五角星追逐问题数学建模 (1)

数学建模答卷
1. 摘要:
C 题：追踪问题
(1) 一只兔子在O 点处，它的洞穴在正北20米的B 点处，一只狼位于兔子正东33
米的A 点处。

此刻，兔子迅速向洞口奔跑，而狼紧盯着兔子追击。

已知狼的速度是兔子速度的2倍，问：当兔子到达洞口前是否会被狼逮住？画出狼追击兔子的追逐曲线。

(2)在5角星的5个顶点A 、B 、C 、D 、E 处各有一人，顶点距5角星的中心O 的距离为1个单位。

在某一时刻5人同时出发，以匀速 v 走向顺时针方向的下一人，且他们的方向始终保持对准目标。

请画出每个人的行走轨迹。

(2) 条件同(2)。

如果5人的速率分别为1v 、1.1v 、1.2v 、1.3v 和1.4 v ，在这种情况
下每个人的行走轨迹如何，他们在何处汇集？
2 .数学模型
第一小问 狼追踪兔子一题
设坐标系如下，取狼的出发点为原点0（0,0）。

x 轴指向正北方向，y 轴指向正东方向。

当t=0时，狼位于O ，兔子位于点（0，H ），（H=33m ）设狼t 时刻的位置为P （)(),(t y t x ），由题意，
（式一）
其中Vw=2Vg
另外在t 时刻，兔子位置应该为),(H t M v e ，v e 。

由于狼追踪轨迹的切线方
向必须指向兔子，即直线PM 的方向就是导弹轨迹上点P 的切线方向，故有 x t y H dx dy v e --= （式二）)(x
y H dt dx dt dy v e --=（式三） 方程（式三）初值条件想
x （0）=0，y （0）=0 (4.4) 构成了一个关于时间变量t 的一阶微分方程组的初值问题。

由（式二）得
两边对t 求导得
即有
把（式一）写为1
2+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛dy dx v e dt dy 代入上式，就得到轨迹方程。

这是一个二阶非线性微分方程，加上初值条件，则初值问题 上式分别为（式五），（式六），（式七）。

就是导弹的轨迹的数学模型。

四．解释方法
方程（式五）可以降阶。

令v v w dy dx p e ,==
λ记，则式（式五）化为一介可分离变量方程
易得
由（式七）得H C λ-=，从而
于是有
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-H y H y H H p λλ21（式八） 于是积分又可以得到 利用（式六）得λλ211-=
H C ,于是狼的追踪轨迹方程为 ()()
()λλλλλλλλ21111121-+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--+=---+H x y H H H y H （式九） 设狼追上兔子于B （L ，H ），以y=H 代入（式九）得 v v v v e
w H H
L w e 2221-=-=λλ （式十） 而狼追上兔子的时刻 v v v v e w H L
T w e 22-==（式十一）
将数据代入（式十），（式十一）式，得
L=11m ， T 的值由具体速度可求出。

运用MATLAB 可把过程模拟出来做出完整的追踪图像。

第二小问 五角星五人追踪问题。

（速度相同时）
求解过程：
追踪轨迹如下图：
1. 建立平面直角坐标系: A(x1,y1),B(x2,y2)，C(x3,y3),D(x4,y4),E(x5,y5) .
设某点在t 时刻的坐标为:),(i i y x
则在t t ∆+时刻的坐标为:)sin ,cos (ααt v y t v x i i ∆+∆+
其中 d x x i i -=
+1cos αd
y y i i -=+1
sin α 3. 取足够小的ε,ε<d 时结束算法.
4. 对每一个点，连接它在各时刻的位置,即得所求运动轨迹.
计算程序:
v=1;
dt=0.05;
x=[0 0 10 10];
y=[0 10 10 0];
for i=1:5
plot(x(i),y(i),'.'),hold on
end
d=20;
while(d>0.1)
x(5)=x(1);y(5)=y(1);
for i=1:5
d=sqrt((x(i+1)-x(i))^2+(y(i+1)-y(i))^2);
x(i)=x(i)+v*dt*(x(i+1)-x(i))/d;
y(i)=y(i)+v*dt*(y(i+1)-y(i))/d;
plot(x(i),y(i),'.'),hold on
end
end。