1 函数、基本初等函数的图象和性质
(完整版)六大基本初等函数图像及其性质
六大基本初等函数图像及其性质一、常值函数（也称常数函数）y =C（其中C 为常数）；α1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当α>1时在原点处与x 轴相切。
且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y 轴对称；2）当α为负整数时。
函数的定义域为除去x=0的所有实数； 3）当α为正有理数nm时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n 为奇数时函数的定义域为（-∞,+∞），函数的图形均经过原点和（1 ,1）；4）如果m>n 图形于x 轴相切，如果m<n,图形于y 轴相切，且m 为偶数时，还跟y 轴对称；m ，n 均为奇数时，跟原点对称；5）当α为负有理数时，n 为偶数时，函数的定义域为大于零的一切实数；n 为奇数时，定义域为去除x=0以外的一切实数。
三、指数函数xa y =(x 是自变量,a 是常数且0>a ，1≠a )，定义域是R ；[无界函数]1.指数函数的图象：2.1）当1>a 时函数为单调增,当10<<a 时函数为单调减； 2）不论x 为何值,y 总是正的,图形在x 轴上方； 3）当0=x 时,1=y ,所以它的图形通过(0,1)点。
1(3.（选，补充）指数函数值的大小比较*N ∈a ；a.底数互为倒数的两个指数函数x a x f =)(，xa x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛=1)(的函数图像关于y 轴对称。
b.1.当1>a 时，a 值越大，xa y =的图像越靠近y 轴；b.2.当10<<a 时，a 值越大，x a y =的图像越远离y 轴。
4.指数的运算法则（公式）；a.整数指数幂的运算性质),,0(Q n m a ∈≥；(1) n m n m a a a +=⋅(2)nm n m aa a -=÷(3)()()mn nm n m aa a ==(4) ()nnnba ab =b.根式的性质； (1)()a a nn= ； (2)当n 为奇数时，a a nn =当n 为偶数时，⎩⎨⎧<-≥==)0(0)(a a a a a a nnc.分数指数幂；(1))1,,,0(*>∈>=n Z n m a a a n m nm(2))1,,,0(11*>∈>==-n Z n m a a aanmnm nm yxf x xxx g ⎪⎫⎛=1)(四、对数函数x y a log =(a 是常数且1,0≠>a a )，定义域),0(+∞∈x [无界]1.对数的概念：如果a(a ＞0，a ≠1)的b 次幂等于N ，就是 N a b=，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作b N a =log ,其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数，式子N a log 叫做对数式。
专题二 第1讲 函数、基本初等函数的图象与性质
函数，
所以由15<(15)b<(15)a<1 得 0<a<b<1，
所以0<
a b
<1.
所以y＝ax，y＝bx，y＝( a )x在(－∞，＋∞)上都是
b
递减函数，
从而ab<aa，( a)a<1得ba>aa， b
故ab<aa<ba，
答案选B.
答案 B
(2)已知函数 f(x)＝2x－21x，函数 g(x)＝ffx－，xx，≥x0<，0，
变式训练1
(1)(2013·重庆)已知函数f(x)＝ax3＋bsin x＋4(a，b∈R)，
f(lg(log210))＝5，则f(lg(lg 2))等于( C )
A.－5
B.－1 C.3 D.4
解析
lg(log210)＝lg
1 lg 2
＝－lg(lg
2)，
由f(lg(log210))＝5，
得a[lg(lg 2)]3＋bsin(lg(lg 2))＝4－5＝－1，
2
则实数a的取值范围是( )
A.(－1,0)∪(0,1) B.(－∞，－1)∪(1，＋∞) C.(－1,0)∪(1，＋∞) D.(－∞，－1)∪(0,1)
思维启迪 可利用函数图象或分
类讨论确定a的范围；
解析 方法一 由题意作出y＝f(x)的图象如图. 显然当a>1或－1<a<0时，满足f(a)>f(－a).故选C.
方法二 对a分类讨论：
当a>0时，log2a>log 1 a，即log2a>0，∴a>1. 2
当a<0时，log 1 (－a)>log2(－a)，即log2(－a)<0，
六大基本初等函数图像及其性质
，
的函数图像关于y轴对称。
时，a值越大，
的图像越靠近y轴；
时，a值越大，
的图像越远离y轴。
4.指数的运算法那么〔公式〕；
；
(1)
(2)
(3)
(4)
b.根式的性质；
(1) ； (2)当n为奇数时，
当n为偶数时，
c.分数指数幂；
(1)
(2)
四、对数函数 ( 是常数且 )，定义域 [无界]
六大根本初等函数图像及其性质
一、常值函数〔也称常数函数〕y =C〔其中C为常数〕；
常数函数〔 〕
y
y
O
O
平行于x轴的直线
y轴本身
定义域R
定义域R
二、 幂函数 ， 是自变量， 是常数；
：
2.幂函数的性质；
性质
函数
定义域
R
R
R
[0,+∞)
{x|x≠0}
值域
R
[0,+∞)
R
[0,+∞)
{y|y≠0}
奇偶性
3〕当α为正有理数 时，n为偶数时函数的定义域为〔0, +∞〕，n为奇数时函数的定义域为〔-∞,+∞〕，函数的图形均经过原点和〔1 ,1〕；
4〕如果m>n图形于x轴相切，如果m<n,图形于y轴相切，且m为偶数时，还跟y轴对称；m，n均为奇数时，跟原点对称；
5〕当α为负有理数时，n为偶数时，函数的定义域为大于零的一切实数；n为奇数时，定义域为去除x=0以外的一切实数。
1.对数的概念：如果a(a＞0，a≠1)的b次幂等于N，就是 ，那么数b叫做以a为底N的对数，记作 ,其中a叫做对数的底数，N叫做真数，式子 叫做对数式。
九种基本初等函数图像及性质
九种基本初等函数图像及性质基本初等函数包括一次函数、平方函数、立方函数、根号函数、指数函数、对数函数、正弦函数、余弦函数和正切函数等9种函数。
下面简单介绍它们的图像及性质。
一次函数的图像是一条直线，表达函数的形式为：y=ax+b(a≠0)，其中a表示斜率，b表示函数的截距，函数的性质是其增减性由斜率a决定。
平方函数的图像为一条凹凸不平的抛物线，表达函数的形式为：y=ax2+bx+c，其中a、b、c为实数，a≠0，此函数的性质是其单调性由a的正负决定，是增函数当a>0时，是减函数当a<0时。
立方函数的图像是一条弯曲的曲线，表达函数的形式为：y=ax3+bx2+cx+d，其中a、b、c、d为实数，a≠0，函数的性质是其单调性由a的正负决定，是增函数当a>0时，是减函数当a<0时。
根号函数的图像是一条弯曲的曲线，表达函数的形式为：y=a√x+b，其中a、b为实数，a>0，此函数的性质是常数变动，函数的解析式在a变动时它的单调性也由正负变化。
指数函数的图像是一条右倾的曲线，表达函数的形式为：y=axb，其中a、b为实数，a>0、b≠0，函数的性质是其单调性由a、b的正负决定，是增函数当a>0且b>0时，是减函数当a>0且b<0时。
对数函数的图像是一个右倾的曲线，表达函数的形式为：y=alogx + b，其中a、b为实数，a>0，此函数的性质是变数变动，函数的解析式在x变动时它的单调性也由正负变化。
正弦函数的图像是一个周期性的曲线，表达函数的形式为：y=Asin（ωx+φ），其中A、ω、φ为实数，A>0，此函数的性质是其单调性由A的正负决定，是增函数当A>0时，是减函数当A<0时。
余弦函数的图像同正弦函数，表达函数的形式为：y=Acos（ωx+φ），其中A、ω、φ为实数，A>0，此函数的性质同正弦函数一样。
正切函数的图像为一个弯曲的曲线，表达函数的形式为：y=tanx，其中x代表，函数的性质是函数的单调性变化于π/2，函数的解析式在x变动到π。
函数,基本初等函数I的图像与性质
奇偶性
对定义域内任意 ， 是偶函数 ， 是奇函数 。偶函数图象关于 轴对称、奇函数图象关于坐标原点对称。
周期性
对定义域内任意 ，存在非零常数 ，
基本初等函数Ⅰ
指数函数
单调递减， 时 ， 时
函数图象过定点
单调递增， 时 ， 时
对数函数
在 单调递减Leabharlann 时 ， 时函数图象过定点
在 单调递增， 时 ， 时
幂函数
在在 单调递增，图象过坐标原点
函数图象过定点
在在 单调递减
函数﹑基本初等函数I的图像与性质
函数概念及其表示
概念
本质：定义域内任何一个自变量对应唯一的函数值。两函数相等只要定义域和对应法则相同即可。
表示方法
解析式法、表格法、图象法。分段函数是一个函数，其定义域是各段定义域的并集、值域是各段值域的并集。
性质
单调性
对定义域内一个区间 ， ，
是增函数 ，
是减函数 。
必修一_函数、基本初等函数的图象与性质
高考· 二轮· 数学（文科）
b．y＝f(x－b)(b＞0)的图象可由y＝f(x)的图象向 ________． 对于左、右平移变换，往往容易出错，在实际判断中可熟 记口诀：左加右减． 而对于上、下平移，相比较则容易掌握，原则是：上加下 减，但要注意的是加、减指的是在f(x)整体上． ②对称变换(在f(－x)有意义的前提下) a．y＝f(－x)与y＝f(x)的图象________对称； b．y＝－f(x)与y＝f(x)的图象________对称； c．y＝－f(－x)与y＝f(x)的图象________对称； d．y＝|f(x)|的图象可将y＝f(x)的图象在x轴下方的部分 ________，其余部分不变； e．y＝f(|x|)的图象；可先作出y＝f(x)当x≥0时的图象， 再利用偶函数的图象关于y轴对称，作出________的图象．
高考· 二轮· 数学（文科）
2．函数的奇偶性 (1)定义：对于定义域内的任意x，有： ①f(－x)＝－f(x) f(x)为________； ②f(－x)＝f(x) f(x)为________． (2)性质 ①函数y＝f(x)是偶函数 y＝f(x)的图象关于________对 称．函数y＝f(x)是奇函数 y＝f(x)图象关于________对称． ②奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上的单调性 ________，且在x＝0处有定义时必有f(0)＝________，即f(x)的 图象过________． ③偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上的单调性 ________．
高考· 二轮· 数学（文科）
3．周期性 (1)定义 对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取 定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝________，那么就称函 数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． (2)性质：如果T是函数y＝f(x)的周期，则： ①kT(k≠0，k∈Z)也是y＝f(x)的周期； ②若已知区间[m，n](m＜n)上的图象，则可画出区间[m＋ kT，n＋kT](k∈Z且k≠0)上的图象． 答案：1.(1)①单调递增 ②单调递减 (2)①f(x)≤M x0∈I f(x0)＝M ②f(x)≥M x0∈I f(x0)＝M 2．(1)①奇函数 ②偶函数 (2)①y轴 0 原点 ③相反 3．(1)f(x)
六大基本初等函数图像及其性质
六大基本初等函数图像及其性质一、常值函数（也称常数函数） y =C （其中C 为常数）；常数函数（C y =）0≠C0=C平行于x 轴的直线y 轴本身 定义域R定义域R二、幂函数 αx y = ，x 是自变量，α是常数；1.幂函数的图像：2.幂函数的性质；性质函数x y =2xy =3x y =21xy =1-=x y定义域 R RR [0,+∞) {x|x ≠0} 值域 R [0,+∞) R [0,+∞) {y|y ≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增[0,+∞) 增 增 增(0,+∞) 减 (-∞,0] 减(-∞,0) 减公共点（1,1）1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当α>1时xyOxy =2x y =3x y =1-=x y 21xy =O=y xCy =Oxyy在原点处与x 轴相切。
且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y 轴对称；2）当α为负整数时。
函数的定义域为除去x=0的所有实数； 3）当α为正有理数nm时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n 为奇数时函数的定义域为（-∞,+∞），函数的图形均经过原点和（1 ,1）；4）如果m>n 图形于x 轴相切，如果m<n,图形于y 轴相切，且m 为偶数时，还跟y 轴对称；m ，n 均为奇数时，跟原点对称；5）当α为负有理数时，n 为偶数时，函数的定义域为大于零的一切实数；n 为奇数时，定义域为去除x=0以外的一切实数。
三、指数函数xa y =(x 是自变量,a 是常数且0>a ，1≠a )，定义域是R ；[无界函数]1.指数函数的图象：2.指数函数的性质；性质函数x a y =)1(>ax a y =)10(<<a定义域 R 值域(0，+∞) 奇偶性 非奇非偶公共点过点(0，1)，即0=x 时，1=y单调性在），（∞+∞-是增函数 在），（∞+∞-是减函数 1）当1>a 时函数为单调增,当10<<a 时函数为单调减； 2）不论x 为何值,y 总是正的,图形在x 轴上方； 3）当0=x 时,1=y ,所以它的图形通过(0,1)点。
(完整版)六大基本初等函数图像与性质
六大基本初等函数图像及其性质一、常值函数（也称常数函数） y =C（其中C 为常数）；α1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当α>1时在原点处与x 轴相切。
且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y 轴对称；2）当α为负整数时。
函数的定义域为除去x=0的所有实数； 3）当α为正有理数nm时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n 为奇数时函数的定义域为（-∞,+∞），函数的图形均经过原点和（1 ,1）；4）如果m>n 图形于x 轴相切，如果m<n,图形于y 轴相切，且m 为偶数时，还跟y 轴对称；m ，n 均为奇数时，跟原点对称；5）当α为负有理数时，n 为偶数时，函数的定义域为大于零的一切实数；n 为奇数时，定义域为去除x=0以外的一切实数。
三、指数函数xa y =(x 是自变量,a 是常数且0>a ，1≠a )，定义域是R ；[无界函数]1.指数函数的图象：2.1）当1>a 时函数为单调增,当10<<a 时函数为单调减； 2）不论x 为何值,y 总是正的,图形在x 轴上方； 3）当0=x 时,1=y ,所以它的图形通过(0,1)点。
1(3.（选，补充）指数函数值的大小比较*N ∈a ；a.底数互为倒数的两个指数函数x a x f =)(，xa x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛=1)(的函数图像关于y 轴对称。
b.1.当1>a 时，a 值越大，xa y =的图像越靠近y 轴；b.2.当10<<a 时，a 值越大，x a y =的图像越远离y 轴。
4.指数的运算法则（公式）；a.整数指数幂的运算性质),,0(Q n m a ∈≥；(1) n m n m a a a +=⋅(2)nm n m aa a -=÷(3)()()mn nm n m aa a ==(4) ()nnnba ab =b.根式的性质； (1)()a a nn= ； (2)当n 为奇数时，a a nn =当n 为偶数时，⎩⎨⎧<-≥==)0(0)(a a a a a a nnc.分数指数幂；(1))1,,,0(*>∈>=n Z n m a a a n m nm(2))1,,,0(11*>∈>==-n Z n m a a aanmnm nm yxf x xxx g ⎪⎫⎛=1)(四、对数函数x y a log =(a 是常数且1,0≠>a a )，定义域),0(+∞∈x [无界]1.对数的概念：如果a(a ＞0，a ≠1)的b 次幂等于N ，就是 N a b=，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作b N a =log ,其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数，式子N a log 叫做对数式。
六大基本初等函数图像及性质
六大基本初等函数图像及其性质一、常值函数（也称常数函数） y =C （其中C 为常数）；常数函数（C y =）0≠C0=C平行于x 轴的直线y 轴本身 定义域R定义域R二、幂函数 αx y = ，x 是自变量，α是常数；1.幂函数的图像：2.幂函数的性质；性质函数x y =2x y =3x y =21xy =1-=x y定义域 R R R [0,+∞) {x|x ≠0} 值域 R [0,+∞) R [0,+∞) {y|y ≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增[0,+∞) 增 增 增(0,+∞) 减 (-∞,0] 减(-∞,0) 减公共点（1,1）xyOxy =2x y =3x y =1-=xy 21xy =O=y xCy =Oxyy1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当α>1时在原点处与x 轴相切。
且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y 轴对称；2）当α为负整数时。
函数的定义域为除去x=0的所有实数； 3）当α为正有理数nm时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n 为奇数时函数的定义域为（-∞,+∞），函数的图形均经过原点和（1 ,1）；4）如果m>n 图形于x 轴相切，如果m<n,图形于y 轴相切，且m 为偶数时，还跟y 轴对称；m ，n 均为奇数时，跟原点对称；5）当α为负有理数时，n 为偶数时，函数的定义域为大于零的一切实数；n 为奇数时，定义域为去除x=0以外的一切实数。
三、指数函数xa y =(x 是自变量,a 是常数且0>a ，1≠a )，定义域是R ；[无界函数]1.指数函数的图象：2.指数函数的性质；性质函数x a y =)1(>ax a y =)10(<<a定义域 R 值域(0，+∞) 奇偶性 非奇非偶公共点过点(0，1)，即0=x 时，1=y单调性在），（∞+∞-是增函数 在），（∞+∞-是减函数 1）当1>a 时函数为单调增,当10<<a 时函数为单调减； 2）不论x 为何值,y 总是正的,图形在x 轴上方； 3）当0=x 时,1=y ,所以它的图形通过(0,1)点。
五大基本初等函数性质及其图像
五、基本初等函数及其性质和图形1.幂函数函数称为幂函数。
如，，，都是幂函数。
没有统一的定义域，定义域由值确定。
如,。
但在内总是有定义的，且都经过（1,1）点。
当时，函数在上是单调增加的，当时，函数在内是单调减少的。
下面给出几个常用的幂函数：的图形，如图1-1-2、图1-1-3。
图1-1-2图1-1-32.指数函数函数称为指数函数，定义域，值域；当时函数为单调增加的；当时为单调减少的，曲线过点。
高等数学中常用的指数函数是时，即。
以与为例绘出图形，如图1-1-4。
图1-1-43.对数函数函数称为对数函数，其定义域，值域。
当时单调增加，当时单调减少，曲线过（1，0）点，都在右半平面内。
与互为反函数。
当时的对数函数称为自然对数，当时，称为常用对数。
以为例绘出图形，如图1-1-5。
图1-1-54.三角函数有，它们都是周期函数。
对三角函数作简要的叙述：（１）正弦函数与余弦函数：与定义域都是，值域都是。
它们都是有界函数，周期都是，为奇函数，为偶函数。
图形为图1-1-6、图1-1-7。
图1-1-6 正弦函数图形图1-1-7 余弦函数图形（２）正切函数，定义域，值域为。
周期，在其定义域内单调增加的奇函数，图形为图1-1-8图1-1-8（３）余切函数，定义域，值域为，周期。
在定义域内是单调减少的奇函数，图形如图1-1-9。
图1-1-9（４）正割函数，定义域，值域为，为无界函数，周期的偶函数，图形如图1-1-10。
图1-1-10（５）余割函数，定义域，值域为，为无界函数，周期在定义域为奇函数，图形如图1-1-11。
图1-1-115.反三角函数反正弦函数，定义域，值域，为有界函数，在其定义域内是单调增加的奇函数，图形如图1-1-12；图1-1-12，为有界函数，在其定义域内为单调减少的非奇非偶函数，图形如图1-1-13；图1-1-13反正切函数，定义域，值域为，为有界函数，在定义域内是单调增加的奇函数，图形如图1-1-14；图1-1-14为有界函数，在其定义域内单调减少的非奇非偶函数。
六大基本初等函数图像及其性质
六大基本初等函数图像及其性质一、常值函数（也称常数函数） y =C （其中C 为常数）；二、幂函数 αy =1.幂函数的图像：3y2.幂函数的性质；1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当α>1时在原点处与x 轴相切。
且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y 轴对称；2）当α为负整数时。
函数的定义域为除去x=0的所有实数； 3）当α为正有理数nm时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n 为奇数时函数的定义域为（-∞,+∞），函数的图形均经过原点和（1 ,1）；4）如果m>n 图形于x 轴相切，如果m<n,图形于y 轴相切，且m 为偶数时，还跟y 轴对称；m ，n 均为奇数时，跟原点对称；5）当α为负有理数时，n 为偶数时，函数的定义域为大于零的一切实数；n 为奇数时，定义域为去除x=0以外的一切实数。
三、指数函数xa y =(x 是自变量,a 是常数且0>a ，1≠a )，定义域是R ；[无界函数]1.指数函数的图象：2.指数函数的性质；1）当1>a 时函数为单调增,当10<<a 时函数为单调减； 2）不论x 为何值,y 总是正的,图形在x 轴上方； 3）当0=x 时,1=y ,所以它的图形通过(0,1)点。
3.（选，补充）指数函数值的大小比较*N ∈a ；a.底数互为倒数的两个指数函数yxx a x f =)(，xa x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛=1)(的函数图像关于y 轴对称。
b.1.当1>a 时，a 值越大，x a y =的图像越靠近y 轴；b.2.当10<<a 时，a 值越大，xay =的图像越远离y 轴。
4.指数的运算法则（公式）；a.整数指数幂的运算性质),,0(Q n m a ∈≥；(1) nm n m a a a +=⋅ (2) n m n m a a a -=÷(3)()()mn nmnm aaa ==(4)()n n n b a ab =b.根式的性质；f xxxx g ⎪⎫ ⎛=1)(四、对数函数x y a log =(a 是常数且1,0≠>a a )，定义域),0(+∞∈x [无界]1.对数的概念：如果a(a ＞0，a ≠1)的b 次幂等于N ，就是 N a b=，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作b N a =log ,其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数，式子N a log 叫做对数式。
六大基本初等函数图像与性质
WORD 格式整理版六大基本初等函数图像及其性质一、常值函数（也称常数函数）y =C （其中 C 为常数）；常数函数（ y C ）C 0yy Cy 0xO平行于 x 轴的直线定义域 R二、幂函数 y x ，x是自变量，是常数；y 11. 幂函数的图像：y x2y x2y x1O2.幂函数的性质；性质y x y x2y x3函数定义域R R R值域R[0,+ ∞ )R奇偶性奇偶奇单调性增[0,+ ∞) 增增(-∞ ,0]减公共点（ 1,1）C 0yOy轴本身定义域 Ry xy x3x1y x2[0,+ ∞ )[0,+ ∞ )非奇非偶增xy x 1{x|x ≠ 0}{y|y ≠ 0}奇(0,+∞) 减(-∞ ,0) 减WORD 格式整理版1）当 α 为正整数时，函数的定义域为区间为x ( ,)，他们的图形都经过原点，并当α >1 时在原点处与 x 轴相切。
且 α为奇数时，图形关于原点对称；α 为偶数时图形关于 y 轴对称；2）当 α 为负整数时。
函数的定义域为除去 x=0 的所有实数；3）当 α 为正有理数m时， n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞）， n 为奇数时函数的定义域为（ -n∞ ,+∞），函数的图形均经过原点和（ 1 ,1）；4）如果 m>n 图形于 x 轴相切，如果m<n,图形于 y 轴相切，且 m 为偶数时，还跟y 轴对称； m ， n均为奇数时，跟原点对称；5）当 α 为负有理数时， n 为偶数时，函数的定义域为大于零的一切实数；n 为奇数时，定义域为去除 x=0 以外的一切实数。
三、指数函数 ya x ( x 是自变量 , a 是常数且 a0 ， a 1) ，定义域是 R ；[ 无界函数 ]1. 指数函数的图象 ：ya xyyya x(a 1)(0 a1)(0,1)y 1(0,1)y 1OxOx2. 指数函数的性质 ；性质y a x(a 1)y a x(0 a 1)函数定义域 R值域(0，+∞)奇偶性非奇非偶公共点过点 (0，1)，即 x0 时， y 1单调性 在（ ，）是增函数在（， ）是减函数1 ） 当 a 1时 函 数 为 单 调 增 , 当 0 a 1时函数为单调减；2 ） 不 论 x 为 何 值 , y 总 是 正 的 , 图 形 在 x 轴 上 方 ；3 ） 当 x0 时 , y1,所以它的图形通过(0,1) 点。
六大基本初等函数图像及其性质
六大基本初等函数图像及其性质一、常值函数（也称常数函数）y =C（其中C 为常数）；α1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当α>1时在原点处与x 轴相切。
且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y 轴对称；2）当α为负整数时。
函数的定义域为除去x=0的所有实数； 3）当α为正有理数nm时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n 为奇数时函数的定义域为（-∞,+∞），函数的图形均经过原点和（1 ,1）；4）如果m>n 图形于x 轴相切，如果m<n,图形于y 轴相切，且m 为偶数时，还跟y 轴对称；m ，n 均为奇数时，跟原点对称；5）当α为负有理数时，n 为偶数时，函数的定义域为大于零的一切实数；n 为奇数时，定义域为去除x=0以外的一切实数。
三、指数函数xa y =(x 是自变量,a 是常数且0>a ，1≠a )，定义域是R ；[无界函数]1.指数函数的图象：2.1）当1>a 时函数为单调增,当10<<a 时函数为单调减； 2）不论x 为何值,y 总是正的,图形在x 轴上方； 3）当0=x 时,1=y ,所以它的图形通过(0,1)点。
1(3.（选，补充）指数函数值的大小比较*N ∈a ；a.底数互为倒数的两个指数函数x a x f =)(，xa x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛=1)(的函数图像关于y 轴对称。
b.1.当1>a 时，a 值越大，xa y =的图像越靠近y 轴；b.2.当10<<a 时，a 值越大，x a y =的图像越远离y 轴。
4.指数的运算法则（公式）；a.整数指数幂的运算性质),,0(Q n m a ∈≥；(1) n m n m a a a +=⋅(2)nm n m aa a -=÷(3)()()mn nm n m aa a ==(4) ()nnnba ab =b.根式的性质； (1)()a a nn= ； (2)当n 为奇数时，a a nn =当n 为偶数时，⎩⎨⎧<-≥==)0(0)(a a a a a a nnc.分数指数幂；(1))1,,,0(*>∈>=n Z n m a a a n m nm(2))1,,,0(11*>∈>==-n Z n m a a aanmnm nm yxf x xxx g ⎪⎫⎛=1)(四、对数函数x y a log =(a 是常数且1,0≠>a a )，定义域),0(+∞∈x [无界]1.对数的概念：如果a(a ＞0，a ≠1)的b 次幂等于N ，就是 N a b=，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作b N a =log ,其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数，式子N a log 叫做对数式。
函数、基本初等函数的图象与性质
()
A．－1
B．1
C．－2
D．2
解析：∵f(x＋5)＝f(x)且 f(－x)＝－f(x)，
∴f(3)＝f(3－5)＝f(－2)＝－f(2)＝－2，
f(4)＝f(－1)＝－f(1)＝－1，
故 f(3)－f(4)＝(－2)－(－1)＝－1.
答案：A
题型三 函数的图象及应用
【例 3】 设函数 f(x)＝2x2＋xb>x＋0，c x≤0， 若 f(－4)＝ f(0)，f(－2)＝－2，求关于 x 的方程 f(x)＝x 的解的个数． 解：方法一：由 f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，
∵f(a)＝f(b)＝f(c)，
由图象可知 0<a<1,1<b<10,10<c<12.
∵f(a)＝f(b)，∴|lg a|＝|lg b|，
∴lg a＝－lg b，即 lg a＝lg1b⇒a＝1b，
∴ab＝1,10<abc＝c<12，故选 C.
答案：C
题型二 函数的性质及应用
【例 2】 (2010·南京市高三调研阅试)设 f(x)是定义在 R 上的奇函数， 且满足 f(x＋2)＝－f(x)，又当 0≤x≤1 时，f(x)＝12x，则{x|f(x)＝ －12}＝________. 解析：由已知条件，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，则 f(x)是以 4 为周期 的周期函数． 当－1≤x≤0 时，0≤－x≤1，f(x)＝－f(－x)＝12x， 当 1≤x <3 时，－1≤x－2<1，f(x)＝－f(x－2)＝－12(x－2)．
论
并且有 f (a) f (b) 0，那么，函数 y f (x)在区间a,b内有零点，
即存在c a,b ，使得 f (c) 0，这个c 也就是方程 f (x) 0的根。
6类基本初等函数的图形及性质(考研数学基础) 完美版
基本初等函数及图形(1) 常值函数(也称常数函数) y =c(其中c 为常数)(2) 幂函数,就是常数;(3) 指数函数 (就是常数且),;(4) 对数函数(就是常数且),;(5) 三角函数正弦函数,,, 1、当u为正整数时,函数得定义域为区间,她们得图形都经过原点,并当u>1时在原点处与X 轴相切。
且u为奇数时,图形关于原点对称;u为偶数时图形关于Y轴对称;2、当u为负整数时。
函数得定义域为除去x=0得所有实数。
3、当u为正有理数m/n时,n为偶数时函数得定义域为(0, +),n为奇数时函数得定义域为(-+)。
函数得图形均经过原点与(1 ,1)、如果m>n图形于x轴相切,如果m<n,图形于y轴相切,且m为偶数时,还跟y轴对称;m,n均为奇数时,跟原点对称4、当u为负有理数时,n为偶数时,函数得定义域为大于零得一切实数;n为奇数时,定义域为去除x=0以外得一切实数、1、当a>1时函数为单调增,当a<1时函数为单调减、2、不论x为何值,y总就是正得,图形在x轴上方、3、当x=0时,y=1,所以她得图形通过(0,1)点、1.她得图形为于y轴得右方、并通过点(1,0)2.当a>1时在区间(0,1),y得值为负、图形位于x得下方,在区间(1, +),y值为正,图形位于x轴上方、在定义域就是单调增函数、a<1在实用中很少用到/余弦函数,,,正切函数,,,,余切函数,,,;(6)反三角函数反正弦函数,,,反余弦函数,,,反正切函数,,,反余切函数,,.小结:函数名称函数得记号函数得图形函数得性质指数函数a):不论x为何值,y总为正数;b):当x=0时,y=1、对数函数a):其图形总位于y轴右侧,并过(1,0)点b):当a＞1时,在区间(0,1)得值为负;在区间(1,+∞)得值为正;在定义域内单调增、幂函数(a为任意实数) 这里只画出部分函数图形得一部分。
令a=m/na):当m为偶数n为奇数时,y就是偶函数;b):当m,n都就是奇数时,y就是奇函数;c):当m奇n偶时,y在(-∞,0)无意义、三角函数(正弦函数)这里只写出了正弦函数a):正弦函数就是以2π为周期得周期函数b):正弦函数就是奇函数且。
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1．函数f (x )＝11－x
＋lg(1＋x )的定义域是 ( )． A ．(－∞，1)
B ．(1，＋∞)
C ．(－1,1)∪(1，＋∞)
D ．(－∞，＋∞) 2．如果x ＜y ＜0，那么( )．
A ．y ＜x ＜1
B ．x ＜y ＜1
C ．1＜x ＜y
D ．1＜y ＜x 3．下列四个函数中，是奇函数且在区间(－1,0)上为减函数的是( )．
A ．y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12|x | B ．y ＝x －42－x C ．y ＝log 2|x |
D ．y ＝ 4．已知函数f (x )＝e x －1，g (x )＝－x 2＋4x －3.若有f (a )＝g (b )，则b 的取值范围为( )．
A ．[2－2，2＋2]
B ．(2－2，2＋2)
C ．[1,3]
D D ．(1,3)
5．已知函数y ＝f (x )的周期为2，当x ∈[－1,1]时f (x )＝x 2，那么函数y ＝f (x )的图象与函
数y ＝|lg x |的图象的交点共有( )．
A ．10个
B ．9个
C ．8个
D ．1个
6．设函数f (x )＝x 3
cos x ＋1，若f (a )＝11，则f (－a )＝______.
7．f (x )为定义在R 上的以3为周期的奇函数，若f (1)＞0，f (2)＝(a ＋1)(2a －3)，则a 的取值范围是________．
8．(2012·西南大学附属中学第二次月考)函数y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x －2)＝－f (x )对一切x ∈R 都成立，又当x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 3，则下列四个命题： ①函数y ＝f (x )是以4为周期的周期函数；
②当x ∈[1,3]时，f (x )＝(2－x )3；
③函数y ＝f (x )的图象关于x ＝1对称；
④函数y ＝f (x )的图象关于点(2,0)对称．
其中正确命题的序号是________．
9．(11分)已知a ∈R 且a ≠1，求函数f (x )＝
ax ＋1x ＋1在[1,4]上的最值．
10．(12分)(2012·洛阳模拟)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ＞0)，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ f x ，x ＞0，－f x ，x ＜0.若f (－1)＝0，且对任意实数x 均有f (x )≥0成立．
(1)求F (x )的表达式；
(2)当x ∈[－2,2]时，g (x )＝f (x )－kx 是单调函数，求k 的取值范围．
11．(12分)(2012·镇江模拟)已知f (x )是定义在区间[－1,1]上的奇函数，且f (1)＝1，若
m ，n ∈[－1,1]，m ＋n ≠0时，有f m ＋f n m ＋n
＞0. (1)解不等式f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋12＜f (1－x )； (2)若f (x )≤t 2－2at ＋1对所有x ∈[－1,1]，a ∈[－1,1]恒成立，求实数t 的取值范围．。