12.振动与波

x1 A1 cos( t 1 )
x2 A2 cos( t 2 )
两振动的位相差 2 1 =常数
第12章 振动与波
x x1 x2 A A1 A2 2 A1 A2 cos( 2 1 ) A A1 sin 1 A2 sin 2 A2 tan 2 A1 cos1 A2 cos 2 A
,T ,
由
2π 角频率 2π T
都表示简谐运动的周期性，反映振动的快慢.
2
k m
弹簧振子周期 T 2π
m k
第12章 振动与波 振幅和初相位
振幅:质点在振动过程中离开平衡位置最大位移的绝对值
x A cos(t ) v A sin(t )
第12章 振动与波 例1 在室温下，已知空气中的声速 u1 为340 m·-1，水中的声速 u2 为1 450 m·-1，求 s s 频率为200 Hz和2 000 Hz 的声波在空气中 和水中的波长各为多少？ 解 由 u ，频率为200 Hz和2 000 Hz 的声波在 空气中的波长
F mg
当货轮向下移动x时
c
o
c
mg
mg
x
x
F合 mg F mg ( F gSx) d 2x F合 gSx m 2 dt
第12章 振动与波
d x gS x0 2 dt m
2
令 2 gS
m
d 2x 2x 0 得： dt 2
振幅
(弹簧振子振动的运动方程)
初位相
速度:
dx v A sin(t ) dt
d2 x 2 2 加速度: a 2 A cos(t ) x dt
第12章 振动与波
简谐振动的描述和特征
1）物体受线性回复力作用
2）简谐振动的微分方程 3）简谐振动的振动方程
A2 y x A1
o
A1
x
第12章 振动与波 2 2 x y 2 xy 2 2 cos( 2 1 ) sin ( 2 1 ) 2 A1 A2 A1 A2
2） 2 1 π
3） 2 1 π 2
A2 y x A1
y
A2
o
A1
x
x y 2 1 2 A1 A2
第12章 振动与波 2 纵波（又称疏密波）
特点：质点的振动方向与波传播方向一致 例如：弹簧波、 声波
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2
第12章 振动与波
12.6.3 描述波动过程的物理量 1 波长
沿波的传播方向，两个相邻的、相位差 为 2 的振动质点之间的距离，即一个完 整波形的长度.
A O A
y
u


x
第12章 振动与波 横波：相邻 波峰——波峰 波谷—— 波谷
第12章 振动与波 12.1 简谐振动
12.1.1概述
机械振动 物体在一定位置附近的来回重复的运动.
任一物理量在某一定值附近往复变化均称为振动. 简谐振动 最简单、最基本的振动.
简谐运动
合成
分解
复杂振动
第12章 振动与波
12.1.2、弹簧振子
弹簧振子的振动
l0
k
x0 F 0
m
A
o
x
A
第12章 振动与波
解：由题可知，两振动是振动方向相同、频率 相同的简谐振动。合振动仍是简谐振动，设为
第12章 振动与波
x A cos(t )
合振动的振幅为 A
2 A12 A2 2 A1 A2 cos( 2 1 )
A1 sin 1 A2 sin 2 4 合振动的初相位为 arctan A1 cos1 A2 cos 2 3 4 合振动为 x 2 cos( 3t ) 3
弹簧振子的总的机械能:
1 2 E Ek Ep kA 2
第12章 振动与波
弹簧振子在振动过程中，系统的动能和势能都随时 间发生周期性变化，但动能和势能的总合保持为一个常 量，即作简谐运动的系统机械能守恒. E
1 kA 2 2
Ek
Ep
o
T
4
T
2
3T
4
T
t
简谐运动能量图
第12章 振动与波 12.4 振动的合成 12.4.1两个同方向同频率简谐运动的合成 设一质点同时参与两独立的同方向、同频 率的简谐振动：
· ·· · ·· · · · ·· · · · · · · t= T/2 · · · · · ·· ·
·· · · · · · · · · · · · · · 3T/4 · · · · ·· t= · ·· · ··· · · · · · ·· ·t = T · ·· ·· ···· · ·· · ·
2(m)
第12章 振动与波
12.4.3振动方向相互垂直、频率相同的简谐振动的合成
x A1 cos(t 1 ) y A2 cos(t 2 )
质点运动轨迹 （椭圆方程）
x 2 y 2 2 xy 2 cos( 2 1 ) sin 2 ( 2 1 ) 2 A1 A2 A1 A2 y A2 讨论 1） 2 1 0 或 2π


a 0.24 ( ) cos( 1 ) 0.513(m / s 2 ) 2 2 3
2



第12章 振动与波 相位
在 x A cos( t )中，t
称为振动的相位.
即其决
1） t x ，存在一一对应的关系; 定质点在时刻的t的位置.
2）初相位

x
A/ 2
第12章 振动与波
12.1.6 简谐振动的能量
1 1 2 2 2 2 动能: Ek mv m A sin (t ) 2 2
由
k/m
2
1 2 2 E k kA sin (t ) 2
1 2 1 2 2 势能: Ep kx kA cos (t ) 2 2
初始条件
t 0 x x0 v v0
x0 A cos
2 A x0

2 v0 2
v0 A sin
v0 t an x0
对给定振动系统，周期由系统本身性质决定， 振幅和初相由初始条件决定.
第12章 振动与波
[例]一物体作简谐振动，振幅为0.24m，振动周期为 4S,开始时物体位于0.12m，向负方向运动。求 （1）物体的振动方程； （2）t=1.0s时物体的位置、速度、加速度。
F kx 平衡位置 x 0
d2 x 2 x 0 2 dt
x A cos(t )
v A sin(t )
4）加速度与位移成正比而方向相反 弹簧振子
a x
2
km
第12章 振动与波
[例1]一远洋货轮，质量m=2.0×104T，浮在水面时 其水平截面S= 2.0×103m2，设在水面附近货轮的截 面积与船体的高度无关，证明此货轮在水中的铅直 自由运动是简谐振动。 F F 解：在平衡位置
x A cos(t )
矢量 A的
端点在 轴上的投 影点的运
旋转
x
动为简谐
运动.
第12章 振动与波
[例] 试用旋转矢量法求简谐振动在下列情况下的初位 相：（1）起始时物体处于平衡位置，向正方向运动； （2）起始时物体位移为A/2，且向负方向运动。 解：（1）



2
A
x
A
（2）
3
F mg k ( x L) mg kx kL F kx 物体作简谐振动
o x
m m
x
12.1.1 简谐振动的物理量
周期(T):振动往复一次所需时间.
x A cos(t ) A cos[(t T ) ] A cos(t T ) 1 2π 周期：T 频率 T 2π
第12章 振动与波
12.6.2 机械波的分类
1 横波
特点： 波传播方向上各点的振动方向与波传播方向垂直
第12章 振动与波
0 · · 4 · · · · · · · ··· t = 0 · · · 8 · 12 · 16 ·20 · · · · · · ·
·· ·· · · · · · · · ·· · · t = T/4 · · · · · · · · ··
例如，声波在空气中 340 m s 1
水 中 1 500 m s 1 钢铁中 5 000 m s
1
决定于介质的弹性（弹性模量）和惯性（密度）
第12章 振动与波 四个物理量的联系
1 T
注意
u

T

u Tu
周期或频率只决定于波源的振动
波速只决定于介质的性质
2 1 2k π
A A1 A2
(k 0 ， 1， )
相互加强
2）相位差 2
1 (2k 1)π (k 0 ， 1， )
A A1 A2
3）一般情况
相互削弱
A1 A2 A A1 A2
4 [例1]求振动 x1 5 cos( 3t ) 和 x2 7 cos( 3t )( m) 3 3 的合振动
解： (1)设简谐振动方程为： x A cos(t )
2 , t 0, x 0.12 m 代入上式得 由 T 2 0.12 0.24cos ,即cos 0.5

3
由题意已知A=0.24m，只要求出
, 即可