2017-2018学年江苏省徐州一中高一(上)期中数学试卷

2017-2018学年江苏省徐州一中高一（上）期中数学试卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1．（5分）已知集合A={1，2}，B={2，4}，则A∪B=．2．（5分）已知f（x+1）=x，则f（2）=．3．（5分）函数的定义域为．4．（5分）若幂函数f（x）的图象经过点，则=．5．（5分）已知集合M⊆{0，1，2}，且M中含有两个元素，则符合条件的集合M有个．6．（5分）已知函数f（x）=ax++3（a，b∈R），若f（2）=1，则f（﹣2）=．7．（5分）已知函数的定义域为R，则实数a的取值范围是．8．（5分）若关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围是．9．（5分）若2a=3b=36，则的值为．10．（5分）（log43+log83）（log32+log98）=．11．（5分）已知定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）的偶函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（2）=0，则不等式f（x+1）＞0的解集为．12．（5分）已知f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的奇函数，当x＞0时，f（x）=﹣x2+2x若函数f（x）在区间[t，2]上的值域为[﹣1，1]，则实数t的取值范围是．13．（5分）已知定义在R上的函数f（x）=x2﹣2x﹣3，设若函数y=g（x）﹣t有且只有三个零点，则实数t的取值范围是．14．（5分）已知函数f（x）满足f（x+1）=f（x）+1，当x∈[0，1]时，f（x）=3x2﹣2x若对任意实数x，都有f（x+t）＜f（x）成立，则实数t的取值范围．二．计算题：本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（14分）已知集合A=，B={y|y=x2+x+1，x∈R}．（1）求A，B；（2）求A∪B，A∩∁R B．16．（14分）试分别判断下列函数的奇偶性．（1）；（2）．17．（14分）已知函数为奇函数．（1）求m的值；（2）求函数g（x）=f（x）﹣4x﹣4﹣x，x∈[0，1]的值域．18．（16分）某投资公司计划投资A、B两种金融产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润y与投资量x成正比例，其关系如图1，B产品的利润y与投资量x 的算术平方根成正比例，其关系如图2，（注：利润与投资量单位：万元）（1）分别将A、B两产品的利润表示为投资量的函数关系式；（2）该公司已有10万元资金，并全部投入A、B两种产品中，问：怎样分配这10万元投资，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？19．（16分）已知二次函数f（x）满足f（x+1）﹣f（x）=2x（x∈R），且f（0）=1．（1）求f（x）的解析式；（2）若函数g（x）=f（x）﹣2tx在区间[﹣1，5]上是单调函数，求实数t的取值范围；（3）若关于x的方程f（x）=x+m有区间（﹣1，2）上有唯一实数根，求实数m 的取值范围（注：相等的实数根算一个）．20．（16分）已知函数．（1）试判断函数f（x）的单调性，并用单调性的定义给出证明；（2）求函数f（x）（x∈R）的值域；（3）是否存在正整数m，n使成立？若存在，求出所有符合条件的有序数对（m，n）；若不存在，请说明理由．2017-2018学年江苏省徐州一中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1．（5分）已知集合A={1，2}，B={2，4}，则A∪B={1，2，4} ．【分析】利用并集的定义求解．【解答】解：∵集合A={1，2}，B={2，4}，∴A∪B={1，2，4}．故答案为：{1，2，4}【点评】本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题．2．（5分）已知f（x+1）=x，则f（2）=1．【分析】利用函数的性质求解．【解答】解：∵f（x+1）=x，∴f（2）=f（1+1）=1．故答案为：1．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题．3．（5分）函数的定义域为{x|x≥﹣1，且x≠2} ．【分析】由根式内部的代数式大于等于0，0指数幂的底数不等于0联立不等式组求解．【解答】解：由，解得：x≥﹣1，且x≠2．∴函数的定义域为{x|x≥﹣1，且x≠2}．故答案为：{x|x≥﹣1，且x≠2}．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，是基础的计算题．4．（5分）若幂函数f（x）的图象经过点，则=4．【分析】根据幂函数的定义设f（x）=x n，将点的坐标代入即可求得n值，从而求得函数解析式，将代入解析式即可求出所求．【解答】解：设f（x）=x n，∵幂函数y=f（x）的图象过点，∴2n=∴n=﹣2．这个函数解析式为f（x）=x﹣2．则f（）=（）﹣2=4故答案为：4．【点评】解答本题关键是待定系数法求幂函数解析式、指数方程的解法等知识，属于基础题．5．（5分）已知集合M⊆{0，1，2}，且M中含有两个元素，则符合条件的集合M有3个．【分析】符合条件的集合M有：{0，1}，{0，2}，{1，2}．【解答】解：∵集合M⊆{0，1，2}，且M中含有两个元素，∴符合条件的集合M有：{0，1}，{0，2}，{1，2}．∴符合条件的集合M有3个．故答案为：3．【点评】本题考查满足条件的集合的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意子集性质的合理运用．6．（5分）已知函数f（x）=ax++3（a，b∈R），若f（2）=1，则f（﹣2）=5．【分析】推导出f（2）=2a++3=1，从而2a+=﹣2，由此能求出f（﹣2）．【解答】解：∵函数f（x）=ax++3（a，b∈R），f（2）=1，∴f（2）=2a++3=1，∴2a+=﹣2，f（﹣2）=﹣2a﹣+3=2+3=5．故答案为：5．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．7．（5分）已知函数的定义域为R，则实数a的取值范围是[1，+∞）．【分析】由题意可得ax2+2x+1≥0恒成立，讨论a=0，a＞0，a＜0，结合二次函数的图象可得a的不等式，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：函数的定义域为R，即为ax2+2x+1≥0恒成立，若a=0，则2x+1≥0不恒成立；当a＞0，△=4﹣4a≤0，解得a≥1；当a＜0，ax2+2x+1≥0不恒成立．综上可得，a的取值范围是[1，+∞）．故答案为：[1，+∞）．【点评】本题考查函数的定义域问题的解法，注意运用分类讨论思想方法和转化思想，考查运算能力，属于中档题．8．（5分）若关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围是[1，+∞）．【分析】根据题意，设f（x）=x﹣，求出其定义域，分析可得有a≥f（x），分析函数f（x）的单调性可得其最大值，结合a≥f（x）max即可得答案．max【解答】解：根据题意，设f（x）=x﹣，必有1﹣x≥0，即x≤1，若关于x的不等式恒成立，则有a≥f（x）max，而函数f（x）=x﹣在（﹣∞，1]上为增函数，则f（x）max=f（1）=1，则必有a≥1；实数a的取值范围是[1，+∞）；故答案为：[1，+∞）．【点评】本题考查不等式的恒成立问题，注意将原问题转化为函数的最值问题．9．（5分）若2a=3b=36，则的值为．【分析】由2a=3b=36，知a=log236，b=log336，再由化成对数的形式，利用对数的性质能够求出它的值．【解答】解：∵2a=3b=36，∴a=log236，b=log336，则==log362+log363=log366=，故答案为：【点评】本题考查指数式和对数式的互化，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．10．（5分）（log43+log83）（log32+log98）=．【分析】由换底公式我们可将原式转化为以一个以10为底的对数，再利用对数运算性质log（an）Nm=logaN，易求结果．【解答】解：原式=（）（）=（）（）=•=．故答案为【点评】本题考查的知识点是对数的运算性质，换底公式，熟练掌握对数的运算性质及换底公式及其推论是解答对数化简求值类问题的关键．11．（5分）已知定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）的偶函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（2）=0，则不等式f（x+1）＞0的解集为（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）．【分析】由已知中函数f（x）是定义在实数集R上的偶函数，根据偶函数在对称区间上单调性相反，结合f（x）上在（0，+∞）为单调增函数，易判断f（x）在（﹣∞，0]上的单调性，根据单调性的定义即可求得【解答】解：∵定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）的偶函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（2）=0，∴f（x）在（﹣∞，0）上为减函数，且f（﹣2）=0，若f（x+1）＞0，则x+1＞2或x+1＜﹣2，解得x＞1或x＜﹣3，故答案为：（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）．【点评】本题考查的知识点是函数单调性的应用，其中利用偶函数在对称区间上单调性相反，判断f（x）在（﹣∞，0]上的单调性是解答本题的关键12．（5分）已知f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的奇函数，当x＞0时，f（x）=﹣x2+2x若函数f（x）在区间[t，2]上的值域为[﹣1，1]，则实数t的取值范围是[﹣1﹣，﹣1] ．【分析】作出f（x）的函数图象，根据图象得出t的范围．【解答】解：当x＜0时，f（x）=﹣f（﹣x）=﹣（x2﹣2x）=x2+2x，作出f（x）的函数图象如图所示：∵函数f（x）在区间[t，2]上的值域为[﹣1，1]，∴﹣1﹣≤t≤﹣1．故答案为：．【点评】本题考查了奇函数的性质，属于中档题．13．（5分）已知定义在R上的函数f（x）=x2﹣2x﹣3，设若函数y=g（x）﹣t有且只有三个零点，则实数t的取值范围是（0，3]∪{4} ．【分析】化简g（x）的表达式，画出函数y=g（x）与y=t的图象，利用函数有三个零点，即函数y=g（x）与y=t的图象有三个交点，转化求解实数t的取值范围．【解答】解：函数f（x）=x2﹣2x﹣3，设=，函数y=g（x）与y=t的图象如图：函数y=g（x）﹣t有且只有三个零点，可知函数y=g（x）与y=t的图象有三个交点，由图象可知t∈（0，3]∪{4}．故答案为：（0，3]∪{4}．【点评】本题考查了二次函数的性质，分段函数的应用，函数的单调性问题，考查图象的交点问题，数形结合是关键．14．（5分）已知函数f（x）满足f（x+1）=f（x）+1，当x∈[0，1]时，f（x）=3x2﹣2x若对任意实数x，都有f（x+t）＜f（x）成立，则实数t的取值范围（﹣∞，﹣）．【分析】作出函数图象，根据图象得出t的范围．【解答】解：作出f（x）的部分函数图象如图所示：∵对任意实数x，都有f（x+t）＜f（x）成立，∴t＜1﹣=﹣．故答案为：．【点评】本题考查了不等式与函数图象的关系，属于中档题．二．计算题：本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（14分）已知集合A=，B={y|y=x2+x+1，x∈R}．（1）求A，B；（2）求A∪B，A∩∁R B．【分析】（1）求定义域得集合A，求值域得集合B；（2）根据定义计算A∪B和A∩（∁R B）．【解答】解：（1）由x2﹣x≥0，得x（x﹣1）≥0，解得x≤0或x≥1，所以A=（﹣∞，0]∪[1，+∞）；由y=x2+x+1=+≥，得B=[，+∞）；…（7分）（2）因为∁R B=（﹣∞，），所以A∪B=（﹣∞，0]∪[，+∞），A∩（∁R B）=（﹣∞，0]．…（14分）【点评】本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题．16．（14分）试分别判断下列函数的奇偶性．（1）；（2）．【分析】（1）求得函数的定义域，计算f（﹣x）与f（x）比较，即可得到f（x）的奇偶性；（2）求得函数的定义域为R，再由对数的运算性质可得g（x），计算g（﹣x）与g（x）比较，即可得到g（x）的奇偶性．【解答】解：（1），可得1﹣x2≥0，且|x+2|﹣2≠0，解得﹣1≤x＜0且0＜x≤1，则f（x）=，由f（﹣x）==﹣=﹣f（x），则f（x）为奇函数；（2），x∈R，且g（x）=log4（4x+1）﹣log44=log4（4x+1）÷4=log4（2x+2﹣x），则g（﹣x）=log4（2﹣x+2x）=g（x），则g（x）为偶函数．【点评】本题考查函数的奇偶性的判断，注意运用定义法解题，首先考虑定义域是否关于原点对称，考查运算能力，属于中档题．17．（14分）已知函数为奇函数．（1）求m的值；（2）求函数g（x）=f（x）﹣4x﹣4﹣x，x∈[0，1]的值域．【分析】（1）因为函数为奇函数，所以f（x）+f（﹣x）=0恒成立，进而可得m的值；（2）由（1）知函数f（x）=，所以函数f（x）在x∈[0，1]上为增函数，所以可得f（x）∈[0，]．令t=f（x），则y=g（x）=t﹣（t2+2）=﹣t2+t﹣2=﹣（t﹣）2﹣进而得到答案．【解答】解（1）因为函数为奇函数，所以f（x）+f（﹣x）=0恒成立．…（2分）又f（x）+f（﹣x）=+=（1+m）（）因为＞0，所以1+m=0，m=﹣1．…（4分）（2）由（1）知函数f（x）=，所以函数f（x）在x∈[0，1]上为增函数，所以可得f（x）∈[0，]．…（6分）令t=f（x），则t∈[0，]．且4x+4﹣x=t2+2，…（10分）所以y=g（x）=t﹣（t2+2）=﹣t2+t﹣2=﹣（t﹣）2﹣因为y=g（x）=﹣（t﹣）2﹣在[0，]上单调递增，在[，]上单调递减，所以当t=时，函数的最大值为﹣，当t=时，函数的最小值为﹣，…（12分）所以可得g（x）=f（x）﹣4x﹣4﹣x，x∈[0，1]的值域为[﹣，﹣]．…（14分）【点评】本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的值域，函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用．18．（16分）某投资公司计划投资A、B两种金融产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润y与投资量x成正比例，其关系如图1，B产品的利润y与投资量x 的算术平方根成正比例，其关系如图2，（注：利润与投资量单位：万元）（1）分别将A、B两产品的利润表示为投资量的函数关系式；（2）该公司已有10万元资金，并全部投入A、B两种产品中，问：怎样分配这10万元投资，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？【分析】（1）由于A产品的利润y与投资量x成正比例，B产品的利润y与投资量x的算术平方根成正比例，故可设函数关系式，利用图象中的特殊点，可求函数解析式；（2）设A产品投入x万元，则B产品投入10﹣x万元，设企业利润为y万元．利用（1）由此可建立函数，采用换元法，转化为二次函数．利用配方法求函数的最值．【解答】解：（1）设投资为x万元，A产品的利润为f（x）万元，B产品的利润为g（x）万元．由题意设f（x）=k 1x，．由图知，∴又g（4）=1.6，∴．从而，（8分）（2）设A产品投入x万元，则B产品投入10﹣x万元，设企业利润为y万元．（0≤x≤10）令，则=当t=2时，，此时x=10﹣4=6（15分）答：当A产品投入6万元，则B产品投入4万元时，该企业获得最大利润，利润为2.8万元．（16分）【点评】本题的考点是函数模型的选择与应用，主要考查正比例函数模型，关键是将实际问题转化为数学问题．19．（16分）已知二次函数f（x）满足f（x+1）﹣f（x）=2x（x∈R），且f（0）=1．（1）求f（x）的解析式；（2）若函数g（x）=f（x）﹣2tx在区间[﹣1，5]上是单调函数，求实数t的取值范围；（3）若关于x的方程f（x）=x+m有区间（﹣1，2）上有唯一实数根，求实数m 的取值范围（注：相等的实数根算一个）．【分析】（1）根据二次函数f（x）满足f（x+1）﹣f（x）=2x（x∈R），且f（0）=1，利用待定系数法，可得f（x）的解析式；（2）由g（x）=f（x）﹣2tx=x2﹣（2t+1）x+1的图象关于直线x=对称，结合函数g（x）在[﹣1，5]上是单调函数，可得≤﹣1或，解得实数t的取值范围；（3）若关于x的方程f（x）=x+m有区间（﹣1，2）上有唯一实数根，则函数h （x）在（﹣1，2）上有唯一的零点，分类讨论，可得实数m的取值范围．【解答】解：（1）设f（x）=ax2+bx+c（a≠0）代入f（x+1）﹣f（x）=2x得2ax+a+b=2x对于x∈R恒成立，故…（3分）又由f（0）=1得c=1，解得a=1，b=﹣1，c=1，所以f（x）=x2﹣x+1．…（5分）（2）因为g（x）=f（x）﹣2tx=x2﹣（2t+1）x+1的图象关于直线x=对称，又函数g（x）在[﹣1，5]上是单调函数，故≤﹣1或，…（8分）解得t≤或故实数t的取值范围是（﹣∞，]∪[，+∞）．…（10分）（3）由方程f（x）=x+m得x2﹣2x+1﹣m=0，令h（x）=x2﹣2x+1﹣m，x∈（﹣1，2），即要求函数h（x）在（﹣1，2）上有唯一的零点，…（11分）①若h（﹣1）=0，则m=4，代入原方程得x=﹣1或3，不合题意；…（12分）②若h（2）=0，则m=1，代入原方程得x=0或2，满足题意，故m=1成立；…（13分）③若△=0，则m=0，代入原方程得x=1，满足题意，故m=0成立；…（14分）④若m≠4且m≠1且m≠0时，由得1＜m＜4．综上，实数m的取值范围是{0}∪[1，4）．…（16分）（说明：第3小题若采用数形结合的方法进行求解，正确的给（3分），不正确的得0分）【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，函数的零点，函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．20．（16分）已知函数．（1）试判断函数f（x）的单调性，并用单调性的定义给出证明；（2）求函数f（x）（x∈R）的值域；（3）是否存在正整数m，n使成立？若存在，求出所有符合条件的有序数对（m，n）；若不存在，请说明理由．【分析】（1）函数f（x）在R上为增函数．运用定义证明，注意取值、作差、变形和定符号、下结论几个步骤；（2）由指数函数的值域以及不等式的性质，即可得到所求值域；（3）假设在正整数m，n使成立，化简整理可得＞，讨论m的范围，可得n的取值，即可判断存在性．【解答】解：（1）函数f（x）在R上为增函数．下面用定义给出证明：函数=1﹣，设x1＜x2，f（x1）﹣f（x2）=1﹣﹣1+=，由x1＜x2，可得0＜2＜2，可得＜0，即f（x1）＜f（x2），可得f（x）在R上为增函数．（2）2x＞0，2x+1＞1，﹣1＜﹣＜0，则0＜1﹣＜1，可得f（x）的值域为（0，1）；（3）假设在正整数m，n使成立，即为＜，即＜，即＞，因为2m+1＞0，所以2n（4﹣m）＞2，所以m＜4，且2＜2n（4﹣m）＜2m+1+4，因为m∈N*，所以m=1或2或3，当m=1时，由（*）得，2＜2n×3＜8，所以n=1；当m=2时，由（*）得，2＜2n×2＜12，所以n=1或2；当m=3时，由（*）得，2＜2n＜20，所以n=2或3或4，综上可知，存在符合条件的所有有序实数对为：（1，1），（2，1），（2，2），（3，2），（3，3），（3，4）．【点评】本题考查函数的单调性和值域的求法，考查不等式的解法，化简整理的运算能力，属于中档题．。