高二级数学两个计数原理测试题(附答案)
计数原理测试题(含答案)
圆梦教育中心 高中数学选修2-3计数原理第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若m 为正整数，则乘积()()()=+++2021m m m m （ ）A ．20m AB ．21m AC ．2020+m AD ．2120+m A2．若直线0=+By Ax 的系数B A ,同时从0,1,2,3,5,7六个数字中取不同的值,则这些方程表示不同的直线条数 （ ） A ． 22 B ． 30 C ． 12 D ． 153．四个编号为1，2，3，4的球放入三个不同的盒子里，每个盒子只能放一个球，编号为1的球必须放入，则不同的方法有 （ ） A ．12种 B ．18种 C ．24种 D ．96种4．用0，1，2，3，4组成没有重复数字的全部五位数中，若按从小到大的顺序排列，则数字12340应是第几个数 （ ） A ．6 B ．9 C ．10 D ．8 5．把一个圆周24等分,过其中任意三个分点可以连成圆的内接三角形,其中直角三角形的个数是 （ ） A ．2024 B ．264 C ．132 D ．1226. 在(a-b)99的展开式中，系数最小的项为( )A.T 49B.T 50C.T 51D.T 52 7. 数11100-1的末尾连续为零的个数是( )A.0B.3C.5D.78. 若425225+=x x C C ，则x 的值为 （ ）A ．4B ．7C ．4或7D ．不存在9．以正方体的顶点为顶点，能作出的三棱锥的个数是 （ ） A ．34CB ．3718C CC ．3718C C -6D ． 1248-C10．从长度分别为1，2，3，4，5的五条线段中，任取三条的不同取法共有n 种．在这些取法中，以取出的三条线段为边可组成的钝角三角形的个数为m ，则nm等于（ ） A ．101B ．51 C ．103 D ．52第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）11．设含有8个元素的集合的全部子集数为S，其中由3个元素组成的子集数为T，S的值为___________．则T12．有4个不同的小球，全部放入4个不同的盒子内，恰好有两个盒子不放球的不同放法的总数为．13．在(x-1)11的展开式中，x的偶次幂的所有项的系数的和为.14．六位身高全不相同的同学在“一滩”拍照留念，老师要求他们前后两排各三人，则后排每个人的身高均比前排同学高的概率是．三、解答题（共计76分）15．（12分）平面上有9个点，其中4个点在同一条直线上，此外任三点不共线．（1）过每两点连线，可得几条直线?（2）以每三点为顶点作三角形可作几个?（3）以一点为端点作过另一点的射线，这样的射线可作出几条?（4）分别以其中两点为起点和终点，最多可作出几个向量?16．（11分）在二次项12)(n mbx ax (a ＞0,b ＞0,m,n ≠0)中有2m+n ＝0，如果它的展开式中系数最大的项恰是常数项，求它是第几项? 17．（12分）由1，2，3，4，5，6，7的七个数字，试问： （1）能组成多少个没有重复数字的七位数？（2）上述七位数中三个偶数排在一起的有几个？（3）（1）中的七位数中，偶数排在一起、奇数也排在一起的有几个？ （4）（1）中任意两偶然都不相邻的七位数有几个？18．（12分）2006年6月9日世界杯足球赛将在德国举行，参赛球队共32支，（1）先平均分成8个小组，在每组内进行单循环赛（即每队之间轮流比赛一次），决出16强（即取各组前2名）。
【VIP专享】两个基本计数原理[高考数学答案
高考数学总复习课堂作业教案课后拓展学案课时练习与详解免费下载两个基本计数原理1.有不同颜色的四件上衣与不同颜色的三件长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法有 种.答案 122.从3名女同学和2名男同学中选1人主持本班的某次主题班会，则不同的选法有 种.答案 53.一个乒乓球队里有男队员5人，女队员4人，从中选出男、女队员各一名组成混合双打，共有 种不同的选法.答案 204.将4个不同的小球放入3个不同的盒子，其中每个盒子都不空的放法共有 种.答案 365.有一项活动需在3名老师，8名男同学和5名女同学中选人参加，（1）若只需一人参加，有多少种不同的选法？（2）若需一名老师，一名学生参加，有多少种不同的选法？（3）若只需老师，男同学，女同学各一人参加，有多少种不同的选法？解 （1）“完成这件事”只需从老师、学生中选1人即可，共有3+8+5=16种.(2)“完成这件事”需选2人，老师、学生各1人，分两步进行：选老师有3种方法，选学生有8+5=13种方法，共有3×13=39种方法.(3)“完成这件事”需选3人，老师、男同学、女同学各一人，可分三步进行，选老师有3种方法，选男同学有8种方法，选女同学有5种方法，共有3×8×5=120种方法.例1 在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？解 方法一 按十位数上的数字分别是1，2，3，4，5，6，7，8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别有8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个.由分类计数原理知，符合题意的两位数的个数共有：8+7+6+5+4+3+2+1=36（个）.方法二 按个位数字是2，3，4，5，6，7，8，9分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别有1个、2个、3个、4个、5个、6个、7个、8个，所以按分类计数原理共有：1+2+3+4+5+6+7+8=36（个）.例2 已知集合M ={-3,-2,-1,0,1,2},P (a ,b )表示平面上的点(a ,b ∈M ),问:(1)P 可表示平面上多少个不同的点?(2)P 可表示平面上多少个第二象限的点?(3)P 可表示多少个不在直线y =x 上的点?解 （1）确定平面上的点P (a ,b )可分两步完成：第一步确定a 的值，共有6种确定方法；基础自测高考数学总复习课堂作业教案课后拓展学案课时练习与详解免费下载第二步确定b的值，也有6种确定方法.根据分步计数原理，得到平面上的点数是6×6=36.（2）确定第二象限的点，可分两步完成：第一步确定a，由于a＜0,所以有3种确定方法；第二步确定b,由于b＞0，所以有2种确定方法.由分步计数原理，得到第二象限点的个数是3×2=6.（3）点P（a,b)在直线y=x上的充要条件是a=b.因此a和b必须在集合M中取同一元素，共有6种取法，即在直线y=x上的点有6个.由（1）得不在直线y=x上的点共有36-6=30个.例3（16分）现有高一四个班学生34人,其中一、二、三、四班各7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组.（1）选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？（2）每班选一名组长，有多少种不同的选法？（3）推选二人作中心发言，这二人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？解（1）分四类：第一类，从一班学生中选1人，有7种选法；第二类，从二班学生中选1人，有8种选法；第三类，从三班学生中选1人，有9种选法；第四类，从四班学生中选1人，有10种选法.所以，共有不同的选法N=7+8+9+10=34（种）.4分（2）分四步，第一、二、三、四步分别从一、二、三、四班学生中选一人任组长，所以共有不同的选法N=7×8×9×10=5 040（种）.8分（3）分六类，每类又分两步，从一、二班学生中各选1人，有7×8种不同的选法；从一、三班学生中各选1人，有7×9种不同的选法；从一、四班学生中各选1人，有7×10种不同的选法；从二、三班学生中各选1人，有8×9种不同的选法；从二、四班学生中各选1人，有8×10种不同的选法；从三、四班学生中各选1人，有9×10种不同的选法，14分所以共有不同的选法N=7×8+7×9+7×10+8×9+8×10+9×10=431（种）.16分1.从1到20这20个整数中,任取两个相加,使其和大于20,共有几种取法?解当一个加数是1时,另一个加数只能是20,1种取法.当一个加数是2时,另一个加数可以是19,20,2种取法.当一个加数是3时,另一个加数可以是18,19,20,3种取法.……当一个加数是10时,另一个加数可以是11,12,…,20,10种取法.当一个加数是11时,另一个加数可以是12,13,…,20,9种取法.……当一个加数是19时,另一个加数是20,1种取法.由分类计数原理可得共有1+2+3+…+10+9+8+…+1=100种取法.2.某体育彩票规定：从01到36共36个号中抽出7个号为一注，每注2元.某人想先选定吉利号18，然后从01至17中选3个连续的号，从19至29中选2个连续的号，从30至36中选1个号组成一注.若高考数学总复习课堂作业教案课后拓展学案课时练习与详解免费下载这个人要把这种要求的号全买下，至少要花多少元钱？解先分三步选号，再计算总钱数.按号段选号，分成三步.第一步从01至17中选3个连续号，有15种选法；第二步从19至29中选2个连续号，有10种选法；第三步从30至36中选1个号，有7种选法.由分步计数原理可知，满足要求的号共有15×10×7=1 050(注),故至少要花1 050×2=2 100(元).3.某校高中部，高一有6个班，高二有7个班，高三有8个班，学校利用星期六组织学生到某厂进行社会实践活动.（1）任选1个班的学生参加社会实践，有多少种不同的选法？（2）三个年级各选一个班的学生参加社会实践，有多少种不同的选法？（3）选2个班的学生参加社会实践，要求这2个班不同年级，有多少种不同的选法？解（1）分三类：第一类从高一年级选1个班，有6种不同方法；第二类从高二年级选一个班，有7种不同方法；第三类从高三年级选1个班，有8种不同方法.由分类计数原理，共有6+7+8=21种不同的选法.（2）每种选法分三步：第一步从高一年级选一个班，有6种不同方法；第二步从高二年级选1个班，有7种不同方法；第三步从高三年级选1个班，有8种不同方法.由分步计数原理，共有6×7×8=336种不同的选法.（3）分三类，每类又分两步.第一类从高一、高二两个年级各选一个班，有6×7种不同方法；第二类从高一、高三两个年级各选1个班，有6×8种不同方法；第三类从高二、高三年级各选一个班，有7×8种不同的方法，故共有6×7+6×8+7×8=146种不同选法.一、填空题1.5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有种.答案322.某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“×××××××0000”到“×××××××9999”共10 000个号码，公司规定：凡卡号的后四位中带有数字“4”或“7”的一律作为优惠卡，则这组号码中“优惠卡”共有个.答案 5 9043.从集合{1，2，3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列共有个.答案84.如图所示，用五种不同的颜色分别给A、B、C、D四个区域涂色，相邻区域必须涂不同颜色，若允许同一种颜色多次使用，则不同的涂色方法共有种.高考数学总复习课堂作业教案课后拓展学案课时练习与详解免费下载答案1805.一植物园参观路径如图所示，若要全部参观并且路线不重复，则不同的参观路线种数共有种.答案486.（2008·全国Ⅰ文）将1，2，3填入3×3的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，右面是一种填法，则不同的填写方法共有种.++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++答案127.在2008年奥运选手选拔赛上，8名男运动员参加100米决赛.其中甲、乙、丙三人必须在1、2、3、4、5、6、7、8八条跑道的奇数号跑道上，则安排这8名运动员比赛的方式共有种.答案 2 8808.若一个m,n均为非负整数的有序数对（m,n)，在做m+n的加法时各位均不会进位，则称（m,n)为“简单的”有序数对，m+n称为有序数对（m,n)的值，那么值为1 942的“简单的”有序数对的个数是 .答案300二、解答题9.（1）4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有多少种报名方法？（2）4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军，共有多少种可能的结果？解（1）要完成的是“4名同学每人从三个项目中选一项报名”这件事，因为每人必报一项，四个都报完才算完成，于是按人分步，且分为四步，又每人可在三项中选一项，选法为3种，所以共有：3×3×3×3=81种报名方法.（2）完成的是“三个项目冠军的获取”这件事，因为每项冠军只能有一人获得，三项冠军都有得主，这件事才算完成，于是应以“确定三项冠军得主”为线索进行分步.而每项冠军是四人中的某一人，有4种可能的情况，于是共有：4×4×4=43=64种可能的情况.10.用5种不同的颜色给图中所给出的四个区域涂色，每个区域涂一种颜色，若要求相邻（有公共边）的区域不同色，那么共有多少种不同的涂色方法？解完成该件事可分步进行.涂区域1，有5种颜色可选.涂区域2，有4种颜色可选.涂区域3，可先分类：若区域3的颜色与2相同，则区域4有4种颜色可选.若区域3的颜色与2不同，则区域3有3种颜色可选，此时区域4有3种颜色可选.所以共有5×4×（1×4+3×3）=260种涂色方法.11.在平面直角坐标系内，点P（a，b）的坐标满足a≠b,且a,b都是集合{1,2,3,4,5,6}的元素,又点P到高考数学总复习课堂作业教案课后拓展学案课时练习与详解免费下载原点的距离|OP|≥5.求这样的点P的个数.解按点P的坐标a将其分为6类:(1)若a=1,则b=5或6,有2个点;(2)若a=2,则b=5或6,有2个点;(3)若a=3,则b=5或6或4,有3个点;(4)若a=4,则b=3或5或6,有3个点;(5)若a=5,则b=1,2,3,4,6,有5个点;(6)若a=6,则b=1,2,3,4,5,有5个点;∴共有2+2+3+3+5+5=20（个）点.12.将3种作物种植在如图所示的5块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一种作物，不同的种植方法共有多少种？解设由左到右五块田中要种a,b,c三种作物，不妨先设第一块种a,则第二块可种b,c,有两种选法.同理，如果第二块种b,则第三块可种a和c,也有两种选法，由分步计数原理共有1×2×2×2×2=16.其中要去掉ababa和acaca两种方法.故a种作物种在第一块田中时的种法数有16-2=14（种）.同理b种或c种作物种在第一块田中时的种法数也都为14种.所以符合要求的种植方法共有3×(2×2×2×2-2)=3×(16-2)=42(种).。
数学两个基本计数原理专题练习及答案
数学两个根本计数原理专题练习及答案数学的复习不能离开做题。
以下是的两个根本计数原理专题练习，请考生仔细练习。
1.奥运选手选拔赛上，8名男运发动参加100米决赛.其中甲、乙、丙三人必须在1,2,3,4,5,6,7,8八条跑道的奇数号跑道上，那么安排这8名运发动比赛的方式共有种.[解析] 分两步安排这8名运发动.第一步：安排甲、乙、丙三人，共有1,3,5,7四条跑道可安排，所以安排方式有432=24(种).第二步：安排另外5人，可在2,4,6,8及余下的一条奇数号跑道上安排，所以安排方式有54321=120种.安排这8人的方式有24120=2 880(种).[答案] 28802.将一个四面体ABCD的六条棱上涂上红、黄、白三种颜色，要求共端点的棱不能涂相同颜色，那么不同的涂色方案有种.[解析] 因为只有三种颜色，又要涂六条棱，所以应该将四面体的对棱涂成相同的颜色.故有321=6种涂色方案.[答案] 63.(xx北京高考)用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有个(用数字作答).[解析] 用2,3组成四位数共有2222=16(个)，其中不出现2或不出现3的共2个，因此满足条件的四位数共有16-2=14(个).[答案] 144.从集合{1,2,3，，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的有个.[解析] 以1为首项的等比数列为1,2,4;1,3,9;以2为首项的等比数列为2,4,8;以4为首项的等比数列为4,6,9.把这四个数列顺序颠倒，又得到4个数列，故所求数列有8个.[答案] 85.集合P={x,1}，Q={y,1,2}，其中x，y{1,2,3，，9}，且.把满足上述条件的一个有序整数对(x，y)作为一个点的坐标，那么这样的点的个数是.[解析] 当x=2时，xy，点的个数为17=7(个).当x2时，由，x=y.x可从3,4,5,6,7,8,9中取，有7种方法.因此满足条件的点共有7+7=14(个).[答案] 146.某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母B、C、D中选择，四个号码可以从0～9这十个数字中选择(数字可以重复)，有车主第一个号码(从左到右)只想在数字3、5、6、8、9中选择，其他号码只想在1、3、6、9中选择，那么他的车牌号码可选的所有可能情况有种.[解析] 按照车主的要求，从左到右第一个号码有5种选法，第二位号码有3种选法，其余三位号码各有4种选法.因此车牌号码可选的所有可能情况有53444=960(种).[答案] 9607.在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有个.[解析] 把与正八边形有公共边的三角形分为两类：第一类，有一条公共边的三角形共有84=32(个).第二类，有两条公共边的三角形共有8个.由分类加法计数原理知，共有32+8=40(个).[答案] 408.只用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，那么这样的四位数有个.[解析] 由题意知，1,2,3中必有某一个数字重复使用2次，第一步确定谁被使用2次，有3种方法;第二步把这2个相等的数放在四位数不相邻的两个位置上，也有3种方法;第三步将余下的2个数放在四位数余下的2个位置上，有2种方法.故共可组成332=18个不同的四位数.[答案] 189.一环形花坛分成A，B，C，D四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，那么不同的种法总数有多少种.[解] 可依次种A，B，C，D四块，当C与A种同一种花时，有4313=36(种)种法;当C与A所种花不同时，有4322=48(种)种法.由分类加法计数原理，不同的种法种数为36+48=84种.10.电视台在欢乐在今宵节目中拿出两个信箱，其中放着竞猜中优秀的观众来信，甲箱中有30封，乙箱中有20封，现由主持人抽奖确定幸运观众，假设先从中确定一名幸运之星，再从两箱中各确定一名幸运观众，有多少种不同结果?[解] (1)幸运之星先在甲箱中抽，选定幸运之星，再在两箱内各抽一名幸运观众有302920=17 400(种).(2)幸运之星先在乙箱中抽取，有20XX30=11 400(种).共有不同结果17 400+11 400=28 800(种).。
新高考数学题型全归纳之排列组合 专题01 两个计数原理(解析版)
专题1 两个计数原理类型一、加法原理【例1】高二年级一班有女生18人，男生38人，从中选取一名学生作代表，参加学校组织的调查团，问选取代表的方法有几种． 【解析】18+38=56．【例2】若a 、b 是正整数，且6a b ≤+，则以()a b ，为坐标的点共有多少个？ 【解析】66=36´．【例3】用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（ ）A ．324B ．328C ．360D ．648【解析】由题意知本题要分类来解， 当尾数为2、4、6、8时，个位有4种选法，因百位不能为0，所以百位有8种，十位有8种，共有884256创= 当尾数为0时，百位有9种选法，十位有8种结果， 共有98172创=根据分类计数原理知共有25672328+= 故选：B ．【例4】用数字12345，，，，组成的无重复数字的四位偶数的个数为（ ）A ．8B ．24C ．48D ．120【解析】由题意知本题需要分步计数，2和4排在末位时，共有122A =种排法， 其余三位数从余下的四个数中任取三个有3443224A =创=种排法， 根据由分步计数原理得到符合题意的偶数共有22448?（个)．故选：C ．【例5】用012345，，，，，这6个数字，可以组成____个大于3000，小于5421的数字不重复的四位数．【解析】分四类：①千位数字为3,4之一时，百十个位数只要不重复即可，有352120A =个； ②千位数字为5时，百位数字为0,1,2,3之一时，有124448A A =个；③千位数字为5时，百位数字是4，十位数字是0,1之一时，有11236A A =个；最后还有5420也满足题意. 所以，所求四位数共有120+48+6+1=175个. 故答案为 175． 类型二、乘法原理【例6】公园有4个门，从一个门进，一个门出，共有_____种不同的走法． 【解析】根据题意，要求从从任一门进，从任一门出， 则进门的方法有4种，出门的方法也有4种， 则不同的走法有4416?种【例7】将3个不同的小球放入4个盒子中，则不同放法种数有_______． 【解析】根据题意，依次对3个小球进行讨论：第一个小球可以放入任意一个盒子，即有4种不同的放法， 同理第二个小球也有4种不同的放法， 第三个小球也有4种不同的放法， 即每个小球都有4种可能的放法，根据分步计数原理知共有即44464创=不同的放法， 故答案为：64．【例8】如果在一周内（周一至周日）安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余两所学校均只参观一天，那么不同的安排方法共有 种．【解析】分两步完成，第一步先安排甲学校参观，共六种安排方法；第二步安排另外两所学校，共有25A 安排方法，故不同的安排种法有256120A ?，故答案为120．【例9】高二年级一班有女生18人，男生38人，从中选取一名男生和一名女生作代表，参加学校组织的调查团，问选取代表的方法有几种．【解析】111838684C C = 【例10】六名同学报名参加三项体育比赛，每人限报一项，共有多少种不同的报名结果？【解析】每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有3种不同的报名方法，根据分步乘法计数原理，可得共有不同的报名方法63729=种．【例11】六名同学参加三项比赛，三个项目比赛冠军的不同结果有多少种？ 【解析】由题意，每项比赛的冠军都有6种可能，因为有3项体育比赛，所以冠军获奖者共有36666创=种可能【例12】用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是__________（用数字作答）．【解析】解析：可分三步来做这件事： 第一步：先将3、5排列，共有22A 种排法；第二步：再将4、6插空排列，插空时要满足奇偶性不同的要求，共有222A 种排法；第三步：将1、2放到3、5、4、6形成的空中，共有15C 种排法．由分步乘法计数原理得共有221225240A A C =（种)． 答案为：40【例13】从集合{12311}，，，，中任选两个元素作为椭圆方程22221x y m n +=中的m 和n ，则能组成落在矩形区域{()|||11B x y x ，，=<且||9}y <内的椭圆个数为（ ） A ．43B ．72C ．86D ．90【解析】椭圆落在矩形内，满足题意必须有，m n ¹，所以有两类， 一类是m ，n 从{1，2，3，6¼，7，8}任选两个不同数字，方法有2856A = 令一类是m 从9，10，两个数字中选一个，n 从{1，2，3，6¼，7，8}中选一个 方法是：2816?所以满足题意的椭圆个数是：561672+= 故选：B ．【例14】若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为2y x =-，值域为{19}，--的“同族函数”共有（ ）A ．7个B ．8个C ．9个D ．10个【解析】定义域是集合的子集，且子集中至少应该含有1-、1中的一个和3-、3中的一个，满足条件的定义有：{1-，3}-、{1-，3}、{1，3}-、{1，3}、{1-，1，3}-、{1-，1，3}、{1-，3-，3}、{1，3-，3}、{1-，1，3-，3}，共9个．故选：C ．【例15】某银行储蓄卡的密码是一个4位数码，某人采用千位、百位上的数字之积作为十位和个位上的数字（如2816）的方法设计密码，当积为一位数时，十位上数字选0，并且千位、百位上都能取0．这样设计出来的密码共有（ ）A ．90个B ．99个C ．100个D ．112个【例16】从集合{4321012345}，，，，，，，，，----中，选出5个数组成子集，使得这5个数中的任何两个数之和不等于1，则取出这样的子集的个数为（ ）A ．10B ．32C ．110D ．220【解析】从集合{1-，2-，3-，4-，0，1，2，3，4，5}中，随机选出5个数组成 子集，共有105C 种取法，即可组成105C 个子集，记“这5个数中的任何两个数之和不等于1”为事件A ，而两数之和为1的数组分别为(1,2)-，(2,3)-，(3-，4)(4-，5)，(0,1)，A 包含的结果有①只有有一组数的和为1，有5422213111160C C C C C =种结果②有两组数之和为1，有562160C C =种， 则A 包含的结果共有220种 故答案为：220．【例17】若x 、y 是整数，且6x ≤，6x ≤，则以()x y ，为坐标的不同的点共有多少个？ 【解析】整数x ，y 满足6x ≤，6x ≤ 则{6,5,4,3x A?----，2-，1-，0，1，2，3,4,5,6}，{6,5,4y B?---，3-，2-，1-，0，1，2，3，4,5,6}，从A 种选一个共有13种方法，从B 选一个共有13种方法， 故有1313169?种．故答案为：169．【例18】用0，1，2，3，4，5这6个数字：⑴可以组成______________个数字不重复的三位数． ⑵可以组成______________个数字允许重复的三位数．【解析】（1）根据题意，分2步分析：①、先选百位，百位可以在1、2、3、4、5中任选1个，则百位有5种方法， ②、在剩下的5个数字中任选2个，安排在十位、个位，有2520A =种选法， 则可以组成520100?个无重复数字的三位数（2）分3步进行分析：①、先选百位，百位可以在1、2、3、4、5中任选1个，则百位有5种选法，②、再选十位，十位可以在0、1、2、3、4、5中任选1个，则十位有6种选法， ③、最后分析个位，个位可以在0、1、2、3、4、5中任选1个，则个位有6种选法， 则可以组成566180创=个数字允许重复的三位数；【例19】六名同学报名参加三项体育比赛，共有多少种不同的报名结果？ 【解析】63333333创创?【例20】将3名教师分配到2所中学任教，每所中学至少一名教师，则不同的分配方案共有（ ）种．A ．5B ．6C ．7D ．8【解析】将3名教师分配到2所中学任教，每所中学至少1名教师， 只有一种结果1，2，首先从3个人中选2个作为一个元素， 使它与其他两个元素在一起进行排列，共有22326C A =种结果， 故选：B ．类型三、基本计数原理的综合应用【例21】用0，3，4，5，6排成无重复字的五位数，要求偶数字相邻，奇数字也相邻，则这样的五位数的个数是_________．（用数字作答） 【解析】按首位数字的奇偶性分两类： 一类是首位是奇数的，有：2323A A ；另一类是首位是偶数，有：322322()A A A -则这样的五位数的个数是：2332223322()20A A A A A +-=． 故答案为：20．【例22】若自然数n 使得作竖式加法(1)(2)n n n ++++均不产生进位现象．则称n 为“可连数”．例如：32是“可连数”，因323334++不产生进位现象；23不是“可连数”，因232425++产生进位现象．那么，小于1000的“可连数”的个数为（ ）A ．27B ．36C ．39D ．48【解析】如果n 是良数，则n 的个位数字只能是0，1，2，非个位数字只能是0，1，2，3（首位不为0)， 而小于1000的数至多三位， 一位的良数有0，1，2，共3个二位的良数个位可取0，1，2，十位可取1，2，3，共有339?个三位的良数个位可取0，1，2，十位可取0，1，2，3，百位可取1，2，3，共有34336创=个． 综上，小于1000的“良数”的个数为393648++=个 故选：D ．【例23】由正方体的8个顶点可确定多少个不同的平面？【解析】依题意，正方体的8个顶点所确定的平面有：6个表面，6个对角面，8个正三角形平面共20个. 故答案为：20【例24】分母是385的最简真分数一共有多少个？并求它们的和．【解析】因为3855711=⨯⨯，在1~385这385个自然数中，5的倍数有385[]775=（个)， 7的倍数有385[]557=（个)，11的倍数有385[]3511=（个)，5735⨯=的倍数有385[]1135=（个)，51155⨯=的倍数有385[]755=（个)， 71177⨯=的倍数有385[]577=（个)，385的倍数有1个． 由容斥原理知，在1~385中能被5、7或11整除的数有775535(1175)1145++−+++=（个)， 而5、7、11互质的数有385145240−=（个)．即分母为385的真分数有240（个)． 如果有一个真分数为385a，则必还有另一个真分数385385a −，即以385为分母的最简真分数是成对出现的， 而每一对之和恰为1．故以385为分母的240最简分数可以分成120时，它们的和为1120120⨯=． 【例25】用0，1，2，3，4，5这6个数字，可以组成_______个大于3000，小于5421的数字不重复的四位数．【解析】分四类：①千位数字为3,4之一时，百十个位数只要不重复即可，有352120A =个； ②千位数字为5时，百位数字为0,1,2,3之一时，有124448A A =个；③千位数字为5时，百位数字是4，十位数字是0,1之一时，有11236A A =个；最后还有5420也满足题意. 所以，所求四位数共有120+48+6+1=175个. 故答案为 175．【例26】某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，从“0000创创创?”到“9999创创创?”共10000个号码．公司规定：凡卡号的后四位带有数字“4”或“7”的一律作为“优惠卡”，则这组号码中“优惠卡”的个数为（ ）A ．2000B ．4096C ．5904D ．8320【解析】10000个号码中不含4、7的有484096=， \ “优惠卡”的个数为1000040965904-=，故选：C ．【例27】同室4人各写1张贺年卡，先集中起来，然后每人从中各拿1张别人送出的贺年卡，则4张贺年卡不同的分配方式有（ ）A ．6B ．9种C ．11种D ．23种【解析】设四人分别为a 、b 、c 、d ，写的卡片分别为A 、B 、C 、D ， 由于每个人都要拿别人写的，即不能拿自己写的，故a 有三种拿法，不妨设a 拿了B ，则b 可以拿剩下三张中的任一张，也有三种拿法，c 和d 只能有一种拿法， 所以共有33119创?种分配方式，故选：B．【例28】某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个节目插入原节目单中，那么不同的插法种数为（）A．504B．210C．336D．120【解析】由题意知将这3个节目插入节目单中，原来的节目顺序不变，\三个新节目一个一个插入节目单中，原来的6个节目形成7个空，在这7个位置上插入第一个节目，共有7种结果，原来的6个和刚插入的一个，形成8个空，有8种结果，同理最后一个节目有9种结果根据分步计数原理得到共有插法种数为789504创=，故选：A．【例29】某班学生参加植树节活动，苗圃中有甲、乙、丙3种不同的树苗，从中取出5棵分别种植在排成一排的5个树坑内，同种树苗不能相邻，且第一个树坑和第5个树坑只能种甲种树苗的种法共（）A．15种B．12种C．9种D．6种【解析】同种树苗不相邻且第一个树坑和第5个树坑只能种甲种树苗，\只有中间三个坑需要选择树苗，当中间一个种甲时，第二和第四个坑都有2种选法，共有4种结果，当中间一个不种甲时，则中间一个种乙或丙，当中间这个种乙时，第二和第四个位置树苗确定，当中间一个种丙时，第二和第四个位置树苗确定，共有2种结果，\总上可知共有426+-种结果，故选：D．【例30】用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（）A．324B．328C．360D．648【解析】由题意知本题要分类来解，当尾数为2、4、6、8时，个位有4种选法，因百位不能为0，所以百位有8种，十位有8种，共有884256创=当尾数为0时，百位有9种选法，十位有8种结果，共有98172创=根据分类计数原理知共有25672328+=故选：B．【例31】足球比赛的计分规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，那么一个队打14场共得19分的情况有( )A．3种B．4种C．5种D．6种【解析】得3分最多6场，则1分的1场，剩余的场次均得0分；若3分的共5场，则1分的共4场；若3分的共4场，则1分的共7场；若得3分的共3场，则1分的共9场；若得3分的2场，则1分的13场，不合题意，故选B.。
苏教版数学高二- 选修2-3试题 1.1两个基本计数原理
1.1 两个基本计数原理一、填空题1．高一年级三好学生中有男生6人，女生4人，从中选一人去领奖，共有________种不同的选法；从中选一名男生，一名女生去领奖，则共有________种不同的选法．【解析】从中选一人去领奖有6＋4＝10种方法．从中选一名男生一名女生去领奖有6×4＝24种选法．【答案】10242．由1，2，3，4可以组________个自然数．(数字可以重复，最多只能是四位数字) 【解析】组成的自然数可以分为以下四类：第一类：一位自然数，共有4个．第二类：两位自然数，又可分两步来完成．先取出十位上的数字，再取出个位上的数字，共有4×4＝16(个)．第三类：三位自然数，又可分三步来完成．每一步都可以从4个不同的数字中任取一个，共有4×4×4＝64(个)．第四类：四位自然数，又可分四步来完成，每一步都可以从4个不同的数字中任取一个，共有4×4×4×4＝256(个)．由分类计数原理知，可以组成的不同的自然数为4＋16＋64＋256＝340(个)．【答案】3403．商店里有适合女学生身材的女上衣3种，裙子3种，裤子2种．若一位女生要买一套服装，则共有________种不同选法．【解析】3×(3＋2)＝15(种)．【答案】154．有一排4个信号显示窗，每个窗可亮红灯、绿灯或不亮灯，则这排信号显示窗所发出的信号种数是________．【解析】3×3×3×3＝81(种)．【答案】815．从{1，2，3，4，5}中随机选取一个数为a，从{6，7，8}中随机选取一个数为b，则组成数对(b，a)的数目为________．【解析】完成数对(b，a)可分2步：第一步从{6，7，8}中随机选取一个数为b，有3种方法；第二步从{1，2，3，4，5}中随机选取一个数为a，有5种方法．根据分步计数原理，组成数对(b，a)的数目为3×5＝15.【答案】156．有5列火车停在某车站并排的5条轨道上，若火车A 不能停在第3道上，则5列火车的停车方法共有________种．【解析】第3道上有4种停车方法，其余各道按1，2，4，5停车，分别有4，3，2，1种不同方法，所以共有4×4×3×2×1＝96(种)．【答案】967．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为________．【解析】甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，由分步计数原理知，共有3×3＝9种不同的选法，即基本事件有9个，且每个基本事件等可能发生．两位同学参加同一个兴趣小组包括3个基本事件，即“同时参加第一个兴趣小组”，“同时参加第二个兴趣小组”和“同时参加第三个兴趣小组”，所以两位同学参加同一个兴趣小组的概率为39＝13. 【答案】138．用4种不同的颜色涂入如图1－1－3所示的矩形A ，B ，C ，D 中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂色方法共有________种．图1－1－3【解析】按A ，B ，C ，D 顺序涂色，共有4×3×2×3＝72种方法．【答案】72 二、解答题9．已知集合M ＝{－3，－2，－1，0，1，2}，P(a ，b)表示平面上的点(a ，b ∈M)．(1)P 可表示平面上多少个不同的点？(2)P 可表示平面上多少个第二象限的点？【解】(1)确定平面上的点P(a ，b)可分两步完成：第一步，确定a 的值，共有6种方法；第二步，确定b 的值，也有6种方法．根据分步计数原理，知P 可表示平面上6×6＝36个不同的点．(2)确定第二象限的点，可分两步完成：第一步，确定a，由于a<0，所以有3种方法；第二步，确定b，由于b>0，所以有2种方法.由分步计数原理，知P可表示平面上3×2＝6个第二象限的点．10.一般地，一个程序模块由许多子模块组成．如图1－1－4所示，它是一个具有许多执行路径的程序模块．问：这个程序模块有多少条不同的执行路径？图1－1－4【解】由分类计数原理，子模块1、子模块2和子模块3中的执行路径共有18＋45＋28＝91条；子模块4和子模块5中的执行路径共有38＋43＝81条．根据分步计数原理，整个模块的不同执行路径共有91×81＝7 371条．11．用5张100元币，4张1元币，1张5角币，2张2角币，可以组成多少种不同的币值？(一张不取，即0元0角不计在内)．【解】先分为三种币值：百元：0百元，1百元，2百元，3百元，4百元，5百元；元：0元，1元，2元，3元，4元；角：0角，2角，4角，5角，7角，9角．然后分3步进行：第一步从百元中选取有6种取法；第二步从元中选取有5种取法；第三步从角中选取有6种取法．根据分步计数原理，共有6×5×6＝180种取法．但应除去0元0角这1种情况，故可以组成179种不同的币值．。
计数原理训练练习含答案解析高二数学北京海淀
考前过关训练(一)计数原理(30分钟50分)一、选择题(每小题3分,共18分)1.若=,则的值为 ( )A.1B.20C.35D.7【解析】选C.由=得n=7,====35.2.已知等式x4=(x+1)4+b1(x+1)3+b2(x+1)2+b3(x+1)+b4,则b1,b2,b3,b4的值分别为 ( )A.0,0,0,0B.-4,6,-3,0C.4,-6,4,-1D.-4,6,-4,1【解题指南】由于x4=[(x+1)-1]4,所以可先利用二项式定理展开,然后由对应系数相等计算b1,b2,b3,b4.【解析】选D.根据题意,由于等式x4=(x+1)4+b1(x+1)3+b2(x+1)2+b3(x+1)+b4,则[(x+1)-1]4=(x+1)4+b1(x+1)3+b2(x+1)2+b3(x+1)+b4,b1,b2,b3,b4的值分别为-,,-,,可知答案为D.3.将5名学生分到A,B,C三个宿舍,每个宿舍至少1人至多2人,其中学生甲不到A宿舍的不同分法有( )A.18种B.36种C.48种D.60种【解析】选D.当甲一人住一个宿舍时有:×=12种,当甲和另一人住一起时有:×××=48,所以有12+48=60(种).4.的展开式中含x的正整数指数幂的项数是( )A.0B.2C.4D.6【解析】选B.的展开式中第r+1项为= (-1)r ,当5-为正整数时,r=0,2,所以项数为2.5.如图,花坛内有5个花池,有5种不同颜色的花卉可供栽种,每个花池内只能种同种颜色的花卉,相邻两池的花色不同,则栽种方案的种数为 ( )A.180B.240C.360D.420【解析】选D.本题中区域2,3,4,5地位相同(都与其他四个区域中的3个区域相邻),故应先种区域1,有5种栽种方案,再种区域2,有4种栽种方案,接着种区域3,有3种栽种方案,种区域4时应注意:区域2与4种同色花时,区域4有1种栽种方案,此时区域5有3种栽种方案;区域2与4种不同色花时,区域4有2种栽种方案,此时区域5有2种栽种方案,故共有5×4×3×(1×3+2×2)=420种栽种方案.【延伸探究】若将本例图改为如图,如何解决?【解析】分以下种情况讨论:(1)5种颜色的花全种,共有=120种方法.(2)只种4种颜色的花,分1,3同色;1,5同色;2,5同色;3,5同色共四种情况,共有4=480种方法.(3)只种3种颜色的花,只能是1,3,5同色,共有=60种方法.共有120+480+60=660种栽种方案.6.某动点在平面直角坐标系第一象限的整点上运动(含x,y正半轴上的整点),其运动规律为(m,n)→(m+1,n+1)或(m,n)→(m+1,n-1).若该动点从原点出发,经过6步运动到(6,2)点,则有__________ 种不同的运动轨迹.( )A.15B.14C. 9D.10【解析】选C.如图,该动点从原点出发,按规律运动到A或B或C或D或F 各有一种,运动到E有两种,到G,H各三种,…,由此可知它符合二项式系数规律,如此下去可得经过6步运动到P(6,2)点,有-=9种不同的运动轨迹.7.二项式展开式中x的系数为__________.【解析】二项式展开式中,T r+1=(x2)5-r=x10-3r,令10-3r=1得,r=3,所以,二项式展开式中x的系数为=10.答案:108.若展开式的常数项是60,则常数a的值为__________ .【解析】T r+1=x6-r=(-1)r x6-3r,由6-3r=0⇒r=2,所以(-1)2a=60.解得a=4.答案:49.如下表所示,现有一种跳格游戏,从第1格跳到第8格,每次可跳一格或两格,那么不同的跳法有__________种.1 2 3 4 5 6 7 8【解析】按跳的步数进行分类.第一类7步跳完,只有1种方法;第二类6步跳完,即2,3,4,5,6,7格中有1个格不跳,有6种方法;第三类5步跳完,即2,3,4,5,6,7格中有不相邻的2格不跳,有10种方法; 第四类4步跳完,即2,3,4,5,6,7格中有不相邻的3格不跳,有4种方法, 故共有1+6+10+4=21(种)不同方法.答案:2110.由-1,0,1,2,3这五个数中选三个不同的数组成二次函数y=a2x+bx+c的系数.(1)开口向下的抛物线有几条?(2)开口向上且不过原点的抛物线有多少条?(3)与x轴的正、负半轴各有一个交点的抛物线有多少条?【解析】(1)a<0,a只能取-1,b,c有种选法,共有=12(条).(2)a>0且c≠0,共有=27(条).(3)ac<0,当a>0,c<0时,a,b,c分别有,,种选法;当a<0,c>0时,a,b,c有,,种选法,共有+=18(条).11.已知=40,设f(x)=.(1)求n的值.(2)f(x)的展开式中的哪几项是有理项(回答项数即可).(3)求f(x)的展开式中系数最大的项和系数最小的项(回答第几项即可).【解析】(1)由已知=40,可得n(n-1)(n-2)(n-3)=40·,求得n=7.(2)f(x)=的展开式的通项公式为T r+1=·(-1)r·,令7-为整数,可得r=0,3,6,故第1项、第4项、第7项为有理项.(3)由于f(x)的展开式中第r+1项的系数为·(-1)r,故当r=4时,即第5项的系数最大;当r=3时,即第4项的系数最小.【补偿训练】已知(a2+1)n展开式中的各项系数之和等于展开式的常数项,而(a2+1)n展开式中的系数最大的项等于54,求a的值.【解析】展开式的通项为T r+1=·=,令=0,得r=4,所以常数项为T5=·=16.又因为(a2+1)n的展开式的各项系数之和等于2n.所以2n=16,所以n=4.由二项式系数的性质知,(a2+1)4展开式中系数最大的项是中间项,即第3项,T3=a4=54,解得a=±.。
高二数学两个基本原理
分类计数原理 完成一件事，有n类方 式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在 第2类方式中有m2种不同的方法，…，在第 n类方式中有mn种不同的方法，那么完成这 件事共有：
N m1 m2 mn
种不同的方法。
分类计数原理又称为加法原理。
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，使得收敛送终，尽其子道”夏五月，诏曰“父子之亲，夫妇之道，天性也。虽有患祸，犹蒙死而存之。诚爱结於心，仁厚之至也，岂能违之哉。自今，子首匿父母、妻匿夫、孙匿大父母，皆勿坐。其父母匿子、夫匿妻、大父母匿孙，罪殊死，皆上请廷尉以闻”立广川惠王孙文为广川王。秋七月， 大司马霍禹谋反。诏曰“乃者，东织室令史张赦使魏郡豪李竟报冠阳侯霍云谋为大逆，朕以大将军故，抑而不扬，冀其自新。今大司马博陆侯禹与母宣成侯夫人显及从昆弟冠阳侯云、乐平侯山、诸姊妹婿度辽将军范明友、长信少府邓广汉、中郎将任胜、骑都尉赵平、长安男子冯殷等谋为大逆。显前 又使女侍医淳于衍进药杀共哀后，谋毒太子，欲危宗庙。逆乱不道，咸伏其辜。诸为霍氏所诖误未发觉在吏者，皆赦除之”八月已酉，皇后霍氏废。九月，诏曰“朕惟百姓失职不赡，遣使者循行郡国问民所疾苦。吏或营私烦扰，不顾厥咎，朕甚闵之。今年郡国颇被水灾，已振贷。盐，民之食，而贾 咸贵，众庶重困。其减天下盐贾”又曰“令甲，死者不可生，刑者不可息。此先帝之所重，而吏未称。今系者或以掠辜若饑寒瘐死狱中，何用心逆人道也。朕甚痛之。其令郡国岁上系囚以掠笞若瘐死者所坐名、县、爵、里，丞相、御史课殿最以闻”十二月，清河王年有罪，废迁房陵。元康元年春， 以杜东原上为初陵，更名杜县为杜陵。徙丞相、将军、列侯、吏二千石、訾百万者杜陵。三月，诏曰“乃者凤皇集泰山、陈留，甘露降未央宫。朕未能章先帝休烈，协宁百姓，承天顺地，调序四时，获蒙嘉瑞，赐兹祉福，夙夜兢兢，靡有骄色，内省匪解，永惟罔极。《书》不云乎
高二数学分类加法计数原理与分步乘法计数原理试题
高二数学分类加法计数原理与分步乘法计数原理试题1.一件工作可以用2种方法完成，有3人会用第1种方法完成，另外5人会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这件工作，不同选法的种数是（）A．8B．15C．16D．30【答案】Ａ【解析】分两类：3+5=8，故选A。
【考点】本题主要考查分类计数原理的应用。
点评：简单题，审清题意。
2.由数字0，1，2，3，4可组成无重复数字的两位数的个数是（）A．25B．20C．16D．12【答案】Ｃ【解析】构成两位数，分两步考虑：十位数字不为零有4种选法，个位由4种选法，所以可组成无重复数字的两位数的个数是4×4=16，故选C。
【考点】本题主要考查分步计数原理的应用。
点评：特别注意十位数字不为零。
3.李芳有4件不同颜色的衬衣，3件不同花样的裙子，另有两套不同样式的连衣裙．“五一”节需选择一套服装参加歌舞演出，则李芳有（）种不同的选择方式（）A．24B．14C．10D．9【答案】Ｂ【解析】两类，一类是衬衣+裙子：分两步，衬衣有4种选择，裙子有3种选择，有4×3=12；第二类是连衣裙，永种选择，所以共有12+2=14，故选B。
【考点】本题主要考查分步计数原理的应用。
点评：稍具综合性的简单题，审清题意。
4.把10个苹果分成三堆，要求每堆至少1个，至多5个，则不同的分法共有（）A．4种B．5种C．6种D．7种【答案】Ａ【解析】分类：三堆中“最多”的一堆为5个，其他两堆总和为5，每堆最至少1个，只有2种分法。
三堆中“最多”的一堆为4个，其他两堆总和为6，每堆最至少1个，只有2种分法。
三堆中“最多”的一堆为3个，那是不可能的。
【考点】本题主要考查分类计数原理的应用。
点评：本解法从“最多”的一堆分情况考虑开始，分别计算不同分法，然后求和。
用列举法也可以，形象、直观易懂。
5.平面内有7个点，其中有5个点在一条直线上，此外无三点共线，经过这7个点可连成不同直线的条数是．【答案】12【解析】分三类：这5个在一条线上的点连成1条直线；其中每一点与直线外2点各连成一条直线，有10条；直线外2点又相互连成1条直线；这样直线应该有1+5+5+1=12条.【考点】本题主要考查分类计数原理的应用。
《7.1 两个基本计数原理》(同步训练)高中数学选择性必修第二册_苏教版_2024-2025学年
《7.1 两个基本计数原理》同步训练(答案在后面)一、单选题（本大题有8小题，每小题5分，共40分）1、在参加学校的科技创新比赛时，小明从A、B、C、D四个方面中任选两个进行项目研究。
不考虑顺序，一共有几种不同的选择方式？2、某班有男生35人，女生30人，如果要从中选出5名学生参加数学竞赛，要求至少有2名女生，则不同的选法共有（）A. 330种B. 406种C. 126种D. 45种3、从集合 {1, 2, 3, 4} 中任选两个不同的元素构成一个有序对 (a, b)，其中 a < b，共有多少种选择？A. 6B. 8C. 10D. 124、若集合A有10个元素，集合B有5个元素，且集合A与集合B的交集有3个元素，则集合A与集合B的并集共有多少个元素？A、15B、17C、18D、205、在排列问题中，从5名男生和4名女生中选出2人参加数学竞赛，不考虑性别，则不同的选法共有（）A.120种B.60种C.84种D.96种6、从4名男生和3名女生中选2人，分别担任正、副班长，共有多少种不同的选法？A. 14B. 24C. 35D. 487、在排练节目中，需要对6个不同的节目按照一定的顺序进行排列。
已知其中有两个节目必须相邻出演，问共有多少种不同的排列方法？A. 720种B. 360种C. 240种D. 120种8、在排列问题中，若从5个不同的字母中取出3个字母进行排列，不同的排列方法共有（）种。
A. 60种B. 120种C. 30种D. 20种二、多选题（本大题有3小题，每小题6分，共18分）1、在进行一个6人小组的活动安排中，需要选出2人担任组长和副组长的职责。
请问下列选项中哪些是正确的安排方式数？A. 60B. 30C. 15D. 1202、已知5位数字组成的无重复数字的6位数，排列方式的总数是：A. 720B. 7200C. 120D. 25203、下列说法中，属于两个基本计数原理应用的有：A. 计算从1到100的自然数中，有多少个偶数。
专题01 两个计数原理(原卷版)
专题01 两个计数原理类型一、加法原理例1．（2023·全国·高三专题练习）某奥运村有A，B，C三个运动员生活区，其中A区住有30人，B区住有15人，C区住有10人.已知三个区在一条直线上，位置如图所示.奥运村公交车拟在此间设一个停靠点，为使所有运动员步行到停靠点路程总和最小，那么停靠点位置应在（）A．A区B．B区C．C区D．A，B两区之间例2．（2023·全国·高三专题练习）现有5幅不同的油画，2幅不同的国画，7幅不同的水彩画，从这些画中选一幅布置房间，则不同的选法共有（）A．7种B．9种C．14种D．70种例3．（2023·全国·高三专题练习）2010年世界杯足球赛预计共有24个球队参加比赛，第一轮分成6个组进行单循环赛（在同一组的每两个队都要比赛），决出每个组的一、二名，然后又在剩下的12个队中按积分取4个队（不比赛），共计16个队进行淘汰赛来确定冠亚军，则一共需比赛（）场次．A．53B．52C．51D．50例4．（2023·全国·高三专题练习）在北京冬奥会短道速滑混合团体2000米接力决赛中，中国队成功夺冠，为中国体育代表团夺得本届冬奥会首金.短道速滑男女接力赛要求每队四名运动员，两男两女，假设男女队员间隔接力，且每位队员只上场一次，则不同的上场次序的种数为（）A．8B．16C．18D．24例5．（2023·高二单元测试）某学校为落实“双减政策，在每天放学后开设拓展课程供学生自愿选择，开学第一周的安排如下表.小明同学要在这一周内选择编程、书法、足球三门课，不同的选课方案共有（）A．15种B．10种C．8种D．5种类型二、乘法原理例6．（2023·高二课时练习）一次时装表演，有7顶不同款式的帽子，12件不同款式的上衣和8条不同款式的裤子．一位模特要从这些帽子、上衣和裤子中各选1款穿戴，则有______种不同的选法．例7．（2023·高二课时练习）4个学生各写一张贺卡放在一起，然后每人从中各取一张，要求不能取自己写的那张贺卡，但有1个学生取错了，则不同的取法共有______种．例8．（2023·高二课时练习）有四位学生参加三项竞赛，要求每位学生必须参加其中一项竞赛，有______种参赛情况．例9．（2023·高二课时练习）有四位学生参加三项竞赛，要求每项竞赛只需其中一位学生参加，有______种参赛情况．例10．（2023·高二课时练习）甲、乙、丙、丁四个人各写一张贺卡，放在一起，再各取一张不是自己所写的贺卡，共有______种不同的取法．例11．（2023·高二课时练习）某酒店的大楼有18层，每层12个房间，如果每个房间都安装一个电话分机，那么用1、2、3、4、5、6这六个数字所组成的三位数作为各分机的号码，是否够用？例12．按序给出a，b两类元素，a类中的元素排序为甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，b类中的元素排序为子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．在a，b两类中各取1个元素组成1个排列，求a类中选取的元素排在首位，b类中选取的元素排在末位的排列的个数．a类的10个元素叫作天干，b类的12个元素叫作地支．两者按固定顺序相配，形成古代纪年历法，求天干各地支相配可形成的纪年历法可以表示多少年.例13．某班有男生30名、女生24名，从中任选男生和女生各1名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？类型三、基本计数原理的综合应用例14．（2023秋·河北·高二河北省文安县第一中学校考期末）如图，要让电路从A处到B处接通，不同的路径条数为（）A．5B．7C．8D．12例15．（2023·高二单元测试）一杂技团有8名会表演魔术或口技的演员，其中有6人会表演口技，有5人会表演魔术，现从这8人中选出2人上台表演，1人表演口技，1人表演魔术，则不同的安排方法有______种．例16．（2023·全国·高三专题练习）如图，一条电路从A处到B处接通时，可以有_____________条不同的线路（每条线路仅含一条通路）．例17．（2023春·四川绵阳·高三绵阳中学校考阶段练习）小小的火柴棒可以拼成几何图形，也可以拼成数字．如下图所示，我们可以用火柴棒拼出1至9这9个数字比如：“1”需要2根火柴棒，“7”需要3根火柴棒．若用8根火柴棒以适当的方式全部放入右面的表格中（没有放入火柴棒的空位表示数字“0”），那么最多可以表示无重复数字的三位数有______个例18．（2023·全国·高三专题练习）某学校每天安排4项课后服务供学生自愿选择参加．学校规定：（1）每位学生每天最多选择1项；（2）每位学生每项一周最多选择1次．学校提供的安排表如下：例19．（2023·高二课时练习）书架上放有3本不同的数学书，5本不同的语文书，6本不同的英语书．(1)从这些书中任取一本，有多少种不同的取法？(2)从这些书中取数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法？(3)从这些书中取不同科目的书共两本，有多少种不同的取法？例20．（2023·高二单元测试）在某次国际高峰论坛上，组委会要从6个国内媒体团和3个国外媒体团中选出3个媒体团进行提问，要求这3个媒体团中既有国内媒体团又有国外媒体团，且国内媒体团不能连续提问，则不同的提问方式的种数是多少？。
两个计数原理测试题选修23
两个大体计数原理单元测试一.选择与填充:1.某农场为了考察3个水稻品种和5个2品种的质量,要在土质相同的土地上进行实验,应安排的实验区共有 ( )块 块 块 块2.某乒乓球对有男运动员5人,女运动员6人,从当选派2人参加男女混双竞赛,共有 种不同的选法.3.从0,1,2,3,4,5,6,7七个数中任取两个数相乘,使所得的积为偶数,如此的偶数共有 ( ) 个..9 C4.设*,N y x ∈,且x+y ≤4,那么直角坐标系中知足条件的点M(x,y)共有 ( ) 个 个 个 个5.从1～9九个数字中任取两个数字组成两位数,假设这两位数的数字不许诺重复,那么可取得 个不同的两位数; 这两位数的数字许诺重复, 那么可取得 个不同的两位数.6.平面∂内有A,B 两点,平面β内有M,N,P 三点,以这些点为极点,最多能够作 个三棱锥.7.用红,黄,绿,蓝4种不同的颜色涂入图中四个区域内,要求相邻区域的涂色不相同,那么不同的涂色方式共有 种.8.已知集合A=A n m x Z x x ∈≤≤-∈,},102,|{,方程122=+ny m x 表示核心在x 轴上的椭圆,那么如此的椭圆共有( )个. .55 C9.从2,3,4,5,6五个数中,任取两个数别离做对数的底数与真数,能够取得 个不同的对数值.10.今有2个红球,3个黄球,同色球不加以区分,将这5个球排成一列有种不同的方式.二.解答:11.某学校开设了文科选修课3门,理科选修课4门,实验选修课2门,有位学生要从当选学不同科的两门,共有多少种不同的选法?12.(1)有4名学生报名参加数学,物理,化学竞赛,每人限报一科,有多少种不同的报名方式?(2)有4名学生争夺数学,物理,化学竞赛的冠军, 可能有多少种不同的结果?(3) 有4名学生报名参加数学,物理,化学竞赛,要求每位学生最多参加一项竞赛,且每项竞赛只许诺有一名学生参加, 可能有多少种不同的结果?13.某城市的电话号码为八位数,且首位不为0.(1)该市电话用户的最大容量为多少门?(2)电话号码中显现重复数字的最多有多少门?答案：一．选择与填充：1．A 2. 30 3. D 4. D 5. 72,81 6. 57. 72 8. A 9. 20 10. 10二.解答:11. 3×4+3×2+4×2=26(种)12. (1) 34=81 (种); (2) 43=64 (种) ;(3) 4×3×2=24 (种)13.(1) 9×107 (门)(2) 9×107-9×9×8×7×6×5×4×3= (门)。
6.1 两个计数原理(解析版)人教版高中数学精讲精练选择性必修三
6.1两个计数原理考法一分类加法计数原理【例1】（2023春·黑龙江齐齐哈尔·高二齐齐哈尔市恒昌中学校校考期中）完成一项工作，有两种方法，有6个人只会用第一种方法，另外有4个人只会第二种方法，从这10个人中选1个人完成这项工作，则不同的选法共有（）A．6种B．10种C．4种D．60种【答案】B【解析】根据分类加法计数原理，6+4=10.故选：B.【一隅三反】1．（2023秋·广东佛山）5名同学去听同时举行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择听其中的1个讲座，且甲乙听同一个讲座，则不同选择的种数是．【答案】81=．【解析】根据题意，把甲乙看成一个同学，由分步计数原理，可得不同选择的种类是4381故答案为：81.2．（2023·北京）一项工作可以用两种方法完成．有5人只会用第一种方法完成，另有4人只会用第二种方法完成．从中选出1人来完成这项工作，共有多少种不同的选法？【答案】9+=种方法完成工作．【解析】利用第一种方法有：5种，利用第二种方法有：4种．故共有：5493．（2023·云南）音乐播放器里存有10首中文歌曲，8首英文歌曲，3首法文歌曲，任选一首歌曲进行播放，有多少种不同的选法？【答案】21++=种选法.【解析】依题意一共有108321考法二分步乘法计数原理【例2-1】（2023春·新疆乌鲁木齐）甲、乙、丙、丁四位同学决定去黄鹤楼、东湖、汉口江滩游玩，每人只能去一个地方，则不同游览方案的种数为（）A．65B．81C．64D．60【答案】B【解析】甲、乙、丙、丁四位同学决定去黄鹤楼、东湖、汉口江滩游玩，每人只能去一个地方，=种.故选：B.每个人都有三种选择，则不同的游览方案种数为4381【例2-2】（2023春·浙江温州·高二校联考期中）2022年北京冬奥会的顺利召开，激发了大家对冰雪运动的兴趣．若甲，乙，丙三人在自由式滑雪、花样滑冰、冰壶和跳台滑雪这四项运动中任选一项进行体验，则不同的选法共有（）A．12种B．24种C．64种D．81种【答案】C【解析】由题意，可知每一人都可在四项运动中选一项，即每人都有四种选法，可分三步完成，根据分步乘法原理，不同的选法共有44464⨯⨯=种.故选：C．【一隅三反】1．（2023春·安徽池州·高二校联考期中）“声东击西”是游击战争的一种战术：声东可以击东、南、西、北中的任意一个方向，以此灵活地打击或消灭敌人.同样还有“声南击北”等不同的战术，由此可知这类战术中打击或消灭敌人的方法总数为（）A．16B．12C．4D．3【答案】A【解析】根据题意，声的情况有4种，击的情况也有4种，所以这类战术中打击或消灭敌人的方法总数为⨯=.故选：A.44162．（2023秋·高二课时练习）“数独九宫格”原创者是18世纪的瑞士数学家欧拉，它的游戏规则很简单，将1到9这九个自然数填到如图所示的小九宫格的9个空格里，每个空格填一个数，且9个空格的数字各不相同，若中间空格已填数字5，且只填第二行和第二列，并要求第二行从左至右及第二列从上至下所填的数字都是从小到大排列的，则不同的填法种数为（）A ．72B ．108C ．144D ．196【答案】C 【解析】按题意，5的上方和左边只能从1，2，3，4中选取，5的下方和右边只能从6，7，8，9中选取．第一步，填上方空格，有4种方法；第二步，填左方空格，有3种方法；第三步，填下方空格，有4种方法；第四步，填右方空格，有3种方法.由分步计数原理得，填法总数为4343144⨯⨯⨯=.故选：C.3．（2023·湖南）某校在艺术节期间需要举办一场文娱演出晚会，现要从3名教师、4名男同学和5名女同学当中选出若干人来主持这场晚会（任一人都可主持）．(1)如果只需一人主持，共有多少种不同的选法？(2)如果需要教师、男同学和女同学各一人共同主持，共有多少种不同的选法？【答案】(1)12(2)60【解析】（1）从3名教师、4名男同学和5名女同学当中选出一人主持晚会，结果可分为3类：第一类，选一名教师主持，有3种选法；第二类，选一名男同学主持，有4种选法；第三类，选一名女同学主持，有5种选法．根据分类加法计数原理，共有34512++=种不同的选法．（2）从3名教师、4名男同学和5名女同学当中各选出一人共同主持晚会，可分3步：第一步，选出一名教师，有3种选法；第二步，选出一名男同学，有4种选法；第三步，选出一名女同学，有5种选法，以上3个步骤依次完成后，事情才算完成．根据分步乘法计数原理，共有34560⨯⨯=种不同的选法．考法三两个计数原理综合运用【例3】（2023秋·山东临沂·高二校考阶段练习）集合{1M =，2-，3}，{3N =-，5，6，4}-，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则这样的坐标在平面直角坐标系中表示第二象限内不同的点的个数是（）A ．2B ．4C ．5D ．6【答案】D 【解析】第二象限的横坐标是负数，纵坐标是正数．若M 集合提供横坐标，N 集合提供纵坐标，则有122⨯=，若M 集合提供纵坐标，N 集合提供横坐标，则有224⨯=，合计246+=，即这样的坐标在平面直角坐标系中表示第二象限内不同的点的个数是6个，故选：D.【一隅三反】1．（2023春·陕西榆林·高二校考期中）如图所示是一段灌溉用的水渠，上游和下游之间建有A ，B ，C ，D ，E 五个水闸，若上游有充足的水源但下游没有水，则这五个水闸打开或关闭的情况有（）A ．24种B ．23种C ．15种D ．7种【答案】B 【解析】①A 水闸关闭时，满足要求，此时,,,B C D E 打开或关闭时均可，故此时有4216=种情况，②若A 水闸打开时，同时关闭,B C 时，满足要求，此时,D E 打开或关闭时均可，故此时有224=种情况，③若A 水闸打开时，同时关闭,D E 时，满足要求，此时,B C 打开或关闭时均可，故此时有224=种情况，上面②③两种情况有重复的1种情况，就是A 水闸打开，,,,B C D E 同时关闭的情况，故共有1644123++-=种情况.故选：B2．（2023春·山东菏泽·高二校考阶段练习）口袋中装有8个白球和10个红球每个球有不同编号，现从中取出2个球．(1)至少有一个白球的取法有多少种？(2)两球的颜色相同的取法有多少种？【答案】(1)108(2)73【解析】（1）根据题意分2类完成任务：第一类：白球红球各一个有81080⨯=种，第二类：均为白球，()187282⨯⨯=种，所以共有8028108+=种；（2）根据题意分2类完成任务：第一类：均为白球，()187282⨯⨯=种，第二类：均为红球，()1109452⨯⨯=种，所以共有284573+=种．3．（2023秋·高二课时练习）如图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丁地有3条路；从甲地到丙地有4条路，从丙地到丁地有2条路．那么，从甲地到丁地，如果每条路至多走一次，且每个地点至多经过一次，有多少种不同的走法？【答案】14种【解析】从甲地到丁地的走法可以分成两类：第一类：从甲地经由乙地到丁地．这类走法可以分成两个步骤：先从甲地到乙地，有2种走法；再从乙地到丁地，有3种走法．根据乘法原理，这一类走法的种数为236⨯=．第二类：从甲地经由丙地到丁地．这类走法可以分成两个步骤：先从甲地到丙地，有4种走法；再从丙地到丁地，有2种走法．根据乘法原理，这一类走法的种数为428⨯=．根据加法原理，从甲地到丁地共有6814+=种不同的走法．考法四数字型【例4】（2023湖南）用0，1，…，9这十个数字，可以组成多少个满足下列条件的数?(1)三位整数;(2)无重复数字的三位整数;(3)小于500的无重复数字的三位整数;(4)小于100的无重复数字的自然数.【答案】(1)900(2)648(3)288(4)91【解析】（1）百位上有9种选择，十位和个位各有10种选法.由分步乘法计数原理知，适合题意的三位数的个数是9×10×10=900.（2）由于数字不可重复，可知百位数字有9种选择，十位数字也有9种选择，但个位数字仅有8种选择，由分步乘法计数原理知，适合题意的三位数的个数是9×9×8=648.（3）百位数字只有4种选择，十位数字有9种选择，个位数字有8种选择，由分步乘法计数原理知，适合题意的三位数的个数是4×9×8=288.（4）小于100的自然数可以分为一位和两位自然数两类.一位自然数:10个.两位自然数:十位数字有9种选择，个位数字也有9种选择，由分步乘法计数原理知，适合题意的两位数的个数是9×9=81.由分类加法计数原理知，适合题意的自然数的个数是10+81=91.【一隅三反】1．（2023春·江苏宿迁·高二统考期中）由0，1，2，3，5组成的无重复数字的五位偶数共有（）．A ．42个B ．48个C ．54个D ．120个【答案】A【解析】若五位数的个位数是0，则有1432124n =⨯⨯⨯=种情形；若五位数的个位数是2，由于0不排首位，因此只有1,3,5有3种情形，中间的三个位置有3216⨯⨯=种情形，依据分步计数原理，可得23618n =⨯=种情形．由分类计数原理可得所有无重复五位偶数的个数为12241842n n n =+=+=.故选：A ．2．（2023春·上海）用0，1，2，3，4五个数字．(1)可以排成多少个三位数字的电话号码？(2)可以排成多少个三位数？(3)可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？(4)可以组成多少个无重复数字的四位奇数？【答案】(1)125(2)100(3)30(4)36【解析】（1）三位数字的电话号码，首位可以是0，数字也可以重复，每个位置都有5种排法，共有35555125⨯⨯==(个)．（2）三位数的首位不能为0，但可以有重复数字，首先考虑首位的排法，除0外共有4种方法，第二、三位可以排0，因此，共有455100⨯⨯=(个)．（3）被2整除的数即偶数，末位数字可取0，2，4，⨯=(种)排法；因此，可以分两类，一类是末位数字是0，则有4312一类是末位数字不是0，则末位有2种排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位，所以有3种排法，十⨯⨯=(种)排法，位有3种排法，因此有23318+=(种)排法，即可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数．因此有121830（4）完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事，可以分四步：第一步定个位，只能从1，3中任取一个，有2种方法；第二步定首位，从1，2，3，4中除去用过的一个，从剩下的3个中任取一个，有3种方法；第三步，第四步把剩下的包括0在内的3个数字先排百位有3种方法，再排十位有2种方法.⨯⨯⨯=(个)．由分步计数原理知共有2332364．（2023春·浙江宁波·高二统考阶段练习）用0，1，2，3，L，9这十个数字.(1)可组成多少个三位数？(2)可组成多少个无重复数字的三位数？(3)可组成多少个小于500且没有重复数字的自然数？【答案】(1)900；(2)648；(3)379.【解析】（1）要确定一个三位数，可分三步进行：第一步，确定百位数，百位不能为0，有9种选法；第二步，确定十位数，有10种选法；第三步，确定个位数，有10种选法.⨯⨯=种.根据分步乘法计数原理，共有91010900（2）要确定一个无重复数字的三位数，可分三步进行：第一步，确定百位数，有9种选法；第二步，确定十位数，有9种选法；第三步，确定个位数，有8种选法.⨯⨯=个无重复数字的三位数.根据分步乘法计数原理，共有998648（3）由已知，小于500且没有重复数字的自然数分为以下三类，第一类，满足条件的一位自然数：有10个，⨯=个，第二类，满足条件的两位自然数：有9981第三类，满足条件的三位自然数：第一步，确定百位数，百位数字可取1，2，3，4，有4种选法；第二步，确定十位数，有9种选法；第三步，确定个位数，有8种选法.根据分步乘法计数原理，有498288⨯⨯=个.由分类加法计数原理知共有1081288379++=，共有379个小于500且无重复数字的自然数.考法五涂色【例5-1】（2023春·江苏宿迁·高二统考期中）用6种不同的颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，则不同的涂色方法有（）A ．240B ．360C ．480D ．600【答案】C 【解析】将区域标号，如下图所示：因为②③④两两相邻，依次用不同的颜色涂色，则有654120⨯⨯=种不同的涂色方法，若①与④的颜色相同，则有1种不同的涂色方法；若①与④的颜色不相同，则有3种不同的涂色方法；所以共有()12013480⨯+=种不同的涂色方法.故选：C.【例5-2】（2023秋·高二课时练习）如图，将一个四棱锥的每一个顶点染上1种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色．如果只有5种颜色可供使用，则不同的染色方法数为（）A．240B．300C．420D．480【答案】C【解析】以S→A→B→C→D的顺序分步染色．第1步，对S点染色，有5种方法．第2步，对A点染色，A与S在同一条棱上，有4种方法．第3步，对B点染色，B与S，A分别在同一条棱上，有3种方法．第4步，对C点染色，但考虑到D点与S，A，C相邻，需要针对A与C是否同色进行分类．当A与C同色时，D点有3种染色方法；当A与C不同色时，因为C与S，B也不同色，所以C点有2种染色方法，D 点也有2种染色方法．由分步乘法计数原理和分类加法计数原理得不同的染色方法共有5×4×3×(3＋2×2)＝420种．故选：C．【一隅三反】1．（2023春·广东佛山·高二校联考阶段练习）某小区物业在该小区的一个广场布置了一个如图所示的圆形花坛，花坛分为5个区域．现有6种不同的花卉可供选择，要求相邻的区域（有公共边）不能布置相同的花卉，且每个区域只布置一种花卉，则不同的布置方案有（）A．720种B．1440种C．1560种D．2520种【答案】C【解析】如图，不同的布置方案分两类：当A与C布置相同的花卉时，先安排E，有6种不同的选择；再安排A与C，有5种不同的选择；再安排B，有4种不同的选择；最后安⨯⨯⨯=种.排D，有4种不同的选择，共有6544480当A与C布置不同的花卉时，⨯种不同的选择；再安排B,有3种不同的选择；最后先安排E，有6种不同的选择；再安排A与C，有54⨯⨯⨯⨯=种.安排D，有3种不同的选择，共有654331080+=种.故选：C所以不同的布置方案有480108015602．（2023春·江苏盐城·高二校联考期中）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图涂色，要求相邻区域不得使用同一颜色．现有5种颜色可供选择，则不同的涂色方法的有()种A．540B．360C．300D．420【答案】D【解析】分两种情况讨论即可：(i)②和④涂同种颜色时，从①开始涂，①有5种涂法，②有4种涂法，④有1种涂法，③有3种涂法，⑤有3种涂法，∴此时有5×4×1×3×3＝180种涂法；(ii)②和④涂不同种颜色时，从①开始涂，①有5种涂法，②有4种涂法，④有3种涂法，③有2种涂法，⑤有2种涂法，∴此时有5×4×3×2×2＝240种涂法；∴总共有180＋240＝420种涂色方法．故选：D﹒3．（2023·湖北）如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色，如果只有5种颜色可供使用，则不同染色方法的种数为（）A．192B．420C．210D．72【答案】B→→→→的顺序进行染色，按照A，C是否同色分类：【解析】按照S A B C D⨯⨯⨯⨯=种不同的染色方法；第一类，A，C同色，由分步计数原理有54313180⨯⨯⨯⨯=种不同的染色方法；第二类，A，C不同色，由分步计数原理有54322240+=种不同的染色方法.故选：B.根据分类加法计数原理，共有180240420一、单选题1．（2022春·安徽安庆·高二安庆一中校考期中）现有10元、20元、50元人民币各一张，100元人民币2张，从中至少取一张，共可组成不同的币值种数是（）A．15种B．31种C．24种D．23种【答案】D【解析】除100元人民币以外的3张人民币中，每张均有取和不取2种情况，2张100元人民币的取法有不取、取一张和取二张3种情况，再减去5张人民币全不取的1种情况，⨯-=-=种．所以共有323124123故选：D.2（2023秋·高二课时练习）在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数是（）A．18B．36C．72D．48【答案】B【解析】解法一：按十位上的数字分别是1，2，3，4，5，6，7，8分成八类，在每一类中满足条件的两位数分别有8个、7个、6个、5个、4个、3个、2个、1个．+++++++=个．由分类加法计数原理知，满足条件的两位数共有8765432136解法二：按个位上的数字分别是2，3，4，5，6，7，8，9分成八类，在每一类中满足条件的两位数分别有1个、2个、3个、4个、5个、6个、7个、8个．+++++++=个．由分类加法计数原理知，满足条件的两位数共有1234567836解法三：所有的两位数共有90个，其中个位数字等于十位数字的两位数为11，22，33，…，99，共9个；有10，20，30，…，90共9个两位数的个位数字与十位数字不能调换位置，-=个．则剩余的两位数有901872在这72个两位数中，每一个个位数字（a）小于十位数字（b）的两位数都有一个十位数字（a）小于个位数字（b）的两位数与之对应，÷=.故满足条件的两位数的个数是72236故选：B.3．（2023春·上海嘉定·高二上海市育才中学校考阶段练习）如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在替工5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻颜色不同，则不同的涂色方法种数为（）A．120B．420C．300D．以上都不对【答案】B【解析】分4步进行分析：①对于区域A，有5种颜色可选，②对于区域B，与A区域相邻，有4种颜色可选;③对于区域C，与A、B区域相邻,有3种颜色可选;④,对于区域D、E,若D与B颜色相同，E区域有3种颜色可选，若D与B颜色不相同，D区域有2种颜色+⨯=种选择,可选，E区域有2种颜色可选，则区域D、E有3227⨯⨯⨯=种;则不同的涂色方案有5437420故选：B4．（2024·安徽）中国是世界上最早发明雨伞的国家，伞是中国劳动人民一个重要的创造.如图所示的雨伞，其伞面被伞骨分成8个区域，每个区域分别印有数字1，2，3，..，8，现准备给该伞面的每个区域涂色，要求每个区域涂一种颜色，相邻两个区域所涂颜色不能相同，对称的两个区域（如区域1与区域5）所涂颜色相同.若有7种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有（）A ．1050种B ．1260种C ．1302种D ．1512种【答案】C 【解析】由题意可得，只需确定区域1,2,3,4的颜色，即可确定整个伞面的涂色.先涂区域1，有7种选择；再涂区域2，有6种选择.当区域3与区域1涂的颜色不同时，区域3有5种选择，剩下的区域4有5种选择.当区域3与区域1涂的颜色相同时，剩下的区域4有6种选择.故不同的涂色方案有()765561302⨯⨯⨯+=种.故选：C5．（2022春·北京东城·高二统考期末）算盘是中国古代的一项重要发明，迄今已有2600多年的历史.现有一算盘，取其两档（如图一），自右向左分别表示十进制数的个位和十位，中间一道横梁把算珠分为上下两部分，梁上一珠拨下，记作数字5，梁下四珠，上拨一珠记作数字1（如图二算盘表示整数51）.若拨动图1的两枚算珠，则可以表示不同整数的个数为（）A ．6B ．8C ．10D ．15【答案】B 【解析】拨动两枚算珠可分为以下三类（1）在个位上拨动两枚，可表示2个不同整数.（2）同理在十位上拨动两枚，可表示2个不同整数.（3）在个位、十位上分别拨动一枚，由分步乘法计数原理易得，可表示224⨯=个不同整数.所以，根据分类加法计数原理，一共可表示2248++=个不同整数.故选：B.6．（2023·广东梅州）用标有1克，5克，10克的砝码各一个，在一架无刻度的天平上称量重物，如果天平两端均可放置砝码，那么可以称出的不同克数（正整数的重物）有多少种?（）A ．10B ．11C ．12D ．13【答案】A【解析】①当天平的一端放1个砝码，另一端不放砝码时，可以成量重物的克数有1克，5克，10克；②当天平的一端放2个砝码，另一端不放砝码时，可以成量重物的克数有156+=克，11011+=克，51015+=克；③当天平的一端放3个砝码，另一端不放砝码时，可以成量重物的克数有151016++=克④当天平的一端放1个砝码，另一端也放1个砝码时，可以成量重物的克数有514-=克，1019-=克，1055-=克；⑤当天平的一端放1个砝码，另一端也放2个砝码时，可以成量重物的克数有105114+-=克，10156+-=克，()10514-+=克；去掉重复的克数后，可称重物的克数有10种，故选：A7.（2023福建）若m 、N n ∈，0m >，0n >，且8m n +≤，则平面上的点(),m n 共有（）．A ．21个B ．20个C ．28个D ．30个【答案】C【解析】根据题意，m 可取的值为1,2,3,4,5,6,7，当1m =时，由题意可知n 可取的值为1,2,3,4,5,6,7，共7种；当2m =时，由题意可知n 可取的值为1,2,3,4,5,6，共6种；当3m =时，由题意可知n 可取的值为1,2,3,4,5，共5种；当4m =时，由题意可知n 可取的值为1,2,3,4，共4种；当5m =时，由题意可知n 可取的值为1,2,3，共3种；当6m =时，由题意可知n 可取的值为1,2，共2种；当7m =时，由题意可知n 可取的值为1，共1种；则平面上的点(),m n 共有123456728++++++=个，故选：C8.（2023·福建厦门）元旦来临之际，某寝室四人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺卡，则四张贺卡不同的分配方式有（）A ．6种B ．9种C ．11种D ．23种【答案】B【解析】解法1：设四人A 、B 、C 、D 写的贺卡分别是a 、b 、c 、d ，当A 拿贺卡b ，则B 可拿a 、c 、d 中的任何一张，即B 拿a ，C 拿d ，D 拿c ，或B 拿c ，D 拿a ，C 拿d ，或B 拿d ，C 拿a ，D 拿c ，所以A 拿b 时有三种不同的分配方式；同理，A 拿c ，d 时也各有三种不同的分配方式，由分类加法计数原理，四张贺卡共有3339++=（种）分配方式；解法2：让四人A 、B 、C 、D 依次拿一张别人送出的贺卡，如果A 先拿，有3种，此时被A 拿走的那张贺卡的人也有3种不同的取法，接下来，剩下的两个人都各只有1种取法，由分步乘法计数原理，四张贺卡不同的分配方式有33119⨯⨯⨯=（种）．故选：B.二、多选题9．（2023春·江苏宿迁·高二统考期中）下列正确的是（）A ．由数字1，2，3，4能够组成24个没有重复数字的三位数B ．由数字1，2，3，4，能够组成16个没有重复数字的三位偶数C ．由数字1，2，3，4能够组成64个三位密码D ．由数字1，2，3，4能够组成28个比320大的三位数【答案】ACD【解析】由数字1，2，3，4能够组成没有重复数字的三位数有34A 24=个，故A 正确；若三个数是偶数，则个位可以是2，4，则共有没有重复数字有1223C A 12=个，故B 错误；数字1，2，3，4能够组成三位密码有44464⨯⨯=个，故C 正确；若三位数比320大，则百位是4时，有4416⨯=个，若百位是3，则十位可以是2，3，4时，个位可以是1，2，3，4，共有3412⨯=个，则比320大的三位数有121628+=个，故D 正确．故选：ACD ．10.（2023·广东佛山）现有3名老师，8名男生和5名女生共16人，有一项活动需派人参加，则下列命题中正确的是（）A ．只需1人参加，有16种不同选法B ．若需老师、男生、女生各1人参加，则有120种不同选法C ．若需1名老师和1名学生参加，则有39种不同选法D ．若需3名老师和1名学生参加，则有56种不同选法【答案】ABC【解析】选项A ，分三类：取老师有3种选法，取男生有8种选法，取女生有5种选法，故共有38516++=种选法，故A 正确；选项B ，分三步：第一步选老师，第二步选男生，第三步选女生，故共有385120⨯⨯=种选法，故B 正确；选项C ，分两步：第一步选老师，第二步选学生，第二步，又分为两类：第一类选男生，第二类选女生，故共有()38539⨯+=种选法，故C 正确；选项D ，若需3名老师和1名学生参加，则有13种不同选法，故D 错误.故选：ABC.11．（2022春·广东湛江·高二校考阶段练习）已知数字0,1,2,3,4，由它们组成四位数，下列说法正确的有（）A ．组成可以有重复数字的四位数有500个B ．组成无重复数字的四位数有96个C ．组成无重复数字的四位偶数有66个D ．组成无重复数字的四位奇数有28个【答案】AB【解析】对A ：四位数的首位不能为0，有4种情况，其他数位有5种情况，则组成可以有重复数字的四位数有4555500⨯⨯⨯=个，故选项A 正确；对B ：四位数的首位不能为0，有4种情况，在剩下的4个数字中任选3个，排在后面3个数位，有43224⨯⨯=种情况，则组成无重复数字的四位数有42496⨯=个，故选项B 正确；对C ：若0在个位，有43224⨯⨯=个四位偶数，若0不在个位，有332236⨯⨯⨯=个四位偶数，则组成无重复数字的四位偶数共有243660+=个四位偶数，故选项C 错误；对D ：组成无重复数字的四位奇数有332236⨯⨯⨯=个，故选项D 错误；故选：AB.12．（2023春·浙江嘉兴·高二校考阶段练习）如图，用n 种不同的颜色把图中,,,,A B C D E 四块区域涂上颜色，相邻区域不能涂同一种颜色，则（）A ．3n ≥B ．当4n =时，若,B D 同色，共有48种涂法C ．当4n =时，若,BD 不同色，共有48种涂法D ．当5n =时，总的涂色方法有420种【答案】ABD【解析】对于A ，由于区域A 与,B C 均相邻，所以至少需要三种及以上的颜色才能保证相邻区域不同色，故A 正确，对于B ，当4n =时，此时按照ABC 的顺序涂，每一个区域需要一个颜色，此时有43224⨯⨯=种涂法，涂D 时，由于,B D 同色（D 只有一种颜色可选），所以只需要从剩下的颜色或者与A 同色的两种颜色中选择一种涂E ，故共有24248⨯=种涂法，B 正确；对于C ，当4n =时，涂ABC 有43224⨯⨯=种，当,B D 不同色（D 只有一种颜色可选），此时ABCD 四块区域所用颜色各不相同，涂E 只能用与A 同色，此时共有24种涂法，C 错误；对于D ，当5n =时，此时按照ABC 的顺序涂，每一个区域需要一个颜色，此时有54360⨯⨯=种涂法，涂D 时，当,B D 同色（D 只有一种颜色可选），所以只需要从剩下的两种颜色中或者与A 同色的颜色中选择一种涂E ，故共有603180⨯=种涂法，当,B D 不同色，此时ABCD 四块区域所用颜色各不相同，共有5432120⨯⨯⨯=，只需要从剩下的颜色或者与A 同色的两种颜色中选择一种涂E 此时共有54322240⨯⨯⨯⨯=种涂法，综上可知，总的涂色方法有420种，故D 正确，故选：ABD三、填空题13．（2024·北京）如图，一个地区分为5个行政区域，现给该地区的5个区域涂色，要求相邻区域不得使用同一种颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的涂色方法共有种.。
2023年高考数学复习----两个计数原理的综合应用典型例题讲解
2023年高考数学复习----两个计数原理的综合应用典型例题讲解【典型例题】例1．（2022·全国·高三专题练习）重庆九宫格火锅，是重庆火锅独特的烹饪方式．九宫格下面是相通的，实现了“底同火不同，汤通油不通”它把火锅分为三个层次，不同的格子代表不同的温度和不同的牛油浓度，其锅具抽象成数学形状如图（同一类格子形状相同）：“中间格“火力旺盛，不宜久煮，适合放一些质地嫩脆、顷刻即熟的食物；“十字格”火力稍弱，但火力均匀，适合煮食，长时间加热以锁住食材原香；“四角格”属文火，火力温和，适合焖菜，让食物软糯入味．现有6种不同食物（足够量），其中1种适合放入中间格，3种适合放入十字格，2种适合放入四角格．现将九宫格全部放入食物，且每格只放一种，若同时可以吃到这六种食物（不考虑位置），则有多少种不同放法（）A．108 B．36 C．9 D．6【答案】C【解析】由题可知中间格只有一种放法；十字格有四个位置，3种适合放入，所以有一种放两个位置，共有3种放法；四角格有四个位置，2种适合放入，可分为一种放三个位置，另一种放一个位置，有两种放法，或每种都放两个位置，有一种放法，故四角格共有3种放法；所以不同放法共有133=9⨯⨯种．故选：C．例2．（2022春·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨七十三中校考阶段练习）某市抽调5位医生分赴4所医院支援抗疫，要求每位医生只能去一所医院，每所医院至少安排一位医生．由于工作需要，甲､乙两位医生必须安排在不同的医院，则不同的安排种数是（）A．90 B．216 C．144 D．240【答案】B【解析】完成这件事情，可以分两步完成，第一步，先将5为医生分为四组且甲、乙两位医生不在同一组，共有2519C−=种方案；第二步，再将这四组医生分配到四所医院，共有4424A=种不同方案，所以根据分步乘法计数原理得共有249216⨯=种不同安排方案．故选：B．例3．（2022春·山东聊城·高三山东聊城一中校考期末）某大型联欢会准备从含甲、乙的6个节目中选取4个进行演出，要求甲、乙2个节目中至少有一个参加，且若甲、乙同时参加，则他们演出顺序不能相邻，那么不同的演出顺序的种数为（）A．720 B．520 C．600 D．264【答案】D【解析】若甲、乙两节目只有一个参加，则演出顺序的种数为：134244192C C A=，若甲、乙两节目都参加，则演出顺序的种数为：22242372C A A=；因此不同的演出顺序的种数为19272264+=．故选：D．。
高二数学计数原理试题答案及解析
高二数学计数原理试题答案及解析1. 5名男性驴友到某旅游风景区游玩，晚上入住一家宾馆,宾馆有3间客房可选，一间客房为3人间，其余为2人间，则5人入住两间客房的不同方法有种(用数字作答).【答案】20【解析】依题可知这5人只能入住一间3人间及一间2人间，第一步先确定在2个2人间中选择哪一间有种；第二步确定哪三个人入住3人间有，剩下的2人住2人间，故这5人入住两间空房的不同方法有种.【考点】1.分步计数原理；2.组合问题.2.二项式 (n N)的展开式中，前三项的系数依次成等差数列，则此展开式有理项的项数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】解：，r="0,1,…,8." 设，得满足条件的整数对(r,k) 只有(0,4),(4,1),(8,-2).故选C。
【考点】本题主要考查二项式展开式、等差数列知识。
点评：将二项式定理与数列综合考查，是常见题型。
3.从0，l，3，5，7，9中任取两个数做除法，可得到不同的商共有（）A．20个B．19个C．25个D．30个【答案】B【解析】0作被除数，1，3，5，7，9做除数，商有 1个；1作被除数，3，5，7，9做除数，商有4个；3作被除数，1，5，7，9做除数，商有4个；5作被除数，1，3， 7，9做除数，商有4个；7作被除数，1，3，5， 9做除数，商有4个；9作被除数，1，3，5，7做除数，商有4个；其中，所以去掉2个重复的商，结果共有1+4×5-2=19个，故选B。
【考点】主要考查分类、分步计数原理的应用。
点评：这是一道易错题。
要审清题意“任取两个数做除法”，这两个数应该是不同的，“不同的商”应该把重复的商去掉。
4.某天上午要排语文、数学、体育、计算机四节课，其中体育不排在第一节，那么这天上午课程表的不同排法共有（）A．6种B．9种C．18种D．24种【答案】C【解析】间接法。
4节课的全排列＝4×3×2×1＝24减去体育课排第一节的情况：其他3节课的全排列 3×2×1＝6所以 24－6＝18 ，故选C。
江苏省2020年高二数学第22讲 两个基本计数原理(1)分层作业答案
3月9日高二数学分层作业答案1. 【答案】A【解析】任取一本书需分类完成，由分类计数原理知选A.2. 【解析】每名学生都有3种不同的报名方法，由分步计数原理知选A.【答案】 A3. 【解析】 x值有3种取法，y值有3种取法，又乘积各不相同，∴共有3×3=9种.【答案】 C4. 【解析】每名乘客均有5种下车方式，10名乘客共有510种下车方式.【答案】 A5.【解析】选一名学生用分类计数原理共有6+4=10种方法.【答案】106. 【解析】展开后的每一项有三个因数，各因数分别有3种、2种、2种取法，由分步计数原理共有3×2×2=12种方法.7.【解析】每封信均有3种不同的投入方法.由分步计数原理共有34＝81种投法.【答案】 818.解:分两类,第一类,甲企业有1人发言,有2种情况,另两个发言人来自其余4家企业,有6种情况,由分步乘法计数原理知有2×6=12种情况;第二类,3人全来自其余4家企业,有4种情况.根据分类加法计数原理,共有12+4=16种情况.9.解:分两类完成.第一类,当A或B中有一个为0时,表示的直线为x=0或y=0,共2条.第二类,当A,B不为0时,直线Ax+By=0被确定需分两步完成.第一步,确定A的值,有4种不同的方法;第二步,确定B的值,有3种不同的方法.由分步乘法计数原理知,共可确定4×3=12条直线.由分类加法计数原理知,方程所表示的不同直线共有2+12=14条.10.解析:由题图可知,从A到B有4种不同的传递路线,各路线上单位时间内通过的最大信息量自上而下分别为3,4,6,6,由分类加法计数原理得,单位时间内传递的最大信息量为3+4+6+6=19.答案:1911.解:从总体上看有三类方法:分别经过AB,AD,AA1.从局部上看每一类又需分两步完成,故第一类:经过AB,有m1=1×2=2条;第二类:经过AD,有m2=1×2=2条;第三类:经过AA1,有m3=1×2=2条.根据分类加法计数原理,从顶点A到顶点C1经过3条棱的路线共有N=2+2+2=6条.。
2023-2024学年高二数学单元速记——计数原理(单元重点综合测试)+答案解析
第七章计数原理（单元重点综合测试）一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.若2A3m＝A5m，则m的值为()A.5B.3C.6D.7【答案】A【解析】依题意得m！（m－5）！＝2·m！（m－3）！，化简得m2－7m＋10＝0，解得m＝2或m＝5，又m≥5，∴m＝5，故选A.2．若C3n＋C4n＝C3n＋1，则n的值是()A．5B．7C．6D．8【答案】C【解析】∵C3n＋1＝C3n＋C4n＝C4n＋1，∴n＋1＝3＋4，解得n＝6.3．现有6名志愿者去5个社区去参加志愿活动，每名志愿者可自由选择其中的1个社区，不同选法的种数是()A．56B．65C．30D．11【答案】A【解析】第一名志愿者有5种选择方法，第二名志愿者有5种选择方法，……，第六名志愿者有5种选择方法，综上，6名志愿者共有56种不同的选法．4.若实数a＝2－2，则a10－2C110a9＋22C210a8－…＋210等于()A.32B.－32C.1024D.512【答案】A【解析】由二项式定理，得a10－2C110a9＋22C210a8－…＋210＝C010(－2)0a10＋C110(－2)1·a9＋C210(－2)2a8＋…＋C1010(－2)10＝(a－2)10＝(－2)10＝25＝32.5.(1＋x)3(1－2x)的展开式中含x3的项的系数为()A.－5B.－4C.6D.7【答案】A【解析】因为(1＋x)3(1－2x)＝(1＋x)3－2x(1＋x)3，所以含x3项的系数为C33－2C23＝1－2×3＝－5.6.某班级从A，B，C，D，E，F六名学生中选四人参加4×100m接力比赛，其中第一棒只能在A，B中选一人，第四棒只能在A，C中选一人，则不同的选派方法共有()A.24种B.36种C.48种D.72种【答案】B【解析】若第一棒选A，则有A24种选派方法，若第一棒选B，则有2A24种选派方法.由分类计数原理知，共有A24＋2A24＝3A24＝36(种)选派方法.7.已知等差数列{a n}的通项公式为a n＝3n－5，则(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的展开式中含x4项的系数是该数列的()A.第9项B.第10项C.第19项D.第20项【答案】D【解析】∵(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的展开式中含x4项的系数是C45＋C46＋C47＝5＋15＋35＝55，∴由3n－5＝55得n＝20.故选D.3．现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的1个讲座，不同选法的种数是()A．56B．65C．30D．11【答案】A【解析】第一名同学有5种选择方法，第二名同学有5种选择方法，……，第六名同学有5种选择方法，综上，6名同学共有56种不同的选法．二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9.若C m－18>3C m8，则m的取值可能是()A.6B.7C.8D.9【答案】BC【解析】对于C m －18和3C m8，有0≤m －1≤8且0≤m ≤8，则1≤m ≤8.又C m －18>3C m 8，∴8！（m －1）！（9－m ）！>3·8！m ！（8－m ）！，化简得m >27－3m ，解得m >274.综上可得274<m ≤8，又m ∈N ，故m ＝7或m ＝8.故选BC.10.甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念.要求老师必须站在正中间，且甲同学不与老师相邻，则不同的站法种数为()A.A 55－A 44 B.A 44－C 12A 33C.C 11C 12A 33D.12A 44【答案】BCD【解析】间接法：四名同学全排再去掉甲与老师相邻的情况为A 44－C 12A 33.直接法：特殊元素优先安排，先让老师站在正中间，甲同学从两端中任选一个位置，有N 1＝C 11·C 12＝2种站法，其余三名学生任意排列有N 2＝A 33＝6种排法，则不同站法共有N ＝N 1×N 2＝2×6＝12(种).或者，四名同学全排时，适合题意与不适合题意各占12，故有12A 44，故选BCD.11．(1＋ax ＋by )n 的展开式中不含x 的项的系数的绝对值的和为243，不含y 的项的系数的绝对值的和为32，则a ，b ，n 的值可能为()A ．a ＝1，b ＝2，n ＝5B ．a ＝－2，b ＝－1，n ＝6C ．a ＝－1，b ＝2，n ＝6D ．a ＝－1，b ＝－2，n ＝5【答案】AD【解析】只要令x ＝0，y ＝1，即得到(1＋ax ＋by )n 的展开式中不含x 的项的系数的和为(1＋b )n ，令x ＝1，y ＝0，即得到(1＋ax ＋by )n 的展开式中不含y 的项的系数的和为(1＋a )n .如果a ，b 是正值，这些系数的和也就是系数绝对值的和，如果a ，b 中有负值，相应地，分别令y ＝－1，x ＝0；x ＝－1，y ＝0.此时的和式分别为(1－b )n ，(1－a )n ，由此可知符合要求的各项系数的绝对值的和为(1＋|b |)n ，(1＋|a |)n .根据题意得，(1＋|b |)n ＝243＝35，(1＋|a |)n ＝32＝25，因此n ＝5，|a |＝1，|b |＝2.故选AD.三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)12.计划在学校公园小路的一侧种植丹桂、金桂、银桂、四季桂4棵桂花树，垂乳银杏、金带银杏2棵银杏树，要求2棵银杏树必须相邻，则不同的种植方法共有__________种.【答案】240【解析】分两步完成：第一步，将2棵银杏树看成一个元素，考虑其顺序，有A 22种种植方法；第二步，将银杏树与4棵桂花树全排列，有A 55种种植方法.由分步计数原理得，不同的种植方法共有A 22A 55＝240(种).13.2x 的展开式的各项系数和为1，二项式系数和为128，则展开式中x 2的系数为________.【答案】－448【解析】2＋a ）n ＝1，n ＝128，＝7，＝－1.2x 的展开式的通项为T r ＋1＝C r 7(2x )7－＝C r 727－r(－1)r x 7－3r 2，令7－3r 2＝2，解得r ＝1.所以x 2的系数为C 1726(－1)1＝－448.14．甲、乙、丙、丁、戊五名同学参加某种技术竞赛，得出了第一名到第五名的五个名次，甲、乙去询问成绩，组织者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军．”对乙说：“你当然不会是最差的．”从组织者的回答分析，这五个人的名次排列的不同情况共有________种．【答案】54【解析】根据题意知，甲、乙都没有得到冠军，且乙不是最后一名，分2种情况讨论：①甲是最后一名，则乙可以是第二名、第三名或第四名，即乙有3种名次排列情况，剩下的三人有A 33＝6(种)名次排列情况，此时有3×6＝18(种)名次排列情况；②甲不是最后一名，则甲、乙需要排在第二、三、四名，有A 23＝6(种)名次排列情况，剩下的三人有A 33＝6(种)名次排列情况，此时有6×6＝36(种)名次排列情况．综上可知，一共有36＋18＝54(种)不同的名次排列情况．四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(本小题满分13分)一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球．(1)从中任取4个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？(2)若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种？【解析】(1)将取出的4个球分成三类：①取4个红球，没有白球，有C 44种取法；②取3个红球，1个白球，有C34C16种取法；③取2个红球，2个白球，有C24C26种取法，故共有C44＋C34C16＋C24C26＝115(种)取法．(2)设取x个红球，y＋y＝5，x＋y≥7，≤x≤4，≤y≤5，＝2，＝3＝3，＝2＝4，＝1.因此，符合题意的取法有C24C36＋C34C26＋C44C16＝186(种)．16.(本小题满分15分)在①只有第6项的二项式系数最大，②第4项与第8项的二项式系数相等，③所有二项式系数的和为210，这三个条件中任选一个，补充在下面(横线处)问题中，并解决下面两个问题.已知(2x－1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a n x n(n∈N*)，若(2x－1)n的展开式中，________.(1)求n的值及展开式中所有项的系数和；(2)求展开式中含x3的项.【解析】(1)若选①，则n2＝5，∴n＝10；若选②，则C3n＝C7n，∴n＝37＝10；若选③，则2n＝210，∴n＝10.令x＝1得，(2×1－1)10＝1，故展开式中所有项的系数和为1.(2)由(1)知，n＝10，∴(2x－1)10的展开式的通项为T r＋1＝C r10·(2x)10－r·(－1)r＝(－1)r·210－r·C r10x10－r.令10－r＝3，得r＝7，∴展开式中含x3的项为T8＝(－1)7×23·C710x3＝－960x3.17.(本小题满分15分)某兴趣小组有男生12名，女生8名，现选派5名参加知识竞赛．(1)某男生甲与某女生乙必须参加，共有多少种不同选法？(2)甲、乙均不能参加，有多少种选法？(3)甲、乙2人至少有1人参加，有多少种选法？(4)兴趣小组中至少有1名男生和1名女生，有多少种选法？【解析】(1)只需从其他18人中选3人即可，共有C 318＝816(种)选法．(2)只需从其他18人中选5人即可，共有C 518＝8568(种)选法．(3)分两类：甲、乙中有1人参加；甲、乙都参加．则共有C 12C 418＋C 318＝6936(种)选法．(4)方法一(直接法)至少有1名男生和1名女生的选法可分4类：1内4外；2内3外；3内2外；4内1外．所以共有C 112C 48＋C 212C 38＋C 312C 28＋C 412C 18＝14656(种)选法．方法二(间接法)从无限制条件的选法总数中减去5名都是男生和5名都是女生的选法种数所得的结果即为所求，即共有C 520－(C 512＋C 58)＝14656(种)选法．18.(本小题满分17分)组合数公式的推广：定义C m x ＝x （x －1）…（x －m ＋1）m ！，其中x ∈R ，m ∈N *，且规定C 0x ＝1.(1)求C 3－15的值；(2)设x >0，当x 为何值时，函数f (x )＝C 3x （C 1x ）2取得最小值？【解析】(1)由题意得C 3－15＝（－15）×（－16）×（－17）3！＝－680.(2)由题意得f (x )＝C 3x（C 1x ）2＝x （x －1）（x －2）6x 2＝＋2x －又x >0，由基本不等式得x ＋2x ≥22，当且仅当x ＝2时，等号成立，所以当x ＝2时，C 3x （C 1x ）2取得最小值.19.(本小题满分17分)已知m ，n 是正整数，f (x )＝(1＋x )m ＋(1＋x )n 的展开式中x 的系数为7.(1)对于使f (x )的x 2的系数为最小的m ，n ，求出此时x 3的系数；(2)利用上述结果，求f (0.003)的近似值；(精确到0.01)(3)已知(1＋2x )8展开式的二项式系数的最大值为a ，系数的最大值为b ，求ba .【解析】(1)根据题意得C 1m ＋C 1n ＝7，即m ＋n ＝7，①f(x)中的x2的系数为C2m＋C2n＝m(m－1)2＋n(n－1) 2＝m2＋n2－m－n2.将①变形为n＝7－m，代入上式得x2的系数为m2－7m＋21＋354，故当m＝3或m＝4时，x2的系数的最小值为9.当m＝3，n＝4时，x3的系数为C33＋C34＝5；当m＝4，n＝3时，x3的系数为C34＋C33＝5. (2)f(0.003)＝(1＋0.003)4＋(1＋0.003)3≈C04＋C14×0.003＋C03＋C13×0.003≈2.02. (3)由题意可得a＝C48＝70，再根据r8·2r≥C r＋18·2r＋1，r8·2r≥C r－18·2r－1，≥5，≤6，又r∈N*，∴r＝5或6，此时，b＝7×28，∴ba＝1285.。
两个计数原理练习(含答案)
两个计数原理练习一、填空题1.三人踢毽子,互相传递,每人每次只能踢一下,由甲开始踢,经过4次传递后,毽子又被踢回甲,则不同的传递方式共有 6种2. ()()214321b b a a a a +⋅+++()321c c c ++⋅展开后共有不同的项数为 243.某班新年联欢原定的5个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目,如果将这2个节目插入原节目单中,那么不同的插法的种类为_______.424.已知A 、B 是两个非空集合,定义{}B b A a b a x x B A ∈∈+==⊕,,|为集合A 、B 的“和集”,若{},2,1,0=A {}4,3,2,1=B ,则B A ⊕中元素的个数是 6 5.人们习惯把最后一位是6的多位数叫做“吉祥数”,则无重复数字的4位吉祥数(首位不能是零)共有________个. 4486.已知三角形的三边长均为整数,其中一边长是5,但它不是最短边.这样的三角形的个数是_________.14个7.某商店失窃,警察审讯4名犯罪嫌疑人.他们当然不会承认是自己偷的,都说是其余3人中的某一个人偷的,他们的供述结果互不相同,共有________种不同的供述结果。
98.从0,1,2,3,4,5,6中任意取出三个不同的数字作为二次函数c bx ax y ++=2的系数,可有________个不同的二次函数的表达式。
1809.如图所示:小圆圈表示网络的结点,结点之间的连线表示它们有网络联系,连线上标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量,现从结点A 向结点B 传递信息,信息可以分开沿不同路线同时传递,单位时间内传递的最大信息量是_________.19二、解答题10.有一项活动,需在3名老师,8名男同学和5名女同学中选人参加.(1)若只需一人参加,有多少种不同的选法?(2)若需老师、男同学、女同学各一人参加,有多少种不同的选法? (3)若需一名老师,一名同学参加,有多少种不同的选法?解:(1)需一人参加,有三类:第一类选老师,有3种不同的选法;第二类选男生,有8种不同的选法;第三类选女生,有5种不同的选法.共有3+8+5=16种不同的选法.(2)需老师、男同学、女同学各一人,则分3步, 第一步选老师,有3种不同的选法;第二步选男生,有8种不同的选法;第三步选女生,有5种不同的选法.共有3×8×5=120种不同的选法. (3)第一步选老师有3种不同的选法,第二步选学生有8+5=13种不同的选法,共有3×13=39种不同的选法.11.学校举行运动会,有四位同学参加三项不同的比赛 (1)每位同学必须参加一项比赛,有多少种不同的结果?图1-1-1图1-1-2(2)每项比赛只许一位学生参加,有多少种不同的结果? 解:(1)因每位同学都有3种不同的选法,由乘法原理共有43种不同的选法;(2)因每项比赛都有3种不同的参加方法,由乘法原理共有34种不同的选法.12.用n 种不同颜色粉笔写黑板报,版块设计如 图所示,要求相邻区域不能用同一种颜色的粉笔 (1)当n=6时,板报甲有多少种书写方案?(2)若板报乙有180种书写方案,求n.解:(1)先选彩笔写英语角,有6种不同的选法;再选彩笔写语文学苑,不能与英语角用的彩笔相同,有5种不同的选法;第三步选理综视界用的彩笔,与英语角和语文学苑用的颜色都不能相同,有4种不同的选法;第四步选数学天地用的彩笔,只需与理综视界的颜色不同即可,有5种不同的选法,共有6×5×4×5=600种不同的方案.(2)前三步与(1)的方法类似,分别有n,(n-1),(n-2)种不同的选法,最后一步选数学天地用的彩笔,不仅与理综视界的颜色不同,也不能与英语角的颜色相同,有(n-2)种不同的选法,共有n(n-1)(n-2)(n-2)种不同的方案. 所以n(n-1)(n-2)(n-2)=180试验*∈N n ,当n=5时等式成立.英语角 语文学苑理综视界数学天地理综视界 英语角 语文学苑 数学天地板报甲板报乙。
高考数学专题《两个计数原理》习题含答案解析
专题11.1 两个计数原理1．（2021·全国·高二单元测试）青铜神树是四川省广汉市三星堆遗址出土的文物，共有八棵，其中一号神树有三层枝叶，每层有三根树枝，树枝上分别有两条果枝，一条上翘、一条下垂，每层上翘的果枝上都站立着一只鸟，鸟共九只（即太阳神鸟）.现从中任选三只神鸟，则三只神鸟来自不同层枝叶的选法种数为（ ）A ．6B ．18C ．27D ．36【答案】C【分析】按照分步乘法计数原理从每层枝叶各选一只神鸟即可得到答案.【详解】每只神鸟有3种选法，三只神鸟来自不同层枝叶的选法种数有33327⨯⨯=（种）.故选：C.2．（2021·全国·高二课时练习）中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，三位同学按甲、乙、丙的顺序依次选一个作为礼物，如果让三位同学选取的礼物都满意，那么不同的选法有（）A ．360种B ．50种C ．60种D ．90种【答案】B【分析】首先根据题意分成第一类甲同学选择牛和第二类甲同学选择马，分别计算各类的选法，再相练基础加即可.【详解】第一类：甲同学选择牛，乙有2种选法，丙有10种选法，选法有1×2×10＝20(种)，第二类：甲同学选择马，乙有3种选法，丙有10种选法，选法有1×3×10＝30(种)，所以共有20＋30＝50(种)选法．故选：B.3．（2021·全国·高二课时练习）如图所示，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求相邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有________种．(用数字作答)【答案】750【分析】由分步计数原理即得.【详解】首先给最左边的一个格子涂色，有6种选择，左边第二个格子有5种选择，第三个格子有5种选择，第四个格子也有5种选择，根据分步乘法计数原理得，共有6×5×5×5＝750(种)涂色方法．故答案为：7504．（2021·全国·高二课时练习）如图所示，由连接正八边形的三个顶点而组成的三角形中与正八边形有公共边的三角形有________个.【答案】40【分析】根据分类加法计数原理即可求解.【详解】满足条件的有两类：第一类：与正八边形有两条公共边的三角形有m1＝8个；第二类：与正八边形有一条公共边的三角形有m2＝8×4＝32个，所以满足条件的三角形共有8＋32＝40个.故答案为：405．（2021·全国·高二课时练习）1.计算：（1）将2封信投入4个邮箱，每个邮箱最多投一封，共有多少种不同的投法？（2）将2封信随意投入4个邮箱，共有多少种不同的投法？【答案】（1）12；（2）16【分析】（1）（2）用分步乘法原理求解.【详解】（1）将2封信投入4个邮箱，每个邮箱最多投一封，第一封信有4种选择，第二封有3种⨯=（种）；选择，答案为4312⨯=（种）.（2）将2封信随意投入4个邮箱，则每封信都有4种选择，所以共有44166．（2021·全国·高二课时练习）如图，把硬币有币值的一面称为正面，有花的一面称为反面．拋一次硬币，得到正面记为1，得到反面记为0．现抛一枚硬币5次，按照每次的结果，可得到由5个数组成的数组（例如若第一、二、四次得到的是正面，第三、五次得到的是反面，1,1,0,1,0，则可得不同的数组共有多少个？则结果可记为()【答案】32【分析】利用分步乘法计数原理求得正确答案.【详解】依题意可知不同的数组共有5⨯⨯⨯⨯==个.222222327．（2021·全国·高二课时练习）有不同的红球8个，不同的白球7个.（1）从中取出一个球，共有多少种不同的取法？（2）从中取出两个颜色不同的球，共有多少种不同的取法？【答案】（1）15（2）56【分析】（1）分别计算出取出一个红球、取出一个白球的方法种数，利用分类加法计数原理可得结果；（2）利用分步乘法计数原理可求得结果.（1）解：从中取出一个红球，有8种取法，从中取出一个白球，有7种取法，+=种不同的取法.由分类加法计数原理可知，从中取出一个球，共有7815（2）解：从中取出一个红球，有8种取法，从中取出一个白球，有7种取法，由分布乘法计数原理可知，从中取出两个颜色不同的球，共有7856⨯=种不同的取法. 8．（2021·全国·高二课时练习）有一项活动，需从3位教师、8名男同学和5名女同学中选人参加．（1）若只需1人参加，则有多少种不同的选法？（2）若需教师、男同学、女同学各1人参加，则有多少种不同的选法？【答案】（1）16(种)；（2）120(种).【分析】（1）利用分类加法原理求解（1）利用分步乘法原理求解【详解】（1）选1人，可分三类：第1类，从教师中选1人，有3种不同的选法；第2类，从男同学中选1人，有8种不同的选法；第3类，从女同学中选1人，有5种不同的选法．共有3＋8＋5＝16(种)不同的选法．（2）选教师、男同学、女同学各1人，分三步进行：第1步，选教师，有3种不同的选法；第2步，选男同学，有8种不同的选法；第3步，选女同学，有5种不同的选法．共有3×8×5＝120(种)不同的选法．9．（2021·全国·高二课时练习）若直线方程Ax＋By＝0中的A，B可以从0，1，2，3，5这五个数字中任取两个不同的数字，则方程所表示的不同直线共有多少条？【答案】14条【分析】分类讨论A或B中有一个为0时和都不取0时的情况，根据计数原理即可求解．【详解】分两类完成：第一类：当A 或B 中有一个为0时，表示直线为x ＝0或y ＝0，共有2条；第二类：当A ，B 都不取0时，直线Ax ＋By ＝0被确定需分两步完成：第一步，确定A 的值，从1，2，3，5中选一个，共有4种不同的方法；第二步，确定B 的值，共有3种不同的方法．由分步乘法计数原理，共确定4×3＝12(条)直线．由分类加法计数原理，方程所表示的不同直线有2＋12＝14(条)．10.（2021·全国·高二课时练习）从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，求有多少种不同的种植方法．【答案】18种【分析】方法一：(直接法)分别考虑黄瓜种在第一块、第二块、第三块土地上的不同的种植方法，再运用加法原理可求得所有的不同种植方法．方法二：(间接法)先求得从4种蔬菜中选出3种，种在三块地上的不同的种植方法，再减去不种黄瓜的不同的种植方法，由此可求得答案．【详解】解：方法一：(直接法)若黄瓜种在第一块土地上，则有3×2＝6(种)不同的种植方法．同理，黄瓜种在第二块、第三块土地上，均有3×2＝6(种)不同的种植方法．故不同的种植方法共有6×3＝18(种)．方法二：(间接法)从4种蔬菜中选出3种，种在三块地上，有4×3×2＝24(种)，其中不种黄瓜有3×2×1＝6(种)，故共有不同的种植方法24－6＝18(种)．1．（2020·江苏扬州中学高一月考）已知集合，若A ，B 是P 的两个非空子集，则所有满足A 中的最大数小于B 中的最小数的集合对(A ,B )的个数为（ ）A ．49B ．48C ．47D ．46【答案】A【解析】集合知：1、若A 中的最大数为1时，B 中只要不含1即可：的集合为，而有 种集合，集合对(A ,B )的个数为15；2、若A 中的最大数为2时，B 中只要不含1、2即可：{}1,2,3,4,5P ={}1,2,3,4,5P =A {1}B 42115-=练提升的集合为，而B 有种，集合对(A ,B )的个数为；3、若A 中的最大数为3时，B 中只要不含1、2、3即可：的集合为，而B 有种，集合对(A ,B )的个数为；4、若A 中的最大数为4时，B 中只要不含1、2、3、4即可：的集合为，而B 有种，集合对(A ,B )的个数为；∴一共有个，故选：A2．（2021·全国·高二课时练习）一个同心圆形花坛，分为两部分，中间小圆部分种植草坪和绿色灌木，周围的圆环分为n (n ≥3，n ∈N *)等份，种植红、黄、蓝三种颜色不同的花，要求相邻两部分种植不同颜色的花．（1）如图①，圆环分成3等份，分别为a 1，a 2，a 3，则有多少种不同的种植方法？（2）如图②，圆环分成4等份，分别为a 1，a 2，a 3，a 4，则有多少种不同的种植方法？【答案】（1）6种；（2）18种.【分析】（1）利用分步计数原理求解即可.（2）首先根据题意分成两类：第一类a 1，a 3不同色和第二类a 1，a 3同色，分别计算各类的得数再相加即可.【详解】（1）先种植a 1部分，有3种不同的种植方法，再种植a 2，a 3部分．因为a 2，a 3与a 1的颜色不同，a 2，a 3的颜色也不同，所以由分步乘法计数原理，不同的种植方法有3×2×1＝6(种)．（2）当a 1，a 3不同色时，有3×2×1×1＝6(种)种植方法，A {2},{1,2}3217-=2714⨯=A {3},{1,3},{2,3},{1,2,3}2213-=4312⨯=A {4},{1,4},{2,4},{3,4},{1,2,4},{1,3,4},{2,3,4},{1,2,3,4}1211-=818⨯=151412849+++=当a 1，a 3同色时，有3×2×1×2＝12(种)种植方法，由分类加法计数原理得，共有6＋12＝18(种)种植方法．3．（2021·全国·高二单元测试）已知集合{}3,2,1,0,1,2M =---，()(),,P a b a b M ∈表示平面上的点，问：（1）P 可表示平面上多少个第二象限的点？（2）P 可表示多少个不在直线y x =上的点？【答案】（1）6（个）；（2）30（个）．【分析】(1)由分步乘法原理求第二象限的点的个数，(2)依次确定横坐标和纵坐标的可能取法，由分步乘法原理求不在直线y x =上的点的个数.【详解】（1）因为P 表示平面上第二象限的点，故可分两步：第一步，确定a ，a 必须小于0，则有3种不同的情况；第二步，确定b ，b 必须大于0，则有2种不同的情况；根据分步乘法计数原理，第二象限的点共有326⨯=（个）．（2）因为P 表示不在直线y x =上的点，故可分两步：第一步，确定a ，有6种不同的情况；第二步，确定b ，有5种不同的情况．根据分步乘法计数原理，不在直线y x =上的点共有6530⨯=（个）．4．（2021·全国·高二单元测试）某同学计划用不超过30元的现金购买笔与笔记本．已知笔的单价为4元，笔记本的单价为5元，且笔至少要买2支，笔记本至少要买2本，问不同的购买方案有多少种？【答案】7【分析】根据分类加法计数原理求解即可．【详解】设购买笔x 支，笔记本y 本，则453022x y x y +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，得305242y x y -⎧≤≤⎪⎨⎪≥⎩，将y 的取值分为三类：①当2y =时，25x ≤≤，因为x 为整数，所以x 可取2，3，4，5，共4种方案．②当3y =时，1524x ≤≤，因为x 为整数，所以x 可取2，3，共2种方案；③当4y =时，522x ≤≤，因为x 为整数，所以x 只能取2，只有1种方案．由分类加法计数原理得不同的购买方案有4217++=（种）．5．（2021·全国·高二课时练习）如图所示，有些共享单车的密码锁是由4个数字组成的，你认为共享单车的密码锁能设置成由3个数字组成吗？5个数字呢？为什么？【答案】3个数字的不合适，5个数字的合适；【分析】根据分步乘法计数原理求出所有的密码组合数，再根据概率分析可行性；【详解】解：如设成3个数字，则一共有1010101000⨯⨯=种组合，组合数不是很大，随便尝试一次开锁，打开锁的概率11000P =，打开锁的概率比较大，不合适；如设成5个数字，则一共有1010101010100000⨯⨯⨯⨯=种组合，组合数比较大，随便尝试一次开锁，打开锁的概率1100000P =，打开锁的概率比较小，合适；6．（2021·全国·高二课时练习）过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有多少对？【答案】36【分析】如图，分四类进行计数，求出对应的数目，加起来即可.【详解】如图，在三棱柱111ABC A B C -中，分四类进行计数：与上底面111111A B A C B C ，，异面的直线有35=15⨯对；与下底面的AB AC BC ，，异面的直线有9对(除去与上底面的)；与侧棱111AA BB CC ，，异面的直线有6对(除去与下底面的)；侧面对角线之间成异面直线的有6对.由分类加法计数原理，知共有异面直线共有15966=36+++对.7．（2021·全国·高二课时练习）计算（1）用1，2，3，4，5，6可以排成多少个数字不重复的两位数？（2）用1，2，3，4，5，6可以排成多少个数字可以重复的两位数？【答案】（1）30（2）36【分析】（1）用数字1，2，3，4，5，6可组成没有重复数字的两位数，用两步完成，第一步十位数字有6种选择，然后第二步个位数字在剩下的5个数字中选择有5种方法，运用乘法原理，即可得解，（2）按照分步乘法计数原理计算可得；（1）解：第一步十位数字有6种选择，然后第二步个位数字在剩下的5个数字中选择有5种方法，运用乘法原理得6530⨯=．所以可以排成30个不重复的两位数；（2）解：第一步十位数字有6种选择，然后第二步个位数字有6种选择，运用乘法原理得6636⨯=．所以可以排成36个可以重复的两位数；8．（2021·全国·高二课时练习）已知n 是一个小于10的正整数，且由集合{},A x x x n =∈≤N 中的元素可以排成数字不重复的两位数共25个，求n 的值．【答案】5【分析】用列举法表示集合A ，再按照分步乘法计数原理得到方程，解得即可；【详解】解：因为n 是一个小于10的正整数，且{},A x x x n =∈≤N ，所以{}0,1,2,,A n = ，所以从集合A 中的元素选出两个数组成两位数，则十位有n 种选法，个位有11n +-种选法，按照分步乘法计数原理可得一共有()11n n +-个，所以()1125n n +-=，解得5n =或5n =-（舍去）9．（2021·全国·高二课时练习）（1）4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有多少种报名方法？（2）4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每项限报一人，且每人至多报一项，共有多少种报名方法？（3）4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军，共有多少种可能的结果？【答案】（1）81(种)；（2）24(种)；（3）64(种).【分析】由分步乘法计数原理即得.【详解】（1）要完成的是“4名同学每人从三个项目中选一项报名”这件事，因为每人必报一项，4人都报完才算完成，所以按人分步，且分为四步，又每人可在三项中选一项，选法为3种，所以共有3×3×3×3＝81(种)报名方法．（2）每项限报一人，且每人至多报一项，因此跑步项目有4种选法，跳高项目有3种选法，跳远项目只有2种选法．根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法有4×3×2＝24(种)．（3）要完成的是“三个项目冠军的获取”这件事，因为每项冠军只能有一人获得，三项冠军都有得主，这件事才算完成，所以应以“确定三项冠军得主”为线索进行分步，而每项冠军的得主有4种可能结果，所以共有4×4×4＝64(种)可能的结果.10．（2021·全国·高二课时练习）“回文数”是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数．如22，121，343，94249等．显然，2位数的回文数有9个，即11，22，33，…，99；3位数的回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999．求：（1）4位数的回文数个数；（2）21n +位数的回文数个数．【答案】（1）90（2）910n⨯【分析】（1）对于4位数的回文数，只需排好前2位即可确定回文数，首先列举出第一项为1的四位回文数的个数，即可知所有4位数的回文数个数；（2）根据题设，对于奇数个数的回文数，先排好中间的数字，再在两侧对其中一侧排数即可得所有回文数的个数.（1）由题设，四位数回文：1001,1111,1221,1331,1441,1551,1661,1771,1881,1991,...∴共有90个.（2）n+位数，则中间的数字有10种选法，而两侧的数字只需排好一侧，则另一侧确定，21n-都有10种选法，不妨排前n位数字，显然第一位数字有9种选法，其余1∴共有910n⨯个回文数.练真题1.（山东省2018年普通高校招生（春季））景区中有一座山，山的南面有2条道路，山的北面有3条道路，均可用于游客上山或下山，假设没有其他道路，某游客计划从山的一面走到山顶后，接着从另一面下山，则不同走法的种数是（）A． 6 B． 10 C． 12 D． 20【答案】C【解析】先确定从那一面上，有两种选择，再选择上山与下山道路，可得不同走法的种数是2×2×3 =12.因此选C.2.（2013·山东高考真题（理））用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( )A．243B．252C．261D．279【答案】B【解析】由分步乘法原理知:用0，1，…，9十个数字组成的三位数(含有重复数字的)共有9×10×10=900，组成无重复数字的三位数共有9×9×8=648，因此组成有重复数字的三位数共有900－648=252．3．（2012·北京高考真题（理））从0，2中选一个数字．从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数．其中奇数的个数为( )A．24 B．18 C．12 D．6【答案】B【解析】由于题目要求的是奇数，那么对于此三位数可以分成两种情况：奇偶奇；偶奇奇．如果是第一种奇偶奇的情况，可以从个位开始分析(3种选择)，之后十位(2种选择)，最后百位(2种选择)，共12种；如果是第二种情况偶奇奇，分析同理：个位(3种情况)，十位(2种情况)，百位(不能是0，一种情况)，共6种，因此总共12+6=18种情况．4.（2016全国甲理5）如图所示，小明从街道的处出发，先到处与小红会合，再一起到位于处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（ ）A.24B.18C.12D.9【答案】B 【解析】从的最短路径有种走法，从的最短路径有种走法，由乘法原理知，共种走法.故选B ．5．（2012·四川高考真题（文））方程ay =b 2x 2+c 中的a,b,c ∈{−2,0,1,2,3}，且a,b,c 互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（ ）A ．28条B ．32条C ．36条D ．48条【答案】B【解析】方程ay =b 2x 2+c 变形得，若表示抛物线，则所以，分b=-2,1,2,3四种情况：（1）若b=-2，; （2）若b="2,"以上两种情况下有4条重复，故共有9+5=14条；同理 若b=1，共有9条； 若b=3时，共有9条.综上，共有14+9+9=32种6．（2011·安徽高考真题（理））设集合{}1,2,3,4,5,6,A ={}4,5,6,7,B =则满足S A ⊆且S B ≠∅ 的集合S 的个数为（ ）A ．57B ．56C ．49D ．8【答案】B【解析】E FG E F →6F G →36318⨯=由题意可知集合S 可以表示为S M N = 的形式，其中M 为集合{}1,2,3的非空子集，N 为集合{}4,5,6的非空子集，由子集个数公式可得，集合M 的个数为7个，集合N 的个数为7个，则集合S 的个数为7856⨯=个.故选：B .。
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两个基本计数原理单元测试
一.选择与填充:
1.某农场为了考察3个水稻品种和5个2品种的质量,要在土质相同的土地
上进行实验,应安排的实验区共有 ( )
A.8块
B.15块
C.35块
D.53块
2.某乒乓球对有男运动员5人,女运动员6人,从中选派2人参加男女混双比赛,共有种不同的选法.
3.从0,1,2,3,4,5,6,7七个数中任取两个数相乘,使所得的积为偶数,这样的偶
数共有 ( ) 个.
A.18
B.9
C.12
D.10
4.设*
x∈,且x+y≤4,则直角坐标系中满足条件的点M(x,y)共有 ( ) ,N
y
A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
5.从1～9九个数字中任取两个数字组成两位数,若这两位数的数字不允许重复,则可得到个不同的两位数; 这两位数的数字允许重复, 则可得到个不同的两位数.
6.平面∂内有A,B两点,平面β内有M,N,P三点,以这些点为顶点,最多可以作个三棱锥.
7.用红,黄,绿,蓝4种不同的颜色涂入
图中四个区域内,要求相邻区域的
涂色不相同,则不同的涂色方法共有种.
8.已知集合A=A n m x Z x x ∈≤≤-∈,},102,|
{,方程122=+n
y m x 表示焦点在x 轴上的椭圆,则这样的椭圆共有( )个. A.45 B.55 C.78 D.91
9.从2,3,4,5,6五个数中,任取两个数分别做对数的底数与真数, 可以得到 个不同的对数值.
10.今有2个红球,3个黄球,同色球不加以区分,将这5个球排成一列有
种不同的方法.
二.解答:
11.某学校开设了文科选修课3门,理科选修课4门,实验选修课2门,有位学
生要从中选学不同科的两门,共有多少种不同的选法?
12.(1)有4名学生报名参加数学,物理,化学竞赛,每人限报一科,有多少种不同
的报名方法?
(2)有4名学生争夺数学,物理,化学竞赛的冠军, 可能有多少种不同的结果?
(3) 有4名学生报名参加数学,物理,化学竞赛,要求每位学生最多参加一项竞赛,且每项竞赛只允许有一名学生参加, 可能有多少种不同的结果?
13.某城市的电话号码为八位数,且首位不为0.
(1)该市电话用户的最大容量为多少门?
(2)电话号码中出现重复数字的最多有多少门?
答案：
一．选择与填充：
1．A 2. 30 3. D 4. D 5. 72,81 6. 5
7. 72 8. A 9. 20 10. 10
二.解答:
11. 3×4+3×2+4×2=26(种)
12. (1) 34=81 (种); (2) 43=64 (种) ;
(3) 4×3×2=24 (种)
13.(1) 9×107 (门)
(2) 9×107-9×9×8×7×6×5×4×3=88367040 (门)。