不等式与不等式组知识点与练习

不等式与不等式组一、知识结构图二、知识要点（一、）不等式的概念1、不等式：一般地，用不等符号（“＜”“＞”“≤”“≥”）表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”表示不等关系的式子也是不等式。

不等号主要包括： ＞ 、 ＜ 、 ≥ 、 ≤ 、 ≠ 。

2、不等式的解：使不等式左右两边成立的未知数的值，叫做不等式的解。

3、不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集（即未知数的取值范围）。

4、解不等式：求不等式的解集的过程，叫做解不等式。

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧与实际问题组一元一次不等式法一元一次不等式组的解不等式组一元一次不等式组性质性质性质不等式的性质一元一次不等式不等式的解集不等式的解不等式不等式相关概念不等式与不等式组)(3215、不等式的解集可以在数轴上表示，分三步进行：①画数轴②定界点③定方向。

规律：用数轴表示不等式的解集，应记住下面的规律：大于向右画，小于向左画，等于用实心圆点，不等于用空心圆圈。

（二、）不等式的基本性质不等式性质1：不等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向 不变 。

用字母表示为：如果b a >，那么c b c a ±>±；如果b a <，那么c b c a ±<± ； 不等式的性质2：不等式的两边同时乘以(或除以)同一个 正数 ，不等号的方向 不变 。

用字母表示为： 如果0,>>c b a ，那么bc ac >(或cb c a >)；如果0,><c b a ，不等号那么bc ac <(或cb c a <)； 不等式的性质3：不等式的两边同时乘以(或除以)同一个 负数 ，的方向 改变 。

用字母表示为： 如果0,<>c b a ，那么bc ac <(或cb c a <)；如果0,<<c b a ，那么bc ac >(或cb c a >)； 解不等式思想——就是要将不等式逐步转化为xa 或x ＜a 的形式。

（注：①传递性：若a ＞b ,b ＞c ,则a ＞c . ②利用不等式的基本性质可以解简单的不等式）（三、）一元一次不等式1、一元一次不等式的概念：一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。

2、任何一个一元一次不等式都可以化为最简形式：ax b＜（a＞或ax b ≠0）的形式。

3、解一元一次不等式的一般步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1（特别要注意不等号方向改变的问题）。

这与解一元一次方程类似，在解时要根据一元一次不等式的具体情况灵活选择步骤。

（四、）一元一次不等式组1、一元一次不等式组的概念：几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。

不等式组中含有一个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1。

2、使不等式组中的每个不等式都成立的未知数的值叫不等式组的解，一个不等式组的所有的解组成的集合，叫这个不等式组的解集解(简称不等式组的解)。

3、不等式组的解集可以在数轴上表示出来。

求不等式组的解集的过程叫解不等式组。

4、当任何数x都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集。

5、一元一次不等式组的解法:解一元一次不等式组的一般步骤：①分别求出这个不等式组中各个不等式的解集；②利用数轴表示出各个不等式的解集；③找出公共部分；④用不等式表示出这个不等式组的解集。

如果这些不等式的解集的没有公共部分，则这个不等式组无解 ( 此时也称这个不等式组的解集为空集 )。

6、求出各个不等式的解集后，确定不等式组的解的口诀：大大取大，小小取小，大小小大取中间，大大小小无处找。

（五、）一元一次不等式（组）的应用一般方法步骤：（1）审：分析题意，找出不等关系；（2）设：设未知数；（3）列：列出不等式组；（4）解：解不等式组；（5）检验：从不等式组的解集中找出符合题意的答案；（6）答：写出问题答案。

1、不等式与不等式组不等式：①用符号〉，=，〈号连接的式子叫不等式。

②不等式的两边都加上或减去同一个整式，不等号的方向不变。

③不等式的两边都乘以或者除以一个正数，不等号方向不变。

④不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向相反。

2、不等式的解集：①能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。

②一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。

③求不等式解集的过程叫做解不等式。

3、一元一次不等式：左右两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的不等式叫一元一次不等式。

4、一元一次不等式组：①关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组。

②一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。

③求不等式组解集的过程，叫做解不等式组。

5、一元一次不等式解题的一般步骤： 去分母、去括号，移项时候要变号，同类项合并好，再把系数来除掉，两边除（以）负数时，不等号改向别忘了．6、一元一次不等式组的解集：大大取较大，小小取较小，小大、大小取中间，小小、大大无处找．7、由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集通常有如下四种类型（其中a ＜b ） 不等式组 数轴表示 解集 顺口溜 x ＞b 大大取较大x ＜a 小小取较小 a ＜x ＜b 大小、小大中间找 无解 大大、小小解不了练习题一 1．已知不等式3x-a ≤0的正整数解恰是1，2，3，则a 的取值范围是 。

2．已知关于x 的不等式组⎩⎨⎧-≥->-1250x a x 无解，则a 的取值范围是 。

x>ax>bx<a x<bx>a x<bx<a x>b3．不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>+≤+0221042x x 的整数解为 。

4．如果关于x 的不等式（a-1）x<a+5和2x<4的解集相同，则a 的值为 。

5．已知关于x 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<++>+01234a x x x 的解集为2<x ，那么a 的取值范围是 。

6．当x 时，代数式52+x 的值不大于零7.若x <１，则22+-x ０（用“>”“=”或“”号填空）8.不等式x 27->１，的正整数解是9. 不等式x ->10-a 的解集为x <３，则a10.若a >b >c ，则不等式组⎪⎩⎪⎨⎧cx b x ax 的解集是11.若不等式组⎩⎨⎧--3212 b x a x 的解集是－１<x <１，则)1)(1(++b a 的值为12.有解集２<x <３的不等式组是 （写出一个即可）13.一罐饮料净重约为３００g ，罐上注有“蛋白质含量6.0 ”其中蛋白质的含量为 _____ g14. 若不等式组⎩⎨⎧3x a x 的解集为x >３，则a 的取值范围是练习题二一、 判断题（每题1分，共6分）1、 a ＞b ，得a ＋m ＞b ＋m （ ）2、 由a ＞3，得a ＞23（ ）3、 x = 2是不等式x ＋3＞4的解 （ ）4、 由－21＞－1，得－2a ＞－a （ ） 5、 如果a ＞b ，c ＜0，则ac 2＞bc 2 （ ）6、 如果a ＜b ＜0，则ba ＜1 （ ） 二、 填空题（每题2分，共34分）1、若a ＜b ，用“＞”号或“＜”号填空：a －5 b －5； －2a －2b ；－1＋2a －1＋2b ；6－a 6－b ； 2、x 与3的和不小于－6，用不等式表示为 ；3、当x 时，代数式2x －3的值是正数；4、代数式41＋2x 的不大于8－2x 的值，那么x 的正整数解是 ； 5、如果x －7＜－5，则x ；如果－2x ＞0，那么x ； 6、不等式ax ＞b 的解集是x ＜ab ，则a 的取值范围是 ； 7、一个长方形的长为x 米，宽为50米，如果它的周长不小于280米，那么x 应满足的不等式为 ；练习题三一、选择题1．下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（ ）A ．2,3x x >⎧⎨<-⎩B ．10,20x y +>⎧⎨-<⎩C ．320,(2)(3)0x x x ->⎧⎨-+>⎩ D ．320,11x x x ->⎧⎪⎨+>⎪⎩2．下列说法正确的是（ ）A．不等式组3,5xx>⎧⎨>⎩的解集是5<x<3 B．2,3xx>-⎧⎨<-⎩的解集是－3<x<－2C．2,2xx≥⎧⎨≤⎩的解集是x=2 D．3,3xx<-⎧⎨>-⎩的解集是x≠33．不等式组2,3482xx x⎧>-⎪⎨⎪-≤-⎩的最小整数解为（）A．－1 B．0 C．1 D．44．在平面直角坐标系中，点P（2x－6，x－5）在第四象限，则x的取值范围是（）A．3<x<5 B．－3<x<5 C．－5<x<3 D．－5<x<－35．不等式组20,30xx->⎧⎨-<⎩的解集是（）A．x>2 B．x<3 C．2<x<3 D．无解二、填空题6．若不等式组2,xx m<⎧⎨>⎩有解，则m的取值范围是______．7．已知三角形三边的长分别为2，3和a，则a的取值范围是_____．8．将一筐橘子分给若干个儿童，如果每人分4个橘子，则剩下9个橘子；•如果每人分6个橘子，则最后一个儿童分得的橘子数将少于3个，由以上可推出，共有_____个儿童，分_____个橘子．9．若不等式组2,20x ab x->⎧⎨->⎩的解集是－1<x<1，则（a+b）2006=______．三、解答题10．解不等式组（1）2(2)4,(1)10(2)32x x x x -≤-⎧⎪+⎨-<⎪⎩ （2）⎩⎪⎨⎪⎧2x －3＜1， ①x －12＋2≥－x ． ② 11．若不等式组1,21x m x m <+⎧⎨>-⎩无解，求m 的取值范围．12、若关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧5－2x ≥－1，x －a ＞2无解，则a 的取值范围是________________．13、已知关于x的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －a ≥0，3－2x ＞－1的整数解共有5个，则 a 的取值范围是_________． 易错点分析：易错点1：误认为一元一次不等式组的“公共部分”就是两个数之间的部分．例1解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －1＞0，①x ＋2＜0．② 错解：由①，得x ＞1，由②，得x ＜－2，所以不等式组的解集为－2＜x ＜1． 错因剖析：解一元一次不等式组的方法是先分别求出不等式组中各个不等式的解集，再利用数轴求出这些不等式解集的公共部分．此题错在对“公共部分”的理解上，误认为两个数之间的部分为“公共部分”（即解集）．实际上，这两部分没有“公共部分”，也就是说此不等式组无解，而所谓“公共部分”的解是指“两线重叠”的部分．此外，有些同学可能会受到解题顺序的影响，把解集表示成1＜x ＜－2或－2＜x ＞1等，这些都是错误的．正解：由①，得x ＞1．由②，得x ＜－2，所以此不等式组无解．易错点2：误认为“同向解集哪个表示范围大就取哪个”． 例2解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋12＞6－3x ， ①4＋x 3－5＞2－2(1＋x )3 ． ② 错解：解不等式①，得x ＞－34．解不等式②，得x ＞5．由于x ＞－34的范围较大，所以不 等式组的解集为x ＞－34．错因剖析：本例错解中，由于对不等式组的解集理解得不深刻，在根据两个解集的范围确定不等式组的解集时，形成错误的认识．其实在求两个一元一次不等式组成的不等式组的解集时，可归纳为以下四种基本类型（设a ＜b ），①⎩⎪⎨⎪⎧x ＞a ，x ＞b ， ②⎩⎪⎨⎪⎧x ＜a ，x ＞b ， ③⎩⎪⎨⎪⎧x ＞a ，x ＜b ， ④⎩⎪⎨⎪⎧x ＜a ，x ＞b ． 利用数可确定它们的解集分别为 ①x ＞b ，②x ＜a ，③a ＜x ＜b ，④空集．也可以用下面的口诀来帮助记忆，“同大取大，同小取小，大小小大中间取，大大小小取不了（空集）”．正解：解不等式①，得x ＞－34．解不等式②，得x ＞5．所以不等式组的解集为x ＞5．易错点3：混淆解一元一次不等式组和解二元一次方程组的方法． 例3 解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2(x ＋3)≤11， ①3x 2＋2(x ＋3)≤3． ②错解：由①＋②，得2x ≤14，即x ≤7，所以不等式组的解集为x ≤7．错因剖析：本例错在将解一元一次不等式组和解二元一次方程组的方法混淆，误将解二元一次方程组中的加减消元法用在解一元一次不等式组中．产生此类错误的根本原因是没有正确区分解一元一次不等式组和解二元一次方程组的不同点，（1）解二元一次方程组时，两个方程不是单独存在的；（2）由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集，可归纳为“独立解，集中到”，即独立地解不等式组中的每一个不等式组中的每一个不等式，在解的过程中，各不等式彼此不发生关系，“组”的作用在最后，即每一个不等式的解集都要求出来后，再利用数轴从“公共部分”的角度去求“组”的解集．正解：由不等式①，得32x ≥－17，即x ≥－343．由不等式②，得72x ≤－3，即 x ≤－67． 所以原不等式组的解集为－343≤x ≤－67．易错点4：在去分母时，漏乘常数项． 例4 解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －3＜1， ①x －12＋2≥－x ． ②错解：由①，得x ＜2．在x －21＋2≥－x 的两边同乘2，得x －1＋2≥－2x ．于是有x ≥－13，所以原不等式组的解集为2＞x ≥－13．错因剖析：解一元一次不等式组，需要先求出每一个不等式的解，最后找出它们的公共部分．对不等式进行变形时，一定要使用同解变形，不然就容易出错．本例的解答过程中没有掌握不等式的运算性质，在去分母时漏乘了中间的一项．此外，还要注意在表示“大小小大中间取”这类不等式的解集时应按一般顺序，把小的那个数放在前面，大的那个数放在后面，用“＜”连接．正解：由①，得x ＜2．在x －12＋2≥－x 的两边同乘2，得x －1＋4≥－2x ．于是有x ≥－1，所以原不等式组的解集为－1≤x ＜2．易错点5：忽视不等式两边同乘（或除以）的数的符号，导致不等式方向出错． 例5 解关于x 的不等式（12－a ）x ＞1－2a ．错解：去分母，得(1－2a )x ＞2(1－2a )．将不等式两边同时除以（1－2a ），得x ＞2．错因剖析：在利用不等式的性质解不等式时，如果不等式两边同乘（或除以）的数是含字母的式子，应注意讨论含字母的式子的符号．本例中不等式两边同乘(或除以)的(1－2a )，在不确定取值符号的情况下进行约分，所以出错．正解：将不等式变形，得(1－2a )x ＞2(1－2a )． （1）当1－2a ＞0时，即a ＜12时，x ＞2； （2）当1－2a ＝0时，即a ＝12时，不等式无解； （3）当1－2a ＜0时，即a ＞12时，x ＜2．例6 如果关于x 的不等式(2a －b )x ＋a －5b ＞0的解集是x ＜107，则关于x 的不等式ax ＞b 的解集是_________．错解：因为不等式（2a －b ）x ＋a －5b ＞0的解集是x ＜107，所以5b －a 2a －b ＝107，则有⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ＝7，5b －a ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝3．从而知ax ＞b 的解集是x ＞35．错因剖析：本题错因有两个，一是忽视了原不等式的不等号方向与解集的不等号方向正好相反；二是对含有字母系数的不等式没有根据解集的情况确定字母系数的取值范围，所以在解题时错误得出⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ＝7，5b －a ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝3．从而错误得到ax ＞b 的解集是x ＞35．正解：由不等式（2a －b ）x ＋a －5b ＞0的解集是x ＜107，得⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ＜0，5b －a 2a －b ＝107，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，b a ＝35．所以ax ＞b 的解集是x ＜35． 易错点6：寻找待定字母的取值范围时易漏特殊情况．例7 若关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧5－2x ≥－1，x －a ＞2无解，则a 的取值范围是________________．错解：由⎩⎪⎨⎪⎧5－2x ≥－1，x －a ＞0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤3，x ＞a ．又因为不等式组无解，所以a 的取值范围是a ＞3．错因剖析：由已知不等式的解集确定不等式组的解集时，可按“同大取大，同小取小，大小小大中间取，大大小小取不了”的基本规律求解，但当已知不等式组的解集而求不等式的解集中待定字母取值范围时则不能完全套用此规律，还应考虑特例，即a ＝3，有x ≤3及 x ＞3，而此时不等式组也是无解的．因此，本题错在没有考虑待定字母的取值范围的特殊情况．正解：由⎩⎪⎨⎪⎧5－2x ≥－1，x －a ＞0得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤3，x ＞a ．又因为不等式组无解，所以a 的取值范围是a ≥3．例8 已知关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －a ≥0，3－2x ＞－1的整数解共有5个，则 a 的取值范围是_________．错解：由⎩⎪⎨⎪⎧x －a ≥0，3－2x ＞－1解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ，x ＜2．又因为原不等式组的整数解共有5个，所以a ≤x ＜2，这 5个整数解为－3，－2，－1，0，1，从而有a ≤－3(或a ＝－3)．错因剖析：本题主要考查同学们是否会运用逆向思维解决含有待定字母的一元一次不等式组的特解．上述解法错在忽视a ≤x ＜2中有5个整数解时，a 虽不唯一，但也有一定的限制，a 的取值范围在－3与－4之间，其中包括－3，但不应包括－4，所以错解在确定 a 的取值范围时扩大了解的范围．正解：由⎩⎪⎨⎪⎧x －a ≥0，3－2x ＞－1解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ，x ＜2．又因为原不等式组的整数解共有5个，所以a ≤x ＜2．又知这5个整数解为－3，－2，－1，0，1．故a 的取值范围是－4＜a ≤－3．总之，对于解一元一次不等式（组）问题，我们要深刻领会一元一次不等式（组）的基础知识，熟悉这6个易错点，牢固地掌握一元一次不等式（组）的解法和步骤，从而远离解一元一次不等式（组）的错误深渊．模拟试卷一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）1．（2002•昆明）将不等式组的解集在数轴上表示，正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．（2002•重庆）已知，关于x的不等式2x﹣a≥﹣3的解集如图所示，则a的值等于（）A．0 B．1 C．﹣1 D．23．（2004•日照）已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（）A．a≤﹣1 B．a≥2C．﹣1＜a＜2 D．a＜﹣1，或a＞24．不等式ax＞a的解集为x＞1，则a的取值范围是（）A．a＞0 B．a≥0C．a＜0 D．a≤05．如果m＜n＜0，那么下列结论不正确的是（）A．m﹣9＜n﹣9 B．﹣m＞﹣n C．D．6．关于x的方程5x+12=4a的解都是负数，则a的取值范围（）A．a＞3 B．a＜﹣3 C．a＜3 D．a＞﹣37．若|3x﹣2|=2﹣3x，则（）A．x=B．x C．x≤D．x≥8．（2011•菏泽）某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则至多可打（）A．6折B．7折C．8折D．9折二、填空题（共9小题，每小题3分，满分27分）9．已知关于x的不等式组的整数解有5个，则a的取值范围是_________．10．某商品的售价是150元，这种商品可获利润10%～20%，设这种商品的进价为x 元，则x的值范围是_________．11．满足x﹣5＜3x+1的x的最小整数是_________．12．如果三个连续自然数的和不大于9，那么这样自然数共有_________组．13．已知2x﹣y=0且x﹣5＞y，则x，y的取值范围分别是_________；_________．14．若a≠0，则不等式ax＞b的解集是_________．15．若不等式组无解，则m的取值范围是_________．16．不等式组的整数解为_________．17．当a＜0时，不等式组的解集是_________．三、解答题（共7小题，满分61分）18．解不等式，并把解集在数轴上表示出来．19．求不等式组的整数解．20．代数式的值是否能同时大于代数式2x+3和1﹣x的值？说明理由．21．若不等式5（x﹣2）+8＜6（x﹣1）+7的最小整数解是方程2x﹣ax=3的解，求的值．22. （2001•陕西）某城市的一种出租车起步价为10元（即行驶5千米以内都需付款10元车费），达到或超过5千米后，每增加1千米加价1.2元（不足1千米按1千米计算），现某人乘这种出租车有甲地到乙地，支付车费17.2元．求甲、乙两地的路程．。