【数学】安徽省1号卷A10联盟2020届高三上学期摸底考试 数学(文)
【数学】安徽省1号卷A10联盟2020届高三上学期摸底考试数学(文)
1号卷？A10联盟2020届高三摸底考数学（文科）试题本试卷分第I卷（选择题）和第H券（非选择题）两部部分。
满分150分，考试时间120分钟。
请在答题卷上作答。
第I卷选择题（共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1•已知集合U x N|0 x 9 ,M 1,3,6 ,N 0,2,5,6,8,9 ，则（e u M）l N =（）A.{2 , 5, 8, 9}B. {0 , 2, 5, 8, 9}C. {2 , 5}D. {2 , 5, 6, 8, 9}2.若a 3,则sin >sin田勺逆否命题是（）A.若 a <3 则 sin a <sin 3B.若 sin >sin 0 贝U a 3C.若 a 0,则 sin a sin 0D.若 sin a sin 0 则 a 03.若复数=+ yi（、yR, i是虚数单位）满足：z i2，则动点（,y）的轨迹方程是（）A.2+ （y — 1）2= 4B.2+ （y + 1）2= 4C.（— 1）2 + y2= 4D.（ + 1）2+ y2= 42x y 514.某高中数学兴趣小组准备选拔名男生、 y名女生，若、y满足约束条件y x 1，则数学兴趣2A.21 人B.16 人x 7小组最多可以选拔学生（）5.函数f(x) COsx6.在△ ABC 中，DC.13 人D.11 人7.中国古代近似计算方法远流长，早在八世纪，我国著名数学家张遂在编制《大衍历》中发明了一种二次不等距插值算法： 若函数y f(X)在=1, = 2 , = 3(1<2<3)处的函数值分别为 y 1 = f( 1), y 2=y 3= f(3),则在区间［1，3］上 f (x)可以用二次函数近似代替： f(x) y 1 k 1(x-x 1) k 2(x-x i )(x-x 2)，sin —的值是(5 14A.—— 25 )3 B.-516C.——2517D.258•若函数f (x) cos(2x )(—)满足X) f(x)，则函数f (x)的零点是(A. k —, k ZB.一,k Z122 12C k —, k Z1 , D.—k—,k Z3239•已知△ ABC 三条边上的高分别为 3, 4, 6,则厶ABC 最小内角的余弦值为()D.Z48A.2B.3C.4D.5其中k 1 上一,kx 2 x 17匕 j 。
安徽省A10联盟2020-2021学年高三上学期11月段考文科数学试题 含答案
安徽省A10联盟2020-2021学年高三上学期11月段考数学(文)巢潮一中 合肥八中 淮南二中 六安一中 南陵中学 舒城中学 太湖中学 天长中学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.集合{}13,A x x x N *=−<<∈的非空子集个数为 A.3 B.4 C.7 D.82.已知平面向量a ，b 满足2a =，3b =，若a ，b 的夹角为120°，则3a b −=A. B. C. D.3 3.设a =log 23，15log 2b =，20.4c =，则A.a >b>cB.a >c>bC.b>a >cD.c>a >b4.已知幂函数221()(21)m f x m m x −=−+在(0，+∞)上为增函数，则实数m 的值为A.0B.1C.2D.0或25.若1sin()2A π+=−，则3cos 2A π⎛⎫−=⎪⎝⎭A.12−B.12 C.2− D.26.在△ABC 中，D 是边AC 上的点，E 是直线BD 上一点，且4DC AD =，2BE BD =，若AE mAB nAC =+，则m-n=A.75 B.75− C.35 D.35− 7.若m ∈R ，则“0x R ∃∈，0cos 20m x +<”是“m<-2”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 8.若直线220ax by +−=(a >0，b >0)过函数1()21f x x =+−图象的对称中心，则41a b+最小值为 A.4 B.6 C.8 D.99.函数215()(12sin )15x xf x x −=−+的图象大致为 A. B.C. D.10.已知数列{}n a 满足2n a ，1n a +，22n a +成等差数列，记数列{}n a 的前n 项和为S n ，且1a =1，S 2=3. 现有如下结论：①82n n a a ++=；②20201a =−；③20203S =，则上述结论中，正确的个数为 A.0 B.1 C.2 D.311.某地计划借鉴中国模式建设临时医院﹐其占地是一个正方形和四个以正方形的边为底边、腰长为400m 的等腰三角形组成的图形(如图所示)，为使占地面积最大，则等腰三角形的底角为A.6π B.3π C.8π D.4π 12.已知函数()xf x xe =，()lng x x x =，若12()()f x g x t ==，t>0，则12ln tx x 的最大值为 A.21e B.24e C.1e D.2e第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填写在题中的横线上.)13.已知函数2()(43)ln f x x x =−−，则曲线()y f x =在点(1，f (1))处的切线方程为_____________.14.若实数x ，y 满足约束条件2201010x y x y y ++≥⎧⎪−+≤⎨⎪−≤⎩，则2z x y =−的最大值为_____________.15．已知函数1()ln1xf x x x+=+−，若()(1)0f a f a ++>，则实数a 的取值范围是___________. 16.已知首项为1的数列{}n a 的前n 项和为S n ，且当n 为偶数时，11n n a a −−=，当n 为奇数且n>1时，121n n a a −−=.若S m >4000，则m 的最小值为___________.三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.) 17.(本小题满分10分)已知m ∈R ，命题p ：0x ∃∈[-1，1]，使得20224x m m −≥−成立；命题q ：∈x ∀[-1，1]，不等式m x ≤−恒成立.(1)若p 为真命题，求m 的取值范围；(Ⅱ)若p ∧q 为假，p ∨q 为真，求m 的取值范围.如图，平面四边形ABCD 是由钝角△ABC 与锐角△ACD 拼接而成，且cos sin AC BAC BC ABC ⋅∠=⋅∠，∠BAD=2π.(I)求∠CAD 的大小；(Ⅱ)若AC=4，ACD 的面积. 19.(本小题满分12分)已知数列{}n a 满足：1a =1，11(2)n n n a a n n++=+. (Ⅰ)求证：数列1n a n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列； (Ⅱ)设n n c a n =+，求数列{}n c 的前n 项和n T . 20.(本小题满分12分)已知0x ，02x π+是函数2()cos 6f x x πω⎛⎫=−⎪⎝⎭(ω>0)的两个相邻的零点. (Ⅰ)若对任意2,03x π⎡⎤∈−⎢⎥⎣⎦，()0f x m −≤恒成立，求实数m 的取值范围；(Ⅱ)若关于x 的方程()13f x n −=在,36x ππ⎡⎤∈−⎢⎥⎣⎦上有两个不同的解，求实数n 的取值范围. 21.(本小题满分12分) 已知函数11()142x x f x λ+=−+1(-2≤x ≤1). (Ⅰ)当λ=3时，求函数f(x)的值域；(Ⅱ)若函数()f x 的最小值是1，求实数a 的值.已知函数()ln 1f x a x =+(a ∈R).(Ⅰ)若()()g x x f x =−，讨论函数()g x 的单调性；(Ⅱ)若21()2f x x x =+，()1x h x e =− (其中e 是自然对数的底数)，且a =1，x ∈(0，+∞)，求证：()()()h x t x f x >>.安徽省A10联盟2020-2021学年高三上学期11月段考数学(文)参考答案一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.A 由题意得，A={1，2}，则集合A 的非空子集个数为3．故选A.2.A 由题意得，239a b a −=−== A.3.B ∵l=log 22<log 23=a <log 24=21155log 2log 10b =<=，0<0.42=c<0.40=1，∴a >c>b ，故选B.4.C 由题意得，2211210m m m ⎧+=⎨−>⎩，解得m=2.故选C.5.A ∵1sin()sin 2A A π+=−=−，∴1sin 2A =，∴31cos sin 22A A π⎛⎫−=−=−⎪⎝⎭，故选A. 6.B ∵4DC AD =，∴5AC AD =，∴222()25AE AB BE AB BD AB AD AB AB AD AB AC =+=+=+−=−+=−+∴27155m n −=−−=−·故选B. 7.B 令()cos 2f x m x =+.当m≥0时，f (x )∈[2-m ，2+m]，∴2-m<0，解得m>2； 当m<0时，f (x )∈[2+m ，2-m]，∴2+m<0，解得m<-2. ∴0x ∃∈R ，mcos x 0+2<0”是“m<-2”的必要不充分条件，故选B.8.D 由题意得，函数1()21f x x =+−图象的对称中心为(1，2)，∴2a +2b -2=0，∴a +b =1，∴41414()4159a b a b a b a b b a ⎛⎫+=++=+++=+= ⎪⎝⎭，当且仅当4a b b a =，即223a b ==时取等号，故选D.9.D 由题意得，15()cos 215xxf x x −=+， ∴1551()cos(2)cos 2()1551x x xx f x x x f x −−−−−=−==−++，则函数()f x 为奇函数，排除A ，C ；又03f π⎛⎫> ⎪⎝⎭，排除B ，故选D.10.D 由题意得，12222n n n a a a ++=+，即12n n n a a a ++=+.又1a =1，2a =2， ∴3a =1，4a =-1，5a =-2，6a =-1，7a =l ，8a =2，…，∴数列{}n a 的周期为6，故①正确；202041a a ==−，故②正确；202012343S a a a a =+++=，故③正确，故选D.11.C 设等腰三角形的顶角为α，由三角形的面积公式可得4个等腰三角形的面积和为14400400sin 320000sin 2αα⨯⨯⨯=.， 故正方形面积为160000(22cos )320000(1cos )αα−=−则所求占地面积为320000(1cos sin )32000014πααα⎤⎛⎫−+=−+ ⎪⎥⎝⎭⎦，∴当42ππα−=， 即34απ=时，占地面积最大，此时底角为3428πππ−=，故选C. 12.C 由题意得，11x x e t =，22ln x x t =，即2ln 2ln x e x t =，()(1)xf x x e '=+，易得f (x )在(-∞，-1)上单调递减，在(-1，+∞)上单调递增，又当x ∈(-∞，0)时，f (x )<0，x ∈(0，+∞)时，f (x )>0，作函数()xf x xe =的图象如图所示.由图可知，当t>0时，()f x t =有唯一解，故12ln x x =，且10x >，∴1222ln ln ln ln t t tx x x x t==.设ln ()t h t t =，0t >则21ln ()t h t t −'=，令()0h t '=解得t=e ，易得()h t 在(0，e)上单调递增，在(e ，+∞)上单调递减，∴1()()h t h e e ≤=，即12ln tx x 的最大值为1e .故选C. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填写在题中的横线上.) 13.760x y −−=由题意得，1()3224f x x x'=−−，∴(1)7f '=，f (1)=1，∴所求切线方程为17(1)y x −=−，即760x y −−=. 14.-l画出可行域如图所示，其中A(-1，0)，B(0，,1)，C(32−，1). 作直线l ：y =2x ，平移直线l ，当其经过点B 时，z =2x -y 取得最大值，最大值为2×0-1=-1.15.1,02⎛⎫− ⎪⎝⎭由101x x +>−解得11x −<<，且11()ln ln ()11x x f x x x f x x x −+⎛⎫−=−+=−+=− ⎪+−⎝⎭， ∴()f x 为奇函数，且1(1)22()lnln ln 1111x x f x x x x x x x +−−+⎛⎫=+=+=+−+ ⎪−−−⎝⎭为增函数.∵()(1)0f a f a ++>，∴(1)()()f a f a f a +>−=−，∴1a a +>−，解得12a >，联立11111a a −<<⎧⎨−<+<⎩，解得10a −<<，∴102a −<<，即实数a 的取值范围是1,02⎛⎫− ⎪⎝⎭. 16.18由题意得，2211k k a a −=+，2121k k a a +=+，k ∈N*，∴2121212(1)123k k k a a a +−−=++=+，即212132(3)k k a a +−+=+.又134a +=，∴数列{}213k a −+是以4为首项，2为公比的等比数列，∴121423k k a −−=⋅−，12422k k a −=⋅−，∴()213521412=...+324312k k k S a a a a k k +−−+++=−=−−−奇22362=...+242k k S a a a a k ++++=−−偶∴22=285k k S S S k +=+−−奇偶∴1218=2-8-45=4043S ，17=3021S∴使得Sm>4000的最小整数m 的值为18.三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.) 17.(本小题满分10分)(l)∵0x ∃[-1，1]，使得20224x m m −≥−成立， ∴20max (22)4x m m −≥−，……2分即240m m −≤，解得0≤m≤4，即m 的取值范围是[0，4].….........4分 (Ⅱ)若命题q 为真，则m≤(-x )min ，∴.m≤-1.…................…6分 ∵p ∧q 为假，p ∨q 为真，∴p 、q 中一真一假.当p 真q 假时，则041m m ≤≤⎧⎨>−⎩，解得0≤m≤4； (8)当p 假q 真时，410m m m ⎧⎨≤−<⎩>或，解得m≤-1.综上所述，m 的取值范围为(-∞，-1]∪[0，4].…...................…10分 18.(本小题满分12分)(I)在△ABC 中，∵AC·cos ∠BAC=BC·sin ∠ABC ，∵由正弦定理得，sin ∠ABC·cos ∠BAC=sin ∠BAC·sin ∠ABC ，……2分 ∵sin ∠ABC≠0，∴tan ∠BAC=1，又∠BAC ∈(0，π)， ∴∠BAC=4π…......…4分 ∵∠BAD=2π，∴∠CAD=4π........................6分 (Ⅱ)在△ACD 中，AC=4，CAD=4π由余弦定理得，CD 2=AC 2+AD 2-2AC·AD·cos ∠CAD ，即10=16+AD 2-2×4×AD2，解得或当时，cos ∠0<，此时△ACD 为钝角三角形，不满足题意，舍去.…..10分 当时，ΔACD 的面积S=12AC·AD·sin ∠CAD=6.…...…12分 19.(本小题满分12分) (I)设1n n a b n =+，则1111n n ab n ++=++，∴112112()1211n n n n n n n n a a n b a n n n a a b a n n n+++++++====+++............…3分 ∵1112b a =+=，∴数列{}n b 是以2为首项，2为公比的等比数列， 即数列1n a n ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列.…….....…6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)得，1222n n n b −=⨯=，即12n n a n += ∴2n n n c a n n =+=⋅…...........…7分∴1231122232...(1)22n n n T n n −=⨯+⨯+⨯++−+∴23412122232...(1)22n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++−+两式相减得231222...22n n n T n +−=++++−⋅…..................…9分∴1(1)22n n T n +=−+...................…12分20.(本小题满分12分) (Ⅰ)1cos 21cos 23()22x x f x πωω⎛⎫+− ⎪−⎝⎭=−11cos 22cos 222x x x ωωω⎡⎤⎛⎫=+⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦132cos 22223x x x πωωω⎫⎛⎫=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭….....…3分 由题意得，()f x 的最小正周期T π=，0ω>，∴1ω=∴()sin 223f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭............…4分 ∵对任意2,03x π⎡⎤∈−⎢⎥⎣⎦，()0f x m −≤恒成立， ∴max ()m f x ≥……......5分 ∵2,03x π⎡⎤∈−⎢⎥⎣⎦，∴2,33x πππ⎡⎤+∈−⎢⎥⎣⎦∴1sin 23x π⎛⎫−≤+≤ ⎪⎝⎭∴max 3()4f x =， ∴34m ≥，即实数m 的取值范围为3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.….....…7分(Ⅱ)213x n π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭ 即2sin 213x n π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，36x ππ−≤≤…...............…8分 令()2sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，36x ππ−≤≤ ∵36x ππ−≤≤，∴22333x πππ−≤+≤............…9分∵关于x ()1f x n −=在,36x ππ⎡⎤∈−⎢⎥⎣⎦上有两个不同的解，12n ≤+<，解得1n ≤<，即n 的取值范围为)1,1−…........…12分 21.(本小题满分12分)(l)由题意得，211()1222x xf x λ⎛⎫⎛⎫=−+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(21x −≤≤) 设12x t ⎛⎫= ⎪⎝⎭，得21()1422g t t t t λ⎛⎫=−+≤≤ ⎪⎝⎭......…2分 当λ=3时，223371()1423162g t t t t t ⎛⎫⎛⎫=−+=−+≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭….…3分 ∴max ()(4)11g t g ==，min 37()()416g t g ==，即max ()11f t =，min 7()16f t = 故函数()f x 的值域为7,1116⎡⎤⎢⎥⎣⎦.................…5分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知，2221()11424162g t t t t t λλλ⎛⎫⎛⎫=−+=−+−≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭……...........6分 ①当142λ≤，即2λ≤时，min 15()24g t g λ−⎛⎫== ⎪⎝⎭，令514λ−=，得λ=1；.................…8分 ②当1424λ<≤，即216λ<≤时，2min ()1416g t g λλ⎛⎫==− ⎪⎝⎭， 令21116λ−=，得λ=0，不合题意，舍去；….........…10分 ③当44λ>，即λ>16时，()min ()4172g t g λ==−，令1721λ−=，得λ=8，不合题意，舍去.综上所述，实数a 的值为1........................................................12分22.(本小题满分12分)(Ⅰ)由题意得，()()ln 1g x x f x x a x =−=−−，其定义域为(0，+∞)，()1a x a g x x x−'=−=.........…..…2分当a ≤0时，()0g x '>在(O ，+∞)上恒成立，则函数()g x 在(0，+∞)上单调递增；当a >0时，易得函数()g x 在(0，a )上单调递减，在(a ，+∞)上单调递增.……..............4分 (l)设21()()()12x u x h x t x e x x =−=−−−，则()1x u x e x '=−−.…...........5分 设()()1x m x u x e x '==−−，则()()1x m x u x e ''==−，当x >0时，()0m x '>恒成立，则()m x 在(0，+∞)上单调递增，∴()(0)0m x m >=，则()u x 在(0，+∞)上单调递增，∴()(0)0u x u >=，∴()()0h x t x −>在(0，+∞)上恒成立，即()()h x t x >.............…7分当a =1时，设21()()2v x t x x x =−=， ∵当x >0时，()0v x >，即()t x x >.............…9分设()ln 1s x x x =−−，则11()1x s x x x−'=−=. 易得()s x 在(0，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增，∴()(1)0s x s ≥=，∴ln 1()x x f x ≥+=................11分.∴()()t x x f x >≥，即()()t x f x >综上所述，()()()h x t x f x >>.…................…12分。
2025届安徽省1号卷A10联盟高考数学三模试卷含解析
2025届安徽省1号卷A10联盟高考数学三模试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在正项等比数列{a n }中，a 5-a 1=15，a 4-a 2 =6，则a 3=（ ） A ．2B ．4C ．12D ．82．函数()()()sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<的图象如图所示，为了得到()cos g x x ω=的图象，可将()f x 的图象（ ）A ．向右平移6π个单位 B ．向右平移12π个单位C ．向左平移12π个单位D ．向左平移6π个单位 3．设函数()22cos 23sin cos f x x x x m =++，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()17,22f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则m =（ ） A ．12B ．32C ．1D ．724．已知等差数列{}n a 满足1=2a ，公差0d ≠，且125,,a a a 成等比数列，则=d A ．1B ．2C ．3D ．45．已知函数()1ln 11xf x x x+=++-且()()12f a f a ++>，则实数a 的取值范围是( ) A ．11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．1,02⎛⎫-⎪⎝⎭C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭6．用数学归纳法证明，则当时，左端应在的基础上加上（ ）A ．B ．C ．D ．7．正项等比数列{}n a 中，153759216a a a a a a ++=，且5a 与9a 的等差中项为4，则{}n a 的公比是 ( ) A ．1B ．2C ．22D ．28．已知(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ）． A ．122B ．112C ．102D ．929．元代数学家朱世杰的数学名著《算术启蒙》是中国古代代数学的通论，其中关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.下图是源于其思想的一个程序图，若32a =，12b =，则输出的n =（ ）A ．3B ．4C ．5D ．610．已知正项数列{}{},n n a b 满足：1110n n nn n na ab b a b ++=+⎧⎨=+⎩，设n n n ac b =，当34c c +最小时，5c 的值为( )A ．2B ．145C ．3D ．411．单位正方体ABCD -1111D C B A ，黑、白两蚂蚁从点A 出发沿棱向前爬行，每走完一条棱称为“走完一段”．白蚂蚁爬地的路线是AA 1→A 1D 1→‥，黑蚂蚁爬行的路线是AB →BB 1→‥，它们都遵循如下规则：所爬行的第i +2段与第i 段所在直线必须是异面直线（i ∈N *）.设白、黑蚂蚁都走完2020段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、白两蚂蚁的距离是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．012．甲、乙两名学生的六次数学测验成绩(百分制)的茎叶图如图所示.①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数； ②甲同学的平均分比乙同学的平均分高； ③甲同学的平均分比乙同学的平均分低； ④甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差. 以上说法正确的是（ ） A ．③④B ．①②C ．②④D ．①③④二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
1号卷·A10联盟2020届高三五月联考数学试卷(文科)答案
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2020年安徽高三一模数学试卷(文科)
2020年安徽高三一模数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）A.B.C.D.1.已知集合，，则（ ）．A.B.C.D.2.已知复数（为虚数单位），则（ ）．A.厘米B.厘米C.厘米D.厘米3.某装饰公司制作一种扇形板状装饰品，其圆心角为，并在扇形弧上正面等距安装个发彩色光的小灯泡且在背面用导线相连（弧的两端各一个，导线接头忽略不计），已知扇形的半径为厘米，则连接导线最小大致需要的长度为（ ）．4.函数在上的图象大致为（ ）．A.xyOB.xyOC.xyOD.xyO5.在年春节前夕，为了春节食品市场安全，确保人们过一个健康安全的春节，某市质检部门对辖区内的某大型超市中的一品牌袋装食品进行抽检，将超市中该袋装食品编号为，，，，，从中用系统抽样（等距抽样）的方法抽取袋进行检测，如果编号为的食品被抽到，则下列个编号的食品中被抽到的是（ ）．A.号B.号C.号D.号6.已知，则（ ）．A.B.C.D.7.已知，，，则，，的大小关系为（ ）．A.B.C.D.8.执行下面的程序框图，则输出的值为（ ）．开始，否是输出结束？A.B. C.D.9.“哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是：一个大于的偶数都可以写成两个质数（素数）之和．也就是我们所谓的“”问题．它是年由数学家哥德巴赫提出的，我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中做出相当好的成绩．若将拆成两个正整数的和．则拆成的和式中，加数全部为质数的概率为（ ）．A.B.C.D.10.在中，角，，的对边分别为，，．若，，，则的面积为（ ）．A.B.C.D.11.已知椭圆的焦距为，为右焦点，直线与椭圆相交于，两点， 是等腰直角三角形，点的坐标为，若记椭圆上任一点到点的距离的最大值为，则的值为（ ）．A.B.C.D.12.已知．给出下列判断：①若，，且，则；②存在，使得的图象右移个单位长度后得到的图象关于轴对称；③若在上恰有个零点，则的取值范围为；④若在上单调递增，则的取值范围为．其中，判断正确的个数为（ ）．A.B.C.D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知函数，则曲线在点处的切线方程为 ．14.已知双曲线的离心率为，则双曲线的右顶点到双曲线的渐近线的距离为 ．15.在直角坐标系中，已知点和点，若点在的平分线上，且，则向量的坐标为 ．16.已知在三棱锥中，，，，四点均在以为球心的球面上，若，，，则球的表面积为 ．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）（1）（2）17.已知数列是递增的等比数列，是其前项和，，．求数列的通项公式．记，求数列的前项和．（1）（2）18.移动支付是指移动客户端利用手机等电子产品来进行电子货币支付，移动支付将互联网、终端设备、金融机构有效地联合起来，形成了一个新型的支付体系，使电子货币开始普及．某机构为了研究不同年龄人群使用移动支付的情况，随机抽取了名市民，得到如下表格：年龄（岁）使用移动支付不使用移动支付画出样本中使用移动支付的频率分布直方图，并估计使用移动支付的平均年龄．完成下面的列联表，能否在犯错误的概率不超过的前提下认为使用移动支付与年龄有关系？年龄小于岁年龄不小于岁合计使用移动支付不使用移动支付合计附：，．（1）（2）19.如图，在四棱锥中，底面为等腰梯形，，，，为等腰直角三角形，，平面底面，为的中点．求证：平面．求三棱锥的体积．（1）（2）20.已知函数．当时，讨论的单调区间．若对，成立，求实数的取值范围．（1）（2）21.已知抛物线，若圆与抛物线相交于，两点，且．求抛物线的方程．过点的直线与抛物线相切，斜率为的直线与抛物线相交于，两点，直线，交于点，求证：．四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）（1）（2）22.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）．若直线，的交点为，当变化时，点的轨迹是曲线．求曲线的普通方程．以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，设射线的极坐标方程为，，点为射线与曲线的交点．求点的极径．23.已知函数．【答案】解析:，，则．故选．解析:由，则．故选．解析:因为弧长比较短的情况下分成等分，每部分的弦长和弧长相差很小，可以用弧长近似代替弦长，所以导线长度为（厘米）．故选．解析:由，可知函数为奇函数，所以函数图象关于原点对称，当时，．故选．解析:由系统抽样的特点知，从编号为，，，的食品中抽取袋，需要将它们分成组，每组个，因为抽到的编号为，则所有被抽到的食品编号满足，所以所给四个编号符合条（1）（2）求不等式的解集．若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．D1.A2.B3.C4.D5.件的是号．故选．解析:由，．故选．解析:因，所以，因为，所以，，即，故有．故选．解析:，故选．解析:由古典概型的基本事件的等可能性可得拆成两个正整数的和含有的基本事件有：，，，，，而加数全为质数的有，所以所求概率为．故选．解析:因为，由正弦定理得，所以，所以．C 6.A 7.D 8.A 9.B 10.因为，所以，所以，所以，因为，，，所以，所以，所以．故选：．解析:由题意可得，所以点的坐标为，代入椭圆方程有，又，所以，解得或（舍去），所以，所以椭圆的方程可化为，设点的坐标为，则，所以，所以，．故选．解析:因为，所以周期．对于①，由条件知，周期为，所以，故①错误；对于②，函数图象右移个单位长度后得到的函数为，其图象关于轴对称，则，解得，故对任意整数，，所以②错误；对于③，由条件得，解得，故③正确；对于④，由条件得，解得，又，所以，故④正确．C 11.B 12.故选．13.解析:的导函数为，∴，∵,∴在处的切线方程为，即．14.解析:设双曲线的焦距为，因，，所以，，故双曲线的右顶点的坐标为，一条渐近线的方程为，则右顶点到渐近线的距离为．故答案为：．15.解析:∵点在的平分线上，∴存在，使，又∵，∴，∴．16.解析:设球О的半径为，过作平面，垂足为，连接，，，由易得，即为的外心，（1）（2）所以球心在射线上，在中，，，设外接圆的半径为，由正弦定理得，所以，所以，连接，则，即，解得，所以．解析:由题意，设等比数列的公比为，∵，，∴，，∴，，∴，解得或，∵数列是递增的等比数列，∴，∴，∴．，∴，两式相减得：∴．（1）．（2）．17.（1）（2）解析:样本中使用移动支付的人数为人，所以每段的频率分别为：，，，，，0.025.所以其频率分布直方图为年龄（岁）频率组距所以使用移动支付的平均年龄为，所以估计使用移动支付的平均年龄为岁．完成列联表如下：年龄小于岁年龄不小于岁合计使用移动支付不使用移动支付合计由，故在犯错误概率不超过的前提下认为使用移动支付与年龄有关系．（1）画图见解析，岁．（2） 年龄小于岁年龄不小于岁合计使用移动支付不使用移动支付合计在犯错误概率不超过的前提下认为使用移动支付与年龄有关系．18.（1）证明见解析．19.（1）（2）解析:如图所示，取中点，连接和，∵点为的中点，∴为的中位线，∴且，∵，∴，∵，∴，∴四边形为平行四边形，∴，∵平面，平面，∴平面．方法一：如图所示，取中点，连接，和，∵为等腰直角三角形，∴，且，（2）．∴平面，∵平面，∴，∴为直角三角形，∵，，∴，∵四边形为等腰梯形，∴，在中，由余弦定理知，∵，∴，∴的面积为，设点到平面的距离为，则三棱锥的体积为，∵的面积,∴三棱锥的体积为，∵，∴，∴，即点到平面的距离为，∵平面，∴点到平面的距离为．则三棱锥的体积为．方法二：由知，平面，∴点到平面的距离等于到平面的距离，∴．如图取的中点，连接，∵，∴，（1）（2）平面，∴平面，∵为等腰三角形，，，∴．∵四边形为等腰梯形，且，，，∴梯形的高为，则．∴三棱锥的体积为．解析:的定义域为，则，的两根为，．①当，即时，当时，，当时，，所以在区间上单调递减，在区间，上单调递增；②当，即时，对，，所以在上单调递增；③当，即时，当时，，当时，，所有在区间上单调递减，在区间，上单调递增．综上所述，当时，在区间和上单调递增，在区间上单调递减；当时，在区间上单调递增；当时，在区间，上单调递增，在区间上单调递减．方法一：因为对恒成立，所以，即恒成立，所以．（1）当时，在区间和上单调递增，在区间上单调递减；当时，在区间上单调递增；当时，在区间，上单调递增，在区间上单调递减．（2）．20.（1）令，则问题转化为，，令，则，所以在上单调递增，又，所以在上，在上，所以在上，在上，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，即实数的取值范围为．方法二：因为对恒成立，所以，即恒成立．令，，由二次函数性质可知，存在，使得，即，且当时，，当时，，∴在上单调递增，在上单调递减，∴，由题意可知，设，则，即单调递增，又，∴的解集为，即，∴．解析:如图所示，（1）抛物线方程为．（2）证明见解析．21.（2）设，由题意可知，∴，∵点在圆上，∴，解得，∵点也在抛物线上，∴，解得，∴抛物线方程为．对抛物线方程求导，点在抛物线上，故，，设直线的方程为，联立， 得，设，，；，，，联立，得，，，，（1）（2）（1）（2），代入韦达定理得：，∴．解析:直线的普通方程为，直线的普通方程为，联立直线，方程消去参数，得曲线的普通方程为，整理得．设点的直角坐标系坐标为，由，可得，，代入曲线的方程可得，解得，（舍），所以点的极径为．解析:①当时，不等式可化为，得，无解；②当时，不等式可化为，得，故；③当时，不等式可化为，得，故．综上，不等式的解集为．由题意知在上恒成立，所以，（1）．（2）点的极径为．22.（1）．（2）．23.令，则当时，，又当时，取得最小值，且，又，所以当时，与同时取得最小值，所以，所以．即实数的取值范围为．。
安徽省重点高中联盟校(A10联盟)2025届高三第一次摸底考试数学试题含答案
高三数学试题（答案在最后）第Ⅰ卷（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若复数z 满足()1i 2z +=，则z 在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D 【解析】【分析】利用复数的四则运算计算得到1i z =-，即可判断.【详解】由()1i 2z +=可得，22(1i)1i 1i 2z -===-+，即复数z 在复平面内对应的点为(1,1)Z -在第四象限.故选：D.2.在ABC V 中，2,CD DB AE ED == ，则CE =（）A.1163AB AC -B.1263AB AC -C.1536AB AC -D.1133AB AC -【答案】C 【解析】【分析】结合图形，利用向量的加减数乘运算，将待求向量用基向量AB 和AC表示即得.【详解】如图所示，由题意，1112()2223CE CA CD AC CB=+=-+⨯1115()2336AC AB AC AB AC =-+-=-.故选：C.3.已知直线y ax =与曲线()()ln f x x b =+相切于点()()0,0f ，则a b +的值为（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】根据题意，得出切点为()0,0，进而求得1b =，得到()()ln 1f x x =+，结合导数的几何意义，得到1a =，进而得到答案.【详解】由题意，直线y ax =与曲线()()ln f x x b =+相切于点()()0,0f ，即切点为()0,0，所以ln 0b =，解得1b =，所以()()ln 1f x x =+，则()11f x x '=+，可得()01f '=，即切线的斜率为1k =，所以1a =，所以2a b +=.故选：B.4.已知椭圆22:14x y C λ+=（0λ>且4λ≠），则“C 的离心率22e =，是8λ=”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据椭圆离心率定义，对参数λ的取值进行分类讨论，分别判断充分性和必要性即可.【详解】椭圆22:14x y C λ+=（0λ>且4λ≠），当C 的离心率2e =，若04λ<<，有2e ==，解得2λ=，即充分性不成立；当8λ=时，得椭圆22:184x y C +=，此时离心率为2e ===，即必要性成立.所以“C 的离心率2e =，是8λ=”的必要不充分条件.故选：B.5.若1为函数()()()21f x x x a =--的极大值点，则实数a 的取值范围是（）A.(),0-∞ B.(),1-∞ C.()1,+∞ D.()()0,11,+∞ 【答案】C 【解析】【分析】根据题意，求得()()()1321f x x x a '=---，结合1x =是函数()f x 的一个极大值点，得出不等式2113a +>，即可求解.【详解】由函数()()()21f x x x a =--，可得()()()1321f x x x a '=---，令()0f x '=，可得1x =或213a x +=，因为1x =是函数()f x 的一个极大值点，则满足2113a +>，解得1a >，所以实数a 的取值范围为()1,+∞.故选：C.6.若sin140tan 40λ︒-︒=，则实数λ的值为（）A.2- B.2C.3D.4【答案】D 【解析】【分析】利用诱导公式和化切为弦将已知式化成sin 40cos40sin 40λ︒︒=︒+︒，再运用二倍角公式和辅助角公式化简即可求得λ的值.【详解】由sin140tan 40λ︒-︒=sin 40sin 40cos40λ︒︒-=︒即sin 40cos40sin 40λ︒︒=︒+︒，即1sin802sin(4060)2sin802λ=+= ，因sin800> ，解得4λ=.故选：D.7.设函数()f x 的定义域为R ，且()1f x +是奇函数，()23f x +是偶函数，则()5f =（）A.0B.1- C.1D.2【答案】A 【解析】【分析】根据函数性质，结合“赋值法”求函数值.【详解】因为函数()1f x +为奇函数，所以()()11f x f x -+=-+，令0x =得：()()11f f =-⇒()10f =；因为()23f x +为偶函数，所以()()2323f x f x -+=+，令1x =得：()()15f f =，所以()50f =.故选：A8.已知O 为坐标原点，抛物线2:2C y x =的焦点为F ，2OM ON OF =-=-，过点M 的直线l 与C 交于A ，B 两点，且()01MA MB λλ=<<，直线BN 与C 的另一个交点为P ，若直线AN 与PM 的斜率满足3AN PM k k =，则AB =（）A.2B.C.2D.【答案】A 【解析】【分析】由题意得(1,0),(1,0)M N -，则可设直线:1l x my =-，直线:1BN x ny =+，分别与抛物线方程联立，设112233(,),(,),(,)A x y B x y P x y ，由韦达定理可得31y y =-，31x x =，结合3AN PM k k =，可解得11,x y 的值，从而可得m 的值，再利用弦长公式即可求解.【详解】由题意得1(,0)2F ，2OM ON OF =-=- ，(1,0),(1,0)M N ∴-，设直线:1l x my =-，直线:1BN x ny =+，联立221y x x my ⎧=⎨=-⎩，得2220y my -+=，设112233(,),(,),(,)A x y B x y P x y ，则12122,2y y m y y +==，联立221y x x ny ⎧=⎨=+⎩，得2220y ny --=，则23232,2y y n y y +==-，则31y y =-，则31x x =，故311131,111AN PM y y yk k x x x ===--++，由3AN PM k k =，得1111311y y x x -=⋅-+，解得21111,212x y x ===，则11132x m y +==±，故2AB ==.故选：A .二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.抛掷一枚质量均匀的骰子两次．记事件A =“第一次抛出的点数是1”，事件B =“两次抛出的点数不同”，事件C =“两次抛出的点数之和是8”，事件D =“两次抛出的点数之和7”，则（）A.A 与D 相互独立B.B 与D 相互独立C.()2|15P C B =D.()13P C D =【答案】AC 【解析】【分析】根据独立事件的概率公式可判断AB 的正误，根据条件概率的计算公式可求()|P C B ，从而可判断C 的正误，根据互斥事件的概率公式可求()P C D ，故可判断D 的正误.【详解】对于A ，由题设有()161666P A ⨯==⨯，()61666P D ==⨯，()166P AD =⨯，故()()()P AD P A P D =，故,A D 相互独立，故A 正确.对于A ，由题设有()655666P B ⨯==⨯，()61666P BD ==⨯，故()()()P BD P B P D ≠，故,B D 不相互独立，故B 错误.对于C ，()()()4236|5156P P BC P B C B ===，故C 正确.对于D ，由题设,C D 互斥，故()()()511166636P C D P C P D =+=+=⨯ ，故D 错误，故选：AC.10.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 为棱1DD 的中点，P 为底面正方形ABCD 内（含边界）的动点，则（）A.三棱锥111B A D P -的体积为定值B.直线1//B E 平面1A BDC.当11A P AC ⊥时，1A P AC ⊥D.直线1B E 与平面11CDD C 所成角的正弦值为23【答案】AD 【解析】【分析】对于A ，将三棱锥111B A D P -转换成111P A B D -后易得其体积为定值；对于B ，建系后，证明1B E与平面1A BD 的法向量不垂直即可排除B 项；对于C ，设出(,,0)P m n ，利用110AC A P ⋅=证得m n =，再计算1AC A P ⋅，结果不为0，排除C 项；对于D ，利用空间向量的夹角公式计算即得.【详解】对于A ，如图1，因111111111111113326B A D P P A B D A B D V V S --==⨯=⨯= ,故A 正确；对于B ，如图2建立空间直角坐标系，则111(0,0,0),(1,1,0),(1,0,1),(1,1,1),(0,0,)2D B A BE ,于是，111(1,1,0),(1,0,1),(1,1,2DB DA B E ===--- ，设平面1A BD 的法向量为(,,)n x y z = ，则10n DB x y n DA x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，故可取(1,1,1)n =--r ，由1111(1,1,1)(1,1,)110222n B E ⋅=--⋅---=-++=≠ 知n 与1B E 不垂直，故直线1B E 与平面1A BD 不平行，即B 错误；对于C ，由上图建系，则1(0,1,1)(1,0,0)(1,1,1)AC =-=- ,(0,1,0)(1,0,0)(1,1,0)AC =-=-,因P 为底面正方形ABCD 内（含边界）的动点,不妨设(,,0)P m n ，则,[0,1]m n ∈，1(1,,1)A P m n =--，由题意，11(1,1,1)(1,,1)110AC A P m n m n n m ⋅=-⋅--=-+-=-=，即m n =，于是(,,0)P m m ，此时1(1,1,0)(1,,1)110AC A P m m m m ⋅=-⋅--=-+=≠ ，故1A P 与AC不垂直，即C 错误；对于D ，由图知平面11CDD C 的法向量可取为(1,0,0)m = ，因11(1,1,)2B E =--- ，设直线1B E 与平面11CDD C 所成角为θ，则111||12sin |cos ,|33||||12B E m B E m B E m θ⋅=<>===⋅⨯，故D 正确.故选：AD.11.已知点(),A m n 在圆22:4O x y +=外，过点A 作直线AM ，AN 与圆O 相切，切点分别为M ，N ，若60MAN ∠=︒，则（）A.8mn ≤ B.221498m n +≥C.[]91,17m +-∈D.当,0m n >742≤【答案】ACD 【解析】【分析】根据相切关系可得2216m n +=，根据不等式即可判断AD ，利用不等式的乘“1”法即可判断B ，根据三角换元即可结合三角函数的性质求解C.【详解】由于AM ，AN 与圆O 相切，且60MAN ∠=︒，故120MON ∠=︒,60MOA ∠=︒，由2MO =,得4AO =，故22164m n +=>，符合题意，故22162mn m n +=≥，即8mn ≤，当且仅当228m n ==等号成立，故A 正确，()22222222221411414195516161616n m m n m n m n m n ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=+≥+≥ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当223223n m ==时等号成立，B 错误，令4sin ,4cos m n θθ==，则[]π94sin 98sin 91,173m θθθ⎛⎫+-=+-=+-∈ ⎪⎝⎭，C 正确，当,0m n >时,()2222162m n m n mn mn m n +=++=+⇒+=，由于8mn ≤，故522m n +=≤==，由于2+≤≤742+≤，当且仅当m n ==等号成立，故D 正确，故选：ACD第Ⅱ卷（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知随机变量()2~2,3N ξ，若()()321P a P a ξξ<-=>+，则实数a 的值为________．【答案】2【解析】【分析】根据正态分布的对称性求解.【详解】由题意得，32122a a -++=⨯，解得2a =．故答案为：213.已知函数()πsin 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()f x '为()f x 的导函数，()f x '在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则正实数ω的取值范围为__________．【答案】50,3⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】【分析】求导，即可根据余弦函数的单调性求解.【详解】由题意得，()πcos 6x x f ωω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭'，由π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则ππππ,6662x ωω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，若()f x '在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，只需πππ62ω+≤，解得503ω<≤故答案为：50,3⎛⎤ ⎥⎝⎦14.定义：如果集合U 存在一组两两不交（两个集合交集为空集时，称为不交）的非空真子集()*122,,,,k A A A k k ≥∈N ，且12k A A A U =U U L U ，那么称无序子集组12,,,k A A A 构成集合U 的一个k 划分．已知集合106x I x x -⎧⎫=∈≤⎨⎬-⎩⎭N ，则集合I 的所有划分的个数为___________．【答案】51【解析】【分析】化简集合，再由新定义及组合知识分类求解即可.【详解】由题意得，{}{}N 161,2,3,4,5|I x x =∈≤<=，共有5个元素，则2划分有1255C C 15+=个，3划分有15512432C C C 2C 25+=个，4划分有25C 10=个，5划分有1个，所以共有划分的个数为51个．故答案为；51四、解答题：本题共5小题，共77分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.在ABC V 中，内角,,A B C 满足()sin sin sin B A B C +-=．（1）求A ；（2）若ABC V 的外接圆半径为2，且1cos cos 6B C =-，求ABC V 的面积．【答案】（1）π3A =（2）3【解析】【分析】（1）根据两角和差的正弦化简后可得1cos 2A =，故可求A ；（2）根据三角变换可得1sin sin 3B C =，故可求面积.【小问1详解】在ABC V 中，πC A B =--，∴()sin sin C A B =+，∵()sin sin sin B A B C +-=，∴()()sin sin sin B A B A B +-=+，则sin sin cos cos sin sin cos cos sin B A B A B A B A B +-=+化简得sin 2cos sin B A B =．又sin 0B ≠，∴1cos 2A =，又∵0πA <<，∴π3A =．【小问2详解】∵π3A =，∴2π3B C +=，∴()1cos 2B C +=-．即1cos cos sin sin 2B C B C -=-，又1cos cos 6B C =-，∴111sin sin 263B C =-=记内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，∵ABC V 的外接圆半径2R =，∴由正弦定理可得21sin sin 2243b c bc B C R R R =⋅==，∴163bc =，∴1116sin 22323ABC S bc A ==⨯⨯= .16.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，四边形11BCC B 是边长为2的正方形，CAB CBA ∠=∠，()1,01BC AC BM BA λλ⊥=<<．（1）求AB 的长；（2）若二面角1B B C M --λ的值．【答案】（1）AB =（2）12λ=【解析】【分析】（1）证明⊥BC 平面11ACC A ，则有BC AC ⊥，由2CA CB ==，求得AB =（2）以C 为原点，建立空间直角坐标系，向量法表示二面角1B B C M --的余弦值，可求出λ的值．【小问1详解】三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，则1CC ⊥平面ABC ，CB ⊂平面ABC ，所以1CC CB ⊥．又1BC AC ⊥，111CC AC C ⋂=，11,CC AC ⊂平面11ACC A ，所以⊥BC 平面11ACC A ，因为AC ⊂平面11ACC A ，所以BC AC ⊥，而CAB CBA ∠=∠，故2CA CB ==，故AB =．【小问2详解】由1CC ⊥平面ABC ，BC AC ⊥，以C 为原点，1,,CA CB CC 的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Cxy z ，因为12CA CB CC ===，所以()()()()10,0,0,2,0,0,0,2,0,0,2,2C A B B ，故()2,2,0BA =- ，因为1)0(BM BA λλ=<<，故()2,22,0M λλ-．易知()1,0,0m =是平面1BCB 的法向量．因为()()12,22,0,0,2,2CM CB λλ=-=．设 =s s 是平面1CMB 的法向量、所以100n CM n CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即()2220220x y y z λλ⎧+-=⎨+=⎩，取1x λ=-，得,y z λλ=-=，所以()1,,n λλλ=--，因为二面角1B B C M --2，故余弦值为33，则23cos ,31321m n m n m n λλ⋅===⨯-+，解得12λ=.17.已知O 为坐标原点，12,F F 分别是双曲线()2222:10,0x y E a b a b -=>>的左、右焦点，直线4:3l y x=与E 交于A ，B 两点，220F A F B =⋅﹒（1）求E 的离心率；（2）M 为E 上一点（不在x 轴上），过2F 作12F MF ∠平分线的垂线，垂足为N ，若1ON =，求12AF F 的面积．【答案】（15（2）4【解析】【分析】（1）根据向量关系计算点的坐标，再代入求出方程解出离心率即可；（2）结合图形特征，再应用面积公式计算.【小问1详解】由题意得，直线43y x =与双曲线两交点A ，B 关于原点对称，不妨设点A 在第一象限，由220F A F B =⋅，得22F A F B ⊥，设()2,0F c ，则24,tan 3OA c AOF =∠=，所以2243sin ,cos 55AOF AOF ∠=∠=，则34,55A c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，将其代入双曲线方程，得222291612525c c a b-=，即()2222291612525c c a c a -=-，化简得222169251e e e -=-，即42950250e e -+=，因为1e >，所以25e =，则e =，即双曲线E ．【小问2详解】因为点2F 关于12F MF ∠的平分线MN 的对称点G 在1MF 或1MF 的延长线上，所以1122F G MF MF a =-=，又ON 是21F F G 的中位线，所以ON a =，因为1ON =，所以1a =，因为e =，所以双曲线E 的方程为2214y x -=，所以c =，则3545,55A ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭．又12||2F F c ==，所以121425AF F S =⨯=△．18.已知函数()2sin f x x x =-．（1）若函数()F x 与()f x 的图象关于点π,12⎛⎫⎪⎝⎭对称，求()F x 的解析式；（2）当[]0,πx ∈时，()f x m ≤，求实数m 的取值范围；（3）判断函数()()()11g x x f x =++在π,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭的零点个数，并说明理由．【答案】（1）()π22sin F x x x =+--（2）π,3⎫-+∞⎪⎭（3）零点个数为1，理由见解析【解析】【分析】（1）结合函数的对称中心求出函数解析式；（2）根据给定区间恒成立求参转化为最值问题；（3）先把方程转化，再构造新函数，应用导函数得出单调性结合零点存在定理得出结果.【小问1详解】由题意得，()()()()2π22sin πππ22sin F x f x x x x x =--=--+-=+--．【小问2详解】由题意得，()[]2co ,πs 1,0f x x x '=-∈，令()'0f x =，解得π3x =，所以当π0,3x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0f x '>；当π,π3x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0f x <′，所以()f x 在π0,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，在π,π3⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，所以()f x的最大值为π3π3f ⎛⎫=⎪⎝⎭，由于[]0,πx ∈时，()f x m ≤，所以实数m的取值范围为π,3⎫+∞⎪⎭【小问3详解】令()0g x =，则()()12sin 10x x x +-+=，整理得12sin 01x x x -+=+，令()12sin 1h x x x x =-++，则()()212cos 11h x x x '=--+，当π,π2x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0h x '<．所以()h x 在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，又()πππ1π1112sin 20,π2sinπππ0ππ2222π1π11122h h ⎛⎫=-+=-+>=-+=-+< ⎪++⎝⎭++，所以由零点存在性定理得，()h x 在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上存在唯一零点．当[)π,x ∈+∞时，()12sin 2π101h x x x x =-+<-+<+，此时函数无零点．综上所述，()h x 在π,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上存在唯一零点，即函数()g x 在π,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上的零点个数为1．19.定义：从数列{}n a 中随机抽取m 项按照项数从小到大的顺序依次记为12,,,m k k k a a a ()12m k k k <<< ，将它们组成一个项数为m 的新数列{}n b ，其中()1,2,,i i k b a i m == ，若数列{}n b 为递增数列，则称数列{}n b 是数列{}n a 的“m 项递增衍生列”；（1）已知数列{}n a 满足42,1,3,52,2,4,6n n n n a n -=⎧⎪=⎨⎪=⎩，数列{}n b 是{}n a 的“3项递增衍生列”，写出所有满足条件的{}n b ﹔（2）已知数列{}n a 是项数为m 的等比数列，其中3m ≥，若数列{}n b 为1，16，81，求证：数列{}n b 不是数列{}n a 的“3项递增衍生列”；（3）已知首项为1的等差数列{}n a 的项数为14，且141105ii a==∑，数列{}n b 是数列{}n a 的“m 项递增衍生列”，其中114m ≤≤．若在数列{}n b 中任意抽取3项，且均不构成等差数列，求m 的最大值．【答案】（1）{}n b 为1，3，4或1，3，5或1，4，5或3，4，5（2）证明见解析（3）8【解析】【分析】（1）先列出数列的前6项，根据“3项递增衍生列”，可列出满足条件的所有数列.（2）利用“反证法”证明数列不是数列的“3项递增衍生列”.（3）先明确数列的各项，再根据“m 项递增衍生列”的概念分析数列的构成特点，可求数列的最大项数.【小问1详解】由题意得，数列为1，8，3，4，5，2，若是数列的“3项递增衍生列”，且1345<<<，则为1，3，4或1，3，5或1，4，5或3，4，5﹒【小问2详解】设等比数列的公比为q ．假设数列是数列的“3项递增衍生列”，则存在1231k k k m ≤<<≤，使1231,16,81k k k a a a ===，所以31212131,k k k k k k k k a a qa a q --==，则312116,81k k k k q q --==，所以()3116221log 81log 81log 3*log 16q q k k k k -===-．因为*2131,k k k k --∈N ，所以3121k k k k --为有理数，但2log 3为无理数，所以（*）式不可能成立．综上，数列不是数列的“3项递增衍生列”．【小问3详解】设等差数列的公差为d ．由14111491105ii aa d ==+=∑，又11a =，所以1d =，故数列为1，2，3，4，5，L ，14﹒令i i k b a =，因为数列中各项均为正整数，故313k k a a -≥﹔（若312k k a a -=，则123,,k k k a a a ，成等差数列）同理533k k a a -≥，且5331k k k k a a a a -≠-，所以513k k a a -≥，同理957k k a a -≥，且9551k k k k a a a a -≠-，所以9115k k a a -≥，这与已知条件矛盾，所以8i k ≤，此时可以构造数列为1，2，4，5，10，11，13，14，其中任意三项均不构成等差数列．综上所述，m 的最大值为8．【点睛】关键点点睛：数列新定义问题，解决的关键有两点：一是紧抓新数列的定义，如题目中“m 项递增衍生列”条件的使用，是解题的入手点；二是应用数列的单调性或等差等比通项特性等重要性质构造等量或不等关系解决问题.。
2025届安徽省A10联盟数学高三上期末经典模拟试题含解析
2025届安徽省A10联盟数学高三上期末经典模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数的图象可能是下面的图象( )A ．B ．C ．D ．2．在直三棱柱111ABC A B C -中，己知AB BC ⊥，2AB BC ==，122CC =，则异面直线1AC 与11A B 所成的角为（ ） A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒3．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且//AB CD ，若正方体的六个面所在的平面与直线CE EF ，相交的平面个数分别记为m n ，，则下列结论正确的是（ ）A ．m n =B ．2m n =+C ．m n <D ．8m n +<4．已知()()()[)3log 1,1,84,8,6x x f x x x ⎧+∈-⎪=⎨∈+∞⎪-⎩若()()120f m f x ⎡⎤--≤⎣⎦在定义域上恒成立，则m 的取值范围是（ ）A ．()0,∞+B ．[)1,2C ．[)1,+∞D ．()0,15．已知函数()sin()(0,)2f x x πωϕωϕ=+><的最小正周期为(),f x π的图象向左平移6π个单位长度后关于y 轴对称，则()6f x π-的单调递增区间为( )A ．5,36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦B ．,36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦C ．5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦D ．,63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦6．双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左右焦点为12,F F ，一条渐近线方程为:b l y x a=-，过点1F 且与l 垂直的直线分别交双曲线的左支及右支于,P Q ，满足11122OP OF OQ =+，则该双曲线的离心率为（ ） A ．10B ．3C ．5D ．27．已知纯虚数z 满足()122i z ai -=+，其中i 为虚数单位，则实数a 等于（ ） A ．1-B ．1C ．2-D ．28．已知函数()ln f x x =，()()23g x m x n =++，若()0,x ∀∈+∞总有()()f x g x ≤恒成立.记()23m n +的最小值为(),F m n ，则(),F m n 的最大值为（ ）A ．1B ．1eC ．21eD ．31e9．元代数学家朱世杰的数学名著《算术启蒙》是中国古代代数学的通论，其中关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.下图是源于其思想的一个程序图，若32a =，12b =，则输出的n =（ ）A ．3B ．4C ．5D ．610．已知函数()f x 满足：当[)2,2x ∈-时，()()22,20log ,02x x x f x x x ⎧+-≤≤=⎨<<⎩，且对任意x ∈R ，都有()()4f x f x +=，则()2019f =（ ） A ．0B ．1C ．-1D ．2log 311．小明有3本作业本，小波有4本作业本，将这7本作业本混放在-起，小明从中任取两本.则他取到的均是自己的作业本的概率为( ) A ．17B ．27C ．13D ．183512．已知函数()()f x x R ∈满足(1)1f =，且()1f x '<，则不等式()22lg lg f x x <的解集为（ ）A ．10,10⎛⎫⎪⎝⎭B ．10,10,10C ．1,1010⎛⎫⎪⎝⎭D ．()10,+∞ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
安徽省1号卷A10联盟2020届高三上学期摸底考试数学(理)试卷
1号卷∙A10联盟2020届高三摸底考数学（理科）试题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ券(非选择题)两部部分。
满分150分，考试时间120分钟。
请在答题卷上作答。
第Ⅰ卷选择题(共60分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1.设全集{}{}2,60,ln(1)U R A x x x B x y x ==--<==-，则()U A B ð＝()A.[1，3)B.(1，3]C.(1，3)D.(－2，1]2.在复平面内，复数247iz i-=+(i 是虚数单位)对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.设S n 是等差数列{}n a 的前n 项和，若741413a a =，则137SS ＝()A.2B.12C.1413 D.13144.已知偶函数()f x 满足(4)()f x f x +=，且在区向[0，2]上是增函数，则(2019),(),(4)f f f π-的大小关系是()A.(2019)(4)()f f f π<-<B.()(4)(2019)f f f π<-<C.(4)()(2019)f f f π-<< D.(4)(2019)()f f f π-<<5.某高中数学兴趣小组准备选拔x 名男生、y 名女生，若x 、y 满足约束条件251127x y y x x -≥⎧⎪⎪≥-⎨⎪≤⎪⎩，则数学兴趣小组最多选拔学生()A.21人B.16人C.13人D.11人6.函数()f x x=的部分图象大致为()7.中国古代近似计算方法源远流长，早在八世纪，我国著名数学家张遂在编制《大衍历》中发明了一种二次不等距插值算法：若函数()y f x =在x ＝x 1，x ＝x 2，x ＝x 3(x 1<x 2<x 3)处的函数值分别为y 1＝f(x 1)，y 2＝f(x 2)，y 3＝f(x 3)，则在区间[x 1，x 3]上f(x)可以用二次函数来近似代替：111212()()()()f x y k x x k x x x x ≈++---，其中3221112213231,,y y y y k k k k k x x x x x x ---===---。
安徽省A10联盟2024届高三上学期8月开学摸底考试数学试题
安徽省A10联盟2024届高三上学期8月开学摸底考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知()()1i 1i 13i,,R x y x y −++=−∈，则x y −=（ ） A ．1B ．1−C ．3D ．3−2．已知集合{}(){}2|34,N ,|ln 12A x x k k B x y x x ==−∈==−++，则A B ⋂的元素个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4A ．c<a<bB ．b<c<aC ．a b c <<D ．a c b <<A ．31265πcmB ．31365πcmC ．31295πcmD ．31395πcm6．2023年7月28日晚，第31届世界大学生夏季运动会在成都盛大开幕. 为宣传成都大运会，某大学团委开展了“阳光灿烂 青春与共”大运会知识竞赛活动，各班以团支部为单位参加比赛，某班团支部在6道题中（包含4道图片题和2道视频题），依次不放A ．312S S S <<B ．321S S S <<C ．231S S S <<D ．213S S S <<8．古希腊数学家特埃特图斯（Theaetetus ）利用如图所示的直角三角形来构造无理数. 已知1,,,AB BC CD AB BC AC CD AC ===⊥⊥与BD 交于点O ，若DO AB AC =λ+μ，则λμ+=（ ）二、多选题10．已知直线():30R l mx y m m −−+=∈及圆()()22:243C x y −+−=，则（ ）三、填空题的一点E 满足111,AE B D AE A D ⊥⊥，若1A B ⊂平面α，AE ∥平面α，且11B C ⋂平面F α=，则CF 的长为四、解答题．ABC 中，角 (1)求点F 到平面ABCD 的距离；(2)设点P 为线段BC 的中点，点Q 满足(0AQ AE λλ=>面ABCD 所成的角相等，求λ的值.为坐标原点，求AOB面积的最大值(sin−m x m上恰有2个零点，求()+f x nx。
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1号卷∙A10联盟2020届高三摸底考
数学（文科）试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ券(非选择题)两部部分。
满分150分，考试时间120分钟。
请在答题卷上作答。
第Ⅰ卷 选择题(共60分)
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）
1.已知集合{
}{}{}09,1,3,6,0,2,5,6,8,9U x N x M N =∈≤≤==，则()U M N I ð＝( )
A.{2，5，8，9}
B. {0，2，5，8，9}
C. {2，5}
D. {2，5，6，8，9}
2.“若α>β，则sinα>sinβ”的逆否命题是( )
A.若α<β，则sinα<sinβ
B.若sinα>sinβ，则α>β
C.若α≤β，则sinα≤sinβ
D.若sinα≤sinβ，则α≤β
3.若复数＝＋yi(、yR ，i 是虚数单位)满足：2z i -=，则动点(，y)的轨迹方程是( )
A.2＋(y －1)2＝4
B.2＋(y ＋1)2＝4
C.(－1)2＋y 2＝4
D.(＋1)2＋y 2＝4 4.某高中数学兴趣小组准备选拔名男生、y 名女生，若、y 满足约束条件251127
x y y x x -≥⎧⎪⎪≥-⎨⎪≤⎪⎩，则数学兴趣小组最多可以选拔学生( )
A.21人
B.16人
C.13人
D.11人
5.函数cos ()x f x x
=的部分图象大致为( )
6.在△ABC 中，D 为边BC 的中点，且5AD CD ⋅u u u r u u u r ＝，AB ＝6，则AC ＝( )
A.2
B.3
C.4
D.5
7. 中国古代近似计算方法远流长，早在八世纪，我国著名数学家张遂在编制《大衍历》中发明了一种二次不等距插值算法：若函数()y f x =在＝1，＝2，＝3(1<2<3)处的函数值分别为y 1＝f(1)，y 2＝f(2)，y 3＝f(3)，则在区间[1，3]上()f x 可以用二次函数近似代替：111212()()()()f x y k x x k x x x x ≈++---，其中3221112213231,,y y y y k k k k k x x x x x x ---===---。
若令1＝0，22
x π=，3x π=，请依据上述算法，估算sin 5
π的值是( ) A.1425 B.35 C.1625 D.1725
8.若函数()cos(2)()2f x x πϕϕ=+<满足()()6
f x f x π-=，则函数()f x 的零点是( ) A.,12k k Z ππ+∈ B.1,212
k k Z ππ+∈ C ,3k k Z ππ+∈ D.1,23
k k Z ππ+∈ 9.已知△ABC 三条边上的高分别为3，4，6，则△ABC 最小内角的余弦值为( )
A.78
B.158
C.1124
D.748
10.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A.23
B.43
C.2
D.4 11.已知椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>上存在两点M 、N 关于直线2－3y －1＝0对称，且线段MN
中点的纵坐标为23，则椭圆C 的离心率是( ) A.13 B.3 C.23
D.223 12.若定义在R 上的函数()f x 的导函数为'()f x ，且满足'()()9x f x f x e >+，3(3)27f e =，则不
等式()9
x f x xe >的解集是( ) A.(3，＋) B. (－，3) C. (－3，＋) D. (－，－3)
第Ⅱ卷 非选择题(共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分。
将答案填写在题中的横线上。
)
13.执行如图所示的程序框图，若输入的a 、b 的值分别为14
、4，则输出a 的值为
14.若1cos(60)4
α︒-=，则cos(602)α︒+= 15数列{}n a 满足13()n n a a n N *+-=∈，且在数列{}n a 的前2()k k N *∈项中，所有奇数项之和为
40，所有偶数项之和为85，则首项a 1＝
16.在三棱锥S －ABC 中，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥AC 。
若SA ＝4，三棱锥S －ABC 外接球的表面积为116π，则ABS ACS ABC S S S ∆∆∆++的最大值为
三、解答题(本大题共6小题，共70分。
解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
)
17.(本小题满分10分)
某种产品2014年到2018年的年投资金额(万元)与年利润y(万元)的数据统计如下，由散点图知，y 与之间的关系可以用线性回归模型拟合，已知5年利润的平均值是4.7。
年份 2014 2015 2016 2017 2018
(Ⅰ)求表中实数t 的值；
(Ⅱ)求y 关于的线性回归方程ˆˆˆy
bx a =+ 参考公式：回归直线方程ˆˆˆy
bx a =+中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 12
1()()ˆˆˆ,()n
i i
i n i
i x x y y b a y bx x x ==--=--∑∑。
18.(本小题满分12分)
若数列{}n a 的前n 项和为S n ，且S n ＝2(a n －1)，n N *∈
(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；
(Ⅱ)设21n n
n b a -=，求数列{}n b 的前n 项和T n 。
19.(本小题满分12分)
已知命题p ：函数2
1y mx x =-+在(2,)+∞上单调递增；命题q ：椭圆22
13223x y m m -=+-
的焦点在轴上。
(Ⅰ)若q 为真命题，求实数m 的取值范围；
(Ⅱ)若“p q ∧”为假，且“p q ∨”为真，求实数m 的取值范围。
20.(本小题满分12分)
如图，在四棱锥A －BCDE 中，△ADE 是边长为2的等边三角形，平面ADE ⊥平面BCDE ，底面BCDE 是等腰梯形，DE ∥BC ，DE ＝
12
BC ，BE ＝DC ＝2，BD ＝M 是边DE 的中点，点N 在BC 上，且BN ＝3。
(Ⅰ)证明：BD ⊥平面AMN ；
(Ⅱ)设BD I MN ＝G ，求三棱锥A －BGN 的体积。
21.(本小题满分12分)
若地物线C ：y 2＝2p(p>0)的焦点为F ，点M(1，n)在抛物线C 上，且MF ＝3。
(Ⅰ)求抛物线C 的方程；
(Ⅱ)过点(－2，0)的直线l 交抛物线C 于A 、B 两点，点A 关于轴的对称点是D ，证明：B 、F 、D 三点共线。
22.(本小题满分12分)
设a R ∈，函数()ln 1a f x x x
=-+。
(Ⅰ)若a ＝2，求曲线()y f x =在点(1，f(1))处的切线方程；
(Ⅱ)若函数()f x 有两个不同的零点，求a 的取值范围。