年全国中考数学试题汇编_二次函数1

09年中考-二次函数习题版一、选择题 1、（2009年台湾）向上发射一枚炮弹，经x 秒后的高度为y 公尺，且时间与高度关系为y =ax 2?bx 。

若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则再下列哪一个时间的高度是最高的？(A) 第8秒 (B) 第10秒 (C) 第12秒 (D) 第15秒。

2、（2009年泸州）在平面直角坐标系中，将二次函数22x y =的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为A ．222-=x yB ．222+=x yC ．2)2(2-=x yD ．2)2(2+=x y3、 (2009年四川省内江市)抛物线3)2(2+-=x y 的顶点坐标是（） A ．（2，3） B ．（－2，3） C ．（2，－3） D ．（－2，－3） 5、（2009年桂林市、百色市）二次函数2(1)2y x =++的最小值是（）．A ．2B ．1C ．－3D ．236、(2009年上海市)抛物线22()y x m n =++（m n ，是常数）的顶点坐标是（）A ．()m n ，B ．()m n -，C ．()m n -，D ．()m n --， 7、(2009年陕西省)根据下表中的二次函数c bx ax y ++=2的自变量x 与函数y 的对应值，可判断二次函数的图像与x 轴【】x … －1 0 1 2 …y … －1 －2…A ．只有一个交点B ．有两个交点，且它们分别在y 轴两侧C ．有两个交点，且它们均在y 轴同侧D ．无交点 8、（2009威海）二次函数2365y x x =--+的图象的顶点坐标是（）A ．(18)-， B ．(18)， C ．(12)-， D ．(14)-， 9、（2009湖北省荆门市）函数y =ax ＋1与y =ax 2＋bx ＋1（a ≠0）的图象可能是（）解析：本题考查函数图象与性质，当0a >时，直线从左向右是上升的，抛物线开A ．B ．C ． 1111xo yyo x yo xxoy口向上，D 是错的，函数y =ax ＋1与y =ax 2＋bx ＋1（a ≠0）的图象必过（0，1），所以C 是正确的，故选C ． 10、（2009年贵州黔东南州）抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能．．是（） A 、y=x 2-x-2 B 、y=121212++-xC 、y=121212+--x x D 、y=22++-x x11、（2009年齐齐哈尔市）已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则下列结论：0ac >①；②方程20ax bx c ++=的两根之和大于0；y ③随x 的增大而增大；④0a b c -+<，其中正确的个数（） A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个12、（2009年深圳市）二次函数c bx ax y ++=2的图象如图2所示，若点A （1，y 1）、B （2，y 2）是它图象上的两点，则y 1与y 2的大小关系是（） A ．21y y < B ．21y y = C ．21y y > D ．不能确定 12、（2009桂林百色）二次函数2(1)2y x =++的最小值是（）．A ．2B ．1C ．－3D ．2313、（2009丽水市）已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图所示，给出以下结论： ①a ＞0.②该函数的图象关于直线1x =对称. ③当13x x =-=或时，函数y 的值都等于0. 其中正确结论的个数是（） A ．3 B ．2 C ．1 D ．014、（2009烟台市）二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则一次函数24y bx b ac =+-与反比例函数a b cy x++=在同一坐标系内的图象大致为（） xyO1 O15、（2009年甘肃庆阳）图6（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l 时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m ，水面宽4m ．如图6（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（） A ．22y x =- B ．22y x = C ．212y x =-D ．212y x =16、（2009年甘肃庆阳）将抛物线22y x =向下平移1个单位，得到的抛物线是（）A ．22(1)y x =+B ．22(1)y x =-C ．221y x =+D ．221y x =- 17、（2009年广西南宁）已知二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象如图4所示，有下列四个结论：20040b c b ac <>->①②③④0a b c -+<，其中正确的个数有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个18、(2009年鄂州)已知=次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象如图．则下列5个代数式：ac ，a+b+c ，4a －2b+c ，2a+b ，2a －b 中，其值大于0的个数为（）A ．2B 3C 、4D 、5 19、（2009年孝感）将函数2y x x =+的图象向右平移a (0)a >个单位，得到函数232y x x =-+的图象，则a 的值为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 20、（2009泰安）抛物线1822-+-=x x y 的顶点坐标为（A ）（-2，7）（B ）（-2，-25）（C ）（2，7）（D ）（2，-9） 21、（2009年烟台市）二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则一次函数1图4O xy3图6（1）图61O xy yxOyxOB ．C ．y xOA ．yxOD ．24y bx b ac =+-与反比例函数a b cy x++=在同一坐标系内的图象大致为（） 22、（2009年嘉兴市）已知0≠a ，在同一直角坐标系中，函数ax y =与2ax y =的图象有可能是（ ▲ ）23、（2009年新疆）如图，直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，下列关系不正确．．．的是（） A ．h m = B ．k n = C ．k n > D ．00h k >>， 24、（2009年天津市）在平面直角坐标系中，先将抛物线22y x x =+-关于x 轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y 轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为（）A ．22y x x =--+B ．22y x x =-+-C ．22y x x =-++D ．22y x x =++ 25、（2009年南宁市）已知二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象如图所示，有下列四个结论：20040b c b ac <>->①②③④0a b c -+<，其中正确的个数有（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 26、（2009年衢州）二次函数2(1)2y x =--的图象上最低点的坐标是A ．(-1，-2)B ．(1，-2)C ．(-1，2)D ．(1，2) 27、（2009年舟山）二次函数2(1)2y x =--的图象上最低点的坐标是A ．(-1，-2)B ．(1，-2)C ．(-1，2)D ．(1，2) 28、（2009年广州市）二次函数2)1(2+-=x y 的最小值是（）A.2 （B ）1 （C ）-1 （D ）-229、（2009年济宁市）小强从如图所示的二次函数2y ax bx c =++的图象中，观察得出了下面五条信息：（1）0a <；（2） 1c >；（3）0b >；（4） 0a b c ++>；（5）0a b c -+>. 你认为其中正确信息的个数有A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个30、（2009年广西钦州）将抛物线y ＝2x 2向上平移3个单位得到的抛物线的解析1211O1xy （第12题）1 O x y y x O y x O B ． C ． y x O A ． y x O D ． O y x 1-1A x y O 1-1B x y O1-1C xy O 1-1D式是（） A ．y ＝2x 2＋3B ．y ＝2x 2－3C ．y ＝2（x ＋3）2D ．y ＝2（x －3）2 31、(2009宁夏)二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，对称轴是直线1x =，则下列四个结论错误．．的是（）D A ．0c > B ．20a b += C ．240b ac -> D ．0a b c -+>32、(2009年南充)抛物线(1)(3)(0)y a x x a =+-≠的对称轴是直线（） A ．1x = B ．1x =- C ．3x =- D ．3x =33、(2009年湖州)已知图中的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点，请你在图中任意画一条抛物线，问所画的抛物线最多能经过81个格点中的多少个？（） A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 34、（2009年兰州）在同一直角坐标系中，函数y mx m =+和函数222y mx x =-++（m 是常数，且0m ≠）的图象可能．．是 35、（2009年兰州）把抛物线2y x =-向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为 A ．2(1)3y x =--- B ．2(1)3y x =-+- C ．2(1)3y x =--+ D ．2(1)3y x =-++ 36、（2009年兰州）二次函数c bx ax y ++=2的图象如图6所示，则下列关系式不正确的是A ．a ＜0 B.abc ＞0 C.c b a ++＞0 D.ac b 42-＞0 37、（2009年遂宁）把二次函数3412+--=x x y 用配方法化成()k h x a y +-=2的形式A.()22412+--=x y B. ()42412+-=x yC.()42412++-=x yD. 321212+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x y 39、（2009年广州市）二次函数2)1(2+-=x y 的最小值是（）11O xy（8题A.2 （B ）1 （C ）-1 （D ）-2【关键词】二次函数 41、（2009年台湾）向上发射一枚炮弹，经x 秒后的高度为y 公尺，且时间与高度关系为y =ax 2?bx 。

09年中考试题汇编二次(函数的应用)

09年中考试题汇编二次函数的应用一、选择题1．(2009·台湾)向上发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y公尺，且时间与高度的关系为y=ax2+bx．若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则下列时间中，高度最高时的是( ) A．第8秒B．第10秒C．第12秒D．第15秒二、填空题2．(2009·甘肃)从地面垂直向上抛出一小球．小球的高度h(米)与小球运动的时间t(秒)的函数关系式是h=9．8 t一4．9t2，那么小球运动中的最大高度为_______米．3．(2009·莆田)出售某种文具盒，若每个获利x元，一天可售出(6一x)个，则当x=________元时，一天出售该种文具的总利润最大．4．(2009·包头)将一根长为20 cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是________cm2．三、解答题5．(2009·滨州)某商品的进价为每件40元．当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．在确保盈利的前提下，解答下列问题：(1)若设每件降价x元，每星期售出商品的利润为y元，请写出y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围．(2)当降价多少元时，每星期的利润最大?最大利润是多少?(3)请画出上述函数的大致图象．6．(2009·包头)某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45％，经销商发现，销售量y(件)与销售单价．x(元)符合一次函数y=kx+b，且x=65时．y=55；x=75时，y=45．(1)求一次函数y=kx+b的解析式．(2)若该商场获得利润为w元，试写出利润w与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润?最大利润是多少元?(3)若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价x的范围．7．(2009·黔东南州)凯里市某大型酒店有包房100间，在每天晚餐营业时间，每问包房收费100元时，包房便可全部租出；若每问包房收费提高20元，则减少10问包房租出；若每间包房收费再提高20元，则再减少10间包房租出，以每次提高20元的这种方法变化下去．(1)设每间包房收费提高x(元)，则每问包房的收入为y1(元)，但会减少．y2间包房租出，请分别写出y1、y2与x之间的函数关系式．(2)为了投资少而利润大，每间包房提高x(元)后，设酒店老板每天晚餐包房总收入为y(元)，请写出y与x之间的函数关系式．求出每间包房每天晚餐营业时间应提高多少元可获得最大包房费收入，并说明理由．8．(2009·山西)某批发市场批发甲、乙两种水果，根据以往经验和市场行情，预计夏季某一段时间内，甲种水果的销售利润帅(万元)与进货量x(吨)近似满足函数关系y甲=0．3日乙种水果的销售利润y乙(万元)与进货量x(吨)近似满足函数关系了y乙=ax2+bx(其中a ≠0，a，b为常数)，且进货量x为1吨时，销售利润兜为1．4万元；进货量x为2吨时，销售利润y乙为2．6万元．(1)求y乙(万元)与x(吨)之间的函数关系式．(2)如果市场准备进甲、乙两种水果共10吨，设乙种水果的进货量为t吨，请你写出这两种水果所获得的销售利润之和W(万元)与t(吨)之间的函数关系式．并求：这两种水果各进货多少吨时获得的销售利润之和最大?最大利润是多少?9．(2009·重庆)某商场在销售旺季临近时，某品牌的童装销售价格呈上升趋势，这种童装开始时的售价为每件20元，并且每周(7天)涨价2元，从第6周开始，保持每件30元的稳定价格销售，直到第11周结束，该童装不再销售．(1)请建立销售价格y(元)与周次x之间的函数关系．(2)若该品牌童装进货当周售完，且这种童装每件进价z(元)与周次x之间的函数关系式为18z=-(x一8)2+12，1≤x≤11，且x为整数，那么该品牌童装在第几周售出后，每件获得的利润最大?最大利润为多少?10．(2009·黄石)为了扩大内需，让惠于农民，丰富农民的业余生活，鼓励送彩电下乡，国家决定对购买彩电的农户实行政府补贴，规定每购买一台彩电，政府补贴若干元，经调查，某商场销售彩电台数y(台)与补贴款额x(元)之间大致满足如图(1)所示的一次函数关系．随着补贴款额x的不断增大，销售量也不断增加，但每台彩电的收益z(元)会相应降低，且z与x之间也大致满足如图(2)所示的一次函数关系．(1)在政府未出台补贴措施前，该商场销售彩电的总收益额为多少元?(2)在政府补贴政策实施后，分别求出该商场销售彩电台数y和每台家电的收益z与政府补贴款额x之间的函数关系式．(3)要使该商场销售彩电的总收益w(元)最大，政府应将每台补贴款额x定为多少?并求出总收益w的最大值．11．(2009·黄冈)新星电子科技公司积极应对2008年世界金融危机，及时调整投资方向，瞄准光伏产业，建成了太阳能光伏电池生产线．由于新产品开发初期成本高，且市场占有率不高等闪素的影响，产品投产上市一年来，公司经历了由初期的亏损到后来逐步盈利的过程(公司对经营的盈亏情况每月最后一天结算1次)．公司累积获得的利润y(万元)与销售时间第工(月)之间的函数关系(即前x个月的利润总和y与x之间的关系)对应的点都在如图所示的图象上．陔图象从左至右，依次是线段OA、曲线AB和曲线BC，其中曲线AB为抛物线的一部分，点A为该抛物线的顶点，曲线BC为另一抛物线y=一5x2+205x一1 230的一部分，且点A、B、C的横坐标分别为4、10、12．、(1)求该公司累积获得的利润y(万元)与时间第x(月)之问的函数关系式．(2)直接写出第x个月所获得的利润s(万元)与时间x(月)之间的函数关系式(不需要写出计算过程)．(3)前12个月中，第几个月该公司所获得的利润最大?最大利润是多少万元?12．(2009·安徽)已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如图(1)所示．(1)请说明图(1)中①、②两段函数图象的实际意义．(2)写出批发该水果的资金金额w(元)与批发量m(kg)之间的函数关系式；在图(3)的坐标系中画出该函数图象；指出金额在什么范围内，以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果．(3)经调查，某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函数关系如图(2)所示，该经销商拟每日售出60 kg以上该种水果，且当日零售价不变，请你帮助该经销商设计进货和销售的方案，使得当日获得的利润最大．13．(2009·青岛)某水产品养殖企业为指导该企业某种水产品的养殖和销售，对历年市场行情和水产品养殖情况进行了调查．调查发现这种水产品每千克售价y1(元)与销售月份x(月)满足关系式13368y x =-+，而其每千克成本y 2(元)与销售月份x(月)满足的函数关系如图所示．(1)试确定b 、c 的值．(2)求出这种水产品每千克的利润y(元)与销售月份x(月)之间的函数关系式．(3)“五一”之前，几月份出售这种水产品每千克的利润最大?最大利润是多少?14．(2009·长沙)为了扶持大学生自主创业，市政府提供了80万元无息贷款，用于某大学生开办公司生产并销售自主研发的一种电子产品．并约定用该公司经营的利润逐步偿还无息贷款．已知该产品的生产成本为每件40元，员工每人每月的：亡资为2 500元。

09年压轴题及答案改A

冲刺2010 ——2009年中考数学压轴题汇编(含解题过程)（2009年北京）25.如图，在平面直角坐标系xOy 中，ABC 三个机战的坐标分别为()6,0A -，()6,0B ，(0,C ，延长AC 到点D,使CD=12AC ,过点D 作DE ∥AB 交BC 的延长线于点E. （1）求D 点的坐标；（2）作C 点关于直线DE 的对称点F,分别连结DF 、EF ，若过B 点的直线y kx b =+将四边形CDFE 分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；（3）设G 为y 轴上一点，点P 从直线y kx b =+与y 轴的交点出发，先沿y 轴到达G 点，再沿GA 到达A 点，若P 点在y 轴上运动的速度是它在直线GA 上运动速度的2倍，试确定G 点的位置，使P 点按照上述要求到达A 点所用的时间最短。

（要求：简述确定G 点位置的方法，但不要求证明）（2009年重庆市）26．已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，OA =2，OC =3．过原点O 作∠AOC 的平分线交AB 于点D ，连接DC ，过点D 作DE ⊥DC ，交OA 于点E ．（1）求过点E 、D 、C 的抛物线的解析式；（2）将∠EDC 绕点D 按顺时针方向旋转后，角的一边与y 轴的正半轴交于点F ，另一边与线段OC 交于点G ．如果DF 与（1）中的抛物线交于另一点M ，点M 的横坐标为65，那么EF =2GO 是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）对于（2）中的点G ，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q ，使得直线GQ 与AB 的交点P 与点C 、G 构成的△PCG 是等腰三角形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．26．解：（1）由已知，得(30)C ，，(22)D ，， 90ADE CDB BCD ∠=-∠=∠ °，1tan 2tan 212AE AD ADE BCD ∴=∠=⨯∠=⨯= ． ∴(01)E ，． ···································· （1分）设过点E D C 、、的抛物线的解析式为2(0)y ax bx c a =++≠．将点E 的坐标代入，得1c =．将1c=和点D C 、的坐标分别代入，得42129310.a b a b ++=⎧⎨++=⎩，································· （2分）解这个方程组，得56136a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故抛物线的解析式为2513166y x x =-++． ·····················（3分）（2）2EFGO =成立． ······························（4分）点M 在该抛物线上，且它的横坐标为65，∴点M 的纵坐标为125． ······························（5分）设DM 的解析式为1(0)y kx b k =+≠，将点D M 、的坐标分别代入，得1122612.55k b k b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得1123k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，．26题图xx∴DM的解析式为132y x =-+． ·························（6分）∴(03)F ，，2EF =． ······························ （7分）过点D 作DK OC ⊥于点K ，则DA DK =．90ADK FDG ∠=∠= °， FDA GDK ∴∠=∠．又90FAD GKD ∠=∠= °， DAF DKG ∴△≌△． 1KG AF ∴==．1GO ∴=． ··································· （8分）2EF GO ∴=．（3）点P 在AB 上，(10)G ，，(30)C ，，则设(12)P ，．∴222(1)2PG t =-+，222(3)2PC t =-+，2GC =．①若PG PC =，则2222(1)2(3)2t t -+=-+，解得2t=．∴(22)P ，，此时点Q 与点P 重合．∴(22)Q ，． ··································· （9分） ②若PG GC =，则22(1)22t 2-+=，解得 1t=，(12)P ∴，，此时GP x ⊥轴．GP 与该抛物线在第一象限内的交点Q 的横坐标为1，∴点Q 的纵坐标为73．∴713Q ⎛⎫⎪⎝⎭，． ··································· （10分） ③若PC GC =，则222(3)22t -+=，解得3t=，(32)P ∴，，此时2PC GC ==，PCG △是等腰直角三角形．过点Q 作QH x ⊥轴于点H ，则QHGH =，设QH h =，(1)Q h h ∴+，．2513(1)(1)166h h h ∴-++++=．x解得12725h h ==-，（舍去）． 12755Q ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，． ··············· （12分）综上所述，存在三个满足条件的点Q ，即(22)Q ，或713Q ⎛⎫⎪⎝⎭，或12755Q ⎛⎫⎪⎝⎭，．（2009年重庆綦江县）26．（11分）如图，已知抛物线(1)20)y a x a =-+≠经过点(2)A -，0，抛物线的顶点为D ，过O 作射线OM AD ∥．过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ，B 在x 轴正半轴上，连结BC ．（1）求该抛物线的解析式；（2）若动点P 从点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为()t s ．问当t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？（3）若O C O B =，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC和BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为，连接，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长．*26．解：（1）抛物线2(1)0)y a x a =-+≠经过点(20)A -，09a a ∴=+= ····························· 1分∴二次函数的解析式为：2y x x = ·················· 3分（2）D 为抛物线的顶点D ∴过D 作DN OB ⊥于N ，则DN =3660AN AD DAO =∴=∴∠=，° ················ 4分OM AD ∥①当AD OP =时，四边形DAOP 是平行四边形66(s)OP t ∴=∴= ················ 5分②当DP OM⊥时，四边形DAOP 是直角梯形过O 作OHAD ⊥于H ，2AO =，则1AH =（如果没求出60DAO ∠=°可由Rt Rt OHA DNA △∽△求1AH =）55(s)OP DH t ∴=== ······························6分③当PD OA =时，四边形DAOP 是等腰梯形 26244(s)OP AD AH t ∴=-=-=∴=综上所述：当6t=、5、4时，对应四边形分别是平行四边形、直角梯形、等腰梯形．····· 7分（3）由（2）及已知，60COB OC OB OCB ∠==°，，△是等边三角形则6262(03)OB OCAD OP t BQ t OQ t t =====∴=-<<，，，过P 作PE OQ ⊥于E，则PE =························ 8分116(62)22BCPQ S t ∴=⨯⨯⨯-232t ⎫-⎪⎝⎭································ 9分当32t=时，BCPQ S························ 10分∴此时3339332444OQ OP OE QE PE ==∴=-==，=，2PQ ∴===·················· 11分（2009年河北省）26．（本小题满分12分）如图16，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC = 3，AB = 5．点P 从点C 出发沿CA 以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动，到达点A 后立刻以原来的速度沿AC 返回；点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动．伴随着P 、Q 的运动，DE 保持垂直平分PQ ，且交PQ 于点D ，交折线QB -BC -CP 于点E ．点P 、Q 同时出发，当点Q 到达点B 时停止运动，点P 也随之停止．设点P 、Q 运动的时间是t 秒（t ＞0）．（1）当t = 2时，AP = ，点Q 到AC 的距离是；（2）在点P 从C 向A 运动的过程中，求△APQ 的面积S 与t 的函数关系式；（不必写出t 的取值范围）（3）在点E 从B 向C 运动的过程中，四边形QBED 能否成为直角梯形？若能，求t 的值．若不能，请说明理由；（4）当DE 经过点C 时，请直接．．写出t 的值．26．解：（1）1，85；（2）作QF ⊥AC 于点F ，如图3， AQ = CP = t ，∴3AP t =-．由△AQF ∽△ABC，4BC ，图3F得45QF t =．∴45QF t =． ∴14(3)25S t t =-⋅，即22655S t t =-+．（3）能．①当DE ∥QB 时，如图4．∵DE ⊥PQ ，∴PQ ⊥QB ，四边形QBED 是直角梯形．此时∠AQP =90°．由△APQ ∽△ABC ，得AQ APAC AB=，即335t t -=．解得98t =． ②如图5，当PQ ∥BC 时，DE ⊥BC ，四边形QBED 是直角梯形．此时∠APQ =90°．由△AQP ∽△ABC ，得 AQ AP AB AC=，即353t t -=．解得158t =．（4）52t =或4514t =．【注：①点P 由C 向A 运动，DE 经过点C ．方法一、连接QC ，作QG ⊥BC 于点G ，如图6．PC t =，222QC QG CG =+2234[(5)][4(5)]55t t =-+--．由22PC QC =，得22234[(5)][4(5)]55t t t =-+--，解得52t =．方法二、由CQ CP AQ ==，得QAC QCA ∠=∠，进而可得B BCQ ∠=∠，得CQ BQ =，∴52AQ BQ ==．∴52t =． ②点P 由A 向C 运动，DE 经过点C ，如图7．22234(6)[(5)][4(5)]55t t t -=-+--，4514t =】（2009年河南省）23.（11分）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的三个顶点B （4，0）、C （8，0）、D （8，8）.抛物线y=ax 2+bx 过A 、C 两点.(1)直接写出点A 的坐标，并求出抛物线的解析式；(2)动点P 从点A 出发．沿线段AB 向终点B 运动，同时点Q 从点C 出发，沿线段CD 向终点D 运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t 秒.过点P 作PE ⊥AB 交AC 于点E ①过点E 作EF ⊥AD 于点F ，交抛物线于点G.当t 为何值时，线段EG 最长?②连接EQ ．在点P 、Q 运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ 是等腰三角形? 请直接写出相应的t 值.图4P图5解.(1)点A 的坐标为（4，8） …………………1分将A (4,8)、C （8，0）两点坐标分别代入y=ax 2+bx 8=16a +4b 得0=64a +8b 得a =-12,b =4 解∴抛物线的解析式为：y =-12x 2+4x …………………3分（2）①在Rt △APE 和Rt △ABC 中，tan ∠PAE =PE AP =BC AB ,即PE AP =48∴PE =12AP =12t ．PB=8-t ．∴点Ｅ的坐标为（4+12t ，8-t ）.∴点G 的纵坐标为：-12（4+12t ）2+4(4+12t ）=-18t 2+8. …………………5分∴EG=-18t 2+8-(8-t )=-18t 2+t .∵-18＜0，∴当t =4时，线段EG 最长为2. …………………7分②共有三个时刻. …………………8分t 1=163， t 2=4013，t 3． …………………11分(2009年山西省)26．（本题14分）如图，已知直线128:33l y x =+与直线2:216l y x =-+相交于点C l l 12，、分别交x 轴于A B 、两点．矩形DEFG 的顶点D E 、分别在直线12l l 、上，顶点F G 、都在x 轴上，且点G 与点B 重合．（1）求ABC △的面积；（2）求矩形DEFG 的边DE 与EF 的长；（3）若矩形DEFG 从原点出发，沿x 轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间为(012)t t ≤≤秒，矩形DEFG 与ABC △重叠部分的面积为S ，求S 关t 的函数关系式，并写出相应的t 的取值范围．（第26题）26．（1）解：由28033x +=，得4x A =-∴．点坐标为()40-，．由2160x -+=，得8x B =∴．点坐标为()80，．∴()8412AB =--=．···························· （2分）由2833216y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩，．解得56x y =⎧⎨=⎩，．∴C 点的坐标为()56，． ············· （3分） ∴111263622ABCC S AB y ==⨯⨯=△·． ···················· （4分）（2）解：∵点D 在1l 上且2888833D B D x x y ==∴=⨯+=，．∴D 点坐标为()88，．······························ （5分）又∵点E 在2l 上且821684E D E E y y x x ==∴-+=∴=，．．∴E 点坐标为()48，．····························· （6分） ∴8448OEEF =-==，． ························ （7分）（3）解法一：①当03t<≤时，如图1，矩形DEFG 与ABC △重叠部分为五边形CHFGR （0t =时，为四边形CHFG ）．过C 作CMAB ⊥于M，则Rt Rt RGB CMB △∽△．∴BG RG BM CM =，即36t RG=，∴2RG t =． Rt Rt AFH AMC △∽△，∴()()11236288223ABC BRG AFH S S S S t t t t =--=-⨯⨯--⨯-△△△．即241644333S t t =-++． ······················ （10分）（2009年山西省太原市）29．（本小题满分12分）问题解决如图（1），将正方形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E （不与点C ，D 重合），压平后得到折痕MN ．当12CE CD =时，求AMBN的值．（图3）（图1）（图2）图（1）A BCDEFMN类比归纳在图（1）中，若13CE CD =，则AMBN的值等于；若14CE CD =，则AMBN的值等于；若1CE CD n=（n 为整数），则AM BN的值等于．（用含n 的式子表示）联系拓广如图（2），将矩形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E （不与点C D ，重合），压平后得到折痕MN ，设()111AB CE m BC m CD n =>=，，则AMBN的值等于．（用含m n ，的式子表示）29．问题解决解：方法一：如图（1-1），连接BM EM BE ，，．由题设，得四边形ABNM 和四边形FENM 关于直线MN 对称． ∴MN 垂直平分BE ．∴BMEM BN EN ==，． ················ 1分∵四边形ABCD 是正方形，∴902A D C AB BC CD DA ∠=∠=∠=====°,．∵112CE CE DE CD =∴==，．设BN x =，则NE x =，2NC x =-．在Rt CNE △中，222NE CN CE =+．∴()22221xx =-+．解得54x =，即54BN =． ················· 3分在Rt ABM △和在Rt DEM △中，222AM AB BM +=，方法指导：为了求得AMBN的值，可先求BN 、AM 的长，不妨设：AB =2 图（2）ABCD EFMN图（1-1）A BC DEFM222DM DE EM +=，∴2222AM AB DM DE +=+．························ 5分设AM y =，则2DM y =-，∴()2222221y y +=-+．解得14y =，即14AM =． ···························· 6分∴15AM BN =． ·································· 7分方法二：同方法一，54BN =． ··························· 3分如图（1－2），过点N 做NG CD ∥，交AD 于点G ，连接BE ．∵AD BC ∥，∴四边形GDCN是平行四边形．∴NG CD BC ==．同理，四边形ABNG 也是平行四边形．∴54AG BN ==．∵90MN BE EBC BNM ⊥∴∠+∠=，°．90NG BC MNG BNM EBC MNG ⊥∴∠+∠=∴∠=∠ ，°，．在BCE △与NGM △中90EBC MNG BC NG C NGM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=⎩，，°．∴BCE NGM EC MG =△≌△，． ·········· ５分∵114AM AG MG AM =--=5，=．4 ····················· 6分∴15AM BN =． ································· 7分类比归纳图（1-2）A BC DEFMG第23题图（1）第23题图（2）25（或410）；917； ()2211n n -+ ·························· 10分联系拓广2222211n m n n m -++ ································· 12分评分说明：1．如你的正确解法与上述提供的参考答案不同时，可参照评分说明进行估分．2．如解答题由多个问题组成，前一问题解答有误或未答，对后面问题的解答没有影响，可依据参考答案及评分说明进行估分．（2009年安徽省）23．已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如图（1）所示．（1）请说明图中①、②两段函数图象的实际意义．【解】（2）写出批发该种水果的资金金额w （元）与批发量m （kg ）之间的函数关系式；在下图的坐标系中画出该函数图象；指出金额在什么范围内，以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果．【解】（3）经调查，某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函数关系如图（2）所示，该经销商拟每日售出60kg 以上该种水果，且当日零售价不变，请你帮助该经销商设计进货和销售的方案，使得当日获得的利润最大．【解】）23．（1）解：图①表示批发量不少于20kg 且不多于60kg 的该种水果，可按5元/kg 批发；……3分图②表示批发量高于60kg 的该种水果，可按4元/kg 批发． ………………………………………………………………3分（2）解：由题意得： 2060 6054m m w m m ⎧=⎨⎩≤≤（））＞（，函数图象如图所示．………………………………………………………………7分由图可知资金金额满足240＜w ≤300时，以同样的资金可批发到较多数量的该种水果．……………………………8分（3）解法一：设当日零售价为x 元，由图可得日最高销量32040w m =- 当m ＞60时，x ＜6.5 由题意，销售利润为2(4)(32040)40[(6)4]y x m x =--=--+………………………………12分当x ＝6时，160y =最大值，此时m ＝80即经销商应批发80kg 该种水果，日零售价定为6元/kg ，当日可获得最大利润160元．……………………………………………14分解法二：设日最高销售量为x kg （x ＞60）则由图②日零售价p 满足：32040x p =-，于是32040xp -=销售利润23201(4)(80)1604040x y x x -=-=--+………………………12分当x ＝80时，160y =最大值，此时p ＝6即经销商应批发80kg 该种水果，日零售价定为6元/kg ，当日可获得最大利润160元．……………………………………………14分（2009年江西省）25．如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，E 是AB 的中点，过点E 作EF BC ∥交CD 于点F ．46AB BC ==，，60B =︒∠.（1）求点E 到BC 的距离；（2）点P 为线段EF 上的一个动点，过P 作PM EF ⊥交BC 于点M ，过M 作MN AB ∥交折线ADC 于点N ，连结PN ，设EP x =.①当点N 在线段AD 上时（如图2），PM N △的形状是否发生改变？若不变，求出PMN △的周长；若改变，请说明理由；②当点N 在线段DC 上时（如图3），是否存在点P ，使PMN △为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由.）A D EFA D EFPNA D EFPN25．（1）如图1，过点E 作EGBC ⊥于点G ． ········· 1分∵E 为AB 的中点，∴122BE AB ==．在Rt EBG △中，60B =︒∠，∴30BEG =︒∠． ····· 2分∴112BG BE EG ====，即点E 到BC的距离为 ··············· 3分（2）①当点N 在线段AD 上运动时，PMN △的形状不发生改变．∵PM EF EG EF ⊥⊥，，∴PM EG ∥．∵EF BC ∥，∴EP GM =，PM EG == 同理4MNAB ==． ······························· 4分如图2，过点P 作PH MN ⊥于H ，∵MN AB ∥， ∴6030NMC B PMH ==︒=︒∠∠，∠．∴12PHPM == ∴3cos302MH PM =︒= ．则35422NH MN MH =-=-=．在Rt PNH △中，PN = ∴PMN △的周长=4PMPN MN ++=．··············· 6分②当点N 在线段DC 上运动时，PMN △的形状发生改变，但MNC △恒为等边三角形．当PMPN =时，如图3，作PR MN ⊥于R ，则MR NR =．类似①，32MR =．∴23MN MR ==． ································ 7分 ∵MNC △是等边三角形，∴3MC MN ==．此时，6132x EP GM BC BG MC ===--=--=． ··············8分图1A D E BF CG图2ADEBF CPNG H当MP MN =时，如图4，这时MC MN MP ===此时，615x EP GM ===-= 当NPNM =时，如图5，30NPM PMN ==︒∠∠．则120PMN =︒∠，又60MNC =︒∠， ∴180PNM MNC +=︒∠∠．因此点P 与F 重合，PMC △为直角三角形．∴tan 301MC PM =︒= ．此时，6114x EP GM ===--=．综上所述，当2x=或4或(5时，PMN △为等腰三角形． ··········· 10分（2009年广东广州）25.（本小题满分14分）如图13，二次函数)0(2<++=p q px x y 的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C （0，-1），ΔABC 的面积为45。

二次函数压轴题综合训练

二次函数压轴题综合训练二次函数综合题难度大、综合性强、涉及的知识面广，综合考查学生分析问题、解决问题的能力。

大的方面来看，有两种题型：与二次函数有关代数方面的考查、与二次函数有关几何方面的考查。

本专题节选近年来各地中考题中的典型例子，对二次函数的压轴题的考查形式、解题思路、方法作简要的分析。

解决二次函数问题，图象的直观很重要；根据题意迅速画出二次函数的大致图象，能更有效地解决问题。

二次函数 y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象与其表达式中各项系数的符号有着十分密切的关系：ax 2+bx+c=0（a≠0）的两个根。

考点一、与二次函数有关代数方面的考查1．已知抛物线y=﹣2x 2+（b ﹣2）x+（c ﹣2020）（b ，c 为常数）。

（1）若抛物线的顶点坐标为（1，1），求b ，c 的值；（2）若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求c 的取值范围；（3）在（1）的条件下，存在正实数m ，n （m ＜n ），当m≤x≤n 时，恰好12+m m ≤21+y ≤12+n n ，求m 、n 的值。

2．在平面直角坐标系中，已知抛物线C：y=ax2+2x﹣1（a≠0）和直线l：y=kx+b，点A（﹣3，﹣3），B（1，﹣1）均在直线l上。

（1）若抛物线C与直线l有交点，求a的取值范围；（2）当a=﹣1，二次函数y=ax2+2x﹣1的自变量x满足m≤x≤m+2时，函数y的最大值为﹣4，求m的值；（3）若抛物线C与线段AB有两个不同的交点，请直接写出a的取值范围。

3．一次函数y=kx+4与二次函数y=ax2+c的图象的一个交点坐标为（1，2），另一个交点是该二次函数图象的顶点（1）求k，a，c的值；（2）过点A（0，m）（0＜m＜4）且垂直于y轴的直线与二次函数y=ax2+c的图象相交于B、C两点，点O为坐标原点，记W=OA2+BC2，求W关于m的函数解析式，并求W的最小值。

4．已知抛物线y=x 2+(2m+1)x+m(m - 3)（m 为常数，- 1≤m≤4），A （- m - 1，y 1），B （2m，y 2），C （- m ，y 3）是该抛物线上不同的三点。

2009年二次函数压轴题

2 ②设以 P、N、C、D 为顶点的多边形面积为 S ，试问 S 是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若
不存在，请说明理由．
y M
C
B
D O (A) 图1
Ex
y M
N
C
B
P
DO A 图2
Ex
2
11. 如图，已知抛物线 C1： y a x 2 5 的顶点为 P，与 x 轴相交于 A、B 两点（点 A 在点 B
否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．
y
D
C
9. 如图 1，已知抛物线经过坐标原点
O 和 x 轴上另一点
E ，顶点AM
的坐标为 O(2，4)
；B矩形
ABCD
x
的
Q C
顶点 A 与点 O 重合， AD、AB 分别在 x 轴、 y 轴上，且 AD 2 ， AB 3 ．
（ 1）求该抛物线所对应的函数关系式；
请直接写出相应的 t 值．
y
AF D
G
PE
Q
O
B
C
x
13. 如图 1，已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点
M（－ 2， - 1），且 P（ - 1，－ 2）为双曲线上
的一点， Q 为坐标平面上一动点， PA 垂直于 x 轴， QB 垂直于 y 轴，垂足分别是 A、B．
（ 1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；
（ 1）当矩形 OEDC 的顶点 D 在直线 AB 上时，求 t 的值；
（ 2）当 t 4 时，求 S 的值；
y
B
（ 3）直接写出 S 与 t 的函数关系式；（不必写出解题过程）
（ 4）若 S 12 ，则 t

09年中考试题汇编(二次函数的概念、图像和性质 )

09年中考试题汇编二次函数1．理解二次函数的定义．2．根据二次函数解析式确定抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴，理解二次函数的图象与性质，会进行函数图象的平移． 3．会用待定系数法确定二次函数的关系式．4．了解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系，会用图象法解一元二次方程和一元二次不等式．5．能应用二次函数的性质解决实际问题．1 二次函数的概念、图象和性质一、选择题1．(2009·遂宁)把二次函数y =－214x －x+3用配方法化成y=a(x －h)2+k 的形式为( ) A ．y= 一14(x 一2)2+2 B ．y=14 (x 一2)2+4C ．y= 一14 (x 一2)2+4D ．y=(12x 一12)2+32．(2009·上海)抛物线y=2(x+m)2+n(m 、n 是常数)的顶点坐标是 ( )A ．(m ，n)B ．(－m ，n)C ．(m ，－n)D ．(－m ，－n) 3．(2009·南充)抛物线了y=a(x+1)(x--3)(a ≠0)的对称轴是直线 ( )A ．x=1B ．x=－1C ．x=－3D ．x=3 4．(2009．桂林)二次函数y=(x+1)2+2的最小值是 ( )A ．2B ．1C ．－3D ．235．(2009．台湾)下列函数中，其图象与x 轴有两个交点的是 ( ) A ．y=17(x+83)2+2 274 B ．y=17(x －83)2+2 274 C ．y=17(x －83)2 一2 274 D ．y=17(x+83)2+2 2746．(2009·甘肃)将抛物线y=2x 2向下平移1个单位，得到的抛物线是 ( ) A ．y=2(x+1)2 B ．y=2 (x －1)2 C ．y=2x 2+1 D ．y=2x 2－17．(2009·乌鲁木齐)要得到二次函数 y=－x 2+2x －2的图象，需将y=－x 2的图象（） A ．向左平移2个单位，再向下平移2个单位 B ．向右平移2个单位，再向上平移2个单位 C ．向左平移1个单位，再向上平移1个单位 D ．向右平移1个单位，再向下平移1个单位8．(2009·黔东南州)抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能是( )A ．y=x 2－x －2B ．y=－211122x x ++ C ．y=211122x x -+ D ．y=22x x -++9．(2009·丽水)已知二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0)的图象如图所示，给出以下结论：①a>0；②该函数的图象关于直线x=1对称；③当x=－1或x=3时，函数y 的值都等于0．其中正确结论的个数是 ( ) A ．3 B ． 2 C ．1 D ．0102则下列判断中，正确的是 ( )A ．抛物线开口向上B ．抛物线与y 轴交于负半轴C ．当x=4时，y>0D ．方程ax 2+bx+c=0的正根在3与4之间11．(2009·荆门)函数y=ax+1与y=ax 2+bx+1(a ≠0)的图象可能是 ( )12．(2009·烟台)二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则一次函数y=bx+b 2－4ac 与反比例函数a b cy x++= 一坐标系内的图象大致为 ( )13．(2009·兰州)在同一直角坐标系中，函数．y=mx+m和y=－mx2+2x+2(m是常数，且m≠0)的图象可能是( )14．(2009·嘉兴)已知a≠0，在同一直角坐标系中，函数y=ax与y=ax2的图象可能是( )15．(2009·鄂州)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列5个代数式：ac，a+b+c，4a－2b+c，2a+b，2a－b中，其值大于0的个数为( ) A．2 B．3C．4 D．516．(2009·宁夏)二次函数y=ax2+bx+c(a 0)的图象如图所示，对称轴是直线x=1，则下列四个结论中，错误的是( )A．c>0 B．2a+b=0 C．b2－4ac>0 D．a－b+c>017．(2009·南宁)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则下列四个结论：①b<0；②c>0；③b2一4ac>0；④a一b+c<0，其中正确的个数是( )A ．1B ． 2C ．3D ．418．(2009·新疆)如图，在直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，则下列关系式不正确的是 ( ) A ．h=m B ．k=n C ．k>n D ．h>0，k>019．(2009·济宁)小强从如图所示的二次函数y=ax 2+bx+c 的图象中，观察得出了下列五个结论：①a<0；②c>1；③b>0；④a+b+c>0；⑤a －b+c>0．其中正确的个数是 ( ) A ．2 B ． 3 C ．4 D ． 520．(2009·黑龙江)二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0)的图象如图所示，则下列判断错误的是( )A ．a<0B ． b<0C ．c<0D ． b 2—4ac<021．(2009·黄石)已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则以下结论：①a+b+c<0；②a —b+c>1；③abc>0；④4a —2b+c<0；⑤c —a>1，其中正确结论的序号是 ( ) A ．①② B ．①③④C ．①②③⑤D ．①②③④⑤二、填空题22．(2009·荆门)函数y=(x －2)(3－x)取得最大值时，x 的值为__________． 23．(2009·包头)已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴交于点(一2，0)、(x ，0)，且1<x 1<2，与y 轴正半轴的交点在(0，2)的下方．下列结论：①4a －2b+c=0；②a<b<0；③2a+c>0；④2a －6+1>0．其中正确结论的个数是__________． 24．(2009·黄石)若抛物线y=ax 2+bx+3与y=－x 2+3x+2的两交点关于原点对称，则a 、b 分别为__________． 25．(2009·兰州)二次函数223y x的图象如图所示，点A 0位于坐标原点，点A 1A 2A 3，…,A 2008在y 轴的正半轴上，点B 1，B 2，B 3，…，B 2008在二次函数223y x第一象限的图象上，若△A 0B 1A 1，△A 1B 2A 2，△A 2B 3A 3，…，△A 2007B 2008A 2008都为等边三角形，则的△A 2007B 2008A 2008边长__________．三、解答题26．(2009·衡阳)已知二次函数的图象过坐标原点，它的顶点坐标是(1，－2)，求这个二次函数的解析式．27．(2009·太原)已知二次函数的解析式为y=4x 2+8x ．写出这个函数图象的对称轴和顶点坐标，并求图象与z 轴的交点坐标．28．(2009·佛山)(1)请在坐标系中画出二次函数y=－x 2+2x 的大致图象．(2)在同一个坐标系中画出了y=－x 2+2x 的图象向上平移两个单位后的图象．(3)直接写出平移后的图象的解析式．注：图中小正方形网格的边长为1．29．(2009·黄石)已知关于x 的函数y=ax 2+x+1(a 为常数)． (1)若函数的图象与x 轴恰好有一个交点，求a 的值．(2)若函数的图象是抛物线，且顶点始终在x 轴上方，求a 的取值范围．30．(2009·牡丹江)如图，二次函数y=x 2+bx+c 的图象经过A(－l ，0)和B(3，0)两点，且交y 轴于点C ．(1)试确定b 、c 的值．(2)过点C 作CD//x 轴交抛物线于点D ，点M 为此抛物线的顶点，试确定△MCD 的形状．参考公式：顶点坐标24(,)24b ac b a a--．31．(2009·甘肃)如图是二次函数2122y x =-+的图象在x 轴上方的一部分，若这段图象与x 轴所围成的阴影部分的面积为S ，试求出S 的取值范围．32．(2009·新疆)(1)用配方法把二次函数y=x 2－4x+3 变成y=(x —h)2+k 的形式． (2)在直角坐标系中画出．y=x 2－4x+3的图象． (3)若A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)是函数y=x 2一4x+3图象上的两点，且x 1<x 2<1，请比较y 1、y 2的大小关系．(直接写结果)(4)把方程，x 2－4x+3=2的根在甬数y=x 2－4x+3的图象上表示出来．33．(2009·常德)如图，二次函数过点A(0，－2)，B(－1，0)C 59(,).48．(1)求此二次函数的解析式．(2)点M(1，12)是否在直线AC 上? (3)过点M(1，12)作一条直线l 与二次函数的图象交于E 、F 两点(不同于A 、B 、C 三点)，请自己给出点E 的坐标，并证明△BEF 是直角三角形．34．(2009·仙桃)如图，抛物线y=x 2+bx+c 经过矩形ABCD 的两个顶点A 、B ，AB 平行于x 轴，对角线BD 与抛物线交于点P ，点A 的坐标为(0，2)，AB=4． (1)求抛物线的解析式．(2)若S △apo=32，求矩形ABCD 的面积．35．(2009·十堰)如图(1)，抛物线y=ax 2+bx+3(a ≠0)与x 轴交于点A(1，0)和点B(一3，0)，与y 轴交于点C(1)求抛物线的解析式．(2)设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ，问：在对称轴上是否存在点P ，使△CMP 为等腰三角形?若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．(3)如图(2)，若点E 为第二象限抛物线上一动点，连接BE 、CE ，求四边形BOCE 面积的最大值，并求出此时点E 的坐标．36．(2009·邵阳)如图，直线l 的解析式为y=－x+4，它与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，平行于直线l 的直线m 从原点O 出发，沿x 轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动，它与x 轴、y 轴分别相交于M 、N 两点，运动时间为t 秒(0<t ≤4)． (1)求A 、B 两点的坐标．(2)用含t 的代数式表示△MON 的面积S 1．(3)以MN 为对角线作矩形OMPN ，记△MPN 和△OAB 重合部分的面积为S 2． ①当2<t ≤4时，试探究S 2与t 之间的函数关系式．②在直线m 的运动过程中，当t 为何值时，S 2为△OAB 面积的516?37．(2009·重庆)如图，抛物线y=－x2+bx+c与x轴交于A(1，0)、B(－3，0)两点．(1)求该抛物线的解析式．(2)设(1)中的抛物线交y轴于点C，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小?若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．(3)在第二象限的抛物线上是否存在一点P，使△PBC的面积最大?若存在，求出点P的坐标及△PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由．38．(2009·江苏)如图，二次函数y=x2－2x—l的图象的顶点为A，二次函数y=ax2+bx的图象与x轴交于原点O及另一点C，它的顶点B在函数y=x2－2x－1的图象的对称轴上．(1)求点A与点C的坐标．(2)当四边形AOBC为菱形时，求函数y=ax2+bx的解析式．39．(2009·郴州)如图(1)，正比例函数和反比例函数的图象都经过点M(－2，－1)，且P(－1，－2)为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB垂直于y 轴，垂足分别是A、B．(1)写出正比例函数和反比例函数的解析式．(2)当点Q在直线MO上运动时，直线啪上是否存在这样的点Q，使得△OBQ与△OAP的面积相等?如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．(3)如图(2)，当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ，求平行四边形OPCQ周长的最小值．40．(2009·河池)如图，抛物线y=-x2+4x+3交x轴于A、B两点，交．y轴于点C，抛物线的对称轴交x轴于点E，点B的坐标为(－1，0)．(1)求抛物线的对称轴及点A的坐标．(2)在平面直角坐标系xOy中是否存在点P，与A、B、C三点构成一个平行四边形?若存在，请写出点P的坐标；若不存在．请说明理由．(3)连接CA，与抛物线的对称轴交于点D，在抛物线上是否存在点M，使得直线(M把四边形DEOC分成面积相等的两部分?若存在，请求出直线CM的解析式；若不存在，请说明理由．4l．(2009·江西)如图，抛物线y=－x2+2x+3与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴相交于点C，顶点为D．(1)直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴．(2)连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF∥DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m．①用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形．②设△BCF的面积为S，求S与m的函数解析式．42．(2009·衢州)如图，点A(－4，8)和点B(2，n)在抛物线y=ax2上．(1)求a的值及点B关于x轴的对称点P的坐标，并在x轴上找一点Q．使得AQ+BQ最短，求出点Q的坐标．(2)平移抛物线y=ax2记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，点C(－2，0)和点D(－4，0)是x轴上的两个定点．①当抛物线向左平移到某个位置时，A′C+CB′最短．求此时抛物线的函数解析式．②当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形A′B′CD的周长最短?若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由．43．(2009·孝感)已知抛物线2234y x kx k =+-(k 为常数，且k>0)． (1)证明：此抛物线与x 轴共有两个交点．(2)设抛物线与x 轴交于M 、N 两点，若这两点到原点的距离分别为OM 、ON ，且1123ON OM -=，求k 的值．44．(2009·北京)已知关于x 的一元二次方程2x 2+4x+k －1=0有实数根，k 为正整数． (1)求k 的值．(2)当此方程有两个非零的整数根时．将关于x 的二次函数y=2x 2+4x+k －1的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式．(3)在(2)的条件下，将平移后的二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：当直线y=12x+b(b<k)与此图象有两个公共点时，b 的取值范围．45．(2009·娄底)已知关于x 的二次函数y=x 2－(2m －1)x+m 2+3m+4．(1)探究m 分别满足什么条件时，二次函数y 的图象与x 轴的交点个数．(2)设二次函数y 的图象与x 轴的交点为A(x 1，0)、B(x 2，0)，且x 12+x 22=5，与y 轴的交点为C ，它的顶点为M ，求直线CM 的解析式．参考答案—、1．C 2．B 3．A 4．A 5．D 6．D 7．D 8．D 9．B 10．D11．C 12．D 13．D 14．C 15．A 16．D 17．C 18．B 19．C 20．B 21．C 二、22．52 23．4 24．32- 25．2008 三、26． y=2x 2－4x27．函数图象与x 轴的交点坐标为(0，0)，(－2，0)28．(1)略 (2)略 (3)y=－x 2+2x+229．(1)a －0或a=14 (2)a>141或a<0 30．(1)解得b=－2 c=－3 (2)求出抛物线的顶点M(1，－4)，C(0，－3)，D(2，－3)，CD=2．△MCD 是等腰直角三角形31．322S ππ<<32．(1)y=x 2－4x+3=(x 2一4x+4)+3—4=(x －2)2－1(2)对称轴x=2．顶点坐标(2, －1)，列表：(3)y 1>y 2 (4)如图，点C 、D 的横坐标x 3、x 4；即为方程的根33．(1)设二次函数的解析式为y=ax 2+bx+c(a ≠0)，得y=－2x 2—2(2)设直线AC 的解析式为y=kx+b(k ≠0)，解得．M(1，12)在直线AC 上(3)△BEF 是直角三角形34．(1)抛物线的解析式为y=x 2－4x+2(2)矩形ABCD 的面积4×6=2435．(1) 所求抛物线的解析式为y=－x 2－2x+3(2)存在符合条件的点P ，其坐标为P(－1或P(－1或P (－1，6)或P(－1，53) (3)点E 的坐标为(315,24-)36．(1) A(4,0) B(0,4)．(2) 2112S t =(3)①223882S t t =-+- ②当73t =或t=3时，S2为△OAB 面积的516 37．(1)．抛物线的解析式y=x 2-2x+3(2)存在38．(1)顶点A 的坐标为(1，－2) 点C 的坐标为(2，0)(2)二次函数y=ax 2+bx 的解析式为y=－2 x 2+4x ．39．(1)正比例函数的解析式为y=12x,反比例函数的解析式为2y x= (2)解得m=±2．点Q 的坐标为(2，1)或(－2，－1)(3)四边形OPCQ 周长的最小值是440．(1)①x=－2；② 点A 的坐标为(一3，0)(2)满足条件的点P 有3个，分别为(－2，3)、(2，3)、(－4，－3)(3)存在．41．(1)A(一1,0)、B(3，0)、C(0，3)．抛物线的对称轴是x=l(2) ①当m=2时，四边形PEDF 为平行四边形 ②23922S m m =-+(0≤m ≤3) 42．(1)所求点Q 的坐标是(45，0) (2)①此时抛物线的函数解析式为 211425y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭②左右平移抛物线212y x =， 43．(1)此抛物线与x 轴共有两个交点 (2)k=244．(1)k=1、2、3(2)k=3符合题意．当k=3时，二次函数为y=2x 2+4x+2，把它的图象向下平移8个单位得到的图象的解析式为y=2x 2十4x －6(3)符合题意的b(b<3)的取值范围为1322b -<< 45． (1)1516m >-时，y 的图象与x 轴没有交点 (2)求的解析式为322y x =+。

09年北京市一模二次函数压轴题汇编

一模二次函数压轴题汇编 23．两个反比例函数x k y 1=和x k y 2=（021>>k k ）在第一象限内的图象如图所示，动点P 在xky 1=的图象上，x PC ⊥轴于点C ，交xky 2=的图象于点A ，y PD ⊥轴于点D ，交xky 2=的图象于点B ．（1）求证：四边形PAOB 的面积是定值；（2）当32=PC PA 时，求BPDB的值；（3）若点P 的坐标为（5，2），OAB ∆、ABP ∆的面积分别记为OAB S ∆、ABP S ∆，设ABP OAB S S S ∆∆-=．①求1k 的值；②当2k 为何值时，S 有最大值，最大值为多少？ 242x …… -1 0 12 34 …… x 2+bx +c……3-13……（1）根据表格中的数据，确定b 、c 的值，并填齐表格空白处的对应值；（2）设y =x 2 + bx + c 的图象与x 轴的交点为A 、B 两点（A 点在B 点左侧），与y 轴交于点C ，P 为线段AB 上一动点，过P 点作PE ∥AC 交BC 于E ，连结PC ，当△PEC 的面积最大时，求P 点的坐标.24. 如图，在平面直角坐标系中，直线1(0)2y x b b =-+>分别交x 轴、y 轴于A B 、两点．点(40)C ，、(80)D ，，以CD 为一边在x 轴上方作矩形CDEF ，且:1:2CF CD =．设矩形CDEF与ABO △重叠部分的面积为S ．（1）求点E 、F 的坐标；（2）当b 值由小到大变化时，求S 与b 的函数关系式；（3）若在直线1(0)2y x b b =-+>上存在点Q ，使OQC ∠等于90o ，请直接．．写出b 的取值范围． 25．已知抛物线223y x bx c =-++与x 轴交于不同的两点()10A x ，和()20B x ，，与y 轴交于点C ，且12x x ，是方程2230x x --=的两个根（12x x <）．（1）求抛物线的解析式；（2）过点A 作AD ∥CB 交抛物线于点D ，求四边形ACBD 的面积；xyB C E AF DO第23题x（3）如果P 是线段AC 上的一个动点（不与点A 、C 重合），过点P 作平行于x 轴的直线l 交BC 于点Q ，那么在x 轴上是否存在点R ，使得△PQR 为等腰直角三角形？若存在，求出点R 的坐标；若不存在，请说明理由．25．已知抛物线经过点 A (0, 4)、B (1, 4)、C (3, 2)，与x 轴正半轴交于点D . （1）求此抛物线的解析式及点D 的坐标；（2）在x 轴上求一点E , 使得△BCE 是以BC 为底边的等腰三角形；（3）在（2）的条件下，过线段ED 上动点P 作直线PF //BC , 与BE 、CE 分别交于点F 、G ，将△EFG 沿FG 翻折得到△E ?FG . 设P （x, 0）, △E ?FG 与四边形FGCB 重叠部分的面积为S ，求S 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围.24. （本题满分7分）在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC 放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A （0，2），点C （-1，0），如图所示，抛物线22y ax ax =+-经过点B ．（1）求点B 的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线上是否还存在点P （点B 除外），使△ACP 仍然是以AC 为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．24．已知：二次函数y=ax 2-x+c 的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，对称轴是直线x=21，且图象向右平移一个单位后经过坐标原点O. （1）求这个二次函数的解析式；（2）求△ABC 的外接圆圆心D 的坐标及⊙D 的半径；（3）设⊙D 的面积为S,在抛物线上是否存在点M ，使得S △ACM =125S π，若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.24．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线 y ＝－x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D ，且点B 的坐标为（1，0），点C 的坐标为（0，3）．（1）求抛物线及直线AC 的解析式；（2）E 、F 是线段AC 上的两点，且∠AEO ＝∠ABC ，过点F 作与y 轴平行的直线交抛物线于点M ，交x 轴于点N ．当MF =DE 时，在x 轴上是否存在点P ，使得以点P 、A 、F 、M 为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点Q 是位于抛物线对称轴左侧图象上的一点，试比较锐角∠QCO与∠BCO 的大小（直接写出结果，不要求写出求解过程，但要写出此时点 Q 的横坐标x 的取值范围）．25. 在平面直角坐标系中，抛物线c bx ax y ++=2的对称轴为x=2,且经过B （0，4），C （5，9），直线BC 与x 轴交于点A. （1）求出直线BC 及抛物线的解析式.（2）D （1，y ）在抛物线上，在抛物线的对称轴上是否存在两点M 、N ，且MN=2 ，点M 在点N 的上方，使得四边形BDNM 的周长最小，若存在，求出M 、N 两点的坐标，若不存在，请说明理由.yx124-1-2-312345-2-3-13O （3）现将直线BC 绕B 点旋转与抛物线相交于另一点P ，请找出抛物线上所有满足到直线BC 距离为32的点P ．24．（本小题满分7分）如图，抛物线两点轴交于与B A x bx ax y ,32-+=，与y 轴交于点C ，且OA OCOB 3==．（I ）求抛物线的解析式；（II ）探究坐标轴上是否存在点P ，使得以点C A P ,,为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出P 点坐标，若不存在，请说明理由；（III ）直线131+-=x y 交y 轴于D 点，E 为抛物线顶点．若α=∠DBC ，βαβ-=∠求,CBE 的值．24．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A B 、两点（点A 在点B 的左侧），过点A 的直线1y kx =+交抛物线于点()2,3C ．（1）求直线AC 及抛物线的解析式；（2）若直线1y kx =+与抛物线的对称轴交于点E ，以点E 为中心将直线1y kx =+顺时针旋转90︒得到直线l ，设直线l 与y 轴的交点为P ，求APE ∆的面积；（3）若G 为抛物线上一点，是否存在x 轴上的点F ，使以B E F G 、、、为顶点的四边形为平行四边形，若存在，直接写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．24.已知抛物线2y x bx c =++经过点A(0,5)和B(3,2)点.(1)求抛物线的解析式;(2)现有一半径为1，圆心P 在抛物线上运动的动圆，问当e P 在运动过程中，是否存在e P 与坐标轴相切的情况？若存在，请求出圆心P 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)若e Q 的半径为r ，点Q 在抛物线上，当e Q 与两坐标轴都相切时，求半径r 的值.。

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一模二次函数压轴题汇编
23．两个反比例函数x k y 1=和x k y 2=（021>>k k ）在第一象限内的图象如图所示，动点P 在x k
y 1=的图象上，
x PC ⊥轴于点C ，交x k y 2=的图象于点A ，y PD ⊥轴于点D ，交x
k
y 2=的图
象于点B ．
（1）求证：四边形PAOB 的面积是定值；
（2）当
3
2=PC
PA 时，求
BP
DB
的值；
（3）若点P 的坐标为（5，2），O
A B ∆、ABP ∆的面积分别记为OAB S ∆、ABP S ∆，
设ABP OAB S S S ∆∆-=．
①求1k 的值；
②当2k 为何值时，S 有最大值，最大值为多少？
24．下表给出了代数式x 2
+bx +c 与x 的一些对应值：
（1）根据表格中的数据，确定b 、c 的值，
并填齐表格空白处的对应值；（2）设y =x 2 + bx + c 的图象与x 轴的交点为
A 、
B 两点（A 点在B 点左侧），与y 轴交于点
C ，P 为线段AB 上一动点，过P 点作PE ∥AC 交BC 于E ，连结PC ，当△PEC 的面积最大时，求P 点的坐标.
24. 如图，在平面直角坐标系中，直线1(0)2
y x b b =-
+>分别交x 轴、y 轴于A B 、两点．点(40)C ，、(80)D ，，
以C D 为一边在x 轴上方作矩形C D E F ，且:1:2C F C D =．设矩形C D E F 与ABO △重叠部分的面积为S ．
（1）求点E 、F 的坐标；
（2）当b 值由小到大变化时，求S 与b 的函数关系式；（3）若在直线1(0)2
y x b b =-
+>上存在点Q ，使OQC ∠等于90
，请直接．．
写出b 的取值范围．
25．已知抛物线2
23
y x bx c =-
++与x 轴交于不同的两点()10A x ，和()20B x ，，与y
轴交于点C ，且12x x ，
是方程2
230x x --=的两个根（12x x <）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点A 作AD ∥CB 交抛物线于点D ，求四边形ACBD 的面积；
（3）如果P
是线段AC 上的一个动点（不与点A 、C 重合），过点P 作平行于x 轴的直线l 交BC 于点Q ，那么在x 轴上是否存在点R ，使得△PQR 为等腰直角三角形？若存在，求出点R 的坐标；若不存在，请说明理由．
25．已知抛物线经过点 A (0, 4)、B (1, 4)、C (3, 2)，与x 轴正半轴交于点D . （1）求此抛物线的解析式及点D 的坐标；
（2）在x 轴上求一点E , 使得△BCE 是以BC 为底边的等腰三角形；
第23题
x
（3沿FG 翻折得到△E x 的取值范围.
24. A （0，2（1）求点B 的坐标；（2）求抛物线的解析式；
（3）在抛物线上是否还存在点P （点B 除外），使△ACP 仍然是以AC 为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
24．已知：二次函数y=ax 2-x+c 的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，对称轴是直线x=
2
1，
且图象向右平移一个单位后经过坐标原点O.
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）求△ABC 的外接圆圆心D 的坐标及⊙D 的半径；（3）设⊙D 的面积为S,在抛物线上是否存在点M ，使得S △ACM =
125S π
，若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说
明理由.
24．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线 y ＝－x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两
点（点A 在
点B 的左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D ，且点B 的坐标为（1，0），点C 的坐标为（0，3）．（1）求抛物线及直线AC 的解析式；
（2）E 、F 是线段AC 上的两点，且∠AEO ＝∠ABC ，过点F 作与y 轴平行的直线交抛物线于点M ，交x 轴于点N ．当MF =DE 时，在x 轴上是否存在点P ，使得以点P 、A 、F 、M 为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点Q 是位于抛物线对称轴左侧图象上的一点，试比较锐角∠QCO
与∠BCO 的大小（直接写出结果，不要求写出求解过程，但要写
出此时点 Q 的横坐标x 的取值范围）．
25. 在平面直角坐标系中，抛物线c bx ax y ++=2的对称轴为x=2,且经过B （0，4），
C （5，9），直线BC 与x 轴交于点A. （1）求出直线BC 及抛物线的解析式.
（2）D （1，y ）在抛物线上，在抛物线的对称轴上是否存在两点M 、N ，且MN=2 ，点M 在点N 的上方，使得四边形
BDNM 的周长最小，若存在，求出M 、
N 两点的坐标，若不存在，请说明理由. （3）现将直线BC 绕B 点旋转与抛物线相交于另一点P ，请找出抛物线上所有满足到直线BC 距离为P ． 24．（本小题满分7分）
如图，抛物线两点轴交于与B A x bx ax
y ,32
-+=，与y 轴
交于点C ，且OA OC OB 3==．
（I ）求抛物线的解析式；
（II ）探究坐标轴上是否存在点P ，使得以点C A P ,,为顶点的三角形为直角三角形？
若存在，求出P 点坐标，若不存在，请说明理由；
（III ）直线13
1+-
=x y 交y 轴于D 点，E 为抛物线顶点．若
α=∠DBC ，βαβ-=∠求,CBE 的值．
24．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A B 、两点（点A 在点B 的左侧），过点A 的直线
1y kx =+交抛物线于点()2,3C ．
（1）求直线A C 及抛物线的解析式；（2）若直线1y kx =+与抛物线的对称轴交于点E ，以点E 为中心将直线1y kx =+顺时针旋转90︒得到直线l ，设直线l 与y 轴的交点为P ，求APE ∆的面积；
（3）若G 为抛物线上一点，是否存在x 轴上的
点F ，使以B E F G 、、、为顶点的四边形为平行四边形，若存在，直接写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．
24.已知抛物线2
y x bx c =++经过点A(0,5)和B(3,2)点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)现有一半径为1，圆心P 在抛物线上运动的动圆，问当 P 在运动过程中，是否存在 P 与坐标轴相切的情况？
若存在，请求出圆心P 的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)若
Q 的半径为r ，点Q 在抛物线上，当 Q 与两坐标轴都相切时，求半径r 的值.。