不等式易错易混点

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不等式易错点

易错07 不等式易错点1 分式不等式【例1】（1）（2020·江苏）不等式2302x x +≥-的解集为。

（2）（2020·福建省永泰县城关中学）不等式2312x x +≤+的解集为。

【答案】（1）32x x ⎧≤-⎨⎩或}2x >（2）{}|21x x -<≤- 【解析】（1）分式不等式2302x x +≥-等价于230x +=或()()2320x x +->，即32x =-或32x <-或2x >，故解集为32x x ⎧≤-⎨⎩或}2x >.（2）2312x x +≤+可得102x x +≤+，从而()()12020x x x ⎧++≤⎨+≠⎩，解得21x -<≤-，【举一反三】易错导图易错详讲【易错总结】解分式不等式的步骤：（1）移项，把分式不等式一边化为0；（2）通分，化不等式为()0()f xg x >或()0()f x g x ≥形式，转化时应使得(),()f x g x 中最高次项系数为正，（3）转化，化为()()0f x g x >或()()0()0f x g x g x ≥⎧⎨≠⎩，（4）得解．1．（2020·利辛县阚疃金石中学）不等式13x x-≤的解集为______________. 【答案】{0x x 或1}2x ≤-【解析】不等式13x x -≤移项通分可得：120x x --≤，即120xx +≥，所以(12)00x x x +≥⎧⎨≠⎩，解得0x >或12x ≤-，故答案为：{0x x 或1}2x ≤-.2．不等式2115x x +≥--的解集为________．【答案】4{|3x x ≤或5}x > 【解析】原不等式移项得21105x x ++≥-，通分整理得3405x x -≥-，等价于(34)(5)050x x x --≥⎧⎨-≠⎩，解得43x ≤或5x >.故答案为：4{|3x x ≤或5}x > 3．（2020·北京市昌平区前锋学校）不等式2112x x +≥-的解集为________ 【答案】(,3](2,)-∞-+∞【解析】原不等式等价于21102x x +-≥-，即302x x +≥-，即(3)(2)0,2,x x x +-≥⎧⎨≠⎩因此，原不等式的解集为(,3](2,)-∞-+∞．故答案为：(,3](2,)-∞-+∞易错点2 穿根引线【例2】（2020·吴起高级中学）不等式()()()21120x x x +-->的解集为______________.【答案】()()(),11,12,-∞--+∞【解析】不等式()()()21120x x x +-->等价于()()10120x x x +≠⎧⎨-->⎩，解得()()(),11,12,x ∈-∞--+∞.故答案为：()()(),11,12,-∞--+∞.【举一反三】1．（2020·上海普陀·曹杨二中）不等式()()()()2321120x x x x++--≤的解集为________【答案】(]{}[],211,2-∞--【解析】如下图所示：根据图象可知：当2x-≤或1x=-或12x≤≤时，()()()()2321120x x x x++--≤，所以不等式的解集为：(]{}[],211,2-∞--，故答案为：(]{}[],211,2-∞--.2.（2020·云南省保山第九中学）不等式(2)3x xx+<-的解集为（）A．{|2x x<-，或03}x<<B．{|22x x-<<，或3}x>C．{|2x x<-，或0}x>D．{|0x x<，或3}x<【答案】A原不等式可转化为()()230x x x+-<，结合数轴标根法可得，2x<-或03x<<．即不等式的解集为{|2x x<-，或03}x<<．故选：A．3．（2020·江苏省响水中学）不等式2(1)0x x-<的解集为（）A．{|0x x<或01}x<<B．{|1x x<-或01}x<<【易错总结】利用“穿针引线法”求解高次不等式的解集时，注意从数轴的右上方开始，每经过一个因式对应的数轴上点，要判断该因式是奇次还是偶次，如果是奇次，则穿过该点，如果是偶次，则选择穿而不过.C ．{|10x x -<<或1}x >D ．{|1x x <-或1}x >【答案】B【解析】2(1)0x x -<等价于(1)(1)0x x x -+<，根据穿根法可得1x <-或01x <<.故选：B.易错点3 基本不等式取“=”【例3】已知a ，b >0且a +b =1，给出下列不等式： ①ab ≤14；②1174ab ab +≥≤；④112a b+≥. 其中正确的序号是（）A ．①②B ．②③④C ．①②③D ．①③④ 【答案】C【解析】∵a ，b ∈R ＋，a ＋b ＝1，∴ab ≤2a b +⎛⎫⎪⎝⎭2＝14，当且仅当12a b ==时，等号成立，故①正确；令y=ab ＋1ab ，设t ab =由①可知104t <≤ ，则1y t t =+在104t <≤上单调递减，故当14t =时，y 有最小值117444+=，故②正确；)2＝a ＋b ＋a ＋b ＋a ＋b ＝2，故③正确；112a b + ()11332222b a a b a b a b ⎛⎫=++=++≥ ⎪⎝⎭332222=⨯+=，当且仅当2b aa b= 时，等号成立，故④不正确.故选：C【举一反三】1．（2020·平遥县综合职业技术学校）已知0x >，0y >，且10xy =，则下列说法正确的是（）A ．当x y ==25x y+取得最小值B ．当x y ==25x y+取得最大值C ．当2x =，5y =时，25x y+取得最小值 D ．当2x =，5y =时，25x y+取得最大值【答案】C 【解析】0x ，0y >，且10xy =，20x∴>，50y >，101xy =，252x y ∴+≥==，当且仅当25x y=即2x =，5y =时，等号成立，所以当2x =，5y =时，25x y+取得最小值，最小值为2. 故选：C .2．已知27101x x y x ++=+(1x ≠-)，则y 的取值范围为（）A ．(,2][2,)-∞-+∞B ．(,1][3,)-∞-⋃+∞C ．(,1][7,)-∞-⋃+∞D ．(,1][9,)-∞⋃+∞【答案】D【解析】由题意，22710(1)5(1)44(1)5111x x x x y x x x x ++++++===++++++，当10x +>即1x >-时，4(1)5591y x x =+++≥=+，当且仅当411x x +=+即1x =时，等号成立；当10x +<即1x <-时，4(1)5511y x x ⎡⎤=--+-+≤-=⎢⎥+⎣⎦，当且仅当()411x x -+=-+即3x =-时，等号成立； ∴y 的取值范围为(,1][9,)-∞⋃+∞. 故选：D.易错点4 分类讨论【例4】（2020·北京八中月考）解关于x 的不等式(m 为任意实数)：()2220mx m x +--<【答案】答案见解析【解析】当0m =时，原不等式化为220x -<，解得1x <；当0m ≠时，原不等式可化为()()120x mx -+<，即11x =，22x m=-. 当0m >时，20x <，则原不等式的解集为21x x m ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭当0m <时，20x >，当21m-=，即2m =-时，有121x x ==，则原不等式的解集为{}1x x ≠；当21m -<，即2m <-时，则原不等式的解集为2x x m ⎧<-⎨⎩或}1x >当21m ->，即20m -<<时，则原不等式的解集为.2x x m ⎧>-⎨⎩或}1x <【举一反三】1．（2020·云南昆明二十三中）解关于x 不等式2325()ax x ax a R -+>-∈.【答案】答案见解析【解析】不等式化为()2330ax a x +-->，即()()310ax x -+>当0a =时，不等式为330x -->，解得1x <-，当0a >时，31a >-，解得不等式为1x <-或3x a >，当0a <时，若31a >-，即3a <-时，解得不等式为31x a-<<，若31a =-，即3a =-时，不等式无解，若31a <-，即30a -<<时，解得不等式为31x a<<-，综上，3a <-时，不等式的解集为31,⎛⎫- ⎪⎝⎭a ；3a =-时，不等式无解；30a -<<时，不等式的解集为3,1⎛⎫- ⎪⎝⎭a ；0a =时，不等式的解集为(),1-∞-；0a >时，不等式的解集为()3,1,⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭a .2．解不等式：2(2)10ax a x +++>. 【答案】答案见解析.【解析】①当0a =时，不等式为210x +>，解集为12x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭，②当0a ≠时，22(2)440a a a ∆=+-=+>，恒有两个实根1x =2x =当0a ><解集为22a x x a ⎧--⎪<⎨⎪⎩或22a x a --+>⎪⎭；当0a <时，222424a a a a ，解集为x ⎧⎪<<⎨⎪⎪⎩⎭，综上所述：0a =时，解集为12x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭；0a >时，解集为22a x x a ⎧--⎪<⎨⎪⎩或x >⎪⎭； 0a <时，解集为22a x a ⎧--⎪<<⎨⎪⎪⎩⎭.3．（2020·安徽省亳州市第一中学）解关于x 的不等式：()21220ax a x +-->.【答案】当0a =时，解集为()2,+∞，当0a >时，解集为：()1(,)2,a -∞-⋃+∞，当102a -<<时，不等式的解集为：12,a ⎛⎫-⎪⎝⎭,当12a <-时，不等式的解集为：1,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭, 当12a =-时，不等式的解集为:∅. 【解析】①当0a =时，原不等式可化为：20x ->,可得不等式的解集为()2,+∞， ②当0a >时，原不等式可化为：1(2)0x x a ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭，不等式的解集为：()1(,)2,a-∞-⋃+∞； ③当0a <时，原不等式可化为：1(2)0x x a ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭, 当102a -<<时，不等式的解集为：12,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭,当12a <-时，不等式的解集为：1,2a ⎛⎫- ⎪⎝⎭, 当12a =-时，不等式的解集为:∅. 易错点5 恒成立和存在问题【例5】（1）设函数()222f x ax x =-+，对任意的()1,4x ∈都有()0f x >，则实数a 的取值范围是（）A ．[)1,+∞B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭（2）（2020·吉林汽车区第三中学）若“R x ∃∈，22390x ax -+<”，则实数a 的取值范围是（）A ．(),22,⎡-∞-+∞⎣ B ．(-C ．((),-∞-⋃+∞D ．-⎡⎣【答案】（1）D （2）C【解析】（1）∵对任意的()1,4x ∈，都有()2220f x ax x =-+>恒成立，∴()2221111242x a x x ⎡⎤-⎛⎫>=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦对任意的()1,4x ∈恒成立， ∵1114x <<，∴2111120,422x ⎡⎤⎛⎫⎛⎤--∈⎢⎥ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦⎢⎥⎣⎦，∴实数a 的取值范围是1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.故选：D. （2）因为R x ∃∈，22390x ax -+<，所以()234290a ∆=--⨯⨯>，解得a >a <-.故选：C.【举一反三】1．（2020·辽源市第五中学校）若不等式210x ax ++≥对于一切10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦恒成立，则a 的最小值是（） A ．0 B ．2- C ．52-D ．3-【答案】C【解析】因为不等式210x ax ++≥对于一切10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦恒成立，所以1a x x ⎛⎫≥-+⎪⎝⎭对一切10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦恒成立，所以max 110,2a x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎤≥-+∈ ⎪ ⎪⎢⎥⎥⎝⎭⎝⎦⎣⎦⎝⎭，又因为()1f x x x =+在10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，所以()min 1522f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以52a ≥-，所以a 的最小值为52-，故选：C.2．（2020·浙江）已知关于x 的不等式2230ax x a -+<在(]0,2上有解，则实数a 的取值范围是（）A ．⎛-∞ ⎝⎭B ．4,7⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．⎫∞⎪⎪⎝⎭D ．4,7⎛⎫+∞⎪⎝⎭【答案】A 【解析】(]0,2x ∈时，不等式可化为32aax x+<；当0a =时，不等式为02<，满足题意；当0a >时，不等式化为32x x a +<，则223x a x>=，当且仅当x所以a ，即0a <<；当0a <时，32x x a+>恒成立；综上所述，实数a 的取值范围是(,3-∞ 答案选A3．（2020·江苏省邗江中学）命题“2,2390x R x ax ∃∈-+<”为假命题，则实数a 的取值范围为（）A ．)(⎡∞⋃-∞⎣+B ．⎡⎣C ．)⎡∞⎣ D ．(-∞【答案】B【解析】“2,2390x R x ax ∃∈-+<”为假命题，等价于“2,2390x R x ax ∀∈-+≥”为真命题,所以()2=3890a ∆-⨯≤所以a ⎡∈⎣，则实数a 的取值范围为⎡⎣.故选：B.4．（2020·江苏周市高级中学）已知函数()24x x a f x x++=，若对于任意[)1,x ∈+∞，()0f x >恒成立，则实数a 的取值范围为（）A ．[)5,+∞B ．()5,-+∞C ．()5,5-D ．[]5,5-【答案】B【解析】因为对于任意[)1,x ∈+∞，()0f x >恒成立，所以240x x a ++>对[)1,x ∈+∞恒成立，所以()2max4a x x>--，[)1,x ∈+∞，又因为24y x x =--的对称轴为2x =-，所以24y x x =--在[)1,+∞上单调递减，所以()()2max4145x x --=--=-，所以5a >-，故选：B.1．（2020·湖南）若不等式212x mx +>在R 上恒成立，则实数m 的取值范围是（）A ．()(),11,-∞-⋃+∞B ．(][),11,-∞-+∞C ．[]1,1-D ．()1,1-【答案】D【解析】由题意，一元二次不等式2210x mx -+>在R 上恒成立，所以()2240m ∆=--<，解得()1,1m ∈-.故选：D.2．（2020·云南昆明一中）不等式111x ≥-的解集为（） A ．(-∞，1)∪[2，+∞) B ．(-∞，0]∪(1，+∞) C ．(1，2]D ．[2，+∞)【答案】C 【解析】不等式111x -等价于(1)(2)0x x --且10x -≠，解得12x <， ∴不等式的解集为(1，2]．故选：C ．3．（2020·江苏省响水中学）已知函数()()2221f x m x mx =+++R ，则实数m 的取值范围是（）A ．[]22-,B ．[]1,2-C ．[][)2,12,--+∞D ．(][),12,-∞-⋃+∞【答案】B【解析】因为函数()()2221f x m x mx =+++R ，避错强化所以()22210m x mx +++≥对任意x ∈R 恒成立，若20m +=，即2m =-时，则不等式可化为410x -+≥，解得14x ≤，不满足题意；若20m +≠，即2m ≠-时，只需()2204420m m m +>⎧⎨∆=-+≤⎩，解得12m -≤≤. 故选：B.4．关于x 的不等式22(1)(1)10a x a x ----<的解集为R ，则实数a 的取值范围为（） A ．3,15⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．3,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．3,1{1}5⎛⎤-⋃- ⎥⎝⎦D ．3,15⎛⎤- ⎥⎝⎦【答案】D【解析】当210a -=时，1a =±，若1a =，则原不等式可化为10-<，显然恒成立；若1a =-，则原不等式可化为210x -<，不恒成立，所以1a =-舍去；当210a -≠时，因为22(1)(1)10a x a x ----<的解集为R ，所以只需210a -<且22[(1)]4(1)0a a ∆=--+-<，解得315a -<<. 综上，实数a 的取值范围为3,15⎛⎤- ⎥⎝⎦.故选：D.5．（2020·浙江温州）若关于x 的不等式220x ax +-<在区间[]1,5上有解，则实数a 的取值范围是（） A ．23,15⎛⎫-⎪⎝⎭B ．23,5⎛⎤-∞-⎥⎝⎦C ．(),1-∞D ．(],1-∞【答案】C【解析】因为关于x 的不等式220x ax +-<在区间[]1,5上有解，所以222x a x x x-<=-在[1,5]上有解，易知2=-y x x 在[1,5]上是减函数，所以[1,5]x ∈时，max2211x x ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，所以1a <．故选：C6．（2020·山西）若关于x 的不等式22840x x a --+≤在13x ≤<内有解，则实数a 的取值范围是（） A ．12a ≥ B ．10a ≤ C ．12a ≤ D ．10a ≥【答案】C【解析】由题意，可得2284a x x -≥--，设()()222842212f x x x x =--=--，若13x ≤<，则()1210f x -≤≤-，不等式22840x x a --+≤在13x ≤<内有解，则只需()min a f x -≥，即12a -≥-，解得12a ≤.故选：C7．（2020·北京人大附中高三月考）已知方程210x ax +-=在区间[]0,1上有解，则实数a 的取值范围是（） A ．[)0,+∞ B ．(),0-∞C ．(],2-∞D ．[]2,0-【答案】A【解析】方程210x ax +-=在区间[]0,1上有解，当0x =时，方程无解；当01x <≤时，则有211x a x x x-==-，令1()g x x x =-，2221(1)'()10x g x x x -+=--=<，即()g x 在01x <≤时为减函数，由于(1)0g =，所以，当01x <≤时，()0g x ≥，所以，只要0a ≥，方程210x ax +-=在区间[]0,1上有解故选：A8．（2020·湖北高三月考）若[]1,2x ∃∈-，使得不等式220x x a -+<成立，则实数a 的取值范围为（） A ．3a <- B ．0a <C ．1a <D ．3a >-【答案】C【解析】因为[]1,2x ∃∈-，使得不等式220x x a -+<成立，所以[]1,2x ∃∈-，使得不等式2+2a x x<-成立，令2()2f x x x =-+，[]1,2x ∈-，因为对称轴为1x =，[]1,2x ∈-所以max ()(1)1f x f ==，所以1a <，故选：C9．（2020·福建厦门一中）（多选）使得2601x x x -->-成立的充分非必要条件有（） A ．{}21x x -<< B ．{}3x x >C ．{}01x x <<D ．{21x x -<<或}3x >【答案】ABC【解析】由2601x x x -->-可得()()()1320x x x --+>，如下图所示：所以，不等式2601x x x -->-的解集为{21x x -<<或}3x >， A 、B 、C 选项中的集合均为集合{21x x -<<或}3x >的真子集，因此，使得2601x x x -->-成立的充分非必要条件有A 、B 、C 选项. 故选：ABC.10．（2020·江苏省太湖高级中学）（多选）已知命题2:,10p x R x ax ∃∈++>，则命题p 成立的一个充分不必要条件可以是下列选项中的（） A ．[1,1]a ∈- B ．(2,2)a ∈- C ．[2,2]a ∈-D ．1{}2a ∈【答案】ABCD【解析】因为命题2:,10p x R x ax ∃∈++>，且函数21y x ax =++开口向上，所以当命题p 为真命题时，a R ∈，故命题p 的等价条件为a R ∈，故命题p 成立的一个充分不必要条件可以是a R ∈的真子集，故ABCD 均满足，故选：ABCD.11．（2020·湖南）（多选）下列结论正确的是（）A ．当x >02B ．当x >3时，x +1x的最小值是2 C ．当x <32时，2x -1+423x -的最小值是4D ．设x >0，y >0，且2x +y =1，则21x y+的最小值是9【答案】AD【解析】对于选项A ，当0x >0>2≥=，当且仅当1x =时取等号，结论成立，故A 正确；对于选项B ，当3x >时，12x x +≥=，当且仅当1x =时取等号，但3x >，等号取不到，因此1x x +的最小值不是2，故B 错误；对于选项C ，因为32x <，所以320x ->，则4421322222332y x x x x ⎛⎫=-+=--++≤-=- ⎪--⎝⎭，当且仅当43232x x -=-，即12x =时取等号，故C 错误；对于选项D ，因为0x >，0y >，则()222521512y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当22y x x y =，即13x y ==时，等号成立，故D 正确. 故选：AD .12（2020·福建福州）（多选）若0,0m n >>，且111m n +=，则下列说法正确的是（） A ．mn 有最大值4 B ．2211m n+有最小值12C ．0,0m n ∀>>≤D ．0,0m n ∃>>，使得2m n +=【答案】BC 【解析】因为111m n +=，所以111m n =+≥4mn ≥，故A 不正确；又2221111221()142m n m n mn +=+-≥-=，故B 正确；211()12m n =+≤=≤，故C 正确；联立2111m n m m+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22m n mn +=⎧⎨=⎩，所以,m n 是方程2220x x +=-的两根，又此方程无解，故不存在0,0m n >>使得2m n +=，故D 不正确.故选：BC13．（2020·江苏高一期中）（多选）下列函数中最小值为2的是（）A ．1y x x=+B．y = C．y =D ．4(2)2y x x x =+>-+ 【答案】BD【解析】0x <时，10y x x=+<，A 错；0>，2y =≥==，即1x =时等号成立，B 正确；同理2y =≥，=等号才能成立，=故2取不到，C 错；2x >-，则20x +>，14(2)22222y x x x x =+=++-≥=++，当且仅当422x x +=+，即0x =时等号成立，D 正确．故选：BD ．14．（2020·江苏常熟中学）不等式2411x x x --≥-的解集为______.【答案】[1,1)[3,)-+∞【解析】不等式2411x x x --≥-化为24101x x x ---≥-，22301x x x --≥-，(1)(3)(1)010x x x x +--≥⎧⎨-≠⎩，解得3x ≥或11x -≤<．故答案为：[1,1)[3,)-+∞．15．（2020·江苏省响水中学高一期中）设集合{}{}20215,0A x x B x x a =≤-≤=+< ，若A B =∅ ，则实数a 的取值围为_________. 【答案】14a ≥-【解析】因为{}{}20215,0A x x B x x a =≤-≤=+<，且A B =∅，所以{}21,302x x a ⎡⎤⋂+<=∅⎢⎥⎣⎦，即当132x ≤≤时，2≥-a x 恒成立，()2max 14a x ≥-=-，所以14a ≥-.故答案为: 14a ≥-16．关于x 的不等式240x x m --≥对任意[]1,1x ∈-恒成立，则实数m 的取值范围是_______. 【答案】3m ≤-【解析】∵22()4(2)4f x x x m x m =--=---在[]1,1-上为减函数，且不等式240x x m --≥对任意[]1,1x ∈-恒成立，则只需min ()(1)30f x f m ==--≥，即3m ≤-. 故答案为：3m ≤-.17．（2020·江苏镇江）已知命题“R x ∀∈，210x ax ++>”是假命题，则实数a 的取值范围为______. 【答案】(,2][2,)-∞-+∞【解析】∵命题“R x ∀∈，210x ax ++> ”是假命题， ∴R x ∃∈，210x ax ++≤是真命题，即R x ∃∈使不等式210x ax ++≤有解；所以240a ∆=-≥，解得：2a ≤-或2a ≥. ∴实数a 的取值范围是(,2][2,)-∞-+∞. 故答案为：(,2][2,)-∞-+∞.18．（2020·浙江杭州·高三期中）已知0x >，0y >，且21x y +=，则2112y x y++的最小值为________．12【解析】因为21x y +=，0x >，0y >，则210y x =->，所以01x <<，所以2111121112111y x y x x x xx --+=+=-+++++- ()()()2112111111121211211x x x x x x x x -⎡⎤+⎛⎫=-++++-=-++++⎡⎤⎢⎥ ⎪⎣⎦+-+-⎝⎭⎣⎦()(2111111131313211222x x x x ⎡-⎡⎤+=-+++≥-++=-++=⎢⎢⎥+-⎢⎣⎦⎣当且仅当()21111x x x x-+=+-，即3x =-3+01x <<范围内，舍去）时，等号成立. 12. 19．（2020·江苏南京河西外国语学校）在实数范围内解下列不等式. （1）2340x x -->；（2）213x x-≤-. 【答案】（1）{x 1x <-或43x >}；（2）5,(3,)2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦.【解析】（1）不等式2340x x -->可化为(1)(34)0x x +->，解得1x <-或43x >，所以该不等式的解集为{1x x <-或43x ⎫>⎬⎭；（2）∵213x x -≤-，∴2303x x x--+≤-，即2503x x -≥-，所以(25)(3)0x x --≥且30x -≠ 解得：3x >或52x ≤，故不等式的解集是5,(3,)2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦.20．（2020·上海市崇明中学高三期中）解下列不等式：（1）212302x x -+-≤；（2）5331x x +-≤.【答案】（1）35,⎛⎡⎫+-∞+∞ ⎪⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭；（2）[3,1)-. 【解析】（1）由212302x x -+-≤可得： 20461x x ≤-+，解得：x 或x ≥，故解集为：35,⎛⎡⎫+-∞+∞ ⎪⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭（2）由5331x x +-≤化简为：531x x +--3≤0，即261x x +-≤0，等价于(26)(1)010x x x +-≤⎧⎨-≠⎩，解得31x -≤<，故解集为[3,1)-.218．（2020·黑龙江牡丹江一中高三开学考试（理））解下列不等式. （1）(1)(2)(3)0x x x x -+->；（2）2112x x +≥-. 【答案】（1）(,2)(0,1)(3,)-∞-+∞；（2）(,3](2,)-∞-+∞.【解析】（1）方程(1)(2)(3)0x x x x -+-=的根为：2,0,1,3-，利用数轴穿根法可得：21 / 22所以不等式的解集为(,2)(0,1)(3,)-∞-+∞；（2）()()212131*********x x x x x x x x +++≥⇒-≥⇒≥⇒+-≥---且2x ≠，解得(,3](2,)x ∈-∞-+∞. 22．（2020·湖北武汉）解关于x 的不等式(ax －1)(x ＋1)>0.【答案】答案不唯一，具体见解析.【解析】若a ＝0，则原不等式为一元一次不等式()10x -+>，解得1x <-，故解集为(－∞，－1). 当a ≠0时，方程(ax －1)(x ＋1)＝0的两根为x 1＝1a ，x 2＝－1. 当a >0时，12x x >，所以解集为(－∞，－1)∪1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；当－1<a <0，即1a <－1时，所以解集为1,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭；当a <－1，即0>1a >－1时，所以解集为11,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭；当a ＝－1时，不等式化为()210x -+>，所以解集为∅.23（2020·辽宁沈阳二中）解关于x 的不等式2(41)40ax a x -++>.【答案】答案见解析【解析】由题意可知，2(41)40ax a x -++>可化为(1)(4)0ax x --> （1）当0a =时，不等式化为40x -<，解得4x <，（2）当10a <时，不等式化为()140x x a ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，解得14x a <<，（3）当104a <<时，不等式化为1(4)0x x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭，解得1x a <或4x >，（4）当14a=时，不等式化为2(4)0x ->，解得4x ≠，22 / 22 （5）当14a >时，不等式化为1(4)0x x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭，解得4x <或1x a >，综上所述，0a =时，不等式的解集为(,4)-∞ 0a <时，不等式的解集为1,4a ⎛⎫⎪⎝⎭；14a >时，不等式的解集为1,(4,)a ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭；14a =时，不等式的解集为(,4)(4,)-∞+∞； 104a <<时，不等式的解集为1(,4),a ⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭.。

初一不等式经典易错题解析

初一不等式经典易错题解析初一不等式经典易错题解析初一学生在学习不等式时，难免会遇到一些经典易错题，这在一定程度上也给学习带来了一些困扰。

在本文中，我们将对初一不等式中一些经典易错题进行解析，希望对同学们的学习有所帮助。

一、乘方不等式易错点在不等式中，乘方往往是初一学生们考试时经常遇到的问题，其中特别容易发生的错误包括：1. 未进行“正负性”分析乘方在不等式中的作用是使变量的取值范围变广，但我们必须检查其“正负性”，否则就会出现错误的答案。

比如，当我们遇到以下不等式时：（1）x^2-6x+5>0（2）x^2+6x+5>0根据情况，我们可以把这两个不等式转化为因式分解的形式。

对于第一个式子，我们可以得到x在0到5之外或者在1到正无穷之间；而对于第二个式子，我们可以得到x在正无穷到-1或者在-5到正无穷之外。

在情况（1）中，我们需要特别注意的是，当x在1到5之间时，式子的取值就会变为负数，因此其“正负性”分析对于解题至关重要。

2. 公因数舍去的问题在乘方问题中，如果变量被约分后就会导致解题出现偏差。

例如：对于以下不等式而言：（3）2x^2+3x-2<0当我们对其进行因式分解，会得到2(x+1)(x-2)<0，但我们需要注意，当x=-1时，x+1=0，此时2(x+1)(x-2)的分子是0，不符合数学逻辑规律，我们需要忽略掉这种情况。

因此，正确的解题思路应该是用区间法将不等式的解空间分为三段，分别为x<-1、-1<x<2、2<x。

二、加减不等式易错点在初一不等式题型中，加减不等式也经常出现。

在处理这类问题中，需要注意以下问题：1. 未进行化简，直接求解很多时候，初一学生在解加减不等式时直接将式子简化，导致解题出现了较大偏差。

事实上，在处理不等式问题时，我们需要把含有常数的项先整合。

例如：对于以下不等式而言：（4）2x+1<3x-4如果我们直接拆方程，化简后得到x>5，但这种做法是错误的，因为我们在拆方程之前必须将常数加起来，然后再消元，即：（5）-x<-5x>5因此，式子的解空间是x>5。

不等式易错点

不等式易错点【易错点 29】含参分式不等式的解法。

易对分类讨论的标准把握不准，分类讨论达不到不重不漏的目的。

例 29 解关于 x 的不等式 a ( x − 1) ＞1(a≠1)【易错点】不等式化为关于 x 的一元二次不等式后，忽视对二次项系数的正负的讨论解：原不等式可化为： (a − 1) x + (2 − a) ＞0，即［(a－1)x+(2－a)］(x－2)＞0. x−2 a − 2 )(x－2)＞0 同解.若 a − 2 ≥2，即 0≤a＜1 时，原不等式无解；若 a − 2 ＜2，即 a＜0 或 a＞1，于是当 a＞1 时，原不等式与(x－ a −1 a −1 a −1 a − 2 )∪(2，+∞). a＞1 时原不等式的解为(－∞，当 a＜1 时，若 a＜0，解集为( a − 2 ，2)；若 0＜a＜1，解集为(2， a − 2 )a −1x−2a −1 a −1 a − 2 )∪(2，+∞)；0＜a＜1 时，解集为(2， a − 2 )；a=0 时， ∅ ；a＜0 时，解集为( a − 2 ，2). 综上所述：a＞1 时解集为(－∞， a −1 a −1 a −1【知识点分类点拔】解不等式对学生的运算化简等价转化能力有较高的要求，解不等式需要注意下面几个问题： (1)熟练掌握一元一次不等式(组)、一元二次不等式(组)的解法. (2)掌握用序轴标根法解高次不等式和分式不等式，特别要注意因式的处理方法. (3)掌握无理不等式的三种类型的等价形式，指数和对数不等式的几种基本类型的解法. (4)掌握含绝对值不等式的几种基本类型的解法. (5)在解不等式的过程中，要充分运用自己的分析能力，把原不等式等价地转化为易解的不等式.(6)对于含字母的不等式，要能按照正确的分类标准，进行分类讨论. 【易错点 30】求函数的定义域与求函数值域错位例 30、已知函数 f ( x ) = lg  m 2 − 3m + 2 x 2 + 2 ( m − 1) x + 5 （1）如果函数 f ( x ) 的定义域为 R 求实数 m 的取值范围。

不等式及其基本性质易错点剖析

a b a b 2 ；⑤ 2 c c c c
）
D. ①②④⑤
错解：因为 c2 是正数，所以③正确，故选 B．错解分析：本题的条件是 a＞b，变形是在不等式的两边同乘（或除以） c 或 c2，变形正确与否的关键是看 c 或 c2 的取值情况．而本题中 c 为不确定大小的
有理数，故很容易判断①②⑤变形错误．因为 c2 大于等于零，而其在分母中，故只能大于 0，所以④正确．故选 A．例 5．已知 am＞bm（m≠0），下面结论中，正确的是（ A. a＞b B. a＜b C.
2a－b＝7， a＝5，字母系数的取值范围，所以在解题时错误得出解得从而错 5b－a＝10， b＝3．
5
3 误得到 ax＞b 的解集是 x＞． 5 2a－b＜0， 10 正解：由不等式（2a－b）x＋a－5b＞0 的解集是 x＜，得5b－a 10 解 7 ＝， 2a－b 7
A. ①④
错解：5＜3 不成立，故选 B．错解分析：不等式是指用“＜” ， “＞” ， “≤” ， “≥”或“≠”来表示不等关系的式子，不受其是否成立的影响．5＜3 虽然不成立，但它仍然是不等式，故选 D．
6
二、性质类错误例 3．命题“若 a＜b，c＜d，则 ac＜bd”是否成立？错解：成立．因为两个较小数的积一定小于两个较大数的积，例如 2＜3， 4＜5，则有 2×4＜3×5．错解分析：此题的错误在于对概念的理解模糊不清，若 a，c 为负数，例如 -3＜2，-4＜1，显然（-3）×（-4）不小于 2×1，故该命题不成立．例 4．若 a＞b， c 为有理数，则下列式子中正确的是（ ①ac＞bc；②ac＜bc；③ac2＞bc2；④ A. ④ B. ③ C. ①②⑤

15. 不等式的常见错误有哪些？

15. 不等式的常见错误有哪些？15、不等式的常见错误有哪些？在数学学习中，不等式是一个重要的知识点，但在解决不等式问题时，同学们常常会出现一些错误。

下面我们就来详细探讨一下不等式中常见的错误类型。

一、符号问题在不等式的运算中，符号的处理是最容易出错的地方之一。

例如，当不等式两边同时乘以或除以一个负数时，不等号的方向需要改变，但很多同学会忽略这一点。

比如，对于不等式－2x ＞ 6 ，在求解时，两边同时除以－2 ，不等号方向应该改变，得到 x ＜－3 。

如果忽略了不等号方向的改变，就会得出错误的结果 x ＞－3 。

还有在移项时，符号也容易出错。

例如，从 3x ＋ 5 ＜ 2x 1 到 3x 2x ＜－1 5 ，如果移项时没有改变符号，就会导致错误。

二、不等式性质运用错误不等式具有一些基本性质，如传递性、加法和乘法法则等。

但在实际运用中，如果对这些性质理解不透彻，就容易犯错。

比如，对于不等式 a ＞ b ， b ＞ c ，那么可以得出 a ＞ c ，这是传递性。

但如果错误地认为 a ＞ b ， c ＞ d ，就能得出 a ＋ c ＞ b ＋ d ，这就是对性质的错误运用。

再比如，对于不等式 a ＞ b ， c ＞ 0 ，则 ac ＞ bc ；但如果 c ＜ 0 ，那么 ac ＜ bc 。

如果忽略了 c 的正负性，就会得出错误的结论。

三、解集表示错误求出不等式的解集后，在表示解集时也可能出现错误。

例如，对于不等式组的解集，应该是两个不等式解集的交集。

但有些同学可能会错误地将其表示为并集。

另外，在表示区间时，开闭区间的使用也容易出错。

比如，x ≥ 2应该表示为 2, ＋∞），如果写成（2, ＋∞）就是错误的。

四、忽略定义域有些不等式问题中，变量可能存在定义域的限制，如果忽略了这一点，也会导致错误。

例如，对于分式不等式，分母不能为 0 。

在求解（x 1）／（x ＋2）＞ 0 时，不仅要考虑分子分母的正负性，还要注意 x ＋2 ≠ 0 ，即x ≠ －2 。

初中数学：不等式的最常见易错点是它

初中数学：不等式的最常见易错点是它
今天的笑老师跟大家分享一下不等式的性质的话题。

不等式的性质有三条：
基本性质1：不等式两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号方向不变．
基本性质2：不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．
基本性质3：不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
这三条性质的例子，大家可以看一下下面的图示：
当然，我们也可以通俗的理解一下，对于性质1不等式的两边同
时加或减去同一个数或一个式子，不等号的方向改变。

这个可以理解成，假如说一架天平左边儿重，右边儿轻，那么在两边同时放上或者去掉相同重量的物体，天平的倾斜方向还是不变的。

对于性质2，我们也可以做一下图。

还是这座天平，比如说还是左边重，右边轻。

那么，天平左右两边的物体，同时重量都乘2，也就是说左边依然放一个重的物体，右边依然放一个轻的物体。

最后，左重右轻倾斜的方向还是不改变的。

对于第三条性质，和第二条性质也是类似的。

两边都乘2，也可以将左右两边同时都放上相同的物体。

但是这里边是乘或除以一个负数，就是说要在天平的左右两边同时都添一个负号。

我们知道，一个大正数添一个负号就会变成一个小的负数，所以说这种情况之下天平倾斜的方向是改变的，所以也就说明了不等号的方向也要改变。

好了，那么大家请看一下第52天的题目，判断一下下列不等式变形正确的是哪一个。

这里面需要注意的问题是，不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，这个性质要多加注意。

好的，那么下面同学们请对考点自测题，看看谁能抢到沙发哦，
请大家开启狂飙模式！。

备战2024年高考数学考试易错题专题03 不等式(3大易错点分析)(原卷版)

专题03不等式易错点一：忽略不等式变号的前提条件（等式与不等式性质的应用）1．比较大小基本方法关系方法做差法与0比较做商法与1比较b a 0 b a )0(1 b a b a ，或)0(1 b a b a ，b a 0 b a )0(1 b baba 0b a )0(1 b a b a ，或)0(1 b a ba ，2．．等式的性质（1）基本性质性质性质内容对称性ab b a a b b a ；传递性c a c b b a c a c b b a ，；，可加性cb c a b a 可乘性b ac c b a bc ac c b a 00，；，同向可加性db c a d c c a ，同向同正可乘性bdac d c b a 00，可乘方性nn b a N n b a *0，类型1．应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，解题时要做到言必有据，特别提醒的是在解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率．类型2．比较数（式）的大小常用的方法有比较法、直接应用不等式的性质、基本不等式、利用函数的单调性．比较法又分为作差比较法和作商比较法．作差法比较大小的步骤是：（1）作差；（2）变形；（3）判断差式与0的大小；（4）下结论．作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤是：（1）作商；（2）变形；（3）判断商式与1的大小；（4）下结论．其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大小．作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式乘积的形式，也可考虑使用作商法．易错提醒：(1)一般数学结论都有前提，不等式性质也是如此．在运用不等式性质之前，一定要准确把握前提条件，一定要注意不可随意放宽其成立的前提条件．(2)不等式性质包括“充分条件(或者是必要条件)”和“充要条件”两种，前者一般是证明不等式的理论基础，后者一般是解不等式的理论基础．A ．若a b ，则20242024a bB ．若a b ，则20242024a bC ．若20242024ax bx ，则a bD ．若a b ，则20242024ax bx ，b ，，若，则下列不等式成立的是（）A ．11a bB ．3311a bC ．2222a bc cD ．22ac bc 2．若0b a ，则下列结论不正确的是（）A ．11a bB ．2ab a C ．33a bD ．a b a b3．已知a b ，c d ，则下列不等式一定成立的是（）A ．ac bdB ．e e c da b C ．e e e e a c b d D ． ln ln a c d b c d 4．若110a b，则下列不等式中正确的是（）A ．a b B ．a b C ．a b ab D ．2b a a b5．若a 、b 、c R ，且a b ，则下列不等式一定成立的是（）A ．a c b cB ． 2a b c C ．ac bcD ．2c a b6．下列命题中正确的是（）A ．若a b ，则22ac bc B ．若a b ，c d ，则a b c dC ．若a b ，c d ，则a c b dD ．若0ab ，a b ，则11a b7．设x R ，则“1x ”是“x x ”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件集问题）解一元二次不等式的步骤：第一步：将二次项系数化为正数；第二步：解相应的一元二次方程；第三步：根据一元二次方程的根，结合不等号的方向画图；第四步：写出不等式的解集．容易出现的错误有：①未将二次项系数化正，对应错标准形式；②解方程出错；③结果未按要求写成集合．对含参的不等式，应对参数进行分类讨论具体模型解题方案：1、已知关于x 的不等式02 c bx ax 的解集为)(n m ，（其中0 mn ），解关于x 的不等式02 a bx cx ．由02 c bx ax 的解集为)(n m ，，得:01)1(2 c x b x a 的解集为)11(m n ，，即关于x 的不等式02 a bx cx 的解集为11(mn ，．已知关于x 的不等式02 c bx ax 的解集为)(n m ，，解关于x 的不等式02 a bx cx ．由02 c bx ax 的解集为)(n m ，，得:011(2 c x b x a 的解集为)1[]1( ，，m n 即关于x 的不等式02 a bx cx 的解集为)1[]1( ，，mn ．2、已知关于x 的不等式02 c bx ax 的解集为)(n m ，（其中0 m n ），解关于x 的不等式02 a bx cx ．由02 c bx ax 的解集为)(n m ，，得:01)1(2 c x b x a 的解集为11(n m ，即关于x 的不等式02 a bx cx 的解集为)11(nm，．3．已知关于x 的不等式02 c bx ax 的解集为)(n m ，，解关于x 的不等式02 a bx cx ．由02 c bx ax 的解集为)(n m ，，得:01)1(2 c x b x a 的解集为)1[1( ，，nm 即关于x 的不等式02 a bx cx 的解集为)1[]1(，，nm ，以此类推．4、已知关于x 的一元二次不等式02 c bx ax 的解集为R ，则一定满足00a ；5、已知关于x 的一元二次不等式02 c bx ax 的解集为，则一定满足00a ；6、已知关于x 的一元二次不等式02 c bx ax 的解集为R ，则一定满足00a ；7、已知关于x 的一元二次不等式02 c bx ax 的解集为，则一定满足0a ．易错提醒：一元二次不等式一元二次不等式20(0)ax bx c a ，其中24b ac ，12,x x 是方程20(0)ax bx c a 的两个根，且12x x （1）当0a 时，二次函数图象开口向上．（2）①若0 ，解集为21|x x x x x 或．②若0 ，解集为|2b x x R x a且．③若0 ，解集为R ．(2)当0a 时，二次函数图象开口向下．①若0 ，解集为 12|x x x x ②若0 ，解集为。

高中数学66个易错点：基本不等式，奇偶性，充分必要性

高中数学66个易错点：基本不等式，奇偶性，充分必要性
【易错点4】应用重要不等式确定最值时，忽视应用的前提条件特别是易忘判断不等式取得等号时的变量值是否在定义域限制范围之内
【易错点5】判断函数的奇偶性忽视函数具有奇偶性的必要条件：定义域关于原点对称
【易错点6】在解题中误将必要条件作充分条件或将既不充分与不必要条件误作充要条件使用，导致错误结论。

每日积累三个易错点，各个击破。

松懈如磨刀之石，不见其损，日有所亏勤勉如初起之苗，不见其增，日有所长。

中考数学常见易错知识点汇总(方程组与不等式组)

中考数学常见易错知识点汇总（方程组与不
等式组）
方程（组）与不等式（组）
易错点1：各种方程（组）的解法要熟练掌握，方程（组）无解的意义是找不到等式成立的条件。

易错点2：运用等式性质时，两边同除以一个数必须要注意不能为0 的情况，还要关注解方程与方程组的基本思想。

（消元降次）主要陷阱是消除了一个带X 公因式要回头检验！
易错点3：运用不等式的性质３时，容易忘记改不改变符号的方向而导致结果出错。

易错点4：关于一元二次方程的取值范围的题目易忽视二次项系数不为0导致出错。

易错点5：关于一元一次不等式组有解无解的条件易忽视相等的情况。

易错点6：解分式方程时首要步骤去分母，分数相相当于括
号，易忘记根检验，导致运算结果出错。

易错点7：不等式（组）的解得问题要先确定解集，确定解集的方法运用数轴。

易错点8：利用函数图象求不等式的解集和方程的解。

不等式易错点总结

不等式易错点总结《不等式易错点总结：那些年我们一起掉过的“坑”》嘿，朋友们！今天咱就来说说不等式这玩意儿，那可是有不少易错点，稍不注意就容易掉“坑”里啦！首先，不等式两边乘除负数这个“坑”，那可真不少人踩过。

咱总是一不小心就忘了这个规则，结果答案就错得离谱。

就好像咱本来走在平地上，突然就掉进了一个大坑，摔得那叫一个惨呐！明明感觉自己做得挺对，哎，怎么答案就不对呢？就因为忽略了这个小细节，你说气人不气人！还有啊，解不等式组的时候，也是容易出幺蛾子。

常常会出现这样的情况：这个不等式解对了，那个不等式却解错了，最后整个答案都错得一塌糊涂。

就像是搭积木，一块没搭好，整个房子就垮了。

可别小看这小小的不等式组，它能让你哭笑不得！再说不等式的应用题，那更是“陷阱”多多。

有时候看着题目挺简单，不就是个不等式嘛，咱会解。

结果呢，算来算去发现不对劲，不是少考虑了这个条件，就是多算了那个情况。

就像在迷宫里转来转去，就是找不到出口。

真是让人头大啊！咱再来说说不等式符号的方向问题，这也是个容易犯迷糊的地方。

有时候不等式一移项，就把符号弄反了，等发现的时候，那真是捶胸顿足啊！好像自己跟自己玩了个恶作剧，把自己给坑了。

不过，别怕！虽然易错点多，但咱有办法呀！每次做题的时候，多留个心眼，多检查几遍，特别是那些容易出错的地方。

就像走路看着点脚下，别再掉进“坑”里啦！平时做题的时候，也可以把自己容易错的地方标记出来，下次再遇到的时候就提醒自己：嘿，这里有个“坑”，咱可不能再掉进去了。

总的来说，不等式这玩意儿虽然易错点不少，但咱只要小心点，多练习，肯定能把这些“坑”都填上。

让不等式不再是我们学习路上的绊脚石，而是我们的垫脚石，帮助我们更上一层楼！怎么样，朋友们，一起加油吧，别再被不等式的易错点给绊倒啦！。

不等式性质中常见错误

不等式性质中常见错误不等式，是高中数学的重要内容，是每年高考的重点，不等式性质比较多，因而具有较强灵活性，一不小心，就很容易出错，下面把常见的错误列举下。

一、正负，小心应付例1、判断下列命题的真假：①2x x >，则1x >，②,a b c d >>，则lg()lg()a d b c ->-，③a b >分析：①不等式中有这样的性质：⑴,0a b c >>，则ac bc >，不等式两边乘上一个正数，不改变不等号的方向，⑵,0a b c ><，则ac bc <，不等式两边乘上一个负数，改变不等号的方向。

在不等式变形过程中，乘除都要注意乘除这个数的正负，它直接影响到不等号的方向。

因为不知道x 的正负，所以不能直接除。

第①题，错误。

②关于对数的不等式，在对数中，要求真数大于0，所以要求,a d b c --大于0,但条件中，没有明确a 与d 和b 与c 的大小，所以不能确定a d -，b c -是否一定大于0，第②题，错误。

③好像是正确的，因为不等式中好像有这样的公式，但原公式是0a b >>，>0a b >>，则n n a b >，如果,a b 小于0,则这两个公式不成立，题目中的,a b 并没有确定是否大于0,所以③是错误的。

因为我们对正数很熟悉，所以在不等式中，常常把不定量默认为正数，而忽略了负数，以后我们看到不定量，一定要想到它会不会是负数或0。

二、0，特殊对待例2、判断下列命题的真假：①a b >，则22ac bc >，②a b >，则11a b< 分析：①一看到这个题，很多学生肯定认为是：不等式两边乘上一个正数，不改变不等号的方向，所以是正确的。

但20c ≥，如果0c =，则0乘以任何数都是等于0的，则22ac bc =，所以①错误。

②这个倒数法则，用特殊法来验证，两个都是正数是正确的，两个都是负数也是正确的，但忽略了0，0不能做分母的，如果a 或b ，其中一个为0,则这个命题不成立。

易错点18 不等式选讲(解析版)

易错点18 不等式选讲易错点1.绝对值不等式定理1：如果a ，b 是实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≥0时，等号成立．定理2：如果a ，b ，c 是实数，那么|a －c |≤|a －b |＋|b －c |，当且仅当(a －b )(b －c )≥0时，等号成立．2．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x |<a 与|x |>a 的解集不等式 a >0 a ＝0 a <0 |x |<a {x |－a <x <a } ∅ ∅ |x |>a{x |x >a 或x <－a }{x ∅R |x ≠0}R(2)|ax ＋b |≤c ，|ax ＋b |≥c (c >0)型不等式的解法： ∅|ax ＋b |≤c ∅－c ≤ax ＋b ≤c ； ∅|ax ＋b |≥c ∅ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c .(3)|x －a |＋|x －b |≥c ，|x －a |＋|x －b |≤c (c >0)型不等式的解法： ∅利用绝对值不等式的几何意义求解． ∅利用零点分段法求解．∅构造函数，利用函数的图象求解．易错点2.基本不等式定理1：如果a ，b ∅R ，那么a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立．定理2：如果a ，b >0，那么a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立，即两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均．定理3：如果a ，b ，c ∅R ＋，那么a ＋b ＋c 3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．易错点3.不等式证明1．比较法(1)比差法的依据是：a －b >0∅a >b ．步骤是：“作差→变形→判断差的符号”．变形是手段，变形的目的是判断差的符号．(2)比商法：若B >0，欲证A ≥B ，只需证AB ≥1.2．综合法与分析法(1)综合法：一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立．(2)分析法：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义，公理或已证明的定理，性质等)，从而得出要证的命题成立．易错点4.柯西不等式1、柯西不等式的代数形式：设a ，b ，c ，d 都是实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2(当且仅当ad ＝bc 时，等号成立)．2、柯西不等式的向量形式：设α，β是两个向量，则|α||β|≥|α·β|，当且仅当α或β是零向量，或存在实数k ，使α＝k β(α，β为非零向量)时，等号成立．3、柯西不等式的三角不等式：设x 1，y 1，x 2，y 2，x 3，y 3∅R ，则x 1－x 22＋y 1－y 22＋x 2－x 32＋y 2－y 32≥x 1－x 32＋y 1－y 32.4、柯西不等式的一般形式：设a 1，a 2，a 3，…，a n ，b 1，b 2，b 3，…，b n 是实数，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2，当且仅当b i ＝0(i ＝1,2，…，n )或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1,2，…，n )时，等号成立．1．已知平面向量a ，b 是单位向量，且1a b -=，向量c 满足32c a b --=，则c 的最大值为（） A 33B ．23C 31D ．231【答案】A【详解】解：因为1a b -=，所以21a b -=，即2221a a b b -⋅+=，又1a b ==，所以21a b ⋅=．所以()22223+=+=+⋅+=a b a ba ab b ．因为c c a b a b =--++，所以333322c c a b a b ≤--++=+=．故选：A ．2．已知,a b ∈R ，则“1a b -<”是“1a b +<”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件A ．254B ．C ．2D ．4A ．(]3,0,2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭B ．()2,+∞C ．3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．(),2-∞(1)当1a =时，解不等式()1f x >； (2)若()2f x x <+对于任意的13,42x恒成立，求实数a 的取值范围． 13,42x 恒成立，13,42x 恒成立，即||x a -<对任意的13,42x 恒成立即可，13,42x ，当且仅当1x x=时，即13,42x ， 1x-在13,42x上单调递增，1．已知集合{}{}1,1,2,4,11A B x x =-=-≤，则A B =（） A ．{1,2}- B ．{1,2}C ．{1,4}D ．{1,4}-{}1,2A B =【最优解】代入排除法}1≤，可得}1，可得3【整体点评】方法一：直接解不等式，利用交集运算求出，是通性通法；A ．1,3a b ≤≥ B ．1,3a b ≤≤C ．1,3a b ≥≥D．1,3a b ≥≤33．已知a ，b ，c 都是正数，且2221a b c ++=，证明： (1)19abc ≤； (2)a b c b c a c a b ++≤+++；(1)23a b c ++≤；(2)若2b c =，则113a c+≥．（1）当1a =时，求不等式()6f x ≥的解集; （2）若()f x a >-，求a 的取值范围． ][)2,+∞.[方法二]【最优解】：零点分段求解法4][2,)+∞．：绝对值不等式的性质法求最小值恒成立，一、单选题1．如果不等式1-<x a 成立的充分不必要条件是1322x <<；则实数a 的取值范围是（）A ．13,22⎛⎫⎪⎝⎭B ．13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．13,,22∞∞⎛⎫⎛⎫-⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．13,,22∞∞⎛⎤⎡⎫-⋃+ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭2．设R x ∈，则“12x -<”是“111x >-”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件A ．[]1,2-B ．][(),12,-∞-⋃+∞C ．[)1,-+∞D ．(],2∞-4．若正数满足4m n p ++=，且m n mn p n pn m p mp mnp λ+++++≥，则实数λ的取值范围为（） A ．(],6-∞ B ．(],4-∞ C ．(],12-∞ D ．(],8-∞故选：D5．“柯西不等式”是由数学家柯西在研究数学分析中的“流数”问题时得到的，但从历史的角度讲，该不等式应当称为柯西﹣﹣布尼亚科夫斯基﹣﹣施瓦茨不等式，因为正是后两位数学家彼此独立地在积分学中推而广之，才将这一不等式推广到完善的地步，在高中数学选修教材4﹣5中给出了二维形式的柯西不等式：（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2当且仅当ad＝bc（即a bc d=）时等号成立．该不等式在数学中证明不等式和求函数最值等方面都有广泛的应用．根据柯西不等式可知函数()f x=的最大值及取得最大值时x的值分别为（）A215B215C6113D6113()22221+5x-即x的最大值及取得最大值时x的值分别为时，都有21x-为（）A．1B．32C．2D．52ABC ．D ．如图所示，则数组()123,,b b b 的一组值可以是（）A ．()3,1,1-B ．()1,2,1--C ．()1,2,2-D ．(),,-131【答案】A【详解】由于0k >，当x 足够大时，总有()1232f x x b kx b x b =-+--+，由图像可知，此时()f x 与x 无关，故当1k =时，得1230b b b --+<，二、填空题9．已知平面向量a ，b ，c 满足2a b a b ==+=，且12a b c +-=，则c 的最大值为________．【答案】52##2.5 222()24a b a a b b +=+⋅+=，又2a b ==，故2a b ⋅=-，2222a b a a b b +=+⋅+=，由向量模长的三角不等式，a b c a b c a b c --≤+-≤++， 1222c c -≤≤+，解得：3522c ≤≤，则c 的最大值为52. 故答案为：5210．在直角坐标系中，定义两点11,A x y 与22,B x y 之间的“直角距离”为1212(,)d A B x x y y =-+-.若A ，B 是椭圆2214x y +=上任意两点，则(,)d A B 的最大值是___________11．已知：()1f x x x m =+--，0m >． (1)若2m =，求不等式()2f x >的解集；(2)()()g x f x x m =--，若()g x 的图象与x 轴围成的三角形面积不大于54，求m 的取值范围．(1)求124a b c++的最小值;(2)证明:222 ++≥+++++bc ac abb c a c a b.。

基本不等式及其应用易错点

基本不等式及其应用易错点
内容：
一、忽视条件“两个正数”导致错误
【例1】求函数x
x x f 1)(+=的值域. 错解：2121)(=⋅≥+
=x x x x x f （当且仅当x
x 1=，即1±=x 时，取得等号），即函数的值域为[)+∞,2. 剖析：本题忽视了利用基本不等式求最值的第一个条件“两数均为正值”，显然，当0<x 时，0)(<x f .
正解：当0>x 时，2121)(=⋅≥+=x x x x x f （当且仅当x
x 1=，即1=x 时，取得等号）；当0<x 时，2121()(-=-⋅--≤-+--=x x x x x f （当且仅当x x -=-1，即1-=x 时，取得等号），即函数的值域为(][)+∞-∞-,22, .
二、忽视条件“定值”导致错误
【例2】设a ≥0，b ≥0，a 2+2
2b =1，求a 21b + 的最大值．错解： 2
)21(242121)2(2121b a b a b a ++∙≤+∙=+ 43]1)212[(21]222212[21≥++=+++=a b a a (a=0时取等号) 剖析：并非定值．
正解：为利用均值不等式时出现定值，先进行适当的“凑、配”．
2
22122221221,2
3222222b a b a b a b a b a ++∙≤+∙∙=+∴=+1+=+
2
1,423223
22b f a +==∙当且仅当时取 “=”. 三、忽视验证“等号是否成立”。

不等式(理)易错笔记

不等式易错点1 忽视不等式隐含条件致误例1.设2()f x ax bx =+，若1≤(1)f -≤2,2≤(1)f ≤4，则(2)f -的取值范围是________．1．已知α，β满足11123αβαβ-≤+≤⎧⎨≤+≤⎩，则3αβ+的取值范围是 A ．[]1,7 B ．[]5,13- C ．[]5,7- D ．[]1,13例2.给出下列命题：①若,0a b c <<,则c c a b<； ②若33ac bc -->，则a b >；③若a b >且*k ∈N ,则k k a b >； ④若0c a b >>>,则a b c a c b >--其中正确命题的序号是2．下列不等式中，正确的是A ．若,ab c d >>，则a c b d +>+ B ．若a b >，则a c b c +<+ C ．若,a b c d >>，则ac bd > D ．若,a b c d >>，则a b c d>例3.已知关于x 的不等式mx 2＋mx ＋m －1＜0恒成立，则m 的取值范围为______________．3．已知命题“2,10x ax ax ∀∈-+>R ”为真命题,则实数a 的取值范围是__________.例4.解不等式(2)1()1a x a x ->∈-R ．4．已知()()21210m x m x -+-+->，其中02m <<.（1）解关于x 的不等式；（2）若1x>时，不等式恒成立，求实数m 的范围.例5.设变量x ，y 满足约束条件22024010x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，则目标函数z =3x −2y 的最小值为（） A ．−5 B ．−4 C ．−2 D ．35．若实数x ，y 满足约束条件2,239,0,x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩则22z x y =+的最大值是 AB ．4C ．9D ．10例6.若x ＞0，y ＞0，且x ＋2y ＝1，则11x y +的最小值为_______________．6．若正数,x y 满足40x y xy+-=，则3x y +的最大值为 A ．13B ．38C ．37D ．1一、不等关系与不等式1．比较大小的常用方法（1）作差法的一般步骤是：作差，变形，定号，得出结论．注意：只需要判断差的符号，至于差的值究竟是什么无关紧要，通常将差化为完全平方式的形式或者多个因式的积的形式.（2）作商法的一般步骤是：作商，变形，判断商与1的大小，得出结论．注意：作商时各式的符号为正，若都为负，则结果相反.（3）介值比较法：①介值比较法的理论根据是：若a >b ,b >c ,则a >c ，其中b 是a 与c 的中介值.②介值比较法的关键是通过不等式的恰当放缩，找出一个比较合适的中介值.2．不等式的性质及应用（1）应用不等式性质解题的指导思想：理解不等式的性质时，首先要把握不等式性质成立的条件，特别是实数的正负和不等式的可逆性；其次，要关注常见函数的单调性对于理解不等式性质的指导性.（2）解决此类问题常用的两种方法：一是直接使用不等式的性质逐个验证；二是利用特殊值法排除错误答案．利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件．3．求代数式的取值范围的一般思路（1）借助性质，转化为同向不等式相加进行解答；（2）借助所给条件整体使用，切不可随意拆分所给条件；（3）结合不等式的传递性进行求解；（4）要注意不等式同向可乘性的适用条件及整体思想的运用.二、一元二次不等式及其解法1．解一元二次不等式的一般步骤（1）一化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式．（2）二判：计算对应方程的判别式．（3）三求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根．（4）四写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集．2．解含有参数的一元二次不等式的步骤（1）二次项系数若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．（2）判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．（3）确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式.3．解不等式恒成立问题的技巧（1）对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方．另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值．即①若()f x 在定义域内存在最大值m ，则()f x a <(或()f x a ≤)恒成立⇔a m >(或a m ≥);②若()f x 在定义域内存在最小值m ，则()f x a >(或()f x a ≥)恒成立⇔a m <(或a m ≤);③若()f x 在其定义域内不存在最值，只需找到()f x 在定义域内的最大上界(或最小下界)m ，即()f x 在定义域内增大(或减小)时无限接近但永远取不到的那个值，来代替上述两种情况下的m ，只是等号均可以取到. （2）解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数.4．已知不等式的解集求参数的解题方法已知不等式的解集求参数问题的实质是考查三个“二次”间的关系.其解题的一般思路为（1）根据所给解集确定相应方程的根和二次项系数的符号（2）由根与系数的关系，或直接代入方程，求出参数值或参数之间的关系，进而求解.5．简单分式不等式的解法若()f x 与()g x 是关于x 的多项式，则不等式()0()f xg x >(或<0，或≥0，或≤0)称为分式不等式．解分式不等式的原则是利用不等式的同解原理将其转化为有理整式不等式(组)求解．即()0()0()0()()0()0()0()f x f x f x f x g x g x g x g x ><⎧⎧>⇒⇒⋅>⎨⎨><⎩⎩或; ()0()0()0()()0()0()0()f x f x f x f x g x g x g x g x ><⎧⎧<⇒⇒⋅<⎨⎨<>⎩⎩或; ()()0()0()()0()0()0()f x g x f x f x g x f x g x g x ⋅≥⎧≥⇒⇒⋅>=⎨≠⎩或; ()()0()0()()0()0()0()f x g x f x f x g x f x g x g x ⋅≤⎧≤⇒⇒⋅<=⎨≠⎩或. 对于形如()()f xg x >a (或<a )的分式不等式，其中a ≠0，求解的方法是先把不等式的右边化为0，再通过商的符号法则，把它转化为整式不等式求解.6．简单高次不等式的解法不等式的最高次项的次数高于2的不等式称为高次不等式．解高次不等式常用的方法有两种：（1）将高次不等式()0(0)f x ><中的多项式()f x 分解成若干个不可约因式的乘积，根据实数运算的符号法则，把它等价转化为两个或多个不等式(组)．于是原不等式的解集就是各不等式(组)解集的并集．（2）穿针引线法：①将不等式化为标准形式，一端为0，另一端为一次因式(因式中x 的系数为正)或二次不可约因式的乘积；②求出各因式的实数根，并在数轴上标出；③自最右端上方起，用曲线自右向左依次由各根穿过数轴，遇奇次重根穿过，遇偶次重根穿而不过(奇过偶不过)；④记数轴上方为正，下方为负，根据不等式的符号写出解集．三、简单的线性规划问题1．画二元一次不等式表示平面区域的一般步骤为：第一步，“直线定界”，即画出边界0Ax By C ++=，要注意是虚线还是实线；第二步，“特殊点定域”，取某个特殊点00(,)x y 作为测试点，由00Ax By C ++的符号就可以断定0Ax By C ++>表示的是直线0Ax By C ++=哪一侧的平面区域；第三步，用阴影表示出平面区域.2．复杂不等式(组)表示的平面区域高次不等式、绝对值不等式及双向不等式都可以转化为不等式(组)，从而画出这些不等式(组)表示的平面区域.对于含绝对值的不等式表示的平面区域的作法：先分情况讨论去掉绝对值符号，从而把含绝对值的不等式转化为一般的二元一次不等式(组)，然后按照“直线定界，特殊点定域”的方法作出所求的平面区域.3．求平面区域面积问题的步骤（1）画出不等式组表示的平面区域.（2）判断平面区域的形状(三角形区域是比较简单的情况)，求出各边界交点的坐标.（3）若图形为规则图形，则直接利用面积公式求解；若图形为不规则图形，则运用割补法计算平面区域的面积，其中求解距离问题时常常用到点到直线的距离公式.4．简单线性规划问题的解法在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，用图解法求最优解的步骤可概括为“画、移、求、答”，即：（1）画：在平面直角坐标系中，画出可行域和直线0ax by += (目标函数为z ax by =+)；（2）移：平行移动直线0ax by +=，确定使z ax by =+取得最大值或最小值的点；（3）求：求出使z 取得最大值或最小值的点的坐标(解方程组)及z 的最大值或最小值；（4）答：给出正确答案．5．解答线性规划实际应用题的步骤（1）模型建立：正确理解题意，将一般文字语言转化为数学语言，进而建立数学模型，这需要在学习有关例题解答时，仔细体会范例给出的模型建立方法．（2）模型求解：画出可行域，并结合所建立的目标函数的特点，选定可行域中的特殊点作为最优解．（3）模型应用：将求解出来的结论反馈到具体的实例中，设计出最佳的方案．6．求线性目标函数最值的两种方法（1）平移直线法：作出可行域,正确理解z 的几何意义，确定目标函数对应的直线，平移得到最优解.对一个封闭图形而言,最优解一般在可行域的顶点处取得，在解题中也可由此快速找到最大值点或最小值点.（2）顶点代入法：①依约束条件画出可行域;②解方程组得出可行域各顶点的坐标;③分别计算出各顶点处目标函数z ax by =+的值，经比较后得出z 的最大(小)值.求解时需要注意以下几点：（ⅰ）在可行解中，只有一组(x ,y )使目标函数取得最值时，最优解只有1个.如边界为实线的可行域当目标函数对应的直线不与边界平行时，会在某个顶点处取得最值.（ⅱ）同时有多个可行解取得一样的最值时，最优解有多个.如边界为实线的可行域，目标函数对应的直线与某一边界线平行时，会有多个最优解.（ⅲ）可行域一边开放或边界线为虚线均可导致目标函数找不到相应的最值，此时也就不存在最优解.四、基本不等式1．利用基本不等式求最值的方法利用基本不等式，通过恒等变形及配凑，使“和”或“积”为定值.常见的变形手段有拆、并、配.（1）拆——裂项拆项对分子的次数不低于分母次数的分式进行整式分离——分离成整式与“真分式”的和，再根据分式中分母的情况对整式进行拆项，为应用基本不等式凑定积创造条件.（2）并——分组并项目的是分组后各组可以单独应用基本不等式，或分组后先由一组应用基本不等式，再组与组之间应用基本不等式得出最值.（3）配——配式配系数有时为了挖掘出“积”或“和”为定值，常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法，使配式与待求式相乘后可以应用基本不等式得出定值，或配以恰当的系数后，使积式中的各项之和为定值.注意：①基本不等式涉及的量为正实数，同时验证等号能否取到．②分子、分母有一个一次，一个二次的分式结构的函数以及含有两个变量的函数，适合用基本不等式求最值.取倒数以应用基本不等式是对分式函数求最值的一种常见方法.2．有关函数最值的实际问题的解题技巧（1）根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值．（2）设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．（3）解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．（4）在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解.1．已知集合{}220A x x x =-->，则=A C U ( ) A ．{}12x x -<< B ．{}12x x -≤≤ C ．}{}{|1|2x x x x <->D ．}{}{|1|2x x x x ≤-≥ 2．已知集合{}{}22|230,|4A x x x B x x =--≥=≤，则A B =( ) A ．[−2，−1] B ．[−1，2) C ．[−1，1] D ．[1，2)3．已知a <0，b <－1，则下列不等式成立的是( )A ．2a a ab b >> B ．2a a a b b >> C ．2a a a b b >> D ．2a a a b b>>4．对于任意实数,不等式恒成立,则实数的取值范围是( ) A． B ． C ． D ．5．已知 lg a ＋lg b ＝0，则 lg(a ＋b )的最小值为( )A ．lg 2B ．．－lg 2 D ．26．设变量,x y 满足约束条件52410x y x y x y y +≤⎧⎪-≤⎪⎨-+≤⎪⎪≥⎩，，，，则目标函数35z x y =+的最大值为( )A ．6B ．19C ．21D ．457．设0.2log 0.3a=，2log 0.3b =，则( ) A ．0a b ab +<< B ．0ab a b <+< C ．0a b ab +<< D ．0ab a b <<+8．已知,若,则当取得最小值时,( ) A ．2B ．4C ．6D ．89．设实数满足,则的最小值为( ) A ．4B ．C ．D ．010．若存在实数使不等式组与不等式都成立,则实数的取值范围是( ) A ． B ． C ． D ． 11．已知,x y 满足2303301x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，2z x y =+的最大值为m ，若正数,a b 满足a b m +=，则14a b +的最小值为( ) A ． B ．32 C ． D ．5212．已知关于x 的不等式x 2−4ax ＋6a 2<0(a >0)的解集为(x 1,x 2),则x 1＋x 2＋的最小值是( )A ．B ．C ．D ．13．若函数y =R ，则实数k 的取值范围是．14．能够说明“设a ,b ,c 是任意实数.若a >b >c ,则a+b >c ”是假命题的一组整数a ,b ,c 的值依次为 .15．已知是任意实数,则关于的不等式的解集为 .16．已知,a b ∈R ，且360a b -+=，则128a b+的最小值为_____________.17．已知,若,则的最小值为 .18．已知实数x ,y 满足不等式组则z =x 2+y 2-10y+25的最大值为 .19．设实数x ,y 满足则u =的取值范围是 .20．在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为________．21．若,x y 满足12x y x +≤≤，则2y −U最小值是_________.22．若x ，y 满足约束条件220100x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则32z x y =+的最大值为_____________．23．若,x y 满足约束条件25023050x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，，，则z x y =+的最大值为__________．24．某研究所计划利用宇宙飞船进行新产品搭载试验,计划搭载若干件新产品A,B,该研究所要根据产品的研制成本、产品重量、搭载试验费用和预计收益来决定具体安排,通过调查得到的有关数据如表:已知研制成本、搭载试验费用之和的最大资金为300万元,最大搭载重量为110千克,则如何安排这两种产品进行搭载,才能使总预计收益达到最大,最大预计收益是多少?。

初三数学不等式易错点高频考点总结

初三数学不等式易错点高频考点总结在初三数学的学习中，不等式是一个重要的章节，也是考试中的高频考点。

然而，很多同学在这一部分容易犯错。

本文将针对初三数学不等式的易错点进行总结，帮助大家巩固知识，提高解题能力。

一、不等式的性质及易错点1.不等式的性质（1）如果a>b，那么b<a；（2）如果a>b，b>c，那么a>c；（3）如果a>b，那么对于任何正数k，ka>kb；（4）如果a>b，那么对于任何负数k，ka<kb。

2.易错点（1）在应用不等式的性质时，容易忽略乘以或除以负数的情况；（2）在解不等式时，容易忽略分母为0的情况；（3）在求解过程中，容易将不等式的方向弄反。

二、一元一次不等式的解法及易错点1.解法（1）移项：将不等式中的项移至等式的一边；（2）合并同类项：将不等式中的同类项合并；（3）化简：将不等式化简至最简形式；（4）求解：根据不等式的性质，求解未知数的取值范围。

2.易错点（1）在移项时，容易忘记改变不等式的方向；（2）在合并同类项时，容易忽视符号的变化；（3）在求解时，容易忽略解的边界值。

三、一元二次不等式的解法及易错点1.解法（1）将不等式化为标准形式：ax^2+bx+c>0（或<0）；（2）求解对应的一元二次方程ax^2+bx+c=0的根；（3）根据一元二次函数的图像，确定不等式的解集。

2.易错点（1）在求解一元二次方程的根时，容易忽视判别式的符号；（2）在确定解集时，容易混淆开口向上和开口向下的情况；（3）在求解过程中，容易忽略一元二次不等式的边界值。

四、不等式组及易错点1.解法（1）分别求解每个不等式的解集；（2）根据每个不等式的解集，确定不等式组的解集。

2.易错点（1）在求解每个不等式的解集时，容易忽视边界值；（2）在确定不等式组的解集时，容易漏掉可能的解。

通过以上总结，希望大家在解决初三数学不等式问题时，能够避免易错点，提高解题准确率。

不等式的易错点

汉川二中程涛一．不等式的性质易错点（1）同向不等式可以相加；异向不等式可以相减，但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；（2）左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘，（3）左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：1.已知a b c >>，且0a b c ++=则c a的取值范围是______（答：12,2⎛⎫--⎪⎝⎭） 2.对于实数c b a ,,中，给出下列命题：①22,bc ac b a>>则若；②b a bc ac >>则若,22；③22,0b ab a b a >><<则若；④b a b a 11,0<<<则若；⑤b aa b b a ><<则若,0；、⑥ba b a ><<则若,0；⑦b c b a c a b a c ->->>>则若,0；⑧11,a b a b>>若，则0,0a b ><。

其中正确的命题是______（答：②③⑥⑦⑧）； 3.设,,1x y R x y ∈+>则使成立的充分不必要条件是 A1x y +≥ B 1122x y >>或 C 1x ≥ D x<-1 错解:选B,对充分不必要条件的概念理解不清,“或”与“且”概念不清，正确答案为D 。

4.下列四组条件中，甲是乙的充分不必要条件的是（）A ．甲 a ＞b ，乙a1 ＜b1 B 甲 ab ＜0，乙 ∣a+b ∣＜∣a －b ∣C 甲 a=b ，乙 a ＋b=2ab D 甲 ⎩⎨⎧<<<<1010b a ，乙 ⎩⎨⎧<-<-<+<2120b a b a 正确答案： D 错因：学生对不等式基本性质成立的条件理解不深刻。

5.a,b ∈R ，且a>b ，则下列不等式中恒成立的是（）A.a 2>b 2B.(21) a <(21)bC.lg(a －b)>0D.ba >1正确答案：B 。

易错点归纳(集合、不等式)

易错点归纳（初稿）集合1、解题时，你注意到空集的两个规定了吗？2、你了解子集、真子集的区别吗？他们的个数有何差别？3、你关注到集合的代表元素了吗？是x ，还是y ？是数集，还是点集？4、你了解集合运算的常用的两种工具吗？5、你会用补集的思想解题吗？6、你会用集合中元素的三要素解题吗？7、命题有哪四种形式？8、你知道常用的“否定词”吗？9、你会判断充分性和必要性吗？不等式1、你能说全不等式的八个性质吗？2、你会讨论不等式两边同乘以一个数的结果吗？3、你了解“同号求倒”与“异号求倒”的差别吗？4、你知道，不等式相加、相乘的同向性吗？5、两个基本不等式有何差别？6、在运用“若0,0a b >>，则2a b +≥”时，你理解“一正、二定、三相等、四最值”的含义吗？7、你知道命题“若0,0a b >>2112a ba b +≥≥≥+”是真命题的吗？8、你知道三角形不等式吗？9、求不等式解集、定义域、值域的时候，答案是写成区间，还是不等式呢？ 10、你知道解不等式的基本原则吗？ 11、解一元二次不等式第一步要做什么？它的解有几种情况？ 12、你知道一元二次不等式、二次函数、一元二次方程这三者的联系吗？ 13、你会解根的分布的问题吗？ 14、你注意到分式不等式的分母了吗？你知道解分式不等式的一般步骤吗？ 15、你注意到对数不等式的真数、底数了吗？ 16、你知道求解绝对值不等式的基本方法吗？你了解绝对值的几何意义吗？ 17、你关注到参数在不等式中所处的位置了吗？你了解这类问题讨论的步骤吗？ 18、你知道标根法吗？ 19、你会解指数和对数不等式吗? 20、你会解简单的三角不等式和反三角不等式吗？ 21、你知道哪些管用的检查不等式解集的方法？ 22、不等式恒成立有哪些常用的解法？ 23、不等式有解意味着什么？24、方程恒成立意味着什么？25、方程有实数解有哪些常用解法？26、你知道比较两数（式）的基本方法吗？27、证明不等式有哪些常用方法？你能书写、表达清晰吗？。