2013年长郡中学理科实验班入学考试数学密卷答案
2013年湖南省长沙市长郡中学入学数学试卷与解析
=99%
1﹣99%=1%．
即现价比原价减少 1%．
故选： B．
8．（ 4 分）如果 ＜ ＜ ，则式中的 m 最多可能表示（
A．5 B．6 C．7 D．8
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）个不同的自然数．
【解答】 解：
，
m＜ 14， ，
8.75＜m， 故 8.75＜ m＜14， 在 8.75 和 14 之间的自然数有： 9，10，11， 12，13 共 5 个； 故选： A．
如果余下这批零件仍由乙单独加工玩成，还需要多少天？ 22．（ 10 分）甲、乙两辆汽车分别从 A、B 两地同时相向而行，速度比为 7：11， 相遇后两车继续行驶，分别到 B、 A 两地后立即返回，当第二次相遇时，甲车距
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B 地 60 千米， A、 B 两地相距多少千米？ 23．（ 10 分） A 和 B 都是高度为 12 厘米的圆柱形容器，底面半径分别是 1 厘米 和 2 厘米，一水龙头单独向 A 注水，一分钟可注满． 现将两容器在它们的高度的 一半出用一根细管连通（连通管的容积忽略不计） ，仍用该水龙头向 A 注水，求 （ 1） 2 分钟容器 A 中的水有多高？ （ 2） 3 分钟时容器 A 中的水有多高．
几天共采了 288 只蘑菇，平均每天采 32 只，这些天中有（
）天是雨天．
A．3 B．6 C．4 D．5
10．（4 分）A、B、C 三个飞机模型在空中停留的时间为： A 的 是 B 的 ，B 的
又是 C的 ，C在空中停留的时间比 A 多 13 分钟，则 B 在空中停留的时间为 （ ）
A．35 B．40郡中学入学数学试卷
一、判断题（每小题 2 分米，长 5 厘米的长方形纸上可以剪出一个半径为 2 厘
长郡理科实验班招生考试 数学试卷A
数学试卷（A )满分：100 分时量 70 分钟一、选择题（每题 5 分共 30 分）1、点A、B, C 在同一条数轴上，其中点 A, B 表示的数分别为-3, 1，若 BC=2，则AC等于( )A.3B.2C.3或5D.2 62、关于x的二次函数,下列说法正确的是( )A、图象的开口向上B、当x >l 时，y 随x 的增大而减小C、图象的顶点坐标是（－1，2）D、图象与Y 轴的交点坐标为（0, 2)3. 下面是按照一定规律排列的一列数：( )第 1个数：（＋）第 2 个数：（＋）［＋］［＋］第3个数：（＋）［＋］［＋］［＋］［＋］……依此规律，在第 10 个数、第11个数、第12 个数、第 13个数中，最大的数是[ ]A 第 10个数B 第11个数C 第 12 个数D 第13个数4、如图，在四边形 ABCD中，AB=AD＝6, AB⊥BO，点M、N 分别在 AB 、AD 边上，若AM: MB=AN:ND=1: 2，则 tan∠MCN=( )A. B. C. D.5、在直角坐标系中，已知点A（1，），O是坐标原点，若连结OA，将线段OA 绕点O逆时针旋转90°得到线段OB，则点B的坐标是( )A.（，1）B. （，-1）C. （，-1）或（，1D. （，1）6、如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=5，点P是BC边上的一个动点（点P不与点B、C重合），现将△PCD沿直线PD折叠，使点C落下点C1处，作∠BPC1的平分线交AB于点E，设BP=x，BE=y，那么y关于x的函数图像大致应为( )二、填空题｛每题 5 分共 30 分）7、函数 y=自变量 x 的取值范围是8.己知实数 m n 满足m-n2 = l 则代数式m2 + 2n2+ 4m-1的最小值等于9.矩形 ABCD中，AB=2,BC=l,点P 是直线 BD上一点，且 DP=DA，直线 AP与直线 BC 交于点 E，则 CE=10. 如图，点G 是正方形ABCD 对角线 CA 的延长线上任意一点，以线段 AG 为边作一个正方形AEFG，线段EB和 GD 相交子点H.若 AB=, AG=l，则 EB=11.如右上图,在四边形 ABCD 中 AD//BC ,∠ABC=90°, AB=BC,E为AB边上一点，∠BCE=l5°，且AE=AD.连接 DE 交对角线 AC 于 H，连接 BH . 下列结论正确的是〈填序号〉①：②; ③ CD=2DH；④.12.设 a1,a2,..., a2014是从1，0，-1这三个数中取值的一列数，若 a1+ a2+ ...+a 2014＝69 ,（a 1+ l ）2十（a 2+2）2+ ...+ (a 2014+1）2 = 4001 ，则 a 1a 2……a 2014中为0的个数是三、解答题13. (12 分)某地实行医保制度，并规定： 一、每位居民年初缴纳医保基金70 元；二、居民个人当年看病的医疗费（以定点医院的医疗发票为准，年底按表一的方式结算）报销看病的医疗费用，表一：设一位居民当年看病的医疗费用为 x 元，他个人实际承担的医疗费用（包括医疗费用中个人承担的部分和年初缴纳的医保基金） 记为y 元．(1） 当 时，y=70；当 ﹤ 口时，y= ｛用含 n 、k 、x 的代数式表示｝(2） 表二是该地 A 、B 、C 三位居民2013 年看病的医疗费和个人实际承担的医疗费用，根据表中的数据，求出n 、k 的值．表二：(3）该地居民局大爷 2013 年看病的医疗费用共32000元，那么他这一年个人实际承担的医疗费用是多少元？14. (14 分)如图（1), E 是正方形 ABCD的边 BC 上的一个点（E 与B、C两点不重合〉，过点 E 作射线 EP⊥AE，在射线 EP上截驭线段 EF ，使得 EF=A E ；过点 F 作 FG⊥BC 交 BC的廷长线子点 G.(1）求证：FG=BE:(2）连接 CF，如图（2），求证：CF 平分∠ DCG ;(3）当时求 sin∠CFE的值，15. (14 分)如图，在平面直角坐标系 xOy中，顶点为 M 的抛物线是由抛物线y=x2 - 3 向右平移一个单位后得到的，它与y 轴负半辑交子点A，点B在该抛物线上，且横坐标为 3.（1）求点 M、A、B坐标;（2）连结AB、AM , B M，求∠ABM的正切值；（3）点P 是顶点为 M的抛物线上一点，且位于对称轴的右侧，设 PO 与x 正半轴的夹角为α，当α＝时，AE上P 点坐标．A 卷参考答案1-6、D BAADC7、且 8、49、或 10、11、①③④ 12、16513、解 (1）y-（x-n）· k%70 ········3 分(2）由表二易知，且时，y=190，x=150，y=470∴,解之得……………………7分（3）当x>6000时，y-（6000-500）×40%（x-6000）×20%×170-0.2x ∴当x=32000时，Y=0.2x×32000+1070-7470（元）【直接代入计算也可】…………12分;14、（1）证明：∵EP⊥AE∴∠AEB+∠GEF=90°又∵∠AEB+∠BAE=90°∴∠GEF=∠BAE又∵FG⊥BC∴∠ABE=∠EGF=90°在△ABE与△EGF中，∠∠∠∠,∴（）∴FG=BE………………………………………………4分（2）证明：由（1）知：BC=AB=EG∴BC-EC=EG-EC，∴BC=CG又∵FG=BEFG=CG又∵∠CGF=90°∴∠FCG=45°=∠DCG∴CF平分∠DCG；……………………………………8分（3）解：如图，作CH⊥EF于H。
2013年湖南省长沙市长郡中学理科班入学数学试卷(四)
2013年湖南省长沙市长郡中学理科班入学数学试卷（四）一、选择题：（每个题目只有一个正确答案，每题6分，共36分）1．（6分）不等式组：的解集是（）A．x＞﹣3 B．x≥2 C．﹣3＜x≤2 D．x＜﹣3，则∠BAE是∠B的（）倍．2．（6分）如图，AC=CD=DA=BC=DEA．6 B．4 C．3 D．23．（6分）如果x取任何实数时，函数y=ax2+bx+c都不能取正值，则必有（）A．a＞0且△≥0 B．a＜0且△≤0 C．a＜0且△≥0 D．a＞0且△≤0 4．（6分）如图将矩形纸片ABCD沿AE折叠，使点B落在直角梯形AECD的中位线FG上，若AB=，则AE的长为（）A．2 B．3 C．2 D．5．（6分）在平面上具有整数坐标的点称为整点．若一线段的端点分别为（2，11），（11，14），则在此线段上（包括端点）的整点共有（）A．3个 B．4个 C．6个 D．8个6．（6分）设a，b，c是不全相等的任意实数，若x=a2﹣bc，y=b2﹣ca，z=c2﹣ab，则x，y，z中（）A．都不小于0 B．都不大于0C．至少有一个小于0 D．至少有一个大于0二、填空题：（每小题5分，共30分）7．（5分）等腰三角形ABC的底边BC=10cm，∠A=120°，则△ABC的外接圆半径为cm．8．（5分）如图，AB是半圆O的直径，∠BAC=30°，BC为半圆的切线，且BC=，则圆心O到AC的距离是．9．（5分）如图，有反比例函数y=，y=﹣的图象和一个以原点为圆心，2为半径的圆，则S阴影=．10．（5分）如图，△ABC中，∠A的平分线交BC于D，AB=AC+CD，∠C=80°，那么∠B的度数是．11．（5分）已知梯形ABCD的面积为S，AB∥CD，AB=b，CD=a（a＜b），对角线AC与BD交于点O，若△BOC的面积为，则=．12．（5分）一堆有红，白两种颜色的球各若干个，已知白球的个数比红球少，，每一个红球都记作“3”，但白球个数的2倍比红球多，若把每个白球都记作“2”则总数为60，那么，白球有个，红球有个．三、解答题（本大题共3小题，13、14题11分，15题12分）13．（11分）在正实数范围内，只存在一个数是关于x的方程的解，求实数k的取值范围．14．（11分）预计用1500元购买甲商品x个，乙商品y个，不料甲商品每个涨价1.5元，乙商品每个涨价1元，尽管购买甲商品的个数比预定数减少10个，总金额仍多用29元．又若甲商品每个只涨价1元，并且购买甲商品的数量只比预定数少5个，那么甲、乙两商品支付的总金额是1563.5元．（1）求x、y的关系式；（2）若预计购买甲商品的个数的2倍与预计购买乙商品的个数的和大于205，但小于210，求x、y的值．15．（12分）已知抛物线y=﹣ax2+2ax+b与x轴的一个交点为A（﹣1，0），与y 轴的正半轴交于点C．（1）直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；（2）当点C在以AB为直径的⊙P上时，求抛物线的解析式；（3）坐标平面内是否存在点M，使得以点M和（2）中抛物线上的三点A、B、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．2013年湖南省长沙市长郡中学理科班入学数学试卷（四）参考答案与试题解析一、选择题：（每个题目只有一个正确答案，每题6分，共36分）1．（6分）不等式组：的解集是（）A．x＞﹣3 B．x≥2 C．﹣3＜x≤2 D．x＜﹣3【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解．【解答】解：由①得：x≥2．由②得：x＞﹣3．∴不等式组的解集为：x≥2．故选B．【点评】求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到．，则∠BAE是∠B的（）倍．2．（6分）如图，AC=CD=DA=BC=DEA．6 B．4 C．3 D．2，可得△ACD是等边三角形，即∠ACD=∠ADC=∠【分析】由AC=CD=DA=BC=DECAD=60°，∠B=∠BAC，∠E=∠DAE，又由三角形外角的性质，∠B与∠BAE的度数，继而求得答案．，【解答】解：∵AC=CD=DA=BC=DE∴△ACD是等边三角形，∴∠ACD=∠ADC=∠CAD=60°，∠B=∠BAC，∠E=∠DAE，∵∠ACD=∠B+∠BAC，∠ADC=∠E+∠DAE，∴∠B=∠BAC=∠DAE=∠E=30°，∴∠BAE=∠BAC+∠CAD+∠DAE=120°，∴∠BAE=4∠B．故选：B．【点评】此题考查了等腰三角形的性质、等边三角形的性质以及三角形外角的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．3．（6分）如果x取任何实数时，函数y=ax2+bx+c都不能取正值，则必有（）A．a＞0且△≥0 B．a＜0且△≤0 C．a＜0且△≥0 D．a＞0且△≤0【分析】根据二次函数的性质可知，只要抛物线开口向下，且与x轴无交点即可．【解答】解：欲保证x取一切实数时，函数值y恒为非负数，则必须保证抛物线开口向下，且与x轴只有一个交点，或者无交点；则a＜0且b2﹣4ac≤0，故选：B．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点．①当x取一切实数时，函数值y恒为正的条件：抛物线开口向上，且与x轴无交点；②当x取一切实数时，函数值y恒为负的条件：抛物线开口向下，且与x轴无交点．4．（6分）如图将矩形纸片ABCD沿AE折叠，使点B落在直角梯形AECD的中位线FG上，若AB=，则AE的长为（）A．2 B．3 C．2 D．【分析】利用折叠易证△AEB是含30°的直角三角形，利用相应的三角函数即可求得AE的长．【解答】解：延长EB交AD于点M，根据折叠的性质易证明△AME是一个等边三角形，则∠EAB=30°，在直角三角形ABE中，根据30°所对的直角边是斜边的一半以及勾股定理求得AE=2．故选：C．【点评】此题中的折叠方法也是折叠等边三角形的一种常用方法，那么△AEB是含30°的直角三角形．5．（6分）在平面上具有整数坐标的点称为整点．若一线段的端点分别为（2，11），（11，14），则在此线段上（包括端点）的整点共有（）A．3个 B．4个 C．6个 D．8个【分析】根据题意，设经过点（2，11）、（11，14）的直线方程y=ax+b（a≠0），利用待定系数法求得该直线方程，然后在此线段上（包括端点）寻找整点．【解答】解：设经过点（2，11）、（11，14）的直线方程y=ax+b（a≠0），则，解得，，∴所求的线段所在的直线方程为y=x+；①当y=12时，x=5，即整点（5，12）在该线段上；②当y=13时，x=8，即整点（8，13）在该线段上；又∵端点（2，11）、（11，14）也是整点，∴在此线段上（包括端点）的整点共有4个；故选：B．【点评】本题考查了坐标与图形性质．解得该题的关键是求得此线段所在的直线的方程，根据该直线方程取y的整数值．6．（6分）设a，b，c是不全相等的任意实数，若x=a2﹣bc，y=b2﹣ca，z=c2﹣ab，则x，y，z中（）A．都不小于0 B．都不大于0C．至少有一个小于0 D．至少有一个大于0【分析】由题意x=a2﹣bc，y=b2﹣ca，z=c2﹣ab，将x，y，z相加，然后根据完全平方式的性质，进行求解；【解答】解：∵x=a2﹣bc，y=b2﹣ca，z=c2﹣ab，∴2（x+y+z）=2a2﹣2bc+2b2﹣2ca+2c2﹣2ab=（a2﹣2ab+b2）+（b2﹣2bc+c2）+（a2﹣2ca+c2）=（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2＞0，∴x+y+z＞0，故x，y，z至少有一个大于0，故选：D．【点评】此题主要考查非负数的性质，即非负数大于等于0，比较简单．二、填空题：（每小题5分，共30分）7．（5分）等腰三角形ABC的底边BC=10cm，∠A=120°，则△ABC的外接圆半径为cm．【分析】连接OA交BC于D，根据三线合一定理得出BD=DC，∠OAC=∠BAC，得出等边三角形OAC，推出∠AOC=60°，在△ODC中根据勾股定理求出即可．【解答】解：连接OA交BC于D，∵O是等腰三角形ABC的外心，AB=AC，∴∠AOC=∠BOA，∵OB=OC，∴BD=DC，OA⊥BC，∴由垂径定理得：BD=DC=5cm，∠OAC=∠BAC=×120°=60°，∵OA=OC，∴△AOC是等边三角形，∴∠AOC=60°，∴∠DCO=90°﹣60°=30°∴OC=2OD，设OD=a，OC=2a，由勾股定理得：a2+52=（2a）2，a=，OC=2a=（cm）．故答案是：．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的外接圆和外心，勾股定理，等边三角形的性质和判定等知识点，此题有一定的难度，注意：此等腰三角形的外心在三角形外部．8．（5分）如图，AB是半圆O的直径，∠BAC=30°，BC为半圆的切线，且BC=，则圆心O到AC的距离是3．【分析】首先过O作AC的垂线段，再利用三角形相似就可以求出O到AC的距离．【解答】解：∵BC是⊙O的切线，∴∠ABC=90°，∵OD⊥AC，∴∠ADO=90°，∠A公共，∴△ABC∽△ADO，∴，即OD=；在△ABC中，∠BAC=30°，∴AC=2BC=8，AB==12，∴OA=6=BO，∴OD=．【点评】主要利用了相似三角形的对应线段成比例．9．（5分）如图，有反比例函数y=，y=﹣的图象和一个以原点为圆心，2为半径的圆，则S阴影=2π．【分析】由反比例函数的对称性可得，图中的阴影部分正好为两个四分之一圆，即为一个半圆的面积．【解答】解：由反比例函数的对称性知S阴影=π×22=2π．故答案为：2π．【点评】解决本题的关键是利用反比例函数的对称性得到阴影部分与圆之间的关系．10．（5分）如图，△ABC中，∠A的平分线交BC于D，AB=AC+CD，∠C=80°，那么∠B的度数是40°．【分析】在AB上截取AE=AC，先根据角平分线的定义得∠BAD=∠CAD，再根据“SAS”可判断△AED≌△ACD，则ED=CD，∠AED=∠C=80°，由于AB=AC+CD得到EB=CD=ED，即△EBD为等腰三角形，所以∠AED=∠B+∠EDB，于是∠B=∠AED=40°．【解答】解：在AB上截取AE=AC，如图，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵在△AED和△ACD中，∴△AED≌△ACD（SAS），∴ED=CD，∠AED=∠C=80°，∵AB=AC+CD，∴EB=CD=ED，∴∠B=∠EDB，∵∠AED=∠B+∠EDB，∴∠B=∠AED=40°．故答案为40°．、【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”；全等三角形的对应边相等，对应角相等．也考查了等腰三、“AAS”、“ASA”“SAS”角形的性质．11．（5分）已知梯形ABCD的面积为S，AB∥CD，AB=b，CD=a（a＜b），对角线AC与BD交于点O，若△BOC的面积为，则=．【分析】依据题意可先作出简单的图形，可设S△COD的面积为S1，S△AOB的面积为S2，由题中条件建立关于S1?S2的方程，解方程得出S1?S2之间的关系，进而可求解a、b之间的关系．【解答】解：如图，设S△COD的面积为S1，S△AOB的面积为S2，由S ABCD=S，∵AB∥CD，∴S△ABD=S△ABC，∴S△AOD﹣S△AOB=S△BOC﹣S△AOB，∴S△AOD=S△BOC=S，得S1+S2=S﹣2×S=S，①∵==，∴S1?S2=S△BOC?S△AOD=S2，②联立①、②∵△COD∽△AOB，∴=，③∵a＜b，∴S1＜S2，解方程组得S1=S，S2=S，代入③得=．故答案为．【点评】本题主要考查了梯形的性质以及相似三角形的判定及性质以及面积的问题，能够通过方程的思想建立等式，进而求解结论．12．（5分）一堆有红，白两种颜色的球各若干个，已知白球的个数比红球少，，每一个红球都记作“3”，但白球个数的2倍比红球多，若把每个白球都记作“2”则总数为60，那么，白球有9个，红球有14个．【分析】设有白球x个，有红球y个，根据条件就有x＜y，2x＞y，2x+3y=60，从而构成一个不等式组，求出其解即可．【解答】解：设有白球x个，有红球y个，由题意，得，由③，得x=④，把④代入①，得y＞12．把④代入②，得y＜15．∵x、y为整数，y=13，14，当y=13时，x=舍去，当y=14时，x=9，∴白球9个，红球14个故答案为：9，14．【点评】本题考查了列一元一次不等式组解实际问题的运用，一元一次不等式组的解法的运用，解答本题时根据条件建立不等式是解答本题的关键．三、解答题（本大题共3小题，13、14题11分，15题12分）13．（11分）在正实数范围内，只存在一个数是关于x的方程的解，求实数k的取值范围．【分析】先把原方程化为2x2﹣3x﹣（k+3）=0，一定是一个一元二次方程，在正实数范围内，只存在一个数是关于x的方程的解，因而可能方程有两个相同的实根，求得即可进行判断；或解方程得到的两个根中有一个是方程的增根，即x=1是方程2x2﹣3x﹣（k+3）=0的解，即可求得方程的另一解，然后进行判断；或方程有两个异号得实数根；或其中一根是0，即可求得方程的另一根，进行判断．因而这个方程中再分四种情况讨论：（1）当△=0时；（2）若x=1是方程①的根；（3）当方程①有异号实根时；（4）当方程①有一个根为0时，最后结合题意总结结果即可．【解答】解：原方程可化为2x2﹣3x﹣（k+3）=0，①（1）当△=0时，，满足条件；（2）若x=1是方程①的根，得2×12﹣3×1﹣（k+3）=0，k=﹣4；此时方程①的另一个根为，故原方程也只有一根；（3）当方程①有异号实根时，且x≠1即k≠﹣4，得k＞﹣3，此时原方程也只有一个正实数根；（4）当方程①有一个根为0时，k=﹣3，另一个根为，此时原方程也只有一个正实根．综上所述，满足条件的k的取值范围是或k=﹣4或k≥﹣3．【点评】主要考查了方程解的定义和分式的运算，此类题型的特点要分情况讨论．14．（11分）预计用1500元购买甲商品x个，乙商品y个，不料甲商品每个涨价1.5元，乙商品每个涨价1元，尽管购买甲商品的个数比预定数减少10个，总金额仍多用29元．又若甲商品每个只涨价1元，并且购买甲商品的数量只比预定数少5个，那么甲、乙两商品支付的总金额是1563.5元．（1）求x、y的关系式；（2）若预计购买甲商品的个数的2倍与预计购买乙商品的个数的和大于205，但小于210，求x、y的值．【分析】（1）设出必需的未知量，找出等量关系为：甲原单价×甲原数量+乙原单价×乙原数量=1500，（甲原单价+1.5）×（甲原数量﹣10）+（乙原单价+1）×乙原数量=1529；（甲原单价+1）×（甲原数量﹣5）+（乙原单价+1）×乙原数量=1563.5．（2）结合（1）得到的式子，还有205＜2倍甲总价+乙总价＜210，求出整数解．【解答】解：（1）设预计购买甲、乙商品的单价分别为a元和b元，则原计划是ax+by=1500，①由甲商品单价上涨 1.5元、乙商品单价上涨1元，并且甲商品减少10个的情形，得（a+1.5）（x﹣10）+（b+1）y=1529．②再由甲商品单价上涨1元，而数量比预计数少5个，乙商品单价上涨仍是1元的情形，得（a+1）（x﹣5）+（b+1）y=1563.5，③由①、②、③得④⑤④﹣⑤×2并化简，得x+2y=186．（2）依题意，有205＜2x+y＜210及x+2y=186，54＜y＜由y是整数，得y=55，从而得x=76．答：（1）x、y的关系x+2y=186；（2）x值为76，y值为55．【点评】解决本题的关键是读懂题意，找到合适的关系式．当必需的量没有时，应设出未知数，在做题过程中消去无关的量．15．（12分）已知抛物线y=﹣ax2+2ax+b与x轴的一个交点为A（﹣1，0），与y 轴的正半轴交于点C．（1）直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；（2）当点C在以AB为直径的⊙P上时，求抛物线的解析式；（3）坐标平面内是否存在点M，使得以点M和（2）中抛物线上的三点A、B、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）抛物线y=﹣ax2+2ax+b的对称轴，可以根据公式直接求出，抛物线与x轴的另一交点与A关于对称轴对称，因而交点就可以求出．（2）AB的长度可以求出，连接PC，在直角三角形OCP中，根据勾股定理就可以求出C点的坐标，把这点的坐标代入抛物线的解析式，就可以求出解析式．（3）本题应分AC或BC为对角线和以AB为对角线三种情况进行讨论，当以AC 或BC为对角线时，点M在x轴上方，此时CM∥AB，且CM=AB．就可以求出点M的坐标．当以AB为对角线时，点M在x轴下方易证△AOC≌△BNM，可以求出点M的坐标．【解答】解：（1）对称轴是直线：x=1，点B的坐标是（3，0）．（2分）说明：每写对1个给（1分），“直线”两字没写不扣分．（2）如图，连接PC，∵点A、B的坐标分别是A（﹣1，0）、B（3，0），∴AB=4．∴PC=AB=×4=2在Rt△POC中，∵OP=PA﹣OA=2﹣1=1，∴OC=，∴b=（3分）当x=﹣1，y=0时，﹣a﹣2a+=0∴a=（4分）∴y=﹣x2+x+．（5分）（3）存在．（6分）理由：如图，连接AC、BC．设点M的坐标为M（x，y）．①当以AC或BC为对角线时，点M在x轴上方，此时CM∥AB，且CM=AB．由（2）知，AB=4，∴|x|=4，y=OC=．∴x=±4．∴点M的坐标为M（4，）或（﹣4，）．（9分）说明：少求一个点的坐标扣（1分）．②当以AB为对角线时，点M在x轴下方．过M作MN⊥AB于N，则∠MNB=∠AOC=90度．∵四边形AMBC是平行四边形，∴AC=MB，且AC∥MB．∴∠CAO=∠MBN．∴△AOC≌△BNM．∴BN=AO=1，MN=CO=．∵OB=3，∴0N=3﹣1=2．∴点M的坐标为M（2，﹣）．（12分）综上所述，坐标平面内存在点M，使得以点A、B、C、M为顶点的四边形是平行四边形．其坐标为M1（4，），M2（﹣4，），M3（2，﹣）．说明：①综上所述不写不扣分；②如果开头“存在”二字没写，但最后解答全部正确，不扣分【点评】本题主要考查了抛物线的轴对称性，是与勾股定理相结合的题目．难度较大．。
长郡理科实验班招生 考试数学试卷(一)
最全长郡理科实验班招生考试数学试卷（一）时量：60分钟满分：100分一选择题（每题5分，共30分）l.已知α为实数，则代数式27−12α＋2a2的最小值为（）A.0B.3C.33D.92.若n为整数，则能使n+1n−1也为整数的n的个数有（）A.1个B.2个C.3个D.4个·3.已知α，b为实数，且αb=1，设M=a a+1+b b+1,N=1a+1+1b+1,则M、N的大小关系是A..M>NB.M=NC.M<N.D.无法确定4.一张圆桌旁有四个座位如图，A,B,C,D四人随机坐在四个座位上，则A与D相邻的概率是（）A.23B12C14 D.295.如图，∠ACB=60°，半径为2的⊙O切BC于点C，若将⊙O在CB上向右滚动，则当滚动到⊙O与CA也相切时，圆心O移动的水平距离为（）A.2πB.πC.23D.46.如图，平面中两条直线l1，和l2相交子点0，对于平面上任意一点M，若P,q分别是M到直线l1和l2的距离，则称有序非负实数对（p1,q）是点M的“距离坐标”，根据上述定义，有以下几个结论：①“距离坐标”是（0,1)的点有1个；②“距离坐标”是（5，的的点有4个；③“距离坐标”是（α，α），（α为非负实数）的点有4个．其中正确的有其中正确的有（）A.0个B.1个C.2个D.3个二、填空题（每题5分，共30分）7.已知α，b,C是实数，且α2+6b＝-17,b2+8c=-23,c2+2α＝14，则α＋b+c=.8.已知关于 的不等式（2α-b）＞b的解集是 棨−12，则a b b+-36a3=.9.对正实数α，b作定义a∗b=ab−a+b，若4*x=44，则x的值是.10.在△ABC中，AB=4C,∠A=45°，AC的垂直平分线分别交AB、AC于D、E 两点，连结CD，如果AD=l，则tan∠BCD的值为.11.已知：如图，在直角△ABC中，AD=DE=EB，且CD2+CE2=1，则斜边AB的长为12.小明、小林和小颖共解出100道数学题，每人都解出了其中的60道，如果将其中只有1人解出的题叫做难题，2人解出的是基叫做中裆题，3人都解出的题叫做容易题，那么难题比容易题多道．三、解答题（每题10分，共40分）13.某商场将进价为2600元的彩电以3000元售出，平均每天能销售出6台．为丁配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施．调查表明：这种彩电的售价每降低50元，平均每天就能多售出3台．(1）商场要想在这种彩电销售中每天盈利3600元，同时又要使百姓得到最卢大实惠，每台彩电应降价多少元？(2）每告彩电降价多少元时，商场每天销售这种彩电的利润最高？最高利润是多少？14.已知点M,N的坐标分别为（0,1),(0,-1），点P是抛物线y=14x2上的一个动点．（1）求证：以点P为圆心，PM为半径的圆与直线y=-1的相切；（2）设直线PM与抛物线y=14x2的另一个交点为点Q，连接NP、NQ，求证：∠PNM=∠QNM.15、已知关于x的方程（m2−1）x2−33m−1+18=0有两个正整数根（m是整数），△ABC的三边a、b、c满足c=23，m2+a2m−8a=0，m2+b2m−8b=0，求：（1）m的值；（2）△ABC的面积；16.直线y=x−10与x轴交于A点，点B在第一象限，且AB=35，以cos∠OAB=25 (1）若点C是点B关于x轴的对称点，求过0、C、A三点的抛物线的表达式(2）在(1）中的抛物线上是否存在点P(P点在第一象限），使得以点P、0、C、A为顶点的囚边形是梯形？若存在，求出点O的坐标；若不存在，请说明理由．(3）若将点O、A分别变换为点Q(-4m,0),R(6m,0）（m 0且为常数）），设过Q、R两点且以QR的垂直平分线为对称轴的抛物线（开口向上）与y轴的交点为N，其顶点为M，记△QNM的面积为S∆QNM，△QNR的面积为S∆QNR，求S∆QNM:S∆QNR的数学试卷（一）参考答案一、选择题（每题5分，共30分）1.B2.D3.B4.A5.C6.B二、填空题（每题5分，共30分）7.-88.-39.3610.12 11.55312.20三、解答题（每题10分，共40分）13.解：设每台彩电降价x 元（0<x<400），商场销售这种彩电平均每天的利润为y 元，则有y =3000−2600−x 6+=350（x 2−−4000）……………………4分(1）因为要每天盈利3600元，则y=36002−300x −4000=3600所以x 2−300x +2000=0，解得x=100或俨200,又因为要使百姓得到最大实惠，则每台要降价200元．…………………………7分(2)∵y =350x 2−300x −4000=350（x −150）2+3750∴当x=150时，y 取得最大值为3750,所以每台彩电降价150元时，商场的利润最高为3750元．………………10分14.解：（1）设点P 的坐标为（x 0，14x 02），则PM===14x02+1；……………………4分（2）如图，分别过点P，Q作直线y=-1的垂线，垂足分别为H、R，由（1）知PH=PM,MN、QR都垂直于直线y=-1，所以PH//MH//QR，于是QM EN=MP NH,所以QR RN=PH HN,因此，Rt∆PHN∽Rt∆QNM.………………………………9分于是∠HNP=∠RNQ，从而∠PNM=∠QNM。
湖南四大名校内部资料长郡中学理科实验班入学考试数学试卷及答案
为 x1，x2 ，其中 2 x1 1 ， 0 x2 1 ，下列结论：① 4a 2b c 0 ；② 2a b 0 ；
③ a 1；④ b2 8a 4ac ．其中正确的有（
）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
第 5 题图
第 6 题图
二、填空题（每题 4 分，共 32 分）
第 8 题图
15、已知，在△ABC 中，∠C＝90°，斜边长为 7.5，两条直角边的长分别是关于 x 的方程 x2—3（m＋ 1 ）x＋9m＝0 的两个根，则△ABC 的内切圆面积是_____________.
2
16、对于自然数 n ，将其各位数字之和记为 an ，如 a2009 2 0 0 9 11，
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18、如图 1，过点 E 0，1 作平行于 x 轴的直线 l ，抛物线 y 1 x2 上的两点 A、B 的横坐
4
标分别为1 和 4，直线 AB 交 y 轴于点 F ，过点 A、B 分别作直线 l 的垂线，垂足分别为点 C 、
__________________________装____________________________ ____订______________________________线___________
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A．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 B.有两边和一角对应相等的两个三角形全等
C．两条对角线相等的平行四边形是矩形
长郡中学理科实验班招生考试数学试卷
长郡中学理科实验班招生考试数学试卷满分：100 时量：70min一、选择题（本题有8小题，每小题4分，共32分） 1．函数y ＝1x -图象的大致形状是 （ ） A B C D 2．小明随机地在如图所示的正三角形及其内部区域投针，则针扎到其内切圆(阴影)区域的概率为 （ ） A 、21 B 、π63 C 、π93 D 、π33 3．满足不等式3002005<n 的最大整数n 等于 （ ） （A ）8 （B ）9 （C ）10 （D ）11 4．甲、乙两车分别从A ，B 两车站同时开出相向而行，相遇 后甲驶1小时到达B 站，乙再驶4小时到达A 站. 那么， 甲车速是乙车速的 （A ）4倍 （B ）3倍 （C ）2倍 （D ）1.5倍 5．图中的矩形被分成四部分，其中三部分面积分别为2， 3，4，那么，阴影三角形的面积为 （ ） （A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8 6．如图，AB ，CD 分别是⊙O 的直径和弦，AD ，BC 相交于点E ，∠AEC=α， 则△CDE 与△ABE 的面积比为 （ ） （A ）cos α （B ）sin α （C ）cos 2α （D ）sin 2α 7．两杯等量的液体，一杯是咖啡，一杯是奶油. 舀一勺奶油到咖啡杯里，搅匀后舀一勺混合液注入到奶油杯里. 这时，设咖啡杯里的奶油量为a ，奶油杯里的咖啡量为b ，那么a 和 b 的大小为 （ ） （A ）b a > （B ）b a < （C ）b a = （D ）与勺子大小有关8．设A ，B ，C 是三角形的三个内角，满足B C B A 23,53<>，这个三角形是 （ ）（A ）锐角三角形 （B ）钝角三角形 （C ）直角三角形 （D ）都有可能二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）9． 用数字1，2，3，4，5，6，7，8不重复地填写在下面连等式的方框中，使这个连等式成立：1＋□＋□=9＋□＋□=8＋□＋□=6＋□＋□10．如图，正三角形与正六边形的边长分别为2和1，正六边形的顶点O 是正三角形的中心，则四边形OABC 的面积等于 ______ .11．计算：622633++++= ________ .y x O y x O y x O y x O ……………..………….密………………..…………….封……………………………..线…………………….12．五支篮球队举行单循坏赛（就是每两队必须比赛1场，并且只比赛一场），当赛程进行到某天时，A 队已赛了4场，B 队已赛了3场，C 队已赛了2场，D 队已赛了1场，那么到这天为止一共已经赛了 __ 场，E 队比赛了 ___ 场.13．已知∠AOB=30°,C 是射线OB 上的一点，且OC=4，若以C 为圆心，半径为r 的圆与射线OA 有两个不同的交点，则r 的取值范围是_____________14．如图，△ABC 为等腰直角三角形，若 AD=31AC ，CE=31BC ，则∠1 __ ∠2 （填“>”、“<”或“=”）三．解答题（共38分） 15. （１２分）今年长沙市筹备60周年国庆，园林部门决定利用现有的3490盆甲种花卉和2950盆乙种花卉搭配A B ，两种园艺造型共50个摆放在五一大道两侧，已知搭配一个A 种造型需甲种花卉80盆，乙种花卉40盆，搭配一个B 种造型需甲种花卉50盆，乙种花卉90盆．（1）某校九年级（1）班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来．（2）若搭配一个A 种造型的成本是800元，搭配一个B 种造型的成本是960元，试说明（1）中哪种方案成本最低？最低成本是多少元？１６．（１２分）如图，ABC △是O 的内接三角形，AC BC =，D 为O 中AB 上一点，延长DA 至点E ，使CE CD =．（1）求证：AE BD =；（2）若AC BC ⊥，求证：2AD BD CD +=．（第14题）Ｃ Ｅ Ａ Ｏ Ｄ Ｂ１７．（１４分）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=50，AD=75，BC=135．点P从点B出发沿折线段BA-AD-DC以每秒5个单位长的速度向点C匀速运动；点Q从点C出发沿线段CB方向以每秒3个单位长的速度匀速运动，过点Q向上作射线QK⊥BC，交折线段CD-DA-AB于点E．点P、Q同时开始运动，当点P与点C重合时停止运动，点Q也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．（1）当点P到达终点C时，求t的值，并指出此时BQ的长；（2）当点P运动到AD上时，t为何值能使PQ∥DC ？（3）设射线QK扫过梯形ABCD的面积为S，分别求出点E运动到CD、DA上时，S与t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）（4）△PQE能否成为直角三角形？若能，写出t的取值范围；若不能，请说明理由．参考答案选择题 D C D C C C C B9． 1＋8＋6=9＋5＋1=8＋3＋4=6＋7＋210． 33 11． 26 12． 6场，2场 13．223r <≤ 14．＝1５．（１）解：设搭配A 种造型x 个，则B 种造型为(50)x -个，依题意，得：8050(50)34904090(50)2950x x x x +-⎧⎨+-⎩≤≤ ，解这个不等式组，得：3331x x ⎧⎨⎩≤≥，3133x ∴≤≤ x 是整数，x ∴可取313233，，，∴可设计三种搭配方案：①A 种园艺造型31个 B 种园艺造型19个②A 种园艺造型32个 B 种园艺造型18个③A 种园艺造型33个 B 种园艺造型17个．（2）应选择方案③，成本最低，最低成本为42720元１６．证明：（1）在ABC △中，CAB CBA ∠=∠．在ECD △中，CAB CBA ∠=∠．CBA CDE ∠=∠，（同弧上的圆周角相等），ACB ECD ∴∠=∠． ACB ACD ECD ADE ∴∠-∠=∠-∠．ACE BCD ∴∠=∠．在ACE △和BCD △中，ACE BCD CE CD AC BC ∠=∠==；；ACE BCD ∴△≌△．AE BD ∴=．（2）若AC BC ACB ECD ∠=∠⊥，．9045ECD CED CDE ∴∠=∴∠=∠=，．2DE CD ∴=，又AD BD AD EA ED +=+= 2AD BD CD ∴+=１７．解：（1）t =（50＋75＋50）÷5=35（秒）时，点P 到达终点C ．此时，QC=35×3=105，∴BQ 的长为135－105=30．（2）如图8，若PQ ∥DC ，又AD ∥BC ，则四边形PQCD为平行四边形，从而PD=QC ，由QC=3t ，BA+AP=5t得50＋75－5t=3t ，解得t=1258． 经检验，当t=1258时，有PQ ∥DC ． （3）①当点E 在CD 上运动时，如图9．分别过点A 、D作AF ⊥BC 于点F ，DH ⊥BC 于点H ，则四边形ADHF 为矩形，且△ABF ≌△DCH ，从而FH= AD=75，于是BF=CH=30．∴DH=AF=40． DK P QH Q CDH=4t．又QC=3t，从而QE=QC·tanC=3t·CH（注：用相似三角形求解亦可）QE·QC=6t2；∴S=S⊿QCE =12②当点E在DA上运动时，如图8．过点D作DH⊥BC于点H，由①知DH=40，CH=30，又QC=3t，从而ED=QH=QC－CH=3t－30．(ED＋QC)DH =120 t－600．∴S= S梯形QCDE =12（4）△PQE能成为直角三角形．。
长郡中学理科实验班招生考试数学试卷
长郡中学理科实验班招生考试数学试卷满分：100 时量：70min一、选择题（本题有8小题，每小题4分，共32分） 1．函数y ＝1x -图象的大致形状是 （ ）A B C D2．小明随机地在如图所示的正三角形及其内部区域投针，则针扎到其内切圆(阴影)区域的概率为 （ ）A 、21B 、π63C 、π93D 、π33 3．满足不等式3002005<n的最大整数n 等于 （ ）（A ）8 （B ）9 （C ）10 （D ）11 4．甲、乙两车分别从A ，B 两车站同时开出相向而行，相遇 后甲驶1小时到达B 站，乙再驶4小时到达A 站. 那么， 甲车速是乙车速的（A ）4倍 （B ）3倍 （C ）2倍 （D ）1.5倍 5．图中的矩形被分成四部分，其中三部分面积分别为2，3，4，那么，阴影三角形的面积为 （ ）（A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）86．如图，AB ，CD 分别是⊙O 的直径和弦，AD ，BC 相交于点E ，∠AEC=α， 则△CDE 与△ABE 的面积比为 （ ）（A ）cos α （B ）sin α （C ）cos 2α （D ）sin 2α7．两杯等量的液体，一杯是咖啡，一杯是奶油. 舀一勺奶油到咖啡杯里，搅匀后舀一勺混合液注入到奶油杯里. 这时，设咖啡杯里的奶油量为a ，奶油杯里的咖啡量为b ，那么a 和 b 的大小为 （ ） （A ）b a > （B ）b a < （C ）b a = （D ）与勺子大小有关8．设A ，B ，C 是三角形的三个内角，满足B C B A 23,53<>，这个三角形是 （ ） （A ）锐角三角形 （B ）钝角三角形 （C ）直角三角形 （D ）都有可能 二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）9． 用数字1，2，3，4，5，6，7，8不重复地填写在下面连等式的方框中，使这个连等式成立：1＋□＋□=9＋□＋□=8＋□＋□=6＋□＋□10．如图，正三角形与正六边形的边长分别为2和1，正六边形的顶点O 是正三角形的中心，则四边形OABC 的面积等于 ______ . 11．计算：622633++++= ________ .yxOy xOy xOyxO……………..………….密………………..…………….封……………………………..线…………………….12．五支篮球队举行单循坏赛（就是每两队必须比赛1场，并且只比赛一场），当赛程进行到某天时，A 队已赛了4场，B 队已赛了3场，C 队已赛了2场，D 队已赛了1场，那么到这天为止一共已经赛了 __ 场，E 队比赛了 ___ 场.13．已知∠AOB=30°,C 是射线OB 上的一点，且OC=4，若以C 为圆心，半径为r 的圆与射线OA 有两个不同的交点，则r 的取值范围是_____________ 14．如图，△ABC 为等腰直角三角形，若AD=31AC ，CE=31BC ，则∠1 __ ∠2 （填“>”、“<”或“=”）三．解答题（共38分） 15. （１２分）今年长沙市筹备60周年国庆，园林部门决定利用现有的3490盆甲种花卉和2950盆乙种花卉搭配A B ，两种园艺造型共50个摆放在五一大道两侧，已知搭配一个A 种造型需甲种花卉80盆，乙种花卉40盆，搭配一个B 种造型需甲种花卉50盆，乙种花卉90盆．（1）某校九年级（1）班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来．（2）若搭配一个A 种造型的成本是800元，搭配一个B 种造型的成本是960元，试说明（1）中哪种方案成本最低？最低成本是多少元？１６．（１２分）如图，ABC △是O 的内接三角形，AC BC =，D 为O 中AB 上一点，延长DA 至点E ，使CE CD =． （1）求证：AE BD =；（2）若AC BC ⊥，求证：2AD BD CD +=．（第14题）ＥＡＯＢ１７．（１４分）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=50，AD=75，BC=135．点P从点B出发沿折线段BA-AD-DC以每秒5个单位长的速度向点C匀速运动；点Q从点C出发沿线段CB方向以每秒3个单位长的速度匀速运动，过点Q向上作射线QK⊥BC，交折线段CD-DA-AB于点E．点P、Q同时开始运动，当点P与点C重合时停止运动，点Q也随之停止．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．（1）当点P到达终点C时，求t的值，并指出此时BQ的长；（2）当点P运动到AD上时，t为何值能使PQ∥DC ？（3）设射线QK扫过梯形ABCD的面积为S，分别求出点E运动到CD、DA上时，S与t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）（4）△PQE能否成为直角三角形？若能，写出t的取值范围；若不能，请说明理由．参考答案选择题 D C D C C C C B 9． 110．33 11． 26 12． 6场，2场 13．2r <≤ 14．＝1５．（１）解：设搭配A 种造型x 个，则B 种造型为(50)x -个，依题意，得：8050(50)34904090(50)2950x x x x +-⎧⎨+-⎩≤≤ ，解这个不等式组，得：3331x x ⎧⎨⎩≤≥，3133x ∴≤≤ x 是整数，x ∴可取313233，，，∴可设计三种搭配方案： ①A 种园艺造型31个 B 种园艺造型19个 ②A 种园艺造型32个 B 种园艺造型18个 ③A 种园艺造型33个 B 种园艺造型17个．（2）应选择方案③，成本最低，最低成本为42720元 １６．证明：（1）在ABC △中，CAB CBA ∠=∠．在ECD △中，CAB CBA ∠=∠．CBA CDE ∠=∠，（同弧上的圆周角相等），ACB ECD ∴∠=∠． ACB ACD ECD ADE ∴∠-∠=∠-∠．ACE BCD∴∠=∠． 在ACE △和BCD △中，ACE BCD CE CD AC BC ∠=∠==；； ACE BCD ∴△≌△．AE BD ∴=． （2）若AC BC ACB ECD ∠=∠⊥，．9045ECD CED CDE ∴∠=∴∠=∠=，． DE ∴=，又AD BD AD EA ED +=+=AD BD ∴+=１７．解：（1）t =（50＋75＋50）÷5=35（秒）时，点P 到达终点C ． 此时，QC=35×3=105，∴BQ 的长为135－105=30．（2）如图8，若PQ ∥DC ，又AD∥BC ，则四边形PQCD 为平行四边形，从而PD=QC ，由QC=3t ，BA+AP=5t 得50＋75－5t=3t，解得t=1258．经检验，当t=1258时，有PQ ∥DC ．（3）①当点E 在CD 上运动时，如图9．分别过点A 、D 作AF ⊥BC 于点F ，DH ⊥BC 于点H ，则四边形 ADHF 为矩形，且△ABF ≌△DCH ，从而FH= AD=75，于是BF=CH=30．∴DH=AF=40．Q CDH=4t．又QC=3t，从而QE=QC·tanC=3t·CH（注：用相似三角形求解亦可）QE·QC=6t2；∴S=S⊿QCE =12②当点E在DA上运动时，如图8．过点D作DH⊥BC于点H，由①知DH=40，CH=30，又QC=3t，从而ED=QH=QC－CH=3t－30．(ED＋QC)DH =120 t－600．∴S= S梯形QCDE =12（4）△PQE能成为直角三角形．。
长郡理科实验班招生 考试数学试卷(五)
长郡理科实验班招生 考试数学试卷（五）时量：60分钟 满分：100分一、选择题（每题5分，共30分）1.若a 、b 为实数，则下列命题中正确的是（ ） A.22a b a b >⇒> B.22a b a b ≠⇒≠ C.22a b a b >⇒>D.22a b a b >⇒>2.梯形上底长为L ，中位线长为m ，则连接两条对角线中点的线段长为（ ）. A.2m L -B.2L π-C.2m L -D.m L -3.关于x 的方程21x a x =-仅有两个不同的实根，则实数a 的取值范围是（ ） A.0a > B.4a ≥ C.24a << D.04a <<4.从分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中任意取出两张，把第一张卡片上的数字作为十位数字，第二张卡片上的数字作为个位数字，组成一个两位数，则所组成的数是3的倍数的概率是（ ） A.15B.310C.25D.125.用黑白两种颜色的正六边形地面砖拼成若干个图案，规律如下图所示，则第2010个图案中，白色地面砖的块数是（ ）A.8042B.8038C.4024D.60336.如图，⊙ 与 外切于P ，⊙ ， 的半径分别为2，1.1O A 为 的切线，AB 为 的直径，1O B 分别交⊙ ， 于C ，D ，则CD+3PD 的值为（ ）A.73二、填空题（每题5分，共30分）7.P 是⊙O 的直径AB 的延长线上一点，PC 与⊙O 相切于点C ，APC ∠的角平分线交AC 于点，则PQC ∠= . 8.已知：x 为非零实数，且1122x xa -+=，则21x x+= .9.x 的值为 . 10.若关于x 的方程51122m x x ++=--无解，则m = . 11.如图，四边形ABCD 中，90A C ∠=∠=︒，60ABC ∠=︒，4AD =，10CD =，则BD 的长等于 .12.给出一列数，11，12，21，13，22，31，…，1k ，21k -，32k -，…，1k ，…在这列数中，第50个值等于1的项的序号是 .三、解答题（13题12分、14题14分、15题14分，共40分）13.在三角形ABC 中，90C ∠=︒，A ∠，B ∠，C ∠对应的边分别是,,a b c ，其中a b -=，CD AB ⊥于D ，BD AD -=ABC ∆三边的长.14.长沙某校准备组织学生及学生家长到郴州进行社会实践，为了便于管理，所有人员必须乘坐在同一列火车上；根据报名人数，若都实一等座单程火车票需17010元，若都买二等座单程火车票且花钱最少，则需11220元；已知学生家长与教师的人数之比为2：1，长沙到郴州的火车票价格（部分）如下表所示：（1）参加社会实践的老师、家长与学生各有多少人？（2）由于各种原因，二等座火车票单程只能买x张（x小于参加社会实践的人数）其余的须买一等座火车票，在保证每位参与人员都有座位坐的前提下，请你设计最经济的购票方案，并写出购买火车票的总费用（单程）y与x之间的函数关系式（3）请你做一个预算，按第（2）小题中的购票方案，购买一个单程火车票至少要花多少钱？最多要花多少钱？15.如图，二次函数()20=+>的图象与反比例函数ky ax bx a=图象相交于点A，B，yx已知点A的的坐标为（1，4），点B在第三象限内，且△AOB的面积为3（O为坐标原点）.①求实数k的值；②求二次函数()20=+>的解析式；y ax bx a③设抛物线与x轴的另一个交点为D E，点为线段OD上的动点（与,O D不能重合），过E点作//EF OB交BD于F，连接BE，设OE的长为m，△BEF的面积为S，求S 于m的函数关系式；④在③的基础上，试说明S是否存在最大值？若存在，请求出S的最大值，并求出此时E点的坐标；若不存在，说明理由.“最湖南的网课”，胡哥与他的朋友们，联合出品。
长郡理科实验班招生 考试数学试卷(六)
长郡理科实验班招生 考试数学试卷（六）时量：60分钟 满分：100分一、选择题（每题5分，共30分）1.设a =，b =，c =,,a b c 之间的大小关系是（ ） A.a b c <<B.c b a <<C.c a b <<D.a c b <<2.设213a a +=，213b b +=，且a ≠b ，则代数式2211a b +的值为（ ） A.5B.7C.9D.113.如图所示，一个3×3的方格中，每一行，每一列，及每一对角线上的三个数之和都相等，则x 的值是（ ）A.6B.7C.8D.94.在Rt △ABC 中，斜边5AB =，而直角边BC 、AC 之长是一元二次方程()()221410x m x m --+-=的两根，则m 的值是（ ）A.4B.1-C.4或1-D.4-或15.已知△ABC 的三边长为,,a b c 且满足方程()2222220a x c a b x b ---+=，则方程根的情况是（ ） A.有两相等实根 B.有两相异实根 C.无实根D.不能确定6.小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币.小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n 倍”；小玲对小倩说：“你若给我n 元，我的钱数将是你的2倍”，其中n 为正整数，则n 的可能值的个数是（ ） A.1B.2C.3D.4二、填空题（每题5分，共30分）7.如图，在直角△ABC 中，2AB AC ==，分别以A B C ，，为圆心，以12AC 为半径做弧，则三条弧与边BC 围成的图形（图中阴影部分）的面积为 .8.如果一个正比例函数的图象与一个反比例函数6y x=的图象交()11,A x y ，()22,B x y ，那么()()2121x x y y --值为 .9.关于x 的不等式组()2331324x x x x a <-+⎧⎪⎨+>+⎪⎩有四个整数解，则a 的取值范围是 .10.小莉与小明一起用A ，B 两枚均匀的小立方体（立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6）玩游戏，以小莉掷的A 立方体朝上的数字为x ，小明掷的B 立方体朝上的数字为y ，来确定点(),P x y ，那么他们各掷一次所确定的点(),P x y 落在已知抛物线24y x x =-+上的概率为 .11.在等腰Rt ABC ∆中，1AC BC ==，M 是BC 的中点，CE AM ⊥于E 交AB 于F ，则MBF S ∆= .12.为 .三、解答题（13题12分、14题14分、15题14分，共40分）.13.如图，AB 是⊙O 的直径，AB d =，过A 作⊙O 的切线并在其上取一点C ，使AC AB =，连结OC 交⊙O 于点D ，BD 的延长线交AC 于E ，求AE 的长.14.已知3个不同的实数a 、b 、c 满足3a b c -+=，方程210x ax ++=和20x bx c ++=有一个相同的实根，方程20x x a ++=和20x cx b ++=也有一个相同的实根.求a 、b 、c 的值.15.如图，抛物线经过点()4,0A 、()1,0B 、()0,2C -三点. （1）求此抛物线的解析式；（2）P 是抛物线上的一个动点，过P 作PM x ⊥轴，垂足为M 、最否存在点P ，使得以A 、P 、M 为顶点的三角形与△OAC 相似？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC 上方的抛物线是有一点D ，使得△DCA 的面积最大，求出点D 的坐标。