全国各地市中考数学模拟试题分类汇编 50新概念型问题

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中考数学模拟卷50题及答案

1.下列几何体的主视图和俯视图完全相同的是（）A. B. C. D.2.在⊙O中按如下步骤作图：（1）作⊙O的直径AD；（2）以点D为圆心，DO长为半径画弧，交⊙O于B，C两点；（3）连接DB，DC，AB，AC，BC.根据以上作图过程及所作图形，下列四个结论中错误的是（）A.∠ABD＝90°B.∠BAD＝∠CBDC.AD⊥BCD.AC＝2CD3.面对突如其来的疫情，全国广大医务工作者以白衣为战袍，义无反顾的冲在抗疫战争的一线，用生命捍卫人民的安全.据统计，全国共有346支医疗队，将近42600名医护工作者加入到支援湖北武汉的抗疫队伍，将42600用科学记数法表示为（）A.0.426×105B.4.26×104C.42.6×103D.426×1024.下列各数中比3大比4小的无理数是（）A. B. C.3.14159 D.﹣π5.如图，已知AB∥CD，AF交CD于点E，且BE⊥AF，∠BED ＝40°，则∠A的度数是（）A.40°B.50°C.80°D.90°6.如图，直线y＝kx+b分别交x轴、y轴于点A、C，直线y＝mx+n分别交x轴、y轴于点B、D，直线AC与直线BD相交于点M（﹣1，2），则不等式kx+b≤mx+n的解集为（）A.x≥﹣1B.x≤﹣1C.x≥2D.x≤27.如图，已知菱形ABCD的顶点A的坐标为（1，0），顶点B 的坐标为（4，4），若将菱形ABCD绕原点O逆时针旋转45°称为1次变换，则经过2020次变换后点C的坐标为（）A.（9，4）B.（4，﹣9）C.（﹣9，﹣4）D.（﹣4，﹣9）8.为了解某校初三400名学生的体重情况，从中抽取50名学生的体重进行分析.在这项调查中，下列说法正确的是（）A.400名学生中每位学生是个体B.400名学生是总体C.被抽取的50名学生是总体的一个样本D.样本的容量是509.据报道，2020年某市户籍人口中，60岁以上的老人有1230000人，预计未来五年该市人口“老龄化”还将提速.将1230000用科学记数法表示为（）A.12.3×105B.1.23×105C.0.12×106D.1.23×10610.下列计算错误的是（）A.（a3b）•（ab2）＝a4b3B.xy2﹣xy2＝xy2C.a5÷a2＝a3D.（﹣mn3）2＝m2n511.如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，OC交⊙O于点D，若∠ABD＝24°，则∠C的度数是（）A.48°B.42°C.34°D.24°12.下列各数中，最小的是（）A.πB.﹣3C.D.﹣13.如图，将一块三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，当∠1＝35°时，∠2的度数为（）A.35°B.45°C.55°D.65°14.下面计算正确的是（）A.3a﹣2a＝1B.2a2+4a2＝6a4C.（x3）2＝x5D.x8÷x2＝x615.不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A. B.C. D.16.如图，在平行四边形ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B、F为圆心，大于BF的长为半径画弧，两弧交于点P；连接AP并延长交BC于点E，连接EF.若四边形ABEF的周长为12，∠C＝60°，则四边形ABEF的面积是（）A.9B.12C.D.617.如图，在正方形ABCD中，顶点A（﹣1，0），C（1，2），点F是BC的中点，CD与y轴交于点E，AF与BE交于点G.将正方形ABCD绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，则第99次旋转结束时，点G的坐标为（）A.（，）B.（﹣，）C.（﹣，）D.（，﹣）18.如图，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝5，E为AB的中点，点F，G分别在CD，AD上，△EFG为等腰直角三角形，则四边形BCFE的面积为（）A.10B.9C.D.19.某篮球兴趣小组7名学生参加投篮比赛，每人投10个，投中的个数分别为：8，5，7，5，8，6，8，则这组数据的众数和中位数分别为（）A.8，7B.6，7C.8，5D.5，720.二次函数y1＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）的图象如图所示，若y1+y2＝2，则下列关于函数y2的图象与性质描述正确的是（）A.函数y2的图象开口向上B.函数y2的图象与x轴没有公共点C.当x＝1时，函数y2的值小于0D.当x＞2时，y2随x的增大而减小21.如图，在△ABC中，BC＞AB＞AC，D是边BC上的一个动点（点D不与点B、C重合），将△ABD沿AD折叠，点B落在点B'处，连接BB'，B'C，若△BCB'是等腰三角形，则符合条件的点D的个数是（）A.0个B.1个C.2个D.3个22.将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，BE，EG，FG为折痕，若顶点A，C，D都落在点O处，且点B，O，G在同一条直线上，同时点E，O，F在另一条直线上，则的值为（）A. B. C. D.23.如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣3，0），其对称轴为直线x＝﹣，结合图象分析下列结论：①abc＞0；②3a+c＞0；③当x＜0时，y随x的增大而增大；④一元二次方程cx2+bx+a＝0的两根分别为x1＝﹣，x2＝；⑤＜0；⑥若m，n（m＜n）为方程a（x+3）（x﹣2）+3＝0的两个根，则m＜﹣3且n＞2，其中正确的结论有（）A.3个B.4个C.5个D.6个24.如图，矩形OABC的顶点O（0，0），B（﹣2，2），若矩形绕点O逆时针旋转，每秒旋转60°，则第2017秒时，矩形的对角线交点D的坐标为（）A.（﹣1，）B.（﹣1，﹣3）C.（﹣2，0）D.（1，﹣3）25.如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝6，点E、F是BC的三等分点，连接AF，DE，相交于点M，则线段ME的长为.26.我国古代数学著作《孙子算经》中记载了这样一个有趣的数学问题“今有五等诸侯，共分橘子60颗，人别加三颗，问五人各得几何？”题目大意是：诸侯5人，共同分60个橘子，若后面的人总比前一个人多分3个，问每个人各分得多少个橘子？若设中间的那个人分得x个，依题意可列方程得.27.若关于x的一元二次方程ax2+2ax+4﹣m＝0有两个相等的实数根，则a+m﹣3的值为.28.如图，已知⊙O的半径为6，点A、B在⊙O上，∠AOB＝60°，动点C在⊙O上（与A、B两点不重合），连接BC，点D是BC中点，连接AD，则线段AD的最大值为.29.不等式组的整数解是.30.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABOC的顶点O在坐标原点，边BO在x轴的负半轴上，∠BOC＝60°，顶点C的坐标为（m，3），反比例函数y＝的图象与菱形对角线AO交于点D，连接BD，当BD⊥x轴时，k的值是.31.计算：2cos30°﹣﹣（）﹣2＝.32.如图，正方形ABCD的边长为4，连接AC，先以A为圆心，AB的长为半径作弧BD，再以A为圆心、AC的长为半径作弧CE，且A、D、E三点共线，则图中两个阴影部分的面积之和是.33.如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，C是OA的中点，D 是的中点，连接CD、CB.若OA＝2，则阴影部分的面积为.（结果保留π）34.如图，在△ABC中，AB＝AC＝，∠B＝30°，D是BC上一点，连接AD，把△ABD沿直线AD折叠，点B落在B′处，连接B'C，若△AB'C是直角三角形，则BD的长为.35.如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2交x轴于点A，交y轴于点A1，若图中阴影部分的三角形都是等腰直角三角形，则从左往右数第5个阴影三角形的面积是，第2019个阴影三角形的面积是.36.如图，点A在反比例函数y1＝（x＞0）的图象上，点B在反比例函数y2＝（x＜0）的图象上，AB⊥y轴，若△AOB的面积为2，则k的值为.37.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，点D是BC上一动点，连接AD，将△ACD沿AD折叠，点C落在点C'，连接C'D交AB于点E，连接BC'.当△BC'D是直角三角形时，DE的长为.38.如图，点C是以点O为圆心，AB为直径的半圆上的动点（不与点A，B重合），AB＝6cm，过点C作CD⊥AB于点D，E是CD的中点，连接AE并延长交于点F，连接FD.小腾根据学习函数的经验，对线段AC，CD，FD的长度之间的关系进行了探究.下面是小腾的探究过程，请补充完整：（1）对于点C在上的不同位置，画图、测量，得到了线段AC ，CD ，FD 的长度的几组值，如表：位置1 位置2 位置3 位置4 位置5 位置6 位置7 位置8AC /cm 0.1 0.5 1.0 1.9 2.6 3.2 4.2 4.9CD /cm 0.1 0.5 1.0 1.8 2.2 2.5 2.3 1.0FD /cm 0.2 1.0 1.8 2.8 3.0 2.7 1.8 0.5在AC ，CD ，FD 的长度这三个量中，确定的长度是自变量，的长度和的长度都是这个自变量的函数；（2）在同一平面直角坐标系xOy 中，画出（1）中所确定的函数的图象；（3）结合函数图象，解答问题：当CD ＞DF 时，AC 的长度的取值范围是 .39.如图，AB 是⊙O 的直径，NM 与⊙O 相切于点M ，与AB的延长线交于点N，MH⊥AB于点H.（1）求证：∠1＝∠2；（2）若∠N＝30°，BN＝5，求⊙O的半径；（3）在（2）的条件下，求线段BN、MN及劣弧BM围成的阴影部分面积.40.先化简，再求值：•÷，其中x、y满足＝2.41.（1）发现如图1，△ABC和△ADE均为等边三角形，点D在BC边上，连接CE.填空：①∠DCE的度数是；②线段CA、CE、CD之间的数量关系是.（2）探究如图2，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE ＝90°，点D在BC边上，连接CE.请判断∠DCE的度数及线段CA、CE、CD之间的数量关系，并说明理由.（3）应用如图3，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AC＝4，AB＝6.若点D满足DB＝DC，且∠BDC＝90°，请直接写出DA的长.42.如图，直线y＝﹣2x+c交x轴于点A（3，0），交y轴于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B.（1）求抛物线的解析式；（2）点M（m，0）是线段OA上一动点（点M不与点O，A 重合），过点M作y轴的平行线，交直线AB于点P，交抛物线于点N，若NP＝AP，求m的值；（3）若抛物线上存在点Q，使∠QBA＝45°，请直接写出相应的点Q的坐标.43.如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3过A（1，0），B（﹣3，0），直线AD交抛物线于点D，点D的横坐标为﹣2，点P（m，n）是线段AD上的动点.（1）求直线AD及抛物线的解析式；（2）过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q，求线段PQ 的长度l与m的关系式，m为何值时，PQ最长？（3）在平面内是否存在整点（横、纵坐标都为整数）R，使得P，Q，D，R为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点R的坐标；若不存在，说明理由.44.如图，兰兰站在河岸上的G点，看见河里有一只小船沿垂直于岸边的方向划过来，此时，测得小船C的俯角是∠FDC ＝30°，若兰兰的眼睛与地面的距离是1.5米，BG＝1米，BG 平行于AC所在的直线，迎水坡的坡度i＝4：3，坡高BE＝8米，求小船C到岸边的距离CA的长？（参考数据：≈1.7，结果保留一位小数）45.如图，点O是线段AH上一点，AH＝3，以点O为圆心，OA的长为半径作⊙O，过点H作AH的垂线交⊙O于C，N 两点，点B在线段CN的延长线上，连接AB交⊙O于点M，以AB，BC为边作▱ABCD.（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若OH＝AH，求四边形AHCD与⊙O重叠部分的面积；（3）若NH＝AH，BN＝，连接MN，求OH和MN的长.46.某商店购进A、B两种商品，购买1个A商品比购买1个B 商品多花10元，并且花费300元购买A商品和花费100元购买B商品的数量相等.（1）求购买一个A商品和一个B商品各需要多少元；（2）商店准备购买A、B两种商品共80个，若A商品的数量不少于B商品数量的4倍，并且购买A、B商品的总费用不低于1000元且不高于1050元，那么商店有哪几种购买方案？47.如图1，在矩形ABCD中，BC＝3，动点P从B出发，以每秒1个单位的速度，沿射线BC方向移动，作△P AB关于直线P A的对称△P AB′，设点P的运动时间为t（s）.（1）若AB＝2.①如图2，当点B′落在AC上时，显然△P AB′是直角三角形，求此时t的值；②是否存在异于图2的时刻，使得△PCB′是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的t的值？若不存在，请说明理由.（2）当P点不与C点重合时，若直线PB′与直线CD相交于点M，且当t＜3时存在某一时刻有结论∠P AM＝45°成立，试探究：对于t＞3的任意时刻，结论“∠P AM＝45°”是否总是成立？请说明理由.48.如图，在△ABC中，∠B＝60°，⊙O是△ABC的外接圆，过点A作⊙O的切线，交CO的延长线于点M，CM交⊙O于点D.（1）求证：AM＝AC；（2）填空：①若AC＝3，MC＝；②连接BM，当∠AMB的度数为时，四边形AMBC是菱形.49.如图1，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，点D在AC 上，DE⊥AB于E，连接BD，点F是BD的中点，连接EF，CF.（1）EF和CF的数量关系为；（2）如图2，若△ADE绕着点A旋转，当点D落在AB上时，小明通过作△ABC和△ADE斜边上的中线CM和EN，再利用全等三角形的判定，得到了EF和CF的数量关系，请写出此时EF和CF的数量关系；（3）若△AED继续绕着点A旋转到图3的位置时，EF和CF 的数量关系是什么？写出你的猜想，并给予证明.50.如图，直线y＝x﹣4与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线y＝x2+bx+c经过A，B两点，与x轴的另一交点为C，连接BC.（1）求抛物线的解析式；（2）点M在抛物线上，连接MB，当∠MBA+∠CBO＝45°时，求点M的横坐标；（3）点P从点C出发，沿线段CA由C向A运动，同时点Q 从点B出发沿线段BC由B向C运动，P，Q的运动速度都是每秒1个单位长度，当Q点到达C点时，P，Q同时停止运动，问在坐标平面内是否存在点D，使P，Q运动过程中的某些时刻t，以C，D，P，Q为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出t的值；若不存在，说明理由.参考答案1．D；2．D；3．B；4．A；5．B；6．B；7．C；8．D；9．D；10．D；11．B；12．B；13．C；14．D；15．A；16．C；17．B；18．D；19．A；20．D；21．C；22．B；23．C；24．C；25．；26．（x﹣6）+（x﹣3）+x+（x+3）+（x+6）＝60；27．1；28．3；29．﹣1，0，1；30．﹣12；31．﹣2﹣4；32．6π﹣8；33．+﹣1；34．或；35．29；24037；36．﹣3；37．3或；详细解析1.【解答】A、圆锥的主视图是等腰三角形，俯视图是圆，故A选项不合题意；B、圆柱主视图是矩形，俯视图是圆，故B选项不合题意；C、三棱柱主视图是一行两个矩形，俯视图是三角形，故C选项不合题意；D、正方体主视图和俯视图都为正方形，故D选项符合题意；故选：D.2.【解答】根据作图过程可知：AD是⊙O的直径，∴∠ABD＝90°，∴A选项正确；∵BD＝CD，∴＝，∴∠BAD＝∠CBD，∴B选项正确；根据垂径定理，得AD⊥BC，∴C选项正确；∵DC＝OD，∴AD＝2CD，∴D选项错误.故选：D.3.【解答】将数据42600用科学记数法可表示为：4.26×104. 故选：B.4.【解答】3＝，4＝，A、是比3大比4小的无理数，故此选项符合题意；B、比4大的无理数，故此选项不合题意；C、3.14159是有理数，故此选项不合题意；D、﹣π是比﹣3小比﹣4大的无理数，故此选项不符合题意；故选：A.5.【解答】∵BE⊥AF，∠BED＝40°，∴∠FED＝50°，∵AB∥CD，∴∠A＝∠FED＝50°.故选：B.6.【解答】根据函数图象，当x≤﹣1时，kx+b≤mx+n，所以不等式kx+b≤mx+n的解集为x≤﹣1.故选：B.7.【解答】∵360°÷45°＝8，∴菱形ABCD绕原点O逆时针旋转8次变换为一次循环，∵2020÷8＝252…4，∴4×45＝180°，∴经过2020次变换后点C的坐标处于点C绕原点逆时针旋转180°的位置.∵顶点A的坐标为（1，0），顶点B的坐标为（4，4），∴AB＝＝5，∵四边形ABCD是菱形，∴BC∥AD，BC＝AB＝5，∴C（9，4），∴经过2020次变换后点C的坐标为（﹣9，﹣4）.故选：C.8.【解答】A.400名学生中每位学生的体重是个体，故本选项不合题意；B.400名学生的体重是总体，故本选项不合题意；C.被抽取的50名学生的体重是总体的一个样本，故本选项不合题意；D.样本的容量是50，符号题意；故选：D.9.【解答】将1230000用科学记数法表示为1.23×106.故选：D.10.【解答】解：选项A，单项式×单项式，（a3b）•（ab2）＝a3•a•b•b2＝a4b3，原计算正确，故此选项不符合题意；选项B，合并同类项，xy2﹣xy2＝xy2﹣xy2＝xy2，原计算正确，故此选项不符合题意；选项C，同底数幂的除法，a5÷a2＝a5﹣2＝a3，原计算正确，故此选项不符合题意；选项D，积的乘方，（﹣mn3）2＝m2n6，原计算错误，故此选项符合题意；故选：D.11.【解答】∵∠ABD＝24°，∴∠AOC＝48°，∵AC是⊙O的切线，∴∠OAC＝90°，∴∠AOC+∠C＝90°，∴∠C＝90°﹣48°＝42°，故选：B.12.【解答】∵﹣＝﹣2，π＞＞﹣＞﹣3，∴这些数中最小的是：﹣3.故选：B.13.【解答】∵直尺的两边互相平行，∠1＝35°，∴∠3＝35°.∵∠2+∠3＝90°，∴∠2＝55°.故选：C.14.【解答】∵3a﹣2a＝a，故选项A错误；∵2a2+4a2＝6a2，故选项B错误；∵（x3）2＝x6，故选项C错误；∵x8÷x2＝x6，故选项D正确；故选：D.15.【解答】解不等式3x＜2x+2，得：x＜2，解不等式﹣x≤1，得：x≥﹣1，则不等式组的解集为﹣1≤x＜2，故选：A.16.【解答】由作法得AE平分∠BAD，AB＝AF，则∠1＝∠2，∵四边形ABCD为平行四边形，∴BE∥AF，∠BAF＝∠C＝60°，∴∠2＝∠BEA，∴∠1＝∠BEA＝30°，∴BA＝BE，∴AF＝BE，∴四边形AFEB为平行四边形，△ABF是等边三角形，而AB＝AF，∴四边形ABEF是菱形；∴BF⊥AE，AG＝EG，∵四边形ABEF的周长为12，∴AF＝BF＝AB＝3，在Rt△ABG中，∠1＝30°，∴BG＝AB＝1.5，AG＝BG＝，∴AE＝2AG＝3，∴菱形ABEF的面积＝BF×AE＝×3×3＝；故选：C.17.【解答】∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝2，∠C＝∠ABF＝90°，∵点F是BC的中点，CD与y轴交于点E，∴CE＝BF＝1，∴△ABF≌△BCE（SAS），∴∠BAF＝∠CBE，∵∠BAF+∠BF A＝90°，∴∠FBG+∠BFG＝90°，∴∠BGF＝90°，∴BE⊥AF，∵AF＝＝＝，∴BG＝＝，过G作GH⊥AB于H，∴∠BHG＝∠AGB＝90°，∵∠HBG＝∠ABG，∴△ABG∽△GBH，∴，∴BG2＝BH•AB，∴BH＝＝，∴OH＝，∵OG＝AB＝1，∴HG＝＝，∴G（，），∵将正方形ABCD绕点O顺时针每次旋转90°，∴第一次旋转90°后对应的G点的坐标为（，﹣），第二次旋转90°后对应的G点的坐标为（﹣，﹣），第三次旋转90°后对应的G点的坐标为（﹣，），第四次旋转90°后对应的G点的坐标为（，），…，∵99＝4×24+3，∴每4次一个循环，第99次旋转结束时，相当于正方形ABCD 绕点O顺时针旋转3次，∴第99次旋转结束时，点G的坐标为（﹣，）.故选：B.18.【解答】∵△GEF为等腰直角三角形，∴GE＝GF，∠EGF＝90°，∴∠AGE+∠DGF＝90°，∵∠AEG+∠AGE＝90°，∴∠AEG＝∠DGF，∴△AEG≌△DGF（AAS），∴AE＝GD，AG＝DF，∵AB＝4，AD＝5，E为AB的中点，∴DG＝AE＝2，AG＝DF＝AD﹣DG＝3，∴CF＝CD﹣DF＝4﹣3＝1，∴S＝（2+1）×5＝，四边形BCFE故选：D.19.【解答】这组数据中出现次数最多的是8，出现了3次，故众数为8，这组数据重新排列为5、5、6、7、8、8、8，故中位数为7.故选：A.20.【解答】∵y1＝ax2+bx+c，y1+y2＝2，∴y2＝2﹣y1，∴函数y2的图象是函数y1的图象关于x轴对称，然后再向上平移2个单位长度得到的，∴函数y2的图象开口向下，故选项A错误；函数y2的图象与x轴有两个交点，故选项B错误；当x＝1时，函数y2的值大于0，故选项C错误；当x＞2时，y随x的增大而减小，故选项D正确；故选：D.21.【解答】如图1，当BB′＝B′C时，△BCB'是等腰三角形，如图2，当BC＝BB′时，△BCB'是等腰三角形，故若△BCB'是等腰三角形，则符合条件的点D的个数是2，故选：C.22.【解答】由折叠可得，AE＝OE＝DE，CG＝OG＝DG，∴E，G分别为AD，CD的中点，设CD＝2a，AD＝2b，则AB＝2a＝OB，DG＝OG＝CG＝a，BG＝3a，BC＝AD＝2b，∵∠C＝90°，∴Rt△BCG中，CG2+BC2＝BG2，即a2+（2b）2＝（3a）2，∴b2＝2a2，即b＝a，∴，∴的值为，故选：B.23.【解答】∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣3，0），其对称轴为直线x＝﹣∴抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣3，0）和（2，0），且a＝b由图象知：a＜0，c＞0，b＜0∴abc＞0故结论①正确；∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣3，0）∴9a﹣3b+c＝0∵a＝b∴c＝﹣6a∴3a+c＝﹣3a＞0故结论②正确；∵当x＜﹣时，y随x的增大而增大；当﹣＜x＜0时，y随x 的增大而减小∴结论③错误；∵cx2+bx+a＝0，c＞0∴x2+x+1＝0∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣3，0）和（2，0）∴ax2+bx+c＝0的两根是﹣3和2∴＝1，＝﹣6∴x2+x+1＝0即为：﹣6x2+x+1＝0，解得x1＝﹣，x2＝；故结论④正确；∵当x＝﹣时，y＝＞0∴＜0故结论⑤正确；∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（﹣3，0）和（2，0），∴y＝ax2+bx+c＝a（x+3）（x﹣2）∵m，n（m＜n）为方程a（x+3）（x﹣2）+3＝0的两个根∴m，n（m＜n）为方程a（x+3）（x﹣2）＝﹣3的两个根∴m，n（m＜n）为函数y＝a（x+3）（x﹣2）与直线y＝﹣3的两个交点的横坐标结合图象得：m＜﹣3且n＞2故结论⑥成立；故选：C.24.【解答】∵矩形OABC的顶点O（0，0），B（﹣2，2），∴D（﹣1，），过D作DE⊥x轴于点E，则OE＝1，DE＝，∴，tan∠DOE＝，∴∠DOE＝60°，∵60°×2017÷360°＝336，∵，又∵旋转336周时，D点刚好回到起始位置，∴第2017秒时，矩形绕点O逆时针旋转336周，此时D点在x轴负半轴上，∴此时D点的坐标为（﹣2，0），故选：C.25.【解答】∵矩形ABCD中，AB＝3，BC＝6，点E、F是BC 的三等分点，∴CE＝4，CD＝3，EF＝2，AD＝6，∴Rt△CDE中，DE＝＝5，∵AD∥EF，∴△ADM∽△FEM，∴＝，即＝，∴EM＝DE＝，故答案为：.26.【解答】设中间的那个人分得x个，由题意得：（x﹣6）+（x﹣3）+x+（x+3）+（x+6）＝60，故答案为：（x﹣6）+（x﹣3）+x+（x+3）+（x+6）＝60. 27.【解答】∵关于x的一元二次方程ax2+2ax+4﹣m＝0有两个相等的实数根，∴△＝b2﹣4ac＝4a（a﹣4+m）＝0，∵a≠0，∴a﹣4+m＝0，∴a+m＝4，∴a+m﹣3＝4﹣3＝1.故答案为：1.28.【解答】如图1，连接OC，Q取OB的中点E，连接DE. 则OE＝EB＝OB＝3.在△OBC中，DE是△OBC的中位线，∴DE＝OC＝3，∴EO＝ED＝EB，即点D是在以E为圆心，2为半径的圆上，∴求AD的最大值就是求点A与⊙E上的点的距离的最大值，如图2，当D在线段AE延长线上时，AD取最大值，∵OA＝OB＝6，∠AOB＝60°，OE＝EB，∴AE＝3，DE＝3，∴AD取最大值为3+3.故答案为3.29.【解答】解不等式x+1≥0，得：x≥﹣1，解不等式2﹣x＞0，得：x＜2，则不等式组的解集为﹣1≤x＜2，所以不等式组的整数解为﹣1、0、1，故答案为：﹣1、0、1.30.【解答】延长AC交y轴于E，如图，∵菱形ABOC的顶点O在坐标原点，边BO在x轴的负半轴上，∴AC∥OB，∴AE⊥y轴，∵∠BOC＝60°，∴∠COE＝30°，而顶点C的坐标为（m，3），∴OE＝3，∴CE＝OE＝3，∴OC＝2CE＝6，∵四边形ABOC为菱形，∴OB＝OC＝6，∠BOA＝30°，在Rt△BDO中，∵BD＝OB＝2，∴D点坐标为（﹣6，2），∵反比例函数y＝的图象经过点D，∴k＝﹣6×2＝﹣12.故答案为﹣12.31.【解答】原式＝2×﹣3﹣4＝﹣3﹣4＝﹣2﹣4，故答案为：﹣2﹣4.32.【解答】∵正方形ABCD的边长为4，∴AB＝BC＝4，∠ABC＝90°，∴AC＝4，∠EAC＝∠CAB＝45°，∴图中阴影部分的面积是：+[]＝6π﹣8，故答案为：6π﹣8.33.【解答】连接OD，过D作DH⊥OA于H，∵∠AOB＝90°，D是的中点，∴∠AOD＝∠BOD＝45°，∵OD＝OA＝2，∴DH＝OC＝，∵C是OA的中点，∴OC＝1，∴阴影部分的面积＝S+S△CDO﹣S△BCO＝+×1﹣扇形DOB＝+﹣1，故答案为：+﹣1.34.【解答】如图1中，当点B′在直线BC的下方∠CAB′＝90°时，作AF⊥BC于F.∵AB＝AC＝，∴∠B＝∠ACB＝30°，∴∠BAC＝120°，∵∠CAB′＝90°，∴∠BAB′＝30°，∴∠DAB＝∠DAB′＝15°，∴∠ADC＝∠B+∠DAB＝45°，∵AF⊥DF，∴AD＝DF＝AB•sin30°＝，BF＝AF＝，∴BD＝BF﹣DF＝.如图2中，当点B′在直线BC的上方∠CAB′＝90°时，可得∠ADB＝45°，AF＝DF＝，BD＝BF+FD＝，综上所述，满足条件的BD的值时.故答案为或.35.【解答】当x＝0时，y＝x+2＝2，∴OA1＝OB1＝2；当x＝2时，y＝x+2＝4，∴A2B1＝B1B2＝4；当x＝2+4＝6时，y＝x+2＝8，∴A3B2＝B2B3＝8；当x＝6+8＝14时，y＝x+2＝16，∴A4B3＝B3B4＝16.∴A n+1B n＝B n B n+1＝2n+1，∴S n+1＝×（2n+1）2＝22n+1.当n＝4时，S5＝22×4+1＝29；当n＝2018时，S2019＝22×2018+1＝24037.故答案为：29，24037；36.【解答】设点A坐标（a，）∵点B在反比例函数y2＝（x＜0）的图象上，AB⊥y轴，∴∴x＝ak∴点B（ak，）∵△AOB的面积为2∴（a﹣ak）×＝2∴1﹣k＝4∴k＝﹣3故答案为：﹣337.【解答】如图所示；点E与点C′重合时.在Rt△ABC中，BC＝＝＝8，由翻折的性质可知；AE＝AC＝6、DC＝DE.则EB＝10﹣6＝4. 设DC＝ED＝x，则BD＝8﹣x.在Rt△DBE中，DE2+BE2＝DB2，即x2+42＝（8﹣x）2.解得x＝3，如图所示：∠EDB＝90时，由翻折的性质可知：AC＝AC′，∠C＝∠C′＝90°.∵∠C＝∠C′＝∠CDC′＝90°，∴四边形ACDC′为矩形.又∵AC＝AC′，∴四边形ACDC′为正方形.∴CD＝AC＝6.∴DB＝BC﹣DC＝8﹣6＝2.∵DE∥AC，∴△BDE∽△BCA.＝，即，解得DE＝，点D在CB上运动，∠DBC′＜90°，（假设∠DBC′≥90°，则AC′≥BD，这个显然不可能，故∠DBC′＜90°），故∠DBC′不可能为直角.故答案为3或.38.【解答】（1）由题意可知：AC是自变量，CD，DF是自变量AC的函数.故答案为：AC，CD，FD.（2）函数图象如图所示：（3）观察图象可知CD＞DF时，3.5cm＜x＜5cm. 故答案为：3.5cm＜x＜5cm.39.【解答】（1）证明：连接OM，∵NM与⊙O相切，∴OM⊥MN，∵OB＝OM，∴∠OBM＝∠OMB，∵NH⊥AB，∴∠2+∠MBO＝90°，∵∠1+∠BMO＝∠NMO＝90°，∴∠1＝∠2；（2）∵∠N＝30°，MH⊥AB，∴∠1+∠2＝60°，∴∠1＝∠2＝30°，∠MON＝60°，∴BM＝BN＝5，∵OB＝OM，∴△OBM为等边三角形，∴OB＝OM＝BM＝5，即⊙O的半径为5；（3）由（2）知，∠N＝30°，OM＝5，∴MN＝5，∴S△OMN＝MN•OM＝＝，S扇形MOB＝＝，∴线段BN、MN及劣弧BM围成的阴影部分面积＝S△OMN﹣S＝﹣.扇形MOB40.【解答】•÷＝＝，＝1+，当＝2时，原式＝1+2＝3.41.【解答】（1）发现解：①∵在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝60°，∴∠BAC＝∠DAE＝60°，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ACE＝∠B＝60°，∴∠DCE＝∠ACE+∠ACB＝60°+60°＝120°；故答案为：120°，②∵△BAD≌△CAE，∴BD＝CE，∴BC＝BD+CD＝EC+CD，∴CA＝BC＝CE+CD；故答案为：CA＝CE+CD.（2）探究∠DCE＝90°；CA＝CD+CE.理由：∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE.∴△BAD≌△CAE（SAS）.∴BD＝CE，∠B＝∠ACE＝45°.∴∠DCE＝∠ACB+∠ACE＝90°.在等腰直角三角形ABC中，CB＝CA，∵CB＝CD+DB＝CD+CE，∴CA＝CD+CE.（3）应用DA＝5或.作DE⊥AB于E，连接AD，∵在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝4，∠BAC＝90°，∴BC＝＝＝2，∵∠BDC＝90°，DB＝DC，∴DB＝DC＝，∠BCD＝∠CBD＝45°，∵∠BDC＝∠BAC＝90°，∴点B，C，A，D四点共圆，∴∠DAE＝45°，∴△ADE是等腰直角三角形，∴AE＝DE，∴BE＝6﹣DE，∵BE2+DE2＝BD2，∴DE2+（6﹣DE）2＝26，∴DE＝1，DE＝5，∴AD＝或AD＝5.42.【解答】（1）∵y＝﹣2x+c与x轴交于点A（3，0），与y 轴交于点B，∴﹣2×3+c＝0，解得c＝6，∴B（0，6），∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B，∴，解得，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+6.（2）由点M（m，0），得点P（m，﹣2m+6），点N（m，﹣m2+m+6），∴NP＝﹣m2+3m.在Rt△OAB中，AB＝＝3，∵MP∥y轴，∴△APM∽△ABO，∴，即，∴AP＝（3﹣m），∵NP＝AP，∴﹣m2+3m＝×（3﹣m），解得：m＝或3（舍去3），∴m＝.（3）点Q的坐标为（，）或（﹣2，0）.①当点Q在AB上方时，。

2020年中考数学试题分类汇编：新概念规律类题(含答案解析)

2020年中考数学试题分类汇编：新概念规律类题一、选择题1.（2020河南）定义运算：21m n mn mn =--☆．例如2:42424217=⨯-⨯-=☆．则方程10x =☆的根的情况为（） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根【答案】A【详解】解：根据定义得：2110,x x x =--=☆1,1,1,a b c ==-=-()()22414115b ac ∴∆=-=--⨯⨯-=＞0, ∴ 原方程有两个不相等的实数根，故选.A2.（2020湖北武汉）下列图中所有小正方形都是全等的．图（1）是一张由4个小正方形组成的“L ”形纸片，图（2）是一张由6个小正方形组成的32⨯方格纸片．把“L ”形纸片放置在图（2）中，使它恰好盖住其中的4个小正方形，共有如图（3）中的4种不同放置方法，图（4）是一张由36个小正方形组成的66⨯方格纸片，将“L ”形纸片放置在图（4）中，使它恰好盖住其中的4个小正方形，共有n 种不同放置方法，则n 的值是（）A. 160B. 128C. 80D. 48解：由图可知，在66⨯方格纸片中，32⨯方格纸片的个数为5420⨯=（个）则20480n =⨯= 故选：C ．3.（2020重庆A 卷）把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个黑色③②①三角形，第①个图案中有3个黑色三角形，第①个图案中有6个黑色三角形，…，按此规律排列下去，则第①个图案中黑色三角形的个数为（）A. 10B. 15C. 18D. 21解：∵第①个图案中黑色三角形的个数为1，第①个图案中黑色三角形的个数3＝1+2，第①个图案中黑色三角形的个数6＝1+2+3， ……∴第①个图案中黑色三角形的个数为1+2+3+4+5＝15，故选：B ．4.（2020重庆B 卷）下列图形都是由同样大小的实心圆点按一定规律组成的，其中第①个图形一共有5个实心圆点，第②个图形一共有8个实心圆点，第③个图形一共有11个实心圆点，⋯，按此规律排列下去，第⑥个图形中实心圆点的个数为（）A.18B. 19C.20D.21 答案C.5．(2020山东枣庄)（3分）对于实数a 、b ，定义一种新运算“⊗”为：21a b a b =-⊗，这里等式右边是实数运算．例如：21113138==--⊗．则方程2(2)14x x -=--⊗的解是( ) A ．4x = B ．5x = C ．6x = D．7x =【解答】解：根据题意，得12144x x =---，去分母得：12(4)x =--，解得：5x =，经检验5x =是分式方程的解．故选：B ．6．（3分）（2020•常德）如图，将一枚跳棋放在七边形ABCDEFG 的顶点A 处，按顺时针方向移动这枚跳棋2020次．移动规则是：第k 次移动k 个顶点（如第一次移动1个顶点，跳棋停留在B 处，第二次移动2个顶点，跳棋停留在D 处），按这样的规则，在这2020次移动中，跳棋不可能停留的顶点是（）A ．C 、EB ．E 、FC ．G 、C 、ED ．E 、C 、F【解答】解：经实验或按下方法可求得顶点C ，E 和F 棋子不可能停到．设顶点A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 分别是第0，1，2，3，4，5，6格，因棋子移动了k 次后走过的总格数是1+2+3+…+k =12k （k +1），应停在第12k （k +1）﹣7p格，这时P 是整数，且使0≤12k （k +1）﹣7p ≤6，分别取k ＝1，2，3，4，5，6，7时，12k （k +1）﹣7p ＝1，3，6，3，1，0，0，发现第2，4，5格没有停棋，若7＜k ≤2020，设k ＝7+t （t ＝1，2，3）代入可得，12k （k +1）﹣7p ＝7m +12t （t +1），由此可知，停棋的情形与k ＝t 时相同，故第2，4，5格没有停棋，即顶点C ，E 和F 棋子不可能停到．故选：D ．7．（3分）（2020•烟台）如图，△OA 1A 2为等腰直角三角形，OA 1＝1，以斜边OA 2为直角边作等腰直角三角形OA 2A 3，再以OA 3为直角边作等腰直角三角形OA 3A 4，…，按此规律作下去，则OA n 的长度为（）A ．（√2）nB ．（√2）n ﹣1C ．（√22）nD ．（√22）n ﹣1【解答】解：∵△OA 1A 2为等腰直角三角形，OA 1＝1，∴OA2=√2；∵△OA2A3为等腰直角三角形，∴OA3＝2=(√2)2；∵△OA3A4为等腰直角三角形，∴OA4＝2√2=(√2)3．∵△OA4A5为等腰直角三角形，∴OA5＝4=(√2)4，……∴OA n的长度为（√2）n﹣1．故选：B．8．（2020云南）（4分）按一定规律排列的单项式：a，﹣2a，4a，﹣8a，16a，﹣32a，…，第n个单项式是（）A．（﹣2）n﹣1a B．（﹣2）n a C．2n﹣1a D．2n a解：∵a＝（﹣2）1﹣1a，﹣2a＝（﹣2）2﹣1a，4a＝（﹣2）3﹣1a，﹣8a＝（﹣2）4﹣1a，16a＝（﹣2）5﹣1a，﹣32a＝（﹣2）6﹣1a，…由上规律可知，第n个单项式为：（﹣2）n﹣1a．选：A．二、填空题9.（2020江西）公元前2000年左右，古巴比伦人使用的楔形文字中有两个符号（如图所示），一个钉头形代表1，一个尖头形代表10，在古巴比伦的记数系统中，人们使用的标记方法和我们当今使用的方法相同，最右边的数字代表个位，然后是十位，百位，根据符号记数的方法，右下面符号表示一个两位数，则这个两位数是．【解析】依题意可得，有两个尖头表示20102=⨯，有5个丁头表示15⨯，故这个两位数为2510．（2020贵州黔西南）（3分）如图，是一个运算程序的示意图，若开始输入x 的值为625，则第2020次输出的结果为 1 ．【分析】依次求出每次输出的结果，根据结果得出规律，即可得出答案．【解答】解：当x ＝625时，15x ＝125，当x ＝125时，15x ＝25，当x ＝25时，15x ＝5，当x ＝5时，15x ＝1，当x ＝1时，x +4＝5，当x ＝5时，15x ＝1，…依此类推，以5，1循环，（2020﹣2）÷2＝1010，即输出的结果是1，故答案为：111．（2020贵州黔西南）（3分）如图图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有3个菱形，第②个图形中一共有7个菱形，第③个图形中一共有13个菱形，…，按此规律排列下去，第⑦个图形中菱形的个数为 57 ．【解答】解：第①个图形中一共有3个菱形，即2+1×1＝3；第②个图形中一共有7个菱形，即3+2×2＝7；第③个图形中一共有13个菱形，即4+3×3＝13；…，按此规律排列下去，所以第⑦个图形中菱形的个数为：8+7×7＝57．故答案为：57．12．（2020齐齐哈尔）（（3分）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形①沿x轴正半轴滚动并且按一定规律变换，每次变换后得到的图形仍是等腰直角三角形．第一次滚动后点A1（0，2）变换到点A2（6，0），得到等腰直角三角形②；第二次滚动后点A2变换到点A3（6，0），得到等腰直角三角形③；第三次滚动后点A3变换到点A4（10，4√2），得到等腰直角三角形④；第四次滚动后点A4变换到点A5（10+12√2，0），得到等腰直角三角形⑤；依此规律…，则第2020个等腰直角三角形的面积是22020．【解答】解：∵点A1（0，2），∴第1个等腰直角三角形的面积=12×2×2=2，∵A2（6，0），∴第2个等腰直角三角形的边长为√2=2√2，∴第2个等腰直角三角形的面积=12×2√2×2√2=4＝22，∵A4（10，4√2），∴第3个等腰直角三角形的边长为10﹣6＝4， ∴第3个等腰直角三角形的面积=12×4×4=8＝23， …则第2020个等腰直角三角形的面积是22020；故答案为：22020（形式可以不同，正确即得分）．13.(2020甘肃定西）已知5y x =+，当x 分别取1，2，3，…，2020时，所对应y 值的总和是_________. 答案：203214．（2020辽宁抚顺）（3分）如图，四边形ABCD 是矩形，延长DA 到点E ，使AE ＝DA ，连接EB ，点F 1是CD 的中点，连接EF 1，BF 1，得到△EF 1B ；点F 2是CF 1的中点，连接EF 2，BF 2，得到△EF 2B ；点F 3是CF 2的中点，连接EF 3，BF 3，得到△EF 3B ；…；按照此规律继续进行下去，若矩形ABCD 的面积等于2，则△EF n B 的面积为．（用含正整数n 的式子表示）解：∵AE ＝DA ，点F 1是CD 的中点，矩形ABCD 的面积等于2， ∴△EF 1D 和△EAB 的面积都等于1， ∵点F 2是CF 1的中点， ∴△EF 1F 2的面积等于，同理可得△EF n ﹣1F n 的面积为，∵△BCF n 的面积为2×÷2＝，∴△EF n B 的面积为2+1﹣1﹣﹣…﹣﹣＝2﹣（1﹣）＝．故答案为：．15．（2020内蒙古呼和浩特）（3分）“书法艺术课”开课后，某同学买了一包纸练习软笔书法，且每逢星期几写几张，即每星期一写1张，每星期二写2张，……，每星期日写7张，若该同学从某年的5月1日开始练习，到5月30日练习完后累积写完的宣纸总数过120张，则可算得5月1日到5月28日他共用宣纸张数为 112 ，并可推断出5月30日应该是星期几五、六、日．解：∵5月1日～5月30日共30天，包括四个完整的星期， ∴5月1日～5月28日写的张数为：4×＝112，若5月30日为星期一，所写张数为112+7+1＝120，若5月30日为星期二，所写张数为112+1+2＜120，若5月30日为星期三，所写张数为112+2+3＜120，若5月30日为星期四，所写张数为112+3+4＜120，若5月30日为星期五，所写张数为112+4+5＞120，若5月30日为星期六，所写张数为112+5+6＞120，若5月30日为星期日，所写张数为112+6+7＞120，故5月30日可能为星期五、六、日．故答案为：112；五、六、日．16．（2020黑龙江龙东）（3分）如图，直线AM 的解析式为1y x =+与x 轴交于点M ，与y 轴交于点A ，以OA 为边作正方形ABCO ，点B 坐标为(1,1)．过点B 作1EO MA ⊥交MA 于点E ，交x 轴于点1O ，过点1O 作x 轴的垂线交MA 于点1A ，以11O A 为边作正方形1111O A B C ，点1B 的坐标为(5,3)．过点1B 作12E O MA ⊥交MA 于1E ，交x 轴于点2O ，过点2O 作x 轴的垂线交MA 于点2A ．以22O A 为边作正方形2222O A B C ．⋯．则点2020B 的坐标 2020231⨯-，20203 ．解：点B 坐标为(1,1)， 11OA AB BC CO CO ∴=====，1(2,3)A ，111111123AO A B B C C O ∴====，1(5,3)B ∴，2(8,9)A ∴，222222239A O A B B C C O ∴====，2(17,9)B ∴，同理可得4(53,27)B ，5(161,81)B ，⋯由上可知，(231,3)Bn n n ⨯-，∴当2020n =时，(2320201,32020)Bn ⨯-．故答案为：2020(231⨯-，20203)．17．（2020黑龙江牡丹江）（3分）一列数1，5，11，19⋯按此规律排列，第7个数是() A ．37 B ．41 C ．55 D ．71解：1121=⨯-， 5231=⨯-， 11341=⨯-， 19451=⨯-，⋯第n 个数为(1)1n n +-，则第7个数是：55．故选：C ．18．（2020四川遂宁）（4分）如图所示，将形状大小完全相同的“▱”按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中“▱”的个数为a1，第2幅图中“▱”的个数为a2，第3幅图中“▱”的个数为a3，…，以此类推，若2a1+2a2+2a3+⋯+2a n=n2020．（n为正整数），则n的值为4039．【解答】解：由图形知a1＝1×2，a2＝2×3，a3＝3×4，∴a n＝n（n+1），∵2a1+2a2+2a3+⋯+2a n=n2020，∴21×2+22×3+23×4+⋯+2n(n+1)=n2020，∴2×（1−12+12−13+13−14+⋯⋯+1n−1n+1）=n2020，∴2×（1−1n+1）=n2020，1−1n+1=n4040，解得n＝4039，经检验：n＝4039是分式方程的解，故答案为：4039．19．（2020广西南宁）（3分）如图，某校礼堂的座位分为四个区域，前区一共有8排，其中第1排共有20个座位（含左、右区域），往后每排增加两个座位，前区最后一排与后区各排的座位数相同，后区一共有10排，则该礼堂的座位总数是556个．解：因为前区一共有8排，其中第1排共有20个座位（含左、右区域），往后每排增加两个座位，所以前区最后一排座位数为：20+2（8﹣1）＝34，所以前区座位数为：（20+34）×8÷2＝216，以为前区最后一排与后区各排的座位数相同，后区一共有10排，所以后区的座位数为：10×34＝340，所以该礼堂的座位总数是216+340＝556个．故答案为：556个．20．（3分）（2020•常德）阅读理解：对于x3﹣（n2+1）x+n这类特殊的代数式可以按下面的方法分解因式：x3﹣（n2+1）x+n＝x3﹣n2x﹣x+n＝x（x2﹣n2）﹣（x﹣n）＝x（x﹣n）（x+n）﹣（x﹣n）＝（x﹣n）（x2+nx﹣1）．理解运用：如果x3﹣（n2+1）x+n＝0，那么（x﹣n）（x2+nx﹣1）＝0，即有x﹣n＝0或x2+nx﹣1＝0，因此，方程x﹣n＝0和x2+nx﹣1＝0的所有解就是方程x3﹣（n2+1）x+n＝0的解．解决问题：求方程x3﹣5x+2＝0的解为x＝2或x＝﹣1+√2或x＝﹣1−√2．【解答】解：∵x3﹣5x+2＝0，∴x3﹣4x﹣x+2＝0，∴x（x2﹣4）﹣（x﹣2）＝0，∴x（x+2）（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，则（x﹣2）[x（x+2）﹣1]＝0，即（x﹣2）（x2+2x﹣1）＝0，∴x﹣2＝0或x2+2x﹣1＝0，解得x＝2或x＝﹣1±√2，故答案为：x＝2或x＝﹣1+√2或x＝﹣1−√2．21．（3分）（2020•徐州）如图，∠MON＝30°，在OM上截取OA1=√3．过点A1作A1B1⊥OM，交ON于点B1，以点B1为圆心，B1O为半径画弧，交OM于点A2；过点A2作A2B2⊥OM，交ON于点B2，以点B2为圆心，B2O为半径画弧，交OM于点A3；按此规律，所得线段A20B20的长等于219．【解答】解：∵B1O＝B1A1，B1A1⊥OA2，∴OA1＝A1A2，∵B2A2⊥OM，B1A1⊥OM，∴B1A1∥B2A2，∴B1A1=12A2B2，∴A2B2＝2A1B1，同法可得A 3B 3＝2A 2B 2＝22•A 1B 1，…，由此规律可得A 20B 20＝219•A 1B 1，∵A 1B 1＝OA 1•tan30°=√3×√33=1， ∴A 20B 20＝219，故答案为219．22．（2020山西）（3分）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的正三角形组合而成，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形…按此规律摆下去，第n 个图案有（3n +1）个三角形（用含n 的代数式表示）．【分析】根据图形的变化发现规律，即可用含n 的代数式表示．解：第1个图案有4个三角形，即4＝3×1+1 第2个图案有7个三角形，即7＝3×2+1 第3个图案有10个三角形，即10＝3×3+1 …按此规律摆下去，第n 个图案有（3n +1）个三角形．故答案为：（3n +1）．23.（2020东莞）如图，等腰12Rt OA A ∆，1121OA A A ==，以2OA 为直角边作23Rt OA A ∆，再以3OA 为直角边作34Rt OA A ∆，以此规律作等腰89Rt OA A ∆，则89OA A ∆的面积是_________.答案：64（或62）24．（2020四川自贡）（4分）如图，直线y =−√3x +b 与y 轴交于点A ，与双曲线y =kx 在第三象限交于B 、C 两点，且AB •AC ＝16．下列等边三角形△OD 1E 1，△E 1D 2E 2，△E 2D 3E 3，…的边OE1，E1E2，E2E3，…在x轴上，顶点D1，D2，D3，…在该双曲线第一象限的分支上，则k＝4√3，前25个等边三角形的周长之和为60．【解答】解：设直线y=−√3x+b与x轴交于点D，作BE⊥y轴于E，CF⊥y轴于F．∵y=−√3x+b，∴当y＝0时，x=√33b，即点D的坐标为（√33b，0），当x＝0时，y＝b，即A点坐标为（0，b），∴OA＝﹣b，OD=−√33b．∵在Rt△AOD中，tan∠ADO=OAOD=√3，∴∠ADO＝60°．∵直线y=−√3x+b与双曲线y=kx在第三象限交于B、C两点，∴−√3x+b=k x，整理得，−√3x2+bx﹣k＝0，由韦达定理得：x1x2=√33k，即EB•FC=√33k，∵EBAB=cos60°=12，∴AB＝2EB，同理可得：AC＝2FC，∴AB•AC＝（2EB）（2FC）＝4EB•FC=4√33k＝16，解得：k＝4√3．由题意可以假设D1（m，m√3），∴m2•√3=4√3，∴m＝2∴OE1＝4，即第一个三角形的周长为12，设D2（4+n，√3n），∵（4+n）•√3n＝4√3，解得n＝2√2−2，∴E1E2＝4√2−4，即第二个三角形的周长为12√2−12，设D3（4√2+a，√3a），由题意（4√2+a）•√3a＝4√3，解得a＝2√3−2√2，即第三个三角形的周长为12√3−12√2，…，∴第四个三角形的周长为12√4−12√3，∴前25个等边三角形的周长之和12+12√2−12+12√3−12√2+12√4−12√3+⋯+12√25−12√24=12√25=60，故答案为4√3，60．25．（3分）（2020•怀化）如图，△OB1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…，△A n﹣1B n A n，都是一边在x轴上的等边三角形，点B1，B2，B3，…，B n都在反比例函数y=√3x（x＞0）的图象上，点A1，A2，A3，…，A n，都在x轴上，则A n的坐标为（2√n，0）．解：如图，过点B1作B1C⊥x轴于点C，过点B2作B2D⊥x轴于点D，过点B3作B3E⊥x轴于点E，∵△OA1B1为等边三角形，∴∠B1OC＝60°，OC＝A1C，∴B1C=√3OC，设OC的长度为t，则B1的坐标为（t，√3t），把B1（t，√3t）代入y=√3x得t•√3t=√3，解得t＝1或t＝﹣1（舍去），∴OA1＝2OC＝2，∴A1（2，0），设A1D的长度为m，同理得到B2D=√3m，则B2的坐标表示为（2+m，√3m），把B2（2+m，√3m）代入y=√3x得（2+m）×√3m=√3，解得m=√2−1或m=−√2−1（舍去），∴A1D=√2−1，A1A2=2√2−2，OA2=2+2√2−2=2√2，∴A2（2√2，0）设A2E的长度为n，同理，B3E为√3n，B3的坐标表示为（2√2+n，√3n），把B3（2√2+n，√3n）代入y=√3x得（2√2+n）•√3n=√3，∴A2E=√3−√2，A2A3=2√3−2√2，OA3=2√2+2√3−2√2=2√3，∴A3（2√3，0），综上可得：A n（2√n，0），故答案为：(2√n，0)．26．（2020青海）（2分）对于任意两个不相等的数a，b，定义一种新运算“⊕”如下：a⊕b ＝，如：3⊕2＝＝，那么12⊕4＝．解：12⊕4＝＝．故答案为：．27．（2020青海）（4分）观察下列各式的规律：①1×3﹣22＝3﹣4＝﹣1；②2×4﹣32＝8﹣9＝﹣1；③3×5﹣42＝15﹣16＝﹣1．请按以上规律写出第4个算式 4×6﹣52＝24﹣25＝﹣1 ．用含有字母的式子表示第n 个算式为 n （n +2）﹣（n +1）2＝﹣1 ．解：④4×6﹣52＝24﹣25＝﹣1．第n 个算式为：n （n +2）﹣（n +1）2＝﹣1．故答案为：4×6﹣52＝24﹣25＝﹣1；n （n +2）﹣（n +1）2＝﹣1． 28．（2020山东滨州）（5分）观察下列各式：123a =，235a =，3107a =，4159a =，52611a =，⋯，根据其中的规律可得n a =21(1)21n n n ++-+ （用含n 的式子表示）．【解答】解：由分析可得21(1)21n n n a n ++-=+．故答案为：21(1)21n n n ++-+．29．（2020山东泰安）（4分）如表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为a 1，第二个数记为a 2，第三个数记为a 3，…，第n 个数记为a n ，则a 4+a 200＝ 20110 ．解：观察“杨辉三角”可知第n 个数记为a n ＝（1+2+…+n ）=12n （n +1），则a 4+a 200=12×4×（4+1）+12×200×（200+1）＝20110．故答案为：20110．30．（2020海南）（4分）海南黎锦有着悠久的历史，已被列入世界非物质文化遗产名录．如图是黎锦上的图案，每个图案都是由相同菱形构成的，若按照第1个图至第4个图中的规律编织图案，则第5个图中有 41 个菱形，第n 个图中有 2n 2﹣2n +1 个菱形（用含n 的代数式表示）．解：∵第1个图中菱形的个数1＝12+02，第2个图中菱形的个数5＝22+12，第3个图中菱形的个数13＝32+22，第4个图中菱形的个数25＝42+32， ∴第5个图中菱形的个数为52+42＝41，第n 个图中菱形的个数为n 2+（n ﹣1）2＝n 2+n 2﹣2n +1＝2n 2﹣2n +1，故答案为：41，2n 2﹣2n +1．三、解答题31.（2020长沙）我们不妨约定：若某函数图像上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称之为“H 函数”，其图像上关于原点对称的两点叫做一对“H 点”，根据该约定，完成下列各题（1）在下列关于x 的函数中，是“H 函数”的，请在相应题目后面的括号中打“√”，不是“H 函数”的打“×”①2y x =（） ①my (m 0)x=≠（） ①31y x =-（）（2）若点()1,A m 与点(),4B n -关于x “H 函数” ()20y ax bx c a =++≠的一对“H 点”，且该函数的对称轴始终位于直线2x =的右侧，求,,a b c 的值域或取值范围；（3）若关于x 的“H 函数” 223y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数）同时满足下列两个条件：①0a b c ++=，①(2)(23)0c b a c b a +-++<，求该H 函数截x 轴得到的线段长度的取值范围．【答案】（1）√；√；×；（2）-1＜a ＜0，b=4，0＜c ＜0；（3）2＜12x x -＜．解：（1）①2y x =是 “H 函数”①my (m 0)x=≠是 “H 函数”①31y x =-不是 “H 函数”；故答案为：√；√；×；（2）①A,B 是“H 点” ①A,B 关于原点对称， ①m=4,n=1①A(1,4），B （-1，-4）代入223y ax bx c =++得44a b c a b c ++=⎧⎨-+=-⎩解得40b a c =⎧⎨+=⎩又①该函数的对称轴始终位于直线2x =的右侧，①-2ba ＞2 ①-42a＞2 ①-1＜a ＜0 ①a+c=0 ①0＜c ＜0，综上，-1＜a ＜0，b=4，0＜c ＜0；（3）①223y ax bx c =++是“H 函数”①设H 点为（p,q ）和（-p,-q ）,代入得222323ap bp c qap bp c q⎧++=⎨-+=-⎩ 解得ap 2+3c=0,2bp=q ①p 2＞0 ①a,c 异号， ①ac ＜0 ①a+b+c=0①b=-a -c ，①(2)(23)0c b a c b a +-++< ①(2)(23)0c a c a c a c a -----+< ①(2)(2)0c a c a -+< ①c 2＜4a 2①22c a＜4 ①-2＜c a ＜2 ①-2＜c a ＜0设t=ca，则-2＜t ＜0设函数与x 轴的交点为（x 1,0）（x 2,0） ①x 1, x 2是方程223ax bx c ++=0的两根①12x x -== 又①-2＜t ＜0①2＜12x x -＜．32.（2020山东青岛）实际问题：某商场为鼓励消费，设计了投资活动．方案如下：根据不同的消费金额，每次抽奖时可以从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取2张、3张、4张、…等若干张奖券，奖券的面值金额之和即为优惠金额．某顾客获得了一次抽取5张奖券的机会，小明想知道该顾客共有多少种不同的优惠金额？问题建模：从1，2，3，…，n （n 为整数，且3n ≥）这n 个整数中任取()1a a n <<个整数，这a 个整数之和共有多少种不同的结果？模型探究：我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，从中找出解决问题的方法．探究一：（1）从1，2，3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？表①如表①，所取的2个整数之和可以为3，4，5，也就是从3到5的连续整数，其中最小是3，最大是5，所以共有3种不同的结果．（2）从1，2，3，4这4个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？表①如表①，所取的2个整数之和可以为3，4，5，6，7，也就是从3到7的连续整数，其中最小是3，最大是7，所以共有5种不同的结果．（3）从1，2，3，4，5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有______种不同的结果．（4）从1，2，3，…，n （n 为整数，且3n ≥）这n 个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有______种不同的结果．探究二：（1）从1，2，3，4这4个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有______种不同的结果．（2）从1，2，3，…，n （n 为整数，且4n ≥）这n 个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有______种不同的结果．探究三：从1，2，3，…，n （n 为整数，且5n ≥）这n 个整数中任取4个整数，这4个整数之和共有______种不同的结果．归纳结论：从1，2，3，…，n （n 为整数，且3n ≥）这n 个整数中任取()1a a n <<个整数，这a 个整数之和共有______种不同的结果．问题解决：从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取5张奖券，共有______种不同的优惠金额．拓展延伸：（1）从1，2，3，…，36这36个整数中任取多少个整数，使得取出的这些整数之和共有204种不同的结果？（写出解答过程）（2）从3，4，5，…，3n +（n 为整数，且2n ≥）这()1n +个整数中任取()11a a n <<+个整数，这a 个整数之和共有______种不同的结果．解：探究一：（3）如下表：所取的2个整数之和可以为3，4，5，6，7，8，9也就是从3到9的连续整数，其中最小是3，最大是9，所以共有7种不同的结果．（4）从1，2，3，…，n （n 为整数，且3n ≥）这n 个整数中任取2个整数，这2个整数之和的最小值是3，和的最大值是21,n - 所以一共有()213123n n --+=-种．探究二：（1）从1，2，3，4这4个整数中任取3个整数，如下表：从1，2，3，4这4个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有4种，（2）从1，2，3，4，5这5个整数中任取3个整数，这3个整数之和的最小值是6，和的最大值是12,所以从1，2，3，4，5这5个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有7种，从而从1，2，3，…，n （n 为整数，且4n ≥）这n 个整数中任取3个整数，这3个整数之和的最小值是6，和的最大值是33,n -所以一共有()336138n n --+=-种，探究三：从1，2，3，4，5这5个整数中任取4个整数，这4个整数之和最小是10, 最大是14，所以这4个整数之和一共有5种，从1，2，3，4，5，6这6个整数中任取4个整数，这4个整数之和最小是10, 最大是18,，所以这4个整数之和一共有9种，从1，2，3，…，n （n 为整数，且5n ≥）这n 个整数中任取4个整数，这4个整数之和的最小值是10，和的最大值是46n -，所以一共有()46101415n n --+=- 种不同的结果．归纳结论：由探究一，从1，2，3，…，n （n 为整数，且3n ≥）这n 个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有()23n -种．探究二，从1，2，3，…，n （n 为整数，且4n ≥）这n 个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有()38n -种，探究三，从1，2，3，…，n （n 为整数，且5n ≥）这n 个整数中任取4个整数，这4个整数之和共有()415n - 种不同的结果．从而可得：从1，2，3，…，n （n 为整数，且3n ≥）这n 个整数中任取()1a a n <<个整数，这a 个整数之和共有()21an a -+种不同的结果．问题解决：从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中（面值为整数），一次任意抽取5张奖券，这5张奖券和的最小值是15，和的最大值是490，共有490151476-+=种不同的优惠金额．拓展延伸：（1）从1，2，3，…，n （n 为整数，且3n ≥）这n 个整数中任取()1a a n <<个整数，这a 个整数之和共有()21an a -+种不同的结果． ∴ 当36,n = 有2361204,a a -+=236203,a a ∴-=-()218121,a ∴-= 1811a ∴-=或1811,a -=-29a ∴=或7.a =从1，2，3，…，36这36个整数中任取29个或7个整数，使得取出的这些整数之和共有204种不同的结果．（2）由探究可知：从3，4，5，…，3n +（n 为整数，且2n ≥）这()1n +个整数中任取()11a a n <<+个整数，等同于从1，2，3，…，1n +（n 为整数，且2n ≥）这()1n +个整数中任取()11a a n <<+个整数，所以：从3，4，5，…，3n +（n 为整数，且2n ≥）这()1n +个整数中任取()11a a n <<+个整数，这a 个整数之和共有()211a n a ⎡⎤+-+⎣⎦种不同的结果． 33．（2020四川遂宁）（9分）阅读以下材料，并解决相应问题：小明在课外学习时遇到这样一个问题：定义：如果二次函数y ＝a 1x 2+b 1x +c 1（a 1≠0，a 1、b 1、c 1是常数）与y ＝a 2x 2+b 2x +c 2（a 2≠0，a 2、b 2、c 2是常数）满足a 1+a 2＝0，b 1＝b 2，c 1+c 2＝0，则这两个函数互为“旋转函数”．求函数y ＝2x 2﹣3x +1的旋转函数，小明是这样思考的，由函数y ＝2x 2﹣3x +1可知，a 1＝2，b 1＝﹣3，c 1＝1，根据a 1+a 2＝0，b 1＝b 2，c 1+c 2＝0，求出a 2，b 2，c 2就能确定这个函数的旋转函数．请思考小明的方法解决下面问题：（1）写出函数y ＝x 2﹣4x +3的旋转函数．（2）若函数y ＝5x 2+（m ﹣1）x +n 与y ＝﹣5x 2﹣nx ﹣3互为旋转函数，求（m +n ）2020的值．（3）已知函数y ＝2（x ﹣1）（x +3）的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，点A 、B 、C 关于原点的对称点分别是A 1、B 1、C 1，试求证：经过点A 1、B 1、C 1的二次函数与y ＝2（x ﹣1）（x +3）互为“旋转函数”．【解答】解：（1）由y ＝x 2﹣4x +3函数可知，a 1＝1，b 1＝﹣4，c 1＝3，∵a 1+a 2＝0，b 1＝b 2，c 1+c 2＝0，∴a 2＝﹣1，b 2＝﹣4，c 2＝﹣3，∴函数y ＝x 2﹣4x +3的“旋转函数”为y ＝﹣x 2﹣4x ﹣3；（2）∵y ＝5x 2+（m ﹣1）x +n 与y ＝﹣5x 2﹣nx ﹣3互为“旋转函数”，∴{m −1=−n n −3=0，解得：{m =−2n =3， ∴（m +n ）2020＝（﹣2+3）2020＝1．（3）证明：当x ＝0时，y ＝2（x ﹣1）（x +3））＝﹣6，∴点C 的坐标为（0，﹣6）．当y ＝0时，2（x ﹣1）（x +3）＝0，解得：x 1＝1，x 2＝﹣3，∴点A 的坐标为（1，0），点B 的坐标为（﹣3，0）．∵点A ，B ，C 关于原点的对称点分别是A 1，B 1，C 1，∴A1（﹣1，0），B1（3，0），C1（0，6）．设过点A1，B1，C1的二次函数解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），将C1（0，6）代入y＝a（x+1）（x﹣3），得：6＝﹣3a，解得：a＝﹣2，过点A1，B1，C1的二次函数解析式为y＝﹣2（x+1）（x﹣3），即y＝﹣2x2+4x+6．∵y＝2（x﹣1）（x+3）＝2x2+4x﹣6，∴a1＝2，b1＝4，c1＝﹣6，a2＝﹣2，b2＝4，c2＝6，∴a1+a2＝2+（﹣2）＝0，b1＝b2＝4，c1+c2＝6+（﹣6）＝0，∴经过点A1，B1，C1的二次函数与函数y＝2（x﹣1）（x+3）互为“旋转函数”．34．（2020•怀化）定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形．（1）下面四边形是垂等四边形的是④；（填序号）①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形（2）图形判定：如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，过点D作BD垂线交BC的延长线于点E，且∠DBC＝45°，证明：四边形ABCD是垂等四边形．（3）由菱形面积公式易知性质：垂等四边形的面积等于两条对角线乘积的一半．应用：在图2中，面积为24的垂等四边形ABCD内接于⊙O中，∠BCD＝60°．求⊙O的半径．【解答】解：（1）①平行四边形的对角线互相平分但不垂直和相等，故不是垂等四边形；②矩形对角线相等但不垂直，故不是垂等四边形；③菱形的对角线互相垂直但不相等，故不是垂等四边形；④正方形的对角线互相垂直且相等，故正方形是垂等四边形；故选：④；（2）∵AC⊥BD，ED⊥BD，∴AC∥DE，又∵AD∥BC，∴四边形ADEC 是平行四边形，∴AC ＝DE ，又∵∠DBC ＝45°，∴△BDE 是等腰直角三角形，∴BD ＝DE ，∴BD ＝AC ，又∵BD ⊥AC ，∴四边形ABCD 是垂等四边形；（3）如图，过点O 作OE ⊥BD ，∵四边形ABCD 是垂等四边形，∴AC ＝BD ，又∵垂等四边形的面积是24，∴12AC •BD ＝24，解得，AC ＝BD ＝4√3，又∵∠BCD ＝60°，∴∠DOE ＝60°，设半径为r ，根据垂径定理可得：在△ODE 中，OD ＝r ，DE =2√3，∴r =DE sin60°=2√332=4，∴⊙O 的半径为4．35．（2020浙江宁波）（14分）定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．（1）如图1，∠E 是△ABC 中∠A 的遥望角，若∠A ＝α，请用含α的代数式表示∠E ．（2）如图2，四边形ABCD 内接于⊙O ，AD ̂=BD ̂，四边形ABCD 的外角平分线DF 交⊙O于点F，连结BF并延长交CD的延长线于点E．求证：∠BEC是△ABC中∠BAC 的遥望角．（3）如图3，在（2）的条件下，连结AE，AF，若AC是⊙O的直径．①求∠AED的度数；②若AB＝8，CD＝5，求△DEF的面积．【解答】解：（1）∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，∴∠E＝∠ECD﹣∠EBD=12（∠ACD﹣∠ABC）=12∠A=12α，（2）如图1，延长BC到点T，∵四边形FBCD内接于⊙O，∴∠FDC+∠FBC＝180°，又∵∠FDE+∠FDC＝180°，∴∠FDE＝∠FBC，∵DF平分∠ADE，∴∠ADF＝∠FDE，∵∠ADF＝∠ABF，∴∠ABF＝∠FBC，∴BE是∠ABC的平分线，̂=BD̂，∵AD∴∠ACD＝∠BFD，∵∠BFD+∠BCD＝180°，∠DCT+∠BCD＝180°，∴∠DCT＝∠BFD，∴∠ACD＝∠DCT，∴CE是△ABC的外角平分线，∴∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．（3）①如图2，连接CF，∵∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角，∴∠BAC＝2∠BEC，∵∠BFC＝∠BAC，∴∠BFC＝2∠BEC，∵∠BFC＝∠BEC+∠FCE，∴∠BEC＝∠FCE，∵∠FCE＝∠F AD，∴∠BEC＝∠F AD，又∵∠FDE＝∠FDA，FD＝FD，∴△FDE≌△FDA（AAS），∴DE＝DA，∴∠AED＝∠DAE，∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∴∠AED+∠DAE＝90°，∴∠AED＝∠DAE＝45°，②如图3，过点A 作AG ⊥BE 于点G ，过点F 作FM ⊥CE 于点M ，∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ABC ＝90°，∵BE 平分∠ABC ，∴∠F AC ＝∠EBC =12∠ABC ＝45°，∵∠AED ＝45°，∴∠AED ＝∠F AC ，∵∠FED ＝∠F AD ，∴∠AED ﹣∠FED ＝∠F AC ﹣∠F AD ，∴∠AEG ＝∠CAD ，∵∠EGA ＝∠ADC ＝90°，∴△EGA ∽△ADC ，∴AE AC =AG CD ，∵在Rt △ABG 中，AG =√22AB =4√2，在Rt △ADE 中，AE =√2AD ，∴AD AC =45，在Rt △ADC 中，AD 2+DC 2＝AC 2，∴设AD ＝4x ，AC ＝5x ，则有（4x ）2+52＝（5x ）2，∴x =53，∴ED ＝AD =203，∴CE ＝CD +DE =353，∵∠BEC＝∠FCE，∴FC＝FE，∵FM⊥CE，∴EM=12CE=356，∴DM＝DE﹣EM=5 6，∵∠FDM＝45°，∴FM＝DM=5 6，∴S△DEF=12DE•FM=259．36．（2020•株洲）如图所示，△OAB的顶点A在反比例函数y=kx（k＞0）的图象上，直线AB交y轴于点C，且点C的纵坐标为5，过点A、B分别作y轴的垂线AE、BF，垂足分别为点E、F，且AE＝1．（1）若点E为线段OC的中点，求k的值；（2）若△OAB为等腰直角三角形，∠AOB＝90°，其面积小于3．①求证：△OAE≌△BOF；②把|x1﹣x2|+|y1﹣y2|称为M（x1，y1），N（x2，y2）两点间的“ZJ距离”，记为d（M，N），求d（A，C）+d（A，B）的值．【解答】解：（1）∵点E为线段OC的中点，OC＝5，∴OE=12OC=52，即：E点坐标为(0，52)，第 31 页共 31 页又∵AE ⊥y 轴，AE ＝1，∴A(1，52)，∴k =1×52=52．（2）①在△OAB 为等腰直角三角形中，AO ＝OB ，∠AOB ＝90°，∴∠AOE +∠FOB ＝90°，又∵BF ⊥y 轴，∴∠FBO +∠FOB ＝90°，∴∠AOE ＝∠FBO ，在△OAE 和△BOF 中，{∠AEO =∠OFB =90°∠AOE =∠FBO AO =BO ，∴△OAE ≌△BOF （AAS ），②解：设点A 坐标为（1，m ），∵△OAE ≌△BOF ，∴BF ＝OE ＝m ，OF ＝AE ＝1，∴B （m ，﹣1），设直线AB 解析式为：l AB ：y ＝kx +5，将AB 两点代入得：则{k +5=m km +5=−1．解得{k 1=−3m 1=2，{k 2=−2m 2=3．当m ＝2时，OE ＝2，OA =√5，S △AOB =52＜3，符合；∴d （A ，C ）+d （A ，B ）＝AE +CE +（BF ﹣AE ）+（OE +OF ）＝1+CE +OE ﹣1+OE +1＝1+CE +2OE ＝1+CO +OE ＝1+5+2＝8，当m ＝3时，OE ＝3，OA =√10，S △AOB ＝5＞3，不符，舍去；综上所述：d （A ，C ）+d （A ，B ）＝8．。

全国中考数学模拟汇编二50新概念型问题

C50.新概念型问题A 组一、选择题1. （2011萧山区中考模拟）【原创】刘谦的魔术表演风靡全国，小明也学起了刘谦发明了一个魔术盒，当任意实数对(a ，b)进入其中时，会得到一个新的实数：a 2＋b －1，例如把(3，－2)放入其中，就会得到：32＋（－2）－1＝6．现将实数对(－1，3)放入其中，得到实数m ，再将实数对(m ，1)放入其中后，得到的实数是_______。

【答案】9 2. (2011珠海市香洲区模拟)古希腊著名的毕达哥拉斯派1、3、6、10、…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16…这样的数称为“正方形数”.从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和，下列等式中，符合这一规律的是（）A.13=3+10B.25=9+16C.36=15+21D.49=18+31【答案】C 二、填空题 1．（南京市江宁区2011年中考一模）中国已经进入一个老龄化社会，“老人”是一个模糊概念，•有人想用“老人系数”来表示一个人的老年化程度，其中一个人的“老人系数”与年龄的关系如图所示，按照这样的规定，一个年龄为为 ▲ ．答案：0.5三、解答题1．（2011杭州市进化一中模拟）（本小题满分10分）学习过三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化.类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad ）.如图，在△ABC 中，AB =AC ，顶角A 的正对记作sadA ，这时sad A =BCAB=底边腰.容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的. 根据上述对角的正对定义，解下列问题：（1）sad 60︒的值为（）A.12 D. 2 （2）对于0180A ︒<<︒，∠A 的正对值sad A 的取值范围是 . （3）已知3sin 5α=，其中α为锐角，试求sad α的值. 第1题BCDH【答案】（1）B ； ………………………2分（2）02sadA <<； ………………………3分(3) 如图，在△ABC 中，∠ACB =90︒，sin ∠A 35=.在AB 上取点D ，使AD =AC ，作DH ⊥AC ，H 为垂足，令BC =3k ，AB =5k ，则AD = ACk ，………………………2分又在△ADH 中，∠AHD =90︒，sin ∠A 35=. ∴12sin 5DH AD Ak =⋅∠=，165AH k ==. 则在△CDH 中，45CH AC AHk =-=，5CD k ==.……………2分于是在△ACD 中，AD= AC =4k ，5CD k =.由正对定义可得：sadA =CD AD=，即sad α= ………………………1分2. （2011浙江新昌县模拟）定义：已知反比例函数xk y 1=与x ky 2=，如果存在函数xk k y 21=(021>k k )则称函数xk k y 21=为这两个函数的中和函数.（1）试写出一对函数，使得它的中和函数为xy 2=，并且其中一个函数满足：当0<x 时，y 随x 的增大而增大．（2）函数x y 3-=和x y 12-=的中和函数xky =的图象和函数x y 2=的图象相交于两点，试求当xky =的函数值大于x y 2=的函数值时x 的取值范围．【答案】解：(1) 答案不唯一,如x y 1-=与xy 4-=等 4分 (2)x y 3-= 和xy 12-= 的中和函数x y 6=，联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧==xy x y 26，得两个函数图象的交点坐标为（32,3）（32-3，-） 2分结合图象得到当xky =的函数值大于x y 2=的函数值时x 的取值范围是3-<x 或30<<x 2分2．（南京市溧水县2011年中考一模）（8分）在平面上有且只有4个点，这4个点中有一个独特的性质：连结每两点可得到6条线段，这6条线段有且只有两种长度．我们把这四个点称作准等距点．．．．．例如正方形ABCD 的四个顶点(如图1)，有AB=BC=CD=DA ，AC=BD ．其实满足这样性质的图形有很多，如图2中A 、B 、C 、O 四个点，满足AB=BC=CA ，OA=OB=OC ；如图3中A 、B 、C 、O 四个点，满足OA=OB=OC=BC ，AB=AC ．（1）如图，若等腰梯形ABCD 的四个顶点是准等距点，且AD ∥BC ． ①写出相等的线段（不再添加字母）； ②求∠BCD 的度数．（2）请再画出一个四边形，使它的四个顶点为准等距点，．．．．．并写出相等的线段． B CA D答案：解：（1）①AB=DC=AD， AC=BD=BC．……………………………………………2分②∵AC=BD，AB=DC，BC=BC，∴△ABC≌△DCB，∴∠DBC=∠ACB，……3分∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，∵DC=AD，∠DAC=∠ACD，∴∠ACD=∠ACB，………………………………4分∵BC=BD，∠BDC=∠BCD=2∠ACB，……………………………………………5分设∠ACB=x°，则∠BDC=∠BCD=2 x°，∠DBC= x°，∴2 x+2 x+ x=180，解得x=36，∴∠BCD=72°．…………………………………………………………………6分（2）AB=BD=AD =AC，BC = CD．或AB= BC= CD=BD=AD，AC，．……8分3．（南京市建邺区2011年中考一模）（9分）操作：小明准备制作棱长为1cm的正方体纸盒，现选用一些废弃的圆形纸片进行如下设计：纸片利用率=纸片被利用的面积纸片的总面积×100%发现：（1）方案一中的点A、B恰好为该圆一直径的两个端点．你认为小明的这个发现是否正确，请说明理由．（2）小明通过计算，发现方案一中纸片的利用率仅约为38.2%．请帮忙计算方案二的利用率，并写出求解过程．探究：（3）小明感觉上面两个方案的利用率均偏低，又进行了新的设计（方案三），请直接写出方案三的利用率．说明：方案一图形中的圆过点A、B、C；方案二直角三角形的两直角边与说明：方案三中的每条边均过其中两个ABC方案一方案三方案二答案：（本题9分）发现：（1）小明的这个发现正确． ······················ 1分理由：解法一：如图一：连接AC 、BC 、AB ，∵AC ＝BC ＝ 5 ，AB ＝10∴AC 2+BC 2＝AB 2∴∠BAC ＝90°， ············· 2分 ∴AB 为该圆的直径． ··················· 3分解法二：如图二：连接AC 、BC 、AB ．易证△AMC ≌△BNC ，∴∠ACM ＝∠CBN ．又∵∠BCN ＋∠CBN ＝90°，∴∠BCN ＋∠ACM ＝90°，即∠BAC ＝90°， 2分 ∴AB 为该圆的直径． ····················· 3分（2）如图三：易证△ADE ≌△EHF ，∴AD ＝EH ＝1． ··············· 4分∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ACB ，∴AD AC ＝DE CB ∴14 ＝2CB，∴BC ＝8． ········· 5分∴S △ACB ＝16． ······························· 6分 ∴该方案纸片利用率＝展开图的面积纸板的总面积 ×100%＝616 ×100%＝37.5% ········ 7分探究：（3）180361 ······························ 9分B 组50.新概念型问题1、（广州四中2011年初三第一次模拟测试）我们常用的数是十进制数，而计算机程序处理数据使用的只有数码0和1的二进制数，这二者可以相互换算，如将二进制数110换算成十进制数应为：1×22+1×21+0×20=6按此方式，则将十进制数11换算成二进制数应为___________ 答案：1011 2、（广州四中2011年初三第一次模拟测试）如图（1），凸四边形ABCD ，如果点P 满足APD APB α∠=∠=，且BPC CPD β∠=∠=，则称点P 为四边形ABCD 的一个半等角点．（1）在图（3）正方形ABCD 内画一个半等角点P ，且满足αβ≠．（2）在图（4）四边形ABCD 中画出一个半等角点P ，保留画图痕迹（不需写出画法）．图一 M 图二 N C B A D E FH 图三（3）若四边形ABCD 有两个半等角点12P P ，（如图（2）），证明线段12P P 上任一点也是它的半等角点．解：（1）所画的点P 在AC 上且不是AC 的中点和AC 的端点，即给2分．（2）画点B 关于AC 的对称点B '，延长DB '交AC 于点P ，点P 为所求（不写文字说明不扣分）给6分．（说明：画出的点P 大约是四边形ABCD 的半等角点，而无对称的画图痕迹，给1分）（3）连1111P A PD PB PC ，，，和22P D P B ，，根据题意， 11APD APB ∠=∠，11DPC BPC ∠=∠， 11180APB BPC ∴∠+∠=． 1P ∴在AC 上，同理，2P 也在AC 上． ····················· 8分在12DP P △和12BP P △中， 2121DP P BP P ∠=∠，1212DPP BPP ∠=∠，12P P 公共，1212DPP BPP ∴△≌△．···························· 10分所以11DP BP =，22DP BP =，于是BD ，关于AC 对称．设P 是12P P 上任一点，连结PD PB ，，由对称性，得DPA BPA ∠=∠，DPC BPC ∠=∠，所以点P 是四边形的半等角点． ······················· 12分3. （2011河南三门峡模拟一）（本题12分）阅读材料：如图1，过△ABC 的三个顶点分别图（1） AC D BP α α β β 图（2）C B2题图第2题答案图 AC D B 1P 2P P作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”（a ），中间的这条直线在△ABC 内部的线段的长度叫△ABC 的“铅垂高”（h ）.我们可行出生种计算三角形面积的新方示：ABC 1S2ah =△，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半. 解答下列问题:如图2，抛物线顶点C （1，4），交x 轴于点A （3，0），交y 轴于点B. （1）求抛物线和直线AB 的解析式；（2）求△ABC 的铅垂高CD 及S △ABC ;（3）设点P 是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P ，使A B C A B C 9S S 8=△△，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由.解：（1）设抛物线的解析式为：4)1(21+-=x a y把A （3，0）代入解析式得 a (3-1)2+4=0. 解得1-=a所以324)1(221++-=+--=x x x y ……………………………………… 2分设直线AB 的解析式为：b kx y +=2由3221++-=x x y 求得B 点的坐标为(03)，把(30)A ，，(03)B ，代入b kx y +=2得⎩⎨⎧==+.3,0k 3b b解得：13k b =-=，所以32+-=x y …………………………………………………………… 4分（2）因为C 点坐标为（1，4）所以当x ＝１时， y 2＝2 所以CD ＝4-2＝2 ……… 5分13232CAB S =⨯⨯=△………………………………………………………… 6分（3）假设存在符合条件的点P ，设P 点的横坐标为x ()30<<x ，△PAB 的铅垂高为h ，则x x x x x y y h 3)3()32(2221+-=+--++-=-=由S △PAB =89S △CAB 得：389)3(3212⨯=+-⨯⨯x x化简得：091242=+-x x 解得 23=x………………………………………………………………… 10分将23=x 代入3221++-=x x y 中，得415323223y 21=+⨯+⎪⎭⎫⎝⎛-=.所以存在符合条件的P 点,其坐标为315()24， ……………………………… 12分。

年全国各地中考数学模拟题分类新概念型问题(含答案)

中考新观点型题型一、选择题1．〔2021年浙江省杭州市中考数学模拟 22)〔原创〕y 1a 1x 2b 1xc 1,y 2 a2x 2b 2xc 2且知足a1b1c1k(k0,1).那么称抛a 2b 2c 2物线y 1,y 2互为“友善抛物线〞，那么以下对于“友善抛物线〞的说法不正确的选项是〔〕A 、y 1,y 2张口方向，张口大小不必定同样B 、因为y1,y2的对称轴同样C 、假如y2的最值为m ，那么y1的最值为kmD 、假如y2与x 轴的两交点间距离为 d ，那么y1与x 轴的两交点间距离为 kd 答案：D二、填空题1、〔2021年江苏盐都中考模拟〕规定一种新运算a※b=a 2－2b,如1※2=-3，那么 2※〔－2〕=.答案62、(2021浙江杭州模拟 16)刘谦的魔术表演流行全国，小明也学起了刘谦创建了一个魔术盒，当随意实数对 (a ，b)进入此中时，会获得一个新的实数： a 2＋b －1，比如把(3，－2)放入此中，就会获得： 32＋〔－2〕－1＝6．现将实数对 (－1，3)放入此中，获得实数 m ，再将实数对(m ，1)放入此中后，获得的实数是．答案：9 三、解答题1、〔2021年北京四中中考模拟20〕如图，四边形ABCD 中，AB=AD ，CB=CD ，但AD 我们称这样的四边形为“半菱形〞。

小明说“‘半菱形’的面积等于两条对角线乘积的一半他的说法正确吗？请你判断并证明你的结论。

解：正确。

证明以下：方法一：设 AC ，BD 交于O ，∵AB=AD ，BC=DC ，AC=AC ，∴△ABC ≌△ADE ， D∴∠BAC=∠DACAB=AD ，∴AO ⊥BDO1BDAO ，S BCDAS ABD1BDCO22CD ，〞。

CBS四边形ABCD SABDSBCD112BDAOBDCO211BD(AOCO)BDAC22方法二：∵AB=AD，∴点A在线段BD的中垂线上。

又∵CB=CD，∴点C与在线段BD的中垂线上，∴AC所在的直线是线段BD的中垂线，即BD⊥AC；设AC，BD交于O，∵SS四边形ABCD SABDSABD1BDAO，S BCD1BDCO2211BCD BDAO BDCO2211BD(AOCO)BDAC222、〔2021年北京四中中考模拟18〕：△ABC中，AB＝10⑴如图①，假定点D、E分别是AC、BC边的中点，求DE的长；⑵如图②，假定点A1、A2把AC边三平分，过A1、A2作AB边的平行线，分别交BC边于点B1、B2，求A1B1＋A2B2的值；⑶如图③，假定点A1、A2、、A10把AC边十一平分，过各点作AB边的平行线，分别交BC边于点B1、B2、、B10。

中考数学复习专项练习卷_新定义型问题(含答案解析)

中考数学二轮复习精品资料附参考答案新定义型问题一、中考专题诠释所谓“新定义”型问题，主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.“新定义”型问题成为近年来中考数学压轴题的新亮点.在复习中应重视学生应用新的知识解决问题的能力二、解题策略和解法精讲“新定义型专题”关键要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法；二是根据问题情景的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移．三、中考典例剖析考点一：规律题型中的新定义例2 （2013•河北）定义新运算：对于任意实数a，b，都有a⊕b=a（a－b）+1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如：2⊕5=2×（2－5）+1=2×（－3）+1=－6+1==－5。

（1）求（－2）⊕3的值；（2）若3⊕x的值小于13，求x的取值范围，并在图所示的数轴上表示出来．思路分析：（1）按照定义新运算a⊕b=a（a－b）+1，求解即可；（2）先按照定义新运算a⊕b=a（a－b）+1，得出3⊕x，再令其小于13，得到一元一次不等式，解不等式求出x的取值范围，即可在数轴上表示．解：（1）∵a⊕b=a（a－b）+1，∴（－2）⊕3=－2（－2－3）+1=10+1=11；（2）∵3⊕x＜13，∴3（3－x）+1＜13，9－3x+1＜13，－3x＜3，x＞－1．在数轴上表示如下：例3 （2013•钦州）定义：直线l1与l2相交于点O，对于平面内任意一点M，点M到直线l1、l2的距离分别为p、q，则称有序实数对（p，q）是点M的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”是（1，2）的点的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5思路分析：“距离坐标”是（1，2）的点表示的含义是该点到直线l1、l2的距离分别为1、2．由于到直线l1的距离是1的点在与直线l1平行且与l1的距离是1的两条平行线a1、a2上，到直线l2的距离是2的点在与直线l2平行且与l2的距离是2的两条平行线b1、b2上，它们有4个交点，即为所求．解：如图，∵到直线l1的距离是1的点在与直线l1平行且与l1的距离是1的两条平行线a1、a2上，到直线l2的距离是2的点在与直线l2平行且与l2的距离是2的两条平行线b1、b2上，∴“距离坐标”是（1，2）的点是M1、M2、M3、M4，一共4个．故选C．点评：本题考查了点到直线的距离，两平行线之间的距离的定义，理解新定义，掌握到一条直线的距离等于定长k的点在与已知直线相距k的两条平行线上是解题的关键．-CE PC PC a s2考点四：开放题型中的新定义例4 （2013•宁波）若一个四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，我们把这条对角线叫这个四边形的和谐线，这个四边形叫做和谐四边形．如菱形就是和谐四边形．（1）如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=120°，∠C=75°，BD平分∠ABC．求证：BD是梯形ABCD的和谐线；（2）如图2，在12×16的网格图上（每个小正方形的边长为1）有一个扇形BAC，点A．B．C 均在格点上，请在答题卷给出的两个网格图上各找一个点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形的两条对角线都是和谐线，并画出相应的和谐四边形；（3）四边形ABCD中，AB=AD=BC，∠BAD=90°，AC是四边形ABCD的和谐线，求∠BCD的度数．思路分析：（1）要证明BD是四边形ABCD的和谐线，只需要证明△ABD和△BDC是等腰三角形就可以；»BC上任意一点构成的四边形（2）根据扇形的性质弧上的点到顶点的距离相等，只要D在ABDC就是和谐四边形；连接BC，在△BAC外作一个以AC为腰的等腰三角形ACD，构成的四边形ABCD就是和谐四边形，（3）由AC是四边形ABCD的和谐线，可以得出△ACD是等腰三角形，从图4，图5，图6三种情况运用等边三角形的性质，正方形的性质和30°的直角三角形性质就可以求出∠BCD 的度数．解：（1）∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD=180°，∠ADB=∠DBC．∵∠BAD=120°，∴∠ABC=60°．∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC=30°，∴∠ABD=∠ADB，∴△ADB是等腰三角形．在△BCD中，∠C=75°，∠DBC=30°，∴∠BDC=∠C=75°，∴△BCD为等腰三角形，∴BD是梯形ABCD的和谐线；（2）由题意作图为：图2，图3（3）∵AC是四边形ABCD的和谐线，∴△ACD是等腰三角形．∵AB=AD=BC，如图4，当AD=AC时，A．在同一条直线上B．在同一条抛物线上C．在同一反比例函数图象上D．是同一个正方形的四个顶点思路分析：如果设C（x3，y3），D（x4，y4），E（x5，y5），F（x6，y6），先根据新定义运算得出（x3+x4）+（y3+y4）=（x4+x5）+（y4+y5）=（x5+x6）+（y5+y6）=（x4+x6）+（y4+y6），则x3+y3=x4+y4=x5+y5=x6+y6，若令x3+y3=x4+y4=x5+y5=x6+y6=k，则C（x3，y3），D（x4，y4），E（x5，y5），F（x6，y6）都在直线y=－x+k上．解：∵对于点A（x1，y1），B（x2，y2），A⊕B=（x1+x2）+（y1+y2），如果设C（x3，y3），D（x4，y4），E（x5，y5），F（x6，y6），那么C⊕D=（x3+x4）+（y3+y4），D⊕E=（x4+x5）+（y4+y5），E⊕F=（x5+x6）+（y5+y6），F⊕D=（x4+x6）+（y4+y6），又∵C⊕D=D⊕E=E⊕F=F⊕D，∴（x3+x4）+（y3+y4）=（x4+x5）+（y4+y5）=（x5+x6）+（y5+y6）=（x4+x6）+（y4+y6），∴x3+y3=x4+y4=x5+y5=x6+y6，令x3+y3=x4+y4=x5+y5=x6+y6=k，则C（x3，y3），D（x4，y4），E（x5，y5），F（x6，y6）都在直线y=－x+k上，∴互不重合的四点C，D，E，F在同一条直线上．故选A．点评：本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，以及学生的阅读理解能力，有一定难度．对应训练5．（2013•天门）一张矩形纸片，剪下一个正方形，剩下一个矩形，称为第一次操作；在剩下的矩形纸片中再剪下一个正方形，剩下一个矩形，称为第二次操作；…；若在第n次操作后，剩下的矩形为正方形，则称原矩形为n阶奇异矩形．如图1，矩形ABCD中，若AB=2，BC=6，则称矩形ABCD为2阶奇异矩形．（1）判断与操作：如图2，矩形ABCD长为5，宽为2，它是奇异矩形吗？如果是，请写出它是几阶奇异矩形，并在图中画出裁剪线；如果不是，请说明理由．（2）探究与计算：已知矩形ABCD的一边长为20，另一边长为a（a＜20），且它是3阶奇异矩形，请画出矩形四、中考真题演练一、选择题1．（2013•成都）在平面直角坐标系中，下列函数的图象经过原点的是（）A．y=－x+3 B．y= 5xC．y=2x D．y=－2x2+x－71．C2．（2013•绍兴）若圆锥的轴截图为等边三角形，则称此圆锥为正圆锥，则正圆锥的侧面展开图的圆心角是（）A．90°B．120°C．150°D．180°2．DA．40 B．45 C．51 D．563．C4．（2013•乌鲁木齐）对平面上任意一点（a，b），定义f，g两种变换：f（a，b）=（a，－b）．如f（1，2）=（1，－2）；g（a，b）=（b，a）．如g（1，2）=（2，1）．据此得g（f（5，－9））=（）A．（5，－9）B．（－9，－5）C．（5，9）D．（9，5）4．D5．（2013•常德）连接一个几何图形上任意两点间的线段中，最长的线段称为这个几何图形的直径，根据此定义，图（扇形、菱形、直角梯形、红十字图标）中“直径”最小的是（）A．B．C．D．5．C二、填空题6．（2013•上海）当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为．6．30°7．（2013•宜宾）如图，△ABC是正三角形，曲线CDEF叫做正三角形的渐开线，其中弧CD、弧DE、弧EF的圆心依次是A、B、C，如果AB=1，那么曲线CDEF的长是．三、解答题10．（2013•莆田）定义：如图1，点C在线段AB上，若满足AC2=BC•AB，则称点C为线段AB的黄金分割点．（3）作EF ⊥AB 于F ，EG ⊥AD 于G ，EH ⊥CD 于H ，∴∠BFE =∠CHE =90°．∵AE 平分∠BAD ，DE 平分∠ADC ，∴EF =EG =EH ，在Rt △EFB 和Rt △EHC 中BE CE EF EH=⎧⎨=⎩， ∴Rt △EFB ≌Rt △EHC （HL ），∴∠3=∠4．∵BE =CE ，∴∠1=∠2．∴∠1+∠3=∠2+∠4即∠ABC =∠DCB ，∵ABCD 为AD 截某三角形所得，且AD 不平行BC ，∴ABCD 是“准等腰梯形”．当点E 不在四边形ABCD 的内部时，有两种情况：如图4，当点E 在BC 边上时，同理可以证明△EFB ≌△EHC ，∴∠B =∠C ，∴ABCD 是“准等腰梯形”．如图5，当点E 在四边形ABCD 的外部时，同理可以证明△EFB ≌△EHC ，∴∠EBF =∠ECH ．∵BE =CE ，∴∠3=∠4，∴∠EBF －∠3=∠ECH －∠4，即∠1=∠2，。

初三数学专题复习——新概念题型

初三数学专题复习新概念型问题一、选择题1.古希腊著名的毕达哥拉斯派1、3、6、10、…这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16…这样的数称为“正方形数".从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和，下列等式中,符合这一规律的是( ） A 。

13=3+10 B.25=9+16 C.36=15+21 D 。

49=18+31 【答案】C 2．小翔在如图1所示的场地上匀速跑步，他从点A 出发，沿箭头所示的方向经过B 跑到点C ，共用时30秒．他的教练选择了一个固定的位置观察小翔的跑步过程．设小翊跑步的时间为t （单位:秒），他与教练距离为y (单位：米），表示y 与t 的函数关系的图象大致如图2，刚这个固定位置可能是图1的( ） A ．点M B ．点N C ．点P D ．Q答案：D.3。

如图所示为一个污水净化塔内部，污水从上方入口进入后流经形如等腰直角三角形的净化材枓表面，流向如图中箭头所示，每一次水流流经三角形两腰的机会相同，经过四层净化后流入底部的5个出口中的一个．下列判断：①5个出口的出水量相同；②2号出口的出水量与4号出口的出水量相同；③1，2，3号出水口的出水量之比约为1：4：6;④若净化材枓损耗的速度与流经其表面水的数量成正比，则更换最慢的一个三角形材枓使用的时间约为更换最快的一个三角形材枓使用时间的6倍．其中正确的判断有（ )个． A ．1个B ．２个C ．３个D ．４个答案:B4．已知2222211211,c x b x a y c x b x a y ++=++=且满足)1,0(212121≠===k k c c b b a a .则称抛物线21,y y 互为“友好抛物线"，则下列关于“友好抛物线”的说法不正确的是（）O30 t / 秒y /米QNM PC B AA 、y 1,y 2开口方向，开口大小不一定相同B 、因为y 1，y 2的对称轴相同C 、如果y 2的最值为m ,则y 1的最值为kmD 、如果y 2与x 轴的两交点间距离为d ，则y 1与x 轴的两交点间距离为d k 答案:D二、填空题5。

中考数学复习专题讲座：新概念型问题(含答案)

中考数学专题讲座二：新概念型问题一、中考专题诠释所谓“新概念”型问题，主要是指在问题中概念了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新概念进行运算、推理、迁移的一种题型.“新概念”型问题成为近年来中考数学压轴题的新亮点.在复习中应重视学生应用新的知识解决问题的能力二、解题策略和解法精讲“新概念型专题”关键要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法；二是根据问题情景的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移．三、中考典例剖析考点一：规律题型中的新概念考点二：运算题型中的新概念整理得：x2+2x+1-（1-2x+x2）-8=0，即4x=8，解得：x=2．故答案为：2点评：此题考查了整式的混合运算，属于新概念的题型，涉及的知识有：完全平方公式，去括号、合并同类项法则，根据题意将所求的方程化为普通方程是解本题的关键．对应训练2．（株洲）若（x1，y1）•（x2，y2）=x1x2+y1y2，则（4，5）•（6，8）=．考点三：探索题型中的新概念例3（南京）如图，A、B是⊙O上的两个定点，P是⊙O上的动点（P不与A、B重合）、我们称∠APB是⊙O上关于点A、B的滑动角．（1）已知∠APB是⊙O上关于点A、B的滑动角，①若AB是⊙O的直径，则∠APB=°；②若⊙O的半径是1，AB=，求∠APB的度数；（2）已知O2是⊙O1外一点，以O2为圆心作一个圆与⊙O1相交于A、B两点，∠APB是⊙O1上关于点A、B的滑动角，直线PA、PB分别交⊙O2于M、N（点M与点A、点N与点B均不重合），连接AN，试探索∠APB与∠MAN、∠ANB之间的数量关系．思路分析：（1）①根据直径所对的圆周角等于90°即可求解；②根据勾股定理的逆定理可得∠AOB=90°，再分点P在优弧上；点P在劣弧上两种情况讨论求解；（2）根据点P在⊙O1上的位置分为四种情况得到∠APB与∠MAN、∠ANB之间的数量关系．解：（1）①若AB是⊙O的直径，则∠APB=90．②如图，连接AB、OA、OB．在△AOB中，∵OA=OB=1．AB=，∴OA2+OB2=AB2．∴∠AOB=90°．当点P在优弧上时，∠AP1B=∠AOB=45°；当点P在劣弧上时，∠AP2B=（360°﹣∠AOB）=135°…6分（2）根据点P在⊙O1上的位置分为以下四种情况．第一种情况：点P在⊙O2外，且点A在点P与点M之间，点B在点P与点N之间，如图①∵∠MAN=∠APB+∠ANB，∴∠APB=∠MAN﹣∠ANB；第二种情况：点P在⊙O2外，且点A在点P与点M之间，点N在点P与点B之间，如图②．∵∠MAN=∠APB+∠ANP=∠APB+（180°﹣∠ANB），∴∠APB=∠MAN+∠ANB﹣180°；第三种情况：点P在⊙O2外，且点M在点P与点A之间，点B在点P与点N之间，如图③．∵∠APB+∠ANB+∠MAN=180°，∴∠APB=180°﹣∠MAN﹣∠ANB，第四种情况：点P在⊙O2内，如图④，∠APB=∠MAN+∠ANB．点评：综合考查了圆周角定理，勾股定理的逆定理，点与圆的位置关系，本题难度较大，注意分类思想的运用．对应训练3．（陕西）如果一条抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．（1）“抛物线三角形”一定是三角形；（2）若抛物线y=-x2+bx（b＞0）的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b的值；（3）如图，△OAB是抛物线y=-x2+b′x（b′＞0）的“抛物线三角形”，是否存在以原点O为对称中心的矩形ABCD？若存在，求出过O、C、D三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由．考点四：开放题型中的新概念考点五：阅读材料题型中的新概念四、中考真题演练一、选择题1．（六盘水）概念：f（a，b）=（b，a），g（m，n）=（-m，-n）．例如f（2，3）=（3，2），g（-1，-4）=（1，4）．则g[f（-5，6）]等于（）A．（-6，5）B．（-5，-6）C．（6，-5）D．（-5，6）A．5B．6C．7D．8点评：本题考查的是实数的运算，根据题意得出输出数的式子是解答此题的关键．3．（丽水）小明用棋子摆放图形来研究数的规律．图1中棋子围城三角形，其棵数3，6，9，12，…称为三角形数．类似地，图2中的4，8，12，16，…称为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是（）A．2010B．2012C．2014D．2016二、填空题4．（常德）规定用符号[m]表示一个实数m的整数部分，例如：[]=0，[3.14]=3．按此规定[]的值为．5．（随州）概念：平面内的直线1l与2l相交于点O，对于该平面内任意一点M，点M到直线1l、2l的距离分别为a、b，则称有序非实数对（a，b）是点M的“距离坐标”，根据上述概念，距离坐标为（2，3）的点的个数是（）三、解答题410．（无锡）对于平面直角坐标系中的任意两点到直线y=ax+b11．（厦门）如图，在平面直角坐标系中，已知点解：∵（x1，y1）•（x2，y2）=x1x2+y1y2，∴（4，5）•（6，8）=4×6+5×8=64，故答案为64．四、中考真题演练一、选择题1．A2．B．3．D解：∵3，6，9，12，…称为三角形数，∴三角数都是3的倍数，∵4，8，12，16，…称为正方形数，∴正方形数都是4的倍数，∴既是三角形数又是正方形数的是12的倍数，∵2010÷12=167…6，2012÷12=167…8，2014÷12=167…10，2016÷12=168，∴2016既是三角形数又是正方形数．故选D．二、填空题4．4解：∵3＜＜4，∴3+1＜+1＜4+1，∴4＜+1＜5，∴[+1]=4，故答案为：4．5．C解：如图所示，所求的点有4个，三、解答题22，。

XXXX中考数学复习：新概念型问题(含答案)

XXXX中考数学复习：新概念型问题(含答案)专题讲座二:新概念问题参考答案的相应培训3。

解决方案:(1)如图所示；根据抛物线的对称性，抛物线的顶点a必须在o和b的垂直平分线上，所以OA=AB，即“抛物线三角形”必须是等腰三角形。

所以填写:等腰。

(2)∫抛物线y =-x+bx (b > 0)“抛物线三角形”是等腰直角三角形，2bb2∴抛物线的顶点(，24 ∴b = 2.bb2)满足吗？(b > 0)。

24 (3)存在。

如图所示，如果△OCD和△OAB关于原点o的中心对称，那么四边形ABCD就是一个平行四边形。

当OA=OB时，平行四边形ABCD是一个矩形，而ao = ab，∴△OAB是一个等边三角形。

和AE ⊥OB一样，垂直的脚是e，∴= 3e。

= B2 ∴43？b？(0)。

2 ∴b’ = 2 ∴a (∴c (-3.3，3)，b (23，0.3，-3)，d (-23，0)。

2如果点o，c，d的抛物线是y=mx+nx，那么-1-？？12米？23n？0，？？？3m？3n？？3？？m？成功了吗？。

？？n？因此，抛物线的表达式是y = x+223 x . 8 .(1)1；(2)12或3 4或34解决方案:(1)还有另一条类似的线。

如图1所示，如果交叉点p是L3∑BC交流与q交流，则△apq∑ABC；所以答案是:1。

(2)将P(lx)切割的三角形面积设为S，S=如图2所示，有4条相似线:14S△ABC，则相似率为1: 2。

bp1 = ba2bp1 ②文章2l，其中p是斜边AB的中点，l∑AC，8756；= ba2①文章1l1，其中p是斜边AB的中点，L1∑AC，8756；22；；(3)第3条l3，其中BP和BC为对应侧，BP1=BC2AP1=AC2，bpb3cos30？= = BABC4(4)第4条l4，其中AP和AC是相应的一方，以及∴APAP1的∴？sin30？？ABAC4BP3=BA4..因此，答案是:12或34或3.410。

2011年全国中考数学模拟汇编50新概念型问题(2份)

53.实验应用型问题A组一选择题1. （南京市浦口区2011年中考一模）如图，从边长为（a＋3）cm的正方形纸片中剪去一个边长为3cm 的正方形，剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），若拼成的矩形一边长为a cm，则另一边长是（▲）A．（2 a＋3）cm B．（2 a＋6）cm C．（2a＋3）cm D．（a＋6）cm答案：D2．（南京市下关区秦淮区沿江区2011年中考一模）将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB＝6，则BC的长为( ▲ )A．1 B．2 2 C．2 3 D．12答案：C二填空题1、(2011海淀一模) 如图，矩形纸片ABCD中，6,10AB BC==.第一次将纸片折叠，使点B与点D重合，折痕与BD交于点1O；设1O D的中点为1D，第二次将纸片折叠使点B与点1D重合，折痕与BD交于点2O；设21O D的中点为2D，第三次将纸片折叠使点B与点2D重合，折痕与BD交于点3O，….按上述方法折叠，第n次折叠后的折痕与BD交于点n O，则1BO= ，nBO= ．a+3a（第1题）BA DCA D1O1O1D1D2D1OA D A D…第一次折叠第二次折叠第三次折叠 …考查内容: 答案：212332n n --2．（南京市建邺区2011年中考一模）一张矩形纸片经过折叠得到一个三角形（如图），则矩形的长与宽的比为 ▲ ．答案：2︰ 3 （或2 3或2 33 ）三解答题 1．（南京市雨花台2011年中考一模）（8分）如图，有两个可以自由转动的均匀转盘A 、B ,转盘A 上一条直径与一条半径垂直，转盘B 被分成相等的3份，并在每份内均标有数字．小明和小刚用这两个转盘做游戏，游戏规则如下： ①分别转动转盘A 与B ；②两个转盘停止后，将两个指针所指份内的数字相加（如果指针恰好停在等分线上，那么重转一次，直到指针指向某一份为止）；③如果和为0,则小明获胜；否则小刚获胜．（1）用列表法（或树状图）求小明获胜的概率；（2）你认为这个游戏对双方公平吗？如果你认为不公平，请适当改．动规则．．．使游戏对双方公平．答案：24．（1）P (小明获胜)=14(列表或画出树状图得3分，求对概率得2分)… 5分（2）游戏对双方不公平. ………6分规则改为：看两个数字之积，如果积为0,则小明胜，否则小刚胜.（第3题图）（其他改动只要符合要求也可） ………8分2．（南京市下关区秦淮区沿江区2011年中考一模）(6分) “五一劳动节大酬宾！”，某家具城设计的促销活动如下：在一个不透明的箱子里放有4个相同的小球，球上分别标有“0元”、“10元”、“20元”和“50元”的字样．规定：在本商场同一日内，顾客每消费满500元，就可以在箱子里先后摸出两个球(第一次摸出后不放回)．商场根据两小球所标金额的和返还相等价格的购物券，购物券可以在本商场消费．某顾客刚好消费500元． (1)该顾客至多可得到元购物券；(2)请你用画树状图或列表的方法，求出该顾客所获得购物券的金额不低于30元的概率．答案：(1) 70；……………………1分 (2) 列表如下(树状图解法略)……………………3分按题意，顾客从箱子中先后摸出两个球，共有12种结果，且每种结果都是等可能出现的，……………………4分其中顾客所获得购物券的金额不低于30元共有8种结果，所以P (不低于30元)＝23 ．……………………6分3.（南京市浦口区2011年中考一模）（6分）为了庆祝六一儿童节，某食品厂制作了3种不同的精美卡片，每袋食品随机装入一张卡片，集齐三种卡片可获奖，现购买该种食品3袋，能获奖的概率是多少？解：分别用卡1、卡2、卡3表示3张卡片，用“树状图”列出所有可能的结果：---------------------------------------------------------------------------------------------------------（3分）从树状图可以看出，一共有27种可能的结果，并且它们都是等可能的.“集齐三种卡片”记为事件B ，它的发生有6种可能，··························································································(4分)第二次结果第一次0元10元20元50元0元(0，10) (0，20) (0，50) 10元 (10，0)(10，20) (10，50) 20元 (20，0) (20，10)(20，50)50元(50，0)(50，10)(50，20)所以事件B 的概率92276)(==B P ·······································································（6分）即集齐三种卡片的概率是92. 4．（南京市溧水县2011年中考一模）（8分）小明同学看到路边上有人设摊玩“有奖掷币”游戏，规则是：交2元钱可以玩一次掷硬币游戏，每次同时掷两枚硬币，如果出现两枚硬币正面朝上，奖金5元；如果是其它情况，则没有奖金（每枚硬币落地只有正面朝上和反面朝上两种情况）．小明拿不定主意究竟是玩还是不玩，请同学们帮帮忙！（1）求出中奖的概率；（2）如果有100人，每人玩一次这种游戏，大约有 ▲ 人中奖，奖金共约是 ▲ 元；设摊者约获利 ▲ 元；（3）通过以上“有奖”游戏，你从中可得到什么启示？答案：解：（1）41.……………………………………………………………3分（2）25, 125, 75.……………………………………………………………6分（3）获奖的概率较低，小明同学还是要三思而后行，最好还是不要去玩.如果是国家严令禁止的赌博行为，我们还应该及时举报，让有关部门予以取缔.…………………………8分（说明：第（3）问，只要回答合理就酌情给分. ）5．（南京市江宁区2011年中考一模）（本题8分）某班“2011年新春联欢会”中，有一个摸奖游戏，规则如下：有4张纸牌，背面都是喜羊羊头像，正面有2张笑脸、 2张哭脸．现将4张纸牌洗匀后背面朝上摆放到桌上，然后让同学去翻纸牌．（1）现小芳有一次翻牌机会，若正面是笑脸的就获奖，正面是哭脸的不获奖．她从中随机翻开一张纸牌，小芳获奖的概率是．（2）如果小芳、小明都有翻两．张．牌．的机会．小芳先翻一张，放回后再翻一张；小明同时翻开两张纸牌．他们翻开的两张纸牌中只要出现笑脸就获奖．他们获奖的机会相等吗？请说明理由．答案：（1）12（或填0.5）．………………………………………………………………2分（2）他们获奖的机会不相等……………………………………………………………3分P （小芳获奖）=34………………………………………………………………………5分 P （小明获奖）=56………………………………………………………………………7分因为34≠56，所以他们获奖的机会不相等……………………………………………8分6．（南京市鼓楼区2011年中考一模）（7分）在一个不透明的盒子中，放入2个白球和1个红球，这些球除颜色外都相同．（1）搅匀后从中任意摸出2个球，请通过列表或树状图求摸出2个球都是白球的概率；（2）搅匀后从中任意摸出1个球，记录下颜色后放回袋中，再次搅匀后从中任意摸出1个球，则2次摸出的球都是白色的概率为 ▲ ；（3）现有一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成60个相等的扇形，这些扇形除颜色外完全相同，其中40个扇形涂上白色，20个扇形涂上红色，转动转盘2次，指针2次都指向白色区域的概率为▲ ．答案：（1）分别用白1、白2、红表示这3个球．从中任意摸出2个球，所有可能出现的结果如下：一个球另一个球结果白1 白2 (白1，白1) 白1 红（白1，红）白2 白1 （白2，白1）白2 红（白2，红）红白1 （红，白1）红白2 （红，白2）共有6种结果，它们出现的可能性相同．…………………………3分所有的结果中，摸到的2个球都是白球的结果有2种，所以P （摸出2个白球）＝ 13． …………………………4分（2）49…………………………6分⑶ 49…………………………7分7．（南京市高淳县2011年中考一模）(8分)小亮与小明做投骰子（质地均匀的正方体）的实验与游戏．（1）在实验中他们共做了50次试验，试验结果如下：① 填空：此次实验中，“1点朝上”的频率是 ▲ ；② 小亮说：“根据实验，出现1点朝上的概率最大．”他的说法正确吗？为什么？（2）在游戏时两人约定：每次同时掷两枚骰子，如果两枚骰子的点数之和超过6，则小亮获胜，否则小明获胜．则小亮与小明谁获胜的可能性大？试说明理由．解：(8分)（1）① 0.2 ………1分② 不正确 ………2分因为在一次实验中频率并不等于概率，只有当实验中试验次数很大时，频率才趋近于概率． ………3分（2）列表如下：第2枚骰子掷得第1枚的点数骰子掷得的点数1234561 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3456789朝上的点数 1 2 3 4 5 6 出现的次数10969884 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6789101112………5分所有可能的结果共有36种，每一种结果出现的可能性相同．所以P （点数之和超过6）＝2136 ，P （点数之和不超过6）＝1536………7分因为2136 ＞1536，所以小亮获胜的可能性大．………8分8．（南京市鼓楼区2011年中考一模）（8分）小平所在的学习小组发现，车辆转弯时，能否顺利通过直角弯道的标准是，车辆是否可以行驶到和路的边界夹角是45°的位置（如图1中②的位置）．例如，图2是某巷子的俯视图，巷子路面宽4 m ，转弯处为直角，车辆的车身为矩形ABCD ，CD 与DE 、CE 的夹角都是45°时，连接EF ，交CD 于点G ，若GF 的长度至少能达到车身宽度，即车辆能通过．（1）小平认为长8m ，宽3m 的消防车不能通过该直角转弯，请你帮他说明理由；（2）小平提出将拐弯处改为圆弧（⌒ MM ′和⌒ NN ′是以O 为圆心，分别以OM 和ON 为半径的弧），长8m ，宽3m 的消防车就可以通过该弯道了，具体的方案如图3，其中OM ⊥OM ′，你能帮小平算出，ON 至少为多少时，这种消防车可以通过该巷子，？答案：解：（1）作FH ⊥EC ，垂足为H ， ∵FH ＝EH ＝4，∴EF ＝42．且∠GEC ＝45°， ∵GC ＝4， ∴GE ＝GC ＝4．∴GF ＝42－4＜3，即GF 的长度未达到车身宽度， ∴消防车不能通过该直角转弯． ………………………3分（2）若C 、D 分别与M ′、M 重合，则△OGM 为等腰直角三角形. ∴OG ＝4，OM ＝42,∴OF ＝ON ＝OM －MN ＝42－4. ∴FG ＝8－42＜3．∴C 、D 在 ⌒ MM′上． ①② ③ M ′N MON ′图2 图3图1 D C B A EF G DCA EMNGD C BAE F GH（以上未说明不扣分）设ON ＝ x ，连接OC ．在Rt △OCG 中， OG ＝x ＋3，OC ＝x ＋4，CG ＝4，由勾股定理得 OG 2＋CG 2＝OC 2，即（x ＋3）2＋42＝（x ＋4）2．…………………………6分解得 x ＝4.5 …………………………7分答：ON 至少为4.5米…………………………8分9．（南京市建邺区2011年中考一模）(8分) 现有一张宽为12cm 练习纸，相邻两条格线间的距离均为0.8cm ．调皮的小聪在纸的左上角用印章印出一个矩形卡通图案，图案的顶点恰好在四条格线上（如图），测得∠α＝32°．（1）求矩形图案的面积；（2）若小聪在第一个图案的右边以同样的方式继续盖印（如图），最多能印几个完整的图案？（参考数据：sin32°≈0.5，cos32°≈0.8，tan32°≈0.6）答案：（本题8分）（1）如图，在Rt △BCE 中， ∵sin α=CE BC ，∴BC = CEsin α =5.08.0 = 1.6 ····························································· 2分∵矩形ABCD 中，∴∠BCD=90°，∴∠BCE +∠FCD=90°，又∵在Rt △BCE 中，∴∠EBC +∠BCE=90°，∴∠FCD=32°．在Rt △FCD 中，∵cos ∠FCD=FCCD ，∴CD=︒32cos FC =8.06.1=2 ································· 4分∴橡皮的长和宽分别为2cm 和1.6cm ．（2）如图，在Rt △ADH 中，易求得∠DAH=32°．∵cos ∠DAH=ADAH ，∴AH=︒32cos AD =8.06.1=2 ··················································································· 5分在Rt △CGH 中，∠GCH=32°．∵tan ∠GCH=GHCG，∴GH=CG tan32°= 0.8×0.6 = 0.48 ····································································· 7分又∵6×2+0.48＞12，5×2+0.48＜12，3×4+0.9616，∴最多能摆放5块橡皮． ················ 8分0.8cm …… 12cmα （第12题图） E…… 0.8cm 12cmα B A CD F G H10．（南京市鼓楼区2011年中考一模）（7分）某课桌生产厂家研究发现，倾斜12°～24°的桌面有利于学生保持躯体自然姿势．根据这一研究，厂家决定将水平桌面做成可调节角度的桌面．新桌面的设计图如图1，AB 可绕点A 旋转，在点C 处安装一根可旋转的支撑臂CD ，AC ＝30cm ．（1）如图2，当∠BAC ＝24°时，CD ⊥AB ，求支撑臂CD 的长；（2）如图3，当∠BAC ＝12°时，求AD 的长．（结果保留根号）（参考数据： sin24°≈0.40，cos24°≈0.91，tan24°≈0.46， sin12°≈0.20）解：（1）在Rt △ADC 中，AC ＝30，∠DAC ＝24°，sin ∠DAC ＝DCAC ，∴DC ＝AC ·sin ∠DAC ≈30×0.40＝12．…………………………3分答：支撑臂DC 的长为12 cm ．（2）本题分两种情况，过点C 作CE ⊥AB ，垂足为E ．在Rt △ACE 中，AC ＝30，∠EAC ＝12°，sin ∠EAC ＝CEAC ，∴CE ＝AC ·sin ∠EAC ≈30×0.20＝6．…………………………4分AE ＝AC 2－CE 2 ＝302－62＝126．……5分在Rt △CDE 中，CD ＝12，CE ＝6，DE ＝DC 2－CE 2 ＝122－62＝63．……6分 ∴AD ＝126±63．答：AD 的长为(126＋63) cm ．…………………………7分11．（南京市建邺区2011年中考一模）（9分）操作：小明准备制作棱长为1cm 的正方体纸盒，现选用一些废弃的圆形纸片进行如下设计：图1CBAD CBA D图2图3CBA说明：方案一图形中的圆过点A 、B 、C ；方案二直角三角形的两直角边与ABC方案一方案二纸片利用率=纸片被利用的面积纸片的总面积×100%发现：（1）方案一中的点A 、B 恰好为该圆一直径的两个端点．你认为小明的这个发现是否正确，请说明理由．（2）小明通过计算，发现方案一中纸片的利用率仅约为38.2%．请帮忙计算方案二的利用率，并写出求解过程．探究：（3）小明感觉上面两个方案的利用率均偏低，又进行了新的设计（方案三），请直接写出方案三的利用率．答案：发现：（1）小明的这个发现正确． ···································································· 1分理由：解法一：如图一：连接AC 、BC 、AB ，∵AC ＝BC ＝ 5 ，AB ＝10∴AC 2+BC 2＝AB 2 ∴∠BAC ＝90°， ······································· 2分 ∴AB 为该圆的直径． ··························································· 3分解法二：如图二：连接AC 、BC 、AB ．易证△AMC ≌△BNC ，∴∠ACM ＝∠CBN ．又∵∠BCN ＋∠CBN ＝90°，∴∠BCN ＋∠ACM ＝90°，即∠BAC ＝90°， · 2分 ∴AB 为该圆的直径． ································································· 3分（2）如图三：易证△ADE ≌△EHF ，∴AD ＝EH ＝1．············································ 4分∵DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ACB ，∴AD AC ＝DE CB ∴14 ＝2CB ，∴BC ＝8． ······················ 5分∴S △ACB ＝16． ······························································································· 6分∴该方案纸片利用率＝展开图的面积纸板的总面积×100%＝616 ×100%＝37.5% ························· 7分说明：方案三中的每条边均过其中两个方案三图一M图二NCBA DEFH图三探究：（3）180361 ···························································································· 9分12．（南京市六合区2011年中考一模）（8分）我们通常可以对一些图形进行剪切,并利用图形的轴对称、平移、旋转等进行图案设计,如图1中,可以沿线段AE 剪切矩形ABCD ,再将△ABE 通过变换与梯形 AECD 拼接成等腰梯形. 请按下列要求进行图案设计:（1）把矩形剪切2次拼接成一个菱形，请在图2中画出剪切线，再画出拼接示意图；（2）把矩形剪切１次拼接成一个菱形，请在图３中画出剪切线，再画出拼接示意图.答案：（1）……………………4分（2）……………………8分13、(2011海淀一模) 如图1，已知等边△ABC 的边长为1，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、AC 边上的点（均不与点A 、B 、C 重合），记△DEF 的周长为p .（1）若D 、E 、F 分别是AB 、BC 、AC 边上的中点，则p =_______；（2）若D 、E 、F 分别是AB 、BC 、AC 边上任意点，则p 的取值范围是 .小亮和小明对第（2）问中的最小值进行了讨论，小亮先提出了自己的想法：将ABC △以AC 边为轴翻折一次得1AB C △，再将1AB C △以1B C 为轴翻折一次得11A B C △，如图2所示. 则由轴对称的性质可知，112DF FE E D p ++=，根据两点之间线段最短，可得2p DD ≥. 老师听了后说：“你的想法很好，但2DD 的长度会因点D 的位置变化而变化，所以还得不出我们想要的结果.”小明接过老师的话说：“那我们继续再翻折3次就可以了”.请参考他们的想法，写出你的答案.考查内容: 答案：（1）32p =; ……………………….……………………………2分（2）332p <≤. ………………………….……………………………5分14、如图甲，在ABC △中，ACB ∠为锐角，点D 为射线BC 上一点，连接AD ，以AD 为一边且在AD的右侧作正方形ADEF ．解答下列问题：（1）如果AB AC =，90BAC =∠，点D 在射线BC 上运动时（与点B 不重合），如图，线段CF BD ，之间的位置关系为 * * * ，数量关系为 * * * ．请利用图乙或图丙予以证明(选择一个即可)。

中考数学复习专题6-新概念型问题

中考数学复习专题五：新概念型问题所谓“新概念”型问题，主要是指在问题中概念了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新概念进行运算、推理、迁移的一种题型.解题策略和解法精讲“新概念型专题”关键要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法；二是根据问题情景的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移．考点一：规律题型中的新概念例1 （永州）我们把按照一定顺序排列的一列数称为数列，如1，3，9，19，33，…就是一个数列，如果一个数列从第二个数起，每一个数与它前一个数的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做这个等差数列的公差．如2，4，6，8，10就是一个等差数列，它的公差为2．如果一个数列的后一个数与前一个数的差组成的新数列是等差数列，则称这个数列为二阶等差数列．例如数列1，3，9，19，33，…，它的后一个数与前一个数的差组成的新数列是2，6，10，14，…，这是一个公差为4的等差数列，所以，数列1，3，9，19，33，…是一个二阶等差数列．那么，请问二阶等差数列1，3，7，13，…的第五个数应是． 1．若x 是不等于1的实数，我们把 11x -称为x 的差倒数，如2的差倒数是 112-=-1，-1的差倒数为 11(1)--= 12，现已知x 1=- 13，x 2是x 1的差倒数，x 3是x 2的差倒数，x 4是x 3的差倒数，…，依次类推，则x 2012= ．考点二：运算题型中的新概念例2 （菏泽）将4个数a ，b ，c ，d 排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成a b c d ，概念a b c d=ad-bc ，上述记号就叫做2阶行列式．若1111x x x x +--+=8，则x= ． 2．（株洲）若（x 1，y 1）•（x 2，y 2）=x 1x 2+y 1y 2，则（4，5）•（6，8）= ．考点三：探索题型中的新概念例3 （南京）如图，A 、B 是⊙O 上的两个定点，P 是⊙O 上的动点（P 不与A 、B重合）、我们称∠APB 是⊙O 上关于点A 、B 的滑动角．（1）已知∠APB 是⊙O 上关于点A 、B 的滑动角，①若AB 是⊙O 的直径，则∠APB= °；②若⊙O 的半径是1，AB=，求∠APB 的度数；（2）已知O 2是⊙O 1外一点，以O 2为圆心作一个圆与⊙O 1相交于A 、B 两点，∠APB是⊙O 1上关于点A 、B 的滑动角，直线PA 、PB 分别交⊙O 2于M 、N （点M 与点A 、点N 与点B 均不重合），连接AN ，试探索∠APB 与∠MAN 、∠ANB 之间的数量关系．3．（陕西）如果一条抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）与x 轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．（1）“抛物线三角形”一定是三角形；（2）若抛物线y=-x 2+bx （b ＞0）的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b 的值；（3）如图，△OAB 是抛物线y=-x 2+b′x （b′＞0）的“抛物线三角形”，是否存在以原点O 为对称中心的矩形ABCD ？若存在，求出过O 、C 、D 三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由．考点四：开放题型中的新概念例4 （北京）在平面直角坐标系xOy 中，对于任意两点P 1（x 1，y 1）与P 2（x 2，y 2）的“非常距离”，给出如下概念：若|x 1-x 2|≥|y 1-y 2|，则点P 1与点P 2的“非常距离”为|x 1-x 2|；若|x1-x2|＜|y1-y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|y1-y2|．例如：点P1（1，2），点P2（3，5），因为|1-3|＜|2-5|，所以点P1与点P2的“非常距离”为|2-5|=3，也就是图1中线段P1Q与线段P2Q长度的较大值（点Q为垂直于y轴的直线P1Q与垂直于x轴的直线P2Q交点）．（1）已知点A（-12，0），B为y轴上的一个动点，①若点A与点B的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B的坐标；②直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值；（2）已知C是直线y=34x+3上的一个动点，①如图2，点D的坐标是（0，1），求点C与点D的“非常距离”的最小值及相应的点C的坐标；②如图3，E是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C与点E的“非常距离”的最小值及相应的点E与点C的坐标．4．（台州）请你规定一种适合任意非零实数a，b的新运算“a⊕b”，使得下列算式成立：1⊕2=2⊕1=3，（-3）⊕（-4）=（-4）⊕（-3）=- 76，（-3）⊕5=5⊕（-3）=-415，…你规定的新运算a⊕b= （用a，b的一个代数式表示）．考点五：阅读材料题型中的新概念例5 （常州）平面上有两条直线AB、CD相交于点O，且∠BOD=150°（如图），现按如下要求规定此平面上点的“距离坐标”：（1）点O的“距离坐标”为（0，0）；（2）在直线CD上，且到直线AB的距离为p（p＞0）的点的“距离坐标”为（p，0）；在直线AB上，且到直线CD的距离为q（q＞0）的点的“距离坐标”为（0，q）；（3）到直线AB、CD的距离分别为p，q（p＞0，q＞0）的点的“距离坐标”为（p，q）．设M为此平面上的点，其“距离坐标”为（m，n），根据上述对点的“距离坐标”的规定，解决下列问题：（1）画出图形（保留画图痕迹）：①满足m=1，且n=0的点M的集合；②满足m=n的点M的集合；（2）若点M在过点O且与直线CD垂直的直线l上，求m与n所满足的关系式．（说明：图中OI长为一个单位长）5．（钦州）在平面直角坐标系中，对于平面内任意一点（x，y），若规定以下两种变换：①f（x，y）=（y，x）．如f（2，3）=（3，2）；②g（x，y）=（-x，-y），如g（2，3）=（-2，-3）．按照以上变换有：f（g（2，3））=f（-2，-3）=（-3，-2），那么g（f（-6，7））等于（）A．（7，6）B．（7，-6）C．（-7，6）D．（-7，-6）一、选择题1．（六盘水）概念：f（a，b）=（b，a），g（m，n）=（-m，-n）．例如f（2，3）=（3，2），g（-1，-4）=（1，4）．则g[f（-5，6）]等于（）A．（-6，5）B．（-5，-6）C．（6，-5）D．（-5，6）2．（湘潭）文文设计了一个关于实数运算的程序，按此程序，输入一个数后，输出的数比输入的数的平方小1，若输入7，则输出的结果为（） A ．5 B ．6 C ．7 D ．8点评：本题考查的是实数的运算，根据题意得出输出数的式子是解答此题的关键．3．（丽水）小明用棋子摆放图形来研究数的规律．图1中棋子围城三角形，其棵数3，6，9，12，…称为三角形数．类似地，图2中的4，8，12，16，…称为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是（）A ．2010B ．2012C ．2014D ．2016二、填空题 4．规定用符号[m]表示一个实数m 的整数部分，例如：[]=0，[3.14]=3．按此规定[]的值为． 5．概念：平面内的直线1l 与2l 相交于点O ，对于该平面内任意一点M ，点M 到直线1l 、2l 的距离分别为a 、b ，则称有序非实数对（a ，b ）是点M 的“距离坐标”，根据上述概念，距离坐标为（2，3）的点的个数是（）A ．2B ．1C ．4D ．36．新概念：[a ，b]为一次函数y=ax+b （a≠0，a ，b 为实数）的“关联数”．若“关联数”[1，m-2]的一次函数是正比例函数，则关于x 的方程 11x -+1m=1的解为． 7．如图，△ABC 是正三角形，曲线CDEF 叫做正三角形的渐开线，其中弧CD 、弧DE 、弧EF 的圆心依次是A 、B 、C ，如果AB=1，那么曲线CDEF 的长是．8．在△ABC 中，P 是AB 上的动点（P 异于A 、B ），过点P 的直线截△ABC ，使截得的三角形与△ABC 相似，我们不妨称这种直线为过点P 的△ABC 的相似线，简记为P （l x ）（x 为自然数）．（1）如图①，∠A=90°，∠B=∠C ，当BP=2PA 时，P （l 1）、P （l 2）都是过点P 的△ABC 的相似线（其中l 1⊥BC ，l 2∥AC ），此外，还有条；（2）如图②，∠C=90°，∠B=30°，当 BP BA= 时，P （l x ）截得的三角形面积为△ABC 面积的14． 9．（铜仁地区）如图，概念：在直角三角形ABC 中，锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切，记作ctanα，即ctanα= αα角的邻边角的对边= AC BC，根据上述角的余切概念，解下列问题：（1）ctan30°= ；（2）如图，已知tanA=34，其中∠A 为锐角，试求ctanA 的值．10．（无锡）对于平面直角坐标系中的任意两点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），我们把|x 1-x 2|+|y 1-y 2|叫做P 1、P 2两点间的直角距离，记作d （P 1，P 2）．（1）已知O 为坐标原点，动点P （x ，y ）满足d （O ，P ）=1，请写出x 与y 之间满足的关系式，并在所给的直角坐标系中画出所有符合条件的点P 所组成的图形；（2）设P 0（x 0，y 0）是一定点，Q （x ，y ）是直线y=ax+b 上的动点，我们把d （P 0，Q ）的最小值叫做P 0到直线y=ax+b 的直角距离．试求点M （2，1）到直线y=x+2的直角距离．11．（厦门）如图，在平面直角坐标系中，已知点A （2，3）、B （6，3），连接AB ．如果点P 在直线y=x-1上，且点P 到直线AB 的距离小于1，那么称点P 是线段AB 的“临近点”．（1）判断点C （75,22）是否是线段AB 的“临近点”，并说明理由；（2）若点Q （m ，n ）是线段AB 的“临近点”，求m 的取值范围．12．（兰州）如图，概念：若双曲线y=k x （k ＞0）与它的其中一条对称轴y=x 相交于A 、B 两点，则线段AB 的长度为双曲线y=k x（k ＞0）的对径．（1）求双曲线y= 1x的对径．（2）若双曲线y=k x（k ＞0）的对径是102，求k 的值．（3）仿照上述概念，概念双曲线y= k x（k ＜0）的对径．。

中考数学新概念型问题

新概念型问题
考点二：运算题型中的新概念
2．（2012•株洲）若（x1，y1）•（x2，y2）=x1x2+y1y2，则（4，5）•（6，8）=．
考点三：探索题型中的新概念
例3 （2012•南京）如图，A、B是⊙O上的两个定点，P是⊙O上的动点（P不与A、B 重合）、我们称∠APB是⊙O上关于点A、B的滑动角．
（1）已知∠APB是⊙O上关于点A、B的滑动角，
①若AB是⊙O的直径，则∠APB=°；
②若⊙O的半径是1，AB=，求∠APB的度数；
（2）已知O2是⊙O1外一点，以O2为圆心作一个圆与⊙O1相交于A、B
两点，∠APB是⊙O1上关于点A、B的滑动角，直线PA、PB分别交⊙O2
于M、N（点M与点A、点N与点B均不重合），连接AN，试探索∠APB
与∠MAN、∠ANB之间的数量关系．
对应训练
3．（2012•陕西）如果一条抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴
有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的
三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．
（1）“抛物线三角形”一定是三角形；
（2）若抛物线y=-x2+bx（b＞0）的“抛物线三角形”是等腰直
角三角形，求b的值；
（3）如图，△OAB是抛物线y=-x2+b′x（b′＞0）的“抛物线三
角形”，是否存在以原点O为对称中心的矩形ABCD？若存在，
求出过O、C、D三点的抛物线的表达式；若不存在，说明理由．
A．（7，6）B．（7，-6）C．（-7，6）D．（-7，-6）。

2022年北京市中考数学一模模拟试题分类汇编新概念

2022年北京市中考数学一模试题分类汇编新概念一．解答题（共13小题）1．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，点A是平面内一点，过点A的直线交⊙O 于点B和点C（AB≤AC），0≤BC≤1，我们把点B称为点A关于⊙O的“斜射点”．（1）如图，在点A1（﹣1，1），A2（0，），A3（，0）中，存在关于⊙O的“斜射点”的是．（2）已知若A（0，2），点A关于⊙O的斜射点”为点B，则点B的坐标可以是．（写出两个即可）（3）若点A直线y＝kx+k上，点A关于⊙O的“斜射点”为B（﹣1，0），画出示意图，直接写出k的取值范围．2．在平面直角坐标系xOy中，对于点A和线段MN，如果点A，O，M，N按逆时针方向排列构成菱形AOMN，且∠AOM＝α，则称线段MN是点A的“α﹣相关线段”．例如，图1中线段MN是点A的“30°﹣相关线段”．（1）已知点A的坐标是（0，2）．①在图2中画出点A的“30°﹣相关线段”MN，并直接写出点M和点N的坐标；②若点A的“α﹣相关线段”经过点（，1），求α的值；（2）若存在α，β（α≠β）使得点P的“α﹣相关线段”和“β﹣相关线段”都经过点（0，4），记PO＝t，直接写出t的取值范围．3．在平面直角坐标系xOy中，已知正方形ABCD，其中A（﹣，0），B（0，），C（，0），D（0，﹣）．M，N为该正方形外两点，MN＝1．给出如下定义：记线段MN的中点为P，平移线段MN得到线段M′N′，使点M′，N′分别落在正方形ABCD的相邻两边上，或线段M′N′与正方形的边重合（M′，N′，P′分别为点M，N，P的对应点），线段PP′长度的最小值称为线段MN到正方形ABCD的“平移距离”．（1）如图1，平移线段MN，得到正方形ABCD内两条长度为1的线段M1N1，M2N2，则这两条线段的位置关系是；若P1，P2分别为M1N1，M2N2的中点，在点P1，P2中，连接点P与点的线段的长度等于线段MN到正方形ABCD 的“平移距离”．（2）如图2，已知点E（+1，0），若M，N都在直线BE上，记线段MN到正方形ABCD 的“平移距离”为d1，求d1的最小值；（3）若线段MN的中点P的坐标为（2，2），记线段MN到正方形ABCD的“平移距离”为d2，直接写出d2的取值范围．4．在平面直角坐标系xOy中，对于点p和线段ST，我们定义点P关于线段ST的线段比k＝．（1）已知点A（0，1），B（1，0）．①点Q（2，0）关于线段AB的线段比k＝；②点C（0，c）关于线段AB的线段比k＝，求c的值．（2）已知点M（m，0），点N（m+2，0），直线y＝x+2与坐标轴分别交于E，F两点，若线段EF上存在点使得这一点关于线段MN的线段比k≤，直接写出m的取值范围．5．在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点M（x1，y1），N（x2，y2），若|x1﹣x2|+|y1﹣y2|＝k（k为常数且k≠0），则称点M为点N的k倍直角点．根据以上定义，解决下列问题：（1）已知点A（1，1），①若点B（﹣2，3）是点A的k倍直角点，则k的值是；②在点C（2，3），D（﹣1，1），E（0，﹣2），O（0，0）中是点A的2倍直角点的是；③若直线y＝﹣2x+b上存在点A的2倍直角点，求b的取值范围；（2）⊙T的圆心T的坐标为（1，0），半径为r，若⊙T上存在点O的2倍直角点，直接写出r的取值范围．6．对于平面内的点P和图形M，给出如下定义：以点P为圆心，r为半径作圆．若⊙P与图形M有交点，且半径r存在最大值与最小值，则将半径r的最大值与最小值的差称为点P视角下图形M的“宽度d M”（1）如图1．点A（4，3），B（0，3）．①在点O视角下，则线段AB的“宽度d AB”为；②若⊙B半径为1.5，在点A视角下，⊙B的“宽度d⊙B”为．（2）如图2，⊙O半径为2．点P为直线y＝﹣x+1上一点．求点P视角下⊙O“宽度d⊙O”的取值范围；（3）已知点C（m，0），CK＝1，直线y＝x+3与x轴，y轴分别交于点D，E．若随着点C位置的变化，使得在所有点K的视角下，线段DE的“宽度”均满足0＜d DE＜6，直接写出m的取值范围．7．已知点P、Q分别为图形M和图形N上的任意点，若存在点P、Q使得PQ＝1，我们就称图形M、N为友好图形，P、Q为关于图形M、N的一对友好点．（1）已知点A（1，0），，C（﹣1，1）中，与点O为一对友好点；（2）已知⊙O半径r＝1，若直线y＝x+b与⊙O有且只有一对友好点，求b的值；（3）已知点，⊙D半径r＝1，若直线y＝x+m与⊙D是友好图形，求m的取值范围．8．如图，直线l和直线l外一点P，过点P作PH⊥l于点H，任取直线l上点Q，点H关于直线PQ的对称点为点H'，称点H'为点P关于直线l的垂对点．在平面直角坐标系xOy中，（1）已知点P（0，2），则点O（0，0），A（2，2），B（0，4）中是点P关于x轴的垂对点的是；（2）已知点M（0，m），且m＞0，直线y＝﹣x+4上存在点M关于x轴的垂对点，求m的取值范围；（3）已知点N（n，2），若直线y＝x+n上存在两个点N关于x轴的垂对点，直接写出n 的取值范围．9．对于平面直角坐标系xOy中的图形M和点P，给出如下定义：将图形M绕点P顺时针旋转90°得到图形N，图形N称为图形M关于点P的“垂直图形”．例如，图1中点D 为点C关于点P的“垂直图形”（1）点A关于原点O的“垂直图形”为点B．①若点A的坐标为（0，2），则点B的坐标为；②若点B的坐标为（2，1），则点A的坐标为；（2）E（﹣3，3），F（﹣2，3），G（a，0）．线段EF关于点G的“垂直图形”记为E′F′，点E的对应点为E′，点F的对应点为F′．①求点E′的坐标（用含a的式子表示）；②若⊙O的半径为2，E′F′上任意一点都在⊙O内部或圆上，直接写出满足条件的EE′的长度的最大值．10．对于平面直角坐标系xOy中的⊙O和图形N，给出如下定义：如果⊙O平移m个单位后，图形N上的所有点在⊙O内或⊙O上，则称m的最小值为⊙O对图形N的“覆盖近距”．（1）当⊙O的半径为1时，①若点A（3，0），则⊙O对点A的“覆盖近距”为；②若⊙O对点B的“覆盖近距”为1，写出一个满足条件的点B的坐标；③若直线y＝2x+b上存在点C，使⊙O对点的“覆盖近距”为1，求b的取值范围；（2）当⊙O的半径为2时，D（3，t），E（4，t+1），且﹣1≤t≤2．记⊙O对以DE为对角线的正方形的“覆盖近距”为d，直接写出d的取值范围．11．对于平面直角坐标系xOy中的线段PQ，给出如下定义：若存在△PQR使得S△PQR＝PQ2，则称△PQR为线段PQ的“等幂三角形”，点R称为线段PQ的“等幂点”．（1）已知A（3，0）．①在点P1（1，3），P2（2，6），P3（﹣5，1），P4（3，﹣6）中，是线段OA的“等幂点”的是；②若存在等腰△OAB是线段OA的“等幂三角形”，求点B的坐标；（2）已知点C的坐标为C（2，﹣1），点D在直线y＝x﹣3上，记图形M为以点T（1，0）为圆心，2为半径的⊙T位于x轴上方的部分．若图形M上存在点E，使得线段CD 的“等幂三角形”△CDE为锐角三角形，直接写出点D的横坐标x D的取值范围．12．在平面直角坐标系xOy中，任意两点P（x1，y1），Q（x2，y2），定义线段PQ的“直角长度”为d PQ＝|x2﹣x1|+|y2﹣y1|．（1）已知点A（3，2）．①d OA＝；②已知点B（m，0），若d AB＝6，求m的值；（2）在三角形中，若存在两条边“直角长度”之和等于第三条边的“直角长度”，则称该三角形为“和距三角形”．已知点M（3，3）．①点D（0，d）（d≠0），如果△OMD为“和距三角形”，求d的取值范围；②在平面直角坐标系xOy中，点C为直线y＝﹣x﹣4上一点，点K是坐标系中的一点，且满足CK＝1，当点C在直线上运动时，点K均满足使△OMK为“和距三角形”，请你直接写出点C的横坐标x的取值范围．13．对于平面直角坐标系xOy中的点M和图形G1，G2给出如下定义：点P为图形G1上一点，点Q为图形G2上一点，当点M是线段PQ的中点时，称点M是图形G1，G2的“中立点”．如果点P（x1，y1），Q（x2，y2），那么“中立点”M的坐标为（，）．已知，点A（﹣3，0），B（4，4），C（4，0）．（1）连接BC，在点D（，0），E（0，1），F（，）中，可以成为点A和线段BC的“中立点”的是；（2）已知点G（3，0），⊙G的半径为2．如果直线y＝x﹣1上存在点K可以成为点A 和⊙G的“中立点”，求点K的坐标；（3）以点C为圆心，半径为2作圆．点N为直线y＝2x+4上的一点，如果存在点N，使得y轴上的一点可以成为点N与⊙C的“中立点”．直接写出点N的横坐标n的取值范围．2022年北京市中考数学一模试题分类汇编新概念参考答案与试题解析一．解答题（共13小题）1．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，点A是平面内一点，过点A的直线交⊙O 于点B和点C（AB≤AC），0≤BC≤1，我们把点B称为点A关于⊙O的“斜射点”．（1）如图，在点A1（﹣1，1），A2（0，），A3（，0）中，存在关于⊙O的“斜射点”的是A1，A2．（2）已知若A（0，2），点A关于⊙O的斜射点”为点B，则点B的坐标可以是（，），（，）．（写出两个即可）（3）若点A直线y＝kx+k上，点A关于⊙O的“斜射点”为B（﹣1，0），画出示意图，直接写出k的取值范围．【解答】解：（1）如图1，由图象可知，对于⊙O外的任意一点A，都存在点A关于⊙O 的“斜射点”，∵点A1在⊙O外，∴点A1存在关于⊙O的“斜射点”；过点A2作弦B2C2与y轴垂直，连接OC2，则A2C2＝A2B2＝＝，∴B2C2＝1，∴点A2存在关于⊙O的“斜射点”；过点A3作弦B3C3与x轴垂直，连接OB3，设点O到弦B3C3的距离为d，则A3B3＝＝，当B3C3⊥x轴时，d的值最大，此时A3B3的值最小，B3C3的值也最小；∵A3B3＝＝，∴B3C3＝，∴B3C3＞1，∴点A3不存在关于⊙O的“斜射点”．故答案为：A1，A2．（2）如图2，设⊙O交x轴于点C，连接AC交⊙O于点B，作OD⊥AC于点D、BE⊥y轴于点E，则∠ODC＝∠ODB＝∠AEB＝90°，∵OA＝2，OC＝1，∠AOC＝90°，∴AC＝＝，∴BC＝CD＝OC•cos∠ACO＝1×＝，∴BC＝＜1，∴点B是点A关于⊙O的“斜射点”；∵AB＝﹣＝，∴BE＝AB•sin∠OAC＝1×＝；∵＝tan∠OAC＝，∴AE＝2BE＝2×＝，∴OE＝2﹣＝，∴B（，）．同理，点B关于y轴的对称点也符合题意，其坐标为（，）.故答案为：（，），（，）．（3）如图3，当k＞0时，直线y＝kx+k交y轴于点D（0，k），当∠OBD＝60°时，连接OC，∵OC＝OB，∴△BOC是等边三角形，∴BC＝OB＝1，此时，点B是点A关于⊙O的“斜射点”，OD＝OB•tan60°＝，∵当OD≥时，BC≤1，∴k≥；如图4，当k＜0时，同理可得，当k≤时，点B是点A关于⊙O的“斜射点”．综上所述，k的取值范围是：k≥或k≤．2．在平面直角坐标系xOy中，对于点A和线段MN，如果点A，O，M，N按逆时针方向排列构成菱形AOMN，且∠AOM＝α，则称线段MN是点A的“α﹣相关线段”．例如，图1中线段MN是点A的“30°﹣相关线段”．（1）已知点A的坐标是（0，2）．①在图2中画出点A的“30°﹣相关线段”MN，并直接写出点M和点N的坐标；②若点A的“α﹣相关线段”经过点（，1），求α的值；（2）若存在α，β（α≠β）使得点P的“α﹣相关线段”和“β﹣相关线段”都经过点（0，4），记PO＝t，直接写出t的取值范围．【解答】解：（1）①如图1中，图形如图所示，过点M作MK⊥OA于K．∵A（0，2），∴OA＝OM＝MN＝AN＝2，在Rt△OMK中，∠MOK＝30°，∴MK＝OM＝1，OK＝MK＝，∴M（1，），N（1，+2）．②如图2﹣1中，当点M与（，1）重合时，α＝60°．如图2﹣2中，当点N与（，1）重合时，α＝120°，综上所述，满足条件的α的值为60°或120°．（2）如图3中，过点G（0，4）作OP的平行线l，以P为圆心，OP长为半径作⊙P，当⊙P与直线l有两个交点且线段MN，线段M′N′经过G（0，4）时，满足条件．观察图象可知，满足条件的OP的值为2＜OP≤4，∴2＜t≤4．3．在平面直角坐标系xOy中，已知正方形ABCD，其中A（﹣，0），B（0，），C（，0），D（0，﹣）．M，N为该正方形外两点，MN＝1．给出如下定义：记线段MN的中点为P，平移线段MN得到线段M′N′，使点M′，N′分别落在正方形ABCD的相邻两边上，或线段M′N′与正方形的边重合（M′，N′，P′分别为点M，N，P的对应点），线段PP′长度的最小值称为线段MN到正方形ABCD的“平移距离”．（1）如图1，平移线段MN，得到正方形ABCD内两条长度为1的线段M1N1，M2N2，则这两条线段的位置关系是M1N1∥M2N2；若P1，P2分别为M1N1，M2N2的中点，在点P1，P2中，连接点P与点P1的线段的长度等于线段MN到正方形ABCD的“平移距离”．（2）如图2，已知点E（+1，0），若M，N都在直线BE上，记线段MN到正方形ABCD 的“平移距离”为d1，求d1的最小值；（3）若线段MN的中点P的坐标为（2，2），记线段MN到正方形ABCD的“平移距离”为d2，直接写出d2的取值范围．【解答】解：（1）由题意，M1N1∥M2N2，连接点P与点P1的线段的长度是等于线段MN到正方形ABCD的“平移距离”．故答案为：M1N1∥M2N2，P1．（2）如图2中，当M，N分别在AB，BC上时，d1存在最小值，最小值等于点B到MN 的距离．∵A（﹣，0），B（0，），C（，0），D（0，﹣）．∴OA＝OC＝OB＝OD，∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是正方形，BC＝OB＝1，∵E（+1，0），∴EC＝1，∴BC＝EC，∴∠CBE＝∠CEB，∵∠OCB＝45°＝∠CBE+∠CEB，∴∠CBE＝∠CEB＝22.5°，∵MN∥BE，∴∠BNM＝∠CBE＝22.5°，在Rt△BMN中，在BN上取一点T，使得BM＝BT，则∠BMT＝∠BTM＝45°，∵∠BTM＝∠TMN+∠N＝45°，∴∠N＝∠TMN＝22.5°，∴TM＝TN，设BM＝BT＝x，则TM＝TN＝x，∵MN＝1，∴x2+（x+x）2＝12，∴x2＝，∴点B到直线MN的距离＝＝x（x+x）＝（1+）x2＝．（3）如图3中，当MN与BC重合时，BC的中点为K，此时线段MN到正方形ABCD的“平移距离”为d2的值最小，最小值＝PK＝2﹣，当MN与GK重合时，GK的中点为O，此时线段MN到正方形ABCD的“平移距离”为d2的值最大，最大值＝PO＝2，综上所述，2﹣≤d2≤2．4．在平面直角坐标系xOy中，对于点p和线段ST，我们定义点P关于线段ST的线段比k ＝．（1）已知点A（0，1），B（1，0）．①点Q（2，0）关于线段AB的线段比k＝；②点C（0，c）关于线段AB的线段比k＝，求c的值．（2）已知点M（m，0），点N（m+2，0），直线y＝x+2与坐标轴分别交于E，F两点，若线段EF上存在点使得这一点关于线段MN的线段比k≤，直接写出m的取值范围．【解答】解：（1）①∵A（0，1），B（1，0），Q（2，0），∴AB＝，QA＝，QB＝1，根据线段比定义点Q（2，0）关于线段AB的线段比k＝＝；故答案为：；②∵A（0，1），B（1，0），C（0，c），∴AB＝，AC＝|1﹣c|，BC＝，AC2＝1+c2﹣2c，BC2＝1+c2，当c＞0时，AC2＜BC2，即AC＜BC，由C（0，c）关于线段AB的线段比k＝可得：＝，解得c＝3或c＝﹣1（舍去），∴c＝3，当c≤0时，AC2≥BC2，即AC≥BC，由C（0，c）关于线段AB的线段比k＝可得：＝，解得c＝（舍去）或c＝﹣，∴c＝﹣，综上所述，点C（0，c）关于线段AB的线段比k＝，c＝3或c＝﹣；（2）∵直线y＝x+2与坐标轴分别交于E，F两点，∴E（﹣2，0），F（0，2），∵点M（m，0），点N（m+2，0），∴MN＝2，N在M右边2个单位，当M、N在点E左侧时，如图：线段EF上存在点使得这一点关于线段MN的线段比k≤，∴≤，即≤，解得：m≥﹣，当M、N在点E右侧时，过M作MH⊥EF于H，如图：线段EF上存在点使得这一点关于线段MN的线段比k≤，∴≤，即≤，∴HM≤，而E（﹣2，0），F（0，2），∴∠FEO＝45°，∴△HEM时等腰直角三角形，∴HM＝EM，∴EM≤，即[m﹣（﹣2）]≤，解得：m≤﹣2+，综上所述，线段EF上存在点使得这一点关于线段MN的线段比k≤，则﹣≤m≤﹣2+．5．在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点M（x1，y1），N（x2，y2），若|x1﹣x2|+|y1﹣y2|＝k（k为常数且k≠0），则称点M为点N的k倍直角点．根据以上定义，解决下列问题：（1）已知点A（1，1），①若点B（﹣2，3）是点A的k倍直角点，则k的值是5；②在点C（2，3），D（﹣1，1），E（0，﹣2），O（0，0）中是点A的2倍直角点的是点D和O；③若直线y＝﹣2x+b上存在点A的2倍直角点，求b的取值范围；（2）⊙T的圆心T的坐标为（1，0），半径为r，若⊙T上存在点O的2倍直角点，直接写出r的取值范围．【解答】解：（1）①∵A（1，1），B（﹣2，3），∴k＝|1﹣（﹣2）|+|1﹣3|＝5，故答案为5；②∵A（1，1），C（2，3），∴k＝|1﹣2|+|1﹣3|＝3，∵A（1，1），D（﹣1，1），∴k＝|1﹣（﹣1）|+|1﹣1|＝2，∵A（1，1），E（0，﹣2），∴k＝|1﹣0|+|1﹣（﹣2）|＝4，∵A（1，1），O（0，0），∴k＝|1﹣0|+|1﹣0|＝2，∴是点A的2倍直角点的是点D和O，故答案为：点D和O；③设平面内的点M（x，y）是点A的2倍直角点，∴|x﹣1|+|y﹣1|＝2①，当x≥1，y≥1时，①化为y＝4﹣x；当x≥1，y≤1时，①化为y＝x﹣2，当x＜1，y＞1时，①化为y＝x+2，当x＜1，y＜1时，①化为y＝x，∴满足是点A的2倍直角点的点M，如图1所示的正方形EFGH的边上的点，点G（﹣1，1），F（3，1），∵直线y＝﹣2x+b上存在点A的2倍直角点，∴当直线y＝﹣2x+b过点G时，﹣2×（﹣1）+b＝1，∴b＝﹣1，∴当直线y＝﹣2x+b过点F时，﹣2×3+b＝1，∴b＝7，∴b的取值范围为﹣1≤b≤7；（2）设⊙T上存在点O的2倍直角点的点N（x，y），则|x|+|y|＝2，同（1）③的方法得，满足条件的点N为如图2所示的正方形PQIJ的边上的点，点J（﹣2，0），Q（2，0），过点T作TL⊥PQ于L，此时⊙T过点L，则TL＝TQ＝（2﹣1）＝，当⊙T过点J时，满足条件，TJ＝1﹣（﹣2）＝3，即满足条件的r的范围为≤r≤3．6．对于平面内的点P和图形M，给出如下定义：以点P为圆心，r为半径作圆．若⊙P与图形M有交点，且半径r存在最大值与最小值，则将半径r的最大值与最小值的差称为点P视角下图形M的“宽度d M”（1）如图1．点A（4，3），B（0，3）．①在点O视角下，则线段AB的“宽度d AB”为2；②若⊙B半径为1.5，在点A视角下，⊙B的“宽度d⊙B”为3．（2）如图2，⊙O半径为2．点P为直线y＝﹣x+1上一点．求点P视角下⊙O“宽度d⊙O”的取值范围；（3）已知点C（m，0），CK＝1，直线y＝x+3与x轴，y轴分别交于点D，E．若随着点C位置的变化，使得在所有点K的视角下，线段DE的“宽度”均满足0＜d DE＜6，直接写出m的取值范围．【解答】解：（1）①如图1中，∵A（4，3），B（0，3），∴OB＝3，AB＝4，∠ABO＝90°，∴OA＝＝＝5，∴点O视角下，则线段AB的“宽度d AB”为5﹣3＝2，故答案为：2．②设直线AB交⊙B于E，H．则在点A视角下，⊙B的“宽度d⊙B”＝AH﹣AE＝5.5﹣2.5＝3，故答案为：3．（2）如图2中，当点P在⊙O外时，点P视角下⊙O“宽度d⊙O”＝4，∴d⊙O的最大值为4，当OP⊥直线y＝﹣x+1时，d⊙O的最小值＝2OP＝，∴≤d⊙O≤4．（3）如图3中，作线段DE的垂直平分线MN，观察图象可知当⊙C与直线的交点在线段DE（不包括点D，E）上或与直线DE没有交点，且⊙C与直线MN没有交点时，满足条件．∵y＝x+3与x轴，y轴分别交于点D，E，∴E（0，3），D（﹣3，0），当⊙C在直线的左侧与直线相切时，C（﹣2﹣3，0），当⊙C经过点D时，C（﹣3+1，0），当⊙C与直线MN在右侧相切时，C（﹣，0），当⊙C与直线MN在左侧相切时，C（﹣，0），观察图象可知满足条件的m的值为：m＜﹣2﹣3或﹣3+1＜m＜﹣或m＞﹣．7．已知点P、Q分别为图形M和图形N上的任意点，若存在点P、Q使得PQ＝1，我们就称图形M、N为友好图形，P、Q为关于图形M、N的一对友好点．（1）已知点A（1，0），，C（﹣1，1）中，A与点O为一对友好点；（2）已知⊙O半径r＝1，若直线y＝x+b与⊙O有且只有一对友好点，求b的值；（3）已知点，⊙D半径r＝1，若直线y＝x+m与⊙D是友好图形，求m的取值范围．【解答】解：（1）∵A（1，0），，C（﹣1，1），∴OA＝1，OB＝，OC＝，∴点A与O是一对友好点．故答案为：A．（2）如图1中，以O为圆心，2为半径作⊙O．当直线y＝x+b与大圆⊙D相切时，满足条件，此时直线经过A（﹣，）或B（，﹣），∴b＝2或﹣2．（3）当m＜0时，以D为圆心，2为半径作⊙D，当直线y＝x+m与大圆⊙D相切时，设切点为Q，交y轴于（0，m），连接DQ交y轴于K．则KE＝+m，∵DK+KQ＝2，∴﹣m﹣m＝2，∴m＝﹣，当m＞0时此时有：m+m﹣＝，∴m＝，观察图像可知，满足条件的m的值为：．8．如图，直线l和直线l外一点P，过点P作PH⊥l于点H，任取直线l上点Q，点H关于直线PQ的对称点为点H'，称点H'为点P关于直线l的垂对点．在平面直角坐标系xOy中，（1）已知点P（0，2），则点O（0，0），A（2，2），B（0，4）中是点P关于x轴的垂对点的是点O和点A；（2）已知点M（0，m），且m＞0，直线y＝﹣x+4上存在点M关于x轴的垂对点，求m的取值范围；（3）已知点N（n，2），若直线y＝x+n上存在两个点N关于x轴的垂对点，直接写出n 的取值范围．【解答】解：（1）由题意，点P关于x轴的垂对点组成的图形是以点P为圆心，半径为2的圆（该圆与y轴的交点除外）．∵点O（0，0），A（2，2）在这个圆上，∴点P关于x轴的垂对点的是：点O，点A．故答案为：点O和点A．（2）由题意可知，点M关于x轴的垂对点形成的图形为以点M为圆心，以线段MO的长为半径的圆（射线OM与该圆的交点除外）．此时⊙M与x轴相切．当直线y＝﹣x+4与⊙M相切时，记切点为点E，直线y＝﹣x+4与x轴，y轴的交点分别为点C和点D，连接ME，MC，如答图1，对于y＝﹣x+4，令x＝0，则y＝4；令y＝0，则x＝3．∴点C（3，0），点D（0，4）．∴OC＝3，OD＝4．∴CD＝＝5．∵CD，CO是⊙M的切线，∴CE＝CO＝3，∠MEC＝∠MOC＝90°．∴DE＝5﹣3＝2．∵OM＝m，∴ME＝m，DM＝4﹣m．在Rt△DME中，∵DE2+ME2＝MD2，∴m2+22＝（4﹣m）2．解得：m＝．∵⊙M与直线y＝﹣+4有公共点，∴m≥．（3）点N关于x轴的垂对点是以点N（n，2）为圆心，以2为半径的圆上的点，不包括点（n，4）．①当n＝0时，⊙N与直线y＝x恰有两个交点，即存在两个点N关于x轴的垂对点；②当n＞0时，如答图2所示．⊙N与y＝x+n相切于左上方点A，为临界状态．连接点N与切点A，作NB⊥x轴于点B，作AE⊥x轴于点E，作ND⊥y轴于点D交AE于点C．设直线y＝x+n交x轴于点F、交y轴于点G．则OG＝OF＝n，故∠GF0＝∠FGO＝45°．∵AE∥y轴，∴ND⊥AE于点C．∴∠ACN＝90°，∠FGO＝∠F AE＝45°．∵⊙N与y＝x+n相切于点A，∴∠NAG＝90°，∴∠CAN＝45°．故△CAN为等腰直角三角形．∴CA2+CN2＝AN2，即2AC2＝22＝4，∴AC＝．∴AE＝AC+CE＝，DC＝DN﹣CN＝OB﹣AC＝n﹣．则点A坐标为（n，2+），∵点A在直线y＝x+n上，代入点A坐标得：2+＝n+n，解得：n＝．③当n＜0时，如答图3所示，直线y＝x+n与⊙N相切与右下方点A'，为临界状态．设OF＝n，同情形②类似可得点A'坐标为（n+，2﹣），代入y＝x+n中，得2﹣＝n++n，解得n＝1﹣．综上所述，n的取值范围为：．9．对于平面直角坐标系xOy中的图形M和点P，给出如下定义：将图形M绕点P顺时针旋转90°得到图形N，图形N称为图形M关于点P的“垂直图形”．例如，图1中点D 为点C关于点P的“垂直图形”（1）点A关于原点O的“垂直图形”为点B．①若点A的坐标为（0，2），则点B的坐标为（2，0）；②若点B的坐标为（2，1），则点A的坐标为（﹣1，2）；（2）E（﹣3，3），F（﹣2，3），G（a，0）．线段EF关于点G的“垂直图形”记为E′F′，点E的对应点为E′，点F的对应点为F′．①求点E′的坐标（用含a的式子表示）；②若⊙O的半径为2，E′F′上任意一点都在⊙O内部或圆上，直接写出满足条件的EE′的长度的最大值．【解答】解：（1）①如图1中，观察图像可知B（2，0）．故答案为：（2，0）．②如图，A′（﹣1，2），故答案为：（﹣1，2）．（2）①如图2中，过点E作EP⊥x轴于P，过点E′作E′H⊥x轴于H．∵∠EPG＝∠EGE′＝∠GHE′＝90°，∴∠E+∠PGE＝90°，∠PGE+∠E′GH＝90°，∴∠E＝∠E′GH，∵EG＝GE′，∴△EPG≌△GHE′（AAS），∴EP＝GH＝3，PG＝E′H＝m+3，∴OH＝3+m，∴E′（3+m，3+m）．②如图3中，观察图像可知，满足条件的点E′在第一象限的⊙O上．∵E′（3+m，3+m），OE′＝2，∴3+m＝，∴m＝﹣3，∴E′（，），∴EE′＝＝．10．对于平面直角坐标系xOy中的⊙O和图形N，给出如下定义：如果⊙O平移m个单位后，图形N上的所有点在⊙O内或⊙O上，则称m的最小值为⊙O对图形N的“覆盖近距”．（1）当⊙O的半径为1时，①若点A（3，0），则⊙O对点A的“覆盖近距”为2；②若⊙O对点B的“覆盖近距”为1，写出一个满足条件的点B的坐标（2，0）；③若直线y＝2x+b上存在点C，使⊙O对点的“覆盖近距”为1，求b的取值范围；（2）当⊙O的半径为2时，D（3，t），E（4，t+1），且﹣1≤t≤2．记⊙O对以DE为对角线的正方形的“覆盖近距”为d，直接写出d的取值范围．【解答】解：（1）①如图1，当⊙O向右移动2个或4个时，点A都在圆上，∴2≤m≤4，∴m的最小值是2，∴⊙O对点A的“覆盖近距”为2；故答案为：2；②由题意，满足条件的点B（2，0）（答案不唯一）．③如图2中，当b＞0时，设直线y＝2x+b交y轴于E，交x轴于N，过点O作OC⊥EN于C．由题意，E（0，b），（﹣，0），∴OE＝b，ON＝∴tan∠ENO＝＝2，当OC＝2时，⊙O对点C的“覆盖近距”为1，∵OC⊥EN，∴∠EOC+∠CON＝90°，∠ENO+∠CON＝90°，∴∠EOC＝∠ENC，∴tan∠EOC＝tan∠ENO＝2，∴EC＝2OC＝4，∴OE＝＝＝2，∴b＝2，当b＜0时，同法可得b＝﹣2，观察图象可知，满足条件的b的值为﹣2≤b≤2．（2）如图3中，当t＝2时，E（4，3），∴OE＝＝5，此时d的值最大，最大值d＝5﹣2＝3，当t＝﹣时，E（4，）G（4，﹣），设⊙J经过点G，E′，GE′交x轴于K．此时d的值最小，∵JK＝＝，∴J（4﹣，0）．最小值d＝4﹣，综上所述，4﹣≤d≤3．11．对于平面直角坐标系xOy中的线段PQ，给出如下定义：若存在△PQR使得S△PQR＝PQ2，则称△PQR为线段PQ的“等幂三角形”，点R称为线段PQ的“等幂点”．（1）已知A（3，0）．①在点P1（1，3），P2（2，6），P3（﹣5，1），P4（3，﹣6）中，是线段OA的“等幂点”的是P2，P4；②若存在等腰△OAB是线段OA的“等幂三角形”，求点B的坐标；（2）已知点C的坐标为C（2，﹣1），点D在直线y＝x﹣3上，记图形M为以点T（1，0）为圆心，2为半径的⊙T位于x轴上方的部分．若图形M上存在点E，使得线段CD 的“等幂三角形”△CDE为锐角三角形，直接写出点D的横坐标x D的取值范围．【解答】解：（1）①∵A（3，0），则OA＝3，OA2＝9，∵P1（1，3），P2（2，6），P3（﹣5，1），P4（3，﹣6），∴S△OAP1＝×3×3＝，S△OAP2＝×3×6＝9，S△OAP3＝×3×1＝，S△OAP4＝×3×6＝9，∴是线段OA的“等幂点”的是P2，P4；②若OB＝AB，△OAB为OA的等幂三角形，则y B＝±6，∴B（1.5，6）或B（1.5，﹣6）；若OA＝OB＝3，△OAB为OA的等幂三角形，则y B＝±6，即OB＝6，显然不成立；若OA＝AB＝3，△OAB为OA的等幂三角形，则y B＝±6，即OB＝6，显然不成立；∴B（1.5，6）或B（1.5，﹣6）；（2）设D（m，m﹣3），∵C（2，﹣1），∴CD2＝（2﹣m）2+（2﹣m）2＝2（2﹣m）2，∴CD＝|2﹣m|，∵直线y＝x﹣3与x轴交于但（3，0），与y轴交于点（0，﹣3），T（1，0），设CD与x轴交于点F，而∠CFO＝45°，∴点T到CD的距离为，∴存在点E使CD的等幂三角形CDE，∵△CDE为锐角三角形，且S△CDE＝CD2＝CD•h，则h max＝+2，即2+≥2|2﹣m|，∴＜m＜，∴＜x D＜．12．在平面直角坐标系xOy中，任意两点P（x1，y1），Q（x2，y2），定义线段PQ的“直角长度”为d PQ＝|x2﹣x1|+|y2﹣y1|．（1）已知点A（3，2）．①d OA＝5；②已知点B（m，0），若d AB＝6，求m的值；（2）在三角形中，若存在两条边“直角长度”之和等于第三条边的“直角长度”，则称该三角形为“和距三角形”．已知点M（3，3）．①点D（0，d）（d≠0），如果△OMD为“和距三角形”，求d的取值范围；②在平面直角坐标系xOy中，点C为直线y＝﹣x﹣4上一点，点K是坐标系中的一点，且满足CK＝1，当点C在直线上运动时，点K均满足使△OMK为“和距三角形”，请你直接写出点C的横坐标x的取值范围．【解答】解：（1）①∵O（0，0），A（3，2），∴d OA＝|3﹣0|+|2﹣0|＝5，②∵A（3，2），B（m，0），∴d AB＝|m﹣3|+|0﹣2|＝6，∴|m﹣3|＝4，∴m1＝7或m2＝﹣1，（2）如图所示：∵D（0，d），M（3，3），O（0，0）∴d OD＝|d|，d MO＝6，d MD＝|3﹣0|+|3﹣d|＝3+|3﹣d|，当d＞3时，不存在两条边“直角长度”之和等于第三条边的“直角长度”，发现不存在“和距三角形”，当d≤3时，d OD+d MD＝d MO恒成立，发现存在“和距三角形”，但d＝0时，三点共线，不能构成三角形，∴锐角三角形不可能成为“和距三角形“，故：d≤3且d≠0，（3）依题意，点K的轨迹是以点C为圆心，半径为1的圆，且锐角三角形不可能成为“和距三角形“，如图所示：因此：﹣3≤x c≤﹣2﹣或﹣2+＜x c≤﹣1．13．对于平面直角坐标系xOy中的点M和图形G1，G2给出如下定义：点P为图形G1上一点，点Q为图形G2上一点，当点M是线段PQ的中点时，称点M是图形G1，G2的“中立点”．如果点P（x1，y1），Q（x2，y2），那么“中立点”M的坐标为（，）．已知，点A（﹣3，0），B（4，4），C（4，0）．（1）连接BC，在点D（，0），E（0，1），F（，）中，可以成为点A和线段BC的“中立点”的是D，F；（2）已知点G（3，0），⊙G的半径为2．如果直线y＝x﹣1上存在点K可以成为点A 和⊙G的“中立点”，求点K的坐标；（3）以点C为圆心，半径为2作圆．点N为直线y＝2x+4上的一点，如果存在点N，使得y轴上的一点可以成为点N与⊙C的“中立点”．直接写出点N的横坐标n的取值范围．【解答】解：（1）如图1中，观察图象可知，满足条件的点在△ABC的平行于BC的中位线上，故成为点A和线段BC的“中立点”的是D、F．故答案为D、F．（2）如图2中，点A和⊙G的“中立点”在以O为圆心，1为半径的圆上运动，因为点K在直线y＝x﹣1上，设K（m，m﹣1），则有m2+（m﹣1）2＝1，解得m＝0或1，∴点K坐标为（1，0）或（0，﹣1）．（3）如图3中，由题意，当点N确定时，点N与⊙G的“中立点”是以NC的中点P 为圆心1为半径的⊙P，当⊙P与y轴相切时，点N的横坐标分别为﹣2或﹣6，所以满足条件的点N的横坐标的取值范围为﹣6≤x N≤﹣2．。

中考各地市中考数学模拟试题分类汇编50新概念型问题

新概念型问题一、选择题1、（2012江苏无锡前洲中学模拟）如图所示为一个污水净化塔内部，污水从上方入口进入后流经形如等腰直角三角形的净化材枓表面，流向如图中箭头所示，每一次水流流经三角形两腰的机会相同，经过四层净化后流入底部的5个出口中的一个．下列判断：①5个出口的出水量相同；②2号出口的出水量与4号出口的出水量相同；③1，2，3号出水口的出水量之比约为1：4：6；④若净化材枓损耗的速度与流经其表面水的数量成正比，则更换最慢的一个三角形材枓使用的时间约为更换最快的一个三角形材枓使用时间的6倍．其中正确的判断有（）个．A ．1个B ．２个C ．３个D ．４个答案：B二、填空题1、（2012荆门东宝区模拟）现定义运算“★”，对于任意实数a 、b ，都有a ★b ＝a 2－3a +b ，如：3★5＝32－3×3+5，若x ★2＝6，则实数x 的值是__ __．答案： —1或4三、解答题1、（2012年，广东一模）对于任何实数，我们规定符号⎪⎪⎪ a c ⎪⎪⎪b d 的意义是⎪⎪⎪ a c ⎪⎪⎪b d ＝ad －bc .(1)按照这个规定请你计算⎪⎪⎪ 57⎪⎪⎪68的值； (2)按照这个规定请你计算：当x 2－3x ＋1＝0时，⎪⎪⎪⎪⎪⎪ x ＋1x －2 3x x －1的值．解：(1)⎪⎪⎪ 57 ⎪⎪⎪68＝5×8－6×7＝－2. (2)⎪⎪⎪ x ＋1x －2 ⎪⎪⎪3x x －1＝()x ＋1()x －1－3x ()x －2 ＝x 2－1－3x 2＋6x＝－2x 2＋6x －1.第1题图又∵x 2－3x ＋1＝0，∴x 2－3x ＝－1，原式＝－2(x 2－3x )－1＝－2×(－1)－1＝1.2、（2012年广东模拟）(本小题满分6分) 定义：可以表示为两个互质整数的商的形式的数称为有理数，整数可以看作分母为1的有理数；反之为无理数。

如2不能表示为两个互质的整数的商，所以，2是无理数。

中考数学模拟试卷 (50)(含解析)

数学试卷一、选择题（满分16分，每小题2分）1．（2分）下列说法不正确的是（）A．三角形的三条高线交于一点B．直角三角形有三条高C．三角形的三条角平分线交于一点D．三角形的三条中线交于一点2．（2分）若代数式有意义，则x的取值范围是（）A．x＞﹣1且x≠1B．x≥﹣1C．x≠1D．x≥﹣1且x≠1 3．（2分）如图是由几个相同的正方体搭成的一个几何体，从正面看到的平面图形是（）A．B．C．D．4．（2分）如图，直线A B∥C D，则下列结论正确的是（）A．∠1＝∠2B．∠3＝∠4C．∠1+∠3＝180°D．∠3+∠4＝180°5．（2分）下列所给的汽车标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．6．（2分）如图，数轴上表示实数的点可能是（）A．点P B．点Q C．点R D．点S7．（2分）甲、乙两超市在1月至8月间的盈利情况统计图如图所示，下面结论不正确的是（）A．甲超市的利润逐月减少B．乙超市的利润在1月至4月间逐月增加C．8月份两家超市利润相同D．乙超市在9月份的利润必超过甲超市8．（2分）小明从家步行到校车站台，等候坐校车去学校，图中的折线表示这一过程中小明的路程S（k m）与所花时间t（mi n）间的函数关系；下列说法：①他步行了1k m到校车站台；②他步行的速度是100m/mi n；③他在校车站台等了6mi n；④校车运行的速度是200m/mi n；其中正确的个数是（）个．A．1B．2C．3D．4二、填空题（满分16分，每小题2分）9．（2分）若△A B C∽△D E F，请写出2个不同类型的正确的结论、．10．（2分）把两个同样大小的含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A，且另三个锐角顶点B，C，D在同一直线上．若A B＝，则C D＝．11．（2分）化简：＝．12．（2分）你喜欢足球吗？下面是对某学校七年级学生的调查结果：男同学女同学喜欢的人数7524不喜欢的人数1536则男同学中喜欢足球的人数占全体同学的百分比是．13．（2分）如图，A B是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交A B的延长线于点D．若∠A＝32°，则∠D＝度．14．（2分）A，B两市相距200千米，甲车从A市到B市，乙车从B市到A市，两车同时出发，已知甲车速度比乙车速度快15千米/小时，且甲车比乙车早半小时到达目的地．若设乙车的速度是x千米/小时，则根据题意，可列方程．15．（2分）如图，线段A B＝4，M为A B的中点，动点P到点M的距离是1，连接P B，线段P B绕点P逆时针旋转90°得到线段P C，连接A C，则线段A C长度的最大值是．16．（2分）阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：作R t△A B C，使其斜边A B＝c，一条直角边B C＝a．已知线段a，c如图．小芸的作法如下：①取A B＝c，作A B的垂直平分线交A B于点O；②以点O为圆心，O B长为半径画圆；③以点B为圆心，a长为半径画弧，与⊙O交于点C；④连接B C，A C．则R t△A B C即为所求．老师说：“小芸的作法正确．”请回答：小芸的作法中判断∠A C B是直角的依据是．三、解答题（共12小题，满分0分）17．计算：（）﹣2﹣+（﹣4）0﹣c o s45°．18．解不等式组19．如图，△A B C中，∠A＝30°，∠B＝62°，C E平分∠A C B．（1）求∠A C E；（2）若C D⊥A B于点D，∠C D F＝74°，证明：△C F D是直角三角形．20．如图，已知反比例函数y＝的图象与一次函数y＝x+b的图象交于点A（1，4），点B （﹣4，n）．（1）求n和b的值；（2）求△O A B的面积；（3）直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量x的取值范围．21．如图，已知A C是矩形A B C D的对角线，A C的垂直平分线E F分别交B C、A D于点E 和F，E F交A C于点O．（1）求证：四边形A E C F是菱形；（2）若A C＝8，E F＝6，求B C的长．22．已知关于x的方程x2﹣2m x+m2+m﹣2＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围．（2）当m为正整数时，求方程的根．23．如图，A B为⊙O的直径，C为⊙O上一点，经过点C的切线交A B的延长线于点E，A D⊥E C交E C的延长线于点D，A D交⊙O于F，F M⊥A B于H，分别交⊙O、A C于M、N，连接M B，B C．（1）求证：A C平分∠D A E；（2）若c o s M＝，B E＝1，①求⊙O的半径；②求F N的长．24．某商场甲、乙两名业务员10个月的销售额（单位：万元）如下：甲7.2；9.6；9.6；7.8；9.3；4.6；6.5；8.5；9.9；9.6乙5.8；9.7；9.7；6.8；9.9；6.9；8.2；6.7；8.6；9.7根据上面的数据，将下表补充完整：4.0≤x≤4.95.0≤x≤5.96.0≤x≤6.97.0≤x≤7.98.0≤x≤8.99.0≤x≤10.0甲101215乙（说明：月销售额在8.0万元及以上可以获得奖金，7.0～7.9万元为良好，6.0～6.9万元为合格，6.0万元以下为不合格）两组样本数据的平均数、中位数、众数如表所示：人员平均数（万元）中位数（万元）众数（万元）甲8.28.99.6乙8.28.49.7结论（1）估计乙业务员能获得奖金的月份有个；（2）可以推断出业务员的销售业绩好，理由为．（至少从两个不同的角度说明推断的合理性）25．如图，在△A B C中，∠C＝60°，B C＝3厘米，A C＝4厘米，点P从点B出发，沿B→C→A以每秒1厘米的速度匀速运动到点A．设点P的运动时间为x秒，B、P两点间的距离为y厘米．小新根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小新的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：x（s）01234567y（c m）01.02.03.02.72.7m3.6经测量m的值是（保留一位小数）．（2）建立平面直角坐标系，描出表格中所有各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：在曲线部分的最低点时，在△A B C中画出点P 所在的位置．26．有一个二次函数满足以下条件：①函数图象与x轴的交点坐标分别为A（1，0），B（x2，y2）（点B在点A的右侧）；②对称轴是x＝3；③该函数有最小值是﹣2．（1）请根据以上信息求出二次函数表达式；（2）将该函数图象中x＞x2部分的图象向下翻折与原图象未翻折的部分组成图象“G”，试结合图象分析：平行于x轴的直线y＝m与图象“G”的交点的个数情况．27．在△A B C中，A B＝B C＝2，∠A B C＝120°，将△A B C绕点B顺时针旋转角α（0＜α＜120°），得△A1B C1，交A C于点E，A C分别交A1C1、B C于D、F两点．（1）如图①，观察并猜想，在旋转过程中，线段E A1与F C有怎样的数量关系？并证明你的结论；（2）如图②，当α＝30°时，试判断四边形B C1D A的形状，并说明理由；（3）在（2）的情况下，求E D的长．28．如图，已知一次函数y＝x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，一次函数y＝﹣x+b经过点C与x轴交于点B．（1）求直线B C的解析式；（2）点P为x轴上方直线B C上一点，点G为线段B P的中点，点F为线段A B的中点，连接G F，取G F的中点M，射线P M交x轴于点H，点D为线段P H的中点，点E为线段A H的中点，连接D E，求证：D E＝G F；（3）在（2）的条件下，延长P H至Q，使P M＝M Q，连接A Q、B M，若∠B A Q+∠B M Q ＝∠D E B，求点P的坐标．参考答案与试题解析一、选择题（满分16分，每小题2分）1．【解答】解：A、三角形的三条高线所在的直线不一定交于一点，错误；B、直角三角形有三条高，正确；C、三角形的三条角平分线交于一点，正确；D、三角形的三条中线交于一点，正确；故选：A．2．【解答】解：由题意得：x+1≥0，且x﹣1≠0，解得：x≥﹣1，且x≠1，故选：D．3．【解答】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层在中间位置一个小正方形，故D 符合题意，故选：D．4．【解答】解：如图，∵A B∥C D，∴∠3+∠5＝180°，又∵∠5＝∠4，∴∠3+∠4＝180°，故选：D．5．【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．故选：B．6．【解答】解：∵2＜＜3，∴数轴上表示实数的点可能是点Q．故选：B．7．【解答】解：A、甲超市的利润逐月减少，此选项正确；B、乙超市的利润在1月至4月间逐月增加，此选项正确；C、8月份两家超市利润相同，此选项正确；D、乙超市在9月份的利润不一定超过甲超市，此选项错误；故选：D．8．【解答】解：根据题意得：小明用了10分钟步行了1k m到校站台，即小明步行了1k m到校车站台，①正确，1000÷10＝100m/mi n，即他步行的速度是100m/m i n，②正确，小明在校车站台从第10mi n等到第16mi n，即他在校车站台等了6m i n，③正确，小明用了14mi n的时间坐校车，走了7k m的路程，7000÷14＝500m/mi n，即校车运行的速度是500m/m i n，④不正确，即正确的是①②③，故选：C．二、填空题（满分16分，每小题2分）9．【解答】解：∵△A B C∽△D E F，∴∠A B C＝∠D E F，＝＝，故答案为：∠A B C＝∠D E F；＝＝．10．【解答】解：如图，过点A作A F⊥B C于F，在R t△A B C中，∠B＝45°，∴B C＝A B＝2，B F＝A F＝A B＝1，∵两个同样大小的含45°角的三角尺，∴A D＝B C＝2，在R t△A D F中，根据勾股定理得，D F＝＝∴C D＝B F+D F﹣B C＝1+﹣2＝﹣1，故答案为：﹣1．11．【解答】解：原式＝＝，故答案为：．12．【解答】解：由题可得，男同学中喜欢足球的人数占全体同学的百分比是：×100%＝50%，故答案为：50%．13．【解答】解：连接O C，由圆周角定理得，∠C O D＝2∠A＝64°，∵C D为⊙O的切线，∴O C⊥C D，∴∠D＝90°﹣∠C O D＝26°，故答案为：26．14．【解答】解：设乙车的速度是x千米/小时，则根据题意，可列方程：﹣＝．故答案为：﹣＝．15．【解答】解：如图所示：过点C作C D⊥y轴，垂足为D，过点P作P E⊥D C，垂足为E，延长E P交x轴于点F．∵A B＝4，O为A B的中点，∴A（﹣2，0），B（2，0）．设点P的坐标为（x，y），则x2+y2＝1．∵∠E P C+∠B P F＝90°，∠E P C+∠E C P＝90°，∴∠E C P＝∠F P B．由旋转的性质可知：P C＝P B．在△E C P和△F P B中，，∴△E C P≌△F P B．∴E C＝P F＝y，F B＝E P＝2﹣x．∴C（x+y，y+2﹣x）．∵A B＝4，O为A B的中点，∴A C＝＝．∵x2+y2＝1，∴A C＝．∵﹣1≤y≤1，∴当y＝1时，A C有最大值，A C的最大值为＝3．故答案为：3．16．【解答】解：小芸的作法中判断∠A C B是直角的依据是直径所对的圆周角为直角．故答案为直径所对的圆周角为直角．三、解答题（共12小题，满分0分）17．【解答】解：原式＝4﹣3+1﹣×＝2﹣1＝1．18．【解答】解：解不等式2x+1≥﹣1，得：x≥﹣1，解不等式x+1＞4（x﹣2），得：x＜3，则不等式组的解集为﹣1≤x＜3．19．【解答】解：（1）∵∠A＝30°，∠B＝62°，∴∠A C B＝180°﹣∠A﹣∠B＝88°，∵C E平分∠A C B，∴∠A C E＝∠B C E＝∠A C B＝44°；（2）∵C D⊥A B，∴∠C D B＝90°，∴∠B C D＝90°﹣∠B＝28°，∴∠F C D＝∠E C B﹣∠B C D＝16°，∵∠C D F＝74°，∴∠C F D＝180°﹣∠F C D﹣∠C D F＝90°，∴△C F D是直角三角形．20．【解答】解：（1）把A点（1，4）分别代入反比例函数y＝，一次函数y＝x+b，得k＝1×4，1+b＝4，解得k＝4，b＝3，∵点B（﹣4，n）也在反比例函数y＝的图象上，∴n＝＝﹣1；（2）如图，设直线y＝x+3与y轴的交点为C，∵当x＝0时，y＝3，∴C（0，3），∴S△A O B＝S△A O C+S△B O C＝×3×1+×3×4＝7.5；（3）∵B（﹣4，﹣1），A（1，4），∴根据图象可知：当x＞1或﹣4＜x＜0时，一次函数值大于反比例函数值．21．【解答】（1）证明：∵四边形A B C D是矩形∴A D∥B C，∴∠D A C＝∠A C B，∵E F垂直平分A C，∴A F＝F C，A E＝E C，∴∠F A C＝∠F C A，∴∠F C A＝∠A C B，∵∠F C A+∠C F E＝90°，∠A C B+∠C E F＝90°，∴∠C F E＝∠C E F，∴C E＝C F，∴A F＝F C＝C E＝A E，∴四边形A E C F是菱形．证法二：∵四边形A B C D是矩形∴A D∥B C，∴∠D A C＝∠A C B，∠A F O＝∠C E O，∵E F垂直平分A C，∴O A＝O C，∴△A O F≌△C O E，∴O E＝O F，∴四边形A E C F是平行四边形，∵A C⊥E F，∴四边形A E C F是菱形．（2）解：∵四边形A E C F是菱形∴O C＝A C＝4，O E＝E F＝3∴C E＝＝＝5，∵∠C O E＝∠A B C＝90，∠O C E＝∠B C A，∴△C O E∽△C B A，∴＝，∴＝，∴B C＝．22．【解答】解：（1）∵关于x的方程x2﹣2mx+m2+m﹣2＝0有两个不相等的实数根，∴△＝（﹣2m）2﹣4（m2+m﹣2）＞0．解得m＜2；（2）由（1）知，m＜2．有m为正整数，∴m＝1，将m＝1代入原方程，得x2﹣2x＝0x（x﹣2）＝0，解得x1＝0，x2＝2．23．【解答】（1）证明：连接O C，如图，∵直线D E与⊙O相切于点C，∴O C⊥D E，又∵A D⊥D E，∴O C∥A D．∴∠1＝∠3∵O A＝O C，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠2，∴A C平分∠D A E；（2）解：①∵A B为直径，∴∠A F B＝90°，而D E⊥A D，∴B F∥D E，∴O C⊥B F，∴＝，∴∠C O E＝∠M，设⊙O的半径为r，在R t△O C E中，c o s∠C O E＝＝，即＝，解得r＝4，即⊙O的半径为4；②连接B F，如图，在R t△A F B中，c o s∠F A B＝，∴A F＝8×＝在R t△O C E中，O E＝5，O C＝4，∴C E＝3，∵A B⊥F M，∴，∴∠5＝∠4，∵F B∥D E，∴∠5＝∠E＝∠4，∵＝，∴∠1＝∠2，∴△A F N∽△A E C，∴＝，即＝，∴F N ＝．4.0≤x≤4.95.0≤x≤5.96.0≤x≤6.97.0≤x≤7.98.0≤x≤8.99.0≤x≤10.0销售额数量x人员乙013024（1）估计乙业务员能获得奖金的月份有6个；（2）可以推断出甲业务员的销售业绩好，理由为：甲的销售额的中位数较大，并且甲月销售额在9万元以上的月份多．故答案为0，1，3，0，2，4；6；甲，甲的销售额的中位数较大，并且甲月销售额在9万元以上的月份多．25．【解答】解：（1）经测量，当t＝6时，B P＝3.0．（当t＝6时，C P＝6﹣B C＝3，∴B C＝C P．∵∠C＝60°，∴当t＝6时，△B C P为等边三角形．）故答案为：3.0．（2）描点、连线，画出图象，如图1所示．（3）在曲线部分的最低点时，B P⊥A C，如图2所示．26．【解答】解：（1）由上述信息可知该函数图象的顶点坐标为：（3，﹣2），设二次函数的表达式为：y＝a（x﹣3）2﹣2．∵该函数图象经过点A（1，0），∴0＝a（x﹣3）2﹣2，解得a＝∴二次函数解析式为：y＝（x﹣3）2﹣2．（2）如图所示：当m＞0时，直线y＝m与G有一个交点；当m＝0时，直线y＝m与G有两个交点；当﹣2＜m＜0时，直线y＝m与G有三个交点；当m＝﹣2时，直线y＝m与G有两个交点；当m＜﹣2时，直线y＝m与G有一个交点．27．【解答】解：（1）E A1＝F C．理由如下：∵A B＝B C，∴∠A＝∠C，∵△A B C绕点B顺时针旋转角α得△A1B C1，∴∠A B E＝∠C1B F，A B＝B C＝A1B＝B C1，在△A B E和△C1B F中，，∴△A B E≌△C1B F（A S A），∴B E＝B F，∴A1B﹣B E＝B C﹣B F，即E A1＝F C；（2）四边形B C1D A是菱形．理由如下：∵旋转角α＝30°，∠A B C＝120°，∴∠A B C1＝∠A B C+α＝120°+30°＝150°，∵∠A B C＝120°，A B＝B C，∴∠A＝∠C＝（180°﹣120°）＝30°，∴∠A B C1+∠C1＝150°+30°＝180°，∠A B C1+∠A＝150°+30°＝180°，∴A B∥C1D，A D∥B C1，∴四边形B C1D A是平行四边形，又∵A B＝B C1，∴四边形B C1D A是菱形；（3）过点E作E G⊥A B，∵∠A＝∠A B A1＝30°，∴A G＝B G＝A B＝1，在R t△A E G中，A E＝＝＝，由（2）知A D＝A B＝2，∴D E＝A D﹣A E＝2﹣．28．【解答】（1）解：∵一次函数y＝x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，∴C（0，4），A（﹣5，0）．∵一次函数y＝﹣x+b经过点C，∴b＝4，∴一次函数解析式为y＝﹣x+4．（2）证明：如图1中，连接A P．在△A P B中，∵P G＝G B，A F＝F B，∴F G＝A P，在△A P H中，∵A E＝E H，P D＝D H，∴D E＝A P，∴F G＝D E．（3）解：如图2中，延长G F交A Q于K，连接P E．∵G M＝M F，∠P M G＝∠Q M F，P M＝M Q，∴△P G M≌△Q F M，∴Q F＝P G＝G B，∴∠F Q M＝∠M P G，∴Q F∥P B，∴四边形F G B Q是平行四边形，∴B Q＝F G＝D E，B Q∥D E，可得△D E H≌△Q B H，∴E H＝H B＝A E，∴H（1，0），设G M＝a，则M F＝a，P A＝4a，∵G K∥A P，P M＝M Q，∴A K＝K Q，∴M K＝2a，F K＝a，∴F M＝F K，∠M F B＝∠A F K，B F＝A F，∴△A F K≌△B F M，∴∠F A K＝∠M B F，∴B M∥A Q，∴∠B A Q＝∠A B M，∵∠B A Q+∠B M Q＝∠D E B＝∠P A B，∴∠A B M+∠B M Q＝∠P A B＝∠P H A，∴P A＝P H，∵A E＝E H，∴P E⊥A H，设A E＝E H＝x，则E O＝x﹣1，E O＝O A﹣A E＝5﹣x，∴5﹣x＝x﹣1，∴x＝3，∴P E＝E B＝6，E O＝2，∴P（﹣2，6）．。

2021年新课标新人教版中考数学模拟试题与答案50

中考数学模拟试卷50一、细心填一填(本大题共有12小题，16空，每空2分，共32分．请把结果直接填在题中的横线上．只要你理解概念，仔细运算，积极思考，相信你一定会填对的！)1、25的平方根是，31的倒数是，－a 表示的意义为 . 2、据生物学统计，一个健康的女子体内每毫升血液中红细胞的数量约为420万个，用科学记数法可表示为个.3、计算:1227-= .4、分解因式:3x 2－12y 2= .5、写出一条经过点(1,－2)，但不经过坐标原点的直线的函数关系式: .6、如图，已知AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，且∠ABC=50°，则∠BAC= 度.7、光明中学环保小组对学校所在区的8个餐厅一天的快餐饭盒使用个数作调查，结果如下: 125，115，140，270，110，120，100，140.若该区共有餐厅62个，则根据样本平均数估计，该区一天共约使用饭盒个.8、用一个半径为6㎝的半圆围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的侧面积为㎝2.(结果保留π)9、已知命题“圆的内接梯形(即梯形的四个顶点在圆上)为等腰梯形”.这是一个的命题.(填“真”或“假”)10、在一副洗好的52张扑克牌中(没有大小王)，闭上眼睛，随机地抽出一张牌，抽到方块的概率是 .11、如图所示，点E 为正方形ABCD 的边CD 上的一点，F 为边BC 的延长线上一点，且CF=CE.(1)则△DCF 可以看作是由△BCE 绕点顺时针旋转90°而得到.(2)若正方形ABCD 的边长为2，且CE=x ，△DEF 的面积为y ，请写出y 与x 之间的函数关系式: .12、如图是一个正方体的平面展开图，各个面上分别写有“华”、“师”、“大”的汉字.(1)若将此正方体制成一质地均匀的骰子，则任意抛掷骰子一次，“华”字朝上的概率为；(2)若各个面上所写汉字“华”、“师”、“大”表示三个不同的数字，且这个正方体的三组对面(左面和右面、上面和下面、前面和后面)上的两个汉子所表示的数字之和分别为7、8、9，则这个正方体六个面上的汉字所表示的六个数字之积为 .二、精心选一选(本大题共8小题，每题3分，共24分. 在每题所给出的四个选项中，只有一项是符合题意的. 把所选项前的字母代号填在题后的括号内. 相信你一定会选对！)第6题 A B CD E F 第11题华华师师大大第1213、函数24-=x y 中自变量x 的取值范围是( ) A 、2>x B 、2≥x C 、2≠x D 、2<x 14、下列说法中一定正确的是( )A 、任何数的平方一定是正数B 、对于任意整数n ，1n =1均成立C 、对于任意实数a ，都有a 2>aD 、方程x 2－2x －1=0有两个相等的实数根 15、某物体的三视图如下，那么该物体形状可能是( )A 、长方体B 、圆锥体C 、立方体D 、圆柱体 16、下列调查方式合适的是( )A 、为了了解炮弹的杀伤力，采用普查的方式B 、为了了解全国中学生的睡眠状况，采用普查的方式C 、为了了解人们保护水资源的意识，采用抽样调查的方式D 、对载人航天器“神舟五号”零部件的检查，采用抽样调查的方式17、如图，在正△ABC 中，D 、E 分别在AC 、AB 上，且31=AC AD ，AE=BE ，则有( )A 、△AED ∽△BEDB 、△AED ∽△CBDC 、△AED ∽△ABD D 、△BAD ∽△BCD 18、在一副52张扑克牌中(没有大小王)任意抽取一张牌，抽出的这张牌是方块的机会是( )A 、21B 、41C 、31D 、019、某村的粮食总产量为a (a 为常量)吨，设该村粮食的人均产量为y (吨)，人口数为x ，则y 与x 之间的函数图象应为图中的( )20、在圆环形路上有均匀分布的四家工厂甲、乙、丙、丁，每家工厂都有足够的仓库供产品储存. 现要将所有产品集中到一家工厂的仓库储存，已知甲、乙、丙、丁四家工厂的产量之比为1∶2∶3∶5. 若运费与路程、运的数量成正比例，为使选定的工厂仓库储存所有产品时总的运费最省，应选的工厂是( )A 、甲B 、乙C 、丙 D、丁三、认真答一答(本大题共7小题，满分58分. 只要你认真思考, 仔细运算, 一定会解答正视图左视图俯视图AB C DE正确的!)21、(本题共有3小题，每小题5分，共15分)(1)解方程:432-=-x x (2)解不等式⎩⎨⎧>+>-x x x 352132(3)先将⎪⎭⎫⎝⎛-⋅-+x x x x 11122化简，然后请自选一个你喜欢的x 值，再求原式的值.22、(本题共有2小题，每小题4分，共8分)(1)如图，在□ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O. 请找出图中的一对全等三角形，并给予证明.(2)规定:一条弧所对的圆心角的度数作为这条弧的度数.①如图，在⊙O 中，弦AC 、BD 相交于点P ，已知弧AB 、弧CD 分别为65°和45°，则∠APB= °；(友情提示:连结AD 试一试) ②一般地，在⊙O 中，弦AC 、BD 相交于点P ，若弧AB 、弧CD 分别为m °和n °，则∠APB= °(用m 、n 的代数式表示).23、(本题满分6分)在如图的方格纸中(每个小方格的边长都是1个单位)有一点O 和△ABC.(1)请以点O 为位似中心，把△ABC 缩小为原来的一半(不改变方向)，得到△A ′B ′C ′.(2)请用适当的方式描述△A ′B ′C ′的顶点A ′、B ′、C ′的位置.A B C DO·OABC24、(本题满分5分)某校厨房有一太阳能热水器，其水箱的最大蓄水量为1200升.已知水箱的蓄水量y (升)(1)根据上表中的数据，在上图的坐标系中描出相应的各点，顺次连结各点后，根据图象试猜想水箱的蓄水量y (升)与注水时间x (分钟)之间的函数解析式；(2)请验证上表中各点的坐标是否满足这个函数解析式，归纳你的结论，并写出自变量x 的取值范围.25、(本题满分8分)某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克. 经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克.(1)现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？(2)若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价多少元，能使商场获利最多？分26、(本题满分8分)某市部分初三学生参加了2021年全国初中数学竞赛决赛，并取得优异成绩. 已知竞赛成绩分数都是整数，试题满分为140分. 现随机抽样统计300名参赛学(1)经竞赛组委会评定，竞赛成绩在100分以上(含100分)的考生均可获得不同等级的奖励，试估计该市参加本次数学竞赛决赛考生的获奖比例；(2)你认为该市本次决赛成绩分数的中位数最有可能落在哪个分数段内？(3)上表还提供了其他信息，例如:“样本中获奖的人数为42人”等等，请你再写出两条此表提供的信息；(4)若某同学平时数学学习成绩一直都处于班级前3名(所在班级人数50人)，在本次数学竞赛中，他未得奖. 这属于哪一类事件？(可能事件、不可能事件、必然事件)27、(本题满分8分)已知:抛物线()922++-=x a x y 的顶点在坐标轴上.(1)求a 的值；(2)若该抛物线的顶点C 在x 轴的正半轴上，而此抛物线与直线y =x +9交于A 、B 两点，且A 点在B 点左侧，P 为线段AB 上的点(A 、B 两端点除外). 过点P 作x 轴的垂线与抛物线交于点Q.(可在题中给出的坐标系内画示意图)问:①线段AB 上是否存在这样的点P ，使得PQ 的长等于6？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.②线段AB 上是否存在这样的点P ，使得△ABQ ∽△OAC ？若存在，请求出此时点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.四、动脑想一想(本大题共有2小题，共16分. 开动你的脑筋，只要你勇于探索，大胆Ox y实践，你一定会获得成功的！)28、(本题满分8分)一天，小明在做剪纸拼图游戏时，无意中，他把如图所示的一张正三角形纸片和一张扇形纸片叠在一起，且正三角形的中心O 恰好为扇形的圆心，接着，他把扇形绕点O 转动，…….(1)小明思考这样一个问题:在把扇形绕点O 转动时，两张纸片的重叠部分面积是否一定会保持不变呢？你能帮助小明解答这一问题吗？你若认为重叠部分面积能保持不变，请说明理由；若认为不能保持不变，请问对这两张纸片再增加什么条件，就能使得扇形绕点O 转动过程中它们的重叠部分面积一定会保持不变？请说明理由.(2)由这一游戏，你还能联想到怎样的图形在变换过程中，也具有类似的性质？请画出图形，并作简要阐述，不要求证明.29、(本题满分8分)如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ⊥BD 于点O ，且AC=8㎝，BD=6㎝.(1)求四边形ABCD 的面积S ；(2)本题中能否减少某一条件，同样能求出四边形ABCD 的面积S ，且求得结果与第(1)小题相同？若能，请问减少哪一条件？并在减少这一条件下求出四边形ABCD 的面积S(如果在第(1)小题计算中未使用该条件，则不必另外计算)；若不能，请说明理由.答案部分AB C O D EA B C D O一、细心填一填1. ±5，3，a 的相反数 2．4.2×106 3．34．3(x+2y )(x －2y ) 5．y=x －3． 6．40． 7．8680． 8．18π． 9．真． 10．41． 11．(1)C ，(2)221x x y -=． 12．(1)31，(2)3600．二、精心选一选13．C 14．B 15．D 16．C 17．B 18．B 19．C 20．D 三、认真答一答 21．(1)x=5； (2)2<x <5；(3)化简得x +2，例如取x =2(不能取1和0)，得结果为4． 22．(1)△AOB ≌△COD .证明:∵四边形ABCD 为平行四边形，∴OA=OC ，OB=OD ，又∵∠AOB=∠COD ， ∴△AOB ≌△COD .(2)①55；②)(21n m +．23．(1)如图所示．(2)可建立坐标系用坐标来描述；也可说成点A ′、B ′、 C ′的位置分别为OA 、OB 、OC 的中点等．24．(1)图略，y=40x ；(2)符合，0≤x ≤30.25．(1)设每千克应涨价x 元，则(10+x )(500－20x )=6000解得x =5或x =10，为了使顾客得到实惠，所以x =5． (2)设涨价x 元时总利润为y ，则y=(10+x )(500－20x )= －20x 2+300x +5000=－20(x －7.5) 2+6125 当x=7.5时，y 取得最大值，最大值为6125．答:(1)要保证每天盈利6000元，同时又使顾客得到实惠，那么每千克应涨价5元；(2)若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价7.5元，能使商场获利最多．26．(1)14%； (2)60－79；(3)如“样本中在60分以下(不含60分)的有105人”，“样本中没获奖的占大多数，达到86%”等； (4)可能事件．27．解:(1)若抛物线y ＝x 2－(a ＋2)x ＋9的顶点在y 轴上，由顶点的横坐标为0，得a=2；若抛物线y ＝x 2－(a ＋2)x ＋9的顶点在x 轴上，由△=0得a=4或a=－8．(2)根据题意得a=4，此时抛物线为y ＝x 2－6x ＋9．解⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=.96,92x x y x y 得⎩⎨⎧==.9,011y x ⎩⎨⎧==.16,722y x所以A (0，9)、B (7，16)．①由于点P 在上y=x+9上，因此设符合题意的点P 的坐标为(t ，t+9)，此时对应的点Q 的坐标为(t ，t 2－6t ＋9)，由题意得PQ =(t+9) －(t 2－6t ＋9)=6，解得t=1或6，由题意0<t<7，点P 的坐标为(1，10)或(6，15)；②设在线段AB 上是否存在这样的点P ，使得△ABQ ∽△OAC ，∴∠BAQ =∠AOC =90°，分别过B 、Q 两点向y 轴作垂线，垂足为E 、H ，由∠BAQ =90°，注意到直线y=x+9与x 轴所夹的锐角为45°，由QH=AH 可求得点Q 的坐标为(5，4)，但显然AB ∶AQ ≠OA ∶OC ，∴△ABQ 与△OAC 不可能相似，∴若线段AB 上不存在符合条件的点P ．四、动脑想一想28．(1)两张纸片的重叠部分面积不一定会保持不变．应增加条件“扇形纸片的圆心角∠DOE 为120°”，简证如下:连结OB 、OC ，因为点O 是等边△ABC 的中心，所以OB 、OC 为角平分线，且OB=OC ，可证△OGB ≌△OCF ，从而重叠部分面积等于△OBC 的面积，即等于等边△ABC 的面积的31(定值)． (2)由这一游戏，还能联想到如图所示的两个正方形:点O 为正方形ABCD 的对称中心，另一正方形OEFG 绕点O 旋转过程中，两个正方形的重叠部分面积保持不变，总是正方形ABCD 的面积的41． 29．解:(1)过点D 作DE //AC 交BC 的延长线于点E ，又∵AD //BC ， ∴四边形ACED 为平行四边形， ∴AD=CE ，DE=AC ，又∵AD //BC ，∴S △ABD =S △DCE ， ∵AC ⊥BD ，DE //AC ， ∴DE ⊥BD ， ∴S 梯形ABCD =S Rt △BDE =248621=⨯⨯(cm 2)；(2)本题中可以减少条件“AD //BC ”，同样能求出四边形ABCD 的面积S ，且求得结果与第(1)小题相同．O G F EDC B A∵AC ⊥BD ，∴S △ABD =AO BD ⋅21，S △BCD =OC BD ⋅21，∴S四边形ABCD = S△ABD + S△BCD=AO BD ⋅21+OC BD ⋅21=AC BD ⋅21=248621=⨯⨯(cm 2)．另解:(1)设OA=x ，则OC=8－x ， ∵AC ⊥BD ，∴S 梯形ABCD =S△ABD +S△BCD =AO BD ⋅21+OC BD ⋅21=()x x -⨯⨯+⨯8621621=248621=⨯⨯(cm 2).(2)减少条件“AD //BC ”。

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新概念型问题
一、选择题 1、（2012江苏无锡前洲中学模拟）如图所示为一个污水净化塔内部，污水从上方入口进入后流经形如等腰直角三角形的净化材枓表面，流向如图中箭头所示，每一次水流流经三角形两腰的机会相同，经过四层净化后流入底部的5个出口中的一个．下列判断：①5个出口的出水量相同；②2号出口的出水量与4号出口的出水量相同；③1，2，3号出水口的出水量之比约为1：4：6；④若净化材枓损耗的速度与流经其表面水的数量成正比，则更换最慢的一个三角形材枓使用的时间约为更换最快的一个三角形材枓使用时间的6倍．其中正确的判断有（）个．
A ．1个
B ．２个
C ．３个
D ．４个答案：B
二、填空题
1、（2012荆门东宝区模拟）现定义运算“★”，对于任意实数a 、b ，都有a ★b ＝a 2
－3a +b ，
如：3★5＝32
－3×3+5，若x ★2＝6，则实数x 的值是__ __．答案： —1或4
三、解答题
1、（2012年，广东一模）对于任何实数，我们规定符号⎪⎪
⎪ a
c
⎪⎪⎪
b d 的意义是⎪⎪⎪
a
c
⎪
⎪⎪
b d ＝ad －b
c .
(1)按照这个规定请你计算⎪⎪
⎪ 5
7
⎪
⎪⎪
68的值； (2)按照这个规定请你计算：当x 2
－3x ＋1＝0时，⎪
⎪
⎪⎪
⎪⎪
x ＋1x －2
3x
x －1
的值．解：(1)⎪⎪
⎪ 5
7
⎪
⎪⎪68＝5×8－6×7＝－2.
第1题图
(2)⎪⎪⎪ x ＋1x －2
⎪
⎪⎪
3x x －1＝()x ＋1()x －1－3x ()x －2 ＝x 2
－1－3x 2
＋6x
＝－2x 2
＋6x －1.
又∵x 2
－3x ＋1＝0， ∴x 2
－3x ＝－1，
原式＝－2(x 2
－3x )－1＝－2×(－1)－1＝1.
2、（2012年广东模拟）(本小题满分6分)
定义：可以表示为两个互质整数的商的形式的数称为有理数，整数可以看作分母为1的有理数；反之为无理数。

如2不能表示为两个互质的整数的商，所以，2是无理数。

可以这样证明：设a b
a
,2=
与b 是互质的两个整数，且b ≠0. 则22
2b
a = 222
b a = 因为b 是整数且不为0，所以，a 是不为0的偶数，设n a 2=,(n
是整数)，所以222n b =,所以b 也是偶数，与b a ,是互质的正整数矛盾。

所以，2是无理数.仔细阅读上文，然后,请证明：5是无理数.（改编）答案
设a b
a
,5=与b 是互质的两个整数，且b ≠0. 则225b a = 225b a = 因为b 是整数且
不为0，所以，a 不为0且为5的倍数，设n a 5=,(n 是整数)，所以225n b =,所以b 也为5的倍数，与b a ,是互质的正整数矛盾。

所以，5是无理数. 3、（盐城市亭湖区2012年第一次调研考试）(本题满分10分)
在形如N a b
=的式子中，我们已经研究过两种情况：①已知a 和b ，求N ，这是乘方运
算；②已知b 和N ，求a ，这是开方运算；
现在我们研究第三种情况：已知a 和N ，求b ，我们把这种运算叫做对数运算。

定义：如果N a
b
=（a ＞0，a ≠1，N ＞0），则b 叫做以a 为底N 的对数，记作： N b a log =，
例如：求2log 8，因为3
2＝8，所以2log 8=3；又比如∵ 8
1
23=-，∴ 1
82log 3=-. （1）根据定义计算：（本小题6分）
①81log 3＝＿＿＿＿；②10log 1= ； ③如果416log =
x ，那么x ＝。

（2）设,,N a M a y x ==则y N x M a a
==log ,log (a ＞0,a ≠1,M 、N 均为正数),
∵y x y x a a a +=⋅，∴
N M a y x ⋅=+ ∴y x MN a +=log ，即N M MN a a a log log log +=
这是对数运算的重要性质之一，进一步，我们还可以得出：
123log .......a n M M M M ＝ .（其中M 1、M 2、M 3、……、
M n 均为正数，a ＞0，a ≠1）（本小题2分）
（3）请你猜想：log a M N
= (a ＞0,a ≠1,M 、N 均为正数).（本小题2分）
解：（1）①4，②0，③2，（2）++21log log M M a a …+n a M log （3）N M a a log log -。

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