第一章 计数原理单元测试题
(易错题)高中数学选修三第一单元《计数原理》测试题(包含答案解析)(3)
一、选择题1．261(12)()x x x+-的展开式中，含2x 的项的系数是（ ） A ．40-B ．25-C ．25D ．552．回文联是我国对联中的一种.用回文形式写成的对联，既可顺读，也可倒读.不仅意思不变，而且颇具趣味.相传，清代北京城里有一家饭馆叫“天然居”，曾有一副有名的回文联：“客上天然居，居然天上客；人过大佛寺，寺佛大过人.”在数学中也有这样一类顺读与倒读都是同一个数的自然数，称之为“回文数”.如44，585，2662等；那么用数字1，2，3，4，5，6可以组成4位“回文数”的个数为（ ） A ．30B ．36C ．360D ．12963．二项式2()nx x-的展开式中，第3项的二项式系数比第2项的二项式系数大9，则该展开式中的常数项为（ ） A ．160-B ．80-C ．80D ．1604．汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝.如图所示的弦图中，由四个全等的直角三角形和一个正方形构成．现有五种不同的颜色可供涂色，要求相邻的区域不能用同一种颜色，则不同的涂色方案有（ ）A ．180B ．192C ．420D ．4805．已知()()()()1521501215111x a a a x a x a x +=+-+-+⋅⋅⋅+-中0a >，若13945a =-，则a 的值为（）A ．2B ．3C ．4D ．56．有m 位同学按照身高由低到高站成一列，现在需要在该队列中插入另外n 位同学，但是不能改变原来的m 位同学的顺序，则所有排列的种数为（ ） A ．mm n C +B ．mm n A +C ．nm n A +D ．m nm n A A +7．已知*n N ∈，设215nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若992M N -=，则展开式中x 的系数为（ ）A ．-250B ．250C ．-500D ．5008．212nx x ⎛⎫ ⎪⎝⎭-的展开式中二项式系数之和是64，含6x 项的系数为a ，含3x 项系数为b ，则a b -=（ ） A ．200 B ．400 C ．-200D ．-4009．设5nx⎛- ⎝的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若M N -=240，则展开式中x 的系数为（ ）A ．300B ．150C ．－150D ．－30010．若从0，1，2，3，4，5这六个数字中选3个数字，组成没有重复数字的三位偶数，则这样的三位数一共有（ ） A ．20个B ．48个C ．52个D ．120个11．在某互联网大会上，为了提升安全级别，将5名特警分配到3个重要路口执勤，每个人只能选择一个路口，每个路口最少1人，最多3人，且甲和乙不能安排在同一个路口，则不同的安排方法有（ ） A ．180种B ．150种C ．96种D ．114种12．疫情期间，上海某医院安排5名专家到3个不同的区级医院支援，每名专家只去一个区级医院，每个区级医院至少安排一名专家，则不同的安排方法共有（ ） A ．60种B ．90种C ．150种D ．240种二、填空题13．化简：()()()1231223312131n n n n nn n n n C p p C p p C p p nC p ----+-+-++=______.14．已知[0,3]a ∈，若62a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的常数项的值不大于15，则a 取值范围为________.15．若投掷一枚质地均匀的骰子，第一次投掷的点数为a ，第二次投掷的点数为b ，则b a >的概率为______.16．(x ＋y )(2x －y )5的展开式中x 3y 3的系数为________. 17．若()()7280128112x x a a x a x a x +-=++++，则127a a a +++的值为__．18．已知(12)n x +展开式中只有第4项的二项式系数最大，则21(1)(12)n x x++展开式中常数项为_______．19．已知02a π=⎰，若2020220200122020(1)()ax b b x b x b x x R -=+++⋯+∈，则20201222020222b b b ++⋯+的值为__. 20．如图所示，在杨辉三角中，斜线AB 上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1，2，3，3，6，4，10，…，记这个数列的前n 项和为S (n )，则S (16)的值为_____.三、解答题21．已知数列{}n a 是等比数列，11a =，公比是4214x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的第二项（按x 的降幂排列）.（1）求数列{}n a 的通项n a ； （2）求数列{}n a 前n 项和n S ；（3）若2112nn n n n n A C S C S C S =++⋅⋅⋅+，求n A .22．（1）3个人坐在有八个座位的一排椅子上，若每个人的左右两边都要有空位，则不同坐法的种数为多少？（2）某高校现有10个保送上大学的名额分配给7所高中学校，若每所高中学校至少有1个名额，则名额分配的方法共有多少种？23．（1）解方程：2399x x C C x N -=∈（）； （2）解不等式：1996x x A A x N ->∈（）24．若某一等差数列的首项为112225113nn nnCA----,公差为325225mx x ⎛ ⎝展开式中的常数项,其中m 是777715-除以19的余数，则此数列前多少项的和最大？并求出这个最大值. 25．已知(2)nx x+的展开式中各项的二项式系数之和为32． ()1求n 的值； ()2求(2nx x的展开式中2x 项的系数； ()3求(2n x x x x ⎛ ⎝展开式中的常数项． 26．若7270127(2)x a a a x a x a x -=++++，且4560a =-.（Ⅰ）求实数a 的值; （Ⅱ）求372126222a a a a ++++的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】写出二项式61()x x-的展开式中的通项，然后观察含2x 项有两种构成，一种是()212x+中的1与61()x x-中的二次项相乘得到，一种是()212x+中的22x与61()x x-中的常数项相乘得到，将系数相加即可得出结果. 【详解】二项式61()x x-的展开式中的通项662166()1C (1)C k kk k k k k T x x x--+=-=-，含2x 的项的系数为223366(1)2(1)25C C -+⨯-=- 故选B. 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．2．B解析：B 【分析】依据回文数对称的特征，可知有两种情况：1、在6个数字中任取1个组成16C 个回文数；2、在6个数字中任取2个26C 种取法，又由两个数可互换位置22A 种，即2262C A 个回文数；结合两种情况即可求出组成4位“回文数”的个数 【详解】由题意知：组成4位“回文数”∴当由一个数组成回文数，在6个数字中任取1个：16C 种 当有两组相同的数，在6个数字中任取2个：26C 种又∵在6个数字中任取2个时，前两位互换位置又可以组成另一个数 ∴2个数组成回文数的个数：22A 种故，在6个数字中任取2个组成回文数的个数：2262C A综上，有数字1，2，3，4，5，6可以组成4位“回文数”的个数为：2262C A +16C =36 故选：B 【点睛】本题考查了排列组合，根据回文数的特征—对称性，先由分类计数得到取数的方法数，再由分步计数得到各类取数中组成回文数的个数，最后加总即为所有组成4位“回文数”的个数3．A解析：A 【分析】根据展开式的二项式系数关系求解n ，结合通项即可得到常数项. 【详解】由题第3项的二项式系数比第2项的二项式系数大9，即()21219,,2,9,61802n n n n C C n N n n n n *--=∈≥-=--= 解得：6n =，二项式62()x x-的展开式中，通项6162()r r rr T C x x-+=-，当r =3时，取得常数项，3333162()160T C x x+=-=-. 故选：A 【点睛】此题考查二项式定理，根据二项式系数关系求解参数，根据通项求展开式中的指定项.4．C解析：C 【分析】就使用颜色的种类分类计数可得不同的涂色方案的总数. 【详解】相邻的区域不能用同一种颜色，则涂5块区域至少需要3种颜色.若5块区域只用3种颜色涂色，则颜色的选法有35C ，相对的两个直角三角形必同色，此时共有不同的涂色方案数为335360C A =（种）.若5块区域只用4种颜色涂色，则颜色的选法有45C ，相对的两个直角三角形必同色，余下两个直角三角形不同色，此时共有不同的涂色方案数为414524240C C A =（种）.若5块区域只用5种颜色涂色，则每块区域涂色均不同，此时共有不同的涂色方案数为55120A =（种）.综上，共有不同的涂色方案数为420（种）. 故选：C. 【点睛】本题考查排列组合的应用，注意根据题设要求合理分类分步，此类问题属于中档题.5．A解析：A 【分析】根据()1515[(1)(1)]x a a x +=--++-利用二项展开式的通项公式、二项式系数的性质、以及13945a =-，即可求得a 的值，得到答案． 【详解】由题意，二项式()()()()1521501215111x a a a x a x a x +=+-+-+⋅⋅⋅+-， 又由()1515[(1)(1)]x a a x +=--++-，所以()()()2151501215[(1)(1)]111a x a a x a x a x --++-=+-+-+⋅⋅⋅+-， 其中0a >，由13945a =-，可得：1321315[(1)]945a C a =-⋅-+=-，即2105(1)945a -+=-，即2(1)9a +=，解得2a =， 故选A ． 【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，其中解答中熟记二项展开式的通项及性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．6．C解析：C 【分析】将问题转化为将这m n +个同学中新插入的n 个同学重新排序，再利用排列数的定义可得出答案． 【详解】问题等价于将这m n +个同学中新插入的n 个同学重新排序，因此，所有排列的种数为n m n A +，故选C.【点睛】本题考查排列问题，解题的关键就是将问题进行等价转化，考查转化与化归数学思想的应用，属于中等题．7．A解析：A 【分析】分别计算各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，代入等式得到n ，再计算x 的系数. 【详解】215nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式取1x =得到4n M = 二项式系数之和为2n N = 429925n n M N n -=-=⇒=5251031551(5)()5(1)r r rr r r r r T C x C x x---+=-=- 取3r = 值为-250 故答案选A 【点睛】本题考查了二项式定理，计算出n 的值是解题的关键.8．B解析：B 【分析】由展开式二项式系数和得n ＝6，写出展开式的通项公式，令r=2和r=3分别可计算出a 和b 的值，从而得到答案. 【详解】由题意可得二项式系数和2n ＝64，解得n ＝6．∴212nx x ⎛⎫ ⎪⎝⎭-的通项公式为：()()6261231661212rr r r r r rr T C x C x x ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， ∴当r=2时，含x 6项的系数为()2262612240C a --==， 当r=3时，含x 3项的系数为()3363612160C b --=-=，则400a b -=, 故选B ． 【点睛】本题考查二项式定理的通项公式及其性质，考查推理能力与计算能力，属于基础题．9．B解析：B 【分析】分别求得二项式展开式各项系数之和以及二项式系数之和，代入240M N -=，解出n 的值，进而求得展开式中x 的系数. 【详解】令1x =，得4n M =，故42240n n M N -=-=，解得4n =.二项式为45x⎛ ⎝，展开式的通项公式为()()134442244515rr r r r r rC x x C x ----⎛⎫⋅⋅-=-⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭，令3412r -=，解得2r，故x 的系数为()2422415150C --⋅⋅=.故选B. 【点睛】本小题主要考查二项式展开式系数之和、二项式展开式的二项式系数之和，考查求指定项的系数，属于中档题.10．C解析：C【分析】由于0不能在首位数字，则分2种情况讨论：①若0在个位，此时0一定不在首位，由排列公式即可得此时三位偶数的数目；②若0不在个位，要排除0在首位的可能，由分步计数原理可得此情况下三位偶数的数目，综合2种情况，由分类计数原理计算可得答案．【详解】根据题意，分2种情况讨论：①若0在个位，此时只须在1，2，3，4，5中任取2个数字，作为十位和百位数字即可，有A52=20个没有重复数字的三位偶数；②若0不在个位，此时必须在2或4中任取1个，作为个位数字，有2种取法，0不能作为百位数字，则百位数字有4种取法，十位数字也有4种取法，此时共有2×4×4=32个没有重复数字的三位偶数，综合可得，共有20+32=52个没有重复数字的三位偶数．故选C．【点睛】本题考查排列组合的应用，涉及分类、分步计数原理的应用，解题需要注意偶数的末位数字以及0不能在首位等性质．11．D解析：D【解析】分析：先不管条件甲和乙不能安排在同一个路口，先算出总共的安排方法，再减去甲和乙在同一个路口的情况即可.详解：先不管条件甲和乙不能安排在同一个路口，分两种情况：①三个路口人数情况3，1，1，共有335360C A=种情况；②三个路口人数情况2，2，1，共有2235332290C CAA⋅=种情况.若甲乙在同一路口，则把甲乙看作一个整体，则相当于将4名特警分配到三个不同的路口，则有234336C A=种，故甲和乙不能安排在同一个路口，不同的安排方法有609036114+-=种.故选：D.点睛：本题考查排列、组合的实际应用，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题.12．C解析：C【分析】先分组1，2，2和1,1,3再安排得解【详解】5名专家到3个不同的区级医院，分为1，2，2和1,1,3两种情况；分为1，2，2时安排有1223542322C C C A A ;分为1，1，3时安排有1133543322C C C A A 所以一共有12211333542543332222150C C C C C C A A A A += 故选：C 【点睛】本题考查排列组合问题，先分组再安排是解题关键.二、填空题13．【分析】由将原式转化为再由二项式定理可得答案【详解】∴故答案为：【点睛】本题考查组合数公式和二项式定理的应用考查转化思想属于中档题解析：np【分析】由11=kk n n kC nC --将原式转化为()()()1232311110121111n n n n nn n n n nC p p nC p p nC p p nC p ---------+-+-++，再由二项式定理可得答案. 【详解】()()()()111!1!!=!()!1!()!1!()!kk n n nk n n n kn kC nC k n k k k n k k n k ----===-----，∴()()()1231223312131n n n n nn n n n C p p C p p C p p nC p ----+-+-++()()()123212311111=111n n n n nn n n n nC p p nC p p nC p p nC p ---------+-+-++()()11211111=11n n n n n n n np C p C p C p p -------+⎦+⎡⎤-+-⎣1[(1)]n np p p -=-+ 11n np -=⋅np =故答案为：np 【点睛】本题考查组合数公式和二项式定理的应用，考查转化思想，属于中档题.14．【分析】由二项式定理及展开式通项得：又所以又时展开式无常数项即a 取值范围为得解【详解】由二项式定理可得：展开式的常数项为又展开式的常数项的值不大于15则又所以又时展开式无常数项即a 取值范围为故答案为 解析：(]0,1【分析】由二项式定理及展开式通项得：41515a ≤，又[]0,3a ∈，所以01a ≤≤，又0a =时，展开式无常数项，即a 取值范围为01a <≤，得解． 【详解】由二项式定理可得：26()a x x+展开式的常数项为422446()()15a C x a x=， 又26()a x x+展开式的常数项的值不大于15， 则41515a ≤， 又[]0,3a ∈， 所以01a ≤≤，又0a =时，展开式无常数项， 即a 取值范围为01a <≤， 故答案为：(]0,1． 【点睛】本题考查了二项式定理及展开式通项，属中档题．15．【分析】将两次点数表示成有序数对分别求出基本事件总数和包含的基本事件个数即可求解概率【详解】将两次点数表示成有序数对根据基本计数原理得：基本事件总数为包含的基本事件个数为所以的概率故答案为：【点睛】 解析：512【分析】将两次点数表示成有序数对(),a b ，分别求出基本事件总数和b a >包含的基本事件个数即可求解概率. 【详解】将两次点数表示成有序数对(),a b ，根据基本计数原理得： 基本事件总数为6636⨯=，b a >包含的基本事件个数为5432115++++=，所以b a >的概率1553612P ==. 故答案为：512【点睛】此题考查古典概型，关键在于准确求出基本事件总数和某一事件包含的基本事件个数.16．40【分析】先求出的展开式的通项再求出即得解【详解】设的展开式的通项为令r=3则令r=2则所以展开式中含x3y3的项为所以x3y3的系数为40故答案为：40【点睛】本题主要考查二项式定理求指定项的系解析：40 【分析】先求出5(2)x y -的展开式的通项，再求出43,T T 即得解.【详解】设5(2)x y -的展开式的通项为555155(2)()(1)2r rr r r r r r r T C x y C x y ---+=-=-，令r=3,则32323454=40T C x y x y =--， 令r=2,则23232358=80T C x y x y =，所以展开式中含x 3y 3的项为233233(40)(80)40x x y y x y x y ⋅-+⋅=.所以x 3y 3的系数为40. 故答案为：40 【点睛】本题主要考查二项式定理求指定项的系数，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.17．125【解析】分析：令可得；令可得；又故可得的值详解：在中令可得；令可得；又∴点睛：对形如(ax ＋b)n(ax2＋bx ＋c)m(ab ∈R)的式子求其展开式的各项系数之和常用赋值法只需令x ＝1即可；对解析：125 【解析】分析：令0x =可得01a =；令1x =，可得01282a a a a ++++=-；又78(2)a =-128=-，故可得127a a a +++的值．详解：在()()7280128112x x a a x a x a x +-=++++中，令0x =，可得01a =； 令1x =，可得01282a a a a ++++=-；又78(2)128a =-=-，∴12721281125a a a +++=-+-=．点睛：对形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可；对形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可．解题时如何赋值，要观察所求和式与差式的特点，根据所求值的式子的特征选择适合的方法．18．61【解析】分析：根据题设可列出关于的不等式求出代入可求展开式中常数项为详解：的展开式中只有第4项的二项式系数最大即最大解得又则展开式中常数项为点睛：在二项展开式中有时存在一些特殊的项如常数项有理项解析：61 【解析】分析：根据题设可列出关于n 的不等式，求出6n =，代入可求21(1)(12)n x x++展开式中常数项为61. 详解：(12)n x +的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，即3n C 最大，3234n n n nC C C C ⎧>∴⎨>⎩，解得57n <<， 又*,6n N n ∈∴=， 则21(1)(12)n x x++展开式中常数项为02266261C C +⋅=. 点睛：在二项展开式中，有时存在一些特殊的项，如常数项、有理项、系数最大的项等等，这些特殊项的求解主要是利用二项展开式的通项公式1r T +.19．【分析】根据题意由定积分公式求出的值进而在中分别令和分析可得答案【详解】解：根据题意则令可得：即令可得：又由则；故答案为：【点睛】本题考查二项式定理的应用涉及特殊值的应用关键是求出的值属于基础题 解析：1-【分析】根据题意，由定积分公式求出a 的值，进而在20202020(1)(12)ax x -=-中，分别令0x =和1x =，分析可得答案. 【详解】解：根据题意，20221(2)24a πππ==⨯⨯⨯=， 则20202020220200122020(1)(12)()ax x b b x b x b x x R -=-=+++⋯+∈，令0x =可得：202001b =，即01b =，令12x =可得：20202020120220201(12)02222b b b b -⨯=+++⋯+=， 又由01b =，则202012220201222b b b++⋯+=-； 故答案为：1- 【点睛】本题考查二项式定理的应用，涉及特殊值的应用，关键是求出a 的值，属于基础题.20．164【分析】根据图形可知从第三行起每一行取第二和第三个数字再根据组合数的性质即可计算求出【详解】由图可知这十六个数的和为故答案为：164【点睛】本题主要考查组合数的性质的应用解题关键是凑出的形式反解析：164 【分析】根据图形可知，从第三行起每一行取第二和第三个数字，再根据组合数的性质，即可计算求出. 【详解】由图可知，这十六个数的和为2112121222334499C C C C C C C C ++++++++()()1112223493493C C C C C C =++++++++()()21113222334933491C C C C C C C C =+++++++++-2310101451201164C C =+-=+-=．故答案为：164. 【点睛】本题主要考查组合数的性质的应用，解题关键是凑出1m m n n C C -+的形式，反复利用组合数性质求和，属于基础题．三、解答题21．（1）1n n a x -=；（2）,11,11n n n x S x x x =⎧⎪=⎨-≠⎪-⎩；（3）()12,121,11n nn n n x A x x x -⎧⋅=⎪=⎨-+≠⎪-⎩. 【分析】（1）利用二项式定理求得4214x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的第二项，可求得数列{}n a 的公比，利用等比数列的通项公式可求得n a ；（2）分1x =和1x ≠两种情况讨论，利用等比数列的求和公式可求得n S ； （3）分1x =和1x ≠两种情况讨论，利用二项式定理可求得n A 的表达式. 【详解】（1）4214x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的第二项为1324214T C x x x =⋅⋅=，所以，数列{}n a 的公比为x ，则111n n n a a x x --=⋅=；（2）当1x =时，则1n a =，n S n =； 当1x ≠时，()11111n n na x x S xx--==--.综上所述，,11,11n n n x S x x x=⎧⎪=⎨-≠⎪-⎩；（3）当1x =时，n S n =，()()()()111!!!!1!!k kk n k n n n n n C S kC k nC k n k k n k --⋅-==⋅==---，此时，()101112112112nn n n n n n n n n n A C S C C n C S S C C n -----=++⋅=++=+⋅⋅⋅+；当1x ≠时，()()()()()1220120122111n n nn nn n n n n n n n n n n C x C x C x C C C C C C x C x C x ⋅-+⋅-++⋅-=++++-++++()21nn x =-+，此时，()1212211nnn n n n nn xA x C S C S C S =++⋅⋅-+=+-⋅.综上所述，()12,121,11n nn n n x A x x x -⎧⋅=⎪=⎨-+≠⎪-⎩. 【点睛】本题考查等比数列通项的求解、等比数列求和以及利用二项式定理求和，考查计算能力，属于中等题.22．（1）24；（2）84 【分析】（1）根据题意，使用插空法，把3个人看成是坐在座位上的人，往5个空座的空档插，由组合知识，分析可得答案；（2）分析题意，可将原问题转化为10个元素之间有9个间隔，要求分成7份，每份不空，使用插空法，相当于用6块档板插在9个间隔中，计算可得答案． 【详解】解：（1）由题意知有5个座位都是空的，我们把3个人看成是坐在座位上的人，往5个空座的空档插， 由于这5个空座位之间共有4个空，3个人去插，共有3424A =（种)．（2）根据题意，将10个名额，分配给7所学校，每校至少有1个名额， 可以转化为10个元素之间有9个间隔，要求分成7份，每份不空； 相当于用6块档板插在9个间隔中，共有6984C =种不同方法．所以名额分配的方法共有84种． 【点睛】本题考查排列、组合的综合运用，要求学生会一些特殊方法的使用，如插空法、倍分法等；但首先应该会转化为对应问题的模型． 23．（1）3x =或4;x =（2）{}2,3． 【分析】（1）根据组合数的性质，得到关于x 的方程，解得x 的值；（2）根据排列数的公式，得到关于x 的分式不等式，解出x 的范围，再结合x ∈N ，得到答案 【详解】解：()1因为2399xx C C -=,所以23x x =-或239x x +-=, 解得3x =或4;x =()19926x x A A ->,解原不等式即()()9!69!9!91!x x ⨯>--+，整理得106x ->，即4x <119x x -≥⎧⎨≤⎩，所以92x ≤≤ 所以得到24x ≤<， 而x ∈N 故2x =或3．∴原不等式的解集为{}2,3．【点睛】本题考查解组合数方程和排列数不等式，属于中档题.24．此数列的前25项之和与前26项之和相等且最大，25261300S S ==. 【分析】根据题意，由排列、组合数的性质，可得不等式112522113n nn n-≤⎧⎨-≤-⎩，解可得n 的范围，结合n ∈N ，可得n 的值，进而可得首项a 1，对7777﹣15变形，结合二项式定理可得m 的值，从而可得数列的公差，即可得数列的通项公式，根据等差数列的性质，设其前k 项之和最大，则()10440104410k k -≥⎧⎨-+⎩＜，解可得k=25或k=26，可得答案．【详解】 由已知得：112522113n nn n -≤⎧⎨-≤-⎩,又,2n N n ∈∴=,1122272325113105105n n n n C A C A C A ---∴-=-=- 10985410032⨯⨯=-⨯=⨯故1100a =. ()7777771576115-=+- 7717617777767676115C C =+⋅+⋅⋅⋅+⋅+-()7614,*M M N =-∈,所以777715-除以19的余数是5,即5m =52mx ⎛- ⎝的展开式的通项51552rrr r T C x -+⎛⎫⎛= ⎪ ⎝⎭⎝()()52553551,0,1,2,3,4,52rr rr C xr --⎛⎫=-= ⎪⎝⎭,若它为常数项,则550,33r r -=∴=,代入上式44T d ∴=-=.从而等差数列的通项公式是：1044n a n =-，……10分设其前k 项之和最大，则()10440104410n k -≥⎧⎨-+<⎩，解得k=25或k=26，故此数列的前25项之和与前26项之和相等且最大，25261001044252513002S S +-⨯==⨯=.【点睛】本题考查二项式定理的应用，排列组合数的性质和等差数列的性质，关键由排列、组合数的性质得出首项，根据二项式定理得到m 的值，从而得到公差． 25．(1)5. (2)80. (3)-30. 【解析】分析：（1）由二项展开式的二项式系数和为2n 求解即可．（2）由（1）得到二项展开式的通项后求解．（3）根据52x⎛⎝展开式的通项并结合组合的方法求解．详解：（1）由题意结合二项式系数的性质可得232n =， 解得5n =．（2）由题意得52x⎛+ ⎝的通项公式为()3555215522rrr r r r r T C x C x ---+==， 令3522r-=，解得2r =， 所以52x⎛+ ⎝的展开式中2x 项的系数为325280C ⨯=． （3）由（2）知，52x⎛ ⎝的展开式的通项为3552152r r r r T C x --+=，令3512r-=-，解得4r =； 令31522r -=，解得3r =． 故2nx x⎛ ⎝展开式中的常数项为5445335522104030C C ---=-=-． 点睛：（1）求二项展开式的特定项问题，实质是考查通项1r n r rr n T C a b =－＋的特点，一般需要建立方程求r ，再将r 的值代回通项求解，注意r 的取值范围(r ＝0，1，2，…，n )．（2）使用二项式的通项公式时要注意：①通项公式表示的是第r ＋1项，而不是第r 项；②通项公式中a 和b 的位置不能颠倒． 26．(Ⅰ)1a =；(Ⅱ)2 【分析】（Ⅰ）解法1：将()72x a -展开，找出4x 项的系数表达式，结合条件列方程4280a =-求出a 的值；解法2：利用二项式定理写出()72x a -的通项，令x 的指数为4，列方程求出参数的值，再将参数代入通项得出4x 的系数的表达式，结合条件4280a =-列方程求出实数a 的值； （Ⅱ）解法1：令0x =代入题干等式求出0a 的值，再令12x =可得出712027222a a a a ++++的值，减去0a 可得出71227222a a a +++，再乘以2可得出答案； 解法2：利用二项式定理求出1a 、2a 、3a 、4a 、5a 、6a 、7a 的值，代入代数式可得出答案． 【详解】（Ⅰ）解法1：因为343472()a C a =⨯⨯-33516560a =-⨯=-，所以1a =， 解法2：()()()()77717722kkkk k k k k T C x a C a x ---+=-=⋅-⋅，()334472560a C a ∴=⋅⋅-=，所以1a =．（Ⅱ）解法1：当0x =时，01a =-，当12x =时，3712023702222a a a aa +++++=， 371202372()02222a a a a a +++++=，3721262222a a a a ++++=； 解法2：由二项展开式分别算出123456714,84,280,560,672,448,128a a a a a a a ==-==-==-=，代入得：3721262222a a a a ++++=． 【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查二项式指定项的系数问题，考查项的系数和问题，一般利用赋值法来求解，考查计算能力，属于中等题．。
(完整版)(数学选修23)第一章计数原理测试题
(数学选修2--3)第一章计数原理一、选择题1．将3个不同的小球放入4个盒子中，不同放法种数有〔〕A．81B．64C．12D．142．从4台甲型和5台乙型机中任意取出3台，其中至少有甲型与乙型机各1台，不同的取法共有〔〕A．140种3．5个人排成一排,其中甲、乙两人至少有一人在两端的排法种数有〔〕A．A33B．4A33C．A55A32A33D．A22A33A21A31A334．a,b,c,d,e共5个人，从中1名1名副，但a不能当副，不同的法数是〔B．16C．10D．65．有男、女学生共8人，从男生中2人，从女生中1人分参加数学、物理、化学三科，共有90种不同方案，那么男、女生人数分是〔〕A．男生2人，女生6人B．男生3人，女生5人C．男生5人，女生3人D．男生6人，女生2人.x186．在的展开式中的常数是〔〕23xB．7C．28D．287．(12x)5(2x)的展开式中x3的的系数是〔〕B．120C．100D．1002n8．x展开式中只有第六二式系数最大,展开式中的常数是〔〕x2A．180B．90C．45D．360二、填空题1．从甲、乙，⋯⋯，等6人中出4名代表，那么〔1〕甲一定当，共有种法．〔2〕甲一定不入，共有种法.〔3〕甲、乙二人至少有一人当，共有种法.2．4名男生，4名女生排成一排，女生不排两端，有种不同排法.3．由0,1,3,5,7,9六个数字成_____个没有重复数字的六位奇数.4．在(x3)10的展开式中，x6的系数是.5．在(1x2)20展开式中，如果第4r和第r 2的二式系数相等，r，T4r.6．在1,2,3,...,9的九个数字里，任取四个数字排成一个首末两个数字是奇数的四位数，的四位数有_________________个？7．用1,4,5,x四个不同数字成四位数,288,.所有些四位数中的数字的和x8．从1,3,5,7,9中任取三个数字，从0,2,4,6,8中任取两个数字，成没有重复数字的五位数，共________________个？三、解答1．判断以下是排列是合？并算出果.1〕高三年学生会有11人：①每两人互通一封信，共通了多少封信？②每两人互握了一次手，共握了多少次手？2〕高二年数学外小10人：①从中一名正和一名副，共有多少种不同的法？②从中2名参加省数学，有多少种不同的法？2．7个排成一排，在以下情况下，各有多少种不同排法？1〕甲排，（2〕甲不排，也不排尾，〔3〕甲、乙、丙三人必须在一起，4〕甲、乙之间有且只有两人，5〕甲、乙、丙三人两两不相邻，6〕甲在乙的左边〔不一定相邻〕，7〕甲、乙、丙三人按从高到矮，自左向右的顺序，8〕甲不排头，乙不排当中。
2021-2022学年高中数学 第一章 计数原理测评(含解析)新人教A版选修2-3
第一章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分)1.若A m4=18C m3,则m等于()A.9B.8C.7D.6,得m-3=3,m=6.A m4=m(m-1)(m-2)(m-3)=18·m(m-1)(m-2)3×2×12.在某种信息传输过程中,用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息,不同排列表示不同信息.若所用数字只有0和1,则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为()A.10B.11C.12D.15:分有两个对应位置、有一个对应位置及没有对应位置上的数字相同,可得N=C42+C41+1=11.3.若实数a=2-√2,则a10-2C101a9+22C102a8-…+210等于()A.32B.-32C.1 024D.512,得a10-2C101a9+22C102a8-…+210=C100(-2)0a10+C101(-2)1a9+C102(-2)2a8+…+C10(-2)10=(a-2)10=(-√2)10=25=32.104.分配4名水暖工去3户不同的居民家里检查暖气管道.要求4名水暖工都分配出去,且每户居民家都要有人去检查,那么分配的方案共有( ) A.A 43种B .A 33A 31种C .C 42A 33种D .C 41C 31A 33种4名水暖工选出2人分成一组,然后将三组水暖工分配到3户不同的居民家,故有C 42A 33种.5.已知集合M={1,-2,3},N={-4,5,6,-7},从两个集合中各取一个元素作为点的坐标,则在直角坐标系中,位于第一、第二象限不同点的个数是( ) A.18B.16C.14D.10N 1=2×2+2×2=8(个),第二象限的不同点有N 2=1×2+2×2=6(个), 故N=N 1+N 2=14(个). 故答案为C .6.将A,B,C,D 四个小球放入编号为1,2,3的三个盒子中,若每个盒子中至少放一个球,且A,B 不能放入同一个盒子中,则不同的放法有( ) A.15种B.18种C.30种D.36种A,B 放入不同盒中,有3×2=6(种)放法,再放C,D,若C,D 在同一盒中,有1种放法;若C,D 在不同盒中,则有2×2=4(种)放法. 故共有6×(1+4)=30(种)放法.故答案为C .7.为支持地震灾区的灾后重建工作,某公司决定分四天每天各运送一批物资到A,B,C,D,E 五个受灾地点.由于A 地距离该公司较近,安排在第一天或最后一天送达;B,C 两地相邻,安排在同一天上午、下午分别送达(B 在上午、C 在下午与B 在下午、C 在上午为不同的运送顺序),且运往这两地的物资算作一批;D,E 两地可随意安排在其余两天送达.则安排这四天运送物资到五个受灾地点的不同运送顺序的种数为( ) A.72B.18C.36D.24.第1步,安排运送物资到受灾地点A,有C 21种方法;第2步,在余下的3天中任选1天,安排运送物资到受灾地点B,C,有C 31A 22种方法;第3步,在余下的2天中安排运送物资到受灾地点D,E,有A 22种方法.由分步乘法计数原理得,不同的运送顺序共有C 21·(C 31A 22)·A 22=24(种).8.将数字1,2,3,4,5,6排成一列,记第i 个数为a i (i=1,2,…,6),若a 1≠1,a 3≠3,a 5≠5,a 1<a 3<a 5,则不同的排列方法种数为( )A.30B.18C.36D.48a 1,a 3,a 5的大小顺序已定,且a 1≠1,a 3≠3,a 5≠5,所以a 1可取2,3,4,若a 1=2或3,则a 3可取4,5,当a 3=4时,a 5=6,当a 3=5时,a 5=6;若a 1=4,则a 3=5,a 5=6.而其他的三个数字可以任意排列,因而不同的排列方法共有(2×2+1)A 33=30(种).9.12名同学合影,站成前排4人后排8人,现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排(这样就成为前排6人,后排6人),若其他人的相对顺序不变,则不同调整方法的总数是()A.6C82 B.720C82C.30C82 D.20C822人有C82种方法,再插空.由题意知先在4人形成的5个空当中插入1人,有5种方法,余下的1人要插入前排5人形成的6个空当中,有6种方法,即为30种方法.故共有30C82种调整方法.10.设(2-x)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5,那么a0+a2+a4a1+a3的值为()A.-122121B.-6160C.-244241D.-1x=1,可得a0+a1+a2+a3+a4+a5=1,再令x=-1可得a0-a1+a2-a3+a4-a5=35.两式相加除以2求得a0+a2+a4=122,两式相减除以2可得a1+a3+a5=-121.又由条件可知a5=-1,故a0+a2+a4a1+a3=-6160.11.形如45 132的数称为“波浪数”,即十位数字、千位数字均比与它们各自相邻的数字大,则由1,2,3,4,5可构成不重复的五位“波浪数”的个数为()A.20B.18C.16D.11,十位和千位数字只能是4,5或3,5,若十位和千位排4,5,则其他位置任意排1,2,3,这样的数有A 22A 33=12(个);若十位和千位排5,3,这时4只能排在5的一边且不能和其他数字相邻,1,2在其余位置上任意排列,这样的数有A 22A 22=4(个).综上,共有16个.故答案为C .12.若自然数n 使得竖式加法n+(n+1)+(n+2)均不产生进位现象,则称n 为“可连数”.例如:32是“可连数”,因32+33+34不产生进位现象;23不是“可连数”,因23+24+25产生进位现象.则小于1 000的“可连数”的个数为( ) A.27 B.36C.39D.48,要构造小于1000的“可连数”,个位上的数字的最大值只能为2,即个位数字只能在0,1,2中取.十位数字只能在0,1,2,3中取;百位数字只能在1,2,3中取.当“可连数”为一位数时,有C 31=3(个);当“可连数”为两位数时,个位上的数字有0,1,2三种取法,十位上的数字有1,2,3三种取法,即有C 31C 31=9(个);当“可连数”为三位数时,有C 31C 41C 31=36(个);故共有3+9+36=48(个).二、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上,若每级台阶最多站2人,同一级台阶上的人不区分站的位置,则不同的站法种数是 .(用数字作答).第1类,每级台阶只站一人,则有A 73种站法;第2类,若有一级台阶有2人,另一级有1人,则有C 31A 72种站法,因此共有不同的站法种数是A 73+C 31A 72=336.14.若(x +√x3)8的展开式中x 4的系数为7,则实数a= .(x √x 3)8的通项为C 8rx 8-r a r(x -13)r=C 8r a r x8-r x -r3=C 8r a r x8-43r,令8-43r=4,解得r=3. ∴C 83a 3=7,得a=12.15.6个人排成一行,其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有 种.(用数字作答)个人排成一行,其中甲、乙两人不相邻的不同排法:先排列好除甲、乙两人外的4人,有A 44种方法,再把甲、乙两人插入4个人的5个空当,有A 52种方法,所以共有A 44·A 52=480(种).16.(1+sin x )6的二项展开式中,二项式系数最大的一项的值为52,则x 在[0,2π]内的值为 .,得T 4=C 63sin 3x=20sin 3x=52,∴sin x=12.∵x ∈[0,2π], ∴x=π6或x=5π6.5π6三、解答题(本题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)有6个除颜色外完全相同的球,其中3个黑球,红、白、蓝球各1个,现从中取出4个球排成一列,共有多少种不同的排法?.(1)若取1个黑球,和另外3个球排成一列,不同的排法种数为A 44=24;(2)若取2个黑球,和从另外3个球中选的2个排成一列,2个黑球是相同的,所以不同的排法种数为C 32C 42A 22=36;(3)若取3个黑球,和从另外3个球中选的1个排成一列,不同的排法种数为C 31C 41=12.综上,不同的排法种数为24+36+12=72.18.(12分)一个口袋内有4个不同的红球,6个不同的白球. (1)从中任取4个球,红球的个数不比白球少的取法有多少种?(2)若取一个红球记2分,取一个白球记1分,从中任取5个球,使总分不少于7分的取法有多少种?将取出的4个球分成三类:①取4个红球,没有白球,有C 44种;②取3个红球1个白球,有C 43C 61种;③取2个红球2个白球,有C 42C 62种,故有C 44+C 43C 61+C 42C 62=115(种).(2)设取x 个红球,y 个白球,则{x +y =5,2x +y ≥7,0≤x ≤4,0≤y ≤6,故{x =2,y =3或{x =3,y =2或{x =4,y =1.因此,符合题意的取法种数有C 42C 63+C 43C 62+C 44C 61=186(种).19.(12分)已知(x +2√x )n展开式中的前三项的系数成等差数列. (1)求n 的值;(2)求展开式中系数最大的项.由题意,得C n 0+14C n 2=2×12C n 1, 即n 2-9n+8=0,解得n=8或n=1(舍去).故n=8. (2)设第r+1项的系数最大,则{12r C 8r ≥12r+1C 8r+1,12r C 8r ≥12r -1C 8r -1, 即{18-r≥12(r+1),12r≥19-r.解得2≤r ≤3.∵r ∈N *,∴r=2或r=3.∴系数最大的项为T 3=7x 5,T 4=7x 72.20.(12分)设1+12x m =a 0+a 1x+a 2x 2+a 3x 3+…+a m x m,若a 0,a 1,a 2成等差数列. (1)求1+12x m 展开式的中间项;(2)求1+12x m展开式中所有含x 的奇次幂的系数和. 解(1)依题意a 0=1,a 1=m 2,a 2=C m2122.由2a 1=a 0+a 2,求得m=8或m=1(应舍去),所以1+12x m展开式的中间项是第五项, T 5=C 8412x 4=358x 4.(2)因为1+12x m =a 0+a 1x+a 2x 2+…+a m x m, 即1+12x 8=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 8x 8. 令x=1,则a 0+a 1+a 2+a 3+…+a 8=328, 令x=-1,则a 0-a 1+a 2-a 3+…+a 8=128,所以a 1+a 3+a 5+a 7=38-129=20516,所以展开式中所有含x 的奇次幂的系数和为20516.21.(12分)把n 个正整数全排列后得到的数叫做“再生数”,“再生数”中最大的数叫做最大再生数,最小的数叫做最小再生数.(1)求1,2,3,4的再生数的个数,以及其中的最大再生数和最小再生数; (2)试求任意5个正整数(可相同)的再生数的个数.的再生数的个数为A 44=24,其中最大再生数为4321,最小再生数为1234.(2)需要考查5个数中相同数的个数. 若5个数各不相同,有A 55=120(个);若有2个数相同,则有A 55A 22=60(个);若有3个数相同,则有A 55A 33=20(个);若有4个数相同,则有A 55A 44=5(个);若5个数全相同,则有1个.22.(12分)已知m ,n 是正整数,f (x )=(1+x )m +(1+x )n 的展开式中x 的系数为7. (1)对于使f (x )的x 2的系数为最小的m ,n ,求出此时x 3的系数; (2)利用上述结果,求f (0.003)的近似值;(精确到0.01)(3)已知(1+2x )8展开式的二项式系数的最大值为a ,系数的最大值为b ,求ba .根据题意得C m 1+C n 1=7,即m+n=7,①f (x )中的x 2的系数为C m 2+C n 2=m (m -1)2+n (n -1)2=m 2+n 2-m -n2.将①变形为n=7-m 代入上式得x 2的系数为m 2-7m+21=m-722+354, 故当m=3或m=4时,x 2的系数的最小值为9.当m=3,n=4时,x 3的系数为C 33+C 43=5;当m=4,n=3时,x 3的系数为C 43+C 33=5.(2)f (0.003)=(1+0.003)4+(1+0.003)3≈C 40+C 41×0.003+C 30+C 31×0.003≈2.02.(3)由题意可得a=C 84=70,再根据{C 8k ·2k≥C 8k+1·2k+1,C 8k ·2k ≥C 8k -1·2k -1,即{k ≥5,k ≤6, 求得k=5或6,此时,b=7×28,∴b a =1285.2021-2022学年高中数学第一章计数原理测评（含解析）新人教A版选修2-311 / 1111。
高中数学 第一章 计数原理本章练测 新人教A版选修2-3
第一章 计数原理本章练测满分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．将3个不同的小球放入4个盒子中，则不同的放法种数为（ ） A ．81 B ．64 C ．12 D ．142．从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有（ ）A ．140种 B.84种 C.70种 D.35种3．5个人排成一排,其中甲、乙两人至少有一人在两端的排法种数为（ ）A ．33AB ．334AC ．523533A A A -D ．2311323233A A A A A +4．,,,,a b c d e 共5个人，从中选1名组长1名副组长，但a 不能当副组长，不同的选法总数是（ ） A.20 B ．16 C ．10 D ．65．现有男、女学生共8人，从男生中选2人，从女生中选1人分别参加数学、物理、化学三科竞赛，共有90种不同方案，那么男、女生人数分别是（ ）A ．男生2人，女生6人B ．男生3人，女生5人C ．男生5人，女生3人D ．男生6人，女生2人6．82x ⎛ ⎝的展开式中的常数项是（ ）A.7 B ．7- C ．28 D ．28- 7．5(12)(2)x x -+的展开式中3x 的项的系数是（ ）A.120 B ．120- C ．100 D ．100-8．22nx ⎫⎪⎭展开式中只有第六项的二项式系数最大,则展开式中的常数项是（ ） A ．180 B ．90 C ．45 D ．3609．从字母,,,,,a b c d e f 中选出4个数字排成一列，其中一定要选出a 和b ，并且必须相邻（a 在b 的前面），共有排列方法（ ）种.A.36B.72C.90D.144 10．从不同号码的5双鞋中任取4只，其中恰好有1 双的取法种数为（ ）A ．120B ．240C ．280D ．6011．把10)x -根据二项式定理展开，展开式的第8项的系数是（ ）A ．135B ．135-C ．-D ．12．2122nx x ⎛⎫+⎪⎝⎭的展开式中，2x 的系数是224，则21x 的系数是（ ）A.14B.28C.56D.112二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13．在50件产品中有4件是次品，从中任意抽了5件，至少有3件是次品的抽法共有 ______________种（用数字作答）.14．4名男生，4名女生排成一排，女生不排两端，则有 种不同排法.15．由0,1,3,5,7,9这六个数字可组成_____个没有重复数字的六位奇数.16．在10(x 的展开式中，6x 的系数是 .三、解答题（本大题共6小题，共74分） 17．（12分）判断下列问题是排列问题还是组合问题？并计算出结果.（1）高三年级学生会有11人：①每两人互通一封信，共通了多少封信？②每两人互握了一次手，共握了多少次手？（2）高二年级数学课外小组有10人：①从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不同的选法？②从中选2名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法？（3）有2,3,5,7,11,13,17,19八个质数：①从中任取两个数求它们的商可以有多少种不同的商？②从中任取两个求它们的积，可以得到多少个不同的积？18．（12分）6个人坐在一排10个座位上,问：(1)空位不相邻的坐法有多少种?(2)4个空位只有3个相邻的坐法有多少种?(3)4个空位至多有2个相邻的坐法有多少种? 19．（12分）有6个球,其中3个黑球,红、白、蓝球各1个，现从中取出4个球排成一列，共有多少种不同的排法？20．（12分）已知21nxx⎛⎫-⎪⎝⎭展开式中的二项式系数的和比7(32)a b+展开式中的二项式系数的和大128,求21nxx⎛⎫-⎪⎝⎭展开式中的系数最大的项和系数最小的项.21．（12分）（1）在的展开式中，若第3项与第6项系数相等，且n等于多少？（2）若n⎛⎝的展开式奇数项的二项式系数之和为128，求展开式中二项式系数最大的项. 22．（14分）已知5025001250(2),a a x a x a x=++++其中01250,,,,a a a a是常数,计算22 024*******()().a a a a a a a a++++-++++[第一章计数原理本章练测答题纸得分：二、填空题13． 14． 15． 16．三、解答题17.18.19.20.21.22.第一章 计数原理本章练测答案一、选择题1．B 解析：每个小球都有4种可能的放法，所以共有44464⨯⨯=种放法. 2．C 解析：抽出的3台电视机中甲型1台乙型2台的取法有种；甲型2台乙型1台的取法有种.根据分类加法计数原理可得总的取法有+=40+30=70(种).3．C 解析：不考虑限制条件有，若甲、乙两人都站中间有种排法，所以符合题意的排法有种.4．B 解析：不考虑限制条件有25A 种选法，若a 当副组长有14A 种选法，故2154A A 16-=为所求. 5．B 解析：设男学生有x 人，则女学生有（8x -）人，则21383C C A 90,x x -= 即(1)(8)30235,3所以x x x x --==⨯⨯=，.6．A 解析：148888833188811C ()((1)()C (1)()C 222r r r r r r r r r r r r r x T x x ------+==-=-.令6866784180,6,(1)()C 732r r T --===-=.7．B 解析：555332255(12)(2)2(12)(12)2C (2)C (2)x x x x x x x x -+=-+-=+-+-+233355(4C 16C )120x x =+-+=-+.8．A 解析：只有第六项的二项式系数最大，则10n =，551021101022C ()2C rr r r r r r T x x --+==，令2310550,2,4C 1802r r T -====.9．A 解析：从,,,c d e f 中选2个，有24C 种方法，把,a b 看成一个整体，3个元素全排列，有33A 种方法，共计2343C A 36=种排法. 10．A 解析：先从5双鞋中任取1双，有15C 种方法，再从8只鞋中任取2只，有28C 种取法，但需要排除4种成双的情况，所以有28C 4-种取法，则共计1258C (C 4)120-=种取法.11．D 解析：7377810C ()T x =-=，系数为.12．A 解析：222221221C (2)()2C 2r n r r n r r n r r n n T x xx---+==，令222,1n r r n -==-, 则211222C 224,C 56,4n n n n n --===，再令52862C 14822,5,4得r r T x x --=-===. 二、填空题13．4 186 解析：至少有3件次品包括有3件次品或有4件次品，故抽法共有3241446446C C C C +=4186（种）. 14．8640 解析：先排女生有种排法，再排男生有种排法，共有种排法.15．480 解析：0既不能排首位，也不能排在末尾，即有，其余的数字有，共有.16．1890 解析：10110C (rrrr T x -+=，令466510106,4,9C 1890r r T x x -====.三、解答题17．解：（1）①是排列问题，共通了211A 110=封信；②是组合问题，共握手211C 55=次.（2）①是排列问题，共有210A 90=种选法；②是组合问题，共有210C 45=种选法. （3）①是排列问题，共有28A 56=个商；②是组合问题，共有28C 28=个积.18．解：6个人排有66A 种坐法,6人排好后包括两端共有7个“间隔”可以插入空位. (1)空位不相邻相当于将4个空位安插在上述7个“间隔”中,有47C 35=种插法，故空位不相邻的坐法有6467A C 25200=种. (2)将相邻的3个空位当作一个元素,另一空位当作另一个元素,往7个“间隔”里插，有27A 种插法,故4个空位中只有3个相邻的坐法有6267A A 30240=种. (3)4个空位至多有2个相邻的情况有三类：①4个空位各不相邻有47C 种坐法;②4个空位2个相邻，另有2个不相邻有1276C C 种坐法; ③4个空位分两组,每组都有2个相邻,有27C 种坐法.综上所述,应有6412267767A (C C C C )115920++=种坐法. 19．解：分三类：若取1个黑球，和另三个球，排4个位置，有44A 24=种排法； 若取2个黑球，从另三个球中选2个排4个位置，2个黑球是相同的，自动进入，不需要排列，即有2234C A 36=种排法；若取3个黑球，从另三个球中选1个排4个位置，3个黑球是相同的，自动进入，不需要排列，即有1134C A 12=种排法；所以有24361272++=种排法.20．解：由722128,8得n n -==，821x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的通项281631881C ()()(1)C r r r r r r r T x x x--+=-=-.当4r =时，项的系数最大，即4570T x =为展开式中的系数最大的项；当35或r =时，项的系数最小，即74656,56T x T x =-=-为展开式中的系数最小的项. 21．解：（1）由已知得25C C 7.n nn =⇒= （2）由已知得1351C C C 128,2128,8n n n nn -+++===，所以展开式中二项式系数最大的项是444418C (70T x +==22．解：设50()(2)f x =，令1x =，得5001250(2a a a a ++++=,令1x =-，得5001250(2a a a a -+-+=,225024501349()()a a a a a a a a ++++-++++=50500125001250()()(23)(2 1.a a a a a a a a ++++-+-+=-=。
人教版高中数学选修2-3第一章计数原理单元测试-word版含答案
2018-2019学年选修2-3第一章训练卷计数原理（一）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有（ ） A ．8种B ．12种C ．16种D ．20种2．已知，则n 等于（ ） A ．14B ．12C ．13D ．153．某铁路所有车站共发行132种普通客票，则这段铁路共有车站数是（ ） A ．8B ．12C ．16D ．244．的展开式中x 2的系数是（ ） A ．42B ．35C ．28D ．215．一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为（ ） A ．3×3!B ．3×(3！)3C ．(3！)4D ．9!6．某校园有一椭圆型花坛，分成如图四块种花，现有4种不同颜色的花可供选择，要求每块地只能种一种颜色，且有公共边界的两块不能种同一种颜色，则不同的种植方法共有（ ）A ．48种B ．36种C ．30种D ．24种 7．若多项式x 2＋x 10＝a 0＋a 1(x ＋1)＋＋a 9(x ＋1)9＋a 10(x ＋1)10，则a 9＝（ ） A ．9B ．10C ．－9D ．－108．从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（ ） A ．48种B ．36种C ．18种D ．12种9．已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ） A ．212B ．211C ．210D ．2910．将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有（ ） A ．12种B ．18种C ．36种D ．54种11．用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的 偶数共有（ ） A ．144个B ．120个C ．96个D ．72个12．从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有（ ） A ．24对 B ．30对 C ．48对 D ．60对二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上）13．在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选法有________种(用数值表示)14．的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a ＝________．15．有4位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复．若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目，其余项目上、下午都各测试一人，则不同的安排方式共有________种(用数字作答)．16．从0到9这10个数字中任取3个数字组成一个没有重复数字的三位数，能被3整除的数有________个．三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号17．（12分）一个小组有10名同学，其中4名男生，6名女生，现从中选出3名代表，（1）其中至少有一名男生的选法有几种？（2）至多有1名男生的选法有几种？18．（12分）从－1、0、1、2、3这5个数中选3个不同的数组成二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的系数．（1）开口向上的抛物线有多少条？（2）开口向上且不过原点的抛物线有多少条？19．（12分）求的展开式中的有理项．20．（12分）有4个不同的球，四个不同的盒子，把球全部放入盒内．（1）共有多少种放法？（2）恰有一个盒不放球，有多少种放法？（3）恰有一个盒内有2个球，有多少种放法？21．（12分）(2015·北京高二质检)已知展开式中各项系数和比它的二项式系数和大992．（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求展开式中系数最大的项．22．（14分）已知展开式中，某一项的系数恰好是它的前一项系数的2倍，且等于它后一项系数的56，试求该展开式中二项式系数最大的项．2018-2019学年选修2-3第一章训练卷计数原理（一）答案一、选择题．1．【答案】B【解析】在正方体中，选取3个面有2个不相邻，则必选相对的2个面，所以分3类．若选和两个面，另一个面可以是ABB1A1，BCC1B1，CDD1C1和ADD1A1中的一个，有4种，同理选另外相对的2个面也有4种．所以共有 (种)．2．【答案】A【解析】因为，所以．∴7＋8＝n＋1，∴n＝14，故选A．3．【答案】B【解析】∵．∴．故选B．4．【答案】D【解析】展开式中第r＋1项为，，∴x2的系数为．5．【答案】C【解析】本题考查捆绑法排列问题．由于一家人坐在一起，可以将一家三口人看作一个整体，一家人坐法有3！种，三个家庭即(3！)3种，三个家庭又可全排列，因此共(3！)4种．注意排列中在一起可用捆绑法，即相邻问题．6．【答案】A【解析】由于相邻两块不能种同一种颜色，故至少应当用三种颜色，故分两类．第一类，用4色有种，第二类，用3色有种，故共有种．7．【答案】D【解析】x10的系数为a10，∴，x9的系数为，∴，∴，故应选D．另解：∵[(x＋1)－1]2＋[(x＋1)－1]10＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋＋a10(x＋1)10，显然．8．【答案】B【解析】分两种情况：（1）小张小赵去一人：；（2）小张小赵都去：，故有36种，应选B．9．【答案】D【解析】由题意可得，二项式的展开式满足，且有，因此n＝10．令x＝1，则，即展开式中所有项的二项式系数和为210；令x＝－1，则，即展开式中奇数项的二项式系数与偶数项的二项式系数之差为0，因此奇数项的二项式系数和为．故本题正确答案为D．10．【答案】B【解析】由题意不同的放法共有种．11．【答案】B【解析】据题意，万位上只能排4、5．若万位上排4，则有个；若万位上排5，则有个．所以共有个．故选B．12．【答案】C【解析】解法1：先找出正方体一个面上的对角线与其余面对角线成60°角的对数，然后根据正方体六个面的特征计算总对数．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与面对角线AC成60°角的面对角线有B1C、BC1、C1D、CD1、A1D、AD1、A1B、AB1共8条，同理与BD成60°角的面对角线也有8条，因此一个面上的对角线与其相邻4个面的对角线，共组成16对，又正方体共有6个面，所有共有16×6＝96对．因为每对都被计算了两次(例如计算与AC成60°角时，有AD1，计算与AD1成60°角时有AC，故AD1与AC这一对被计算了2次)，因此共有12×96＝48对．解法2：间接法．正方体的面对角线共有12条，从中任取2条有种取法，其中相互平行的有6对，相互垂直的有12对，∴共有对．二、填空题．13．【答案】120【解析】由题得选取的情况有三种，分别是1名男教师和4名女教师；2名男教师和3名女教师；3名男教师和2名女教师．当选1名男教师和4名女教师时，有种；当选2名男教师和3名女教师时，有种；当选3名男教师和2名女教师时，有种，所以不同的选取方式的种数共有种．14．【答案】3【解析】由已知得(1＋x)4＝1＋4x＋6x2＋4x3＋x4，故(a＋x)(1＋x)4的展开式中x 的奇数次幂项分别为4ax，4ax3，x，6x3，x5，其系数之和为4a＋4a＋1＋6＋1＝32，解得a＝3．15．【答案】264【解析】由条件上午不测“握力”，则4名同学测四个项目，有；下午不测“台阶”但不能与上午所测项目重复，如“立定”、“肺活量”中一种有3×3＝9，故种．16．【答案】228【解析】一个数能被3整除的条件是它的各位上的数字之和能被3整除．根据这点，分为如下几类：（1）三位数各位上的数字是1，4，7或2，5，8这两种情况，这样的数有 (个)．（2）三位数的各位上只含0，3，6，9中的一个，其他两位上的数则从(1，4，7)和(2，5，8)中各取1个，这样的数有 (个)，但要除去0在百位上的数，有 (个)，因而有216－18＝198(个)．（3）三位数的各位上的数字是0，3，6，9中的3个，但要去掉0在百位上的，这样应有3×3×2＝18(个)，综上所述，由0到9这10个数字所构成的无重复数字且能被3整除的3位数有12＋198＋18＝228(个)．三、解答题．17．【答案】（1）100种；（2）80种．【解析】（1）方法一：(直接法)．第一类：3名代表中有1名男生，则选法种数为 (种)；第二类：3名代表中有2名男生，则选法种数为 (种)；第三类：3名代表中有3名男生，则选法种数为 (种)；故共有60＋36＋4＝100(种)．方法二：(间接法)．从10名同学中选出3名同学的选法种数为种．其中不适合条件的有种，故共有 (种)．（2）第一类：3名代表中有一名男生，则选法为 (种)；第二类：3名代表中无男生，则选法为 (种)；故共有60＋20＝80(种)．18．【答案】（1）条；（2）条．【解析】（1）要使抛物线的开口向上，必须，∴ (条)．（2）开口向上且不过原点的抛物线，必须，，∴ (条)．19．【答案】第4项－84x4和第10项－x3．【解析】∵，令，即，且r∈{0，1，2，…，9}．∴r＝3或r＝9．当r＝3时，27－r6＝4，；当r＝9时，27－r6＝3，．∴的展开式中的有理项是：第4项－84x4和第10项－x3．20．【答案】（1）256种；（2）种；（3）种．【解析】（1）一个球一个球地放到盒子里去，每只球都可有4种独立的放法，由分步乘法计数原理，放法共有44＝256(种)．（2）为保证“恰有一个盒子不放球”，先从四个盒子中任意拿出去1个，即将4个球分成2，1，1的三组，有种分法；然后再从三个盒子中选一个放两个球，其余两个球，两个盒子，全排列即可．由分步乘法计算原理，共有放法： (种)．（3）“恰有一个盒内放2个球”，即另外三个盒子中恰有一个空盒．因此，“恰有一个盒子放2球”与“恰有一个盒子不放球”是一回事．故也有144种放法．21．【答案】（1）二项式系数最大项为第三、四两项，，；（2）展开式中第5项系数最大，．【解析】令x＝1得展开式各项系数和为，又展开式二项式系数和为，由题意有4n－2n＝992，即，，所以n＝5．（1）因为n＝5，所以展开式共6项，其中二项式系数最大项为第三、四两项，它们是，．（2）设展开式中第k＋1项的系数最大．又，得?⎩⎪⎨⎪⎧3k ≥16－k 15－k ≥3k ＋1?．又因为，所以k ＝4，所以展开式中第5项系数最大．．22．【答案】展开式中二项式系数最大的项为第4项和第5项，，． 【解析】，它的前一项的系数为，它的后一项的系数为，根据题意有，⎩⎪⎨⎪⎧2r －1＝n ，8r ＋3＝5n ，∴⎩⎪⎨⎪⎧n ＝7，r ＝4.∴展开式中二项式系数最大的项为第4项和第5项． ，．。
【高考调研】高中数学(人教a版)选修2-3：第一章-计数原理+单元测试题x
【高考调研】高中数学(人教a版)选修2-3：第一章-计数原理+单元测试题x第一章综合测试题一、选择题1．设东、西、南、北四面通往山顶的路各有?2、3、3、4?条路，只从一面上山，而从任意一面下山的走法最多，应( )A．从东边上山C．从南边上山B．从西边上山D．从北边上山2．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为?y＝x2，值域为{1,4}的“同族函数”共有( )A．7?个B．8?个?C．9?个D．10?个3．5?名学生相约第二天去春游，本着自愿的原则，规定任何人可以“去”或“不去”，则第二天可能出现的不同情况的种数为( )2A．C5 B．25C．52 D．A2524．6?个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐?4?人，则不同的乘车方法数为( )A．40 B．50 C．60 D．705．在航天员进行的一项太空实验中，先后要实施?6?个程序，其中程序 A?只能出现在第一步或最后一步，程序?B?和?C?实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有( )A．24?种B．48?种C．96?种D．144?种6．有甲、乙、丙三项任务，甲需?2?人承担，乙、丙各需?1?人承担，从?10?人中选派?4?人承担这三项任务，不同的选法有( )A．2?520 B．2?025 C．1?260 D．5?0408?10．已知?x－x展开式中常数项为?1120，其中实数8?10．已知?x－x展开式中常数项为?1120，其中实数?a?是常数，则展在第?3?道上，货车?B?不能停在第?1?道上，则?5?列火车的停车方法共有 ( )A．78?种B．72?种C．120?种D．96?种8．已知(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，若?a0＋a1＋a2＋…＋an ＝16，则自然数?n?等于( )A．6 B．5 C．4 D．39．6?个人排队，其中甲、乙、丙?3?人两两不相邻的排法有( )A．30?种B．144?种?C．5?种D．4?种? a?? ?开式中各项系数的和是( )A．28?B．38?C．1?或?38 D．1?或?2811．有?A、B、C、D、E、F?共?6?个集装箱，准备用甲、乙、丙三辆卡车运送，每台卡车一次运两个，若卡车甲不能运?A?箱，卡车乙不能运B?箱，此外无其他任何限制；要把这?6?个集装箱分配给这?3?台卡车运送，则不同的分配方案的种数为( )A．168 B．84 C．56 D．4212．从?2?名女教师和?5?名男教师中选出三位教师参加?20xx?年高考某考场的监考工作．要求一女教师在室内流动监考，另外两位教师固定在室内监考，问不同的安排方案种数为( )A．30 B．180?C．630 D．1?08013．已知(x＋2)n?的展开式中共有?5?项，则?n＝________，展开式中的常数项为________．(用数字作答)14．5?个人排成一排，要求甲、乙两人之间至少有一人，则不同的排法有____种．15．已知(x＋1)6(ax－1)2?的展开式中含?x3?项的系数是?20，则?a?的值等于________．16．用数字?2,3?组成四位数，且数字?2,3?至少都出现一次，这样的四位数共有________个．(用数字作答)17．某书店有?11?种杂志，2?元?1?本的?8?种，1?元?1?本的?3?种，小张用10?元钱买杂志(每种至多买一本，10?元钱刚好用完)，求不同的买法有多少种(用数字作答)．18．4?个相同的红球和?6?个相同的白球放入袋中，现从袋中取出?4?个球；若取出的红球个数不少于白球个数，则有多少种不同的取法？9(12?分)从?1?到?6?的六个数字中取两个偶数和两个奇数组成没有重复数字的四位数．试问：(1)能组成多少个不同的四位数？(2)四位数中，两个偶数排在一起的有几个？(3)两个偶数不相邻的四位数有几个？(所有结果均用数值表示)20?已知(1＋2?x)n?的展开式中，某一项的系数恰好是它的前一项系数5的?2?倍，而且是它的后一项系数的6，试求展开式中二项式系数最大的项．21?某单位有三个科室，为实现减负增效，每科室抽调2?人，去参加再就业培训，培训后这?6?人中有?2?人返回原单位，但不回到原科室工作，且每科室至多安排?1?人，问共有多少种不同的安排方法．22．10?件不同厂生产的同类产品：(1)在商品评选会上，有?2?件商品不能参加评选，要选出?4?件商品，并排定选出的?4?件商品的名次，有多少种不同的选法？(2)若要选?6?件商品放在不同的位置上陈列，且必须将获金质奖章的两件商品放上，有多少种不同的布置方法？1,D2,由题意，问题的关键在于确定函数定义域的个数：第一步，先确定函数值?1?的原象：因为?y＝x2，当?y＝1?时，x＝1?或?x＝－1，为此有三种情况：即{1}，{－1}，{1，－1}；第二步，确定函数值?4?的原象，因为?y＝4?时，x＝2?或?x＝－2，为此也有三种情况：{2}，{－2}，{2，－2}．由分步计数原理，得到：3×3＝9?个．选?C.3,B,4B44 22 85C?当?A?出现在第一步时，再排?A，B，C?以外的三个程序，有?A33种，A?与?A，B44 22 8成?4?个可以排列程序?B、C?的空档，此时共有?A33A1A2种排法；当?A?出现在最后一步时的排法与此相同，故共有?2A33A1A2＝96?种编排方法．6A?先从?10?人中选出?2?人承担甲任务有?C10种选法，再从剩下的?8?人中选出2?人分别承担乙、丙任务，有?A28种选法，由分步乘法计数原理共有?C10A2＝2?520?种不同的选法．故选?A.7不考虑不能停靠的车道，5?辆车共有?5！＝120?种停法．A?停在?3?道上的停法：4！＝24(种)；B?种停在?1?道上的停法：4！＝24(种)；A、B?分别停在?3?道、1?道上的停法：3！＝6(种)．故符合题意的停法：120－24－24＋6＝78(种)．故选?A.令?x＝1，得?2n＝16，则?n＝4.故选?C.4分两步完成：第一步，其余?3?人排列有?A33种排法；第二步，从?4?个可插空档中任选?3?个给甲、乙、丙?3?人4站有?A34种插法．由分步乘法计数原理可知，一共有?A3A3＝144?种．B r 810,CTr＋1＝(－a)rC8x8－2r，令?8－2r＝0 r＝4.∴T5＝C4(－a)4＝1?120，∴a＝±2.当?a＝2?时，和为?1；当?ar 8时，和为?38.4 4 4 311,D 分两类：①甲运?B?箱，有?C1·?C2·?C2种；②甲不运?B?箱，有?C2·?C4 4 4 34 4 4 3∴不同的分配方案共有?C1·?C2·?C2＋C2·?C2·?C24 4 4 3,A?分两类进行：第一类，在两名女教师中选出一名，从?5?名男教师中选出两名，且该女教师只能在室2 5 5内流动监考，有?C1·?C2种选法；第二类，选两名女教师和一名男教师有?C2·2 5 55 2 2 5 5 2教师中选一名作为室内流动监考人员，即有?C2·?C1·?C1共?10?种选法，∴共有?C1·?C2＋C2·?5 2 2 5 5 2A13.4 16 ∵展开式共有?5?项，∴n＝4，常数项为?C4424＝16.414. 甲、乙两人之间至少有一人，就是甲、乙两人不相邻，则有?A3·?A2＝72(种)．15. 0?或?5 16,14?因4为四位数的每个数位上都有两种可能性，其中四个数字全是?2?或?3?的情况不合题意，所以适合题意的四位数有?24－2＝14?个．17.解析分两类：第一类，买?5?本?2?元的有?C58?种；第二类，买?4?本?2?元的和?2?本?1?元的有?C48×C23种．故共有?C58＋C48×C23＝266?种不同的买法种数．18.解析依题意知，取出有?4?个球中至少有?2?个红球，可分三类：①取出的全是红球有?C44种方法；②20.解析? 由题意知展开式中第?k＋1?项系数是第?k?项系数的?2?倍，是第?k＋2?项系数的，6 4 6取出的?4?个球中有20.解析? 由题意知展开式中第?k＋1?项系数是第?k?项系数的?2?倍，是第?k＋2?项系数的，6 4 64 6 4 6理，共有?C4＋C3·?C1＋C2·?C4 6 4 6319.解析(1)四位数共有?C23C2A4＝216?个．333 3(2)上述四位数中，偶数排在一起的有?C23C2A3A2＝10833 3(3)两个偶数不相邻的四位数有?C23C2A2A2＝108?个．56∴Ckn2k＝6Ckn＋1·?2k＋ ∴?Ckn2k＝6Ckn＋1·?2k＋1， ? k k5解得?n＝7.∴展开式中二项式系数最大两项是：37T4＝C37(2?x)3＝280x2与?T5＝C4(2?x)4＝560x2.721. 6?人中有?2?人返回原单位，可分两类：2(1)2?人来自同科室：C13C1＝6?种；23 2 2 3 2 2(2)2?人来自不同科室：C2C1C1，然后?2?人分别回到科室，但不回原科室有?3?种方法，故有?3 2 2 3 2 236?种．由分类计数原理共有?6＋36＝42?种方法22.解析(1)10?件商品，除去不能参加评选的?2?件商品，剩下?8?件，从中选出?4?件进行排列，有?A48＝1?680(或8C4·?A4)(种)．8(2)分步完成．先将获金质奖章的两件商品布置在?6?个位置中的两个位置上，有?A26种方法，再从剩下的8 6 8 88?件商品中选出?4?件，布置在剩下的?4?个位置上，有?A4种方法，共有?A2·?A4＝50?400(或?C4·?8 6 8 8。
数学课后巩固及单元测试-第一章计数原理题
第一章综合测试题一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题中只有一项符合题目要求)1．设东、西、南、北四面通往山顶的路各有2、3、3、4条路，只从一面上山，而从任意一面下山的走法最多，应( )A．从东边上山B．从西边上山C．从南边上山D．从北边上山答案 D2．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为y＝x2，值域为{1,4}的“同族函数”共有( )A．7个 B．8个C．9个 D．10个答案 C解析由题意，问题的关键在于确定函数定义域的个数：第一步，先确定函数值1的原象：因为y＝x2，当y＝1时，x＝1或x＝－1，为此有三种情况：即{1}，{－1}，{1，－1}；第二步，确定函数值4的原象，因为y＝4时，x＝2或x＝－2，为此也有三种情况：{2}，{－2}，{2，－2}．由分步计数原理，得到：3×3＝9个．选C.3．5名学生相约第二天去春游，本着自愿的原则，规定任何人可以“去”或“不去”，则第二天可能出现的不同情况的种数为( )A．C25B．25C．52D．A25答案 B4．6个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐4人，则不同的乘车方法数为( )A．40 B．50C．60 D．70答案 B5．在航天员进行的一项太空实验中，先后要实施6个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有( ) A．24种 B．48种C．96种 D．144种答案 C解析当A出现在第一步时，再排A，B，C以外的三个程序，有A33种，A与A，B，C以外的三个程序生成4个可以排列程序B、C的空档，此时共有A33A14A22种排法；当A出现在最后一步时的排法与此相同，故共有2A 33A 14A 22＝96种编排方法．6．有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选法有( )A ．2 520B ．2 025C ．1 260D ．5 040 答案 A解析 先从10人中选出2人承担甲任务有C 210种选法，再从剩下的8人中选出2人分别承担乙、丙任务，有A 28种选法，由分步乘法计数原理共有C 210A 28＝2 520种不同的选法．故选A.7．有5列火车停在某车站并行的5条轨道上，若快车A 不能停在第3道上，货车B 不能停在第1道上，则5列火车的停车方法共有( )A ．78种B ．72种C ．120种D ．96种答案 A解析 不考虑不能停靠的车道，5辆车共有5！＝120种停法．A 停在3道上的停法：4！＝24(种)；B 种停在1道上的停法：4！＝24(种)； A 、B 分别停在3道、1道上的停法：3！＝6(种)．故符合题意的停法：120－24－24＋6＝78(种)．故选A.8．已知(1＋x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n，若a 0＋a 1＋a 2＋…＋a n ＝16，则自然数n 等于( )A ．6B ．5C ．4D ．3答案 C解析 令x ＝1，得2n＝16，则n ＝4.故选C.9．6个人排队，其中甲、乙、丙3人两两不相邻的排法有( ) A ．30种 B ．144种 C ．5种 D ．4种答案 B解析 分两步完成：第一步，其余3人排列有A 33种排法；第二步，从4个可插空档中任选3个给甲、乙、丙3人站有A 34种插法．由分步乘法计数原理可知，一共有A 33A 34＝144种．10．已知⎝⎛⎭⎪⎫x －a x8展开式中常数项为1 120，其中实数a 是常数，则展开式中各项系数的和是( )A ．28B ．38C ．1或38D ．1或28。
(人教版)杭州市选修三第一单元《计数原理》测试题(含答案解析)
一、选择题1．已知()272901291(21)(1)(1)(1)()x x a a x a x a x x R +-=+-+-++-∈.则1a =（ ） A ．-30 B ．30 C ．-40D ．402．若2021220210122021(12)x a a x a x a x -=++++，则1232021a a a a ++++=（ ）A ．1B ．1-C ．2D ．2-3．()7322121x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中常数项是（ ） A ．15B ．-15C ．7D ．-74．把五个标号为1到5的小球全部放入标号为1到4的四个盒子中，并且不许有空盒，那么任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中的概率是（ ） A ．320B ．720C ．316D ．255．某学校高三年级有两个文科班，四个理科班，现每个班指定1人，对各班的卫生进行检查.若每班只安排一人检查，且文科班学生不检查文科班，理科班学生不检查自己所在的班，则不同安排方法的种数是( ) A ．48B ．72C ．84D ．1686．若0k m n ≤≤≤，且,,m n k N ∈，则0mn m k n k n k CC --==∑（ ）A ．2m n+B ．2mn m CC ．2n mn C D ．2m mn C7．六安一中高三教学楼共五层，甲、乙、丙、丁四人走进该教学楼2~5层的某一层楼上课，则满足且仅有一人上5楼上课，且甲不在2楼上课的所有可能的情况有（ ）种 A ．27B ．81C ．54D ．1088．212nx x ⎛⎫ ⎪⎝⎭-的展开式中二项式系数之和是64，含6x 项的系数为a ，含3x 项系数为b ，则a b -=（ ） A ．200 B ．400 C ．-200D ．-4009．杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列，是中国古代数学的杰出研究成果之一.在欧洲，左下图叫帕斯卡三角形，帕斯卡在1654年发现的这一规律，比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年.某大学生要设计一个程序框图，按右下图标注的顺序将表上的数字输出，若第5次输出数“1”后结束程序，则空白判断框内应填入的条件为( )A ．3n >B ．4n <C ．3n <D ．4n >10．在下方程序框图中，若输入的a b 、分别为18、100，输出的a 的值为m ，则二项式342()(1)x m x x x+⋅-+的展开式中的常数项是A ．224B ．336C ．112D ．56011．在()nx x的展开式中，各项系数与二项式系数和之比为128，则4x 的系数为（ ） A ．21 B ．63C ．189D ．72912．若2132020x x C C -+=，则x 的值为（ ）A ．4B ．4或5C ．6D ．4或6二、填空题13．二项式261(2)x x-的展开式中的常数项是_______.（用数字作答）14．设122012(1)(1)(1)n n n x x x a a x a x a x ++++++=++++，其中n *∈N ，且2n ≥，若0121022n a a a a ++++=，则n =_____15．在()()()238111x x x ++++++的展开式中，含2x 项的系数是_______________.16．在32nx x ⎫⎪⎭的二项展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则该二项展开式中的常数项等于_____. 17．若()316*2323C n n C n N ++=∈，()20123nn n x a a x a x a x -=++++且，则()121nn a a a -+-+-的值为____________.18．二项式92(x展开式中3x 的系数为__________．19．二项式6ax ⎛ ⎝⎭的展开式中5x20a x dx =⎰________. 20．若()202022020012202032x a a x a x a x +=++++，则1352019a a a a ++++被12整除的余数为______．三、解答题21．若7767610(31)x a x a x a x a -=++++，求（1）127a a a +++；（2）1357a a a a +++； （3）0246a a a a +++．22．已知2nx ⎛⎝展开式前三项的二项式系数和为22.（1）求展开式中的常数项； （2）求展开式中二项式系数最大的项.23．（1）求91x ⎛- ⎝的展开式的常数项； （2）若1nx ⎛ ⎝的展开的第6项与第7项的系数互为相反数，求展开式的各项系数的绝对值之和.24．设()52501252x 1a a x a x a x -=++++，求：（1）015a a a +++；（2）015a a a +++；（3）135a a a ++；（4）()()22024135a a a a a a ++-++． 25．已知()10210012101mx a a x a x a x +=++++中，0m ≠，且63140a a +=.（1）求m ；（2）求246810a a a a a ++++.26．已知4530n n A C =，设()nf x x ⎛= ⎝． （Ⅰ）求n 的值；（Ⅱ）求()f x 的展开式中的常数项．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】令1t x =-，得29012927(22)(21)()a a t t t t a t a t x R =++++++∈+，进而得含t 的项为767722(2)tC C t +，从而得解.【详解】令1t x =-，则有：27290129[(1)1][2(1)1]()t t a a t a t a t x R +++-=++++∈，即29012927(22)(21)()a a t t t t a t a t x R =++++++∈+，7(21)t +展开式的通项公式为：77(2)r r C t -，所以29012927(22)(21)()a a t t t t a t a t x R =++++++∈+中含t 的项为：767722(2)30tC C t t +=.故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是令1t x =-，转化为求27(22)(21)t t t +++的展开中含t 的项.2．D解析：D 【分析】分别令0x =和1x =，即可解出所求． 【详解】解：由2021220210122021(12)x a a x a x a x -=+++⋯+， 令0x =得01a =；令1x =得01220211a a a a -=+++⋯+， 1220212a a a ∴++⋯+=-．故选：D ． 【点睛】本题考查赋值法在研究二项展开式中系数的问题，同时考查方程思想在解题中的作用．属于中档题．3．B解析：B 【分析】先求得7211x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项公式，分别令r =4,5,6,7，求得对应的四项，又()3264226128x x x x +=+++，则()7322121x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中所有x 的零次幂的系数和即为常数项，计算化简，即可得结果. 【详解】7211x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的通项公式为721417721()(1)(1)r r r r r r r T C C x x --+=⋅⋅-=⋅-⋅，令4r =，得446657(1)35T C x x --=⋅-⋅=， 令=5r ，得554467(1)21T C x x --=⋅-⋅=-， 令6r =，得662277(1)7T C x x --=⋅-⋅=， 令7r =，得77087(1)1T C x =⋅-⋅=-，又()3264226128x x x x +=+++，所以()7322121x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中常数项为351(21)6712(1)815⨯+-⨯+⨯+-⨯=-， 故选：B 【点睛】本题考查利用赋值法解决展开式中常数项的问题，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.4．B解析：B 【分析】由题意可以分两类，第一类第5球独占一盒，第二类，第5球不独占一盒，根据分类计数原理得到答案． 【详解】解：第一类，第5球独占一盒，则有4种选择；如第5球独占第一盒，则剩下的三盒，先把第1球放旁边，就是2，3，4球放入2，3，4盒的错位排列，有2种选择，再把第1球分别放入2，3，4盒，有3种可能选择，于是此时有236⨯=种选择； 如第1球独占一盒，有3种选择，剩下的2，3，4球放入两盒有2种选择，此时有236⨯=种选择，得到第5球独占一盒的选择有4(66)48⨯+=种，第二类，第5球不独占一盒，先放14-号球，4个球的全不对应排列数是9；第二步放5号球：有4种选择；9436⨯=，根据分类计数原理得，不同的方法有364884+=种．而将五球放到4盒共有2454240C A ⨯=种不同的办法，故任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中的概率84724020P == 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了分类计数原理，关键是如何分步，属于中档题．5．D解析：D 【分析】分两步，第一步选2名理科班的学生检查文科班，第二步，理科班检查的方法，需要分三类，根据分布和分类计数原理可得. 【详解】第一步：选2名理科班的学生检查文科班，有2412A =种第二步：分三类①2名文科班的学生检查剩下的2名理科生所在的班级，2名理科生检查另2名理科生所在的班级，有22224A A =种②2名文科班的学生检查去文科班检查的2名理科生所在班级，剩下的2名理科生互查所在的班级，有21212A A =种③2名文科生一人去检查去文科班检查的2名理科生所在的班级的一个和一人去检查剩下的2名理科生其中一个所在的班级，有1112228A A A =种根据分步分类技术原理可得，共有()12428168⨯++=不同的安排方法 故选：D 【点睛】本题考查的是分步分类计数原理及排列组合的知识，怎么将一个复杂的事情进行合理的分步分类去完成是解题的关键.6．D解析：D 【分析】先利用特殊值排除A,B,C ，再根据组合数公式以及二项式定理论证D 成立. 【详解】 令0m =得，CC C C 1mn m k n n k n n n k --===∑，在选择项中，令0m =排除A ，C ；在选择项中，令1m =，101110C C C C C C 2mn m k n n n k n n n n n k n -----==+=∑排除B ，()!!()!()!!()!mmn m k n knk k n k n CC n m m k k n k --==-=⋅---∑∑000!!2()!!!()!mm mm k m k m mn m n m n k k k n m C C C C C n m m k m k ====⋅=⋅==--∑∑∑,故选D 【点睛】本题考查组合数公式以及二项式定理应用，考查基本分析化简能力，属中档题.7．B解析：B 【分析】以特殊元素甲为主体，根据分类计数原理，计算出所有可能的情况，求得结果. 【详解】甲在五楼有33种情况，甲不在五楼且不在二楼有11232354C C ⨯=种情况，由分类加法计数原理知共有542781+=种不同的情况， 故选B. 【点睛】该题主要考查排列组合的有关知识，需要理解排列组合的概念，根据题目要求分情况计数，属于简单题目.8．B解析：B 【分析】由展开式二项式系数和得n ＝6，写出展开式的通项公式，令r=2和r=3分别可计算出a 和b 的值，从而得到答案. 【详解】由题意可得二项式系数和2n ＝64，解得n ＝6．∴212n x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭-的通项公式为：()()6261231661212rr r r r r rr T C x C x x ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， ∴当r=2时，含x 6项的系数为()2262612240C a --==， 当r=3时，含x 3项的系数为()3363612160C b --=-=，则400a b -=, 故选B ． 【点睛】本题考查二项式定理的通项公式及其性质，考查推理能力与计算能力，属于基础题．9．C解析：C 【分析】利用()!!!in n C i n i =-，执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出的值为22C ，即可得到输出条件. 【详解】利用()!!!in n C i n i =-，执行程序框图，当0n =时，输出的是00C ； 当1n =时，输出的是0111,C C ； 当2n =时，012222,,C C C ；当3n =时，输出的是01233333,,,C C C C ，因为第5次输出数“1”，即2n =，输出22C 后结束程序， 所以3n =时不满足条件，结束程序，所以，空白判断框内应填入的条件为3n <，故选C. 【点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.10．D解析：D 【分析】由程序图先求出m 的值，然后代入二项式中，求出展开式中的常数项 【详解】由程序图可知求输入18100a b ==，的最大公约数，即输出2m =则二项式为())348332812161x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+⋅-=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭)81的展开通项为()82181r rr r T C x-+=-要求展开式中的常数项，则当取38x 时，令832r-= 解得2r =，则结果为288224C =，则当取12x 时，令812r-=，解得6r =，则结果为6812336C =，故展开式中的常数项为224336560+=，故选D【点睛】本题考查了运用流程图求两个数的最大公约数，并求出二项式展开式中的常数项，在求解过程中注意题目的化简求解，属于中档题11．C解析：C 【解析】分析：令1x =得各项系数和，由已知比值求得指数n ，写出二项展开式通项，再令x 的指数为4求得项数，然后可得系数．详解：由题意41282n n =，解得7n =，∴37721773r r r r r rr T C x C x --+==，令3742r-=，解得2r ，∴4x 的系数为2273189C =．故选C ． 点睛：本题考查二项式定理，考查二项式的性质．在()n a b +的展开式中二项式系数和为2n ，而展开式中各项系数的和是在展开式中令变量值为1可得，二项展开式通项公式为1C r n r rr n T ab -+=． 12．D解析：D 【解析】 因为2132020x x C C -+=，所以213x x -=+ 或21320x x -++=，所以4x = 或6x =，选D.二、填空题13．60【分析】根据二项式展开式的通项公式求解【详解】有题意可得二项式展开式的通项为：令可得此时【点睛】本题考查二项式定理的应用考查通项公式考查计算能力属于基础题解析：60 【分析】根据二项式展开式的通项公式求解. 【详解】有题意可得，二项式展开式的通项为：()62612316612(1)2rrrr r r rr T C xC xx ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭令1230r -=可得4r = ，此时2456260T C ==.【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查通项公式，考查计算能力，属于基础题.14．9【分析】记函数利用等比数列求和公式即可求解【详解】由题：记函数即故答案为：9【点睛】此题考查多项式系数之和问题常用赋值法整体代入求解体现出转化与化归思想解析：9 【分析】记函数122012()(1)(1)(1)n n n f x x x x a a x a x a x =++++++=++++，012222(1)2n n f a a a a =+++=++++，利用等比数列求和公式即可求解. 【详解】由题：记函数212012()(1)(1)(1)n n n f x a a x a x a x x x x =++++=++++++，021222(12)(21)212n nn f a a a a -=++++++=-=+， 即1221022n +-=，121024,9n n +==故答案为：9 【点睛】此题考查多项式系数之和问题，常用赋值法整体代入求解，体现出转化与化归思想.15．84【分析】通过求出各项二项展开式中项的系数利用组合数的性质求出系数和即可得结果【详解】的展开式中含项的系数为：故答案是：84【点睛】该题考查的是有关二项式对应项的系数和的问题涉及到的知识点有指定项解析：84 【分析】通过求出各项二项展开式中2x 项的系数，利用组合数的性质求出系数和即可得结果. 【详解】()()()238111x x x ++++++的展开式中，含2x 项的系数为：2222222322222223456783345678C C C C C C C C C C C C C C ++++++=++++++399878432C ⨯⨯===⨯， 故答案是：84. 【点睛】该题考查的是有关二项式对应项的系数和的问题，涉及到的知识点有指定项的二项式系数，组合数公式，属于简单题目.16．112【分析】由题意可得再利用二项展开式的通项公式求得二项展开式常数项的值【详解】的二项展开式的中只有第5项的二项式系数最大通项公式为令求得可得二项展开式常数项等于故答案为112【点睛】本题主要考查解析：112 【分析】由题意可得8n =，再利用二项展开式的通项公式，求得二项展开式常数项的值． 【详解】2)nx的二项展开式的中，只有第5项的二项式系数最大，8n∴=，通项公式为4843318(2)(2)n r rr r r rr nT C x C x--+=-=-，令843r-=，求得2r，可得二项展开式常数项等于284112C⨯=，故答案为112．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．17．175【分析】先利用二项式系数的性质求得n＝4再令x＝﹣1可得a0﹣a1+a2﹣…+（﹣1）nan的值再令x＝0可得a0=81即可求解【详解】由C233n+1＝C23n+6（n∈N*）可得3n+1+解析：175【分析】先利用二项式系数的性质求得n＝4，再令x＝﹣1可得a0﹣a1+a2﹣…+（﹣1）n a n的值，再令x＝0可得a0=81，即可求解.【详解】由C233n+1＝C23n+6（n∈N*）可得 3n+1+（n+6）＝23，或 3n+1＝n+6，解得n＝4 或n52=（舍去）．故（3﹣x）4＝a0+a1x+a2x2+…+a4 x4，令x＝﹣1可得a0﹣a1+a2﹣…+（﹣1）n a n＝44＝256，再令x＝0可得a0=81，∴﹣a1+a2﹣…+（﹣1）n a n＝256-81=175，故答案为 175．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和问题，属于中档题．18．【分析】由题意求得二项展开式的通项利用展开式的通项即可求解的系数得到答案【详解】由题意二项式展开式的通项为令解得所以即中的系数为【点睛】本题主要考查了二项展开式的指定项的系数的求解其中熟记二项展开式解析：18【分析】由题意，求得二项展开式的通项，利用展开式的通项，即可求解3x的系数，得到答案.【详解】由题意，二项式92x⎛⎝展开式的通项为(()93992199212rr rrr r rrT C C xx---+⎛⎫=⋅⋅=-⋅⋅⋅⎪⎝⎭令3932r -=，解得8r =，所以()81833191218r T C x x +=-⋅⋅⋅=，即中3x 的系数为18. 【点睛】本题主要考查了二项展开式的指定项的系数的求解，其中熟记二项展开式的通项，利用通项求解指定项的系数是解答此类问题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.19．【解析】分析：先根据二项展开式的通项求得的系数进而得到的值然后再根据微积分基本定理求解即可详解：二项式的展开式的通项为令可得的系数为由题意得解得∴点睛：解答有关二项式问题的关键是正确得到展开式的通项解析：13【解析】分析：先根据二项展开式的通项求得5x 的系数，进而得到a 的值，然后再根据微积分基本定理求解即可．详解：二项式66ax ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭的展开式的通项为666166()(),0,1,2,,6r r r r r r rr T C ax a C x r ---+===，令1r =，可得5x5156a C =，5=， 解得1a =．∴12310011|33x dx x ==⎰． 点睛：解答有关二项式问题的关键是正确得到展开式的通项，然后根据题目要求求解．定积分计算的关键是确定被积函数的原函数，然后根据微积分基本定理求解．20．0【分析】根据题意给自变量赋值取和两个式子相减得到的值用二项展开式可以看出被12整除的结果得到余数【详解】在已知等式中取得取得两式相减得即因为能被12整除所以则被12整除余数是0故答案为：0【点睛】解析：0 【分析】根据题意，给自变量x 赋值，取1x =和1x =-，两个式子相减，得到1352019a a a a +++的值，用二项展开式可以看出被12整除的结果，得到余数．【详解】在已知等式中，取1x =得202001220205a a a a ++++=，取1x =-得01220201a a a a -+-+=， 两式相减得202013520192()51a a a a +++=-，即()202013520191512a a a a +++=⨯-，因为()()()1010202010101111512512412222⨯-=⨯-=⨯+- ()01010110091010101010101010101124242422C C C C =⨯++++-()0101011009110101010101012424242C C C =⨯+++能被12整除，所以则1352019a a a a ++++被12整除，余数是0.故答案为：0. 【点睛】本题考查二项式定理的应用和带余除法，本题解题的关键是利用赋值的方法、利用二项式定理得到式子的结果，属于中等题．三、解答题21．（1）129（2）8256（3）-8128 【分析】（1）利用赋值法令0x =得0a ，再令1x =即可得到结果. （2）令1x =和1x =-，将得到的两个式子作差可得结果. （3）令1x =和1x =-，将得到的两个式子相加可得结果. 【详解】（1）令0x =，则01a =-，令1x =，则128270167==++++a a a a ．∴129721=+++a a a ．（2）令1x =，则128270167==++++a a a a ． 令1x =-，则701234567)4(-=+-+-+-+-a a a a a a a a ,两式相减得：()713572128(4)16512a a a a +++=--=，则1357=8256a a a a +++.（3）令1x =，则128270167==++++a a a a ． 令1x =-，则701234567)4(-=+-+-+-+-a a a a a a a a ,两式相加得：()02462=a a a a +++()7128416256+-=-，则02468128a a a a +++=- 【点睛】本题考查赋值法求二项展开式的各项系数和，考查计算能力，属于基础题. 22．（1）60（2）32160x【分析】（1）根据2nx⎛ ⎝展开式前三项的二项式系数和为22，由01222n n n C C C ++=，解得6n =，再得到2nx⎛+ ⎝展开式的通项1r T +366262rr r C x --=，令3602r -=求解. （2）根据6n =，得到展开式中二项式系数最大的项为第四项，再利用通项公式求解.. 【详解】（1）因为2nx⎛⎝展开式前三项的二项式系数和为22，所以01222n n n C C C ++=，即(1)1222n n n -++=， 所以2420n n +-=， 解得6n =或7n =-（舍去）.所以2nx⎛+ ⎝展开式的通项为：16216(2)rr r r T C x x --+⎛⎫= ⎪⎝⎭366262r r r C x --=，令3602r -=，得4r =， 所以展开式中的常数项为41T +=4206260C x =.（2）因为6n =，所以展开式中二项式系数最大的项为第四项，即3133322316(2)160T C x x x -+⎛⎫== ⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查二项式定理的通项公式，二项式系数，还考查了运算求解的能力，属于中档题.23．(1)84 (2)2048 【分析】（1）利用二项展开式的通项公式，令x 的次数为0，即可求出常数项．（2）通过第6项与第7项的系数互为相反数，可得11n =，111(x的各项系数绝对值之和与111(x的各系数之和相等，令x=1,即可得到答案.【详解】解：（1）因为91(x 的通项是39921991()((1)r r r r r r r T C C x x--+==-，当r=6时可得展开式的常数项，即常数项是6679(1)84T C =-=.（2）1(n x 的通项为3211()((1)r n r n r r r r r n n T C C x x--+==-，则第6项与第7项分别为15526n nT C x-=-和697nn T C x -=，它们的系数分别为5n C -和6n C .因为第6项与第7项的系数互为相反数，所以56n n C C =，则11n =，因为111(x 的各项系数绝对值之和与111(x 的各系数之和相等，令1x =，得111(x的各项系数的绝对值之和为1122048=.【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查二项式展开式通项公式和二项式系数的应用，属于基础题.24．（1）1；（2）243；（3）122；（4）243- 【分析】（1）令x=1即得015a a a +++的值；（2）在521x +（）中，令1x =得解；（3） 先求出f(1)－f(-1)即得解；（4）求f(1)·f(-1)即得解. 【详解】∵()52501232x 1a a x a x a x -=++++， （1）令1x =，可得015a a a 1+++=；（2）在521x +（）中，令1x =，可得015a a a 243+++=；（3）令f(x)=()5250125 2x 1a a x a x a x -=++++,f(1)=015 a a a 1+++=,所以f(-1)=012345243a a a a a a -+-+-=-， 所以f(1)-f(-1)=2135()244a a a ++=, 所以135122a a a ++=．（4）22024135a a a a a a ++-++（）（）012345012345a a a a a a a a a a a a =+++++-+-+-()()1?11243243f f =-=⨯-=-．【点睛】本题主要考查二项式展开式的系数的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.25．（1）2m =-（2）29524 【分析】（1）由二项式定理求出第4项和第7项的系数，代入已知可得m ；（2）令1x =得所有项系数和，令1x =-得奇数项系数和与偶数项系数和的差，两者结合后可得偶数项系数和，0a 是常数项易求，从而可得246810a a a a a ++++， 【详解】（1）因为10i ii a C m =，1,2,310i =，依题意得：66331010140C m C m +=，331098710981404321321m m ⨯⨯⨯⨯⨯⎛⎫+=⎪⨯⨯⨯⨯⨯⎝⎭因为0m ≠，所以38m =-，得2m =-. （2）()102100121012x a a x a x a x -=+++令1x =得：()10012345678910121a a a a a a a a a a a ++++++++++=-=.① 令1x =-得：()1010012345678910123a a a a a a a a a a a -+-+-+-+-+=+=.② 由①+②得：()10024*******a a a a a a +++++=+，即100246810132a a a a a a ++++++=. 又()001021a C =-=，所以1010246810133112952422a a a a a +-++++=-==【点睛】本题考查二项式定理的应用和赋值法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，导向对发展数学抽象、逻辑推理、数学运算等核心素养的关注. 26．（Ⅰ）8n =；（Ⅱ）728T ．【分析】（Ⅰ）利用排列数，组合数公式化简4530n n A C =即可得n 的值.（Ⅱ）写出()f x 的展开式的通项公式，令x 的指数为0即可得到常数项. 【详解】（Ⅰ）由已知4530n n A C =得：!30!4!5!5!n n n n ，!30!45!1205!n n n n n解得:8n =．（Ⅱ）8x⎛⎝展开式的通项为488318831k kk kk kkT C x C xx由4803k得6k=，即()f x的展开式中的常数项为728T．【点睛】本题考查排列数组合数公式的应用，考查求解二项展开式中的常数项，考查计算能力，属于基础题.。
高中数学修2-3 第一章《计数原理》单元测试题
高中数学修2-3 第一章单元测试题《计数原理》(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．C910＋C810等于()A．45B．55C．65 D．以上都不对2．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有()A．10种B．20种C．25种D．32种3．在(x2＋3x＋2)5的展开式中x的系数为()A．140 B．240C．360 D．8004．某外商计划在4个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有()A．16种B．36种C．42种D．60种5．5人站成一排，甲乙之间恰有一个人的站法有()A．18种B．24种C．36种D．48种6．关于(a－b)10的说法，错误的是()A．展开式中的二项式系数之和为1 024B．展开式中第6项的二项式系数最大C．展开式中第5项和第7项的二项式系数最大D．展开式中第6项的系数最小7.图1如图1，用五种不同的颜色给图中的A，B，C，D，E，F六个不同的点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂色方法共()A．1 240种B．360种C．1 920种D．264种8．某计算机商店有6台不同的品牌机和5台不同的兼容机，从中选购5台，且至少有品牌机和兼容机各2台，则不同的选购方法有()A．1 050种B．700种C．350种D．200种9．设(1－3x)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|的值为()A．29B．49C．39D．5910．如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”，在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是()A．60 B．48C．36 D．2411．某同学忘记了自己的QQ号的后六位，但记得QQ号后六位是由一个1，一个2，两个5和两个8组成的，于是用这六个数随意排成一个六位数，输入电脑尝试，那么他找到自己的QQ号最多尝试次数为()A．96 B．180C．360 D．72012．设(1＋x)n＝a0＋a1x＋…＋a n x n，若a1＋a2＋…＋a n＝63，则展开式中系数最大项是()A ．15x 3B ．20x 3C ．21x 3D ．35x 3二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)13．某科技小组有女同学2名、男同学x 名，现从中选出3名去参加展览．若恰有1名女生入选时的不同选法有20种，则该科技小组中男生的人数为________．14．(1.05)6的计算结果精确到0.01的近似值是________． 15．观察下列各式：C 01＝40； C 03＋C 13＝41； C 05＋C 15＋C 25＝42； C 07＋C 17＋C 27＋C 37＝43；……照此规律，当n ∈N *时，C 02n －1＋C 12n －1＋C 22n －1＋…＋C n －12n －1＝________.16．设a ≠0，n 是大于1的自然数，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x a n 的展开式为a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n .若点A i (i ，a i )(i ＝0,1,2)的位置如图2所示，则a ＝________.图2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知⎩⎪⎨⎪⎧C x n ＝C 2xn ，C x ＋1n＝113C x －1n ，试求x ，n 的值.18．(本小题满分12分)利用二项式定理证明：49n ＋16n －1(n ∈N *)能被16整除．19．(本小题满分12分)一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球， (1)从中任取4个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？(2)若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种？20．(本小题满分12分)设(2x－1)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，求下列各式的值：(1)a0＋a1＋a2＋…＋a10；(2)a6.21．(本小题满分12分)有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数．(1)排成前后两排，前排3人，后排4人；(2)全体站成一排，甲不站排头也不站排尾；(3)全体站成一排，女生必须站在一起；(4)全体站成一排，男生互不相邻．22．(本小题满分12分)已知集合A＝{x|1<log2x<3，x∈N*}，B＝{4,5,6,7,8}．(1)从A∪B中取出3个不同的元素组成三位数，则可以组成多少个？(2)从集合A中取出1个元素，从集合B中取出3个元素，可以组成多少个无重复数字且比4 000大的自然数？高中数学修2-3 第一章单元测试题《计数原理》参考答案(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2016·银川一中检测)C910＋C810等于()A．45B．55C．65 D．以上都不对【解析】C910＋C810＝C110＋C210＝55，故选B.【答案】 B2．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有()A．10种B．20种C．25种D．32种【解析】5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有25＝32种，故选D.【答案】 D3．在(x2＋3x＋2)5的展开式中x的系数为()A．140 B．240C．360 D．800【解析】由(x2＋3x＋2)5＝(x＋1)5(x＋2)5，知(x＋1)5的展开式中x的系数为C45，常数项为1，(x＋2)5的展开式中x的系数为C45·24，常数项为25.因此原式中x 的系数为C45·25＋C45·24＝240.【答案】 B4．某外商计划在4个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有()A．16种B．36种C．42种D．60种【解析】分两类．第一类：同一城市只有一个项目的有A34＝24种；第二类：一个城市2个项目，另一个城市1个项目，有C23·C24·A22＝36种，则共有36＋24＝60种．【答案】 D5．(2016·广州高二检测)5人站成一排，甲乙之间恰有一个人的站法有() A．18种B．24种C．36种D．48种【解析】首先把除甲乙之外的三人中随机抽出一人放在甲乙之间，有3种可能，甲乙之间的人选出后，甲乙的位置可以互换，故甲乙的位置有2种可能，最后，把甲乙及其中间的那个人看作一个整体，与剩下的两个人全排列是A33＝6，所以3×2×6＝36(种)，故答案为C.【答案】 C6．关于(a－b)10的说法，错误的是()A．展开式中的二项式系数之和为1 024B．展开式中第6项的二项式系数最大C．展开式中第5项和第7项的二项式系数最大D．展开式中第6项的系数最小【解析】由二项式系数的性质知，二项式系数之和为210＝1 024，故A正确；当n为偶数时，二项式系数最大的项是中间一项，故B正确，C错误；D也是正确的，因为展开式中第6项的系数是负数且其绝对值最大，所以是系数中最小的．【答案】 C7.图1(2016·潍坊高二检测)如图1，用五种不同的颜色给图中的A，B，C，D，E，F 六个不同的点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂色方法共()A．1 240种B．360种C．1 920种D．264种【解析】由于A和E或F可以同色，B和D或F可以同色，C和D或E可以同色，所以当五种颜色都选择时，选法有C13C12A55种；当五种颜色选择四种时，选法有C45C13×3×A44种；当五种颜色选择三种时，选法有C35×2×A33种，所以不同的涂色方法共C13C12A55＋C45C13×3×A44＋C35×2×A33＝1 920.故选C.【答案】 C8．某计算机商店有6台不同的品牌机和5台不同的兼容机，从中选购5台，且至少有品牌机和兼容机各2台，则不同的选购方法有() 【导学号：97270029】A．1 050种B．700种C．350种D．200种【解析】分两类：(1)从6台不同的品牌机中选3台和从5台不同的兼容机中选2台；(2)从6台不同的品牌机中选2台和从5台不同的兼容机中选3台．所以不同的选购方法有C36C25＋C26C35＝350种．【答案】 C9．设(1－3x)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|的值为()A．29B．49C．39D．59【解析】由于a0，a2，a4，a6，a8为正，a1，a3，a5，a7，a9为负，故令x＝－1，得(1＋3)9＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a8－a9＝|a0|＋|a1|＋…＋|a9|，故选B.【答案】 B10．(2016·山西大学附中月考)如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”，在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是()A．60 B．48C．36 D．24【解析】在长方体中，对每一条棱都有两个面(侧面或底面)和一个对角面(对不在同一个面上的一对互相平行的棱的截面)与它平行，可构成3×12＝36个“平行线面组”，对每一条面对角线，都有一个面与它平行，可组成12个“平行线面组”，所以“平行线面组”的个数为36＋12＝48，故选B.【答案】 B11．(2016·吉林一中高二期末)某同学忘记了自己的QQ号的后六位，但记得QQ号后六位是由一个1，一个2，两个5和两个8组成的，于是用这六个数随意排成一个六位数，输入电脑尝试，那么他找到自己的QQ号最多尝试次数为() A．96 B．180C．360 D．720【解析】由这6个数字组成的六位数个数为A66A22A22＝180，即最多尝试次数为180.故选B.【答案】 B12．设(1＋x)n＝a0＋a1x＋…＋a n x n，若a1＋a2＋…＋a n＝63，则展开式中系数最大项是()A．15x3B．20x3C．21x3D．35x3【解析】令x＝0，得a0＝1，再令x＝1，得2n＝64，所以n＝6，故展开式中系数最大项是T4＝C36x3＝20x3.故选B.【答案】 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)13．某科技小组有女同学2名、男同学x 名，现从中选出3名去参加展览．若恰有1名女生入选时的不同选法有20种，则该科技小组中男生的人数为________．【解析】 由题意得C 12·C 2x ＝20，解得x ＝5. 【答案】 514．(1.05)6的计算结果精确到0.01的近似值是________．【解析】 (1.05)6＝(1＋0.05)6＝C 06＋C 16×0.05＋C 26×0.052＋C 36×0.053＋…＝1＋0.3＋0.037 5＋0.002 5＋…≈1.34.【答案】 1.3415．(2015·山东高考)观察下列各式：C 01＝40； C 03＋C 13＝41； C 05＋C 15＋C 25＝42； C 07＋C 17＋C 27＋C 37＝43；……照此规律，当n ∈N *时，C 02n －1＋C 12n －1＋C 22n －1＋…＋C n －12n －1＝________.【解析】 观察每行等式的特点，每行等式的右端都是幂的形式，底数均为4，指数与等式左端最后一个组合数的上标相等，故有C 02n －1＋C 12n －1＋C 22n －1＋…＋C n －12n －1＝4n －1. 【答案】 4n －116．(2014·安徽高考)设a ≠0，n 是大于1的自然数，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x a n 的展开式为a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n .若点A i (i ，a i )(i ＝0,1,2)的位置如图2所示，则a ＝________.图2【解析】 由题意知A 0(0,1)，A 1(1,3)，A 2(2,4)．故a 0＝1，a 1＝3，a 2＝4.由⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x a n 的展开式的通项公式知T r ＋1＝C r n ⎝ ⎛⎭⎪⎫x a r (r ＝0,1,2，…，n )．故C 1n a ＝3，C 2n a 2＝4，解得a ＝3.【答案】 3三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知⎩⎪⎨⎪⎧ C x n ＝C 2x n ，C x ＋1n ＝113C x －1n ，试求x ，n 的值. 【导学号：97270030】【解】 ∵C x n ＝C n －x n ＝C 2x n ，∴n －x ＝2x 或x ＝2x (舍去)，∴n ＝3x .由C x ＋1n ＝113C x －1n，得 n ！(x ＋1)！(n －x －1)！＝113·n ！(x －1)！(n －x ＋1)！， 整理得3(x －1)！(n －x ＋1)！＝11(x ＋1)！(n －x －1)！，3(n －x ＋1)(n －x )＝11(x ＋1)x .将n ＝3x 代入，整理得6(2x ＋1)＝11(x ＋1)，∴x ＝5，n ＝3x ＝15.18．(本小题满分12分)利用二项式定理证明：49n ＋16n －1(n ∈N *)能被16整除．【证明】 49n ＋16n －1＝(48＋1)n ＋16n －1＝C 0n ·48n ＋C 1n ·48n －1＋…＋C n －1n ·48＋C n n＋16n －1 ＝16(C 0n ·3×48n －1＋C 1n ·3×48n －2＋…＋C n －1n ·3＋n )． 所以49n ＋16n －1能被16整除．19．(本小题满分12分)一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，(1)从中任取4个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？(2)若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种？【解】 (1)将取出4个球分成三类情况：①取4个红球，没有白球，有C 44种；②取3个红球1个白球，有C 34C 16种；③取2个红球2个白球，有C 24C 26种，故有C 44＋C 34C 16＋C 24C 26＝115种．(2)设取x 个红球，y 个白球，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝5，0≤x ≤4，2x ＋y ≥7，0≤y ≤6，故⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝1.因此，符合题意的取法共有C 24C 36＋C 34C 26＋C 44C 16＝186种． 20．(本小题满分12分)设(2x －1)10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10，求下列各式的值：(1)a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10；(2)a 6.【解】 (1)令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝(2－1)10＝1.(2)a6即为含x6项的系数，T r＋1＝C r10(2x)10－r·(－1)r＝C r10(－1)r210－r·x10－r，所以当r＝4时，T5＝C410(－1)426x6＝13 440x6，即a6＝13 440.21．(本小题满分12分)有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数．(1)排成前后两排，前排3人，后排4人；(2)全体站成一排，甲不站排头也不站排尾；(3)全体站成一排，女生必须站在一起；(4)全体站成一排，男生互不相邻．【解】(1)共有A77＝5 040种方法．(2)甲为特殊元素．先排甲，有5种方法，其余6人有A66种方法，故共有5×A66＝3 600种方法．(3)(捆绑法)将女生看成一个整体，与3名男生在一起进行全排列，有A44种方法，再将4名女生进行全排列，有A44种方法，故共有A44×A44＝576种方法．(4)(插空法)男生不相邻，而女生不做要求，所以应先排女生，有A44种方法，再在女生之间及首尾空出的5个空位中任选3个空位排男生，有A35种方法，故共有A44×A35＝1 440种方法．22．(本小题满分12分)已知集合A＝{x|1<log2x<3，x∈N*}，B＝{4,5,6,7,8}．(1)从A∪B中取出3个不同的元素组成三位数，则可以组成多少个？(2)从集合A中取出1个元素，从集合B中取出3个元素，可以组成多少个无重复数字且比4 000大的自然数？【解】由1<log2x<3，得2<x<8，又x∈N*，所以x为3,4,5,6,7，即A＝{3,4,5,6,7}，所以A∪B＝{3,4,5,6,7,8}．(1)从A∪B中取出3个不同的元素，可以组成A36＝120个三位数．(2)若从集合A中取元素3，则3不能作千位上的数字，有C35·C13·A33＝180个满足题意的自然数；若不从集合A中取元素3，则有C14C34A44＝384个满足题意的自然数．所以，满足题意的自然数的个数共有180＋384＝564.。
高一数学计数原理单元测试.doc
计数原理、概率与统计班级 姓名 学号 成绩一、选择题:1．某次抽奖活动，甲中奖的概率为12，乙中奖的概率为14，则甲、乙都中奖的概率为 A ．18B ．34C ．14D ．122．已知211(),(),()5410P A P B P AB ===，则()P B A = A ．110B ．14C ．25D ．13203．某地区有300家商店，其中大型商店有30家，中型商店有75家，小型商店有195家，为了掌握各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为本。
若采用分层抽样的方法，抽取的中型商店数 是 A ．2 B ．3 C ．5 D ．134．某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超过2个,则该外商不同的投资方案有 A.16种 B.36种 C.42种 D.60种 5．过平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1任意两条棱的中点作直线,其中与平面DBB 1D 1平行的直线共有 A.4条 B.6条 C.8条 D.12条6．在某一试验中事件A 出现的概率为p ，则在n 次试验中A 出现k 次的概率为A ．1－k pB ．()k n kp p --1 C ．1－()kp -1 D ． ()k n kkn p p C --17．事件A 与B 相互独立是事件A 与B 相互独立的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．某校高三年级举行一次演讲赛共有10位同学参赛，其中一班有3位，二班有2位，其它班有5位，若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班有3位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连），而二班的2位同学没有被排在一起的概率为： A ．110B ．120C ．140D ．1120二、填空题：9．在72)x的展开式中，2x 的系数为_________________（用数字作答）.10．一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在［2500，3000）（元）月收入段应抽出 人11．安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日，不同的安排方法共有_________种。
第一章计数原理单元测试题
02
测试题目的内容
测试范围和知识点
计数原理的掌握和应用 排列组合的应用 概率计算的基本方法 测试题目的难易程度和覆盖面
题目类型和数量
题目类型：选择题、填空题、解答题等 题目数量：根据考试大纲和知识点分布确定，一般在20-30道题 左右
题目难度和区分度
难度：指测试题目的难易程 度，一般分为容易、较容易、 中等难度、较难和很难五个 等级。
测试题目可以反 映学生对计数原 理的掌握程度， 为后续学习打下 基础。
计数原理在计算 机科学、统计学 等领域也有广泛 应用，因此了解 其背景和意义对 于相关领域的人 才培养也具有重 要意义。
目的和意义
目的：通过测试题目了解学 生对计数原理的掌握情况
意义：巩固所学知识，提高 解题技巧，为后续学习奠定
题目难度适中， 适合学生水平
题目覆盖面广， 知识点考查全
面
题目设计有层 次，能够满足 不同层次学生
的需求
题目类型多样， 包括选择题、 填空题、解答
题等
总结和反思
测试题目的难易程度和覆盖面 学生对知识点的掌握情况 教学方法和效果的评价 针对不足之处提出改进建议
感谢观看
汇报人：XX
XX
计数原理单元测试题
单击添加副标题
汇报人：XX目录来自01测试题目的背景和意义
02
03
测试题目的评价标准
04
测试题目的内容 测试题目的分析和总结
01
测试题目的背景和意义
背景介绍
计数原理是数学 中的基本概念之 一，对于解决实 际问题具有重要 意义。
通过单元测试题， 可以帮助学生更 好地理解和掌握 计数原理的应用。
04
测试题目的分析和总结
2020学年高中数学第一章计数原理单元质量测评新人教A版选修2-3(2021-2022学年)
第一章单元质量测评本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题,共6０分)一、选择题(本大题共１2小题，每小题5分,共60分)1．(ｘ3+ｘ2＋x+１)（ｙ２＋ｙ+1)(z＋1）展开后的不同项数为( )A．９ B．12 C．18 D．24答案D解析分三步：第一步,从（x３+x2＋x+１)中任取一项，有4种方法;第二步，从(y2＋y＋1)中任取一项,有3种方法；第三步，从（z+1)中任取一项有2种方法.根据分步乘法计数原理不同项数为4×３×2＝24。
故选D。
２.小王有70元钱，现有面值分别为20元和30元的两种IC电话卡.若他至少买一张，则不同的买法共有()A．7种 B.８种 C．6种 D.9种答案Ａ解析要完成的“一件事”是“至少买一张IC电话卡”，分3类完成:买1张IＣ卡、买2张ＩC 卡、买3张IＣ卡.而每一类都能独立完成“至少买一张IC电话卡”这件事．买1张IC卡有2种方法,买2张IC卡有３种方法，买3张IC卡有２种方法.不同的买法共有２+3+2＝7种.3．错误!6的展开式的第2项的系数为-错误!,则错误!未定义书签。
x2d x的值为（ )A.3 B。
错误!未定义书签。
C．３或＼f(7，３) D.３或-＼ｆ(１0，3）答案Ｂ解析该二项展开式的第２项的系数为Ｃ错误!未定义书签。
×a５×错误!＝-错误!，解得ａ＝－1,因此错误!x2dｘ=错误!ｘ２dｘ=错误!未定义书签。
|错误!＝－错误!＋错误!未定义书签。
=错误!。
选B。
４．用数字０,1,2,3,4，５组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有（）ﻬＡ.１４4个 B.120个 C.96个 D．7２个答案B解析当五位数的万位数字为4时,个位数字可以是0,2，此时满足条件的偶数共有C错误!未定义书签。
A错误!=48（个)；当五位数的万位数字为5时，个位数字可以是０,2,４,此时满足条件的偶数共有C错误!A错误!未定义书签。
计数原理单元测试
第一章计数原理(B卷)单元测试(人教A版选修2-3)(共9页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第一章计数原理（B卷）单元测试(时间：90分钟满分：120分)第Ⅰ卷(选择题，共50分)一、选择题：本大题共10小题，共50分．1．若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有()A．60种B．63种C．65种D．66种解析：1,2,3，…，9中共5个奇数，4个偶数，当所取4个数中分别有4个，2个，0个偶数时，其和为偶数，故共有C44＋C24C25＋C45＝66种不同取法．答案：D2．从集合M＝{0,1,2}到集合N＝{1,2,3,4}的不同映射的个数是() A．81个B．64个C．24个D．12个解析：依题意可知不同的映射有43＝64(个)．答案：B3．由数字0,1,2,3,4,5可以组成无重复数字且奇偶数字相间的六位数的个数有()A．72 B．60C．48 D．52解析：只考虑奇偶相间，则有2A33A33种不同的排法，其中0在首位的有A22A33种不符合题意，所以共有2A33A33－A22A33＝60个．答案：B4．某次文艺汇演，要将A，B，C，D，E，F这六个不同节目编排成节目单，如下表：如果A ，B 不同的排序方式有( )A ．192种B ．144种C ．96种D ．72种解析：第一步，将C ，D ，E ，F 全排，共有A 44种排法，产生5个空， 第二步，将A ，B 捆绑有2种方法，第三步，将A ，B 插入除2号空位和3号空位之外的空位，有C 13种． 所以一共有144种方法．答案：B5．(x 2＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－15的展开式的常数项是( ) A ．－3 B ．－2 C ．2 D ．3解析：第一个因式取x 2，第二个因式取含1x 2的项得：1×C 45(－1)4＝5；第一个因式取2，第二个因式取常数项得：2×(－1)5＝－2，故展开式的常数项是5＋(－2)＝3.答案：D6．现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两部分不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有( )种 B ．72种 C ．64种 D ．解析：方法一：第一类：用4种颜色涂，有A 44＝4×3×2×1＝24(种)．第二类：用3种颜色，必须有一条对角区域涂同色：有C 12C 14A 23＝48(种)．第三类：用2种颜色，对角区域各涂一色有A24＝4×3＝12(种)．共有24＋48＋12＝84(种)．方法二：第一类，区域金与名同色，从4色中选1色，有C14种方法，其余区域榜、题各有3种方法，有4×3×3＝36种方法．第二类：区域金与名不同色，区域金有4种方法，区域名有3种方法，区域榜、题各有2种方法，共有4×3×2×2＝48种方法．根据分类加法计数原理共有36＋48＝84种方法．答案：D7．将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有()A．12种 B．10种 C．9种 D．8种解析：先安排1名教师和2名学生到甲地，再将剩下的1名教师和2名学生安排到乙地，共有C12C24＝12种安排方案．答案：A8．从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有() A．36种 B．12种 C．18种 D．48种解析：分两类：若小张或小赵入选，则有选法C12C12A33＝24种；若小张、小赵都入选，则有选法A22A23＝12种，共有选法36种，选A.答案：A9．绍兴臭豆腐闻名全国，一外地学者来绍兴旅游，买了两串臭豆腐，每串3颗(如图)．规定：每串臭豆腐只能由左向右一颗一颗地吃，且两串可以自由交替吃．请问：该学者将这两串臭豆腐吃完，不同的吃法有()A．6种 B．12种 C．20种 D．40种解析：方法一：(树形图)如图所示，为先吃A的情况，共有10种，如果先吃D，情况相同，所以不同的吃法有20种．方法二：依题意，本题属定序问题，所以A66A33·A33＝20种．答案：C10．在图中，“构建和谐社会，创美好未来”，从上往下读(不能跳读)，共有不同的读法种数是()构建建和和和谐谐谐谐社社社社社会会会会会会创创创创创美美美美好好好未未来A．250 B．240 C．252 D．300解析：方法一：解本题相当于在图中先在始点标上1，再在上半部两腰的各点旁标上1，然后从上到下依次逐点累加，图中间每一点处的数等于它肩上两数的和，一直计算到下面最后一点．由此可见，共有252种不同读法．方法二：考虑到杨辉三角，第n行第k个数为C k－1n，252是第10行第6个数，所以应为C510＝252种．答案：C第Ⅱ卷(非选择题，共70分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11．客厅里4个座位上依次坐着4人，现作如下调整：一人位置不变，其余三人位置均相互调换，则不同的调整方案的种数为__________．解析：由题意得不同的调整方案有C 14C 12C 11C 11＝8种．答案：812．C 16＋C 26＋C 36＋C 46＋C 56的值为__________．解析：∵C 06＋C 16＋C 26＋C 36＋C 46＋C 56＋C 66＝26＝64，∴C 16＋C 26＋C 36＋C 46＋C 56＝64－2＝62.答案：626的展开式中x 3的系数为__________(用数字作答)．解析：T r ＋1＝C r 6(x 2)6－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝C r 6x 12－3r ，令12－3r ＝3， ∴r ＝3，所以展开式中x 3的系数为C 36＝20.答案：2014．如图是由12个小正方形组成的3×4矩形网格，一质点沿网格线从点A 到点B 的不同路径之中，最短路径有__________条．解析：总览全局：把质点沿网格线从点A 到点B 的最短路径分为七步，其中四步向右，三步向下，不同走法的区别在于哪三步向下，因此，本题的结论是：C 37＝35.答案：35三、解答题：本大题共4小题，满分50分．15．(12分)某校高中部，高一有6个班，高二有7个班，高三有8个班，学校利用星期六组织学生到某厂进行社会实践活动．(1)任选1个班的学生参加社会实践，有多少种不同的选法(2)三个年级各选一个班的学生参加社会实践，有多少种不同的选法(3)选2个班的学生参加社会实践，要求这2个班不同年级，有多少种不同的选法解：(1)分三类：第一类从高一年级选1个班，有6种不同方法；第二类从高二年级选一个班，有7种不同的方法；第三类从高三年级选1个班，有8种不同方法．由分类加法计数原理，共有6＋7＋8＝21种不同的选法．(4分)(2)每种选法分三步：第一步从高一年级选一个班，有6种不同方法；第二步从高二年级选1个班，有7种不同方法；第三步从高三年级选1个班，有8种不同方法．由分步乘法计数原理，共有6×7×8＝336种不同的选法．(8分)(3)分三类，每类又分两步．第一类从高一、高二两个年级各选一个班，有6×7种不同方法；第二类从高一、高三两个年级各选1个班，有6×8种不同方法；第三类从高二、高三年级各选一个班，有7×8种不同的方法，故共有6×7＋6×8＋7×8＝146种不同选法．(12分)16．(12分)已知(a 2＋1)n的展开式中各项系数之和等于⎝ ⎛⎭⎪⎫165x 2＋1x 5的展开式的常数项，并且(a 2＋1)n 的展开式中系数最大的项等于54，求a 的值．解：⎝⎛⎭⎪⎫165x 2＋1x 5展开式的常数项为 C 45⎝ ⎛⎭⎪⎫165x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 4＝16， (a 2＋1)n 展开式的系数之和2n ＝16，n ＝4.(6分)∴(a 2＋1)n 展开式的系数最大的项为C 24(a 2)2×12＝6a 4＝54，∴a ＝± 3.(12分)17．(12分)某班要从5名男生3名女生中选出5人担任5门不同学科的课代表，请分别求出满足下列条件的方法种数：(1)所安排的女生人数必须少于男生人数；(2)其中的男生甲必须是课代表，但不能担任数学课代表；(3)女生乙必须担任语文课代表，且男生甲必须担任课代表，但又不能担任数学课代表．解：(1)所安排的女生人数少于男生人数包括三种情况，一是2个女生，二是1个女生，三是没有女生，依题意得(C 55＋C 13C 45＋C 23C 35)A 55＝5 520种．(4分)(2)先选出4人，有C 47种方法，连同甲在内，5人担任5门不同学科的课代表，甲不担任数学课代表，有A 14·A 44种方法，∴方法数为C 47·A 14·A 44＝3 360种．(8分)(3)由题意知甲和乙两个人确定担任课代表，需要从余下的6人中选出3个人，有C 36＝20种结果，女生乙必须担任语文课代表，则女生乙就不需要考虑，其余的4个人，甲不担任数学课代表，∴甲有3种选择，余下的3个人全排列共有3A 33＝18；综上可知共有20×18＝360种．(12分)18．(14分)已知(3x ＋x 2)2n 的展开式的二项式系数和比(3x －1)n 的展开式的二项式系数和大992，求在⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 2n 的展开式中， (1)二项式系数最大的项；(2)系数的绝对值最大的项．解：由题意22n －2n ＝992，解得n ＝5.(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 10的展开式中第6项的二项式系数最大，即T 6＝T 5＋1＝C 510(2x )5⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 5＝－8 064.(6分) (2)设第r ＋1项的系数的绝对值最大，则T r ＋1＝C r 10·(2x )10－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝(－1)r C r 10210－r x 10－2r ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ C r 10210－r ≥C r －110210－r ＋1，C r 10210－r ≥C r ＋110210－r －1，得⎩⎪⎨⎪⎧ C r 10≥2C r －110，2C r 10≥C r ＋110，即⎩⎪⎨⎪⎧ 11－r ≥2r ，2r ＋1≥10－r ， ∴83≤r ≤113，又r ∈N ，∴r ＝3，故系数的绝对值最大的是第4项，即 T 4＝－15 360x 4.(14分)。
《计数原理》单元测试一
《计数原理》单元测试一一、选择题1.甲、乙两人从4门课程中各选修1门,则甲、乙所选的课程不相同的选法共有( ) A.6种 B.12种 C.30种 D.36种2.由数字1,2,3组成的无重复数字的整数中,偶数的个数为( ) A.15 B.12 C.10 D.53.若*∈N n ,则(21)(22)(100)---n n n 等于( )A.80100A n - B.21100A n n -- C.79100A n - D.21100A n -4.从3名男生和4名女生中随机选取3名学生去参加一项活动,则至少有一名女生的抽法共多少种( ) A.34 B.30 C.31 D.325.现有男、女学生共8人,从男生中选2人,从女生中选1人分别参加数学、物理、化学三科竞赛,共有90种不同方案,那么男、女生人数分别是( ) A.男生2人,女生6人 B.男生3人,女生5人C.男生5人,女生3人D.男生6人,女生2人516.2⎛⎫- ⎪⎝⎭x x 的展开式中含3x 项的系数是( ) A.40 B.40- C.80 D.80-7.5人排成一排,要求甲、乙两人之间至多有1人,则不同的排法有多少种( ) A.84 B.72 C.96 D.488.5个节目,若甲、乙、丙三个节目按给定顺序出现不同的排法有( ) A.120种 B.80种 C.48种 D.20种9.2521(1)x x x ⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭展开式中2x 的系数为( )A.1B.9-C.31D.19-10.根据疫情防控的要求,我市疾控中心决定派出五位相关专家对三个地区进行工作指导,每个区至少派遣一位专家,其中甲、乙两位专家需要派遣至同一个区,则不同的派遣方案种数为( ) A.18 B.24 C.28D.3611.在54(1)(1)-+x y 的展开式中,记m n x y 项的系数为(,)f m n ,则(1,0)(2,1)(3,2)(4,3)+++=f f f f ( ) A.125 B.5 C.5- D.15-12.16⎛⎫的二项展开式17个项中,整式的个数是( ) A.1 B.3 C.5 D.7 二、填空题13.有4名优秀学生全部被保送到中大、华工、广工3所学校,每所学校至少去1名,则不同的保送方案共_________种.14.5(+ax 的展开式中3x 项的系数为20,则实数=a _________.15.已知66420123412x a x a x a x a x x ---⎛⎫-=++++ ⎪⎝⎭246567++a x a x a x ,则4=a _________,2345+++a a a a 67++=a a _________.16.2021年义乌国际马拉松赛,我校要从甲、乙、丙、丁等10人中挑选3人参加比赛,其中甲、乙、丙、丁4人中至少有1人参加且甲、乙不同时参加,丙、丁也不同时参加,则不同的报名方案有_________种. 三、解答题17.现有3名医生,5名护士、2名麻醉师.(1)从中选派1名去参加外出学习,有多少种不同的选法？(2)从这些人中选出1名医生、1名护士和1名麻醉师组成1个医疗小组,有多少种不同的选法？ 18.一个口袋里有5封信,另一个口袋里有4封信,各封信内容均不相同.(1)从两个口袋中任取一封信,有多少种不同的取法？ (2)从两个口袋里各取一封信,有多少种不同的取法？(3)把这两个口袋里的9封信,分别投入4个邮筒,有多少种不同的投法？ 19.用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的数,求: (1)可以组成多少个六位数？(2)可以组成至少有一个偶数数字的三位数多少个? (3)可以组成能被3整除的三位数多少个？20.已知()*22⎫∈⎪⎭N nn x 的展开式中,第5项与第3项的二项式系数之比是14:3.(1)求展开式中各项系数的和; (2)求展开式中的常数项;(3)求展开式中二项式系数最大的项.21.已知集合{}*2|1log 3,,=<<∈=N A x x x B {4,5,6,7,8}.(1)从A B 中取出3个不同的元素组成三位数,则可以组成多少个?(2)从集合A 中取出1个元素,从集合B 中取出3个元素,可以组成多少个无重复数字且比4000大的自然数?22.已知函数2()(1)2()=-++∈R f x x ax a 为偶函数. (1)求实数a 的值;(2)若423401234(1)-=++++ax a a x a x a x a x ,求1234+++a a a a 的值.答案解析一、选择题 1.答案:B解析:∵甲、乙两人从4门课程中各选修1门,∴由分步乘法计数原理,可得甲、乙所选的课程不相同的选法有4×3=12种. 2.答案:D解析:分三类,第一类组成一位整数,偶数有1个;第二类组成两位整数,其中偶数有2个;第三类组成3位整数,其中偶数有2个.由分类加法计数原理知共有偶数5个. 3.答案:A解析:80100(21)(22)(100)(100)[(100)1][(100)2][(100)79]A n n n n n n n n ----=-------=.4.答案:A解析:共有37C 135134-=-=(种). 5.答案:B解析:设男学生有x 人,则女学生有(8)-x 人,从男生中选2人,从女生中选1人分别参加数学、物理、化学三科竞赛,共有90种不同方案,即21383C C A 90-=x x ,(1)(8)30235x x x ∴--==⨯⨯,即3=x .6.答案:C解析:512⎛⎫- ⎪⎝⎭x x 展开式的通项为5251551C (2)(2)C .rr r r r r r T x x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭令253-=r ,得4=r ,则443355(2)C 80T x x =-=,所以512⎛⎫- ⎪⎝⎭x x 的展开式中含3x 项的系数是80.7.答案:A解析:5人排成一排,要求甲、乙两人之间至多有1人,可分为甲乙相邻和甲乙之间只有1人两种情况.当甲、乙相邻时有4242A A 48=(种);当甲、乙之间只有1人时,有132332C A A 36=(种),则不同的排法有84种. 8.答案:D解析:5个节目全排列共有55A 120=(种)可能,甲、乙、丙三个节目全排列共有33A 6=(种)可能,由于甲、乙、丙三个节目的顺序已知确定,所以不同的排法有5533A 120A 6==20(种).9.答案:B解析:5(1)+x 的展开式中第1+r 项为15C +=r rr T x ,其中2x 的系数,常数项,3x 的系数分别为203555C ,C ,C ,故2521(1)⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭x x x 展开式中2x 的系数为2055C C +-352C 9=-.10.答案:D解析:由题意分为两类:第一类,有一个区有3位专家且包含甲、乙,另外两个区各1位专家,则1333C A 18=;第二类,有一个区有1位专家,另外两区各有2位专家,其中有一个区是甲、乙2位专家,则1233C A 18=,综上一共有36种派遣方案.11.答案:C解析:由题意记m n x y 项的系数为(,)f m n ,可知(1f ,0)对应的项为;(2,1)x f 对应的项为2;(3,2)x y f 对应的项为32;(4,3)x y f 对应的项为43x y .而54(1)(1)-+x y 展开式中x 项的系数为15C (1)5-=-;(2,1)f 对应的项的系数为22154C (1)C 40-⋅=;(3,2)f 对应的项的系数为33254C (1)C 60-⋅=-;(4,3)f 对应的项的系数为44354C (1)C 20-⋅=.所以(1,0)(2,1)(3,2)(4,3)+++=f f f f (5)40(60)205-++-+=-. 12.答案:B解析:二项展开式的通项为16116C -+=kk k T338162216(1)C (,016)kk k k kx y k k --⎛⎫=-∈ ⎝Z ,要使得它为整式,则382-k 与3162-k 均为非负整数,即3816,6,8,102=kk ,故有三项.二、填空题 13.答案:36解析:分两步进行,先把4名学生分为211、、的三组,有24C 6=(种)分法,再将3组对应3个学校,有33A =6(种)情况,则共有6636⨯=(种)保送方案.14.答案:4解析:二项式5(+ax 展开式的通项为51-+=rr T a1025C r rx-,令1032-=r,解得4=r ,故展开式中3x 项的系数为45C 20=a ,解得4=a .15.答案:160- 0解析:661661C (2)(1)C 2--+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭rr r r r rr T x x 62,0,1,2,3,4,5,6-=r x r .令620-=r ,得3=r ,所以33346C 2(1)160=-=-a , 令626-=-r ,得6=r ,所以60616C 2(1)1a =-=.66420246123456712,x a x a x a x a x a x a x a x x ---⎛⎫-=++++++ ⎪⎝⎭令1,=x 得61234567234567(21)1,110.a a a a a a a a a a a a a ++++++=-=∴+++++=-= 16.答案:84解析:根据题意,分3种情况讨论:①甲、乙、丙、丁4人中,只从甲、乙中选出1人,需要在其他6人中选出2人,有1226C C 30=(种)报名方案,②甲、乙、丙、丁4人中,只从丙、丁中选出1人,需要在其他6人中选出2人,有1226C C 30=(种)报名方案,③甲、乙、丙、丁4人中,从甲与乙、丙与丁中各选1人,需要在其他6人中选出1人,有111226C C C 24=(种)报名方案.故有30302484++=(种)报名方案. 三、解答题 17.答案:见解析解析:(1)分三类:第一类:选出的是医生,共有3种选法;第二类:选出的是护士,共有5种选法;第三类:选出的是麻醉师,共有2种选法.根据分类加法计数原理,共有3+5+2=10种选法.(2)分三步:第一步:选出1名医生,共有3种选法;第二步:选出1名护士,共有5种选法;第三步:选出1名麻醉师,共有2种选法.根据分步乘法计数原理,共有3×5×2=30(种)选法. 18.答案:见解析解析:(1)任取一封信,不论从哪个口袋里取,都能单独完成这件事,是分类问题.从第一个口袋中取一封信有5种情况,从第二个口袋中取一封信有4种情况,则共有5+4=9(种). (2)各取一封信,不论从哪个口袋中取,都不能完成这件事,是分步问题,应分两个步骤完成,第一步,从第一个口袋中取一封信有5种情况,第二步,从第二个口袋中取一封信有4种情况,由分步乘法计数原理,共有5420⨯=(种). (3)第一封信投入邮筒有4种可能, 第二封信投入邮筒有4种可能, ……第九封信投入邮筒有4种可能,由分步乘法计数原理可知,共有94种不同的投法. 19.答案:见解析解析:(1)先考虑首位,其他任排:1555A A 5120600=⨯=(个),故可以组成的六位数600个.(2)由0,1,2,3,4,5可组成三位数:先考虑首位,其他任排:554100⨯⨯=(个);其中不含偶数数字的三位数为1,3,5任排,有:33A 6=(个),所以至少有一个偶数数字的三位数有100694-=(个).(3)能被3整除的三位数,即各位数字之和被3整除;可以是包含0的有1,2;1,5;2,4;4,5.不包含0的有1,2,3;1,3,5;2,3,4;3,4,5.所以可以组成能被3整除的三位数有:1232234A A 4A +=444640⨯+⨯=(个).20.答案:见解析解析:(1)由题意知,42C 14C 3=n n ,即(1)(2)(3)14(1)432132----=⨯⨯⨯n n n n n n , 求得10=n ,故令1=x ,可得展开式中各项系数的和为10(12)1-=. (2)由于二项式的通项公式为552110(2)-+=⋅-r r rr T C x ,令5502-=r,求得2=r , 故展开式中的常数项为2310C 4180=⨯=T . (3)要使二项式系数最大,只要10C k最大,故5=k ,故二项式系数最大的项为第6项15552610C (2)T x-=-=1528064--x.21.答案:见解析解析:由21log 3<<x ,得28<<x ,又*∈N x ,所以x 的取值为3,4,5,6,7,即{3,4,5,6,7}=A ,所以A B ={3,4,5,6,7,8}.(1)从A B 中取出3个不同的元素,可以组成的三位数的个数为36A 120=.(2)若从集合A 中取元素3,则3不能是千位上的数字,满足题意的自然数的个数为313533C C A 180⋅⋅=.若不从集合A 中取元素3,则四位数的组成数字有5组:4,5,6,7;4,6,7,8;4,5,6,8;4,5,7,8;5,6,7,8.分别全排列,有445A 120=(个)满足题意的自然数.所以满足题意的自然数共有180120300+=(个). 22.答案:见解析解析:(1)22()(1)2(2)3=-++=+-+f x x ax x a x , 因为()f x 为偶函数且定义域为R ,则()()-=f x f x ,即22(2)3(2)3,(2)0--+=+-+-=x a x x a x a x ,∈R x 恒成立,所以2=a . (2)由(1)可知423401234(21)-=++++x a a x a x a x a x . 令0=x ,可得01=a ,令1=x ,可得012341211=++++=+++a a a a a a a 34+a a , 所以12340+++=a a a a .。
(必考题)高中数学选修三第一单元《计数原理》测试卷(含答案解析)(1)
一、选择题1．把5名同学分配到图书馆、食堂、学生活动中心做志愿者，每个地方至少去一个同学，不同的安排方法共有（ ）种． A ．60B ．72C ．96D ．1502．4(1)x +的展开式中2x 的系数是（ ） A ．8B ．7C ．6D ．43．261(12)()x x x+-的展开式中，含2x 的项的系数是（ ） A ．40-B ．25-C ．25D ．554．已知()52x a x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中所有项的系数和为2-，则展开式中的常数项为（ ） A ．80B ．80-C ．40D ．40-5．如图中每个小方格均为面积相等的正方形，则该图中正方形共有（ ）个A ．30B ．32C ．36D ．246．已知()()()()1521501215111x a a a x a x a x +=+-+-+⋅⋅⋅+-中0a >，若13945a =-，则a 的值为（）A ．2B ．3C ．4D ．57．已知10件产品有2件是次品．为保证使2件次品全部检验出的概率超过0.6，至少应抽取作检验的产品件数为() A ．6B ．7C ．8D ．98．已知67017(1)()...x a x a a x a x +-=+++，若017...0a a a +++=，则3a =（ ）A ．5-B ．20-C ．15D ．359．从5种主料中选2种，8种辅料中选3种来烹饪一道菜，烹饪方式有5种，那么最多可以烹饪出不同的菜的种数为 A ．18B ．200C ．2800D ．3360010．在2310(1)(1)(1)x x x ++++⋅⋅⋅++的展开式中，含2x 项的系数为（ ） A ．45B ．55C ．120D ．16511．在某互联网大会上，为了提升安全级别，将5名特警分配到3个重要路口执勤，每个人只能选择一个路口，每个路口最少1人，最多3人，且甲和乙不能安排在同一个路口，则不同的安排方法有（ ） A ．180种B ．150种C ．96种D ．114种12．本周日有5所不同的高校来我校作招生宣传，学校要求每位同学可以从中任选1所或2所去咨询了解，甲、乙、丙三位同学的选择没有一所是相同的，则不同的选法共有（ ） A ．330种B ．420种C ．510种D ．600种二、填空题13．在上海高考改革方案中，要求每位高中生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科（3门理科，3门文科）中选择3门学科参加等级考试，小李同学受理想中的大学专业所限，决定至少选择一门理科学科，那么小李同学的选科方案有________种. 14．已知()()()()()23n2012111...+1...*n n x x x x a a x a x a x n N +++++++=++++∈，且012126n a a a a +++⋯+=，那么n的展开式中的常数项为______．15．在上海高考改革方案中，要求每位高中生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科（3门理科学科，3门文科学科）中选择3门学科参加等级考试，小丁同学理科成绩较好，决定至少选择两门理科学科，那么小丁同学的选科方案有__________种．16．若423401234(3x a a x a x a x a x =++++，则2202413()()a a a a a ++-+的值为____．17．已知(12)n x +展开式中只有第4项的二项式系数最大，则21(1)(12)n x x++展开式中常数项为_______．18．若()523450123452x a a x a x a x a x a x -=+++++，则012345a a a a a a -+-+-=_________.19．高三年级毕业成人礼活动中，要求A ，B ，C 三个班级各出三人，组成33⨯小方阵，则来自同一班级的同学既不在同一行，也不在同一列的概率为__.20．某市抽调两个县各四名医生组成两个医疗队分别去两个乡镇开展医疗工作，每队不超过五个人，同一个县的医生不能全在同一个队，且同县的张医生和李医生必须在同一个队，则不同的安排方案有______种.参考答案三、解答题21．设()22201221nn n x x a a x a x a x ++=+++⋅⋅⋅．（1）求0a 的值；（2）求1232n a a a a +++⋯+的值； （3）求13521n a a a a -+++⋯+的值．22．已知i ，m ，n 是正整数，且1i m n <≤<．（1）证明：i i i im n n A m A <；（2）证明：(1)(1)m nn m +<+．23．已知在)23nx的展开式中各项系数的和比它的二项式系数的和大992.（1）求n 的值； （2）求展开式中6x 的项； （3）求展开式中系数最大的项.24．已知二项式1nx ⎫⎪⎭的展开式中各项的系数和为256. （1）求n ；（2）求展开式中的常数项． 25．已知二项式10x⎛⎝的展开式.(1)求展开式中含4x 项的系数；(2)如果第3r 项和第2r +项的二项式系数相等，求r 的值． 26．已知二项式()23nx x +.（1）若它的二项式系数之和为128.求展开式中二项式系数最大的项； （2）若3,2016x n ==，求二项式的值被7除的余数.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】先把5名同学分成3组，有113,122++++两种情况，再将他们分配下去即可求出． 【详解】5名同学分成3组，有113,122++++两种情况，故共有1235452225C C C A +=种分组方式，再将他们分配到图书馆、食堂、学生活动中心有336A =种方式，根据分步乘法计数原理可知，不同的安排方法共有256150⨯=种． 故选：D ． 【点睛】本题主要考查有限制条件的排列组合问题的解法应用，解题关键是对“至少”的处理，属于中档题．方法点睛：常见排列问题的求法有： （1）相邻问题采取“捆绑法”； （2）不相邻问题采取“插空法”； （3）有限制元素采取“优先法”；（4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数．2．C解析：C 【分析】根据二项式定理展开式的通项公式，令2r 即可得出答案．【详解】4(1)x +的展开式中，14,(0,1,2,3,4)r r r r T x +==，令2r ，2x ∴的系数为246C =．故选：C ． 【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查推理能力与计算能力，属于基础题．3．B解析：B 【分析】写出二项式61()x x-的展开式中的通项，然后观察含2x 项有两种构成，一种是()212x+中的1与61()x x-中的二次项相乘得到，一种是()212x+中的22x与61()x x-中的常数项相乘得到，将系数相加即可得出结果. 【详解】二项式61()x x-的展开式中的通项662166()1C (1)C k kk k k k k T x x x--+=-=-，含2x 的项的系数为223366(1)2(1)25C C -+⨯-=- 故选B. 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．4．B解析：B 【分析】令1x =，由展开式中所有项的系数和为2-，列出方程并求出a 的值，得出展开式中常数项为52x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭中1x -的系数与52x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的0x 的系数之和，然后利用二项展开式的通项公式求解.【详解】解：由题可知，()52x a x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中所有项的系数和为2-， 令1x =，则所有项的系数和为()()5211121a a ⎛⎫+-=-+=- ⎪⎝⎭，解得：1a =，()()555522221x a x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+-=+-=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则()521x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为： 52x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭中1x -的系数与52x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的0x 的系数之和， 由于52x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项公式为：()5515522rr r rr r r T C xC x x --+⎛⎫=⋅-=⋅-⋅ ⎪⎝⎭， 当521r -=-时，即3r =时，52x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭中1x -的系数为：()335280C ⨯-=-，当520r -=时，无整数解，所以()521x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为80-.故选：B. 【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查利用赋值法求二项展开式所有项的系数和，以及二项展开式的通项公式，属于中档题.5．A解析：A 【分析】设方格纸上的小方格的边长为1，按正方形的边长进行分类讨论，求出每种情况下正方形的个数，由加法原理即可得答案． 【详解】设方格纸上的小方格的边长为1，当正方形的边长为1时，有4×4＝16个正方形， 当正方形的边长为2时，有3×3＝9个正方形， 当正方形的边长为3时，有2×2＝4个正方形， 当正方形的边长为4时，有1×1＝1个正方形，则有16+9+1+4＝30个正方形； 故选：A ． 【点睛】本题涉及分类计数原理的应用，属于基础题，进行分类讨论是解题的关键.6．A解析：A 【分析】根据()1515[(1)(1)]x a a x +=--++-利用二项展开式的通项公式、二项式系数的性质、以及13945a =-，即可求得a 的值，得到答案． 【详解】由题意，二项式()()()()1521501215111x a a a x a x a x +=+-+-+⋅⋅⋅+-， 又由()1515[(1)(1)]x a a x +=--++-，所以()()()2151501215[(1)(1)]111a x a a x a x a x --++-=+-+-+⋅⋅⋅+-， 其中0a >，由13945a =-，可得：1321315[(1)]945a C a =-⋅-+=-，即2105(1)945a -+=-，即2(1)9a +=，解得2a =， 故选A ． 【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，其中解答中熟记二项展开式的通项及性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．7．C解析：C 【分析】根据古典概型概率计算公式列出不等式，利用组合数公式进行计算，由此求得至少抽取的产品件数. 【详解】设抽取x 件，次品全部检出的概率为2228100.6x xC C C ->，化简得()154x x ->，代入选项验证可知，当8x =时，符合题意，故选C. 【点睛】本小题主要考查古典概型概率计算，考查组合数的计算，属于基础题.8．A解析：A 【分析】令1x =，可得66017...(11)(1)2(01)a a a a a ++++-=⨯-==，解得1a =，把二项式化为66(1)(1)x x x +--，再利用二项展开式的通项，即可求解． 【详解】由题意，令1x =，可得66017...(11)(1)2(01)a a a a a ++++-=⨯-==，解得1a =，所以二项式为666(1)(1)(1)(1)x x x x x =++---所以展开式中3x 的系数为332266(1)(1)20155C C -+-=-+=-，故选A ．【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，其中解答熟练应用赋值法求得二项展开式的系数，以及二项展开式的通项是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．9．C解析：C 【分析】根据组合定义以及分布计数原理列式求解. 【详解】从5种主料中选2种，有2510C =种方法, 从8种辅料中选3种，有3856C =种方法,根据分布计数原理得烹饪出不同的菜的种数为10565=2800⨯⨯，选C. 【点睛】求解排列、组合问题常用的解题方法：分布计数原理与分类计数原理，具体问题可使用对应方法：如 (1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法.10．D解析：D 【解析】分析：由题意可得展开式中含2x 项的系数为222223410C C C C +++⋯+ ，再利用二项式系数的性质化为 311C ，从而得到答案．详解：()()()2310111x x x ++++⋅⋅⋅++的展开式中含2x 项的系数为222232341011 165.C C C C C +++⋯+==故选D.点睛：本题主要考查二项式定理的应用，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．11．D解析：D 【解析】分析：先不管条件甲和乙不能安排在同一个路口，先算出总共的安排方法，再减去甲和乙在同一个路口的情况即可.详解：先不管条件甲和乙不能安排在同一个路口，分两种情况：①三个路口人数情况3，1，1，共有335360C A =种情况；②三个路口人数情况2，2，1，共有2235332290C C A A ⋅=种情况. 若甲乙在同一路口，则把甲乙看作一个整体，则相当于将4名特警分配到三个不同的路口，则有234336C A =种，故甲和乙不能安排在同一个路口，不同的安排方法有609036114+-=种. 故选：D.点睛：本题考查排列、组合的实际应用，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于中档题.12．A解析：A 【解析】种类有（1）甲1，乙1，丙1，方法数有35A 60=；（2）甲2，乙1，丙1；或甲1，乙2，丙1；或甲1，乙1，丙2——方法数有2115323C C C 180⨯=；（3）甲2，乙2，丙1；或甲1，乙2，丙2；或甲2，乙1，丙2——方法数有22533C C 90⨯⋅=.故总的方法数有6018090330++=种.【点睛】解答排列、组合问题的角度：解答排列、组合应用题要从“分析”、“分辨”、“分类”、“分步”的角度入手． (1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”； (2)“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有、无限制等； (3)“分类”就是将较复杂的应用题中的元素分成互相排斥的几类，然后逐类解决； (4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列、组合问题，然后逐步解决．二、填空题13．19【分析】6门学科（3门理科3门文科）中选择3门学科可以分为全为理科有理科有文科全为文科决定至少选择一门理科学科包括前两种考虑起来比较麻烦故用间接法：用总数减去全为文科的数量【详解】根据题意从物理解析：19 【分析】6门学科（3门理科，3门文科）中选择3门学科可以分为全为理科，有理科有文科，全为文科，决定至少选择一门理科学科包括前两种，考虑起来比较麻烦，故用间接法：用总数减去全为文科的数量. 【详解】根据题意，从物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科任选3门，有3620C =种选取方法 ，其中全部为文科科目，没有理科科目的选法有331C =种， 所以至少选择一门理科学科的选法有20－1＝19种； 故答案为19， 【点睛】本题考查排列组合.方法：1、直接考虑，适用包含情况较少时；2、间接考虑，当直接考虑情况较多时，可以用此法.14．-20【分析】由题意令x ＝1可得n ＝6再利用二项展开式的通项公式求得展开式中的常数项【详解】∵已知且∴令可得∴那么的展开式的通项公式为令求得可得展开式中的常数项为故答案为﹣20【点睛】本题主要考查二解析：-20 【分析】由题意令x ＝1，可得n ＝6，再利用二项展开式的通项公式，求得展开式中的常数项． 【详解】∵已知()()()()()232*0121111nnn x x x x a a x a x a x n N++++++⋯++=+++⋯+∈，且012126n a a a a +++⋯+=，∴令1x =，可得()210122122222212612n n n n a a a a +-+++⋯+=++⋯+==-=-，∴6n =，那么6n =的展开式的通项公式为()3161r r rr T C x -+=⋅-⋅， 令30r -=，求得3r =，可得展开式中的常数项为3620C -=-，故答案为﹣20． 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，赋值法，求展开式的系数和，项的系数，准确计算是关键，属于基础题．15．10【分析】分类讨论：选择两门理科学科一门文科学科；选择三门理科学科即可得出结论【详解】选择两门理科学科一门文科学科有种；选择三门理科学科有1种故共有10种故答案为10【点睛】本题考查计数原理的应用解析：10 【分析】分类讨论：选择两门理科学科，一门文科学科；选择三门理科学科，即可得出结论． 【详解】选择两门理科学科，一门文科学科，有2133C C 9=种；选择三门理科学科，有1种，故共有10种．故答案为10． 【点睛】本题考查计数原理的应用，考查学生的计算能力，比较基础．16．【分析】先化简=再分别求和的值即得解【详解】由题得=令x=1则令x=-1则所以=故答案为16【点睛】（1）本题主要考查二项式定理考查二项式展开式的系数问题意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计 解析：16【分析】先化简()()2202413a a a a a ++-+=0123401234a a a a a a a a a a ++++-+-+（）（）， 再分别求01234a a a a a ++++（）和01234a a a a a -+-+（）的值即得解.【详解】由题得()()2202413a a a a a ++-+=0123401234a a a a a a a a a a ++++-+-+（）（），令x=1,则4(3=01234a a a a a ++++（），令x=-1,则4(3-+=01234a a a a a -+-+（），所以0123401234a a a a a a a a a a ++++-+-+（）（）=4444(3(3[(33216+-+=+-+==故答案为16 【点睛】（1）本题主要考查二项式定理，考查二项式展开式的系数问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)与二项式定理展开式系数有关的问题，一般利用赋值法解答.17．61【解析】分析：根据题设可列出关于的不等式求出代入可求展开式中常数项为详解：的展开式中只有第4项的二项式系数最大即最大解得又则展开式中常数项为点睛：在二项展开式中有时存在一些特殊的项如常数项有理项解析：61 【解析】分析：根据题设可列出关于n 的不等式，求出6n =，代入可求21(1)(12)n x x++展开式中常数项为61. 详解：(12)n x +的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，即3n C 最大，3234n n nn C C C C ⎧>∴⎨>⎩，解得57n <<， 又*,6n N n ∈∴=，则21(1)(12)n x x++展开式中常数项为02266261C C +⋅=. 点睛：在二项展开式中，有时存在一些特殊的项，如常数项、有理项、系数最大的项等等，这些特殊项的求解主要是利用二项展开式的通项公式1r T +.18．【分析】根据二项式定理知为正数为负数然后令可得出所求代数式的值【详解】展开式通项为当为偶数时即为正数；当为奇数时即为负数故答案为：【点睛】本题考查利用赋值法求各项系数绝对值的和差计算解题时要结合二项 解析：1【分析】根据二项式定理知0a 、2a 、4a 为正数，1a 、3a 、5a 为负数，然后令1x =可得出所求代数式的值. 【详解】展开式通项为()55152rr rr r r r T C x a x -+==⋅⋅-=∑，当r 为偶数时，0r a >，即0a 、2a 、4a 为正数；当r 为奇数时，0r a <，即1a 、3a 、5a 为负数.()5012345012345211a a a a a a a a a a a a ∴-+-+-=+++++=-=.故答案为：1. 【点睛】本题考查利用赋值法求各项系数绝对值的和差计算，解题时要结合二项展开式通项确定各系数的正负，便于去绝对值，考查计算能力，属于中等题.19．【分析】根据题意由排列组合数公式计算三个班级各出三人组成小方阵和来自同一班级的同学既不在同一行也不在同一列的排法由古典概型公式计算可得答案【详解】根据题意三个班级各出三人组成小方阵有种安排方法若来自 解析：1140【分析】根据题意，由排列、组合数公式计算“三个班级各出三人，组成33⨯小方阵”和“来自同一班级的同学既不在同一行，也不在同一列”的排法，由古典概型公式计算可得答案. 【详解】根据题意，A ，B ，C 三个班级各出三人，组成33⨯小方阵，有99A 种安排方法，若来自同一班级的同学既不在同一行，也不在同一列，则第一行队伍的排法有336A =种，第二行队伍的排法有2种；第三行队伍的排法有1种；第一行的每个位置的人员安排方法有33327⨯⨯=种，第二行的每个位置的人员安排有2228⨯⨯=种，第三行的每个位置的人员安排有1111⨯⨯=种，则自同一班级的同学既不在同一行，也不在同一列的概率99622781140P A ⨯⨯⨯==； 故答案为：1140. 【点睛】本题主要考查古典概型的概率求法以及排列组合的应用，还考查了分析求解问题的能力，属于中档题.20．【分析】设两个乡镇分别为甲乡镇和乙乡镇对甲乡镇派遣的医生人数进行分类讨论并计算出每种情况下的安排方案种数利用分类加法计数原理可得结果【详解】设两个乡镇分别为甲乡镇和乙乡镇若甲乡镇派遣三名医生则共有种 解析：68【分析】设两个乡镇分别为甲乡镇和乙乡镇，对甲乡镇派遣的医生人数进行分类讨论，并计算出每种情况下的安排方案种数，利用分类加法计数原理可得结果. 【详解】设两个乡镇分别为甲乡镇和乙乡镇，若甲乡镇派遣三名医生，则共有112214242420C C C C C +⋅+⋅=种方案；若甲乡镇派遣四名医生，则共有211132224242420428C C C C C C C C ⋅+⋅+⋅+⋅=种方案； 若甲乡镇派遣五名医生，则共有03122324242420C C C C C C ⋅+⋅+⋅=种方案.综上可得，不同的派遣方案有20282068++=种. 故答案为：68. 【点睛】本题考查人员的分配问题，考查分类讨论基本思想的应用，考查计算能力，属于中等题.三、解答题21．（1）1；（2）231n-；（3）2312n -.【分析】（1）赋值0x =即可得解；（2）赋值1x =，结合（1）即可得解； （3）赋值1x =-，结合（2）即可得解. 【详解】（1）0x =代入()22201221nn n x xa a x a x a x ++=+++⋅⋅⋅可得：01a =； （2）1x =代入()22201221nn n x x a a x a x a x ++=+++⋅⋅⋅可得：032122=3n n a a a a a ++++⋯+，所以：13222=31n n a a a a +++⋯-+；（3）1x =-代入()22201221nn n x x a a x a x a x ++=+++⋅⋅⋅可得：01232=1n a a a a a -+-+⋯+，又032122=3n n a a a a a ++++⋯+，、两式相减可得：5221312()31n na a a a -+++⋯=-+，所以221351312n n a a a a -+=+⋯-++. 【点睛】本题考查了二项展开式中项的系数和项的系数和，主要方法是赋值法，属于基础题. 22．（1）证明过程见解析；（2）证明过程见解析. 【分析】（1）根据排列数的公式，结合不等式的性质进行证明即可；（2）根据二项式定理，结合（1）中的结论、排列数、组合数的公式进行证明即可. 【详解】（1）由排列数的公式得：(1)(2)(1)121i m i A m m m m i m m m m i m mmm m m m m m---+---+==⋅⋅， (1)(2)(1)121i n i A n n n n i n n n n i n nnn n n n n n---+---+==⋅⋅， 当1i m n <≤<，1,2,31k i =-时，()()()=0m k n k n m k m n k k m n m k n km n mn mn m n ---------=<⇒<， 由不等式的性质可知： 121m m m m i m m mm ---+⋅⋅<121n n n n i n n nn---+⋅⋅， 即i m i A m <i i i m ni i n i n A nm A A <⇒； （2）由二项式定理可知：0(1),(1)mnmi i ni imn i i n n Cm m C ==+=⋅+=⋅∑∑，因为,!!i iiim n mn A A C C i i ==，由（1）知：i i i i m n n A m A <， 所以有i i i im n n C m C <,又因为000011111,,0i in m n m n m C n C m C n C nm m C ====>(1)i m n <≤<，所以(1)(1)n mii ii n m nm i i m C n Cm n ==⋅>⋅⇒+>+∑∑.【点睛】本题考查了排列数、组全数公式的应用，考查了二项式定理，考查了不等式的性质，考查推理论证能力和数学运算能力.23．（1）5n =；（2）6390T x =；（3）2635405T x =【分析】（1）代入1x =求得各项系数和为4n ，又二项式系数和为2n ，根据二者相差992可得方程，解方程求得n ；（2）根据展开式通项公式，令x 的幂指数等于6，求得r ，进而可得所求项；（3）由展开式通项可知系数通项为53r rC ，利用115511553333r r r r r r r r C C C C ++--⎧≥⎨≥⎩解得r ，进而求得系数最大的项. 【详解】（1）)23nx展开式各项系数的和为：)2314nn ⨯=；二项式系数的和为：2n又各项系数的和比二项式系数的和大99242992nn∴-=，即()2229920nn --=，解得232n =5n ∴=（2）)523x展开式的通项公式为：()10452315533r rrr r rr TCx C x+-+==令10463r+=，解得2r展开式中6x 的项为：226635390T C x x == （3）设第1r +项的系数为1r t +，则153r rr t C +=由121r r r r t t t t +++≥⎧⎨≥⎩，即115511553333r r r r r rr r C C C C ++--⎧≥⎨≥⎩ 解得：7922r ≤≤，所以4r = 展开式系数最大项为：26264433553405T C x x ==【点睛】本题考查二项式定理的应用，涉及到二项式系数和、各项系数和的求解、特定项系数的求解以及最大项的求解问题，关键在于能够熟练运用展开式的通项公式，属于常规题型. 24．（1）8；（2）28. 【分析】⑴观察1nx ⎫⎪⎭可知，展开式中各项系数的和为256，即112...256nn n n n C C C C ++++=，解出得到n 的值⑵利用二次展开式中的第1r +项，即通项公式()311rn rr r nT C x x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭，将第一问的n 代入，并整理，令x 的次数为0，解出r ，得到答案 【详解】（1）由题意，得112...256nn n n n C C C C ++++=，即2n ＝256，解得n ＝8.（2）该二项展开式中的第1r +项为T r ＋1＝()84833881rr rr r CxC x x --⎛⎫⋅=⋅ ⎪⎝⎭，令843r-＝0，得r ＝2，此时，常数项为238T C =＝28.【点睛】本题主要考的是利用赋值法解决展开式的系数和问题，考查了利用二次展开式的通项公式解决二次展开式的特定项问题． 25．（1）3360；（2）1 【分析】（1）写出二项展开式的通项公式，当x 的指数是4时，可得到关于k 方程，解方程可得k 的值，从而可得展开式中含4x 项的系数；（2）根据上一问写出的通项公式，利用第3r 项和第2r +项的二项式系数相等，可得到一个关于r 的方程，解方程即可得结果. 【详解】(1)设第k ＋1项为T k ＋1＝令10－k ＝4，解得k ＝4，故展开式中含x 4项的系数为()441023360C =-.(2)∵第3r 项的二项式系数为，第r ＋2项的二项式系数为，∵＝，故3r －1＝r ＋1或3r －1＋r ＋1＝10，解得r ＝1或r ＝2.5(不合题意，舍去)，∴r ＝1. 26．（1）()()34342104321147573945,32835T C x x x T C x xx ====；（2）1【分析】（1）根据二项式性质可求n 的值，再根据通项公式可得展开式中二项式系数最大的项.（2）由题意得二项式2016201630(282)=+，按二项式定理展开转化为20162被7除的余数，再由20166722(71)=+，再展开可解.【详解】 （1）2128,7n n =∴=∴展开式中二项式系数最大的项为第4,5项，()()34342104321147573945,32835T C x x x T C x x x ====.（2）2016201620161201520152015201620162016201630(282)282822822282C C K =+=+⋅⋅+⋯+⋅⋅+=+转化为20162被7除的余数，201667267228(71)71k ==+=+，即余数为1.【点睛】考查二项式定理和二项式通项公式.二项式定理：011222n ()+C n n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C a b b ---+=+++++…………. 二项式通式：1(0,1n)r n r rr n T C a b r -+==…….。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第一章 计数原理单元测试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（ ） A ．10种 B ．20种 C ．25种 D ．32种2．甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有A ．36种B ．48种C ．96种D ．192种3. 记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（ ） Ａ．1440种 Ｂ．960种 Ｃ．720种 Ｄ．480种4. 某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有（ ） Ａ．()2142610C A 个 Ｂ．242610A A 个Ｃ．()2142610C个Ｄ．242610A 个5. 从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有 (A)40种 (B) 60种(C) 100种 (D) 120种6. 由数字0，1，2，3，4，5可以组成无重复数字且奇偶数字相间的六位数的个数有( ) B.607.用0，1，2，3，4组成没有重复数字的全部五位数中，若按从小到大的顺序排列，则数字12340应是第（ ）个数.B.9和CD 为平面内两条相交直线，AB 上有m 个点，CD 上有n 个点，且两直线上各有一个与交点重合，则以这m+n-1个点为顶点的三角形的个数是( ) A.2121mn n m C C C C + B.21121mn n m C C C C -+ C.21211mn n m C C C C +- D.2111211---+m n n m C C C C9.设()10102210102x a x a x a a x+⋅⋅⋅+++=-,则()()292121020a a a a a a +⋅⋅⋅++-+⋅⋅⋅++的值为( )B.-1 D.10. 2006年世界杯参赛球队共32支,现分成8个小组进行单循环赛,决出16强(各组的前2名小组出线),这16个队按照确定的程序进行淘汰赛,决出8强,再决出4强,直到决出冠、亚军和第三名、第四名，则比赛进行的总场数为( ).72 C 11.用二项式定理计算，精确到1的近似值为( ) B.9900212. 从不同号码的五双靴中任取4只，其中恰好有一双的取法种数为 （ ） .240 C二、 填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13. 今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列 有 种不同的方法（用数字作答）.14. 用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的五位数，则其中数字1，2相邻的偶数有 个（用数字作答）．15. 若(2x 3+x1)n 的展开式中含有常数项，则最小的正整数n = .16. 从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，则不同的选法共有_____种。
（用数字作答）三、解答题（本大题共6小题，共74分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
） 17．如图，电路中共有7个电阻与一个电灯A ，若灯A 不亮，分析因电阻断路的可能性共有多少种情况。
18．从1到9的九个数字中取三个偶数四个奇数，试问：①能组成多少个没有重复数字的七位数②上述七位数中三个偶数排在一起的有几个③在①中的七位数中，偶数排在一起、奇数也排在一起的有几个④在①中任意两偶然都不相邻的七位数有几个19．把1、2、3、4、5这五个数字组成无重复数字的五位数，并把它们按由小到大的顺序排列成一个数列.（1）43251是这个数列的第几项（2）这个数列的第96项是多少（3）求这个数列的各项和.20.（本小题满分12分）求证：能被25整除。
21. （本小题满分14分）已知n a a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-33的展开式的各项系数之和等于53514⎪⎪⎭⎫⎝⎛-b b 展开式中的常数项，求na a ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-33展开式中含的项的二项式系数.22. （本小题满分14分）若某一等差数列的首项为223112115----n nnnPC,公差为mx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-325225展开式中的常数项,其中m 是157777-除以19的余数，则此数列前多少项的和最大并求出这个最大值.单元测试卷参考答案排列、组合、二项式定理一、选择题：（每题5分，共60分）1、D 解析：5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有25=32种，选D2、C 解析．甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有23344496C C C ⋅⋅=种，选C3、解析：5名志愿者先排成一排，有55A 种方法，2位老人作一组插入其中，且两位老人有左右顺序，共有5524A ⋅⋅=960种不同的排法，选B4、A 解析：某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有()2142610C A 个，选A5、B 解析：从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有225360C A =种，选B6、B 解析:只考虑奇偶相间,则有33332A A 种不同的排法,其中0在首位的有3322A A 种不符合题意,所以共有33332A A 603322=-A A 种. 7、C 解析: 比12340小的分三类:第一类是千位比2小为0,有633=A 个; 第二类是千位为2 ,百位比3小为0,有222=A 个; 第三类是十位比4小为0,有1个.共有6+2+1=9个,所以12340是第10个数.8、D 解析:在一条线上取2个点时,另一个点一定在另一条直线上,且不能是交点. 9、C 解析: 由()10102210102x a x a x a a x +⋅⋅⋅+++=-可得:当1=x 时,()101022101011112a a a a +⋅⋅⋅+++=-10210a a a a +⋅⋅⋅+++= 当1-=x 时,()1032101012a a a a a +⋅⋅⋅+-+-=+10210a a a a +⋅⋅⋅++-=()()292121020a a a a a a +⋅⋅⋅++-+⋅⋅⋅++∴()10210a a a a +⋅⋅⋅+++=()103210a a a a a +⋅⋅⋅+-+-()()()()[]112121212101010=+-=+-=.10、A 解析:先进行单循环赛,有48824=C 场,在进行第一轮淘汰赛,16个队打8场,在决出4强,打4场,再分别举行2场决出胜负,两胜者打1场决出冠、亚军,两负者打1场决出三、四名,共举行:48+8+4+2+1+1=64场.11、C 解析:()559.98100.02=-()2514235510100.02100.02C C =-⨯⨯+⨯⨯()⋅⋅⋅+⨯⨯+323502.010C 9900406.04101035≈⋅⋅⋅+-+-=.12、A 解析:先取出一双有15C 种取法,再从剩下的4双鞋中取出2双,而后从每双中各取一只,有121224C C C 种不同的取法,共有15C 120121224=C C C 种不同的取法. 二、 填空题(每小题4分，共16分）13、1260 解析： 由题意可知，因同色球不加以区分，实际上是一个组合问题，共有4239531260C C C =g g14、24 解析：可以分情况讨论：① 若末位数字为0，则1，2，为一组，且可以交换位置，3，4，各为1个数字，共可以组成33212A ⋅=个五位数；② 若末位数字为2，则1与它相邻，其余3个数字排列，且0不是首位数字，则有2224A ⋅=个五位数；③ 若末位数字为4，则1，2，为一组，且可以交换位置，3，0，各为1个数字，且0不是首位数字，则有222(2)A ⋅⋅=8个五位数，所以全部合理的五位数共有24个15、7 解析：若(2x 3+x1)n 的展开式中含有常数项，31(2)n r n rrr n T C x --+=⋅为常数项，即732rn -=0，当n =7，r =6时成立，最小的正整数n 等于7.16、36种 解析．从班委会5名成员中选出3名，分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员，其中甲、乙二人不能担任文娱委员，先从其余3人中选出1人担任文娱委员，再从4人中选2人担任学习委员和体育委员，不同的选法共有123434336C A ⋅=⨯⨯=种三、解答题（共六个小题，满分74分）17.解：每个电阻都有断路与通路两种状态，图中从上到下的三条支线路，分别记为支线a 、b 、c ，支线a ，b 中至少有一个电阻断路情况都有22―1=3种；………………………4分支线c 中至少有一个电阻断路的情况有22―1=7种，…………………………………6分 每条支线至少有一个电阻断路，灯A 就不亮，因此灯A 不亮的情况共有3×3×7=63种情况.………………………………………10分18. 解：①分步完成：第一步在4个偶数中取3个，可有34C 种情况；第二步在5个奇数中取4个，可有45C 种情况； 第三步3个偶数，4个奇数进行排列，可有77A 种情况， 所以符合题意的七位数有34C 45C 10080077=A 个．………3分 ②上述七位数中，三个偶数排在一起的有个．34C 14400335545=A A C ……6分 ③上述七位数中，3个偶数排在一起，4个奇数也排在一起的有34C 57602224335545=A A A C C 个．……………………………………………9分④上述七位数中，偶数都不相邻，可先把4个奇数排好，再将3个偶数分别插入5个空档，共有28800353445=A C A 个.…………………………………12分 19.解：⑴先考虑大于43251的数，分为以下三类第一类：以5打头的有：44A =24 第二类：以45打头的有：33A =6第三类：以435打头的有：22A =2………………………………2分 故不大于43251的五位数有：()8822334455=++-A A A A （个） 即43251是第88项.…………………………………………………………………4分⑵数列共有A=120项，96项以后还有120-96=24项， 即比96项所表示的五位数大的五位数有24个，所以小于以5打头的五位数中最大的一个就是该数列的第96项.即为45321.…8分⑶因为1，2，3，4，5各在万位上时都有A 个五位数，所以万位上数字的和为：（1+2+3+4+5）·A ·10000……………………………………………………………10分 同理它们在千位、十位、个位上也都有A 个五位数，所以这个数列各项和为： （1+2+3+4+5）·A ·（1+10+100+1000+10000）=15×24×11111=3999960……………………………………………………………12分 20.证明:因 45322-+⋅+n n n 4564-+⋅=n n ()45154-++⋅=n n ………………3分()45155555.41222211-++++⋅⋅⋅+++=----n C C C C n n n n n n n n n ……………………8分()n C C C n n n n n n n 255555.4222211++⋅⋅⋅+++=---……………………………………10分显然()2222115555---+⋅⋅⋅+++n n n n n nn C C C 能被25整除,25n 能被25整除, 所以45322-+⋅+n n n 能被25整除.…………………………………………………12分21. 设53514⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-b b 的展开式的通项为()rr r r b b C T ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+5145351 ()5,4,3,2,1,0,451651055=⋅⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--r b C rrr r.………………………………6分若它为常数项,则2,06510=∴=-r r,代入上式732=∴T . 即常数项是27，从而可得na a ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-33中n=7，…………………10分同理733⎪⎪⎭⎫⎝⎛-a a 由二项展开式的通项公式知，含的项是第4项，其二项式系数是35.…………………………………………………………14分 22. 由已知得：⎩⎨⎧-≤-≤-n n nn 311225211,又2,=∴∈n N n ,………………………………2分2531025710223112115P C P C P C n n n n -=-=-∴---10045238910=⨯-⨯⨯⨯=所以首项1001=a .……………………………………………………………………4分()1517615777777-+=-1517676761777617777-+⋅+⋅⋅⋅+⋅+=C C()*∈-=N M M ,1476,所以157777-除以19的余数是5,即5=m ………6分m x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-325225的展开式的通项rrr r x x C T ⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+325515225 ()()5,4,3,2,1,0,251535255=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--r x C r rr r,若它为常数项,则3,0535=∴=-r r ,代入上式d T =-=∴44.从而等差数列的通项公式是：n a n 4104-=，……………………………………10分 设其前k 项之和最大，则()⎩⎨⎧<+-≥-01410404104k n ，解得k=25或k=26，故此数列的前25项之和与前26项之和相等且最大，13002522541041002625=⨯⨯-+==S S .………………………………………14分。