北师大版二次函数的图像和性质
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2.2二次函数的图像和性质(第二课时) 课件 2022—2023学年北师大版数学九年级下册
y y=x2+1
10
8
6
4
2 y=x2-1
-5 -2
5
x
讨论 （1）抛物线y=x2+1、y=x2-1的 开口方向、对称 轴、顶点各是什么？
抛物线 y=X2+1
y=x2-1
开口方向 对称轴 顶点坐标
向上
y轴
(0，1)
向上
y轴
(0，-1)
y y=x2+1
10
8
6
4
2 y=x2-1
-5 -2
5
x
讨论 （2）抛物线y=x2+1、y=x2-1与y=x2 有什么位置关系？
就得到抛物线y=ax2+k； 把抛物线y=ax2向下平移k个单位，
下
就得到抛物线y=ax2-k
减
在同一直角坐标系中，
y
画出下列二次函数的图象：
2
y=-0.5x2， y=-0.5x2+2 ,
1
y=-0.5x2-2
-5 -4 -3 -2 -1-1 o 1 2 3 4 5 x
观察三条抛物线的相互关系， 并分别指出它们的开口方向、 对称轴及顶点。
x 2和y=2x 2 的(图1)像列表
(2) 描点
当a＜0时，它 的图象又如 何呢？
10 9
y
y
2x2
8
7
y 1 x2 2
(3) 连线
6
函数
y=
1 2
x
2,
y=2x
2
5 4
的图像与函数 y=x 2(图中
3 2
虚线图形)的图像相比，有
1
什么共同点和不同点?
-5-4-3-2-1 o1 2 3 4 5 x
北师大版数学九年级下册课件二次函数的图像与性质第二课时
2.如图,两条钢缆具有相同的抛物线形状.按照图中的直
角
坐
标
系
,
左
面
的
一
条
抛 y 物 9 线 x2 9可x 10以 400 10
用
表示,而且左右两条抛物线关于y轴对称．
⑴钢缆的最低点到桥面的距离是多少？ ⑵两条钢缆最低点之间的距离是多少？
老师提示: 结合二次函数的图像 和性质，灵活运用顶 点坐标公式.
2.2 二次函数的图像和性质
第二课时
➢ 用心做一做 下面接着讨论y=ax²，y=a（x-h）²的二次函数的图像和 性质.
画出二次函数y=2（x-1）²的图像.
①完成下表:
x
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
y=2（x-1）2 50 32 18 8 2 0 2 8 18
观察上表你能发现2（x-1）²与2x²的值有什么关系？
当x b 时,最小值为 4ac b2
2a
4a
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
当x b 时,最大值为 4ac b2
2a
4a
➢ 用心做一做
➢1.确定下列二次函数图像的对称轴和顶点坐标： （1）y=3x2-6x+7；
（2）y=2x2-12x+8.
2.指出下列二次函数的开口方向，对称轴和顶点坐标， 必要时画草图进行验证： （1）y=2（x-3）²-5； （2）y=-0.5（x+1）² ;
（3）y=-3/4x²;
（4）y=2（x-2）²+5 ;
（5）y=-0.5（x+4）² +2;（6）y=--3/4（x-1）² .
➢ 我们已经认识了形如y=a（x-h）²+k的二次函数的图像 和性质，你能研究二次函数y=2x²-4x+5的图像和性质吗？
二次函数的图象与性质-2022-2023学年九年级数学下册教材配套教学课件(北师大版) (2)
即可．
【详解】解：抛物线y=(x-3)2的顶点坐标是(3,0)，
故选A．
2．已知点(1,y1),(2,y2),(-3,y3)都在函数y=-2x2的图像上，
则下列结论正确的是（
）
A．y3＜y2＜y1
B．y1＜y2＜y3
C．y1＜y3＜y2
D．y2＜y1＜y3
【答案】A
【分析】根据二次函数图像与性质，结合-2＜0确定开口向下，
当x>0时，y随x的增大而减小，
当x=0时，ymax=0.
抛物线关于y轴对称.
-4 -2 0
-3
-6
-9
顶点坐标是（0，0）；是抛物线
上的最高点.
2
4
x
要点归纳
y＝x2
y＝－x2
y
图象
位置开
口方向
对称性
顶点
最值
增减性
O
y
x
O
x
开口向上,在x轴上方 开口向下,在x轴下方
关于y轴对称，对称轴方程是直线x＝0
北师大版九年级下册
第二章 二次函数
2.2 二次函数的图象与性质
第1课时 y=x2和y=－x2的图象与性质
新课导入
讲授新课
当堂检测
课堂小结
学习目标
1、掌握y=ax2的图象，知道它的图象是一条抛物线；
2、掌握用描点法画y=x2和y=-x2的图象；
3、掌握y=ax2的图象与性质，并灵活运用该图像的性质解决
时呢？
当x<0时，y随x的增大而减小；
当x>0时，y随x的增大而增大.
问题4 当x取何值时，y的值最小？
最小值是什么？
x=0时，ymin=0.
【详解】解：抛物线y=(x-3)2的顶点坐标是(3,0)，
故选A．
2．已知点(1,y1),(2,y2),(-3,y3)都在函数y=-2x2的图像上，
则下列结论正确的是（
）
A．y3＜y2＜y1
B．y1＜y2＜y3
C．y1＜y3＜y2
D．y2＜y1＜y3
【答案】A
【分析】根据二次函数图像与性质，结合-2＜0确定开口向下，
当x>0时，y随x的增大而减小，
当x=0时，ymax=0.
抛物线关于y轴对称.
-4 -2 0
-3
-6
-9
顶点坐标是（0，0）；是抛物线
上的最高点.
2
4
x
要点归纳
y＝x2
y＝－x2
y
图象
位置开
口方向
对称性
顶点
最值
增减性
O
y
x
O
x
开口向上,在x轴上方 开口向下,在x轴下方
关于y轴对称，对称轴方程是直线x＝0
北师大版九年级下册
第二章 二次函数
2.2 二次函数的图象与性质
第1课时 y=x2和y=－x2的图象与性质
新课导入
讲授新课
当堂检测
课堂小结
学习目标
1、掌握y=ax2的图象，知道它的图象是一条抛物线；
2、掌握用描点法画y=x2和y=-x2的图象；
3、掌握y=ax2的图象与性质，并灵活运用该图像的性质解决
时呢？
当x<0时，y随x的增大而减小；
当x>0时，y随x的增大而增大.
问题4 当x取何值时，y的值最小？
最小值是什么？
x=0时，ymin=0.
北师大版九年级数学下册《二次函数——二次函数的图象与性质》教学PPT课件(4篇)
5
这两种呢?有没有其他形式的二次
3
函数？
4Байду номын сангаас
2
1
–4
–3
–2
–1
O
–1
–2
–3
–4
–5
–6
–7
–8
–9
–10
1
2
3
4
x
y =－x2
新知讲解
在画有y
=x2直角坐标系中，画出
=
，y
=2x2的图象.
①列表； ②描点； ③连线.
10
y
y=2x2
9
x
··· －2 －1
y =x2
8
0
1
2
···
7
6
D．抛物线y＝－3x2向上平移1个单位得到
新知讲解
在同一坐标系中，画出二次函数 = − ,y=− + ，
y=−
− 的图象，并分别指出它们的开口方向，对称轴和顶
点坐标，指明抛物线y=− + 通过怎样的平移可得到抛物线
=
−
-4
− .
如图所示
关于y轴对称，对称轴方程是直线x＝0
顶点坐标是原点（0，0）
当x=0时，y最小值=0
当x=0时，y最大值=0
在对称轴左侧递减
在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增
在对称轴右侧递减
典例精析
已知二次函数y=x2.求：
（1）当x=5时，y的值；
（2）当y=4时，x的值；
（3）当x为何值时，y随x的增大而增大？
九年级数学北师大版初三下册--第二单元2.2 《二次函数的图象和性质(第四课时)》课件
2
负半轴上，所以不与x轴相交；函数y＝
3 2
x2－1与y＝
3 (x－1)2的二次项系数相同，所以抛物线的形状相同，
2
因为对称轴和顶点的位置不同，所以抛物线的位置不同；
抛物线y＝
1 2
x
1 2
2
的顶点坐标为
1 2
，0
；抛物线y＝
1 2
x+
1 2
2
的对称轴是直线x＝－
1 2
.
总结
知2－讲
本题运用了性质判断法和数形结合思想，运用二 次函数的性质，画出图象进行判断．
y 1 (x 1)2 …
2
-2 -0.5
0 -0.5
-2 -4.5 -8 …
y 1 (x 1)2 … -8 -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 …
2
y
画出二次函数 y = - 1 ( x + 1)2
与
y= -
1(x-
2 1)2 的图像,
2
1
-5 -4 -3 -2 -1-1 o 1 2 3 4 5 x
知识点 1 二次函数y=a(x-h)2的图象
知1－导
议一议
二次函数y= 1 (x-1)2的图象与二次函数y= 1 x2
2
2
的图象有什么关系？
类似地，你能发现二次函数y= 1 (x+1)2的图象与
二次函数y=
1
2 (x-1)2的图象有什么关系吗？
2
知1－导
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
的开口方向、对称
轴、顶点坐标、增减性和最值?
(2)抛物线
y= -
1(x2
1)2
负半轴上，所以不与x轴相交；函数y＝
3 2
x2－1与y＝
3 (x－1)2的二次项系数相同，所以抛物线的形状相同，
2
因为对称轴和顶点的位置不同，所以抛物线的位置不同；
抛物线y＝
1 2
x
1 2
2
的顶点坐标为
1 2
，0
；抛物线y＝
1 2
x+
1 2
2
的对称轴是直线x＝－
1 2
.
总结
知2－讲
本题运用了性质判断法和数形结合思想，运用二 次函数的性质，画出图象进行判断．
y 1 (x 1)2 …
2
-2 -0.5
0 -0.5
-2 -4.5 -8 …
y 1 (x 1)2 … -8 -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 …
2
y
画出二次函数 y = - 1 ( x + 1)2
与
y= -
1(x-
2 1)2 的图像,
2
1
-5 -4 -3 -2 -1-1 o 1 2 3 4 5 x
知识点 1 二次函数y=a(x-h)2的图象
知1－导
议一议
二次函数y= 1 (x-1)2的图象与二次函数y= 1 x2
2
2
的图象有什么关系？
类似地，你能发现二次函数y= 1 (x+1)2的图象与
二次函数y=
1
2 (x-1)2的图象有什么关系吗？
2
知1－导
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
的开口方向、对称
轴、顶点坐标、增减性和最值?
(2)抛物线
y= -
1(x2
1)2
新北师大版九年级数学下册第二章《二次函数的图像与性质》优质课件
4
y
2 y=-x2+3
-1 0
-5
函数y=-x2-2的图
象可由y=-x2的图
象沿y轴向下平移
2个单位长度得到.
O
5x
10
y=-x2
-2
-4
-6
y=-x2-2
-8
图象向上移还是向下移,移多少个 单位长度,有什么规律吗?
二次函数y=ax2+k的性质
y＝ax2+k 图象 开口
a>0
a<0
y
y
(0,k)
o
增大而
减小，
当x= 0 时，取得最 大 值，这个
值等于
5。
（5）抛物线y=7x2-3的开口 向上 ，
对称轴是 y轴 ，顶点坐标
是 (0,-3) ，在对称轴的左侧，y随
x的增大而 减小 ，在对称轴的右侧，
y随x的增大而
增大，
当x= 0 时，取得最 小 值，这个
值等于
-3 。
(6).二次函数y=ax2+c (a≠0)的图象经过
x
开口向上
o (0,k) x
开口向下
a的绝对值越大，开口越小
Hale Waihona Puke 对称性 顶点 增减性关于y轴对称
(0,k)
顶点是最低点 (最小值为k)
顶点是最高点 （最大值为k）
在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减
函数y=ax2 (a≠0)和函数y=ax2+k(a≠0) 的图象形状 相同 ，只是位置不同； 当k>0时，函数y=ax2+k的图象可由 y=ax2的图象向 上 平移 k 个单位得 到，当k<0时，函数y=ax2+k的图象可由 y=ax2的图象向 下 平移 |k| 个单位 得到。
2.2.3 二次函数的图像与性质(第3课时)(课件)-九年级数学下册同步精品课堂(北师版)(共41张PPT)
练一练
将二次函数y＝－2x2的图象平移后，可得到二次函 数y＝－2(x＋1)2的图象，平移的方法是( C )
A．向上平移1个单位 B．向下平移1个单位 C．向左平移1个单位 D．向右平移1个单位
解析：抛物线y＝－2x2的顶点坐标是(0，0)，抛物 线y＝－2(x＋1)2的顶点坐标是(－1，0)．则由二次函 数y＝－2x2的图象向左平移1个单位即可得到二次函 数y＝－2(x＋1)2的图象．故选C.
四 二次函数y=a(x-h)2+k与y=ax2的关系
合作探究
怎样移动抛物线
y
1 2
x2
就可以得到抛物线
y
1 2
(x
1)2
1？
平移方法1
y 1
y 1 x2 2
1
个 单 位
向 下 平 移
y 1 (x 1)2 1 向左平移 y 1 x2 1
2
1个单位
2
-5 -4 -3 -2 -1-1 O1 2 3 4 5 x
向右平移 1个单位
y 1 x 12
2
知识要点 二次函数y=a（x-h)2的图象与y=ax2 的图象的关系
可以看作互相平移得到(h>0). 当向右平移 ︱h︱ 时
y=ax2 当向左平移 ︱h︱ 时
左右平移规律：
括号内左加右减；括号外不变.
y=a(x-h)2 y=a(x+h)2
例2 抛物线y＝ax2向右平移3个单位后经过点(－1，4)， 求a的值和平移后的函数关系式．
解析：抛物线y=-（x-1）2+1的对称轴为直线x=1， ∵a＜0， ∴抛物线开口向下， ∵-1＜x1＜0，3＜x2＜4， ∴y1＞y2．
12.抛物线 y x2 4与x轴交于B,C两点，顶点为A， 则△ABC的周长为（ B ）
数学北师大版九年级上册二次函数的图像与性质
XXX
PART 03
二次函数与一元二次方程 关系
REPORTING
一元二次方程求解方法回顾
公式法
对于一般形式的一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$，可以使用求根公式 $x = frac{-b pm sqrt{b^2 4ac}}{2a}$ 来求解。
配方化为 两个一次方程的乘积，然后分别解这 两个一次方程得到原方程的解。
利用二次函数图像解一元二次方程
观察二次函数图像与x轴的交点情况，若有一个交点，则对应的一元二次方程有一个实数根 ；若有两个交点，则对应的一元二次方程有两个实数根；若没有交点，则对应的一元二次方 程没有实数根。
利用二次函数的对称性，可以确定一元二次方程的根的和与积，进一步求解一元二次方程。
通过分析二次函数图像的开口方向、顶点坐标等特征，可以判断一元二次方程的根的范围和 性质。
练习题目2
已知二次函数$y = -x^2 + 2x + 8$，求该函数图像的顶点坐标和对称轴方程，并判断该 函数图像与坐标轴的交点情况。
练习题目3
已知二次函数$y = ax^2 + bx + c$的图像经过点$A(-1,0)$，$B(3,0)$和$C(1,-8)$，求 该二次函数的解析式，并判断该函数图像开口方向、顶点坐标和对称轴方程。
当函数图像关于原点对称时，函数表达式由f(x)变为-f(-x)，即图像在原点处中心对 称。
伸缩变换规律
当函数图像在x轴方向伸缩a倍时，函数表达式由f(x)变为f(ax) ，若a>1则图像在x轴方向压缩为原来的1/a，若0<a<1则图 像在x轴方向拉伸为原来的a倍。
当函数图像在y轴方向伸缩b倍时，函数表达式由f(x)变为 bf(x)，若b>1则图像在y轴方向拉伸为原来的b倍，若0<b<1 则图像在y轴方向压缩为原来的1/b。
数学北师大版九年级下册第二章二次函数图像和性质教案
2.2二次函数的图像和性质（第二课时）教学目标知识与技能1、能作出2ax y =和c ax y +=2的图像||，并研究它们的性质.2、比较2ax y =和c ax y +=2的图像与2x y =的异同.理解a 与c 对二次函数图像的影响. 过程与方法1、经历探索二次函数2ax y =和c ax y +=2的图像的作法和性质的过程||，进一步获得将表格、表达式、图像三者联系起来的经验.2、通过比较2ax y =||， c ax y +=2与2x y =的图像和性质的比较||，培养学生的比较、鉴别能力.情感、态度与价值观让学生积极投身于数学学习活动中||，有助于培养他们的好奇心与求知欲.经过自己的努力得出的结论||，不仅使他们记忆犹新||，还能建立自信心.由学生自己思考在经过合作交流完成的数学活动||，不仅能使学生学到知识||，还能使他们互相增进友谊.教学重点、难点教学重点：描点法画出二次函数c ax y +=2的图象||，理解二次函数c ax y +=2的性质||，理解函数c ax y +=2与函数2ax y =的相互关系是教学重点会用描||。
教学难点：正确理解二次函数c ax y +=2的性质||，理解抛物线c ax y +=2与抛物线2ax y =的关系是教学的难点||。
关键：掌握2ax y =和c ax y +=2的图像与2x y =的异同.理解a 与c 对二次函数图像的影响. 突破方法： 根据设问层层深入逐个破解||，然后进行类比、归纳、总结的探索模式学习||，最后得出2ax y =和c ax y +=2的图像与2x y =的异同及a 与c 对二次函数图像的影响教学准备:教师准备：多媒体课件（用于展示操作过程||，引导讨论||，出示答案）．学生准备：课前预习||，两张坐标纸画图工具．教学过程(一)创设问题情景||，引入新课知识回顾：1．二次函数2x y =的图象是____||，它的开口向_____||，顶点坐标是_____；对称轴是______||，在对称轴的左侧||，y 随x 的增大而______||，在对称轴的右侧||，y 随x 的增大而______||，函数2ax y =与x ＝______时||，取最______值||，其最______值是______||。
第二章 二次函数-2022-2023学年九年级数学下册教材配套教学课件(北师大版)
ax2+c≥kx+m的解集是____．
【答案】-4≤x≤1
【点睛】本题考查了二次函数与不等式的关系，
主要利用了数形结合的思想，解题关键在于对图
像的理解，谁大谁的图象在上面．
典例精析
12．仙桃市大力推进义务教育均衡发展，加强学校
标准化建设，计划用三年时间对全市学校的设施和
设备进行全面改造，2020年市政府已投资7.5亿元人
D．2≤m≤3或m≥6
【答案】D
【详解】解：∵抛物线解析式为y=x2-4x+3，
∴对称轴为x=2，由二次函数的对称性可知，
当x=-1和x=5时，函数值y相等，
当x=1和x=3时，函数值y相等，
即当满足-1＜x＜1和3＜x＜5的函数值相同，
当-1＜x1＜1，存在一个正数m，当m-1＜x2＜m
时，都有y1≠y2，
知识点7 二次函数的应用
知识点总结
知识点一、二次函数的定义
1．一般地，如果y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，
a≠0)，那么y叫做x的二次函数．特别地，当a≠0，b＝
c＝0时，y＝ax2是二次函数的特殊形式．
2．二次函数的三种基本形式
(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)；
B，若点B关于( ,0)的对称点C恰好落在抛物线上，
则a值为_____．
【答案】−
【分析】先根据二次函数的性质及题意求出点B的
坐标，再根据对称的性质求出点C的坐标，最后将
点C的坐标代入二次函数解析式求解即可．
典例精析
11．如图，已知抛物线y=ax2+c与直线y=kx+m交
于A(-4,y1),B(1,y2)两点，则关于x的不等式
【答案】-4≤x≤1
【点睛】本题考查了二次函数与不等式的关系，
主要利用了数形结合的思想，解题关键在于对图
像的理解，谁大谁的图象在上面．
典例精析
12．仙桃市大力推进义务教育均衡发展，加强学校
标准化建设，计划用三年时间对全市学校的设施和
设备进行全面改造，2020年市政府已投资7.5亿元人
D．2≤m≤3或m≥6
【答案】D
【详解】解：∵抛物线解析式为y=x2-4x+3，
∴对称轴为x=2，由二次函数的对称性可知，
当x=-1和x=5时，函数值y相等，
当x=1和x=3时，函数值y相等，
即当满足-1＜x＜1和3＜x＜5的函数值相同，
当-1＜x1＜1，存在一个正数m，当m-1＜x2＜m
时，都有y1≠y2，
知识点7 二次函数的应用
知识点总结
知识点一、二次函数的定义
1．一般地，如果y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，
a≠0)，那么y叫做x的二次函数．特别地，当a≠0，b＝
c＝0时，y＝ax2是二次函数的特殊形式．
2．二次函数的三种基本形式
(1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)；
B，若点B关于( ,0)的对称点C恰好落在抛物线上，
则a值为_____．
【答案】−
【分析】先根据二次函数的性质及题意求出点B的
坐标，再根据对称的性质求出点C的坐标，最后将
点C的坐标代入二次函数解析式求解即可．
典例精析
11．如图，已知抛物线y=ax2+c与直线y=kx+m交
于A(-4,y1),B(1,y2)两点，则关于x的不等式
北师大版九年级下册数学教案：2.2二次函数的图像和性质
2.培养学生运用数形结合思想分析二次函数图像，提升几何直观和空间想象能力。
3.培养学生通过探索二次函数图像的规律，培养数据分析观念和推理能力，增强问题解决策略。
4.培养学生在研究二次函数过程中，形成合作交流、勇于探究的学习态度，提高数学学习兴趣和信心。
5.通过对二次函数图像和性质的深入学习，培养学生数学建模素养，为解决实际生活中的问题奠定基础。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-函数图像的绘制：重点讲解如何根据二次函数的一般形式准确绘制出函数图像，包括确定顶点、开口方向等。
-二次函数的性质：强调二次函数图像的对称性、开口方向、最值、增减性等核心性质。
-图像与性质的相互关系：通过实例分析图像特征与函数性质之间的关系，如顶点坐标与最值的关系，a的符号与开口方向的关系。
-理解a对图像的影响：学生需要理解a的值不仅影响图像的开口方向，还决定了图像的“胖瘦”，即函数的增长速率。
举例：
-难点1：对于图像y = ax^2 + bx + c，学生可能难以理解为何顶点坐标可以通过方程的系数直接计算得出。教学中需要通过图示和具体例子来解释这一关系。
-难点2：在理解二次函数的对称性时，学生可能难以将对称轴的概念与实际图像联系起来。可以通过绘制具体的图像，并引导学生观察对称轴与图像的关系来突破这一难点。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了二次函数的基本概念、图像的绘制和性质分析。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对二次函数应用的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决实际问题中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
3.培养学生通过探索二次函数图像的规律，培养数据分析观念和推理能力，增强问题解决策略。
4.培养学生在研究二次函数过程中，形成合作交流、勇于探究的学习态度，提高数学学习兴趣和信心。
5.通过对二次函数图像和性质的深入学习，培养学生数学建模素养，为解决实际生活中的问题奠定基础。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-函数图像的绘制：重点讲解如何根据二次函数的一般形式准确绘制出函数图像，包括确定顶点、开口方向等。
-二次函数的性质：强调二次函数图像的对称性、开口方向、最值、增减性等核心性质。
-图像与性质的相互关系：通过实例分析图像特征与函数性质之间的关系，如顶点坐标与最值的关系，a的符号与开口方向的关系。
-理解a对图像的影响：学生需要理解a的值不仅影响图像的开口方向，还决定了图像的“胖瘦”，即函数的增长速率。
举例：
-难点1：对于图像y = ax^2 + bx + c，学生可能难以理解为何顶点坐标可以通过方程的系数直接计算得出。教学中需要通过图示和具体例子来解释这一关系。
-难点2：在理解二次函数的对称性时，学生可能难以将对称轴的概念与实际图像联系起来。可以通过绘制具体的图像，并引导学生观察对称轴与图像的关系来突破这一难点。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了二次函数的基本概念、图像的绘制和性质分析。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对二次函数应用的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决实际问题中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
北师大版九年级数学下册2.2 二次函数的图像与性质课件
增大。
y ax2 当a<0时，在对称轴的 右侧，y随着x的增大而 减小。
二次函数y=ax2的性质
y＝ax2
a＞0
a＜0图象开口 对性顶点 增减性O O
开口向上
开口向下
a的绝对值越大，开口越小 关于y轴对称
-5
-6
-7
-8 -9
y=－21 x2
-10 y=－2x2
函数y=－ 1 x2,y=－2x2的图像与y=-x2的
2
图像相比,有什么共同点和不同点?
共同点: 开口向下，顶点是原点，对称轴是y轴， 顶点是抛物线的最高点
除顶点外,图像都在x轴下方
不同点: 开口大小不同
y 1
性质：当a＜0时，图象
开口向下，顶点是抛物
4.5 2 0.5
y 10
9 8 7 6 5 4
3 2 1
0 0.5
1 1.5
2 4.5
2…
8…
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x
函数y=
1 2
x2,y=2x2的图像与函数y=x2的
图像相比,有什么共同点和不同点?
共同点: 开口向上，顶点是原点，顶点是抛物线 的最低点，对称轴是y轴， 除顶点外,图像都在x轴上方 y= 2x2 y=x2
y
y=x2
o
x
y
o
x
y=－x2
从图象可以看出,二次函数 y=x2和y=－x2的图象都是轴对 称图形,y轴是它们的对称轴.
抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点.
抛物线y=x2的顶点(0,0)是它的最低点.
抛物线y=－x2的顶点(0,0)是它的最高点.
实际上，每条抛物线都有对称轴， 抛物线与对称轴的交点叫做抛物线 的顶点；顶点是抛物线的最低点或 最高点
y ax2 当a<0时，在对称轴的 右侧，y随着x的增大而 减小。
二次函数y=ax2的性质
y＝ax2
a＞0
a＜0图象开口 对性顶点 增减性O O
开口向上
开口向下
a的绝对值越大，开口越小 关于y轴对称
-5
-6
-7
-8 -9
y=－21 x2
-10 y=－2x2
函数y=－ 1 x2,y=－2x2的图像与y=-x2的
2
图像相比,有什么共同点和不同点?
共同点: 开口向下，顶点是原点，对称轴是y轴， 顶点是抛物线的最高点
除顶点外,图像都在x轴下方
不同点: 开口大小不同
y 1
性质：当a＜0时，图象
开口向下，顶点是抛物
4.5 2 0.5
y 10
9 8 7 6 5 4
3 2 1
0 0.5
1 1.5
2 4.5
2…
8…
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x
函数y=
1 2
x2,y=2x2的图像与函数y=x2的
图像相比,有什么共同点和不同点?
共同点: 开口向上，顶点是原点，顶点是抛物线 的最低点，对称轴是y轴， 除顶点外,图像都在x轴上方 y= 2x2 y=x2
y
y=x2
o
x
y
o
x
y=－x2
从图象可以看出,二次函数 y=x2和y=－x2的图象都是轴对 称图形,y轴是它们的对称轴.
抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点.
抛物线y=x2的顶点(0,0)是它的最低点.
抛物线y=－x2的顶点(0,0)是它的最高点.
实际上，每条抛物线都有对称轴， 抛物线与对称轴的交点叫做抛物线 的顶点；顶点是抛物线的最低点或 最高点
北师大版九年级下册数学知识点
北师大版九年级下册数学知识点北师大版九年级下册数学知识点1 二次函数及其图像二次函数(quadratic function)是指未知数的次数为二次的多项式函数。
二次函数可以表示为f(x)=ax^2+bx+c(a不为0)。
其图像是一条主轴平行于y轴的抛物线。
一般的，自变量x和因变量y之间存在如下关系：一般式y=ax∧2;+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为(-b/2a，-(4ac-b∧2)/4a) ;顶点式y=a(x+m)∧2+k(a≠0,a、m、k为常数)或y=a(x-h)∧2+k(a≠0,a、h、k为常数)，顶点坐标为(-m，k)对称轴为x=-m，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax∧2的图像相同，有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式;交点式y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A(x1，0)和B(x2，0)的抛物线] ;重要概念：a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a0时，开口方向向上，a0时，开口方向向下。
a的绝对值还可以决定开口大小,a的绝对值越大开口就越小,a的绝对值越小开口就越大。
牛顿插值公式(已知三点求函数解析式)y=(y3(x-x1)(x-x2))/((x3-x1)(x3-x2)+(y2(x-x1)(x-x3))/((x2-x1)(x2-x 3)+(y1(x-x2)(x-x3))/((x1-x2)(x1-x3) 。
由此可引导出交点式的系数a=y1/(x1x2) (y1为截距)求根公式二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
求根公式x是自变量，y是x的二次函数x1,x2=[-b±(√(b^2-4ac))]/2a(即一元二次方程求根公式)(如右图)求根的方法还有因式分解法和配方法在平面直角坐标系中作出二次函数y=2x的平方的图像，可以看出，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。
不同的二次函数图像如果所画图形准确无误，那么二次函数将是由一般式平移得到的。
北师大版高中数学必修第一册 第一章 4-1《一元二次函数》课件PPT
函数在 = ℎ处有最大值,记作 =
最值
提示：y=ax2+bx+c=a
2 4−2
4−2
x+ 2 + 4 (a≠0).所以h=-2,k= 4 .
即时巩固
1 +2
时,y等于(
2
设一元二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像与x轴交点的横坐标为x1,x2,且x1≠x2,则当x=
3
(2)该函数的对称轴为x=2,所给区间[2,3]在对称轴的同侧,都在右侧,
又二次项系数为1>0,所以在[2,3]上该函数为随x的增大而增大,
所以当x=2时,函数值最小,最小值为-9,当x=3时函数有最大值,最大值为-7.
反思感悟
求一元二次函数在闭区间上的最值的方法
一看开口方向;二看对称轴和区间的相对位置,简称“两看法”.只需作出二次函数相关的部分简图,利用数形结
新知学习
情境导学
现准备要围成一个矩形花圃,花圃的一边利用足够长的墙,另外三边用总长为32米
的篱笆恰好围成,围成的花圃是如图所示的矩形ABCD,设AB边的边长为x米,问当x取
何值时,矩形的面积最大?同学们这道题目不陌生吧,在初中我们学过了一元二次函数,
知道了其图象为抛物线,并了解其图象的开口方向、对称轴、顶点等特征.
1.将抛物线y=(x-2)2+1向左平移2个单位长度,得到的新抛物线的顶点坐标是( B )
A.(4,1)
B.(0,1) C.(2,3) D.(2,-1)
2.一元二次函数y=-x2+2x-5,当x取全体实数时,有( C )
A.最大值-5
B.最小值-5C.最大值-4
D.最小值-4
新北师大版九年级数学二次函数知识点归纳总结
九年级数学中的二次函数是一个非常重要的内容，主要包括函数定义、图像和性质、解析式、根与系数之间的关系、应用等方面的知识。
下面对这些知识点进行归纳总结。
1. 二次函数的定义：二次函数是指形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数且a ≠ 0。
2.二次函数的图像和性质：-当a>0时，二次函数的图像是一个开口向上的抛物线，顶点在最低点；当a<0时，二次函数的图像是一个开口向下的抛物线，顶点在最高点。
-顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))，其中-b/2a为对称轴的横坐标，f(-b/2a)为对称轴上的纵坐标。
-当函数的a值较大时，抛物线开口越大，图像越扁平；当a值较小时，抛物线开口越小，图像越瘦高。
-当函数的c值为正时，图像在y轴上方；当c值为负时，图像在y轴下方。
-二次函数的对称轴与x轴交点为顶点坐标的x坐标。
-二次函数的图像关于对称轴对称。
3. 二次函数的解析式：二次函数的一般形式是f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，可以用来表示二次函数的解析式。
4.根与系数之间的关系：- 二次函数的根是函数f(x) = ax^2 + bx + c的解，即使得f(x) = 0的x值。
二次函数的根可能有两个、一个或没有。
-当二次函数有两个根时，即存在两个解x1和x2，那么二次函数可以表示为f(x)=a(x-x1)(x-x2)。
-二次函数的根与系数之间的关系可由韦达定理得到。
设二次函数的两个根为x1和x2，则有以下关系：-x1+x2=-b/a-x1*x2=c/a5.二次函数的应用：-二次函数可以应用于描述各类抛物线问题，如求抛物线的顶点、根、对称轴等。
-二次函数可以用来表示抛物线轨迹的运动问题，如抛物线运动的高度、时间等。
总结：二次函数是九年级数学中的重要内容，掌握二次函数的定义、图像和性质、解析式、根与系数之间的关系以及应用可以帮助我们更好地理解和解决与抛物线相关的问题。
高考北师大版数学总复习课件：2.4二次函数的图像与性质
f ( x )＝ ax2＋ bx＋ c ( a <0)
奇偶性 b＝ 0 时为偶函数， b≠ 0 时为非奇非偶函数 对称性
b x＝－ 2a 成轴对称图形 图像关于直线
a 决定图像开口方向， a 与 b 决定对称轴位置， c 决定图像与 y 轴的交点位置， a、 b、 c 决定图 像的顶点
a、 b、 c 的作用
4ac－b2 －∞， 4a
b x∈－∞，－ 2a 在
b x∈－∞，－ 2a 在
增减性
上单调减
b x∈－ ，＋∞ 2a 在
上单调增
b x∈－ ，＋∞ 2a
在
上单调增
上单调减
解析式
f ( x )＝ ax2＋ bx＋ c ( a >0)
[解析] y＝ x2＋ 4x＋ 3＝ (x＋ 2)2－ 1， 对称轴 x＝－ 2 在 [－ 1,0] 的左侧，所以函数在 [－1,0]上单调递增．故当 x＝0 时， f(x)取 最大值 f(0)＝ 3；当 x＝－1 时，f(x)取最小值 f(－ 1)＝ 0.
7．求函数
2 x ＋ 2x－ 3－2≤ x<0 f(x)＝ 2 x － 2x－ 3 0≤ x≤ 3
的值域．
[解析] 作图像如图所示．
∵ f(－ 1)＝ f(1)＝－4， f(－ 2)＝－3， f(3)＝ 0， f(0)＝－ 3， ∴函数的最大值、最小值分别为 0 和－4，即函数的值域为 [－ 4,0]．
求二次函数的解析式
[例 1] 已知二次函数 f(x)同时满足条件： (1)f(1＋x)＝f(1－x)； (2)f(x)的最大值为 15； (3)f(x)＝0 的两根立方和等于 17. 求 f(x)的解析式．
2.二次函数的图像与性质北师大PPT课件(北师大版)
探究
画二次函数 y x2 的图象。 描点法
解：（1）列表：在 x 的取值范围内列出函数对 应值表：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 …
（2）在平面直角坐标系中描点：
y -4 -3 -2 -1 o
12
视察函数 3 的4 图象x，
-2
它有什么
二次函数y=ax2 的 图象和性质
知识回顾
一次函数的图象 一条直线
反比例函数的图象 双曲线
二次函数的图象是 什么样子的？
探究
画二次函数 y x2 的图象。 描点法
解：（1）列表：视察表达式，选择适当的 x值， 并计算相应的函数值，完成下表：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y …9 4 1 0 1 4 9…
当x=0时,函数 y的值最小， 最小值是0.
概念学习
二次函数 y = x2 的图像是一条抛物线，它
的开口向上，且关于y轴对称，对称轴与抛 物线的交点是抛物线的顶点，它是图象的最 低点。
二次函数的图象都是抛物线。
一般地，二次函数 y ax2 bx c的图 象叫做抛物线 y ax2 bx c。
特点?
-4
-6
-8
y = - x2
-10
（3）用光滑曲线顺次连接各点，便得到函数y= -x2 的图象.
抛物线 y= -x2在x轴下方(除顶点外)，顶点 是它的最高点，开口向下，并且向下无限伸展， 当x=0时，函数y的值最大，最大值是0.
y
视察二次函数y = x2、y= - x2，
它们有什么关系？ y x2
最值
当x=0时,最小值为0
当x=0时,最大值为0
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二次函数的图象 与性质
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
导入： 回忆以前做一次函数与反比列函
数图像的要求（列表、描点、连线）
想一想
数形结合,直观感受
你会用描点法画二次函数y=x2的图象吗? 观察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算相应的y值,完成下表:
<列表>
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
做一做
描点,连线
y
y=x2
10 8 6 4 2
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x -2
议一议
观察图象,回答问题
(1)你能描述图象的形状吗?与同伴进行交流。 (2)图象 与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么? (3)当x<0时,随着x的值增大,y 的值如何变化？当x>0呢？ (4)当x取什么值时,y的值最小?最小值是什么？你是如何知道的？ (5)图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?请你找出 几对对称点,并与同伴交流。
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=-x2 … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 …
你能根据表格中的数据作 出猜想吗？
做一做
描点,连线
y 2
y=-x2
0
-4 -3 -2 -1
1 2 3 4x
-2
-4
-6
?
-8
-10
做一做
观察图象,回答问题
（1)你能描述图象的形状吗?与同伴进行交流. （2)图象 与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么? （3)当x<0时,随着x的值增大,y 的值如何变化？当x>0呢？ （4)当x取什么值时,y的值最小?最小值是什么？你是如何知道的？
（5)图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?请你找出几 对对称点,并与同伴交流.
做一做 y
函数y=ax2(a≠0)的图象和性质
y
y=x2
0 x
它们之 间有何 关系？
0
x
y=-x2
二次函数y=ax2的性质
y x2
１.顶点坐标与对称轴 ２.位置与开口方向 ３.增减性与最值
根据图形填表：
y x2
抛物线 顶点坐标
对称轴 位置
开口方向 增减性 最值
y=x2 （0，0）
y= -x2 （0，0）
y轴
y轴
在x轴的上方(除顶点外)
在x轴的下方( 除顶点外)
向上
向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
（2）因为 4 2(1)2 ,所以点B（-1 ，-4）不在此抛物线上.
?
（3）由-6=-2x2 ,得x2=3, x 3 所以纵坐标为-6的
点有两个，它们分别是 ( 3,6)与( 3,6)
例题欣赏
2.填空:(1)抛物线y=2x2的顶点坐标是 （0，0） ,对称轴是 在 对称轴的右 侧,y随着x的增大而增大；在 对称轴的左
y x2
二次函数y=x2的 图象形如物体抛射 时所经过的路线,我 们把它叫做抛物线.
这条抛物线关于 y轴对称,y轴就 是它的对称轴.
对称轴与抛物 线的交点叫做 抛物线的顶点.它 是图像的最低点
y x2
当x=-2时，y=4 当x=-1时，y=1 当x<0 (在对称轴的左侧) 时,y随着x的增大而减小.
当x=1时，y=1 当x=2时，y=4
当x>0 (在对称轴的右侧) 时, y随着x的增大而增大.
抛物线y=x2在x轴的上方(除顶点外), 顶点是它的最低点,开口向上,并且向 上无限伸展;当x=0时,函数y的值最小, 最小值是0.
做一做
(1)二次函数y=-x2的图象是什么形状？ (2)先想一想，然后作出它的图象． (3)它与二次函数y=x2的图象有什么关系？
x的增大而减小,当x= 抛物线y=2x2在x轴的
0
时,函数y的值最小,最小值是
上 方(除顶点外).
y轴 , 侧,y随着
0,
(2)抛物线 y 2 x2 在x轴的 下 方(除顶点外),在对称轴的左侧,y随着x 3
的 增大而增大 ；在对称轴的右侧,y随着x的 增大而减小 ,当x=0时,
函数y的值最大,最大值是 0 ,当x
0时,y<0.
小结
拓展
y x2
回味无穷
由二次函数y=x2和y=-x2知：
1.抛物线y=ax2的顶点是原点,对称轴是y轴.
y x2
2.当a>0时,抛物线y=ax2在x轴的上方（除顶点外）,它的开口向上,并且向上 无限伸展；当a<0时,抛物线y=ax2在x轴的下方（除顶点外）,它的开口向下, 并且向下无限伸展.
3.当a>0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小；在对称轴右侧,y随着x的 增大而增大.当x=0时函数y的值最小. 当a<0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧,y随着x增 大而减小,当x=0时,函数y的值最大
下课了!
当x=0时,最小值为0
当x=0时,最大值为0
例题欣赏
1.已知抛物线y=ax2经过点A（-2，-8）. （1）求此抛物线的函数解析式； （2）判断点B（-1，- 4）是否在此抛物线上. （3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标.
解：（1）把（-2，-8）代入y=ax2,得 -8=a(-2)2, 解得a= -2,所求函数解析式为y= -2x2.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
导入： 回忆以前做一次函数与反比列函
数图像的要求（列表、描点、连线）
想一想
数形结合,直观感受
你会用描点法画二次函数y=x2的图象吗? 观察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算相应的y值,完成下表:
<列表>
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
做一做
描点,连线
y
y=x2
10 8 6 4 2
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x -2
议一议
观察图象,回答问题
(1)你能描述图象的形状吗?与同伴进行交流。 (2)图象 与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么? (3)当x<0时,随着x的值增大,y 的值如何变化？当x>0呢？ (4)当x取什么值时,y的值最小?最小值是什么？你是如何知道的？ (5)图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?请你找出 几对对称点,并与同伴交流。
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=-x2 … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 …
你能根据表格中的数据作 出猜想吗？
做一做
描点,连线
y 2
y=-x2
0
-4 -3 -2 -1
1 2 3 4x
-2
-4
-6
?
-8
-10
做一做
观察图象,回答问题
（1)你能描述图象的形状吗?与同伴进行交流. （2)图象 与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么? （3)当x<0时,随着x的值增大,y 的值如何变化？当x>0呢？ （4)当x取什么值时,y的值最小?最小值是什么？你是如何知道的？
（5)图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?请你找出几 对对称点,并与同伴交流.
做一做 y
函数y=ax2(a≠0)的图象和性质
y
y=x2
0 x
它们之 间有何 关系？
0
x
y=-x2
二次函数y=ax2的性质
y x2
１.顶点坐标与对称轴 ２.位置与开口方向 ３.增减性与最值
根据图形填表：
y x2
抛物线 顶点坐标
对称轴 位置
开口方向 增减性 最值
y=x2 （0，0）
y= -x2 （0，0）
y轴
y轴
在x轴的上方(除顶点外)
在x轴的下方( 除顶点外)
向上
向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
（2）因为 4 2(1)2 ,所以点B（-1 ，-4）不在此抛物线上.
?
（3）由-6=-2x2 ,得x2=3, x 3 所以纵坐标为-6的
点有两个，它们分别是 ( 3,6)与( 3,6)
例题欣赏
2.填空:(1)抛物线y=2x2的顶点坐标是 （0，0） ,对称轴是 在 对称轴的右 侧,y随着x的增大而增大；在 对称轴的左
y x2
二次函数y=x2的 图象形如物体抛射 时所经过的路线,我 们把它叫做抛物线.
这条抛物线关于 y轴对称,y轴就 是它的对称轴.
对称轴与抛物 线的交点叫做 抛物线的顶点.它 是图像的最低点
y x2
当x=-2时，y=4 当x=-1时，y=1 当x<0 (在对称轴的左侧) 时,y随着x的增大而减小.
当x=1时，y=1 当x=2时，y=4
当x>0 (在对称轴的右侧) 时, y随着x的增大而增大.
抛物线y=x2在x轴的上方(除顶点外), 顶点是它的最低点,开口向上,并且向 上无限伸展;当x=0时,函数y的值最小, 最小值是0.
做一做
(1)二次函数y=-x2的图象是什么形状？ (2)先想一想，然后作出它的图象． (3)它与二次函数y=x2的图象有什么关系？
x的增大而减小,当x= 抛物线y=2x2在x轴的
0
时,函数y的值最小,最小值是
上 方(除顶点外).
y轴 , 侧,y随着
0,
(2)抛物线 y 2 x2 在x轴的 下 方(除顶点外),在对称轴的左侧,y随着x 3
的 增大而增大 ；在对称轴的右侧,y随着x的 增大而减小 ,当x=0时,
函数y的值最大,最大值是 0 ,当x
0时,y<0.
小结
拓展
y x2
回味无穷
由二次函数y=x2和y=-x2知：
1.抛物线y=ax2的顶点是原点,对称轴是y轴.
y x2
2.当a>0时,抛物线y=ax2在x轴的上方（除顶点外）,它的开口向上,并且向上 无限伸展；当a<0时,抛物线y=ax2在x轴的下方（除顶点外）,它的开口向下, 并且向下无限伸展.
3.当a>0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小；在对称轴右侧,y随着x的 增大而增大.当x=0时函数y的值最小. 当a<0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧,y随着x增 大而减小,当x=0时,函数y的值最大
下课了!
当x=0时,最小值为0
当x=0时,最大值为0
例题欣赏
1.已知抛物线y=ax2经过点A（-2，-8）. （1）求此抛物线的函数解析式； （2）判断点B（-1，- 4）是否在此抛物线上. （3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标.
解：（1）把（-2，-8）代入y=ax2,得 -8=a(-2)2, 解得a= -2,所求函数解析式为y= -2x2.