理论力学9 点的合成运动

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准确判断速度的方向
应用： 应用： 求某一种速度
或 1）方法 ）
r r r 法则 v a = v e + v r
是矢量和， 是矢量和，在中间
投影法 v ax = v ex + v rx
v ay = v ey + v ry
选择动点、动系 选择动点、 2）步骤 ） 分析三种运动（三种速度）个矢量式， 个投影式 个因 分析三种运动（三种速度）个矢量式，2个投影式，6个因 1个矢量式 个投影式， r 个因素已知（ 素；需4个因素已知（速度的大 个因素已知 应用合成定理 作 v r 小和方向)，问题才可求解。 小和方向 ，问题才可求解。 图： v a
引
言
前面研究了动点对于一个参考坐标系的运动，而在不同的 参考坐标系中对同一个点的运动的描述得到的结果是不一样的。 本章重点是点的合成运动研究，探讨一个点相对于两个完 一个点相对于两个完 全不同的坐标系的运动及其之间的关系， 全不同的坐标系的运动及其之间的关系，包含速度和加速度之 间的关系。 间的关系。
求解
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[例1]如图半径为R的半圆形凸轮以匀速V0 在水平轨道运动， 例 带动顶杆AB沿铅垂滑槽滑动，求在图示位置时，杆AB的速度。 动点：杆端A; 解: (1) 动点：杆端 (2) 动系：凸轮； 动系：凸轮； (3) 三种运动： 绝对轨迹是直线， 三种运动： 绝对轨迹是直线， 相对轨迹是圆周， 相对轨迹是圆周，
ù
r v
e
动点：两杆连接的小环 动点：两杆连接的小环 动系： 动系：定轴转动的杆
动点：滑块A(固结杆上 ) 动点： 固结杆上 动系： 动系：定轴转动的竖直杆
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[练习题 圆盘凸轮机构，已知：OC＝e , R = 3e ω，图示 练习题2] 圆盘凸轮机构，已知： ＝ , 练习题 瞬时, 三点共线， 从动杆AB的速度 的速度。 瞬时 OC⊥CA 且 O,A,B三点共线，求：从动杆 的速度。 ⊥ 三点共线 动点： 点 杆上） 解: (1) 动点：A点（杆上） (2) 动系：圆盘， 动系：圆盘， (3) 三种运动：绝对直线运动； 三种运动：绝对直线运动； 相对运动为圆周运动； 相对运动为圆周运动； 牵连转动； 牵连转动； v v v 速度合成定理： v 速度合成定理： a = v r + v e 大小： 大小： ？ ？ a 速度平行四边形 如图示 方向： 方向： a a a 2 3 2 3 v e ω ∴ v AB = eω (↑ ) 几何法： 几何法： a = v e ⋅ tan 30 0 =
B
凸轮导杆机构
r v0
r vr
O ϕ
r va
A
r ve
曲柄摇杆滑块机构
转动O 牵连运动 转动 1
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§9－3 点的速度合成定理
一 证明 当t M MM ' M1 M '
牵连点的位移
t+△t △ M１ M´ ´
M
M'
绝对位移 相对位移
MM ' ＝ MM 1 ＋ M 1M '
MM MM ′ lim = lim ∆t ∆t ∆t→ 0 ∆t→ 0
a r e
大小： 大小： ？ 方向： 方向： a
？ a
a a
& v e = 2 r sin ϕ ϕ =
3π
v r = v e ctg ϕ = π
vr = 2π va = cos ϕ 21
[例4]曲柄导杆机构如图所示.已知OA=r,曲杆BCD的速度vD 例 的大小为v. 求该瞬时杆 OA转动的角速度ω. 动点： 解: (1)动点：滑块A； 2）动系 BCD 动点 （ ）动系: （3）三种运动： 绝对运动—以O为园心r为半径的园运动. 相对运动—沿T形槽的直线运动. — T . 牵连运动—沿y轴的直线平动.
2）动系平动：任意点都可作为牵连点 ）动系平动：任意点都可作为牵连点 动系转动：必须指明牵连点 动系转动：必须指明牵连点
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5 三种加速度 绝对运动中,动点的加速度称为绝对加速度 绝对加速度
aa
ar
相对运动中,动点的加速称为 相对加速度 牵连运动中,牵连点 牵连点的加速度称为牵连加速度 牵连加速度 牵连点
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B
r v0
A
O ϕ
若动点A在 杆上时 若动点 在AB杆上时 动点：A(在AB杆上) 动系：偏心轮 静系：地面 绝对运动：直线
若动点A在偏心轮上时 若动点 在偏心轮上时 A（在偏心轮上） AB杆 地面 圆周（红色虚线）
相对运动：圆周（曲线） 曲线（未知） 牵连运动：定轴转动 平动
要指明动点应在哪个物体上，但不能选在动系上， [注] 要指明动点应在哪个物体上，但不能选在动系上， 与动系有相对运动。 与动系有相对运动。
1
M 1M ′ + lim ∆t ∆t→ 0
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r r r va = ve + vr
∴va =ve +vr
即：在任一瞬时动点的绝对速度等于其牵连速度与相对速度 矢量和，这就是点的速度合成定理 速度合成定理。 的矢量和，这就是点的速度合成定理。 注意： 矢量式中有四个已知因素（包括速度的大小和 注意：在此矢量式 矢量式 方向)时，问题才可求解。 说明：va—动点的绝对速度；vr—动点的相对速度； ve—动点的牵连速度，是动系上一点(牵连点)的速度 I) 动系作平动时，动系上各点速度都相等。 II) 动系作转动时，ve必须是该瞬时动系上与 动点相重合点的速度。
1
第九章 点的合成运动
§9–1 点的合成运动的概念 §9–2 三种运动的速度和加速度 §9–3 点的速度合成定理 §9–4 牵连运动为平动时点的加速度合成定理 §9–5 牵连运动为转动时点的加速度合成定理
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§9-1~2
一 实例
点的合成运动的概念
桥式吊车：卷扬小车A边垂直起吊重物边行走 边垂直起吊重物边行走。 ① 桥式吊车：卷扬小车 边垂直起吊重物边行走。 动点： 动点：重物 两参考系：Ａ：地面 两参考系：Ａ：地面 ：Ａ： 三种运动： 三种运动： Ｂ：小车 Ｂ：小车
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二 基本概念 1 一个动点：研究的点（运动的点） 一个动点：研究的点（运动的点） 2 两个坐标系 1）静系：固连于不动地面上的坐标系 ）静系 固连于不动地面上的坐标系 2）动系：固连于相对于地面运动的物体上的坐标系 ）动系： 3 三种运动 1）绝对运动：动点对静系的运动 ）绝对运动 动点对静系的运动 点的运动 2）相对运动：动点对动系的运动 ）相对运动： 3）牵连运动：动系对静系的运动 ）牵连运动 运动： 曲线 平动 刚体的运动 转动
ae
7
ve'
牵连点： 牵连点：某一瞬时动系上和动 点相重合的那一点； 点相重合的那一点； 某一瞬时牵连点的速度和加速度
r2
ω
就称为牵连速度和牵连加速度。 就称为牵连速度和牵连加速度。 ae
ve
用 v e和 a e来表示； 来表示；
aerBiblioteka M1图示：不同时刻， 图示：不同时刻，牵连速度不同
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三 三种速度分析 1 研究杆的A端 研究杆的 端 1) 动点：杆端 动点：杆端A 2) 动系：固连于凸轮 动系： 3) 三种运动： 绝对运动 直线 三种运动： 圆周（ ） 相对运动 圆周（O） 牵连运动 平动 2 研究滑块 研究滑块A 1) 动点：滑块 动点：滑块A 2) 动系：固连于杆 1B 动系：固连于杆O 3) 三种运动： 绝对运动 圆周（O） 三种运动： 圆周（ ） 相对运动 直线
r u
v 卷扬小车由左向右的行走——简单直线运动 简单直线运动——牵连运动 卷扬小车由左向右的行走 简单直线运动 牵连运动
B: 随小车一起运动的观察者 随小车一起运动的观察者——小车为参考 小车为参考
A: 地面观察者 ——地面为参考 地面为参考
r
重物在在垂直方向作直线运动——简单直线运动 重物在在垂直方向作直线运动 简单直线运动——相对运动 相对运动 简单直线运动 C: 地面观察者 ——地面为参考 地面为参考 重物作曲线运动——复杂曲线运动 复杂曲线运动——绝对运动 重物作曲线运动 复杂曲线运动 绝对运动
由上述例题可看出，求解合成运动的速度问题的一般步骤 一般步骤为： 一般步骤 选取动点，动系和静系。 三种运动的分析。 三种速度的分析。
v v v 根据速度合成定理 va =vr +ve 作出速度平行四边形。
根据速度平行四边形，求出未知量。 恰当地选择动点、动系和静系是求解合成运动问题的关键。 选择动点、动系和静系 选择动点
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二．动点的选择原则： 动点的选择原则： 一般选择主动件与从动件的连接点，它是对两个坐标系都有 运动的点。 三．动系的选择原则： 动系的选择原则 动点对动系有相对运动，且相对运动的轨迹是已知的， 或者能直接看出的。 下面举例说明以上各概念： 下面举例说明以上各概念： 动点： 动点：AB杆上A点 动系： 动系：固结于凸轮Ｏ'上 静系： 静系：固结在地面上
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直线
4 三种速度 1 绝对速度 绝对运动中动点的速度 绝对速度：绝对运动中动点的速度 2 相对速度：相对运动中动点的速度 相对速度： 牵连速度：牵连运动中牵连点的速度 3 牵连速度：牵连运动中牵连点的速度 速度 牵连点
va
vr
ve
1）牵连点：任意瞬时，动系上与动点重合的那个点 ）牵连点 任意瞬时 任意瞬时， 瞬时点 动点运动时在动系上留下的脚印 动点运动时在动系上留下的脚印
B
v v v 速度合成定理： 速度合成定理： = v + v va r e
大小： 大小：？ 方向： 方向：a
动系牵连平动； 动系牵连平动；
r v0
r vr
ϕ
r va
O ϕ
r A ve
？ a a a 如图示。 作出速度平行四边形 如图示。
注意： 注意：一定要画速度矢量图