2018-2019学年湖南省益阳市桃江县高一下学期期末数学试题(解析版)

2018-2019学年湖南省益阳市桃江县高一下学期期末数学试题一、单选题1．化简sin 2013o 的结果是 A ．sin 33o B ．cos33oC ．-sin 33oD ．-cos33o【答案】C【解析】试题分析：sin 2013o =()()0000sin 1800+213=sin 213=sin 180+33=-sin33． 【考点】诱导公式．点评：直接考查诱导公式，我们要熟记公式．属于基础题型．2．某实验中学共有职工150人，其中高级职称的职工15人，中级职称的职工45人，一般职员90人，现采用分层抽样抽取容量为30的样本，则抽取的高级职称、中级职称、一般职员的人数分别为 A ．5、10、15 B ．3、9、18C ．3、10、17D ．5、9、16【答案】B【解析】试题分析：高级职称应抽取3015=3150⨯；中级职称应抽取3045=9150⨯；一般职员应抽取3090=18150⨯． 【考点】分层抽样点评：本题主要考查分层抽样的定义与步骤．分层抽样：当总体是由差异明显的几个部分组成的，可将总体按差异分成几个部分（层），再按各部分在总体中所占比例进行抽样．3．如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是( )A ．16B ．2524C ．34D ．1112【答案】D【解析】模拟程序图框的运行过程，得出当n 8=时，不再运行循环体，直接输出S 值． 【详解】模拟程序图框的运行过程，得 S=0,n=2,n<8满足条件，进入循环：S=1,4,2n =满足条件，进入循环： 11,6,24s n =+=进入循环：111,8,246s n =++=不满足判断框的条件，进而输出s 值，该程序运行后输出的是计算：11111S 24612=++=．故选D ． 【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，是基础题目．根据程序框图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模． 4．sin 40sin 20cos160cos40︒︒+︒︒=（ ） A ．12B ．12-C 3D ．3 【答案】B【解析】根据诱导公式和两角和的余弦公式的逆用变形即可得解.【详解】由题：sin 40sin 20cos160cos40︒︒+︒︒()sin 40sin 20cos 18020cos40=︒︒+︒-︒︒sin 40sin 20cos20cos40=︒︒-︒︒ ()cos20cos40sin 40sin 20=-︒︒-︒︒cos60=-︒12=-故选：B 【点睛】此题考查两角和的余弦公式的逆用，关键在于熟记相关公式，准确化简求值.5．下列四个函数中，既是02骣琪琪桫，p上的增函数，又是以π为周期的偶函数的是（ ）A ．sin y x =B ．cos y x =C ．sin y x =D ．cos y x =【答案】C【解析】本题首先可确定四个选项中的函数的周期性以及在区间02骣琪琪桫，p上的单调性、奇偶性，然后根据题意即可得出结果． 【详解】A 项：函数sin y x =周期为2π，在02骣琪琪桫，p上是增函数,奇函数；B 项：函数cos y x =周期为2π，在02骣琪琪桫，p上是减函数，偶函数； C 项：函数sin y x =周期为π，在02骣琪琪桫，p上是增函数，偶函数；D 项：函数cos y x =周期为π，在02骣琪琪桫，p上是减函数，偶函数； 综上所述，故选C ． 【点睛】本题考查三角函数的周期性以及单调性，能否熟练的掌握正弦函数以及余弦函数的图像性质是解决本题的关键，考查推理能力，是简单题．6．某小组共有5名学生，其中男生3名，女生2名，现选举2名代表，则恰有1名女生当选的概率为（ ）A ．15B ．35C ．110D ．310【答案】B【解析】记三名男生为,,a b c ，两名女生为,x y ，分别列举出基本事件，得出基本事件总数和恰有1名女生当选包含的基本事件个数，即可得解. 【详解】记三名男生为,,a b c ，两名女生为,x y ，任选2名所有可能情况为,,,,,,,,,ab ac ax ay bc bx by cx cy xy ，共10种， 恰有一名女生的情况为,,,,,ax ay bx by cx cy ，共6种， 所以恰有1名女生当选的概率为63105=. 故选：B 【点睛】此题考查根据古典概型求概率，关键在于准确计算出基本事件总数，和某一事件包含的基本事件个数.7．已知向量a v=(λ,2), b v =(-1,1),若a b a b -=+v v v v ,则λ的值为（ ）A ．3-B ．1-C ．1D ．2【答案】D【解析】对条件两边平方，得到该两个向量分别垂直，代入点的坐标，计算参数，即可． 【详解】结合条件可知，22a ba b -=+v v v v ，得到0a b ⋅=r r ，代入坐标，得到()120λ⋅-+=，解得2λ=，故选D ．【点睛】本道题考查了向量的运算，考查了向量垂直坐标表示，难度中等． 8．已知函数()cos 6f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭(0>ω)的最小正周期为π，则该函数的图象( ) A ．关于直线34x π=对称 B ．关于直线3x π=对称C ．关于点,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称 D ．关于点5,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称 【答案】D【解析】∵函数()cos6f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭(0ω>)的最小正周期为π，∴2ππω=，ω2=， 令26x k ππ-=，k Z ∈，x 212k ππ=+，k Z ∈，显然A ，B 错误；令262x k πππ-=+，可得：x 23k ππ=+，k Z ∈，显然k 1=时，D 正确 故选D9．甲、乙两人约定晚6点到晚7点之间在某处见面，并约定甲若早到应等乙半小时，而乙还有其他安排，若他早到则不需等待，则甲、乙两人能见面的概率（ ） A ．38B ．34C ．35D ．45【答案】A【解析】设甲到达时刻为x ，乙到达时刻为y ，依题意列不等式组为{0.50,1y xx y x y ≥+≥≤≤，画出可行域如下图阴影部分，故概率为11138218--=.10．如图是函数sin()(0,0,)y A ax A a ϕϕπ=+>><的部分图象２，则该解析式为（ ）A ．2sin 233y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ B ．2sin 324x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．2sin 33y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．22sin 233y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 【答案】D【解析】根据函数图象依次求出振幅，周期，根据周期求出2a =，将点52,123π⎛⎫⎪⎝⎭代入解析式即可得解. 【详解】sin()(0,0,)y A ax A a ϕϕπ=+>><根据图象可得：23A =，最小正周期571212T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，2,2a aππ== 2sin(2)()3y x ϕϕπ=+<，经过52,123π⎛⎫- ⎪⎝⎭，225sin(2)3312πϕ-=⨯+，5sin()16πϕ+=-，532,62k k Z ππϕπ+=+∈， 22,3k k Z πϕπ=+∈，ϕπ<所以23ϕπ=，所以函数解析式为：22sin 233y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 故选：D 【点睛】此题考查根据函数图象求函数解析式，考查函数的图象和性质，尤其是对振幅周期的辨析，最后求解ϕ的值，一般根据最值点求解.11．已知O ，N ，P 在ABC V 所在平面内，且OA OB OC ==u u u r u u u r u u u r ，0NA NB NC ++=u u u r u u u r u u u r r，且PA PB PB PC PC PA ⋅=⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，则点O ，N ，P 依次是ABC V 的（ ）A ．重心 外心 垂心B ．重心 外心 内心C ．外心 重心 垂心D ．外心 重心 内心【答案】C【解析】根据向量关系，()2NA NB NC ND =-+=-u u u r u u u r u u u r u u u r，NA 所在直线经过BC 中点D ，由PA PB PB PC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r 得0CA PB ⋅=u u u r u u u r，即可得解.【详解】由题：OA OB OC ==u u u r u u u r u u u r，所以O 是ABC V 外接圆的圆心，取BC 中点D ，0NA NB NC ++=u u u r u u u r u u u r r ，()2NA NB NC ND =-+=-u u ur u u u r u u u r u u u r ，即NA 所在直线经过BC 中点D ，与中线共线，同理可得,NB NC 分别与,AC AB 边的中线共线，即N 是三角形三条中线交点，即重心，PA PB PB PC ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，0PA PB PB PC ⋅-⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r，()0PA PC PB -⋅=u u u r u u u r u u u r ，0CA PB ⋅=u u u r u u u r，即PB AC ⊥，同理可得,PC AB PA BC ⊥⊥，即P 是三角形的垂心.故选：C 【点睛】此题考查利用向量关系判别三角形的外心，重心和垂心，关键在于准确进行向量的运算，根据运算结果得结论.12．已知函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象过点(0,B ，且在,183ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调，同时()f x 的图象向左平移π个单位之后与原来的图象重合，当1242,(,)33x x ππ∈--，且12x x ≠时，()()12f x f x =，则()12f x x +=A ．B ．1-C ．1D【答案】A【解析】由题设可知该函数的周期是22T ππωπ=⇒==，则()()2sin 2f x x ϕ=+过点(0,B 且2πϕ<可得sin 23πϕϕ=-⇒=-，故()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由sin 213x π⎛⎫-=± ⎪⎝⎭可得()5232212k x k x k Z πππππ-=+⇒=+∈，所以由()()12f x f x =可得1256x x k ππ+=+，注意到1242,,33x x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，故1276x x π+=-，所以()1272sin 263f x x ππ⎡⎤⎛⎫+=⨯--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦A 点睛：已知函数sin()(0,0)y A xB A ωϕω=++>>的图象求解析式(1)max min maxmin,22y y y y A B -+==. (2)由函数的周期T 求2,.T πωω= (3)利用“五点法”中相对应的特殊点求ϕ.二、填空题13．已知向量(2,4)a =-r，(3,4)b =--r，则向量a r与b r夹角的余弦值为__________.【解析】先求出a b ⋅r r ，再求,a b vv ，最后代入向量的夹角公式即得解.【详解】 由题得2(3)(4)(4)10,a b ⋅=⨯-+--=vv 5,a b ====v v所以向量a r 与b r夹角的余弦值为cos a b a b v v v vα⋅===.【点睛】(1)本题主要考查向量的夹角的计算，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 求两个向量的夹角一般有两种方法,方法一：·cos ,ab a b a b=u vv v v v v ,方法二：设a r =11(,)x y ,b r =22(,)x y ，θ为向量a r 与b r的夹角，则cos θ=.14．用秦九韶算法求多项式()543252328f x x x x x x =++-+-当2x =时的值的过程中：05v =，3v =__． 【答案】52【解析】f （x ）＝5x 5+2x 4+3x 3﹣2x 2+x ﹣8＝（（（（5x +2）x +3）x ﹣2）x +1）﹣8，进而得出． 【详解】f （x ）＝5x 5+2x 4+3x 3﹣2x 2+x ﹣8＝（（（（5x +2）x +3）x ﹣2）x +1）﹣8， 当x ＝2时，v 0＝5，v 1＝5×2+2＝12，v 2＝12×2+3＝27，v 3＝27×2﹣2＝52．故答案为：52． 【点睛】本题考查了秦九韶算法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 15．已知04πβ<<，344ππα<<，3cos 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，35sin 413πβ⎛⎫+=⎪⎝⎭，则sin()αβ+=________.【答案】5665【解析】根据已知角的范围分别求出4sin 45πα⎛⎫-=-⎪⎝⎭，312cos 413πβ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，利用整体代换3sin()cos cos 244πππαβαββα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-++=-+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭即可求解. 【详解】344ππα<<，024ππα-<-<，3cos 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以4sin 45πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，04πβ<<，3344ππβπ<+<，35sin 413πβ⎛⎫+=⎪⎝⎭，所以312cos 413πβ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， 3sin()cos cos 244πππαβαββα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-++=-+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭33cos cos sin sin 4444ππππβααβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭12345135513⎛⎫⎛⎫=--⨯+-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=5665故答案为：5665【点睛】此题考查三角函数给值求值的问题，关键在于弄清角的范围，准确得出三角函数值，对所求的角进行合理变形，用已知角表示未知角.16．已知函数()cos sin f x x x =⋅，下列说法：①()f x 图像关于4x π=对称；②()f x 的最小正周期为2π；③()f x 在区间35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减；④()f x 图像关于,02π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称；⑤()f x 的最小正周期为2π；正确的是________. 【答案】②③⑤【解析】将函数解析式改写成：1sin 2,22,222()cos sin 13sin 2,22,222x k x k k Z f x x x x k x k k Z ππππππππ⎧-+≤≤+∈⎪⎪=⋅=⎨⎪-+≤≤+∈⎪⎩，即可作出函数图象，根据图象即可判定. 【详解】由题：()cos sin f x x x =⋅，()()()cos sin cos sin ()f x x x x x f x -=-⋅-=-⋅=-， 所以函数为奇函数，()(2)cos(2)sin(2)cos sin f x x x x x f x πππ+=+⋅+=⋅=，2π是该函数的周期，结合图象分析是其最小正周期，1sin 2,22,222()cos sin 13sin 2,22,222x k x k k Z f x x x x k x k k Z ππππππππ⎧-+≤≤+∈⎪⎪=⋅=⎨⎪-+≤≤+∈⎪⎩， 作出函数图象：可得，该函数的最小正周期为2π，()f x 图像不关于4x π=对称；()f x 在区间35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减；()f x 图像不关于,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称； 故答案为：②③⑤ 【点睛】此题考查三角函数图象及其性质的辨析，涉及周期性，对称性和单调性，作为填空题，恰当地利用图象解决问题能够起到事半功倍的作用.三、解答题17．已知2sin cos 3αα+=. （1）求3sin cos 22ππαα⎛⎫⎛⎫---⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值； （2）若α为第二象限角，且角β终边在2y x =上，求()()11sin cos sin cos 22sin cos ββπαπαββ--+--+的值.【答案】（1）518-；（2）15【解析】(1)先根据诱导公式将原式子化简，再将已知条件中的表达式平方，可得到结果；（2）原式子可化简为11tan 1sin cos 2tan 1βααβ--++，由已知条件可得到tan =2β，再由第一问中得到cos sin αα-==，结合第一问中的条件可得到结果. 【详解】 （1）3sin cos 22ππαα⎛⎫⎛⎫---⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=cos sin =cos sin αααα--（） 已知2sin cos 3αα+=,将式子两边平方可得到5sin cos .18αα=- （2）α为第二象限角，且角β终边在2y x =上，则根据三角函数的定义得到tan =2β原式化简等于()()11sin cos sin cos 22sin cos ββπαπαββ--+=--+11tan 1sin cos 2tan 1βααβ--++ cos sin tan 1=sin cos 2tan 1ααβααβ--++由第一问得到cos sin -3αα-==【点睛】三角函数求值与化简必会的三种方法 (1)弦切互化法:主要利用公式tan α=ααsin cos ;形如a x b x c x d x sin cos sin cos ++,a sin 2x+b sin x cosx+c cos 2x 等类型可进行弦化切.(2)“1”的灵活代换法:1=sin 2θ+cos 2θ=(sin θ+cos θ)2-2sin θcos θ=tan4π等. (3)和积转换法:利用(sin θ±cos θ)2=1±2sin θcos θ,(sin θ+cos θ)2+(sin θ-cos θ)2=2的关系进行变形、转化.18．设有关于x 的一元二次方程2220x ax b ++=．（Ⅰ）若a 是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．（Ⅱ）若a 是从区间[]0,3任取的一个数，b 是从区间[]0,2任取的一个数，求上述方程有实根的概率． 【答案】（Ⅰ）34（Ⅱ）23【解析】（1）本题是一个古典概型，可知基本事件共12个，方程2220x ax b ++=当0,0a b ≥≥时有实根的充要条件为a b ≥，满足条件的事件中包含9个基本事件，由古典概型公式得到事件A 发生的概率．（2）本题是一个几何概型，试验的全部约束所构成的区域为{(,)|03a b a 剟，02}b 剟．构成事件A 的区域为{(,)|03a b a 剟，02b 剟，}a b …．根据几何概型公式得到结果． 【详解】解：设事件A 为“方程2220x ax b ++=有实数根”．当0,0a b ≥≥时，方程有实数根的充要条件为a b ≥． （Ⅰ）基本事件共12个：(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2)．其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．事件A 中包含9个基本事件，事件A 发生的概率为93()124P A ==． （Ⅱ）实验的全部结果所构成的区域为{(,)|03,02}a b a b ≤≤≤≤．构成事件A 的区域为{(,)|03,02,}a b a b a b ≤≤≤≤≥，所求的概率为132422()323P A ⨯-⨯==⨯ 【点睛】本题考查几何概型和古典概型，放在一起的目的是把两种概型加以比较，属于基础题． 19．PM 2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物（也称可入肺颗粒物）.为了探究车流量与PM 2.5的浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某一时间段车流量与PM 2.5的数据如下表：（1）根据上表数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y bx a =+$$$； （2）若周六同一时间段的车流量是25万辆，试根据（1）求出的线性回归方程，预测此时PM 2.5的浓度为多少（保留整数）？参考公式：由最小二乘法所得回归直线的方程是：y bx a =+$$$，其中()()()1122211n niii ii i nni i i i x x y y x y nxybx xx nx====---==--∑∑∑∑$，a y bx =-$$【答案】（1）ˆ 1.28 4.88y x =+；（2）37【解析】（1）根据题中所给公式分别求出相关数据即可得解； （2）将25x =代入（1）所得直线方程即可得解. 【详解】 （1）5051545758545x ++++==，6970747879745y ++++==()()514534344564iii x x y y =--=⨯+⨯+⨯+⨯=∑()5222221(4)(3)3450i i x x =-=-+-++=∑()()()511152111641.2850i x x yybx x ----===-∑∑$ $74 1.2854 4.88ay bx =-=-⨯= 故y 关于x 的线性回归方程是：ˆ 1.28 4.88yx =+ （2）当25x =时， 1.2825 4.8836.8837y =⨯+=≈ 所以可以预测此时PM 2.5的浓度约为37. 【点睛】此题考查根据已知数据求回归直线的方程，根据公式直接求解，利用所得回归直线方程进行预测.20．在某单位的职工食堂中，食堂每天以3元/个的价格从面包店购进面包，然后以5元/个的价格出售.如果当天卖不完，剩下的面包以1元/个的价格全部卖给饲料加工厂.根据以往统计资料，得到食堂每天面包需求量的频率分布直方图如下图所示.食堂某天购进了80个面包，以x （单位：个，60110x ≤≤）表示面包的需求量，T （单位：元）表示利润.（1）求食堂面包需求量的平均数； （2）求T 关于x 的函数解析式；（3）根据直方图估计利润T 不少于100元的概率.【答案】（1）84；（2）4160,6080160,80110x x T x -≤<⎧=⎨≤≤⎩；（3）0.875【解析】（1）每个小矩形的面积乘以该组中间值，所得数据求和就是平均数； （2）根据需求量分段表示函数关系；（3）根据（1）利润T 不少于100元时，即65x ≥，即65110x ≤≤，求出其频率，即可估计概率. 【详解】（1）估计食堂面包需求量的平均数为：650.25750.15850.2950.251050.1584⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（2）解：由题意，当6080x ≤≤时，利润51(80)3804160T x x x =+⨯--⨯=-， 当80110x ≤≤时，利润580380160T =⨯-⨯=， 即T 关于x 的函数解析式4160,6080160,80110x x T x -≤<⎧=⎨≤≤⎩（3）解：由题意，设利润T 不少于100元为事件A ， 由（1）知，利润T 不少于100元时，即4160100x -≥65x ≥，即65110x ≤≤，由直方图可知，当65110x ≤≤时，所求概率为()1()10.025(6560)0.875P A P A =-=-⨯-= 【点睛】此题考查频率分布直方图，根据频率分布直方图求平均数，计算频率，以及建立函数模型解决实际问题，综合性比较强.21．在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，向量()()1,2,2,1OA OB u u u r u u u r==-()1若C 是AB 所在直线上一点，且OC AB ⊥，求C 的坐标．()2若()OD OA OB λ=+u u u r u u u r u u u r ，当()10OD DA DB ⋅+=-u u u r u u u r u u u r，求λ的值．【答案】（1）13,22⎛⎫-⎪⎝⎭；（2）12-或1【解析】()1由向量共线的坐标运算得：设AC AB u u u r u u u rλ=，可得()13,2C λλ--，又因为OC AB ⊥，12λ=，即13,22C ⎛⎫- ⎪⎝⎭. ()2由题意()10OD DA DB ⋅+=-u u u r u u u r u u u r结合向量加减法与数量积的运算化简得221210OD OD λ-+=-u u u r u u u r ，所以2201010λλ-+=-，运算可得解.【详解】()()()() 11,2,2,13,1OA OB AB OB OA ==-∴=-=--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r Q ，因为C 是AB 所在直线上一点， 设AC AB u u u r u u u rλ=，可得()13,2C λλ--，又因为OC AB ⊥， 所以0OC AB ⋅=u u u r u u u r， 解得12λ=， 所以13,22C ⎛⎫-⎪⎝⎭， 故答案为13,22⎛⎫-⎪⎝⎭ ()()()21,2,2,1OA OB ==-u u u r u u u Q r且()OD OA OB λ=+u u u r u u u r u u u r ，显然0λ≠，所以1OA OB OD λ+=u u u r u u u r u u u r ，()()1,3,3OD λλλ=-=-u u ur ，又()10OD DA DB ⋅+=-u u u r u u u r u u u r所以()210OD DO OA OB ⋅++=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，即()2210OD OD OA OB -+⋅+=-u u u r u u u r u u u r u u u r，所以221210OD OD λ-+=-u u u r u u u r ，所以2201010λλ-+=- 即2210λλ--=， 解得：12λ=-或1λ=， 故答案为12-或1． 【点睛】本题考查了向量共线的坐标运算及平面向量数量积的运算，属于中档题．22．已知,x R a R ∈∈，且0a ≠，向量()()2cos ,1,sin2OA a x OB x a =-=+u u u v u u u v ， ()f x OA OB =⋅u u u v u u u v.（1）求函数()f x 的解析式，并求当0a >时， ()f x 的单调递增区间； （2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时， ()f x 的最大值为5，求a 的值； （3）当1a =时，若不等式()2f x m -<在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）()f x 2sin 26a x π⎛⎫=-⎪⎝⎭， ()f x 单调增区间为,,63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）5a =-或52a =；（3）()0,1. 【解析】试题分析：（Ⅰ）化简()2sin 26f x a x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，解不等式222262k x k πππππ-≤-≤+求得x 的范围即得增区间（2）讨论a 的正负，确定最大值，求a ；（3）化简绝对值不等式，转化()()22f x m f x -<<+在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，即()()max min22,0,2f x m f x x π⎛⎫-<<+∈ ⎪⎝⎭，求出()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的最大值，最小值即得解.试题解析：（1）()22cos sin2f x OA OB a x x a =⋅=-+u u u v u u u v2sin 26a x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭∵0a > ∴222262k x k πππππ-≤-≤+∴()f x 单调增区间为,,63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦（2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦ 若0a >，25a =，∴52a =若0a <，5a -=，∴5a =- ∴综上，5a =-或52a =. （3）()2f x m -<在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立， 即()()22f x m f x -<<+在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，∴()()max min 22,0,2f x m f x x π⎛⎫-<<+∈ ⎪⎝⎭()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上最大值2，最小值1-，∴01m <<∴m 的取值范围()0,1.点睛: 本题考查了平面向量的数量积的应用，三角函数的单调性与最值，三角函数的化简，恒成立问题的处理及分类讨论的数学思想，综合性强.。