九年级数学下册2.3确定二次函数的表达式知识解读素材新版北师大版2
2.3 确定二次函数的表达式 第2课时(教案)-北师大版数九年级下册
第2课时由三点确定二次函数的表达式1.经历确定二次函数表达式y=ax2+bx+c的过程,体会求二次函数表达式的思想方法.2.利用二次函数图象上的三个点的坐标,运用待定系数法确定二次函数表达式.1.经历确定二次函数表达式的过程,体会求二次函数表达式的方法,培养数学应用意识.2.在学习过程中体会学以致用,提高运用所学知识解决实际问题的能力.1.逐步培养学生观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力.2.引导学生探索、发现,以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯.【重点】利用二次函数图象上的三个点的坐标确定二次函数表达式.【难点】运用待定系数法,采用多种方法确定二次函数表达式.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】复习待定系数法和三元一次方程组的解法.导入一:思考下面的问题:已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过(0,0),(1,2),(-1,-4)三点,那么你能利用上节课所学的知识求这个二次函数的表达式吗?【学生活动】分析题目中的已知条件,回忆利用待定系数法列二元一次方程组来求二次函数表达式的方法后,互相交流,得出无法解决的结论.[设计意图]通过问题的出示,让学生认识到运用原有的知识无法解决该问题,引起了学生的好奇心,激发了学生探究新知的欲望.导入二:某公园要建造一个圆形的喷水池,在水池中央垂直于水面竖一根柱子,上面的B处安装一个喷头向外喷水,该喷泉喷出的最远距离,即地面点A距离点B所在的柱子的距离(OA的长度)是3m,李冰同学建立了如图所示的直角坐标系,得到该抛物线还经过(2,1),两点,你能根据李冰同学给出的数据求出此抛物线的表达式吗?师要求学生仔细观察,思考下面的问题:1.题目中给出了几个点的坐标?2.你能运用上节课的知识求该抛物线的表达式吗?3.应该把二次函数表达式设成什么形式?顶点式还是一般式?[设计意图]通过对喷泉这一情境的探究,使学生不但明确了本节课所要探究的知识,同时更加明确了与上节课知识的联系与区别,可谓一举两得.【引例】已知一个二次函数的图象经过(1,-1),(2,-4)和(0,4)三点,求这个二次函数的表达式.【学生活动】回忆上节课的做法,由学生独立解答,代表展示解题过程.解:∵抛物线经过(0,4),∴c=4.故可设二次函数的表达式为y=ax2+bx+4,把(1,-1),(2,-4)分别代入二次函数y=ax2+bx+4中,得解方程组,得∴这个二次函数的表达式为y=x2-6x+4.【想一想】知道了函数图象上的三个点的坐标,能不能直接用待定系数法设成y=ax2+bx+c进行解答.【师生活动】学生思考后,与同伴交流想法,再参与到小组的讨论中去.组长展示解答过程,师生共同订正.解:设所求的二次函数的表达式为y=ax2+bx+c,将三点(1,-1),(2,-4)和(0,4)分别代入表达式,得解这个方程组,得∴这个二次函数的表达式为y=x2-6x+4.【教师点评】通过上面的探究,可知如果已知二次函数y=ax2+bx+c的图象所经过的三个点,那么就可以确定这个二次函数的表达式.[设计意图]利用上节课所学的知识进行引入,既复习了旧知,又引出了新知,继而再接触本节课所学知识的解题方法,同时也为下面的例题做好了铺垫.(教材例2)已知二次函数的图象经过(-1,10),(1,4),(2,7)三点,求这个二次函数的表达式,并写出它的对称轴和顶点坐标.〔解析〕由于(-1,10),(1,4),(2,7)三个点都不是特殊点,所以设所求的二次函数的表达式为y=ax2+bx+c,然后把三个点代入,得到三元一次方程组,进而解出a,b,c的值即可.【学生活动】学生先独立解答,然后同伴相互订正.课件出示解题过程(规范学生的解答步骤).解:设所求的二次函数的表达式为y=ax2+bx+c,将三点(-1,10),(1,4),(2,7)的坐标分别代入表达式,得解这个方程组,得所以所求二次函数的表达式为y=2x2-3x+5.因为y=2x2-3x+5=2+,所以二次函数图象的对称轴为直线x=,顶点坐标为.[设计意图]通过进一步探究,掌握了已知三点坐标确定二次函数表达式的方法,提高了解决问题的能力.[知识拓展]已知三点确定二次函数表达式的方法和步骤:利用待定系数法y=ax2+bx+c三元一次方程组a,b,c的值二次函数的表达式.课件出示:【议一议】一个二次函数的图象经过点A(0,1),B(1,2),C(2,1),你能确定这个二次函数的表达式吗?你有几种方法?与同伴进行交流.【师生活动】师要求学生仔细观察给出的三个点的特征,根据点的特征合理地选择解答方法.学生解答,师巡视发现学生不同的解法,并找解法不同的学生板演:解法1:∵二次函数图象与y轴的交点的纵坐标为1,∴c=1.设二次函数的表达式为y=ax2+bx+1,将点(1,2)和(2,1)分别代入y=ax2+bx+1,得解得∴二次函数的表达式为y=-x2+2x+1.解法2:由A(0,1),B(1,2),C(2,1)三个点的特征以及二次函数图象的对称性,可得点B(1,2)是函数图象的顶点坐标.∴二次函数的表达式为y=a(x-1)2+2,将点(0,1)代入y=a(x-1)2+2,得a=-1.∴二次函数的表达式为y=-(x-1)2+2,即y=-x2+2x+1.解法3:设二次函数的表达式为y=ax2+bx+c,将点(0,1),(1,2)和(2,1)分别代入y=ax2+bx+c,得解得∴二次函数的表达式为y=-x2+2x+1.【师生活动】通过两节课的探究,总结确定二次函数表达式的方法.【教师点评】二次函数表达式的确定方法:确定二次函数表达式待定系数法[设计意图]通过对“议一议”的探究,使学生进一步掌握了已知三个点的坐标确定二次函数表达式的步骤和方法,提高了学生一题多解的能力.1.已知三点确定二次函数表达式的方法和步骤.2.二次函数表达式的确定方法.1.一个二次函数,当x=0时,y=-5;当x=-1时,y=-4;当x=-2时,y=5.则这个二次函数的关系式是()A.y=4x2+3x-5B.y=2x2+x+5C.y=2x2-x+5D.y=2x2+x-5解析:设二次函数的关系式是y=ax2+bx+c(a≠0),∵当x=0时,y=-5,当x=-1时,y=-4,当x=-2时,y=5,∴解方程组,得∴二次函数的关系式为y=4x2+3x-5.故选A.2.过A(-1,0),B(3,0),C(1,2)三点的抛物线的顶点坐标是()A.(1,2)B.C.(-1,5)D.解析:设这个二次函数的解析式是y=ax2+bx+c,把(-1,0),(3,0),(1,2)分别代入,得解方程组,得所以该函数的解析式为y=-x2+x+,顶点坐标是(1,2).故选A.3.已知抛物线y=ax2+bx+c经过点(-1,10)和(2,7),且3a+2b=0,则该抛物线的解析式为.解析:根据题意,得解方程组,得所以该抛物线的解析式为y=2x2-3x+5.故填y=2x2-3x+5.4.已知一抛物线与x轴的交点是A(-2,0),B(1,0),且经过点C(2,8).(1)求该抛物线的解析式;(2)求该抛物线的顶点坐标.解:(1)设这个抛物线的解析式为y=ax2+bx+c.由题意知抛物线经过A(-2,0),B(1,0),C(2,8)三点,可得解这个方程组,得∴所求抛物线的解析式为y=2x2+2x-4.(2)y=2x2+2x-4=2(x2+x-2)=2-,∴该抛物线的顶点坐标为.第2课时1.已知三点确定二次函数表达式的方法和步骤:利用待定系数法y=ax2+bx+c三元一次方程组a,b,c的值二次函数的表达式.2.二次函数表达式的确定方法:确定二次表达式待定系数法一、教材作业【必做题】1.教材第45页随堂练习.2.教材第45页习题2.7第1,2题.【选做题】教材第45页习题2.7第3题.二、课后作业【基础巩固】1.已知二次函数的图象经过(1,0),(2,0)和(0,2)三点,则该函数的解析式是()A.y=2x2+x+2B.y=x2+3x+2C.y=x2-2x+3D.y=x2-3x+22.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(1,-1),(2,-4),(0,4)三点,那么它的对称轴是直线()A.x=-3B.x=-1C.x=1D.x=33.已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=2,且经过点(1,4)和点(5,0),则该抛物线的解析式为.4.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点(1,2)和(-1,-6)两点,则a+c=.【能力提升】5.已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标的和为-4,积是-5,且抛物线经过点(0,-5),则此抛物线的解析式为()A.y=x2-4x-5B.y=-x2+4x-5C.y=x2+4x-5D.y=-x2-4x-56.已知二次函数的图象与x轴的两个交点A,B关于直线x=-1对称,且AB=6,顶点在函数y=2x的图象上,则这个二次函数的表达式为.7.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过(0,-6),(1,0)和(-2,-6)三点.(1)求二次函数的解析式;(2)求二次函数图象的顶点坐标;(3)若点A(m-2n,-8mn-10)在此二次函数图象上,求m,n的值.8.如图所示,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A(-1,-1),B(0,2),C(1,3).(1)求二次函数的解析式;(2)画出二次函数的图象.9.(1)任选以下三个条件中的一个,求二次函数y=ax2+bx+c的解析式.①y随x变化的部分数值规律如下表:x-10123y03430②有序数对(-1,0),(1,4),(3,0)满足y=ax2+bx+c;③已知函数y=ax2+bx+c的图象的一部分(如图所示).(2)直接写出(1)中二次函数y=ax2+bx+c的三个性质.【拓展探究】10.如图①所示,已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A(0,3),B(3,0),C(4,3).(1)求抛物线的解析式;(2)求抛物线的顶点坐标和对称轴;(3)把抛物线向上平移,使得顶点落在x 轴上,直接写出两条抛物线、对称轴和y 轴围成的图形的面积(图②中阴影部分).【答案与解析】1.D (解析:这个二次函数的解析式是y =ax 2+bx +c ,把(1,0),(2,0)和(0,2)分别代入,得解方程组,得所以该函数的解析式是y =x 2-3x +2.故选D .)2.D (解析:二次函数的解析式为y =ax 2+bx +c ,把(1,-1),(2,-4),(0,4)分别代入表达式,得解方程组,得则二次函数的解析式为y =x 2-6x +4,所以它的对称轴是直线x =-=-=3.故选D .)3.y =-x 2+2x +(解析:根据题意,得解方程组,得所以该抛物线的解析式为y =-x 2+2x +.)4.-2(解析:把点(1,2)和(-1,-6)分别代入y =ax 2+bx +c (a ≠0),得①+②得2a +2c =-4,则a +c =-2.)5.C (解析:根据题意,x 1+x 2=-4,x 1x 2=-5,解得x 1=-5,x 2=1或x 1=1,x 2=-5,所以抛物线y =ax 2+bx +c 经过(-5,0),(1,0),(0,-5)三点,所以解得所以所求二次函数的表达式为y =x 2+4x -5.)6.y =x 2+x -(解析:∵对称轴为直线x =-1,且图象与x 轴交于A ,B 两点,AB =6,∴抛物线与x 轴交于(-4,0),(2,0),顶点的横坐标为-1.∵顶点在函数y =2x 的图象上,∴y =2×(-1)=-2,∴顶点坐标为(-1,-2),设二次函数的解析式为y =a (x +1)2-2,把(2,0)代入得0=9a -2,解得a =,∴y =(x +1)2-2=x 2+x -,∴这个二次函数的表达式为y =x 2+x -.故填y =x 2+x -.)7.解:(1)由已知得解得∴二次函数的解析式为y =2x 2+4x -6.(2)∵y =2x 2+4x -6=2(x +1)2-8,∴顶点坐标为(-1,-8).(3)由已知,得-8mn -10=2(m -2n )2+4(m -2n )-6,m 2+4n 2+2m -4n +2=0,(m +1)2+(2n -1)2=0,∴m =-1,n =.8.解:(1)根据题意,得解得∴所求的解析式为y=-x2+2x+2.(2)二次函数的图象如图所示.9.解:(1)若选择①:根据表格,可知抛物线的顶点坐标为(1,4),设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+4,将点(0,3)代入,得a(0-1)2+4=3,解得a=-1,所以抛物线的解析式为y=-(x-1)2+4,即y=-x2+2x+3;若选择②,设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,将(-1,0),(1,4),(3,0)分别代入得解得所以抛物线的解析式为y=-x2+2x+3;若选择③,由图象得到抛物线的顶点坐标为(1,4),且过(0,3),设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+4,将(0,3)代入得a=-1,则抛物线的解析式为y=-(x-1)2+4=-x2+2x+3.(2)抛物线y=-x2+2x+3的性质:①对称轴为直线x=1,②当x=1时,函数有最大值,为4;③当x<1时,y随x的增大而增大.(答案不唯一) 10.解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A(0,3),B(3,0),C(4,3),∴解得∴抛物线的解析式为y=x2-4x+3. (2)∵y=x2-4x+3=(x-2)2-1,∴抛物线的顶点坐标为(2,-1),对称轴为直线x=2.(3)如图所示,∵抛物线的顶点坐标为(2,-1),∴PP'=1,由题意知阴影部分的面积等于平行四边形A'APP'的面积,平行四边形A'APP'的面积为1×2=2,∴阴影部分的面积为2.本节课的重点是利用待定系数法列三元一次方程组求二次函数的表达式,所以解决问题的前提是会解三元一次方程组,所以提前要求学生对这一部分知识进行复习,就大大降低了本节课的难度,收到了非常好的效果.突破这一难点后,就让学生类比上节课的探究方法利用已知的三个点的坐标确定二次函数表达式.在解答过程中提醒学生对于表达式的选择,要具体问题具体分析,让学生自己总结出确定二次函数表达式的步骤和方法,为后面的“议一议”的一题多解做好充分的准备.没有精心设置问题的难度,使学生步步深入地探究出求二次函数表达式的方法和步骤,对于基础差的学生而言,直接解答有点吃力.课堂上注意讲课的节奏,尽量让中下游的学生跟上老师的步伐,多给学生自己练习的时间,让学生真正成为学习的主体.随堂练习(教材第45页)解:设函数表达式为y=ax2+bx+c,将(0,2),(1,0)和(-2,3)分别代入表达式,得解得所以二次函数表达式为y=-x2-x+2.习题2.7(教材第45页)1.解:设函数表达式为y=ax2+bx+c,将(1,3),(2,0)和(3,4)分别代入表达式,得解得所以二次函数表达式为y=x2-x+13.2.解法1:设函数表达式为y=ax2+bx+c,将(1,0),(3,0)和(2,3)分别代入表达式,得解得所以二次函数表达式为y=-3x2+12x-9.解法2:设函数表达式为y=a(x-1)(x-3),将(2,3)代入表达式,解得a=-3,所以二次函数表达式为y=-3(x-1)(x-3)=-3x2+12x-9.3.解:答案不唯一.如添加:C (-2,13).设函数表达式为y =ax 2+bx +c ,将(0,a ),(1,-2)和(-2,13)分别代入表达式,得解得所以二次函数表达式为y =x 2-4x +1.1.学生通过上节课的学习,已经掌握了利用待定系数法求二次函数表达式的方法,所以本节课可以利用类比的方法进行探究.2.课前做好三元一次方程组解法的复习是求三个未知系数进而确定二次函数表达式的关键.3.要学会对所给出的点的坐标特征进行分析,合理地设出表达式,能运用不同的解法求解二次函数的表达式,提高解决问题的能力.(2014·宁波中考)如图所示,已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象经过A (2,0),B (0,-1)和C (4,5)三点.(1)求二次函数的解析式;(2)设二次函数的图象与x 轴的另一个交点为D ,求点D 的坐标;(3)在同一坐标系中画出直线y =x +1,并写出当x 在什么范围内时,一次函数的值大于二次函数的值.〔解析〕(1)根据二次函数y =ax 2+bx +c 的图象经过A (2,0),B (0,-1)和C (4,5)三点,代入得出关于a ,b ,c 的三元一次方程组,求得a ,b ,c ,从而得出二次函数的解析式.(2)令y =0,解一元二次方程,求得x 的值,从而得出与x 轴的另一个交点坐标.(3)画出图象,再根据图象直接得出答案.解:(1)∵二次函数y =ax 2+bx +c 的图象经过A (2,0),B (0,-1)和C (4,5)三点,∴∴∴二次函数的解析式为y =x 2-x -1.(2)令y =0,得x 2-x -1=0,解得x 1=2,x 2=-1,∴点D的坐标为(-1,0).(3)图象如图所示.当一次函数的值大于二次函数的值时,x的取值范围是-1<x<4.[解题策略]本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式以及一次函数的图象、抛物线与x 轴的交点问题,是中档题,要熟练掌握.。
九年级数学下册2.3.2确定二次函数的表达式课件1新版北师大版
【例题】
【例2】已知一个二次函数的图象过（－1，10），（1，4），（2，7）三 点，求这个函数的表达式.
解析： 设所求的二次函数为y=ax2+bx+c，
由条件得：
a-b+c=10， a+b+c=4， 解方程组得： 4a+2b+c=7，
a=2, b=-3, c=5
因此，所求二次函数的表达式是
y=2x2-3x+5.
∴所求抛物线的表达式为
C
O
B
x
y
1 2 2 x x 1. 3 3
【议一议】
一个二次函数的图像经过A（0，-1），B（1， 2），C（2，1）三点，你能确定这个二次函 数的表达式吗？你有几种方法？与同伴进行 交流.
【议一议】
解析（一）设该抛物线的表达式为y=ax2+bx+c, 根据题意，得
3.（潼南·中考）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是菱形， 点C的坐标为（4,0），∠AOC= 60°，垂直于x轴的直线l从y轴出发， 沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向右平移，设直线l与菱形OABC 的两边分别交于点M,N（点M在点N的上方），若△OMN 的面积为S，直线l的运动时间为t 秒（0≤t≤4）,则 能大致反映S与t的函数关系的图象是(
ห้องสมุดไป่ตู้
1．（衢州·中考）下列四个函数图象中，当x＞0时，
y随x的增大而增大的是(
)
C
2.（莆田·中考）某同学用描点法画y=ax2+bx+c(a≠0)的图象时，列出
如下表格:
x y 0 3 1 0 2 2 3 0 4 3
经检查，发现只有一处数据计算错误，请你写出这个二次函数的表达 式 . y=x24x+3
确定二次函数表达式 北师大版数学九年级下册
点拨
选用两根式求解，方法灵 活巧妙，过程也较简捷
3、如图，抛物线经过 A（﹣ 2，0）， B（﹣ ， 0）， C（ 0，
2）三点． （ 1）求抛物线的解析式； （ 2）在直线 AC 下方的抛物线 上有一点 D，使得△ DCA 的面 积最大，求点 D 的坐标；
根据题意可知 ∵ 点(0，0)在抛物线上，
∴ 所求抛物线解析式为
点拨
通过利用条件中的顶点 和过原点选用顶点式求 解，方法比较灵活 。
3.有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最 大高度为16m，跨度为40m．现把它的图形放在 坐标系里(如图所示)，求抛物线的解析式．
解法三 解：设抛物线为y=ax(x-40 ）
确定二次函数的解析式时，应该根据条件的特点， 恰当地选用一种函数表达式求解。
当堂训练（15分钟）
1.有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度 为16m，跨度为40m．现把它的图形放在坐标系里(如图 所示)，求抛物线的解析式．
解法一：
解：设抛物线的解析式为y=ax2＋bx＋c，
根据题意可知 抛物线经过(0，0)，(20，16)和(40，0)三点
解：（1）设抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c，将 A（﹣
2，0），B（﹣ ，0），C（0，2）代入解析式，得
，解得
．
∴ 抛物线的解析式是 y=2x2+5x+2；
设 D 点的坐标为（t，2t2+5t+2），过 D 作 DE⊥x 轴 交 AC 于 E 点， ∴ E 点的坐标为（t，t+2）， DE=t+2﹣（2t2+5t+2）=﹣2t2﹣4t，用 h 表示点 C 到 线段 DE 所在直线的距离，
万宁市第五中学九年级数学下册 第二章 二次函数确定二次函数的表达式说课稿北师大版
《确定二次函数表达式》说课稿尊敬的各位评委、各位老师：大家好！我说课的题目是《确定二次函数的表达式》。
我将从教材分析、教法学法、教学过程、板书设计和教学评级及反思五个方面对本节课进行说明。
第一方面，教材分析1.地位和作用本节课是鲁教版九年级上册第二章《二次函数》的第六节的内容。
本章是在之前学习了一次函数、反比例函数及一元二次方程等知识的基础上进行学习的，主要内容有二次函数的图像、性质及应用，这些知识的学习均与二次函数表达式有关。
因此，本节课的学习即是对以前所学方程及方程组解法的巩固，又是研究综合题的基础。
所以，无论从生产实际和生活需要，还是发展学生的应用意识和能力本节课都具有极其重要的意义。
2.教学目标新课程强调以培养学生的能力，培养学生的兴趣为根本目标，考虑到学生已有的知识结构和心理特征，我制定本节课的教学目标如下：知识目标1、会用待定系数法求各种形式的二次函数的表达式2、会用二次函数的表达式解决实际为题能力目标通过用二次函数表达式解决实际问题，体会“一题多变”、“一题多解”的思想，逐步提高学生的分析能力、整合能力及创新能力情感目标通过解决实际问题，进一步增强“数学来源于生活，回归生活”的意识，从而培养学生热爱科学，勇于探索的精神3.教学重点和难点考虑到九年级学生观察、分析、认识问题的能力，都已得到一定的锻炼，计算能力也有了一定的提高，结合课标的要求，我确定本节课的教学重、难点如下：会确定各种形式的二次函数表达式的方法和思路为本节的教学重点，教学难点是实际问题中二次函数表达式确定的方法。
第二方面，教法学法分析1.教法数学课程标准指出，类比、联想是数学学习的一种优秀思维品质，是数学发现和创造的源泉；而转化则是一种重要的数学思想。
因此本节课，我采用类比、联想、转化式的教学方法；2.学法按照知识发现理论，一般情况下，学习者在学习过程中对学习材料的发现，才是学习者所获得的最有价值的东西，教师在教授过程中，必须设法教会学生学习方法，促使学生从学会到会学，最后到乐学。
北师大版数学九年级下册2.3.1《确定二次函数的表达式》说课稿1
北师大版数学九年级下册2.3.1《确定二次函数的表达式》说课稿1一. 教材分析北师大版数学九年级下册2.3.1《确定二次函数的表达式》这一节主要介绍了二次函数的表达式以及如何确定二次函数的表达式。
二次函数是中学数学中的重要内容，对于学生来说，掌握二次函数的表达式以及确定方法具有重要意义。
本节课通过实例引导学生掌握待定系数法确定二次函数的表达式，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了函数、方程等基础知识，对函数的概念有一定的了解。
同时，学生已经掌握了二次函数的一般形式，具备了一定的数学思维能力。
但是，对于如何确定二次函数的表达式，学生可能还存在一定的困惑。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的认知基础，引导学生逐步掌握确定二次函数表达式的方法。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握待定系数法确定二次函数的表达式，能运用所学知识解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、分析、归纳等数学活动，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识，使学生感受到数学在生活中的应用价值。
四. 说教学重难点1.教学重点：待定系数法确定二次函数的表达式。
2.教学难点：如何引导学生运用待定系数法确定二次函数的表达式，以及如何将实际问题转化为数学问题。
五.说教学方法与手段1.教学方法：采用启发式教学法、案例教学法、小组合作学习法等。
2.教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等。
六. 说教学过程1.导入新课：通过复习二次函数的一般形式，引导学生思考如何确定二次函数的表达式。
2.新课讲解：讲解待定系数法确定二次函数的表达式，并通过实例进行分析。
3.课堂互动：学生分组讨论，尝试运用待定系数法确定给定二次函数的表达式。
4.总结提升：教师引导学生总结确定二次函数表达式的步骤，并强调其在实际问题中的应用。
5.课堂练习：布置相关练习题，让学生巩固所学知识。
九年级数学下册第二章二次函数2.3确定二次函数的表达式课件北师大版
例5 已知抛物线的顶点坐标为(4，-1)，与y轴交于点(0， 3)，求这条抛物线的表达式.
解：依题意设y＝a(x-h)2＋k ，将顶点(4，-1)及交点(0，3)
代入得3=a(0-4)2-1,解得a=
1 ， ∴这条抛物线的表达
4
式为：y= 1 (x-4)2-1.
4
总结
若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通 常可设顶点式y＝a(x-h)2＋k (a≠0).
不选另外一个函数的理由：点(－4，41)，(－2，49)，(2，41)
等不在同一直线上，∴y不是x的一次函数．
(2)由(1)得y＝－x2－2x＋49，∴y＝－(x＋1)2＋50.
∵a＝－1＜0，∴当x＝－1时，y有最大值50.
即当温度为－1 ℃时，这种植物每天高度的增长量最大．
(3)－6＜x＜4.
总结
(2)答案不唯一，如：先向左平移2个单位，再向下平移1个 单位，得到的抛物线对应的函数表达式为y＝－x2，平
移 后抛物线的顶点为(0，0)，落在直线y＝－x上．
总结
此题主要考查了二次函数的图象的平移，顶点坐标 及交点式求二次函数的表达式，根据平移性质得出平移 后抛物线对应的函数表达式是解题关键．第(2)小题是一 个开放性题，平移方法不唯一，只需将原顶点平移成横、 纵坐标互为相反数即可．已知抛物线与x轴的交点坐标求 其表达式时，一般采用二次函数的交点式．
三个
总结
2.二次函数的表达式中有几个待定的字母，就需要有 几个条件去求解；反过来，要根据题目中给定的条 件数目去设相应的函数表达式并求解，这种方法叫 待定系数法．
1．用待定系数法求二次函数的表达式： (1)若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式y＝ax2
北师大版九年级数学下册第二章二次函数第三节确定二次函数的表达式(无答案)
北师大版九年级数学下册第二章二次函数第三节确定二次函数的表达式（无答案）确定二次函数的表达式知识梳理知识点一：用配方法确定二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的对称轴、顶点坐标及最值 1.二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的配方一般地，对于二次函数y =ax ²+bx +c ，我们可以利用配方法推导出它的对称轴和顶点坐标. 例：求次函数y =ax ²+bx +c 的对称轴和顶点坐标． 配方：这个结果通常称为求顶点坐标公式. 2.二次函数y =ax ²+bx +c (a ≠0)的图象和性质(1)二次函数y =ax ²+bx +c 的图象是一条抛物线. 画二次函数图象的“三步骤” ①化：把一般式化成顶点式.②定：确定抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴. ③画：利用抛物线对称性列表、描点、连线.(2)二次函数y =ax ²+bx +c 写成顶点式为a b ac a b x a y 44222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=。
(3)对称轴顶点坐标⎪⎭⎫ ⎝⎛++=c c x a b x a 2⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛++=a c a b a b x a b x a 22222⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=222442a b ac a b x a .44222a b ac a b x a -+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=(4)开口方向：当a>0时，抛物线的开口向上，有最小值为ab ac y 442min-=；当a<0时，抛物线的开口向下，有最大值为ab ac y 442max -=。
(5)增减性：① a>0，当x>a b 2-时，y 随x 的增大而增大，当x<a b 2-时，y 随x 的增大而减小. ②a<0，当x>a b 2-时，y 随x 的增大而减小，当x<ab2-时，y 随x 的增大而增大知识点二：抛物线位置与系数a ，b ，c 的关系：知识点三：用待定系数法求二次函数解析式 1.利用三点坐标确定二次函数的一般式①一般情况下，把三点的坐标代入解析式y =ax ²+bx +c ，列方程组. ②如果没有直接给出三点的坐标，可通过图象的性质求出其他点的坐标. 确定二次函数一般式的“四步骤”①设：设二次函数解析式为y =ax ²+bx +c (a ≠0). ②列：根据题意列方程组.北师大版九年级数学下册第二章二次函数第三节确定二次函数的表达式（无答案）③解：解方程组.④定：确定二次函数解析式.2.利用顶点式确定二次函数解析式用顶点式求解析式的“三种情况”①已知顶点坐标. ②已知对称轴或顶点的横坐标. ③已知二次函数的最大(小)值或顶点的纵坐标.3.利用交点式确定二次函数解析式当已知抛物线与x 轴的交点坐标(x1，0)，(x2，0)时，则设抛物线的解析式为y＝a(x－x1)(x－x2)，再根据其他条件求出a的值。
九年级数学下册知识讲义-2.3二次函数的解析式(附练习及答案)-北师大版
初中数学二次函数的解析式一、考点突破1. 掌握求二次函数解析式的方法。
2. 能够根据题目要求选择合适的求解析式的方法解决问题。
二、重难点提示重点：求二次函数解析式。
难点：根据问题选择合适的方法，求二次函数解析式。
考点精讲1.二次函数的解析式的四种形式一般式：（）。
顶点式：（）。
其中（，）为顶点，对称轴为。
交点式：（）。
其中，为抛物线与轴交点的横坐标。
对称点式：（）。
其中（，），（，）为图象上两个对称的点。
2.确定二次函数解析式的几种基本思路根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法。
用待定系数法求二次函数的解析式，必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便。
一般来说，有如下几种情况：①已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；②已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；③已知抛物线与轴的两个交点的横坐标，一般选用交点式；④已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用对称点式。
典例精讲例题1（宝安区一模）如图，已知抛物线l1：y=（x－2）2－2与x轴分别交于O、A 两点，将抛物线l1向上平移得到l2，过点A作AB⊥x轴交抛物线l2于点B，如果由抛物线l1、l2、直线AB及y轴所围成的阴影部分的面积为16，则抛物线l2的函数解析式为（）A. y=（x－2）2+4B. y=（x－2）2+3C. y=（x－2）2+2D. y=（x－2）2+1思路分析：根据题意可推知由抛物线l1、l2、直线AB及y轴所围成的阴影部分的面积就是矩形ABCO的面积；然后再根据抛物线l1的解析式，求得O、A两点的坐标，从而解得OA的长度；最后再由矩形的面积公式，求得AB的长度，即l2是由抛物线l1向上平移多少个单位得到的。
答案：解：连接BC，∵l2是由抛物线l1向上平移得到的，∴由抛物线l1、l2、直线AB及y轴所围成的阴影部分的面积就是矩形ABCO的面积；∵抛物线l1的解析式是y=（x－2）2－2，∴抛物线l1与x轴分别交于O（0，0）、A（4，0）两点，∴OA=4；∴OA•AB=16，∴AB=4；∴l2是由抛物线l1向上平移4个单位得到的，∴l2的解析式为：y=（x－2）2－2+4，即y=（x－2）2+2，选C。
北师大版九年级数学下册确定二次函数的表达式课件(第1、2课时20张)
顶点式 = ( − ) 能使问题简化。
教学过程
新
知
新
授
做一做
类型三 已知抛物线与轴交点的坐标，求二次函数的表达式
例3.已知二次函数的图象与 轴交于点M(-2,0)、N(3，
-0)，且抛物线经过P(2,4),求这个二次函数的表达式.
解：设函数的表达式为 = ( + )( − )
知
新
答一答
1.二次函数的达式有几种情势？
一般式： = + + (a≠0)
顶点式： = ( − ) + (a≠0)
交点式： = ( − )( − )(a≠0)
2.已知函数 = − − ，函数的开口方向 向上 ，
对称轴是直线 =1 ，顶点坐标是 (1,-7)
除了以上四种类型外，还有一些特殊方法。
对二次函数 = + + .
抛物线与轴交点(0,c）.
当 = ， = 时，抛物线顶点在原点，以轴为对称轴.
当 = 时，抛物线顶点(0,c），以轴为对称轴.
当 = 时，抛物线必过原点.
当 − = 时，抛物线顶点在轴上.
= −
所以，所求二次函数表达式为 = −
教学过程
方
法
总
结
记一记
方法总结：所求二次函数表达式有两个
待定系数时，需要两个独立条件或两个
点的坐标。
教学过程
新
知
新
授
做一做
类型二
已知抛物线顶点的坐标，求二次函数的表达式
例2.已知二次函数的图象以M(-2,3)为顶点，且经过点
N(-1，-3)，求这个二次函数的表达式.
北师大版九年级数学下册：第二章 2.3.1《确定二次函数的表达式》精品教案
北师大版九年级数学下册：第二章 2.3.1《确定二次函数的表达式》精品教案一. 教材分析《确定二次函数的表达式》是北师大版九年级数学下册第二章第三节的第一课时内容。
本节课的主要目的是让学生掌握二次函数的解析式，并能够根据实际问题确定二次函数的系数。
教材通过简单的实例引导学生探究二次函数的解析式，培养学生的探究能力和数学思维。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了函数的基本概念和一次函数的性质，对函数有了初步的认识。
但是，对于二次函数的理解还需要进一步的引导和培养。
在导入环节，我会利用学生已有的知识基础，通过一次函数的图像引导学生思考二次函数的特点，激发学生的学习兴趣。
三. 教学目标1.理解二次函数的解析式的概念，掌握二次函数的解析式的形式。
2.能够根据实际问题确定二次函数的系数。
3.培养学生的探究能力和数学思维。
四. 教学重难点1.重点：二次函数的解析式的概念和形式。
2.难点：如何根据实际问题确定二次函数的系数。
五. 教学方法1.引导法：通过问题的引导，让学生主动探究二次函数的解析式。
2.实例分析法：通过具体的实例，让学生理解二次函数的解析式的应用。
六. 教学准备1.教学课件：制作相关的教学课件，帮助学生直观地理解二次函数的解析式。
2.实例素材：准备一些实际的例子，用于引导学生分析二次函数的解析式。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一次函数的图像，引导学生思考二次函数的特点。
提出问题：“如果我们把一次函数的图像旋转90度，会得到怎样的图像？”让学生思考二次函数的图像特征。
2.呈现（10分钟）通过课件展示二次函数的一般形式：y=ax^2+bx+c（a≠0）。
解释二次函数的各个系数的含义，引导学生理解二次函数的解析式。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选取一个实际的例子，尝试确定二次函数的解析式。
教师巡回指导，解答学生的问题。
4.巩固（10分钟）请各组学生汇报他们的讨论结果，教师点评并总结。
北师大版九年级数学下册《二次函数——确定二次函数的表达式》教学PPT课件(4篇)
1.设：
（表达式）
（0，－3）代入y=ax2+bx+c得
2.代：
a=－1，
9a
－
3b+c=0，
（坐标代入）
a－b+c=0， 解得 b=－4，
3.解：
c=－3，
c=－3.
方程（组）
4.还原：
∴所求的二次函数的表达式是
（写表达式）
y=－x2－4x－3.
第二章 二次函数
3 确定二次函数的表达式
CONTENTS
目
录
1
学习目标
2
新课导入
3
新课讲解
4
课堂小结
5
当堂小练
6
拓展与延伸
学习目标
1.用一般式(三点式)确定二次函数表达式
2.用顶点式确定二次函数表达式
3.用交点式确定二次函数表达式（重点、难点）
新课导入
1. 一次函数的表达式是什么?如何求出它的表达式?
2
(2)△ABC的面积是6.
O
B
A
C
x
随堂即练
6.已知一条抛物线经过E（0，10），F（2，2），G
（4，2），H（3，1）四点，选择其中两点用待定系
a b c 6
9a 3b c 0
c 3
解这个方程组，得a= 0.5，b= – 2.5，c=3
∴所求得的函数解析式为y=0.5x²– 2.5x+3
当堂小练
已知：二次函数的图像的对称轴为直线x= –3，并且函数有最
大值为5，图像经过点(–1,–3)，求这个函数的解析式。
北师大版九年级数学下册知识点归纳：第二章二次函数
北师大版九年级数学上册知识点归纳：第二章 二次函数1 二次函数2 二次函数的图象与性质3 确定二次函数的表达式4 二次函数的应用5 二次函数与一元二次方程※二次函数的概念：形如)0(2≠++=，a a 、、b、c bx ax y 是常数的函数，叫做x 的二次．．函数．．。
自变量的取值范围是全体实数。
)0(2≠=a ax y 是二次函数的特例，此时常数b=c=0.※在写二次函数的关系式时，一定要寻找两个变量之间的等量关系，列出相应的函数关系式，并确定自变量的取值范围．．．．．．．．。
※二次函数y ＝ax 2的图象是一条顶点在原点关于y 轴对称的曲线，这条曲线叫做抛物线．．．。
描述抛物线常从开口方向、对称性、y 随x 的变化情况、抛物线的最高（或最低）点、抛物线与x 轴的交点等方面来描述。
①函数的定义域是全体实数；②抛物线的顶点在(0，0)，对称轴是y 轴(或称直线x ＝0)。
③当a ＞0时，抛物线开口向上，并且向上方无限伸展。
当a ＜0时，抛物线开口向下，并且向下方无限伸展。
④函数的增减性：A 、当a ＞0时⎩⎨⎧≥≤.,0;,0增大而增大随时增大而减小随时x y x x y x B 、当a ＜0时⎩⎨⎧≥≤.,0;,0增大而减小随时增大而增大随时x y x x y x⑤当｜a ｜越大，抛物线开口越小；当｜a ｜越小，抛物线的开口越大。
⑥最大值或最小值：当a ＞0，且x ＝0时函数有最小值，最小值是0；当a ＜0，且x ＝0时函数有最大值，最大值是0．※二次函数c ax y +=2的图象是一条顶点在y 轴上且与y 轴对称的抛物线 ※二次函数c bx ax y ++=2的图象是以a b x 2-=为对称轴，顶点在（a b 2-，a b ac 442-）的抛物线。
（开口方向和大小由a 来决定）※|a|的越大，抛物线的开口程度越小，越靠近对称轴y 轴，y 随x 增长（或下降）速度越快；|a|的越小，抛物线的开口程度越大，越远离对称轴y 轴，y 随x 增长（或下降）速度越慢。
(完整版)新北师大版九年级数学二次函数知识点归纳总结
二次函数知识点归纳1.定义：一般地，如果y =ax +bx +c (a ,b ,c 是常数，a ≠0)，那么y 叫做x 的二次函数.2.二次函数y =ax 的性质（1）抛物线y =ax 的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴.（2）函数y =ax 的图像与a 的符号关系.①当a >0时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；②当a <0时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点.（3）顶点是坐标原点，对称轴是y 轴的抛物线的解析式形式为y =ax （a ≠0）.3.二次函数y =ax +bx +c 的图像是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线.4.二次函数y =ax +bx +c 用配方法可化成：y =a (x -h )22222222b 4ac -b 2+k 的形式，其中h =-，k =.2a 4a22225.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①y =ax ；②y =ax +k ；③y =a (x -h )；④y =a (x -h )+k ；2⑤y =ax +bx +c .6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.①a 的符号决定抛物线的开口方向：当a >0时，开口向上；当a <0时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.②平行于y 轴（或重合）的直线记作x =h .特别地，y 轴记作直线x =0.7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.8.求抛物线的顶点、对称轴的方法b 4ac -b 2b b ⎫4ac -b 2⎛2（-，）（1）公式法：y =ax +bx +c =a x +，∴顶点是，对称轴是直线x =-.⎪+2a 4a 2a 2a 4a ⎝⎭（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y =a (x -h )+k 的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线22x =h .（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.9.抛物线y =ax +bx +c 中，a ,b ,c 的作用（1）a 决定开口方向及开口大小，这与y =ax 中的a 完全一样.（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y =ax +bx +c 的对称轴是直线222x =-b b b ，故：①b =0时，对称轴为y 轴；②>0（即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③<0（即a 、2a a a b 异号）时，对称轴在y 轴右侧.（3）c 的大小决定抛物线y =ax +bx +c 与y 轴交点的位置.当x =0时，y =c ，∴抛物线y =ax +bx +c 与y 轴有且只有一个交点（0，c ）：①c =0，抛物线经过原点;②c >0,与y 轴交于正半轴；③c <0,与y 轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式开口方向当a >0时开口向上对称轴顶点坐标（0,0）(0,k )(h ,0)(h ,k )22b <0.ay =ax 2y =ax +k y =a (x -h )2x =0（y 轴）x =0（y 轴）x =h x =hx =-b 2a 22y =a (x -h )+k 当a <0时开口向下y =ax +bx +c 2b 4ac -b 2，(-)2a 4a11.用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：y =ax +bx +c .已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式.（2）顶点式：y =a (x -h )+k .已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.22（3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标x 1、x 2，通常选用交点式：y =a (x -x 1)(x -x 2).12.直线与抛物线的交点（1）y 轴与抛物线y =ax +bx +c 得交点为(0,c ).2（2）与y 轴平行的直线x =h 与抛物线y =ax +bx +c 有且只有一个交点(h ,ah +bh +c ).22（3）抛物线与x 轴的交点2二次函数y =ax +bx +c 的图像与x 轴的两个交点的横坐标x 1、x 2，是对应一元二次方程ax +bx +c =0的两2个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔∆>0⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔∆=0⇔抛物线与x 轴相切；③没有交点⇔∆<0⇔抛物线与x 轴相离.（4）平行于x 轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是ax +bx +c =k 的两个实数根.（5）一次函数y =kx +n (k ≠0)的图像l 与二次函数y =ax +bx +c (a ≠0)的图像G 的交点，由方程组22y =kx +ny =ax +bx +c 2的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点;②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点；③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.0)，B (x 2，0)，由于x 1、x 2是（6）抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线y =ax +bx +c 与x 轴两交点为A (x 1，2方程ax +bx +c =0的两个根，故2b c x 1+x 2=-,x 1⋅x 2=a aAB =x 1-x 2=(x 1-x 2)2=(x 1-x 2)24c b 2-4ac ∆⎛b ⎫-4x 1x 2= -⎪-==a a a ⎝a ⎭2。
2024北师大版数学九年级下册2.3.1《确定二次函数的表达式》教案
2024北师大版数学九年级下册2.3.1《确定二次函数的表达式》教案一. 教材分析《确定二次函数的表达式》是北师大版数学九年级下册第2章第3节的内容。
本节课的主要目的是让学生掌握二次函数的解析式，并能够利用待定系数法求解二次函数的解析式。
教材通过实例引导学生探究二次函数的解析式，让学生在实际问题中体会数学的应用价值。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了二次函数的基本概念，并了解了一次函数和正比例函数的解析式。
因此，学生在学习本节课时，具备了一定的数学基础。
但部分学生对于待定系数法求解二次函数解析式的理解可能存在困难，因此，在教学过程中，需要关注这部分学生的学习情况，通过实例和讲解，帮助他们理解和掌握待定系数法的运用。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握二次函数的解析式，并能够利用待定系数法求解二次函数的解析式。
2.过程与方法：通过探究二次函数的解析式，培养学生的观察、分析和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：让学生感受数学在实际生活中的应用价值，激发学生学习数学的兴趣。
四. 教学重难点1.重点：二次函数的解析式及其求解方法。
2.难点：待定系数法在求解二次函数解析式中的应用。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法。
通过设置问题，引导学生探究二次函数的解析式；以实际案例为例，讲解待定系数法的运用；小组讨论，促进学生之间的交流与合作。
六. 教学准备1.准备相关案例和问题，用于引导学生探究二次函数的解析式。
2.准备PPT，展示二次函数的图像和解析式。
3.准备练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示二次函数的图像，引导学生回顾二次函数的基本概念。
然后提出问题：“如何表示这个二次函数？”引发学生的思考。
2.呈现（15分钟）通过PPT呈现二次函数的解析式，解释二次函数的各个系数代表的意义。
同时，引导学生观察解析式与图像之间的关系。
3.操练（20分钟）以实际案例为例，讲解待定系数法在求解二次函数解析式中的应用。
北师大数学九年级下册第二章-确定二次函数的表达式(含解析)
第02讲_确定二次函数的表达式知识图谱二次函数解析式的求法知识精讲 一般式 ()20y ax bx c a =++≠已知任意3点坐标，可用一般式求解二次函数解析式待定系数法已知抛物线2y ax bx c =++过()1,1-、()2,4-和()0,4三点，求a b c、、的值解：把点()1,1-，()2,4-和()0,4代入抛物线解析式可得14244a b c a b c c ++=-⎧⎪++=-⎨⎪=⎩，解得164a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，顶点式 ()2y a x h k =-+()0a ≠已知顶点坐标或对称轴时，可用顶点式求解二次函数解析式顶点式求解析式 一抛物线和y =﹣2x 2的形状和开口方向完全相同，且顶点坐标是（﹣2，1），求其解析式解：∵两条抛物线形状与开口方向相同，∴a =﹣2，又∵顶点坐标是（﹣2，1），∴y =﹣2（x +2）2+1易错点：顶点式中符号容易代错，例如顶点为()1,3-，错把解析式设为()213y a x =-+三．二次函数的两根式两根式 1．已知抛物线与x 轴的两个交点坐标，可用两根式求解析式； 2. 已知抛物线经过两点，且这两点的纵坐标相等时，可在两根式的基础上求解析式两根式求解析式 已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点A （－1，1），B （3，1），3(2,)2C - 求解析式解：设抛物线的解析式为y ＝a （x ＋1）（x －3）+1把3(2,)2c -代入解析式，求出a 即可 易错点：（1）任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示（2）二次函数解析式的这三种形式可以互化三点剖析一．考点：二次函数解析式的求法．二．重难点：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化．三．易错点：顶点式中符号容易代错，例如顶点为()1,3-，错把解析式设为()213y a x =-+．待定系数法例题1、 已知抛物线2y ax bx c =++过()1,1-、()2,4-和()0,4三点，那么a b c 、、的值分别是（ ）A.164a b c =-=-=，，B.164a b c ==-=-，，C.164a b c =-=-=-，，D.164a b c ==-=，，【答案】 D【解析】 把点()1,1-，()2,4-和()0,4代入抛物线解析式可得14244a b c a b c c ++=-⎧⎪++=-⎨⎪=⎩，解得164a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，故答案为D 选项．例题2、 已知二次函数的图象经过（0，0）（－1，－1），（1，9）三点．（1）求这个函数的解析式；（2）求这个函数图象的顶点坐标．【答案】 （1）y ＝4x 2＋5x（2）（58-，2516-）． 【解析】 （1）设所求二次函数的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c （a≠0），根据题意，得019c a b c a b c =⎧⎪-+=-⎨⎪++=⎩，解得450a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴所求二次函数的解析式为y ＝4x 2＋5x ．（2）由22525454()816y x x x x =+=+-， ∴顶点坐标为（58-，2516-）． 例题3、 已知抛物线2y x bx c =-++经过点A （3，0），B （－1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）求抛物线的对称轴．【答案】 （1）y=-x 2+2x+3（2）x=1【解析】 暂无解析随练1、 已知二次函数的图像经过点()1,5--，()0,4-和()1,1，则这个二次函数的解析式为（ ） A.2634y x x =-++ B.2234y x x =-+- C.224y x x =+- D.2234y x x =+-【答案】 D【解析】 由待定系数法可求得2234y x x =+-．随练2、 已知一个二次函数过()0,0，()1,11-，()1,9三点，求二次函数的解析式．【答案】 210y x x =-【解析】 设二次函数的解析式为2y ax bx c =++（0a ≠），因为抛物线经过点()0,0，()1,11-，()1,9，所以0119c a b c a b c =⎧⎪-+=⎨⎪++=⎩，解得1010a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，所以二次函数解析式为210y x x =-．顶点式例题1、 函数21212y x x =++写成y ＝a （x －h ）2＋k 的形式是（ ） A.21(1)22y x =-+ B.211(1)22y x =-+ C.21(1)32y x =-- D.21(2)12y x =+- 【答案】 D【解析】 22211121(44)21(2)1222y x x x x x =++=++-+=+-． 例题2、 二次函数的顶点为（﹣2，1），且过点（2，7），则二次函数的解析式为_____________．【答案】 y=23(x 2)18++ 【解析】 设抛物线解析式为y=a （x+2）2+1，把（2，7）代入得a•（2+2）2+1=7，解得a=38， 所以抛物线解析式为y=38（x+2）2+1。
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《确定二次函数的表达式》知识解读
二次函数常见表达式有一般式（也称三点式）、配方式（也称顶点式）和两根式（也称交点式）三种，各种表达式要注意根据不同的条件灵活选用，以简化解题过程，提高解题能力．下面针对各种条件通常采用的表达式作一简单的归纳．
一、如果已知的条件是二次函数的三组对应值，或者其图象经过三个一般的点，那么一般采用一般式y ＝2
ax bx c ++（a ≠0）．
例1 已知二次函数的图象经过点（1，2），（－1，－2），（0，3），求这个二次函数的表达式．
分析：因为已知的三点仅是一般的点，故设y ＝2ax bx c ++，则 223a b c a b c c ++=⎧⎪-+=-⎨⎪=⎩，解得323a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩
，
故所求的二次函数表达式为y ＝2323x x -++．
二、如果已知条件是二次函数的最大（小）值，或者是图象的顶点坐标，那么一般采用配方式y ＝()2a x m n -+（a ≠0）．
例2 已知二次函数的图象的顶点坐标为（2，－3），且经过点（0，2），求这个函数的表达式．
分析：因为图象的顶点为（2，－3），故可设其表达式为y ＝()223a x --，又经过点（0，3），故
3＝()2033a --，解得a ＝
23， 所以y ＝()22333
x --． 三、如果已知条件是二次函数图象与x 轴交点坐标，那么可采用两根式y ＝a （x －1x ）（x －2x ）（a ≠0）．
例3 已知二次函数的图象交x 轴于点（－2，0）和（6，0），且经过点（1，15），求它的表达式．
分析：这里1x ＝－2，2x ＝6，故可设y ＝a （x ＋2）（x －6），
把x ＝1，y ＝15代入，得
15＝a ×3×（－5），a ＝－1，
故y ＝－（x ＋2）（x －6）．
四、综合运用各种表达式，再利用比较系数法
例4已知二次函数y ＝c bx ax ++2
的图象的顶点为（2，－3），且在x 轴上截得的线段长为32，求a ，b ，c 的值．
解法一 由已知，二次函数的解析式可化为y ＝3)2(2--x a ，
即y ＝2ax －4ax ＋4a －3，
故a a a a 12)34(4162=--=∆， 由3221=-x x 及求根公式，得3212=a a
，解得a ＝1．
故y ＝3)2(2--x ，
即y ＝2x －4x ＋1，
所以a ＝1，b ＝－4，c ＝1．
解法二 设抛物线交x 轴于A 1212(0)(0)()x B x x x ，，，≤，则由AB ＝32得 3221-=-x x ， （1）
又对称轴为x ＝2，故222
1=+x x ， （2）
由（1）、（2）解得321-=x ，322+=x ，故可设
y ＝(22a x x ---，
又抛物线经过（2，－3），故
－3＝a )3(3-，a ＝1，
所以y ＝)32)(32(--+-x x ，
即y ＝2x －4x ＋1，
所以a ＝1，b ＝－4，c ＝1．。