大学物理(许瑞珍_贾谊明) 第13章答案

第十三章 振动

13－1 一质点按如下规律沿x 轴作简谐振动：x = 0.1 cos (8πt +2π/3 ) (SI)，求此振动的周期、振幅、初相、速度最大值和加速度最大值。

解：周期T = 2π/ ω= 0.25 s

振幅A = 0.1m

初相位φ= 2π/ 3

V may = ωA = 0.8πm / s ( = 2.5 m / s )

a may = ω2 A = 6.4π2m / s ( = 63 m / s 2)

13－2 一质量为0.02kg 的质点作谐振动，其运动方程为：x = 0.60 cos( 5 t -π/2) (SI)。 求：（1）质点的初速度；（2）质点在正向最大位移一半处所受的力。

解：（1） )( )2

5sin(0.3 SI t dt dx v π--==

0.3 20x m ma x ω-== （2） 2

x m ma F ω-==

5.13.052.0,2/ 2N F A x -=⨯⨯-==时

13－3 如本题图所示，有一水平弹簧振子，弹簧的倔强系数k = 24N/m ，重物的质量m = 6kg ，重物静止在平衡位置上，设以一水平恒力F = 10 N 向左作用于物体（不计摩擦），使之由平衡位置向左运动了0.05m ，此时撤去力F ，当重物运动到左方最远位置时开始计时，求物体的运动方程。

解：设物体的运动方程为：

x = A c o s (ωt +φ)

恒外力所做的功即为弹簧振子的能量：

F ⨯ 0.05 = 0.5 J

当物体运动到左方最位置时，弹簧的最大弹性势能为0.5J ，

即：

1 /

2 kA 2 = 0.5 J ∴A = 0.204 m

A 即振幅

ω2 = k / m = 4 ( r a d / s )2

ω= 2 r a d / s

按题目所述时刻计时，初相为φ= π

∴ 物体运动方程为

x = 0.204 c o s (2 t +π) ( SI ) 13－4 一水平放置的弹簧系一小球。已知球经平衡位置向右运动时，v =100cm ⋅s -1，周期T =1.0s ，求再经过1/3秒时间，小球的动能是原来的多少倍？弹簧的质量不计。

解：设小球的速度方程为：

v = v m c o s (2π/ Tt +φ)

以经平衡位置的时刻为t = 0

根据题意t = o 时 v = v 0 = 100 c m s -1 且 v ＞0

∴v m = v 0 φ= 0

小球的动能 E k0 = 1 / 2 m v 02

过1 / 3秒后，速度为 v = v 0 c o s ( 2π/T. 1/ 3) = - V 0 / 2

x 习题13－3图

动能 E k = 1 / 2 m v 2 = 1 / 2m 1/ 4v 02

∴E K / E 0 = 1/ 4 动能是原来的1/ 4倍

13－5 设地球是一个半径为R 的均匀球体，密度 ρ = 5.5 ⨯ 103 kg ⋅m －3。现假定沿直径凿一条隧道。若有一质量为m 的质点在此隧道内做无摩擦运动。（1）证明此质点的运动是简谐振动；（2）计算其周期。

解：（l ）取图所示坐标。当质量为m 的质点位于x 处时，它受地球的引力为

2x x m

m G F -=

式中G 为引力常量，m x 是以x 为半径的球体质量，即3/43x x m πρ=。令

3/4Gm k πρ=，则质点受力

kx Gmx F -=-=3/4πρ

因此，质点作简谐运动。

（2）质点振动的周期为

s 1007.5/3/23⨯===ρ

ππG k m T

13－6 在一块平板下装有弹簧，平板上放一质量为1.0kg 的重物。现使平板沿竖直方向

做上下简谐运动，周期为0.50s ，振幅为2.0⨯10－2 m 。求：（1）平板到最低点时，重物对平

板的作用力；（2）若频率不变，则平板以多大的振幅振动时，重物会跳离平板？（3）若振幅不变，则平板以多大的频率振动时，重物会跳离平板？

分析：按题意作示意图，如图所示。物体在平衡位置附近随板作简谐运动，其间受重力P 和板支持力F N 作用，F N 是一个变力。按牛顿定律，有 22N d d t y m F mg F =-= （l ）

由于物体是随板一起作简谐运动，因而有

)cos(d d 222ϕωω+-==t A t y a ，

则式（l ）可改写为

)cos(2N ϕωω++=t mA mg F （2）

(1）根据板运动的位置，确定此刻振动的相位ϕω+t ，由式（2）可求板与物体之间的作用力。

（2）由式（2）可知支持力F N 的值与振幅A 、角频率ω和相位ϕω+t 有关。 在振动过程中，当πϕω=+t 时F N 最小。而重物恰好跳离平板的条件为F N = 0，因此由式（2）可分别求出重物跳离平板所需的频率或振幅。

解：（l ）由分析可知，重物在最低点时，相位0=+ϕωt ，物体受板的支持力为

N 96.12)2(22N =+=+=mA mg mA mg F πω

重物对木块的作用力'N F 与F N 大小相等，方向相反。

（2）当频率不变时，设振幅变为

'A 。 根据分析中所述，将F N = 0及πϕω=+t 代

入分析中式（2），可得 m 102.64//2222-⨯==='πωgT m mg A

（3）当振幅不变时，设频率变为'ν。 同样将F N =0及πϕω=+t 代入分析中式（2），可得

Hz

52.3/212=='='mA mg v ππω

13－7 一物体沿x 轴做简谐运动，振幅为0.06m ，周期为2.0s ，当t = 0时位移为0.03m ，且向x 轴正方向运动。求：（1）t = 0.5s 时，物体的位移、速度和加速度；（2）物体从x =－ 0.03m 处向x 轴负向运动开始，到平衡位置，至少需要多少时间？

解：（1）由题意知A = 0.06m 、1s /2-==ππωT 由旋转矢量图可确定初相则30πϕ-=，

振动方程为

)3cos(06.0π

π-=t x

当t = 0.5s 时质点的位移、速度、加速度分别为

m x 052.0)3

2cos(06.0=-=π

π m/s 094.0)3

2sin(06.0　-=-==πππdt dx v 2222/ 513.0)32cos(06.0s m dt

x d a -=--==πππ （2）质点从x = -0.03 m 运动到平衡位置的过程中，旋转矢量从图中的位置M 转至位置N ，矢量转过的角度(即相位差)6/5πϕ=∆。该过程所需时间为 s

833.0=∆=∆ωϕ

t

13－8 有一密度均匀的金属T 字形细尺，如本题图所示，它由两根金属米尺组成。若它可绕通过点O 的垂直纸面的水平轴转动，求其微小振动的周期。

解：T 字形尺的微小振动是复摆振动。 T 字形尺绕轴O 的转动惯量J 。 由两部分组成，其中尺OD 对该轴的转动惯量为