2019年数学分析教案(华东师大版)第十章定积分的应用.doc
数学分析第十章 定积分的应用
x x(t) y y(t)
t [, ]
给出,在[, ]上y(t)连续, x(t)连续可微,
且x'(t) 0,记a x( ),b x( ),则
曲边梯形的面积
A y(t)x' (t) dt.
例2
求椭圆 x2 a2
y2 b2
1的面积.
解
椭圆的参数方程
x y
a cos t bsin t
对一个立体,如果知道该立体上垂直于一 定轴的各个截面面积,那么,这个立体的体积 也可用定积分来计算.
如图,设 A( x)
表示过点 x且 a o
垂直于 x轴的
x
bx
截面面积。
A( x)为 x的已知连续函数,
取积分变量为 x,变化范围[a,b]
相应于[a, b]上的任一小区间[ x, x dx],
立体位于该小区间部分而成的薄片的体积近似看成是 以 A(x) 为底面积、 dx 为高的扁圆柱体的体积,即
1.由连续曲线
y f ( x)( f ( x) 0)、x 轴与两条直线 x a、 x b所围成的平面图形
的面积。
y
y f (x)
oa
bx
2.如果y=f(x)在[a,b]上不都是非负时,如下图
数学分析教案_(华东师大版)上册全集_1-10章
第一章实数集与函数导言数学分析课程简介( 2 学时)一、数学分析(mathematical analysis)简介:1.背景: 从切线、面积、计算sin、实数定义等问题引入.322.极限( limit ) ——变量数学的基本运算:3.数学分析的基本内容:数学分析以极限为基本思想和基本运算研究变实值函数.主要研究微分(differential)和积分(integration)两种特殊的极限运算,利用这两种运算从微观和宏观两个方面研究函数, 并依据这些运算引进并研究一些非初等函数. 数学分析基本上是连续函数的微积分理论.微积运算是高等数学的基本运算.数学分析与微积分(calculus)的区别.二、数学分析的形成过程:1.孕育于古希腊时期:在我国,很早就有极限思想. 纪元前三世纪, Archimedes就有了积分思想.2.十七世纪以前是一个漫长的酝酿时期,是微积分思想的发展、成果的积累时期.3.十七世纪下半叶到十九世纪上半叶——微积分的创建时期.4.十九世纪上半叶到二十世纪上半叶——分析学理论的完善和重建时期:三、数学分析课的特点:逻辑性很强, 很细致, 很深刻; 先难后易, 是说开头四章有一定的难度, 倘能努力学懂前四章(或前四章的), 后面的学习就会容易一些; 只要在课堂上专心听讲, 一般是可以听得懂的, 但即便能听懂, 习题还是难以顺利完成. 这是因为数学分析技巧性很强, 只了解基本的理论和方法, 不辅以相应的技巧, 是很难顺利应用理论和方法的. 论证训练是数学分析课基本的,也是重要的内容之一, 也是最难的内容之一. 一般懂得了证明后, 能把证明准确、严密、简练地用数学的语言和符号书写出来,似乎是更难的一件事. 因此, 理解证明的思维方式, 学习基本的证明方法, 掌握叙述和书写证明的一般语言和格式, 是数学分析教学贯穿始终的一项任务.有鉴于此, 建议的学习方法是: 预习, 课堂上认真听讲, 必须记笔记, 但要注意以听为主, 力争在课堂上能听懂七、八成. 课后不要急于完成作业, 先认真整理笔记, 补充课堂讲授中太简或跳过的推导, 阅读教科书, 学习证明或推导的叙述和书写. 基本掌握了课堂教学内容后, 再去做作业. 在学习中, 要养成多想问题的习惯.四、课堂讲授方法:1.关于教材及参考书:这是大学与中学教学不同的地方, 本课程主要从以下教科书中取材:[1]华东师范大学数学系编,数学分析,高等教育出版社,2001;[2]刘玉琏傅沛仁编,数学分析讲义,高等教育出版社,1992;[3]谢惠民,恽自求等数学分析习题课讲义,高等教育出版社,2003;[4]马振民,数学分析的方法与技巧选讲,兰州大学出版社,1999;[5]林源渠,方企勤数学分析解题指南,北京大学出版社,2003.2.本课程按[1]的逻辑顺序并在其中取材.本课程为适应教学改革的要求,只介绍数学分析最基本的内容,并加强实践环节,注重学生的创新能力的培养。
10数学分析教案-(华东师大版)第十章定积分的应用平面图形的面积
第十章 定积分的应用§1 平面图形的面积在上一章开头讨论过由连续曲线y =f (x )(≥0),以及直线x =a ,x =b (a <b )和x 轴所围曲边梯形的面积为()b ba a A f x dx ydx ==⎰⎰,如果f (x )在[a ,b ]上不都是非负的,则所围图形的面积为|()|||b ba a A f x dx y dx ==⎰⎰,一般地,由上下两条连续曲线y =f 2(x )和y =f 1(x )以及两条直线x =a , x =b (a <b )所围的平面图形,它的面积计算公式为21[()()]b a A f x f x dx =-⎰ 例1 求由抛物线y ²=x 与直线x -2y -3=0所围平面图形的面积。
解 该平面图形如图所示。
先求出抛物线与直线的交点坐标(1,-1)、(9,3),用x =1把图形分成左右两部分,应用公式得11004(23A dx ===⎰⎰,921328]23x A dx -==⎰,所以A=A 1+A 2=32/3.本题还可以把抛物线方程和直线方程改成x =y ²,x =2y +3,y ∈[1,3],改取积分变量为y ,便得32132[23]3A y y dy -=--=⎰。
设曲线C 由参数方程x=x(t),y=y(t),t ∈[α,β]给出,在[α,β]上y(t)连续,x=x(t)连续可微且x'(t)≠0(对x(t)连续,y=y(t)连续可微且y'(t)≠0的情形可类似讨论),记a=x(α),b=x(β)(a<b 或a>b),则由曲线C 及直线x =a 、x =b 和x 轴所围的图形,其面积计算公式为|()()|A y t x t dt βα'=⎰ 例2 求由摆线x=a(t-sint),y=a(1-cost)(a>0)的一拱与 x 轴所围平面图形的面积.解 摆线的一拱可取t ∈[0,2π],所求面积为2222200(1cos )[(sin )](1cos )3A a t a t t dt a t dt a πππ'=--=-=⎰⎰ 如果由参数方程表示的曲线x=x(t),y=y(t),t ∈[α,β]是封闭的,既有x(α)=x(β),y(α)=y(β),且在(α,β)上曲线自身不再相交,那么由曲线自身所围成的图形面积为|()()|A y t x t dt βα'=⎰(或|()()|A x t y t d t βα'=⎰),此公式可由前面推出,绝对值内的积分,其正负由曲线x=x(t),y=y(t),t ∈[α,β]的旋转方向所确定。
数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第十章
数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第十章第十章 定积分的应用一、 填空题 1. 求曲线8,2222=+=y x x y 所围成图形面积A (上半平面部分),则A =2. 曲线xxe y e y -==,及1=x 所围面积A =3. 曲线θθcos 1,cos 3+==r r 所围面积A = 4. 曲线)0(>=λλθae r 从0=θ到αθ=一段弧长S =5. 曲线⎩⎨⎧-=+=)cos (sin )sin (cos t t t a y t t t a x 从0=t 到π=t 一段弧长S =6. 均匀摆线)0(cos 1sin π≤≤⎩⎨⎧-=-=t t y tt x ,弧长4=S ,则其重心坐标是 7. 曲线0,0),0(==≤=y x x ey x所围图形绕Ox 轴旋转所得旋转体的体积为 ;而绕Oy 轴旋转所得旋转体的体积为 8. 抛物线)(a x x y -=与直线x y =所围图形的面积为9. 在抛物线24x y =上有一点P ,已知该点的法线与抛物线所围成的弓形面积为最小,则P 点的坐标是 10.设有一内壁形状为抛物面22y xz +=的容器,原来盛有)(83cm π的水,后来又入注)(643cm π的水,设此时水面比原来提高了hcm ,则h =11.由曲线,2,1=+=x x x y 及2=y 所围图形的面积S = 曲线xx xy 223++-=与x 轴所围成的图形的面积A =二、选择填空题1. 曲线)0(ln ,ln b a a y x y <<==与y 轴所围成图形的面积为A ,则A =( ) (A )⎰baxdxln ln ln (B )⎰bae ex dxe (C)⎰b ay dye ln ln(D )⎰b a e e xdxln2.曲线x y x y ==,1,2=x 所围成的图形面积为A ,则A =( ) (A )dx x x)1(21-⎰(B )dx x x )1(21-⎰ (C )⎰⎰-+-2121)2()12(dyy dy y(D )⎰⎰-+-2121)2()12(dxx dx x3.曲线xe y =下方与该曲线过原点的切线左方及y 轴右方所围成的图形面积A =( )(A )dxex ex)(10-⎰(B )dy y y y e )ln (ln 1-⎰(C )dxxe e ex x )(1⎰-(D )dy y y y )ln (ln 10-⎰4.曲线)0(cos 2>=a a r θ所围图形面积A =( ) (A)()θθπd a 220cos 221⎰(B )θθππd a ⎰-2cos 221(C)()θθπd a 220cos 221⎰(D )()θθπd a 220cos 2212⎰5.曲线πθπθθ=-==,,ae r 所围图形面积A =( )(A)⎰πθθ02221d e a(B )⎰πθθ20222d e a (C)⎰-ππθθd e a 22(D )⎰-ππθθd e a 2226.曲线θθ2cos ,sin 22==r r 所围图形面积A =( )(A )()()⎰⎰+-222121212cos 2sin 2θθθθd d(B )()()⎰⎰+46262cos sin 2πππθθθθd d (C )()()⎰⎰+462602cos 21sin 221πππθθθθd d(D )()()⎰⎰+462602cos sin 22πππθθθθd d7.曲线()21ln x y -=上210≤≤x 一段弧长S =( ) (A)dx x ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-+2102111(B )⎰-+212211dx x x(C )dx x x ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛--+2102121 (D )dxx ⎰-+21022])1[ln(18.摆线)0()cos 1()sin (>⎩⎨⎧-=-=a t a y t t a x 一拱与x 轴所围图形绕x 轴旋转,所得旋转体的体积=V ( ) (A )()⎰-ππ2022cos 1dt t a(B )())]sin ([cos 12202t t a d t a a--⎰ππ(C )()⎰--ππ2022)]sin ([cos 1t t a d t a(D )()⎰-adt t a ππ2022cos 19.星形线⎪⎩⎪⎨⎧==ta y t a x 33sin cos 的全长S =( )(A )⎰-⋅202)sin (cos 3sec 4πdtt t a t(B )⎰-⋅022)sin (cos3sec 4πdtt t a t (C )⎰-⋅π02)sin (cos 3sec 2dtt t a t (D )⎰-⋅02)sin (cos 3sec 2πdtt t a t10.心形线)cos 1(4θ+=r 与直线2,0πθθ==围成图形绕极轴旋转的旋转体体积 =V ( ) (A )⎰+202)cos 1(16πθθπd(B )⎰+2022sin )cos 1(16πθθθπd(C )⎰++2022]cos )cos 1(4[sin )cos 1(16πθθθθπd(D )⎰++0222]cos )cos 1(4[sin )cos 1(16πθθθθπd11.两个半径为a 的直交圆柱体所围的体积为V=( )(A )⎰-adxx a 022)(4 (B )⎰-adx x a 022)(8(C )⎰-a dxx a 022)(16 (D )⎰-adx x a 022)(212.矩形闸门宽a 米,高h 米,垂直放在水中,上沿与水面齐,则闸门压力p =( ) (A )⎰h ahdh 0(B )⎰a ahdh 0(C )⎰hahdh 021(D )⎰h ahdh 0213.横截面为S ,深为h 的水池装满水,把水全部抽到高为H 的水塔上,所作功=W ( )(A )⎰-+h dy y h H S 0)( (B )⎰-+H dy y h H S 0)((C )⎰-h dy y H S 0)( (D )⎰+-+H h dy y h H S 0)(14.半径为a 的半球形容器,每秒灌水b ,水深)0(a h h <<,则水面上升速度是( )(A )⎰hdy y dh d2π (B )⎰--h dy a y a dhd 022])([π(C )⎰h dy y dh d b2π (D )⎰-h dy y ay dhd b02)2(15.设)(),(x g x f 在区间[]b a ,上连续,且m x g x f <<)()((m为常数),则曲线b x a x x f y x g y ====,),(),(所围平面图形绕直线m y =旋转而成的旋转体体积为( )(A )⎰-+-b adx x g x f x g x f m )]()()][()(2[π(B )⎰---b adx x g x f x g x f m )]()()][()(2[π(C )⎰-+-b adx x g x f x g x f m )]()()][()([π(D )⎰---b adx x g x f x g x f m )]()()][()([π三、计算题1.求抛物线2x y =与2x 2y -=所围图形的面积。
数学分析教案(华东师大版)上册全集1-10章
第一章实数集与函数导言数学分析课程简介( 2 学时 )一、数学分析(mathematical analysis)简介:1.背景: 从切线、面积、计算sin、实数定义等问题引入.322.极限 ( limit ) ——变量数学的基本运算:3.数学分析的基本内容:数学分析以极限为基本思想和基本运算研究变实值函数.主要研究微分(differential)和积分(integration)两种特殊的极限运算,利用这两种运算从微观和宏观两个方面研究函数, 并依据这些运算引进并研究一些非初等函数. 数学分析基本上是连续函数的微积分理论.微积运算是高等数学的基本运算.数学分析与微积分(calculus)的区别.二、数学分析的形成过程:1.孕育于古希腊时期:在我国,很早就有极限思想. 纪元前三世纪, Archimedes就有了积分思想.2.十七世纪以前是一个漫长的酝酿时期,是微积分思想的发展、成果的积累时期.3.十七世纪下半叶到十九世纪上半叶——微积分的创建时期.4.十九世纪上半叶到二十世纪上半叶——分析学理论的完善和重建时期:三、数学分析课的特点:逻辑性很强, 很细致, 很深刻; 先难后易, 是说开头四章有一定的难度, 倘能努力学懂前四章(或前四章的), 后面的学习就会容易一些; 只要在课堂上专心听讲, 一般是可以听得懂的, 但即便能听懂, 习题还是难以顺利完成. 这是因为数学分析技巧性很强, 只了解基本的理论和方法, 不辅以相应的技巧, 是很难顺利应用理论和方法的. 论证训练是数学分析课基本的,也是重要的内容之一, 也是最难的内容之一. 一般懂得了证明后, 能把证明准确、严密、简练地用数学的语言和符号书写出来,似乎是更难的一件事. 因此, 理解证明的思维方式, 学习基本的证明方法, 掌握叙述和书写证明的一般语言和格式, 是数学分析教学贯穿始终的一项任务.有鉴于此, 建议的学习方法是: 预习, 课堂上认真听讲, 必须记笔记, 但要注意以听为主, 力争在课堂上能听懂七、八成. 课后不要急于完成作业, 先认真整理笔记, 补充课堂讲授中太简或跳过的推导, 阅读教科书, 学习证明或推导的叙述和书写. 基本掌握了课堂教学内容后, 再去做作业. 在学习中, 要养成多想问题的习惯.四、课堂讲授方法:1.关于教材及参考书:这是大学与中学教学不同的地方, 本课程主要从以下教科书中取材:[1]华东师范大学数学系编,数学分析,高等教育出版社,2001;[2]刘玉琏傅沛仁编,数学分析讲义,高等教育出版社,1992;[3]谢惠民,恽自求等数学分析习题课讲义,高等教育出版社,2003;[4]马振民,数学分析的方法与技巧选讲,兰州大学出版社,1999;[5]林源渠,方企勤数学分析解题指南,北京大学出版社,2003.2.本课程按[1]的逻辑顺序并在其中取材.本课程为适应教学改革的要求,只介绍数学分析最基本的内容,并加强实践环节,注重学生的创新能力的培养。
华东师范大学数学系《数学分析》(上)笔记和课后习题(含真题)详解(定积分的应用)
第10章 定积分的应用10.1 复习笔记一、平面图形的面积由连续曲线()(0)y f x =≥,以及直线,()x a x b a b ==<和x 轴所围曲边梯形的面积为()b baaA f x dx ydx ==⎰⎰如果()f x 在[,]a b 上不都是非负的,则所围图形的面积为()b baaA f x dx y dx ==⎰⎰一般地,由上、下两条连续曲线2()y f x =与1()y f x =以及两条直线,()x a x b a b ==<所围的平面图形(图l0-1),它的面积计算公式为21[()()]baA f x f x dx =⎰-图10-1二、由平行截面面积求体积 1.立体体积的一般计算公式 设为三维空间中的一立体,它夹在垂直于x 轴的两平面x =a 与x =b 之间(a <b ),称为位于[a,b]上的立体,若在任意一点x∈[a,b]处作垂直于x轴的平面,它截得的截面面积是关于x的函数,记为A(x),并称之为的截面面积函数(见图10-2),设A(x)是连续函数.图10-2 图10-3对[a,b]作分割过各个分点作垂直于x轴的平面x=xi,i=1,2,…,n,它们把分割成n个薄片,i=1,2,…,n任取那么每一薄片的体积(见图10-3)于是由定积分的定义和连续函数的可积性,当时,上式右边的极限存在,即为函数A (x)在[a,b]上的定积分,于是立体的体积定义为2.旋转体的体积a b上的连续函数,Ω是由平面图形设f是[,]≤≤≤≤0|||f(x)|,ay x b绕x轴旋转一周所得的旋转体,那么易知截面面积函数为2()[()],[,]A x f x x a b π=∈得到旋转体Ω的体积公式为2=[()]baV f x dxπ⎰三、平面曲线的弧长与曲率 1.平面曲线的弧长 (1)定义①如果存在有限极限ss T T =→0||||lim即任给0ε>,恒存在0δ>,使得对C 的任意分割T ,只要||||T δ<,就有|s |T s ε-<则称曲线C 是可求长的,并把极限s 定义为曲线C 的弧长.②设曲线AB 是一条没有自交点的闭的平面曲线.在AB 上任取点P ,将AB 分成两段非闭曲线,如果AP 和PB 都是可求长的,则称AB 是可求长的,并把AP 的弧长和PB 的弧长的和定义为AB 的弧长.③设曲线C 由参数方程(),(),[,]x x t y y t t αβ==∈给出.如果(t)x 与()y t 在[,]αβ上连续可微,且'()x t 与'()y t 不同时为零,即''()()0x t y t +≠,],[βα∈t ,则称C 为一条光滑曲线.(2)定理设曲线C 是一条没有自交点的非闭的平面曲线,由参数方程(),(),[,]x x t y y t t αβ==∈ (10-1)给出.若()x t 与()y t 在[,]αβ上连续可微,则C 是可求长的,且弧长为'2'2[()][()]s x t y t dt βα=+⎰ (10-2)(3)性质设AB 是一条没有自交点的非闭的可求长的平面曲线.如果D 是AB 上一点,则和AD 和DB 也是可求长的,并且AB 的弧长等于AD 的弧长与DB 的弧长的和.2.曲率 (1)定义如图10-4,设()t α表示曲线在点((),())P x t y t 处切线的倾角,==()()t t t ααα∆+∆-表示动点由P 沿曲线移至))(),((t t y x t x Q ∆+∆+时切线倾角的增量,若PQ 之长为s ∆,则称||K sα-∆=∆为弧段PQ 的平均曲率.如果存在有限极限|||lim ||lim |00dsd s s K s t ααα=∆∆=∆∆=→∆→∆则称此极限K 为曲线C 在点P 处的曲率.图10-4(2)计算公式设曲线C 是一条光滑的平面曲线,由参数方程(10-1)给出,则曲率的计算公式为2322)(||''''''''y x y x y x K +-=若曲线由()y f x =表示,则相应的曲率公式为2''3'2||(1+y )y K =四、旋转曲面的面积1.设平面光滑曲线C 的方程为(),[,]y f x x a b =∈(不妨设()0f x ≥),这段曲线绕x 轴旋转一周得到旋转曲面的面积为2(baS f x π=⎰2.如果光滑曲线C 由参数方程(),(),[,]x x ty y t t αβ==∈给出,且()0y t ≥,那么由弧微分知识推知曲线C 绕x 轴旋转所得旋转曲面的面积为2(S y t βαπ=⎰五、定积分的近似计算 1.梯形法公式121()(...)22bn n ay y b a f x dx y y y n --=+++++⎰2.抛物线法公式(辛普森Simpsom 公式)021*******()[4(...y )2(...)]6bn n n ab af x dx y y y y y y y n---≈+++++++++⎰10.2 课后习题详解§1 平面图形的面积1.求由抛物线y =x 2与y =2-x 2所围图形的面积.解:该平面图形如图10-1所示.两条曲线的交点为(-1,1)和(1,1),所围图形的面积为图10-12.求由曲线与直线所围图形的面积.解:该平面图形如图10-2所示.所围图形的面积为。
数学分析定积分应用讲课文档
y
星形线
(圆内旋轮线)
一圆沿另一圆内缘无滑动地
滚动,动圆圆周上任一点
P
所画出的曲线。
2
2
2
x3 y3 a3
或
. . –a
o
ax
x a cos 3
y
a
sin
3
0 2 .
第三十一页,共83页。
例3 求曲线y段 x2,x[0,1],与直线 y0, x1所围图形分x轴 别, y绕 轴旋转所得旋 转体体积。
一拱与 y 0所围成的图形分别绕 x轴、y轴旋转
构成旋转体的体积.
y( x)
解 绕 x 轴 旋 转 的 旋 转 体 体 积
Vx
2a
y2
(x)dx
0
a
2a
2 a 2 (1 cto )2a s (1 cto )dst 0
a 32 ( 1 3 cto 3 c s2 o t c s3 o t) d s5t2a3. 0
[x, x+dx] (区间微元),
用A表示[x, x+dx]上的小曲边梯形的面积, (2) 近似. 计算A的近似值 Af(x)dx
并记dA f(x)dx称为面积面微元积y元素yfx
(3) 求和. (4) 求极限.
则 Aa bf(x)d x
0 a x x+dx b x
这种方法通常称为微元法或元素法
第四页,共83页。
4ab2.
3
(3) 绕y c旋转所得旋转体体积
d c V a ba2x2c 2 a ba2x2c 2 dx
dV c 4baca2x2dx
2c a.b
V c4a b2 c0 a第三十五a 页,2 共8 3页。 x2d x22ab . c
定积分的应用通用课件
计算需求弹性
总结词
定积分在计算需求弹性方面具有重要应用,帮助企业了解市场需求并制定相应的营销策 略。
详细描述
需求弹性是衡量市场需求对价格变动敏感度的指标,对于企业的定价和营销策略具有指 导意义。通过定积分,可以将需求函数转化为弹性函数,从而帮助企业了解市场需求并
制定相应的营销策略。
预测市场趋势和销售量
详细描述
分部积分法的关键是选择合适的函数对,使得其中一个函数的导数容易计算, 而另一个函数的原函数容易找到。通过分部积分法,可以将复杂的定积分转化 为简单的定积分,从而简化计算过程。
03
定积分在几何学中的应用
计算平面图形的面积
01 矩形面积
对于任意长度a和宽度b的矩形,其面积A=a×b。
02 圆形面积
06
定积分在其他领域的应用
在信号处理中的应用
信号的强度变化
定积分可以用来计算信号的强度 变化,例如声音信号的振幅变化
。
信号的平滑处理
通过定积分,可以对信号进行平滑 处理,消除噪声和干扰,提高信号 质量。
信号的滤波
定积分可以用于信号的滤波,例如 低通滤波器和高通滤波器的设计。
在控制系统中的应用
控制系统的稳定性分析
定积分的应用通用课 件
目录
• 定积分的概念与性质 • 定积分的基本计算方法 • 定积分在几何学中的应用 • 定积分在物理学中的应用 • 定积分在经济学中的应用 • 定积分在其他领域的应用
01
定积分的概念与性质
定积分的定义
定积分是积分的一种,是函数在某个区间上的积分和的 极限。定积分常用于计算平面图形的面积、体积、平面 曲线的长度等。
控制系统的误差分析
定积分可以用来分析控制系统的稳定 性,例如判断系统的收敛性和稳定性 。
定积分的几何应用课件
电场中的电势
总结词
定积分可计算电场中的电势
详细描述
在静电场中,电势差与电场强度成正比。通过定积分可以计算出 某一点处的电势,即对电场强度进行积分。
公式表示
电势 = ∫E·dl
05
定积分的近似计算
方法
矩形法
总结词
矩形法是一种简单直观的定积分近似计算方法,通过将积分 区间划分为若干个小的矩形,然后求和来逼近定积分。
详细描述
辛普森法则是梯形法的一种改进,它考虑了函数在积分区间的整体变化趋势,将 积分区间分成若干个小的子区间,然后在每个子区间上应用梯形法来逼近定积分 。辛普森法则的精度比矩形法和梯形法更高,但计算量也相对较大。
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3
曲边三角形面积的近似计算
在无法直接计算定积分的情况下,可以使用近似 方法计算曲边三角形的面积,如矩形法、梯形法 等。
任意图形的面积
任意图形面积的计算
01
通过定积分计算任意图形的面积,首先需要找到图形的边界曲
线表达式,然后确定上下限,最后计算定积分。
任意图形面积的几何意义
02
任意图形面积表示的是边界曲线围成的平面区域面积。
详细描述
矩形法的基本思想是将积分区间分成若干个小的矩形,每个 矩形的宽度为小区间的宽度,高度为函数在相应小区间的平 均值。然后,将这些矩形的面积加起来,得到的就是定积分 的近似值。
梯形法
总结词
梯形法是一种基于几何直观的定积分近似计算方法,通过将积分区间划分为若干个小的梯形,然后求 和来逼近定积分。
围绕旋转轴旋转的平面图形被称为 旋转面。
旋转体的体积公式
圆柱的体积公式
V = πr²h,其中r是底面半径,h是高。
数学分析-定积分应用
2018/8/27
6
微元法 (Element Method)
例1. 写出长为 l 的非均匀细直棒质量的积分表达式,
任一点的线密度是长度的函数。 解:建立坐标如图, 设任意点x的密度为 ( x ) o
x x+dx
l
x
( x ) C
关键 ( x ) 变量!
step2. 质量 M ( x)dx
2018/8/27 9
一、直角坐标系情形
y
y f ( x)
y
y f2 ( x) y f1 ( x )
o
a
x x x
b x
o
a x
x x
b x
曲边梯形的面积
由y=f1(x)和y=f2(x)围成的面积:
dA f ( x )dx
A2018/8/27 a f ( x )dx
第十章 定积分应用
y
y=f (x)
0
a
x x+dx
b
x
2018/8/27
1
第一节 定积分的元素法
一、问题的提出 定积分概念的出现和发展都是由实际问题引起和 推动的。因此定积分的应用也非常广泛。本书主要介
绍几何、物理上的应用问题,例如:平面图形面积,
曲线弧长,旋转体体积,水压力,抽水做功,引力等。
如何应用定积分解决实际问题_____微元法:
2
a
0
4ab sin2 tdt ab.
0
2018/8/27 16
2
二、极坐标系情形
曲边扇形是由曲 线rj()及射线 , 所围成 的图形
dA
d
图形是曲边扇(梯)形
r =j( )
定积分的应用教案
定积分的应用教案第一章:定积分的概念1.1 引入定积分的概念解释定积分是求曲线下的面积的方法强调定积分是极限的概念1.2 定积分的几何意义利用图形解释定积分表示曲线下的面积探讨定积分与区间的关系1.3 定积分的性质介绍定积分的四则运算讲解定积分的奇偶性第二章:定积分的计算方法2.1 定积分的标准公式介绍定积分的标准公式强调积分常数的存在2.2 定积分的换元法讲解定积分的换元法步骤举例说明换元法的应用2.3 定积分的分部积分法介绍定积分的分部积分法探讨分部积分法的应用第三章:定积分在几何中的应用3.1 求曲线的弧长利用定积分求曲线的弧长强调弧长公式的应用3.2 求曲面的面积引入曲面的面积概念利用定积分求曲面的面积3.3 求旋转体的体积介绍旋转体的体积公式利用定积分求旋转体的体积第四章:定积分在物理中的应用4.1 定积分在力学中的应用利用定积分求物体的质心利用定积分求物体的转动惯量4.2 定积分在电磁学中的应用利用定积分求电场强度利用定积分求磁场强度第五章:定积分在经济学中的应用5.1 定积分在优化问题中的应用利用定积分求最大值和最小值问题强调优化问题的实际意义5.2 定积分在概率论中的应用利用定积分求概率密度函数的积分5.3 定积分在评价问题中的应用利用定积分求函数的最大值和最小值问题强调定积分在评价问题中的作用第六章:定积分在生物学中的应用6.1 定积分在生长模型中的应用引入生长模型,如细胞的分裂利用定积分描述生物体的生长过程6.2 定积分在药物动力学中的应用介绍药物在体内的浓度变化利用定积分求药物的动力学参数第七章:定积分在工程学中的应用7.1 定积分在力学工程中的应用利用定积分计算结构的受力情况探讨定积分在材料力学中的应用7.2 定积分在热力学中的应用利用定积分求解热传导方程强调定积分在热力学中的重要性第八章:定积分在计算机科学中的应用8.1 定积分在图像处理中的应用介绍图像处理中的边缘检测利用定积分计算图像的边缘利用定积分计算曲线的长度强调定积分在图形学中的作用第九章:定积分的数值计算9.1 梯形法则介绍梯形法则及其原理利用梯形法则进行定积分的数值计算9.2 辛普森法则介绍辛普森法则及其适用条件利用辛普森法则进行定积分的数值计算9.3 数值计算方法的比较比较梯形法则和辛普森法则的优缺点强调选择合适的数值计算方法的重要性第十章:定积分在实际问题中的应用10.1 定积分在资源管理中的应用利用定积分计算资源的总量探讨定积分在资源管理中的分配问题10.2 定积分在环境保护中的应用利用定积分计算污染物的浓度强调定积分在环境保护中的作用10.3 定积分在其他领域的应用探讨定积分在人口学、社会学等领域的应用强调定积分在解决实际问题中的重要性重点和难点解析重点一:定积分的概念与几何意义定积分是微积分中的一个重要概念,它表示的是曲线下的面积。
10-5——华东师范大学数学分析课件PPT
奇函数
( x Rsin t)
4R x R2 x2 R2 arcsin x R
2
2
R0
R3
数学分析 第十章 定积分的应用
高等教育出版社
O
x
y
xdx
R
x
§5 定积分在物理中的应用
引力
液体静压力
例2 一根长为 l 的均匀细
引力
y
功与功率
杆, 质量为 M, 在其中垂线
a
dFx
上相距细杆为 a 处有一质
dFy
dF
量为 m 的质点,试求细杆对 l / 2
O
质点的引力.
x l/2 x xdx
解 建立直角坐标系如图所示. 细杆位于 x 轴上的
l 2 ,l 2, 质点位于 y 轴上点 a .
任取
[ x , x Δx ] l 2 , l 2
数学分析 第十章 定积分的应用
高等教育出版社
§5 定积分在物理中的应用
dF
kqdQ
2
k rq
a2 r2
d .
a
d
r
z
把 dF 分解为 z 轴方向的分力 dFz 和水平方向的分
力dFt . 由于点电荷位于圆弧形导线的对称轴 Oz上,
数学分析 第十章 定积分的应用
高等教育出版社
§5 定积分在物理中的应用
液体静压力
引力
功与功率
且导线上的电荷密度恒为常数,因此水平方向分
力 dFt 互相抵消.而
P
3
2 x
9 x2dx 18 .
0
=g (比重=重力加速度 密度)
数学分析 第十章 定积分的应用
高等教育出版社
《定积分及其应用》课件
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在曲线上的积分。
曲线的转动惯量
总结词
通过定积分计算曲线的转动惯量
详细描述
转动惯量是描述物体转动难易程度的物理量。对于一个 均匀细长的物体,其转动惯量可以通过定积分来计算。 转动惯量等于质量分布相对于某一轴的转动惯量,等于 质量密度函数在物体质量分布上的积分。
05
定积分的经济应用
收益流的现值
总结词
收益流的现值是定积分在经济中的一个重要应用,它 可以帮助我们计算未来的现金流在当前的价值。
详细描述
在金融和经济学中,我们经常需要考虑未来的收益流 ,也就是未来的现金流。由于货币的时间价值,我们 需要将未来的现金流折现到现在的价值。定积分可以 用来计算这种折现的值。
投资决策问题
总结词
投资决策问题涉及到如何分配有限的资源以获得最大 的回报。定积分可以用来解决这类问题。
定积分的几何意义
总结词
定积分的值等于函数图像与x轴所夹的面积。
详细描述
定积分的值可以通过几何意义来解释,即定积分的值等于函数图像与x轴所夹的 面积。这个面积可以是正的、负的或零,取决于函数图像在给定区间上的上下 位置。
定积分的性质
总结词
定积分具有线性性质、可加性、可减性和区间可加性等性质。
详细描述
体积的计算
总结词
定积分在计算三维空间中物体体积的问 题中起到关键作用,特别是对于旋转体 和薄片绕旋转轴旋转形成的体积。
VS
定积分的应用教案
定积分的应用教案第一章:定积分的概念1.1 引入定积分的概念解释定积分的定义:定积分是函数在区间上的积累效果,表示为∫ab f(x)dx。
强调定积分表示的是函数在区间上的面积或长度。
1.2 定积分的性质介绍定积分的性质:线性性质、保号性、可积函数的有界性等。
通过示例说明定积分的性质在实际问题中的应用。
第二章:定积分的计算方法2.1 牛顿-莱布尼茨公式介绍牛顿-莱布尼茨公式:如果F(x) 是函数f(x) 的一个原函数,∫ab f(x)dx = F(b) F(a)。
解释原函数的概念:原函数是导函数的不定积分。
2.2 定积分的换元法介绍换元法的步骤:选择适当的代换变量,求导数,计算新积分。
通过具体例子演示换元法的应用。
第三章:定积分在几何中的应用3.1 平面区域的面积解释平面区域面积的概念:平面区域内所有点的坐标的绝对值的平均值。
利用定积分计算平面区域的面积,示例包括矩形、三角形、圆形等。
3.2 曲线围成的面积介绍利用定积分计算曲线围成的面积的方法:选择适当的上下限,计算定积分。
通过具体例子演示计算曲线围成的面积。
第四章:定积分在物理中的应用4.1 定积分与力的累积解释力的累积概念:力在一段时间内的积累效果。
利用定积分计算力的累积,示例包括恒力作用下的位移、变力作用下的位移等。
4.2 定积分与功的计算介绍利用定积分计算功的方法:计算力与位移的乘积的定积分。
通过具体例子演示计算功的应用。
第五章:定积分在经济学中的应用5.1 定积分与总成本解释总成本的概念:企业在生产一定数量产品所需的成本。
利用定积分计算总成本,示例包括固定成本和变动成本的情况。
5.2 定积分与总收益介绍利用定积分计算总收益的方法:计算产品的售价与销售数量的乘积的定积分。
通过具体例子演示计算总收益的应用。
第六章:定积分在概率论中的应用6.1 定积分与概率密度解释概率密度的概念:随机变量在某个区间内的概率。
利用定积分计算概率密度,示例包括均匀分布、正态分布等。
10数学分析教案-(华东师大版)第十章定积分的应用平面曲线的弧长与曲率)
§3 平面曲线的弧长与曲率一 平面曲线的弧长先建立平面曲线弧长的概念,设C=AB 是一条没有自交点的非闭的平面曲线,在C 上从A 到B 依次取分点A=P 0,P 1,P 2,…,P n =B,它们成为对曲线C 的一个分割,记为T ,然后用线段连接T 中每相邻两点,得到C 的n 条弦1(1,2,...,)i i P P i n -=,这n 条弦又成为C 的一条内接折线,记||T||=max|P i-1P i |,11||nT i ii s PP -==∑分别表示最长弦的长度和折线的总长度。
定义1 如果存在有限极限||||0lim s T T s →=,即任给ε>0,恒存在δ>0,使得对于C 的任何分割T ,只要||T||<δ,就有|s T -s|<ε,曲线C 是可求长的,并把s 定义为曲线C 的弧长。
定理10.1 设曲线C 是一条没有自交点的非闭的平面曲线,由参数方程x=x(t),y=y(t),t ∈[α,β]给出,若x(t)、y(t)在[α,β]上连续可微,则C 是可求长的,且弧长为s βα=⎰。
证明 对C 作任一分割T={ P 0,P 1,P 2,…,P n },并设P0与Pn 分别对应t=α和t=β,且P i (x i ,y i )=(x(t i ),y(t i )),i=1,2,…,n -1,于是与T 对应得到区间[α,β]的一个分割T':α=t 0,t 1,t 2,…,t n =β。
现在用反证法先证明||||0lim ||||0T T →'=.假设||||0lim ||||0T T →'≠,则存在ε0>0,对于任何δ>0,都可以找到一个分割T 使得||T||<δ而同时||T'||>ε0,从而可以找到C 上两点Q'和Q'',使得|Q''Q'|<δ,而它们对应的参量t'和t''满足|t't''|≥ε0,依次取δ=1/n,n=1,2,…,则得到两个点列{Q'n }和{Q''n }和它们对应的参量数列{t'n }和{t''n },它们满足|Q n ''Q n '|<1/n, |t'n t''n |≥ε0,由致密性定理,存在子列{}{}k kn n t t '''及,和t*和t**∈[α,β],使得lim *,lim **k knn k k t t t t →∞→∞'''==,显然|t*-t**|≥ε0,即t*≠t**。
华东师范大学数学系《数学分析》(第4版)(上册)(章节题库 定积分的应用)【圣才出品】
3.求曲线
的全长.
解:将曲线改写成参数方程,并计算微弧:
因此
4.已知抛物叶形线 作 M.求
如图 10-3 所示,其中当 0≤x≤3 时的叶形部分记
(1)M 的面积;
(2)M 的周长;
(3)M 绕 x 轴旋转所得旋转体的体积
(4)M 绕 x 轴旋转所得旋转体的侧面积
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图 10-1 则
的切线,切线与 x 轴交点的横坐标是
即切点的横坐标是
于是切线斜率为
(2)所求的旋转体的体积为
切线方程是
Hale Waihona Puke 2.求圆的渐伸线和连接
两个端点:起点 A(a,0)与终点 B(a,-2πa)的直线段 AB 所围成图形的面积,并求
渐伸线的弧长
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第 10 章 定积分的应用
1.过点(4,0)作曲线
的切线.
(1)求切线的方程;
(2)求由这条切线与该曲线及 x 轴所围成的平面图形(如图 10-1 所示)绕 x 轴旋转
一周所得的旋转体的体积.
解:(1)令 过点(4,0)作曲线
(5)M 的重心.
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解:(1)由对称性,只要求出 果,即
图 10-3 与 x 轴所围成的面积,两倍即得结
(2) 由此即得
(3) (4) (5)由对称性,
5.求抛物体
的重心和绕 z 轴的转动惯量(已知抛物体的密度为 1).
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数学分析PPT课件第四版华东师大研制--第10章-定积分的应用(1)可编辑全文
围立体的体积.
z
a
x
a x0
O
a
y
解 先求出立体在第一卦限的体积V1. x0 [0,a] ,
x x0 与立体的截面是边长为 a2 x02 的正方形,
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所以 A( x) a2 x2 , x [0,a]. 于是求得
V
8V1 8
9 0
a2 x2
dx 16 a3. 3
以下讨论旋转体的体积.
4
S( A2 ) 1 x ( x 2) dx
2 3
x3
2
x2 2
4
2x
1
14 3
3 2
.
则
S(
A)
S(
A1 )
S(
A2
)
4 3
14 3
3 2
9 2
.
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若把 A 看作为 y 型区域,则
g1( y) y2 (1 y 2), g2( y) y 2 (1 y 2).
体积公式.
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§3 平面曲线的弧长与曲率
本节定义光滑曲线的弧长,并用定积分给出弧长计 算公式.
一、平面曲线的弧长
定义1 设平面曲线 C 由以下参数方程表示:
x x(t), y y(t), t [, ].
如果 x(t)与 y(t)在[ , ]上连续可微, 且 x(t)与 y(t)
•(4, 2)
A
x y2
O
4x
• (1, 1)
若把 A 看作 x 型区域, 则
f1(
x)
x
x 2
,0 ,1
x x
1 4
,
f2x x ,0 x 4.
定积分及应用共8页word资料
全方位教学辅导教案学科:数学任课教师:夏应葵授课时间:2019年3月 1 6日星期六学号姓名涂思雪性别女年级高二总课次: 第 4 次课教学内容定积分的概念、微积分基本定理,定积的简单应用。
重点难点曲边梯形的面积、汽车行使的路程、定积分的概念,微积分基本定理,定积分的简单应用。
教学目标理解定积分的概念,掌握微积分基本定理。
能运用基本知识解决一些基本问题。
教学过程课前检查与交流作业完成情况:交流与沟通:针对性授课一、课前练习1.下列等于1的积分是()。
A.dxx⎰10B.dxx⎰+1)1(C.dx⎰101D.dx⎰10212.曲线]23,0[,cosπ∈=xxy与坐标周围成的面积()。
A.4 B.2 C.25D.33.dxee xx⎰-+1)(=()。
A.ee1+B.2e C.e2D.ee1-4.根据⎰=π2sin xdx推断,直线xyyxx sin,2,0====和正弦曲线π所围成的曲边梯形的面积时,正确结论为( )。
A.面积为0B.曲边梯形在x轴上方的面积大于在x下方的面积C.曲边梯形在x轴上方的面积小于在x下方的面积D.曲边梯形在x轴上方的面积等于在x下方的面积5.如图,曲线23xy-=与直线y=2x围成图形的面积是( )。
A. 32 B.2-3 C.332D3356.定积分11dx⎰的值是( )。
A. 0 B. 1 C.21D. 27.曲线1,0,2===yxxy,所围成的图形的面积可用定积分表示为.第13题8.由x y cos =及x 轴围成的介于0与2π之间的平面图形的面积,利用定积分应表达为 .9.已知t>0,若⎠⎛0t ()2x -1d x =6,则t =______.10、若⎰+adx xx 1)12(=3+2ln ,则a 的值等于 。
二、知识梳理1、定积分的几何意义是:a x x f y b a ==与直线上的曲线在区间)(],[、x b x 以及=轴所围成的图形的面积,即⎰badx x f S )(=。
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《数学分析》教案
第十章定积分的应用
教学要求:
1.理解微元法的思想,并能够应用微元法或定积分定义将某些几何、物理等实际问题化成定积分;
2.熟练地应用本章给出的公式,计算平面区域的面积、平面曲线的弧长,
用截面面积计算体积、旋转体的体积和它的侧面积、变力作功等。
教学重点:熟练地应用本章给出的公式,计算平面区域的面积、平面曲线
的弧长,用截面面积计算体积、旋转体的体积和它的侧面积、变力作功等
教学时数:10学时
§ 1 平面图形的面积( 2 时)
教学要求:
1.理解微元法的思想,并能够应用微元法或定积分定义将某些几何、物理
等实际问题化成定积分;
2.熟练地应用本章给出的公式,计算平面区域的面积。
教学重点:熟练地应用本章给出的公式,计算平面区域的面积
一、组织教学:
二、讲授新课:
(一)直角坐标系下平面图形的面积:
1.简单图形:型和型平面图形 .
2.简单图形的面积 : 给出型和型平面图形的面积公式.
- 1 -。