2020年高一数学上期中试题含答案
2020年高一数学上期中试题(及答案)
2020年高一数学上期中试题(及答案)一、选择题1．设常数a ∈R ，集合A={x|（x ﹣1）（x ﹣a ）≥0}，B={x|x≥a ﹣1}，若A ∪B=R ，则a 的取值范围为（ ） A ．（﹣∞，2）B ．（﹣∞，2]C ．（2，+∞）D ．[2，+∞）2．函数()ln f x x x =的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．3．如图，点O 为坐标原点，点(1,1)A ，若函数xy a =及log b y x =的图象与线段OA 分别交于点M ，N ，且M ，N 恰好是线段OA 的两个三等分点，则a ，b 满足．A ．1a b <<B ．1b a <<C ．1b a >>D ．1a b >>4．设集合{|32}M m m =∈-<<Z ，{|13}N n n M N =∈-≤≤⋂=Z ，则A ．{}01，B ．{}101-，，C ．{}012，，D ．{}1012-，，， 5．设()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，()21,0122,1xx x f x x ⎧-+≤<=⎨-≥⎩，若对任意的[],1x m m ∈+，不等式()()1f x f x m -≤+恒成立，则实数m 的最大值是（ ）A ．1-B ．13-C ．12-D ．136．函数()f x 在(,)-∞+∞单调递增，且为奇函数，若(1)1f =，则满足1(2)1f x -≤-≤的x 的取值范围是（ ）．A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3]7．若01a b <<<，则b a ， a b ， log b a ，1log ab 的大小关系为（ ）A ．1log log b a b aa b a b >>> B ．1log log a bb ab a b a >>> C ．1log log b a b aa ab b >>> D ．1log log a b b aa b a b >>> 8．已知定义在R 上的函数()21()x m f x m -=-为实数为偶函数,记0.5(log 3),a f =2b (log 5),c (2)f f m ==,则,,a b c ,的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．c b a <<9．已知函数()f x =2log (1),(1,3)4,[3,)1x x x x ⎧+∈-⎪⎨∈+∞⎪-⎩，则函数[]()()1g x f f x =-的零点个数为（ ） A ．1B ．3C ．4D ．610．方程 4log 7x x += 的解所在区间是（ ） A ．(1,2) B ．(3,4) C ．(5,6) D ．(6,7)11．函数y =）A ．(41)--，B ．(41)-，C ．(11)-，D ．(11]-， 12．已知函数()f x 的定义域为R .当0x <时，3()1f x x =-；当11x -≤≤时，()()f x f x -=-；当12x >时，11()()22f x f x +=-.则(6)f =（ ） A ．2-B ．1-C ．0D ．2二、填空题13．下列各式：（1）122[(]--= （2）已知2log 13a〈 ，则23a 〉 . （3）函数2xy =的图象与函数2x y -=-的图象关于原点对称；（4）函数()f x的定义域是R ，则m 的取值范围是04m <≤；（5）函数2ln()y x x =-+的递增区间为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 正确的．．．有________．（把你认为正确的序号全部写上） 14．已知函数2()121()f x ax x ax a R =+++-∈的最小值为0，则实数a =_________. 15．函数()f x =的定义域是______． 16．己知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，01x <<时，()4xf x =，5()(2019)2f f -+的值是____.17．已知函数f(x)＝log a x ＋x －b(a ＞0，且a≠1)．当2＜a ＜3＜b ＜4时，函数f(x)的零点为x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N *，则n= . 18．已知()21f x x -=，则()f x = ____.19．已知a ＞b ＞1.若log a b+log b a=52，a b =b a ，则a= ，b= . 20．已知函数()()0f x ax b a =->，()()43ff x x =-，则()2f =_______．三、解答题21．已知定义域为R 的函数()221x x af x -+=+是奇函数．()1求实数a 的值；()2判断函数()f x 在R 上的单调性，并利用函数单调性的定义加以证明．22．一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元,此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元,年产量为x （x N *∈）件.当20x ≤时，年销售总收人为（233x x -）万元；当20x >时，年销售总收人为260万元.记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y 万元.(年利润=年销售总收入一年总投资) (1)求y (万元)与x (件)的函数关系式；(2)当该工厂的年产量为多少件时,所得年利润最大?最大年利润是多少?23．已知函数22()f x x x=+. （1）求(1)f ，(2)f 的值；（2）设1a b >>，试比较()f a 、()f b 的大小，并说明理由； （3）若不等式2(1)2(1)1f x x m x -≥-++-对一切[1,6]x ∈恒成立，求实数m 的最大值. 24．函数是奇函数．求的解析式；当时，恒成立，求m 的取值范围．25．设集合2{|40,}A x x x x R =+=∈，22{|2(1)10,}B x x a x a x R =+++-=∈. (1)若A B B ⋃=，求实数a 的值; (2)若A B B =I ，求实数a 的范围.26．已知函数24,02()(2)2,2x x f x x x a x a x ⎧-<≤⎪=⎨⎪-++->⎩，其中a 为实数．（1）若函数()f x 为定义域上的单调函数，求a 的取值范围．（2）若7a <，满足不等式()0f x a ->成立的正整数解有且仅有一个，求a 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 试题分析：当时，，此时成立，当时，，当时，，即，当时，，当时，恒成立，所以a 的取值范围为，故选B.考点：集合的关系2．A解析：A 【解析】 【分析】从图象来看图象关于原点对称或y 轴对称，所以分析奇偶性，然后再用特殊值确定. 【详解】因为函数()ln f x x x =是奇函数，排除C ，D 又因为2x = 时()0f x >，排除B 故选：A 【点睛】本题主要考查了函数的图象的判断，还考查了数形结合的思想，属于基础题.3．A解析：A 【解析】 【分析】由,M N 恰好是线段OA 的两个三等分点，求得,M N 的坐标，分别代入指数函数和对数函数的解析式，求得,a b 的值，即可求解. 【详解】由题意知(1,1)A ，且,M N 恰好是线段OA 的两个三等分点，所以11,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，22,33N ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 把11,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入函数xy a =，即1313a =，解得127a =，把22,33N ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入函数log b y x =，即22log 33b =，即得3223b ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以1a b <<. 故选A. 【点睛】本题主要考查了指数函数与对数函数的图象与性质的应用，其中解答熟练应用指数函数和对数函数的解析式求得,a b 的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4．B解析：B 【解析】试题分析：依题意{}{}2,1,0,1,1,0,1,2,3,M N =--=-∴{}1,0,1M N ⋂=-. 考点：集合的运算5．B解析：B 【解析】 【分析】由题意，函数()f x 在[0,)+∞上单调递减，又由函数()f x 是定义上的偶函数，得到函数()f x 在(,0)-∞单调递增，把不等式(1)()f x f x m -≤+转化为1x x m -≤+，即可求解. 【详解】易知函数()f x 在[)0,+∞上单调递减， 又函数()f x 是定义在R 上的偶函数， 所以函数()f x 在(),0-∞上单调递增， 则由()()1f x f x m -≤+，得1x x m -≥+，即()()221x x m -≥+，即()()22210g x m x m =++-≤在[],1x m m ∈+上恒成立，则()()()()()()3110121310g m m m g m m m ⎧=-+≤⎪⎨+=++≤⎪⎩，解得113m -≤≤-，即m 的最大值为13-. 【点睛】本题主要考查了函数的基本性质的应用，其中解答中利用函数的基本性质，把不等式转化为1x x m -≤+ 求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题.6．D解析：D 【解析】 【分析】 【详解】()f x 是奇函数，故()()111f f -=-=- ；又()f x 是增函数，()121f x -≤-≤，即()(1)2(1)f f x f -≤-≤ 则有121x -≤-≤ ，解得13x ≤≤ ，故选D.【点睛】解本题的关键是利用转化化归思想，结合奇函数的性质将问题转化为()(1)2f f x -≤-(1)f ≤，再利用单调性继续转化为121x -≤-≤，从而求得正解.7．D解析：D 【解析】因为01a b <<<，所以10a a b b a a >>>>， 因为log log 1b b a b >>，01a <<，所以11a>,1log 0a b <.综上1log log a bb aa b a b >>>；故选D. 8．B解析：B 【解析】由()f x 为偶函数得0m =,所以0,52log 3log 32121312,a =-=-=-=2log 521514b =-=-=,0210c =-=,所以c a b <<,故选B.考点：本题主要考查函数奇偶性及对数运算.9．C解析：C 【解析】 【分析】令[]()()10g x f f x =-=,可得[]()1f f x =,解方程()1f x =,结合函数()f x 的图象,可求【详解】令[]()()10g x f f x =-=,则[]()1f f x =,令()1f x =,若2log (1)1x +=,解得1x =或12x =-,符合(1,3)x ∈-;若411x =-,解得5x =,符合[3,)x ∈+∞.作出函数()f x 的图象,如下图,(]1,0x ∈-时,[)()0,f x ∈+∞;()0,3x ∈时,()()0,2f x ∈;[3,)x ∈+∞时,(]()0,2f x ∈. 结合图象,若()1f x =,有3个解;若1()2f x =-,无解;若()5f x =,有1个解. 所以函数[]()()1g x f f x =-的零点个数为4个. 故选:C.【点睛】本题考查分段函数的性质,考查了函数的零点,考查了学生的推理能力,属于中档题.10．C解析：C 【解析】 【分析】令函数4()log 7xf x x =+-，则函数()f x 是()0,∞+上的单调增函数，且是连续函数，根据(5)(6)0f f ⋅<，可得函数4()log 7xf x x =+-的零点所在的区间为()5,6，由此可得方程4log 7x x +=的解所在区间． 【详解】令函数4()log 7xf x x =+-，则函数()f x 是()0,∞+上的单调增函数，且是连续函数.∵(5)0f <，(6)0>f ∴(5)(6)0f f ⋅<∴故函数4()log 7xf x x =+-的零点所在的区间为()5,6∴方程4log 7x x +=的解所在区间是()5,6 故选C.零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[,]a b 上是连续不断的曲线，且()()0f a f b ⋅<，还必须结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性）才能确定函数有多少个零点.11．C解析：C 【解析】要使函数有意义，需使210{340x x x +>--+>，即1{41x x >--<<，所以1 1.x -<<故选C12．D解析：D 【解析】 试题分析：当时,11()()22f x f x +=-,所以当时,函数是周期为的周期函数,所以,又函数是奇函数,所以,故选D ．考点：函数的周期性和奇偶性．二、填空题13．（3）【解析】（1）所以错误；（2）当时恒成立；当时综上或所以错误；（3）函数上任取一点则点落在函数上所以两个函数关于原点对称正确；（4）定义域为当时成立；当时得综上所以错误；（5）定义域为由复合函解析：（3） 【解析】 （1）(112221222---⎛⎫⎡⎤-== ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，所以错误；（2）2log 1log 3aa a <=，当1a >时，恒成立；当01a <<时，023a <<，综上，023a <<或1a >，所以错误； （3）函数2xy =上任取一点(),x y ，则点(),x y --落在函数2x y -=-上，所以两个函数关于原点对称，正确；（4）定义域为R ，当0m =时，成立；当0m >时，240m m ∆=-≤，得04m <≤，综上，04m ≤≤，所以错误；（5）定义域为()0,1，由复合函数的单调性性质可知，所求增区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以错误； 所以正确的有（3）。
山东省菏泽市2020-2021学年高一上学期期中考试数学试题期中答案
高一数学试题（B ）参考答案一、选择题1—5 BCADC6—8 DBA 二、多项选择题9．BC10．AC 11．ABD 12．BD 三、填空题13．(,3)−∞−14．[1,2)(2,)+∞∪ 15．1± 16．9(,4−∞ 四、解答题17．解：（1）由(1)f x +=得()f x =，……………………………2分(1)1f ===，得1a =；……………………………4分所以()f x =；……………………………5分（2）该函数的定义域为[0,)+∞，……………………………6分 令12x x <，所以210x x −>，所以21()()f x f x −===，……………………………8分 因为210x x −>0+>，所以21()()0f x f x −>，……………………………9分所以()f x 在其定义域为单调增函数. ……………………………10分 18．解：（1）2a =−，所以[3,1]A =−−，……………………………1分[3,2]A B =−−∩，……………………………2分(,1][5,)A B =−∞−+∞∪∪；……………………………4分（2）若A ∩B ＝A ，得A B ⊆；……………………………5分当A =Ø时，2135a a +>+，得4a <−；……………………7分当A ≠ Ø时，2135,352,a a a +≤+ +≤− 或2135,215,a a a +≤+ +≥……………………10分 得743a −≤≤或2a ≥，.……………………………11分 综上所述，73a ≤或2a ≥，…………12分 19．解：（1）由题意知，生产x 件产品的仓储费用为88x +x =288x x +，………………2分 所以28800(0)8x x y x +=+>；………………………………………5分 （2）由题意知，平均费用为288008y x x x x x+=+，……………6分 因为0x >，28800800188x x x x x x ++=++121≥+=，……………10分 当且仅当8008x x=，即80x =时取得；………………………………………11分 所以当每批生产80件时，平均费用最小为21元. …………………12分20．解：（1）因为()0f x ≥，即关于x 的不等式2(1)10x m x m −+++≥恒成立，所以2(1)4(1)0m m ∆=+−+≤；………………2分 解得13m −≤≤；………………4分 （2）原不等式转化为()10f x −<, 即2(1)x m x m −++()(1)0x m x =−−<,………………6分 当1m >时，1x m <<；………………8分当1m <时，1m x <<；………………10分公众号：潍坊高中数学当1m =时，不等式无解；………………11分综上可得，当1m >时，不等式解集为{1}x x m <<；当1m <时，不等式解集为{1}x m x <<；当1m =时，不等式无解. ………………12分21．解：（1）由f (x )＝x ，得x ax ＋b ＝x ，即ax 2＋(b －1)x ＝0. ……………………………1分因为方程f (x )＝x 有唯一解，所以∆＝(b －1)2＝0，即b ＝1，…………………………3分因为f (2)＝1，所以22a ＋b ＝1，……………………………4分所以a ＝12，…………………………5分 所以f (x )＝112xx +＝2x x ＋2；……………………………6分 （2）因为2x <−，所以()y xf x =2222122x x x x==++，……………………7分 而22121112()48x x x +=+−，……………………………9分 当114x =−，即4x =−时， 21112()48x +−取得最小值18−，……………………………11分 此时()()g x xf x =取得最大值16−.……………………………12分22．解：（1）令0x y ==，得(00)(0)(0)f f f +=+，得(0)0f =，……………………………………1分 令1,1x y =−=，得(0)(1)(1)f f f =−+，得(1)2f −=−；………………………………………2分令y x =−，得(0)()()f f x f x =+−，即()()f x f x =−−，所以()f x 为奇函数；………………………………………4分（2）令12x x <，所以210x x −>，所以212111()()()()f x f x f x x x f x −=−+−2111()()()f x x f x f x =−+−21()f x x =−，………………………………………4分因为210x x −>，所以21()0f x x −>，所以21()0f x x −>，……………………………………5分即()f x 在R 上为增函数；……………………………………7分（3）因为2(3)()2f ax x f x −+<−，即2(2)2f ax x −<−，又(1)2f −=−，所以2(2)(1)f ax x f −<−，……………………………………8分 又因为()f x 在R 上为增函数，所以221ax x −<−在[1,2]x ∈上恒成立；得2210ax x −+<在[1,2]x ∈上恒成立， 即221a x x <−在[1,2]x ∈上恒成立，………………………………………9分 因为22211(1)1x x x−=−−+， 当2x =时，221x x −取最小值34， 所以34a <；………………………………………11分 即34a <时满足题意. ………………………………………12分 公众号：潍坊高中数学。
2019-2020学年北京市第十三中学高一上学期期中数学试题(解析版)
2019-2020学年北京市第十三中学高一上学期期中数学试题一、单选题1．设集合{}0,1,2,3M =,{}02N x N x =∈≤≤,则M N ⋂中元素的个数为( ) A ．0B ．2C ．3D ．4 【答案】C【解析】先求出集合N ,再求M N ⋂,最后数出M N ⋂中元素的个数即可.【详解】解:因为集合()0,1,2,3M =,{}02N x N x =∈≤≤, 所以{}{}00,1,22N x N x =∈≤≤=,所以{}0,1,2M N ⋂=,则M N ⋂中元素的个数为3个.故选:C【点睛】本题考查集合的交集运算,以及集合中元素的个数,是基础题.2．命题“2,220x x x ∃∈++≤R ”的否定是（ ）A ．2,220x x x ∀∈++>RB ．2,220x R x x ∀∈++≤C ．2,220x x x ∃∈++>RD ．2,220x x x ∃∈++≥R 【答案】A【解析】根据特称命题的否定是全称命题的知识，选出正确选项.【详解】特称命题的否定是全称命题，注意到要否定结论，故A 选项正确.故选A.【点睛】本小题主要考查全称命题与特称命题的否定，属于基础题.3．下列四组函数,表示同一函数的是( )A ．()f x =()g x x =B ．()f x x =,()21x x g x x -=-C ．()f x x =,(),0,0x x g x x x ≥⎧=⎨-<⎩D ．()f x =()g x =【答案】C【解析】逐项验证所给函数的定义域和对应法则,然后判断是否为同一函数.【详解】解: 选项A.:()f x =R ,()g x x =的定义域为R()f x x ==,对应法则不同,不是同一函数.选项B.:()f x x =定义域为R ,()21x x g x x -=-定义域为{}|1x x ≠, 定义域不同,不是同一函数.选项C:()f x x = 定义域为R ,(),0,0x x g x x x ≥⎧=⎨-<⎩定义域为R . (),0,0f x x x x x x ≥⎧=⎨-<=⎩,定义域相同,对应法则也相同,是同一函数.选项D:()f x ={}|1x x ≥,()g x ={}|11x x-＃,定义域不同,不是同一函数. 故选:C【点睛】本题重点考查了函数是否为同一函数的判断,关键是要求定义域相同,解析式相等,是基础题.4．条件p :a b =是条件q :a b c c>的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】利用等式与不等式的性质,利用充分条件与必要条件的定义进行判断.【详解】解:证充分性:若:p a b =,则a b c c=,则 p q ≠>,则充分性不成立. 证必要性: 若q : a b c c>,则a b >,则q p ≠>,则必要性不成立. 故条件:p a b =是条件q :a b c c>的既不充分也不必要条件. 故选:D【点睛】本题主要考查充分条件必要条件的判断,根据不等式的关系式是解决本题的关键. 5．已知集合30x A x x ⎧⎫-=≤⎨⎬⎩⎭,{}B x x a =<,若A B B ⋃=,则实数a 的取值范围是( )A ．[)3,+∞B ．()3,+∞C ．(],0-∞D ．(),0-? 【答案】B【解析】化简集合A ,根据A B B ⋃=得出A B ⊂,即可判断出关于参数a 的不等式,得出它的取值范围.【详解】解: {}3003x A x x x x ⎧⎫-=≤=<≤⎨⎬⎩⎭, 又因为: {}B x x a =<,若A B B ⋃=,所以A B ⊂,则{}|3a a >所以实数a 的取值范围是: ()3,+∞.故选:B【点睛】本题考点是集合关系中的参数取值问题,考查了集合的化筒,集合的包含关系,解题的关键是熟练掌握集合包含关系的定义,由此得到参数所满足的不等式,本题考查了推理判断的能力.6．已知偶函数()f x 的定义域为R ，当[)0,+x ∈∞时，()f x 是增函数，()2f -，()f π，()3f -的大小关系是（ ）A ．()()()23f f f π>->-B ．()()()32f f f π>->-C ．()()()23f f f π>->-D ．()()()32f f f π>->-【答案】B【解析】由函数()f x 为定义域上的偶函数，可得()()2(2),3(3)f f f f -=-=，再由[)0,+x ∈∞时，()f x 是增函数，且32π>>，得到()()()32f f f π>>，即可求解.【详解】由题意，函数()f x 为定义域上的偶函数，可得()()2(2),3(3)f f f f -=-=， 又由当[)0,+x ∈∞时，()f x 是增函数，且32π>>，所以()()()32f f f π>>，即()()()32f f f π>->-.故选：B .【点睛】本题主要考查了函数的单调性与奇偶性的应用，其中解答中熟练利用函数的奇偶性转化，以及利用函数的单调性进行比较是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7．函数()21,12,1x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-+<⎩的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】分1x ≥和1x <两种情况求函数的零点,并且验证即可.【详解】 解: ()21,12,1x f x xx x Q ⎧≥⎪=⎨⎪-+<⎩, 当1x ≥ 时, ()10f x x ==无解,则不存在零点. 当1x < 时,()220f x x =-+=,解得x =1x =>(舍去),则零点为x =综上所述: ()f x 的零点个数是1.故选:B【点睛】本题考查分段函数的零点个数,分情况讨论是解题的关键.8．已知函数()2,00x x f x x ⎧≥⎪=<,若()4f a =,则a 等于( ) A ．2B ．2-C ．2±D ．2或16-【答案】D 【解析】利用分段函数,根据x 的取值范围,分别列出方程求出a 即可.【详解】解:因为函数()2,00x x f x x ⎧≥⎪=<,()4f a = 当0a ≥ 时, ()24f a a ==,解得2a =.当0a < 时, ()4f a ==,解得16a =-故a 等于2或16-.故选:D【点睛】本题考查分段函数的应用,考查分类讨论思想,考查计算能力,属于基础题.9．我国为了加强对烟酒生产的宏观管理,除了应征税收外,还征收附加税,已知某种酒每瓶售价为70元,不收附加税时,每年大约销售100万瓶;若每销售100元国家要征附加税x 元(叫做税率%x ),则每年销售量将减少10x 万瓶,如果要使每年在此项经营中所收取的附加税额不少于112万元,则x 的最小值为( )A ．2B ．6C ．8D ．10【答案】A【解析】【详解】 2(10010)70%1121016028x x x x x -⨯⨯≥⇒-+≤∴≤≤，x 的最小值为2，选A.10．定义{},min ,,a a b a b b a b≤⎧=⎨>⎩，已知,αβ为函数()2f x x px q =++的两个零点，若存在整数n 满足1n n αβ<<<+，则()(){}min ,1f n f n +的值（ ）A ．一定大于12 B ．一定小于12 C ．一定等于14 D ．一定小于14【答案】D【解析】由,αβ为函数()2f x x px q =++的两个零点可得：p αβ+=-，q αβ⋅=.令()()1f n f n =+，得到210n p ++=.即：()112n αβ=+-，将()f n 变形为()214αβ--，从而可得()(){}1min ,14f n f n +<.问题得解。
2020-2021学年江苏省南通中学高一(上)期中数学试卷(解析版)
2020-2021学年江苏省南通中学高一（上）期中数学试卷一、选择题（共8小题）.1．（5分）若命题p：∀x∈R，2x2+1＞0，则￢p是（）A．∀x∈R，2x2+1≤0B．∃x∈R，2x2+1＞0C．∃x∈R，2x2+1＜0D．∃x∈R，2x2+1≤02．（5分）函数f（x）＝+的定义域是（）A．[2，3）B．（3，+∞）C．[2，3）∪（3，+∞）D．（2，3）∪（3，+∞）3．（5分）已知命题p：﹣1＜x＜2，q：|x﹣1|＜1，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）幂函数f（x）＝kxα过点（4，2），则k+α＝（）A．B．3C．D．25．（5分）若实数x，y满足2x+y＝1，则x•y的最大值为（）A．1B．C．D．6．（5分）若关于x的不等式ax+b＜0的解集为（2，+∞），则bx+a＜0的解集是（）A．B．C．D．7．（5分）函数的单调减区间为（）A．（﹣∞，2]B．[1，2]C．[2，+∞）D．[2，3]8．（5分）如图，正方形ABCD的边长为2，动点E从A开始沿A→B→C的方向以2个单位长/秒的速度运动到C点停止，同时动点F从点C开始沿CD边以1个单位长/秒的速度运动到D点停止，则△AEF的面积y与运动时间x（秒）之间的函数图象大致形状是（）A．B．C．D．二、多选题（共4小题，每题5分，漏选3分）9．（5分）下列命题是真命题的是（）A．lg（lg10）＝0B．e lnπ＝πC．若e＝lnx，则x＝e2D．ln（lg1）＝010．（5分）若a，b，c∈R，a＜b＜0，则下列不等式正确的是（）A．B．ab＞b2C．a|c|＞b|c|D．a（c2+1）＜b（c2+1）11．（5分）下列求最值的运算中，运算方法错误的有（）A．若x＜0，，故x＜0时，的最大值是﹣2B．当x＞1时，，当且仅当取等，解得x＝﹣1或2．又由x ＞1，所以取x＝2，故x＞1时，原式的最小值为C．由于，故的最小值为2D．当x，y＞0，且x+4y＝2时，由于，∴，又，故当x，y＞0，且x+4y＝2时，的最小值为412．（5分）已知符号函数sgn（x）＝，下列说法正确的是（）A．函数y＝sgn（x）是奇函数B．对任意的x∈R，sgn（e x）＝1C．函数y＝e x•sgn（﹣x）的值域为（﹣∞，1）D．对任意的x∈R，|x|＝x•sgn（x）三、填空题（本大题共4小题，每题5分）13．（5分）已知函数f（x）＝x2+2x，﹣2≤x≤1且x∈Z，则f（x）的值域是．14．（5分）设m＝﹣，n＝﹣，p＝﹣，则m，n，p的大小顺序为．15．（5分）若f（x）对于任意实数x都有2f（x）﹣f（）＝2x+1，则f（）＝．16．（5分）已知二次函数f（x）＝ax2﹣x+1，若任意x1，x2∈[1，+∞）且x1≠x2都有，则实数a的取值范围是．四、解答题（本大题共6小题）17．已知集合A＝{x|﹣1＜x＜3}，集合B＝{x|2x2+（5﹣2k）x﹣5k＜0}，k∈R．（1）若k＝1时，求∁R B，A∪B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数k的取值范围．18．已知定义在（﹣1，1）的函数满足：f（0）＝0，且．（1）求函数f（x）的解析式；（2）证明：f（x）在（﹣1，1）上是增函数．19．已知P＝80.25×，+log38．（1）分别求P和Q；（2）若2a＝5b＝m，且＝Q，求m．20．（12分）如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B 点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过C点，已知AB＝3米，AD＝4米．（1）要使矩形AMPN的面积大于50平方米，则DN的长应在什么范围？（2）当DN的长为多少米时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值．21．（12分）已知二次函数f（x）＝ax2+bx+c（a，b，c∈R）满足：①对任意实数x，都有f（x）≥x；②当x∈（1，3）时，有成立．（1）求证：f（2）＝2；（2）若f（﹣2）＝0，求函数f（x）的解析式；（3）在（2）的条件下，若对任意的实数x∈[0，+∞），有恒成立，求实数m的取值范围．22．（12分）设函数（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．（1）求t的值；（2）若f（1）＞0，求使不等式f（kx﹣x2）+f（x﹣1）＜0对一切x∈R恒成立的实数k 的取值范围；（3）若函数f（x）的图象过点，是否存在正数m，（m≠1）使函数在[1，log23]上的最大值为m，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题（本大题共8小题，每题5分）1．（5分）若命题p：∀x∈R，2x2+1＞0，则￢p是（）A．∀x∈R，2x2+1≤0B．∃x∈R，2x2+1＞0C．∃x∈R，2x2+1＜0D．∃x∈R，2x2+1≤0【分析】根据含有量词的命题的否定形式：将任意改为存在，结论否定，即可写出否命题解：由题意∀x∈R，2x2+1＞0，的否定是∃x∈R，2x2+1≤0故选：D．2．（5分）函数f（x）＝+的定义域是（）A．[2，3）B．（3，+∞）C．[2，3）∪（3，+∞）D．（2，3）∪（3，+∞）【分析】由函数解析式列出关于不等式组，求出它的解集就是所求函数的定义域．解：要使函数有意义，则，解得x≥2且x≠3，∴函数的定义域是[2，3）∪（3，+∞）．故选：C．3．（5分）已知命题p：﹣1＜x＜2，q：|x﹣1|＜1，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据不等式关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解：由|x﹣1|＜1，解得：0＜x＜2，则p是q的必要不充分条件，故选：B．4．（5分）幂函数f（x）＝kxα过点（4，2），则k+α＝（）A．B．3C．D．2【分析】根据幂函数的定义求出k＝1，由函数图象过点（4，2）求出α，再计算k+α．解：幂函数f（x）＝kxα中，k＝1，由函数图象过点（4，2），所以2＝4α，解得α＝；所以k+α＝1+＝．故选：A．5．（5分）若实数x，y满足2x+y＝1，则x•y的最大值为（）A．1B．C．D．【分析】根据xy＝x（1﹣2x）＝﹣2（x﹣）2+≤，即可求出最大值．解：∵实数x，y满足2x+y＝1，∴y＝1﹣2x，∴xy＝x（1﹣2x）＝﹣2x2+x＝﹣2（x﹣）2+≤，当x＝，y＝时取等号，故选：C．6．（5分）若关于x的不等式ax+b＜0的解集为（2，+∞），则bx+a＜0的解集是（）A．B．C．D．【分析】由题意知，x＝2是方程ax+b＝0的根，且a＜0，推出b＝﹣2a，再代入bx+a＜0，解之即可．解：由题意知，x＝2是方程ax+b＝0的根，且a＜0，所以b＝﹣2a，所以不等式bx+a＜0可化为﹣2ax+a＜0，解得x＜，故选：A．7．（5分）函数的单调减区间为（）A．（﹣∞，2]B．[1，2]C．[2，+∞）D．[2，3]【分析】由根式内部的代数式大于等于0求得函数的定义域，再求出内层函数t＝﹣x2+4x﹣3的减区间，可得函数的单调减区间．解：由﹣x2+4x﹣3≥0，得x2﹣4x+3≤0，解得1≤x≤3，∴函数的定义域为[1，3]，令t＝﹣x2+4x﹣3，其图象是开口向下的抛物线，对称轴方程为x＝2，则函数t＝﹣x2+4x﹣3在[2，3]上是减函数，开方不改变单调性，又y＝2t是增函数，∴函数的单调减区间为[2，3]．故选：D．8．（5分）如图，正方形ABCD的边长为2，动点E从A开始沿A→B→C的方向以2个单位长/秒的速度运动到C点停止，同时动点F从点C开始沿CD边以1个单位长/秒的速度运动到D点停止，则△AEF的面积y与运动时间x（秒）之间的函数图象大致形状是（）A．B．C．D．【分析】点E在线段AB上时，AE＝2x，（0≤x＜1），y＝2x×2＝2x．点E在线段BC 上时，BE＝2（x﹣1），（1≤x≤2），y＝+．利用一次函数与二次函数的单调性即可得出．解：点E在线段AB上时，AE＝2x，（0≤x≤1），y＝2x×2＝2x．点E在线段BC上时，BE＝2（x﹣1），（1＜x≤2），y＝22﹣2（x﹣1）﹣[2﹣2（x﹣1）]×x﹣×（2﹣x）＝x2﹣3x+4＝+．利用一次函数与二次函数的单调性可知：A正确．故选：A．二、多选题（本大题共4小题，每题5分，漏选3分）9．（5分）下列命题是真命题的是（）A．lg（lg10）＝0B．e lnπ＝πC．若e＝lnx，则x＝e2D．ln（lg1）＝0【分析】直接利用对数的运算性质，判断命题的真假即可．解：lg（lg10）＝lg1＝0，所以A正确；e lnπ＝π，满足对数的运算法则，所以B正确；若e＝lnx，则x＝e e，所以C不正确；ln（lg1）＝ln0，无意义，所以D不正确；故选：AB．10．（5分）若a，b，c∈R，a＜b＜0，则下列不等式正确的是（）A．B．ab＞b2C．a|c|＞b|c|D．a（c2+1）＜b（c2+1）【分析】取特殊值判断A，C，根据不等式的基本性质判断B，D即可．解：取a＝﹣2，b＝﹣1，c＝0，显然A，C错误；对于BD：a＜b＜0，故ab＜b2，a（c2+1）＜b（c2+1），BD正确，故选：BD．11．（5分）下列求最值的运算中，运算方法错误的有（）A．若x＜0，，故x＜0时，的最大值是﹣2B．当x＞1时，，当且仅当取等，解得x＝﹣1或2．又由x ＞1，所以取x＝2，故x＞1时，原式的最小值为C．由于，故的最小值为2D．当x，y＞0，且x+4y＝2时，由于，∴，又，故当x，y＞0，且x+4y＝2时，的最小值为4【分析】利用基本不等式的性质逐项检查即可，需要注意取等的条件．解：对于A，符合基本不等式中的“一正二定三相等”，即A的运算方法正确；对于B，当x＞1时，x+＝x﹣1++1≥2+1＝+1，当且仅当x﹣1＝，即x＝+1时，等号成立，即B的运算方法错误；对于C，取等的条件是x2+4＝，即x2+4＝±3，显然均不成立，即C的运算方法错误；对于D，第一次使用基本不等式的取等条件为x＝4y，而第二次使用基本不等式的取等条件为x＝y，两者不能同时成立，即D的运算方法错误．故选：BCD．12．（5分）已知符号函数sgn（x）＝，下列说法正确的是（）A．函数y＝sgn（x）是奇函数B．对任意的x∈R，sgn（e x）＝1C．函数y＝e x•sgn（﹣x）的值域为（﹣∞，1）D．对任意的x∈R，|x|＝x•sgn（x）【分析】利用已知条件逐个判断选项的正误即可．解：符号函数sgn（x）＝，显然函数是奇函数，所以A正确；因为：e x＞0，所以，对任意的x∈R，sgn（e x）＝1，所以B正确；函数y＝e x•sgn（﹣x）的值域为（﹣∞，+∞），所以C不正确；对任意的x∈R，|x|＝x•sgn（x）＝，所以D正确；故选：ABD．三、填空题（本大题共4小题，每题5分）13．（5分）已知函数f（x）＝x2+2x，﹣2≤x≤1且x∈Z，则f（x）的值域是{﹣1，0，3}．【分析】求出函数的定义域，然后求解对应的函数值即可．解：函数f（x）＝x2+2x，﹣2≤x≤1且x∈Z所以x＝﹣2，﹣1，0，1；对应的函数值分别为：0，﹣1，0，3；所以函数的值域为：{﹣1，0，3}故答案为：{﹣1，0，3}．14．（5分）设m＝﹣，n＝﹣，p＝﹣，则m，n，p的大小顺序为p ＜n＜m．【分析】分别求出对应的倒数，再比较即可．解：m＝﹣，n＝﹣，p＝﹣，则＝+，＝+，＝+，∴＜＜，∴p＜n＜m，故答案为：p＜n＜m．15．（5分）若f（x）对于任意实数x都有2f（x）﹣f（）＝2x+1，则f（）＝3．【分析】根据题意，用特殊值法分析：令x＝2可得：2f（2）﹣f（）＝2×2+1＝5，令x＝可得：2f（）﹣f（2）＝2×+1＝2，联立两个式子分析可得答案．解：根据题意，f（x）对于任意实数x都有，令x＝2可得：2f（2）﹣f（）＝2×2+1＝5，①令x＝可得：2f（）﹣f（2）＝2×+1＝2，②，联立①②解可得：f（）＝3；故答案为：316．（5分）已知二次函数f（x）＝ax2﹣x+1，若任意x1，x2∈[1，+∞）且x1≠x2都有，则实数a的取值范围是[1，+∞）．【分析】不妨设x1＞x2，由条件可得f（x1）﹣x1＞f（x2）﹣x2，构造新函数g（x）＝f（x）﹣x＝ax2﹣2x+1，显然g（x）在[1，+∞）上单调递增，再对a分情况讨论，利用g（x）的单调性即可求出a的取值范围．解：不妨设x1＞x2，∵，∴f（x1）﹣f（x2）＞x1﹣x2，即f（x1）﹣x1＞f（x2）﹣x2，令g（x）＝f（x）﹣x＝ax2﹣2x+1，∴g（x）在[1，+∞）上单调递增，①当a＝0时，g（x）＝﹣2x+1，显然不成立，②当a≠0时，则，解得a≥1，综上所述，实数a的取值范围是：[1，+∞），故答案为[1，+∞）．四、解答题（本大题共6小题）17．已知集合A＝{x|﹣1＜x＜3}，集合B＝{x|2x2+（5﹣2k）x﹣5k＜0}，k∈R．（1）若k＝1时，求∁R B，A∪B；（2）若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，求实数k的取值范围．【分析】（1）k＝1时，可得B，利用补集交集运算可得．（2）由“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，可得A⫋B，进而即可得出实数k的取值范围．解：（1）k＝1时，2x2+3x﹣5＜0，解得﹣＜x＜1，即B＝（﹣，1），则∁R B＝（﹣∞，﹣]∪[1，+∞），A∪B＝（﹣，3），（2）“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，∴A⫋B，由2x2+（5﹣2k）x﹣5k＜0可得（x﹣k）（x+）＜0，当k＞﹣时，解得﹣＜x＜k，即B＝（﹣，k），∵A⫋B∴k≥3，当k＝﹣时，解集为∅，即B＝∅，此时不满足A⫋B当k＞﹣时，解得k＜x＜﹣，即B＝（k，﹣），此时不满足A⫋B，∴实数k的取值范围是[3，+∞）．18．已知定义在（﹣1，1）的函数满足：f（0）＝0，且．（1）求函数f（x）的解析式；（2）证明：f（x）在（﹣1，1）上是增函数．【分析】（1）根据题意，由f（0）＝0可得b的值，进而由计算可得a的值，即可得函数的解析式；（2）任取x1，x2∈（﹣1，1），且x1＜x2，用作差法证明即可得结论．解：（1）根据题意，对于函数f（x），由f（0）＝0，即f（0）＝＝0，即b＝0；则，又，所以a＝1；则．（2）证明：任取x1，x2∈（﹣1，1），且x1＜x2，则＝；又﹣1＜x1＜x2＜1，∴，从而f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）；故f（x）在（﹣1，1）上是增函数．19．已知P＝80.25×，+log38．（1）分别求P和Q；（2）若2a＝5b＝m，且＝Q，求m．【分析】（1）利用有理数指数幂的运算性质和对数的运算性质求解．（2）先把指数式化为对数式得到a＝log2m，b＝log5m，代入＝Q，即可求出m的值．解：（1）P＝80.25×＝+﹣1＝﹣1＝2+﹣1＝，+log38＝+log38＝＝log39＝2．即，Q＝2．（2）∵2a＝5b＝m，∴a＝log2m，b＝log5m，∴＝＝log m2+log m5＝log m10，∴log m10＝2，∴．20．（12分）如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B 点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过C点，已知AB＝3米，AD＝4米．（1）要使矩形AMPN的面积大于50平方米，则DN的长应在什么范围？（2）当DN的长为多少米时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值．【分析】（1）设DN的长为x（x＞0）米，S AMPN＝AN•AM＝，表达AN＝（x+4）米和AM＝，要使矩形AMPN的面积大于50平方米，解不等式即可得DN的长的范围；（2）利用基本不等式可得当且仅当：3x＝，即：x＝4时，矩形花坛AMPN的面积取得最小值48．解：（1）设DN的长为x（x＞0）米，则AN＝（x+4）米．∵＝，∴AM＝，S AMPN＝AN•AM＝，由矩形AMPN的面积大于50，得：＞50，又x＞0，得：3x2﹣26x+48＞0，解得：0＜x＜或x＞6，即：DN长的取值范围是：（0，）∪（6，+∞）．（2）矩形花坛AMPN的面积为，y＝＝＝3x++24≥2+24＝48，当且仅当：3x＝，即：x＝4时，矩形花坛AMPN的面积取得最小值48．故DN的长为4米时，矩形AMPN的面积最小，最小值为48平方米．答：（1）要使矩形AMPN的面积大于50平方米，则DN的长的范围：（0，）∪（6，+∞）；（2）当DN的长为4米时，矩形AMPN的面积最小，最小值为48平方米．21．（12分）已知二次函数f（x）＝ax2+bx+c（a，b，c∈R）满足：①对任意实数x，都有f（x）≥x；②当x∈（1，3）时，有成立．（1）求证：f（2）＝2；（2）若f（﹣2）＝0，求函数f（x）的解析式；（3）在（2）的条件下，若对任意的实数x∈[0，+∞），有恒成立，求实数m的取值范围．【分析】（1）根据题意可知：2≤f（2）≤2，由此确定f（2）＝2；（2）根据f（x）≥x恒成立，利用判别式≤0恒成立、结合f（2）＝2可求出a的值，最后结合f（﹣2）＝0，即可求出系数b，c的值；（3）根据x≥0，分离参数m，再利用基本不等式即可求出m的范围．解：（1）由题意得2≤f（2），所以f（2）＝2．（2）结合（1）知f（2）＝4a+2b+c＝2，由f（x）≥x恒成立得ax2+（b﹣1）x+c≥0恒成立，故，将③代入②得，故c＝4a…④．又f（﹣2）＝4a﹣2b+c＝0…⑤，联立③④⑤解得．所以．（3）由x∈[0，+∞），且恒成立可得：，（i）x＝0时，恒成立，此时m∈R；（ii）x＞0时，原式化为：恒成立，因为，当且仅当时取等号．故此时．综合（i）（ii）可知m的取值范围为（）．22．（12分）设函数（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．（1）求t的值；（2）若f（1）＞0，求使不等式f（kx﹣x2）+f（x﹣1）＜0对一切x∈R恒成立的实数k 的取值范围；（3）若函数f（x）的图象过点，是否存在正数m，（m≠1）使函数在[1，log23]上的最大值为m，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据f（x）为R上的奇函数，可得f（0）＝0，然后求出t的值，再检验得到的t值是否符合题意；（2）先根据f（1）＞0，求出a的范围，然后利用定义法判断f（x）的单调性，再根据f （kx﹣x2）+f（x﹣1）＜0对一切x∈R恒成立，得到关于k的不等式，进一步求出k的范围；（3）根据函数f（x）的图象过点，求出a，令t＝f（x）＝a x﹣a﹣x，根据f（x）是单调递增函数，得到t的范围，然后得到，再求出m的值即可．解：（1）∵是奇函数，∴f（0）＝0，1﹣（t﹣1）＝0，解得t＝2．当t＝2时，，∴f（﹣x）＝a﹣x﹣a x＝﹣f（x），∴f（x）是奇函数，满足题意，∴t＝2．（2）∵，f（1）＞0，∴，又a＞0，∴a＞1，设∀x1，x2∈R，x1＜x2，则，∴＝，∵x1＜x2，a＞1，∴，又∵．∴f（x2）﹣f（x1）＞0，f（x2）＞f（x1）f（x）是单调递增函数．f（kx﹣x2）+f（x﹣1）＜0，f（kx﹣x2）＜﹣f（x﹣1）＝f（1﹣x）kx﹣x2＜1﹣x恒成立，即x2﹣（k+1）x+1＞0恒成立，∴△＝（k+1）2﹣4＜0，∴﹣3＜k＜1，∴k的取值范围为（﹣3，1）．（3）∵函数f（x）的图象过点，∴（a＞0），解得a＝2，设t＝f（x）＝a x﹣a﹣x，由（2）知f（x）是单调递增函数，∴当x∈[1，log23]时，，t2＝a2x+a﹣2x﹣2，∴，，其最大值为m，也即t2﹣mt+2有最值1，二次函数最值只可能在端点或者对称轴处取∴只可能是以下三种情况：①，解得，此时对称轴为，左端点处取的是二次函数最小值，而m＞1，也即h（t）最小值，不合题意舍去．②，解得，此时对称轴为，右端点离对称轴更远，取的最大值，而m＞1，也即h（t）最大值，符合．③，解得m＝±2，此时对称轴为t＝±1，不在区间上，∴最值不可能在对称轴处取到，不合题意舍去．综上所述，．。
2020-2021学年重庆市高一上学期期中数学试题(解析版)
2020-2021学年重庆市高一上学期期中数学试题一、单选题1．已知集合{0,1,2}A =,则A 的子集个数为( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．16【答案】C【分析】根据子集的个数为2n (n 为集合元素的个数),即可求得答案. 【详解】{0,1,2}A =.根据子集的个数为2,n (n 为集合元素的个数)∴A 的子集个数328=.故选:C ．【点睛】本题考查了求集合子集个数问题,解题关键是掌握子集概念,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.2．已知()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且2()()(1)f x g x x +=-，则(1)f -=（ ） A ．2 B ．2- C ．1 D ．1-【答案】A【分析】分别取1x =和1x =-，代入函数根据奇偶性得到答案. 【详解】()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，2()()(1)f x g x x +=-，取1x =得到(1)(1)0f g +=，即(1)(1)0f g ---=；取1x =-得到(1)(1)4f g -+-=； 解得(1)2f -= 故选：A【点睛】本题考查了根据函数奇偶性求函数值，意在考查学生对于函数性质的灵活运用. 3．2()4f x ax bx a =+-是偶函数，其定义域为[1,2]a a --，对实数m 满足2()(1)f x m ≤+恒成立，则m 的取值范围是（ ） A ．(,3][1,)-∞-+∞ B ．[3,1]- C ．(,1][3,)-∞-⋃+∞ D ．[1,3]-【答案】A【分析】根据奇偶性得到0b =，1a =-得到2()4f x x =-+，计算函数的最大值，解不等式得到答案.【详解】2()4f x ax bx a =+-是偶函数，其定义域为[1,2]a a --，则0b =，且()12a a -=--即1a =-，故2()4f x x =-+，()max ()04f x f ==故24(1)m ≤+，解得m 1≥或3m ≤- 故选：A【点睛】本题考查了根据函数奇偶性求参数，函数最值，解不等式，意在考查学生的综合应用能力.4．若,a b ，R c ∈，a b >，则下列不等式成立的是 A ．11a b< B ．22a b > C ．||||a cbc >D ．()()2222a c b c +>+【答案】D【分析】结合不等式的性质，利用特殊值法确定. 【详解】当1,1a b ==-排除A ，B 当0c 排除C 故选：D【点睛】本题主要考查了不等式的性质，特殊值法，还考查了特殊与一般的思想，属于基础题.5．已知函数)25fx =+，则()f x 的解析式为（ ）A ．()21f x x =+ B ．()()212f x x x =+≥C ．()2f x x =D ．()()22f x x x =≥【答案】B【分析】利用换元法求函数解析式.【详解】2t =,则2t ≥，所以()()()()2224t 251,2,f t t t t =-+-+=+≥即()21f x x =+()2x ≥.故选：B【点睛】本题考查利用换元法求函数解析式，考查基本分析求解能力，属基础题.6．已知()f x 是定义域为R 的奇函数,当0x >时,()223f x x x =--,则不等式()20f x +<的解集是A ．()() 5,22,1--⋃-B ．()(),52,1-∞-⋃-C ．()(,1)52,--⋃+∞D ．(),1()2,5-∞-⋃【答案】B【分析】根据函数奇偶性的性质，求出函数当0x <时，函数的表达式，利用函数的单调性和奇偶性的关系即可解不等式. 【详解】解：若0x <，则0x ->，∵当0x >时，()223f x x x =--，∴()223f x x x -=+-，∵()f x 是定义域为R 的奇函数，∴()223()f x x x f x -=+-=-，即2()23f x x x =--+，0x <.①若20x +<，即2x <-，由()20f x +<得，()()222230x x -+-++<，解得5x <-或1x >-，此时5x <-；②若20x +>，即2x >-，由()20f x +<得，()()222230x x +-+-<，解得31x -<<，此时21x -<<，综上不等式的解为5x <-或21x -<<. 即不等式的解集为()(),52,1-∞-⋃-. 故选：B.【点睛】本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性的性质求出函数的解析式是解决本题的关键. 7．若函数()f x =R ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(0,4)B ．[0,2)C ．[0,4)D ．(2,4]【答案】C【分析】等价于不等式210ax ax ++>的解集为R, 结合二次函数的图象分析即得解. 【详解】由题得210ax ax ++>的解集为R, 当0a =时，1＞0恒成立，所以0a =.当0a ≠时，240a a a >⎧⎨∆=-<⎩，所以04a <<. 综合得04a ≤<.故选：C【点睛】本题主要考查函数的定义域和二次函数的图象性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.8．设函数22,()6,x x x af x ax x a⎧--≥⎪=⎨-<⎪⎩是定义在R 上的增函数，则实数a 取值范围（ ）A ．[)2,+∞B ．[]0,3C ．[]2,3D ．[]2,4【答案】D【分析】画出函数22y x x =--的图象，结合图象及题意分析可得所求范围．【详解】画出函数22y x x =--的图象如下图所示，结合图象可得，要使函数()22,,6,,x x x a x ax x a ⎧--≥⎪=⎨-<⎪⎩是在R 上的增函数，需满足22226a a a a ≥⎧⎨--≥-⎩，解得24x ≤≤． 所以实数a 取值范围是[]2,4． 故选D ．【点睛】解答本题的关键有两个：（1）画出函数的图象，结合图象求解，增强了解题的直观性和形象性；（2）讨论函数在实数集上的单调性时，除了考虑每个段上的单调性之外，还要考虑在分界点处的函数值的大小关系． 二、多选题9．若0a >，0b >，且2a b +=，则下列不等式恒成立的是（ ）A 1B ．11ab≥ C ．222a b +≥ D ．112a b+≥【答案】BCD【分析】由条件可得12211112a a b a b a abb b ab ++=≥+==⇒≥⇒≥，结合2222()()a b a b ++，即可得出．【详解】因为0a >，0b >，所以12211112a a b a b a abb b ab ++=≥+≤==⇒≥⇒≥， 所以A 错，BD 对；因为22222()()(0)a b a b a b -+=-≥+，则22222()()2a b a b ++=，化为：222a b +，当且仅当1a b ==时取等号，C 对． 故选：BCD ．【点睛】本题考查了不等式的基本性质以及重要不等式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10．给出下列命题，其中是错误命题的是（ ）A ．若函数()f x 的定义域为[0，2]，则函数(2)f x 的定义域为[0，4].B ．函数1()f x x=的单调递减区间是(,0)(0,)-∞+∞ C ．若定义在R 上的函数()f x 在区间(,0]-∞上是单调增函数，在区间(0,)+∞上也是单调增函数，则()f x 在R 上是单调增函数.D ．1x 、2x 是()f x 在定义域内的任意两个值，且1x <2x ，若12()()f x f x >，则()f x 减函数.【答案】ABC【分析】对于A ，由于()f x 的定义域为[0，2]，则由022x ≤≤可求出(2)f x 的定义域；对于B ，反比例函数的两个单调区间不连续，不能用并集符号连接；对于C ，举反例可判断；对于D ，利用单调性的定义判断即可【详解】解：对于A ，因为()f x 的定义域为[0，2]，则函数(2)f x 中的2[0,2]x ∈，[0,1]x ∈，所以(2)f x 的定义域为[0,1]，所以A 错误； 对于B ，反比例函数1()f x x=的单调递减区间为(,0)-∞和(0,)+∞，所以B 错误； 对于C ，当定义在R 上的函数()f x 在区间(,0]-∞上是单调增函数，在区间(0,)+∞上也是单调增函数，而()f x 在R 上不一定是单调增函数，如下图，显然，(1)(0)f f < 所以C 错误；对于D ，根据函数单调性的定义可得该选项是正确的， 故选：ABC11．若a ，b 为正数，则（ ）A ．2+aba bB ．当112a b+=时，2a b +≥C ．当11a b a b+=+时，2a b +≥D ．当1a b +=时，221113a b a b +≥++【答案】BCD【分析】利用基本不等式，逐一检验即可得解.【详解】解：对A ，因为+a b ≥2aba b≤+，当a b =时取等号，A 错误；对B ，()11111+=2+2=2222b a a b a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫++≥+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当a b =时取等号，B 正确；对C ，11=+=a ba b a b ab++，则1ab =，+2a b ≥=，当1a b ==时取等号，C 正确；对D ，()()()2222222211+111+111+b a a b a b a b a b a b a b b a ++⎛⎫+++=+++≥++ ⎪++⎝⎭2222()1a b ab a b =++=+=， 当12a b ==时取等号，即221113a b a b +≥++，D 正确.故选：BCD.【点睛】本题考查了基本不等式的应用，重点考查了运算能力，属中档题.12．已知连续函数f (x )对任意实数x 恒有f （x ＋y ）＝f (x )＋f （y ），当x ＞0时，f (x )＜0，f （1）＝－2，则以下说法中正确的是（ ） A ．f （0）＝0B ．f (x )是R 上的奇函数C ．f (x )在[－3，3]上的最大值是6D ．不等式()232()(3)4f x f x f x -<+的解集为213x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭∣ 【答案】ABC【分析】根据函数()f x 对任意实数x 恒有()()()f x y f x f y +=+，令0x y ==，可得(0)0f =，判断奇偶性和单调性，即可判断选项；【详解】解：对于A ，函数()f x 对任意实数x 恒有()()()f x y f x f y +=+， 令0x y ==，可得(0)0f =，A 正确；对于B ，令x y =-，可得(0)()()0f f x f x =+-=，所以()()f x f x =--， 所以()f x 是奇函数；B 正确；对于C ，令x y <，则()()()()()f y f x f y f x f y x -=+-=-， 因为当x ＞0时，f (x )＜0，所以()0f y x -<，即()()0f y f x -<， 所以()f x 在()()0,,,0+∞-∞均递减， 因为()0f x <，所以()f x 在R 上递减；12f ，可得(1)2f -=；令1y =，可得()()12f x f x +=-()24f =-， ()36f =-；()3(3)6f f =--=，()f x ∴在[3-，3]上的最大值是6，C 正确；对于D ，由不等式2(3)2()(3)4f x f x f x -<+的可得2(3)()()(3)4f x f x f x f x <+++， 即2(3)(23)4f x f x x <++，4(2)f =-，2(3)(23)(2)f x f x x f ∴<++-，则2(3)(52)f x f x <-，2352x x ∴>-，解得：23x <或1x >； D 不对；故选：ABC ．【点睛】本题主要考查函数求值和性质问题，根据抽象函数条件的应用，赋值法是解决本题的关键． 三、填空题13．函数y _________. 【答案】[]2,5【分析】先求出函数的定义域，再结合复合函数的单调性可求出答案. 【详解】由题意，2450x x -++≥，解得15x -≤≤，故函数y []1,5-.函数y =二次函数245u x x =-++的对称轴为2x =，在[]1,5-上的增区间为[)1,2-，减区间为[]2,5，故函数y []2,5. 故答案为：[]2,5.【点睛】本题考查复合函数的单调性，考查二次函数单调性的应用，考查学生的推理能力，属于基础题.14．奇函数f (x )在(0,)+∞内单调递增且f （1）＝0，则不等式()01f x x >-的解集为________． 【答案】{|1x x >或01x <<或1x <-}．【分析】根据题意，由函数()f x 的奇偶性与单调性分析可得当01x <<时，()0f x <，当1x >时，()0f x >，当10x -<<时，()0f x >，当1x <-时，()0f x <，而不等式()01f x x >-等价于1()0x f x >⎧⎨>⎩或1()0x f x <⎧⎨<⎩；分析可得答案．【详解】解：根据题意，()f x 在(0,)+∞内单调递增，且f （1）0=， 则当01x <<时，()0f x <，当1x >时，()0f x >，又由()f x 为奇函数，则当10x -<<时，()0f x >，当1x <-时，()0f x <， 不等式()01f x x >-，等价于1()0x f x >⎧⎨>⎩或1()0x f x <⎧⎨<⎩；解可得：1x >或01x <<或1x <-； 即不等式()01f x x >-的解集为{|1x x >或01x <<或1x <-}． 故答案为：{|1x x >或01x <<或1x <-}． 15．已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，则函数1f x y +=__________． 【答案】(-1，1)【分析】先求()1f x +的定义域为()1,-+∞，再求不等式组21340x x x >-⎧⎨--+>⎩的解集可以得到函数的定义域．【详解】由题意210340x x x +>⎧⎨--+>⎩，解得11x -<<，即定义域为()1,1-．【点睛】已知函数()f x 的定义域D ，()g x 的定义域为E ，那么抽象函数()f g x ⎡⎤⎣⎦的定义域为不等式组()x Eg x D ∈⎧⎨∈⎩的解集．16．定义：如果函数()y f x =在区间[],a b 上存在00()x a x b <<，满足0()()()f b f a f x b a-=-，则称0x 是函数()y f x =在区间[],a b 上的一个均值点．已知函数2()1f x x mx =-++在区间[]1,1-上存在均值点，则实数m 的取值范围是________. 【答案】(0,2).【详解】试题分析：由题意设函数2()1f x x mx =-++在区间[1,1]-上的均值点为，则0(1)(1)()1(1)f f f x m --==--，易知函数2()1f x x mx =-++的对称轴为2m x =，①当12m≥即2m ≥时，有0(1)()(1)f m f x m f m -=-<=<=，显然不成立，不合题意；②当12m≤-即2m ≤-时，有0(1)()(1)f m f x m f m =<=<-=-，显然不成立，不合题意；③当112m -<<即22m -<<时，（1）当20m -<<有0(1)()()2m f f x f <≤，即214m m m <≤+，显然不成立；（2）当0m =时， 0()0f x m ==，此时01x =±，与011x -<<矛盾，即0m ≠；（3）当02m <<时，有0(1)()()2mf f x f -<≤，即214m m m -<≤+，解得02m <<，综上所述得实数m 的取值范围为(0,2).【解析】二次函数的性质. 四、解答题17．已知集合{}22|430,|03x A x x x B x x -⎧⎫=-+≤=>⎨⎬+⎩⎭（1）分别求A B ,R R A B ⋃（）；（2）若集合{|1},C x x a A C C =<<⋂=,求实数a 的取值范围． 【答案】（1）(2,3]A B ⋂=,(,2](3,)R R A B ⋃=-∞⋃+∞（2）3a ≤【分析】（1）化简集合,,A B 根据交集定义,补集定义和并集定义,即可求得答案; （2）由A C C =,所以C A ⊆,讨论C =∅和C ≠∅两种情况,即可得出实数a 的取值范围．【详解】（1）集合{}2|430[1,3]A x x x =-+≤=∴(,1)(3,)RA =-∞⋃+∞,[3,2]RB =-∴(2,3]A B ⋂=,(,2](3,)RR A B ⋃=-∞⋃+∞,（2）A C C =∴ 当C 为空集时,1a ≤∴ 当C 为非空集合时,可得 13a ≤＜综上所述:a 的取值范围是3a ≤．【点睛】本题考查了不等式的解法,交集和补集的运算,解题关键是掌握集合的基本概念和不等式的解法,考查了计算能力,属于基础题.18．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，已知当0x ≤时，()243f x x x =++.（1）求函数()f x 的解析式；（2）画出函数()f x 的图象，并写出函数()f x 的单调递增区间； （3）求()f x 在区间[]1,2-上的值域.【答案】（1）()2243,043,0x x x f x x x x ⎧-+>=⎨++≤⎩； （2）见解析； （3）[]1,3-.【分析】（1）设x ＞0，则﹣x ＜0，利用当x≤0时，f （x ）=x 2+4x+3，结合函数为偶函数，即可求得函数解析式；（2）根据图象，可得函数的单调递增区间；（3）确定函数在区间[﹣1，2]上的单调性，从而可得函数在区间[﹣1，2]上的值域． 【详解】（1）∵函数()f x 是定义在R 上的偶函数∴对任意的x ∈R 都有()()f x f x -=成立∴当0x >时，0x -<即()()()()224343f x f x x x x x =-=-+-+=-+∴ ()2243,043,0x x x f x x x x ⎧-+>=⎨++≤⎩（2）图象如右图所示函数()f x 的单调递增区间为[]2,0-和[)2,+∞. （写成开区间也可以）（3）由图象，得函数的值域为[]1,3-.【点睛】本题考查函数的解析式，考查函数的单调性与值域，考查数形结合的数学思想，属于中档题．19．若二次函数()f x 满足11,()22f x f x x R ⎛⎫⎛⎫+=-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,且(0)1,(1)3f f =-=．（1）求()f x 的解析式;（2）若函数()(),()g x f x ax a R =-∈在3,2x ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦上递减,3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上递增,求a 的值及当[1,1]x ∈-时函数()g x 的值域.【答案】（1）2()1f x x x =-+（2）2a =,值域为[1,5]-． 【分析】（1）设二次函数的解析式为2()(),0f x ax bx c a =++≠,由11,()22f x f x x R ⎛⎫⎛⎫+=-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可得()f x 对称轴为12x =,结合条件,即可求得答案;（2）根据增减性可知32x =为函数()g x 的对称轴,即可得到a 的值,而根据()g x 在[1,1]x ∈-上递减可得出()g x 在[1,1]x ∈-上的值域．【详解】（1）设二次函数的解析式为2()(),0f x ax bx c a =++≠二次函数()f x 满足11,()22f x f x x R ⎛⎫⎛⎫+=-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴二次函数()f x 的对称轴为:12x =． ∴122b a -=,可得:=-b a ——① 又(0)1f =,∴(0)1f c ==,可得:1c =．(1)3f -=．即:13a b -+=,可得:2a b -=——②由①②解得: 1,1a b ==-∴()f x 的解析式为2()1f x x x =-+．（2） 函数()(),()g x f x ax a R =-∈()g x 在3,2x ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦上递减,3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上递增． ∴()g x 的对称轴为32x =, 即:1322a +=．解得:2a =． ∴2()31g x x x =-+．()g x 在3,2x ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦上递减, ∴()g x 在[1,1]x ∈-上递减,则有:在[1,1]x ∈-上,min ()(1)1g x g ==-．函数()g x 在[1,1]x ∈-上的值域为[1,5]-【点睛】本题考查了待定系数法的运用以及对称轴的形式,根据增减性判断函数的对称轴及在区间上值域问题,解题关键是掌握二次函数的基础知识,考查了分析能力和计算能力,本题属中档题．20．已知函数24()x ax f x x++=为奇函数. （1）若函数()f x 在区间,2m m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦（0m >）上为单调函数，求m 的取值范围； （2）若函数()f x 在区间[]1,k 上的最小值为3k ，求k 的值.【答案】（1）4m ≥或02m <≤；（2【分析】（1）函数()f x 为奇函数，可知对定义域内所有x 都满足()()f x f x -=-，结合解析式，可得0ax =恒成立，从而可求出a 的值，进而可求出()f x 的解析式，然后求出函数()f x 的单调区间，结合()f x 在区间,2m m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦（0m >）上为单调函数，可求得m 的取值范围；（2）结合函数()f x 的单调性，分12k <≤和2k >两种情况，分别求出()f x 的最小值，令最小值等于3k ，可求出k 的值.【详解】（1）由题意，函数()f x 的定义域为()(),00,-∞+∞，因为函数()f x 为奇函数，所以对定义域内所有x 都满足()()f x f x -=-，即()()2244x a x x ax x x-+-+++=--， 整理可得，对()(),00,x ∈-∞+∞，0ax =恒成立，则0a =， 故244()x f x x x x +==+. 所以()f x 在()0,2上单调递减，在[)2,+∞上单调递增，又函数()f x 在区间,2m m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦（0m >）上为单调函数，则2m ≤或22m ≥，解得4m ≥或02m <≤.（2）()f x 在()0,2上单调递减，在[)2,+∞上单调递增，若12k <≤，则()()min 43f x f k k k k ==+=，解得k =12k <≤，只有k =合题意；若2k >，则()()min 42232f x f k ==+=，解得43k =，不满足2k >，舍去.故k 【点睛】本题考查函数的奇偶性，考查函数单调性的应用，考查了函数的最值，利用对勾函数的单调性是解决本题的关键，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 21．已知二次函数2()(0)f x ax x a =+≠.（1）当0a <时，若函数y a 的值；（2）当0a >时，求函数()()2||g x f x x x a =---的最小值()h a .【答案】（1）-4；（2）()0,1,a a h a a a a ⎧-<<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩ 【分析】（1）当0a <时，函数y 而可求出a 的值； （2）当0a >时，求出()g x 的表达式，分类讨论求出()g x 的最小值()h a 即可.【详解】（1）由题意，()0f x ≥，即()200ax x a +≥<，解得10x a≤≤-，即函数y 定义域为10,a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 又当0a <时，函数()2f x ax x =+的对称轴为12x a =-，21111222(4)f a a aa a ⎛⎫= ⎪⎝-=-⎭--，故函数y⎡⎢⎣，函数y1a -=4a =-. （2）由题意,0a >，2()||g x ax x x a =---，即()()22()2,,x a x ax g a a x a x ax -+≥-<⎧⎪=⎨⎪⎩， ①当01a <≤，则10a a≥>， x a ≥时，2min 1111(2)()()()g x g a a a a a a a-+=-==， x a <时，min ()(0)g x g a ==-， 若1a a a -≥-1a ≤≤， 若1a a a -<-，解得0a <<即0a <<min 1()g x a a =-1a ≤≤时，min ()g x a =-. ②当1a >时，1a a <， x a ≥时，33min ())2(g x g a a a a a a ==-+=-，x a <时，min ()(0)g x g a ==-，因为3a a a ->-，所以1a >时，min ()g x a =-.综上，函数()g x 的最小值()0,1,a a h a a a a ⎧-<<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩. 【点睛】本题考查函数的定义域与值域，考查二次函数的性质，考查函数的最小值，考查分类讨论的数学思想，考查学生的逻辑推理能力，属于中档题.22．定义在R 上的函数()f x 满足:①对一切x ∈R 恒有()0f x ≠；②对一切,x y R ∈恒有()()()f x y f x f y +=⋅；③当0x >时，()1f x >，且(1)2f =；④若对一切[,1]∈+x a a (其中0a <)，不等式()224(2||2)f x a f x +≥-恒成立.(1)求(2),(3)f f 的值；(2)证明:函数()f x 是R 上的递增函数；(3)求实数a 的取值范围.【答案】（1）4，8（2）证明见解析（3）(,-∞ 【分析】1）用赋值法令1,1x y ==求解.（2）利用单调性的定义证明，任取12x x <，由 ()()()f x y f x f y +=⋅，则有()()()2211f x f x x f x =-，再由条件当0x >时，()1f x > 得到结论.（3）先利用()()()f x y f x f y +=⋅将4(2||2)-f x 转化为(2||)f x ，再将()22(2||)+≥f x a f x 恒成立，利用函数()f x 是R 上的递增函数，转化为222||≥+x a x 恒成立求解.【详解】（1）令1,1x y == 所以(2)(1)(1)4f f f =⋅=所以(3)(2)(1)8f f f =⋅=（2）因为()()()f x y f x f y +=⋅任取12x x <因为当0x >时，()1f x >所以()211f x x ->所以()()12f x f x <，所以函数()f x 是R 上的递增函数，（3）因为()4(2||2)2(2||2)[2(2||2)](2||)-=-=+-=f x f f x f x f x又因为()224(2||2)f x a f x +≥-恒成立且函数()f x 是R 上的递增函数，所以222||≥+x a x ，[,1]∈+x a a (其中0a <)恒成立所以222||+≥-a x x 若对一切[,1]∈+x a a (其中0a <)，恒成立.当11a ≤-+ ，即2a ≤-时()()2max 143=+=---g x g a a a所以2243≥---a a a ，解得2a ≤-当21a -<≤-时，()max 1g x =解得21a -<≤-当10a -<≤，()()(){}max max ,1=+g x g a g a所以222≥--a a a 且221≥-+a a解得1a -<≤-综上：实数a 的取值范围(,-∞ 【点睛】本题主要考查了抽象函数的求值，单调性及其应用，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于难题.。
黑龙江省大庆实验中学2020学年高一数学上学期期中试卷(含解析)
黑龙江省大庆实验中学2020学年高一数学上学期期中试卷（含解析）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单选题1．已知集合，，则A． B． C ． D ．2．的值为A． B． C． D ．3．下列函数中，是偶函数且在上为减函数的是A． B． C． D．4．下列说法正确的有①大庆实验中学所有优秀的学生可以构成集合；②；③集合与集合表示同一集合；④空集是任何集合的真子集.A ．1个B ．2个 C．3个 D．4个5．已知函数的一个零点在区间内，则实数的取值范围是A ． B． C ． D．6．已知，，，则A ．B ． C． D ．7．已知函数是幂函数，且其图像与轴没有交点，则实数A．或 B ． C ． D ．8．已知角α的终边上一点的坐标为(sin，cos)，则角α的最小正值为( )A ．B ．C ． D．9．已知,,若,则实数的取值范围是( )A． B． C ． D．10．已知在单调递减，则实数的取值范围是A． B ． C． D．11．已知，且，若存在,，使得成立，则实数的取值范围是A ．B ． C． D．12．已知函数在上有且只有一个零点，则正实数的取值范围是A． B．C． D．二、填空题13．已知4510a b==，则12a b+=__________．14124cos4sin-=________.15．若关于的方程的两实根是，则_____．16．已知函数和同时满足以下两个条件：（1）对于任意实数，都有或；（2）总存在，使成立．则实数的取值范围是 __________．三、解答题17．（1）将写成的形式，其中；（2）写出与（1）中角终边相同的角的集合并写出在的角. 18．已知关于的不等式的解集为．（1）求集合；（2）若，求的最大值与最小值．19．已知函数是定义在的增函数，对任意的实数，都有，且．（1）求的值；（2）求的解集．20．已知.（1）求的值；（2）若为第二象限角，且角终边在上，求的值．21．已知二次函数对任意的实数都有成立，且．（1）求函数的解析式；（2）函数在上的最小值为，求实数的值．22．已知定义域为的函数是奇函数.（1）求的值；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.2020学年黑龙江省大庆实验中学高一上学期期中考试数学试题数学答案参考答案1．D【解析】【分析】题干可得到集合A,B再由函数补集的概念得到结果.【详解】集合，，则故答案为：D。
2020-2021学年江苏省徐州一中高一(上)期中数学试卷及答案
2020-2021学年江苏省徐州一中高一（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣3x﹣4＜0}，B＝{﹣4，1，3，5}，则A∩B＝（）A．{﹣4，1}B．{1，5}C．{3，5}D．{1，3}2．（5分）已知幂函数f（x）＝x a的图象过点（3，27），则f（2）＝（）A．4B．8C．9D．163．（5分）函数y＝的定义域为（）A．[﹣1，0）B．（0，+∞）C．[﹣1，0）∪（0，+∞）D．（﹣∞，0）∪（0，+∞）4．（5分）己知函数f（x）＝，则f（f（4））的值为（）A．﹣B．0C．1D．45．（5分）某中学高一年级的学生积极参加体育锻炼，其中有1056名学生喜欢足球或游泳，660名学生喜欢足球，902名学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数是（）A．682B．616C．506D．4626．（5分）函数y＝的值域是（）A．（﹣∞，+∞）B．（﹣∞，）∪（﹣，+∞）C．（﹣∞，）∪（﹣，+∞）D．（﹣∞，﹣）∪（﹣，+∞）7．（5分）若关于x的不等式x2﹣2x+c2＜0的解集为（a，b），则+的最小值为（）A．9B．﹣9C．D．﹣8．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，对任意两个正数x1，x2，都有＜0，且f（2）＝0，则满足（x﹣1）f（x）＞0的x的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2）∪（0，1）∪（2，+∞）B．（﹣2，0）∪（1，2）C．（﹣2，1）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）∪（1，2）二.选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得了分。
9．（5分）若a＜b＜0，则（）A．|a|＞|b|B．a2＞b2C．＜D．＞10．（5分）下列函数与y＝x2﹣2x+3的值域相间的是（）A．y＝4x（x≥）B．y＝+2C．y＝D．y＝2x﹣11．（5分）已知2a＝3．b＝log32，则（）A．a+b＞2B．ab＝1C．3b+3﹣b＝D．＝log91212．（5分）某学习小组在研究函数f（x）＝的性质时，得出了如下的结论，其中正确的是（）A．函数f（x）的图象关于y轴对称B．函数f（x）的图象关于点（2，0）中心对称C．函数f（x）在（﹣2，0）上是增函数D．函数f（x）在[0，2）上有最大值﹣三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年高一数学上期中试卷(带答案)
【方法点晴】本题主要考查函数的奇偶性与单调性能、不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数 恒成立（ 即可）或 恒成立（ 即可）；②数形结合（ 图象在 上方即可）；③讨论最值 或 恒成立；④讨论参数.本题是利用方法①求得 的范围.
解析：
【解析】
【分析】
设 ，带入化简得到 得到答案.
【详解】
，设 代入得到
故 的解析式是
故答案为：
【点睛】
本题考查了利用换元法求函数解析式，属于常用方法，需要学生熟练掌握.
18．7【解析】【分析】【详解】设则因为所以故答案为7
解析：7
【解析】
【分析】
【详解】
设 ，
则 ，
因为 ，
所以 ，
,
故答案为7.
由题得 ，令f(x)= ,
所以 ，
Hale Waihona Puke 所以故答案为[-6,-2)
【点睛】
本题主要考查二次方程的有解问题，考查二次函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.
三、解答题
21．(1)1 (2)见解析(3)
【解析】
【分析】
(1)令 ，代入计算得到答案.
(2)任取 ， ，且 ，计算得到 得到证明.
二、填空题
13．已知 ， ，其中 ，若 与 的图象有两个不同的交点，则 的取值范围是______________.
14．若不等式 的解集中的整数有且仅有1，2，3，则 的取值范围是
15．函数y= 的定义域是.
16．已知函数 ， ，则 ________．
17．若函数 满足 ，则 的解析式是_________.
山东泰安一中高一上期中数学试卷及答案解析
2019-2020学年山东省泰安一中高一上期中数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.
1．已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，4，6}，B＝{1，3，5，7}，则A∩（∁U B）等于（）
A．{2，4，6}B．{1，3，5}C．{2，4，5}D．{2，5}
2．函数y＝ln（3﹣x）+√2x−4的定义域是（）
A．[2，3）B．[2，+∞）C．（﹣∞，3）D．（2，3）
3．命题“∀x∈R，|x|+x2≥0”的否定是（）
A．∀x∈R，|x|+x2＜0B．∀x∈R，|x|+x2≤0
C．∃x0∈R，|x0|+x02＜0D．∃x0∈R，|x0|+x02≥0
4．下列函数中，是奇函数且在定义域内单调递减的函数为（）
A．y＝﹣log2x B．y＝﹣x3C．y=1
x D．y=(
1
2
)x
5．函数y＝a x与y=log1
a
x（a＞0且a≠1）在同一坐标系中的图象只可能是（）A．B．
C．D．
6．已知a＝log30.5，b＝30.5，c＝0.30.5，则a、b、c三者的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．c＞b＞a
7．已知正数m，n满足m（n﹣1）＝8n，则m+2n的最小值是（）A．18B．16C．8D．10
8．王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传诵至今，“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关．黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，其中最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的（）
A．必要条件B．充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
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2019-2020学年山东省实验中学高一上学期期中数学试题(解析版)
2019-2020学年山东省实验中学高一上学期期中数学试题一、单选题1．设全集{}0,1,2,3,4U =，{}0,3,4A =，{}1,3B =，则()U A B =I ð（ ） A ．{}0,4 B ．{}0,2,3,4C ．{}4D ．{}0,1,3,4【答案】A【解析】利用补集和交集的定义可计算出集合()U A B ∩ð. 【详解】Q 全集{}0,1,2,3,4U =，{}1,3B =，{}0,2,4U B ∴=ð，又{}0,3,4A =Q ，因此，(){}0,4U A B ⋂=ð. 故选：A. 【点睛】本题考查补集和交集的混合运算，考查计算能力，属于基础题. 2．函数()f x =的定义域为（ ） A ．()1,-+∞ B ．(),1-∞-C ．()1,1-D ．∅【答案】A【解析】根据偶次根式被开方数非负、分母不为零得出关于x 的不等式，即可得出函数()y f x =的定义域.【详解】由题意可得10x +>，解得1x >-，因此，函数()f x =的定义域为()1,-+∞.故选：A. 【点睛】本题考查具体函数定义域的求解，解题时要结合一些常见的求函数定义域的基本原则列不等式（组）求解，考查运算求解能力，属于基础题. 3．下列函数中，与函数1y x =+是同一个函数的是 （ ）A ．2y = B ．1y =C ．21x y x=+D ．1y =【答案】B【解析】根据定义域、解析式是否与所给函数是否相同判断即可.1y x =+的定义域为R ，()21y x =≥-与()210x y x x=+≠定义域不是R ，A 、C 不合题意;11y x ==+,解析式与1y x =+不相同，D 不合题意，选项B 中函数定义域、解析式都与所给函数相同， 故选B. 【点睛】本题主要考查函数的基本定义，考查了函数的定义域，属于基础题. 4．函数323y x x=-的奇偶性是（ ） A ．偶函数 B ．奇函数C ．既奇又偶D ．非奇非偶【答案】B【解析】根据函数奇偶性的定义判断即可. 【详解】 设()323f x x x=-，该函数的定义域为{}0x x ≠，关于原点对称， ()()()333222333f x x x x f x x x x ⎛⎫-=⨯--=-+=--=- ⎪-⎝⎭Q ， 又()11f =，()11f -=-，则()()11f f ≠-. 因此，函数323y x x=-为奇函数. 故选：B. 【点睛】本题考查函数奇偶性的判断，熟悉函数奇偶性的定义是判断的关键，考查推理能力，属于基础题.5．下列四个函数中，在()0,∞+上为增函数的是（ ）A ．()13xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．()23f x x x =- C ．()f x x=-D ．()11f x x =-+ 【答案】D【解析】逐一判断各选项中函数在区间()0,∞+上的单调性，进而可得出合适的选项.对于A 选项，函数()13xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间()0,∞+上为减函数； 对于B 选项，二次函数()23f x x x =-的图象开口向上，对称轴为直线32x =， 则函数()23f x x x =-在区间30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数，在区间3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为增函数，该函数在区间()0,∞+上不单调；对于C 选项，当0x >时，()f x x x =-=-，则函数()f x x =-在区间()0,∞+上为减函数；对于D 选项，函数()11f x x =-+在区间()0,∞+上为增函数. 故选：D. 【点睛】本题考查函数在区间上单调性的判断，熟悉一些基本初等函数的单调性是判断的关键，属于基础题.6．已知函数21,0()2,0x x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩，若()f x =5，则x 的值是（ ）A ．-2B ．2或-52C ．2或-2D ．2或-2或-52【答案】A【解析】根据分段函数的对应法则，分类讨论解方程即可. 【详解】当0x ≤时，215x +=，解得2x =- ； 当0x >时，25x -=，无解， ∴x 的值是2-， 故选：A 【点睛】本题考查分段函数的对应法则的应用，考查分类讨论思想，属于基础题.7．已知 5.10.9m =，2log 5.1n =， 5.10.8p =，则m 、n 、p 的大小关系为（ ） A ．p n m << B ．m p n <<C ．m n p <<D ．p m n <<【答案】D【解析】利用对数函数、幂函数比较三个数与1的大小关系，并利用幂函数的单调性得出m 与p 的大小，从而可得出m 、n 、p 的大小关系. 【详解】对数函数2log y x =在区间()0,∞+上为增函数，则22log 5.1log 21n =>=； 幂函数 5.1y x =在区间()0,∞+上为增函数，则 5.1 5.1 5.10.80.911<<=，即1p m <<.因此，p m n <<. 故选：D. 【点睛】本题考查指数式与对数式的大小比较，一般利用指数、对数和幂函数的单调性结合中间值来比较，在比较指数幂的大小关系时，可根据指数幂的结构选择指数函数与幂函数的单调性来比较，考查推理能力，属于中等题.8．函数()2log 34f x x x =+-的零点所在的一个区间是（ ） A ．()2,1-- B ．()1,0-C ．()0,1D ．()1,2【答案】D【解析】判断函数()y f x =的单调性，利用零点存在定理即可得出结论. 【详解】Q 函数12log y x =在区间()0,∞+上为增函数，函数234y x =-为增函数，所以，函数()2log 34f x x x =+-在区间()0,∞+上为增函数，则该函数最多有一个零点，又()110f =-<，()230f =>，因此，函数()2log 34f x x x =+-的零点所在的一个区间是()1,2. 故选：D. 【点睛】本题考查利用零点存在定理判断函数零点所在的区间，考查计算能力，属于基础题. 9．设函数()22f x x =-，用二分法求()0f x =的一个近似解时，第1步确定了一个区间为31,2⎛⎫⎪⎝⎭，到第3步时，求得的近似解所在的区间应该是（ ）A ．1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．54,32⎛⎫⎪⎝⎭C ．118,32⎛⎫⎪⎝⎭D ．1123816,⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C【解析】利用二分法可得出结果. 【详解】()110f =-<Q ，31024f ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，570416f ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，第2步所得零点所在区间为53,42⎛⎫⎪⎝⎭； 取区间53,42⎛⎫ ⎪⎝⎭的中点35112428x +==，1170864f ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭Q ， 因此，第3步求得的近似解所在的区间应该是113,82⎛⎫⎪⎝⎭.故选：C. 【点睛】本题考查利用二分法求方程近似解所在区间，解题的关键就是要熟悉二分法求解函数零点所在区间的基本步骤，考查计算能力，属于基础题. 10．函数()()112122x xf x ⎡⎤=+--⎣⎦的图象大致为 ( ) A ． B ． C ．D ．【答案】A【解析】【详解】试题分析：根据题意，由于函数()()2,1202,01121221,1201,0x x x x xx x f x x ⎧⎧-≥≤⎡⎤=+--==⎨⎨⎣⎦-<>⎩⎩根据解析式，结合分段函数的图像可知， 在y 轴右侧是常函数， 所以排除B,D,而在y 轴的左侧，是递增的指数函数，故排除C ，因此选A. 【考点】本试题考查而来函数图像。
2020年高一数学上期中试题附答案
2020年高一数学上期中试题附答案一、选择题1．已知集合{}{}2|320,,|05,A x x x x R B x x x N =-+=∈=<<∈，则满足条件A CB ⊆⊆的集合C 的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 2．f (x)＝－x 2＋4x ＋a ，x∈[0,1]，若f (x)有最小值－2，则f (x)的最大值( )A ．－1B ．0C ．1D ．23．函数tan sin tan sin y x x x x =+--在区间（2π，32π）内的图象是( ) A ． B ．C ．D ．4．不等式()2log 231a x x -+≤-在x ∈R 上恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)2,+∞B ．(]1,2C ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦5．设集合{|32}M m m =∈-<<Z ，{|13}N n n M N =∈-≤≤⋂=Z ，则A ．{}01，B ．{}101-，，C ．{}012，，D ．{}1012-，，， 6．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数,满足(1)(1)f x f x -=+.若(1)2f =，则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=L （ ）A ．50-B ．0C ．2D ．507．若函数()(),1231,1xa x f x a x x ⎧>⎪=⎨-+≤⎪⎩是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．2,13⎛⎫⎪⎝⎭B ．3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．23,34⎛⎤⎥⎝⎦D ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭8．函数()sin lg f x x x =-的零点个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．39．已知函数2()2f x ax bx a b =++-是定义在[3,2]a a -的偶函数,则()()f a f b +=（ ） A ．5B ．5-C ．0D ．201910．已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数且满足，3()(2)32f x f x f ⎛⎫-=-=-⎪⎝⎭，，数列{}n a 满足11a =-，且2n n S a n =+，(其中n S 为{}n a 的前n 项和).则()()56f a f a +=（） A ．3B ．2-C ．3-D ．211．已知奇函数()f x 在R 上是增函数，若21log 5a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2log 4.1b f =，()0.82c f =，则,,a b c 的大小关系为( )A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c a b <<12．函数y =）A ．(41)--，B ．(41)-，C ．(11)-，D ．(11]-， 二、填空题13．函数的定义域是 .14．已知2()y f x x =+是奇函数，且f （1）1=，若()()2g x f x =+，则(1)g -=___．15．若幂函数()af x x =的图象经过点1(3)9，，则2a -=__________.16．已知函数()()212log 22f x mx m x m ⎡⎤=+-+-⎣⎦，若()f x 有最大值或最小值，则m的取值范围为______．17．2017年国庆期间，一个小朋友买了一个体积为a 的彩色大气球，放在自己房间内，由于气球密封不好，经过t 天后气球体积变为kt V a e -=⋅.若经过25天后，气球体积变为原来的23,则至少经过__________天后，气球体积小于原来的13. (lg30.477,lg 20.301≈≈，结果保留整数）18．关于函数()11f x x =--的性质描述，正确的是__________.①()f x 的定义域为[)(]1,00,1-U ；②()f x 的值域为()1,1-；③()f x 的图象关于原点对称；④()f x 在定义域上是增函数.19．若关于 x 的方程2420x x a ---= 在区间 (1, 4) 内有解，则实数 a 的取值范围是_____．20．已知函数()()0f x ax b a =->，()()43ff x x =-，则()2f =_______．三、解答题21．2018年1月8日，中共中央､国务院隆重举行国家科学技术奖励大会，在科技界引发热烈反响，自主创新正成为引领经济社会发展的强劲动力.某科研单位在研发新产品的过程中发现了一种新材料，由大数据测得该产品的性能指标值y 与这种新材料的含量x （单位：克）的关系为：当06x ≤<时，y 是x 的二次函数；当6x ≥时，13x ty -⎛⎫= ⎪⎝⎭测得数据如下表（部分）： x （单位：克） 0129…y74319…（1）求y 关于x 的函数关系式()y f x =；（2）当该产品中的新材料含量x 为何值时，产品的性能指标值最大. 22．已知幂函数2242()(22)m m f x m m x -+=--在(0,)+∞上单调递减.（1）求m 的值并写出()f x 的解析式；（2）试判断是否存在0a >，使得函数()(21)1()ag x a x f x =--+在[1,2]-上的值域为 [4,11]-？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.23．已知集合{|3A x x =≤-或2}x ≥，{|15}B x x =<<，{|12}C x m x m =-≤≤ （1）求A B I ，()R C A B ⋃；（2）若B C C ⋂=，求实数m 的取值范围.24．某厂生产某产品的年固定成本为250万元，每生产千件，需另投入成本（万元），若年产量不足千件，的图象是如图的抛物线，此时的解集为，且的最小值是，若年产量不小于千件，，每千件商品售价为50万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完.（1）写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？25．某辆汽车以x 千米/小时的速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全要求60120)x 剟时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为14500()5x k x-+升，其中k 为常数，且60100k 剟． （1）若汽车以120千米/小时的速度行驶时，每小时的油耗为11.5升，欲使每小时的油耗不超过9升，求x 的取值范围；（2）求该汽车行驶100千米的油耗的最小值．26．已知二次函数()f x 满足()(1)2f x f x x -+=-且(0)1f =. （1）求()f x 的解析式；（2）当[1,1]x ∈-时，不等式()2x m f x >+恒成立，求实数m 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】 【详解】求解一元二次方程，得{}()(){}2|320,|120,A x x x x x x x x =-+=∈=--=∈R R {}1,2=，易知{}{}|05,1,2,3,4B x x x =<<∈=N .因为A C B ⊆⊆，所以根据子集的定义， 集合C 必须含有元素1,2，且可能含有元素3,4， 原题即求集合{}3,4的子集个数，即有224=个，故选D. 【点评】本题考查子集的概念，不等式，解一元二次方程.本题在求集合个数时，也可采用列举法.列出集合C 的所有可能情况，再数个数即可.来年要注意集合的交集运算，考查频度极高.解析：C 【解析】因为对称轴2[0,1]x =∉，所以min max ()(0)2()(1)31f x f a f x f a ===-∴==+= 选C.3．D解析：D 【解析】解：函数y=tanx+sinx-|tanx-sinx|=2tan ,tan sin {2sin ,tan sin x x x x x x<≥分段画出函数图象如D 图示， 故选D ．4．C解析：C 【解析】 【分析】由()2223122-+=-+≥x x x 以及题中的条件，根据对数函数的单调性性，对a 讨论求解即可. 【详解】由()2log 231a x x -+≤-可得()21log 23log -+≤a ax x a， 当1a >时，由()2223122-+=-+≥x x x 可知2123-+≤x x a无实数解，故舍去； 当01a <<时，()2212312-+=-+≥x x x a在x ∈R 上恒成立，所以12a ≤，解得112a ≤<. 故选：C 【点睛】本题主要考查对数函数的单调性，涉及到复合函数问题，属于中档题.5．B解析：B 【解析】试题分析：依题意{}{}2,1,0,1,1,0,1,2,3,M N =--=-∴{}1,0,1M N ⋂=-. 考点：集合的运算6．C【解析】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果. 详解：因为()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，且(1)(1)f x f x -=+， 所以(1)(1)(3)(1)(1)4f x f x f x f x f x T +=--∴+=-+=-∴=,因此(1)(2)(3)(50)12[(1)(2)(3)(4)](1)(2)f f f f f f f f f f ++++=+++++L ， 因为(3)(1)(4)(2)f f f f =-=-，，所以(1)(2)(3)(4)0f f f f +++=，(2)(2)(2)(2)0f f f f =-=-∴=Q ，从而(1)(2)(3)(50)(1)2f f f f f ++++==L ，选C.点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．7．C解析：C 【解析】 【分析】由题意结合分段函数的解析式分类讨论即可求得实数a 的取值范围. 【详解】当1x >时，x a 为减函数，则01a <<，当1x ≤时，一次函数()231a x -+为减函数，则230a -<，解得：23a >， 且在1x =处，有：()12311a a -⨯+≥，解得：34a ≤， 综上可得，实数a 的取值范围是23,34⎛⎤ ⎥⎝⎦. 本题选择C 选项. 【点睛】对于分段函数的单调性，有两种基本的判断方法：一保证各段上同增(减)时，要注意上、下段间端点值间的大小关系；二是画出这个分段函数的图象，结合函数图象、性质进行直观的判断．8．D解析：D 【解析】 【分析】画出函数图像，根据函数图像得到答案. 【详解】如图所示：画出函数sin y x =和lg y x =的图像，共有3个交点. 当10x >时，lg 1sin x x >≥，故不存在交点. 故选：D .【点睛】本题考查了函数的零点问题，画出函数图像是解题的关键.9．A解析：A 【解析】 【分析】根据函数f （x ）＝ax 2+bx +a ﹣2b 是定义在[a ﹣3，2a ]上的偶函数，即可求出a ，b ，从而得出f （x ）的解析式，进而求出f （a ）+f （b ）的值． 【详解】∵f （x ）＝ax 2+bx +a ﹣2b 是定义在[a ﹣3，2a ]上的偶函数；∴0320b a a =⎧⎨-+=⎩；∴a ＝1，b ＝0； ∴f （x ）＝x 2+2；∴f （a ）+f （b ）＝f （1）+f （0）＝3+2＝5． 故选：A ． 【点睛】本题考查偶函数的定义，偶函数定义域的对称性，已知函数求值的方法．10．A解析：A 【解析】 由奇函数满足()32f x f x ⎛⎫-=⎪⎝⎭可知该函数是周期为3T =的奇函数， 由递推关系可得：112,21n n n n S a n S a n +-=+=+-, 两式做差有：1221n n n a a a -=--，即()()1121n n a a --=-， 即数列{}1n a -构成首项为112a -=-，公比为2q =的等比数列， 故：()1122,21n n n n a a --=-⨯∴=-+，综上有：()()()()()552131223f a f f f f =-+=-==--=，()()()()66216300f a f f f =-+=-==，则：()()563f a f a +=. 本题选择A 选项.11．C解析：C 【解析】由题意：()221log log 55a f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 且：0.822log 5log 4.12,122>><<，据此：0.822log 5log 4.12>>，结合函数的单调性有：()()()0.822log 5log 4.12f f f >>，即,a b c c b a >><<. 本题选择C 选项.【考点】 指数、对数、函数的单调性【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式.12．C解析：C 【解析】要使函数有意义，需使210{340x x x +>--+>，即1{41x x >--<<，所以1 1.x -<<故选C二、填空题13．【解析】试题分析：要使函数有意义需满足函数定义域为考点：函数定义域解析：[]3,1-【解析】试题分析：要使函数有意义，需满足2232023031x x x x x --≥∴+-≤∴-≤≤，函数定义域为[]3,1- 考点：函数定义域14．-1【解析】试题解析：因为是奇函数且所以则所以考点：函数的奇偶性解析：-1 【解析】试题解析：因为2()y f x x =+是奇函数且(1)1f =，所以，则，所以．考点：函数的奇偶性．15．【解析】由题意有：则： 解析：14【解析】 由题意有：13,29aa =∴=-， 则：()22124a--=-=. 16．或【解析】【分析】分类讨论的范围利用对数函数二次函数的性质进一步求出的范围【详解】解：∵函数若有最大值或最小值则函数有最大值或最小值且取最值时当时由于没有最值故也没有最值不满足题意当时函数有最小值没解析：{|2m m >或2}3m <- 【解析】 【分析】分类讨论m 的范围，利用对数函数、二次函数的性质，进一步求出m 的范围. 【详解】解：∵函数()()212log 22f x mx m x m ⎡⎤=+-+-⎣⎦，若()f x 有最大值或最小值，则函数2(2)2y mx m x m =+-+-有最大值或最小值，且y 取最值时，0y >.当0m =时，22y x =--，由于y 没有最值，故()f x 也没有最值，不满足题意. 当0m >时，函数y 有最小值，没有最大值，()f x 有最大值，没有最小值.故y 的最小值为24(2)(2)4m m m m ---，且 24(2)(2)04m m m m--->，求得 2m >；当0m <时，函数y 有最大值，没有最小值，()f x 有最小值，没有最大值.故y 的最大值为24(2)(2)4m m m m ---，且 24(2)(2)04m m m m--->，求得23m <-. 综上，m 的取值范围为{|2m m >或2}3m <-. 故答案为：{|2m m >或2}3m <-. 【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数、对数函数的性质，二次函数的最值，属于中档题.17．68【解析】由题意得经过天后气球体积变为经过25天后气球体积变为原来的即则设天后体积变为原来的即即则两式相除可得即所以天点睛：本题主要考查了指数函数的综合问题考查了指数运算的综合应用求解本题的关键是解析：68 【解析】由题意得，经过t 天后气球体积变为kt V a e -=⋅，经过25天后，气球体积变为原来的23， 即25252233kk a ea e --⋅=⇒=，则225ln 3k -=， 设t 天后体积变为原来的13，即13kt V a e a -=⋅=，即13kte -=，则1ln 3kt -=两式相除可得2ln2531ln3k kt -=-，即2lg25lg 2lg30.3010.477130.3681lg30.4771lg 3t --===≈--， 所以68t ≈天点睛：本题主要考查了指数函数的综合问题，考查了指数运算的综合应用，求解本题的关键是先待定t 的值，建立方程，在比较已知条件，得出关于t 的方程，求解t 的值，本题解法比较巧妙，充分考虑了题设条件的特征，对观察判断能力要求较高，解题时根据题设条件选择恰当的方法可以降低运算量，试题有一定的难度，属于中档试题.18．①②③【解析】【分析】由被开方式非负和分母不为0解不等式可得f （x ）的定义域可判断①；化简f （x ）讨论0＜x≤1﹣1≤x ＜0分别求得f （x ）的范围求并集可得f （x ）的值域可判断②；由f （﹣1）＝f （解析：①②③ 【解析】 【分析】由被开方式非负和分母不为0，解不等式可得f （x ）的定义域，可判断①；化简f （x ），讨论0＜x ≤1，﹣1≤x ＜0，分别求得f （x ）的范围，求并集可得f （x ）的值域，可判断②；由f （﹣1）＝f （1）＝0，f(x)不是增函数，可判断④；由奇偶性的定义得f （x ）为奇函数，可判断③． 【详解】①，由240110x x x ⎧-≥⎪⎨--≠⎪⎩，解得﹣1≤x ≤1且x ≠0，可得函数()11f x x =--的定义域为[﹣1，0）∪（0，1]，故①正确；②，由①可得f （x ，即f （x ，当0＜x ≤1可得f （x 1，0]；当﹣1≤x ＜0可得f （x [0，1）．可得f （x ）的值域为（﹣1，1），故②正确；③，由f （x 的定义域为[﹣1，0）∪（0，1]，关于原点对称，f （﹣x ＝﹣f （x ），则f （x ）为奇函数，即有f （x ）的图象关于原点对称，故③正确．④，由f （﹣1）＝f （1）＝0，则f （x ）在定义域上不是增函数，故④错误； 故答案为：①②③ 【点睛】本题考查函数的性质和应用，主要是定义域和值域的求法、单调性的判断和图象的特征，考查定义法和分类讨论思想，以及化简运算能力和推理能力，属于中档题．19．-6-2)【解析】【分析】转化成f(x)=与有交点再利用二次函数的图像求解【详解】由题得令f(x)=所以所以故答案为-6-2)【点睛】本题主要考查二次方程的有解问题考查二次函数的图像和性质意在考查学解析：[-6,-2) 【解析】 【分析】转化成f(x)=242x x --与y a =有交点, 再利用二次函数的图像求解. 【详解】由题得242x x a --=，令f(x)=()242,1,4x x x --∈,所以()()[)2242266,2f x x x x =--=--∈--， 所以[)6,2a ∈-- 故答案为[-6,-2) 【点睛】本题主要考查二次方程的有解问题，考查二次函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.20．【解析】【分析】先由求出的值可得出函数的解析式然后再求出的值【详解】由题意得即解得因此故答案为【点睛】本题考查函数求值解题的关键就是通过题中复合函数的解析式求出函数的解析式考查运算求解能力属于中等题 解析：3【解析】 【分析】先由()()43ff x x =-求出a 、b 的值，可得出函数()y f x =的解析式，然后再求出()2f 的值.【详解】 由题意，得()()()()()243ff x f ax b a ax b b a x ab b x =-=⋅--=-+=-，即2430a ab b a ⎧=⎪+=⎨⎪>⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩，()21f x x ∴=-，因此()23f =，故答案为3.【点睛】本题考查函数求值，解题的关键就是通过题中复合函数的解析式求出函数的解析式，考查运算求解能力，属于中等题.三、解答题21．（1）()2712,0641,63x x x x f x x -⎧-+≤<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪≥ ⎪⎪⎝⎭⎩（2）4x = 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法，结合所给数据可求函数关系式()y f x =； （2）分段求解函数的最大值，比较可得结果. 【详解】（1）当06x ≤<时，由题意，设()2f x ax bx c =++（0a ≠），由表格数据得()()()007142423f c f a b c f a b c ⎧==⎪⎪=++=⎨⎪=++=⎪⎩，解得1420a b c ⎧=-⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，所以，当06x ≤<时，()2124f x x x =-+， 当6x ≥时，()13x tf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，由表格数据可得()911939tf -⎛⎫==⎪⎝⎭， 解得7t =，所以当6x ≥时，()713x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，综上，()2712,0641,63x x x x f x x -⎧-+≤<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪≥ ⎪⎪⎝⎭⎩. （2）当06x ≤<时，()()221124444f x x x x =-+=--+， 可知4x =时，()()max 44f x f ==，当6x ≥时，()713x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭单凋递减，可知6x =时，()()67max1633f x f -⎛⎫=== ⎪⎝⎭.综上可得，当4x =时，产品的性能指标值最大. 【点睛】本题主要考查函数解析式的求解及最值，待定系数法是求解析式的常用方法，根据函数的类型设出解析式，结合条件求解未知系数，侧重考查数学抽象 22．（1）1()f x x -=；（2）存在，6a =. 【解析】 【分析】（1）由幂函数的定义和单调性，可得关于m 的方程与不等式；（2）由（1）得1()f x x -=，从而得到()(1)1g x a x =-+，再对1a -的取值进行分类讨论.【详解】（1）因为幂函数2242()(22)mm f x m m x -+=--在(0,)+∞上单调递减，所以22221,420,m m m m ⎧--=⎨-+<⎩解得：3m =或1m =-（舍去），所以1()f x x -=.（2）由（1）得1()f x x -=，所以()(1)1g x a x =-+，假设存在0a >使得命题成立，则当10a ->时，即1a >，()g x 在[1,2]-单调递增，所以(1)4,114,6(2)11,22111,g a a g a -=--+=-⎧⎧⇒⇒=⎨⎨=-+=⎩⎩； 当10a -=，即1a =，()1g x =显然不成立；当10a -<，即1a <，()g x 在[1,2]-单调递减， 所以(1)11,1111,(2)4,2214,g a g a -=-+=⎧⎧⇒⎨⎨=--+=-⎩⎩a 无解； 综上所述：存在6a =使命题成立.【点睛】本题考查幂函数的概念及解析式、已知一次函数的定义域、值域求参数的取值范围，考查逻辑推理能力和运算求解能力，同时注意分类讨论思想的运用，讨论时要以一次函数的单调性为分类标准.23．(1) {|25}A B x x =≤<I (){|35}R C A B x x ⋃=-<< (2) 5(,1)(2,)2-∞-U 【解析】试题分析：（1）根据集合的交集的概念得到{|25}A B x x ⋂=≤<，{|32}R C A x x =-<<，进而得到结果；（2）∵B C C ⋂= ∴C B ⊆，分情况列出表达式即可. 解析：（1）{|25}A B x x ⋂=≤<{|32}R C A x x =-<< (){|35}R C A B x x ⋃=-<<（2）∵B C C ⋂= ∴C B ⊆Ⅰ）当C =∅时，∴12m m ->即1m <-Ⅱ）当C ≠∅时，∴121125m m m m -≤⎧⎪->⎨⎪<⎩∴522m <<综上所述：m 的取值范围是()5,12,2⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭24．(1) ；(2) 当年产量千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大为万元.【解析】 【分析】（1）由题可知，利润=售价-成本，分别对年产量不足件，以及年产量不小于件计算，代入不同区间的解析式，化简求得；（2）分别计算年产量不足件，以及年产量不小于件的利润，当年产量不足80件时，由配方法解得利润的最大值为950万元，当年产量不小于件时，由均值不等式解得利润最大值为1000万元，故年产量为件时，利润最大为万元.【详解】 （1）当时，；当时，，所以（）.（2）当时，此时，当时，取得最大值万元．当时，此时，当时，即时，取得最大值万元，,所以年产量为件时，利润最大为万元．考点：•配方法求最值 均值不等式25．（1）[60，100]；（2）当75100k 剟，该汽车行驶100千米的油耗的最小值为220900k -升； 当6075k <„，该汽车行驶100千米的油耗的最小值为10546k-升． 【解析】 【分析】（1）将120x =代入每小时的油耗，解方程可得100=k ，由题意可得14500(100)95x x-+„，解不等式可得x 的范围； （2）设该汽车行驶100千米油耗为y 升，由题意可得10014500()5y x k x x=-+g ，换元令1t x=、化简整理可得t 的二次函数，讨论t 的范围和对称轴的关系，即可得到所求最小值． 【详解】解：（1）由题意可得当120x =时，1450014500()(120)11.555120x k k x -+=-+=， 解得100=k ，由14500(100)95x x-+„， 即214545000x x -+„，解得45100x 剟， 又60120x 剟，可得60100x 剟，每小时的油耗不超过9升，x 的取值范围为[60，100]； （2）设该汽车行驶100千米油耗为y 升，则 2100145002090000()20(60120)5k y x k x x x x x =-+=-+g 剟， 令1t x=，则1[120t ∈，1]60，即有22290000202090000()209000900k k y t kt t =-+=-+-， 对称轴为9000k t =，由60100k 剟，可得1[9000150k ∈，1]90，①若19000120k …即75100k 剟， 则当9000k t =，即9000x k=时，220900min k y =-；②若19000120k <即6075k <„， 则当1120t =，即120x =时，10546min ky =-． 答：当75100k 剟，该汽车行驶100千米的油耗的最小值为220900k -升；当6075k <„，该汽车行驶100千米的油耗的最小值为10546k-升． 【点睛】本题考查函数模型在实际问题中的运用，考查函数的最值求法，注意运用换元法和二次函数的最值求法，考查运算能力，属于中档题． 26．（1）2()1f x x x =-+（2）1m <- 【解析】 【分析】（1）设2()(0)f x ax bx c a =++≠，带入()(1)2f x f x x -+=-和(0)1f =，即可求出a ，b ，c 的值.（2）首先将题意转化为[1,1]x ∈-时，231x x m -+>恒成立，再求出2min (31)x x -+，2min (31)m x x <-+即可.【详解】（1）设2()(0)f x ax bx c a =++≠，则22()(1)(1)(1)2f x f x ax bx a x b x ax a b -+=+-+-+=---， 所以22ax a b x ---=-，解得：1a =，1b =-.又(0)1f c ==，所以2()1f x x x =-+.（2）当[1,1]x ∈-时，()2x m f x >+恒成立， 即当[1,1]x ∈-时，231x x m -+>恒成立. 设2()31g x x x =-+，[1,1]x ∈-. 则min ()(1)1g x g ==-，1m ∴<-. 【点睛】本题第一问考查待定系数法求函数的解析式，第二问考查二次函数的恒成立问题，属于中档题.。
2019-2020学年山东省青岛二中高一(上)期中数学试卷 (含答案解析)
2019-2020学年山东省青岛二中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共36.0分） 1. 下列函数完全相同的是( )A. f(x)=|x|，g(x)=(√x)2 B. f(x)=x 2−9x−3，g(x)=x +3 C. f(x)=|x|，g(x)=x 2xD. f(x)=|x|，g(x)=√x 22. 已知集合A ={x|x 2−3x −4>0}，B ={x|x >1}，则∁R A ∩B =( )A. φB. (0,4]C. (1,4]D. (4,+∞) 3. 已知一扇形的弧所对的圆心角为54°，半径r =20cm ，则扇形的弧长为( )A. 1080cmB. 3πcmC. 6πcmD. 540cm 4. 若函数f(x)的定义域是[−1,4]，则y =f(2x −1)的定义域是( )A. [0,52] B. [−1,4]C. [−5,5]D. [−3,7]5. 函数f(x)=ln(4+3x −x 2)的单调递减区间是( )A. (−∞,32]B. [32,+∞) C. (−1,32] D. [32,4)6. 设a =(34)0.5，b =(43)0.4，c =log 34(log 34)，则( ) A. a <b <cB. a <c <bC. c <a <bD. c <b <a7. 已知f(x)=ax 2−x −c ，不等式f(x)>0的解集为{x|−2<x <1}，则函数y =f(−x)的图象为( )A.B.C.D.8. 若函数f(x)=log 3x −1x+1的零点为x 0，则x 0属于( )A. (0,1)B. (1,2)C. (2,52) D. (52,3)9. 已知函数f(x)=2x 2−ax −1，在[−1,2]上单调，则实数a 的取值范围是( )．A. [−4,8]B. (−∞,−4]C. [8,+∞]D. (−∞,−4]∪[8,+∞)10. 设f(x)=ax 2+bx +2是定义在[1+a,1]上的偶函数，则a +2b =( )A. 0B. 2C. −2D. 1211. 已知函数f(x)=x −2−x ，且f(m 2)<f(m)，则实数m 的取值范围是( )A.B.C. (0,1)D.12. 下列函数满足“对∀x 1，x 2∈(0,+∞)且x 1≠x 2时恒有f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1<0”的是( )A. f(x)=1x B. f(x)=(x −1)2 C. f(x)=e xD. f(x)=ln(x +1)二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13. 若函数f(x)=log a x 的图像经过点(2,1)，则f (12)=_______________． 14. 已知角θ满足sinθtanθ>0且cosθ⋅tanθ<0，则角θ的终边在第______象限．15. 若f(x)是定义在(−1,1)上的奇函数，且在(−1,1)上是增函数，则不等式f(1−x)+f(1−2x)<0的解集为______ ．16. 若函数f(x)={2x −a ,x ≤0lnx, x >0有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是______．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17. 已知角θ的终边经过点P(3t,−4t)，t ≠0，求sinθ，cosθ，tanθ18. 已知集合A ={x|−3≤x ≤3}，B ={x|x >2}．(1)求(∁R B)∩A ；(2)设集合M ={x|x ≤a +6}，且A ⊆M ，求实数a 的取值范围．19. 已知函数f (x )=2(m +1)x 2+4mx +2m −1．(1)如果函数f(x)的一个零点为0，求m的值．(2)当函数f(x)有两个零点时，求m的取值范围．(3)当函数f(x)有两个零点，且其中一个大于1，一个小于1时，求m的取值范围．20.已知函数f(x)是一次函数，且f[f(x)]=9x+4，求函数f(x)的解析式．)=1；21.已知函数y=f(x)(x>0)满足：f(xy)=f(x)+f(y)，当x<1时f(x)>0，且f(12(1)证明：y=f(x)是(x>0)上的减函数；)−2．(2)解不等式f(x−3)>f(1x22.已知定义域为R的函数f(x)=−2x+b是奇函数．2x+1+a(1)求a，b的值；(2)证明：函数f(x)在R上是减函数；(3)若对任意的θ∈[0,π2]，f(cos2θ+λsinθ+2)+16<0恒成立，求实数λ的取值范围23.(1)已知x>3，求y=x+4x−3的最小值，并求取到最小值时x的值；(2)已知x>0，y>0，x2+y3=2，求xy的最大值，并求取到最大值时x、y的值．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：【分析】本题考查函数的相等关系．正确掌握判断函数相等的方法是解题关键．函数相等，必须三要素相同．属于基础题．判断两个函数是否相同，看它们的三要素是否相同即可．【解答】解：A．g(x)=(√x)2=x，x≥0，两个函数的定义域不相同，不是同一函数．=x+3，x≠3，两个函数的定义域不相同，不是同一函数．B.f(x)=x2−9x−3=x，x≠0，两个函数的定义域和对应法则都不相同，不是同一函数．C.g(x)=x2xD.g(x)=√x2=|x|，两个函数的定义域和对应法则都相同，是同一函数，故选D．2.答案：C解析：解：A={x|x<−1，或x>4}；∴∁R A={x|−1≤x≤4}；∴∁R A∩B=(1,4]．故选：C．可求出集合A，然后进行交集、补集的运算即可．考查描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，以及交集、补集的运算．3.答案：C解析：【分析】本题主要考查求扇形弧长的知识，属于基础题．由条件利用扇形的弧长公式，求得扇形的弧长l的值．【解答】解：∵一扇形的弧所对的圆心角为54∘，半径r=20cm，π⋅20=6π(cm)，则扇形的弧长l=α⋅r=54180故选C．解析：∵函数f(x)的定义域是[−1,4]，∴函数y =f(2x −1)的定义域满足−1≤2x −1≤4，∴0≤x ≤52， ∴y =f(2x −1)的定义域是[0,52]．5.答案：D解析：解：要使函数有意义，则4+3x −x 2>0，即x 2−3x −4<0解得−1<x <4， 设t =4+3x −x 2，则函数t 在(−1,32]上单调递增，在[32,4)上单调递减． 因为函数y =lnt ，在定义域上为增函数，所以由复合函数的单调性性质可知，则此函数的单调递减区间是[32,4)． 故选：D求出函数的定义域，结合复合函数单调性之间的关系即可得到结论．本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法．对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”．6.答案：C解析：解：∵a =(34)0.5∈(0,1)，b =(43)0.4>1，c =log 34(log 34)<0， ∴c <a <b ． 故选：C ．利用指数与对数函数的单调性即可得出．本题考查了指数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.答案：B解析：【分析】 本题考查二次函数的性质，属于基础题．根据不等式f(x)>0的解法，利用根与系数的关系求得a ，c ，从而可得f(−x)，利用二次函数的性质即可求解．【解答】解：由根与系数的关系知1a =−2+1，−ca =−2， 得a =−1，c =−2，所以f(−x)=−x 2+x +2=−(x −12)2+94，图象开口向下，顶点坐标为(12,94)，故选B ．解析：【分析】本题主要考查函数零点的判定定理的应用，属于基础题．根据函数的零点存在性定理判断即可．【解答】解：因为函数f(x)=log3x−1x+1，所以f(x)是增函数，f(1)=−12<0，，f(1)f(2)<0，则x0属于(1,2)．故选B．9.答案：D解析：【分析】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键．结合二次函数的图象与性质以及f(x)在区间[−1,2]上单调，可得a的取值范围．【解答】解：∵函数f(x)=2x2−ax−1的图象是开口朝上，且以直线x=a4为对称轴的抛物线，且f(x)在区间[−1,2]上单调，∴a4≤−1或a4≥2，解得：a∈(−∞,−4]∪[8,+∞)，故选D．10.答案：C解析：【分析】本题主要考查函数奇偶性的应用，根据定义建立方程关系是解决本题的关键．根据函数奇偶性的定义和性质进行求解即可．比较基础．【解答】解：∵f(x)=ax2+bx+2是定义在[1+a,1]上的偶函数，∴f(−x)=f(x)且1+a+1=0，∴ax2−bx+2=ax2+bx+2，且a=−2，则得b=0，a=−2，∴a+2b=−2．故选：C．11.答案：C解析：【分析】本题考查复合函数的单调性，属于基础题．根据题意得出函数f(x)=x−2−x在R上单调递增是解题的关键．【解答】解：由题意，∵函数y=x和函数y=−2−x在R上单调递增，根据复合函数单调性的性质可知，函数函数f(x)=x−2−x在R上单调递增，∴f(m2)<f(m)⇔m2<m⇔m(m−1)<0，解得0<m<1．故选C．12.答案：A解析：【分析】本题考查了函数的单调性，根据已知条件可以得到函数f(x)在区间(0,+∞)上为减函数，故根据函数性质逐项判断即可．【解答】解：A中函数在(0,+∞)上为减函数，符合，B中函数在(0,1)上为减函数，(1,+∞)上为增函数，不符合，C中函数在(0,+∞)上为增函数，不符合，D中函数在(0,+∞)上为增函数，不符合，故选A．13.答案：−1解析：【分析】本题考查对数函数及其性质．将点(2,1)代入解a ，再求f (12)即可． 【解答】解：因为log a 2=1， 所以a =2，所以f (12)=log212=−1． 故答案为−1．14.答案：四解析： 【分析】本题考查三角函数在象限内的符号，属于基础题． 【解答】解：角θ满足sinθtanθ>0，即同号，所以角θ的终边在一，四象限， cosθ⋅tanθ<0，即异号，所以角θ的终边在三，四象限，综上得角θ的终边在四象限． 故答案为四．15.答案：(23,1)解析： 【分析】利用函数为奇函数，f(1−x)+f(1−2x)<0等价于f(1−x)<f(−1+2x)，根据f(x)在(−1,1)上是增函数，可得不等式组，由此即可求得结论．本题考查函数奇偶性与单调性的结合，考查学生的计算能力，属于中档题． 【解答】解：∵f(x)是奇函数，∴−f(x)=f(−x)，∴f(1−x)+f(1−2x)<0等价于f(1−x)<f(−1+2x)， ∵f(x)在(−1,1)上是增函数， ∴{−1<1−x <1−1<1−2x <11−x <−1+2x ， ∴23<x <1，∴不等式f(1−x)+f(1−2x)<0的解集为(23,1)， 故答案为(23,1).16.答案：(0,1]解析：解：当x>0时，由f(x)=lnx=0，得x=1．∵函数f(x)有两个不同的零点，∴当x≤0时，函数f(x)=2x−a还有一个零点，令f(x)=0得a=2x，∵0<2x≤20=1，∴0<a≤1，∴实数a的取值范围是0<a≤1．故答案为：(0,1]．由f(x)=lnx=0，得x=1.由题意得，当x≤0时，函数f(x)=2x−a还有一个零点，运用指数函数的单调性，即可求出a的取值范围．本题考查指数函数的单调性和运用，考查对数的性质及应用，函数的零点问题，属于基础题．17.答案：解：由题意可得x=3t，y=4t，得r=√(3t)2+(4t)2=5|t|．当t>0时，r=5t.因此sinθ=−45,cosθ=35,tanθ=−43；当t<0时，r=−5t.因此sinθ=45,cosθ=−35,tanθ=−43．解析：由题意可得x=3t，y=4t，得r=√(3t)2+(4t)2=5|t|，再利用任意角的三角函数的定义，分类讨论求得sinθ，cosθ，tanθ的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，两点间的距离公式的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．18.答案：解：(1)∵B={x|x>2}，∴∁R B={x|x≤2}，∵集合A={x|−3≤x≤3}，∴(∁R B)∩A={x|−3≤x≤2}，(2)∵集合M={x|x≤a+6}，且A⊆M，∴a+6≥3，解得a≥−3，∴实数a的取值范围是[−3,+∞)．解析：(1)由题意和补集的运算求出∁R B，由交集的运算求出(∁R B)∩A；(2)由题意和子集的定义列出不等式，求出实数a的取值范围．本题考查交、并、补集的混合运算，以及子集的定义，属于基础题．19.答案：解：(1)由f(0)=2m−1=0，得m=12．(2)因为函数f(x)有两个零点，所以方程f(x)=0有两个不相等的实数根，所以2(m+1)≠0，Δ=16m2−4×2(m+1)(2m−1)>0．解得m ≠−1且m <1．故m 的取值范围为{m|m <1且m ≠1}．(3)当f (x )有两个零点，且其中一个大于1，一个小于1时，有{2(m +1)>0,f (1)<0或{2(m +1)<0,f (1)>0, 解得−1<m <−18．故m 的取值范围为{m |−1<m <−18}．解析：本题主要考查函数的零点与方程根的关系．由条件利用一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，求得m 的范围．20.答案：解：设f(x)=ax +b ，a 、b ∈R ，则f[f(x)]=f[ax +b]=a(ax +b)+b即a 2x +ab +b =9x +4，∴{a 2=9ab +b =4； 解得{a =3b =1，或{a =−3b =−2； ∴f(x)=3x +1或f(x)=−3x −2．解析：根据题意，设f(x)=ax +b ，代入f[f(x)]中，利用多项式相等，对应系数相等，求出a 、b 的值即可．本题考查了求函数解析式的问题，解题时应用待定系数法，设出函数的解析式，求出系数即可，是基础题．21.答案：(1)证明：设0<x 1<x 2，则0<x 1x 2<1，由题意f(x 1)−f(x 2)=f(x 1x 2⋅x 2)−f(x 2)=f(x 1x 2)+f(x 2)−f(x 2)=f(x1x 2)>0， 则f(x 1)>f(x 2)，∴y =f(x)是(x >0)上的减函数；(2)由函数的定义域知：{x −3>01x>0，解得x >3；又∵f(12)=1，∴f(14)=f(12×12)=f(12)+f(12)=1+1=2，由f(x −3)>f(1x )−2.得f(x −3)+2>f(1x )，即f(x −3)+f(14)>f(1x )，即f(x−34)>f(1x)， 由(2)得x−34<1x ， 解得−1<x <4，综上知3<x <4为所求．解析：(1)根据函数单调性的定义即可证明y =f(x)是(x >0)上的减函数；(2)根据抽象函数的关系将不等式进行转化，结合函数的单调性即可解不等式f(x −3)>f(1x )−2． 本题主要考查抽象函数的应用，根据函数单调性的定义以及根据函数单调性的关系是解决本题的关键． 22.答案：解：(1)由题意，定义域为R 的函数f(x)=−2x +b 2x+1+a 是奇函数．得f(0)=0，f(−1)=−f(1)，∴b =1，a =2，那么f(x)=1−2x 2x+1+2， 由f(−x)=1−12x21−x +2=2x −12x22x +2=2x −12+2x+1=−f(x)，故得b =1，a =2；(2)由(1)可得f(x)=1−2x 2x+1+2=1−2x 2(2x +1)=−(2x +1)+22(2x +1)=−12+12x +1， 设x 1<x 2，则f(x 2)−f(x 1)=12x 2+1−12x 1+1=2x 1−2x 2(2x 1+1)(2x 2+1)，∵x 1<x 2，∴2x 1−2x 2<0则f(x 2)−f(x 1)<0，即f(x 2)<f(x 1)；∴函数f(x)在R 上是减函数；(3)由f(cos 2θ+λsinθ+2)+16<0，即f(cos 2θ+λsinθ+2)<−16，∵f(1)=−16，f(x)在R 上是减函数； ∴cos 2θ+λsinθ+2>1，θ∈[0,π2]，即2−sin 2θ+λsinθ>0，θ∈[0,π2]恒成立，设sinθ=t ，(0≤t ≤1)，∴2−t 2+λt >0，当t =0时，2>0恒成立，当0<t≤1时，转化为λ≥t−2t，∵函数y=t−2t在(0,1]递增，∴λ≥1−21，即λ≥−1；故得实数λ的取值范围[−1,+∞)．解析：本题主要考查了函数恒成立问题的求解，分类讨论以及转化思想的应用，二次函数闭区间是的最值以及单调性的应用．(1)根据f(0)=0，f(−1)=−f(1)即可求解a，b的值；(2)分离常数，利用定义即可证明(3)利用奇函数和减函数；脱去“f”，即可求解；23.答案：(1)解：已知x>3，则：x−3>0，故：y=x+4x−3=x−3+4x−3+3≥2√(x−3)4(x−3)+3=7，当且仅当：x−3=4x−3，解得：x=5，即：当x=5时，y的最小值为7;(2)解：已知x>0，y>0，x2+y3=2，则：x2+y3≥2√xy6，解得：xy≤6，当且仅当x2=y3=1，即x=2，y=3时，xy的最大值为6．解析：(1)本题考查的知识要点：关系式的恒等变换，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．直接利用基本不等式的关系式的变换求出结果;(2)本题考查的知识要点：关系式的恒等变换，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．直接利用基本不等式的关系式的变换求出结果．。
2019-2020学年市第六中学高一上学期期中数学试题（解析版）
2019-2020学年市第六中学高一上学期期中数学试题（解析版）2019-2020学年市第六中学高一上学期期中数学试题一、单选题1．设集合M＝[1,2]，N＝{x∈Z|-1A．[1,2]B．(－1,3)C．{1}D．{1,2}【答案】D【解析】集合N为整数集，所以先用列举法求出集合N，然后根据交集的定义求出即可.【详解】解：，.故选：D.【点睛】本题考查交集的概念和运算，解题的关键是先分析出集合中的代表元素是整数，属于基础题.2．已知集合A＝{x|x>2}，B＝，则B∩∁RA等于（）A．{x|2≤x≤5}B．{x|－1≤x≤5}C．{x|－1≤x≤2}D．{x|x≤－1}【答案】C【解析】已知集合A，B，则根据条件先求出，然后根据交集的定义求出即可.【详解】解：集合A＝{x|x>2}，所以，又集合，则.故选：C.【点睛】本题考查交集和补集的概念和计算，属于基础题.3．函数f(x)＝＋lg(3x＋1)的定义域是（）A．(－∞，1)B．C．【答案】B【解析】函数f(x)的定义域即：即被开方数大于等于0，分母不为0，且对数函数的真数有意义，根据条件列出方程组，解出的范围即为所求.【详解】解：函数f(x)＝＋lg(3x＋1)的定义域是，解得：，所以函数f(x)的定义域是.故选：B.【点睛】本题考查求复合函数的定义域，解题的关键是保证每部分都有意义，属于基础题.4．已知f()＝x－x2，则函数f(x)的解析式为（）A．f(x)＝x2－x4B．f(x)＝x－x2C．f(x)＝x2－x4(x≥0)D．f(x)＝－x(x≥0)【答案】C【解析】令（），解出，利用换元法将代入解析式即可得出答案.【详解】解：令（），则，所以（），所以f(x)＝x2－x4（）.故选：C.【点睛】本题考查利用换元法求函数解析式，解题的关键是注意换元之后的定义域，属于基础题.5．与函数相同的函数是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】试题分析：A中对应关系不同；B中定义域不同；C中定义域不同；D中对应关系，定义域均相同，是同一函数【考点】函数是同一函数的标准6．下列函数中,既是偶函数又在区间上单调递减的是（）A．C．D．【答案】C【解析】试题分析：因为函数是奇函数，所以选项A不正确；因为函为函数既不是奇函数，也不是偶函数，所以选项B不正确；函数的图象抛物线开口向下，对称轴是轴，所以此函数是偶函数，且在区间上单调递减，所以，选项C正确；函数虽然是偶函数，但是此函数在区间上是增函数，所以选项D不正确；故选C。
2020-2021学年山东省济南一中高一(上)期中数学试卷及答案
2020-2021学年山东省济南一中高一（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合M＝{﹣1，0，1，2，3}，N＝{x|﹣1≤x＜3}，则M∩N＝（）A．{0，1，2}B．{﹣1，0，1}C．M D．{﹣1，0，1，2} 2．（5分）已知a∈R，则“a＞1”是“＜1”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件3．（5分）下列各组函数中，表示同一函数的是（）A．f（x）＝1，g（x）＝x0B．f（x）＝x﹣1，C．f（x）＝x，D．f（x）＝|x|，4．（5分）设a＝30.5，b＝0.53，c＝log30.5，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．a＞c＞b5．（5分）已知函数f（x）＝（m2﹣m﹣1）是幂函数，且x∈（0，+∞）时，f（x）是递减的，则m的值为（）A．﹣1B．2C．﹣1或2D．36．（5分）已知a＞1，函数y＝a x﹣1与y＝log a（﹣x）的图象可能是（）A．B．C．D．7．（5分）已知函数上是增函数，则实数a的取值范围是（）A．B．C．[1，+∞）D．[1，2]8．（5分）定义在R上的偶函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈[0，+∞），（x1≠x2），有，且f（2）＝0，则不等式xf（x）＜0的解集是（）A．（﹣2，2）B．（﹣2，0）∪（2，+∞）C．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）D．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9．（5分）下列不等式成立的是（）A．若a＜b＜0，则a2＞b2B．若ab＝4，则a+b≥4C．若a＞b，则ac2＞bc2D．若a＞b＞0，m＞0，则10．（5分）下列叙述正确的是（）A．已知函数f（x）＝，则f（6）＝8B．命题“对任意的x＞1，有x2＞1”的否定为“存在x≤1，有x2≤1”C．已知正实数a，b满足a+b＝4，则的最小值为D．已知x2﹣5ax+b＞0的解集为{x|x＞4或x＜1}，则a+b＝511．（5分）关于函数f（x）＝，下列结论正确的是（）A．f（x）的图象过原点B．f（x）是奇函数C．f（x）在区间（1，+∞）上单调递减D．f（x）是定义域上的增函数12．（5分）德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，狄利克雷函数就以其名命名，其解析式为D（x）＝，关于函数D（x）有以下四个命题，其中真命题是（）A．∀x∈R，D（D（x））＝1B．∃x，y∈R，D（x+y）＝D（x）+D（y）C．函数D（x）是偶函数D．函数D（x）是奇函数三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知函数f（+1）＝x﹣2，则f（x）的解析式是．14．（5分）已知函数y＝a x﹣2+2（a＞0且a≠1）恒过定点（m，n），则m+n＝15．（5分）不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是．16．（5分）定义区间[x1，x2]的长度为x2﹣x1，若函数y＝|log2x|的定义域为[a，b]，值域为[0，3]，则区间[a，b]的长度最大值为．四、解答题：本题共6小题，共70分。
2020-2021学年度北京市第八中学高一上学期期中考试数学试卷【含解析】
2020-2021学年度北京市第八中学高一上学期期中考试数学试卷【含解析】一、单选题1．已知集合{}{}0,1,2,3,4,0,1,2U M ==，则UM =（ ）A ．{}0,1,2B ．{}0,1,2,3,4C ．{}1,2D ．{}3,4【答案】D【分析】直接根据补集概念进行运算即可得解. 【详解】因为集合{}{}0,1,2,3,4,0,1,2U M ==， 所以UM ={3,4}.故选：D 2．若()11xf x x-=+，则()0f =（ ） A ．1 B ．12C ．0D ．1-【答案】A【分析】直接代入函数解析式计算可得; 【详解】解：因为()11x f x x -=+，所以()100110f -==+ 故选：A【点睛】本题考查函数值的计算，属于基础题. 3．若1x y >>，则下列四个数中最小的数是（ ）A ．2x y+ B ．2xyx y+ C x D ．1112x y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】D【分析】根据1x y >>可以推出2x y +、2xy x y +x 1，1112x y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭1<，故可得答案.【详解】因为1x y >>，所以11122x y ++>=，2xy x y +2211111y x=>=++1x >，1112x y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭111()1211<+=， 所以四个数中最小的数是1112x y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 故选：D【点睛】关键点点睛：利用不等式的性质找中间量1进行比较是解题关键. 4．命题“2R,||0x x x ∀∈+≥”的否定是（ ） A ．2R,||0x x x ∀∈+<B ．2R,||0x x x ∀∈+≤C ．2000R,0x x x ∃∈+<D ．2000R,0x x x ∃∈+≥【答案】C【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得出. 【详解】根据全称命题的否定是特称命题，则命题“2R,||0x x x ∀∈+≥”的否定是“2000R,0x x x ∃∈+<”.故选：C.5．函数()()2212f x x a x =+-+在区间(],4-∞上递减，则a 的取值范围是（ ）A ．[)3,-+∞B ．(],3-∞-C ．(],5-∞D ．[)3,+∞ 【答案】B【分析】根据二次函数的单调性列式可得结果.【详解】因为函数()()2212f x x a x =+-+在区间(],4-∞上递减，所以(1)4a --≥，即3a ≤-. 故选：B【点睛】关键点点睛：掌握二次函数的单调性是解题关键.6．已知a ，b 为实数，则“a +b ＞4”是“a ，b 中至少有一个大于2”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件【答案】A【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【详解】“a+b ＞4”可得“a ，b 中至少有一个大于2”，反之若a=3,b=1,则a +b ＞4不成立．∴“a+b ＞4”是“a ，b 中至少有一个大于2”的充分不必要条件． 故选：A ．【点睛】本题考查了不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7．下列从集合M 到集合N 的对应关系中，其中y 是x 的函数的是（ ） A ．M ＝{x |x ∈Z }，N ＝{y |y ∈Z }，对应关系f ：x →y ，其中2xy =B ．M ＝{x |x ＞0，x ∈R }，N ＝{y |y ∈R }，对应关系f ：x →y ，其中y ＝±2xC ．M ＝{x |x ∈R }，N ＝{y |y ∈R }，对应关系f ：x →y ，其中y ＝x 2D ．M ＝{x |x ∈R }，N ＝{y |y ∈R }，对应关系f ：x →y ，其中2y x= 【答案】C【分析】根据函数的定义作出判断即可.【详解】A ．M 中的一些元素，在N 中没有元素对应，比如，x ＝3时，32y N =∉，∴y 不是x 的函数；B ．M 中的任意元素x ，在N 中有两个元素±2x 与之对应，不满足对应的唯一性，∴y 不是x 的函数；C ．满足在M 中的任意元素x ，在集合N 中都有唯一元素x 2与之对应，∴y 是x 的函数；D ．M 中的元素0，通过2y x=在N 中没有元素对应，∴y 不是x 的函数． 故选：C ．【点睛】本题主要考查了函数关系的判断，属于中档题.8．设x ∈R ，定义符号函数1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，则函数()f x =sgn x x 的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】函数f（x）=|x|sgnx=,00,0,0x xxx x>⎧⎪=⎨⎪<⎩=x，故函数f（x）=|x|sgnx的图象为y=x所在的直线，故答案为C．9．设函数f(x)=()()212,1315,1x a x xa x x⎧--+≥⎪⎨+-<⎪⎩在R上是增函数，则a的取值范围是（）A．(-13，3］B．( -13，2) C．(-13，2］D．［2，3］【答案】C【分析】利用分段函数是增函数，两段函数都递增列出不等式组，求解即可．【详解】函数2(1)2,1()(31)5,1x a x xf xa x x⎧--+=⎨+-<⎩在R上是增函数，可得：112310315112 aaa a-⎧⎪⎪+>⎨⎪+--++⎪⎩，解得12 3a-<故实数a的取值范围是1(3-，2]．故选：C．【点睛】本题考查分段函数的单调性、二次函数的单调性，注意各段函数单调性的应用，属于易错题．10．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是（）A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D．某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油【答案】D【详解】解：对于A，由图象可知当速度大于40km/h时，乙车的燃油效率大于5km/L，∴当速度大于40km/h时，消耗1升汽油，乙车的行驶距离大于5km，故A错误；对于B，由图象可知当速度相同时，甲车的燃油效率最高，即当速度相同时，消耗1升汽油，甲车的行驶路程最远，∴以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少，故B错误；对于C，由图象可知当速度为80km/h时，甲车的燃油效率为10km/L，即甲车行驶10km时，耗油1升，故行驶1小时，路程为80km，燃油为8升，故C 错误；对于D，由图象可知当速度小于80km/h时，丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，∴用丙车比用乙车更省油，故D正确故选D．【解析】1、数学建模能力；2、阅读能力及化归思想.二、填空题11．函数23()2x xf xx-=-的定义域为_________．【答案】[0,2)(2,3]【分析】由23020x xx⎧-≥⎨-≠⎩解得结果即可得解.【详解】要使函数23 ()x x f x-=只需23020x xx⎧-≥⎨-≠⎩，解得03x≤≤且2x≠，所以函数()f x的定义域为[0,2)(2,3].故答案为：[0,2)(2,3].【点睛】方法点睛：已知函数解析式，求函数定义域的方法：1、有分式时：分母不为0；2、有根号时：开奇次方，根号下为任意实数，开偶次方，根号下大于或等于0；3、有指数时：当指数为0时，底数一定不能为0；4、有根号与分式结合时，根号开偶次方在分母上时：根号下大于0；5、有指数函数形式时：底数和指数都含有x，指数底数大于0且不等于1；6、有对数函数形式时，自变量只出现在真数上时，只需满足真数上所有式子大于0，自变量同时出现在底数和真数上时，要同时满足真数大于0，底数要大0且不等于1.12．设函数f（x）满足f（x-1）=4x-4，则f（x）=______．【答案】4x【分析】变形f（x-1）得出f（x-1）=4（x-1），从而得出f（x）=4x．【详解】由题意得，f（x-1）=4x-4=4（x-1），∴f（x）=4x．故答案为：4x．【点睛】本题考查了换元法求函数解析式的方法，属于基础题．13．给出下列三个函数：①222x xyx-=-；②321x xyx+=+；③2y x=其中与函数()f x x=相同的函数的序号是_________．【答案】②【分析】依次判断函数的定义域、解析式是否与已知函数的定义域、解析式都相同，找出相同函数【详解】222x xy x -=-的定义域为()(),22-∞⋃+∞，，与()f x x =定义域不同，321x x y x x +==+与()f x x =定义域、解析式均相同，2y x x ==，与()f x x =解析式不同， 故选②【点睛】判断两个函数是否为相同函数，只要比较两个函数的定义域，对应关系是否都相同，如果都相同就是相同函数14．已知()f x 为R 上的奇函数，0x >时，()31f x x x=+，则(1)(0)f f -+=_____． 【答案】2-【分析】由奇函数的性质可得(0)0f =，(1)(1)f f -=-，再由已知的解析式求出(1)f 即可【详解】解：因为()f x 为R 上的奇函数，所以(0)0f =，(1)(1)f f -=-，因为当0x >时，()31f x x x=+，所以(1)112f =+=， 所以(1)(0)202f f -+=-+=-， 故答案为：2- 15．已知函数11()(0,0)f x a x a x =->>，若()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则a =________.【答案】25. 【分析】根据函数11()(0,0)f x a x a x =->>在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，求出函数的最值，列方程组可解得结果.【详解】由题意知函数11()(0,0)f x a x a x =->>在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增， ∴1122(2)2f f ⎧⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩，即11221122a a ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得25a =.故答案为：25. 【点睛】本题考查了由函数解析式得单调性，根据单调性求最值，属于基础题. 16．若关于x 的不等式20ax x b ++>的解集是()1,2-，则a b +=______．【答案】1【分析】根据一元二次不等式的解集得出对应方程的两个根，再由根与系数的关系求出a ，b 即可．【详解】关于x 的不等式ax 2+x+b ＞0的解集是（-1，2）， ∴-1，2是方程ax 2+x+b=0的两个根， ∴-1+2=-1a ，-1×2=b a， 解得a=-1，b=2； ∴a+b=-1+2=1． 故答案为：1．【点睛】本题考查了一元二次不等式对应方程的关系，解题的关键是根据不等式的解集得出不等式相应方程的根，再由根与系数的关系求参数的值．17．已知0,0x y >>，且8x y +=，则(1)(1)x y +⋅+的最大值为_____． 【答案】25【分析】将8x y +=化为(1)(1)10x y +++=后，根据基本不等式可求得结果. 【详解】因为0,0x y >>，且8x y +=，所以(1)(1)10x y +++=2(1)(1)x y ≥++(1)(1)25x y ++≤， 当且仅当4x y ==时，等号成立. 所以(1)(1)x y +⋅+的最大值为25. 故答案为：25【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.18．二次方程222320mx x m ---=的一个根大于1，另一个根小于1，则m 的取值范围是_________． 【答案】0m ＞或4m -＜ 【详解】令y=2mx 2﹣2x ﹣3m ﹣2 当m ＞0时，由题意：x=1时，y ＜0，∴2m ﹣2﹣3m ﹣2＜0， ∴m ＞﹣4， ∴m ＞0，当m ＜0时，x=1时，y ＞0， ∴2m ﹣2﹣3m ﹣2＞0， ∴m ＜﹣4，综上所述，二次方程2mx 2﹣2x ﹣3m ﹣2=0的一个根大于1，另一个根小于1时，m ＜﹣4或 m ＞0．故答案为0m ＞或4m -＜19．已知函数()22121x kx x f x x x ，，⎧-+≤=⎨>⎩，若存在a ，b R ∈，且ab ，使得()()f a f b =成立，则实数k 的取值范围是____________． 【答案】()()-,23,∞⋃+∞【分析】由题意，可知函数()f x 在定义域内不是单调函数，结合二次函数的图象与性质及分段函数的单调性，即可得到结论.【详解】由题意可得函数()f x 在定义域内不是单调函数， 由函数()22,1f x x x =>为增函数，且1x =时，222x =，则1x ≤时，12k<或12k -+>，解得2k <或3k >， 即实数k 的取值范围是(,2)(3,)-∞⋃+∞.【点睛】本题主要考查了分段函数的解析式及其应用，其中根据题意得出分段函数不是单调函数，再利用二次函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.三、解答题 20．已知函数()((1,1))1||xf x x x =∈--，有下列结论： ①(1,1)x ∀∈-，等式()()0f x f x 恒成立；②[)0,m ∀∈+∞，方程|()|f x m =有两个不等的实根； ③12,,(11)x x ∀∈-，若12x x ≠，则一定有12()()f x f x ≠；④存在无数多个实数k ，使得函数()()g x f x kx =-在(1,1)-上有三个零点 则其中正确结论的序号为? 【答案】①③④【分析】根据()f x 与()f x -的解析式代入运算可知①正确；取0m =可知②错误；分析函数()f x 的单调性可知③正确，由(0)0g =，当1k >时，()g x 在(0,1)和(1,0)-内都必有一个零点，可知④正确. 【详解】对于①，(1,1)x ∀∈-，()()01||1||1||1||x x x x f x f x x x x x ，①正确；对于②，当0m =时，|()|0f x =，即||01||xx =-只有一个实根0，错误； 对于③，任取1201x x ≤<<，则12()()f x f x -=12121||1||x x x x ---121211x x x x =---122112(1)(1)(1)(1)x x x x x x ---=--1212(1)(1)x x x x -=--， 因为1201x x ≤<<，所以120x x -<，12(1)(1)0x x -->，所以12()()f x f x <，所以()f x 在[0,1)上为增函数，又由①知，()f x 为奇函数， 所以()f x 在(1,1)-上为增函数，所以③正确； 对于④，1()()1||1||x g x kx x k x x =-=---，因为(0)0g =，所以0恒是()g x 的一个零点，当1k >，01x <<时，101k x -=-必有一个解， 当1,10k x >-<<时，11k x-+0=也必有一解， 所以④正确，综上所述：正确结论的序号为①③④.【点睛】关键点点睛：对于③，判断出函数的单调性是解题关键；对于④，分01x <<和(1,0)-两种情况判断零点是解题关键.21．已知全集U =R ，集合{}29A x x =<<，{}28B x x =≥．（1）求AB ；()U B A ⋂．（2）已知集合{}2C x a x a =<<+，若C B ⊆，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）AB {|229}x x =≤<，()U B A ⋂={|22x x ≤-或9}x ≥（2）222≤--a 或22a ≥【分析】（1）根据交集和补集的概念运算可得解； （2）根据子集关系列式可解得结果.【详解】（1）{}28B x x =≥{|22x x =≤-或22}x ≥，{|2UA x x =≤或9}x ≥，所以AB {|229}x x =≤<， ()U B A ⋂={|22x x ≤-或9}x ≥.（2）因为C B ⊆，所以222a +≤-或22a ≥，即222≤--a 或22a ≥. 【点睛】关键点点睛：熟练掌握集合的交集、补集和子集的概念是解题关键. 22．已知函数223y x x =--（1）画出函数223y x x =--，](1,4x ∈-的图象（2）讨论当k 为何范围时，方程2230x x k ---=在](1,4x ∈-上的解集为空集、单元素集、双元素集．【答案】（1）答案见解析（2）答案见解析 【分析】（1）根据解析式作出图象即可；（2）依题意转化为函数223y x x =--，](1,4x ∈-的图象与直线y k =的交点个数进行求解，根据（1）中的图象可得结果.【详解】（1）函数223y x x =--，](1,4x ∈-的图象为：（2）依题意转化为函数223y x x =--，](1,4x ∈-的图象与直线y k =的交点个数进行求解，根据（1）中的图象可得：当4k <-或5k >时，方程2230x x k ---=在](1,4x ∈-上的解集为空集； 当4k =-或05k ≤≤时，方程2230x x k ---=在](1,4x ∈-上的解集为单元素集； 当40k -<<时，方程2230x x k ---=在](1,4x ∈-上的解集为双元素集. 【点睛】关键点点睛：第二问转化为函数223y x x =--，](1,4x ∈-的图象与直线y k =的交点个数进行求解是解题关键.23．已知函数21()x f x x+=．(1)判断()f x 的奇偶性并证明．(2)当(1,)x ∈+∞时，判断()f x 的单调性并证明．(3)在(2)的条件下，若实数m 满足(3)(52)f m f m >-，求m 的取值范围． 【答案】(1)奇函数，证明见解析；(2) 函数()f x 是(1,)+∞上的单调增函数，证明见解析；(3)(1,2).【分析】(1)根据函数奇偶性的定义判断并证明即可； (2)根据函数单调性的定义判断并证明即可；(3)在(2)的条件下，根据函数单调性的性质可得3521m m >->，解不等式即可求出m 的取值范围．【详解】(1) 函数()f x 是奇函数. 证：函数()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，因为22()11()()x x f x f x x x-++-==-=--，所以函数()f x 是奇函数；(2) 函数()f x 是(1,)+∞上的单调增函数. 证：任取12(1,)x x ∈+∞，且12x x >，则2222121221211212121212121211()()()()x x x x x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x +++------=-==121212()(1)x x x x x x --=，因为121x x >>，所以120x x ->，1210x x ->，120x x >， 所以12())0(f x f x ->，即12()()f x f x >， 所以函数()f x 是(1,)+∞上的单调增函数.(3)由(2)知函数()f x 是(1,)+∞上的单调增函数，所以3521m m >->，解得12m <<,所以m 的取值范围为(1,2).【点睛】思路点睛：解函数不等式的理论依据是函数单调性的定义，具体步骤是： (1)将函数不等式转化成12()()f x f x >的形式； (2)考查函数()f x 的单调性；(3)根据据函数()f x 在给定区间上的单调性去掉法则“f ”，转化为形如“12x x >”或“12x x <”的常规不等式，从而得解．24．已知函数()()2134f x mx m x =+--，m R ∈．（1）当1m =时，求()f x 在区间[]22-,上的最大值和最小值． （2）解关于x 的不等式()1f x >-．（3）当0m <时，若存在()01,x ∈+∞，使得()0f x >，求实数m 取值范围． 【答案】（1）最小值为5-，最大值为4；（2）答案见解析；（3）1m <-或109m -<<. 【分析】（1）根据二次函数的单调性可求得结果； （2）化为(1)(3)0mx x +->后，先对m 分类讨论，再对1m-与3分类讨论可得结果； （3）转化为()f x 在(1,)+∞上的最大值大于0，根据二次函数的知识求出最大值，再解关于m 的不等式可得结果.【详解】（1）当1m =时，()224f x x x =--在[2,1)-上递减，在(1,2]上递增，所以()f x 的最小值为(1)1245f =--=-，最大值为(2)4444f -=+-=. （2）()1f x >-可化为2(13)30mx m x +-->，即(1)(3)0mx x +->， 当0m >时，不等式化为1()(3)0x x m +->，解得1x m<-或3x >； 当0m =时，不等式化为30x ->，解得3x >；当0m <时，不等式化为1()(3)0x x m +-<， 当13m -<，即13m <-时，解得13x m -<<；当13m -=，即13m =-时，不等式无解；当13m->，即103m -<<时，解得13x m <<-.综上所述：当0m >时，不等式的解集为{|x 1x m<-或3x >}； 当0m =时，不等式的解集为{|x 3x >}；当103m -<<时，不等式的解集为{|x 13x m <<-}；当13m =-时，不等式的解集为空集；当13m <-时，不等式的解集为{|x 13x m -<<}.（3）当0m <时，若存在()01,x ∈+∞，使得()0f x >，则()f x 在(1,)+∞上的最大值大于0，因为()()2134f x mx m x =+--的图象的开口向下，对称轴13131222m m m --=-+>， 所以max()f x 13()2m f m -=-22(13)13(13)()442m m m m m m --=⋅+-⋅--2(13)44m m-=--， 所以2(13)404m m--->，即2(13)16m m ->-，即291010m m ++>，解得1m <-或109m -<<. 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： ①若()k f x ≥在[,]a b 上恒成立，则max ()k f x ≥； ②若()k f x ≤在[,]a b 上恒成立，则min ()k f x ≤； ③若()k f x ≥在[,]a b 上有解，则min ()k f x ≥； ④若()k f x ≤在[,]a b 上有解，则max ()k f x ≤；。
2020-2021学年江苏省南京市金陵中学、一中高一(上)期中数学试卷及答案
2020-2021学年江苏省南京市金陵中学、一中高一（上）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1．（5分）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|x﹣2≥0，x∈R}，则A∩B＝（）A．{3}B．{2，3}C．{2}D．{1，2，3} 2．（5分）命题“∃x0∈R，x02﹣1≥0”的否定是（）A．∃x0∈R，x02﹣1＜0B．∃x0∈R，x02﹣1≤0C．∀x∈R，x2﹣1≤0D．∀x∈R，x2﹣1＜03．（5分）函数y＝+的定义域为（）A．[﹣1，]B．（﹣∞，]C．（﹣∞，﹣1]D．（﹣∞，﹣1]∪（﹣1，]4．（5分）函数f（x）＝的最小值为（）A．3B．2C．2D．15．（5分）函数y＝的图象大致为（）A．B．C．D．6．（5分）若函数f（x）＝在R上是增函数，则实数a的取值范围是（）A．[﹣4，﹣]B．[，4]C．[﹣3，4]D．[3，]7．（5分）若关于x的不等式ax2+2x+1＜0有实数解，则a的取值范围是（）A．（0，1]B．[0，1]C．（﹣∞，1]D．（﹣∞，1）8．（5分）若非空数集G满足“对于∀a，b∈G，都有a+b，a﹣b，ab∈G，且当b≠0时，∈G”，则称G是一个“理想数集”，给出下列四个命题：①0是任何“理想数集”的元素；②若“理想数集”M有非零元素，则N*⊆M③集合P＝{x|x＝2k，k∈Z}是一个“理想数集”；④集合T＝{x|x＝a+b，a，b∈Z}是“理想数集”．其中真命题的个数是（）A．1B．2C．3D．4二、多项选择题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）9．（5分）以下说法中正确的有（）A．“f（x）是定义在R上的偶函数”的含义是“存在x∈R，使得f（﹣x）＝f（x）”B．“f（x）是定义在R上的增函数”的含义是“∀x1，x2∈R，当x1＜x2时，有f（x1）＜f （x2）”C．设M，P是两个非空集合，则M⊆P的含义是“对于∀x∈M，x∈P”D．设f（x）是定义在R上的函数，则“f（0）＝0”是“f（x）是奇函数”的必要条件10．（5分）已知a，b，c，d∈R，则下列结论中正确的有（）A．若ac2＞bc2，则a＞bB．若，则a＞bC．若a＞b＞0，ac＞bd＞0，则c＞dD．若，则a＜b11．（5分）下列说法中不正确的有（）A．设A，B是两个集合，若A∪B＝A∩B，则A＝BB．函数y＝与y＝为同一个函数C．函数y＝+的最小值为2D．设y＝f（x）是定义在R上的函数，则函数y＝xf（|x|）是奇函数12．（5分）若函数f（x）同时满足：①对于定义域内的∀x，都有f（x）+f（﹣x）＝0；②对于定义域内的∀x1，x2当x1≠x2时，都有＜0则称函数f（x）为“颜值函数”．下列函数中，是“颜值函数”的有（）A．f（x）＝B．f（x）＝x2C．f（x）＝D．f（x）＝﹣2x三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.13．（5分）设x∈R，则“0＜x＜5”是“|x﹣1|＜1”的条件（填“充分且不必要”“必要且不充分”“充要”“既不充分也不必要”）．14．（5分）已知函数f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）﹣g（x）＝x2+x+2，则f（1）+g（1）＝．15．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若直线y＝a与函数y＝|x﹣a|+2﹣a的图象有且只有一个公共点，则实数a的值为．16．（5分）已知x＞0，y＞0，x+2y＝2，则的最小值为．三、解答题：本大题共6小题，共70分，请把答案填写在答题卡相应位置上17．（10分）计算：（1）lg52+lg8+lg5•lg20+（lg2）2；（2）π0﹣（8）﹣2+×（4）﹣1．18．（12分）设全集U＝R，已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6≥0}，B＝{x|＜0}，C＝{x|m﹣1≤x≤2m}．（1）求A∩B和（∁U A）∪B；（2）若B∩C＝C，求实数m的取值范围．19．（12分）设函数f（x）＝x2+bx+c（b，c∈R），已知f（x）＜0的解集为区间（﹣1，3）．（1）求b，c的值；（2）若函数g（x）＝f（x）﹣ax在区间[0，2]上的最小值为﹣4，求实数a的值．20．（12分）根据试验检测，一辆P型运输汽车在高速公路上匀速行驶时，耗油率（L/h）近似与车速（km/h）的平方成正比，且当车速是100km/h时，耗油率为L/h．已知A，B两地间有一条长130km的高速公路，最低限速60km/h，最高限速120km/h．若某环保公司用一辆该型号运输车将垃圾从A地转运至B地，已知过路费为40元，支付给雇用司机的工资平均每小时80元．假设汽油的价格是8元/L，汽车匀速行驶（起步、必要的减速或提速等忽略不计），问：当行车速度为多少时，转运一次的总费用最低？最低为多少元？21．（12分）已知函数f（x）＝为奇函数．（1）求实数a的值；（2）求证：f（x）在区间[2，+∞）上是增函数；（3）若对任意的x1，x2∈[2，4]，都有f（x1）﹣f（x2）≤m2﹣2m﹣2，求实数m的取值范围．22．（12分）设f（x）是R上的减函数，且对任意实数x，y，都有f（x+y）＝f（x）+f（y）；函数g（x）＝x2+ax+b（a，b∈R）．（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论；（2）若a＝﹣1，b＝5，且______．（①存在t∈[﹣3，2]；②对任意t∈[﹣3，2]），不等式f（g（t）﹣1）+f（3t+m）＞0成立，求实数m的取值范围；请从以上两个条件中选择一个填在横线处，并完成求解．（3）当a＞0时，若关于x的不等式g（x）≤0与g（g（x））≤3的解集相等且非空，求a的取值范围．2020-2021学年江苏省南京市金陵中学、一中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1．（5分）已知集合A＝{1，2，3}，B＝{x|x﹣2≥0，x∈R}，则A∩B＝（）A．{3}B．{2，3}C．{2}D．{1，2，3}【分析】可以求出集合B，然后进行交集的运算即可．【解答】解：∵A＝{1，2，3}，B＝{x|x≥2}，∴A∩B＝{2，3}．故选：B．【点评】本题考查了列举法、描述法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．2．（5分）命题“∃x0∈R，x02﹣1≥0”的否定是（）A．∃x0∈R，x02﹣1＜0B．∃x0∈R，x02﹣1≤0C．∀x∈R，x2﹣1≤0D．∀x∈R，x2﹣1＜0【分析】根据特称命题的否定形式进行判断【解答】解：命题“∃x0∈R，x02﹣1≥0”的否定是∀x∈R，x2﹣1＜0，故选：D．【点评】本题考查了命题的否定，属于基础题．3．（5分）函数y＝+的定义域为（）A．[﹣1，]B．（﹣∞，]C．（﹣∞，﹣1]D．（﹣∞，﹣1]∪（﹣1，]【分析】可看出，要使得原函数有意义，需满足，然后解出x的范围即可．【解答】解：要使原函数有意义，则，解得且x≠﹣1，∴原函数的定义域为：．故选：D．【点评】本题考查了函数定义域的定义及求法，区间的定义，考查了计算能力，属于基础题．4．（5分）函数f（x）＝的最小值为（）A．3B．2C．2D．1【分析】先研究函数在每一段的单调性，分别求出它们的最值，然后求解函数的最值，就是大中取大，小中取小．【解答】解：对于函数函数f（x）＝，当x≤1时，f（x）＝x2﹣2x+3．在（﹣∞，1]上递减；所以此时y min＝f（1）＝2，当x＞1时，f（x）＝x+≥2＝2，当且仅当x＝，取等号，综上可知原函数的最小值为：2．故选：C．【点评】本题考查分段函数的性质，一般来讲分段函数的处理原则：分段函数，分段处理．如本题求最值，应先在每一段上求它们的最大（小）值，最后大中取大．小中取小．5．（5分）函数y＝的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】根据函数的奇偶性和函数值的正负即可判断．【解答】解：函数y＝的定义域为实数集R，关于原点对称，函数y＝f（x）＝，则f（﹣x）＝﹣＝﹣f（x），则函数y＝f（x）为奇函数，故排除A，C，当x＞0时，y＝f（x）＞0，故排除D，故选：B．【点评】本题考查了函数图象的识别，属于基础题．6．（5分）若函数f（x）＝在R上是增函数，则实数a的取值范围是（）A．[﹣4，﹣]B．[，4]C．[﹣3，4]D．[3，]【分析】根据分段函数的单调性的判断方法建立不等式组，即可求解．【解答】解：要满足已知题意，只需，解得，故选：B．【点评】本题考查了分段函数的单调性，考查了学生解不等式的能力，属于基础题．7．（5分）若关于x的不等式ax2+2x+1＜0有实数解，则a的取值范围是（）A．（0，1]B．[0，1]C．（﹣∞，1]D．（﹣∞，1）【分析】讨论a＝0、a＜0和a＞0时，求出不等式有解时a的取值范围．【解答】解：a＝0时，不等式为2x+1＜0，有实数解，满足题意；a＜0时，一元二次不等式为ax2+2x+1＜0，不等式对应的二次函数开口向下，所以有实数解；a＞0时，一元二次不等式为ax2+2x+1＜0，应满足△＝4﹣4a＞0，解得a＜1；综上知，a的取值范围是（﹣∞，1）．故选：D．【点评】本题考查了不等式有解的应用问题，也考查了分类讨论思想，是基础题．8．（5分）若非空数集G满足“对于∀a，b∈G，都有a+b，a﹣b，ab∈G，且当b≠0时，∈G”，则称G是一个“理想数集”，给出下列四个命题：①0是任何“理想数集”的元素；②若“理想数集”M有非零元素，则N*⊆M③集合P＝{x|x＝2k，k∈Z}是一个“理想数集”；④集合T＝{x|x＝a+b，a，b∈Z}是“理想数集”．其中真命题的个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】利用已知条件中理想数集的定义判断命题的真假，题目中给出了对两个实数的四种运算，要满足对四种运算的封闭，只有一一验证．【解答】解：对于①，设a＝b∈G，显然有a﹣a∈G，即0∈G，故0是任何“理想数集”的元素，故①正确；对于②：当a＝b时，显然有，则1+1，2+1，…，N+1∈M，所以N*∈M，故②正确；对于③：易知2∈P，而，故③错误；对于④：a，b∈Z，故1+2∈T，而，故④错误．故选：B．【点评】本题考查学生对于新定义题型的理解和把握能力，理解“理想数集”的定义是解决该题的关键，题目着重考察学生的构造性思维，属于难题．二、多项选择题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）9．（5分）以下说法中正确的有（）A．“f（x）是定义在R上的偶函数”的含义是“存在x∈R，使得f（﹣x）＝f（x）”B．“f（x）是定义在R上的增函数”的含义是“∀x1，x2∈R，当x1＜x2时，有f（x1）＜f （x2）”C．设M，P是两个非空集合，则M⊆P的含义是“对于∀x∈M，x∈P”D．设f（x）是定义在R上的函数，则“f（0）＝0”是“f（x）是奇函数”的必要条件【分析】根据偶函数的定义即可判断A；由增函数的定义即可判断B；由子集的定义即可判断C；由充分必要条件的定义即可判断D．【解答】解：对于A，“f（x）是定义在R上的偶函数”的含义是“对任意的x∈R，都有f（﹣x）＝f（x）”，故A错误；对于B，“f（x）是定义在R上的增函数”的含义是“∀x1，x2∈R，当x1＜x2时，有f（x1）＜f（x2）”，故B正确；对于C，由子集的定义可知C正确；对于D，若f（x）是定义在R上的奇函数，则f（0）＝0，若f（x）是定义在R上的函数，且f（0）＝0，不能得出f（x）为奇函数，例如f（x）＝x2，故“f（0）＝0”是“f（x）是奇函数”的必要条件，故D正确．故选：BCD．【点评】本题主要考查函数奇偶性单调性的定义，考查子集的定义，充要条件的定义，属于中档题．10．（5分）已知a，b，c，d∈R，则下列结论中正确的有（）A．若ac2＞bc2，则a＞bB．若，则a＞bC．若a＞b＞0，ac＞bd＞0，则c＞dD．若，则a＜b【分析】由不等式的基本性质逐一判断即可．【解答】解：对于A，若ac2＞bc2，则a＞b，故A正确；对于B，若＜0＜，则a＜0＜b，故B错误；对于C，取a＝9，b＝1，c＝2，d＝3，满足a＞b＞0，ac＞bd＞0，但c＜d，故C错误；对于D，若，则﹣＝＞0，则b＞a，故D正确．故选：AD．【点评】本题主要考查不等式的基本性质，属于基础题．11．（5分）下列说法中不正确的有（）A．设A，B是两个集合，若A∪B＝A∩B，则A＝BB．函数y＝与y＝为同一个函数C．函数y＝+的最小值为2D．设y＝f（x）是定义在R上的函数，则函数y＝xf（|x|）是奇函数【分析】由集合的基本运算即可判断A；判断定义域与解析式是否相同即可判断B；利用换元及对勾函数的性质即可判断选项C；由函数的奇偶性的定义即可判断D．【解答】解：对于A，设A，B是两个集合，若A∪B＝A∩B，则A＝B，故A正确；对于B，函数y＝＝|x|，函数y＝＝x，两函数定义域相同，解析式不同，故不是同一函数，故B错误；对于C，令t＝≥，则y＝+t在[，+∞）上单调递增，所以当t＝时，取得最小值为，所以函数y＝+的最小值为，故C错误；对于D，函数y＝g（x）＝xf（|x|），g（﹣x）＝﹣xf（|﹣x|）＝﹣xf（|x|）＝﹣g（x），所以函数y＝xf（|x|）是奇函数，故D正确．故选：BC．【点评】本题主要考查即可得基本运算，同一函数的判断，函数最值的求法，以及函数奇偶性的判断，属于中档题．12．（5分）若函数f（x）同时满足：①对于定义域内的∀x，都有f（x）+f（﹣x）＝0；②对于定义域内的∀x1，x2当x1≠x2时，都有＜0则称函数f（x）为“颜值函数”．下列函数中，是“颜值函数”的有（）A．f（x）＝B．f（x）＝x2C．f（x）＝D．f（x）＝﹣2x【分析】先理解已知两条性质反映的函数性质，①f（x）为奇函数，②f（x）为定义域上的减函数，由此判断各选项是否同时具备两个性质即可．【解答】解：依题意，性质①反映函数f（x）为定义域上的奇函数，性质②反映函数f （x）为定义域上的减函数，对于A，f（x）＝为定义域上的奇函数，但不是定义域上的减函数，其单调区间为（﹣∞，0），（0，+∞），故A不是“颜值函数”；对于B，f（x）＝x2为定义域上的偶函数，故B不是“颜值函数”；对于C，函数f（x）＝的图象如图所示，显然此函数为奇函数，且在定义域上为减函数，故C是“颜值函数”．对于D，f（x）＝﹣2x为定义域上的奇函数，且是定义域上的减函数，故D是“颜值函数”．故选：CD．【点评】本题主要考查了抽象表达式反映的函数性质，对新定义函数的理解能力，奇函数的定义，函数单调性的定义，基本初等函数的单调性和奇偶性及其判断方法，复合函数及分段函数的单调性和奇偶性的判断方法，属于中档题．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.13．（5分）设x∈R，则“0＜x＜5”是“|x﹣1|＜1”的必要且不充分条件（填“充分且不必要”“必要且不充分”“充要”“既不充分也不必要”）．【分析】解出关于x的不等式，结合充分必要条件的定义，从而求出答案．【解答】解：∵|x﹣1|＜1，∴0＜x＜2，∵0＜x＜5推不出0＜x＜2，0＜x＜2⇒0＜x＜5，∴0＜x＜5是0＜x＜2的必要且不充分条件，即0＜x＜5是|x﹣1|＜1的必要且不充分条件故答案为：必要且不充分．【点评】本题考查了充分必要条件，考查解不等式问题，是一道基础题．14．（5分）已知函数f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）﹣g（x）＝x2+x+2，则f（1）+g（1）＝2．【分析】根据题意，由函数的解析式可得f（﹣1）﹣g（﹣1）＝（﹣1）2﹣1+2＝2，结合函数的奇偶性可得f（﹣1）﹣g（﹣1）＝f（1）+g（1），即可得答案．【解答】解：根据题意，f（x）﹣g（x）＝x2+x+2，则f（﹣1）﹣g（﹣1）＝（﹣1）2﹣1+2＝2，又由函数f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，则f（﹣1）﹣g（﹣1）＝f（1）+g（1）＝2．故答案为：2．【点评】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，关键是掌握函数奇偶性的定义，属于基础题．15．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若直线y＝a与函数y＝|x﹣a|+2﹣a的图象有且只有一个公共点，则实数a的值为1．【分析】由已知可转化为函数y＝2a﹣2与函数y＝|x﹣a|的图象只有一个交点，利用函数的图象性质即可求解．【解答】解：由已知可令a＝|x﹣a|+2﹣a，可得：2a﹣2＝|x﹣a|，可看成函数y＝2a﹣2与函数y＝|x﹣a|图象只有一个公共点，而函数y＝|x﹣a|是以x＝a为对称轴，最小值为0的函数，所以要满足题意只需令2a﹣2＝0，即a＝1，故答案为：1【点评】本题考查了函数的零点与方程根的关系，属于基础题．16．（5分）已知x＞0，y＞0，x+2y＝2，则的最小值为16．【分析】由＝+++＝++（+）（x+2y），利用基本不等式即可求得最小值．【解答】解：∵x＞0，y＞0，x+2y＝2，∴＝+++＝++（+）（x+2y）＝++4≥4+2＝16，当且仅当＝时，取得最小值16．故答案为：16．【点评】本题考查了利用基本不等式性质求最值问题，属于基础题．三、解答题：本大题共6小题，共70分，请把答案填写在答题卡相应位置上17．（10分）计算：（1）lg52+lg8+lg5•lg20+（lg2）2；（2）π0﹣（8）﹣2+×（4）﹣1．【分析】（1）利用对数的运算性质求解．（2）利用有理数指数幂的运算性质求解．【解答】解：（1）原式＝2lg5+2lg2+lg5•lg20+（lg2）2＝2+lg5•（2lg2+lg5）+（lg2）2＝2+（lg5）2+2lg5•lg2+（lg2）2＝2+（lg5+lg2）2＝2+1＝3．（2）原式＝1﹣+×＝1﹣16+2＝﹣13．【点评】本题主要考查了对数的运算性质和有理数指数幂的运算性质，是基础题．18．（12分）设全集U＝R，已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6≥0}，B＝{x|＜0}，C＝{x|m﹣1≤x≤2m}．（1）求A∩B和（∁U A）∪B；（2）若B∩C＝C，求实数m的取值范围．【分析】（1）可以求出集合A＝{x|x≤﹣2或x≥3}，B＝{x|1＜x＜5}，然后进行交集、并集和补集的运算即可；（2）根据B∩C＝C可得出C⊆B，然后讨论C是否为空集：C＝∅时，m﹣1＞2m；C≠∅时，，然后解出m的范围即可．【解答】解：（1）A＝{x|x≤﹣2或x≥3}，B＝{x|1＜x＜5}，U＝R，∴A∩B＝{x|3≤x＜5}，∁U A＝{x|﹣2＜x＜3}，（∁U A）∪B＝{x|﹣2＜x＜5}；（2）∵B∩C＝C，∴C⊆B，①C＝∅时，m﹣1＞2m，解得m＜﹣1；②C≠∅时，，解得；综上得实数m的取值范围为．【点评】本题考查了描述法的定义，交集、并集和补集的定义及运算，全集的定义，子集的定义，考查了计算能力，属于基础题．19．（12分）设函数f（x）＝x2+bx+c（b，c∈R），已知f（x）＜0的解集为区间（﹣1，3）．（1）求b，c的值；（2）若函数g（x）＝f（x）﹣ax在区间[0，2]上的最小值为﹣4，求实数a的值．【分析】（1）由f（x）＜0的解集为区间（﹣1，3）可知x＝﹣1，x＝3是x2+bx+c＝0的解，然后结合方程的根与系数关系可求；（2）g（x）＝f（x）﹣ax＝x2﹣（a+2）x﹣3开口向上，对称轴x＝，然后结合对称轴与已知区间的位置关系进行分类讨论可求．【解答】解：（1）由f（x）＜0的解集为区间（﹣1，3）可知x＝﹣1，x＝3是x2+bx+c ＝0的解，故，解得，b＝﹣2，c＝﹣3，（2）g（x）＝f（x）﹣ax＝x2﹣（a+2）x﹣3开口向上，对称轴x＝，（i）即a≥2时，函数g（x）在[0，2]上单调递减，g（x）min＝g（2）＝﹣2a ﹣3＝﹣4，解得，a＝（舍），（ii）即a≤﹣2时，函数g（x）在[0，2]上单调递增，g（x）min＝g（0）＝﹣3≠﹣4，（舍），（iii）当0即﹣2＜a＜2时，函数g（x）在[0，2]上先减后增，g（x）min＝g （）＝﹣3﹣＝﹣4，解得，a＝4（舍）或a＝0，综上，a＝0．【点评】本题主要考查了二次函数与二次不等式的相互转化关系的应用及二次函数闭区间上最值的求解，体现了转化思想及分类讨论思想的应用．20．（12分）根据试验检测，一辆P型运输汽车在高速公路上匀速行驶时，耗油率（L/h）近似与车速（km/h）的平方成正比，且当车速是100km/h时，耗油率为L/h．已知A，B两地间有一条长130km的高速公路，最低限速60km/h，最高限速120km/h．若某环保公司用一辆该型号运输车将垃圾从A地转运至B地，已知过路费为40元，支付给雇用司机的工资平均每小时80元．假设汽油的价格是8元/L，汽车匀速行驶（起步、必要的减速或提速等忽略不计），问：当行车速度为多少时，转运一次的总费用最低？最低为多少元？【分析】设车速为xkm/h，用x表示出油耗和行车时间，得出总费用关于x的函数，根据基本不等式求出费用最小值．【解答】解：设车速为xkm/h，耗油率m（x）＝kx2，则由题意可得m（100）＝10000k ＝，∴k＝＝．∴从A地到B地消耗汽油的价钱为，司机的工资为＝，故从A地到B地的总费用f（x）＝≥2＝300元．当且仅当，即x＝80∈[60，120]时取等号．∴从A地到B地的车速是80km/h时，转运一次的总费用最低为300元．【点评】本题考查函数模型的选择及应用，考查函数解析式求解，函数最值的计算，属于中档题．21．（12分）已知函数f（x）＝为奇函数．（1）求实数a的值；（2）求证：f（x）在区间[2，+∞）上是增函数；（3）若对任意的x1，x2∈[2，4]，都有f（x1）﹣f（x2）≤m2﹣2m﹣2，求实数m的取值范围．【分析】（1）由f（x）为奇函数，结合奇函数的定义代入可求；（2）结合单调性定义，设2≤x1＜x2，然后利用作差法比较f（x1）与f（x2）的大小即可判断；（3）结合（2）中单调性即可求解函数最值．【解答】解：（1）因为f（x）＝为奇函数，x≠0，所以f（﹣x）＝﹣f（x），所以，整理可得，ax＝0，所以a＝0，（2）证明：由（1）可得f（x）＝＝x+，设2≤x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＝x1﹣x2+，＝x1﹣x2+＝（x1﹣x2）（1﹣）＜0，所以f（x1）＜f（x2），所以f（x）在区间[2，+∞）上是增函数；（3）由（2）可得f（x）＝x在[2，4]上单调递增，故f（x）max＝f（4）＝5，f（x）min＝f（2）＝4，若对任意的x1，x2∈[2，4]，都有f（x1）﹣f（x2）≤m2﹣2m﹣2，所以1≤m2﹣2m﹣2，解得m≥3或m≤﹣1．【点评】本题主要考查了函数奇偶性及单调性的应用及判断，还考查了函数单调性在求解最值中的应用．22．（12分）设f（x）是R上的减函数，且对任意实数x，y，都有f（x+y）＝f（x）+f（y）；函数g（x）＝x2+ax+b（a，b∈R）．（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论；（2）若a＝﹣1，b＝5，且______．（①存在t∈[﹣3，2]；②对任意t∈[﹣3，2]），不等式f（g（t）﹣1）+f（3t+m）＞0成立，求实数m的取值范围；请从以上两个条件中选择一个填在横线处，并完成求解．（3）当a＞0时，若关于x的不等式g（x）≤0与g（g（x））≤3的解集相等且非空，求a的取值范围．【分析】（1）令x＝y＝0，可得f（0），再令y＝﹣x，结合奇偶性的定义，即可得到结论；（2）分别选①②，将原不等式转化为﹣m＞t2+2t+4对t∈[﹣3，2]成立或恒成立，结合参数分离和二次函数的最值求法，可得所求范围；（3）考虑g（x）＝0与g（g（x））＝3的解集相等，求得b＝3，再由g（x）≤0的解集，结合判别式的符号和因式分解，可得所求范围．【解答】解：（1）令x＝y＝0，则f（0）＝f（0）+f（0），即f（0）＝0，再令y＝﹣x，则f（0）＝f（x）+f（﹣x），即f（﹣x）＝﹣f（x），所以f（x）为R上的奇函数；（2）①存在t∈[﹣3，2]．f（g（t）﹣1）+f（3t+m）＝f[（g（t）﹣1）+（3t+m）]＞0＝f（0），由f（x）是R上的减函数可得g（t）﹣1+（3t+m）＜0，即t2﹣t+4+3t+m＜0，也即t2+2t+4+m＜0，可得﹣m＞t2+2t+4对t∈[﹣3，2]成立，y＝t2+2t+4＝（t+1）2+3在t＝﹣1时取得最小值4，则﹣m＞3，即m＜﹣3；选②任意t∈[﹣3，2]，f（g（t）﹣1）+f（3t+m）＝f[（g（t）﹣1）+（3t+m）]＞0＝f（0），由f（x）是R上的减函数可得g（t）﹣1+（3t+m）＜0，即t2﹣t+4+3t+m＜0，也即t2+2t+4+m＜0，可得﹣m＞t2+2t+4在任意t∈[﹣3，2]恒成立，y＝t2+2t+4＝（t+1）2+3在t＝2时取得最大值12，则﹣m＞12，即m＜﹣12；（3）当a＞0时，若关于x的不等式g（x）≤0与g（g（x））≤3的解集相等且非空，可得g（x）＝0与g（g（x））＝3的解集相等，可得g（0）＝3，即b＝3，g（x）＝x2+ax+3≤0，可得△＝a2﹣12≥0，即a≥2（a≤﹣2舍去），又g（g（x）﹣3＝（x2+ax+3）2+a（x2+ax+3）+3﹣3＝（x2+ax+3）（x2+ax+3+a），由题意可得x2+ax+3+a≥0恒成立，可得△＝a2﹣4（a+3）≤0，解得﹣2≤a≤6，又a＞0，可得0＜a≤6，综上可得2≤a≤6．【点评】本题考查抽象函数的奇偶性和单调性的判断和运用，以及不等式恒成立和成立问题解法，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．。
2020年高一数学上期中试题(带答案)
2020年高一数学上期中试题(带答案)一、选择题1．已知集合{}22(,)1A x y x y =+=，{}(,)B x y y x ==，则A B I 中元素的个数为（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．02．函数2y 34x x =--+的定义域为（ ）A ．(41)--，B ．(41)-，C ．(11)-，D ．(11]-， 3．函数tan sin tan sin y x x x x =+--在区间（2π，32π）内的图象是( ) A ． B ．C ．D ．4．已知函数()()()ln 1ln 1f x x x =+--，若实数a 满足()()120f a f a +->，则a 的取值范围是（ ） A ．()1,1-B ．()0,1C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭5．如图，点O 为坐标原点，点(1,1)A ，若函数xy a =及log b y x =的图象与线段OA 分别交于点M ，N ，且M ，N 恰好是线段OA 的两个三等分点，则a ，b 满足．A ．1a b <<B ．1b a <<C ．1b a >>D ．1a b >>6．已知函数()25,1,,1,x ax x f x a x x⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩是R 上的增函数，则a 的取值范围是（ ）A ．30a -≤<B ．0a <C ．2a ≤-D ．32a --≤≤7．设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x--<的解集为（ ）A ．(10)(1)-⋃+∞，， B ．(1)(01)-∞-⋃，， C ．(1)(1)-∞-⋃+∞，， D ．(10)(01)-⋃，， 8．函数2xy x =⋅的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．9．设x ∈R ，若函数f （x ）为单调递增函数，且对任意实数x ，都有f （f （x ）-e x ）=e +1（e 是自然对数的底数），则f （ln1.5）的值等于（ ） A ．5.5B ．4.5C ．3.5D ．2.510．设奇函数()f x 在[1,1]-上是增函数，且(1)1f -=-，若函数2()21f x t at ≤-+对所有的[1,1]x ∈-都成立，当[1,1]a ∈-时，则t 的取值范围是（ ） A ．1122t -≤≤ B ．22t -≤≤C ．12t ≥或12t ≤-或0t = D ．2t ≥或2t ≤-或0t =11．已知函数2221,2,()2,2,x x x x f x x -⎧-++<=⎨≥⎩且存在三个不同的实数123,,x x x ，使得123()()()f x f x f x ==，则123x x x ++的取值范围为（ ）A ．(4,5)B ．[4,5)C ．(4,5]D ．[4,5]12．函数3222x xx y -=+在[]6,6-的图像大致为 A ． B ．C ．D ．二、填空题13．设函数()212log ,0log (),0x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩ ，若()()f a f a >-，则实数a 的取值范围是__________． 14．下列各式：（1）122[(2)]2---=- ；（2）已知2log 13a〈 ，则23a 〉 . （3）函数2xy =的图象与函数2x y -=-的图象关于原点对称；（4）函数()f x =21mx mx ++的定义域是R ，则m 的取值范围是04m <≤；（5）函数2ln()y x x =-+的递增区间为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 正确的．．．有________．（把你认为正确的序号全部写上） 15．若函数()6,23log ,2a x x f x x x -+≤⎧=⎨+>⎩（0a >且1a ≠）的值域是[)4,+∞，则实数a 的取值范围是__________．16．已知函数f(x)＝log a x ＋x －b(a ＞0，且a≠1)．当2＜a ＜3＜b ＜4时，函数f(x)的零点为x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N *，则n= . 17．设，则________18．已知函数()()212log 22f x mx m x m ⎡⎤=+-+-⎣⎦，若()f x 有最大值或最小值，则m的取值范围为______．19．若4log 3a =，则22a a -+= ．20．己知函数()f x =x a b +的图象经过点(1,3),其反函数()1fx -的图象经过点(2.0),则()1f x -=___________. 三、解答题21．已知函数f (x )是定义域为R 的奇函数，当x <0时，()111f x x =+-.(1)求f (2)的值；(2)用定义法判断y ＝f (x )在区间(－∞，0）上的单调性． (3)求0()x f x >时，的解析式 22．已知幂函数2242()(1)m m f x m x -+=-在(0,)+∞上单调递增，函数()2xg x k =-；（1）求m 的值；（2）当[1,2]x ∈时，记()f x 、()g x 的值域分别是A 、B ，若A B A ⋃=，求实数k 的取值范围；23．如图所示，某街道居委会拟在EF 地段的居民楼正南方向的空白地段AE 上建一个活动中心，其中30AE =米．活动中心东西走向，与居民楼平行. 从东向西看活动中心的截面图的下部分是长方形ABCD ，上部分是以DC 为直径的半圆. 为了保证居民楼住户的采光要求，活动中心在与半圆相切的太阳光线照射下落在居民楼上的影长GE 不超过2.5米，其中该太阳光线与水平线的夹角θ满足3tan 4θ=.（1）若设计18AB =米，6AD =米，问能否保证上述采光要求？（2）在保证上述采光要求的前提下，如何设计AB 与AD 的长度，可使得活动中心的截面面积最大？（注：计算中π取3）24．已知3a ≥，函数F （x ）=min{2|x−1|，x 2−2ax+4a−2}， 其中min{p ，q}={,.p p q q p q ，，≤>（Ⅰ）求使得等式F （x ）=x 2−2ax+4a−2成立的x 的取值范围； （Ⅱ）（ⅰ）求F （x ）的最小值m （a ）； （ⅱ）求F （x ）在区间[0,6]上的最大值M （a ）.25．已知函数22()f x x x=+. （1）求(1)f ，(2)f 的值；（2）设1a b >>，试比较()f a 、()f b 的大小，并说明理由； （3）若不等式2(1)2(1)1f x x m x -≥-++-对一切[1,6]x ∈恒成立，求实数m 的最大值. 26．设集合A ＝{x ∈R|x 2＋4x ＝0}，B ＝{x ∈R|x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，a ∈R }，若B ⊆A ，求实数a 的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】试题分析：集合中的元素为点集，由题意，可知集合A 表示以()0,0为圆心，1为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合B 表示直线y x =上所有的点组成的集合，又圆221x y +=与直线y x =相交于两点,22⎛ ⎝⎭，22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，则A B I 中有2个元素.故选B.【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.2．C解析：C 【解析】要使函数有意义，需使210{340x x x +>--+>，即1{41x x >--<<，所以1 1.x -<<故选C3．D解析：D 【解析】解：函数y=tanx+sinx-|tanx-sinx|=2tan ,tan sin {2sin ,tan sin x x xx x x<≥分段画出函数图象如D 图示， 故选D ．4．B解析：B 【解析】 【分析】求出函数()y f x =的定义域，分析函数()y f x =的单调性与奇偶性，将所求不等式变形为()()21f a f a >-，然后利用函数()y f x =的单调性与定义域可得出关于实数a 的不等式组，即可解得实数a 的取值范围. 【详解】对于函数()()()ln 1ln 1f x x x =+--，有1010x x +>⎧⎨->⎩，解得11x -<<，则函数()y f x =的定义域为()1,1-，定义域关于原点对称，()()()()ln 1ln 1f x x x f x -=--+=-，所以，函数()y f x =为奇函数，由于函数()1ln 1y x =+在区间()1,1-上为增函数，函数()2ln 1y x =-在区间()1,1-上为减函数，所以，函数()()()ln 1ln 1f x x x =+--在()1,1-上为增函数， 由()()120f a f a +->得()()()1221f a f a f a >--=-，所以，11112121a a a a -<<⎧⎪-<-<⎨⎪>-⎩，解得01a <<.因此，实数a 的取值范围是()0,1. 故选：B. 【点睛】本题考查函数不等式的求解，解答的关键就是分析函数的单调性和奇偶性，考查计算能力，属于中等题.5．A解析：A 【解析】 【分析】由,M N 恰好是线段OA 的两个三等分点，求得,M N 的坐标，分别代入指数函数和对数函数的解析式，求得,a b 的值，即可求解. 【详解】由题意知(1,1)A ，且,M N 恰好是线段OA 的两个三等分点，所以11,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，22,33N ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 把11,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入函数xy a =，即1313a =，解得127a =，把22,33N ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入函数log b y x =，即22log 33b =，即得3223b ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以1a b <<. 故选A.本题主要考查了指数函数与对数函数的图象与性质的应用，其中解答熟练应用指数函数和对数函数的解析式求得,a b 的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.6．D解析：D 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性特点，两段函数在各自的定义域内均单调递增，同时要考虑端点处的函数值. 【详解】要使函数在R 上为增函数，须有()f x 在(,1]-∞上递增，在(1,)+∞上递增，所以21,20,115,1a a a a ⎧-≥⎪⎪<⎨⎪⎪--⨯-≤⎩，解得32a --≤≤.故选D. 【点睛】本题考查利用分段函数的单调性求参数的取值范围，考查数形结合思想、函数与方程思想的灵活运用，求解时不漏掉端点处函数值的考虑.7．D解析：D 【解析】由f (x )为奇函数可知，()()f x f x x--＝()2f x x<0.而f (1)＝0，则f (－1)＝－f (1)＝0. 当x >0时，f (x )<0＝f (1)； 当x <0时，f (x )>0＝f (－1)． 又∵f (x )在(0，＋∞)上为增函数， ∴奇函数f (x )在(－∞，0)上为增函数． 所以0<x <1，或－1<x <0. 选D点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为(())(())f g x f h x >的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意()g x 与()h x 的取值应在外层函数的定义域内8．A解析：A 【解析】先根据奇偶性舍去C,D,再根据函数值确定选A. 【详解】因为2xy x =⋅为奇函数，所以舍去C,D; 因为0x >时0y >,所以舍去B ，选A. 【点睛】有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路(1)由解析式确定函数图象的判断技巧：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．(2)由实际情景探究函数图象．关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题．9．D解析：D 【解析】 【分析】利用换元法 将函数转化为f （t ）=e+1，根据函数的对应关系求出t 的值，即可求出函数f （x ）的表达式，即可得到结论 【详解】 设t=f （x ）-e x ，则f （x ）=e x +t ，则条件等价为f （t ）=e+1， 令x=t ，则f （t ）=e t +t=e+1， ∵函数f （x ）为单调递增函数， ∴t=1， ∴f （x ）=e x +1，即f （ln5）=e ln1.5+1=1.5+1=2.5， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查函数值的计算，利用换元法求出函数的解析式是解决本题的关键．10．D解析：D 【解析】试题分析：奇函数()f x 在[]1,1-上是增函数, 且()11f -=-,在[]1,1-最大值是21,121t at ∴≤-+,当0t ≠时, 则220t at -≥成立, 又[]1,1a ∈-,令()[]22,1,1r a ta t a =-+∈-, 当0t >时,()r a 是减函数, 故令()10r ≥解得2t ≥, 当0t <时,()r a 是增函数, 故令()10r -≥,解得2t ≤-,综上知，2t ≥或2t ≤-或0t =,故选D. 考点：1、函数的奇偶性与单调性能；2、不等式恒成立问题.【方法点晴】本题主要考查函数的奇偶性与单调性能、不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数()a f x ≤恒成立（min ()a f x ≤即可）或()a f x ≥恒成立（max ()a f x ≥即可）；②数形结合（()y f x =图象在()y g x =上方即可）；③讨论最值min ()0f x ≥或max ()0f x ≤恒成立；④讨论参数.本题是利用方法①求得t 的范围.11．A解析：A 【解析】不妨设123x x x <<，当2x <时，()()212f x x =--+，此时二次函数的对称轴为1x =，最大值为2，作出函数()f x 的图象如图，由222x -=得3x =，由()()()123f x f x f x ==，，且1212x x +=，即122x x +=，12332,x x x x ∴++=+ 由图可知3323,425x x <<∴<+<， 即123x x x ++的取值范围是()4,5，故选A.12．B解析：B 【解析】 【分析】由分子、分母的奇偶性，易于确定函数为奇函数，由(4)f 的近似值即可得出结果． 【详解】设32()22x x x y f x -==+，则332()2()()2222x x x xx x f x f x ----==-=-++，所以()f x 是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C ．又34424(4)0,22f -⨯=>+排除选项D ；36626(6)722f -⨯=≈+，排除选项A ，故选B ． 【点睛】本题通过判断函数的奇偶性，缩小考察范围，通过计算特殊函数值，最后做出选择．本题较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．二、填空题13．【解析】【分析】【详解】由题意或或或则实数的取值范围是故答案为 解析：(1,0)(1,)-??【解析】 【分析】 【详解】由题意()()f a f a >-⇒2120 log log a a a >⎧⎪⎨>⎪⎩或()()1220log log a a a <⎧⎪⎨->-⎪⎩01a a a >⎧⎪⇒⎨>⎪⎩或11a a a a<⎧⎪⇒>⎨->-⎪⎩或10a -<<，则实数a 的取值范围是()()1,01,-⋃+∞，故答案为()()1,01,-⋃+∞.14．（3）【解析】（1）所以错误；（2）当时恒成立；当时综上或所以错误；（3）函数上任取一点则点落在函数上所以两个函数关于原点对称正确；（4）定义域为当时成立；当时得综上所以错误；（5）定义域为由复合函解析：（3） 【解析】 （1）(1122212---⎛⎫⎡⎤== ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，所以错误；（2）2log 1log 3aa a <=，当1a >时，恒成立；当01a <<时，023a <<，综上，023a <<或1a >，所以错误； （3）函数2xy =上任取一点(),x y ，则点(),x y --落在函数2x y -=-上，所以两个函数关于原点对称，正确；（4）定义域为R ，当0m =时，成立；当0m >时，240m m ∆=-≤，得04m <≤，综上，04m ≤≤，所以错误；（5）定义域为()0,1，由复合函数的单调性性质可知，所求增区间为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以错误； 所以正确的有（3）。
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2020年高一数学上期中试题含答案一、选择题1．设常数a ∈R ，集合A={x|（x ﹣1）（x ﹣a ）≥0}，B={x|x≥a ﹣1}，若A ∪B=R ，则a 的取值范围为（ ） A ．（﹣∞，2）B ．（﹣∞，2]C ．（2，+∞）D ．[2，+∞）2．已知函数()25,1,,1,x ax x f x a x x⎧---≤⎪=⎨>⎪⎩是R 上的增函数，则a 的取值范围是（ ）A ．30a -≤<B ．0a <C ．2a ≤-D ．32a --≤≤3．关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数 ②f (x )在区间（2π,π）单调递增 ③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是 A ．①②④ B ．②④C ．①④D ．①③4．设x 、y 、z 为正数，且235x y z ==，则A ．2x <3y <5zB ．5z <2x <3yC ．3y <5z <2xD ．3y <2x <5z5．已知()201911,02log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩，若存在三个不同实数a ，b ，c 使得()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围是（ ） A ．(0,1)B ．[-2,0)C ．(]2,0-D ．（0,1）6．已知111,2,,3,23a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，若()af x x =为奇函数，且在(0,)+∞上单调递增，则实数a的值是( )A ．1,3-B ．1,33C ．11,,33-D ．11,,3327．已知()lg(10)lg(10)f x x x =++-，则()f x 是（ ）A ．偶函数，且在(0,10)是增函数B ．奇函数，且在(0,10)是增函数C ．偶函数，且在(0,10)是减函数D ．奇函数，且在(0,10)是减函数8．已知函数(),1log ,1x aa x f x x x ⎧≤=⎨>⎩（1a >且1a ≠），若()12f =，则12f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ）A ．1-B ．12-C ．12D ．29．函数()245f x x x =-+在区间[]0,m 上的最大值为5，最小值为1，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[)2,+∞B ．[]2,4C ．[]0,4D ．(]2,410．函数y =2x 2–e |x |在[–2,2]的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知函数()()()ln 1ln 1f x x x =+--，若实数a 满足()()120f a f a +->，则a 的取值范围是（ ） A ．()1,1-B ．()0,1C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭12．函数2xy x =⋅的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题13．设函数()212log ,0log (),0x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩ ，若()()f a f a >-，则实数a 的取值范围是__________．14．已知函数()(),y f x y g x ==分别是定义在[]3,3-上的偶函数和奇函数，且它们在[]0,3上的图象如图所示，则不等式()()0f x g x ≥在[]3,3-上的解集是________.15．函数f(x)为奇函数，且x>0时，f(x)＝x ＋1，则当x<0时，f(x)＝________. 16．函数的定义域为___．17．已知函数(12)(1)()4(1)x a x f x ax x⎧-<⎪=⎨+≥⎪⎩，且对任意的12,x x R ∈，12x x ≠时，都有()()12120f x f x x x ->-，则a 的取值范围是________18．已知函数()()0f x ax b a =->，()()43ff x x =-，则()2f =_______．19．若函数()22xf x b =--有两个零点，则实数b 的取值范围是_____.20．设函数()()()2,1{42, 1.x a x f x x a x a x -<=--≥①若1a =，则()f x 的最小值为 ；②若()f x 恰有2个零点，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题21．已知幂函数2242()(1)m m f x m x -+=-在(0,)+∞上单调递增，函数()2xg x k =-；（1）求m 的值；（2）当[1,2]x ∈时，记()f x 、()g x 的值域分别是A 、B ，若A B A ⋃=，求实数k 的取值范围；22．已知函数()()()lg 2lg 2f x x x =++-. （1）求函数()f x 的定义域；（2）若不等式f ()x m >有解，求实数m 的取值范围.23．某企业生产A ，B 两种产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润与投资成正比，其关系如图1，B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2，（注：利润与投资单位：万元）（1）分别将A ，B 两种产品的利润表示为投资的函数关系，并写出它们的函数关系式； （2）该企业已筹集到10万元资金，全部投入到A ，B 两种产品的生产，怎样分配资金，才能使企业获得最大利润，其最大利润约为多少万元（精确到1万元）. 24．设全集U=R ，集合A={x|1≤x ＜4}，B={x|2a≤x ＜3-a}．（1）若a=-2，求B∩A ，B∩(∁U A)；（2）若A∪B=A ，求实数a 的取值范围． 25．已知定义域为R 的函数()1221x a f x =-++是奇函数. (1)求a 的值；(2)判断函数()f x 的单调性并证明；(2)若关于m 的不等式()()222120f m m f m mt -+++-≤在()1,2m ∈有解，求实数t 的取值范围.26．已知函数()f x 是R 上的奇函数，且当0x >时，()f x =1()2x．①求函数()f x 的解析式；②画出函数的图象，根据图象写出函数()f x 的单调区间．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 试题分析：当时，，此时成立，当时，，当时，，即，当时，，当时，恒成立，所以a 的取值范围为，故选B.考点：集合的关系2．D解析：D 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性特点，两段函数在各自的定义域内均单调递增，同时要考虑端点处的函数值. 【详解】要使函数在R 上为增函数，须有()f x 在(,1]-∞上递增，在(1,)+∞上递增，所以21,20,115,1a a a a ⎧-≥⎪⎪<⎨⎪⎪--⨯-≤⎩，解得32a --≤≤.故选D. 【点睛】本题考查利用分段函数的单调性求参数的取值范围，考查数形结合思想、函数与方程思想的灵活运用，求解时不漏掉端点处函数值的考虑.3．C解析：C 【解析】 【分析】化简函数()sin sin f x x x =+，研究它的性质从而得出正确答案． 【详解】()()()()sin sin sin sin ,f x x x x x f x f x -=-+-=+=∴Q 为偶函数，故①正确．当2x ππ<<时，()2sin f x x =，它在区间,2π⎛⎫π ⎪⎝⎭单调递减，故②错误．当0x π≤≤时，()2sin f x x =，它有两个零点：0,π；当0x π-≤<时，()()sin sin 2sin f x x x x =--=-，它有一个零点：π-，故()f x 在[],-ππ有3个零点：0-π,,π，故③错误．当[]()2,2x k k k *∈ππ+π∈N时，()2sin f x x =；当[]()2,22x k k k *∈π+ππ+π∈N 时，()sin sin 0f x x x =-=，又()f x 为偶函数，()f x ∴的最大值为2，故④正确．综上所述，①④ 正确，故选C ．【点睛】画出函数()sin sin f x x x =+的图象，由图象可得①④正确，故选C ．4．D解析：D 【解析】令235(1)x y zk k ===>，则2log x k =，3log =y k ，5log =z k∴22lg lg 3lg 913lg 23lg lg8x k y k =⋅=>，则23x y >， 22lg lg5lg 2515lg 25lg lg32x k z k =⋅=<，则25x z <，故选D. 点睛:对于连等问题，常规的方法是令该连等为同一个常数，再用这个常数表示出对应的,,x y z ，通过作差或作商进行比较大小.对数运算要记住对数运算中常见的运算法则，尤其是换底公式以及0与1的对数表示.5．C解析：C 【解析】 【分析】画出函数图像，根据图像得到20a -<≤，1bc =，得到答案. 【详解】()201911,02log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩，画出函数图像，如图所示：根据图像知：20a -<≤，20192019log log b c -=，故1bc =，故20abc -<≤. 故选：C .【点睛】本题考查了分段函数的零点问题，画出函数图像是解题的关键.6．B解析：B 【解析】 【分析】先根据奇函数性质确定a 取法，再根据单调性进行取舍，进而确定选项. 【详解】因为()af x x =为奇函数，所以11,3,3a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭因为()()0,f x +∞在上单调递增，所以13,3a ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭因此选B. 【点睛】本题考查幂函数奇偶性与单调性，考查基本判断选择能力.7．C解析：C 【解析】 【分析】先判断函数的定义域关于原点对称，再由奇偶性的定义判断奇偶性，根据复合函数的单调判断其单调性，从而可得结论. 【详解】由100100x x +>⎧⎨->⎩，得(10,10)x ∈-， 故函数()f x 的定义域为()10,10-，关于原点对称，又()()lg 10lg(10)()f x x x f x -=-++=，故函数()f x 为偶函数， 而()()2lg(10)lg(10)lg 100f x x x x=++-=-，因为函数2100y x =-在()0,10上单调递减，lg y x =在()0,∞+上单调递增， 故函数()f x 在()0,10上单调递减，故选C. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性，属于中档题. 判断函数的奇偶性首先要看函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，既不是奇函数又不是偶函数，如果对称常见方法有：（1）直接法， ()()f x f x -=±(正为偶函数，负为减函数)；（2）和差法，()()0f x f x -±=（和为零奇函数，差为零偶函数）；（3）作商法，()()1f x f x -=±（1 为偶函数，1- 为奇函数） .8．C解析：C 【解析】 【分析】由()12f =，求得2a =，得到函数的解析式，进而可求解1(())2f f 的值，得到答案． 【详解】由题意，函数(),1(1log ,1x a a x f x a x x ⎧≤=>⎨>⎩且1)a ≠，()12f =， 所以()12f a ==，所以()22,1(1log ,1x x f x a x x ⎧≤=>⎨>⎩且1)a ≠， 所以121()222f ==，所以211(())(2)log 222f f f ===，故选C ． 【点睛】本题主要考查了函数解析式的求解，以及函数值的运算问题，其中解答中根据题意准确求得函数的解析式，合理利用解析式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．9．B解析：B 【解析】 【分析】由函数的解析式可得函数f （x ）＝x 2﹣4x +5＝（x ﹣2）2+1的对称轴为x ＝2，此时，函数取得最小值为1，当x ＝0或x ＝4时，函数值等于5，结合题意求得m 的范围． 【详解】∵函数f （x ）＝x 2﹣4x +5＝（x ﹣2）2+1的对称轴为x ＝2，此时，函数取得最小值为1， 当x ＝0或x ＝4时，函数值等于5．且f （x ）＝x 2﹣4x +5在区间[0，m ]上的最大值为5，最小值为1， ∴实数m 的取值范围是[2，4]， 故选：B ． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质应用，利用函数图像解题是关键，属于中档题．10．D解析：D 【解析】试题分析：函数f （x ）=2x 2–e |x|在[–2,2]上是偶函数，其图象关于轴对称，因为，所以排除选项；当时，有一零点，设为，当时，为减函数，当时，为增函数．故选D11．B解析：B 【解析】 【分析】求出函数()y f x =的定义域，分析函数()y f x =的单调性与奇偶性，将所求不等式变形为()()21f a f a >-，然后利用函数()y f x =的单调性与定义域可得出关于实数a 的不等式组，即可解得实数a 的取值范围. 【详解】对于函数()()()ln 1ln 1f x x x =+--，有1010x x +>⎧⎨->⎩，解得11x -<<，则函数()y f x =的定义域为()1,1-，定义域关于原点对称，()()()()ln 1ln 1f x x x f x -=--+=-，所以，函数()y f x =为奇函数，由于函数()1ln 1y x =+在区间()1,1-上为增函数，函数()2ln 1y x =-在区间()1,1-上为减函数，所以，函数()()()ln 1ln 1f x x x =+--在()1,1-上为增函数， 由()()120f a f a +->得()()()1221f a f a f a >--=-，所以，11112121a a a a -<<⎧⎪-<-<⎨⎪>-⎩，解得01a <<.因此，实数a 的取值范围是()0,1. 故选：B. 【点睛】本题考查函数不等式的求解，解答的关键就是分析函数的单调性和奇偶性，考查计算能力，属于中等题.12．A解析：A 【解析】 【分析】先根据奇偶性舍去C,D,再根据函数值确定选A. 【详解】因为2xy x =⋅为奇函数，所以舍去C,D; 因为0x >时0y >,所以舍去B ，选A.【点睛】有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路(1)由解析式确定函数图象的判断技巧：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．(2)由实际情景探究函数图象．关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题．二、填空题13．【解析】【分析】【详解】由题意或或或则实数的取值范围是故答案为 解析：(1,0)(1,)-??【解析】 【分析】 【详解】由题意()()f a f a >-⇒2120 log log a a a >⎧⎪⎨>⎪⎩或()()1220log log a a a <⎧⎪⎨->-⎪⎩01a a a >⎧⎪⇒⎨>⎪⎩或11a a a a<⎧⎪⇒>⎨->-⎪⎩或10a -<<，则实数a 的取值范围是()()1,01,-⋃+∞，故答案为()()1,01,-⋃+∞.14．【解析】【分析】不等式的解集与f （x ）g(x)0且g （x ）0的解集相同观察图象选择函数值同号的部分再由f （x ）是偶函数g （x ）是奇函数得到f （x ）g （x ）是奇函数从而求得对称区间上的部分解集最后两部 解析：(]()(]3,21,01,2--⋃-⋃【解析】 【分析】 不等式()()f x 0g x ≥的解集，与f （x ）⋅g(x)≥0且g （x ）≠0的解集相同，观察图象选择函数值同号的部分，再由f （x ）是偶函数，g （x ）是奇函数，得到f （x ）⋅g （x ）是奇函数，从而求得对称区间上的部分解集，最后两部分取并集即可. 【详解】 将不等式()()f x 0g x ≥转化为f （x ）⋅g(x)≥0且g （x ）≠0，如图所示：满足不等式的解集为：（1,2]∵y=f （x ）是偶函数，y=g （x ）是奇函数∴f （x ）⋅g （x ）是奇函数, 故在y 轴左侧，满足不等式的解集为(-3,-2]U (-1,0)故不等式()()0f x g x ≥在[]3,3-上的解集是(-3,-2]U (-1,0)U （1,2]【点睛】本题考查了函数的奇偶性在解不等式中的应用，考查了数形结合，转化，分类讨论等思想方法，根据函数奇偶性的性质以及数形结合是解决本题的关键.15．【解析】当x<0时－x>0∴f(－x)＝＋1又f(－x)＝－f(x)∴f(x)＝故填 解析：1x ---【解析】当x <0时，－x >0，∴f (－x )＝ x -＋1，又f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝1x ---,故填1x ---.16．(-12)∪(2+∞)【解析】【分析】根据式子成立的条件对数式要求真数大于零分式要求分母不等于零即可求得函数的定义域【详解】要使函数有意义则x+1>012-x≠0解得x>-1且x≠2所以函数的定义域 解析：【解析】 【分析】根据式子成立的条件，对数式要求真数大于零，分式要求分母不等于零，即可求得函数的定义域. 【详解】要使函数有意义，则，解得且，所以函数的定义域为：，故答案是：. 【点睛】该题考查的是有关函数的定义域的求解问题，在求解的过程中，注意对数式和分式成立的条件即可，属于简单题目.17．【解析】【分析】根据判断出函数在上为增函数由此列不等式组解不等式组求得的取值范围【详解】由于对任意的时都有所以函数在上为增函数所以解得故答案为：【点睛】本小题主要考查根据函数的单调性求参数的取值范围 解析：[1,0)-【解析】 【分析】 根据()()12120f x f x x x ->-判断出函数在R 上为增函数，由此列不等式组，解不等式组求得a 的取值范围.【详解】由于对任意的12,x x R ∈，12x x ≠时，都有()()12120f x f x x x ->-，所以函数在R 上为增函数，所以1210124a a a a ->⎧⎪<⎨⎪-≤+⎩，解得10a -≤<.故答案为：[)1,0-. 【点睛】本小题主要考查根据函数的单调性求参数的取值范围，考查指数函数的单调性，考查分式型函数的单调性，属于基础题.18．【解析】【分析】先由求出的值可得出函数的解析式然后再求出的值【详解】由题意得即解得因此故答案为【点睛】本题考查函数求值解题的关键就是通过题中复合函数的解析式求出函数的解析式考查运算求解能力属于中等题 解析：3【解析】 【分析】 先由()()43ff x x =-求出a 、b 的值，可得出函数()y f x =的解析式，然后再求出()2f 的值.【详解】 由题意，得()()()()()243ff x f ax b a ax b b a x ab b x =-=⋅--=-+=-，即2430a ab b a ⎧=⎪+=⎨⎪>⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩，()21f x x ∴=-，因此()23f =，故答案为3.【点睛】本题考查函数求值，解题的关键就是通过题中复合函数的解析式求出函数的解析式，考查运算求解能力，属于中等题.19．【解析】【分析】【详解】函数有两个零点和的图象有两个交点画出和的图象如图要有两个交点那么 解析：02b <<【解析】 【分析】 【详解】函数()22xf x b =--有两个零点，和的图象有两个交点，画出和的图象，如图，要有两个交点，那么20．(1)-1(2)或【解析】【分析】【详解】①时函数在上为增函数且函数在为减函数在为增函数当时取得最小值为-1；（2）①若函数在时与轴有一个交点则则函数与轴有一个交点所以；②若函数与轴有无交点则函数与解析：(1)-1，(2)112a ≤<或2a ≥. 【解析】 【分析】 【详解】①1a =时，()()()2,1{42, 1.x a x f x x a x a x -<=--≥，函数()f x 在(,1)-∞上为增函数且()1f x >-，函数()f x 在3[1,]2为减函数，在3[,)2+∞为增函数，当32x =时，()f x 取得最小值为-1；（2）①若函数()2xg x a =-在1x <时与x 轴有一个交点，则0a >， (1)2g a =->0，则02a <<，函数()4()(2)h x x a x a =--与x 轴有一个交点，所以211a a ≥<⇒且112a ≤<； ②若函数()2xg x a =-与x 轴有无交点，则函数()4()(2)h x x a x a =--与x 轴有两个交点，当0a ≤时()g x 与x 轴有无交点，()4()(2)h x x a x a =--在1x ≥与x 轴有无交点，不合题意；当当2a ≥时()g x 与x 轴有无交点，()h x 与x 轴有两个交点，x a =和2x a =，由于2a ≥，两交点横坐标均满足1x ≥；综上所述a 的取值范围112a ≤<或2a ≥.考点：本题考点为函数的有关性质，涉及函数图象、函数的最值，函数的零点、分类讨论思想解题.利用函数图象研究函数的单调性，求出函数的最值，涉计参数问题，针对参数进行分类讨论.三、解答题21．(1) 0 ; (2) [0,1] 【解析】 【分析】(1)根据幂函数的定义有2(=11)m -，求出m 的值，然后再根据单调性确定出m 的值. (2)根据函数()f x 、()g x 的单调性分别求出其值域，再由A B A ⋃=得B A ⊆，再求k 的取值范围. 【详解】(1) 函数2242()(1)mm f x m x -+=-为幂函数，则2(=11)m -，解得：0m =或2m =.当0m =时，2()f x x =在(0,)+∞上单调递增，满足条件. 当2m =时，2()f x x -=在(0,)+∞上单调递减，不满足条件. 综上所述0m =.(2)由(1)可知, 2()f x x =,则()f x 、()g x 在[1,2]单调递增,所以()f x 在[1,2]上的值域[1,4]A =,()g x 在[1,2]的值域[2,4]B k k =--. 因为A B A ⋃=,即B A ⊆,所以2144k k -≥⎧⎨-≤⎩，即10k k ≥⎧⎨≤⎩，所以01k ≤≤.所以实数k 的取值范围是[0,1].【点睛】本题考查幂函数的概念，函数值域和根据集合的包含关系求参数的范围,属于基础题. 22．（1）(2,2)-；（2）lg 4m <． 【解析】试题分析：（1）由对数有意义，得20{20x x +>->可求定义域；（2）不等式()f x m >有解⇔max ()m f x <，由2044x <-≤，可得()f x 的最大值为lg 4，所以lg 4m <．试题解析：（1）x 须满足20{20x x +>->，∴22x -<<，∴所求函数的定义域为(2,2)-.（2）∵不等式()f x m >有解，∴max ()m f x <()()()lg 2lg 2f x x x =++-=2lg(4)x -令24t x =-，由于22x -<<，∴04t <≤∴()f x 的最大值为lg 4.∴实数m 的取值范围为lg 4m <. 考点：对数性质、对数函数性、不等式有解问题．23．（1）A 为()()104f x x x =≥，B 为())0g x x =≥；（2）A 产品投入3.75万元，B 产品投入6.25万元，最大利润为4万元 【解析】 【分析】（1）根据题意给出的函数模型，设()1f x k x =；()g x k =代入图中数据求得12,k k 既得，注意自变量0x ≥；（2）设A 产品投入x 万元，则B 产品投入()10x -万元，设企业利润为y 万元.，列出利润函数为()()104x y f x g x =+-=，用换元法，设t =函数可求得利润的最大值． 【详解】解：（1）设投资为x 万元，A 产品的利润为()f x 万元，B 产品的利润为()g x 万元由题设知()1f x k x =；()g x k =由图1知()114f =，114k =由图2知()542g =，254k =则()()104f x x x =≥，())0g x x =≥. （2）设A 产品投入x 万元，则B 产品投入()10x -万元，设企业利润为y 万元.()()104x y f x g x =+-=，010x ∴≤≤t =，则0t ≤≤则(2210515650444216t t y t t -⎛⎫=+=--+≤≤ ⎪⎝⎭当52t =时，max 65416y =≈， 此时2510 3.754x =-= 所以当A 产品投入3.75万元，B 产品投入6.25万元，企业获得最大利润为4万元. 【点睛】本题考查函数的应用，在已知函数模型时直接设出函数表达式，代入已知条件可得函数解析式．24．（1）B ∩A =[1，4），B ∩(∁U A )= [-4,1)∪[4,5)；（2）1[,)2+∞ . 【解析】【分析】(1)利用补集的定义求出A 的补集,然后根据交集的定义求解即可直接求解即可；(2 )分类讨论B 是否是空集，列出不等式组求解即可. 【详解】（1）∵A ={x |1≤x ＜4}，∴∁U A ={x |x ＜1或x ≥4}，∵B ={x |2a ≤x ＜3-a }，∴a =-2时，B ={-4≤x ＜5}，所以B ∩A =[1，4）， B ∩(∁U A )={x |-4≤x ＜1或4≤x ＜5}=[-4,1)∪[4,5). （2）A ∪B =A ⇔B ⊆A ， ①B =∅时，则有2a ≥3-a ，∴a ≥1, ②B ≠∅时，则有，∴, 综上所述，所求a 的取值范围为.【点睛】本题主要考查集合的交集、集合的补集以及空集的应用，属于简答题.要解答本题，首先必须熟练应用数学的转化与划归思想及分类讨论思想，将并集问题转化为子集问题，其次分类讨论进行解答，解答集合子集过程中，一定要注意空集的讨论，这是同学们在解题过程中容易疏忽的地方，一定不等掉以轻心. 25．（1）1a =（2）见解析（3）1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【解析】试题分析：（1）由()f x 为奇函数可知，()()f x f x -=--，即可得解；（2）由21xy =+递增可知()11221x f x =-++在R 上为减函数，对于任意实数12,x x ，不妨设12x x <，化简()()12f x f x -判断正负即可证得； （3）不等式()()222120f m m f m mt -+++-≤，等价于()()22212f m m f m mt -++≤-+，即22212m m mmt -++≥-+，原问题转化为121t m m ≤-++在()1,2m ∈上有解，求解11y m m=-++的最大值即可. 试题解析解：(1)由()f x 为奇函数可知，()()f x f x -=--，解得1a =.(2)由21xy =+递增可知()11221x f x =-++在R 上为减函数， 证明：对于任意实数12,x x ，不妨设12x x <，()()()()21121212112221212121x x x x x x f x f x --=-=++++∵2x y =递增，且12x x <，∴1222x x <，∴()()120f x f x ->， ∴()()12f x f x >，故()f x 在R 上为减函数.(3)关于m 的不等式()()222120f m m f m mt -+++-≤， 等价于()()22212f m m f m mt -++≤-+，即22212m m mmt -++≥-+，因为()1,2m ∈，所以121t m m≤-++， 原问题转化为121t m m≤-++在()1,2m ∈上有解， ∵11y m m=-++在区间()1,2上为减函数， ∴11y m m =-++，()1,2m ∈的值域为1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∴21t <，解得12t <， ∴t 的取值范围是1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭. 点晴:本题属于对函数单调性应用的考察，若函数()f x 在区间上单调递增，则()()1212,,x x D f x f x ∈>且时，有12x x >，事实上，若12x x ≤,则()()12f x f x ≤，这与()()12f x f x >矛盾，类似地，若()f x 在区间上单调递减，则当()()1212,,x x D f x f x ∈>且时有12x x <；据此可以解不等式，由函数值的大小，根据单调性就可以得自变量的大小关系.本题中可以利用对称性数形结合即可.26．①1)22,(0)()0,(0)(,(0)xxx f x x x ⎧-<⎪⎪==⎨⎪⎪>⎩n ;②单调递减区间为(,0),(0,)-∞+∞，无单调递增区间． 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：①考察了利用函数的奇偶性求分段函数的解析式，根据求什么设什么所以设，那么，那么，求得的解析式，又因为，即求得函数的解析式；②根据上一问解析式，画出分段函数的图像，观察函数的单调区间． 试题解析：解: ①∵函数()f x 是定义在R 上的奇函数，∴(0)0f =． 当0x <时，0x ->，1()()()22xx f x f x -=--=-=-．∴函数()f x 的解析式为1)22,(0)()0,(0)(,(0)xxx f x x x ⎧-<⎪⎪==⎨⎪⎪>⎩n②函数图象如图所示：由图象可知，函数()f x 的单调递减区间为(,0),(0,)-∞+∞，无单调递增区间． 考点：1．分段函数的解析式；2．函数的图像．。