数学分析函数的定积分
定积分的算法及其特殊形式
定积分的算法及其特殊形式定积分是数学分析中非常重要的一种工具，它不仅可以用来求解函数的面积、体积等重要概念，还可以应用于众多实际问题的解决。
本文将主要讲述定积分的算法，以及一些特殊形式的定积分。
一、定积分的算法定积分的算法可以分为两种：牛顿-莱布尼茨公式法和基本公式法。
1. 牛顿-莱布尼茨公式法牛顿-莱布尼茨公式是定积分的核心衍生公式之一，它是由牛顿和莱布尼茨独立发明的。
该公式的形式如下：∫a~b f(x)dx=F(b)−F(a)其中，f(x)为原函数，F为f(x)的不定积分。
该公式是一个非常重要的抽象概念，虽然很多人并不清楚它的实际应用意义，但它在实际问题的解决中发挥着重要的作用。
2. 基本公式法基本公式法是一种可以求解多种不同形式的定积分的算法。
它通过根据求解特定的积分形式来选择合适的基本公式进行计算，从而实现高效、准确地求解定积分。
常见的基本公式有：- 积分中含有幂函数该类型积分可以应用幂函数的反函数来求解。
例如：∫a~b x^2dx = [x^3/3]_a^b- 函数含有多项式的乘积该类型积分可以应用几何级数的原理进行求解。
例如：∫a~b (2x+1)(x+2)dx = [(x^2+5x)/2]_a^b- 积分为三角函数该类型积分可以应用三角函数的和差化积、倍角公式等来进行求解。
例如：∫0~π/2 sinx dx = [−cosx]_0^π/2二、特殊形式的定积分除了上述的基本算法之外，定积分还有一些特殊形式，这些形式的积分比较特殊，常常难以直接求解，需要使用特殊的算法进行处理。
1. 瑕积分瑕积分是指在一定区间内，函数在某一个点或多个点发生了突变或不连续的情况，这种函数在该区间上的积分即为瑕积分。
例如：∫0~1 1/√x dx该式中的分母在x=0处是无限大的，因此我们需要对该瑕积分进行处理。
方法有二，一种是进行主部分的积分，另一种是直接代入Cesaro可积条件进行计算。
2. 科特迪瓦积分科特迪瓦积分是一类复积分，它可以把一个点集划分成多个小块，然后在每个小块内使用复积分来求解。
数学分析第十章 定积分的应用
x x(t) y y(t)
t [, ]
给出,在[, ]上y(t)连续, x(t)连续可微,
且x'(t) 0,记a x( ),b x( ),则
曲边梯形的面积
A y(t)x' (t) dt.
例2
求椭圆 x2 a2
y2 b2
1的面积.
解
椭圆的参数方程
x y
a cos t bsin t
对一个立体，如果知道该立体上垂直于一 定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积 也可用定积分来计算.
如图，设 A( x)
表示过点 x且 a o
垂直于 x轴的
x
bx
截面面积。
A( x)为 x的已知连续函数，
取积分变量为 x，变化范围[a,b]
相应于[a, b]上的任一小区间[ x, x dx]，
立体位于该小区间部分而成的薄片的体积近似看成是 以 A(x) 为底面积、 dx 为高的扁圆柱体的体积，即
1.由连续曲线
y f ( x)( f ( x) 0)、x 轴与两条直线 x a、 x b所围成的平面图形
的面积。
y
y f (x)
oa
bx
2.如果y=f(x)在[a,b]上不都是非负时，如下图
定积分 公式
定积分公式
1、定积分公式:积分是微积分学与数学分析里的一个核心概念。
通常分为定积分和不定积分两种。
直观地说，对于一个给定的实函数f (x) ，在区间a，b]上的定积分记为: .(a，b)[f(x)+g(x)]dx=J(a，b)f(x)J(a，b)g(x)dxJ(a，b)kf(x)dx=k/(a，b)f(x)dx，若f (x) 在a,b]上恒为正，可以将定积分理解为在Oxy坐标平面上，由曲线(x，f (x)) 、直线x=a、
x=b以及x轴围成的面积值(一种确定的实数值)。
初等定积分就是计算曲线下方大的面积大小，方法将背积变量区间分成无限小的小格，再乘以响应函数值近似求和取极限，可以证明在积分变量是自变量的话，积分和导数运算是逆运算(牛顿莱布尼兹公式)
2、定积分简介: 积分是微分的逆运算，即知道了函数的导函数，反求原函数。
在应用上，积分作用不仅如此，它被大量应用于求和，通俗的说是求曲边三角形的面积，这巧妙的求解方法是积分特殊的性质决定的。
主要分为定积分、不定积分以及其他积分。
积分的性质主要有线性性、保号性、极大值极小值、绝对连续性、绝对值积分等。
定积分计算方法总结
摘要定积分是数学分析中的一个基本问题，而计算定积分是最基本最重要的问题.它在许多实际问题有着广泛的应用.下面针对定积分的计算方法做一个比较详细的总结，常见的包括分项积分、分段积分法、换元积分法、分部积分法.但对于不能直接找出原函数的定积分，或者被积函数比较复杂时，往往是比较难求出原函数的，从而无法用牛顿-莱布尼兹公式求解.针对这样的情形，本文总结用欧拉积分求解定积分、留数在定积分上的运用、巧用二重积分求解定积分、反函数求解定积分以及带积分型余项的泰勒公式在定积分上的应用，并列举相应的例子进行说明.关键词: 定积分; 被积函数; 原函数; 牛顿-莱布尼兹公式目录1 引言2 定计算的计算方法2.1 分项积分法 (1)2.2 分段积分法 (2)2.3 换元积分法 (3)2.4 分部积分法 (5)2.5 欧拉积分在定积分计算中的应用 (9)2.6 留数在定积分计算上的应用 (10)2.7 巧用二重积分求解定积分 (10)2.8 反函数法求解定积分 (10)2.9 带积分型余项的泰勒公式在定积分上的应用 (11)3 总结 (12)浅谈定积分的计算1.引言定积分的计算是微积分学的重要内容，其应用十分广泛，它是包括数学及其其他学科的基础.本文归纳总结了常见的定积分计算方法(如[1-4])，其中包括分项积分法、分段积分法、换元积分法以及分部积分法.另外对于找不出原函数的定积分，或者被积函数十分复杂时，往往是很难求出其原函数，从而无法用牛顿-莱布尼兹公式求解.针对这样的情形，我们有必要在此基础上研究出新的计算方法.对此本文总结了一些另外的方法(如[5-9])，其中包括欧拉积分求解定积分、运用留数计算定积分、巧用二重积分求解定积分、反函数法求解定积分以及带积分型余项的泰勒公式在定积分上的应用,进行了一一列举，并通过例子加以说明.2.定积分的计算方法2.1 分项积分法我们常把一个复杂的函数分解成几个简单的函数之和：1122()()f x k g x k g x ()+，若右端的积分会求，则应用法则1122()()b b baaaf x dx kg x dx k g x dx =⎰⎰⎰()+,其中1k ，2k 是不全为零的任意常数，就可求出积分()baf x dx ⎰，这就是分项积分法.例2-1[1]计算定积分414221(1)dxx x π+⎰.解 利用加减一项进行拆项得414221(1)dx x x π+⎰=2241422(1)(1)x x dx x x π+-+⎰=41421dx x π⎰-2241222(1)(1)x x dx x x π+-+⎰ =41421dx x π⎰-41221dx x π⎰+412211dx x π+⎰=-313x 412π+4121xπ+arctan x412π.=364415arctan 323ππ-+-+. 例2-2计算定积分21⎰.解 记J=21⎰=1⎰=3221x dx ⎰+21⎰再将第二项拆开得 J=3221x dx ⎰+3221(1)x dx -⎰+1221(1)x dx -⎰=522125x +52212(1)5x -+32212(1)3x -=52225+23. 2.2 分段积分法分段函数的定积分要分段进行计算，这里重要的是搞清楚积分限与分段函数的分界点之间的位置关系，以便对定积分进行正确的分段.被积函数中含有绝对值时，也可以看成分段函数，这是因为正数与负数的绝对值是以不同的方式定义的，0就是其分界点.例2-3[2]计算定积分221(1)min ,cos 2x x dx ππ-⎧⎫+⎨⎬⎩⎭⎰.解 由于1min ,cos 2x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为偶函数，在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的分界点为3π，所以221(1)min ,cos 2x x dx ππ-⎧⎫+⎨⎬⎩⎭⎰=221min ,cos 2x x dx ππ-⎧⎫⎨⎬⎩⎭⎰+2012min ,cos 2x dx π⎧⎫⎨⎬⎩⎭⎰ =0+320312(cos )2dx xdx πππ+⎰⎰=23π+.例2-4 计算定积分2(1)f x dx -⎰，其中1,011,01()xx x x e f x ≥+<+⎧⎪=⎨⎪⎩.解 由于函数()f x 的分界点为0，所以，令1t x =-后，有2(1)f x dx -⎰=11()f t dt -⎰=0111x dx e -+⎰+1011dx x +⎰ =011x xe dx e ---+⎰+10ln(1)x +=01ln(1)xe ---++ln 2=ln(1)e +.2.3 换元积分法（变量替换法） 换元积分法可以分为两种类型：2.3.1 第一类换元积分法（也被俗称为“凑微分法”） 例2-5[3]计算定积分21sin tan dxx xπ+⎰.解21sin tan dxx x π+⎰=21cos sin (1cos )xdx x x π+⎰=22213cos sin 224sin cos 22x x dx x x π-⎰ =2211tan 2tan 22tan2xx d x π-⎰ =2111(tan )tan 222tan 2x x d x π-⎰ =2221111ln tan tan 2242x xππ-=21111ln tan tan 2424-+-.例2-6计算定积分241x dx x-+.解241x dx x -+=222111x dx xx -+=02211()1d x x x x -++=0211()1()2d x x x x-++-= 0011()()11()()d x d x x x x x x x ⎡⎤++⎢⎥-⎢⎢+-++⎣=15.2.3.2 第二换元积分法常用的变量替换有：①三角替换；②幂函数替换；③指数函数替换④倒替换． 下面具体介绍这些方法． ① 三角替换例2-7[4] 计算定积分31240(1)x x dx -⎰.解 由于31240(1)x x dx -⎰=3124201(1)2x dx -⎰，故可令2sin x t =，于是 31240(1)x x dx -⎰=arcsin1401cos 2tdt ⎰=2arcsin101(1cos 2)8t dt +⎰=arcsin101(12cos 28t ++⎰1cos 4)2t dt + =arcsin1011(32sin 2sin 4)164t t t ++=1(34sin 16t +2arcsin10sin sin ))t -=224101(3arcsin 4(1216x x x x +-=2101(3arcsin 5216x x x +=3arcsin116.②幂函数替换例2-8 计算定积分220sin sin cos xdx x xπ+⎰. 解 作变量代换2x t π=-，得到220sin sin cos x dx x xπ+⎰=220cos sin cos t dt t t π+⎰，因此220sin sin cos x dx x x π+⎰=2222001sin cos ()2sin cos sin cos x t dx dt x x t t ππ+++⎰⎰= 20112sin cos dx x x π+⎰201sin()4dx x ππ+⎰3441sin dx x ππ⎰= 3441cos )sin x x ππ-. ③倒替换例2-9计算定积分1解11令1t x=得1=11-=1arcsin-=6π. 2.4 分部积分法定理 3-1[5]若()x μ'，()x ν'在[],a b 上连续，则bb b a aauv dx uv u vdx ''=-⎰⎰或b bba aaudv uv vdu =-⎰⎰.利用分部积分求()baf x dx ⎰的解题方法（1）首先要将它写成b audv ⎰()bauv dx '⎰或得形式．选择,u v ，使用分布积分法的常见题型： 表一（2）多次应用分部积分法，每分部积分一次得以简化，直至最后求出． （3）用分部积分法有时可导出()ba f x dx ⎰的方程，然后解出．（4）有时用分部积分法可导出递推公式． 例2-10[6]计算定积分2220sin x xdx π⎰.解 于21sin (1cos 2)2x x =-，所以2220sin x xdx π⎰=2201(1cos 2)2x x dx π-⎰=322211sin 264x x d x ππ-⎰ 连续使用分部积分得222sin x xdx π⎰=3222111(sin 2)sin 2642x x x x xdx ππ-+⎰ =3222111(sin 2)cos 2644x x x xd x ππ--⎰ =32201111(sin 2cos 2sin 2)6448x x x x x x π--+=3488ππ+.例2-11[7]计算定积分220sin x x e xdx π⎰．解 因为20sin x e xdx π⎰=20sin xxde π⎰=2sin xe xπ-20cos x xde π⎰=20(sin cos )xe x x π-20sin x e xdx π-⎰ 所以2sin xe xdx π⎰=1220(sin cos )xe x x π- =21(1)2e π+ 于是 20cos x e xdx π⎰=cos xe x20π+20sin x e xdx π⎰=201(sin cos )2x e x x π+=21(1)2e π- 从而220s i n xx e x d x π⎰=2201(sin cos )2x x d e x x π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦⎰=2201(sin cos )2x x e x x π-20(sin cos )x xe x x dx π--⎰=2201(sin cos )2x x e x x π-201(sin cos )2x xd e x x π⎡⎤--⎢⎥⎣⎦⎰201(sin cos )2x xd e x x π⎡⎤++⎢⎥⎣⎦⎰=2201(sin cos )2x x e x x π-201(sin cos )2x xe x x π--201(sin cos )2x e x x dx π+-⎰ 201(sin cos )2x xe x x π++201(sin cos )2x e x x dx π-+⎰ =2201(sin cos )2x x e x x π-20cos xxe xπ+20cos x e xdx π-⎰=2201(sin cos )2x x e x x π-20cos xxe xπ+-201(sin cos )2x e x x π+=2221(1)sin (1)cos 2x e x x x x π⎡⎤---⎣⎦=221(1)242e ππ-+. 例2-12[8]计算定积分0sin n x x dx π⎰，其中n 为正整数．解(21)2s i n k k x x d x ππ+⎰=(21)2sin k k x xdx ππ+⎰作变量替换2t x k π=-得(21)2sin k k x xdx ππ+⎰=0(2)sin t k tdt ππ+⎰=0sin 2sin t tdt k tdt πππ+⎰⎰=0cos cos 2cos t ttdt k tππππ-+-⎰=(41)k π+(22)(21)sin k k x xdx ππ++⎰=(22)(21)sin k k x xdx ππ++-⎰作变量替换2t x k π=-得(22)(21)sin k k x xdx ππ++-⎰=2(2)sin t k tdt πππ-+⎰=-22sin 2sin t tdt k tdt πππππ--⎰⎰=222cos cos 2cos t tdttdt k tπππππππ-+⎰=(43)k π+ 当n 为偶数时，sin n x x dx π⎰=12(21)(22)2(21)0(sin sin )nk k k k k x xdx x xdx ππππ-+++=+∑⎰⎰=[]12(41)(43)n k k k ππ-=+++∑(1)224222n n n π⎡⎤-⎢⎥=⋅+⎢⎥⎢⎥⎣⎦=2n π 当n 为奇数时，sin n x x dx π⎰=32(21)(22)2(21)(1)0(sin sin )sin n k k n k k n k x xdx x xdx x x dx ππππππ-+++-=++∑⎰⎰⎰=[]321(41)(43)(41)2n k n k k πππ-=-++++⋅+∑ =324(21)(21)n k k n ππ-=++-∑=31()()12242(21)22n n n n ππ--⎡⎤⋅⎢⎥-⋅++-⎢⎥⎢⎥⎣⎦=2n π.2.5 欧拉积分在定积分计算中的应用定义 2-1[4]形如(,)p q B =1110(1)p q x x dx ---⎰的含参变量积分称为Beta 函数，或第一类Euler 积分。
数学分析定积分课件5
所以可积函数不一定有原函数。
f
(
x)
x
2
sin
1 x2
,
0,
x 0且x [1,1] x0
f
( x)
2x sin
1 x2
2 x
cos
1 x2
,
x 0且x [1,1]
上午9时15分13秒
0,
x0
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f ( x)在[1，1]无界，从而不可积， 但f ( x)在[1，1]的原函数是f ( x), 即说明有原函数的函数不一定可积。
但并非可积函数只有这3类。如：黎曼函数 不属于这3类的任何一类，但它是可积的。
在[a,b]上函数的间断点形成收敛的数列， 则函数在[a,b]可积。
上午9时15分13秒
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8、利用不定积分计算定积分 ——牛-莱公式
（1）线性；恒等变形；换元；分部积分； 一些特殊类型函数的积分。
尼氏体 Nissl body
H-E染
镀银染
色
色 上一页 下一页 主 页 返回 退出
不同形态
小块状的尼氏体
细颗粒样的尼氏体
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突触 粗面内质网
核蛋白体 脂褐素 微管
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尼氏体(Nissl body)：又称为嗜染质 （chromophil substance), 是分布于 胞质或树突内的小块状或颗粒状的 嗜碱性物质。电镜下，尼氏体为发 达的粗面内质网和游离核蛋白体， 是蛋白质合成的场所。
上午9时15分13秒
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6、可积条件
必要条件 若函数f在[a,b]上可积，则f在[a,b]上必定有界。
三角函数定积分点火公式
三角函数定积分点火公式三角函数在数学中是一个重要的概念，它与圆的关系密切。
在数学分析中，我们经常遇到需要求解三角函数的定积分问题。
为了解决这类问题，我们可以利用一些点火公式，这些公式可以简化计算过程并提供指导。
首先，我们需要了解三角函数的基本定义。
三角函数包括正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan）等。
这些函数在数学中具有重要的性质和应用，可以描述周期性的现象和数学模型。
接下来，我们介绍一些常用的三角函数定积分点火公式。
这些公式可以帮助我们简化计算和推导过程，提高求解速度。
1. 正弦函数的定积分点火公式：∫sin(x)dx = -cos(x) + C这个公式告诉我们，对于正弦函数的定积分，只需要将函数的负余弦值加上一个常数C即可得到积分结果。
2. 余弦函数的定积分点火公式：∫cos(x)dx = sin(x) + C类似地，对于余弦函数的定积分，只需要将函数的正弦值加上一个常数C即可得到积分结果。
3. 正切函数的定积分点火公式：∫tan(x)dx = -ln|cos(x)| + C当然，对于正切函数的定积分，情况会稍微复杂一些。
这个公式告诉我们，需要先求解函数的余弦值，再取其自然对数的绝对值，最后再加上一个常数C。
在实际应用中，我们经常需要结合这些点火公式来求解更复杂的三角函数定积分问题。
同时，我们也需要注意一些特殊情况和限制条件。
例如，当函数在某些点上不连续或不可导时，这些点火公式可能不适用。
此外，我们还可以利用一些三角函数的性质来简化计算。
例如，利用奇偶性和周期性质，我们可以将定积分的区间缩小到一个周期内，从而简化计算过程。
总之，三角函数定积分点火公式是数学分析中重要的工具。
通过掌握和应用这些公式，我们可以更快速地求解三角函数的定积分问题，并在实际应用中发挥指导作用。
在进行计算时，我们还需要注意一些特殊情况和限制条件，以确保结果的准确性和有效性。
希望本篇文章能够帮助读者更好地理解三角函数定积分点火公式的概念和应用。
数学分析9.4定积分的性质
第九章 定积分 4 定积分的性质一、定积分的基本性质性质1：若f 在[a,b]上可积，k 为常数，则kf 在[a,b]上也可积，且⎰bakf(x )dx=k ⎰baf(x )dx.证：当k=0时结论成立. 当k ≠0时，∵f 在[a,b]上可积，记J=⎰ba f(x )dx ， ∴任给ε>0，存在δ>0，当║T ║<δ时，|i n1i i x △)ξ(f ∑=-J|<|k |ε； 又|i n 1i i x △)ξ(kf ∑=-kJ|=|k|·|i n1i i x △)ξ(f ∑=-J|<|k|·|k |ε=ε，∴kf 在[a,b]上可积， 且⎰b a kf(x )dx=k ⎰ba f(x )dx.性质2：若f,g 都在[a,b]上可积，则f ±g 在[a,b]上也可积，且⎰±bag(x )][f(x )dx=⎰b af(x )dx ±⎰bag(x )dx.证：∵f,g 都在[a,b]上可积，记J 1=⎰ba f(x )dx ，J 2=⎰ba g(x )dx. ∴任给ε>0，存在δ>0，当║T ║<δ时，有|i n1i i x △)ξ(f ∑=-J 1|<2ε，|i n1i i x △)ξ(g ∑=-J 2|<2ε.又|i n1i i i x △)]ξ(g )ξ([f ∑=+-(J 1+J 2) |=|(i n1i i x △)ξ(f ∑=-J 1)+(i n1i i x △)ξ(g ∑=-J 2)|≤|i n1i i x △)ξ(f ∑=-J 1|+|i n1i i x △)ξ(g ∑=-J 2)|<2ε+2ε=ε；|i n 1i i i x △)]ξ(g )ξ([f ∑=--(J 1-J 2) |=|(i n 1i i x △)ξ(f ∑=-J 1)+( J 2-i n1i i x △)ξ(g ∑=)|≤|i n 1i i x △)ξ(f ∑=-J 1|+|i n1i i x △)ξ(g ∑=-J 2)|<2ε+2ε=ε.∴f ±g 在[a,b]上也可积，且⎰±b a g(x )][f(x )dx=⎰b a f(x )dx ±⎰ba g(x )dx.注：综合性质1与性质2得：⎰±ba βg(x )]αf(x ) [dx=α⎰b a f(x )dx ±β⎰ba g(x )dx.性质3：若f,g 都在[a,b]上可积，则f ·g 在[a,b]上也可积.证：由f,g 都在[a,b]上可积，从而都有界，设A=]b ,a [x sup ∈|f(x)|，B=]b ,a [x sup ∈|g(x)|，当AB=0时，结论成立；当A>0,B>0时，任给ε>0，则存在分割T ’,T ”， 使得∑'T i i f x △ω<B 2ε，∑''T i i g x △ω<A 2ε. 令T=T ’+T ”，则对[a,b]上T 所属的每一个△i ，有 ωi f ·g =]b ,a [x ,x sup ∈'''|f(x ’)g(x ’)-f(x ”)g(x ”)|≤]b ,a [x ,x sup ∈'''[|g(x ’)|·|f(x ’)-f(x ”)|+|f(x ”)|·|g(x ’)-g(x ”)|]≤B ωi f +A ωi g .又∑⋅Ti g f i x △ω≤B ∑Ti f i x △ω+A ∑Ti g i x △ω≤B ∑'T i f i x △ω+A ∑''T i g i x △ω<B ·B 2ε+A ·A2ε=ε. ∴f ·g 在[a,b]上可积.注：一般情形下，⎰ba f(x )g(x )dx ≠⎰b af(x )dx ·⎰bag(x )dx.性质4：f 在[a,b]上可积的充要条件是：任给c ∈(a,b)，f 在[a,c]与[c,b]上都可积. 此时又有等式：⎰ba f(x )dx=⎰c a f(x )dx+⎰bc f(x )dx. 证：[充分性]∵f 在[a,c]与[c,b]上都可积.∴任给ε>0，分别存在对[a,c]与[c,b]的分割T ’,T ”，使得∑'''T i i x △ω<2ε，∑''''''T i i x △ω<2ε. 令[a,b]上的分割T=T ’+T ”，则有∑Tiix△ω=∑'''Tiix△ω+∑''''''Tiix△ω<2ε+2ε=ε，∴f在[a,b]上可积.[必要性]∵f在[a,b]上可积，∴任给ε>0，存在[a,b]上的某分割T，使∑Tiix△ω<ε. 在T上增加分点c，得分割T⁰，有∑︒︒︒Tiix△ω≤∑Tiix△ω<ε.分割T⁰在[a,c]和[c,b]上的部分，分别构成它们的分割T’和T”，则有∑'' 'Tiix△ω≤∑︒︒︒Tiix△ω<ε，∑''''''Tiix△ω≤∑︒︒︒Tiix△ω<ε，∴f在[a,c]与[c,b]上都可积.又有∑︒︒︒Tiix)△f(ξ=∑'''Tiix)△ξf(+∑''''''Tiix)△ξf(，当║T⁰║→0时，同时有║T’║→0，║T”║→0，对上式取极限，得⎰b a f(x)dx=⎰c a f(x)dx+⎰b c f(x)dx. (关于积分区间的可加性)规定1：当a=b时，⎰baf(x)dx=0；规定2：当a>b时，⎰baf(x)dx=-⎰a b f(x)dx；以上规定，使公式⎰baf(x)dx=⎰c a f(x)dx+⎰b c f(x)dx对于a,b,c的任何大小顺都能成立.性质5：设f在[a,b]上可积. 若f(x)≥0, x∈[a,b]，则⎰baf(x)dx≥0. 证：∵在[a,b]上f(x)≥0，∴f的任一积分和都为非负.又f在[a,b]上可积，∴⎰ba f(x)dx=in1iiTx△)f(ξlim∑=→≥0.推论：(积分不等式性)若f,g在[a,b]上都可积，且f(x)≤g(x), x∈[a,b]，则有⎰baf(x)dx≤⎰b a g(x)dx.证：记F(x)=g(x)-f(x)≥0, x ∈[a,b]，∵f,g 在[a,b]上都可积，∴F 在[a,b]上也可积.∴⎰b a F(x )dx=⎰b a g(x )dx-⎰b a f(x )dx ≥0，即⎰b a f(x )dx ≤⎰ba g(x )dx.性质5：若f 在[a,b]上可积，则|f|在[a,b]上也可积，且 |⎰b a f(x )dx|≤⎰ba |f(x )|dx.证：∵f 在[a,b]上可积，∴任给ε>0，存在分割T ，使∑Ti i f x △ω<ε，由不等式||f(x 1)|-|f(x 2)||≤|f(x 1)-f(x 2)|可得i ||f ω≤i f ω， ∴∑Ti i ||f x △ω≤∑Ti i f x △ω<ε，∴|f|在[a,b]上可积.又-|f(x)|≤f(x)≤|f(x)|，∴|⎰b a f(x )dx|≤⎰ba |f(x )|dx.例1：求⎰11-f(x )dx ，其中f(x)= ⎩⎨⎧<≤<≤.1x 0 ，e ，0x 1-1-2x x-， 解：⎰11-f(x )dx=⎰01-f(x )dx+⎰10f(x )dx=(x 2-x)01-+(-e -x )10=-2-e -1+1=-e -1-1.例2：证明：若f 在[a,b]上连续，且f(x)≥0，⎰ba f(x )dx =0，则 f(x)≡0, x ∈[a,b].证：若有x 0∈[a,b], 使f(x 0)>0，则由连续函数的局部保号性， 存在的x 0某邻域U(x 0,δ)（当x 0=a 或x 0=b 时，则为右邻域或左邻域）， 使f(x)≥21f(x 0)>0，从而有⎰baf(x )dx =⎰δ-x a0f(x )dx+⎰+δx δ-x 00f(x)dx+⎰+bδx 0f(x)dx ≥0+⎰+δx δ-x 0002)f(x dx+0=δf(x 0)>0， 与⎰ba f(x )dx =0矛盾，∴f(x)≡0, x ∈[a,b].二、积分中值定理定理：(积分第一中值定理)若f 在[a,b]上连续，则至少存在一点 ξ∈[a,b]，使得⎰ba f(x )dx =f(ξ)(b-a).证：∵f 在[a,b]上连续，∴存在最大值M 和最小值m ，由 m ≤f(x)≤M, x ∈[a,b]，得m(b-a)≤⎰ba f(x )dx ≤M(b-a)，即m ≤⎰baf(x)a -b 1dx ≤M. 又由连续函数的介值性知，至少存在一点ξ∈[a,b]，使得f(ξ)=⎰baf(x)a -b 1dx ，即⎰b a f(x )dx =f(ξ)(b-a).积分第一中值定理的几何意义：(如图)若f 在[a,b]上非负连续，则y=f(x)在[a,b]上的曲边梯形面积等于以f(ξ)为高，[a,b]为底的矩形面积.⎰ba f(x)a-b 1dx 可理解为f(x)在[a,b]上所有函数值的平均值.例3：试求f(x)=sinx 在[0,π]上的平均值. 解：所求平均值f(ξ)=⎰π0f(x)π1dx=π1(-cosx)π0|=π2.定理：(推广的积分第一中值定理)若f 与g 在[a,b]上连续，且g(x)在[a,b]上不变号，则至少存在一点ξ∈[a,b]，使得g(x )f(x )ba⎰dx =f(ξ)⎰bag(x )dx.证：不妨设g(x)≥0, x ∈[a,b]，M,m 分别为f 在[a,b]上的最大,最小值. 则有mg(x)≤f(x)g(x)≤Mg(x), x ∈[a,b]，由定积分的不等式性质，有 m ⎰ba g(x )dx ≤g(x )f(x )ba ⎰dx ≤M ⎰b a g(x )dx. 若⎰ba g(x )dx=0，结论成立.若⎰bag(x )dx>0，则有m ≤dxg(x )g(x )dxf(x )b aba⎰⎰≤M.由连续函数的介值性知，至少存在一点ξ∈[a,b]，使得f(ξ)=dxg(x )g(x )dxf(x )b aba⎰⎰，即g(x )f(x )b a ⎰dx =f(ξ)⎰ba g(x )dx.习题1、证明：若f 与g 在[a,b]上可积，则i n1i i i 0T x △))g(ηf(ξlim ∑=→=⎰⋅ba g f ， 其中ξi , ηi 是△i 内的任意两点. T={△i }, i=1,2,…,n.证：f 与g 在[a,b]上都可积，从而都有界，且fg 在[a,b]上可积. 设|f(x)|<M, x ∈[a,b]，则对[a,b]上任意分割T ，有in 1i iix △))g(ηf(ξ∑==in1i iiiix△)]g(ξ-)g(η))[g(ξf(ξ∑=+=i n1i i i x △))g(ξf(ξ∑=+i g in1i i x △ω)f(ξ∑=≤i n1i i i x △))g(ξf(ξ∑=+M i n1i g i x △ω∑=.∴|i n 1i i i x △))g(ηf(ξ∑=-i n 1i i i x △))g(ξf(ξ∑=|≤M i n1i g i x △ω∑=.∴|i n 1i i i 0T x △))g(ηf(ξlim ∑=→-i n 1i i i 0T x △))g(ξf(ξlim ∑=→|≤0T lim →M i n1i g i x △ω∑==0 ∴i n 1i i i 0T x △))g(ηf(ξlim ∑=→=i n1i i i 0T x △))g(ξf(ξlim ∑=→=⎰⋅ba g f .2、不求出定积分的值，比较下列各对定积分的大小.(1)⎰10x dx 与⎰102x dx ；(2)⎰2π0x dx 与⎰2π0sinx dx.解：(1)∵x>x 2, x ∈(0,1)，∴⎰10x dx>⎰102x dx.(2)∵x>sinx, x ∈(0,2π]，∴⎰2π0x dx>⎰2π0sinx dx.3、证明下列不等式：(1)2π<⎰2π02x sin 21-1dx <2π；(2)1<⎰10x 2e dx<e ；(3)1<⎰2π0x sinx dx<2π；(4)3e <⎰4e e xlnx dx<6. 证：(1)∵1<x sin 21-112<21-11=2, x ∈(0,2π)；∴⎰2π0dx <⎰2π02x sin 21-1dx <⎰2π02dx ，又⎰2π0dx =2π；⎰2π02dx=2π； ∴2π<⎰2π2x sin 21-1dx<2π.(2)∵1<2x e <e, x ∈(0,1)；∴1=⎰10dx <⎰10x 2e dx<⎰10edx =e.(3)∵π2<x sinx <1，x ∈(0,2π)；∴1=⎰2π0dx π2<⎰10x2e dx<⎰2π0dx =2π.(4)令'⎪⎭⎫ ⎝⎛x lnx =x 2lnx -2=0，得x lnx 在[e,4e]上的驻点x=e 2,又e x x lnx ==e 1，e 4x x lnx ==e 2ln4e ，∴在[e,4e]上e 1<x lnx <22elne =e 2；∴3e =⎰4eee1dx <⎰4eexlnx dx<⎰4eee2dx =6.4、设f 在[a,b]上连续，且f(x)不恒等于0. 证明：⎰ba 2[f(x )]dx>0. 证：∵f(x)不恒等于0；∴必有x 0∈[a,b]，使f(x 0)≠0. 又由f 在[a,b]上连续，必有x ∈(x 0-δ, x 0+δ)，使f(x)≠0，则⎰+δx δ-x 200f >0，∴⎰ba 2[f(x )]dx=⎰δ-x a20f +⎰+δx δ-x 200f +⎰+b δx 20f =⎰+δx δ-x 200f +0>0.注：当x 0为a 或b 时，取单侧邻域.5、若f 与g 都在[a,b]上可积，证明：M(x)=b][a,x max ∈{f(x),g(x)}，m(x)=b][a,x min ∈{f(x),g(x)}在[a,b]上也都可积.证：M(x)=21(f(x)+g(x)+|f(x)-g(x)|)；m(x)=21(f(x)+g(x)-|f(x)-g(x)|). ∵f 与g 在[a,b]上都可积，根据可积函数的和、差仍可积，得证.6、试求心形线r=a(1+cos θ), 0≤θ≤2π上各点极径的平均值.解：所求平均值为：f(ξ)=⎰2π0a 2π1(1+cos θ)d θ=2πa(θ+sin θ)2π=a.7、设f 在[a,b]上可积，且在[a,b]上满足|f(x)|≥m>0. 证明：f1在[a,b]上也可积. 证：∵f 在[a,b]上可积，∴任给ε>0，有∑Ti i x △ω<m 2ε.任取x ’,x ”∈△i ，则)x f(1''-)x f(1'=)x )f(x f()x f(-)x f(''''''≤2i mω.设f1在△i 上的振幅为ωi -，则ωi -≤2imω. ∴∑Ti -i x △ω≤∑Ti i 2x △ωm 1<2m1·m 2ε=ε，∴f 1在[a,b]上也可积.8、证明积分第一中值定理(包括定理和中的中值点ξ∈(a,b). 证：设f 在[a,b]的最大值f(x M )=M, 最小值为f(x m )=m ， (1)对定理：当m=M 时，有f(x)≡m, x ∈[a,b]，则ξ∈[a,b]. 当m<M 时，若m(b-a)=⎰b a f(x )dx ，则⎰ba m]-[f(x )dx=0，即f(x)=m ， 而f(x)≥m ，∴必有f(x)≡m ，矛盾. ∴⎰ba f(x )dx >m(b-a). 同理可证：⎰ba f(x )dx <M(b-a).(2)对定理：不失一般性，设g(x)≥0, x ∈[a,b]. 当m=M 或g(x)≡0, x ∈[a,b]时，则ξ∈[a,b].当m<M 且g(x)>0, x ∈[a,b]时，若M ⎰ba g dx-⎰ba fg dx=⎰ba f)g -(M dx=0， 由(M-f)g ≥0，得(M-f)g=0. 又g(x)>0，∴f(x)≡M ，矛盾. ∴⎰ba fg dx <M ⎰ba g dx. 同理可证：⎰ba fg dx>m ⎰ba g dx. ∴不论对定理还是定理，都有ξ≠x M 且ξ≠x m .由连续函数介值定理，知ξ∈(x m ,x M )⊂(a,b)或ξ∈(x M ,x m )⊂(a,b)，得证.9、证明：若f 与g 都在[a,b]上可积，且g(x)在[a,b]上不变号，M,m 分别为f(x)在[a,b]上的上、下确界，则必存在某实数μ∈[m,M]，使得g(x )f(x )ba⎰dx =μ⎰bag(x )dx.证：当g(x)≡0, x ∈[a,b]时，g(x )f(x )ba ⎰dx =μ⎰bag(x )dx=0.当g(x)≠0时，不妨设g(x)>0，∵m ≤f(x)≤M, x ∈[a,b]， ∴m ⎰ba g(x )dx ≤g(x )f(x )ba ⎰dx ≤M ⎰bag(x )dx ，即m ≤dxg(x )g(x )dxf(x )b aba⎰⎰≤M.∴必存在μ∈[m,M]，使g(x )f(x )b a ⎰dx =μ⎰ba g(x )dx.10、证明：若f 在[a,b]上连续，且⎰b a f(x )dx=⎰ba x f(x )dx=0，则在(a,b)内至少存在两点x 1,x 2，使 f(x 1)=f(x 2)=0. 又若⎰ba 2f(x )x dx=0，则f 在(a,b)内是否至少有三个零点证：由⎰ba f =0知，f 在(a,b)内存在零点，设f 在(a,b)内只有一个零点f(x 1)， 则由⎰ba f =⎰1x a f +⎰b x 1f 可得：⎰1x a f =-⎰bx 1f ≠0. 又f 在[a,x 1]与[x 1,b]不变号，∴⎰ba x f =⎰1x a x f +⎰b x 1xf =ξ1⎰1x a f +ξ2⎰b x 1f =(ξ2-ξ1)⎰bx 1f ≠0, (a<ξ1<x 1<ξ2<b)，矛盾.∴f 在(a,b)内至少存在两点x 1,x 2，使 f(x 1)=f(x 2)=0.记函数g=xf(x)，则g 在[a,b]上连续，且⎰b a g(x )dx=⎰ba x f(x )dx=0， 又⎰ba x g(x )dx=⎰ba 2f(x )x dx=0，即有⎰b a g(x )dx=⎰ba x g(x )dx=0，∴g=xf(x)在(a,b)内至少存在两个零点，若f 在(a,b)内至少存在三个零点f(x 1)=f(x 2)=f(x 3)=0，则 g(x 1)=x 1f(x 1)=g(x 2)=x 2f(x 2)=g(x 3)=x 3f(x 3)=0，即g=xf(x)在(a,b)内至少存在三个零点g(x 1)=g(x 2)=g(x 3)=0，矛盾， ∴f 在[a,b]上连续，且⎰ba f(x )dx=⎰b a x f(x )dx=⎰ba 2f(x )x dx=0，则 f 在(a,b)内至少存在两个零点.11、设f 在[a,b]上二阶可导，且f ”(x)>0. 证明：(1)f ⎪⎭⎫⎝⎛+2b a ≤⎰-b a f(x)a b 1dx ； (2)又若f(x)≤0, x ∈[a,b]，则有f(x)≥⎰-baf(x)a b 2dx, x ∈[a,b].证：(1)令x=a+λ(b-a), λ∈(0,1)，则⎰-baf(x)a b 1dx=⎰+10a)]-λ(b f[a d λ， 同理，令x=b-λ(b-a)，也有⎰-ba f(x)ab 1dx=⎰-10a)]-λ(b f[b d λ，则 ⎰-b a f(x)a b 1dx=⎰-++10a)]}-λ(b f[b a)]-λ(b {f[a 21d λ. 又f 在[a,b]上二阶可导，且f ”(x)>0，∴f 在[a,b]上凹，从而有21{f[a+λ(b-a)]+f[b-λ(b-a)]}≥f{21[a+λ(b-a)]+21f[b-λ(b-a)]}=f ⎪⎭⎫ ⎝⎛+2b a . ∴⎰-b a f(x)a b 1dx ≥⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+102b a f d λ=f ⎪⎭⎫⎝⎛+2b a . (2)令x=λb+(1-λ)a ，由f 的凹性得⎰-ba f(x)ab 1dx=⎰+10λ)a]}-f[(1b) {f(λd λ≤⎰+10λ)f(a)]-(1f(b) [λd λ =f(b)1022λ+ f(a)1022λ)-(1-=2f(b)f(a)+. 不妨设f(a)≤f(b)，则f(a)≤f(x)≤0, x ∈[a,b]，又f(b)≤0， ∴⎰-ba f(x)ab 2dx ≤f(a) +f(b)≤f(x).12、证明：(1)ln(1+n)<1+21+…+n1<1+lnn ；(2)lnnn 1211limn +⋯++∞→=1. 证：(1)对函数f(x)=x1在[1,n+1]上取△i =1作分割，并取△i 的左端点为ξi ，则和数∑=n1i i 1是一个上和，∴⎰+1n 1x 1dx<∑=n 1i i1，即ln(n+1)< 1+21+…+n1；同理，取△i 的右端点为ξi ，则和数∑=+1-n 1i 1i 1是一个下和，∴∑=+1-n 1i 1i 1<⎰n 1x 1dx ， 即21+…+n 1<lnn ，∴1+21+…+n1<1+lnn. 得证.(2)由(1)知ln(1+n)<1+21+…+n 1<1+lnn ，∴lnn 1)ln(n +<lnnn 1211+⋯++<1+lnn 1; 又lnn 1)ln(n lim n +∞→=1n n lim n +∞→=1；∞→n lim (1+lnn 1)=1；∴lnnn 1211lim n +⋯++∞→=1.。
数学分析-定积分的应用
故
3.
求曲线
图形的公共部分的面积 .
解：
与
所围成
得
所围区域的面积为
设平面图形 A 由
与
所确定 提示：
选 x 为积分变量.
旋转体的体积为
4.
若选 y 为积分变量, 则
则有
一般地 , 当曲边梯形的曲边由参数方程
给出时,
则曲边梯形面积
二、参数方程情形
例3. 求由摆线
的一拱与 x 轴所围平面图形的面积 .
解:
且曲线不在自相交，
则曲线围成面积为：
所表示的曲线是封闭的，即
如果参数方程
例3. 求椭圆
解:
所围图形的面积 .
利用椭圆的参数方程
得
当 a = b 时得圆面积公式
三、极坐标情形
求由曲线
及
围成的曲边扇形的面积 .
在区间
上任取小区间
则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为
所求曲边扇形的面积为
对应 从 0 变
例5. 计算阿基米德螺线
解:
到 2 所围图形面积 .
例6. 计算心形线
所围图形的
面积 .
解:
(利用对称性)
例7. 计算心形线
与圆
所围图形的面积 .
提示:
方法1 利用对称性
旋转而成的环体体积 V
方法2 用柱壳法
说明: 上式可变形为
上
半圆为
下
此式反映了环体微元的另一种取法(如图所示).
备用题
解：
1. 求曲线
所围图形的面积.
显然
面积为
同理其它.
又
故在区域
数学分析定积分的概念
定积分概念一问题的提出不定积分和定积分是积分学中的两大基本问题，求不定积分是求导数的逆运算，而定积分则是某种特殊和式的极限，它们之间既有本质的区别，但也有紧密的联系。
先看两个实例。
1．曲边梯形的面积设函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，且0)(≥x f 。
则由曲线)(x f y =，直线a x =，b x =以及x 轴所围成的平面图形（如下左图），称为曲边梯形。
下面将讨论该曲边梯形的面积（这是求任何曲线边界图形的面积的基础）。
在区间],[b a 内任取1-n 个分点，依次为bx x x x x a n n =<<<<<=-1210 它们将区间],[b a 分割成n 个小区间],[1i i x x -，n i ,,2,1 =。
记为i x ∆，即],[1i i i x x x -=∆，n i ,,2,1 =。
并用i x ∆表示区间],[1i i x x -的长度，记},,,max{21n x x x T ∆∆∆= ，再用直线i x x =，1,,2,1-=n i 把曲边梯形分割成n 个小曲边梯形（如上右图）。
在每个小区间],[1i i x x -，n i ,,2,1 =上任取一点i ξ，n i ,,2,1 =，作以)(i f ξ为高，i x ∆为底的小矩形，其面积为)(i f ξi x ∆，当分点不断增多，又分割得较细密时，由于)(x f 连续，它在每个小区间],[1i i x x -上的变化不大，从而可用这些小矩形的面积近似代替相应的小曲边梯形的面积。
于是，该曲边梯形面积的近似值为∑=∆≈n i i i x f S 1)(ξ。
从而i n i i T x f S ∆=∑=→)(lim 10ξ。
2．变力所作的功W设质点受力F 的作用沿x 轴由点a 移动到点b ，并设F 处处平行于x 轴（如下图），同上述，有i ni i x F W ∆≈∑=)(1ξ，而i ni i T x F W ∆=∑=→)(lim 10ξ。
《数学分析》第九章 定 积 分
第9章 定 积 分 （ 2 2 时 ）§1 定积分的定义 （ 2 时 ）一． 背景：1. 曲边梯形的面积:2. 变力所作的功:3. 函数的平均值:4. 原函数的构造型定义: ( [1]P 274—277 )二. 定积分的定义: 三. 举例:例1 已知函数)(x f 2x =在区间] , 0 [b )0(>b 上可积. 用定义求积分⎰bdx x 02.解 取n 等分区间] , 0 [b 作为分法T , n b x i =∆ . 取 , nibx i i ==ξ)1(n i ≤≤. ⎰bdx x 02=∑∑==∞→∞→∆⎪⎭⎫ ⎝⎛=∆n i ni i n i i n x n ib x x 1122lim lim ∞→=n lim ∑=⎪⎭⎫ ⎝⎛ni n b i 132 ∞→=n lim ∑=⎪⎭⎫⎝⎛ni i n b 123∞→=n lim 3)12)(1(6133b n n n n b =++⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛. 由函数)(x f 在区间] , 0 [b 上可积 , 每个特殊积分和之极限均为该积分值 .例2 已知函数)(x f 211x +=在区间] 1 , 0 [上可积, 用定义求积分⎰+1021xdx . 解 分法与介点集选法如例1 , 有⎰+1021xdx∞→=n lim ∑=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+ni n n i 12111∞→=n lim ∑=+ni in n122 . 上式最后的极限求不出来,但却表明该极限值就是积分⎰+121x dx. 例3 讨论Dirichlet 函数)(x D 在区间] 1 , 0 [上的可积性. Ex [1]P 204 1，2 .§2 可积条件（ 3 时 ）一. 必要条件:Th 1 R x f ∈)(],[b a ，⇒ )(x f 在区间] , [b a 上有界.二. 充要条件:1. 思路与方案:思路:鉴于积分和与分法和介点有关,先简化积分和.用相应于分法T 的“最大”和“最小”的两个“积分和”去双逼一般的积分和,即用极限的双逼原理考查积分和有极限, 且与分法T 及介点i ξ无关的条件.方案: 定义上和)(__T S 和下和)(T s .研究它们的性质和当0→T 时有相同极限的充要条件 .2. Darboux 和: 以下总设函数)(x f 在区间] , [b a 上有界.并设M x f m ≤≤)(,其中m 和M 分别是函数)(x f 在区间] , [b a 上的下确界和上确界.定义 Darboux 和, 指出Darboux 和未必是积分和.但Darboux 和由分法T 唯一确定. 分别用)(__T S 、)(T s 和∑)(T 记相应于分法T 的上（大）和、下（小）和与积分和.积分和∑)(T 是数集(多值) . 但总有 )(T s ≤∑)(T ≤ )(__T S , 因此有 )(T s ≤)(__T S .)(T s 和)(__T S 的几何意义 .3. Darboux 和的性质: 本段研究Darboux 和的性质, 目的是建立Darboux 定理.先用分点集定义分法和精细分法: T ≤T '表示T '是T 的加细 . 性质1 若T ≤T ', 则)(T s )(T s '≤,)(__T S ≥)(__T S '. 即:分法加细, 大和不增,小和不减. 性质2 对任何T ,有 ≤-)(a b m )(__T S ,)(a b M -≥)(T s . 即:大和有下界,小和有上界. 性质3 对任何1T 和 2T , 总有)(1T s ≤)(2__T S .即:小和不会超过大和. 证 )(1T s ≤ )(21T T s + ≤ )(21__T T S + ≤ )(2__T S . 性质4 设T '是T 添加p 个新分点的加细. 则有)(T s ≤)(T s '≤)(T s + p )(m M -T ,)(__T S ≥)(__T S '≥)(__T S T m M p )( --.证 设1T 是只在T 中第i 个区间] , [1i i x x -内加上一个新分点x 所成的分法, 分别设 )(sup ],[11x f M x x i -=, )(sup ],[2x f M i x x =, )(s u p ],[1x f M i i x x i -= .显然有1M m ≤ 和 M M M i ≤≤2.于是)()()()()(021111x x M x x M x x M T S T S i i i i i -----=-≤-- ≤--+--=-))(())((211x x M M x x M M i i i i))(())(())((11----=--+--≤i i i i x x m M x x m M x x m M T m M )(-≤. 添加p 个新分点可视为依次添加一个分点进行p 次. 即证得第二式.同理可证第一式.推论 设分法T '有p 个分点，则对任何分法T ，有)( ||||)()(T S T m M p T S '≤--， )( ||||)()(T s T m M p T s '≥-+.证 )( )( ||||)()(T S T T S T m M p T S '≤'+≤--. )( )( ||||)()(T s T T s T m M p T s '≥'+≥-+.4. 上积分和下积分:设函数)(x f 在区间] , [b a 上有界.由以上性质2，)(T s 有上界,)(__T S 有下界.因此它们分别有上确界和下确界. 定义 记⎰badx x f )()(inf T S T =,⎰badx x f )()(sup T s T=. 分别称⎰ba和⎰ba为函数)(x f 在区间] , [b a 上的上积分和下积分.对区间] , [b a 上的有界函数)(x f ,⎰ba和⎰ba存在且有限,⎰ba≥⎰ba.并且对任何分法T ,有)(T s ≤⎰ba≤⎰ba≤)(__T S .上、下积分的几何意义.例1 求⎰1dx x D )(和⎰1dx x D )(.其中)(x D 是Dirichlet 函数.5. Darboux 定理:Th 1 设函数)(x f 在区间] , [b a 上有界, T 是区间] , [b a 的分法.则有 0lim →T )(__T S =⎰badx x f )(, 0lim →T )(T s =⎰badx x f )(.证 (只证第一式. 要证:对 , 0 , 0>∃>∀δε使当δ<T 时有≤0-)(__T S ⎰baε<.≤0-)(__T S ⎰ba是显然的. 因此只证 -)(__T S ⎰baε<. )⎰ba)(inf T S T =⇒ 对T '∃>∀ , 0ε,使)(__T S '<⎰ba*) , 2ε+ 设T '有p 个分点,对任何分法T ,由性质4的系,有-)(__T S p )(m M -T ≤ )(__T S ', 由*)式, 得-)(__T S p )(m M -T ≤ )(__T S '<⎰ba, 2ε+ 即-)(__T S p )(m M -T <⎰ba, 2ε+亦即)(__T S ⎰-ba < 2+εp )(m M -T .于是取)(2m M p -=εδ, (可设m M >, 否则)(x f 为常值函数,⎰ba= )(__T S 对任何分法T 成立.) 对任何分法T , 只要 δ<T , 就有≤0-)(__T S ⎰baεεε=+<22.此即lim →T )(__T S =⎰badx x f )(.6. 可积的充要条件:Th 2 (充要条件1)设函数)(x f 在区间] , [b a 上有界.)(x f ] , [ b a R ∈ ⇔⎰ba=⎰ba.证)⇒ 设⎰badx x f )(=I,则有0l i m→T ∑∆iixx f )(=I .即对 , 0 , 0>∃>∀δε使当δ<T 时有 |∑∆i i x x f )(I -| <2ε对i i x ∆∈∀ ξ成立. 在每个 ] , [1i i x x -上取i η, 使)(0i i f M η-≤)(2a b -<ε, 于是,| )(__T S ∑-)(i f ηi x ∆| =))( (i i f M η-∑i x ∆ <2ε. 因此, δ<T 时有| )(__T S I -| ≤ | )(__T S ∑-)(i f ξi x ∆| + |∑∆i i x x f )(I -| <2ε + 2ε=ε. 此即0lim →T )(__T S =I . 由Darboux 定理 ,⇒⎰b a= I .同理可证⎰ba= I ⇒⎰ba=⎰ba.)⇐ 对任何分法T , 有)(T s ≤∑)(T ≤ )(__T S , 而l i m →T )(T s =⎰ba=⎰ba= 0lim →T )(__T S .令⎰ba和⎰ba的共值为I , 由双逼原理 ⇒ 0lim→T ∑)(T =I .Th 3 )(x f 有界. )(x f ] , [ b a R ∈ ⇔ 对 , , 0∍∃>∀T ε-)(__T S )(T s ε<. 证 )⇒)(x f ] , [ b a R ∈⇒0lim →T ( -)(__T S )(T s ) = 0. 即对 , 0 , 0>∃>∀δεδ<∀T T , 时, ⇒ ≤0-)(__T S )(T s ε<.)⇐ )(T s ≤⎰ba≤⎰ba≤)(__T S ,由-)(__T S )(T s ε<⇒≤0⎰ba–⎰baε<,⇒⎰ba=⎰ba.定义 称i ωi i m M -=为函数)(x f 在区间] , [1i i x x -上的振幅或幅度.易见有i ω≥ 0 . 可证i ω=.)()(sup],[,1x f x f i i x x x x ''-'-∈'''Th 3’ (充要条件2 ))(x f 有界.)(x f ] , [ b a R ∈⇔对, , 0∍∃>∀T ε∑<∆εωiIx.Th 3’ 的几何意义及应用Th 3’的一般方法:为应用Th 3’,通常用下法构造分法T :当函数)(x f 在区间] , [b a 上含某些点的小区间上i ω作不到任意小时, 可试用)(x f 在区间] , [b a 上的振幅m M -=ω作i ω的估计,有i ω≤ ω.此时,倘能用总长小于0 ( 2≠ωωε, 否则)(x f 为常值函数)的有限个小区间复盖这些点，以这有限个小区间的端点作为分法T的一部分分点，在区间] , [b a 的其余部分作分割，使在每个小区间上有i ω<)(2a b -ε, 对如此构造的分法T , 有∑=∆n i iix 1ω∑∑=-=∆+∆=mk mn j j j k kx x 11ωω<∑∑=-=≤∆+∆-mk mn j jkxx a b 11)(2ωε∑∑-==∆+∆-≤m n j j ni i x x a b 11)(2ωεεωεωε=+--≤2 )()(2a b a b . Th 4 ( (R )可积函数的特征) 设)(x f 在区间] , [b a 上有界.)(x f ] , [ b a R ∈⇔对0 >∀ε和0 , 0 >∃>∀δσ,使对任何分法T ,只要 δ<T ,对应于εω≥'i 的那些小区间i x '∆的长度之和σ<∆∑'i x.证)⇒)(x f 在区间] , [b a 上可积, 对0 >∀ε和 0 , 0 >∃>∀δσ,使对任何分法T , 只要δ<T , 就有σεσωωε<∆⇒<∆≤∆≤∆∑∑∑∑''''i iii i i x xx x .)⇐ 对 , , 0∍∃>∀T εεω≥'i 的区间总长小于,ωε此时有∑∑∑∑∑==''=='''+-≤∆+∆≤∆+∆=∆mk ni i mk k ni i i k k i i a b x x x x x 1111)( ωεωεωεωωω =).1(+-a b ε三． 可积函数类：1． 闭区间上的连续函数必可积： Th 5 （ 证 ）2． 闭区间上有界且仅有有限个间断点的函数可积 . Th 6 （ 证 ）推论1 闭区间上按段连续函数必可积.推论2 设函数)(x f 在区间] , [b a 上有界且其间断点仅有有限个聚点, 则函数)(x f 在区间] , [b a 上可积.例2 判断题: 闭区间上仅有一个间断点的函数必可积 . ( )闭区间上有无穷多个间断点的函数必不可积 . ( ) 3. 闭区间上的单调函数必可积： Th 7 （ 证 ）例3 , 2 , 1 . 111 , 1, 0, 0)(=⎪⎩⎪⎨⎧<<+==n n x n nx x f 证明)(x f 在] 1 , 0 [上可积.Ex [1]P 288—289 3 — 7.§3 定积分的性质（ 3 时 ）一. 定积分的性质:1.线性性质:Th 1 k b a R f ],,[∈为常数⇒ ],,[b a R kf ∈且⎰⎰=b abaf k kf . （ 证 ）Th 2 ],[,b a R g f ∈⇒ ],[b a R g f ∈±, 且⎰⎰⎰±=±bababag f g f )(.（ 证 ）综上, 定积分是线性运算 .2. 乘积可积性:Th 3 ],[,b a R g f ∈⇒],[b a R g f ∈⋅.证 f 和g 有界. 设)(sup , |)(|sup ],[],[x g B x f A b a b a ==, 且可设0 , 0>>B A .(否则f 或g恒为零). 插项估计∑∆⋅iix g f )(ω,有|)()()()(|sup )(,x g x f x g x f g f ix x x i ''''-''=⋅∆∈'''ωix x x ∆∈'''≤,sup )( )(|])()(| |)(| |)()(| |)(| [g A f B x g x g x f x f x f x g i i ωω+≤''-'''+''-''.但一般⎰⎰⎰⋅≠⋅bab abag f g f .3. 关于区间可加性:Th 4有界函数f 在区间],[c a 和],[b c 上可积⇔)(x f ] , [ b a R ∈,并有⎰⎰⎰+=bccaba.(证明并解释几何意义)规定:0=⎰aa,⎰⎰-=abba.推论 设函数f 在区间] , [B A 上可积. 则对∈∀b a , ] , [B A ,有⎰⎰⎰+=bccaba.（ 证 ）4. 积分关于函数的单调性:Th 5 设函数],[,b a R g f ∈, 且f ≤g , ⇒⎰baf ≤⎰bag .（ 证 ）(反之确否?)积分的基本估计:)(a b m -≤⎰baf ≤)(a b M -.其中m 和M 分别为函数f 在区间] , [b a 上的下确界与上确界.5. 绝对可积性:Th 6 设函数],[b a R f ∈⇒],[||b a R f ∈, 且⎰baf ||≥⎰baf .|| (注意b a <.)证 以)()(|)(||)(|x f x f x f x f ''-'≤''-' 证明∑≤∆iix f |)(|ω∑∆iixf )(ω;以 |)(| )( |)(|x f x f x f ≤≤-证明不等式.注: 该定理之逆不真. 以例 ⎩⎨⎧-=. , 1,, 1)(为无理数为有理数x x x f 做说明.6. 积分第一中值定理:Th 7 (积分第一中值定理)],[b a C f ∈⇒∈∃ξ] , [b a ,使⎰baf =)(ξf )(a b -.Th 8 (推广的积分第一中值定理) ],,[,b a C g f ∈ 且g 不变号.则∈∃ξ] , [b a ,使g f ba⎰=)(ξf ⎰bag . （ 证 ）Ex [1]P 299—300 1 —7.二. 变限积分: 定义上限函数⎰=Φx adt t f x )()(，（以及函数⎰=ψbxdt t f x )()(）其中函数],[b a R f ∈. 指出这是一种新的函数, 也叫做面积函数. Th 8 ( 面积函数的连续性 )三. 举例:例 1 设],[,b a R g f ∈. 试证明: ⎰∑=∆=→bani i i i T fg x g f 1)()(lim ηξ.其中i ξ和i η是i ∆内的任二点,=T {i ∆}, n i , , 2 , 1 =.例2 比较积分⎰1dx ex与⎰12dx e x 的大小.例3 设 ],,[b a C f ∈ 0)(≥x f 但0)(≡/x f . 证明⎰baf >0.例4 证明不等式⎰<-<222sin 2112πππx dx .证明分析: 所证不等式为⎰⎰⎰<-<2222.2sin 211πππdx x dx dx 只要证明在]2,0[π上成立不等式≤12sin 211212≤⎪⎭⎫ ⎝⎛--x , 且等号不恒成立, 则由性质4和上例得所证不等式.例5 证明 ⎰=∞→200cos lim πxdx nn .§4 定积分的计算（ 4 时 ）引入：由定积分计算引出 . 思路：表达面积函数⎰=Φxadt t f x )()(.一． 微积分学基本定理：1. 变限积分的可微性 —— 微积分学基本定理： Th 1 （微积分学基本定理）若函数],,[b a C f ∈ 则面积函数⎰=Φxadt t f x )()(在] , [b a 上可导，且)(x Φ'=⎰=xa x f dt t f dxd )()(. 即: 当],[b a C f ∈时, 面积函数⎰=Φxadt t f x )()(可导且在点∈x ] , [b a 的导数恰为被积函数在上限的值.亦即)(x Φ是)(x f 的一个原函数. 推论 连续函数必有原函数.2. Newton — Leibniz 公式： Th 2 （ N — L 公式 ）( 证 )例1 ⅰ> ⎰bdx x 02; ⅱ> ⎰baxdx e ;例2⎰-ee xdx 1ln .例3⎰+121x dx. ( 与§1 例3 联系 ) 例4 设],,[b a C f ∈0)(≥x f 但0)(≡/x f . 证明⎰baf >0. ( §3 例3对照.)证明分析:证明⎰⎰<=aabadx x f dx x f )()(0.设⎰=Φx adt t f x )()(,只要证明)()(b a Φ<Φ.为此证明: ⅰ>)(x Φ↗ ( 只要0)(≥Φ'x ),ⅱ> 但)(x Φ不是常值函数(只要0)(≡/Φ'x ), ⅲ> 又0)(≥Φa . ( 证 )例5 证明 ⎰=+∞→1.01lim dx x x n n ( 利用[0,1]上的不等式.10x x x n≤+≤ ) Ex [1]P 309 1，2，4⑴─⑽二． 定积分换元法：Th 3 设],,[b a C f ∈ 函数φ满足条件：ⅰ> b a ==)(, )(βφαφ, 且 ],[ , )(βαφ∈≤≤t b t a ; ⅱ> )(t φ在],[βα上有连续的导函数.则⎰⎰'=badt t t f dx x f βαφφ)()]([)(. （ 证 ）例6 ⎰-1021dx x .例7 ⎰2cos sin πtdt t .例8 计算 ⎰++=1021)1ln(dx xx J . 该例为技巧积分. 例9 ⎰-+a x a x dx 022. 该例亦为技巧积分.例10 已知 ⎰-=324)(dx x f , 求 ⎰+212.)1(dx x xf 例11设函数)(x f 连续且有⎰=10.3)(dx x f 求积分⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100.)()(dx x f dt t f x ) 23 ( 例12 设)(x f 是区间)0( ],[>-a a a 上连续的奇（或偶函数）函数，则⎰-=a a dx x f 0)(， （⎰⎰-=a a adx x f dx x f 0)(2)( . ） 例13 []⎰--=--+223235c o s 3s i n 2ππdx arctgx e x x x x x .. 三. 分部积分公式:Th 4 (分部积分公式)例14 ⎰1.dx xe x例15 计算 ⎰⎰==220c o s s i n ππx d x x d x J n n n .解 ⎰'-=-201)(c o s s i n πdx x x J n n = ⎰'+---201201)(sin cos |cos sinππdx x x x x n n ⎰---=--=--20222)1()1()sin 1(sin )1(πn n n J n J n dx x x n ；解得 ,12--=n n J n n J 直接求得 ⎰==2011sin πxdx J ， ⎰==2002ππdx J . 于是, 当n 为偶数时, 有 ==--⋅-=-=-- 422311n n n J n n n n J n n J 2!!!)!1(224)2(135)3)(1(21432310ππ⋅-=⋅⋅-⋅⋅--=⋅⋅⋅--⋅-=n n n n n n J n n n n ; 当n 为奇数时, 有 !!!)!1(32542311n n J n n n n J n -=⋅⋅⋅--⋅-=. 四. Taylor 公式的积分型余项: [1]P 228—229.Ex [1]P 310 4⑾—⒇，5，6，7.。
!定积分计算方法总结
摘要定积分是数学分析中的一个基本问题，而计算定积分是最基本最重要的问题.它在许多实际问题有着广泛的应用.下面针对定积分的计算方法做一个比较详细的总结，常见的包括分项积分、分段积分法、换元积分法、分部积分法.但对于不能直接找出原函数的定积分，或者被积函数比较复杂时，往往是比较难求出原函数的，从而无法用牛顿-莱布尼兹公式求解.针对这样的情形，本文总结用欧拉积分求解定积分、留数在定积分上的运用、巧用二重积分求解定积分、反函数求解定积分以及带积分型余项的泰勒公式在定积分上的应用，并列举相应的例子进行说明.关键词: 定积分; 被积函数; 原函数; 牛顿-莱布尼兹公式目录1 引言2 定计算的计算方法2.1 分项积分法······························ (1)2.2 分段积分法······························ (2)2.3 换元积分法 (3)2.4 分部积分法 (5)2.5 欧拉积分在定积分计算中的应用 (9)2.6 留数在定积分计算上的应用 (10)2.7 巧用二重积分求解定积分 (10)2.8 反函数法求解定积分 (10)2.9 带积分型余项的泰勒公式在定积分上的应用 (11)3 总结 (12)浅谈定积分的计算1.引言定积分的计算是微积分学的重要内容，其应用十分广泛，它是包括数学及其其他学科的基础.本文归纳总结了常见的定积分计算方法(如[1-4])，其中包括分项积分法、分段积分法、换元积分法以及分部积分法.另外对于找不出原函数的定积分，或者被积函数十分复杂时，往往是很难求出其原函数，从而无法用牛顿-莱布尼兹公式求解.针对这样的情形，我们有必要在此基础上研究出新的计算方法.对此本文总结了一些另外的方法(如[5-9])，其中包括欧拉积分求解定积分、运用留数计算定积分、巧用二重积分求解定积分、反函数法求解定积分以及带积分型余项的泰勒公式在定积分上的应用,进行了一一列举，并通过例子加以说明.2.定积分的计算方法2.1 分项积分法我们常把一个复杂的函数分解成几个简单的函数之和：，若右端的积分会求，则应用法则1122()()f x k g x k g x =()+,其中，是不全为零的任意常数，就可求1122()()bbba aaf x dx kg x dx k g x dx =⎰⎰⎰()+1k 2k 出积分，这就是分项积分法.()baf x dx ⎰例2-1[1] 计算定积分. 414221(1)dx x x π+⎰解 利用加减一项进行拆项得==414221(1)dx x x π+⎰2241422(1)(1)x x dx x x π+-+⎰41421dx x π⎰-2241222(1)(1)x x dxx x π+-+⎰=+=++.41421dx xπ⎰-41221dx x π⎰412211dx x π+⎰-313x 412π4121xπarctan x412π=.364415arctan 323ππ-+-+例2-2 计算定积分.1⎰解 记J ==1⎰1⎰=+3221x dx ⎰21⎰再将第二项拆开得J=++=++3221x dx ⎰3221(1)x dx -⎰1221(1)x dx -⎰522125x 52212(1)5x -32212(1)3x -=+.52225232.2 分段积分法分段函数的定积分要分段进行计算，这里重要的是搞清楚积分限与分段函数的分界点之间的位置关系，以便对定积分进行正确的分段.被积函数中含有绝对值时，也可以看成分段函数，这是因为正数与负数的绝对值是以不同的方式定义的，0就是其分界点.例2-3[2]计算定积分.221(1)min ,cos 2x x dx ππ-⎧⎫+⎨⎬⎩⎭⎰解 由于为偶函数，在上的分界点为，所以1min ,cos 2x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦3π=+221(1)min ,cos 2x x dx ππ-⎧⎫+⎨⎬⎩⎭⎰221min ,cos 2x x dx ππ-⎧⎫⎨⎬⎩⎭⎰2012min ,cos 2x dx π⎧⎫⎨⎬⎩⎭⎰==.+320312(cos )2dx xdx πππ+⎰⎰23π+例2-4 计算定积分，其中.20(1)f x dx -⎰111,01()xx x x e f x ≥+<+⎧⎪=⎨⎪⎩解 由于函数的分界点为，所以，令后，有()f x 01t x =-==+20(1)f x dx -⎰11()f t dt -⎰0111x dx e -+⎰1011dx x +⎰=+=+011xx e dx e---+⎰10ln(1)x +01ln(1)x e ---+ln 2=.ln(1)e +2.3 换元积分法（变量替换法）换元积分法可以分为两种类型：2.3.1 第一类换元积分法（也被俗称为“凑微分法”）例2-5[3] 计算定积分.21sin tan dxx xπ+⎰解==21sin tan dxx x π+⎰21cos sin (1cos )xdx x x π+⎰22213cos sin 224sin cos 22x x dx x x π-⎰= =2211tan 2tan 22tan 2xx d x π-⎰2111(tan tan 222tan2x xd x π-⎰=2221111ln tan tan 2242x x ππ-=.21111ln tan tan 2424-+-例2-6 计算定积分.解==1()x x -+=1()x x -+= ⎡-⎣=.152.3.2 第二换元积分法常用的变量替换有：①三角替换；②幂函数替换；③指数函数替换④倒替换．下面具体介绍这些方法．① 三角替换例2-7[4] 计算定积分.31240(1)x x dx -⎰解 由于=，故可令，于是31240(1)x x dx -⎰3124201(1)2x dx -⎰2sin x t ===31240(1)x x dx -⎰arcsin1401cos 2tdt ⎰2arcsin11(1cos 2)8t dt +⎰=arcsin101(12cos 28t ++⎰1cos 42t dt +=arcsin1011(32sin 2sin 4)164t t t ++=1(34sin 16t ++2arcsin10sin sin ))t -=2241(3arcsin 4(1216x x x x ++-=.21(3arcsin 5216x x x +-3arcsin116②幂函数替换例2-8 计算定积分.220sin sin cos xdx x xπ+⎰解 作变量代换，得到2x t π=-=，因此220sin sin cos x dx x xπ+⎰220cos sin cos t dt t t π+⎰==220sin sin cos x dx x x π+⎰2222001sin cos ()2sin cos sin cosx t dx dt x x t t ππ+++⎰⎰=20112sin cos dx x x π+⎰201sin()4dx x ππ+⎰3441sin dx x ππ⎰.3441cos )sin x x ππ-+③倒替换例2-9 计算定积分.解=令得1t x====.1-1-6π2.4 分部积分法定理 3-1[5]若，在上连续，则()x μ'()x ν'[],a b 或.bb b a aa uv dx uv u vdx ''=-⎰⎰bbba a a udv uv vdu =-⎰⎰利用分部积分求的解题方法()ba f x dx ⎰（1）首先要将它写成得形式．ba udv ⎰()ba uv dx '⎰或选择，使用分布积分法的常见题型：,u v 表一被积函数的形式所用方法，，()x n P x e α()sin n P x x α()cos n P x xα，其中为次多项式，为常数()n P x n α进行次分部积分，每次均取，n x e α，为，多项式部分sin x αcos x α()v x '为()u x ,，()n P x ln x ()n P x arcsin x α即多项式与对数函数或()n P x arctan x 取为，，，()n P x ()v x 'ln x arcsin x α等为．分部积分一次后被arctan x ()u x反三角函数的乘机积函数的形式发生变化，x e αsin x βx e αcos xβ取=（或），，x e α()v x '()u x sin x β为（或），进行两次分cos x β()u x ()v x '部积分（2）多次应用分部积分法，每分部积分一次得以简化，直至最后求出．（3）用分部积分法有时可导出的方程，然后解出．()ba f x dx ⎰（4）有时用分部积分法可导出递推公式．例2-10[6]计算定积分.2220sin x xdx π⎰解 于，所以21sin (1cos 2)2x x =-==222sin x xdx π⎰2201(1cos 2)2x x dx π-⎰322211sin 264x x d x ππ-⎰连续使用分部积分得=222sin x xdx π⎰32220111(sin 2)sin 2642x x x x xdx ππ-+⎰=3222111(sin 2)cos 2644x x x xd x ππ--⎰=3221111(sin 2cos 2sin 2)6448x x x x x x π--+=.3488ππ+例2-11[7]计算定积分．220sin x x e xdx π⎰解 因为==20sin xe xdx π⎰20sin xxde π⎰20sin xe xπ-20cos xxde π⎰= 所以20(sin cos )xe x x π-20sin x e xdx π-⎰= = 于是2sin xe xdx π⎰1220(sin cos )xe x x π-21(1)2e π+=+20cos xe xdx π⎰cos xe x20π20sin x e xdxπ⎰==201(sin cos )2x e x x π+21(1)2e π-从而=220sin xx e xdx π⎰2201(sin cos )2x x d e x x π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦⎰ =2201(sin cos )2x x e x x π-20(sin cos )x xe x x dxπ--⎰=2201(sin cos )2x x e x x π-201(sin cos )2x xd e x x π⎡⎤--⎢⎥⎣⎦⎰201(sin cos )2x xd e x x π⎡⎤++⎢⎥⎣⎦⎰=2201(sin cos )2x x e x x π-21(sin cos )2x xe x x π--201(sin cos )2x e x x dx π+-⎰201(sin cos )2x xe x x π++201(sin cos )2x e x x dx π-+⎰=2201(sin cos )2x x e x x π-20cos xxe xπ+20cos x e xdxπ-⎰=2201(sin cos )2x x e x x π-20cos xxe xπ+-201(sin cos )2x e x x π+=22201(1)sin (1)cos 2x e x x x x π⎡⎤---⎣⎦=.221(1)242e ππ-+例2-12[8] 计算定积分，其中为正整数．sin n x x dx π⎰n 解=(21)2sin k k x x dx ππ+⎰(21)2sin k k x xdxππ+⎰作变量替换得2t x k π=-=(21)2sin k k x xdx ππ+⎰(2)sin t k tdtππ+⎰=0sin 2sin t tdt k tdtπππ+⎰⎰==0cos cos 2cos t ttdt k tππππ-+-⎰(41)k π+=(22)(21)sin k k x x dx ππ++⎰(22)(21)sin k k x xdxππ++-⎰作变量替换得2t x k π=-==-(22)(21)sin k k x xdx ππ++-⎰2(2)sin t k tdt πππ-+⎰22sin 2sin t tdt k tdtπππππ--⎰⎰=222cos cos 2cos t tdttdt k tπππππππ-+⎰=(43)k π+当为偶数时，n =0sin n x x dx π⎰12(21)(22)2(21)0(sin sin )n k k k k k x x dx x xdx ππππ-+++=+∑⎰⎰=[]12(41)(43)n k k k ππ-=+++∑=(1)224222n n n π⎡⎤-⎢⎥=⋅+⎢⎥⎢⎥⎣⎦2n π当为奇数时，n =0sin n x x dx π⎰32(21)(22)2(21)(1)0(sin sin )sin n k k n k k n k x x dx x x dx x x dxππππππ-+++-=++∑⎰⎰⎰=[]321(41)(43)(41)2n k n k k πππ-=-++++⋅+∑=324(21)(21)n k k n ππ-=++-∑=31()()12242(21)22n n n n ππ--⎡⎤⋅⎢⎥-⋅++-⎢⎥⎢⎥⎣⎦=.2nπ2.5 欧拉积分在定积分计算中的应用定义 2-1[4] 形如=的含参变量积分称为函数，或(,)p q B 1110(1)p q x x dx ---⎰Beta 第一类积分。
数学分析定积分范文
数学分析定积分范文首先，让我们从定积分的定义开始。
给定一个函数f(x)，在闭区间[a,b]上的定积分表示为：∫[a,b] f(x) dx其中，f(x)是定义在[a, b]上的连续函数。
在这个表达式中，∫是积分号，a和b是积分区间的上下限，f(x)是被积函数，dx表示在x轴上的微小长度。
定积分可以被理解为曲线f(x)与x轴之间的面积。
然而，定积分的原始定义是通过将积分区间划分为无穷多个小的子区间来求得。
定积分的定义如下：∫[a,b] f(x) dx = lim(n→∞) Σ(1→n) f(xi)Δx其中，xi是子区间中的一些点，Δx是子区间的长度。
通过令子区间的数量趋向无穷大，我们可以得到准确的定积分值。
接下来，让我们来讨论一些定积分的基本性质。
首先，定积分具有线性性质。
也就是说，对于任意两个函数f(x)和g(x)，以及任意的实数a和b，有以下性质成立：∫[a,b] (af(x) + bg(x)) dx = a∫[a,b] f(x) dx + b∫[a,b] g(x) dx其次，定积分的区间可以进行换元。
例如，设x的取值范围是[a,b]，而y是x的函数y=g(x)，那么有以下等式成立：∫[a,b] f(g(x))g'(x) dx = ∫[g(a),g(b)] f(y) dy这个性质被称为变量替换法则。
另外，定积分满足区间可加性。
也就是说，如果把积分区间[a,b]划分为两个子区间[a,c]和[c,b]，那么有以下等式成立：∫[a,b] f(x) dx = ∫[a,c] f(x) dx + ∫[c,b] f(x) dx这个性质是基于定积分的定义，通过对两个子区间分别进行积分，然后将结果相加得到的。
最后，我们来讨论一些常见的定积分的求解方法。
首先，最简单的情况是当被积函数是一个多项式的时候。
对于这种情况，我们可以使用幂的积分公式进行求解。
例如，对于函数f(x)=x^n，其中n是一个正整数，有以下公式成立：∫ x^n dx = (1/(n+1))x^(n+1) + C其中C是常数。
数学分析中的积分求解方法
数学分析中的积分求解方法在数学分析中，积分是一个重要的概念和工具。
它可以用来计算曲线下面的面积、求解定积分以及解决一些实际问题。
本文将介绍一些常见的积分求解方法，包括不定积分和定积分。
一、不定积分不定积分是指对一个函数进行积分，得到的结果是一个含有未知常数的函数。
不定积分的符号表示为∫f(x)dx，其中f(x)是要求积分的函数。
不定积分的求解方法有很多，下面将介绍其中的几种常见方法。
1. 基本积分法基本积分法是指根据一些已知的基本积分公式，将要求积分的函数转化为基本积分公式中的形式，从而求解积分。
例如，对于函数f(x) = x^n，其中n为任意实数，其基本积分公式为∫x^n dx = (1/(n+1))x^(n+1) + C，其中C为常数。
2. 分部积分法分部积分法是指将要求积分的函数进行分解，然后利用分部积分公式进行求解。
分部积分公式为∫u dv = uv - ∫v du，其中u和v是要求积分的函数。
通过适当选择u和dv，可以将原函数转化为更容易求解的形式。
3. 代换积分法代换积分法是指通过代换变量的方法将要求积分的函数转化为一个更容易求解的形式。
常见的代换变量有三角函数代换、指数函数代换和倒数代换等。
通过选择合适的代换变量，可以简化积分的计算过程。
二、定积分定积分是指对一个函数在给定区间上的积分，得到的结果是一个确定的数值。
定积分的符号表示为∫[a,b]f(x)dx，其中[a,b]表示积分区间。
定积分的求解方法有很多，下面将介绍其中的几种常见方法。
1. 几何解释法几何解释法是指将定积分的计算问题转化为几何问题，通过计算图形的面积或体积来求解定积分。
例如，对于一条曲线y=f(x)，其在区间[a,b]上的定积分∫[a,b]f(x)dx可以表示为该曲线下方的面积。
2. 分割求和法分割求和法是指将定积分的区间分割成若干小区间，然后对每个小区间内的函数进行求和，最后将这些求和结果相加得到定积分的近似值。
数学分析之定积分的应用
第十章定积分的应用教学要求：1.理解微元法的思想，并能够应用微元法或定积分定义将某些几何、物理等实际问题化成定积分；2.熟练地应用本章给出的公式，计算平面区域的面积、平面曲线的弧长，用截面面积计算体积、旋转体的体积和它的侧面积、变力作功等。
教学重点：熟练地应用本章给出的公式，计算平面区域的面积、平面曲线的弧长，用截面面积计算体积、旋转体的体积和它的侧面积、变力作功等教学时数：10学时§ 1 平面图形的面积（ 2 时）教学要求：1.理解微元法的思想，并能够应用微元法或定积分定义将某些几何、物理等实际问题化成定积分；2.熟练地应用本章给出的公式，计算平面区域的面积。
教学重点：熟练地应用本章给出的公式，计算平面区域的面积一、组织教学：二、讲授新课：（一）直角坐标系下平面图形的面积：型平面图形 .1.简单图形：型和2.简单图形的面积 : 给出型和型平面图形的面积公式.对由曲线和围成的所谓“两线型”图形, 介绍面积计算步骤. 注意利用图形的几何特征简化计算.求由曲线围成的平面图形的面积.例1例2求由抛物线与直线所围平面图形的面上的曲边（二）参数方程下曲边梯形的面积公式：设区间梯形的曲边由方程给出 .又设, 就有↗↗, 于是存在反函数. 由此得曲边的显式方程.,亦即.具体计算时常利用图形的几何特征 .求由摆线的一拱与轴例3所围平面图形的面积.例4 极坐标下平面图形的面积:推导由曲线和射线所围“曲边扇形”的面积公式. (简介微元法，并用微元法推导公式 . 半径为,的扇形面积为 . )顶角为例5求由双纽线所围平面图形的面积 .解或. ( 可见图形夹在过极点,的两条直线之间 ) . 以代方程不变,倾角为图形关于因此.三、小结：§ 2 由平行截面面积求体积（ 2 时）教学要求：熟练地应用本章给出的公式，用截面面积计算体积。
教学重点：熟练地应用本章给出的公式，用截面面积计算体积.（一）已知截面面积的立体的体积:设立体之截面面积为推导出该立体之体积.祖暅原理: 夫幂势即同 , 则积不容异 . ( 祖暅系祖冲之之子齐梁时人 , 大约在五世纪下半叶到六世纪初 )例1求由两个圆柱面和所围立体体积 .P244 例1 ( )例2 计算由椭球面所围立体 (椭球 )的体积 .[1] P244例2 ( )（二）旋转体的体积: 定义旋转体并推导出体积公式..例3 推导高为, 底面半径为的正圆锥体体积公式.例4 求由曲线和所围平面图形绕轴旋转所得立体体积.绕轴一周所得旋转体体积.( 1000)例5 求由圆§ 3 曲线的弧长( 1 时 )教学要求：熟练地应用本章给出的公式，计算平面曲线的弧长。
定积分的性质
数学分析 第九章 定积分
高等教育出版社
§1 定积分的性质
性质3
定积分的性质
积分中值定理
若 f , g 在 [a, b] 上可积，则 f g 在 [a, b] 上也可积.
证 因 f , g 在[a,b]上可积，故在[a,b]上都有界，
即M 0, x [a,b], f (x) M , g(x) M .
则
b
b
f ( x)dx g( x)dx.
a
a
证 设 F ( x) g( x) f ( x) 0, x [a, b], 则
b
b
b
0 a F ( x)dx a g( x)dx a f ( x)dx,
即
b
b
a f ( x)dx a g( x)dx.
数学分析 第九章 定积分
高等教育出版社
数学分析 第九章 定积分
高等教育出版社
§1 定积分的性质
定积分的性质
积分中值定理
性质4
f 在[a, b]上可积的充要条件是: c (a, b),
f 在 [a, c] 与 [c, b] 上都可积. 并且
b
c
b
a f ( x)dx a f ( x)dx c f ( x)dx
证(充分性) 若 f 在 [a, c] 与 [c, b] 上可积,则
积分中值定理
性质1
若 f 在 [a,b] 上可积， k 为常数, 则 k f 在[a, b]
上也可积，且
b
k f (x)d x k
b
f (x)d x.
a
a
证 记
J
b
f (x)d x.
由 f 在 [a, b] 上可积, 故
第2讲 定积分定义
任取ξi ∈[ xi−1, xi ], 作和：
n
∑ f (ξi )Δxi .
i =1
上述和式称为 f 在分割 T 下的一个积分和或黎曼和.
数学分析 第九章 定积分
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§1 定积分的概念
若 ∀ε > 0，∃δ > 0, 使得对任意分割
T : a0 = x0 < x1 < < xn = b,
通过类似分析,速度 v(t) 质点运动的路程为
b
s = ∫a v(t)dt;
密度为 ρ( x) 线状物体的质量为
b
m = ∫a ρ( x)dx.
数学分析 第九章 定积分
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§1 定积分的概念
关于定积分定义，应注意以下几点：
n
注1 ∑ 和式 f (ξi )Δxi 不仅与 n 和 T 有关,还与
∫ ∑ b
n
J=
a
f ( x)dx
=
lim
T →0
i =1
f (ξi )Δxi .
其中称 f 为被积函数,[a, b] 为积分区间, x 为积分变量，
a, b 分别为积分下限和上限.
数学分析 第九章 定积分
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§1 定积分的概念
由定义,曲边为 f ( x)的曲边梯形的面积为
b
S = ∫a f ( x)dx.
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§1 定积分的概念
以后将知道 f (x) 在[a, b] 上连续时, 利用 f (x) 在 [a, b] 上的一致连续性, 可证 f (x)在[a, b]上可积.
下面举例来加深理解用定义求定积分的方法.
∫ 例1 求 1 x2dx. 0
定积分的计算方法
定积分的计算方法（临沧师专数理系云南临沧677000）姻文/马忠莲董茂昌摘要：定积分是数学分析的三大基本运算之一。
是计算所有积分的基础。
文章概括了求定积分的各类方法，通过实例介绍了如何运用各类方法求定积分。
关键词：定积分计算定理 若函数()x f 在[a,b]上连续,且()x F 是()x f 的原函数（即'F (x)=f(x),x ∈[a,b]）,则).()()(a F b F dx x f ba-=ò。
这称为牛顿一菜布尼茨公式。
它也常写成()().bab f x dx F x a=ò。
例1 计算定积分ò-2024dx x x 。
分析：先用不定积分法求出24)(x x x f -=的任一原函数，然后完成定积分计算。
解：òò+--=---=-C x x d x dx x x 3222)4(31)4(42142ò=--=-203223802)4(314x dx x x 。
应用牛顿莱布尼兹公式求定积分，这种做法使得所有求不定积分的方法对于定积分都适应。
2.利用换元法计算定积分 定理 （定积分的换元积分法）若函数)(x f 在],[b a 上连续，()t x j =在],[b a 上有连续导数，当b a ££t 时，有b t a ££)(j ，又a =)(a j ，b =)(b j ，则òòò=¢=bebaj j j j )())(()())(()(t d t f dt t t f dx x f ba。
注意：在定积分的换元法中换元时一定要记得讲积分上下限换成新元的对应范围。
（1）第一换元法.具体做法是令被积函数中的一项()t j 为x 。
例2.计算ò202cos sin p tdt t 。
分析： 令t x cos =，逆向应用换元积分公式即可。
解：ò202cos sin ptdt t =ò202)(cos cos p t td =ò012dx x =01331x=-31 （2）第二换元法：具做法是令被积函数中的x 为()t j 。
工科数学分析-4定积分的概念与性质
性质3
假设 acb
设 f ( x ) 在 a , b 上 可 积 , 则 f ( x ) 在 a , c 及 c , b 上 也 可 积 .
且
b
f (x)dx
cf
( x)dx
b
f (x)dx
a
a
c
补充 不论 a,b,c 的相对位置如何,上式总成立.
例 若abc
y f(x)
x ix ix i 1;
(2) 取近似
Ai
在每个小[x区 i1,间 xi] O ax 1
xi1 i x i xn1 b x
上任取一i点 ， 以[xi1,xi ]为底f， (i )为高的小矩形,
面积近似代替 A i , 有 A if(i) x i,i 1 ,2 , n
直线 x =a, x = b之间的 各部分面积的代数和.
在 x 轴上方的面积取正号; 在 x 轴下方的面积
取负号.
y b x
14
定积分的概念与性质
例 求1 1x2dx 0
解 1 1x2dx
0
4
y 1 y 1 x2
o
1
x
(2). 物理意义
当v(t)0时, 定积分
b
lim 0 i1
f(i
)xi
a
f(x)dx0
23
定积分的概念与性质
性质5 如果在区间 [a,b]上f(x)0,
性质5的推论1
则
b
f(x)dx0
(ab)
a
设 f( x ) g ( x ) 在 [ a ,b ] 上 可 积 , 且 f( x ) g ( x ) ,
上两例共同点:
定积分的积分公式
定积分是微积分学与数学分析里的一个核心概念，它是积分的一个重要分支。
与不定积分不同，定积分涉及到一个积分区间，并在这个区间上对函数进行积分。
定积分具有广泛的应用，特别是在求解面积、体积、弧长、功等实际问题中。
下面将详细介绍定积分的积分公式及其相关知识。
一、定积分的基本概念定积分是对一个函数在一个区间上的积分，它的结果是一个实数。
具体来说，设函数f(x)在区间[a, b]上有定义，且在这个区间上可积，则f(x)在[a, b]上的定积分为：∫[a, b] f(x) dx其中，∫表示积分符号，[a, b]表示积分区间，f(x)表示被积函数，dx表示积分变量。
定积分的值与被积函数、积分区间以及积分变量的选取有关。
二、定积分的积分公式定积分的积分公式是通过原函数或基本积分表来求解定积分的一种方法。
常用的定积分公式包括：1. ∫[a, b] k dx = k(b - a)，其中k为常数。
这个公式表示在一个区间上对常数函数进行积分，积分结果等于常数与区间长度的乘积。
2. ∫[a, b] x^n dx = (1/(n+1)) x^(n+1) |[a, b]，其中n≠-1。
这个公式表示在一个区间上对幂函数进行积分，积分结果等于幂函数的指数加1后的倒数与幂函数在区间端点值的差。
3. ∫[a, b] sin(x) dx = -cos(x) |[a, b]。
这个公式表示在一个区间上对正弦函数进行积分，积分结果等于余弦函数在区间端点值的差。
4. ∫[a, b] cos(x) dx = sin(x) |[a, b]。
这个公式表示在一个区间上对余弦函数进行积分，积分结果等于正弦函数在区间端点值的差。
5. ∫[a, b] e^x dx = e^x |[a, b]。
这个公式表示在一个区间上对指数函数进行积分，积分结果等于指数函数在区间端点值的差。
需要注意的是，这些公式中的|[a, b]表示在区间端点a和b处取函数值并进行相减。
此外，这些公式只是定积分的一部分，对于其他类型的函数，可能需要使用其他方法或技巧进行积分。
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电场力 F 对它所作的功．
解 取r 为积分变量，
q
•o
a•
1
•r•
• r
•
• dr
•b
r
r [a,b],
取任一小区间[r, r dr],
功元素
dw
kq r2
dr,
所求功为 w
b
a
krq2 dr
kq
1b r a
kq
1 a
1 b
.
如果要考虑将单位电荷移到无穷远处
w
a
krq2 dr
kq
1 r a
kq a
r 例 1 把一个带 q电量的点电荷放在 轴上坐标原
点处, 它产生一个电场. 这个电场对周围的电荷有作
用力．由物理学知道, 如果一个单位正电荷放在这个电
场中距离原点为 r 的地方, 那么电场对它的作用力的
大小为
F
k
q r2
（k
是常数）,
当这个单位正电荷在
电场中从 r a 处沿 r 轴移动到 r b 处时,计算
.
例2 用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻
力与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第一次 锤击时将铁钉击入1厘米，若每次锤击所作的功
相等，问第 n 次锤击时又将铁钉击入多少？
解 设木板对铁钉的阻力为 f ( x) kx,
第一次锤击时所作的功为
w1
1
0
f
( x)dx
k 2
,
设n次击入的总深度为 h厘米
解 建立坐标系如图
取x为积分变量， x [0,5]
取任一小区间[ x, x dx],
o
x x dx
5
x
这一薄层水的重力为 9.8 32 dx
功元素为 dw 88.2 dx x,
o
x x dx
5
x
5
w 0 88.2 x dx
88.2
x2 2
5 0
3462 (千焦)．
例4 以每秒 a 的流量往半径为 R 的半球形水池
如果平板垂直放置在水中，由于水深不同
的点处压强 p不相等，平板一侧所受的水压力
就不能直接使用此公式，宜采用“微元法” 思想．
例 5 一个横放着的圆柱形水桶，桶内盛有半桶水，
设桶的底半径为 R，水的比重为 ，计算桶的一端
面上所受的压力．
解 在端面建立坐标系如图
取x为积分变量，x [0, R] 取任一小区间[ x, x dx]
(1) 因已知半球可看作此半圆绕 y 轴旋转而成 的立体,故半球内高为h 的球缺的体积即水深 为 h时水池内水的体积为
V (h) h x2dy h (2Ry y2 )dy
0
0
又设水深 h 时已注水的时间为 t , 则有 V (h) at ,
即
h
(2Ry
y2 )dy
at
0
两边对 t 求导,得 (2Rh h2 ) dh a, dt
小矩形片上各处的压强近
似相等 p x,
小矩形片的面积为 2 R2 x2dx.
o
x
x dx
x
小矩形片的压力元素为 dP 2x R2 x2dx
端面上所受的压力
P
R
0
2x
R2 x2dx
R
0
R2 x2d(R2 x2)
2 3
R2
ห้องสมุดไป่ตู้
x2
3
R 0
2
3
R3.
例 6 将直角边各为a及2a的直角三角形薄板
r
的两个质点间的引力的大小为 F
k
m1m2 r2
，
其中k 为引力系数，引力的方向沿着两质点的
连线方向．
如果要计算一根细棒对一个质点的引力， 那么，由于细棒上各点与该质点的距离是变化 的，且各点对该质点的引力方向也是变化的， 就不能用此公式计算．
例 7 有一长度为l 、线密度为 的均匀细棒， 在其中垂线上距棒 a 单位处有一质量为 m的质
2008／12／31
§7.8 定积分的物理应用
一、功
F(x)
o a
x
x dx
b
x
如果物体在作直线运动的过程中有一个不变的
力F 作用在这物体上，且力的方向与物体的运 动方向一致，那么，在物体移动了距离 s 时，力 F 对物体所作的功为W F s.
如果物体在运动的过程中所受的力是变化的， 应采用“微元法”思想.
n次锤击所作的总功为
h
wn 0 f ( x)dx.
wn
h
kxdx
kh2 ,
0
2
依题意知，每次锤击所作的功相等．
wn nw1
kh2 n k , 22
n次击入的总深度为 h n,
第n次击入的深度为 n n 1.
例 3 一圆柱形蓄水池 高为 5 米，底半径为 3 米，池内盛满了水. 问要把池内的水全部 吸出，需作多少功？
点 M ，计算该棒对质点 M 的引力．
解 建立坐标系如图
ly
取y为积分变量
y
l 2
,
2l ,
取任一小区间[ y, y dy]
2 y dy
yr
o a •M
x
将典型小段近似看成质点
l 2
小段的质量为 dy,
小段与质点的距离为 r a2 y2 ,
引力
mdy
F k a2 y2 ,
水平方向的分力元素
内注水. (1) 求在池中水深 h (0 h R)时水
面上升的速度; (2) 若再将满池水全部抽出,
至少需作功多少?
y
解 如图所示建立坐标系.
R
半圆的方程为
h
x2 ( y R)2 R2 (0 y R). o
x
于是对半圆上任一点,有
x2 R2 (R y)2 2Ry y2 (0 y R).
故将满池水全部提升到池沿高度所需功为
W R g (2Ry y2 )(R y)dy 0 g R (2R2 y 3Ry2 y3 )dy 0 gR4 . 4
二、水压力
由物理学知道，在水深为 h处的压强为
p h，这里 是水的比重．如果有一面积为
A的平板水平地放置在水深为 h处，那么，平 板一侧所受的水压力为 P p A．
故所求速度为
dh dt
a (2Rh
h2
)
.
(2) 将满池的水全部抽出所需的最小功即将池内 水全部提升到池沿高度所需的功.
抽水时使水位从 y (0 y R)降到 y dy 所需
的功约为 gx2dy (R y), (g为水的比重)
又 x2 2Ry y2 ,
即功元素dW g (2Ry y2 )(R y)dy.
amdy
dFx
k (a2
y
2
)
3 2
,
Fx
l 2
l 2
k
amdy
(a2 y2 )
3 2
2kml
a(4a 2
l
2
)
1 2
,
由对称性知，引力在铅直方向分力为 Fy 0.
垂直地浸入水中，斜边朝下，直角边与水面平 行，且该边到水面的距离恰等于该边的边长， 求薄板所受的侧压力．
解 建立坐标系如图 面积微元 2(a x)dx,
2a
o 2a
a
dP ( x 2a) 2(a x)dx
x
P
a
0
2(
x
2a)(a
x)dx
7
3
a3
.
三、引力
由物理学知道，质量分别为m1 , m2相距为