2010-2011 学年第二学期数学建模习题
数学建模考试题(2011)
2011数学建模考试题（开卷）1.某饮料公司拥有甲、乙两家饮料厂，都能生产A、B两种牌号的饮料。
甲饮料厂生产A饮料的效率为8吨/小时，生产B饮料的效率为10吨/小时；乙饮料厂生产A饮料的效率为10吨/小时，生产B饮料的效率为4吨/小时。
甲饮料厂生产A饮料和B饮料的成本分别为1000元/吨和1100元/吨；乙饮料厂生产A饮料和B饮料的成本分别为850元/吨和1000元/吨。
现该公司接到一生产订单，要求生产A饮料1000吨，B饮料1600吨。
假设甲饮料厂的可用生产能力为200小时，乙饮料厂的生产能力为120小时。
（1）请你为该公司制定一个完成该生产订单的生产计划，使总的成本最小（要求建立相应的线性规划模型，并给出计算结果）。
（2）由于设备的限制，乙饮料厂如果生产某种牌号的饮料，则至少要生产该种牌号的饮料300吨。
此时上述生产计划应如何调整（给出简要计算步骤）？2.讨价还价中的数学。
在当前市场经济条件下，在商店，尤其是私营个体商店中的商品，所标价格a与其实际价值b之间，存在着相当大的差距。
对购物的消费者来说，总希望这个差距越小越好，即希望比值λ接近于1，而商家则希望λ>1。
这样，就存在两个问题：第一，商家应如何根据商品的实际价值（或保本价）b来确定其价格a才较为合理？第二，购物者根据商品定价，应如何与商家"讨价还价"？第一个问题，国家关于零售商品定价有相关规定，但在个体商家实际定价中，常用"黄金数"方法，即按实际价b定出的价格a，使b:a≈0.618。
虽然商品价值b位于商品价格a 的黄金分割点上，考虑到消费者讨价还价，应该说，这样定价还是较为合理的。
对消费者来说，如何"讨价还价"才算合理呢？一种常见的方法是"对半还价法"：消费者第一次减去定价的一半，商家第一次讨价则加上二者差价的一半；消费者第二次还价要减去二者差价的一半；如此等等。
2011年数学建模作业题目
数学建模题目1 授课教师评估问题大学要对每一位授课教师进行评估，评估主要由以下几个方面决定：学生对教师的评价；教师督导团（由专家组成）通过听课对教师的评价；教师所在院（系）对教师的评价；教务处平时对教师的情况掌握（如平时检查上课有无迟到早退现象、有无重大教学事故、有无违反教师职业道德的反映等）。
请你根据上述几方面的因素给出一个教师评价方案，并叙述其合理性。
2. 航空公司经营策略由于交通的多样化，航空公司日益受到来自铁路及公路的威胁，尤其对于短途客运。
请根据路途的远近为航空公司制定一个价格（优惠）计划，使航空公司效益最佳。
3. 旅游路线安排计划“五一”黄金周又到了，希望安排出外旅游。
你要考虑的因素很多。
首先，你得考虑时间有限（７天）；其次要考虑费用问题：根据有限的费用安排你的交通方式。
当然，还要考虑出游的乐趣，希望多走几个景点。
还要考虑劳逸结合，如较远的地方如坐火车需乘坐卧铺，晚上休息。
如何安排你的假期。
假设一个景点一天的平均费用为100元，你手中恰有刚刚发下来的奖学金1000元。
4 校内通勤车运营方案校内通勤车由于存在等客问题，使得校内摩托车载人现象严重，影响校园内的安全。
为了彻底铲除校内摩托车，只靠保卫处严管远远不够，需从运营效益方面限制摩托车的收入，从而使其自行退出。
假设目前有校内通勤车10台，每台车可容纳７人；两轮摩托车20台，三轮摩托８台，分布于一道门、八公寓及老八饺子馆处。
如果在通勤高峰时（早晨7：00—8：00；中午12：00—12：30；晚4：00—6：00）通勤车等待的时间为3分钟，其它时间段通勤车等待的时间为10-20分钟。
请计算全天各类车的总的运客量，并根据这个运客量安排校内通勤车的数量、等车间隔时间，以使每辆摩托车的收入低于20元。
5.台球技术台球我们都打过至少是看过，一个漂亮的击球落袋使人赏心悦目。
虽然台球看起来很容易击打，但如果想打好台球却不是那么容易的。
这里边有经验的问题，也有技巧的问题。
数学与统计学学院2010年数学建模竞赛试题
数学与统计学学院2010年数学建模竞赛试题（请先仔细阅读竞赛要求）A题、武汉房地产价格问题房地产价格是一个备受关注的问题。
现在请你就以下几个方面的问题进行讨论1．给出你的房地产价格指标的定义（考虑房子所处的位置（交通，学校，医院，商场…），房子的户型，房子的楼层，房子的朝向，小区的内环境（绿化，容积率…等等），房子的开发商，物业，房子的质量，小区的大小，噪音大小，空气等等…）；2．请搜集武汉近两年来的房子日销售情况表（至少搜集10天的武汉的房子日销售情况表）；对你的上述房地产价格指标的定义做简化，给出一个简化的武汉的房地产价格指标的定义；并且假设：以你搜集到的10天的武汉的房子日销售情况表中时间最早的那一天武汉的房地产价格指标为100，利用你的简化的武汉的房地产价格指标的定义，计算其他天的武汉的房地产价格指标；3．请搜集相应10天的武汉（或者全国）的物价指标，请你建立武汉的房地产价格指标与武汉（或者全国）的物价指标的关系模型，并假设有一天武汉（或者全国）的物价指标，是你搜集到的10天的武汉的房子日销售情况表中时间最早的那一天的武汉（或者全国）的物价指标的100倍，请你预测那一天的武汉的房地产价格指标；4．如果某人准备在武汉买房，请你给他买房的时机的建议。
中南民族大学数学与统计学学院2010年首届数学建模竞赛要求1、参赛者为中南民族大学任意在校本科生, 以队为单位参赛。
学生自愿组队，每队有且仅有三人，鼓励学生跨院系组队。
比赛开始后不允许更换队员。
2、竞赛时间为：2010年4月9日16时至4月14日16时。
3、竞赛按照甲、乙组分别命题，甲组(参加对象为2007,2008级学生)分为A，B两题，乙组(2009级学生)分为C，D两题，每个参赛队可任选一题，4月9日16时起可在院网页上下载试题。
4、竞赛采取开放的竞赛方式，竞赛期间参赛队员可以使用各种图书资料、计算机和软件，在国际互联网上浏览，但不得与队外任何人（包括在网上）讨论。
2010数模试题与答案
华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2010学年第二学期 考试科目： 数学建模考试类型：（闭卷） 考试时间： 120分钟学号 姓名 年级专业1、（满分10分）对下面这个众所周知的智力游戏，请按下列的要求写出该问题的状态转栘模型：人带着猫、鸡、米过河，船除需要人划之外，至多能载猫、鸡、米三者之一，而当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米。
将人、猫、鸡、米分别记为i = 1，2，3，4，当i 在此岸时记x i = 1，否则为0；故此岸的状态下用s =（x 1，x 2，x 3，x 4）表示。
该问题中决策为乘船方案，记为d = (u 1, u 2, u 3, u 4)，当i 在船上时记u i = 1，否则记u i = 0。
（1） 写出该问题的所有允许状态集合；（3分）解：所有允许状态集合为：S={(1,1,1,1), (1,1,1,0), (1,1,0,1), (1,0,1,1), (1,0,1,0)}及他们的5个反状态。
（2） 写出该问题的所有允许决策集合；（3分）解：允许决策集合为：D = {(1,1,0,0), (1,0,1,0), (1,0,0,1), (1,0,0,0)}（3） 写出该问题的状态转移率。
（4分）解：该问题的状态转移率为： sk+1 = s k + (-1) k d k 2、 （满分16分）根据以下的不同假设，请写出相应人口问题的微分方程模型(不用求解)。
下设x （t ）表示t 时刻的人口数。
（1）假设人口的相对增长率（指dxx dt）是常数；（4分） 解：模型为：dxkx dt=, 其中k 为常数。
（2）假定人口的相对增长率是关于当时人口数的线性减函数；（4分） 解：模型为： dxdt= (r – s x)x ， 其中r 与s 为常数，且s>0。
（3）假设人口的增长率与x m – x （t ）成正比，其中x m 表示人口的最大数量；（4分） 解：模型为：)(x x k dtdxm -=，其中k 为常数。
2011数学建模试题及答案
城市学院2010—2011学年第二学期《数学建模》课程考试试题（开卷）年级：09级 专业:机械1班 学号：20940501115 姓名：李明泽1． 游泳队员分配问题某游泳队拟选用 甲,乙，丙,丁四名游泳队员组成一个4*100m 混合泳接力队，参加今年的锦标赛。
他们的100m 自由泳，蛙泳，蝶泳，仰泳的成绩如下表所示。
问 甲，乙,丙,丁 四名队员各自游什么姿势，才最有可能取得最好成绩。
请建立数学模型，并写出用Lingo 软件的求解程序。
解：引入0-1变量Xij ，若选择队员i 参加泳姿j 的比赛,记Xij=1，否则记Xij=0根据组成接力队的要求，Xij 应该满足两个约束条件：第一， 每人最多且只能入选4种泳姿之一，即对于i=1234；应有Xij=1；第二， 每种泳姿必须有一人且只能有一人入选，即对于j=1234；应有Xij=1当队员i 入选泳姿j 是，CijXij 表示他的成绩,否则CijXij=0。
于是接力赛成绩可表示为Z=∑∑==4141j i CijXij ，这就是改问题的目标函数。
综上，这个问题的0-1规划模型可写作Min Z= Z=∑∑==4141j i CijXij ;S ．t ．∑=41j Xjy =1,i=1,2，3,4; ∑=41i Xjy =1，i=1,2，3，4将题目给数据代入这一模型，并输入LIGDO ：Min =56＊x11+74＊x12+61＊x13+63*x14+63*x21+69＊x22+65＊x23+71*x24+57＊x31+77＊x32+63＊x33+67*x34+55＊x41+76＊x42+62＊x43+62＊x44；x11+x12+x13+x14=1;x21+x22+x23+x24=1；x31+x32+x33+x34=1;x41+x42+x43+x44=1；x11+x21+x31+x41=1；x12+x22+x32+x42=1；x13+x23+x33+x43=1；x14+x24+x34+x44=1;＠bin（x11）;＠bin（x12）;@bin(x13)；@bin(x14)；＠bin（x21）;@bin(x22);＠bin（x23)；＠bin(x24）;＠bin(x31）;＠bin（x32）；@bin(x33);@bin(x34）；@bin(x41)；@bin（x42）;@bin(x43）;@bin(x44)；求解可以得到最优解如下：2．钢筋切割问题设某种规格的钢筋原材料每根长10m，求解如下优化问题：1) 现需要该种钢筋长度为4m的28根，长度为1.8m的33根，问至少需要购买原材料几根？如何切割？2）如需要该种钢筋长度为4m的28根，长度为1.8m的33根, 长度为3。
数学建模2011b题
题目：如何通过经济模型分析促进一个地区旅游业的发展首先，我们需要对问题背景进行详细的了解。
这个问题的关键在于如何通过经济模型分析，来找出能够促进一个地区旅游业发展的有效策略。
接下来，我们将分几个部分进行详细的讨论。
一、明确问题：理解旅游业的基本要素我们需要了解当地旅游业的主要驱动力是什么，游客的消费习惯如何，哪些因素会对其消费产生影响。
二、建立模型：设定变量和假设我们将设定以下几个变量：旅游收入、游客数量、旅游成本、旅游设施、旅游政策等。
假设这些因素之间存在一定的关系，我们可以使用这些变量来建立模型。
三、数据收集和分析：收集当地旅游业的数据我们需要收集当地旅游业的相关数据，包括旅游收入、游客数量、旅游成本、旅游设施的数量和状况等。
根据这些数据，我们可以开始进行实证分析。
四、模型应用和解释：运用模型解释当地旅游业的发展情况我们可以通过模型预测不同情况下当地旅游业的发展情况，并解释这些预测结果。
比如，如果我们增加了旅游设施的数量，可能会吸引更多的游客，从而提高旅游收入。
五、优化策略：根据预测结果提出可能的优化策略根据模型预测的结果，我们可以提出一些可能的优化策略。
比如，加大旅游设施的投资，或者推出一些吸引游客的优惠政策等。
这些策略都需要考虑到当地的经济状况和社会环境。
六、结果反馈和调整：将策略应用于实践并持续调整将提出的优化策略应用于实践中，并观察其实际效果。
根据实践结果，我们可以对策略进行调整和优化。
这个过程可能需要一段时间，因此我们需要定期进行反馈和调整。
在解决这个问题的过程中，我们需要注意以下几点：首先，模型的有效性和可信度非常重要，需要经过仔细的验证和检验；其次，数据的收集和分析需要准确和全面；最后，策略的提出和应用需要考虑到当地的实际情况和社会环境。
以上就是对这个问题的一个基本解答，希望能对你有所帮助。
在实际操作中，可能还需要考虑更多的细节和因素，但这个解答应该能提供一个基本的框架和思路。
2011年大学生数学建模竞赛试题(全套)
2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目（请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”）A题城市表层土壤重金属污染分析随着城市经济的快速发展和城市人口的不断增加，人类活动对城市环境质量的影响日显突出。
对城市土壤地质环境异常的查证，以及如何应用查证获得的海量数据资料开展城市环境质量评价，研究人类活动影响下城市地质环境的演变模式，日益成为人们关注的焦点。
按照功能划分，城区一般可分为生活区、工业区、山区、主干道路区及公园绿地区等，分别记为1类区、2类区、……、5类区，不同的区域环境受人类活动影响的程度不同。
现对某城市城区土壤地质环境进行调查。
为此，将所考察的城区划分为间距1公里左右的网格子区域，按照每平方公里1个采样点对表层土（0~10 厘米深度）进行取样、编号，并用GPS记录采样点的位置。
应用专门仪器测试分析，获得了每个样本所含的多种化学元素的浓度数据。
另一方面，按照2公里的间距在那些远离人群及工业活动的自然区取样，将其作为该城区表层土壤中元素的背景值。
附件1列出了采样点的位置、海拔高度及其所属功能区等信息，附件2列出了8种主要重金属元素在采样点处的浓度，附件3列出了8种主要重金属元素的背景值。
现要求你们通过数学建模来完成以下任务：(1) 给出8种主要重金属元素在该城区的空间分布，并分析该城区内不同区域重金属的污染程度。
(2) 通过数据分析，说明重金属污染的主要原因。
(3) 分析重金属污染物的传播特征，由此建立模型，确定污染源的位置。
(4) 分析你所建立模型的优缺点，为更好地研究城市地质环境的演变模式，还应收集什么信息？有了这些信息，如何建立模型解决问题？B题交巡警服务平台的设置与调度“有困难找警察”，是家喻户晓的一句流行语。
警察肩负着刑事执法、治安管理、交通管理、服务群众四大职能。
为了更有效地贯彻实施这些职能，需要在市区的一些交通要道和重要部位设置交巡警服务平台。
每个交巡警服务平台的职能和警力配备基本相同。
2010年数学建模试题(全部)
2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目（请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”）A 题 储油罐的变位识别与罐容表标定通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。
许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。
按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。
图1是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体。
图2是其罐体纵向倾斜变位的示意图，图3是罐体横向偏转变位的截面示意图。
请你们用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。
（1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为α=4.10的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。
请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm 的罐容表标定值。
（2）对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度α和横向偏转角度β ）之间的一般关系。
请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据你们所建立的数学的罐地平线 图1 储油罐正面示意图 油位探针2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 （请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”）B 题 2010年上海世博会影响力的定量评估 20101851年伦互联网数据，定量评估2010年上海世博会的影响力。
2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目（请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”）C 题 输油管的布置某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂，同时在铁路线上增建一个车站，用来运送成品油。
2011大学生数学建模模拟试题一及解答
循环比赛的名次问题摘要本文主要应用柯西分布隶属函数，研究六支球队循环比赛结果排名的问题。
首先，据题图，规定一种判断胜负的方法，初步得出六值各球队的实力水平，将其划分为四个实力等级，运用柯西分布隶属函数解出四个等级的权重。
其次，用一个六阶“0-1矩阵”表示各队之间的比赛结果，由此求出每支队伍的实力水平。
最后，由实力等级权重和实力水平的组合矩阵X,得到六支球队的最终排名。
ij关键词：偏大型柯西分布隶属函数 0-1整数规划一 问题重述n 支球队循环赛，每场比赛只计胜负，没有平局。
6支球队比赛结果如下图：要求通过建立模型，给出六支球队的排名，说明理由；若认为比赛安排不合理，试重新安排比赛。
二 问题分析题目给出六支球队的循环赛结果图，共比赛15场，每场只记胜负，没有平局，可以确定出各队伍的胜负情况，由胜场数排出名次，再根据每队的胜负情况得出一个类似于0-1整数规划的矩阵，最终得出排名。
三 模型假设1.六个队的实力不同。
2.比赛结果不存在偶然性。
3.‘1→2’代表2胜1负。
4.只考虑胜场次数对综合排名的影响。
四 符号说明ijX ：i 队和j 队的比赛结果；iw ：第i 队的综合实力水平；五 模型的建立与求解4.1初步排名根据6支球队的胜场次数确定了每支球队的初步排名如表（1）：表（1）34564.2首先按照6支球队的排名不考虑负场只考虑胜场可以将其初步分为四个等级：第6队为第四等，队4和队5为第三等，队2和队3为第二等，队1为第一等。
然后按照柯西分布隶属函数对四个等级进行量化。
柯西分布隶属函数为：()12,14[1]()()1ln ,47x x f x a x b x αβ-⎧-≤≤⎪+-=⎨+≤≤⎪⎩设其中(4)0.8f =，(1)0.05f =解得：(3)0.67f =，(2)0.42f =， 2.99α=，0.54β=其结果如表（2）：按照（1）式的结果得到各队间对战结果权重矩阵如下：000.420000.0500.4200000000.670.80.050.420.420000.050.4200.67000.050.420.670.670ijX ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦其中，主对角线元素为0，代表是自己与自己比，其余的0表示此队伍输。
2011数学建模D题
天然肠衣搭配问题摘要本文研究的是天然肠衣搭配问题，目的是在满足规格要求的条件下，选择使成品捆数最多的优化方案。
共建立了3个模型。
对题中给出的要求逐个考虑，并运用Lingo和Matlab软件编程求解。
模型1 在给定一批原料的情况下，装出的成品捆数越多方案越好。
对各种不同规格的原料，根据每捆成品的总长度和根数建立整数规划模型，得出三种规格的最大捆数分别为14捆， 34捆，129捆。
总数量为177捆。
模型2 根据要求2，在模型1捆数最大的基础上，得出各规格捆数最大时的不同搭配方案，选出最优方案（详见表27，30，47）。
模型3 针对要求3，允许总长度有5.0的误差，各规格成品每捆的根数可以比标准少一根，明显条件放宽，可能会增加成品捆数。
运用Matlab和Lingo软件求解得到三种规格的捆数增加了6捆，总捆数为183捆，具体搭配方案见表48。
针对要求4，后一规格完成搭配后若材料有剩余，剩余材料可降级到前一规格使用，计算出三种规格的捆数增加3，最终最大捆数为186捆。
最后，选用合理的数据对模型进行模拟检验，把相应的数字输入流程，采用计算机搜索法，得出的方案时间不超过30分钟。
关键词：整数规划模型Lingo Matlab1 问题重述1.1 题目背景天然肠衣（以下简称肠衣）制作加工是我国的一个传统产业，出口量占世界首位。
肠衣经过清洗整理后被分割成长度不等的小段（原料），进入组装工序。
传统的生产方式依靠人工，边丈量原料长度边心算，将原材料按指定根数和总长度组装出成品（捆）。
1.2 题目条件1 原料按长度分档，通常以0.5米为一档，如：3-3.4米按3米计算，3.5米-3.9米按3.5米计算，其余的依此类推。
表1是几种常见成品的规格，长度单位为米，∞表示没有上限，但实际长度小于26米。
2 为了提高生产效率，公司计划改变组装工艺，先丈量所有原料，建立一个原料表。
表2为某批次原料描述(见附录A)。
1.3 题目要求1 对于给定的一批原料，装出的成品捆数越多越好；2 对于成品捆数相同的方案，最短长度最长的成品越多，方案越好；3 为提高原料使用率，总长度允许有± 0.5米的误差，总根数允许比标准少1根；4 某种规格对应原料如果出现剩余，可以降级使用。
2011大学生数学建模模拟试题二及解答
接力队选拔优化模型队员：董剑琦徐亚飞李江波完成日期：2011-8-23接力队选拔优化模型摘要：随着社会的发展，体育竞技已越来越被受人们的关注，他不仅能够强身健体，而且更为重要的是它是衡量一国国民综合素质的重要指标，在各种国际竞争中占据着重要地位。
本文主要利用分配的指派问题理论，用数学建模的方法建立了混合游泳中接力队选拔运动员的最优模型，从优选择，近而解决接力队选拔运动员的实际问题。
关键字：接力队选拔；分配指派；数学模型；从优。
一．问题重述我国素来以体育大国著称，在国际泳坛，为了迎接即将到来的4*100混合泳接力赛，国家体育总局必须在甲，乙，丙，丁，戊五人中选出四人参加比赛，现有四人选拔成绩及其后期努力后成绩波动变化，参考已有数据，从优选择，得出最佳选择方案。
在模型Ⅰ中，对问题一：即在不考虑队员成绩变化的情况下，按“分配指派”原则，得出了选拔队员方案。
在模型Ⅱ中，对问题二：即队员成绩发生变化的情况下做出方案调整，然后利用分配指派原则重新选择队员。
最后，讨论俩种队员选拔结果，从优选择。
二．模型假设根据建立模型的需要，作出如下假设：（1）参赛队员不受伤病及其他影响（2）参赛队员一旦确定成绩不会出现波动。
三．符号定义与说明i:代表参加选拔的队员j ：代表参加选拔队员第j 种的成绩 cij ：表示第i 个队员第j 种泳姿的成绩四．建立模型与求解：现在，利用0-1规划，对参赛队员成绩分析处理，作出选拔。
4.1建立模型 目标函数约束条件每人最多入选泳姿之一 ，每种泳姿有且只有1人4.2模型求解4.2.1不考虑队员成绩的变化min 66.811x +75.612x +8713x +58.614x +… … +67.451x +7152x +83.853x +62.454x11x +12x +13x +14x <=141x +42x +43x +44x <=111x +21x +31x +41x +51x =1… …x+24x+34x+44x+54x =114最优解：x14 = x21 = x32 = x43 = 1, 其它变量为0; 成绩为253.2(秒) 甲—自由泳、乙—蝶泳、丙—仰泳、丁—蛙泳.4.2.2 队员成绩发生变化当丁的蛙泳成绩退步1’15”2，戊的自由泳成绩进步到57”5 ，c43, c54 的新数据重新输入模型，用LINDO求解模型同上，求得最优解：x21 = x32 = x43 = x51 = 1, 其它变量为零；成绩为252.1（秒）乙—蝶泳、丙—仰泳、丁—蛙泳、戊—自由泳。
2011年大学生数学建模集训小题目
2011年数学建模集训小题目1.求下列积分的数值解（1）⎰+∞+-⋅23223x x x dx（2）σd y x D⎰⎰--221，}|),{(22x y x y x D ≤+=；（3）⎰⎰⎰Ω++++++dv z y x z y x z 1)1ln(2222222，{}2210|),,(y x z z y x --≤≤=Ω。
2.已知)s i n ()()c o s (),(2h t h t h t e h t f h t ++++=+，dt h t f h g ⎰=10),()(，画出]10,10[-∈h 时，)(h g 的图形。
3.画出由椭圆12222=+b y a x 所围成的图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体（叫做旋转椭球体）的图形，并计算它的体积。
4.画出16)5(22=-+y x 绕x 轴一周所围成的图形，并求所产生的旋转体的体积。
5. 有一外表面母线为400130sin (25)130,[0,600]100x y ex x π-⎛⎫=++∈ ⎪⎝⎭的旋转体（绕x 轴旋转）工件，画出该工件并计算工件的体积。
6.画出下列曲面的图形（1）旋转单叶双曲面149222=-+z y x ； （2）旋转双叶双曲面149222=+-z y x ； （3）抛物柱面x y =2； （4）椭圆锥面22249z y x =+； （5）椭球面6649222=++z y x ； （6）马鞍面xy z =；（7）椭圆柱面14922=+y x 。
7.画出隐函数1cos sin =+y x 的图形。
8.（1）求函数xx y -+=12ln 的三阶导数；（2）求向量]425.00[=a 的一阶向前差分。
9.求解非线性方程组（1）⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+060622x y y x（2）⎩⎨⎧=+=++5ln 10tan 10cos sin y x y e y x10.求函数186)(23-++=x x x x f 的极值点，并画出函数的图形。
2010年数学建模试题
说明月还款额(元) 利息总额(元)初始还款情况4251.77 265318.35第一次利率变动4322.29 254744.09第二次利率变动4451.8 245007.78福建信息职业技术学院2010年数学建模竞赛试题购房贷款问题小王夫妇于08年4月贷款50万元购买一套房子，当时贷款(年)利率为6.12%，打算用15年的时间还清贷款。
他们采用等额还款的方式（即每月的还款额相同）偿还贷款。
1.在上述条件下，建立贷款还款模型。
小王夫妇每月的还款额是多少？预计要付多少利息？2.假设为了某种目的，银行利率每年一月份调整一次，当月立即执行。
各年（年）利率见附表。
那么小王夫妇前2年各月的还款额是多少？前2年内总共还了多少？其中本、息各占多少？如果不考虑2010年以后利率的调整，预计还要付多少利息？3.假设他们在09年12月与2010年1月两个月没有能按时还款，在不考虑银行罚金的情况下，现在他们每月的还款额是多少？4.到2010年底，在经济状况许可的条件下，他们将考虑是否提前还贷，那么他们在这个月末，需要一次付给银行多少钱，才能将余下全部的贷款还清？5.一般来说，随着工作经历的增长，家庭收入也在增长。
因此，银行增补性地推出了逐步增加还款额的还贷方式。
具体的办法是：如果第1年的每月还款额是5000元，第2年的每月还款额是6000元的话，那么第3年的每月还款额是7000元，第4年的每月还款额是8000元，以此类推。
如果他们又打算从2011年1月份开始采用逐步增加还款额的还款方式来偿还贷款，在假设贷款利率不再改变的情况下，他们需要多长时间就可以还清贷款？6.如果2010年后每年的贷款利率保持上浮5%的水平，重新回答上面的第2，第5两个问题。
贷款(年)利率调整表08年 % 09年 % 2010年 %5.586.12 6.751 -5年6.12 6.39 6.915年以上福建信息职业技术学院数学建模竞赛论文格式规范●参赛队根据上面给出的购房贷款问题用WORD文档写一篇数学建模论文。
2010数学建模试题(数学系各专业)
第一部分：基本操作（任选三题）（1）求当 x =1, y =2 时的z值。
其中：z =（2）用 while 循环求 1～200 之间的整数之和。
（3）输入如下两个矩阵 A 和 B ，对矩阵 A 和 B 作关系运算，标识出两矩阵中元素相等的位置，元素值不等的位置，并标识出矩阵 A 中所有小于 0 的元素。
143328523B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦123213321A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ （4）编写一个 M 文件，画出下列分段函数所表示的曲面。
2222220.75 3.75 1.560.75 3.75 1.50.54 1(,)0.7575 110.5457 1x y y x y x y y e x y p x y e x y e x y -------+⎧+>⎪⎪=-<+≤⎨⎪+≤-⎪⎩（5）用曲面图命令 surf 表现函数22z x y =+的图像。
（6）绘制颜色为蓝色，数据点用五角星标识的下述函数在(0,5)上的虚线图。
sin xy xe=（7）编写一个 M 文件，画出下列分段函数所表示的曲面。
2222220.75 3.75 1.560.75 3.75 1.50.54 1(,)0.7575 110.5457 1x y y x y x y y e x y p x y e x y e x y -------+⎧+>⎪⎪=-<+≤⎨⎪+≤-⎪⎩（8）用plot 、fplot 绘制函数y=cos(tan(πx))图形（9）用ezplot 绘制函数exy-sin(x+y)=0在[-3，3]上图形。
（10）在同一平面中的两个窗口分别画出心形线和马鞍面。
要求 （1）、在图形上加格栅、图例和标注 （2）、定制坐标 （3）、以不同角度观察马鞍面第二部分：基本建模题（任选两题）问题一：俗话说“大饺子能装馅”，是组建一个“包饺子”的数学模型并进行分析，判断这一说法是否正确。
问题二：层次分析法使用层次分析法解决一个实际问题，比如，为学校评选优秀学生过优秀班级构造层次分析模型；给自己毕业后选择工作做出决策；为高中毕业生建立一个填报志愿的层次结构模型。
2010年数学建模C题参考答案
输油管的布置摘要本文建立了关于布置输油管管线费用最省的优化模型，针对问题，我们做 出了合理的简化假设，利用lingo 软件，最终对问题进行了求解.对于问题一，我们从非共用管道和共用管道（费用相同与不同）考虑一炼油厂1A 、另一炼油厂2A 和车站k 看成平面上三点，构建动态三角形k A A 21.求出费马点P 的具体位置.使其在费用相同情况下得出总费用最小值S ：12311323213212322212/)()()()(3[S X X X X X X X X X X X X X X X S ⨯++⨯-+⨯-+⨯+++++= 费用在不同情况下，假设费用为1S 和2S ，与S 关系式为：271274328)2(S X S X X X X S ⨯+⨯⨯-++= 对于问题二，在城区铺设管道的建设附加费用以经验法得出为21.4（万元/千米）.我们还是通过对非共用管道和共用管道进行分析建立模型，铺设费用均相同，计算得出非共用管道费用最小=S 337.5362，共用管道费用最小8.281=S ，比较可得出当两炼油厂共用管道时，共用管道费用最小.通过检验可确定为最优解，得到最佳管线布置方案.对于问题三，我们可以应用前面模型解答，改变铺设费用的系数，代入前面模型可得费用取得最小值为210.84，即可得到最佳设计方案.该模型用图表与文字结合来说明求解，直观、通俗易懂.关键词 费马点 经验法 共用管道 lingo一、问题的重述某油田计划在铁路线一侧建造两家炼油厂,同时在铁路线上增建一个车站，用来运送成品油.由于这种模式具有一定的普遍性,油田设计院希望建立管线建设费用最省的一般数学模型与方法.1. 针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形,提出你的设计方案.在方案设计时,若有共用管线,应考虑共用管线费用与非共用管线费用相同或不同的情形.2. 设计院目前需对一更为复杂的情形进行具体的设计.两炼油厂的具体位置由附图所示,其中A厂位于郊区（图中的I区域）,B厂位于城区（图中的II区域）,两个区域的分界线用图中的虚线表示.图中各字母表示的距离（单位：千米）分别为a= 5,b = 8,c = 15,l = 20.若所有管线的铺设费用均为每千米7.2万元. 铺设在城区的管线还需增加拆迁和工程补偿等附加费用,为对此项附加费用进行估计,聘请三家工程咨询公司（其中公司一具有甲级资质,公司二和公司三具有乙级资质）进行了估算.估算结果如下表所示：工程咨询公司公司一公司二公司三附加费用（万元/千米）21 24 203. 在该实际问题中.为进一步节省费用,可以根据炼油厂的生产能力,选用相适应的油管.这时的管线铺设费用将分别降为输送A厂成品油的每千米5.6万元,输送B厂成品油的每千米6.0万元,共用管线费用为每千米7.2万元,拆迁等附加费用同上.请给出管线最佳布置方案及相应的费用.二、问题的分析本文是一个关于输油管的布置以及建设费用最省的优化问题,建设总费用与输油管的长度和输油管的铺设费用有关，对于问题一，我们可以从非共用管道和共用管道（费用相同与不同）考虑，费用相同的情况：一炼油厂1A 、另一炼油厂2A 和车站k 可看成平面上三点，可构建动态三角形k A A 21，在不同三角形中费马点的位置不同.可把三角形形状分为三类，分别求出费马点的具体位置. 距离最短即建设总费用最小，费用不同情况：假设费用分别为1S ，2S .可得到总费用S 与1S ，2S 之间的关系式.对于问题二，已知两炼油厂的具体位置，我们还可从非共用管道和共用管道进行分析建立模型. 城区建设附加费可通过经验法求得. 最短路程不一定是最少费用非共用管道和共用管分别可以按X 的范围分别分为两类（c X ≤≤0和l X c ≤≤）.最终可求最小费用S ，得到最佳布置方案.对于问题三，我们可以应用前面模型，分别以不同的铺设费用，代入前面模型可得费用取得最小值.得到最佳设计方案.三、模型的假设1.假设所选的区域地势平坦， 没有障碍物；2.假设铺设工程顺利进行，不再因其他因素而增加铺设管道的费用；3.假设不考虑市场因素对输油管价格的影响；4.假设铁路和两炼油厂两两之间至少保持安全距离.四、符号的定义1. 铺设每公里非共用输油管线的费用为1S ；2. 铺设每公里共用输油管线的总费用为2S ；3. 总费用为S ；4. 在城区所增加的附加费用为1W ；5. 铺设输油管线的总长为X ；五、模型的建立与求解建设总费用与输油管的长度和输油管的铺设费用有关.模型一的建立与求解针对两炼油厂到铁路线距离和两炼油厂间距离的各种不同情形去建立模型,根据铺设每公里共用管线与非共用管线的费用相同与否.对其进行分类.当铺设每公里共用管线与非公用管线的费用相同时,根据“费马点”（证明见附录）在车站和两炼油厂三点所构成的三角形中的不同位置,我们可以将其分成三类.设甲厂1A 到车站k 的距离为1X ,乙厂2A 到车站k 的距离为2X ,甲厂到乙厂之间的距离为3X ,铺设每公里非共用管线的费用为1S ,铺设每公里共用管线的费用为2S ,总费用为S 总路程为X .（1）当甲乙两厂和车站的相对位置如下图所示,角1A 大于或等于120时.根据费马点的证明（见附录）我们可以算出甲,乙两厂到车站的最短距离31X +X =X最少费用2113S S S ⨯X +⨯X =（2）当两个厂按角k 大于或等于120度分布时,如下图所示;甲厂1A 车站k 乙厂2A1X2X3X同样，根据费马点的原理可知,其最短路程21X +X =X .其费用()121S S ⨯X +X =.(3) 当两炼油厂和车站三点所构成的三角形中的三个角均小于120度分布时,如下图所示;根据“费马点的证明（见附录）”可以求出最短路程2/)()()()(3[23113232132123222121X X X X X X X X X X X X X X X Pk PA PA ++⨯-+⨯-+⨯+++++=++其费用12311323213212322212/)()()()(3[S X X X X X X X X X X X X X X X S ⨯++⨯-+⨯-+⨯+++++= 当铺设每公里的共用输油管与非共用管线的费用不同时,假设两炼油厂的位置任意如图)1(分布,车站设在铁路线上的任意一点k 上.设共用管线的距离为7X .A 和1A 点关于铁路线对称,11k A 交12k A 相交于点1B .1A 到铁路线的垂直距离为3X ,2A 到铁路线的垂直距离为4X ,两炼油厂投影在铁路线上的水平距离为8X ,设每公里非共用管线的费用为1S ,铺设每公里共用管线的费用为2S ,总费用为S .非共用管线的长度11k A +12k A =2AA =274328)2(X X X X ⨯-++ (370X X ≤≤)共用管线的长度：7X车站k甲厂1A乙厂2AP 甲厂1A车站k 乙厂2Ak1X 2X因此,当铺设每公里的共用输油管与非共用管线的费用不同时.其最省费用为.271274328)2(S X S X X X X S ⨯+⨯⨯-++=模型二的建立与求解由题已知两炼油厂的具体位置为点A 和B 点，在非共用管线情况下：如下图所示 车站F 在如图特殊位置时，得到结果为：4.212.0202.0246.0211=⨯+⨯+⨯=W假设以点C 为原点，建立坐标，车站F 的坐标为（X ，0），经过交界线的点为H 坐标为（C ，H ）)80(≤≤H当150≤≤X ，如图（一）利用几何中勾股定理，可得：22x a AF +=，22)(x c h FH -+=，22)()(h b c l HB -+-=，1)(W EB C HB HF AF S ⨯+⨯++=，A1Ak1k 3X 4X5X 6X 7X2A8X图（1）（一） （二） （三）利用lingo 软件，解得：=S 337.5362 25.7=X 94.6=H当2015≤≤X ，如图(二)利用几何中勾股定理，可得： 22)(h a c AH -+=22)(x c h FH -+=22)(b x l FB +-=()()1W FB HF C FB HF AH S ⨯++⨯=+=利用lingo 软件，解得：=S 87942.4 99480.19=X 4739589.0=H模型二的结果分析和检验在非共线条件下，当25.7=X 94.6=H 时.模型能得到最小值=S 337.5362，此方案即为所求设计方案.我们为了检验模型结果的可靠性，故选择三个特殊点代入，得：当车站B 在C 点时，即（0=X ），=S 372.44当车站B 在分界线时，即（15=X ），=S 348.729当车站B 在D 点，即（20=X ），=S 502.94由上述三点可知模型结果为最小点.此设计方案可行.C AD C F B c lC A E DB模型三的建立于求解存在共用管道的情况下； 设共用管道EF 的距离为Y ，共用管道与非共用管道的交点F ，坐标为（Y X ,）（80≤≤Y ），经过交界线的点为H ，坐标为（C ，H ）)80(≤≤H .（1）当150≤≤X ，利用几何中勾股定理，可得：22)(X Y a AE +-=22)()(X c Y H FH -+-=，22)()(c l H b HB -+-=，1)(W HB C HB FH Y AF S ⨯+⨯+++=，利用lingo 软件，解得：8.281=S 30114.14=X 74.6=Y 14.7=H当2015≤<X ；利用几何中勾股定理，可得：22)(C H a AH +-=，22)()(C X Y H HF -+-=，22)()(X b Y b FB -+-=，1)()(W FB FH C FB HF AH S ⨯++⨯++=利用lingo 软件，解得：3088.302=S 15=X 309.1==Y HC A E BD C AE B D C A DE B (1)模型三的结果分析和检验存在共用管道的情况下，当30114.14=X 74.6=Y 14.7=H 时，模型能得到最小值8.281=S .为了检验模型结果的可靠性我们将特殊点带入检验：如图（1）（1）当共用管道为AC 时，S =342（2）当共用管道为HF 时，312=S（3）当共用管道为FD 时，290=S通过比较可知模型结果准确无误.在模型二和模型三的比较中，模型三中费用最小值8.281=S 为最佳设计方案.模型四的建立于求解模型四可在模型三的基础上求解.在其它情况不变的条件下，只改变铺设费用的大少.得:FE HB FH AF S ⨯++⨯+⨯=2.7)(0.66.5 （150≤≤X ） （1）Y X l Y b c X Y H H a c S ⨯+-+-⨯+-+-+-+⨯=2.7)()(0.6))()()((6.5222222（1520≤≤X ） （2）解（1）得：0617.221=S 867288.6=X 042522.0=Y 0678.7=H(2) 得：84.210=S 15=X 0=Y 23.0=H由此我们可以得知，在15=X , 0=Y , 23.0=H 时，费用取得最小值为210.84，即可得到最佳设计方案.(6) FC AE D C AF DB HH B E(5)六、模型的进一步讨论在模型一中，我们采用的是优化模型，也就是说我们假设了厂址的可选区域是地势平坦的，对正常的管线铺设施工的基本是没影响的。
2011年数学建模题目
A题校车问题许多学校都建有新校区，常常需要将老校区的教师和工作人员用校车送到新校区。
由于每天到新校区的教师和工作人员很多，往往需要安排许多车辆。
如何有效的安排车辆及让教师和工作人员尽量满意是个十分重要的问题。
现有如下问题请你设计解决。
假设老校区的教师和工作人员分布在50个区，各区的距离见表1。
各区人员分布见表2。
问题1：如要建立n个乘车点，为使各区人员到最近乘车点的距离最小，该将校车乘车点应n=时的结果。
建立在哪n个点。
建立一般模型，并给出2,3问题2：若考虑每个区的乘车人数，为使教师和工作人员满意度最大，该将校车乘车点应建n=时的结果。
立在哪n个点。
建立一般模型，并给出2,3问题3 若建立3个乘车点，为使教师和工作人员尽量满意，至少需要安排多少辆车？给出每个乘车点的位置和车辆数。
设每辆车最多载客47人。
问题4；关于校车安排问题，你还有什么好的建议和考虑。
可以提高乘车人员的满意度，又可节省运行成本。
B题城市居民住房价格问题房价问题事关国计民生，对国家经济发展和社会稳定有重大影响，一直是各国政府大力关注的问题。
我国自从取消福利分房制度以来，随着房价的不断飙升，房价问题已经成为全民关注的焦点议题之一，从国家领导人、地方政府官员，到开发商、专家学者、普通百姓通过各种媒体表达各种观点，但对于房价是否合理、未来房价的走势等关键问题，至今尚未形成统一的认识。
请根据中国国情，收集建筑成本、居民收入等与房价密切相关的数据，选取我国具有代表性的几类城市对房价的合理性及房价的未来走势等问题进行定量分析；根据分析结果，进一步探讨使得房价合理的具体措施，以及可能对经济发展产生的影响，并进行定量分析。
数学建模题目20110606
2010级数学系数学建模作业题第1题计算平均学分绩点下面表格中是某同学所修各门课程的学分和成绩。
请编写一个Matlab程序，计算出这名同学的平均学分绩点。
第2题数据拟合问题混凝土的抗压强度随养护时间的延长而增加。
现将一批混凝土作成12个试块，记录了养护日期x(日)及抗压强度y(kg/cm2)的数据：(1) 分别用2，3，6次多项式拟合求出x与y的关系式，并画出散点图和拟合曲线图；(2) 若x与y之间满足关系式y = a + be mx + ce-mx，你能否求出参数a，b，c，m？并画图。
第3题工程承包问题某公司要把4个能源工程项目承包给4个互不相关的承包商，规定每个承包商只能且必须承包一个项目。
如果承包商对每个工程的报价如表所示，试在总费用最小的条件下确定各个项目的承包者。
要求：分别用匈牙利法和0-1规划(用Matlab)求解。
第4题线性规划(1) 某房地产公司有水泥100单位，木材160单位和玻璃400单位，用以建造A型和B型住宅。
建一栋A型住宅需要水泥、木材、玻璃分别为1，2，2单位，售价每栋100万元；建一栋B型住宅需要水泥、木材、玻璃分别为1，1，5单位，售价每栋150万元。
该公司如何安排两种住宅的建设，才能使总售价最大？要求：建立模型并用Matlab求解。
(2) 一贸易公司专门经营某商品的批发业务。
公司有库容5000单位的仓库。
1月1日，公司有库存1000单位，并有资金20000元，估计第1季度该商品价格如表所示。
如买进的商品当月到货，但需要下月才能卖出，且规定“货到付款”。
公司希望本季末库存为2000单位，问应采取什么样的买进卖出的策略可使3个月总的获利最大？要求：建立模型并用Matlab求解。
第5题图论(1) 用Matlab求下图中任意两点之间的最短路；(2) 分别用Kruskal算法和Prim算法求下图的最小生成树，并用Matlab验证。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2010-2011学年第二学期数学建模习题
1、通信卫星的覆盖面问题
当今信息时代的大量信息主要传递依靠地球同步轨道通信卫星来实现。
所谓地球同步轨道卫星就是指公转周期和地球自转周期相同的卫星，其特点是轨道倾角为0度，卫星在赤道上空运行，卫星运行的角速度与地球自转的角速度相同，所以从地面上看，卫星犹如固定在赤道上空某一点一样，即人们看到它在天空是不动的。
(１)问地球同步轨道卫星距地面的高度h应为多少？
(２)考虑到卫星信号是直线传播的，计算一颗通信卫星信号覆盖面积；
(３)欲使赤道上的所有点至少与一颗通信卫星保持联系，在赤道上空需布多少颗卫星？此时尚未被通信卫星所覆盖的地球表面有多少？
4．商业网点的布局问题
在某条1千米的长街上均匀居住着许多居民，有两个商人同时想在该长街开便利店（假设每个商人都是以最大售货量为目的）。
(1)如果所有的居民都习惯于到最近的便利店购买商品，问这两个商人会如何选择店面位置？
(2)如果每户居民仍然到最近的便利店购货，但购买数量与他们到便利店的距离有关（简单起见，假设Q=1-D，其中Q为购买量，D为居民与便利店的距离）。
此时两个商人会如何选择店面位置？
(3)如果居民是均匀地围绕一个圆形的湖泊居住且购买习惯不变，两个商人又会如何选择店面位置？进一步，若是三个商人开店，又会如何布局？
3、光线的极值问题
光的最短路径原理（即光沿最短路径行进）是古埃及托勒密王朝（公元前100年~公元100年）的希腊学者Helon 最早提出的。
我们知道，光在同种均匀介质中是沿直线传播的（A B →）。
当光遇
到水面、玻璃以及其他物体的表面时会发生反射。
右
图给出了平面镜反射（A O B →→）的图形，从图中
可以看出：反射定律（入射角α=反射角β）实际上
表明光从A 出发经O 反射到B 经过的是最短距离，这就是光的最短路径原理。
当光从一种介质射入到另一种介质时，传播方
向会发生偏折，这种现象叫做光的折射。
公元168
年数学家托勒密测量了光线在空气中的入射角α与
进入水中的折射角β的数据并列了一张表，很多人
希望通过研究这张表从而找出一个表达α，β关系
的数学式子，经历了1400多年，直到1621年才由荷兰数学家、物理学家Snell 完成了这一工作，他提出了Snell 折射定律（光的折射定律），即：
sin sin n n αβ=，——折射率
公元1657年，法国数学家Fermat 提出了折射现象中的最短时间原理。
由于光线在两种介质中的传播速度不同，“最短路程原理”此时应理解为“最短时间原理”，即以最短时间从一点到达另一点（A O B →→）。
请用函数的极值方法，结合最短时间原理验证光的折射定律。
4、船只追赶问题
众所周知，近年来索马里海盗猖獗,严重地影响了海上的交通与运输；日本船只多次进入我国海域进行侦查与排污；菲律宾、美国的船只不断在我国海域进行滋扰、侦查。
为维护国家对海域的主权，中国渔政船只已经开始正式对西沙群岛,北部湾海域等进行巡航。
(1).假设在巡航过程中发现了可疑船只,渔政船就锁定目标,而后对准目标穷追不舍,试建立模型追踪的路线及追赶的时间；
(2).如果发现可疑目标时,经测定该可疑船只虽在我国海域内但与公海垂直距离为s海里,为防止其逃跑并且考虑到我国渔政船的安全,试利用(1)的结果求渔政船追上该船的最小速度。