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圆与函数、三角结合综合题

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中考热点：（一）构造三角形外接圆解四类难题；（二）圆+三角函数综合题型

中考热点：（一）构造三角形外接圆解四类难题；（二）圆+三角函数综合题型

中考热点：构造三角形外接圆解四类难题一、问题导读在解证几何题时，四点共圆已经被一些学生所了解或重视，然而作三角形的外接圆还没有被学生重视，使对许多几何题的证明难于入手．下面介绍作三角形外接圆这个辅助圆的思路和方法，以期待对你的学习有所帮助。

二、典例精析类型1 作三角形外接圆，求含有乘积式问题例1．已知AD是△ABC的角平分线，求证：ABAC＝AD+BDCD．【分析】作辅助圆，根据同弧所对的圆周角相等和角平分线证明相似得出比例式，再证△BAD∽△ECD，根据相似三角形的性质得出ADED＝BDDC，即可得出答案．【解答】证明：作△ABC的外接圆O，延长AD交⊙O于E，连接CE，∵AE平分∠BAC，∴∠BAD＝∠EAC，∵∠B＝∠E，∴△ABD∽△AEC，∴AB/AE=AD/AC，∴ABAC＝ADAE＝AD（AD+DE）＝AD2+ADED，∵∠B＝∠E，∠BAD＝∠DCE，∴△BAD∽△ECD，∴AD/CD=BD/ED，∴ADED＝BDDC，∴ABAC＝ADAE＝AD+BDDC．【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，圆周角定理的应用，解此题的关键是推出△ABD∽△AEC 和△BAD∽△ECD，主要考查学生的推理能力．例2．如图，ABCD是圆内接四边形，AB、DC的延长线交于E，AD、BC的延长线交于F，EP、FQ切圆于P、Q两点，求证：EP+FQ＝EF．【分析】作辅助圆，构建四点共圆的四边形，利用切割线定理列式：EP2＝ECED，FQ2＝FCFB，得出结论．【解答】证明：作△BCE的外接圆，交EF于G，连接CG，∵A、B、C、D四点共圆，∴∠FDC＝∠ABC，∵B、C、G、E四点共圆，∴∠ABC＝∠CGE，∴∠FDC＝∠ABC＝∠CGE，∴F、D、C、G四点共圆，由切割线定理得：EP＝ECED，FQ＝FCFB，EF＝（EG+GF）EF＝EGEF+GFEF＝ECED+FCFB，∴EP+FQ＝EF．【点评】本题考查了切割线定理和圆内接四边形的性质，本题运用了圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）；反之也成立；在证明线段的平方和时，一方面考虑利用勾股定理来求，另一方面考虑利用切割线定理列式得出．类型2 作三角形外接圆，利用圆中的角证明线段的和差倍半问题例3．四边形ABCD内接于圆，另一圆的圆心在边AB上且与其余三边相切，求证：AD+BC＝AB．【分析】先画图，设AB上的圆心为P，由等腰三角形的性质得，∠CMB＝∠PDC，则M，P，C，D四点共圆，从而得出∠AMD＝∠ADM，最后证得AD+BC＝AB．【解答】证明：设AB上的圆心为P，在AB上取一点M，使MB＝BC，连接MC，MD，PD，PC 等腰△CMB中，∠CMB＝∠MCB，∴∠CMB＝1/2（∠MCB+∠CMB）＝1/2（180°﹣∠B），＝1/2∠ADC （圆内接四边形ABCD的对角相加为180°），＝∠PDC （设圆P切AD于E，切DC于F，有PE＝PF，Rt△PDE和Rt△PDF中，一对儿直角边相等，且斜边是公共的，∴两Rt△全等，可得PD平分∠CDA），∴M，P，C，D四点共圆，∴∠AMD＝∠DCP＝1/2∠DCB （同理，可证PC平分∠DCB），＝1/2（180°﹣∠A）（ABCD的另一对儿对角和为180°，＝1/2（∠ADM+∠AMD），∴∠AMD＝∠ADM∴AD＝AM，∴AD+BC＝AM+MB＝AB．例4．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是底边BC上一点，E是线段AD上一点且∠BED＝2∠CED＝∠A．求证：BD＝2CD．【分析】首先作DO∥AB交AC于O，得出O为△EDC的外心，进而得出△ACE∽△ADF，即有AD/AC=AF/AE，即可得出△ADO∽△BAE，即可得出BD＝2CD．【解答】证明：作DO∥AB交AC于O．则由AB＝AC易知OD＝OC，且∠DOC＝∠BAC＝2∠CED，所以O为△EDC的外心，取F为△EDC的外接圆与AC的交点，连接DF，则OF＝OC＝OD，∠ACE＝∠ADF．所以△ACE∽△ADF，即有AD/AC=AF/AE．再由DO∥AB，∠ADO＝∠BAE，∠AOD＝180﹣∠DOC＝180°﹣∠A＝180°﹣∠BED＝∠AEB，所以△ADO∽△BAE，即得OD/AE=AD/AB=AF/AE.故AF＝OD＝OC＝1/2CF，从而AO＝2OC．由DO∥AB，得：BD＝2CD．类型3 作三角形的外接圆，利用圆中的角判断三角形的形状例5.已知：AD是△ABC的中线，若∠ABC+∠CAD＝90．试判断△ABC的形状．分析：作△ABC的外接圆．使分散的∠ABC．∠CAD集中在一起，从而知道中线AD在外接圆的直径上．根据圆中弦的定理，可判断△ABC的形状．解：作△ABC的外接圆．延长AD交外接圆于E．连结BE．∵∠EBC＝∠CAD，又∠ABC＋∠CAD＝90°，∴∠ABC＋∠EBC＝90°，即∠ABE＝90°．AE是△ABC的外接圆的直径．又AD是BC边上的中线．(1)当BC不是外接圆的直径时，即BC为弦，则 AD⊥BC，AD是BC边的中垂线．△ABC为等腰三角形．(2)当BC是外接圆的直径时，∠CAB＝90°，△ABC为直角三角形．例6. 设P、Q为线段BC 上两定点，且BP＝CQ．A为BC外一动点．当点A运动到使∠BAP＝∠CAQ时，△ABC是什么三角形？分析：作△ABC的外接圆，能把角等转化为弦等，构造全等三角形．证明：作△ABC的外接圆，延长AP、AQ分别交外接圆于E、F．连结BE、CF．∵∠BAP＝∠CAQ，即∠BAE＝∠CAF，∴BE=FC, 弧BE=弧CF,∴弧BF=弧CE, ∴∠EBP＝∠FCQ，又BP＝CQ，∴△BEP≌△CFQ．∠E＝∠F，在△ABE和△ACF中,∠E＝∠F，∠BAE＝∠CAF，BE＝CF．∴△ABE≌△ACF,AB＝AC, ∴△ABC是等腰三角形．类型4 作三角形的外接圆，解几何综合题例7.已知：A、B、C三点不在同一直线上．（1）若点A、B、C均在半径为R的⊙O上，i）如图①，当∠A＝45°，R＝1时，求∠BOC的度数和BC的长；ii）如图②，当∠A为锐角时，求证：sinA＝BC/2R；（2）若定长线段BC的两个端点分别在∠MAN的两边AM、AN（B、C均与A不重合）滑动，如图③，当∠MAN＝60°，BC＝2时，分别作BP⊥AM，CP⊥AN，交点为P，试探索在整个滑动过程中，P、A两点间的距离是否保持不变？请说明理由．【分析】（1）i）根据圆周角定理得出∠BOC＝2∠A＝90°，再利用勾股定理得出BC的长；ii）作直径CE，则∠E＝∠A，CE＝2R，利用sinA＝sinE＝BC/2R，得出即可；（2）首先证明点A、B、P、C都在⊙K上，再利用sin60°＝BC/AP，得出AP＝2/ sin60°＝4√3/3（定值）．【解答】（1）i）∵A、B、C均在⊙O上，∴∠BOC＝2∠A＝2×45°＝90°，∵OB＝OC＝1，∴BC＝√2，注：也可延长BO或过O点作BC的垂线构造直角三角形求得BC．ii）证法一：如图②，连接EB，作直径CE，则∠E＝∠A，CE＝2R，∴∠EBC＝90°∴sinA＝sinE＝BC/2R，证法二：如图③．连接OB、OC，作OH⊥BC于点H，则∠A＝1/2∠BOC＝∠BOH，BH＝1/2BC∴sinA＝sin∠BOH＝BH/OB=1/2BC/R=BC/2R，（2）如图④，连接AP，取AP的中点K，连接BK、CK，在Rt△APC中，CK＝1/2AP＝AK＝PK，同理得：BK＝AK＝PK，∴CK＝BK＝AK＝PK，∴点A、B、P、C都在⊙K上，∴由（1）ii）可知sin60°＝BC/AP∴AP＝2/ sin60°＝4√3/3（定值），故在整个滑动过程中，P、A两点间的距离不变．【点评】此题主要考查了圆周角定理以及解直角三角形和四点共圆等知识，根据已知得出点A、B、P、C 都在⊙K上以及sin60°＝BC/AP是解题关键．中考热点：圆+三角函数综合题型一、问题导读“圆”这一部分知识，多年来都是中考的重点，锐角三角函数大家也不算陌生，那么当圆遇上三角函数又会出现什么呢？下面就和大家分享一下圆偶遇三角函数之后所发生的一个小片段吧！当然如果想了解具体发生了什么，首先得记住他们的暗号喔，通过下面问题的探讨，不难发现它们携手并进暗号呢。

圆的综合压轴题(解析版)

圆的综合压轴题(解析版)

圆的综合压轴题命题趋势中考数学中《圆的综合压轴题》部分主要考向分为六类：一、圆中弧长和面积的综合题二、圆与全等三角形的综合题三、圆的综合证明问题四、圆与等腰三角形的综合题五、圆的阅读理解与新定义问题六、圆与特殊四边形的综合题圆的综合问题是中考数学中的压轴题中的一类，也是难度较大的一类，所以，对应的训练很有必要。

热考题型解读考向一：圆中弧长与面积的综合题考向二：圆与全等三角形综合题考向三：圆的综合证明问题考向四：圆与等腰三角形的综合考向五：圆的阅读理解与新定义问题考向六：圆与特殊四边形综合考向一：圆中弧长与面积的综合题1(2023•河北)装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以AB 为直径的半圆O ，AB =50cm ，如图1和图2所示，MN 为水面截线，GH 为台面截线，MN ∥GH ．计算：在图1中，已知MN =48cm ，作OC ⊥MN 于点C .(1)求OC 的长．操作：将图1中的水槽沿GH 向右作无滑动的滚动，使水流出一部分，当∠ANM =30°时停止滚动．如图2．其中，半圆的中点为Q ，GH 与半圆的切点为E ，连接OE 交MN 于点D ．探究：在图2中．(2)操作后水面高度下降了多少？(3)连接OQ 并延长交GH 于点F ，求线段EF 与EQ的长度，并比较大小．【分析】(1)连接OM ，利用垂径定理得出MC =12MN =24cm ，由勾股定理计算即可得出答案；(2)由切线的性质证明OE ⊥GH ，进而得到OE ⊥MN ，利用锐角三角函数的定义求出OD ，再与(1)中OC 相减即可得出答案；(3)由半圆的中点为Q 得到∠QOB =90°，得到∠QOE =30°，分别求出线段EF 与EQ的长度，再相减比较即可．【解答】解：(1)连接OM ，∵O 为圆心，OC ⊥MN 于点C ，MN =48cm ，∴MC =圆的综合压轴题（解析版）MN =24cm ，∵AB =50cm ，∴OM =圆的综合压轴题（解析版）AB =25cm ，在Rt △OMC 中，OC =OM 2-MC 2=252-242=7(cm )；(2)∵GH 与半圆的切点为E ，∴OE ⊥GH ，∵MN ∥GH ，∴OE ⊥MN 于点D ，∵∠ANM =30°，ON =25cm ，∴OD =12ON =252cπ，∴操作后水面高度下降高度为：252-7=112cπ；(3)∵OE ⊥MN 于点D ，∠ANM =30°，∴∠DOB =60°，∵半圆的中点为Q ，∴AQ =QB，∴∠QOB =90°，∴∠QOE =30°，∴EF =tan ∠QOE •OE =2533(cm )，EQ 的长为30×π×25180=25π6(cm )，∵2533-256π=503-25π6=2523-π 6>0，∴EF >EQ ．2(2023•乐山)在学习完《图形的旋转》后，刘老师带领学生开展了一次数学探究活动．【问题情境】刘老师先引导学生回顾了华东师大版教材七年级下册第121页“探索”部分内容：如图1，将一个三角形纸板△ABC 绕点A 逆时针旋转θ到达的位置△AB ′C ′的位置，那么可以得到：AB =AB ′，AC =AC ′，BC =B ′C ′；∠BAC =∠B ′AC ′，∠ABC =∠AB ′C ′，∠ACB =∠AC ′B ′．()刘老师进一步谈到：图形的旋转蕴含于自然界的运动变化规律中，即“变”中蕴含着“不变”，这是我们解决图形旋转的关键．故数学就是一门哲学．【问题解决】(1)上述问题情境中“()”处应填理由：　旋转前后的图形对应线段相等，对应角相等　；(2)如图2，小王将一个半径为4cm ，圆心角为60°的扇形纸板ABC 绕点O 逆时针旋转90°到达扇形纸板A ′B ′C ′的位置．①请在图中作出点O ；②如果BB ′=6cm ，则在旋转过程中，点B 经过的路径长为　32π2cm ；【问题拓展】小李突发奇想，将与(2)中完全相同的两个扇形纸板重叠，一个固定在墙上，使得一边位于水平位置．另一个在弧的中点处固定，然后放开纸板，使其摆动到竖直位置时静止．此时，两个纸板重叠部分的面积是多少呢？如图3所示，请你帮助小李解决这个问题．【分析】【问题解决】(1)由旋转的性质即可知答案为旋转前后的图形对应线段相等，对应角相等；(2)①作线段BB '，AA '的垂直平分线，两垂直平分线交于O ，点O 为所求；②由∠BOB '=90°，OB =OB '，可得OB =62=32，再用弧长公式可得答案；【问题拓展】连接PA '，交AC 于M ，连接PA ，PD ，AA '，PB '，PC ，求出A 'D =A M ∠PA B cos =230o cos =433，DM =12A 'D =233，可得S △A 'DP =12×233×4=433；S 扇形PA 'B '=30π×42360=4π3，证明△PB ′D ≌△PCD (SSS )可知阴影部分关于PD 对称，故重叠部分面积为2(4π3-433)=8π-833(cm 2)．【解答】解：【问题解决】(1)根据题意，AB =AB ′，AC =AC ′，BC =B ′C ′；∠BAC =∠B ′AC ′，∠ABC =∠AB ′C ′，∠ACB =∠AC ′B ′的理由是：旋转前后的图形对应线段相等，对应角相等，故答案为：旋转前后的图形对应线段相等，对应角相等；(2)①如图：作线段BB '，AA '的垂直平分线，两垂直平分线交于O ，点O 为所求；②∵∠BOB '=90°，OB =OB '，∴△BOB '是等腰直角三角形，∵BB '=6，∴OB =62=32，∵90π×32180=32π2(cm )，∴点B 经过的路径长为32π2cm ，故答案为：32π2cm ；【问题拓展】连接PA '，交AC 于M ，连接PA ，PD ，AA '，PB '，PC ，如图：∵点P 为BC中点，∴∠PAB =∠PAC =12∠BAC =30o ，由旋转得∠PA 'B '=30°，PA =PA ′=4，在Rt △PAM 中，PM =PA •sin ∠PAM =4×sin30°=2，∴A 'M =PA '-PM =4-2=2，在Rt △A ′DM 中，A 'D =A M ∠PAB cos =230ocos =433，DM =12A 'D =233，∴S △A 'DP =12×233×4=433；S 扇形PA 'B '=30π×42360=4π3，下面证明阴影部分关于PD 对称：∵∠PAC =∠PA 'B '=30°，∠ADN =∠A 'DM ，∴∠AND =∠A 'MD =90°，∴∠PNA '=90°，∴PN =12PA '=2，∴AN =PA -PN =2，∴AN =A ′M ，∴△AND ≌△A 'MD (AAS )，∴AD =A ′D ，∴CD =B 'D ，∵PD =PD ，PB '=PC ，∴△PB ′D ≌△PCD (SSS )，∴阴影部分面积被PD 等分，∴S 阴影=2(S 扇形PA 'B '-S △A 'DP )=2(4π3-433)=8π-833(cm 2)．∴两个纸板重叠部分的面积是8π-833cm 2．考向二：圆与全等三角形综合题3(2023•济宁)如图，已知AB 是⊙O 的直径，CD =CB ，BE 切⊙O 于点B ，过点C 作CF ⊥OE 交BE 于点F ，EF =2BF ．(1)如图1，连接BD ，求证：△ADB ≌△OBE ；(2)如图2，N 是AD 上一点，在AB 上取一点M ，使∠MCN =60°，连接MN ．请问：三条线段MN ，BM ，DN 有怎样的数量关系？并证明你的结论．【分析】(1)根据CF ⊥OE ，OC 是半径，可得CF 是圆O 的切线，根据BE 是圆O 的切线，由切线长定理可得BF =CF ，进而根据sin E =CF EF =12，得出∠E =30°，∠EOB =60°，根据CD =CB 得出CD =CB ，根据垂径定理的推论得出OC ⊥BD ，进而得出∠ADB =90°=∠EBO ，根据含30度角的直角三角形的性质，得出AD =BO =12AB ，即可证明△ABD ≌△OEB (AAS )；(2)延长ND 至H 使得DH =BM ，连接CH ，BD ，根据圆内接四边形对角互补得出∠HDC =∠MBC ，证明△HDC ≌△MBC (SAS )，结合已知条件证明△CNH ≌△CNM (SAS )，得出NH =MN ，即可得出结论．【解答】(1)证明：∵CF ⊥OE ，OC 是半径，∴CF 是圆O 的切线，∵BE 是圆O 的切线，∴BF =CF ，∵EF =2BF ，∴EF =2CF ，sin E =CF EF =12，∴∠E =30°，∠EOB =60°，∵CD =CB ，∴CD =CB，∴OC ⊥BD ，∵AB 是直径，∴∠ADB =90°=∠EBO ，∵∠E +∠EBD =90°，∠ABD +∠EBD =90°，∴∠E =∠ABD =30°，∴AD =BO =12AB ，∴△ABD ≌△OEB (AAS )；(2)解：MN =BM +DN ，理由如下：延长ND 至H 使得DH =BM ，连接CH ，BD ，如图2所示，∵∠CBM +∠NDC =180°，∠HDC +∠NDC =180°，∴∠HDC =∠MBC ，∵CD =CB ，DH =BM ，∴△HDC ≌△MBC (SAS )，∴∠BCM =∠DCH ，CM =CH ，由(1)可得∠ABD =30°，∵AB 是直径，∴∠ADB =90°，∴∠A =60°，∴∠DCB =180°-∠A =120°，∵∠MCN =60°，∴∠BCM +∠NCD =120°-∠NCM =120°-60°=60°，∴∠DCH +∠NCD =∠NCH =60°，∴∠NCH =∠NCM ，∵NC =NC ，∴△CNH ≌△CNM (SAS )，∴NH =MN ，∴MN =DN +DH =DN +BM ，∴MN =BM +DN ．4(2023•哈尔滨)已知△ABC 内接于⊙O ，AB 为⊙O 的直径，N 为AC的中点，连接ON 交AC 于点H ．(1)如图①，求证：BC =2OH ；(2)如图②，点D 在⊙O 上，连接DB ，DO ，DC ，DC 交OH 于点E ，若DB =DC ，求证OD ∥AC ；(3)如图③，在(2)的条件下，点F 在BD 上，过点F 作FG ⊥DO ，交DO 于点G ，DG =CH ，过点F 作FR ⊥DE ，垂足为R ，连接EF ，EA ，EF ：DF =3：2，点T 在BC 的延长线上，连接AT ，过点T 作TM ⊥DC ，交DC 的延长线于点M ，若FR =CM ，AT =42，求AB 的长．【分析】(1)连接OC ，证明OH 是△ABC 的中位线，即可得到BC =2OH ；(2)设∠BDC =2α，证明△DOB ≌△DOC (SSS )，可得∠BDO =∠CDO =12∠BDC =α，再推导出∠CDO =∠ACD ，即可证明DO ∥AC ；(3)连接AD ，延长AE 与BC 交于W 点，延长AC 、TM 交于L 点，先证明△DGF ≌△CHE (AAS )，得到DF =CE ，再证明△DFG ≌△AFH (ASA )，得到AE =DF ，从而判断出四边形ADFE 是矩形，得到EF ⊥BD ，求出tan ∠EDF =32，通过证明△FRK ≌△CML (AAS )，推导出CL =FK =2FG =CW ，再证明△AWC ≌△TLC (AAS )，则AC =TC ，在Rt △ACT 中，由AT =42，求出AC =CT =4，在Rt △ABC中，tan ∠BAC =32=BC AC，求出BC =6，在Rt △ABC 中，利用勾股定理求出AB =AC 2+BC 2=213．【解答】(1)证明：如图①，连接OC ，∵N 是AC 的中点，∴AN =CN ，∴∠AON =∠CON ，∵OA=OC，∴AH=HC，∵OA=OB，∴OH是△ABC的中位线，∴BC=2OH；(2)证明：如图②，设∠BDC=2α，∵BD=CD，DO=DO，BO=OC，∴△DOB≌△DOC(SSS)，∠BDC=α，∴∠BDO=∠CDO=12∵OB=OD，∴∠DBO=∠BDO=α，∵∠ACD=∠ABD=α，∴∠CDO=∠ACD，∴DO∥AC；(3)解：如图③，连接AD，延长AE与BC交于W点，延长AC、TM交于L点，∵FG⊥OD，∴∠DGF=90°，∵∠CHE=90°，∴∠DGF=∠CHE，∵∠FDG=∠ECH，DG=CH，∴△DGF≌△CHE(AAS)，∴DF=CE，∵AH=CH，∴OH⊥AC，∴∠EHC=∠DGF，∵AH=HC，∴△AEC是等腰三角形，∴AE=EC，∠EAC=∠ECA，∵∠BDO=∠ODE=∠ECA，∴∠EAH=∠FDG，∵DG=CH，∴DG=AH，∴△DFG≌△AFH(ASA)，∴AE=DF，∵∠DEA=2∠ECA，∠FDE=2∠ODE，∴∠FDE=∠DEA，∴DF∥AE，∴四边形AEFD是平行四边形，∵AB是圆O的直径，∴∠ADB=90°，∴四边形ADFE是矩形，∴EF⊥BD，∵EF：DF=3：2，∴tan∠EDF=32，∵FR⊥CD，FG⊥DO，∴∠ODE=∠RFK=90°，∵∠ECA=∠MCL，∴∠RFK=∠LCM，∵CM⊥MT，∴∠CML=90°，∵FR=CM，∴△FRK≌△CML(AAS)，∴CL=FK=2FG，∵BC=2OH，EH=OH，∴EH是△AWC的中位线，∴CW=2EH，∵EH=FG，∴CL=FK=2FG=CW，∵∠TCL=∠CMT=90°，∴∠MCL=∠CTM，∵∠ACE=∠ECA=∠LCM，∴∠CTM=∠WAC，∴△AWC≌△TLC(AAS)，∴AC=TC，在Rt△ACT中，AT=42，∴AC=CT=4，∵AW∥BD，∴∠BAW=∠DBC，∵∠DBO=∠BDO，∠EAC=∠BDO=∠ODE，∴∠BAC=∠BDE，在Rt△ABC中，tan∠BAC=32=BCAC，∴BC=6，在Rt△ABC中，AB=AC2+BC2=213．5(2023•长春)【感知】如图①，点A、B、P均在⊙O上，∠AOB=90°，则锐角∠APB的大小为45度．【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点P在弧AC上(点P不与点A、C重合)，连接PA、PB、PC．求证：PB=PA+PC．小明发现，延长PA至点E，使AE=PC，连接BE，通过证明△PBC≌△EBA．可推得△PBE是等边三角形，进而得证．下面是小明的部分证明过程：证明：延长PA至点E，使AE=PC，连接BE．∵四边形ABCP是⊙O的内接四边形，∴∠BAP+∠BCP=180°，∵∠BAP+∠BAE=180°，∴∠BCP=∠BAE，∵△ABC是等边三角形，∴BA=BC，∴△PBC≌△EBA(SAS)．请你补全余下的证明过程．【应用】如图③，⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC=90°，AB=BC，点P在⊙O上，且点P与点B在AC的两侧，连接PA、PB、PC，若PB=22PA，则PBPC的值为　223　．【分析】【感知】根据圆周角定理即可得出答案；【探究】先构造出△PBC≌△EBA(SAS)，得出PB=EB，进而得出△PBE是等边三角形，即可得出结论；【应用】先构造出△PBC≌△GBA(SAS)，进而判断出∠PBG=90°，进而得出△PBG是等腰直角三角形，即可得出结论；【解答】【感知】解：∵∠AOB=90°，∴∠APB=12∠AOB=45°(在同圆中，同弧所对的圆周角是圆心角的一半)，故答案为：45；【探究】证明：延长PA至点E，使AE=PC，连接BE．∵四边形ABCP是⊙O的内接四边形，∴∠BAP+∠BCP=180°，∵∠BAP+∠BAE=180°，∴∠BCP=∠BAE，∵△ABC是等边三角形，∴BA=BC，∴△PBC≌△EBA(SAS)，∴PB=EB，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∴∠APB=60°，∴△PBE为等边三角形，∴PB=PE=AE+AP=PC+AP；【应用】解：如图③，延长PA至点G，使AG=PC，连接BE．∵四边形ABCP是⊙O的内接四边形，∴∠BAP+∠BCP=180°，∵∠BAP+∠BAG=180°，∴∠BCP =∠BAG ，∵BA =BC ，∴△PBC ≌△GBA (SAS )，∴PB =GB ，∠PBC =∠GBA ，∵∠ABC =90°，∴∠PBG =∠GBA +∠ABP =∠PBC +∠ABP =∠ABC =90°，∴PG =2BP ，∵PG =PA +AG =PA +PC ，∴PC =PG -PA =2×22PA -PA =3PA ，∴PB PC =22PA 3PA=223，故答案为：223考向三：圆的综合证明问题6(2023•黄石)如图，AB 为⊙O 的直径，DA 和⊙O 相交于点F ，AC 平分∠DAB ，点C 在⊙O 上，且CD ⊥DA ，AC 交BF 于点P ．(1)求证：CD 是⊙O 的切线；(2)求证：AC •PC =BC 2；(3)已知BC 2=3FP •DC ，求AF AB的值．【分析】(1)连接OC ，由等腰三角形的性质得∠OAC =∠OCA ，再证∠DAC =∠OCA ，则DA ∥OC ，然后证OC ⊥CD ，即可得出结论；(2)由圆周角定理得∠ACB =90°，∠DAC =∠PBC ，再证∠BAC =∠PBC ，然后证△ACB ∽△BCP ，得AC BC =BC PC，即可得出结论；(3)过P 作PE ⊥AB 于点E ，证AC •PC =3FP •DC ，再证△ACD ∽△BPC ，得AC •PC =BP •DC ，则BP •DC =3FP •DC ，进而得BP =3FP ，然后由角平分线的性质和三角形面积即可得出结论．【解答】(1)证明：如图1，连接OC ，∵OA =OC ，∴∠OAC =∠OCA ，∵AC 平分∠DAB ，∴∠DAC =∠OAC ，∴∠DAC =∠OCA ，∴DA ∥OC ，∵CD ⊥DA ，∴OC ⊥CD ，∴CD 是⊙O 的切线；(2)证明：∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB =90°，∵AC 平分∠DAB ，∴∠DAC =∠BAC ，∵∠DAC =∠PBC ，∴∠BAC =∠PBC ，又∵∠ACB =∠BCP ，∴△ACB ∽△BCP ，∴AC BC =BC PC，∴AC •PC =BC 2；(3)解：如图2，过P 作PE ⊥AB 于点E ，由(2)可知，AC •PC =BC 2，∵BC 2=3FP •DC ，∴AC •PC =3FP •DC ，∵CD ⊥DA ，∴∠ADC =90°，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠BCP =90°，∴∠ADC =∠BCP ，∵∠DAC =∠CBP ，∴△ACD ∽△BPC ，∴AC BP =DC PC，∴AC •PC =BP •DC ，∴BP •DC =3FP •DC ，∴BP =3FP ，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠AFB =90°，∴PF ⊥AD ，∵AC 平分∠DAB ，PE ⊥AB ，∴PF =PE ，∵==，∴===．7如图，在⊙O 中，直径AB 垂直弦CD 于点E ，连接AC ，AD ，BC ，作CF ⊥AD 于点F ，交线段OB 于点G (不与点O ，B 重合)，连接OF ．(1)若BE=1，求GE的长．(2)求证：BC2=BG•BO．(3)若FO=FG，猜想∠CAD的度数，并证明你的结论．【分析】(1)由垂径定理可得∠AED=90°，结合CF⊥AD可得∠DAE=∠FCD，根据圆周角定理可得∠DAE=∠BCD，进而可得∠BCD=∠FCD，通过证明△BCE≌△GCE，可得GE=BE=1；(2)证明△ACB∽△CEB，根据对应边成比例可得BC2=BA•BE，再根据AB=2BO，BE=12BG，可证BC2=BG•BO；(3)方法一：设∠DAE=∠CAE=α，∠FOG=∠FGO=β，可证a=90°-β，∠OCF=90-3α，通过SAS 证明△COF≌△AOF，进而可得∠OCF=∠OAF，即90°-3a=a，则∠CAD=2a=45°．方法二：延长FO交AC于点H，连接OC，证明△AFC是等腰直角三角形，即可解决问题．【解答】(1)解：直径AB垂直弦CD，∴∠AED=90°，∴∠DAE+∠D=90°，∵CF⊥AD，∴∠FCD+∠D=90°，∴∠DAE=∠FCD，由圆周角定理得∠DAE=∠BCD，∴∠BCD=∠FCD，在△BCE和△GCE中，，∴△BCE≌△GCE(ASA)，∴GE=BE=1；(2)证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACB=∠CEB=90°，∵∠ABC=∠CBE，∴△ACB∽△CEB，∴BC BE =BA BC，∴BC2=BA•BE，由(1)知GE=BE，∴BE=12BG，∴BC2=BA•BE=2BO•1BG=BG•BO；2(3)解：∠CAD=45°，证明如下：解法一：如图，连接OC，∵FO=FG，∴∠FOG=∠FGO，∵直径AB垂直弦CD，∴CE=DE，∠AED=∠AEC=90°，∵AE=AE，∴△ACE≌△ADE(SAS)，∴∠DAE=∠CAE，设∠DAE=∠CAE=α，∠FOG=∠FGO=β，则∠FCD=∠BCD=∠DAE=α，∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC=α，∵∠ACB=90°，∴∠OCF=∠ACB-∠OCA-∠FCD-∠BCD=90°-3α，∵∠CGE=∠OGF=β，∠GCE=α，∠CGE+∠GCE=90°，∴β+α=90°，∴α=90°-β，∵∠COG=∠OAC+∠OCA=α+α=2α，∴∠COF=∠COG+∠GOF=2α+β=2(90°-β)+β=180°-β，∴∠COF=∠AOF，在△COF和△AOF中，，∴△COF≌△AOF(SAS)，∴∠OCF=∠OAF，即90°-3α=α，∴α=22.5°，∴∠CAD=2a=45°．解法二：如图，延长FO交AC于点H，连接OC，∵FO=FG，∴∠FOG=∠FGO，∴∠FOG=∠FGO=∠CGB=∠B，∴BC∥FH，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACB=∠AHO=90°，∵OA=OC，∴AF =CF ，∵CF ⊥AD ，∴△AFC 是等腰直角三角形，∴∠CAD =45°．8(2023•永州)如图，以AB 为直径的⊙O 是△ABC 的外接圆，延长BC 到点D ．使得∠BAC =∠BDA ，点E 在DA 的延长线上，点M 在线段AC 上，CE 交BM 于N ，CE 交AB 于G ．(1)求证：ED 是⊙O 的切线；(2)若AC =6，BD =5，AC >CD ，求BC 的长；(3)若DE •AM =AC •AD ，求证：BM ⊥CE ．【分析】(1)由AB 是⊙O 的直径得∠ACB =90°，故∠BAC +∠ABC =90°，由∠BAC =∠BDA 得∠BDA +∠ABC =90°，有∠BAD =90°，即可得证；(2)证明△ACB ∽△DCA ，则BC AC =AC DC =AC BD -BC ，可得BC 6=65-BC ，解得BC =2或BC =3，由AC >CD 即可得到BC 的长；(3)先证明△ABC ∽△DAC ，则AC DC =AB AD ，得到AC •AD =CD •AB ，由DE •AM =AC •AD 得到DE •AM =CD •AB ，故AM DC=AB DE ，由同角的余角相等得∠BAM =∠CDE ，有△AMBB ∽△DCE ，得∠E =∠ABM ，进一步得到∠EGA +∠E =∠ABM +∠BGN =90°，则∠BNG =90°，即可得到结论．【解答】(1)证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB =90°，∴∠BAC +∠ABC =90°，∵∠BAC =∠BDA ，∴∠BDA +∠ABC =90°，∴∠BAD =90°，∴ED 是⊙O 的切线；(2)解：∵∠BAC =∠BDA ，∠ACB =∠DCA =90°，∴△ACB ∽△DCA ，∴BC AC=AC DC =AC BD -BC ，∴BC 6=65-BC ，解得BC =2或BC =3，当BC =2时，CD =BD -BC =3，当BC =3时，CD =BD -BC =2，∵AC >CD ，即6>CD ，∴BC =3；(3)证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB =∠DCA =90°，∵∠BAC =∠BDA ，∴△ABC ∽△DAC ，∴AC DC =AB AD，∴AC •AD =CD •AB ，∵DE •AM =AC •AD ，∴DE ．AM =CD •AB ，∴AM DC=AB DE ，∵∠BAM +∠CAD =∠CDE +∠CAD =90°，∴∠BAM =∠CDE ，∴△AMB ∽△DCE ，∴∠E =∠ABM ，∵∠EGA =∠BGN ，∴∠EGA +∠E =∠ABM +∠BGN =90°，∴∠BNG =90°，∴BM ⊥CE ．9(2023•广东)综合探究如图1，在矩形ABCD 中(AB >AD )，对角线AC ，BD 相交于点O ，点A 关于BD 的对称点为A ′．连接AA ′交BD 于点E ，连接CA ′．(1)求证：AA '⊥CA '；(2)以点O 为圆心，OE 为半径作圆．①如图2，⊙O 与CD 相切，求证：AA =3CA ；②如图3，⊙O 与CA ′相切，AD =1，求⊙O 的面积．【分析】(1)根据轴对称的性质可得AE =A ′E ，AA ′⊥BD ，根据四边形ABCD 是矩形，得出OA =OC ，从而OE ∥A ′C ，从而得出AA ′⊥CA ′；(2)①设CD ⊙O 与CD 切于点F ，连接OF ，并延长交AB 于点G ，可证得OG =OF =OE ，从而得出∠EAO =∠GAO =∠GBO ，进而得出∠EAO =30°，从而AA =3CA ；②设⊙O 切CA ′于点H ，连接OH ，可推出AA ′=2OH ，CA ′=2OE ，从而AA ′=CA ′，进而得出∠A ′AC =∠A ′CA =45°，∠AOE =∠ACA ′=45°，从而得出AE =OE ，OD =OA =2AE ，设OA =OE =x ，则OD =OA =2x ，在Rt △ADE 中，由勾股定理得出x 2+2-1 x 2=1，从而求得x 2=2+24，进而得出⊙O的面积．【解答】(1)证明：∵点A关于BD的对称点为A′，∴AE=A′E，AA′⊥BD，∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC，∴OE∥A′C，∴AA′⊥CA′；(2)①证明：如图2，设CD⊙O与CD切于点F，连接OF，并延长交AB于点G，∴OF⊥CD，OF=OE，∵四边形ABCD是矩形，∴OB=OD=12BD，AB∥CD，AC=BD，OA=12AC，∴OG⊥AB，∠FDO=∠GBO，OA=OB，∴∠GAO=∠GBO，∵∠DOF=∠BOG，∴△DOF≌△BOG(ASA)，∴OG=OF，∴OG=OE，由(1)知：AA′⊥BD，∴∠EAO=∠GAO，∵∠EAB+∠GBO=90°，∴∠EAO+∠GAO+∠GBO=90°，∴3∠EAO=90°，∴∠EAO=30°，由(1)知：AA′⊥CA′，∴tan∠EAO=CAAA，∴tan30°=CAAA，∴AA =3CA ；②解：如图3，设⊙O切CA′于点H，连接OH，∴OH⊥CA′，由(1)知：AA′⊥CA′，AA′⊥BD，OA=OC，∴OH∥AA′，OE∥CA′，∴△COH∽△CAA′，△AOE∽△ACA′，∴OH AA =OCAC=12，OECA=OAAC=12，∴AA′=2OH，CA′=2OE，∴AA′=CA′，∴∠A′AC=∠A′CA=45°，∴∠AOE=∠ACA′=45°，∴AE=OE，OD=OA=2AE，设AE=OE=x，则OD=OA=2x，∴DE=OD-OE=(2-1)x，在Rt△ADE中，由勾股定理得，x2+2-1x2=1，∴x2=2+24，⋅π．∴S⊙O=π•OE2=2+24考向四：圆与等腰三角形的综合10(2023•宁波)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，E为AB边上一点，以AE为直径的半圆O与BC 相切于点D，连结AD，BE=3，BD=35．P是AB边上的动点，当△ADP为等腰三角形时，AP的长为　6或230　．【分析】连接OD，DE，根据切线的性质和勾股定理求出OD=6，然后分三种情况讨论：①当AP=PD时，此时P与O重合，②如图2，当AP′=AD时，③如图3，当DP′′=AD时，分别进行求解即可．【解答】解：如图1，连接OD，DE，∵半圆O与BC相切于点D，∴OD⊥BC，在Rt△OBD中，OB=OE+BE=OD+3，BD=35．∴OB2=BD2+OD2，∴(OD+3)2=(35)2+OD2，解得OD=6，∴AO=EO=OD=6，①当AP=PD时，此时P与O重合，∴AP=AO=6；②如图2，当AP′=AD时，在Rt△ABC中，∵∠C=90°，∴AC⊥BC，∴OD∥AC，∴△BOD∽△BAC，∴==，∴==，∴AC=10，CD=25，∴AD===230，∴AP′=AD=230；③如图3，当DP′′=AD时，∵AD=230，∴DP′′=AD=230，∵OD=OA，∴∠ODA=∠BAD，∴OD∥AC，∴∠ODA=∠CAD，∴∠BAD=∠CAD，∴AD平分∠BAC，过点D作DH⊥AE于点H，∴AH=P″H，DH=DC=25，∵AD=AD，∴Rt△ADH≌Rt△ADC(HL)，∴AH=AC=10，∴AH=AC=P″H=10，∴AP″=2AH=20(P为AB边上一点，不符合题意，舍去)，综上所述：当△ADP为等腰三角形时，AP的长为6或230．故答案为：6或230．11(2023•上海)如图(1)所示，已知在△ABC中，AB=AC，O在边AB上，点F是边OB中点，以O 为圆心，BO为半径的圆分别交CB，AC于点D，E，连接EF交OD于点G．(1)如果OG=DG，求证：四边形CEGD为平行四边形；(2)如图(2)所示，连接OE，如果∠BAC=90°，∠OFE=∠DOE，AO=4，求边OB的长；(3)连接BG，如果△OBG是以OB为腰的等腰三角形，且AO=OF，求的值．【分析】(1)由∠ABC=∠C，∠ODB=∠ABC，即得∠C=∠ODB，OD∥AC，根据F是OB的中点，OG =DG，知FG是△OBD的中位线，故FG∥BC，即可得证；(2)设∠OFE=∠DOE=α，OF=FB=a，有OE=OB=2a，由(1)可得OD∥AC，故∠AEO=∠DOE =α，得出∠OFE=∠AEO=α，进而证明△AEO∽△AFE，AE2=AO-AF，由AE2=EO2-AO2，有EO2 -AO2=AO×AF，解方程即可答案；(3)△OBG是以OB为腰的等腰三角形，①当OG=OB时，②当BG=OB时，证明△BGO∽△BPA，得出，设OG=2k，AP=3k，根据OG∥AE，得出△FOG∽△FAE，即得AE=2OG=4k，PE=AE-AP=k，连接OE交PG于点Q，证明△QPE∽△QGO，在△PQE与△BQO中，，，得出==，可得△PQE∽△OQB，根据相似三角形的性质得出a=2k，进而即可求得答案．【解答】(1)证明：如图：∵AC=AB，∴∠ABC=∠C，∵OD=OB，∴∠ODB=∠ABC，∴∠C=∠ODB，∴OD∥AC，∵F是OB的中点，OG=DG，∴FG是△OBD的中位线，∴FG∥BC，即GE∥CD，∴四边形CEGD是平行四边形；(2)解：如图：由∠OFE=∠DOE，AO=4，点F边OB中点，设∠OFE=∠DOE=α，OF=FB=a，则OE=OB=2a，由(1)可得OD∥AC，∴∠AEO=∠DOE=α，∴∠OFE=∠AEO=α，∵∠A=∠A，∴△AEO∽△AFE，∴，即AE2=AO•AF，在Rt△AEO中，AE2=EO2-AO2，∴EO2-AO2=AO×AF，∴(2a)2-42=4×(4+a)，解得：或(舍去)，∴OB=2a=1+33；(3)解：①当OG=OB时，点G与点D重合，不符合题意，舍去；②当BG=OB时，延长BG交AC于点P，如图所示，∵点F是OB的中点，AO=OF，∴AO=OF=FB，设AO=OF=FB=a，∵OG∥AC，∴△BGO∽△BPA，∴，设OG=2k，AP=3k，∵OG∥AE，∴△FOG∽△FAE，∴，∴AE=2OG=4k，∴PE=AE-AP=k，设OE交PG于点Q，∵OG∥PE，∴△QPE∽△QGO，∴，∴PQ=a，QG=a，，在△PQE与△BQO中，，，∴，又∠PQE=∠BQO，∴△PQE∽△OQB，∴，∴，∴a=2k，∵OD=OB=2a，OG=2k，∴，∴的值为12．12(2023•泰州)已知：A、B为圆上两定点，点C在该圆上，∠C为所对的圆周角．知识回顾(1)如图①，⊙O中，B、C位于直线AO异侧，∠AOB+∠C=135°．①求∠C的度数；②若⊙O的半径为5，AC=8，求BC的长；逆向思考(2)如图②，若P为圆内一点，且∠APB<120°，PA=PB，∠APB=2∠C．求证：P为该圆的圆心；拓展应用(3)如图③，在(2)的条件下，若∠APB=90°，点C在⊙P位于直线AP上方部分的圆弧上运动．点D在⊙P上，满足CD=2CB-CA的所有点D中，必有一个点的位置始终不变．请证明．【分析】(1)①根据∠AOB+∠C=135°，结合圆周角定理求∠C的度数；②构造直角三角形；(2)只要说明点P到圆上A、B和另一点的距离相等即可；(3)根据CD=2CB-CA，构造一条线段等于2CB-CA，利用三角形全等来说明此线段和CD相等．【解答】(1)解：①∵∠AOB+∠C=135°，∠AOB=2∠C，∴3∠C=135°，∴∠C=45°．②连接AB，过A作AD⊥BC，垂足为M，∵∠C=45°，AC=8，∴△ACM是等腰直角三角形，且AM=CM=42，∵∠AOB=2∠C=90°，OA=OB，∴△AOB是等腰直角三角形，∴AB=2OA=52，在直角三角形ABM中，BM==32，∴BC=CM+BM=42+32=72．(2)延长AP交圆于点N，则∠C=∠N，∵∠APB=2∠C，∴∠APB=2∠N，∵∠APB=∠N+∠PBN，∴∠N=∠PBN，∴PN=PB，∵PA=PB，∴PA=PB=PN，∴P为该圆的圆心．(3)过B作BC的垂线交CA的延长线于点E，连接AB，延长AP交圆于点F，连接CF，FB，∵∠APB=90°，∴∠C=45°，∴△BCE是等腰直角三角形，∴BE=BC，∵BP⊥AF，PA=PF，∴BA=BF，∵AF是直径，∴∠ABF=90°，∴∠EBC=∠ABF=90°，∴∠EBA=∠CBF，∴△EBA≌△CBF(SAS)，∴AE=CF，∵CD=2CB-CA=CE-CA=AE，∴CD=CF，∴必有一个点D的位置始终不变，点F即为所求．考向五：圆的阅读理解与新定义问题13(2023•青海)综合与实践车轮设计成圆形的数学道理小青发现路上行驶的各种车辆，车轮都是圆形的．为什么车轮要做成圆形的呢？这里面有什么数学道理吗？带着这样的疑问，小青做了如下的探究活动：将车轮设计成不同的正多边形，在水平地面上模拟行驶．(1)探究一：将车轮设计成等边三角形，转动过程如图1，设其中心到顶点的距离是2，以车轮转动一次(以一个顶点为支点旋转)为例，中心的轨迹是，BA=CA=DA=2，圆心角∠BAD=120°．此时中心轨迹最高点是C(即的中点)，转动一次前后中心的连线是BD(水平线)，请在图2中计算C到BD的距离d1．(2)探究二：将车轮设计成正方形，转动过程如图3，设其中心到顶点的距离是2，以车轮转动一次(以一个顶点为支点旋转)为例，中心的轨迹是，BA=CA=DA=2，圆心角∠BAD=90°．此时中心轨迹最高点是C(即的中点)，转动一次前后中心的连线是BD(水平线)，请在图4中计算C到BD的距离d2(结果保留根号)．(3)探究三：将车轮设计成正六边形，转动过程如图5，设其中心到顶点的距离是2，以车轮转动一次(以一个顶点为支点旋转)为例，中心的轨迹是，圆心角∠BAD=60°．此时中心轨迹最高点是C(即的中点)，转动一次前后中心的连线是BD(水平线)，在图6中计算C 到BD的距离d3=　2-3　(结果保留根号)．(4)归纳推理：比较d1，d2，d3大小：d1>d2>d3　，按此规律推理，车轮设计成的正多边形边数越多，其中心轨迹最高点与转动一次前后中心连线(水平线)的距离越小(填“越大”或“越小”)．(5)得出结论：将车轮设计成圆形，转动过程如图7，其中心(即圆心)的轨迹与水平地面平行，此时中心轨迹最高点与转动前后中心连线(水平线)的距离d=0.这样车辆行驶平稳、没有颠簸感．所以，将车轮设计成圆形．【分析】(1)△ABC是等边三角形，进而求得AE，进一步得出结果；(2)△ABE是等腰直角三角形，进而求得AE，进一步得出结果；(3)△ABD是等边三角形，进而求得AE，进一步得出结果；(4)比较大小得出结果；(5)圆的半径相等，从而得出结果．解：(1)图1，【解答】Array 3∵AB=AD=2，AC⊥BD，∴∠BAC=∠CAD=1∠BAD=60°，2∵AB=AC，∴△ABC是等边三角形，∴AC=AB=2，∴d1=CE=1AC=1；2(2)如图2，∴∠ABD=∠ADB=45°，=2，∴AE=AB•sin∠ABD=2×22∴d2=CE=AC-AE=2-2；(3)如图3，∴AB=BD，∠ABD=60°，∴△ABD是等边三角形，∴∠BAD =60°，在Rt △ABE 中，AE =AB •sin ∠ABD =2•sin 60°=3，∴d 3=AC -AE =2-3，故答案为：60°，2-3；(4)∵1>2-2>2-3，∴d 1>d 2>d 3，越小；故答案为：d 1>d 2>d ，越小；(5)∵圆的半径相等，∴d =0，故答案为：0．14(2023•陕西)(1)如图①，∠AOB =120°，点P 在∠AOB 的平分线上，OP =4．点E ，F 分别在边OA ，OB 上，且∠EPF =60°，连接EF ．求线段EF 的最小值；(2)如图②，是一个圆弧型拱桥的截面示意图．点P 是拱桥AB的中点，桥下水面的宽度AB =24m ，点P 到水面AB 的距离PH =8m ．点P 1，P 2均在AB上，PP 1=PP 2，且P 1P 2=10m ，在点P 1，P 2处各装有一个照明灯，图中△P 1CD 和△P 2EF 分别是这两个灯的光照范围．两灯可以分别绕点P 1，P 2左右转动，且光束始终照在水面AB 上．即∠CP 1D ，∠EP 2F 可分别绕点P 1，P 2按顺(逆)时针方向旋转(照明灯的大小忽略不计)，线段CD ，EF 在AB 上，此时，线段ED 是这两灯照在水面AB 上的重叠部分的水面宽度．已知∠CP 1D =∠EP 2F =90°，在这两个灯的照射下，当整个水面AB 都被灯光照到时，求这两个灯照在水面AB 上的重叠部分的水面宽度．(可利用备用图解答)【分析】(1)过P 作PC ⊥OB 于C ，作PD ⊥OA 于D ，证明△PCF ≌△PDE (AAS )，可得CF =DE ，即可得OE +OF =(OD -DE )+(OC +CF )=OD +OC ，而∠POD =∠POC =60°，知OD =OC =12OP =2，故OE +OF =4，设OF =x ，则OE =4-x ，过F 作FG ⊥AO 于G ，有OG =12x ，GF =32x ，由勾股定理得EF ====，即知线段EF 的最小值是23；(2)当整个水面AB 都被灯光照到时，①C 与A 重合，F 与B 重合，设PH 交P 1P 2于K ，圆心为O ，连接HO ，AO ，P 1O ，过P 1作P 1T ⊥AB 于T ，由点P 是拱桥AB的中点，PH ⊥AB ，设⊙O 半径为r m ，则OH =OP -PH =(r -8)m ，可得122+(r -8)2=r 2，r =13，求出P 1K =P 2K =5m ，OK ===12(m )，PK =OP -OK =13-12=1(m )，KH =PH -PK =8-1=7(m )，可得P 1T =KH =7m ，故AT =P 1T ，∠P 1AT =45°，可得△AP 1D 是等腰直角三角形，即得AD =2AT =14(m )，即CD =14m ，同理可得BE =14m ，即FE =14m ，故DE =EF -DB =14-10=4(m )，这两个灯照在水面AB 上的重叠部分的水面宽度为4m ；②当E 与A 重合，D 与B 重合时，可得AP 2==(m )，而cos ∠P 2AM ==，可得AF =，同理BC =，故CF =AF +BC -AB =(m )．【解答】解：(1)过P 作PC ⊥OB 于C ，作PD ⊥OA 于D ，如图：∵∠AOB =120°，∠EPF =60°，∴∠OEP +∠OFP =180°，∵∠OEP +∠PED =180°，∴∠OFP =∠PED ，即∠PFC =∠PED ，∵OP 平分∠AOB ，PC ⊥OB ，PD ⊥OA ，∴PC =PD ，∵∠PCF =∠PDE =90°，∴△PCF ≌△PDE (AAS )，∴CF =DE ，∴OE +OF =(OD -DE )+(OC +CF )=OD +OC ，∵∠POD =∠POC =60°，∴∠OPD =∠OPC =30°，∴OD =OC =12OP =2，∴OE +OF =4，设OF =x ，则OE =4-x ，过F 作FG ⊥AO 于G ，如图：∵∠OFG =∠AOB -∠G =120°-90°=30°，∴OG =12x ，GF =32x ，∴EG =OE +OG =4-12x ，∴EF ====，∴当x =2时，EF 取最小值12=23，∴线段EF 的最小值是23；(2)当整个水面AB 都被灯光照到时，①C 与A 重合，F 与B 重合，设PH 交P 1P 2于K ，圆心为O ，连接HO ，AO ，P 1O ，过P 1作P 1T ⊥AB 于T ，如图：∵点P 是拱桥AB的中点，PH ⊥AB ，∴O ，P ，H 共线，AH =BH =12AB =12m ，设⊙O 半径为r m ，则OH =OP -PH =(r -8)m ，在Rt △AHO 中，AH 2+OH 2=OA 2，∴122+(r -8)2=r 2，解得r =13，∴OP 1=13m ，∵PP 1=PP 2，且P 1P 2=10m ，∴P 1K =P 2K =5m ，∴OK ===12(m )，∴PK =OP -OK =13-12=1(m )，∴KH =PH -PK =8-1=7(m )，∴P 1T =KH =7m ，∵AT =AH -TH =12-5=7(m )，∴AT =P 1T ，∴∠P 1AT =45°，∵∠CP 1D =90°，即∠AP 1D =90°，∴△AP 1D 是等腰直角三角形，∴AD =2AT =14(m )，即CD =14m ，∴DB =AB -AD =24-14=10(m )，同理可得BE =14m ，即FE =14m ，∴DE =EF -DB =14-10=4(m )，∴这两个灯照在水面AB 上的重叠部分的水面宽度为4m ；②当E 与A 重合，D 与B 重合时，如图：∵AT =P 1T =7m =P 2M ，P 1P 2=10m ，∴AM =AT +TF =17m ，∴AP 2===(m )，∵cos ∠P 2AM ==，∴=，∴AF =，同理BC =，∴CF =AF +BC -AB =+-24=(m )；∴这两个灯照在水面AB 上的重叠部分的水面宽度为m ；综上所述，这两个灯照在水面AB 上的重叠部分的水面宽度为4m 或m ．15(2023•北京)在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为1．对于⊙O 的弦AB 和⊙O 外一点C 给出如下定义：若直线CA ，CB 中一条经过点O ，另一条是⊙O 的切线，则称点C 是弦AB 的“关联点”．(1)如图，点A (-1，0)，B 1(-22，22)，B 2(22，-22)．①在点C 1(-1，1)，C 2(-2，0)，C 3(0，2)中，弦AB 1的“关联点”是C 1，C 2　；②若点C 是弦AB 2的“关联点”，直接写出OC 的长；(2)已知点M (0，3)，N (655，0)，对于线段MN 上一点S ，存在⊙O 的弦PQ ，使得点S 是弦PQ 的“关联点”．记PQ 的长为t ，当点S 在线段MN 上运动时，直接写出t 的取值范围．【分析】(1)根据题目中关联点的定义分情况讨论即可；(2)根据M (0，3)，N (655，0)两点来求最值情况，共有两种情况，分别位于点M 和经过点O 的MN 的垂直平分线上，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．【解答】解：(1)①由关联定义可知，若直线CA 、CB 中一条经过点O ，另一条是⊙O 的切线，则称点C 是弦AB 的“关联点”，∵点A (-1，0)，B 1(-22，22)，点C 1(-1，1)，C 2(-2，0)，C 3(0，2)，∴直线AC 2经过点O ，且B 1C 2与⊙O 相切，∴C 2是弦AB 1的“关联点”，∵C 1(-1，1)，A (-1，0)的横坐标相同，与B 1(-22，22)在直线y =-x 上，∴AC 1与⊙O 相切，B 1C 1经过点O ，∴C 1是弦AB 1的“关联点”；故答案为：C 1，C 2；②∵A (-1，0)，B 2(22，-22)，设C (a ，b )，如图所示，共有两种情况，a、若C1B2与⊙O相切，AC经过点O，则C1B2，AC1所在直线为，解得，∴C1(2，0)，∴OC1=2，b、若AC2与⊙O相切，C2B2经过点O，则直线C2B2，AC2所在直线为，解得，∴C2(-1，1)，∴OC2=2，综上所述，OC=2；(2)∵线段MN上一点S，存在⊙O的弦PQ，使得点S是弦PQ的“关联点”，∵弦PQ随着S的变动在一定范围内变动，且M(0，3)，N(655，0)，OM>ON，∴S共有2种情况，分别位于点M和经过点O的MN的垂线上，如图所示，①当S位于点M(0，3)时，MP为⊙O的切线，作PJ⊥OM，∵M(0，3)，⊙O的半径为1，且MP是⊙O的切线，∴OP⊥MP，∵PJ⊥OM，∴△MPO∽△POJ，∴，即，解得OJ=，∴PJ==，Q1J=，∴PQ1==233，同理PQ2==26 3，∴当S位于M(0，3)时，PQ1的临界值为233和26 3；②当S位于经过点O的MN的垂线上的点K时，，∵M(0，3)，N(655，0)，∴MN=，∴=2，∵⊙O的半径为1，∴∠OKZ=30°，∴△OPQ为等边三角形，∴PQ=1或3，∴当S位于经过点O且垂直于MN的直线上即点K时，PQ1的临界点为1和3，∴在两种情况下，PQ的最小值在1≤t≤233内，最大值在263≤t≤3，综上所述，t的取值范围为1≤t≤233，263≤t≤3．16在探究“四点共圆的条件”的数学活动课上，小霞小组通过探究得出：在平面内，一组对角互补的四边形的四个顶点共圆．请应用此结论，解决以下问题：如图1，△ABC中，AB=AC，∠BAC=α(60°<α<180°)．点D是BC边上的一动点(点D不与B，C重合)，将线段AD绕点A顺时针旋转α到线段AE，连接BE．(1)求证：A，E，B，D四点共圆；(2)如图2，当AD=CD时，⊙O是四边形AEBD的外接圆，求证：AC是⊙O的切线；(3)已知α=120°，BC=6，点M是边BC的中点，此时⊙P是四边形AEBD的外接圆，直接写出圆心P与点M距离的最小值．【分析】(1)根据旋转的性质得到AE =AD ，∠DAE =α，证明∠BAE =∠CAD ，进而证明△ABE ≌△ACD ，可以得到∠AEB =∠ADC ，由∠ADC +∠ADB =180°，可得∠AEB +∠ADB =180°，即可证明A 、B 、D 、E 四点共圆；(2)连接OA ，OD ，根据等边对等角得到∠ABC =∠ACB =∠DAC ，由圆周角定理得到∠AOD =2∠ABC =2∠DAC ，再由OA =OD ，得到∠OAD =∠ODA ，利用三角形内角和定理证明∠DAC +∠OAD =90°，即∠OAC =90°，可证明AC 是⊙O 的切线；(3)作线段AB 的垂直平分线，分别交AB 、BC 于G 、F ，连接AM ，先求出∠B =∠C =30°，再由三线合一定理得到BM =CM =12BC =3，AM ⊥BC ，解直角三角形求出AB =23，则BG =12AB =3，再解Rt △BGF 得到BF =2，则FM =1；由⊙P 是四边形AEBD 的外接圆，可得点P 一定在AB 的垂直平分线上，故当MP ⊥GF 时，PM 有最小值，据此求解即可．【解答】(1)证明：由旋转的性质可得AE =AD ，∠DAE =α，∴∠BAC =∠DAE ，∴∠BAC -∠BAD =∠DAE -∠BAD ，即∠BAE =∠CAD ，又∵AB =AC ，∴△ABE ≌△ACD (SAS )，∴∠AEB =∠ADC ，∵∠ADC +∠ADB =180°，∴∠AEB +∠ADB =180°，∴A 、B 、D 、E 四点共圆；(2)证明：如图所示，连接OA ，OD ，∵AB =AC ，AD =CD ，∴∠ABC =∠ACB =∠DAC ，∵⊙O 是四边形AEBD 的外接圆，∴∠AOD =2∠ABC ，∴∠AOD =2∠ABC =2∠DAC ，∵OA =OD ，∴∠OAD =∠ODA ，∵∠OAD +∠ODA +∠AOD =180°，∴2∠DAC +2∠OAD =180°，∴∠DAC +∠OAD =90°，即∠OAC =90°，∴OA ⊥AC ，又∵OA 是⊙O 的半径，∴AC 是⊙O 的切线；(3)解：如图所示，作线段AB 的垂直平分线，分别交AB 、BC 于G 、F ，连接AM ，PM ，如图：∵AB =AC ，∠BAC =120°，。

圆、相似三角形、二次函数经典综合题

圆、相似三角形、二次函数经典综合题

中考数学《圆》综合复习【1】已知：如图，△ABC 内接于⊙O ，∠BAC 的平分线交BC 于D ，交⊙O 于E ，EF ∥BC 且交AC 延长线于F ，连结CE.求证：(1)∠BAE=∠CEF ；(2)CE 2=BD ·EF.【2】如图，△ABC 内接于圆，D 为BA 延长线上一点，AE 平分∠BAC 的外角，交BC 延长线于E ，交圆于F.若AB=8，AC=5，EF=14.求AE 、AF 的长.【3】如图，已知AB 是⊙O 的弦，OB ＝2，∠B ＝30°，C 是弦AB 上的任意一点（不与点A 、B 重合），连接 CO 并延长CO 交于⊙O 于点D ，连接AD ． (1)弦长AB 等于 ▲ （结果保留根号）； (2)当∠D ＝20°时，求∠BOD 的度数；(3)当AC 的长度为多少时，以A 、C 、D 为顶点的三角形与以B 、C 、O 为顶点的三角形相似？请写出解答过程．【4】如图，在ABC △中90ACB ∠=，D 是AB 的中点，以DC 为直径的O 交ABC △的三边，交点分别是G F E ，，点．GECD ，的交点为M ，且ME = :2:5MD CO =．（1）求证：GEF A ∠=∠． （2）求O 的直径CD 的长．B CF E A D O .A B D C EF 第9题图【5】如图右，已知直线PA 交⊙0于A 、B 两点，AE 是⊙0的直径．点C 为⊙0上一点，且AC 平分∠PAE ，过C 作CD ⊥PA ，垂足为D 。

(1)求证：CD 为⊙0的切线；(2)若DC+DA=6，⊙0的直径为l0，求AB 的长度. 【6】【7】如图，已知⊙O 1与⊙O 2都过点A ，AO 1是⊙O 2的切线，⊙O 1交O 1O 2于点B ，连结AB 并延长交⊙O 2于点C ，连结O 2C. （1）求证：O 2C ⊥O 1O 2； （2）证明：AB ·BC=2O 2B ·BO 1；（3）如果AB ·BC=12，O 2C=4，求AO 1的长.O 1O 2A B【8】如图，在平面直角坐标系中，点A （10，0），以OA 为 直径在第一象限内作半圆C ，点B 是该半圆周上一动点，连 结OB 、AB ，并延长AB 至点D ，使DB=AB ，过点D 作x 轴垂线，分别交x 轴、直线OB 于点E 、F ，点E 为垂足，连结CF （1）当∠AOB =30°时，求弧AB 的长度； （2）当DE =8时，求线段EF 的长；（3）在点B 运动过程中，是否存在以点E 、C 、F 为顶点的三角形与△AOB 相似，若存在，请求出此 时点E 的坐标；若不存在，请说明理由．【9】 如图（18），在平面直角坐标系中，ABC △的边AB 在x 轴上，且OA OB >，以AB 为直径的圆过点C ．若点C 的坐标为(02)，，5AB =，A 、B 两点的横坐标A x ，B x 是关于x 的方程2(2)10x m x n -++-=的两根． （1）求m 、n 的值；（2）若ACB ∠平分线所在的直线l 交x 轴于点D ，试求直线l 对应的一次函数解析式； （3）过点D 任作一直线l '分别交射线CA 、CB （点C 除外）于点M 、N ．则11CM CN+第24题图图（3）l '【10】如图l0．在平面直角坐标系xoy中，AB在x轴上，AB=10．以AB为直径的⊙O’与y轴正半轴交于点C．连接BC，AC。

2020春浙教版九年级中考数学复习测试：6.20圆与相似三角形的结合

2020春浙教版九年级中考数学复习测试：6.20圆与相似三角形的结合

第20讲圆与相似三角形的结合[学生用书P129]月球有多大？我们用三角函数可以测定月球的大小，当我们已知月球离地球的距离是三十八万四千千米，就可以用相似测定月球直径的大小．如图①，把一枚硬币(直径2.4 cm)放在离眼睛2.6 m的地方，大致能够把整个月面遮住．(试一试！)①②如图②，由△OAB∽△OCD，可得CDAB＝OFOE(相似三角形对应高的比等于相似比)．把AB＝0.024 m，OF＝384 000 000 m，OE＝2.6 m代入，得CD＝0.024×384 000 0002.6≈3 500 000(m)．就是说，月球的直径约是3 500 km.类型之一圆的基本性质与相似三角形例1[2018·南京中考]如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，连结DE.过点A作AF⊥DE，垂足为F.⊙O经过点C，D，F，与AD相交于点G.(1)求证：△AFG∽△DFC；(2)若正方形ABCD的边长为4，AE＝1，求⊙O的半径．【思路生成】(1)欲证明△AFG∽△DFC，只要证明∠F AG＝∠FDC，∠AGF ＝∠FCD；(2)首先证明CG是直径，再求CG长度即可解决问题；解：(1)证明：在正方形ABCD中，∠ADC＝90°，∴∠CDF＋∠ADF＝90°，∵AF⊥DE，∴∠AFD＝90°，∴∠DAF＋∠ADF＝90°，∴∠DAF＝∠CDF，∵四边形GFCD是⊙O的内接四边形，∴∠FCD＋∠DGF＝180°，又∵∠FGA＋∠DGF＝180°，∴∠FGA＝∠FCD，∴△AFG∽△DFC；(2)如答图，连结CG.答图∵∠EAD＝∠AFD＝90°，∠EDA＝∠ADF，∴△EDA∽△ADF.∴EAAF＝DADF，即EADA＝AFDF.∵△AFG∽△DFC，∴AGDC＝AF DF.∴AGDC＝EADA.在正方形ABCD中，DA＝DC，∴AG＝EA＝1，DG＝DA－AG＝4－1＝3. ∴CG＝DG2＋DC2＝32＋42＝5.∵∠CDG＝90°，∴CG是⊙O的直径．∴⊙O的半径为5 2.圆与相似三角形的综合运用主要体现在以下几个方面：(1)证明圆中的比例式或等积式；(2)运用相似的性质进行圆的有关计算；(3)运用相似证明圆的切线．判定圆中的相似三角形(1)圆中的角主要有圆心角和圆周角，特别是直径所对的圆周角都是直角，利用圆心角、圆周角等寻找或构造相似三角形是基本思路；(2)利用圆的切线的判定或性质，或切线长定理寻找或构造相似三角形也是重要的方法．1．[太原竞赛]如图，已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝11，BC＝5，以C为圆心，BC为半径作圆交BA的延长线于D，则AD的长为__73__．答图【解析】如答图，延长AC与圆相交于E，F，则AF＝5－11，AE＝5＋11，又AB＝6，由相交弦定理AD·AB＝AE·AF得AD＝AE·AFAB＝（5－11）（5＋11）6＝73.2．[第19届江苏竞赛]如图，AB为圆的直径，若AB＝AC＝5，BD＝4，则AE BE＝__724__．【解析】如答图，连结AD，答图∵AB为圆的直径，∴∠E＝90°，AD⊥BC，而AB＝AC＝5，BD＝4，则AD＝3，BD＝DC，∴BC＝2BD＝8，∵∠ACD＝∠BCE，∴Rt△CDA∽Rt△CEB，∴ADBE＝CDCE＝CABC，即3BE＝4CE＝58，所以BE＝245，CE＝325，则AE＝CE－AC＝325－5＝75，所以AEBE＝724.3．[苏州中考]如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是直径，点D在⊙O上，OD∥BC，过点D作DE⊥AB，垂足为E ，连结CD 交OE 于点F .(1)求证：△DOE ∽△ABC ； (2)求证：∠ODF ＝∠BDE ；(3)连结OC ，设△DOE 的面积为S 1，四边形BCOD 的面积为S 2，若S 1S 2＝27，求OEOD 的值．解：(1)证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°. ∵DE ⊥AB ，∴∠DEO ＝90°.∴∠DEO ＝∠ACB . ∵OD ∥BC ，∴∠DOE ＝∠ABC ，∴△DOE ∽△ABC ；(2)证明：∵△DOE ∽△ABC ，∴∠ODE ＝∠A .∵∠A 和∠BDC 是BC ︵所对的圆周角，∴∠A ＝∠BDC ，∴∠ODE ＝∠BDC .∴∠ODF ＝∠BDE ；(3)∵△DOE ∽△ABC ，∴S △DOE S △ABC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫OD AB 2＝14，即S △ABC ＝4S △DOE ＝4S 1， ∵OA ＝OB ，∴S △BOC ＝12S △ABC ， 即S △BOC ＝2S 1.∵S 1S 2＝27，S 2＝S △BOC ＋S △DOE ＋S △DBE ＝2S 1＋S 1＋S △DBE ，∴S △DBE ＝12S 1，∴BE ＝12OE ， 即OE ＝23OB ＝23OD ，∴OE OD ＝23.4．[2018·宁波中考]如图1，直线l ：y ＝－34x ＋b 与x 轴交于点A (4，0)，与y 轴交于点B ，点C 是线段OA 上一动点⎝ ⎛⎭⎪⎫0<AC <165，以点A 为圆心，AC 长为半径作⊙A 交x 轴于另一点D ，交线段AB 于点E .连结OE 并延长交⊙A 于点F .(1)求直线l 的函数表达式和tan ∠BAO 的值． (2)如图2，连结CE ，当CE ＝EF 时． ①求证：△OCE ∽△OEA ； ②求点E 的坐标．(3)当点C 在线段OA 上运动时，求OE ·EF 的最大值．解：(1)∵直线l ：y ＝－34x ＋b 与x 轴交于点A (4，0)， ∴－34×4＋b ＝0，∴b ＝3，∴直线l 的函数表达式为y ＝－34x ＋3， ∴B (0，3)，∴OA ＝4，OB ＝3，在Rt△AOB中，tan∠BAO＝OBOA＝3 4.(2)①证明：如答图①，连结DE，DF，∵CE＝EF，∴∠CDE＝∠FDE，∴∠CDF＝2∠CDE，∵∠OAE＝2∠CDE，∴∠OAE＝∠ODF，∵四边形CEFD是⊙O的圆内接四边形，∴∠OEC＝∠ODF，∴∠OEC＝∠OAE，∵∠COE＝∠EOA，∴△COE∽△EOA；②如答图①，过点E作EM⊥OA于M，由①知，tan∠OAB＝3 4，设EM＝3m，则AM＝4m，∴OM＝4－4m，AE＝5m，∴E(4－4m，3m)，AC＝5m，∴OC＝4－5m，由①知，△COE∽△EOA，∴OCOE＝OEOA，∴OE2＝OA·OC＝4(4－5m)＝16－20m，∵E(4－4m，3m)，∴(4－4m)2＋9m2＝16－20m，解得m ＝0(舍)或m ＝1225，∴4－4m ＝5225，3m ＝3625， ∴E ⎝ ⎛⎭⎪⎫5225，3625.(3)如答图②，设⊙A 的半径为r ，设射线EA 与⊙A 相交于H ，过点O 作OG ⊥AB 于G ，连结FH ，答图①答图②∵A (4，0)，B (0，3)，∴OA ＝4，OB ＝3， ∴AB ＝5，∴12AB ×OG ＝12OA ×OB ，∴OG ＝125， ∴AG ＝OG tan ∠OAB＝125×43＝165， ∴EG ＝AG －AE ＝165－r ，∵EH 是⊙A 直径， ∴EH ＝2r ，∠EFH ＝90°＝∠EGO ， ∵∠OEG ＝∠HEF ，∴△OEG ∽△HEF ， ∴OE HE ＝EG EF ，∴OE ·EF ＝HE ·EG ＝2r ⎝ ⎛⎭⎪⎫165－r ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫r －852＋12825，∴r ＝85时，OE ·EF 取最大值为12825.类型之二 圆的切线与相似三角形例2 [2018·成都]如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，O 为AB 上一点，经过点A ，D 的⊙O 分别交AB ，AC 于点E ，F ，连结OF 交AD 于点G .(1)求证：BC 是⊙O 的切线；(2)设AB ＝x ，AF ＝y ，试用含x ，y 的代数式表示线段AD 的长； (3)若BE ＝8，sin B ＝513，求DG 的长．【思路生成】(1)连结OD ，由AD 为角平分线得到一对角相等，再由等边对等角得到一对角相等，等量代换得到内错角相等，进而得到OD 与AC 平行，得到OD 与BC 垂直，即可得证；(2)连结DF ，由(1)得到BC 为⊙O 的切线，由弦切角等于夹弧所对的圆周角，进而得到△ABD 与△ADF 相似，由相似得比例，即可表示出AD ；(3)连结EF ，设圆的半径为r ，由sin B 的值，利用锐角三角函数定义求出r 的值，由直径所对的圆周角为直角，得到EF 与BC 平行，得到sin ∠AEF ＝sin B ，进而求出DG 的长即可．解：(1)证明：如答图，连结OD ，答图∵AD为∠BAC的平分线，∴∠BAD＝∠CAD，∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD，∴∠ODA＝∠CAD，∴OD∥AC，∵∠C＝90°，∴∠ODC＝90°，∴OD⊥BC，又⊙O过点D，∴BC为⊙O的切线；(2)如答图，连结DF，由(1)知BC为⊙O的切线，∴∠FDC＝∠DAF，∴∠CDA＝∠CFD，∴∠AFD＝∠ADB，∵∠BAD＝∠DAF，∴△ABD∽△ADF，∴ABAD＝ADAF，即AD2＝AB·AF＝xy，则AD＝xy；(3)如答图，连结EF，在Rt△BOD中，sin B＝ODOB＝513，设圆的半径为r，可得rr＋8＝513，解得r＝5，∴AE＝10，AB＝18，∵AE是直径，∴∠AFE＝∠C＝90°，∴EF ∥BC ，∴∠AEF ＝∠B ，∴sin ∠AEF ＝AF AE ＝513，∴AF ＝AE ·sin ∠AEF ＝10×513＝5013，∵AF ∥OD ，∴AG DG ＝AF OD ＝50135＝1013，即DG ＝1323AD ，∴AD ＝AB ·AF ＝18×5013＝301313，则DG ＝1323×301313＝301323.5．[2018·淄博中考]如图，以AB 为直径的⊙O外接于△ABC ，过A 点的切线AP 与BC 的延长线交于点P .∠APB 的平分线分别交AB ，AC 于点D ，E ，其中AE ，BD (AE <BD )的长是一元二次方程x 2－5x ＋6＝0的两个实数根．(1)求证：P A ·BD ＝PB ·AE ；(2)在线段BC 上是否存在一点M ，使得四边形ADME 是菱形？若存在，请给予证明，并求其面积；若不存在，说明理由．解：(1)证明：∵AP 为⊙O 的切线，AB 是直径，∴∠BAP ＝90°，即∠BAC ＋∠EAP ＝90°，∵AB 为直径，∴∠ACB ＝90°，即∠BAC ＋∠DBP ＝90°，∴∠EAP＝∠DBP，又∵PD平分∠APB，∴∠APE＝∠BPD，∴△APE∽△BPD，∴P AAE＝PBBD，∴P A·BD＝PB·AE；(2)存在．如答图，过点D作DM⊥BC于点M，连结EM，答图∵PD平分∠APB，又AD⊥P A，DM⊥PM，∴DM＝DA，∵∠AED＝∠EAP＋∠APE，∠ADE＝∠DBP＋∠BPD，又由(1)知∠EAP＝∠DBP，∠APE＝∠BPD，∴∠AED＝∠ADE，∴AD＝AE，∴DM＝AE，∵DM⊥BC，AC⊥BC，∴DM∥AC，∴四边形ADME为菱形，易得x2－5x＋6＝0的两个根为2，3，∵AE<BD，∴BD＝3，AE＝2，∵四边形ADME为菱形，∴DM＝AE＝AD＝2，在Rt△BDM中，BD＝3，DM＝2，∴BM＝32－22＝5，∵DM∥AC，∴BDDA＝BM MC，∴32＝5MC，∴MC＝253，∴S菱形ADME ＝AE·MC＝2×235＝453.6．[2018·遂宁中考]如图，过⊙O外一点P作⊙O的切线P A切⊙O于点A，连结PO并延长，与⊙O交于C，D两点，M是半圆CD的中点，连结AM交CD于点N，连结AC，CM.(1)求证：CM2＝MN·MA；(2)若∠P＝30°，PC＝2，求CM的长．解：(1)证明：∵在⊙O中M点是半圆CD的中点，∴∠CAM＝∠DCM，又∵∠M是公共角，∴△CMN∽△AMC，∴CMAM＝MNMC，∴CM2＝MN·MA；(2)如答图，连结OA，DM，答图∵P A是⊙O的切线，∴∠P AO＝90°，又∵∠P＝30°，∴OA＝12PO＝12(PC＋CO)，设⊙O的半径为r，∵PC＝2，∴r＝12(2＋r)，解得r＝2，又∵CD是直径，∴∠CMD＝90°，∵M点是半圆CD的中点，∴CM＝DM，∴△CMD是等腰直角三角形，∴在Rt△CMD中，由勾股定理得CM2＋DM2＝CD2，∴2CM2＝(2r)2＝16，解得CM＝2 2.类型之三证明圆中的比例式或乘积式例3[天津竞赛]如图，BC是半圆O的直径，D是弧AC的中点，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E.(1)求证：AC·BC＝2BD·CD；(2)若AE＝3，CD＝25，求弦AB和直径BC的长．【思路生成】(1)连结OD交AC于点F，由于D是弧AC的中点，∠ACD＝∠ABD＝∠CBD，由垂径定理知，AF＝CF＝12AC.∠CFD＝∠BDC＝90°，则有△CDF∽△BCD；(2)延长BA，CD交于点G，易得Rt△CDE∽Rt△CAG，由比例线段解得CE ＝5，在Rt△ACG中，由勾股定理得AG＝4，由割线定理知，GA·GB＝GD·GC，即4(AB＋4)＝25×45，解得AB＝6.在Rt△ABC中，由勾股定理可求得BC的值．解：(1)证明：如答图，连结OD交AC于点F，答图∵D是弧AC的中点，∴∠ACD＝∠ABD＝∠CBD，且AF＝CF＝12AC.∵BC为直径，∴∠BDC＝90°，又∵∠CFD＝90°，∴△CDF∽△BCD.∴CFBD＝CDBC，∴CF·BC＝BD·CD.∴AC·BC＝2BD·CD；(2)如答图，延长BA，CD交于点G，由(1)得∠ABD＝∠CBD，∠BDC＝90°，∴△BCG为等腰三角形，∴BD平分CG，∴CG＝2CD＝45，∴Rt△CDE∽Rt△CAG，∴CECG＝CDCA，即CE45＝25CE＋3，解得CE＝5或CE＝－8(舍去)．在Rt△ACG中，由勾股定理得AG＝CG2－AC2＝（45）2－（3＋5）2＝4，∵GA·GB＝GD·GC，即4(AB＋4)＝25×45，解得AB＝6.在Rt△ABC中，由勾股定理得BC＝AB2＋AC2＝62＋（3＋5）2＝10.7．如图，已知四边形ABCD为圆的内接四边形，求证：AB·CD＋AD·BC＝AC·BD.答图证明：如答图，在BD上取一点E，使∠BCE＝∠ACD，即得△BEC∽△ADC，可得BE BC ＝AD AC ，即AD ·BC ＝BE ·AC ，①又∵∠ACB ＝∠DCE ，可得△ABC ∽△DEC ，即得AB AC ＝DE DC ，即AB ·CD ＝DE ·AC ，②由①＋②，可得AB ·CD ＋AD ·BC ＝AC (BE ＋DE )＝AC ·BD .8．[江苏竞赛]如图，AB ，AC ，AD 是圆中的三条弦，点E 在AD 上，且AB ＝AC ＝AE .请你说明以下各式成立的理由：(1)∠CAD ＝2∠DBE ；(2)AD 2－AB 2＝BD ·DC .证明：(1)如答图，延长BE 交圆于点F ，连结AF ，则∠DBF ＝∠DAF ，答图∵AB ＝AE ，∴∠ABE ＝∠AEB ＝∠DAF ＋∠F ，∴AF ︵＝AC ︵＋CF ︵＝AB ︵＋DF ︵，∵AB ＝AC ，∴AB ︵＝AC ︵，∴CF ︵＝DF ︵，即点F 是CD ︵的中点，∴∠CAD ＝2∠DAF ＝2∠DBE ；(2)如答图，连结BC 交AD 于点G ，∵AB ＝AC ，∴∠ADB ＝∠ABC ，∠BAG ＝∠DAB ，∴△BAG ∽△DAB .∴AB AG ＝AD AB ，即AB 2＝AG ·AD .∴AD 2－AB 2＝AD 2－AG ·AD ＝AD (AD －AG )＝AD ·DG ，∵∠BDA ＝∠ADC ，∠DBG ＝∠DAC ，∴△BDG ∽△ADC .∴BD AD ＝DG DC ，∴AD ·DG ＝BD ·DC .∴AD 2－AB 2＝BD ·DC .相似三角形解决圆中计算问题作辅助线构造直角是证明圆中三角形相似的常见方法．圆中三角形的相似常见的基本图形如下图所示．类型之四 利用相似三角形解决圆中的计算问题例4 [2018·武汉中考]如图，P A 是⊙O 的切线，A 是切点，AC 是直径，AB 是弦，连结PB ，PC ，PC交AB 于点E ，且P A ＝PB .(1)求证：PB 是⊙O 的切线；(2)若∠APC ＝3∠BPC ，求PE CE 的值．【思路生成】(1)连结OB ，OP ，△OAP 与△OBP 三边对应相等，这两个三角形全等，得∠OBP ＝∠OAP ＝90°，故PB 是⊙O 的切线；(2)连结BC ，AB 与OP 交于点H ，易证OP ⊥AB ，∠OPC ＝∠PCB ＝∠CPB ，由△OAH ∽△CAB 得OH CB ＝12；由△HPB ∽△BPO ，求得HP OH ；再由△HPE ∽△BCE ，可得PE CE 的值．解：(1)证明：如答图，连结OB ，OP ，在△OAP 和△OBP 中，⎩⎪⎨⎪⎧OA ＝OB ，OP ＝OP ，AP ＝BP ，∴△OAP ≌△OBP (SSS )，∴∠OBP ＝∠OAP ，∵P A 是⊙O 的切线，∴∠OBP ＝∠OAP ＝90°，∴PB 是⊙O 的切线；(2)如答图，连结BC ，AB 与OP 交于点H ，答图∵∠APC ＝3∠BPC ，设∠BPC ＝x ，则∠APC ＝3x ，∠APB ＝x ＋3x ＝4x ， 由(1)知∠APO ＝∠BPO ＝2x ，∴∠OPC ＝∠CPB ＝x ，∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ABC ＝90°，由P A ＝PB ，∠APH ＝∠BPH 可得OP ⊥AB ，∴∠AHO ＝∠ABC ＝90°，即OP ∥BC ，∴∠OPC ＝∠PCB ＝∠CPB ＝x ，∴CB ＝BP ，易证△OAH∽△CAB，∴OHCB＝OAAC＝12，设OH＝a，则CB＝BP＝2a，易证△HPB∽△BPO，∴HPBP＝BPOP，设HP＝ya，则ya2a＝2aa＋ya，解得y1＝－1－172(舍)或y2＝－1＋172，∵OP∥CB，易证△HPE∽△BCE，∴PECE＝HPCB＝ya2a＝－1＋174.9．[2018·鄂州中考]如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC为⊙O的直径，AC 与BD交于点E，P为CB延长线上一点，连结P A，且∠P AB＝∠ADB.(1)求证：AP是⊙O的切线；(2)若AB＝6，tan∠ADB＝34，求PB的长；(3)在(2)的条件下，若AD＝CD，求△CDE的面积．解：(1)证明：如答图，连结OA，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，又∵∠P AB＝∠ADB，∠OCA＝∠ADB，∴∠OAC＝∠P AB，∵BC为⊙O的直径，∴∠CAB＝90°，∴∠OAC＋∠OAB＝90°，∴∠P AB＋∠OAB＝90°，即OA⊥AP，∴AP是⊙O的切线；(2)如答图，过点B作BF⊥AP于点F，答图∵∠ACB＝∠P AB＝∠ADB，AB＝6，tan∠ADB＝3 4，∴BC＝10，BFAF＝34，设BF＝3a，AF＝4a，又∵AB＝6，∴(3a)2＋(4a)2＝62，∴a＝65，∴BF＝3a＝185，AF＝4a＝245，∵OA⊥AP，BF⊥AP，∴BF∥OA，∴BFOA＝BPOP，即1855＝BPBP＋5，解得PB＝907；(3)如答图，连结OD交AC于点G，∵CD＝AD，∴OD⊥AC，并且CG＝AG＝12AC＝4，在Rt△COG中，由勾股定理可得OG＝OC2－CG2＝52－42＝3，∴DG＝OD－OG＝5－3＝2，S△CDG＝12CG·DG＝12×4×2＝4.显然Rt△CDG∽Rt△CED，∴S△CDES△CDG＝⎝⎛⎭⎪⎫CDCG2＝⎝⎛⎭⎪⎫2542＝54，∴S△CDE ＝54S△CDG＝54×4＝5.圆与相似三角形的综合运用(1)证明圆的切线的常用辅助线是作过切点的半径，证明直线与这条半径垂直；(2)运用切线的性质时，常连结切点和圆心．类型之五圆与相似三角形的综合运用例5 [2017·温州中考]如图，已知线段AB ＝2，MN ⊥AB 于点M ，且AM ＝BM ，P 是射线MN 上一动点，E ，D 分别是P A ，PB 的中点，过点A ，M ，D 的圆与BP 的另一交点为C (点C 在线段BD 上)，连结AC ，DE .(1)当∠APB ＝28°时，求∠B 和CM ︵所对的圆心角的度数．(2)求证：AC ＝AB .(3)在点P 的运动过程中．①当MP ＝4时，取四边形ACDE 一边的两端点和线段MP 上一点Q ，若以这三点为顶点的三角形是直角三角形，且Q 为锐角顶点，求所有满足条件的MQ 的值；②记AP 与圆的另一个交点为F ，将点F 绕点D 旋转90°得点G ，当点G 恰好落在MN 上，连结AG ，CG ，DG ，EG ，直接写出△ACG 与△DEG 的面积比．【思路生成】(1)根据三角形ABP 是等腰三角形，可得∠B 的度数，再连结MD ，根据MD 为△P AB 的中位线，可得∠MDB ＝∠APB ＝28°；(2)由等角的补角相等，得∠ACB ＝∠B ，则AC ＝AB ；(3)①由垂直平分线的性质，分类讨论符合条件的点Q 的个数，利用相似和勾股定理分别求出MQ 的长度；②利用旋转的性质，平行四边形的性质，锐角三角比求出各边的长度，用面积公式求出比值．解：(1)∵MN ⊥AB ，AM ＝BM ，∴P A ＝PB ，∴∠P AB ＝∠B ，答图①∵∠APB ＝28°，∴∠B ＝76°，如答图①，连结MD ，∵MD 为△P AB 的中位线，∴MD ∥AP ，∴∠MDB ＝∠APB ＝28°，∴CM ︵所对的圆心角的度数为2∠MDB ＝56°.(2)证明：∵∠BAC ＝∠MDC ＝∠APB ，又∵∠BAP ＝180°－∠APB －∠B ，∠ACB ＝180°－∠BAC －∠B ， ∴∠BAP ＝∠ACB ，∵∠BAP ＝∠B ，∴∠ACB ＝∠B ，∴AC ＝AB .(3)①记MP 与圆的另一个交点为R ，∵MD 是Rt △MBP 的中线，∴DM ＝DP ，∴∠DPM＝∠DMP＝∠RCD，∴RC＝RP，∵∠ACR＝∠AMR＝90°，∴AM2＋MR2＝AR2＝AC2＋CR2，∴12＋MR2＝22＋PR2，∴12＋(4－PR)2＝22＋PR2，∴PR＝138，∴MR＝198，Ⅰ.当∠ACQ＝90°时，AQ为圆的直径，∴Q与R重合，∴MQ＝MR＝19 8；Ⅱ.如答图②，当∠QCD＝90°时，在Rt△QCP中，由PR＝CR可知PQ＝2PR＝134，∴MQ＝34；答图②答图③Ⅲ.如答图③，当∠QDC＝90°时，∵BM＝1，MP＝4，∴BP＝17，∴DP＝12BP＝172，∵△PBM∽△PQD，∴MPPB＝DPPQ，∴PQ＝178，∴MQ＝158；Ⅳ.如答图④，当∠AEQ＝90°时，答图④由AE＝PE，可得AQ＝PQ，设MQ＝x，则x2＋1＝(4－x)2，解得x＝15 8，∴MQ＝15 8；综上所述，MQ的值为198或34或158；②△ACG和△DEG的面积之比为6－233.理由：如答图⑤，过C作CH⊥AB于H，答图⑤∵DM∥AF，DE∥AB，∴四边形AMDE 是平行四边形，四边形AMDF 是等腰梯形，∴DF ＝AM ＝DE ＝1，又由对称性可得GE ＝GD ，并且DG ＝DF ，∴△DEG 是等边三角形， ∴∠EDF ＝90°－60°＝30°，∴∠DEF ＝75°＝∠MDE ，∴∠GDM ＝75°－60°＝15°，∴∠GMD ＝∠PGD －∠GDM ＝15°， ∴∠GMD ＝∠GDM ，∴GM ＝GD ＝1，由∠B ＝∠BAP ＝∠DEF ＝75°，得∠BAC ＝30°，从而CH ＝12AC ＝12AB ＝1＝MG ，AH ＝3，∴CG ＝MH ＝3－1，∴S △ACG ＝12CG ×CH ＝3－12，∵S △DEG ＝34，∴S △ACG ∶S △DEG ＝6－233.10．[2018·温州中考]如图，已知P 为锐角∠MAN内部一点，过点P 作PB ⊥AM 于点B ，PC ⊥AN 于点C ，以PB 为直径作⊙O ，交直线CP 于点D ，连结AP ，BD ，AP 交⊙O 于点E .(1)求证：∠BPD ＝∠BAC .(2)连结EB ，ED ，当tan ∠MAN ＝2，AB ＝25时，在点P 的整个运动过程中．①若∠BDE ＝45°，求PD 的长；②若△BED 为等腰三角形，求所有满足条件的BD 的长．(3)连结OC ，EC ，OC 交AP 于点F ，当tan ∠MAN ＝1，OC ∥BE 时，记△OFP的面积为S 1，△CFE 的面积为S 2，请写出S 1S 2的值． 解：(1)证明：∵PB ⊥AM ，PC ⊥AN ，∴∠ABP ＝∠ACP ＝90°，∴∠BAC ＋∠BPC ＝180°，又∠BPD ＋∠BPC ＝180°，∴∠BPD ＝∠BAC .(2)①如答图①，∵∠APB ＝∠BDE ＝45°，∠ABP ＝90°，∴BP ＝AB ＝25，∵∠BPD ＝∠BAC ，∴tan ∠BPD ＝tan ∠BAC ，∴BD DP ＝2，∴BP ＝5PD ，∴PD ＝2；②Ⅰ.当BD ＝BE 时，∠BED ＝∠BDE ，∴∠BPD ＝∠BED ＝∠BDE ＝∠BPE ＝∠BAC ，∴tan ∠BPE ＝2， ∵AB ＝25，∴BP ＝5，∴BD ＝2；Ⅱ.当BE ＝DE 时，∠EBD ＝∠EDB ，∵∠APB＝∠BDE，∠DBE＝∠APC，∴∠APB＝∠APC，∴AC＝AB＝25，如答图①过点B作BG⊥AC于点G，则四边形BGCD是矩形，答图①∵AB＝25，tan∠BAC＝2，∴AG＝2，∴BD＝CG＝25－2；Ⅲ.当BD＝DE时，∠DEB＝∠DBE＝∠APC，∵∠DEB＝∠DPB＝∠BAC，∴∠APC＝∠BAC，设PD＝x，则BD＝2x，∴ACPC＝2，而AG＝2，CD＝BG＝4，∴2x＋24－x＝2，∴x＝32，∴BD＝2x＝3，综上所述，当BD＝2，3或25－2时，△BDE为等腰三角形．(3)如答图②，过点O作OH⊥DC于点H，答图②∵tan∠BPD＝tan∠MAN＝1，∴BD＝PD，设BD＝PD＝2a，PC＝2b，则OH＝a，CH＝a＋2b，AC＝4a＋2b，∵OC∥BE且∠BEP＝90°，∴∠PFC＝90°，∴∠P AC＋∠APC＝∠OCH＋∠APC＝90°，∴∠OCH＝∠P AC，∴△ACP∽△CHO，∴OHCH＝PCAC，即OH·AC＝CH·PC，∴a(4a＋2b)＝2b(a＋2b)，∴a＝b，即CP＝2a，CH＝3a，则OC＝10a，∵△CPF∽△COH，∴CFCH＝CPOC，即CF3a＝2a10a，则CF＝3105a，OF＝OC－CF＝2105a，∵BE∥OC且BO＝PO，∴OF为△PBE的中位线，∴EF＝PF，∴S1S2＝OFCF＝23.例6[全国数学联赛题]如图，已知四边形ABCD外接圆O的半径为2，对角线AC与BD的交点为E，AE＝EC，AB＝2AE，且BD＝23，求四边形ABCD的面积．【思路生成】先求△ABD的面积，再证△ABD与△BCD的面积相等即可．解：如答图，连结AO，交BD于H，连结OB，答图∵AE＝EC，AB＝2AE，∴AB2＝2AE2＝AE·AC，∴ABAC＝AEAB，又∠EAB＝∠BAC，∴△ABE∽△ACB，∴∠ABE＝∠ACB＝∠ADB，∴AB＝AD.∵AB ＝AD ，∴AO ⊥BD ，∴BH ＝HD ，∵BO ＝2，BD ＝23，∴BH ＝HD ＝ 3.∴OH ＝OB 2－BH 2＝4－3＝1，AH ＝OA －OH ＝2－1＝1.∴S △ABD ＝12BD ·AH ＝12×23×1＝3，∵E 是AC 的中点，∴S △ABE ＝S △BCE ，S △ADE ＝S △CDE ，∴S △ABD ＝S △BCD ，∴S 四边形ABCD ＝2S △ABD ＝2 3.[学生用书P67]【思维入门】1．[余姚自主招生]如图，AB 是半圆的直径，点C 是AB ︵的中点，点E 是AC ︵的中点，连结EB ，CA 交于点F ，则EF BF ＝( D )A.13B.14C.1－22 D.2－12【解析】 连结AE ，CE ，作AD ∥CE ，交BE 于点D ，答图∵点E 是AC ︵的中点，设AE ＝CE ＝x ，根据平行线的性质得∠ADE ＝∠CED ＝45°，∴△ADE 是等腰直角三角形，则AD ＝2x ，又∠DAF ＝∠ACE ＝∠CAE ＝∠CBE ，而∠CAB ＝∠CBA ＝45°，∴∠DAB ＝∠DBA ，∴BD ＝AD ＝2x ，∴BE ＝(2＋1)x .∵∠EAC ＝∠ABE ，∠AEF ＝∠BEA ，∴△AEF ∽△BEA ，∴AE BE ＝EF EA ，∴EF ＝(2－1)x ，BF ＝2x .∴EF BF ＝2－12.2．[雨花区自主招生]如图，BC 是半圆O 的直径，EF ⊥BC 于点F ，BF FC ＝5，又AB ＝8，AE ＝2，则AD 的长为( B )A ．1＋ 3 B.1＋32 C.32 D ．1＋ 2 【解析】 如答图，连结BE .答图∵BC是直径．∴∠AEB＝∠BEC＝90°，在Rt△ABE中，根据勾股定理可得BE2＝AB2－AE2＝82－22＝60.∵BFFC＝5，∴设FC＝x，则BF＝5x，BC＝6x，又∵BE2＝BF·BC，即30x2＝60，解得x＝2，∴EC2＝FC·BC＝6x2＝12，∴EC＝23，∴AC＝AE＋EC＝2＋23，∵AD·AB＝AE·AC，∴AD＝AE·ACAB＝2（2＋23）8＝1＋32.3．[天津中考]如图，已知△ABC为等腰直角三角形，D为斜边BC的中点，经过点A，D的⊙O与边AB，AC，BC分别相交于点E，F，M.对于如下五个结论：①∠FMC＝45°；②AE＋AF＝AB；③EDEF＝BABC；④2BM2＝BE·BA；⑤四边形AEMF为矩形．其中正确结论的个数是(C)A．2个B．3个C．4个D．5个【解析】如答图，连结AM，根据等腰三角形的三线合一，得AD⊥BC，答图再根据90°的圆周角所对的弦是直径，得EF，AM是直径，根据对角线相等且互相平分的四边形是矩形，得四边形AEMF是矩形，∴①根据等腰直角三角形ABC的底角是45°，易得∠FMC＝45°，正确；②根据矩形和等腰直角三角形的性质，得AE＋AF＝AB，正确；③连结FD，可以证明△EDF是等腰直角三角形，则③中左右两边的比都是等腰直角三角形的直角边和斜边的比，正确；④根据BM＝2BE，得左边＝4BE2，故需证明AB＝4BE，根据已知条件它们之间不一定有这种关系，错误；⑤正确．所以①②③⑤共4个正确．4．[麻城自主招生]如图，⊙O与Rt△ABC的斜边AB相切于点D，与直角边AC相交于点E，且DE∥BC.已知AE＝22，AC＝32，BC＝6，则⊙O的半径是(D)A．3 B．4C．4 3 D．2 3【解析】如答图，延长EC交⊙O于点F，连结DF.则根据90°的圆周角所对的弦是直径，得DF是直径，答图∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC.∴DEBC＝AEAC.则DE＝4.由Rt△ADE∽Rt△DFE，得EF＝DE2AE＝4 2.根据勾股定理，得DF＝DE2＋EF2＝16＋32＝43，则圆的半径是2 3.5．[淮安自主招生]如图，△ABC中，∠C＝90°，O为AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB相交于点E，与AC相切于点D，已知AD＝2，AE＝1，那么BC＝__125__．答图【解析】 如答图，连结OD ，∵AC 为⊙O 的切线，∴OD ⊥AC ，在Rt △ADO 中，设OD ＝R ，∵AD ＝2，AE ＝1，∴22＋R 2＝(R ＋1)2，解得R ＝32，∴AO ＝52，AB ＝4，又∵∠C ＝90°，∴OD ∥BC ，∴△AOD ∽△ABC ，∴OD BC ＝OA AB ，即BC ＝4×3252＝125.6．[2018·柳州]如图，△ABC 为⊙O 的内接三角形，AB 为⊙O 的直径，过点A 作⊙O 的切线交BC 的延长线于点D .(1)求证：△DAC ∽△DBA ；(2)过点C 作⊙O 的切线CE 交AD 于点E ，求证：CE ＝12AD ；(3)若点F 为直径AB 下方半圆的中点，连结CF 交AB于点G，且AD＝6，AB＝3，求CG的长．解：(1)证明：∵AB是⊙O直径，∴∠ACD＝∠ACB＝90°，答图∵AD是⊙O的切线，∴∠BAD＝90°，∴∠ACD＝∠DAB＝90°，∵∠D＝∠D，∴△DAC∽△DBA；(2)证明：∵EA，EC是⊙O的切线，∴AE＝CE，∴∠DAC＝∠ECA，∵∠ACD ＝90°，∴∠ACE ＋∠DCE ＝90°，∠DAC ＋∠D ＝90°，∴∠D ＝∠DCE ，∴DE ＝CE ，∴AD ＝AE ＋DE ＝CE ＋CE ＝2CE ，∴CE ＝12AD ；(3)如答图，过点G 作GH ⊥BD 于H ，在Rt △ABD 中，AD ＝6，AB ＝3，∴tan ∠ABD ＝AD AB ＝2，∴tan ∠ABD ＝GH BH ＝2，∴GH ＝2BH ，∵点F 是直径AB 下方半圆的中点，∴∠BCF ＝45°，∴∠CGH ＝90°－∠BCF ＝45°，∴CH ＝GH ＝2BH ，∴BC ＝BH ＋CH ＝3BH ，在Rt △ABC 中，tan ∠ABC ＝AC BC ＝2，∴AC ＝2BC ，根据勾股定理得，AC 2＋BC 2＝AB 2，∴4BC 2＋BC 2＝9，∴BC ＝355，∴3BH ＝355，∴BH ＝55，∴GH＝2BH＝25 5，在Rt△CHG中，∠BCF＝45°，∴CG＝2GH＝2105.【思维拓展】7．[瓯海区自主招生]如图，已知：P A切⊙O于A，若AC为⊙O的直径，PBC为⊙O的割线，E为弦AB的中点，PE的延长线交AC于F，且∠FPB＝45°，点F到PC的距离为5，则FC的长为(C)A．10 B．12 C．5 5 D．5 6【解析】设PB＝x，∵P A切⊙O于A，∴AP⊥AC，∴∠P AC＝90°，∵AC为⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∵∠FPB＝45°，∴BE＝PB＝x，AB＝2x，PH＝FH＝5，∵∠C＋∠BAC＝90°，∠P AB＋∠BAC＝90°，∴∠C＝∠P AB，∴△APB∽△CAB，∴AB BC ＝PB AB ，即2x BC ＝x 2x ，解得BC ＝4x ，∴CH ＝PC －PH ＝PB ＋BC －PH ＝5x －5，∵FH ∥AB ，∴△CFH ∽△CAB ，∴FH AB ＝CH CB ，即52x ＝5x －54x ，解得x ＝3，∴CH ＝5x －5＝10，在Rt △CFH 中，CF ＝FH 2＋CH 2＝52＋102＝5 5.8．[成都自主招生]如图，过⊙O 直径AB 上的点C 作AB 的垂线交⊙O 于点D ，再过D 点作圆的切线l ，然后过C 点作l 的垂线交l 于点E ，若AC ＝a ，CB ＝b ，那么CE长为( A )A.2ab a ＋bB.abC.a ＋b 2D. a 2＋b 22 【解析】 如答图，连结OD ，答图∵AB ＝AC ＋BC ＝a ＋b ，∴OD＝12(a＋b)，∴OC＝OA－AC＝12(a＋b)－a＝12(b－a)，∵CD⊥AB，∴∠DCO＝90°，在Rt△DCO中，CD＝OD2－OC2＝ab，∵l与⊙O相切于点D，∴OD⊥l，∵CE⊥l，∴OD∥CE，∴∠ODC＝∠ECD，∴Rt△ODC∽Rt△DCE，∴CDCE＝ODCD，即abCE＝12（a＋b）ab，∴CE＝2ab a＋b.9．[第23届“希望杯”竞赛]如图，已知A，B，C三点在同一圆上，并且AB是⊙O的直径，若点C到AB的距离CD＝5，则⊙O的直径最小值是__10__．【解析】AD·DB＝CD2＝25，AB2＝(AD＋BD)2＝(AD －BD)2＋4AD·BD≥4AD·BD＝100，当AD＝BD时，AB取得最小值10.10．[成都中考]如图，在半径为5的⊙O 中，弦AB＝8，P 是弦AB 所对的优弧上的动点，连结AP ，过点A作AP 的垂线交射线PB 于点C ，当△P AB 是等腰三角形时，线段BC 的长为__8或5615或853__．【解析】 Ⅰ.当BA ＝BP 时，则AB ＝BP ＝BC ＝8，即线段BC 的长为8.Ⅱ.当AB ＝AP 时，如答图①，延长AO 交PB 于点D ，过点O 作OE ⊥AB 于点E ，则AD ⊥PB ，AE ＝12AB ＝4，∴BD ＝DP ，答图①在Rt △AEO 中，AE ＝4，AO ＝5，∴OE ＝3，∵∠OAE ＝∠BAD ，∠AEO ＝∠ADB ＝90°，∴△AOE ∽△ABD ，∴AO AB ＝OE BD ，∴BD ＝245，∴BD ＝PD ＝245，即PB ＝485，∵AB＝AP＝8，∴∠ABD＝∠P，∵∠P AC＝∠ADB＝90°，∴△ABD∽△CP A，∴BDAB＝P ACP，∴CP＝403，∴BC＝CP－BP＝403－485＝5615；Ⅲ.当P A＝PB时，如答图②，连结PO并延长，交AB于点F，过点C作CG⊥AB，交AB的延长线于点G，连结OB，则PF⊥AB，答图②∴AF＝FB＝4，在Rt△OFB中，OB＝5，FB＝4，∴OF＝3，∴FP＝8，∵∠P AF＝∠ABP＝∠CBG，∠AFP＝∠CGB＝90°，∴△PFB∽△CGB，∴PFFB＝CGBG＝21，设BG＝t，则CG＝2t，∵∠CAG＝∠APF，∠AFP＝∠AGC＝90°，∴△APF∽△CAG，∴AFPF＝CGAG，∴2t8＋t＝12，解得t＝83，在Rt△BCG中，BC＝5t＝85 3，综上所述，当△P AB是等腰三角形时，线段BC的长为8或5615或853.11．如图，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，OC平行于弦AD，过点D作DE⊥AB于E，交AC于点P，求证：点P平分线段DE.答图证明：如答图，连结OD，∵OC∥AD，∴∠COD＝∠ADO，∠COB＝∠DAO，∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠DAO，∴∠COD＝∠COB，∵OD＝OB，OC＝OC，∴△ODC≌△OBC，∴∠ODC＝∠OBC.∵OB是⊙O的半径，BC是⊙O的切线，∴BC⊥OB.∴∠OBC＝90°，∴∠ODC＝90°，∴CD⊥OD，∴CD是⊙O的切线．过A作⊙O的切线AF，交CD的延长线于点F，则F A⊥AB. ∵DE⊥AB，CB⊥AB，∴F A∥DE∥CB，∴FDFC＝AEAB.在△F AC中，∵DP∥F A，∴DPF A＝DCFC，即DPDC＝F AFC.∵F A，FD是⊙O的切线，∴F A＝FD，。

圆与相似及三角函数综合问题--2023年中考数学压轴题(解析版)

圆与相似及三角函数综合问题--2023年中考数学压轴题(解析版)

圆与相似及三角函数综合问题1典例剖析1(2022·四川·巴中市教育科学研究所中考真题)四边形ABCD内接于⊙O，直径AC与弦BD交于点E，直线PB与⊙O相切于点B．(1)如图1，若∠PBA=30°，且EO=EA，求证：BA平分∠PBD；(2)如图2，连接OB，若∠DBA=2∠PBA，求证：△OAB∽△CDE．【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】(1)证明：连接OB，∵直线PB与⊙O相切于点B，∴∠PBO=90°，∴∠PBA+∠ABO=90°，∵∠PBA=30°，∴∠ABO=60°，又∵OA=OB，∴△AOB为等边三角形，又∵OE=AE，∴BE平分∠ABO，∴∠ABE=1∠ABO=30°，2∴BA平分∠PBD；(2)证明：∵直线PB与⊙O相切于点B，∴∠PBO=90°，∴∠PBA+∠ABO=90°，∵AC为直径，∴∠ABC=90°，∴∠OBC+∠ABO=90°，∴∠OBC=∠PBA，∵OB=OC，∴∠PBA=∠OBC=∠OCB，∴∠AOB=2∠OCB=2∠PBA，∵∠ACD=∠ABD=2∠PBA，∴∠AOB=∠ACD，又∵∠BAO=∠BDC，∴△OAB∽△CDE．2(2022·广东深圳·中考真题)一个玻璃球体近似半圆O,AB为直径，半圆O上点C处有个吊灯EF, EF⎳AB, CO⊥AB,EF的中点为D,OA=4.(1)如图①，CM为一条拉线，M在OB上，OM=1.6,DF=0.8,求CD的长度．(2)如图②，一个玻璃镜与圆O相切，H为切点，M为OB上一点，MH为入射光线，NH为反射光线，,求ON的长度．∠OHM=∠OHN=45°,tan∠COH=34(3)如图③，M是线段OB上的动点，MH为入射光线，∠HOM=50°,HN为反射光线交圆O于点N,在M从O运动到B的过程中，求N点的运动路径长．【答案】(1)2(2)ON=207π(3)4+169【解析】(1)∵DF=0.8,OM=1.6,DF∥OB∴DF为△COM的中位线∴D为CO的中点∵CO=AO=4∴CD=2(2)过N 点作ND ⊥OH ，交OH 于点D ，∵∠OHN =45°，∴△NHD 为等腰直角三角形，即ND =DH ，又∵tan ∠COH =34，∴tan ∠NOD =34，∴tan ∠NOD =ND OD=34，∴ND :OD =3:4，设ND =3x =DH ，则OD =4x ，∵OD +DH =OH ，∴3x +4x =4，解得x =47，∴ND =127，OD =167，∴在Rt △NOD 中，ON =ND 2+OD 2=127 2+167 2=207；(3)如图，当点M 与点O 重合时，点N 也与点O 重合．当点M 运动至点A 时，点N 运动至点T ，故点N 路径长为：OB +l BT ．∵∠NHO =∠MHO ,∠THO =∠MHO ,∠HOM =50°．∴∠OHA =∠OAH =65°．∴∠THO =65°,∠TOH =50°．∴∠BOT =80°，∴l BT =2π×4×80°360°=169π，∴N 点的运动路径长为：OB +l BT =4+169π，故答案为：4+169π．3(2022·黑龙江哈尔滨·中考真题)已知CH 是⊙O 的直径，点A ，点B 是⊙O 上的两个点，连接OA ,OB ，点D ，点E 分别是半径OA ,OB 的中点，连接CD ,CE ,BH ，且∠AOC =2∠CHB ．(1)如图1，求证：∠ODC =∠OEC ；(2)如图2，延长CE 交BH 于点F ，若CD ⊥OA ，求证：FC =FH ；(3)如图3，在(2)的条件下，点G 是BH 上一点，连接AG ,BG ,HG ,OF ，若AG :BG =5:3，HG =2，求OF 的长．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)OF =193【解析】(1)如图1．∵点D ，点E 分别是半径OA ,OB 的中点∴OD =12OA ，OE =12OB ∵OA =OB ，∴OD =OE∵∠BOC =2∠CHB ，∠AOC =2∠CHB∴∠AOC =∠BOC∵OC =OC∴△COD ≅△COE ，∴∠CDO =∠CEO ；(2)如图2．∵CD ⊥OA ，∴∠CDO =90°由(1)得∠CEO =∠CDO =90°，∴sin ∠OCE =OE OC=12∴∠OCE =30°，∴∠COE =90°-∠OCE =60°∵∠H =12∠BOC =12×60°=30°∴∠H =∠ECO ，∴FC =FH(3)如图3．∵CO =OH ，FC =FH∴OF ⊥CH∴∠FOH =90°连接AH．∵∠AOC=∠BOC=60°∴∠AOH=∠BOH=120°，∴AH=BH，∠AGH=60°∵AG:BG=5:3设AG=5x，∴BG=3x在AG上取点M，使得AM=BG，连接MH ∵∠HAM=∠HBG，∴△HAM≌△HBG∴MH=GH，∴△MHG为等边三角形∴MG=HG=2∵AG=AM+MG，∴5x=3x+2∴x=1，∴AG=5∴BG=AM=3，过点H作HN⊥MG于点NMN=12GM=12×2=1，HN=HG⋅sin60°=3∴AN=MN+AM=4，∴HB=HA=NA2+HN2=19∵∠FOH=90°，∠OHF=30°，∴∠OFH=60°∵OB=OH，∴∠BHO=∠OBH=30°，∴∠FOB=∠OBF=30°∴OF=BF，在Rt△OFH中，∠OHF=30°，∴HF=2OF∴HB=BF+HF=3OF=19，∴OF=193．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理以及解直角三角形等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键．4(2022·黑龙江绥化·中考真题)如图所示，在⊙O的内接△AMN中，∠MAN=90°，AM=2AN，作AB ⊥MN于点P，交⊙O于另一点B，C是AM上的一个动点(不与A，M重合)，射线MC交线段BA的延长线于点D，分别连接AC和BC，BC交MN于点E．(1)求证：△CMA∽△CBD．(2)若MN=10，MC=NC，求BC的长．(3)在点C运动过程中，当tan∠MDB=34时，求MENE的值．【答案】【答案】(1)证明见解析(2)310(3)32【解析】(1)解：∵AB⊥MN，∴∠APM=90°，∴∠D+∠DMP=90°，又∵∠DMP+∠NAC=180°，∠MAN=90°，∴∠DMP+∠CAM=90°，∴∠CAM=∠D，∵∠CMA=∠ABC，∴△CMA∽△CBD．(2)连接OC，∵∠MAN=90°，∴MN是直径，∵MN=10，∴OM=ON=OC=5，∵AM=2AN，且AM2+AN2=MN2，∴AN=25，AM=45，∵S△AMN=12AM⋅AN=12MN⋅AP，∴AP=4，∴BP=AP=4，∴NP=AN2-AP2=2，∴OP=5-2=3，∵MC =NC ，∴OC ⊥MN ，∴∠COE =90°，∵AB ⊥MN ，∴∠BPE =90°，∴∠BPE =∠COE ，又∵∠BEP =∠CEO ，∴△COE ∽△BPE∴CO BP =OE PE =CE BE ，即54=OE PE =CE BE由OE +PE =OP =3，∴OE =53，PE =43，∴CE =OC 2+OE 2=52+53 2=5310，BE =BP 2+PE 2=42+43 2=4310，∴BC =5310+4310=310．(3)过C 点作CG ⊥MN ，垂足为G ，连接CN ，则∠CGM =90°，∴∠CMG +∠GCM =90°，∵MN 是直径，∴∠MCN =90°，∴∠CNM +∠DMP =90°，∵∠D +∠DMP =90°，∴∠D =∠CNM =∠GCM ，∵tan ∠MDB =34，∴tan ∠CNM =tan ∠GCM =34，∵tan ∠GCM =GM CG∴设GM =3x ，CG =4x ，∴CM =5x ，∴CN =20x 3，NG =16x 3，∴NM =25x 3，∴OM =ON =25x 6，∵AM =2AN ，且AM 2+AN 2=MN 2，∴AN =553x ，AM =1053x ，∵S△AMN=12AM⋅AN=12MN⋅AP，∴AP=103x=PB，∴NP=53x，∴PG=163x-53x=113x，∵∠CGE=∠BPE=90°，∠CEG=∠BEP，∴△CGE∽△BPE，∴CG BP =GEPE=CEBE，即4x103x=GEPE=CEBE∴GE=2x，PE=53x∴ME=5x，NE=10x3，∴ME:NE=3:2，∴MENE的值为3 2．【点睛】本题考查了圆的相关知识、相似三角形的判定与性质、三角函数、勾股定理等知识，涉及到了动点问题，解题关键是构造相似三角形，正确表示出各线段并找出它们的关系，本题综合性较强，属于压轴题．2满分训练一、解答题【共20题】1(2022·内蒙古内蒙古·中考真题)如图，⊙O是△ABC的外接圆，EF与⊙O相切于点D，EF∥BC 分别交AB，AC的延长线于点E和F，连接AD交BC于点N，∠ABC的平分线BM交AD于点M．(1)求证：AD平分∠BAC；(2)若AB:BE=5:2，AD=14，求线段DM的长．【答案】(1)见解析(2)DM=2【解析】(1)证明：连接OD交BC于点H.∵EF与⊙O相切于点D∴OD⊥EF，∴∠ODF=90°，∵BC∥EF，∴∠OHC=∠ODF=90°，∴OD⊥BC，∴BD=CD，∴∠BAD=∠CAD 即AD平分∠BAC；(2)解：∵BC∥EF，∴BE AE =ND AD，∵AB:BE=5:2，AD=14，∴DN=2147，∵∠BAD=∠CAD，∠CAD=∠CBD，∴∠BAD=∠CBD，∵BM平分∠ABC，∴∠ABM=∠CBM，∴∠BAD+∠ABM=∠CBD+∠CBM，∴∠BMD=∠MBD，∴BD=DM，∵∠NBD=∠BAD，∠BDM=∠ADB，∴△BDN∽△ADB，∴ND BD =DB AD∴BD2=ND⋅AD=2147×14=4，∴BD=2(负值舍去)，∴DM=BD=2【点睛】本题主要考查圆的基本性质，切线的性质、相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的判定和性质；找出相似三角形，列相似比求解是解决本题的关键．2(2022·湖北黄石·中考真题)如图CD是⊙O直径，A是⊙O上异于C，D的一点，点B是DC延长线上一点，连接AB、AC、AD，且∠BAC=∠ADB．(1)求证：直线AB是⊙O的切线；(2)若BC=2OC，求tan∠ADB的值；(3)在(2)的条件下，作∠CAD的平分线AP交⊙O于P，交CD于E，连接PC、PD，若AB=26，求AE ⋅AP的值．【答案】(1)见解析(2)22(3)42【解析】(1)解：如图所示，连接OA ，∵CD 是⊙O 直径，∴∠CAD =90°，∴∠OAC +∠OAD =90°，又∵OA =OD ，∴∠OAD =∠ODA ，∵∠BAC =∠ADB ，∴∠OAD =∠BAC ，∴∠BAC +∠OAC =90°，即∠BAO =90°，∴AB ⊥OA ，又∵OA 为半径，∴直线AB 是⊙O 的切线；(2)解：∵∠BAC =∠ADB ，∠B =∠B ，∴△BCA ∽△BAD ，∴ACAD =BC BA，由BC =2OC 知，令半径OC =OA =r ，则BC =2r ，OB =3r ，在Rt △BAO 中，AB =OB 2-OA 2=22r ，在Rt △CAD 中，tan ∠ADC =AC AD =BC BA =2r 22r=22，即tan ∠ADB =22；(3)解：在(2)的条件下，AB =22r =26，∴r =3，∴CD =23，在Rt △CAD 中，AC AD=22，AC 2+AD 2=CD 2，解得AC =2，AD =22，∵AP 平分∠CAD ，∴∠CAP =∠EAD ，又∵∠APC =∠ADE ，∴△CAP ∽△EAD ，∴AC AE =AP AD，∴AE ⋅AP =AC ⋅AD =2×22=42．【点睛】本题主要考查了圆切线的判定，直径所对的圆周角是直角，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质等等，熟知相关知识是解题的关键．3(2022·湖北襄阳·中考真题)如图，AB 是半圆O 的直径，点C 在半圆O 上，点D 为BC 的中点，连接AC ，BC ，AD ，AD 与BC 相交于点G ，过点D 作直线DE ∥BC ，交AC 的延长线于点E ．(1)求证：DE 是⊙O 的切线；(2)若AC =BD ，CG =23，求阴影部分的面积．【答案】(1)见解析(2)1532【解析】(1)证明：连接OD ，如图所示，∵点D 为BC 的中点，∴OD ⊥BC∵DE ∥BC ，∴OD ⊥DE ．∴DE 是⊙O 的切线．(2)连接BD ，如图所示，∵AC =BD∴BD =AC∵点D 为BC 的中点，∴CD =BD ，∴AC =CD =BD ，∴∠CAD =∠BAD =30°．∵AB 是半圆O 的直径，∴∠ACB =∠ADB =90°，在Rt △ACG 中，tan ∠CAD =CG CA ,sin ∠CAD =CG AG，∴CA =CG tan30°,AG =CG sin30°，∵CG =23，∴CA =23×3=6，AG =43，∴BD =CA =6，∴S △ACG =12CG ⋅AC =63，在Rt △ABD 中，tan ∠BAD =BD AD ,∴AD =BDtan30°=633=6 3.∵DE ∥BC ，∴S △CAG S △EAD =AG AD 2，即63S ΔEAD =49，∴S △EAD =2732.∴S 阴影部分=S △EAD -S △ACG =1532．【点睛】本题主要考查了切线的判定定理、垂径定理、圆周角定理以及相似三角形的性质，解直角三角形，掌握以上知识是解题的关键．4(2022·辽宁鞍山·中考真题)如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 为⊙O 的直径，点E 为⊙O 上一点，EF ∥AC 交AB 的延长线于点F ，CE 与AB 交于点D ，连接BE ，若∠BCE =12∠ABC ．(1)求证：EF 是⊙O 的切线．(2)若BF =2，sin ∠BEC =35，求⊙O 的半径．【答案】(1)过程见解析(2)3【解析】(1)证明：连接OE ．∵∠BCE =12∠ABC ，∠BCE =12∠BOE ，∴∠ABC =∠BOE ，∴OE ∥BC ，∴∠OED =∠BCD ．∵EF ∥CA ，∴∠FEC =∠ACE ，∴∠OED +∠FEC =∠BCD +∠ACE ，即∠FEO =∠ACB ．∵AB 是直径，∴∠ACB =90°，∴∠FEO =90°，∴FE ⊥EO ．∵EO 是⊙O 的半径，∴EF 是⊙O 的切线．(2)∵EF ∥AC ，∵BF =2，sin ∠BEC =35．设⊙O 的半径为r ，∴FO =2+r ，AB =2r ，BC =65r ．∵EO BC =FO AB ，∴r 65r =2+r 2r ，解得r =3，∴⊙O 的半径是3．【点睛】本题主要考查了切线的性质和判定，解直角三角形，熟练掌握相关定理是解题的关键．5(2022·辽宁朝阳·中考真题)如图，AC 是⊙O 的直径，弦BD 交AC 于点E ，点F 为BD 延长线上一点，∠DAF =∠B ．(1)求证：AF 是⊙O 的切线；(2)若⊙O 的半径为5，AD 是△AEF 的中线，且AD =6，求AE 的长．【答案】(1)见解析(2)365【解析】(1)证明：∵AC 是直径，∴∠ADC =90°，∴∠ACD +∠DAC =90°，∵∠ACD =∠B ，∠B =∠DAF ，∴∠DAF =∠ACD ，∴∠DAF +∠DAC =90°，∴OA ⊥AF ，∵AC 是直径，∴AF 是⊙O 的切线；(2)解：作DH ⊥AC 于点H ，∵⊙O 的半径为5，∴AC =10，∵∠AHD =∠ADC =90°，∠DAH =∠CAD ，∴△ADH ~△ACD ，∴AD AC =AH AD，∴AD 2=AH ⋅AC ，∵AD =6，∴AH =3610=185，∵AD 是△AEF 的中线，∠EAF =90°，∴AD =ED ，AE=2AH=365．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，切线的判定定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，根据相似三角形的判定与性质求出AH的长是解题的关键．6(2022·山东菏泽·中考真题)如图，在△ABC中，以AB为直径作⊙O交AC、BC于点D、E，且D是AC的中点，过点D作DG⊥BC于点G，交BA的延长线于点H．(1)求证：直线HG是⊙O的切线；(2)若HA=3,cos B=25，求CG的长．【答案】(1)见解析(2)65【解析】(1)连接OD，∵DG⊥BC，∴∠BGH=90°，∵D是AC的中点，AB为直径，∴OD∥BC，∴∠BGH=∠ODH=90°，∴直线HG是⊙O的切线；(2)由(1)得OD∥BC，∴∠HBG=∠HOD，∵cos∠HBG=25，∴cos∠HOD=25，设OD=OA=OB=r，∵HA=3，∴OH=3+r，在Rt△HOD中，∠HDO=90°，∴cos∠HOD=ODOH =r3+r=25，解得r=2，∴OD=OA=OB=2,OH=5,BH=7，∵D是AC的中点，AB为直径，∴BC=2OD=4，∵∠BGH=∠ODH=90°，∴△ODH∼△BGH，∴OH BH =ODBG，即57=2BG，∴BG=145，∴CG=BC-BG=4-145=65．【点睛】本题考查了切线的判定，三角形中位线的性质，平行线的判定和性质，相似三角形的判定和性质及解直角三角形，熟练掌握知识点是解题的关键．7(2022·贵州黔西·中考真题)如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，分别交BC于点D，交AC于点E，DH⊥AC，垂足为H，连接DE并延长交BA的延长线于点F．(1)求证：DH是⊙O的切线；(2)若E为AH的中点，求EFFD的值．【答案】(1)见解析(2)23【解析】(1)连接OD，则OD=OB．∴∠ODB=∠ABC．∵AB=AC，∴∠ABC=∠C．∴∠ODB=∠C．∴OD∥AC．∴∠DHC=∠HDO．∵DH⊥AC，∴∠DHC=∠HDO=90°．∴DH⊥OD．∴DH是⊙O的切线．(2)连接AD和BE．∵AB是⊙O的直径，∴OA=OB，∠ADB=∠AEB=90°．∵OD∥AC∴OB OA =BD CD=1∴CD=BD．∴OD⎳AC且OD=12AC．∵OD∥AE，∴∠AEF=∠ODF．∵∠F=∠F，∴△FAE∽△FOD．∴FE FD =AE OD．∵∠DHA=∠BEA=90°∴DH∥BE∴CH HE =CD BD=1∴CH=HE．∵E为AH的中点，∴AE=EH=CH．∴AE=13AC∴FE FD =AEOD=13AC12AC=23．【点睛】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定律，平行线分线段成比例，三角形相似的判定与性质等知识，熟练掌握以上判定和性质是本题解题的关键．8(2022·贵州安顺·中考真题)如图，AB是⊙O的直径，点E是劣弧BD上一点，∠PAD=∠AED，且DE=2，AE平分∠BAD，AE与BD交于点F．(1)求证：PA是⊙O的切线；(2)若tan∠DAE=22，求EF的长；(3)延长DE，AB交于点C，若OB=BC，求⊙O的半径．【答案】(1)见解析(2)1(3)2【解析】(1)证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB =90°，∴∠DAB +∠DBA =90°，∵AD =AD ，∴∠AED =∠ABD ，∵∠PAD =∠AED ，∴∠PAD =∠ABD ，∴∠BAD +∠PAD =∠BAD +∠ABD =90°，即∠PAB =90°，∴PA 是⊙O 的切线，(2)如图，连接OE ,EB ，∵AE 平分∠BAD ，∴∠DAE =∠BAE ，∴DE =BE =2∴OE ⊥BD∵OA =OE ，∴∠OEA =∠OAE ，∴∠DAE =∠AEO ，∴AD ∥OE ，∵AB 是⊙O 的直径，∴AD ⊥DB ，AE ⊥EB ，即∠ADF =∠BEF =90°，∵DE ⏜=DE⏜∴∠DAE =∠DBE ，∴tan ∠EBF =tan ∠DAE =22，∴EF EB =22，∴EF =22EB =1；(3)如图，过点B 作BG ∥AD ，由(2)可知AD ∥OE ，∴OE ∥BG ，∵AO =OB =BC ，∴DE =EG =GC ，设⊙O 的半径为x ，则GB =12OE =12x ，∵AD ∥BG ，∴△CGB ∽△CDA ，∴CG CD =GB AD ，∴AD =3GB =32x ，∵OE⊥DB，∴DB⊥GB，∵DE=2，∴DG=2DE=22，在Rt△DBG中，DB2=DG2-GB2=8-12x 2，在Rt△ADB中，AD2+DB2=AB2，即32x2+8-12x2=2x 2，解得：x=2(负值舍去)，∴⊙O的半径为2．【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理的推论，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，综合运用以上知识是解题的关键．9(2022·山东枣庄·中考真题)如图，在半径为10cm的⊙O中，AB是⊙O的直径，CD是过⊙O上一点C的直线，且AD⊥DC于点D，AC平分∠BAD，点E是BC的中点，OE=6cm．(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)求AD的长．【答案】(1)见解析(2)AD=365【解析】(1)证明：连接OC，如图：∵AC平分∠BAD，∴∠DAC=∠CAO，∵OA=OC，∴∠CAO=∠OCA，∴∠DAC=∠OCA，∴AD∥OC，∵AD⊥DC，∴CO⊥DC，∵OC是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；(2)解：∵E是BC的中点，且OA=OB，∴OE是△ABC的中位线，AC=2OE，∵OE=6，∴AC=12，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°=∠ADC，又∠DAC=∠CAB，∴△DAC∽△CAB，∴ADAC =ACAB，即AD12=1220，∴AD=365．【点睛】本题考查圆的切线的判定定理，相似三角形的判定及性质等知识，解题的关键是熟练应用圆的相关性质，转化圆中的角和线段．10(2022·山东济宁·中考真题)如图，在矩形ABCD中，以AB的中点O为圆心，以OA为半径作半圆，连接OD交半圆于点E，在BE上取点F，使AE=EF，连接BF，DF．(1)求证：DF与半圆相切；(2)如果AB=10，BF=6，求矩形ABCD的面积．【答案】(1)见解析(2)2003【解析】(1)证明：连接OF．∵AE=EF，∴∠DOA=∠FOD.∵AO=FO,DO=DO，∴△DAO≅△DFO(SAS)∴∠DAO=∠DFO.∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAO=90°∴∠DFO=90°.∴DF与半圆相切.(2)解：连接AF，∵AO=FO，∠DOA=∠DOF，∴DO⊥AF，∵AB为半圆的直径，∴∠AFB=90°，∴BF⊥AF，∴DO∥BF.∴∠AOD=∠ABF.∵∠OAD=∠AFB=90°，∴△AOD∽△FBA∴AO BF =DO AB，∴56 BF =DO10，∴DO=253，在RtΔAOD中，AD=DO2-AO2=2532-52=203.∴矩形ABCD的面积为203×10=2003.【点睛】本题考查了切线的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，矩形的性质，掌握以上知识是解题的关键．11(2022·青海西宁·中考真题)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在AB上，以BD为直径的⊙O 与AC相切于点E，交BC于点F，连接DF，OE交于点M．(1)求证：四边形EMFC是矩形；(2)若AE=5，⊙O的半径为2，求FM的长．【答案】(1)详见解析(2)253【解析】(1)∵BD是⊙O的直径，∴∠BFD=90°，∴∠CFD=90°，∴⊙O与AC相切于点E，∴OE⊥AC，∴∠OEC=∠AEO=90°，又∴∠C=90°，∴∠C=∠CFD=∠OEC=90°，∴四边形EMFC是矩形．(2)解：在Rt△AOE中∠AEO=90°AE=5OE=OB=2，∴OA2=AE2+OE2，∴OA=AE2+OE2=52+22=3，∴AB=OA+OB=3+2=5，∴∠AEO=∠C=90°，∴OE⎳BC，∴△AEO∼△ACB，∴AE AC =AOAB，即5AC=35，∴AC =553，∴CE =AC -AE =553-5=253，∴四边形EMFC 是矩形，∴FM =CE =253．【点睛】本题考查了矩形的判定，相切，勾股定理，平行线的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是：(1)根据各角之间的关系，找出四边形EMFC 的三个角均为直角．(2)利用勾股定理及相似三角形的性质，求出AC 的长度．12(2022·辽宁大连·中考真题)AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，OD ⊥BC ，垂足为D ，过点A 作⊙O 的切线，与DO 的延长线相交于点E ．(1)如图1，求证∠B =∠E ；(2)如图2，连接AD ，若⊙O 的半径为2，OE =3，求AD 的长．【答案】(1)见解析(2)2213【解析】(1)解：∵OD ⊥BC ，∴∠ODB =90°，∵AE 是⊙O 的切线，∴∠OAE =90°，在ΔODB 和ΔOAE 中，∠ODB =∠OAE =90°，∠DOB =∠AOE ，∴∠B =∠E ；(2)解：如图，连接AC ．∵⊙O 的半径为2，∴OA =OB =2，AB =4，∵在ΔODB 和ΔOAE 中，∠ODB =∠OAE =90°，∠DOB =∠AOE ，∴ΔODB ∼ΔOAE ，∴OD OA =OB OE ，即OD 2=23，∴OD =43，在RtΔODB中，由勾股定理得：OD2+DB2=OB2，∴DB=OB2-OD2=22-43 2=253．∵OD⊥BC，OD经过⊙O的圆心，∴CD=DB=253，∴BC=2DB=453．∵AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，∴∠ACB=90°，在RtΔACB中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，2=83．∴AC=AB2-BC2=42-453在RtΔACD中，由勾股定理得：AC2+CD2=AD2，∴AD=AC2+CD2=83 2+253 2=2213．【点睛】本题考查切线的定义、圆周角定理、垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质等，综合性较强，熟练掌握上述知识点，通过证明ΔODB∼ΔOAE求出OD的长度是解题的关键．13(2022·青海·中考真题)如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，AD平分∠CAB交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线EF，交AB的延长线于点E，交AC的延长线于点F．(1)求证：AF⊥EF；(2)若CF=1，AC=2，AB=4，求BE的长．【答案】(1)见解析(2)2【解析】(1)证明：连接OD，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠OAD，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∴∠CAD=∠ODA，∴OD∥AF，∵EF为⊙O的切线，∴OD⊥EF，∴AF⊥EF．(2)解：由(1)得：OD∥AF，∴△ODE∽△AFE，∵AC=2，CF=1，∴AF=3，∵AB=4，∴OD=2，OB=2，∴OE:AE=OD:AF，设BE为x，∴OE=OB+BE=2+x，∴2+x 4+x =23，解得：x=2，即BE的长为2．【点睛】本题主要考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握切线的性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键．14(2022·广西柳州·中考真题)如图，已知AB是⊙O的直径，点E是⊙O上异于A，B的点，点F是EB的中点，连接AE，AF，BF，过点F作FC⊥AE交AE的延长线于点C，交AB的延长线于点D，∠ADC的平分线DG交AF于点G，交FB于点H．(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)求sin∠FHG的值；(3)若GH=42，HB=2，求⊙O的直径．【答案】(1)见解析(2)22(3)⊙O的直径为65【解析】(1)证明：连接OF．∵OA=OF，∴∠OAF=∠OFA，∵EF=FB,∴∠CAF=∠FAB，∴∠CAF=∠AFO，∴OF∥AC，∵AC⊥CD，∴OF ⊥CD ，∵OF 是半径，∴CD 是⊙O 的切线．(2)∵AB 是直径，∴∠AFB =90°，∵OF ⊥CD ，∴∠OFD =∠AFB =90°，∴∠AFO =∠DFB ，∵∠OAF =∠OFA ，∴∠DFB =∠OAF ，∵GD 平分∠ADF ，∴∠ADG =∠FDG ，∵∠FGH =∠OAF +∠ADG ，∠FHG =∠DFB +∠FDG ，∴∠FGH =∠FHG =45°，∴sin ∠FHG =sin45°=22(3)解：过点H 作HM ⊥DF 于点M ，HN ⊥AD 于点N ．∵HD 平分∠ADF ，∴HM =HN ，S △DHF ∶S △DHB =FH ∶HB =DF ∶DB∵△FGH 是等腰直角三角形，GH =42∴FH =FG =4，∴DFDB=42=2设DB =k ，DF =2k ，∵∠FDB =∠ADF ，∠DFB =∠DAF ，∴△DFB ∽△DAF ，∴DF 2=DB •DA ，∴AD =4k ，∵GD 平分∠ADF∴FG AG =DF AD =12∴AG =8，∵∠AFB =90°，AF =12，FB =6，∴AB =AF 2+BF 2=122+622=65∴⊙O 的直径为65【点睛】本题是一道综合性题目，考查了圆的相关性质、切线的判定、相似三角形的判定和性质、角平分线性、勾股定理等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．15(2022·广西河池·中考真题)如图，AB 是⊙O 的直径，E 为⊙O 上的一点，∠ABE 的平分线交⊙O 于点C ，过点C 的直线交BA 的延长线于点P ，交BE 的延长线于点D ．且∠PCA =∠CBD ．(1)求证：PC为⊙O的切线；(2)若PC=22BO，PB=12，求⊙O的半径及BE的长．【答案】(1)见解析(2)⊙O的半径为3，BE的长为2【解析】(1)证明：连接OC，∵BC平分∠ABE，∴∠ABC=∠CBD，∵OC=OB，∴∠ABC=∠OCB，∵∠PCA=∠CBD，∴∠PCA=∠OCB，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACO+∠OCB=90°，∴∠PCA+∠ACO=90°，∴∠PCO=90°，∴OC⊥PC，∵OC是半径，∴PC是OO的切线；(2)连接AE，设OB=OC=r，∵PC=22OB，∴PC=22r，∴OP=OC2+PC2=r2+(22r)2=3r，∵PB=12，∴4r=12，∴r=3，由(1)可知，∠OCB=∠CBD，∴OC=BD，△PCO∽△PDB∴OC BD =OPPB，∠D=∠PCO=90°，∴3 BD =9 12，∴BD=4，∵AB是直径，∴∠AEB=90°，∴∠AEB=∠D=90°，∴AE⎳PD，∴BE BD =BA BP，∴BE4=6 12，∴BE=2．【点睛】本题考查了切线的判定，勾股定理，等腰三角形的性质、相似三角形的性质与判定，平行线分线段成比例，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题．16(2022·山东聊城·中考真题)如图，点O是△ABC的边AC上一点，以点O为圆心，OA为半径作⊙O，与BC相切于点E，交AB于点D，连接OE，连接OD并延长交CB的延长线于点F，∠AOD=∠EOD．(1)连接AF，求证：AF是⊙O的切线；(2)若FC=10，AC=6，求FD的长．【答案】(1)见解析(2)FD的长为8310-83【解析】(1)根据SAS证△AOF≌△EOF，得出∠OAF=∠OEF=90°，即可得出结论；(2)根据勾股定理求出AF，证△OEC∽△FAC，设圆O的半径为r，根据线段比例关系列方程求出r，利用勾股定理求出OF，最后根据FD=OF-OD求出即可．(1)证明：在△AOF和△EOF中，OA=OE∠AOD=∠EOD OF=OF，∴△AOF≌△EOF(SAS)，∴∠OAF=∠OEF，∵BC与⊙O相切，∴OE⊥FC，∴∠OAF=∠OEF=90°，即OA⊥AF，∵OA是⊙O的半径，∴AF是⊙O的切线；(2)解：在Rt△CAF中，∠CAF=90°，FC=10，AC=6，∴AF=FC2-AC2=8，∵BC与⊙O相切，AF是⊙O的切线∴∠OEC=∠FAC=∠90°，∵∠OCE=∠FCA，∴△OEC∽△FAC，∴EO AF =CO CF，设⊙O的半径为r，则r8=6-r10，解得r=8 3，在Rt△FAO中，∠FAO=90°，AF=8，AO=8 3，∴OF=AF2+AO2=8310，∴FD=OF-OD=8310-83，即FD的长为8310-83．【点睛】本题主要考查切线的判定和性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，熟练掌握切线的判定和性质是解题的关键．17(2022·湖南湘西·中考真题)如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AE平分∠BAC交BC于点E，O为AC上一点，经过点A、E的⊙O分别交AB、AC于点D、F，连接OD交AE于点M．(1)求证：BC是⊙O的切线．(2)若CF=2，sin C=35，求AE的长．【答案】(1)见解析(2)1255【解析】(1)连接OE，方法一：∵AE平分∠BAC交BC于点E，∴∠BAC=2∠OAE，∵∠FOE=2∠OAE，∴∠FOE=∠BAC，∴OE∥AB，∵∠B=90°，∴OE ⊥BC ，又∵OE 是⊙O 的半径，∴BC 是⊙O 的切线；方法二：∵AE 平分∠BAC 交BC 于点E ，∴∠OAE =∠BAE ，∵OA =OE ，∴∠OAE =∠OEA ，∴∠BAE =∠OEA ，∴OE ∥AB ，∵∠B =90°，∴OE ⊥BC ，又∵OE 是⊙O 的半径，∴BC 是⊙O 的切线；(2)连接EF ，∵CF =2，sin C =35，∴OE OF +CF=35，∵OE =OF ，∴OE =OF =3，∵OA =OF =3，∴AC =OA +OF +CF =8，∴AB =AC •sin C =8×35=245，∵∠OAE =∠BAE ，∴cos ∠OAE =cos ∠BAE ，即AB AE =AE AF ，∴245AE=AE 3+3，解得AE =1255(舍去负数)，∴AE 的长为1255．【点睛】本题主要考查切线的判定和三角函数的应用，熟练掌握切线的判定定理和三角函数是解题的关键．18(2022·甘肃兰州·中考真题)如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 是直径，OD ⊥OC ，连接AD ，∠ADO =∠BOC ，AC 与OD 相交于点E ．(1)求证：AD 是⊙O 的切线；(2)若tan ∠OAC =12，AD =32，求⊙O 的半径．【答案】(1)见解析(2)2【解析】(1)证明：∵OD⊥OC，∴∠COD=90°，∵∠BOC+∠COD+∠AOD=180°，∴∠BOC+∠AOD=90°，∵∠ADO=∠BOC，∴∠ADO+∠AOD=90°，∵∠ADO+∠AOD+∠OAD=180°，∴∠OAD=90°，∵OA是⊙O的半径，∴AD是⊙O的切线；(2)解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠B+∠BAC=90°，∵∠BAC+∠CAD=∠OAD=90°，∴∠B=∠CAD，∵∠B+∠BOC+∠OCB=∠ADO+∠CAD+∠AED=180°，∠ADO=∠BOC，∴∠AED=∠OCB，∵OB=OC，∴∠B=∠OCB，∴∠AED=∠CAD，∴DE=AD=32，∵OC=OA，∴∠OAC=∠OCA，∵OC⊥OD，∴∠COE=90°，∴tan∠OAC=tan∠OCA=OEOC =12,设OC=OA=R,则OE=12 R，在Rt△OAD中，∠OAD=90°，由勾股定理，得OD2=OA2+AD2，即12R+322=R2+32 2，解得：R=2或R=0(不符合题意，舍去),∴⊙O的半径为2．【点睛】本题考查切线的判定，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的判定，圆周角定理的推论，本题属圆的综合题目，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键．19(2022·广东广州·中考真题)如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且AC=8，BC=6．(1)尺规作图：过点O作AC的垂线，交劣弧AC于点D，连接CD(保留作图痕迹，不写作法)；(2)在(1)所作的图形中，求点O到AC的距离及sin∠ACD的值．【答案】(1)作图见解析；(2)点O到AC的距离为3，sin∠ACD的值是55【解析】(1)解：①分别以A，C为圆心，适当长(大于AC长度的一半)为半径作弧，记两弧的交点为E；②作直线OE，记OE与AC交点为D；③连结CD，则线段AC的垂线DE、线段CD为所求图形，如下图所示；(2)解：记OD与AC的交点为F，如下图所示：∵OD⊥AC，∴F为AC中点，∴OF是△ABC的中位线，∴OF=12BC=3，∵OF⊥AC，∴OF的长就是点O到AC的距离；Rt△ABC中，∵AC=8，BC=6，∴AB=10，∴OD=OA=12AB=5，∴DF=OD-OF=5-3=2，∵F为AC中点，∴CF=12AC=4，Rt△CDF中，∵DF=2，CF=4，∴CD=25，则sin∠ACD=DFCD=225=55，∴点O到AC的距离为3，sin∠ACD的值是55．【点睛】本题考查了圆的基本性质、垂径定理及其推论、勾股定理、线段垂直平分线的尺规作图、锐角三角函数等，属于综合题，欲求某角的某三角函数值，首先想到的应该是能否在直角三角形中进行，如果没有现成的直角三角形，则需要设法构造(作辅助图形)．20(2022·山东淄博·中考真题)已知△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC的平分线与⊙O相交于点D，连接DB．(1)如图1，设∠ABC的平分线与AD相交于点I，求证：BD=DI； 图1(2)如图2，过点D作直线DE∥BC，求证：DE是⊙O的切线； 图2(3)如图3，设弦BD，AC延长后交⊙O外一点F，过F作AD的平行线交BC的延长线于点G，过G作⊙O的切线GH(切点为H)，求证：GF=GH． 图3【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【解析】(1)证明：∵AD是∠BAC的平分线，BI是∠ABC的平分线，∴∠BAD=∠DAC=∠CBD，∠ABI=∠IBC，∵∠BID=∠ABI+∠BAD，∠DBI=∠IBC+∠CBD，∴∠BID=∠DBI，∴BD=DI；(2)证明：连接OD，∵AD是∠BAC的平分线，∴BD=CD，∴OD⊥BC，∵DE∥BC，∴OD⊥DE，∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；(3)证明：过点H作⊙O的直径HI，连接BH，HC，IC，∵HI是⊙O的直径，GH是⊙O的切线，∴∠HCI =∠IHG =90°，∴∠IHC +∠I =90°=∠IHC +∠GHC ，∴∠I =∠GHC ，∵∠HBG =∠I ，∴∠HBG =∠GHC ，∴△HBG ∽△CHG ，∴HG CG =GB HG，∴GH 2=GC ×GB ，∵AD ∥FG ，∴∠DAF =∠GFC ，∵∠DAF =∠DBC ，∴∠GFC =∠DBC ，∴△GFC ∽△GBF ，∴GF GB =GC GF，∴GF 2=GC ×GB ，∴GF 2=GH 2，∴GF =GH ．【点睛】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，垂径定理，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．。

中考数学专题：圆与一次函数(代几综合)

中考数学专题：圆与一次函数(代几综合)

（2011南京）如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是（2，a）（a＞2），半径为2，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是2。

（2010•文山州）如图，已知直线l的解析式为y=-x+6，它与x轴、y轴分别相交于A、B两点，平行于直线l的直线n从原点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为t秒，运动过程中始终保持n∥l，直线n与x轴、y轴分别相交于C、D两点，线段CD的中点为P，以P为圆心，以CD为直径在CD上方作半圆，半圆面积为S，当直线n与直线l重合时，运动结束．（1）求A、B两点的坐标；（2）求S与t的函数关系式及自变量t的取值范围；（3）直线n在运动过程中，①当t为何值时，半圆与直线l相切？②是否存在这样的t值，使得半圆面积S= 12S梯形ABCD？若存在，求出t值．若不存在，说明理由．(2011四川达州，21，6分)如图，在△ABC 中，∠A=90°，∠B=60°，AB=3，点D 从点A 以每秒1个单位长度的速度向点B 运动(点D 不与B 重合)，过点D 作DE ∥BC 交AC 于点E ．以DE 为直径作⊙O ，并在⊙O 内作内接矩形ADFE ，设点D 的运动时间为t 秒． (1)用含t 的代数式表示△DEF 的面积S ； (2)当t 为何值时，⊙O 与直线BC 相切?C【答案】解：（1）∵DE ∥BC ，∴∠ADE=∠B=60° 在△ADE 中，∵∠A=90° ∴ADAEADE =∠tan ∵AD=t t =⨯1，∴AE=t 3 又∵四边形ADFE 是矩形， ∴S △DEF =S △ADE =22332121t t t AE AD =⨯⨯=⨯（)30<≤t ∴S=223t （)30<≤t （2）过点O 作OG ⊥BC 于G ，过点D 作DH ⊥BC 于H ，H G∵DE ∥BC ，∴OG=DH ，∠DHB=90° 在△DBH 中，BDDHB =sin ∵∠B=60°，BD=AD AB -，AD=t ，AB=3，∴DH=)3(23t -，∴OG=)3(23t - 当OG=DE 21时，⊙O 与BC 相切， 在△ADE 中，∵∠A=90°，∠ADE=60°，∴21cos ==∠DE AD ADE ， ∵AD=t ，∴DE=2AD=t 2， ∴2)3(232⨯-=t t ， ∴936-=t∴当936-=t 时，⊙O 与直线BC 相切（2011湖南娄底，25,10分）在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，且AD=2，以CD为直径作⊙O1，交BC于点E，过点E作EF⊥AB于F，建立如图12所示的平面直角坐标系，已知A，B两点的坐标分别为A(0，，B(-2，0).（1）求C，D两点的坐标.（2）求证：EF为⊙O1的切线.（3）探究：如图13，线段CD上是否存在点P，使得线段PC的长度与P点到y轴的距离相等？如果存在，请找出P点的坐标；如果不存在，请说明理由.【答案】（1）连结DE，∵CD是⊙O1的直径，∴DE⊥BC，∴四边形ADEO为矩形.∴OE=AD=2，DE=AO.在等腰梯形ABCD中，DC=AB.∴CE=BO=2，CO=4.∴C(4，0)，D(2，).（2）连结O1E，在⊙O1中，O1E=O1C，∠O1EC=∠O1C E，在等腰梯形ABCD中，∠ABC=∠DCB.∴O1E∥AB,又∵EF⊥AB，∴O1E⊥EF.∵E在AB上，∴EF为⊙O1的切线（3）解法一：存在满足条件的点P.如右图，过P作PM⊥y轴于M，作PN⊥x轴于N，依题意得PC=PM,在矩形OMPN中，ON=PM，设ON=x，则PM=PC=x，CN=4-x，tan∠ABO=AOBO==∴∠ABO=60︒，∴∠PCN =∠ABO =60︒.MP在Rt △PCN 中， cos ∠PCN =12CN PC =， 即412x x -=, ∴x =83.∴PN =CN ·tan ∠PCN =(4-83)∴满足条件的P 点的坐标为(83). 解法二：存在满足条件的点P ，如右图，在Rt △AOB 中，AB 4. 过P 作PM ⊥y 轴于M ，作PN ⊥x 轴于N ，依题意得PC =PM , 在矩形OMPN 中，ON =PM ，设ON =x ，则PM =PC =x ，CN =4-x ， ∵∠PCN =∠ABO ，∠PCN =∠AOB =90︒. ∴△PNC ∽△AOB ， ∴PC CN AB BO =，即442x x-=. 解得x =83.又由△PNC ∽△AOB ，得834PN PC AO AB ==，∴PN =∴满足条件的P 点的坐标为(83（2010•泰州）如图，⊙O是O为圆心，半径为5的圆，直线y=kx+b交坐标轴于A、B两点．（1）若OA=OB①求k；②若b=4，点P为直线AB上一点，过P点作⊙O的两条切线，切点分别为C、D，若∠CPD=90°，求点P的坐标；（2）若k=-12，且直线y=kx+b分⊙O的圆周为1：2两部分，求b．（2010•连云港）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，⊙C的圆心坐标为（-2，-2），半径为2．函数y=-x+2的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P为AB上一动点．（1）连接CO，求证：CO⊥AB；（2）若△POA是等腰三角形，求点P的坐标；（3）当直线PO与⊙C相切时，求∠POA的度数；当直线PO与⊙C相交时，设交点为E、F，点M为线段EF的中点，令PO=t，MO=s，求s与t之间的函数关系，并写出t的取值范围．（2009•永州）如图，在平面直角坐标系内，O为原点，点A的坐标为（-3，0），经过A、O两点作半径为5/2的⊙C，交y轴的负半轴于点B．（1）求B点的坐标；（2）过B点作⊙C的切线交x轴于点D，求直线BD的解析式．相切如图，在平面直角坐标系中，点O1的坐标为（-4，0），以点O1为圆心，8为半径的圆与x 轴交于A，B两点，过A作直线l与x轴负方向相交成60°的角，且交y轴于C点，以点O2（13，5）为圆心的圆与x轴相切于点D．（1）求直线l的解析式；（2）将⊙O2以每秒1个单位的速度沿x轴向左平移，当⊙O2第一次与⊙O1外切时，求⊙O2平移的时间．1. （东营）在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝4，AC ＝3，M 是AB 上的动点（不与A ，B 重合），过M 点作MN ∥BC 交AC 于点N ．以MN 为直径作⊙O ，并在⊙O 内作内接矩形AMPN ．令AM ＝x ．（1）用含x 的代数式表示△ＭNP 的面积S ；（2）当x 为何值时，⊙O 与直线BC 相切？（3）在动点M 的运动过程中，记△ＭNP 与梯形BCNM 重合的面积为y ，试求y 关于x 的函数表达式，并求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？解：（1）∵MN ∥BC ，∴∠AMN =∠B ，∠ANM ＝∠C ． ∴ △AMN ∽ △ABC ．∴ AM AN AB AC=，即43x AN=．∴ AN ＝43x ．∴ S =2133248MNP AMN S S x x x∆∆==⋅⋅=．（0＜x ＜4） （2）如图2，设直线BC 与⊙O 相切于点D ，连结AO ，OD ，则AO =OD =21MN ． 在Rt △ABC 中，BC． 由（1）知 △AMN ∽ △ABC ．∴ AM MN AB BC=，即45x MN=．∴ 54MN x =，∴ 58OD x =． 过M 点作MQ ⊥BC 于Q ，则58MQ OD x ==． 在Rt △BMQ 与Rt △BCA 中，∠B 是公共角，∴ △BMQ ∽△BCA ．∴ BM QM BC AC=．∴ 55258324xBM x ⨯==，25424AB BM MA x x =+=+=．∴ x ＝4996． ∴ 当x ＝4996时，⊙O 与直线BC 相切． （3）随点M 的运动，当P 点落在直线BC 上时，连结AP ，则O 点为AP 的中点．∵ MN ∥BC ，∴ ∠AMN =∠B ，∠AOM ＝∠APC∴ △AMO ∽ △ABP ．BD 图 2P 图 3B图 1∴ 12AM AO AB AP ==． AM ＝MB ＝2．故以下分两种情况讨论：① 当0＜x ≤2时，2Δ83x S y PMN ==．∴ 当x ＝2时，2332.82y =⨯=最大 ② 当2＜x ＜4时，设PM ，PN 分别交BC 于E ，F ．∵ 四边形AMPN 是矩形， ∴ PN ∥AM ，PN ＝AM ＝x ． 又∵ MN ∥BC ，∴ 四边形MBFN 是平行四边形． ∴ FN ＝BM ＝4－x ．∴ ()424PF x x x =--=-． 又△PEF ∽ △ACB ． ∴2PEF ABC S PF AB S ∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭．∴()2322PEF S x ∆=-MNP PEFy S S ∆∆=-＝()222339266828x x x x --=-+-． 当2＜x ＜4时，29668y x x =-+-298283x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭．∴ 当83x =时，满足2＜x ＜4，2y =最大． 综上所述，当83x =时，y 值最大，最大值是2．图 4（无锡）如图，已知点A从（1，0）出发，以1个单位长度/秒的速度沿x轴向正方向运动，以O，A为顶点作菱形OABC，使点B，C在第一象限内，且∠AOC=600，；以P（0，3）为圆心，PC为半径作圆．设点A运动了t秒，求：（1）点C的坐标（用含t 的代数式表示）；（2）当点A在运动过程中，所有使⊙P与菱形OABC的边所在直线相切的t的值．解：（1）过C作CD x⊥轴于D，1OA t=+，1OC t∴=+，1 cos602tOD OC +∴==，3(1sin60DC OC==，∴点C的坐标为1)22t t⎛⎫++⎪⎪⎝⎭，．················（2分）（2）①当P与OC相切时（如图1），切点为C ，此时PC OC⊥，cos30 OC OP∴=，3 13t∴+=，1t∴=②当P与OA，即与x轴相切时（如图2），则切点为O，PC=过P作PE OC⊥于E，则12OE OC=，133cos302tOP+∴==．③当P与AB所在直线相切时（如图3），设切点为F，PF交OC于G，则PF OC⊥，FG CD∴==，3(1sin30PC PF OP∴==+．过C作CH y⊥轴于H，则222PH CH PC+=，22213322t⎫⎛+⎛⎫∴+-=+⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，化简，得2(1)1)270t t+-++=，解得1t+=9310t=-<，1t∴=．∴所求t的值是1，1和1．2010 山东淄博）如图，在直角坐标系中，以坐标原点为圆心、半径为1的⊙O 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C ，D 两点．E 为⊙O 上在第一象限的某一点，直线BF 交⊙O 于点F ，且∠ABF ＝∠AEC ，则直线BF 对应的函数表达式为 ．【答案】1-=x y ，1+-=x y23、如图，在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），D（1，a）在直线BC上，⊙A是以A为圆心，AD为半径的圆．（1）求a的值；（2）求证：⊙A与BC相切；（3）在x负半轴上是否存在点M，使MC与⊙A相切，若存在，求点M的坐标；若不存在，说明理由；（4）线段AD与y轴交于点E，过点E的任意一直线交⊙A于P、Q两点，问是否存在一个常数K，始终满足PE•QE=K，如果存在，请求出K的值；若不存在，请说明理由．（2010安徽蚌埠）已知⊙O 过点D （3，4）,点H 与点D 关于x 轴对称，过H 作⊙O 的切线交x 轴于点A 。

人教版九年级下册： 圆和三角函数综合练习(含答案)

人教版九年级下册： 圆和三角函数综合练习(含答案)

圆与三角函数1．已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于点E，AE 与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB=∠AEC．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）求证：CE2=EH•EA；（3）若⊙O的半径为5，sinA=，求BH的长．2．如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上任一点（不与A，B重合），AB⊥CD于E，BF为⊙O的切线，OF∥AC，连结AF，FC，AF与CD交于点G，与⊙O交于点H，连结CH．（1）求证：FC是⊙O的切线；（2）求证：GC=GE；（3）若cos∠AOC=，⊙O的半径为r，求CH的长．3．已知⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆，OD∥BC交⊙O于点D，交AC于点E，连接AD、BD，BD交AC于点F．（1）求证：BD平分∠ABC；（2）延长AC到点P，使PF=PB，求证：PB是⊙O的切线；（3）如果AB=10，cos∠ABC=，求AD．4．如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的圆O与AD、AC分别交于点E、F，且∠ACB=∠DCE．（1）判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）若tan∠ACB=，BC=2，求⊙O的半径．5．如图，AB是⊙O的直径，D、E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD=BD，连接AC交⊙O于点F，连接AE、DE、DF．（1）证明：∠E=∠C；（2）若∠E=55°，求∠BDF的度数；（3）设DE交AB于点G，若DF=4，cosB=，E是的中点，求EG•ED的值．6．AB，CD是⊙O的两条弦，直线AB，CD互相垂直，垂足为点E，连接AD，过点B作BF⊥AD，垂足为点F，直线BF交直线CD于点G．（1）如图1，当点E在⊙O外时，连接BC，求证：BE平分∠GBC；（2）如图2，当点E在⊙O内时，连接AC，AG，求证：AC=AG；（3）如图3，在（2）条件下，连接BO并延长交AD于点H，若BH平分∠ABF，AG=4，tan ∠D=，求线段AH的长．7．如图，已知AB是⊙O的直径，BP是⊙O的弦，弦CD⊥AB于点F，交BP于点G，E在CD的延长线上，EP=EG，（1）求证：直线EP为⊙O的切线；（2）点P在劣弧AC上运动，其他条件不变，若BG2=BF•BO．试证明BG=PG；（3）在满足（2）的条件下，已知⊙O的半径为3，sinB=．求弦CD的长．8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AO是△ABC的角平分线．以O为圆心，OC为半径作⊙O．（1）求证：AB是⊙O的切线．（2）已知AO交⊙O于点E，延长AO交⊙O于点D，tanD=，求的值．（3）在（2）的条件下，设⊙O的半径为3，求AB的长．9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF．（1）求∠CDE的度数；（2）求证：DF是⊙O的切线；（3）若AC=2DE，求tan∠ABD的值．10．如图，已知在△ABP中，C是BP边上一点，∠PAC=∠PBA，⊙O是△ABC的外接圆，AD 是⊙O的直径，且交BP于点E．（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）过点C作CF⊥AD，垂足为点F，延长CF交AB于点G，若AG•AB=12，求AC的长；（3）在满足（2）的条件下，若AF：FD=1：2，GF=1，求⊙O的半径及sin∠ACE的值．11．已知Rt△ABC中，AB是⊙O的弦，斜边AC交⊙O于点D，且AD=DC，延长CB交⊙O于点E．（1）图1的A、B、C、D、E五个点中，是否存在某两点间的距离等于线段CE的长？请说明理由；（2）如图2，过点E作⊙O的切线，交AC的延长线于点F．①若CF=CD时，求sin∠CAB的值；②若CF=aCD（a＞0）时，试猜想sin∠CAB的值．（用含a的代数式表示，直接写出结果）12．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以BC为直径的⊙O交斜边AB于点M，若H是AC的中点，连接MH．（1）求证：MH为⊙O的切线．（2）若MH=，tan∠ABC=，求⊙O的半径．（3）在（2）的条件下分别过点A、B作⊙O的切线，两切线交于点D，AD与⊙O相切于N 点，过N点作NQ⊥BC，垂足为E，且交⊙O于Q点，求线段NQ的长度．13．如图，⊙O的半径r=25，四边形ABCD内接于圆⊙O，AC⊥BD于点H，P为CA延长线上的一点，且∠PDA=∠ABD．（1）试判断PD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若tan∠ADB=，PA=AH，求BD的长；（3）在（2）的条件下，求四边形ABCD的面积．14．如图，PA为⊙O的切线，A为切点，直线PO交⊙O与点E，F过点A作PO的垂线AB垂足为D，交⊙O与点B，延长BO与⊙O交与点C，连接AC，BF．（1）求证：PB与⊙O相切；（2）试探究线段EF，OD，OP之间的数量关系，并加以证明；（3）若AC=12，tan∠F=，求cos∠ACB的值．15．如图，在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点G，OA⊥CD于点E，过点B的直线与CD的延长线交于点F，AC∥BF．（1）若∠FGB=∠FBG，求证：BF是⊙O的切线；（2）若tan∠F=，CD=a，请用a表示⊙O的半径；（3）求证：GF2﹣GB2=DF•GF．16．如图，在⊙O中，直径AB⊥CD，垂足为E，点M在OC上，AM的延长线交⊙O于点G，交过C的直线于F，∠1=∠2，连结CB与DG交于点N．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）求证：△ACM∽△DCN；（3）若点M是CO的中点，⊙O的半径为4，cos∠BOC=，求BN的长．17．如图所示，在Rt△ABC与Rt△OCD中，∠ACB=∠DCO=90°，O为AB的中点．（1）求证：∠B=∠ACD．（2）已知点E在AB上，且BC2=AB•BE．（i）若tan∠ACD=，BC=10，求CE的长；（ii）试判定CD与以A为圆心、AE为半径的⊙A的位置关系，并请说明理由．18．如图，AB为⊙O的直径，直线CD切⊙O于点M，BE⊥CD于点E．（1）求证：∠BME=∠MAB；（2）求证：BM2=BE•AB；（3）若BE=，sin∠BAM=，求线段AM的长．19．如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，点M是上任意一点，AH=2，CH=4．（1）求⊙O的半径r的长度；（2）求sin∠CMD；（3）直线BM交直线CD于点E，直线MH交⊙O于点N，连接BN交CE于点F，求HE•HF 的值．20．已知AB、CD是⊙O的两条弦，直线AB、CD互相垂直，垂足为E，连接AC，过点B作BF⊥AC，垂足为F，直线BF交直线CD于点M．（1）如图1，当点E在⊙O内时，连接AD，AM，BD，求证：AD=AM；（2）如图2，当点E在⊙O外时，连接AD，AM，求证：AD=AM；（3）如图3，当点E在⊙O外时，∠ABF的平分线与AC交于点H，若tan∠C=，求tan∠ABH 的值．2018年01月10日金博初数2的初中数学组卷参考答案与试题解析一．解答题（共25小题）1．已知，如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，OF⊥BC于点F，交⊙O于点E，AE 与BC交于点H，点D为OE的延长线上一点，且∠ODB=∠AEC．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）求证：CE2=EH•EA；（3）若⊙O的半径为5，sinA=，求BH的长．【分析】（1）由圆周角定理和已知条件证出∠ODB=∠ABC，再证出∠ABC+∠DBF=90°，即∠OBD=90°，即可得出BD是⊙O的切线；（2）连接AC，由垂径定理得出，得出∠CAE=∠ECB，再由公共角∠CEA=∠HEC，证明△CEH∽△AEC，得出对应边成比例，即可得出结论；（3）连接BE，由圆周角定理得出∠AEB=90°，由三角函数求出BE，再根据勾股定理求出EA，得出BE=CE=6，由（2）的结论求出EH，然后根据勾股定理求出BH即可．【解答】（1）证明：∵∠ODB=∠AEC，∠AEC=∠ABC，∴∠ODB=∠ABC，∵OF⊥BC，∴∠BFD=90°，∴∠ODB+∠DBF=90°，∴∠ABC+∠DBF=90°，即∠OBD=90°，∴BD⊥OB，∴BD是⊙O的切线；（2）证明：连接AC，如图1所示：∵OF⊥BC，∴，∴∠CAE=∠ECB，∵∠CEA=∠HEC，∴△CEH∽△AEC，∴，∴CE2=EH•EA；（3）解：连接BE，如图2所示：∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∵⊙O的半径为5，sin∠BAE=，∴AB=10，BE=AB•sin∠BAE=10×=6，∴EA===8，∵，∴BE=CE=6，∵CE2=EH•EA，∴EH==，在Rt△BEH中，BH===．【点评】本题是圆的综合题目，考查了切线的判定、圆周角定理、圆心角、弧、弦之间的关系定理、勾股定理、三角函数、相似三角形的判定与性质等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（2）（3）中，需要通过作辅助线证明三角形相似和运用三角函数、勾股定理才能得出结果．2．如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上任一点（不与A，B重合），AB⊥CD于E，BF为⊙O的切线，OF∥AC，连结AF，FC，AF与CD交于点G，与⊙O交于点H，连结CH．（1）求证：FC是⊙O的切线；（2）求证：GC=GE；（3）若cos∠AOC=，⊙O的半径为r，求CH的长．【分析】（1）首先根据OF∥AC，OA=OC，判断出∠BOF=∠COF；然后根据全等三角形判定的方法，判断出△BOF≌△COF，推得∠OCF=∠OBF=90°，再根据点C在⊙O上，即可判断出FC 是⊙O的切线．（2）延长AC、BF交点为M．由△BOF≌△COF可知：BF=CF然后再证明：FM=CF，从而得到BF=MF，因为DC∥BM，所以△AEG∽△ABF，△AGC∽△AFM，然后依据相似三角形的性质可证GC=GE；（3）因为cos∠AOC=，OE=，AE=．由勾股定理可求得EC=．AC=．因为EG=GC，所以EG=．由（2）可知△AEG∽△ABF，可求得CF=BF=．在Rt△ABF中，由勾股定理可求得AF=3r．然后再证明△CFH∽△AFC，由相似三角形的性质可求得CH的长．【解答】（1）证明：∵OF∥AC，∴∠BOF=∠OAC，∠COF=∠OCA，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠BOF=∠COF，在△BOF和△COF中，，∴△BOF≌△COF，∴∠OCF=∠OBF=90°，又∵点C在⊙O上，∴FC是⊙O的切线．（2）如下图：延长AC、BF交点为M．由（1）可知：△BOF≌△COF，∴∠OFB=∠CFO，BF=CF．∵AC∥OF，∴∠M=∠OFB，∠MCF=∠CFO．∴∠M=∠MCF．∴CF=MF．∴BF=FM．∵DC∥BM，∴△AEG∽△ABF，△AGC∽△AFM．∴，．∴又∵BF=FM，∴EG=GC．（3）如下图所示：∵cos∠AOC=，∴OE=，AE=．在Rt△EOC中，EC==．在Rt△AEC中，AC==．∵EG=GC，∴EG=．∵△AEG∽△ABF，∴，即．∴BF=．∴CF=．在Rt△ABF中，AF===3r．∵CF是⊙O的切线，AC为弦，∴∠HCF=∠HAC．又∵∠CFH=∠AFC，∴△CFH∽△AFC．∴，即：．∴CH=．【点评】本题主要考查的是圆的综合应用，同时还涉及了勾股定理，锐角三角形函数，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，证得BF=FM是解答本题的关键．3．已知：⊙O上两个定点A，B和两个动点C，D，AC与BD交于点E．（1）如图1，求证：EA•EC=EB•ED；（2）如图2，若=，AD是⊙O的直径，求证：AD•AC=2BD•BC；（3）如图3，若AC⊥BD，点O到AD的距离为2，求BC的长．【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等得到角相等，从而证得三角形相似，于是得到结论；（2）如图2，连接CD，OB交AC于点F由B是弧AC的中点得到∠BAC=∠ADB=∠ACB，且AF=CF=0.5AC．证得△CBF∽△ABD．即可得到结论；（3）如图3，连接AO并延长交⊙O于F，连接DF得到AF为⊙O的直径于是得到∠ADF=90°，过O作OH⊥AD于H，根据三角形的中位线定理得到DF=2OH=4，通过△ABE∽△ADF，得到1=∠2，于是结论可得．【解答】（1）证明：∵∠EAD=∠EBC，∠BCE=∠ADE，∴△AED∽△BEC，∴，∴EA•EC=EB•ED；（2）证明：如图2，连接CD，OB交AC于点F∵B是弧AC的中点，∴∠BAC=∠ADB=∠ACB，且AF=CF=0.5AC．又∵AD为⊙O直径，∴∠ABD=90°，又∠CFB=90°．∴△CBF∽△DAB．∴，故CF•AD=BD•BC．∴AC•AD=2BD•BC；（3）解：如图3，连接AO并延长交⊙O于F，连接DF，∴AF为⊙O的直径，∴∠ADF=90°，过O作OH⊥AD于H，∴AH=DH，OH∥DF，∵AO=OF，∴DF=2OH=4，∵AC⊥BD，∴∠AEB=∠ADF=90°，∵∠ABD=∠F，∴△ABE∽△ADF，∴∠1=∠2，∴，∴BC=DF=4．【点评】本题考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，三角形的中位线的性质，正确作出辅助线是解题的关键．4．已知⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆，OD∥BC交⊙O于点D，交AC于点E，连接AD、BD，BD交AC于点F．（1）求证：BD平分∠ABC；（2）延长AC到点P，使PF=PB，求证：PB是⊙O的切线；（3）如果AB=10，cos∠ABC=，求AD．【分析】（1）先由OD∥BC，根据两直线平行内错角相等得出∠D=∠CBD，由OB=OD，根据等边对等角得出∠D=∠OBD，等量代换得到∠CBD=∠OBD，即BD平分∠ABC；（2）先由圆周角定理得出∠ACB=90°，根据直角三角形两锐角互余得到∠CFB+∠CBF=90°．再由PF=PB，根据等边对等角得出∠PBF=∠CFB，而由（1）知∠OBD=∠CBF，等量代换得到∠PBF+∠OBD=90°，即∠OBP=90°，根据切线的判定定理得出PB是⊙O的切线；（3）连结AD．在Rt△ABC中，由cos∠ABC===，求出BC=6，根据勾股定理得到AC==8．再由OD∥BC，得出△AOE∽△ABC，∠AED=∠OEC=180°﹣∠ACB=90°，根据相似三角形对应边成比例求出AE=4，OE=3，那么DE=OD﹣OE=2，然后在Rt△ADE中根据勾股定理求出AD==2．【解答】（1）证明：∵OD∥BC，∴∠D=∠CBD，∵OB=OD，∴∠D=∠OBD，∴∠CBD=∠OBD，∴BD平分∠ABC；（2）证明：∵⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆，∴∠ACB=90°，∴∠CFB+∠CBF=90°．∵PF=PB，∴∠PBF=∠CFB，由（1）知∠OBD=∠CBF，∴∠PBF+∠OBD=90°，∴∠OBP=90°，∴PB是⊙O的切线；（3）解：连结AD．∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，∴cos∠ABC===，∴BC=6，AC==8．∵OD∥BC，∴△AOE∽△ABC，∠AED=∠OEC=180°﹣∠ACB=90°，∴==，==，∴AE=4，OE=3，∴DE=OD﹣OE=5﹣3=2，∴AD===2．【点评】本题是圆的综合题，其中涉及到平行线的性质、等腰三角形的性质、圆周角定理、直角三角形两锐角互余的性质、切线的判定定理、锐角三角函数的定义、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，综合性较强，难度适中．本题中第（2）问要证某线是圆的切线，当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线是常用的方法，需熟练掌握．5．如图1，△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线交⊙O于点D，交BC于点E（BE＞EC），且BD=2．过点D作DF∥BC，交AB的延长线于点F．（1）求证：DF为⊙O的切线；（2）若∠BAC=60°，DE=，求图中阴影部分的面积；（3）若=，DF+BF=8，如图2，求BF的长．【分析】（1）连结OD，如图1，由角平分线定义得∠BAD=∠CAD，则根据圆周角定理得到=，再根据垂径定理得OD⊥BC，由于BC∥EF，则OD⊥DF，于是根据切线的判定定理即可判断DF为⊙O的切线；（2）连结OB，OD交BC于P，作BH⊥DF于H，如图1，先证明△OBD为等边三角形得到∠ODB=60°，OB=BD=2，易得∠BDF=∠DBP=30°，根据含30度的直角三角形三边的关系，在Rt △DBP 中得到PD=BD=，PB=PD=3，接着在Rt △DEP 中利用勾股定理计算出PE=2，由于OP ⊥BC ，则BP=CP=3，所以CE=1，然后利用△BDE ∽△ACE ，通过相似比可得到AE=，再证明△ABE ∽△AFD ，利用相似比可得DF=12，最后根据扇形面积公式，利用S阴影部分=S △BDF ﹣S 弓形BD =S △BDF ﹣（S 扇形BOD ﹣S △BOD ）进行计算；（3）连结CD ，如图2，由=可设AB=4x ，AC=3x ，设BF=y ，由=得到CD=BD=2，先证明△BFD ∽△CDA ，利用相似比得到xy=4，再证明△FDB ∽△FAD ，利用相似比得到16﹣4y=xy ，则16﹣4y=4，然后解方程易得BF=3．【解答】证明：（1）连结OD ，如图1，∵AD 平分∠BAC 交⊙O 于D ，∴∠BAD=∠CAD ，∴=，∴OD ⊥BC ，∵BC ∥EF ，∴OD ⊥DF ，∴DF 为⊙O 的切线；（2）连结OB ，连结OD 交BC 于P ，作BH ⊥DF 于H ，如图1，∵∠BAC=60°，AD 平分∠BAC ，∴∠BAD=30°，∴∠BOD=2∠BAD=60°，∴△OBD 为等边三角形，∴∠ODB=60°，OB=BD=2，∴∠BDF=30°，∵BC ∥DF ，∴∠DBP=30°，在Rt △DBP 中，PD=BD=，PB=PD=3，在Rt △DEP 中，∵PD=，DE=，∴PE==2，∵OP ⊥BC ，∴BP=CP=3， ∴CE=3﹣2=1，易证得△BDE ∽△ACE ，∴AE ：BE=CE ：DE ，即AE ：5=1：，∴AE=∵BE ∥DF ，∴△ABE ∽△AFD ，∴=，即=，解得DF=12，在Rt △BDH 中，BH=BD=，∴S 阴影部分=S △BDF ﹣S 弓形BD=S △BDF ﹣（S 扇形BOD ﹣S △BOD ）=•12•﹣+•（2）2=9﹣2π；（3）连结CD，如图2，由=可设AB=4x，AC=3x，设BF=y，∵=，∴CD=BD=2，∵∠F=∠ABC=∠ADC，∵∠FDB=∠DBC=∠DAC，∴△BFD∽△CDA，∴=，即=，∴xy=4，∵∠FDB=∠DBC=∠DAC=∠FAD，而∠DFB=∠AFD，∴△FDB∽△FAD，∴=，即=，整理得16﹣4y=xy，∴16﹣4y=4，解得y=3，即BF的长为3．【点评】本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理、圆周角定理和切线的判定定理；会计算不规则几何图形的面积；会灵活运用相似三角形的判定与性质计算线段的长．6．如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的圆O与AD、AC分别交于点E、F，且∠ACB=∠DCE．（1）判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）若tan∠ACB=，BC=2，求⊙O的半径．【分析】（1）连接OE．欲证直线CE与⊙O相切，只需证明∠CEO=90°，即OE⊥CE即可；（2）在直角三角形ABC中，根据三角函数的定义可以求得AB=，然后根据勾股定理求得AC=，同理知DE=1；方法一、在Rt△COE中，利用勾股定理可以求得CO2=OE2+CE2，即=r2+3，从而易得r的值；方法二、过点O作OM⊥AE于点M，在Rt△AMO中，根据三角函数的定义可以求得r的值．【解答】解：（1）直线CE与⊙O相切．…（1分）理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴BC∥AD，∠ACB=∠DAC；又∵∠ACB=∠DCE，∴∠DAC=∠DCE；连接OE，则∠DAC=∠AEO=∠DCE；∵∠DCE+∠DEC=90°∴∠AE0+∠DEC=90°∴∠OEC=90°，即OE⊥CE．又OE是⊙O的半径，∴直线CE与⊙O相切．…（5分）（2）∵tan∠ACB==，BC=2，∴AB=BC•tan∠ACB=，∴AC=；又∵∠ACB=∠DCE，∴tan∠DCE=tan∠ACB=，∴DE=DC•tan∠DCE=1；方法一：在Rt△CDE中，CE==，连接OE，设⊙O的半径为r，则在Rt△COE中，CO2=OE2+CE2，即=r2+3解得：r=方法二：AE=AD﹣DE=1，过点O作OM⊥AE于点M，则AM=AE=在Rt△AMO中，OA==÷=…（9分）【点评】本题考查了圆的综合题：圆的切线垂直于过切点的半径；利用勾股定理计算线段的长．7．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC的垂直平分线分别与AC，BC及AB的延长线相较于点D，E，F，且BF=BC，⊙O是△BEF的外接圆，∠EBF的平分线交EF于点G，交⊙O于点H，连接BD，FH．（1）求证：△ABC≌△EBF；（2）试判断BD与⊙O的位置关系，并说明理由；（3）若AB=1，求HG•HB的值．【分析】（1）由垂直的定义可得∠EBF=∠ADF=90°，于是得到∠C=∠BFE，从而证得△ABC≌△EBF；（2）BD与⊙O相切，如图1，连接OB证得∠DBO=90°，即可得到BD与⊙O相切；（3）如图2，连接CF，HE，有等腰直角三角形的性质得到CF=BF，由于DF垂直平分AC，得到AF=CF=AB+BF=1+BF=BF，求得BF=，有勾股定理解出EF=，推出△EHF是等腰直角三角形，求得HF=EF=，通过△BHF∽△FHG，列比例式即可得到结论．【解答】（1）证明：∵∠ABC=90°，∴∠EBF=90°，∵DF⊥AC，∴∠ADF=90°，∴∠C+∠A=∠A+∠AFD=90°，∴∠C=∠BFE，在△ABC与△EBF中，，∴△ABC≌△EBF；（2）BD与⊙O相切，如图1，连接OB证明如下：∵OB=OF，∴∠OBF=∠OFB，∵∠ABC=90°，AD=CD，∴BD=CD，∴∠C=∠DBC，∵∠C=∠BFE，∴∠DBC=∠OBF，∵∠CBO+∠OBF=90°，∴∠DBC+∠CBO=90°，∴∠DBO=90°，∴BD与⊙O相切；（3）解：如图2，连接CF，HE，∵∠CBF=90°，BC=BF，∴CF=BF，∵DF垂直平分AC，∴AF=CF=AB+BF=1+BF=BF，∴BF=，∵△ABC≌△EBF，∴BE=AB=1，∴EF==，∵BH平分∠CBF，∴，∴EH=FH，∴△EHF是等腰直角三角形，∴HF=EF=，∵∠EFH=∠HBF=45°，∠BHF=∠BHF，∴△BHF∽△FHG，∴，∴HG•HB=HF2=2+．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，线段的垂直平分线的性质，直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握这些定理是解题的关键．8．如图，AB是⊙O的直径，D、E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD=BD，连接AC交⊙O于点F，连接AE、DE、DF．（1）证明：∠E=∠C；（2）若∠E=55°，求∠BDF的度数；（3）设DE交AB于点G，若DF=4，cosB=，E是的中点，求EG•ED的值．【分析】（1）直接利用圆周角定理得出AD⊥BC，再利用线段垂直平分线的性质得出AB=AC，即可得出∠E=∠C；（2）利用圆内接四边形的性质得出∠AFD=180°﹣∠E，进而得出∠BDF=∠C+∠CFD，即可得出答案；（3）根据cosB=，得出AB的长，即可求出AE的长，再判断△AEG∽△DEA，求出EG•ED 的值．【解答】（1）证明：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，∵CD=BD，∴AD垂直平分BC，∴AB=AC，∴∠B=∠C，又∵∠B=∠E，∴∠E=∠C；（2）解：∵四边形AEDF是⊙O的内接四边形，∴∠AFD=180°﹣∠E，又∵∠CFD=180°﹣∠AFD，∴∠CFD=∠E=55°，又∵∠E=∠C=55°，∴∠BDF=∠C+∠CFD=110°；（3）解：连接OE，∵∠CFD=∠E=∠C，∴FD=CD=BD=4，在Rt△ABD中，cosB=，BD=4，∴AB=6，∵E是的中点，AB是⊙O的直径，∴∠AOE=90°，∵AO=OE=3，∴AE=3，∵E是的中点，∴∠ADE=∠EAB，∴△AEG∽△DEA，∴=，即EG•ED=AE2=18．【点评】此题主要考查了圆的综合题、圆周角定理以及相似三角形的判定与性质以及圆内接四边形的性质等知识，根据题意得出AE，AB的长是解题关键．9．AB，CD是⊙O的两条弦，直线AB，CD互相垂直，垂足为点E，连接AD，过点B作BF⊥AD，垂足为点F，直线BF交直线CD于点G．（1）如图1，当点E在⊙O外时，连接BC，求证：BE平分∠GBC；（2）如图2，当点E在⊙O内时，连接AC，AG，求证：AC=AG；（3）如图3，在（2）条件下，连接BO并延长交AD于点H，若BH平分∠ABF，AG=4，tan ∠D=，求线段AH的长．【分析】（1）利用圆内接四边形的性质得出∠D=∠EBC，进而利用互余的关系得出∠GBE=∠EBC，进而求出即可；（2）首先得出∠D=∠ABG，进而利用全等三角形的判定与性质得出△BCE≌△BGE（ASA），则CE=EG，再利用等腰三角形的性质求出即可；（3）首先求出CO的长，再求出tan∠ABH===，利用OP2+PB2=OB2，得出a的值进而求出答案．【解答】（1）证明：如图1，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠D+∠ABC=180°，∵∠ABC+∠EBC=180°，∴∠D=∠EBC，∵GF⊥AD，AE⊥DG，∴∠A+∠ABF=90°，∠A+∠D=90°，∴∠ABF=∠D，∵∠ABF=∠GBE，∴∠GBE=∠EBC，即BE平分∠GBC；（2）证明：如图2，连接CB，∵AB⊥CD，BF⊥AD，∴∠D+∠BAD=90°，∠ABG+∠BAD=90°，∴∠D=∠ABG，∵∠D=∠ABC，∴∠ABC=∠ABG，∵AB⊥CD，∴∠CEB=∠GEB=90°，在△BCE和△BGE中，∴△BCE≌△BGE（ASA），∴CE=EG，∵AE⊥CG，∴AC=AG；（3）解：如图3，连接CO并延长交⊙O于M，连接AM，∵CM是⊙O的直径，∴∠MAC=90°，∵∠M=∠D，tanD=，∴tanM=，∴=，∵AG=4，AC=AG，∴AC=4，AM=3，∴MC==5，∴CO=，过点H作HN⊥AB，垂足为点N，∵tanD=，AE⊥DE，∴tan∠BAD=，∴=，设NH=3a，则AN=4a，∴AH==5a，∵HB平分∠ABF，NH⊥AB，HF⊥BF，∴HF=NH=3a，∴AF=8a，cos∠BAF===，∴AB==10a，∴NB=6a，∴tan∠ABH===，过点O作OP⊥AB垂足为点P，∴PB=AB=5a，tan∠ABH==，∴OP=a，∵OB=OC=，OP2+PB2=OB2，∴25a2+a2=，∴解得：a=，∴AH=5a=．【点评】此题主要考查了圆的综合以及勾股定理和锐角三角函数关系等、全等三角形的判定与性质知识，正确作出辅助线得出tan∠ABH==是解题关键．10．如图，已知AB是⊙O的直径，BP是⊙O的弦，弦CD⊥AB于点F，交BP于点G，E在CD的延长线上，EP=EG，（1）求证：直线EP为⊙O的切线；（2）点P在劣弧AC上运动，其他条件不变，若BG2=BF•BO．试证明BG=PG；（3）在满足（2）的条件下，已知⊙O的半径为3，sinB=．求弦CD的长．【分析】（1）连结OP，先由EP=EG，证出∠EPG=∠BGF，再由∠BFG=∠BGF+∠OBP=90°，推出∠EPG+∠OPB=90°来求证．（2）连结OG，由BG2=BF•BO，得出△BFG∽△BGO，得出∠BGO=∠BFG=90°，根据垂径定理可得出结论．（3）连结AC、BC、OG，由sinB=，求出OG，由（2）得出∠B=∠OGF，求出OF，再求出BF，FA，利用直角三角形来求斜边上的高，再乘以2得出CD长度．【解答】（1）证明：连结OP，∵EP=EG，∴∠EPG=∠EGP，又∵∠EGP=∠BGF，∴∠EPG=∠BGF，∵OP=OB，∴∠OPB=∠OBP，∵CD⊥AB，∴∠BFG=∠BGF+∠OBP=90°，∴∠EPG+∠OPB=90°，∴直线EP为⊙O的切线；（2）证明：如图，连结OG，OP，∵BG2=BF•BO，∴=，∴△BFG∽△BGO，∴∠BGO=∠BFG=90°，由垂径定理知：BG=PG；（3）解：如图，连结AC、BC、OG、OP，∵sinB=，∴=，∵OB=r=3，∴OG=，由（2）得∠EPG+∠OPB=90°，∠B+∠BGF=∠OGF+∠BGF=90°，∴∠B=∠OGF，∴sin∠OGF==∴OF=1，∴BF=BO﹣OF=3﹣1=2，FA=OF+OA=1+3=4，在Rt△BCA中，CF2=BF•FA，∴CF===2．∴CD=2CF=4．【点评】本题主要考查了圆的综合题，解题的关键是通过作辅助线，找准角之间的关系，灵活运用直角三角形中的正弦值．11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AO是△ABC的角平分线．以O为圆心，OC为半径作⊙O．（1）求证：AB是⊙O的切线．（2）已知AO交⊙O于点E，延长AO交⊙O于点D，tanD=，求的值．（3）在（2）的条件下，设⊙O的半径为3，求AB的长．【分析】（1）由于题目没有说明直线AB与⊙O有交点，所以过点O作OF⊥AB于点F，然后证明OC=OF即可；（2）连接CE，先求证∠ACE=∠ODC，然后可知△ACE∽△ADC，所以，而tan∠D==；（3）由（2）可知，AC2=AE•AD，所以可求出AE和AC的长度，由（1）可知，△OFB∽△ABC，所以，然后利用勾股定理即可求得AB的长度．【解答】（1）如图，过点O作OF⊥AB于点F，∵AO平分∠CAB，OC⊥AC，OF⊥AB，∴OC=OF，∴AB是⊙O的切线；（2）如图，连接CE，∵ED是⊙O的直径，∴∠ECD=90°，∴∠ECO+∠OCD=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACE+∠ECO=90°，∴∠ACE=∠OCD，∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC，∴∠ACE=∠ODC，∵∠CAE=∠CAE，∴△ACE∽△ADC，∴，∵tan∠D=，∴=，∴=；（3）由（2）可知：=，∴设AE=x，AC=2x，∵△ACE∽△ADC，∴，∴AC2=AE•AD，∴（2x）2=x（x+6），解得：x=2或x=0（不合题意，舍去），∴AE=2，AC=4，由（1）可知：AC=AF=4，∠OFB=∠ACB=90°，∵∠B=∠B，∴△OFB∽△ACB，∴=，设BF=a，∴BC=，∴BO=BC﹣OC=﹣3，在Rt△BOF中，BO2=OF2+BF2，∴（﹣3）2=32+a2，∴解得：a=或a=0（不合题意，舍去），∴AB=AF+BF=．【点评】本题考查圆的综合问题，解题的关键是证明△ACE∽△ADC．本题涉及勾股定理，解方程，圆的切线判定知识，内容比较综合，需要学生构造辅助线才能解决问题，对学生综合能力要求较高．12．如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF．（1）求∠CDE的度数；（2）求证：DF是⊙O的切线；（3）若AC=2DE，求tan∠ABD的值．【分析】（1）直接利用圆周角定理得出∠CDE的度数；（2）直接利用直角三角形的性质结合等腰三角形的性质得出∠ODF=∠ODC+∠FDC=∠OCD+∠DCF=90°，进而得出答案；（3）利用相似三角形的性质结合勾股定理表示出AD，DC的长，再利用圆周角定理得出tan ∠ABD的值．【解答】（1）解：∵对角线AC为⊙O的直径，∴∠ADC=90°，∴∠EDC=90°；（2）证明：连接DO，∵∠EDC=90°，F是EC的中点，∴DF=FC，∴∠FDC=∠FCD，∵OD=OC，∴∠OCD=∠ODC，∵∠OCF=90°，∴∠ODF=∠ODC+∠FDC=∠OCD+∠DCF=90°，∴DF是⊙O的切线；（3）解：方法一：设DE=1，则AC=2，由AC2=AD×AE∴20=AD（AD+1）∴AD=4或﹣5（舍去）∵DC2=AC2﹣AD2∴DC=2，∴tan∠ABD=tan∠ACD==2；方法二：如图所示：可得∠ABD=∠ACD，∵∠E+∠DCE=90°，∠DCA+∠DCE=90°，∴∠DCA=∠E，又∵∠ADC=∠CDE=90°，∴△CDE∽△ADC，∴=，∴DC2=AD•DE∵AC=2DE，∴设DE=x，则AC=2x，则AC2﹣AD2=AD•DE，期（2x）2﹣AD2=AD•x，整理得：AD2+AD•x﹣20x2=0，解得：AD=4x或﹣5x（负数舍去），则DC==2x，故tan∠ABD=tan∠ACD===2．【点评】此题主要考查了圆的综合以及切线的判定、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，根据题意表示出AD，DC的长是解题关键．。

2024年中考数学综合与实践：圆、二次函数有关重难点题型

2024年中考数学综合与实践：圆、二次函数有关重难点题型

综合与实践、圆、二次函数有关重难点题型题型一综合与实践1.综合与实践问题情境：综合与实践课上，老师让同学们以“等腰直角三角形”为主题开展数学活动，并提出如下问题：如题2-1图，将等腰Rt△ABC的直角边AC与等腰Rt△ADC的斜边AC 重合，∠BAC=∠ADC=90°,试判断线段BC 与CD之间的数量关系，并加以证明.(1)数学思考：请你解答老师提出的问题；(2)猜想证明：如题2-2图，点 E 是线段AD上的一个动点(不与A，D重合)，连接CE，过点 E作EF⊥CE,分别交AB,AC于F,G两点,连接FC,试判断△CEF的形状，并说明理由.2.综合与实践【阅读理解】如题1-1图，在△ABC中，AM是BC边上的高线，由勾股定理得AM²=AB²−BM²,AM²= AC²−CM²,故AB²−BM²=AC²−CM².【知识迁移】如题1-2 图,在矩形ABCD中,当点P在矩形ABCD内任意位置时,连接AP,BP,CP,DP.求证: AP²+ CP²=BP²+DP².【探索发现】如题1-3 图，若点 P在矩形ABCD 的外部时，上述结论是否仍然成立?请加以判断，并说明理由.【尝试应用】如题1-4图，在△ABC中, AB=3,AC=4,Q为平面内一点，且AQ=1,∠BQC=90°,求 BC 的最大值.3.如题1-1图,正方形ABCD的边AB上有一点E,连接DE.(1)若AD=3AE,则sin∠ADE= ;(2)如题1-2图，将边 CB绕点 C顺时针旋转，旋转角为α，使得点 B 的对应点 F 落在DE上(点F不与点D 重合),连接BF,求∠BFE的度数;(3)如题1-3图,在(2)的条件下,若E为AB的中点,DF=n,正方形ABCD的面积为S,求S关于n的函数关系式.4.小颖在学习了摩擦力的相关知识后，准备在水平面上探究滑动摩擦力与压力之间的关系，探究步骤如下：第一步：如题3-1图，在一水平放置的木板上放置一个质量为1kg的木块(压力大小=重力大小)，用弹簧测力计沿水平方向拉动木块，使木块做匀速直线运动(滑动摩擦力的大小可以由弹簧测力计读出)；第二步：在木块上增加质量不同的砝码，使木块做匀速直线运动；当在木块上增加质量不同的砝码后，设弹簧测力计所拉物体的质量为m(kg)，弹簧测力计的示数为F(N)，通过多次测量，得到如下数据：(1)把表中的图的坐标系中，描点，连线，画出弹簧测力计拉力F关于物体质量m的图象；(2)观察所画的图象，猜测F和m之间的函数关系，求出函数表达式；(3)小颖将水平拉动木块实验变成在斜面拉动木块实验，如题3-3图，用弹簧测力计拉着木块分别沿倾斜程度不同的斜面向上做匀速直线运动.经测算，在弹性范围内，沿斜面的拉力 F(N)是高度h(m)的一次函数.当斜面水平放置在地面上时，弹簧测力计的读数为2N，高度h每增加0.1m，弹簧测力计的读数增加0.8N，若弹簧测力计的最大量程是8N，求装置高度h的取值范围.5.综合与实践某数学实验小组在学习了电阻的知识后，计划通过实验探究铂电阻在0∼100°C范围内的温度特性，具体过程如下：【知识背景】电阻温度计是根据导体电阻随温度而变化的规律来测量温度的温度计，铂电阻温度计是最精确的温度计.【实验过程】如题2-1图，将电阻温度计接入电路，开始使导体温度升温，控制温度在( 0°C−100°C范围内，每升温20°C记录一次指示仪表输出的电阻值(单位：Ω)，实验完毕后，关闭所有电源.【收集数据】记录的数据如下表：(1)如题2-2图，建立平面直角坐标系，横轴表示温度( (°C),纵轴表示电阻值(Ω)，描出以上表中的数据为坐标的各点，并进行连线；(2)观察上述各点的分布规律，判断它们是否在同一条直线上，若在同一条直线上，请你建立适当的函数模型，并求出解析式，若不在同一条直线上，请说明理由；(3)当温度为50°C时，求铂电阻的电阻值.题型二圆的综合题1. 如题1图, △ABC内接于⊙O,AB是⊙O 的直径,分别过点 C 作⊙O 的切线，过点 O作AB的垂线，两线相交于点 D.(1)求证: ∠D=2∠A;(2)请用无刻度的直尺和圆规过点O 作AC 的垂线交AC 于点 E(保留作图痕迹，不写作法)；(3)在(2)的条件下,若AB=8,CD=3,求OE的长.2. 如题2图, △ABC内接于⊙O,延长BA至点D,连接DC,使DB=DC,过点A作AE⊥AB交DC于点E,连接B E,BE 与AC相交于点F，且满足∠ADE=2∠EAC.(1)求证:CA=CB;(2)若AD:AB=1:4,求tan∠ABC的值；的值.(3)在(2)的条件下,求AFFC3.如题1-1图, △ABC内接于⊙O,BC是⊙O的直径,CD是∠ACB的平分线,交⊙O 于点D,连接OD,交AB于点E.(1)求证:OD∥AC;,求直线AF与⊙O的位关系.(2)如题1-2图,延长OD至点 F,连接AF,使得AF=BC,且tanB=12在△ABC中,AB=AC,点O是AB边上一动点,以点O为圆心,OB长为半径作圆,交BC于点 D.过点 D作DE⊥AC,垂足为E.(1)如题2-1图,若点O为AB的中点,求证:BD=CD;(2)如题2-2图,当点O为AB 上任意一点时,求证:DE 与⊙O 相切;(3)如题2-3图,若⊙O与AC相切于点F,且⊙O的半径为3,CE=1,求AF的长.如题4图,四边形ABCE内接于⊙O, AB=AC,CE⊥BC,，过点A作BC的平行线交CE的延长线于点 D.(1)求证:AD是⊙O的切线;(2)若DE=2,AE平分∠CAD,求⊙O的半径；(3)新考法探究线段数量关系若( CE=m,DE=n,⊙O的直径为d，探究m，n与d的数量关系，并说明理由.题型三二次函数综合题1. 已知抛物线y₁=ax²−4ax+c经过点(3,−2),与x轴交于点A(x₁,0),B两点.(1)若抛物线过点(−1,2),求抛物线的解析式；(2)若−1<x₁<0,点P(5,n)(n⟩0))在该抛物线上，求a的取值范围；(3)若抛物线y₁向上平移两个单位长度后得到抛物线y₂，抛物y₁与直线y₁=kx+b(k≠0)交于点(x₁,0)(x₁<2),且函数y=y₁+y₁的图象与x轴仅有一个交点.求证：k=2a.2.如题2图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−x²+bx+c交x轴于A,B(1,0)两点,交y轴于点C(0,3),连接AC,BC.(1)求抛物线的解析式；(2)N是线段AC上一点，过点N作NN′⊥x轴于点N′,若△ABC的面积被 NN'分为1∶2的两部分，求点N 的坐标；(3)将抛物线向左平移m(m⟩0))个单位长度，与原抛物线的交点为点 D,连接 AD,BD,AC 与 BD 相交于点 E,若△ADE与△BCE的面积差为1，求m的值.3.已知抛物线y=25x2+bx+c的顶点坐标为(−2,185),与x轴交于点A,B(点A在点 B左侧),与y轴交于点C.(1)求b,c的值;(2)点M(-4，2)，N是抛物线上两点，若点N到对称轴的距离等于点M到对称轴距离的2倍，求点 N的坐标；(3)若点 P是第二象限内抛物线上一点，连接PB交AC于点D,求PDBD的最大值.x−3与x轴，y轴交于A，B两点，抛物线y=x²+bx+c经过A，B两点，M是射线4.如题2图,直线y=34BA上一动点，过点 M作MN∥y轴交抛物线于点 N.(1)求抛物线的解析式；(2)当M在线段BA上时,连接AN,BN,若S∆ABN=S∆ABO,求此时点M的坐标；(3)新考法与点的运动结合点M从点 B 出发，沿射线BA方向以每秒5个单位长度的速度匀速运动，设运动的时间为t秒，当t为何值时，MB=MN?请直接写出所有符合条件的t值.5.如题3图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax²+bx−2(a≠0)与x轴交于点A(−1,0),B(0)，与y 轴交于点 C，点P为直线BC下方抛物线上一动点.(1)求抛物线的解析式；(2)过点P作PE⊥x轴于点 E，连接OP，是否存在点 P 使得. ∠OPE=∠ABC?若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由；(3) 将抛物线沿着x轴翻折，点P 的对应点为P′,连接P'B,求△P′CB面积的最大值及此时点 P的坐标.。

数学《圆与相似三角形、三角函数综合题》专题训练(含答案)

数学《圆与相似三角形、三角函数综合题》专题训练(含答案)

2020-2021学年中考数学培优训练讲义（七）《圆与相似三角形、三角函数综合题》专题训练班级姓名座号成绩1.如图，过正方形ABCD顶点B，C的⊙O与AD相切于点P，与AB，CD分别相交于点E、F，连接PF．若tan∠FBC＝，DF＝，则PF的长为．2.如图AB是⊙O的直径，点C是的中点，连接AC并延长至点D，使CD＝AC，点E是OB上一点，且＝，CE的延长线交DB的延长线于F，AF交⊙O于点H，当OB＝2时，则BH的长为．（第1题图）（第2题图）（第3题图）3.如图，PA是⊙O的切线，切点为A，AC是⊙O的直径，连接OP交⊙O于E．过A点作AB⊥PO于点D，交⊙O于B，连接BC、PB，若cos∠PAB＝，BC＝1，则PO的长．4.已知：在△ABC中，AB＝BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，交BC于点E．（1）如下左图，过点D作弦DF⊥AB垂足为H，连接EF交AB于G，求证：EF∥AC；（2）如下右图，在（1）的条件下，过点G作GN⊥BC垂足为N，若OG＝3，EN＝4，求线段DH的长．5.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，G为⊙O上一点，连接AG交CD于K，在CD的延长线上取一点E，使EG＝EK，EG的延长线交AB的延长线于F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）连接DG，若AC∥EF时．①求证：KG2＝KD•KE；②若cos C＝，AK＝，求BF的长．作业思考：1. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，且对角线AC⊥BD，垂足为点E，过点C作CF⊥AB于点F，交BD于点G．（1）如图①，连接EF，若EF平分∠AFG，求证：AE＝GE；（2）如图②，连接CO并延长交AB于点H，若CH为∠ACF的平分线，AD＝3，且tan∠FBG＝，求线段AH长．参考答案：1．如图，过正方形ABCD顶点B，C的⊙O与AD相切于点P，与AB，CD分别相交于点E、F，连接EF．（1）求证：PF平分∠BFD．（2）若tan∠FBC＝，DF＝，求EF的长．【分析】（1）根据切线的性质得到OE⊥AD，由四边形ABCD的正方形，得到CD⊥AD，推出OE∥CD，根据平行线的性质得到∠EFD＝∠OEF，由等腰三角形的性质得到∠OEF＝∠OFE，根据角平分线的定义即可得到结论；（2）连接PF，由BF是⊙O的直径，得到∠BPF＝90°，推出四边形BCFP是矩形，根据tan∠FBC ＝，设CF＝3x，BC＝4x，于是得到3x+＝4x，x＝，求得AD＝BC＝4，推出DF∥OE ∥AB于是得到DE：AE＝OF：OB＝1：1即可得到结论．【解答】解：（1）连接OE，BF，PF，∵∠C＝90°，∴BF是⊙O的直径，∵⊙O与AD相切于点E，∴OE⊥AD，∵四边形ABCD的正方形，∴CD⊥AD，∴OE∥CD，∴∠EFD＝∠OEF，∵OE＝OF，∴∠OEF＝∠OFE，∴∠OFE＝∠EFD，∴EF平分∠BFD；（2）连接PF，∵BF是⊙O的直径，∴∠BPF＝90°，∴四边形BCFP是矩形，∴PF＝BC，∵tan∠FBC＝，设CF＝3x，BC＝4x，∴3x+＝4x，x＝，∴AD＝BC＝4，∵点E是切点，∴OE⊥AD∴DF∥OE∥AB∴DE：AE＝OF：OB＝1：1∴DE＝AD＝2，∴EF＝＝10．【点评】本题考查了切线的性质，正方形的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，平行线的性质，切割线定理，正确的作出辅助线是解题的关键．2.如图，AB是⊙O的直径，点C是的中点，连接AC并延长至点D，使CD＝AC，点E是OB上一点，且＝，CE的延长线交DB的延长线于点F，AF交⊙O于点H，连接BH．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）当OB＝2时，求BH的长．【分析】（1）先判断出∠AOC＝90°，再判断出OC∥BD，即可得出结论；（2）先利用相似三角形求出BF，进而利用勾股定理求出AF，最后利用面积即可得出结论．【解答】证明：（1）连接OC，∵AB是⊙O的直径，点C是的中点，∴∠AOC＝90°，∵OA＝OB，CD＝AC，∴OC是△ABD是中位线，∴OC∥BD，∴∠ABD＝∠AOC＝90°，∴AB⊥BD，∵点B在⊙O上，∴BD是⊙O的切线；解：（2）由（1）知，OC∥BD，∴△OCE∽△BFE，∴，∵OB＝2，∴OC＝OB＝2，AB＝4，，∴，∴BF＝3，在Rt△ABF中，∠ABF＝90°，根据勾股定理得，AF＝5，∵S△ABF＝AB•BF＝AF•BH，∴AB•BF＝AF•BH，∴4×3＝5BH，∴BH＝．【点评】此题主要考查了切线的判定和性质，三角形中位线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，求出BF＝3是解本题的关键．3．如图，PA是⊙O的切线，切点为A，AC是⊙O的直径，连接OP交⊙O于E．过A点作AB⊥PO于点D，交⊙O于B，连接BC，PB．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）求证：E为△PAB的内心；（3）若cos∠PAB＝，BC＝1，求PO的长．【分析】（1）连接OB，根据圆周角定理得到∠ABC＝90°，证明△AOP≌△BOP，得到∠OBP＝∠OAP，根据切线的判定定理证明；（2）连接AE，根据切线的性质定理得到∠PAE+∠OAE＝90°，证明EA平分∠PAD，根据三角形的内心的概念证明即可；（3）根据余弦的定义求出OA，证明△PAO∽△ABC，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．【解答】（1）证明：连接OB，∵AC为⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∵AB⊥PO，∴PO∥BC∴∠AOP＝∠C，∠POB＝∠OBC，OB＝OC，∴∠OBC＝∠C，∴∠AOP＝∠POB，在△AOP和△BOP中，，∴△AOP≌△BOP（SAS），∴∠OBP＝∠OAP，∵PA为⊙O的切线，∴∠OAP＝90°，∴∠OBP＝90°，∴PB是⊙O的切线；（2）证明：连接AE，∵PA为⊙O的切线，∴∠PAE+∠OAE＝90°，∵AD⊥ED，∴∠EAD+∠AED＝90°，∵OE＝OA，∴∠OAE＝∠AED，∴∠PAE＝∠DAE，即EA平分∠PAD，∵PA、PB为⊙O的切线，∴PD平分∠APB∴E为△PAB的内心；（3）解：∵∠PAB+∠BAC＝90°，∠C+∠BAC＝90°，∴∠PAB＝∠C，∴cos∠C＝cos∠PAB＝，在Rt△ABC中，cos∠C＝＝＝，∴AC＝，AO＝，∵△PAO∽△ABC，∴，∴PO＝＝＝5．【点评】本题考查的是三角形的内切圆和内心、相似三角形的判定和性质、切线的判定，掌握切线的判定定理、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．4.已知：在△ABC中，AB＝BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，交BC于点E．（1）如图1，求证：AD＝CD；（2）如图2，过点D作弦DF⊥AB垂足为H，连接EF交AB于G，求证：EF∥AC；（3）如图3，在（2）的条件下，过点G作GN⊥BC垂足为N，若OG＝3，EN＝4，求线段DH的长．【分析】（1）如图1中，连接BD，利用等腰三角形的三线合一的性质证明即可．（2）如图2中，连接BD，想办法证明∠ADF＝∠DFE即可．（3）连接AE．设OA＝OB＝r，则AB＝BC＝2r，BG＝3+r，利用平行线分线段成比例定理，构建方程求出r，即可解决问题．【解答】（1）证明：如图1中，连接BD．∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴BD⊥AC，∵BA＝BC，∴AD＝CD．（2）证明：如图2中，连接BD．∵AB⊥DF，∴＝，∴∠ADF＝∠ABD，∵∠DFE＝∠ABD，∴∠ADF＝∠DFE，∴EF∥AC．（3）解：如图3中，连接AE．设OA＝OB＝r，则AB＝BC＝2r，BG＝3+r，∵EG∥AC，∴＝，∵BC＝BA，∴BE＝BG＝3+r，∴BN＝3+r﹣4＝r﹣1，∵AB是直径，GN⊥BC∴∠AEB＝∠GNB＝90°，∴GN∥AE，∴＝，∴＝，解得r＝9或﹣1（舍弃），∴BG＝12，BN＝8，∴NG＝＝＝4，∴EG＝＝＝2，∵GN∥AE，∴＝，∴＝，∴AE＝6，∵∠C＝∠DAH，∠AEC＝∠AHD＝90°，∴△AEC∽△DHA，∴＝＝2，∴DH＝3．【点评】本题属于圆综合题，考查了垂径定理，解直角三角形，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的判定和性质等知识，教育的关键是学会添加常用辅助线，属于中考压轴题．5．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，G为⊙O上一点，连接AG交CD于K，在CD的延长线上取一点E，使EG＝EK，EG的延长线交AB的延长线于F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）连接DG，若AC∥EF时．①求证：△KGD∽△KEG；②若cos C＝，AK＝，求BF的长．【分析】（1）连接OG，由EG＝EK知∠KGE＝∠GKE＝∠AKH，结合OA＝OG知∠OGA＝∠OAG，根据CD⊥AB得∠AKH+∠OAG＝90°，从而得出∠KGE+∠OGA＝90°，据此即可得证；（2）①由AC∥EF知∠E＝∠C＝∠AGD，结合∠DKG＝∠CKE即可证得△KGD∽△KGE；②连接OG，由设CH＝4k，AC＝5k，可得AH＝3k，CK＝AC＝5k，HK＝CK﹣CH＝k．利用AH2+HK2＝AK2得k＝1，即可知CH＝4，AC＝5，AH＝3，再设⊙O半径为R，由OH2+CH2＝OC2可求得，根据知，从而得出答案．【解答】解：（1）如图，连接OG．∵EG＝EK，∴∠KGE＝∠GKE＝∠AKH，又OA＝OG，∴∠OGA＝∠OAG，∵CD⊥AB，∴∠AKH+∠OAG＝90°，∴∠KGE+∠OGA＝90°，∴EF是⊙O的切线．（2）①∵AC∥EF，∴∠E＝∠C，又∠C＝∠AGD，∴∠E＝∠AGD，又∠DKG＝∠GKE，∴△KGD∽△KEG；②连接OG，∵，AK＝，设，∴CH＝4k，AC＝5k，则AH＝3k∵KE＝GE，AC∥EF，∴CK＝AC＝5k，∴HK＝CK﹣CH＝k．在Rt△AHK中，根据勾股定理得AH2+HK2＝AK2，即，解得k＝1，∴CH＝4，AC＝5，则AH＝3，设⊙O半径为R，在Rt△OCH中，OC＝R，OH＝R﹣3k，CH＝4k，由勾股定理得：OH2+CH2＝OC2，即（R﹣3）2+42＝R2，∴，在Rt△OGF中，，∴，∴．【点评】本题是圆的综合问题，解题的关键是掌握等腰三角形的性质、平行线的性质，圆周角定理、相似三角形的判定与性质及切线的判定等知识点．作业思考：1．如图，四边形ABCD内接于⊙O，且对角线AC⊥BD，垂足为点E，过点C作CF⊥AB于点F，交BD于点G．（1）如图①，连接EF，若EF平分∠AFG，求证：AE＝GE；（2）如图②，连接CO并延长交AB于点H，若CH为∠ACF的平分线，AD＝3，且tan∠FBG＝，求线段AH长．【分析】（1）由垂直的定义，角平分线的定义，角的和差证明EF＝EI，同角的余角相等得∠AEF＝∠GEI，四边形的内角和，邻补角的性质得∠FAE＝∠IGE，最后根据角角边证明△AEF≌△GEI，其性质得AE＝GE；（2）由圆周角定理，等角的三角函数值相等求出⊙O的半径为，根据平行线的性质，勾股定理，角平分线的性质定理，三角形相似的判定与性质，一元二次方程求出t的值为，最后求线段AH的长为．【解答】证明：（1）过点E作EI⊥EF交CF于点I，如图①所示：∵CF⊥AB，∴∠AFG＝90°，又∵EF平分∠AFG，∴∠EFA＝∠EFI＝45°，又∵EF⊥EI，∴∠FEI＝90°，又∵∠EFI+∠EIF＝90°，∴∠EIF＝45°，∴EF＝EI，又∵∠EAF+∠AFG+∠FGE+∠GEA＝360°，∠AFG＝∠AEG＝90°，∴∠EGF+∠FAE＝180°，又∵∠EGF+∠EGI＝180°，∴∠EGI＝∠FAE，又∵∠AEB＝∠AEF+∠FEG，∠FEI＝∠GEI+∠FEG，∴∠AEF＝∠GEI，在△AEF和△GEI中，，∴△AEF≌△GEI（AAS），∴AE＝GE；（2）连接DO并延长，交⊙O于点P，连接AP，如图②甲所示：∵∠ABD与∠P是⊙O上弧AD所对的圆周角，∴∠ABD＝∠P，又∵DP为⊙O的直径，∴∠PAD＝90°，又∵tan∠FBG＝，∴tan∠P＝＝，又∵AD＝3，∴AP＝4，PD＝5，∴OD＝，过点H作HJ⊥AC于点J，过点O作OK⊥AC于点K，设AJ＝3t，CF＝x，如图②乙所示，∵HJ⊥AC，BD⊥AC，∴HJ∥BD，∴∠ABD＝∠AHJ，又∵tan∠ABD＝∴tan∠AHJ＝，又∵AJ＝3t，∴HJ＝4t，在Rt△AHJ中，由勾股定理得：AH＝＝＝5t，又∵CH是∠ACF的平分线，且HF⊥CF，HJ⊥AC，∴HF＝HJ＝4t，∴AF＝AH+HF＝9t，又∵CF＝x，∴CJ＝x，又∵∠BFG＝∠GEC，∠FGB＝∠EGC，∴△FBG∽△ECG，∴∠FBG＝∠ECG，∴tan∠FCJ＝＝＝，解得：x＝12t，∴CF＝CJ＝12t，∴AC＝15t，∴CK＝t，又∵OK∥HJ，∴＝，∴OK＝＝＝t，∴在Rt△OCK中，由勾股定理得：OK2+KC2＝OC2，即（t）2+（t）2＝（）2，解得：t＝，或t＝﹣（舍去），∴AH＝5t＝．【点评】本题综合考查了垂线的定义，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，一元二次方程等相关知识，重点掌握相似三角形的判定与性质，难点是辅助线构建全等三角形，圆周角和相似三角形．。

专题 三角函数与圆-圆中三角形函数的综合运用

专题 三角函数与圆-圆中三角形函数的综合运用

专题三角函数与圆——圆中三角函数的综合运用
1、如图，P A为⊙O的切线，A为切点，过A作OP的垂线AB，垂足为点C，交⊙O于点B，延长BO与⊙O交于点D，与P A的延长线交于点E.
（1）求证：PB为⊙O的切线；
（2）若tan∠ABE＝1
2
，求sin∠E的值.
2、在锐角三角形ABC中，BC＝5，sin A＝4
5
，
（1）如图1，求三角形ABC外接圆的直径；
（2）如图2，点I为三角形ABC的内心，BA＝BC，求AI的长.
3、在⊙O中，AB为直径，PC为弦，且P A＝PC
（1）如图1，求证：OP∥BC
（2）如图2，DE切⊙O于点C，DE∥AB，求tan∠A的值.
4、如图，已知CD为⊙O的直径，点A为DC延长线上一点，B为⊙O上一点，且∠ABC ＝∠D．
（1）求证：AB为⊙O的切线；
（2）若tan D＝1
2
，求sin A的值.
5、已知：如图PT是⊙O的切线，T为切点，P AB是经过圆心O的割线. （1）求证：∠PTA＝∠BTO；
（2）若PT＝4，P A＝2，求sin B的值.
6、如图，△ABC中，以BC为直径的圆交AB于点D，∠ACD＝∠AB C．（1）求证：CA是圆的切线；
（2）若点E是BC上一点，已知BE＝6，tan∠ABC＝2
3
，tan∠AEC＝
5
3
，求圆的直径.
7、如图，AB为⊙O的直径，CE⊥AD于E，连BE，CD CB
. （1）求证：CE为⊙O的切线；
（2）若AE＝6，⊙O的半径为5，求tan∠BEC的值.。

与圆有关的综合题系列之圆与三角形综合题

与圆有关的综合题系列之圆与三角形综合题

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【点睛】当需要求证某条线为圆的切线时，就是要求半径与切线互相垂直
教你学作辅助线
在几何题中，作辅助线可以说是解题的第一步，因此对常见的辅助线的添加进行归类能够 有效地帮助同学们打开解题的突破口.圆与三角形相结合时，常作的辅助线有以下几类:
类型一:与垂径定理有关时，遇弦作弦心距;遇弧、弦的中点作半径; 类型二:与圆心角、圆周角有关时，遇直径想直角; 类型三:与切线有关时，或利用切线性质遇切点，作半径;或利用切线的判定知切点时连半 径，证垂直; 类型四:不知切点时作距离，证半径. 下面我们通过几道题来感受作这几种类型辅助线的技巧.
M 上异于 A ， B 的一动点，直线 PA ， PB 分别交 y 轴于 C ， D ， 以 CD 为直径的圆 A
N 与 x 轴交于 E ， F， 则 EF 的长(
).
A. 等于 4 --12
B.等于 4 .../3
c. 等于 6
D. 随 P 点位直的变化而变化
名联欣赏 上联 E 南通前，北通前，南北通前通南北
现了很多切线和切点，此时连接 CO ， MO. 可以得出以下信息: LABC=LBCO= 30 0 , L CAB= LAOC= LAOC=600 ,MO 垂直平分A C. 这些信息都是求AM 所

中考数学压轴必刷 专题17函数与圆综合问题(学生版)

中考数学压轴必刷 专题17函数与圆综合问题(学生版)

【压轴必刷】中考数学压轴大题之经典模型培优案专题17函数与圆综合问题【例1】如图，抛物线y＝ax2+bx+2经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）在y轴上是否存在点P使得∠OBP+∠OBC＝45°，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；（3）点M是BC为直径的圆上的动点，将点M绕原点O顺时针旋转90°得点N，连接NA，求NA的取值范围．【例2】如图1：抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C．动点E（m，0）（0＜m＜3），过点E作直线l⊥x轴，交抛物线于点M．（1）求抛物线的解析式及C点坐标；（2）连接BM并延长交y轴于点N，连接AN，OM，若AN∥OM，求m的值．（3）如图2．当m＝1时，P是直线l上的点，以P为圆心，PE为半径的圆交直线l于另一点F（点F 在x轴上方），若线段AC上最多存在一个点Q使得∠FQE＝90°，求点P纵坐标的取值范围．【例3】如图，抛物线y＝ax2+bx+2与直线AB相交于A（﹣1，0），B（3，2），与x轴交于另一点C．（1）求抛物线的解析式；（2）在y上是否存在一点E，使四边形ABCE为矩形，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；（3）以C为圆心，1为半径作⊙O，D为⊙O上一动点，求DA+DB的最小值【例4】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+3的对称轴是直线x＝2，与x轴相交于A，B 两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（Ⅰ）求抛物线的解析式及顶点坐标；（Ⅱ）M为第一象限内抛物线上的一个点，过点M作MN⊥x轴于点N，交BC于点D，连接CM，当线段CM＝CD时，求点M的坐标；（Ⅲ）以原点O为圆心，AO长为半径作⊙O，点P为⊙O上的一点，连接BP，CP，求2PC+3PB的最小值．1．如图，在平面直角坐标系上，一条抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，连接BC并延长．（1）求抛物线的解析式；（2）点M是直线BC在第一象限部分上的一个动点，过M作MN∥y轴交抛物线于点N．1°求线段MN的最大值；2°当MN取最大值时，在线段MN右侧的抛物线上有一个动点P，连接PM、PN，当△PMN的外接圆圆心Q在△PMN的边上时，求点P的坐标．2．如图1，已知抛物线y＝ax2﹣12ax+32a（a＞0）与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C．（1）连接BC，若∠ABC＝30°，求a的值．（2）如图2，已知M为△ABC的外心，试判断弦AB的弦心距d是否有最小值，若有，求出此时a的值，若没有，请说明理由；（3）如图3，已知动点P（t，t）在第一象限，t为常数．问：是否存在一点P，使得∠APB达到最大，若存在，求出此时∠APB的正弦值，若不存在，也请说明理由．3．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C（0，6），抛物线的顶点坐标为E（2，8），连结BC、BE、CE．（1）求抛物线的表达式；（2）判断△BCE的形状，并说明理由；（3）如图2，以C为圆心，为半径作⊙C，在⊙C上是否存在点P，使得BP+EP的值最小，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．4．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点C（2，﹣3），且与x轴交于原点及点B（8，0）．（1）求二次函数的表达式；（2）求顶点A的坐标及直线AB的表达式；（3）判断△ABO的形状，试说明理由；（4）若点P为⊙O上的动点，且⊙O的半径为2，一动点E从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段AP匀速运动到点P，再以每秒1个单位长度的速度沿线段PB匀速运动到点B后停止运动，求点E的运动时间t的最小值．5．如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴分别相交于A、B两点，与y轴相交于点C，下表给出了这条抛物线上部分点（x，y）的坐标值：x…﹣10123…y…03430…（1）求出这条抛物线的解析式及顶点M的坐标；（2）PQ是抛物线对称轴上长为1的一条动线段（点P在点Q上方），求AQ+QP+PC的最小值；（3）如图2，点D是第四象限内抛物线上一动点，过点D作DF⊥x轴，垂足为F，△ABD的外接圆与DF相交于点E．试问：线段EF的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．6．如图，抛物线的顶点为A（0，2），且经过点B（2，0）．以坐标原点O为圆心的圆的半径r＝，OC ⊥AB于点C．（1）求抛物线的函数解析式．（2）求证：直线AB与⊙O相切．。

高中数学-单位圆与三角函数线练习

高中数学-单位圆与三角函数线练习

高中数学-单位圆与三角函数线练习(限时：10分钟)1．已知α(0<α<2π)的正弦线和余弦线相等，且符号相同，那么α的值为( ) A.3π4或π4 B.5π4或7π4 C.π4或5π4 D.π4或7π4答案：C2．已知角α的正弦线和余弦线是符号相反、长度相等的有向线段，则α的终边在( ) A ．第一象限的角平分线上 B ．第四象限的角平分线上 C ．第二、四象限的角平分线上 D ．第一、三象限的角平分线上解析：由条件知sin α＝－cos α，α的终边应在第二、四象限的角平分线上． 答案：C3．若α是第一象限角，则sin α＋cos α的值与1的大小关系是( ) A ．sin α＋cos α＞1 B ．sin α＋cos α＝1 C ．sin α＋cos α＜1 D ．不能确定解析：作出α的正弦线和余弦线，由三角形“任意两边之和大于第三边”的性质可知sin α＋cos α＞1.答案：A4．若π4<θ<π2，则下列不等式成立的是( )A ．sin θ>cos θ>tan θB ．cos θ>tan θ>sin θC ．sin θ>tan θ>cos θD ．tan θ>sin θ>cos θ解析：如图，由三角函数线可知，AT >PM >OP ，即tan θ>sin θ>cos θ答案：D5．已知π4＜x ＜π2，a ＝21－sin x ，b ＝2cos x ，c ＝2tan x，试比较a 、b 、c 的大小．解析：如图所示，在单位圆中MP 、OM 、AT 分别是x 的正弦线、余弦线、正切线．在△OMP 中，OM ＞OP －MP 即cos x ＞1－sin x 又∵AT ＞OA ，∴tan x ＞1 ∴tan x ＞cos x ＞1－sin x ， ∴2tan x＞2cos x＞21－sin x∴c ＞b ＞a(限时：30分钟)1．在[0,2π]上满足sin x ≥12的x 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π解析：可以直接用特殊角来验证．取x ＝π6，则sin x ＝12≥12成立，故排除D ；再取x ＝π2，则sin x ＝1≥12成立，排除A ；再取x ＝5π6，则sin x ＝sin 5π6＝12≥12成立，故选B.答案：B2．设a ＝sin(－1)，b ＝cos(－1)，c ＝tan(－1)，则有( ) A ．a ＜b ＜c B ．b ＜a ＜c C ．c ＜a ＜b D ．a ＜c ＜b解析：如图作出角α＝－1 rad 的正弦线、余弦线及正切线，显然b ＝cos(－1)＝OM ＞0，c ＝tan(－1)＜a ＝sin(－1)＜0，即c ＜a ＜b .答案：C3．在(0,2π)内，使sin x ＞cos x 成立的x 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π，54π B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，54π D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π∪⎝⎛⎭⎪⎫54π，32π解析：如图，当π4＜α＜5π4时，sin α＞cos α，故选C.答案：C4．cos1，sin1，tan1的大小关系是( ) A ．sin1＜cos1＜tan1 B ．tan1＜sin1＜cos1 C ．cos1＜tan1＜sin1 D ．cos1＜sin1＜tan1解析：如图，有OM ＜MP ＜AT ，即cos1＜sin1＜tan1. 答案：D5．下列关系中正确的是( ) A ．sin11°＜cos10°＜sin12° B ．sin12°＜sin11°＜cos10° C ．sin11°＜sin 12°＜cos10°D ．sin12°＜cos10°＜sin11°解析：在单位圆中画出角12°，11°的相应正弦线，10°的相应余弦线，直接观察可知选C.答案：C6．在(0,2π)内使cos x ＞sin x ＞tan x 成立的x 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫π4，3π4 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4，3π2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2，7π4解析：在同一个单位圆中分别作出正弦线、余弦线、正切线，即可看出． 答案：C7．若α、β为第二象限角，且sin α＞sin β，则cos α与cos β的大小关系为__________． 解析：如图，显然有cos α＞cos β. 答案：cos α＞cos β 8．若θ∈⎝⎛⎭⎪⎫3π4，π，则下列各式错误的是________．①sin θ＋cos θ＜0； ②sin θ－cos θ＞0； ③|sin θ|＜|cos θ|； ④sin θ＋cos θ＞0.解析：若θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，则sin θ＞0，cos θ＜0，sin θ＜|cos θ|，所以sin θ＋cos θ＜0.答案：④9．函数y ＝sin x ＋cos x －12的定义域是________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，cos x ≥12，利用单位圆中的三角函数线得⎩⎪⎨⎪⎧2k π≤x ≤2k π＋πk ∈Z ，2k π－π3≤x ≤2k π＋π3k ∈Z .解得⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2k π≤x ≤2k π＋π3，k ∈Z .答案：⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2k π≤x ≤2k π＋π3，k ∈Z10．求函数y ＝log 2sin x 的定义域．解析：要使函数有意义，x 的取值满足sin x ＞0. 如图所示，MP →是角x 的正弦线，则有sin x ＝MP ＞0， ∴MP 的方向向上，∴角x 的终边在x 轴的上方， ∴2k π＜x ＜2k π＋π(k ∈Z )，即函数y ＝log 2sin x 的定义域是(2k π，2k π＋π)，k ∈Z .11．利用单位圆中的三角函数线，求满足⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，2cos x －1＞0的x 的取值范围．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，2cos x －1＞0，得⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，cos x ＞12.如图所示，由三角函数线可得⎩⎪⎨⎪⎧2k π≤x ≤2k π＋πk ∈Z ，2k π－π3＜x ＜2k π＋π3k ∈Z .此交集为图形中的阴影重叠部分， 即2k π≤x ＜2k π＋π3(k ∈Z )．故x 的取值范围为{x |2k π≤x ＜2k π＋π3，k ∈Z }．12．已知α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，求证：1＜sin α＋cos α＜π2.证明：如图所示，设角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )，过P 作PM ⊥Ox 、PN ⊥Oy ，M 、N 分别为垂足．∴|MP |＝y ＝sin α，|OM |＝x ＝cos α， 在△OMP 中，|OM |＋|MP |＞|OP |， ∴sin α＋cos α＞1.∵S △OAP ＝12|OA |·|MP |＝12y ＝12sin α，S △OBP ＝12|OB |·|NP |＝12x ＝12cos α， S 扇形OAB ＝14π×12＝π4，又∵S △OAP ＋S △OBP ＜S 扇形OAB ，∴12sin α＋12cos α＜π4，即sin α＋cos α＜π2，∴1＜sin α＋cos α＜π2.。

高一数学三角函数综合试题答案及解析

高一数学三角函数综合试题答案及解析

高一数学三角函数综合试题答案及解析1.如图，已知角α的终边在第二象限，且与单位圆交于点P（m，）．（Ⅰ）求实数m的值；（Ⅱ）求的值．【答案】（Ⅰ） m=﹣；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）由于该圆是单位圆，=1，又角α的终边在第二象限，所以m＜0，联立，可得到结果m=﹣；（Ⅱ）由m=﹣得sinα=，cosα=﹣，对式子化简，=得将数值代入，化简可得到答案.试题解析：（Ⅰ）根据题意得：=1，且m＜0，解得：m=﹣；（5分）（Ⅱ）∵sinα=，cosα=﹣，∴原式= === ．（10分）【考点】三角函数化简.2.（本小题满分12分）已知．(1)若,求的取值构成的集合．(2)若,求的值．【答案】(1) ;(2)【解析】(1) 先化简函数f(x),再解即可．(2) 由，即，然后代入即可．(1)由已知可得 (3分)因为,即,有 (5分)．所以取值的集合为 (6分)(2)因为, (9分)所以 (12分)【考点】解三角方程；诱导公式，三角函数式的化简．3.已知，（1）若，且∥（），求x的值；（2）若,求实数的取值范围.【答案】(1) (2) .【解析】(1)先将向量化为代数式，即,；（2）由已知先写出，的坐标，再由则有：当时等式不成立；将写成关于的函数，即，再求函数的值域即是的取值范围为（或解）用表示，即，又因为，可解得的取值范围为.试题解析：（1），，,（2），若则有：当时等式不成立；解得：的取值范围为【考点】本题考查向量的坐标运算；向量共线的；利用三角函数的有界性求参数.4.函数y=++的值域是（）A．{1}B．{1，3}C．{-1}D．{-1，3}【答案】D【解析】由题意知角X的终边不在坐标轴上。

当X为第一象限角时，当X为第二象限角时，当X为第三象限角时，当X为第四象限角时。

所以或【考点】三角函数正负符号问题5.已知向量m＝(sinA，cosA)，n＝(，－1)，m·n＝1，且A为锐角．(1)求角A的大小；(2)求函数f(x)＝cos2x＋4cosAsinx(x∈R)的值域．【答案】(1)A＝.(2)函数f(x)的值域是.【解析】(1)由题意得m·n＝sinA－cosA＝1，2sin＝1，sin＝，由A为锐角得，A－＝，∴A＝.(2)由(1)知cosA＝，所以f(x)＝cos2x＋2sinx＝1－2sin2x＋2sinx＝－22＋.因为x∈R，所以sinx∈[－1,1]，因此，当sinx＝时，f(x)有最大值，当sinx＝－1时，f(x)有最小值－3，所以所求函数f(x)的值域是.【考点】平面向量的坐标运算，和差倍半的三角函数，三角函数的图象和性质，二次函数的图象和性质。

中考数学专题复习——锐角三角函数与圆的综合

中考数学专题复习——锐角三角函数与圆的综合

2023年中考数学专题——锐角三角函数与圆的综合一、综合题1．如图，△ABC内接于⊙O，直径DE⊥AB于点F，交BC于点 M，DE的延长线与AC的延长线交于点N，连接AM.（1）求证：AM=BM；（2）若AM⊥BM，DE=8，∠N=15°，求BC的长.2．如图，D、E是以AB为直径的⊙O上两点，且∠AED＝45°.（1）过点D作DC∥AB，求证：直线CD与⊙O相切；（2）若⊙O的半径为12，sin∠ADE＝34，求AE的长.3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，点A为BD的中点，切线AE交CB的延长线于点E。

（1）求证：AE∥BD。

（2）若⊙O的半径为2.5，CD=4，求AE的长。

4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作CE⊥AC交AD的延长线于点E，F 为CE的中点，连结DB，DF.（1）求∠CDE的度数.（2）求证：DF是⊙O的切线.（3）若tan∠ABD＝3时，求ACDE的值.5．如图，在⊙O中，C，D分别为半径OB，弦AB的中点，连接CD并延长，交过点A的切线于点E.（1）求证：AE⊥CE.（2）若AE＝2，sin∠ADE＝13，求⊙O半径的长.6．如图，以△ABC的边AB为直径的⊙O与边AC相交于点D，BC是⊙O的切线，E为BC的中点，连接BD、DE．（1）求DE是⊙O的切线；（2）设△CDE的面积为S1，四边形ABED的面积为S2，若S2＝5S1，求tan∠BAC的值；（3）在（2）的条件下，连接AE，若⊙O的半径为2，求AE的长．7．如图，O是ABC∆的外接圆，连接OC，过点A作AD OC交BC的延长线于点D，45ABC∠= .（1）求证：AD是O的切线；（2）若3sin5CAB∠=，O的半径为，求AB的长.8．如图，AB是⊙O的直径， BC交⊙O于点D，E是BD的中点，连接AE交BC于点F，∠ACB =2∠EAB.（1）判断直线AC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若3cos4C=，8AC=，求BF的长.9．如图，以AB为直径的⊙O交△ABC的边AC于D、BC于E，过D作⊙O的切线交BC于F，交BA延长线于G，且DF⊥BC.（1）求证：BA＝BC；（2）若AG＝2，cosB＝35，求DE的长.10．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于E，过点A作AF⊥AC于F交⊙O于D，连接DE，BE，BD（1）求证：∠C＝∠BED；（2）若AB＝12，tan∠BED＝34，求CF的长．11．如图，AB为O的直径，BC为O的切线，AD OC‖，交O于点D，E为弧AB的中点，连接DE，交AB于点F.（1）求证：CD为O的切线；（2）求证：22AD OC OA⋅=；（3）若3cos5A=，求tan E .12．如图，在△ABC中，AB=AC，以AC边为直径作 O交BC边于点D，过点D作DE⊥AB于点E，ED、AC的延长线交于点F.（1）求证：EF是 O的切线；（2）若EB=6，且sin∠CFD= 35，求 O的半径.13．如图，在Rt△ABC中，点在斜边AB上，以O为圆心，OB为半径作圆，分别与BC，AB相交于点D，E，连结AD。

圆与相似三角形、解直角三角形及二次函数的综合(共14张PPT)

圆与相似三角形、解直角三角形及二次函数的综合(共14张PPT)

4．(2015· 资阳)如图，在△ABC中，BC是以AB为直径的⊙O的切线，
且⊙O与AC相交于点D，E为BC的中点，连结DE.
(1)求证：DE是⊙O的切线； (2)连结AE，若∠C＝45°，求sin∠CAE的值．
解：(1)连结 OD，BD，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD.∵AB 是直径， ∴∠ADB＝90°，∴∠CDB＝90°.∵E 为 BC 的中点，∴DE＝BE，∴ ∠EDB＝∠EBD，∴∠ODB＋∠EDB＝∠OBD＋∠EBD，即∠EDO＝ ∠EBO.∵BC 是以 AB 为直径的⊙O 的切线，∴AB⊥BC，∴∠EBO＝ 90°，∴∠ODE＝90°，∴DE 是⊙O 的切线 (2)过点 E 作 EF⊥CD 于点 F，设 EF＝x，∵∠C＝45°，∴△CEF，△ABC 都是等腰直角三 角形， ∴CF＝EF＝x， ∴BE＝CE＝ 2x， ∴AB＝BC＝2 2x.在 Rt△ABE EF 10 中，AE＝ AB ＋BE ＝ 10x，∴sin∠CAE＝ ＝ AE 10
7．如图，抛物线y＝ax2＋bx－3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C， 经过A，B，C三点的圆的圆心M(1，m)恰好在此抛物线的对称轴上， ⊙M的半径为.设⊙M与y轴交于点D，抛物线的顶点为E. (1)求m的值及抛物线的解析式； (2)设∠DBC＝α，∠CBE＝β，求sin(α－β)的值； (3)探究坐标轴上是否存在点P，使得以P，A，C为顶点的三角形与 △BCE相似？若存在，请指出点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不 存在，请说明理由．
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为直径的⊙O与AB边 交于点D，过点D作⊙O的切线，交BC于点E. (1)求证：点E是边BC的中点； (2)求证：BC2＝BD· BA； (3)当以点O，D，E，C为顶点的四边形是正方形时，求证：△ABC是 等腰直角三角形．
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综合题
1．如图，PA 、PB 切⊙O 于A 、B 两点，CD 切⊙O 于点E ，交PA ，PB 于C 、D ，若⊙O 的半径为r ，△PCD 的周长等于3r ，则tan ∠APB 的值是（ ）
A
3．如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=5，AC=3，点E 在中线AD 上，以E 为圆心的⊙E 分别与AB 、BC 相切，则⊙E 的半径为（ ）．
A
．1 69cm ，射线PM 经过点O ，OP ＝15 cm
，射线PN 与⊙O 相切于点Q ．动点A 自P 的速度沿射线PM 方向运动，同时动点B 也自P 点以2cm/s 的速度沿射线
PN 方向运动，则它们从点P 出发 s 后AB 所在直线与⊙O 相切.
9．如图，在矩形ABCD 中，AB=20cm ，BC=4cm ，点p 从A 开始折线A ——B ——C ——D 以4cm/秒的 速度 移动，点Q 从C 开始沿CD 边以1cm/秒的速度移动，如果点P 、Q 分别从A 、C 同时出发，当其中一点到达D 时，另一点也随之停止运动，设运动的时间t
（秒）
B
（1）t为何值时，四边形APQD为矩形.
（2）如图（2），如果⊙P和⊙Q的半径都是2cm，那么t为何值时，⊙P和⊙Q外切？
12．如图（1）x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A
的坐标为（﹣2，0）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）①若点D是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D作DE⊥x轴于E，连接CD，以OE 为直径作⊙M，如图（2），试求当CD与⊙M相切时D点的坐标；
②点F是x轴上的动点，在抛物线上是否存在一点G，使A、C、G、F四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
13．如图，矩形ABCD的边AB=3cm，AD=4cm，点E从点A出发，沿射线AD移动，以CE为直径作圆O，点F为圆O与射线BD的公共点，连接EF、CF，过点E作EG⊥EF，EG与圆O相交于点G，连接CG．
（1）试说明四边形EFCG是矩形；
（2）当圆O与射线BD相切时，点E停止移动，在点E移动的过程中，
①矩形EFCG的面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出这个最大值或最小值；若不存在，说明理由；
②求点G移动路线的长．
16．在平面直角坐标系xOy中，的图像与x轴交于点A，B（点B在点A的左侧），与y轴交于点C，过动点H（0, m）作平行于x轴的直线，直线与二次函
D，E.
（1）写出点A,点B的坐标；
（2）若m>0，以DE为直径作⊙Q，当⊙Q与x轴相切时，求m的值；
（3）直线上是否存在一点F，使得△ACF是等腰直角三角形？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由.
25．在直角坐标系xOy中，已知点P是反比例函数y
x＞0）图象上一个动点，以P
为圆心的圆始终与y轴相切，设切点为A．
（1）如图1，⊙P运动到与x轴相切，设切点为K，试判断四边形OKPA的形状，并说明理由．
（2）如图2，⊙P运动到与x轴相交，设交点为B，C．当四边形ABCP是菱形时：
①求出点A，B，C的坐标．
②在过A，B，C三点的抛物线上是否存在点M，使△MBP的面积是菱形ABCP
在，试求出所有满足条件的M点的坐标；若不存在，试说明理由．
35．如图1,在平面直角坐标系中,有一矩形ABCD,其三个顶点的坐标分别为A（2,0）、B（8,0）、C（8,3）．将直线l:y＝－3x－3以每秒3个单位的速度向右运动,设运动时间为t秒．
（1）当t ＝_________时,直线l 经过点A ．（直接填写答案）
（2）设直线l 扫过矩形ABCD 的面积为S,试求S ＞0时S 与t 的函数关系式．
（3）在第一象限有一半径为3、且与两坐标轴恰好都相切的⊙M,在直线l 出发的同时,⊙M 以每秒2个单位的速度向右运动,如图2所示,则当t 为何值时,直线l 与⊙M 相切？
34．如图，在平面直角坐标系xOy 中，AB 在x 轴上，以AB 为直径的半⊙O’与y 轴正半轴交于点C ，连接BC ，AC ．CD 是半⊙O’的切线，AD ⊥CD 于点D ．
（1）求证：∠CAD =∠CAB ；
（2）已知抛物线2y ax bx c =++过A 、B 、C 三点，AB=10 ，tan ∠CAD=12
． ① 求抛物线的解析式；
② 判断抛物线的顶点E 是否在直线CD 上，并说明理由；
③ 在抛物线上是否存在一点P ，使四边形PBCA 是直角梯形．若存在，直接写出点P 的坐标(不写求解过程)；若不存在，请说明理由．
x y
O （备用图）。

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