山东省济宁市微山一中2012-2013学年高二5月质检数学文含答案

微山一中2012-2013学年高二5月质量检测数学（文）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知2ii ia b -=+（,i a,b ∈R 为虚数单位）则a b -=（ ） A ．1 B ．2 C ． 1- D ．3-2．已知a ，b ，c ∈R，命题“若a b c ++=3，则222a b c ++≥3”的否命题是（ ）A ．若a +b+c≠3，则222a b c ++<3B ．若a+b+c=3，则222a b c ++<3C ．若a +b+c≠3，则222a b c ++≥3 D ．若222a b c ++≥3，则a+b+c=33．“4ab =” 是“直线210x ay +-=与直线220bx y +-= 平行” 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4. 曲线⎪⎩⎪⎨⎧+-=++-=λλλλ11132y x (λ为参数)与y 坐标轴的交点是（ ） A ．,0( )52 B ．,0( )51 C ．,0( )4- D ．,0( )95 5．若直线的参数方程为⎩⎨⎧-=+=ty tx 3221 (t 为参数)，则直线的斜率为（ ）A ．32B ．32-C ．23D ．23- 6. 直线：3x-4y-9=0与圆：⎩⎨⎧==θθsin 2cos 2y x (θ为参数)的位置关系是（ ）A. 相切B. 相离C. 相交D.相交且过圆心 7．设a ＞1，则log 0.2a , 0.2a ， a 0.2的大小关系是( )A ．0.2a ＜log 0.2a ＜a 0.2B ．log 0.2a ＜0.2a ＜a 0.2C ．log 0.2a ＜a 0.2＜0.2aD ．0.2a ＜a 0.2＜log 0.2a8．方程2x －x 2＝0的解的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．49．函数f (x )＝e x－1x的零点所在的区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32D.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2 10．过点(－1,3)且垂直于直线x －2y ＋3＝0的直线方程是( )A ．x －2y ＋7＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．x －2y －5＝0D ．2x ＋y －5＝011．已知动点(,)P x y 在椭圆2212516x y +=上,若A 点坐标为(3,0),||1AM =,且0PM AM ⋅=,则||PM 的最小值是（ )C.2D.312.函数)(23)(23b a d cx x b x a x f <+++=在R 上单调递增，则ab cb a -++的最小值为（ ） A.1 B.3 C.4 D.9二、填空题(本大题共4小题．每小题5分．共20分)13．已知某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为24， 则正（主）视图中a 的值为 .14．已知双曲线221169x y -=的左、右焦点分别为1F 、2F ,过右焦点2F 的直线l 交双曲线的右支于A 、B 两点,若||5AB =,则1ABF ∆的周长为15．已知F 1、F 2分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，P 为双曲线上的一点，若1290F PF ∠=︒，且12F PF ∆的三边长成等差数列，则双曲线的离心率是 .16．下列命题：①若()x f 存在导函数，则()()]2[2'='x f x f ；②若函数()xx x h 44sin cos -=，则012=⎪⎭⎫ ⎝⎛'πh ；③若函数()()()()()()20132012321-----=x x x x x x g ，则()!20122013='g ；④若三次函数()d cx bx ax x f +++=23，则“0=++c b a ”是“f (x )有极值点”的充要条件;⑤函数()x x x f cos 2sin +=的单调递增区间是()z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+-322,322ππππ．其中真命题为____．(填序号)三、解答题（本大题共6小题，满分70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）若函数4)(3+-=bx ax x f ．当2=x 时，函数)(x f 取得极值4-3． （1）求函数的解析式；（2）若函数k x f =)(有3个解，求实数k 的取值范围．18．（本小题满分12分）已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x轴上．若椭圆上的点A 到焦点1F 、2F 的距离之和等于4．（1）写出椭圆C 的方程和焦点坐标；（2）过点(1,0)Q 的直线与椭圆交于两点M 、N ，当OMN ∆的面积取得最大值时，求直线MN 的方程．19. （本小题满分12分）已知函数()()2ln f x x a x x =+--在0x =处取得极值.(1)求实数a 的值； (2)若关于x 的方程()52f x x b =-+在区间[]0,2上恰有两个不同的实数根,求实数b 的取值范围；(3)证明:对任意的正整数n ,不等式()23412ln 149n n n+++++>+都成立. 20．（本小题满分12分）如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为平行四边形，且2AD =，13AB AA ==，60BAD ∠=，E 为AB 的中点. （1） 证明：1AC ∥平面1EB C ；（2）求直线1ED 与平面1EB C 所成角的正弦值.1ADC1D1C1BBE21．（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xoy 中，设点()0,F p （0p >），直线l :y p =-，点P 在直线l 上移动，R 是线段PF 与x过R 、P 分别作直线1l 、2l ，使1l PF ⊥，2l l ⊥ 12l l Q =.(1)求动点Q 的轨迹C 的方程；（2）在直线l 上任取一点M 做曲线C 的两条切线，设切点为A 、B ，求证：直线AB 恒过一定点； (3)对（2）求证：当直线,,MA MF MB 的斜率存在时，直线,,MA MF MB 的斜率的倒数成等差数列. 21．（本小题满分12分） 已知函数21()(21)2ln ()2f x ax a x x a =-++∈R . (1)若曲线()y f x =在1x =和3x =处的切线互相平行，求a 的值； (2)求()f x 的单调区间；(3)设2()2g x x x =-，若对任意1(0,2]x ∈，均存在2(0,2]x ∈，使得12()()f x g x <，求a 的取值范围.参考答案：1-5 AABBD 6-10 CBCBB 11-12 BB13. 6 14． 26 15． 5 16．③⑤ 17.(1)2'()3f x ax b =- 所以'(2)0f =,4(2)3f =-.即12048243a b a b -=⎧⎪⎨-+=-⎪⎩,由此可解得13a =,4b = (2)31()443f x x x =-+ 2'()4(2)(2)f x x x x =-=-+所以()f x 在2x =-处取得极大值283,在2x =处取得极小值43- 所以42833k -<< 18．（1）椭圆C 的方程为2214x y +=，焦点坐标为(， （2）MN 斜率不为0，设MN 方程为1x my =+．联立椭圆方程：2214x y +=可得22(4)230m y my ++-= 记M 、N 纵坐标分别为1y 、2y ，则1211||||122S OMN OQ y y ∆=⨯-=⨯=设3)t t =≥则222(11t S t t t t==≥++，该式在)+∞单调递减，所以在t =即0m =时S 取19. 解:(1)()'121,f x x x a=--+ 0x =时,()f x 取得极值, ()'00,f ∴=故12010,0a-⨯-=+解得 1.a =经检验1a =符合题意. （2）由1a =知()()2ln 1,f x x x x =+--由()52f x x b =-+,得()23ln 10,2x x x b +-+-= 令()()23ln 1,2x x x x b ϕ=+-+-则()52f x x b =-+在区间[]0,2上恰有两个不同的实数根等价于()0x ϕ=在区间[]0,2上恰有两个不同的实数根.()()()()'451132,1221x x x x x x ϕ-+-=-+=++当[]0,1x ∈时,()'0x ϕ>,于是()x ϕ在[)0,1上单调递增;当(]1,2x ∈时,()'0x ϕ<,于是()x ϕ在(]1,2上单调递减.依题意有()()()()()0031ln 111022ln 12430b b b ϕϕϕ=-≤⎧⎪⎪=+-+->⎨⎪⎪=+-+-≤⎩,解得,1ln 31ln 2.2b -≤<+(3) ()()2ln 1f x x x x =+--的定义域为{}1x x >-,由(1)知()()()'231x x f x x -+=+,令()'0f x =得,0x =或32x =-(舍去), ∴当10x -<<时, ()'0f x >,()f x 单调递增;当0x >时, ()'0fx <,()f x 单调递减. ()0f ∴为()f x 在()1,-+∞上的最大值.()()0f x f ∴≤,故()2ln 10x x x +--≤(当且仅当0x =时,等号成立)对任意正整数n ,取10x n =>得,2111ln 1,n n n⎛⎫+<+ ⎪⎝⎭ 211ln n n n n++⎛⎫∴< ⎪⎝⎭.故()23413412ln 2ln ln lnln 14923n n n n n++++++>++++=+. … 20. （1） 证明：连接1BC ，11B C BC F =因为AE EB =，1FB FC =,所以EF ∥1AC , 因为1AC ⊄面1EB C ，EF ⊂面1EB C，所以1AC ∥面1EB C . （2）作DH AB ⊥，分别令1,,DH DC DD 为x 轴，y 轴，z 轴,建立坐标系如图因为60BAD ∠=，2AD =，所以1AH =，DH =所以1,0)2E ，1(0,0,3)D ，(0,3,0)C ，1B ，11135(3,,3),(0,,3),(3,,0)222ED EB EC =--==- 设面1EB C 的法向量为(,,)n x y z =,所以10n EB ⋅=，0n EC ⋅=化简得3302502y z y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，令1y =，则531(,1,)2n =-.设1,n ED θ=，则11cos 70n ED n ED θ⋅==-⋅ 设直线1ED 与面1EB C 所成角为α，则cos cos(90)sin θαα=+=- 所以sin α=，则直线1ED 与面1EB C 所成角的正弦值为70 .21. (1)依题意知，点R 是线段FP 的中点，且RQ ⊥FP ，∴RQ 是线段FP 的垂直平分线．∴PQ QF =．故动点Q 的轨迹C 是以F 为焦点，l 为准线的抛物线， 其方程为：24(0)x py p =>． （2）设(,)M m p -，两切点为11(,)A x y ，22(,)B x y 由24x py =得214y x p =，求导得12y x p'=． ∴两条切线方程为1111()2y y x x x p-=- ① 2221()2y y x x x p-=-② 对于方程①，代入点(,)M m p -得，1111()2p y x m x p--=-，又21114y x p = ∴211111()42p x x m x p p--=-整理得：2211240x mx p --= 同理对方程②有2222240x mx p --=即12,x x 为方程22240x mx p --=的两根.∴212122,4x x m x x p +==- ③设直线AB 的斜率为k ，2221211221211()4()4y y x x k x x x x p x x p--===+-- 所以直线AB 的方程为211211()()44x y x x x x p p-=+-，展开得：12121()44x x y x x x p p=+-，代入③得：2m y x p p =+ ∴直线恒过定点(0,)p .(3) 证明：由（2）的结论，设(,)M m p -， 11(,)A x y ，22(,)B x y且有212122,4x x m x x p +==-，∴1212,MA MB y p y pk k x m x m++==-- ∴11MA MB k k +=1212122222221212124()4()4444x m x m x m x m p x m p x m x x y p y p x p x p ppp p ------=+=+=+++++++ =1212212221122121212124()4()4()4()44()4p x m p x m p x m x p x m x pm pm mx x x x x x x x x x x x p p -----+====-----又∵12MF m m k p p p==---，所以112MA MB MF k k k +=即直线,,NA NM NB 的斜率倒数成等差数列.22.解：2()(21)f x ax a x '=-++(0)x >. （1）(1)(3)f f ''=，解得23a =.（3）(1)(2)()ax x f x x--'=(0)x >. ①当0a ≤时，0x >，10ax -<，在区间(0,2)上，()0f x '>；在区间(2,)+∞上()0f x '<，故()f x 的单调递增区间是(0,2)，单调递减区间是(2,)+∞.②当102a <<时，12a >，在区间(0,2)和1(,)a +∞上，()0f x '>；在区间1(2,)a上()0f x '<，故()f x 的单调递增区间是(0,2)和1(,)a +∞，单调递减区间是1(2,)a.③当12a =时，2(2)()2x f x x -'=， 故()f x 的单调递增区间是(0,)+∞.④当12a >时，102a <<，在区间1(0,)a 和(2,)+∞上，()0f x '>；在区间1(,2)a上()0f x '<，故()f x 的单调递增区间是1(0,)a 和(2,)+∞，单调递减区间是1(,2)a.（Ⅲ）由已知，在(0,2]上有max max ()()f x g x <.由已知，max ()0g x =，由（Ⅱ）可知，①当12a ≤时，()f x 在(0,2]上单调递增， 故max ()(2)22(21)2ln 2222ln 2f x f a a a ==-++=--+，所以，222ln 20a --+<，解得ln 21a >-，故1ln 212a -<≤.②当12a >时，()f x 在1(0,]a 上单调递增，在1[,2]a上单调递减， 故max 11()()22ln 2f x f a a a==---. 由12a >可知11ln ln ln 12ea >>=-，2ln 2a >-，2ln 2a -<，所以，22ln 0a --<，max ()0f x <， 综上所述，ln 21a >-.。