浙大城院数学建模8

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小学算术老师让孩子们背加法口诀表、乘法口 诀表，为什么不教他们一个手指头加两个手指头等 于三个手指头这样的算术呢。因为1+2=3讲的是一 种共性，一个指头加两个指头是3个指头固然不错， 可1个苹果加两个苹果不也是3个苹果、一匹马加 两匹马不也是3匹马吗？当你真正理解了什么是 1+2=3时，你能处理的是一般性的问题，而不只是 几个手指头的加减。当然，为了掌握这些普遍的规 律，你得先付出一定的代价，例如，你得先理解一 个抽象的概念“1”，它既不是一个指头，也不是 一个苹果，它代表的是物品的一个单位。
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自从欧儿里得依据公理系统及严格的逻辑推理建 立起他的几何学以来，数学的严格性、精确性至少 已经经历了两千多年的考验，数学以公理化为标志 所达到的高度是其他任何学科都不可比拟的。
§ 8.1
逻辑与数学
数学研究的是现实世界里数量关系中存在的共 性，这些共性的发现自然起源于一个个的实例，但 数学所涵盖的知识是前人从这些实例中总结、抽象 出来的普遍规律，而不是这些实例本身。
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p 2 ，故又可得出 q
2 2 因而又可得 2 p1 q
p 2 2q 2
p1
,使得 p 2 p1
由于2是素数，2必整除p，即存在
同样因为2是素数，此式又说明2整除q，从而导 出p与q有公因子2的矛盾。正方形的对角线不可能 没有长度，上面的证明又说明没有一个当时知道的 数是该正方形的长度。毕达哥拉斯无法回答这一问 题，为了维护学术理论的权威性，毕达哥拉斯竟指 挥其学生们将希帕斯扔进了爱琴海，制造了数学史 上的一起特大冤案。
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多年之久，以至于被人们误认为是数学的一大 危机（数学史上称之为第一次数学危机。其实， 所谓的数学危机只是原有的数学所表现出来的 一些缺陷，而每次“数学危机”的解决都会带 来数学上的重大突破）。今天，大家都知道
2 究竟是什么？这一问题困扰了人们长达1800
2 1.4142135623 7309504880 1688724097 .......
x
=

x

nx
n 1
n(n 1) n 2 x x ... x 2

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n 1
n 1 nx =
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上述写法虽然很简单，既运算方便又能解决 实际问题（求导运算简便），理所当然地受到了 数学界与物理学界的欢迎，但应当指出的是这种 写法在逻辑上是不够严密的，有悖于数学的严密 性，并引发了所谓第二次数学危机。不难看出， 在前几个式子中，我们认为 x 是不等于0的 （否则怎么可以做除数），但要得出最后一式， 我们又认为 x 是等于0的，这不是自相矛盾吗？ 大主教、哲学家贝克莱曾讥讽地称这个一会儿不 等于0一会儿又等于0的东西为“鬼魂”，数学史 上则称此矛盾为“贝克莱悖论”。
例8.4（在实数集中到底是有理数多还是无理数多）
人们在接受无理数并搞清了实数集的完备性（即 实数集中只有有理数与无理数）后，自然会想：究 竟是有理数多还是无理数多？让我们再一次运用逻 辑推理的方法来简要地讨论一下这一问题。
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为了简单起见，我们仅比较[0,1]区间中的有理数 和无理数。 不难看出，[0,1]区间中有无穷多个有理数， 也有无穷多个无理数，也就是说，[0,1]区间内的 有理数全体和无理数全体是两个无限集（即包含 有无穷多个元素的集合）。两个无限集合是否能 比较大小（即包含元素的多少）呢？没有学过高 等数学的人会认为无限集有无穷多个元素，怎么 进行比较，或者认为无限集中有数不完个数的元 素，因而，无限集有同样多的元素。然而，一个 训练有素的人却不会这样想，他们不会仅凭感觉 做出判断，而会以逻辑推理为工具，去推导出这 一问题的答案。
dy y lim dx x 0 x
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然而，牛顿在创建微积分时使用的却是所谓“流数”
x

（相当于 x ）。例如，利用流数法求 x n
的导数时是这样进行的：
2 n n ( n 1 ) n 1 n2 nx x x x ... x ( x x) n x n 2
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显然，我们不能再靠数元素个数的方法来比较集 合的大小了（有限集比较大小是这样进行的）， 因为无限集中有数不完的元素。那么，怎样比较 集合的大小呢？看来只好采用1-1对应的办法。如 果两个集合中的元素可以1个对1个地对应起来， 我们就应当认为这两个集合中的元素是一样多的。 但假如我们这样来看问题，那么，整体大于部分 就不一定成立了（只学过初等数学的人常常以为 这总是对的），例如，自然数全体和偶数全体应 当看成有同样多的元素个数，尽管自然数集合中 还有大量的奇数。为什么呢？因为只要你让
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S S (t t ) S (t ) t t
只是 t t t 时间段内的平均速度，不论 t 是多么地小，它都不是t时刻的即时速度。 S 但随着 t 0 将趋于t时刻的即时速度， t 这意味着即时速度应当用极限来定义。 在今日的微积分教材里是这样来定义导数的：
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（例如，你要背出求导公式和求导的运算法则 等），也要懂得如何运用逻辑推理去得出新的结 果（即定理），包括记住这些定理本身。懂得了 这一点，你也就大致知道了学习数学和开展数学 研究的基本方法。 例8.1（无理数的发现）
人们曾经在长达近2000年的时间里无法理解 无理数，并因此而引发出所谓的第一次数学危机。
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数学是严格的科学，其严格性有时甚至达到了近 乎苛刻的地步。有些人可能会认为没有必要这样做， 从而对某些严格的证明产生厌倦情绪，殊不知，数 学之美，就在于其简洁性与严格性。前面已经讲过， 数学不相信猜测，只相信经过严格证明过的东西。 从这一意义上讲，数学中每一新成果的诞生都是人 们以逻辑为武器所取得的胜利 例8.2（导数是什么） 求导运算是微积分中的一种重要运算（就像初等数 学中的加减乘除一样重要），以求即时速度为例
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古希腊在公元前五世纪时是世界上数学最先进 的地区之一，当时，统治古希腊政治、科学、宗教 的是一个被称为“友谊联盟”的集团，该集团的领 袖人物是赫赫有名的大数学家毕达哥拉斯（注：中 学数学中有被称为毕达哥拉斯定理的勾股弦定理， 三角形三内角之和等于180度也是毕达哥拉斯最先证 明的，他还最先提出黄金分割等，对古代数学的发 展作出过卓越的贡献）。
它是一个无限不循环小数，不论写到哪一位，得 到的都不是 2
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产生所谓数学危机的根本原因是由于人们对数 的认识（即什么是数的定义）太狭隘了，不承认无 理数我们连开方运算也无法实现。可承认无理数又 必须具有极限概念。
2 是1.4，1.41，1.414，……，
这样一个无穷有理数列的极限，没有极限 概念就无法理解无理数。在很长的一段时期里， 人们无法理解无理数，故而把它们称为“无理 数”，所以，可以这么说，无理数是逻辑推理 生出来的一个“怪蛋”。无理数的引入（随之 而来的是极限概念的引入），引起了数学本身 突飞猛进的发展。
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牛顿的流数法虽然看起来已引起了悖论，但由于 它在解决实际问题时十分有效，在长达两个世纪 的时间段里，仍一直被人们广泛地应用于各个领 域。直到19世纪，康托、柯西等人建立了严格的 极限理论，才最终解决了这一问题。原来，我们 要求的是变化的趋势（即极限）， x 并不等于0， 趋向于 x x 0 但 0，而导数则是在 y 时变量 的变化趋势。 x
极限和导数概念的出现为高等数学的产生和 发展奠定了基础，引领人们走进了一个全新的数 学境地。
M域概念的产生） 牛顿、莱布尼兹虽然建立了微积分，但当时的微 积分还包含着另一个严重的问题。极限的引入使 人们认识了无理数，从而产生了实数的概念。
可是实数列的极限是否必定也是实数呢，会不 会产生像有理数那样的情况（例如 2 却不是
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第八章 逻辑模型 § 8.1 逻辑与数学 §8.2 对数字的某些研究 §8.3 几个数学游戏 §8.4 平面地图染色的四色问题 § 8.5 公平选举是可能的吗? §8.6 信息量应当如何度量
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敏锐的观察能力与严密的逻辑推理能力是科学研 究必须具备的两项基本素质。爱因斯坦说过：“真 正宝贵的因素是直觉。”大数学家庞加莱则认为， 面对大千世界的复杂事实，研究者要做的事情首先 是从所要研究的事实中作一选择。在他看来，作为 这种选择的能力是由研究者的直觉能力决定的。 直觉是极其宝贵的，可仅凭直觉并不能令人信服。 再伟大的科学家也会犯错误，包括犯直觉上的错误。 直觉是数学发明的工具，而逻辑则是证明直觉的工 具，直觉只有在经过逻辑上完全严禁的证明才会被 人们普遍地接受。
有理数）。 2 不是可以写成有理数列的极限 吗，但这一问题直到20世纪初才被解决，人们证 明了实数的完备性，即任意实数列的极限必定仍 是实数，这才使我们完全放下心来，微积分才真 正成为了一门严格的数学学科。
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全体实数组成的集和不同于全体有理数组成的 集合，在全体实数组成的集合中，你除了可以放 心地进行加减乘除以外、也可以大胆地乘方、开 方，不必担心运算的结果是否会出界。具有这种 性质的数集被称为“数域”，故全体实数组成的 集合被人们称为实数域。实数域的完备性则进一 步说明在实数域中你甚至还可以大胆地进行极限 运算，不必担心计算结果是否会出界。
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古希腊数学家认为，最基本的数是整数，分数 不过是两个整数的商（即当时的人们只承认有理 数）。可是这种对数的认识却导出了重大的矛盾。 据说毕达哥拉斯有一个叫希帕斯的学生，他在公元 前470年左右时向老师提了一个问题：边长为1的正 方形的对角线的长度是多少？ 我们都知道，该正方形的边长为 2 ，可是， 在当时 2 并不是一个数。因为如果 2 是“数” (即今天我么说的有理数)，则应存在两个互素的 正整数p和q，使得