数据结构课件图

在无（有）向图G=< V, E >中，若对任何两个顶点 v、u 都存在从v 到 u 的路径，则称G是连通图（强连通图）
连 通 图
V0 V2 V3 V0
V1
V0
V1 V4
V4 V1
V3
V0
V2 V5
V1
非 连 通 图 非 强 连 通 图
强 连 通 图
V2
V3
V2
V3
9． 连通分量和强连通分量
无向图中，极大的连通子图为该图的连通分量。显然，任何 连通图的连通分量只有一个，即它本身，而非连通图有多个 连通分量。 极大连通子图是：该子图是 G 连通子图，将G 的任何不在该 子图中的顶点加入，子图不再连通；
InsertVex（G，u） 插入顶点操作。在图c中增添一个顶点u为图G的第 n+1个顶点，其中n为插入之前图G中含顶点的个数。 InsertArc（G，v，w） 插入弧的操作。在图c中增添一条从顶点V到顶点w 的弧。 DeleteVex（G，v） 删除顶点操作。从图G中删除顶点v以及所有与顶点v 相关联的弧。 DeleteArc（G，v，w） 删除弧的操作。在图G中删去一条从顶点v到顶点w 的弧。 Traverse(G) :遍历
7.2
V0 V2 V3 V4 V1
图的存贮结构
V0 V1
V2
V3
图的存储结构至少要保存两类信息：
1)顶点的数据 2)顶点间的关系
如何表示顶点间的关系？
顶点的编号
约定:
G=<V, E>是图, V={v0,v1,v2, … vn-1 },设顶点 的角标为它的编号
7.2 图的存贮结构
在前面几章讨论的数据结构中，除了树以外，都可 以有两类不同的存储结构，它们是由不同的映象方法 （顺序映象和链式映象〕得到的。由于图的结构比较复 杂，任意两个顶点之间都可能存在关系，因此无法以数 据元素在存储区中的物理位置来表示元素之间关系，即 图没有顺序映象的存储结构，这是和前面所有数据结构 所不同的。 另一方面，用多重链表表示图是自然的事，它是一 种最简单的链式映象结构，即以一个由一个数据域和多 个指针域组成的结点表示图中一个顶点，其中数据域存 储该顶点的信息，指针域存储指向其邻接点的指针。但 是，由于图中各个结点的度数各不相同，最大度数和最 小度数可能相差很多，因此，若按度数最大的顶点设计 结点
2. 完全图、稠密图、稀疏图
(1)无向完全图：任意两顶点间都有边的图称为无向完全图。
或具有n个顶点，n(n-1)/2条边的图，称为无向完全图。
(2）有向完全图：任意两顶点之间都有方向互为相反的两条 弧相连接的有向图称为有向完全图。在一个含有n个顶点的有
向完全图中，有n(n-1)条弧。
无向完全图和有向完全图都称为完全图。 对于一般无向图，顶点数为n，边数为e，则 0≤e ≤n(n-1)/2。 对于一般有向图，顶点数为n，弧数为e， 则 0≤e≤n(n-1) 。 当一个图接近完全图时，则称它为稠密图，相反地，当一个图 中含有较少的边或弧时，则称它为稀疏图。
强连通分量 V0 V1 V0 V1
V2
V3
V2
V3
10． 生成树、生成森林
包含无向图G 所有顶点的的极小连通子图称为G 的生成树 极小连通子图意思是：该子图是G 的连通子图，在该子图中删除任 何一条边，子图不再连通， 若T是G 的生成树当且仅当T 满足如下条件 T是G 的连通子图 T包含G 的所有顶点 T中无回路 连通图的生成树包含图中全部n个顶点和n-1条不构成回路的边。非 连通图的生成树则组成一个生成森林。若图中有n个顶点，m个连通 分量，则生成森林中有n-m条边。
V3
V4
V2
V3
7．根和有根图
有向图中，若存在一顶点v，从该顶点有路径可以到 图中其他所有顶点，则称此有向图为有根图。v称为 图的根。
8． 连通图和强连通图
在无向图中，若从顶点i到顶点j有路径，则称顶点i和 顶点j是连通的。若任意两个顶点都是连通的，则称 此无向图为连通图，否则称为非连通图。 在有向图中，若从顶点i到顶点j有路径，则称从顶点i 和顶点j是连通的，若图中任意两个顶点都是连通的， 则称此有向图为强连通图，否则称为非强连通图。
非连通分图
V0
V1
V2
连通分量 非 连 通 图 V0 V3 V1 V2 V4 V5
有向图中，极大的强连通子图为该图的强连通分量。 显然，任何强连通图的强连通分量只有一个，即它本 身，而非强连通图有多个强连通分量。
极大强连通子图意思是：该子图是D强连通子图，将D的任 何不在该子图中的顶点加入，子图不再是强连通的；
图的抽象数据类型
LocateVex（G，v） 顶点定位函数。确定顶点v在图G中的位置。若图中无此 顶点,则函数值为零。 GetVex（G，i） 取顶点函数。求图G中第i个顶点。若i>图G中顶点数， 则函数值为“空”。 FirstAdjVex（Q，v） 求第一个邻接点函数。求图G中顶点v的第一个邻接点。 若v没有邻接点或图中无顶点v，则函数值为“零”。 NextAdjVex（G，v，w） 求下一邻接点函数。已知w为图G中顶点v的某个邻接点， 求点w的下一个邻接点。若w是v的最后一个邻接点，则 函数值为“零”。
OD(V0)=2 OD(V1)=0 OD(V2)=1 OD(V3)=1
D(V0)=3 D(V1)=1 D(V2)=2 D(V3)=2
4. 子图
若有两个图G1和G2， G1=(V1,E1)， G2=(V2,E2)， 满足 如下条件： V2V1 ，E2 E1，即V2为V1的子集，E2为 E1的子集，称图G2为图G1的子图。
结构，则会浪费很多存储单元。反之，若按每个顶点 自己的度数设计不同的结点结构，则会给操作带来不 便，在实际应用中不宜采用这种结构。这其实和树的 表示是很类似的。 我们一般采用一些改进的方式来存储图，常用的 有邻接矩阵、邻接表和十字链表等。不管哪一种方式， 它除了要存储图中各个顶点本身的信息外，同时还要 存储顶点与顶点之间的所有关系（边的信息）。存储 方法的选择，取决于具体的应用。下面分别讨论之。
第7章
二、教学要求：
图
1、理解图的基本概念，熟悉图的各种存储结构及其构造 算法； 2、熟练掌握图的两种搜索路径的遍历；
3、掌握构造最小生成树的方法，并理解算法；
4、理解用Dijkstra方法求解单源最短路径问题； 5、掌握求活动网络的拓扑排序的方法，并理解算法； 6、掌握求解关键路径的方法。
图（Graph）是一种较线性表和树更为复杂的数据 结构。在线性表中，数据元素之间仅有线性关系， 即每个数据元素只有一个直接前驱和一个直接后 继；在树形结构中，数据元素之间有着明显的层 次关系，虽然每一层上的数据元素可能和下一层 中多个元素（孩子） 相关，但只能和上一层中一 个元素（双亲）相关； 图形结构中，结点之间的关系可以是任意的，任 意两个数据元素之间都可能相关。 图的应用,如电路网络分析、交通运输、管理与线路 的铺设、印刷电路板与集成电路的布线等众多直接 与图有关的问题，它们必须用图的有关方法进行处 理；工作的分配、工程进度的安排、课程表的制订.
在图1中，V0,V1,V2,V3 是V0到V3的路径； V0,V1,V2,V3,V0是回路；在图2中，V0,V2,V3 是V0到V3的路径； V0,V2,V3,V0是回路；在图1中，V0,V1,V2,V3 是简单路径； V0,V1,V2,V4,V1不是简单路径；
例
V0
无向图G1
V1 V2
V0
V1
有向图G2
1 2 1 2 1 2

3
4
3
4
4
(a)图 G
(b)图 G 的两个子图 图与子图示意
V0 V2
V1图 7-2
V0
V1
V0 V2
V1
V2
V3
(a)
V4
V3
(b)
V4
V3
(c)
V4
5． 权
在图的边或弧上表示数字，表示与该边相关的数据 信息，称为权。 权可以代表一个顶点到另一个顶点 的距离，耗费等，带权图一般称为网。
1
1 4 5 2 5 8 7
2
A
2
B
6
3
3
4
4 1 3
C
5
(a) 无向网
(b)有向网
图 7-3 无向带权图和有向带权图
6．路径、回路
在无向图G中，若存在一个顶点序列Vp ,Vi1，Vi2，…，Vin， Vq, 使得（Vp,Vi1）,(Vi1,Vi2),…..，(Vin,Vq)均属于E（G）， 则称顶点Vp到Vq存在一条路径。 若一条路径上除起点和终点可以相同外，其余顶点均不相 同，则称此路径为简单路径。起点和终点相同的路径称为 回路，路径上经过的边的数目称为该路径的路径长度。
V2
V3 G2 图示
图的应用举例：
例1 交通图（公路、铁路） 顶点：地点 边：连接地点的公路 交通图中的有单行道双行道，分别用有向边、无向 边表示； 例2 电路图 V0 V1 顶点：元件 边：连接元件之间的线路 V2 例3 通讯线路图 V3 V4 顶点：地点 边：地点间的连线 V0 V1 例4 各种流程图 如产品的生产流程图 顶点：工序 V2 V3 边：各道工序之间的顺序关系
第7章 图
一、教学内容：
1、图的基本概念
2、图的存储结构（邻接矩阵、邻接表及有向图十字邻接表）； 3、图的遍历（深度优先搜索、广度优先搜索）； 4、最小生成树（kruskul算法、prim算法）； 5、最短路径（dijkstra算法、floyd算法）; 6、AOV网络与拓扑排序； 7、AOE网络与关键路径。
ri 为入度， ci为出度 设图G的顶点数为n，边数为e，第i个顶点的度为d, n 1 则有e= 2 di i 1