2020年安徽省A10联盟高三(上)12月段考数学试卷(理科
安徽省皖江联盟2020届高三上学期12月联考试题 数学(理) Word版含答案
安徽省皖江联盟2020届高三12月份联考试题数学(理科)本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分。
第I 卷第1至第2页，第II 卷第2至第4页。
全卷满分150分，考试时间120分钟。
考生注意事项：1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号。
2.答第I 卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.答第II 卷时，必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰。
必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．，．在试题卷、草稿纸．．．．．．．．上答题无效。
．．．．．．4.考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交。
已知公式：台体体积公式121(3V S S h =++其中S 1，S 2，h 分别表示台体的上底面积，下底面积，高。
第I 卷(选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数z 满足(1－2i)z ＝4＋3i(i 为虚数单位)，则复数z 的模等于C. D.2.已知全集为R ，集合A ＝{－2，－1，0，1，2}，102x B xx -⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭，则()U A B ð的元素个数为A.1B.2C.3D.43.已知函数f(x)在区间(a ，b)上可导，则“函数f(x)在区间(a ，b)上有最小值”是“存在x 0∈(a ，b)，满足f’(x 0)＝0”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.2011年国际数学协会正式宣布，将每年的3月14日设为国际数学节，来源于中国古代数学家祖冲之的圆周率。
公元263年，中国数学家刘徽用“割圆术”计算圆周率，计算到圆内接3072边形的面积，得到的圆周率是39271250。
2020年高三全国统一考试·联考数学理科(含答案)
2020年普通高等学校招生全国统一考试·联考理科数学本试卷共5页，23小题（含选考题），满分150分，考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上用2B 铅笔将试卷类型（B ）填在答题卡相应位置上，将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”．2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．4选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．5．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合{}N x x x x A ∈<--=,0322，则集合A 的真子集有（ ）A ．5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个2．已知i 是虚数单位，则化简2020)11(ii -+的结果为（ ） A.i B.i - C.1- D.13.若干年前，某教师刚退休的月退休金为400元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图该教师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图.已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该教师的月退休金为（ ）A ．4500元 B. 5000元 C ．5500元 D ．6000元4．将包括甲、乙、丙在内的8人平均分成两组参加文明交通”志愿者活动，其中一组指挥交通，一组分发宣传资料，则甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的概率为（ ） A.72 B.73 C.71 D.143 5已知抛物线x y 42=的焦点为F ，过点F 和抛物线上一点)32,3(M 的直线l 交抛物线于另一点N ，则NM NF :等于（ ）A.2:1B.3:1C.4:1D.3:16.在所有棱长都相等的直三棱柱111C B A ABC -中，D ，E 分别为棱AC CC ,1的中点，则直线AB 与平面DE B 1所成角的余弦值为（ ） A.1030 B.2030 C.20130 D.1070 7已知点A （4，3），点B 为不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤-≥06200y x y x y 所表示平面区域上的任意一点，则AB 的最小值为（ ）A.5B.554 C.5 D.552 8．给出下列说法①定义在[a ，b]上的偶函数b x a x x f ++-=)4()(2的最大值为20； ②“4π=x ”是“1tan =x ”的充分不必要条件； ③命题“21),,0(000≥++∞∈∃x x x ”的否定形式是“21),,0(<++∞∈∀xx x ” 其中正确说法的个数为（ ）A.0B.1C.2D.39.已知5.03422log 2log ,,,03log m c m b m a m ===>，则c b a ,,间的大小关系为 A.c b a << B.c a b << C.b a c << D.a c b <<10．元代数学家朱世杰在《算学启蒙》中提及如下问题：今有银一秤一斤十两（1秤=15斤，1斤=16两），令甲、乙、丙从上作折半差分之，问：各得几何?其意思是：现有银一秤一斤十两，现将银分给甲、乙、丙三人，他们三人每一个人所得是前一个人所得的一半.若银的数量不变，按此法将银依次分给7个人，则得银最少的一个人得银（ ）A ．9两 B.127266两 C.63266两 D.127250两 11在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若3cos cos c A b B a =-，则B b A a B a cos cos cos +的最大值为( ) A.2 B.22 C.23 D.332 12.已知几)(x f 为奇函数，)(x g 为偶函数，且)13(log )()(3+=+x x g x f ，不等式0)()(3≥--t x f x g 对R x ∈恒成立，则t 的最大值为（ ）A.1B.2log 233-C.2D.12log 233- 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13已知向量a =（2，5-），b =（1，52），则b 在a 方向上的投影等于 .14在△ABC 中，∠B=32π，A 、B 是双曲线E 的左、右焦点，点C 在E 上，且BC=21AB ，则E 的离心率为 .5已知函数)0,0)(cos()(πϕωϕω≤≤>+=x x f 是奇函数，且在]4,6[ππ-上单调减，则ω的最大值是 .16已知三棱锥A-BCD 中，平面ABD ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，BC=CD=2，AB=AD=6，则三棱锥A-BCD 的外接球的体积为 .三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第次年题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17．（12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且112n n n S na a =+-． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若数列22n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为T n ，证明： 32n T ＜．18．（12分）如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，四边形ABEF 为正方形，AF ⊥DF ，AF=22FD ，∠DFE=∠CEF=45．（1）证明DC ∥FE ；（2）求二面角D-BE-C 的平面角的余弦值．19．（12分）已知点P 在圆O ：x 2+y 2=9上，点P 在x 轴上的投影为Q ，动点M 满足432PQ MQ u u u r u u u u r ．（1）求动点M 的轨迹E 的方程；（2）设G （-3，0），H （3，0），过点F （1，0）的动直线l 与曲线E 交于A 、B 两点，问直线AG 与直线BH 的斜率之比是否为定值?若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由．20．（12分）某县为了帮助农户脱贫致富，鼓励农户利用荒地山坡种植果树，某农户考察了三种不同的果树苗A 、B 、C ．经过引种实验发现，引种树苗A 的自然成活率为0.7，引种树苗B 、C 的自然成活率均为p （0.6≤p≤0.8）（1）任取树苗A 、B 、C 各一棵，估计自然成活的棵数为X ，求X 的分布列及其数学期望；（2）将（1）中的数学期望取得最大值时p 的值作为B 种树苗自然成活的概率，该农户决定引种n 棵B 种树苗，引种后没有自然成活的树苗有75%的树苗可经过人栽培技术处理，处理后成活的概率为0.8，其余的树苗不能成活．①求一棵B 种树苗最终成活的概率；②若每棵树苗引种最终成活可获利400元，不成活的每棵亏损80元该农户为了获利期望不低于10万元，问至少要引种种树苗多少棵?21．（12分）已知函数f （x ）=（a-1）x+xlnx 的图象在点A （e 2，f （e 2））（e 为自然对数的底数）处的切线斜率为4（1）求实数a 的值；（2）若m ∈Z ，且m （x-1）<f （x ）+1对任意x>1恒成立，求m 的最大值．（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）以坐标原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为-22ππρθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，），直线l 的参数方程为2cos 4sin x t y ts αα=-+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）． （1）点A 在曲线C 上，且曲线C 在点A 处的切线与直线：x+2+1=0垂直，求点A 的直角坐标；（2）设直线l 与曲线C 有且只有一个公共点，求直线l 的斜率的取值范围．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）设函数f （x ）=|x-1|+2|x+1|，x ∈R（1）求不等式f （x ）<5的解集；（2）若关于x 的不等式122)(-<+t x f 在实数范围内解集为空集，求实数t 的取值范围·11·。
2020年高三全国统一考试·联考数学理科(含答案)
2020年普通高等学校招生全国统一考试·联考理科数学本试卷共5页，23小题（含选考题），满分150分，考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上用2B 铅笔将试卷类型（B ）填在答题卡相应位置上，将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”．2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．4选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．5．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合{}N x x x x A ∈<--=,0322，则集合A 的真子集有（ ）A ．5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个2．已知i 是虚数单位，则化简2020)11(ii -+的结果为（ ） A.i B.i - C.1- D.13.若干年前，某教师刚退休的月退休金为400元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图该教师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图.已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该教师的月退休金为（ ）A ．4500元 B. 5000元 C ．5500元 D ．6000元4．将包括甲、乙、丙在内的8人平均分成两组参加文明交通”志愿者活动，其中一组指挥交通，一组分发宣传资料，则甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的概率为（ ） A.72 B.73 C.71 D.143 5已知抛物线x y 42=的焦点为F ，过点F 和抛物线上一点)32,3(M 的直线l 交抛物线于另一点N ，则NM NF :等于（ ）A.2:1B.3:1C.4:1D.3:16.在所有棱长都相等的直三棱柱111C B A ABC -中，D ，E 分别为棱AC CC ,1的中点，则直线AB 与平面DE B 1所成角的余弦值为（ ） A.1030 B.2030 C.20130 D.1070 7已知点A （4，3），点B 为不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤-≥06200y x y x y 所表示平面区域上的任意一点，则AB 的最小值为（ ）A.5B.554 C.5 D.552 8．给出下列说法①定义在[a ，b]上的偶函数b x a x x f ++-=)4()(2的最大值为20； ②“4π=x ”是“1tan =x ”的充分不必要条件； ③命题“21),,0(000≥++∞∈∃x x x ”的否定形式是“21),,0(<++∞∈∀xx x ” 其中正确说法的个数为（ ）A.0B.1C.2D.39.已知5.03422log 2log ,,,03log m c m b m a m ===>，则c b a ,,间的大小关系为 A.c b a << B.c a b << C.b a c << D.a c b <<10．元代数学家朱世杰在《算学启蒙》中提及如下问题：今有银一秤一斤十两（1秤=15斤，1斤=16两），令甲、乙、丙从上作折半差分之，问：各得几何?其意思是：现有银一秤一斤十两，现将银分给甲、乙、丙三人，他们三人每一个人所得是前一个人所得的一半.若银的数量不变，按此法将银依次分给7个人，则得银最少的一个人得银（ ）A ．9两 B.127266两 C.63266两 D.127250两 11在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若3cos cos c A b B a =-，则B b A a B a cos cos cos +的最大值为( ) A.2 B.22 C.23 D.332 12.已知几)(x f 为奇函数，)(x g 为偶函数，且)13(log )()(3+=+x x g x f ，不等式0)()(3≥--t x f x g 对R x ∈恒成立，则t 的最大值为（ ）A.1B.2log 233-C.2D.12log 233- 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13已知向量a =（2，5-），b =（1，52），则b 在a 方向上的投影等于 .14在△ABC 中，∠B=32π，A 、B 是双曲线E 的左、右焦点，点C 在E 上，且BC=21AB ，则E 的离心率为 .5已知函数)0,0)(cos()(πϕωϕω≤≤>+=x x f 是奇函数，且在]4,6[ππ-上单调减，则ω的最大值是 .16已知三棱锥A-BCD 中，平面ABD ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，BC=CD=2，AB=AD=6，则三棱锥A-BCD 的外接球的体积为 .三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第次年题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17．（12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且112n n n S na a =+-． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若数列22n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为T n ，证明： 32n T ＜．18．（12分）如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，四边形ABEF 为正方形，AF ⊥DF ，AF=22FD ，∠DFE=∠CEF=45．（1）证明DC ∥FE ；（2）求二面角D-BE-C 的平面角的余弦值．19．（12分）已知点P 在圆O ：x 2+y 2=9上，点P 在x 轴上的投影为Q ，动点M 满足432PQ MQ u u u r u u u u r ．（1）求动点M 的轨迹E 的方程；（2）设G （-3，0），H （3，0），过点F （1，0）的动直线l 与曲线E 交于A 、B 两点，问直线AG 与直线BH 的斜率之比是否为定值?若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由．20．（12分）某县为了帮助农户脱贫致富，鼓励农户利用荒地山坡种植果树，某农户考察了三种不同的果树苗A 、B 、C ．经过引种实验发现，引种树苗A 的自然成活率为0.7，引种树苗B 、C 的自然成活率均为p （0.6≤p≤0.8）（1）任取树苗A 、B 、C 各一棵，估计自然成活的棵数为X ，求X 的分布列及其数学期望；（2）将（1）中的数学期望取得最大值时p 的值作为B 种树苗自然成活的概率，该农户决定引种n 棵B 种树苗，引种后没有自然成活的树苗有75%的树苗可经过人栽培技术处理，处理后成活的概率为0.8，其余的树苗不能成活．①求一棵B 种树苗最终成活的概率；②若每棵树苗引种最终成活可获利400元，不成活的每棵亏损80元该农户为了获利期望不低于10万元，问至少要引种种树苗多少棵?21．（12分）已知函数f （x ）=（a-1）x+xlnx 的图象在点A （e 2，f （e 2））（e 为自然对数的底数）处的切线斜率为4（1）求实数a 的值；（2）若m ∈Z ，且m （x-1）<f （x ）+1对任意x>1恒成立，求m 的最大值．（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）以坐标原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为-22ππρθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，），直线l 的参数方程为2cos 4sin x t y ts αα=-+⎧⎨=-+⎩（t 为参数）． （1）点A 在曲线C 上，且曲线C 在点A 处的切线与直线：x+2+1=0垂直，求点A 的直角坐标；（2）设直线l 与曲线C 有且只有一个公共点，求直线l 的斜率的取值范围．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）设函数f （x ）=|x-1|+2|x+1|，x ∈R（1）求不等式f （x ）<5的解集；（2）若关于x 的不等式122)(-<+t x f 在实数范围内解集为空集，求实数t 的取值范围·11·。
安徽省皖江联盟2020届高三数学上学期12月联考试题文
安徽省皖江联盟2020届高三数学上学期12月联考试题文本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。
第I卷第1至第2页，第II卷第2至第4页。
全卷满分150分，考试时间120分钟。
考生注意事项：1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号。
2.答第I卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.答第II卷时，必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰。
必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．上答题无效。
．．．．．．4.考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交。
第I卷(选择题共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数z满足(1－2i)z＝4＋3i(i为虚数单位)，则复数z的模等于A.52.已知全集为R，集合A＝{－2，－1，0，1，2}，12xB xx-⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭，则()UA Bð的元素个数为A.1B.2C.3D.43.已知函数f(x)在区间(a，b)上可导，则“函数f(x)在区间(a，b)上有最小值”是“存在x0∈(a，b)，满足f’(x0)＝0”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.2011年国际数学协会正式宣布，将每年的3月14日设为国际数学节，来源于中国古代数学家祖冲之的圆周率。
公元263年，中国数学家刘徽用“割圆术”计算圆周率，计算到圆内接3072边形的面积，得到的圆周率是39271250。
公元480年左右，南北朝时期的数学家祖冲之进一步得出精确到小数点后7位的结果，给出不足近似值3.1415926和过剩近似值3.1415927，还得到两个近似分数值，密率355113和约率227。
2020届安徽省皖江联盟高三上学期12月联考试题 数学(理)(解析版)
2020届安徽省皖江联盟高三上学期12月联考试题 数学（理）一、单选题1．复数z 满足()1243i z i -=+（i 为虚数单位），则复数z 的模等于（ ）A B C ．D ．【答案】B【解析】根据复数模的性质和求解直接解得结果即可. 【详解】4312i z i +===- 故选：B 【点睛】本题考查复数模长的求解，涉及到复数模的性质的应用，属于基础题.2．已知全集为R ，集合{}2,1,0,1,2A =--，102x B x x -⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭，则()U A C B ⋂的元素个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】解分式不等式求得集合B ，根据交集和补集的定义求得集合()U A C B ⋂，进而得到元素个数. 【详解】{}10212x B x x x x -⎧⎫=<=-<<⎨⎬+⎩⎭Q {2U C B x x ∴=≤-或}1x ≥(){}2,1,2U A C B ∴=-I ，有3个元素故选：C 【点睛】本题考查集合元素个数的求解，涉及到分式不等式的求解、交集和补集的混合运算，属于基础题.3．已知函数()f x 在区间(),a b 上可导，则“函数()f x 在区间(),a b 上有最小值”是“存在()0,x a b ∈，满足()00f x '=”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】由开区间最小值点必为极小值点可知极小值点导数值为0，充分性成立；利用()3f x x =可验证出必要性不成立，由此得到结论.【详解】(),a b Q 为开区间 ∴最小值点一定是极小值点 ∴极小值点处的导数值为0∴充分性成立当()3f x x =，00x =时，()00f x '=，结合幂函数图象知()f x 无最小值，必要性不成立∴“函数()f x 在区间(),a b 上有最小值”是“存在()0,x a b ∈，满足()00f x '=”的充分不必要条件 故选：A 【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，涉及到导数极值与最值的相关知识；关键是能够明确极值点处的导数值为0，但导数值为0的点未必是极值点.4．2011年国际数学协会正式宣布，将每年的3月14日设为国际数学节，来源于中国古代数学家祖冲之的圆周率。
2020届校联盟(全国i卷)高三上学期12月教育教学质量监测考试数学(理)试题(解析版)
2020届校联盟（全国i 卷）高三上学期12月教育教学质量监测考试数学（理）试题一、单选题1．5273i i i --=+（ ） A ．17+5858i 1 B ．17+5858i 1- C ．175858i 1- D ．175858i 1-- 【答案】C【解析】根据复数的除法运算法则先计算出52141735858i i i -=++，再减去i ，即可. 【详解】()()()()527352737373i i i i i i i i ----=-++-351514641111758585858i i i i i i +-++-=-=-= 故选：C 【点睛】本题考查复数的除法运算，属于容易题.2．已知集合{}2|8910M x x x =-+≤，{|N x y ==，则()R M C N ⋂=（ ）A ．[)1,+∞ B ．11,82⎛⎫⎪⎝⎭C ．11,82⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．1,12⎛⎤⎥⎝⎦【答案】C【解析】解不等式28910x x -+≤，确定集合1|18M x x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，解不等式210x -≥，确定集合1|2R C N x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，再将集合R C N 与集合M 求交集，即可. 【详解】依题意，()(){}1|8110|18M x x x x x ⎧⎫=--≤=≤≤⎨⎬⎩⎭，{1||2N x y x x ⎧⎫===≥⎨⎬⎩⎭，则1|2R C N x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，故()11,82R M C N ⎡⎫=⎪⎢⎣⎭I . 故选：C 【点睛】本题考查集合的运算，属于较易题.3．记等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若135a =,32120S =，则4a =（ ） A ．340-或8140B ．8140-或340C ．8140D ．340 【答案】B【解析】根据等比数列的通项公式求出q 即可求解. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ， 依题意，231233332155520S a a a q q =++=++=， 解得32q =-或12q =，则3418140a a q ==-或340．故选：B 【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式，需熟记公式，属于基础题.4．设向量m ，n 满足||2,m =u r ||3n =r ，现有如下命题：命题2:||p m n -u r r的值可能为9；命题:q “(2)m n m -⊥u r r u r”的充要条件为“1cos ,3m n 〈〉=u r r”；则下列命题中，真命题为（ ） A ．p B ．p q ∧C ．()p q ⌝∧D ．()p q ∨⌝【答案】C【解析】首先判断命题p 与命题q 的真假，再由简单逻辑联接词连接命题的真假表即可判断. 【详解】依题意，|2|m n -u r r的最大值为8，即向量m ，n 共线反向时取得，故命题p 为假；(2)m n m -⊥u r r u r (2)0m n m ⇔-⋅=u r r u r 220m m n ⇔-⋅=⇔u r u r r4223cos ,0m n -⨯⨯⨯〈〉=⇔u r r 1cos ,3m n 〈〉=u r r ，故命题q 为真；故()p q ⌝∧为真． 故选：C 【点睛】本题考查了命题的真假判断以及简单逻辑联接词联接命题的真假表，属于基础题.5．记抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点M 在抛物线上，若MN NF =u u u u r u u u r，且2(2)N ，，则抛物线C 的准线方程为（ ）A ．1x =-B ．2x =-C ．3x =-D ．【答案】B【解析】根据中点坐标公式求出点M ，代入抛物线方程求出p 即可求解. 【详解】因为MN NF =u u u u r u u u r，故点N 为线段MF 的中点； 因为(,0),(,22)2p F N ，则4,42p M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入22y px =中，得2(4)162pp -=，即28160p p -+=．解得4p =． 故抛物线C 的准线方程为2x =-． 故选：B 【点睛】本题主要考查了求抛物线的准线方程，需熟记抛物线的定义，属于基础题.6．函数()3sin 2xx x f ex =+在[]2,2ππ-上的图象大致为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】先判断函数()f x 的奇偶性，排除C ；再验证()4f π的值，排除B ，D ，即可.【详解】依题意，()()()3sin 2xx x f xe--+--=()3sin 2xx x f x e+=-=-，故函数()f x 为奇函数，图象关于原点对称，排除C ；3334273sin 11191919124646440.54 2.8 2.8 2.864179.2182e ef πππππ⎛⎫++++ ⎪⎛⎫⎝⎭=>>===>= ⎪⨯⎝⎭，排除B ，D. 故选：A 【点睛】本题考查函数图象问题.此类问题可根据函数的单调性、奇偶性、特值检验，通过排除法解决.属于中档题.7．元朝著名的数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗“我有一壶酒携着游春走，遇店添一倍，开始逢友饮一斗，”基于此情境，设计了如图所示的程序框图，若入的x 的值为54，输出的x 值为9则判断框中可以填（ ）A ．4i >B ．5i >C ．6i >D ．7i >【答案】B【解析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x 与i 值，当9,6x i ==时退出循环，因此判断框可填入条件5i >. 【详解】运行该程序，第一次，532142x =⨯-=，2i =，第二次，32122x ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，3i =，第三次，2213x =⨯-=，4i =，第四次，2315x =⨯-=，5i =，第五次，2519x =⨯-=，6i =，此时，需要输出x 的值，观察可知.故选：B【点睛】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程，判断程序运行的i 值是解题的关键.属于较易题.8．2019年10月，德国爆发出“芳香烃门”事件，即一家权威的检测机构在德国销售的奶粉中随机抽检了16款(德国4款，法国8款，荷兰4款)，其中8款检测出芳香烃矿物油成分，此成分会严重危害婴幼儿的成长，有些奶粉已经远销至中国．A 地区闻讯后，立即组织相关检测员对这8款品牌的奶粉进行抽检，已知该地区有6家婴幼儿用品商店在售这几种品牌的奶粉，甲、乙、丙3名检测员分别负责进行检测，每人至少抽检1家商店，且检测过的商店不重复检测，则甲检测员检测2家商店的概率为（ ） A ．1118B ．718C ．512D ．712【答案】B【解析】由题意分类讨论三人各检测的数量分配，求出所以情况的数量，再求出满足甲检测2家商店的情况数量，根据古典概型概率的求法即可求解. 【详解】若3人检测的数量为2：2：2，则所有的情况为222342633390C C C A A ⋅=种， 若3人检测的数量为3：2：1，则所有的情况为32136313360C C C A ⋅=种，若3人检测的数量为4：1：1，则所有的情况为143362132290C C C A A ⋅=种， 故所有的情况为540种，其中满足甲检测2家商店的情况为90120210+=种， 故所求概率210754018P ==. 故选：B 【点睛】本题主要考了排列组合在实际中的应用以及古典概型概率的求法，属于基础题. 9．已知正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是线段11A D 的中点，点F 是线段1DD 上靠近D 的三等分点，则直线CE ，BF 所成角的余弦值为（ ）A ．B C D 【答案】B【解析】取线段1BB 上靠近1B 的三等分点G ，过点G 作//GH BC ，且12GH BC =，连接EH ，CH ，1D G 故1//D G BF ，1//D G EH ，则//EH BF ，即异面直线CE ，BF 所成角的为CEH ∠，分别计算,,CH EH CE 长度，由余弦定理，求解即可.【详解】取线段1BB 上靠近1B 的三等分点G ，过点G 作//GH BC ，且12GH BC =，连接EH ，CH ，1D G ，故1//D G BF ；1//D G EH ，所以//EH BF ，则CEH ∠即为直线CE ，BF 的所成角；不妨设6AD =，则97CH =，219EH =，9CE =，故519cos 5729219CEH ∠==⨯⨯.故选：B 【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值，解决此类问题的关键在于将异面直线的夹角通过平移转化为共面直线的夹角.属于中档题.10．已知函数()f x 的图象关于原点对称，且满足()()130f x f ―x ++=，且当)4(2x ∈，时，12()log (1)f x x m =--+，若(2021)1(1)2f f -=-，则m =（ ）A ．43B ．34C ．43-D ．34-【答案】C【解析】根据题意首先求出函数的周期为4，从而求出()()20211f f =；再由函数的奇偶性即可求出1(1)3f =，由(1)(3)f f =-，代入解析式即可求解. 【详解】因为()()()133f x f x f x +=--=-， 故函数()f x 的周期为4，则()()20211f f =；而()()11f f -=-，由(2021)1(1)2f f -=-可得1(1)3f =；而121(1)(3)(31)3f f log m =-=--=, 解得43m =-． 故选：C 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和周期性求函数值以及根据函数值求参数值，属于中档题.11．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 引直线l交双曲线C 的渐近线于y 轴右侧P ，Q 两点，其中OP PQ ⊥，记OPQ △的内心为M ．若点M 到直线PQ 的距离为3a，则双曲线C 的渐近线方程为（ ） A ．14y x =±B ．4y x =±C ．12y x =±D ．2y x =±【答案】C【解析】由题意设P ，Q 分别在第一象限、第四象限；由OPQ △的内心为M ． 过点M 分别作MN OP ⊥，垂足为N ，MT PQ ⊥，垂足为T ，可得四边形MTPN 为正方形，焦点到渐近线的距离为b ，可知2||3NO a =，1||3MN a =，从而可求得渐近线方程. 【详解】不妨设P ，Q 分别在第一象限、第四象限；则M 在POQ ∠角平分线Ox 上， 过点M 分别作MN OP ⊥，垂足为N ，MT PQ ⊥，垂足为T ，由OP PQ ⊥可得四边形MTPN 为正方形，由焦点到渐近线的距离为b ，得2||F P b =； 又2||OF c =，故OP a =，故1||||3NP MN a ==，故2||3NO a =，故2||1tan ||2b MN POF a NO =∠==, 故所求渐近线方程为12y x =±． 故选：C 【点睛】本题主要考查了双曲线的几何性质，需掌握双曲线的渐近线求法，属于中档题. 12．已知函数()(2)f x x ϕ=++其中22ππϕ-≤≤，若()0f x >在5(0,)12π上恒成立，则3()4f π的最大值为（ ） A．B ．0C．-D． 【答案】B【解析】由题意求出52(,)6x πϕϕϕ+∈+，根据()0f x >恒成立求出2x ϕ+的范围，从而由57(,)(2,2)666k k πππϕϕππ+⊆-++求出ϕ的取值范围，进而求出答案. 【详解】因为5(0,)12x π∈,故52(,)6x πϕϕϕ+∈+； 由()0f x >，即1sin(2)2x ϕ+>-，得722266k x k πππϕπ-+<+<+，k Z ∈， 故57(,)(2,2)666k k πππϕϕππ+⊆-++，k Z ∈， 故2657266k k πϕπππϕπ⎧≥-+⎪⎪⎨⎪+≤+⎪⎩，解得2263k k πππϕπ-+≤≤+，k Z ∈；又22ππϕ-≤≤，故63ππϕ-≤≤，故33()()42f ππϕϕ⎡⎤=++=+⎢⎥⎣⎦， 故3()4f π的最大值为0． 故选：B 【点睛】本题考查了三角函数中不等式恒成立求参数的取值范围，属于中档题.二、填空题13．曲线()21xy x e =-在点()0,1-处的切线方程为__________.【答案】1y x =-【解析】利用切线的斜率是函数在切点处导数,求出切线斜率,再利用直线方程的点斜式,即可求出切线方程. 【详解】Q ()21x y x e =-∴ ()221x x y e x e '=+-∴函数()21x y x e =-在0x =处的切线斜率为1，又Q 切点坐标为()0,1-，∴切线方程为1y x =-．故答案为:1y x =-． 【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解切线的方程,其中解答中准确求得函数的导数,合理利用导数的几何意义求解是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.14．已知实数x ，y 满足2 336x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，则2z x y =+的最大值为____________.【答案】274【解析】画出可行域，平移目标函数，根据图象，确定最大值即可. 【详解】作出不等式组所表示的平面区域如图阴影部分所示；观察可知，当直线2z x y =+过点C 时，z 有最大值；联立36030x y x y --=⎧⎨+-=⎩，解得15434x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，故z 的最大值为274.故答案为：274【点睛】本题考查线性规划问题，属于较易题.15．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2418a a +=，17459S =，则(){}31nn a -的前n 项和n T =______．【答案】()()9,229(1),212n nn k k Z T n n k k Z ⎧=∈⎪⎪=⎨+⎪-=+∈⎪⎩【解析】由等差数列的通项公式以及前n 项和公式代入可求得n a ，再由分组求和即可求解. 【详解】因为{}n a 是等数差数列，17994591745927S a a =⇒=⇒=，而2418a a +=，所以1918272418a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得3d =，13a =，则3(1)33n a n n +-⨯==，n *∈N ； 数列{}3n a 构成首项为9，公差为9的等差数列；若n 为偶数，则991827369(1)92n n T n n =-+-++--+=L ， 若n 为奇数，则T 91827369(2)9(1)9n n n n =-+-++--+--L9(1)9(1)922n n n -+=-=- 故()()9,229(1),212n nn k k Z T n n k k Z ⎧=∈⎪⎪=⎨+⎪-=+∈⎪⎩. 故答案为：()()9,229(1),212n nn k k Z T n n k k Z ⎧=∈⎪⎪=⎨+⎪-=+∈⎪⎩【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式以及分组求和，需熟记公式，属于基础题. 16．已知三棱锥P-ABC 中，PAB △是面积为4ACB π∠=，则当点C 到平面PAB 的距离最大时，三棱锥P-ABC 外接球的表面积为_______． 【答案】1123π 【解析】首先确定当平面CAB ⊥平面P AB 时，三棱锥P-ABC 的体积达到最大；然后作出球的球心求出半径，即可求出外接球的表面积. 【详解】当平面CAB ⊥平面P AB 时，三棱锥P-ABC 的体积达到最大；记点D ，E 分别为APB △，ACB △的外心，并过两个三角形的外心作三角形所在平面的垂线，两垂线交于点O ，则点O 即为三棱锥P-ABC 外接球的球心，AO 即为球的半径；因为PAB S ∆=4AB =；在ACB △中，45ACB ∠=︒，则90AEB =︒∠，由正弦定理可2ABAE sin ACB=∠，故AE EB EC ===记AB 的中点为F ，则1133OE DF PF AB ====故OA ==故外接球的表面积211243S R ππ==． 故答案为：1123π【点睛】本题主要考查立体几何中球的外接内切问题、正弦定理解三角形，考查了学生的空间想象能力，属于中档题.三、解答题17．已知ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且223sin 3sin3sin sin sin B CA B C A+=+．（1）求A 的大小；（2）若a =ABC V 面积的最大值以及周长的最大值．【答案】（1）3A π=；（2）ABC V 面积的最大值为【解析】（1）利用正弦定理边化角以及余弦定理即可求解. （2）根据余弦定理以及基本不等式即可求解. 【详解】（1）依题意，2223sin 3sin 3sin sin sin B C A A B C ++=，故2223333sin 2b c a A bc +=+⋅,即2223sin 23b c a A bc +-=，由余弦定理得，3cos sin A A =，故tan 3A =，因为(0,)A π∈，故3A π=；（2）由余弦定理，2222cos a c b bc A =+-，即221+2c b bc bc =-≥， 当且仅当23c b ==时等号成立； 故ABC V 的面积133324S bcsinA bc ==≤， 故ABC V 面积的最大值为33.而22223()12()3()4b c c b bc c b bc b c +=+-=+-≥+-，故43b c +≤，当且仅当23c b ==时等号成立； 故ABC V 的周长63l a b c =++≤ 故周长的最大值为63. 【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式以及基本不等式，在运用基本不等式时注意验证等号成立的条件，属于基础题.18．如图所示，在四棱锥S-ABCD 中，四边形ABCD 是菱形，135ABC ∠=︒，2SD CD =，点P ，Q ，M 分别是线段SD ，PD ，AP 的中点，点N 是线段SB 上靠近B的四等分点．（1）若R 在直线MQ 上，求证：//NR 平面ABCD ；（2）若SD ⊥平面ABCD ，求平面SAD 与平面SBC 所成的锐二面角的余弦值． 【答案】（1）见解析；（222【解析】（1）利用面面平行的判定定理、面面平行的性质定理即可证出.（2）以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系D xyz -，不妨设1AD =，求出平面SBC 的一个法向量与平面SAD 的一个法向量，利用向量的数量积即可求解. 【详解】 （1）依题意，34SQ SNSD SB ==，故//QN BD ， 而QN ⊄平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，故//QN 平面ABCD ； 因为12PQ PM PD PA ==，故//QM AD ， 而QM ⊄平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，故//QM 平面ABCD ； 因为QM QN Q =I ，故平面//QMN 平面ABCD ； 因为NR ⊂平面QMN ，故//NR 平面ABCD ； （2）如图，以D 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系D xyz -，不妨设1AD =，则0)00D（，，，()002S ，，，0)10A （，，，22(,22C -， ∴(1,0,0)BC AD ==-u u u r u u u r ，22(2)22SC =--u u u r ，设平面SBC 的一个法向量为1(,,)x y z =n ，则110n BC n SC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u v u u u v ， 0222022x x y z -=⎧⎪∴⎨-+-=⎪⎩取2y =1(0,22,1)n =， 易知平面SAD 的一个法向量20()01n =，，， 设平面SAD 与平面SBC 所成锐二面角为θ，则121222cos 3n n n n θ⋅==⋅，∴平面SAD与平面SBC所成锐二面角的余弦值为3.【点睛】本题主要考查面面平行的判定定理、面面平行的性质定理以及空间向量求二面角，考查了学生的逻辑推理能力，属于中档题.19．为了响应国家号召，某校组织部分学生参与了“垃圾分类，从我做起”的知识问卷作答，并将学生的作答结果分为“合格”与“不合格”两类与“问卷的结果”有关？（1）是否有90%以上的把握认为“性别”与“问卷的结果”有关？（2）在成绩合格的学生中，利用性别进行分层抽样，共选取9人进行座谈，再从这9人中随机抽取5人发送奖品，记拿到奖品的男生人数为X，求X的分布列及数学期望()E X．附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++【答案】（1）没有90%的把握认为“性别”与“问卷的结果”有关；（2）分布列见解析，20()9E X=【解析】（1）根据独立性检验的思想即可判断.（2）依题意，成绩合格的男生抽取4人，成绩合格的女生抽取5人，X的可能取值为01234，，，，，求出各随机变量的概率，列出分布列即可求出期望.【详解】（1）完善列联表如下所示：222()60(14201016) 1.111 2.706()()()()30302436n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯∴==≈<++++⨯⨯⨯，故没有90%的把握认为“性别”与“问卷的结果”有关．（2）依题意，成绩合格的男生抽取4人，成绩合格的女生抽取5人，故X 的可能取值为01234，，，，，55591(0)126C P X C ===,41545920(1)126C C P X C ===,32545960(2)126C C P X C ===, 23545940(3)126C C P X C ===,5944155(4)126C C P X C ===， 故X 的分布列为：所以1206040520()012341261261261261269E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查了独立性检验以及数学期望，解题的关键是列出列联表和分布列，属于基础题.20．已知椭圆2222:1(0)C b b x a a y +>>=的上、下焦点分别为1F ，2F 点M ⎝⎭ 在椭圆C 上，延长1MF 交椭圆于N 点．（1）求椭圆C 的方程；（2）P ，Q 为椭圆上的点，记线段MN ，PQ 的中点分别为A ，B （A ，B 异于原点O ），且直线AB 过原点O ，求OPQ △面积的最大值．【答案】（1）22194y x +=；（2）最大值为3 【解析】（1）利用待定系数法以及椭圆的离心率即可求解. （2）由（1）可知1F，可求11:2MF y x =-+11(,)P x y ，()22,Q x y ，根据设而不求的思想求出12PQMN k k ==-，设直线1:2PQ y x m =-+，与椭圆方程联立，由弦长公式以及点到直线的距离公式求出面积表达式，借助基本不等式即可求出. 【详解】（1）依题意，22916155a b c a⎧+=⎪⎪⎨⎪==⎪⎩， 解得39a =，24b =，故椭圆C 的方程为22194y x +=；（2）由（1）可知，1F，故直线11:2MF y x =-+ 设11(,)P x y ，()22,Q x y ，则22112222149149x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得12121212()()()()049x x x x y y y y +-+-+=，因为PQ 不过原点，所以12121212()()9()()4y y y y x x x x +-⋅=-+-，即94PQ OB k k ⋅=-，同理：94MN OA k k ⋅=-， 又因为直线AB 过原点O ，所以OB OA k k =，所以12PQ MN k k ==-， 设直线1:2PQ y x m =-+，由2214912x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩得22522180x mx m -+-=， 由>0∆，得m <<，由韦达定理得，1225m x x +=，2122185m x x -=所以12|||PQ x x =-==又因为O 到直线PQ的距离||d m ==，所以2213310|||32552CPQm m S PQ d m +-=⋅=≤⋅=V ， 当且仅当2210m m =-，即m = 所以OPQ △面积的最大值为3． 【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系以及弦长公式，考查了学生的计算能力，属于中档题.21．已知函数()ln f x x a x =-，[1,e]x ∈． （1）若2a =，求函数()f x 的最值；（2）讨论函数()()1g x xf x a =++的零点个数．【答案】（1）最小值为22ln 2-，最大值为1；（2）当2a ≤-或211e a e +≥-时，()g x 在[1,]e 内有1个零点；当2121e a e +-<<-时，()g x 在[1,]e 内无零点．【解析】（1）求出导函数()f x '，令()0f x '=，求出极值，再求出端点值即可求解. （2）由题意将问题转化为函数1()ln a h x x a x x+=-+的零点个数，对()h x 求导，根据导函数结合定义域分三种情况讨论①当1a e >-时；②当0a ≤时；③当01a e <≤-时，分别求出函数的最值和单调区间，从而可判断出函数零点的个数.【详解】（1）若2a =，则()2ln f x x x =-，2()1f x x'=-， 令()0f x '=，解得2x =；而()11f =，()22n2l 2f =-，()2f e e =-， 故函数()f x 的最小值为22ln 2-，最大值为1．（2）令2()()1ln 10g x xf x a x ax x a =++=-++=，因为0x >，故1ln 0a x a x x+-+=， 令1()ln a h x x a x x+=-+，故问题转化为函数()h x 的零点个数； 而[]2(1)(1)()x a x h x x -++'=，①当1a e >-时，即1a e +>，当(1,)x e ∈时，()0h x '<， 故()h x 在(1,)e 上单调递减，(1)20h a =+>，111()(1)a h e e a a e e e e+=+-=-++， 故当()0h e >，即211(1)0,1e a e a e e e +-++><-时，()0h x >在[1,]e 上恒成立，当2111e e a e +-<<-时，()h x 在[1,]e 内无零点；当()0h e ≤，即11(1)0a e e e-++≤， 即21 1e a e +≥-时，()()00h h e ⋅≤，由零点存在性定理可知，此时()h x 在[1,]e 内有零点，因为函数()h x 在[1,]e 内单调递减，此时()h x 在[1,]e 内有一个零点；②当0a ≤时，即11a +<，当(1,)x e ∈时，()0h x '>，()h x 在(1,)e 上单调递增，()12h a =+，11()(1)0h e a e e e=-++>，故当()120h a =+≤，即2a ≤-时，()()10h h e ≤， 由零点存在性定理，此时()h x 在[1,]e 内有零点，因为()h x 在[1,]e 内单调递增，故仅有1个零点；当20a -<≤时，()()min 10h x h ⎡=⎣⎦>⎤，此时()h x 在[1,]e 内无零点； ③当01a e <≤-时，即11a e <+≤， 当1,(1)x a ∈+时，()0h x '<， 当),(1x a e ∈+时，()0h x '>．则函数()h x 在(1,1)a +上单调递减，在(,)1a e +上单调递增，故()()()min 12ln 122h x h a a a a a a =+=+⎡⎤≥⎦++-⎣-=， 故()0h x >，此时()h x 在[1,]e 内无零点；综上所述，当2a ≤-或211e a e +≥-时，()g x 在[1,]e 内有1个零点；当2121e a e +-<<-时，()g x 在[1,]e 内无零点．【点睛】本题考查了导数在函数单调性、最值中的应用，考查了分类讨论的思想，综合性比较强，属于难题.22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为21x y ⎧=-⎪⎨=-+⎪⎩（t 为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，且直线l 与曲线交于M ，N 两点.（1）求直线l 的普通方程以及曲线C 的直角坐标方程； （2）若()0,1A ，求||||AM AN +的值.【答案】（1）l ：1x y +=，C ：2240x y x +-=；（2）【解析】（1）将2x =，1y =-+相加，消去参数t ，整理得直线l 的普通方程；在方程4cos ρθ=两边同时乘以ρ，再利用222cos sin x y x y ρρθρθ⎧=+⎪=⎨⎪=⎩转化为直角坐标方程即可.（2）将直线l的参数方程为21x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入曲线C 的直角坐标方程，利用参数t 的几何意义求解，即可. 【详解】（1）依题意，直线l ：10x y +-=；曲线C ：24cos ρρθ=，即2240x y x +-=；（2）依题意，直线l的参数方程为21x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入2240x y x +-=中，可得210t ++=，设M ，N 对应的参数分别为1t ，2t ，则1212||AM AN t t t t +=+=+=【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程的互化，以及直线的参数方程t 的几何意义.属于中档题.23．已知函数()()422f x x m x m m=-++>. （1）若4m =，求不等式()5f x >的解集； （2）证明：()()422f x m m +≥+-【答案】（1）2{|3x x <-或0}x >；（2）见解析 【解析】（1）分类讨论21x <-；142x -≤≤；4x >；分别求解，再取并集，即可.（2）确定分段函数()423,42,43,x m x m m f x x m x m m m x m x m m ⎧-+-<-⎪⎪⎪=++-≤≤⎨⎪⎪-+>⎪⎩的最小值，再加上4(2)m m -，变形整理为42()22(2)2f x m m m m +≥-++--，根据均值定理证明，即可.【详解】第 21 页 共 21 页 （1）依题意，4215x x -++>； 当21x <-时，原式化为4215x x --->，解得23x <-； 当142x -≤≤时，原式化为4215x x -++>，解得0x >，故04x <≤； 当4x >时，原式化为4215x x -++>，解得83x >，故4x >； 综上所述，不等式()5f x >的解集为2{|3x x <-或0}x >. （2）依题意，()423,42,43,x m x m m f x x m x m m m x m x m m ⎧-+-<-⎪⎪⎪=++-≤≤⎨⎪⎪-+>⎪⎩，所以()min 22f m m m f x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭=， ()()()42422m m m m f x m m +≥++--222222222m m m m m m =++-=-++≥--， 当且仅当222m m -=-，即2m =+. 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，以及均值定理证明不等式.属于中档题.。
安徽省江淮名校2020届高三12月联考数学(理科)试题Word版含解析
安徽省江淮名校2020届高三12月联考数学（理科）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，集合，，则等于（）A. B. C. D.2.复数满足（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.已知向量，，若，则（）A. B. C. -3 D. 34.已知函数，则是（）A. 奇函数，且在上是增函数B. 偶函数，且在上是增函数C. 奇函数，且在上是减函数D. 偶函数，且在上是减函数5.已知一个四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥侧面的4个三角形面积的最大值为（）A. B. C. D.6.已知等比数列的前项和为，且，则（）A. B. C. D.7.把函数的图象上每个点的横坐标扩大到原来的2倍，再向左平移，得到函数的图象，则函数的一个单调递增区间为（）A. B. C. D.8.若实数，满足约束条件，则的最小值为（）A. B. C. D.9.如图，在矩形中的曲线是，的一部分，点，，在矩形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A. B. C. D.10.的斜边等于4，点在以为圆心，1为半径的圆上，则的取值范围是（）A. B. C. D.11.体积为的三棱锥的顶点都在球的球面上，平面，，，则球的表面积的最小值为（）A. B. C. D.12.设函数的导数为，且，，，则当时，（）A. 有极大值，无极小值B. 无极大值，有极小值C. 既有极大值又有极小值D. 既无极大值又无极小值第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知，，若是的充分不必要条件，则的取值范围为__________．14.已知函数在上恰有一个最大值点和最小值点，则的取值范围是__________．15.已知正数，满足，则的最大值为__________．16.在四边形中，，，，，则的最大值为______．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.如图，在梯形中，，，，四边形是正方形，且，点在线段上.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）当平面时，求四棱锥的体积.18.如图，是的外角平分线，且.（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，，求的长.19.已知数列的前项的和，是等差数列，且.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）令，求数列的前项和.20.在四棱锥中，侧面底面，，，，，. （Ⅰ）求与平面所成角的正弦值；（Ⅱ）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.21.已知.（Ⅰ）求的最小值；（Ⅱ）若对任意都成立，求整数的最大值.22.已知，，其中.（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；（Ⅱ）若恒成立，求的最大值.安徽省江淮名校2020届高三12月联考数学（理科）试题参考答案第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，集合，，则等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】解不等式得集合A，进而可得，求解函数定义域可得集合B，利用交集求解即可.【详解】因为集合，，所以，故选D.【点睛】本题主要考查了集合的补集及交集的运算，属于基础题.2.复数满足（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】由题意得，，则复数在复平面内对应的点位于第一象限，故选A.3.已知向量，，若，则（）A. B. C. -3 D. 3【答案】B【解析】【分析】利用两个向量平行的坐标表示列出方程求解即可.【详解】向量，若，则，解得.故选B.【点睛】本题主要考查了向量平行的坐标表示，属于基础题.4.已知函数，则是（）A. 奇函数，且在上是增函数B. 偶函数，且在上是增函数C. 奇函数，且在上是减函数D. 偶函数，且在上是减函数【答案】C【解析】【分析】先判断定义域是否关于原点对称，进而利用可得函数为奇函数，再由指数函数的单调性可判断函数的单调性.【详解】定义域为R，关于原点对称，，有，所以是奇函数，函数，显然是减函数.故选C.【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性和单调性的判断，属于基础题.5.已知一个四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥侧面的4个三角形面积的最大值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】还原几何体得四棱锥，其中面，分别计算各侧面的面积即可得解.【详解】还原三视图可得几何体如图所示，四棱锥，其中面，.中有，由，所以.所以.所以面积最大值是的面积，等于2.【点睛】本题主要考查了由三视图还原几何体，并计算几何体的侧面积，需要一定的空间想象力，属于中档题.6.已知等比数列的前项和为，且，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由等比数列的通项公式，利用基本量运算可得通项公式，进而可得前n项和，从而可得，令求解即可. 【详解】由，可得；由.两式作比可得：可得，，所以，，，所以.故选D.【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式及前n项公式，属于公式运用的题目，属于基础题.7.把函数的图象上每个点的横坐标扩大到原来的2倍，再向左平移，得到函数的图象，则函数的一个单调递增区间为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用三角函数的图象变换可得函数，再由，，可解得单调增区间，即可得解.【详解】函数的图象上每个点的横坐标扩大到原来的2倍，可得的图象，再向左平移，得到函数的图象.由，，得，.当时，函数的一个单调递增区间，故选B.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换及三角函数的单调性，注意三角函数的平移变换，平移是针对自变量“x”而言的，所以需要将x的系数提出，属于中档题.8.若实数，满足约束条件，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】作出不等式的可行域，的几何意义是可行域内的点与点连线的斜率的倒数，由斜率的最大值即可得解.【详解】作出不等式组构成的区域，的几何意义是可行域内的点与点连线的斜率的倒数，由图象知的斜率最大，由得，所以，此时.故选A.【点睛】常见的非线性目标函数问题，利用其几何意义求解：的几何意义为可行域内的点到直线的距离的倍的几何意义为可行域内的点到点的距离的平方。
2020届高三12月联考理科数学参考答案
数学参考答案（理科）2.【解析】集合(2,1)B =-，所以{2,1,2}U A B =- （） ，有3个元素。
3.【解析】开区间上最小值一定是极小值，导数等于0，反过来不成立。
4.【解析】3927=3.14161250，355=3.141592113 ，22=3.1428577，故选B。
5.【解析】(1)1((1)1)f f +=--+，所以(1)3f -=-。
6.【解析】11=1n n k a n kn k++=+--，由k 是正数及反比例函数的单调性知50k -<且60k ->，故选D。
7.【解析】1211109895040sum =⨯⨯⨯⨯=，判断框在12,11,10,9,8i =都满足条件，7i =不满足，故选B8.【解析】(1()322f f ππ=-=-，，故选A。
9.【解析】球心是AC 的中点，25=R ，6125812534343πππ=⋅==R V ，选C10.【解析】设1910a b x x a b+=⇒+=-，于是199(10)()(101016a bx x a b a b b a -=++=++≥+=所以210+16028x x x -≤⇒≤≤，所以a b +的最小值是2（当13,22a b ==时取得）11.【解析】设点001(,)P x x ，切线l 方程为20012y x x x =-+，所以002(2,0),(0,)A x B x ，点001(,)P x x 是AB 中点，S 2AOB = ,命题（1）（2）都正确。
过原点作倾斜角等于15 和75 的2条射线与曲线的交点为,M N ,由对称性知OMN 是等边三角形,命题（3）正确。
过原点作2条夹角等于45 的射线与曲线的交点为,M N ,当直线OM 的倾斜角从90 减少到45 的过程中，OM ON 的值从+∞变化到0,在这个过程中必然存在OM ON 的时刻,此时OMN 是等腰直角三角形,命题（4）正确.12.【解析】解1：222||2132a b a b a b a b -=+-=-，由题设=()1||||1=||1a b a b c a b c a b +-≤+-+- ，所以22221||2132a b a b a b a b a b +≤+=++=+（），得212a b ≤ （），所以a b -≤≤ ，因此，||1a b -≤ ，易见等号可以取得，故选D。
2020届安徽省皖江联盟高三上学期12月联考试题 数学(理)(解析版)
2020届北京市朝阳区高三上学期期末数学试题一、单选题1．在复平面内，复数(2)i i +对应的点的坐标为（ ） A ．(1,2) B ．(2,1)C ．(1,2)-D ．(2,1)-【答案】C【解析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出． 【详解】解：复数i （2+i ）＝2i ﹣1对应的点的坐标为（﹣1，2）， 故选：C 【点睛】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 2．已知23a -=，0.5log 2b =，2log 3c =，则（ ） A ．a b c >> B ．a c b >>C ．b c a >>D ．c a b >>【答案】D【解析】利用中间量隔开三个值即可. 【详解】∵()230,1a -=∈，0.5log 20b =<,2log 31c =>, ∴c a b >>， 故选：D 【点睛】本题考查实数大小的比较，考查幂指对函数的性质，属于常考题型.3．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，则其渐近线方程为（ ）A ．y =B ．y =C ．2y x =±D ．2y x =±【答案】B【解析】根据题意，得双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax ，再由双曲线离心率为2，得到c ＝2a ，由定义知b =，代入即得此双曲线的渐近线方程． 【详解】解：∵双曲线C 方程为：2222x y a b-=1（a ＞0，b ＞0）∴双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax 又∵双曲线离心率为2，∴c ＝2a ，可得b ==因此，双曲线的渐近线方程为y ＝故选：B ． 【点睛】本题给出双曲线的离心率，求双曲线的渐近线方程，着重考查了双曲线的标准方程与基本概念，属于基础题．4．在ABC V 中，若3b =，c =4C π=，则角B 的大小为（ ）A ．6πB ．3π C ．23π D ．3π或23π 【答案】D【解析】利用正弦定理即可得到结果. 【详解】解：∵b ＝3，c =C 4π=，∴由正弦定理b c sinB sinC=，可得34sinB sin =可得：sin B =∵c ＜b ，可得B 3π=或23π， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查计算能力，属于基础题． 5．从3名教师和5名学生中，选出4人参加“我和我的祖国”快闪活动．要求至少有一名教师入选，且入选教师人数不多于入选学生人数，则不同的选派方案的种数是（ ） A ．20 B ．40C ．60D ．120【答案】C【解析】由题意可分成两类：一名教师和三名学生，两名教师和两名学生，分别利用组合公式计算即可. 【详解】由题意可分成两类：（1）一名教师和三名学生，共133530C C =； （2）两名教师和两名学生，共223530C C =；故不同的选派方案的种数是303060+=. 故选：C 【点睛】本题考查组合的应用，是简单题，注意分类讨论、正确计算即可． 6．已知函数()xxf x e e-=-，则()f x （ ）A ．是奇函数，且在(0,)+∞上单调递增B ．是奇函数，且在(0,)+∞上单调递减C ．是偶函数，且在(0,)+∞上单调递增D ．是偶函数，且在(0,)+∞上单调递减【答案】C【解析】根据函数的奇偶性的定义以及单调性的性质判断即可． 【详解】函数()xxf x e e-=-的定义域为R ，()() xxx xf x eee ef x -----=-=-=，即()()f x f x -=， ∴()f x 是偶函数，当x 0>时，()xxf x e e -=-,y ?x e =为增函数，y x e -=为减函数， ∴()f x 在()0,+∞上单调递增， 故选：C 【点睛】本题考查了函数的奇偶性以及函数的单调性问题，考查推理能力，是一道中档题． 7．某三棱锥的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（ ）A ．23B ．43C ．2D ．4【答案】A【解析】根据题意把三棱锥放入棱长为2的正方体中，得出三棱锥的形状， 结合图形，求出该三棱锥的体积． 【详解】解：根据题意，把三棱锥放入棱长为2的正方体中，是如图所示的三棱锥P ﹣ABC ， ∴三棱锥P ﹣ABC 的体积为：112212333ABC S ⨯⨯=⨯⨯=n ， 故选：A【点睛】本题考查了利用三视图求空间几何体体积的应用问题，考查空间想象能力，是基础题．8．设函数3()3()f x x x a a R =-+∈，则“2a >”是“()f x 有且只有一个零点”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】()f x 有且只有一个零点的充要条件为2a >,或2a <-，从而作出判断. 【详解】f （x ）＝33x x a -+，f ′（x ）＝3x 2﹣3＝3（x +1）（x ﹣1）， 令f ′（x ）＞0，解得：x ＞1或x ＜﹣1， 令f ′（x ）＜0，解得：﹣1＜x ＜1，∴()()33f x x x a a R =-+∈在()1，-∞-，()1∞+，上单调递增，在()1,1-上单调递减，且()12?f a -=+,() 12?f a =-+, 若()f x 有且只有一个零点，则2a >,或2a <-∴“2a >”是“()f x 有且只有一个零点”的充分而不必要条件， 故选：A 【点睛】本题考查充分性与必要性，同时考查三次函数的零点问题，考查函数与方程思想，属于中档题.9．已知正方形ABCD 的边长为2，以B 为圆心的圆与直线AC 相切.若点P 是圆B 上的动点，则DB AP ⋅u u u v u u u v的最大值是（ ） A． B．C ．4D ．8【答案】D【解析】建立平面直角坐标系，圆B 的方程为：222x y +=,444DB AP sin πθ⎛⎫⋅=-+ ⎪⎝⎭u u u v u u u v ，利用正弦型函数的性质得到最值. 【详解】如图，建立平面直角坐标系，则()0,0B ，()A 0,2，()D 2,2， 圆B 的方程为：222x y +=,∴)Pθθ，∴()22DB =--u u u v，，)2AP θθ=-u u u v ，∴4444DB AP sin πθθθ⎛⎫⋅=--+=-+ ⎪⎝⎭u u u v u u u v ∴14sin πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，DB AP ⋅u u u v u u u v的最大值是8， 故选：D【点睛】本题考查了向量的坐标运算、点与圆的位置关系，考查了，考查了正弦型函数的性质，考查推理能力与计算能力，属于中档题．10．笛卡尔、牛顿都研究过方程(1)(2)(3)x x x xy ---=，关于这个方程的曲线有下列说法： ① 该曲线关于y 轴对称； ② 该曲线关于原点对称；③ 该曲线不经过第三象限； ④ 该曲线上有且只有三个点的横、纵坐标都是整数．其中正确的是（ ） A ．②③ B ．①④C ．③D ．③④【答案】C【解析】以﹣x 代x ，以﹣x 代x ，﹣y 代y ，判断①②的正误，利用方程两边的符号判断③的正误，利用赋值法判断④的正误. 【详解】以﹣x 代x ，得到()()()123x x x xy +++=，方程改变，不关于y 轴对称；以﹣x 代x ，﹣y 代y ，得到()()()123x x x xy +++=-，方程改变，不关于原点对称；当x 0,y 0<<时，()()()1230,?0,x x x xy ---显然方程不成立， ∴该曲线不经过第三象限；令x 1=-,易得12y =，即()1,12-适合题意，同理可得()()()1,02,03,0，，适合题意， ∴该曲线上有且只有三个点的横、纵坐标都是整数是错误的， 故选：C 【点睛】本题考查曲线与方程，考查曲线的性质，考查逻辑推理能力与转化能力，属于中档题．二、填空题11．412x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为______. 【答案】24【解析】先求出二项式412x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式通项公式44421441(2)()2r r r r r rr T C x C x x---+==，再令420r -=，求出2r =代入运算即可得解. 【详解】解：由二项式412x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式通项公式为44421441(2)()2r r r r r rr T C x C x x ---+==，令420r -=，解得2r =，即展开式中的常数项为422443242421C -⨯=⨯=⨯， 故答案为24. 【点睛】本题考查了二项式定理，重点考查了二项式展开式通项公式，属基础题.12．已知等差数列{}n a 的公差为2，若1a ，3a ，4a 成等比数列，则2a =_______；数列{}n a 的前n 项和的最小值为_____． 【答案】6- 20-【解析】运用等比数列中项的性质和等差数列的通项公式，解方程可得首项，即可得到a 2，再由等差数列的求和公式，结合二次函数的最值求法，即可得到所求最小值． 【详解】解：等差数列{a n }的公差d 为2， 若a 1，a 3，a 4成等比数列， 可得a 32＝a 1a 4，即有（a 1+2d ）2＝a 1（a 1+3d ）， 化为a 1d ＝﹣4d 2，解得a 1＝﹣8，a 2＝﹣8+2＝﹣6； 数列{a n }的前n 项和S n ＝na 112+n （n ﹣1）d ＝﹣8n +n （n ﹣1）＝n 2﹣9n＝（n 92-）2814-， 当n ＝4或5时，S n 取得最小值﹣20． 故答案为：﹣6，﹣20． 【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查等比数列中项的性质，以及二次函数的最值的求法，考查运算能力，属于中档题．13．若顶点在原点的抛物线经过四个点(1,1)，1(2,)2，(2,1)，(4,2)中的2个点，则该抛物线的标准方程可以是________． 【答案】28x y =或2y x =【解析】分两类情况，设出抛物线标准方程，逐一检验即可. 【详解】设抛物线的标准方程为：2x my =，不难验证()12,4,22⎛⎫⎪⎝⎭，适合，故28x y =； 设抛物线的标准方程为：2n y x =，不难验证()()1,14,2，适合，故2y x =；故答案为：28x y =或2y x = 【点睛】本题考查抛物线标准方程的求法，考查待定系数法，考查计算能力，属于基础题. 14．春天即将来临，某学校开展以“拥抱春天，播种绿色”为主题的植物种植实践体验活动．已知某种盆栽植物每株成活的概率为p ，各株是否成活相互独立．该学校的某班随机领养了此种盆栽植物10株，设X 为其中成活的株数，若X 的方差 2.1DX =，(3)(7)P X P X =<=，则p =________．【答案】0.7【解析】由题意可知：()X ~B 10,p ，且()()()101 2.137p p P X P X ⎧-=⎪⎨=<=⎪⎩，从而可得p 值．【详解】由题意可知：()X ~B 10,p∴()()()101 2.137p p P X P X ⎧-=⎪⎨=<=⎪⎩，即21001002100.5p p p ⎧-+=⎨>⎩, ∴0.7p =故答案为：0.7 【点睛】本题考查二项分布的实际应用，考查分析问题解决问题的能力，考查计算能力，属于中档题．15．已知函数()f x 的定义域为R ，且()2()f x f x π+=，当[0,)x π∈时，()sin f x x =．若存在0(,]x m ∈-∞，使得0()43f x ≥，则m 的取值范围为________．【答案】10[,)3π+∞ 【解析】由f （x + π）＝2f （x ），得f （x ）＝2f （x ﹣π），分段求解析式，结合图象可得m 的取值范围． 【详解】解：∵()()2f x f x π+=，∴()()2f x f x π=-， ∵当[)0,x Îp 时，()sin f x x =．∴当[),2x ππ∈时，()()2sin f x x π=-． 当[)2,3x ππ∈时，()()4sin 2f x x π=-． 当[)3,4x ππ∈时，()()8sin 3f x x π=-． 作出函数的图象：令()8sin 343x π-=103x π=，或113π， 若存在(]0,x m ∈-∞，使得()043f x ≥，则103m π≥，故答案为：10[,)3π+∞ 【点睛】本题考查函数与方程的综合运用，训练了函数解析式的求解及常用方法，考查数形结合的解题思想方法，属中档题．16．某学校数学建模小组为了研究双层玻璃窗户中每层玻璃厚度d （每层玻璃的厚度相同）及两层玻璃间夹空气层厚度l 对保温效果的影响，利用热传导定律得到热传导量q 满足关系式：112(2)Tq l d dλλ∆=+，其中玻璃的热传导系数31410λ-=⨯焦耳/（厘米⋅度），不流通、干燥空气的热传导系数42 2.510λ-=⨯焦耳/（厘米⋅度）， T ∆为室内外温度差．q 值越小，保温效果越好．现有4种型号的双层玻璃窗户，具体数据如下表：则保温效果最好的双层玻璃的型号是________型． 【答案】B【解析】分别计算4种型号的双层玻璃窗户的q 值，根据q 值越小，保温效果越好．即可作出判断. 【详解】A 型双层玻璃窗户：3142410320.52492.5100.5l d d λλ--⎛⎫⎛⎫⨯⨯+=+= ⎪ ⎪⨯⨯⎝⎭⎝⎭， B 型双层玻璃窗户：3142410420.52652.5100.5l d d λλ--⎛⎫⎛⎫⨯⨯+=+= ⎪ ⎪⨯⨯⎝⎭⎝⎭， C 型双层玻璃窗户：3142410220.6233.22.5100.6l d d λλ--⎛⎫⎛⎫⨯⨯+=+= ⎪ ⎪⨯⨯⎝⎭⎝⎭， D 型双层玻璃窗户：3142410320.6249.22.5100.6l d d λλ--⎛⎫⎛⎫⨯⨯+=+= ⎪ ⎪⨯⨯⎝⎭⎝⎭，根据1122Tq l d d λλλ∆=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，且q 值越小，保温效果越好． 故答案为：B 【点睛】本题以双层玻璃窗户保温效果为背景，考查学生学生分析问题解决问题的能力，考查计算能力.三、解答题17．已知函数2()22cos ()f x x x m m R =++∈． （1）求()f x 的最小正周期； （2）求()f x 的单调递增区间；（3）对于任意[0,]2x π∈都有()0f x <恒成立，求m 的取值范围． 【答案】（1）π；（2）[,]()36k k k Z ππππ-++∈；（3）(,3)-∞-.【解析】（1）将函数进行化简，根据三角函数的周期公式即可求函数f （x ）的最小正周期T ；（2）由三角函数的图象与性质即可求函数f （x ）的单调递增区间； （3）原问题等价于()f x 的最大值小于零. 【详解】（1）因为()22cos f x x x m =++cos21x x m =+++，2sin 216x m π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭.所以()f x 的最小正周期2π2T π==． （2）由（1）知()2sin 216f x x m π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭． 又函数sin y x =的单调递增区间为ππ2,222k k ππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦(k ∈Z)．由222262k x k πππππ-+≤+≤+，k Z ∈，得36k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈．所以()f x 的单调递增区间为(),36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦. （3）因为02x π≤≤，所以72666x πππ≤+≤. 所以1sin 2126x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭.所以2sin 2136m x m m π⎛⎫≤+++≤+ ⎪⎝⎭. 当262x ππ+=，即6x π=时，()f x 的最大值为3m +，又因为()0f x <对于任意0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，所以30m +<，即3m <-. 所以m 的取值范围是(),3-∞-. 【点睛】本题主要考查三角函数函数的周期、单调区间和最值问题，关键在正确化简三角函数解析式为一个角的一个三角函数名称的形式，然后利用三角函数的性质解答，要求熟练掌握三角函数的图象和性质．18．某学校组织了垃圾分类知识竞赛活动．设置了四个箱子，分别写有“厨余垃圾”、“有害垃圾”、“可回收物”、“其它垃圾”；另有卡片若干张，每张卡片上写有一种垃圾的名称．每位参赛选手从所有卡片中随机抽取20张，按照自己的判断，将每张卡片放入对应的箱子中．按规则，每正确投放一张卡片得5分，投放错误得0分．比如将写有“废电池”的卡片放入写有“有害垃圾”的箱子，得5分，放入其它箱子，得0分．从所有参赛选手中随机抽取20人，将他们的得分按照[0,20]，(20,40]，(40,60]，(60,80]，(80,100]分组，绘成频率分布直方图如图：（1）分别求出所抽取的20人中得分落在组[0,20]和(20,40]内的人数；（2）从所抽取的20人中得分落在组[0,40]的选手中随机选取3名选手，以X 表示这3名选手中得分不超过20分的人数，求X 的分布列和数学期望；（3） 如果某选手将抽到的20张卡片逐一随机放入四个箱子，能否认为该选手不会得到100分？请说明理由．【答案】（1）抽取的20人中得分落在组[0,20]的人数有2人，得分落在组(20,40]的人数有3人；（2）分布列见解析，1.2；（3）答案不唯一，具体见解析. 【解析】（1）根据频率分布直方图即可得到满足题意的人数；（2）X 的所有可能取值为0，1，2，求出相应的概率值，即可得到的分布列和数学期望；（3）该选手获得100分的概率是2014⎛⎫ ⎪⎝⎭，结合此数据作出合理的解释.【详解】（1）由题意知，所抽取的20人中得分落在组[]0,20的人数有0.005020202⨯⨯=（人），得分落在组(]20,40的人数有0.007520203⨯⨯=（人）．所以所抽取的20人中得分落在组[]0,20的人数有2人，得分落在组(]20,40的人数有3人．（2）X 的所有可能取值为0，1，2．()33351010C P X C ===， ()1223356110C C P X C ===， ()2123353210C C P X C ===． 所以X 的分布列为所以X 的期望163012 1.2101010EX =⨯+⨯+⨯=． （3）答案不唯一．答案示例1：可以认为该选手不会得到100分．理由如下：该选手获得100分的概率是2014⎛⎫ ⎪⎝⎭，概率非常小，故可以认为该选手不会得到100分． 答案示例2：不能认为该同学不可能得到100分．理由如下：该选手获得100分的概率是2014⎛⎫ ⎪⎝⎭，虽然概率非常小，但是也可能发生，故不能认为该选手不会得到100分． 【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，离散型随机变量的分布列与期望，概率的理解，考查分析问题解决问题的能力.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，3ABC π∠=，PA ⊥平面ABCD ，3PA =，2PF FA =，E 为CD 的中点．（1）求证：BD PC ⊥；（2）求异面直线AB 与DF 所成角的余弦值；（3）判断直线EF 与平面PBC 的位置关系，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（25；（3）相交，理由见解析． 【解析】（1）根据题意先证明BD ⊥平面PAC ，即可得到答案；（2）以O 为坐标原点，以OB 为x 轴，以OC 为y 轴，以过点O 且与AP 平行的直线为z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -，求出AB u u u v 、DF u u u v的坐标，利用公式即可得到结果；（3）求出平面PBC 的一个法向量与向量EF u u u v ，根据n EF ⋅u u u vr 与零的关系，作出判断.【详解】 （1）连结AC ．因为底面ABCD 是菱形 ，所以BD AC ⊥. 又因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， 所以PA BD ⊥. 又因为PA AC A ⋂=， 所以BD ⊥平面PAC .又因为PC⊂平面PAC，所以BD PC⊥.（2）设AC，BD交于点O.因为底面ABCD是菱形，所以AC BD⊥，又因为PA⊥平面ABCD，所以PA AC⊥，PA BD⊥.如图，以O为坐标原点，以OB为x轴，以OC为y轴，以过点O且与AP平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系O xyz-，则()0,1,0A-，)3,0,0B，()0,1,0C，()3,0,0D-，31,,022E⎛⎫-⎪⎪⎝⎭，()0,1,3P-，()0,1,1F-.则)3,1,0AB=u u u v，)3,1,1DF=-u u u v，设异面直线AB与DF所成角为θ，则0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，||5cos cos,AB DFAB DFAB DFθ⋅=〈〉==⋅u u u u v u u u u vu u u v u u u vu u u v u u u v，所以AB与DF所成角的余弦值为55.（3）直线EF与平面PBC相交.证明如下：由（2）可知，33,12EF⎫=-⎪⎪⎝⎭u u u v，()3,1,0BC=-u u u v，()3,1,3BP=--u u u v，设平面PBC的一个法向量为()n,,x y z=r，则0,0,n BC n BP ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v u u u v 即0,30,y y z ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩令x =)n =r ．则)3n ,1202EF ⎫⋅=-⋅≠⎪⎪⎝⎭u u u v r ，所以直线EF 与平面PBC 相交． 【点睛】本题考查线面的位置关系，考查异面直线所成角的度量，考查推理能力与计算能力，属于中档题.20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点3(1,)2P -，且椭圆C 的一个顶点D 的坐标为(2,0)-．过椭圆C 的右焦点F 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B （A ，B 不同于点D ），直线DA 与直线m ：4x =交于点M ．连接MF ，过点F 作MF 的垂线与直线m 交于点N ．（1）求椭圆C 的方程，并求点F 的坐标； （2）求证：D ，B ，N 三点共线．【答案】（1）22143x y +=，(1,0)；（2）证明见解析. 【解析】（1）根据题意列方程组222,1914a a b =⎧⎪⎨+=⎪⎩，即可得到椭圆的方程，进而得到焦点坐标；（2）讨论直线l 的斜率，利用DB DN u u u v u u u v，是平行的证明D ，B ，N 三点共线． 【详解】（1） 因为点31,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭在椭圆C 上，且椭圆C 的一个顶点D 的坐标为()2,0-， 所以222,191.4a a b =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得2,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩ 所以椭圆C 的方程为22143x y +=．所以椭圆C 的右焦点F 的坐标为()1,0．（2）① 当直线l 的斜率不存在时，直线AB 的方程为1x =． 显然，31,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，31,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭或31,2A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，31,2B ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 当31,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，31,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭时，直线DA 的方程为()122y x =+，点M 的坐标为()4,3． 所以1MF k =．直线FN 的方程为()1y x =--，点N 的坐标为()4,3-．则33,2DB ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u v ，()6,3DN =-u u u v ．所以2DN DB =u u u v u u u v，所以D ，B ，N 三点共线．同理，当31,2A ⎛⎫-⎪⎝⎭，31,2B ⎛⎫⎪⎝⎭时，D ，B ，N 三点共线． ② 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()1y k x =-．由()221,3412y k x x y ⎧=-⎨+=⎩得()()22223484120kxk x k +-+-=． 且()()()222284344120k k k∆=--+->．设()11,A x y ，()22,B x y ，则2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+．直线DA 的方程为()1122y y x x =++，点M 的坐标为1164,2y x ⎛⎫⎪+⎝⎭． 所以11116022412MFy x y k x -+==-+． 直线NF 的方程为()11212x y x y +=--，点N 的坐标为()11324,2x y ⎛⎫+- ⎪⎝⎭． 则()222,DB x y =+u u u v ，()11326,2x DN y ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭u u u v ．所以()()122132262x x y y -++⋅-()()1212132242x x y y y ⎡⎤=-+++⎣⎦，()()()()2121213224112x x k x x y ⎡⎤=-+++--⎣⎦， ()()()2221212131424442k x x k x x ky ⎡⎤=-++-+++⎣⎦，()()222222213412814244423434k k k k k y k k ⎡⎤-=-++-++⎢⎥++⎣⎦，()()()()()222222211441224844343234k kk k k k y k +-+-+++=-⋅+，242242422134121648163212121616234k k k k k k k k y k -+-+-++++=-⋅+0=．所以DB u u u v 与DN u u u v共线， 所以D ，B ，N 三点共线． 综上所述，D ，B ，N 三点共线． 【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查韦达定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 21．已知函数()(sin )ln f x x a x =+，a R ∈． （1）若0a =.（ⅰ）求曲线()y f x =在点(,())22f ππ处的切线方程；（ⅱ）求函数()f x 在区间(1,)π内的极大值的个数．（2）若()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递减，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）（ⅰ）2ln02x y ππππ--+=；（ⅱ）1；（2）(,1]-∞-．【解析】（1）（ⅰ）求出导函数，得到2f π⎛⎫⎪⎝⎭'与2f π⎛⎫⎪⎝⎭，利用点斜式得到直线的方程；（ⅱ）研究函数在区间()1,π内单调性，结合极值的定义得到答案； （2）由题可知()sin cos ln x a f x x x x +='+，其中,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，分两类情况：1a ≤-与1a >-，结合函数的单调性与极值即可得到实数a 的取值范围． 【详解】（1）（ⅰ）因为()sin ln f x x x =， 所以()sin cos ln x f x x x x =+'，22f ππ⎛⎫= ⎪⎭'⎝． 又因为ln 22f ππ⎛⎫=⎪⎝⎭， 所以曲线()y f x =在点,22f ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程为2ln 22y x πππ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，化简得2ln 02x y ππππ--+=．（ⅱ）当1,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 单调递增，此时()f x 无极大值． 当,2x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，设()()g x f x ='，则()22cos sin sin ln 0x x g x x x x x =--'+<，所以()f x '在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递减． 又因为202f ππ⎛⎫=⎪⎭'>⎝， ()ln 0f ππ'=-<， 所以在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭内存在唯一的0,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00f x '=． 当x 变化时，()f x '，()f x 的变化如下表所以()f x 在()01,x 内单调递增，在()0,x π内单调递减，此时()f x 有唯一极大值．综上所述，()f x 在()1,π内的极大值的个数为1． （2） 由题可知()sin cos ln x a f x x x x +='+，其中,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． 当1a ≤-时，()0f x '<，故()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递减； 下面设1a >-． 对于,2x ππ⎛⎫∀∈⎪⎝⎭，2ln ln ln 2x e π<<=，且cos 0x <， 所以cos ln 2cos x x x >．所以当,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()sin sin 2cos 2cos x a x a x x f x x x x +++>+'=． 设()sin 2cos h x x x x a =++，,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 则()cos 2cos 2sin 3cos 2sin 0h x x x x x x x x =+-=-<'． 所以()h x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减． 102h a π⎛⎫=+> ⎪⎝⎭， ()2h a ππ=-+． 当20a π-+≥时，即2a π≥时，()0h π≥，对,2x ππ⎛⎫∀∈⎪⎝⎭，()0h x >， 所以()0f x '>，()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增，不符合题意． 当20a π-+<时，即12a π-<<时，02h π⎛⎫> ⎪⎝⎭，()0h π<， 所以1,2x ππ⎛⎫∃∈⎪⎝⎭，使()10h x =， 因为()h x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递减， 所以对1,2x x π⎛⎫∀∈⎪⎝⎭，()0h x >，所以()0f x '>．所以()f x 在1,2x π⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增，不符合题意．所以当1a >-时，()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭内不单调递减． 综上可得1a ≤-，故a 的取值范围为(],1-∞-． 【点睛】本题考查了导数的几何意义及导数的综合应用，同时考查了数形结合的数学思想与分类讨论的思想，属于中档题．22．设m 为正整数，各项均为正整数的数列{}n a 定义如下： 11a =，1,,2,.nn n n n a a a a m a +⎧⎪=⎨⎪+⎩为偶数为奇数（1）若5m =，写出8a ，9a ，10a ；（2）求证：数列{}n a 单调递增的充要条件是m 为偶数； （3）若m 为奇数，是否存在1n >满足1n a =？请说明理由．【答案】（1）86a =，93a =，108a =；（2）证明见解析；（3）存在，理由见解析． 【解析】（1）5m =时，结合条件，注意求得8a ，9a ，10a ； （2）根据1n n a a +-与零的关系，判断数列{}n a 单调递增的充要条件； （3）存在1n >满足1n a =. 【详解】（1）86a =，93a =，108a =． （2）先证“充分性”．当m 为偶数时，若n a 为奇数，则1n a +为奇数．因为11a =为奇数，所以归纳可得，对*n N ∀∈，n a 均为奇数，则1n n a a m +=+， 所以10n n a a m +-=>， 所以数列{}n a 单调递增． 再证“必要性”．假设存在*k N ∈使得k a 为偶数，则12kk k a a a +=<，与数列{}n a 单调递增矛盾， 因此数列{}n a 中的所有项都是奇数．此时1n n a a m +=+，即1n n m a a +=-，所以m 为偶数． （3）存在1n >满足1n a =，理由如下：因为11a =，m 为奇数，所以212a m m =+≤且2a 为偶数，312ma m +=≤． 假设k a 为奇数时， k a m ≤；k a 为偶数时，2k a m ≤． 当k a 为奇数时，12k k a a m m +=+≤，且1k a +为偶数； 当k a 为偶数时，12kk a a m +=≤． 所以若1k a +为奇数，则1k a m +≤；若1k a +为偶数，则12k a m +≤． 因此对*n N ∀∈都有2n a m ≤．所以正整数数列{}n a 中的项的不同取值只有有限个，所以其中必有相等的项． 设集合(){,|,}r s A r s a a r s ==<，设集合()**{|,}B r N r s A N =∈∈⊆．因为A ≠∅，所以B ≠∅．令1r 是B 中的最小元素，下面证11r =． 设11r >且1111()r s a a r s =<．当1r a m ≤时，1112r r a a -=，1112s s a a -=，所以1111r s a a --=； 当1r a m >时，111r r a a m -=-，111s s a a m -=-，所以1111r s a a --=． 所以若11r >，则11r B -∈且111r r -<，与1r 是B 中的最小元素矛盾．所以11r =，且存在*11s N <∈满足111s a a ==，即存在1n >满足1n a =．【点睛】本题考查数列的递推关系，考查数列的单调性，考查学生分析问题及解决问题得能力，属于难题．2020届北京市东城区高三上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合{}|1A x x =≤，{|(2)(1)0}B x x x =-+<，那么A B =I （ ） A ．{}|12x x -<< B ．{}|11x x -≤< C ．{}|12x x ≤< D ．{}|11x x -<≤【答案】D【解析】求得集合{|12}B x x =-<<，结合集合的交集的运算，即可求解. 【详解】由题意，集合{|(2)(1)0}{|12}B x x x x x =-+<=-<<， 所以A B =I {}|11x x -<≤. 故选：D . 【点睛】本题主要考查了集合的交集的运算，其中解答中正确求解集合B ，结合集合交集的概念及运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 2．复数在复平面内的对应点位于（ ）A ．第一象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第四象限【答案】B【解析】先化简复数，再计算对应点坐标，判断象限. 【详解】，对应点为，在第三象限.故答案选B 【点睛】本题考查了复数的坐标表示，属于简单题.3．下列函数中，是偶函数，且在区间()0,∞+上单调递增的为（ ） A ．1y x=B ．ln ||y x =C ．2x y =D ．1||y x =-【答案】B【解析】结合函数的单调性与奇偶性的定义与判定方法，以及初等函数的性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，对于A 中，函数()()1f x f x x-=-=-，所以函数为奇函数，不符合题意；对于B 中，函数()ln ||f x x =满足()()ln ||ln ||f x x x f x -=-==，所以函数为偶函数，当0x >时，函数ln y x =为()0,∞+上的单调递增函数，符合题意；对于C 中，函数2xy =为非奇非偶函数，不符合题意；对于D 中，1||y x =-为偶函数，当0x >时，函数1y x =-为单调递减函数，不符合题意， 故选：B . 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性和函数的单调性的判定与应用，其中解答中熟记函数的单调性与奇偶性的判定方法，以及初等函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.4．设,a b 为实数，则“0a b >>”是“a b ππ>”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据函数()xf x π=为单调递增函数，结合充分条件和必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由题意，函数()xf x π=为单调递增函数，当0a b >>时，可得()()f a f b >，即a b ππ>成立，当a b ππ>，即()()f a f b >时，可得a b >，所以0a b >>不一定成立， 所以“0a b >>”是“a b ππ>”的充分而不必要条件. 故选：A . 【点睛】本题主要考查了指数函数的性质，以及充分条件、必要条件的判定，其中解答中熟记指数函数的性质，以及熟练应用充分条件和必要条件的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于中档题.5．设α，β是两个不同的平面，,m n 是两条不同的直线，则下列结论中正确的是（ ）A ．若m α⊥，m n ⊥，则//n αB ．若αβ⊥，m α⊥，n β⊥，则m n ⊥C ．若//n α，m n ⊥，则m α⊥D ．若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m n【答案】B【解析】根据线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，对于A 中，若m α⊥，m n ⊥，则//n α或n ⊂α，所以不正确；对于C 中，若//n α，m n ⊥，则m 与α可能平行，相交或在平面α内，所以不正确； 对于D 中，若//αβ，m α⊂，n β⊂，则m 与n 平行、相交或异面，所以不正确； 对于B 中，若αβ⊥，m α⊥，n β⊥，，根据线面垂直的性质，可证得m n ⊥成立， 故选：B . 【点睛】本题主要考查了线面位置关系的判定与证明，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题. 6．从数字1，2，3，4，5中，取出3个数字（允许重复），组成三位数，各位数字之和等于6，这样的三位数的个数为（ ） A ．7 B ．9 C ．10 D ．13【答案】C【解析】由题意，把问题分为三类：当三个数分别为1,1,4，1,2,3，2,2,2三种情况，结合排列、组合和计数原理，即可求解. 【详解】从数字1，2，3，4，5中，取出3个数字（允许重复），组成三位数，各位数字之和等于6，可分为三类情况：（1）当三个数为1,1,4时，共有133C =种排法； （2）当三个数为1,2,3时，共有336A =种排法；（3）当三个数为2,2,2时，只有1中排法，由分类计数原理可得，共有36110++=种不同排法，即这样的数共有10个. 故选：C . 【点睛】本题主要考查了计数原理与排列、组合的应用，其中解答中认真审题，合理分类，结合计数原理求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.7．设α，β是三角形的两个内角，下列结论中正确的是（ ）A ．若2παβ+<，则sin sin αβ+<B ．若2παβ+<，则cos cos αβ+<C ．若2παβ+>，则sin sin 1αβ+> D ．若2παβ+>，则cos cos 1αβ+>【答案】A【解析】结合三角恒等变换的公式，以及合理利用赋值法，逐项判定，即可求解得到答案. 【详解】对于A 中，因为2παβ+<，则0,24424αβππαβπ+-<<-<<又由sin sin 2sin cos2sincos22422αβαβπαβαβαβ+---+=<=≤所以sin sin αβ+<对于B 中，例如,66ππαβ==，此时coscos66ππ+=>所以cos cos αβ+<对于C 中，因为2παβ+>，例如5,612ππαβ==时，5611sinsin 212ππ+=<， 所以sin sin 1αβ+>不正确；对于D 中，因为2παβ+>，例如2,36ππαβ==时，1cos c 23os 162ππ+=-+<， 所以cos cos 1αβ+>不正确， 故选：A . 【点睛】本题主要考查了三角恒等变换的应用，以及三角函数值的应用，其中解答熟记三角恒等变换的公式，以及合理利用赋值法求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8．用平面截圆柱面，当圆柱的轴与α所成角为锐角时，圆柱面的截面是一个椭圆，著名数学家Dandelin 创立的双球实验证明了上述结论.如图所示，将两个大小相同的球嵌入圆柱内，使它们分别位于α的上方和下方，并且与圆柱面和α均相切.给出下列三个结论：①两个球与α的切点是所得椭圆的两个焦点；②若球心距124O O =3，则所得椭圆的焦距为2； ③当圆柱的轴与α所成的角由小变大时，所得椭圆的离心率也由小变大. 其中，所有正确结论的序号是（ ） A ．① B ．②③C ．①②D ．①②③【答案】C【解析】设圆柱的底面半径为R ，根据题意分别求得b R =，sin R a α=，tan ROC α=，结合椭圆的结合性质，即可求解. 【详解】由题意，作出圆柱的轴截面，如图所示，设圆柱的底面半径为R ，根据题意可得椭圆的短轴长为22b R =，即b R =，长轴长为22sin R a α=，即sin Ra α=， 在直角1O OC ∆中，可得1tan O C OC α=，即1tan tan O C ROC αα==，又由22222222211tan tan sin R R OC b R R ααα⎛⎫+=+=+= ⎪⎝⎭， 即222OC b a +=，所以222OC a b =-，又因为椭圆中222c a b =-，所以OC c =，即切点为椭圆的两个交点，所以①是正确的；由124O O =，可得12O O =33R = 在直角1O OC ∆中，2222212(3)1OC OO R =-=-=，由①可知，即1c =，所以22c =，即椭圆的焦距为2，所以②是正确的；由①可得sin R a α=，tan Rc α=，所以椭圆的离心率为sin tan cos tan sin Rc e R a ααααα====， 所以当当圆柱的轴与α所成的角由小变大时，所得椭圆的离心率变小，所以③不正确.故选：C【点睛】本题主要考查了椭圆的几何性质及其应用，其中解答中认真审题，合理利用圆柱的结构特征，以及椭圆的几何性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.二、填空题9．若双曲线221x y m -=与22132x y -=有相同的焦点，则实数m =_________.【答案】4【解析】结合双曲线的几何性质，得到132m +=+，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，双曲线221x y m -=与22132x y -=有相同的焦点，可得132m +=+，解得4m =. 故答案为：4. 【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及几何性质的应用，其中解答中熟练应用双曲线的几何性质是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.10．已知{}n a 是各项均为正的等比数列，n S 为其前n 项和，若16a =，2326a a +=，则公比q =________，4S =_________. 【答案】12 454【解析】根据等比数列的通项公式，得到2210q q +-=，求得12q =再由等比数列的前n 项和公式，求得4S ，得到答案. 【详解】。
高三数学上学期12月联考试题含解析 试题
六校结合体高三年级12月份联考试卷创作人：历恰面日期：2020年1月1日数学考前须知：1．本套试卷一共4页，包括填空题〔第1题~第14题〕、解答题〔第15题~第20题〕两局部．本套试卷满分是为160分，考试时间是是为120分钟．2．在答题之前，请必须将本人的姓名、、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题之答案写在答题纸．．．上对应题目之答案空格内．在在考试完毕之后以后，交答复题纸．参考公式：样本数据x1，x2，…，x n的方差，其中；锥体的体积公式：V＝Sh，其中S为锥体的底面积，h为锥体的高；圆锥的侧面积公式：，其中为底面半径，为母线长．一、填空题〔本大题一一共14小题，每一小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的规定的正确位置上〕，集合，那么=______．【答案】【解析】【分析】由M与N，求出两集合的交集即可．【详解】∵集合，集合，∴=故答案为：【点睛】此题考察了交集及其运算，纯熟掌握交集的定义是解此题的关键．的渐近线方程是____．【答案】【解析】【分析】在双曲线的HY方程中，把1换成0，即得此双曲线的渐近线方程．【详解】令﹣=0得y=±x，∴双曲线﹣=1的渐近线方程为y=±x，故答案为：．【点睛】此题主要考察双曲线的HY方程，以及双曲线的简单性质的应用，属于根底题．满足，其中是虚数单位，那么复数的模是______．【答案】【解析】【分析】利用复数的运算法那么和模的计算公式即可得出．【详解】∵∴∴|z|==，故答案为：【点睛】此题考察了复数的运算法那么和模的计算公式，属于根底题．4.假设一组样本数据3，4，8，9，的平均数为6，那么该组数据的方差s2＝______．【答案】【解析】【分析】此题可运用平均数的公式：=〔x1+x2+…+x n〕解出a的值，再代入方差的公式中计算得出方差即可．【详解】∵数据3，4，8，9，的平均数为6，∴3+4+8+9+a=30，解得a=6，∴方差s2=[〔3﹣6〕2+〔4﹣6〕2+〔8﹣6〕2+〔9﹣6〕2+〔6﹣6〕2]=．故答案为：．【点睛】此题主要考察的是平均数和方差的求法，解题的关键弄清计算公式，同时考察了运算求解的才能，属于根底题．5.从1，2，3，4这四个数中一次性随机地取出2个数，那么所取2个数的乘积为奇数的概率是______．【答案】【解析】【分析】列举可得一共6种情形，其中满足所取2个数的乘积为奇数的有1种情形，由概率公式可得．【详解】从1，2，3，4这4个数中依次随机地取2个数有〔1，2〕，〔1，3〕，〔1，4〕，〔2，3〕，〔2，4〕，〔3，4〕一共6种情形，其中满足所取2个数的乘积为奇数的有〔1，3〕一共1种情形，∴所求概率，故答案为：【点睛】有关古典概型的概率问题，关键是正确求出根本领件总数和所求事件包含的根本领件数：1．根本领件总数较少时，用列举法把所有根本领件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图〞列举；2．注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用．6.如下图的流程图的运行结果是______．【答案】20【解析】试题分析：第一次循环：，第二次循环：，完毕循环，输出考点：循环构造流程图7.假设圆锥底面半径为1，侧面积为,那么该圆锥的体积是________．【答案】【解析】【分析】由圆锥底面半径为1，侧面积为得到圆锥的母线长，进而得到圆锥的高，从而得到该圆锥的体积.【详解】设圆锥的母线长为，圆锥底面半径为1，侧面积为,∴，即，∴圆锥的高∴该圆锥的体积是故答案为：【点睛】此题考察圆锥的体积与侧面积公式，属于根底题.是曲线的切线，那么直线的斜率的最小值是_____．【答案】4【解析】【分析】求出函数的导函数，利用均值不等式求最小值即直线的斜率的最小值【详解】的定义域为〔0，+∞〕y'=4x+，当且仅当x=时取等号·即直线的斜率的最小值是4故答案为：4【点睛】考察学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，以及利用均值不等式求最值，掌握不等式成立时的条件，属于根底题．9.，那么的值是_____．【答案】【解析】【分析】由得到，进而得到，再结合两角和的正弦公式得到结果.【详解】∵，∴，∴故答案为：【点睛】此题考察了两角和与差的正弦、正切公式，同角根本关系式，考察了计算才能，属于根底题.f (x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，．假设f (a)＜4＋f (－a)，那么实数a的取值范围是_____．【答案】【解析】【分析】利用函数为奇函数，不等式可转化为f (a)＜2，结合函数图象可得结果.【详解】∵f (x)为奇函数，∴∴f (a)＜4＋f (－a)可转化为f (a)＜2作出的图象，如图：由图易知：a＜2故答案为：【点睛】此题考察函数的图象与性质，解题关键利用奇偶性简化不等式，结合函数图象即可得到结果.11.中，为边的中点，，那么的值是______．【答案】-4【解析】【分析】利用基底表示，结合向量的运算法那么即可得到结果.【详解】∵∴∵为边的中点，∴,∵，∴∴2-6=-4故答案为：-4【点睛】求向量的数量积，应该先利用向量的运算法那么将各个向量用的向量表示，再利用向量的运算法那么展开即可．，直线与轴交于点，过上一点作圆的切线，切点为，假设，那么实数的取值范围是______．【答案】或者【解析】【分析】设P〔x，y〕，由PA=2PT，求出点P的轨迹方程，问题可转化为直线l与圆有公一共点的问题，列不等式求解即可．【详解】圆C：直线l：与与轴交于点A〔0，﹣2〕，设P〔x，y〕，由PA=PT，可得=2〔﹣2〕，即x2+y2﹣12y=0，即满足PA=2PT的点P的轨迹是一个圆所以问题可转化为直线l与圆有公一共点，所以d≤r，≤6，解得或者，∴实数k的取值范围是或者．故答案为：或者【点睛】此题考察圆的方程的综合应用，直线与圆的位置关系，考察转化思想以及计算才能，明确动点P的轨迹是解题的关键．13.n∈N*,，，，其中表示这个数中最大的数．数列的前n项和为，假设对任意的n∈N*恒成立，那么实数的最大值是______．【答案】【解析】【分析】设，明确的单调性，得到，进而得到，对任意的n∈N*恒成立即，转求的最小值即可.【详解】设，即∴∴即，由与图象可知：在第一象限n取正整数时，仅有n=3时，即∴，即实数的最大值是故答案为：【点睛】此题考察数列的综合应用，等差数列的性质，考察与不等式的综合应用，考察学生分析问题及解决问题的才能，考察分类讨论及转化思想，考察计算才能，属于难题．.假设对任意的，存在，使得成立，那么实数的取值范围是_______.【答案】【解析】【分析】围．【详解】∵的对称轴为x=a，且，∴函数f〔x〕=在[0，]上是减函数，在[，2]上是增函数；∴函数f〔x〕=在的最小值为f〔a〕=﹣∈，①当2≤a＜3时，函数f〔x〕=〔x∈〕在x=0时获得最大值，且最大值为2a﹣1，由于此时2≤a＜3，那么3≤2a﹣1＜5；2a﹣1∴②0＜a＜2时，函数f〔x〕=〔x∈〕在x=4时获得最大值，且最大值为42﹣8a+2a﹣1=15﹣6a，由于此时0＜a＜2，那么3＜15﹣6a＜15；，∴综上，∴；即t的取值范围是：．【点睛】此题考察了二次函数的图象与性质的应用问题，也考察了恒成立问题与存在性问题，是综合性题目．二、解答题〔本大题一一共6小题，计90分.解容许写出必要的文字说明，证明过程或者演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内〕15.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．〔1〕求角B；〔2〕假设，，求，．【答案】〔1〕；〔2〕.【解析】【分析】〔1〕利用正弦定理化简条件，然后求解B的大小．〔2〕利用正弦定理余弦定理，转化求解即可．【详解】〔1〕在中，由正弦定理，得．又因为在中．所以．法一：因为，所以，因此．所以，所以．法二：即，所以，因为，所以．〔2〕由正弦定理得，而，所以，①由余弦定理，得，即，②把①代入②得.【点睛】解三角形的根本策略：一是利用正弦定理实现“边化角〞，二是利用余弦定理实现“角化变；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用根本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.16.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，PC⊥底面ABCD，点E为侧棱PB的中点．求证：(1) PD∥平面ACE；(2) 平面PAC⊥平面PBD．【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕证明见解析。
2020届安徽省高三数学联考试题(理)及答案
2020届安徽省高三数学联考试题（理）及答案一、单选题1．复数z 满足()1243i z i -=+（i 为虚数单位），则复数z 的模等于（ ）AB C ．D ．【答案】B【解析】根据复数模的性质和求解直接解得结果即可. 【详解】4312i z i +===- 故选：B 【点睛】本题考查复数模长的求解，涉及到复数模的性质的应用，属于基础题.2．已知全集为R ，集合{}2,1,0,1,2A =--，102x B xx -⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭，则()U A C B ⋂的元素个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】解分式不等式求得集合B ，根据交集和补集的定义求得集合()U A C B ⋂，进而得到元素个数. 【详解】{}10212x B x x x x -⎧⎫=<=-<<⎨⎬+⎩⎭{2U C B x x ∴=≤-或}1x ≥(){}2,1,2U AC B ∴=-，有3个元素故选：C 【点睛】本题考查集合元素个数的求解，涉及到分式不等式的求解、交集和补集的混合运算，属于基础题.3．已知函数()f x 在区间(),a b 上可导，则“函数()f x 在区间(),a b 上有最小值”是“存在()0,x a b ∈，满足()00f x '=”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由开区间最小值点必为极小值点可知极小值点导数值为0，充分性成立；利用()3f x x =可验证出必要性不成立，由此得到结论. 【详解】(),a b 为开区间 ∴最小值点一定是极小值点 ∴极小值点处的导数值为0∴充分性成立当()3f x x =，00x =时，()00f x '=，结合幂函数图象知()f x 无最小值，必要性不成立∴“函数()f x 在区间(),a b 上有最小值”是“存在()0,x a b ∈，满足()00f x '=”的充分不必要条件故选：A【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，涉及到导数极值与最值的相关知识；关键是能够明确极值点处的导数值为0，但导数值为0的点未必是极值点.4．2011年国际数学协会正式宣布，将每年的3月14日设为国际数学节，来源于中国古代数学家祖冲之的圆周率。
2020届高三数学上学期12月阶段性考试试题理(含解析)
2020届高三数学上学期12月阶段性考试试题理（含解析）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数，则（）A. B. C. 1 D. 2【答案】C【解析】【分析】根据复数模长的性质直接求解即可.【详解】因为,故.故选：C【点睛】本题主要考查了复数模长的性质,属于基础题型.2.设集合，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】用列举法写出B集合，再求交集．【详解】，故选D【点睛】集合的运算--交集：取两个集合共同的元素．3.《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》是我国古典小说四大名著.若在这四大名著中，任取2种进行阅读，则取到《红楼梦》的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出基本事件总数，再求《红楼梦》被选中包括的基本事件个数，由此可计算出任取2种进行阅读，取到《红楼梦》的概率．【详解】4本名著选两本共有种，选取的两本中含有《红楼梦》的共有种，所以任取2种进行阅读，则取到《红楼梦》的概率为．故选B.【点睛】本题考查古典概型，属于基础题．4.若α是第二象限角，且，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据角的范围可确定，利用同角三角函数的平方关系和商数关系可求得结果.【详解】是第二象限角本题正确选项：【点睛】本题考查同角三角函数值的求解问题，属于基础题.5.已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据对数函数和指数函数单调性，利用临界值和可得到所处的大致范围，从而得到结果.【详解】本题正确选项：【点睛】本题考查根据指数函数和对数函数单调性比较大小的问题，关键是能够确定临界值，利用临界值确定所求式子所处的大致区间.6.已知满足不等式组，则的最大值为（）A. 2B. -2C. 1D. -1【答案】D【解析】【分析】画出可行域,再分析的截距的最大值即可.【详解】画出可行域为阴影部分,易得在即处取最大值,代入有故选：D【点睛】本题主要考查了线性规划的一般问题,属于基础题型.7.函数的部分图象大致为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】图像分析采用排除法，利用奇偶性判断函数为奇函数，再利用特值确定函数的正负情况．【详解】，故奇函数，四个图像均符合．当时，，，排除C、D当时，，，排除A．故选B．【点睛】图像分析采用排除法，一般可供判断的主要有：奇偶性、周期性、单调性、及特殊值．8.执行如图所示的程序框图，输出的值为（）A. 32B. 33C. 31D. 34【答案】B【解析】【分析】将利用累加改写赋值表达式,再分析当的情况即可.【详解】由图即.故当有.当时, ,下一步得.此时满足下一步,下一步得.不满足退出.此时.故选：B【点睛】本题主要考查了框图与对数运算的综合问题,可将类的累加求和改写成和的结果的形式分析即可.属于中等题型.9.若曲线在点处的切线过点，则函数的单调递增区间为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用导数的几何意义求解，取切线斜率列方程，求解参数，再求解单调区间．【详解】，求导解得，则当时，．则的单调递增区间是．故选A【点睛】导数几何意义：函数在某点处的导数等于切线的斜率．已知两点坐标也可求斜率．本题还考察了导数在研究函数性质中的应用．10.等比数列的前项和为，若，，则（）A. 5B. 10C. 15D. -20【答案】C【解析】【分析】根据等比数列分段求和的性质求解即可.【详解】由题有等比数列的前项和满足成等比数列.设的公比为则,故.故,即.因为故.又故,故.故选：C【点睛】本题主要考查了等比数列前项和的分段求和成等比数列的性质,属于中等题型.11.向量，且，则与所成角的余弦值是（）A. B. C. D. 0【答案】B【解析】分析】将两边平方,再利用得出即可得模长与夹角的关系,再求与所成角的余弦值即可.【详解】两边平方有.又有设夹角为则,故.因为,故且夹角.不妨设.故设与所成角为则故选：B【点睛】本题主要考查了向量的基本运算,若已知模长关系与角度关系,可以直接利用向量的坐标表示进行计算从而简化运算量.属于中等题型.12.设函数的定义域为，若满足：①在内是单调增函数；②存在，使得在上的值域为，那么就称是定义域为的“成功函数”.若函数（且）是定义域为的“成功函数”，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用成功函数的定义以及对数函数的单调性可构造,再换元利用方程有两个正根进行列式求解即可.【详解】因为（且）是定义域为的“成功函数”,所以为增函数,且在上的值域为,故.即有两个不相同的实数根.又,即.令,即有两个不同的正数根,由零点存在性定理列式得.解得故选：A【点睛】不同在于考查了新定义的函数问题以及零点的分布问题,同时也考查了与二次函数相关的复合函数问题,属于中等题型.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若，则______.【答案】1【解析】分析】根据定积分的运算，得到，代入即可求解．【详解】由，解得．故答案为．【点睛】本题主要考查了定积分的计算，其中解答中求得被积函数的原函数，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．14.某校高三年级有400名学生，在一次数学测试中，成绩都在（单位：分）内，其频率分布直方图如图，则这次测试数学成绩不低于100分的人数为_____.【答案】220【解析】【分析】根据先由总频率为1计算出a的值，再频率分布直方图计算出数学成绩不低于100分的频率，再乘总人数即可．【详解】根据频率分布直方图知：；计算出数学成绩不低于100分的频率为：；所以这次测试数学成绩不低于100分的人数为人【点睛】本题考查频率分布直方图，需要注意的是频率分布直方图的纵坐标为频率组距．属于基础题15.在中，内角所对的边分别为，若，，，则__________．【答案】【解析】【分析】由题已知角度的关系可求得,再根据正弦定理求即可.【详解】由且可求得,.故.又由正弦定理 .故答案为：【点睛】本题主要考查了正弦定理运用以及和差角公式等.需要根据题中所给的信息决定所用的定理并计算,属于中等题型.16.两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作，第2个五角形数记作，第3个五角形数记作，第4个五角形数记作，…，第个五角形数记作，已知，则前个五角形数中，实心点的总数为__________.[参考公式：]【答案】【解析】【分析】由题意得再累加求得即可得出第个五角形数.再进行求和即可.【详解】由题得.故前个五角形数中,实心点的总数故答案为：【点睛】本题主要考查了累加法求数列的通项公式方法以及数列求和的内容,属于中等题型.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：60分17.已知：函数在上是增函数，：，，若是真命题，求实数的取值范围.【答案】【解析】【分析】本题是组合命题真值判断，先分别求解P真和q真时的参数取值范围，再由简单的逻辑联结词判断p，q的真假．进而求参数取值范围【详解】解：真时，，，真时，，，为真时，或，∵为真，∴与都为真，∴，即【点睛】且命题：全真为真，一假即假．非命题：与原命题真值相反．18.已知，.（1）若，求的值；（2）若，将函数的图象向右平移个单位长度后，得到的图象，求及的最小正周期.【答案】（1）1；（2），周期．【解析】【分析】(1)利用计算可得,再根据同角三角函数的关系的齐次式方法求解即可.(2)计算,利用辅助角公式求得再根据平移求得即可.【详解】（1）由得,则.（2）周期：【点睛】本题主要考查了平面向量平行的用法以及三角函数中的同角关系与辅助角公式和图像平移的方法等.属于基础题型.19.在平面直角坐标系中，设的内角所对的边分别为，且，.（1）求；（2）设，，且，与的夹角为，求的值.【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】(1)利用正弦定理得.再由平方与余弦定理求得进而求得即可.(2)将(1)所得的代入条件即可求得,.再利用平面向量的公式求解即可.【详解】（1）∵∴∴由正弦定理得∵∴根据余弦定理得：∴（2）由（1）知,代入已知,并结合正弦定理得,解得或（舍去）所以,∴而∴．【点睛】本题主要考查了正弦定理角化边的用法以及余弦定理的用法等.同时也结合了向量的运用,属于中等题型.20.已知数列为等差数列.（1）求证：；（2）设，且其前项和，的前项和为，求证：.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】【分析】(1)利用等差数列的性质,再根据基本不等式即可证明.(2)由等差数列的求和公式求解,再由裂项相消的缩放法求证即可.【详解】证明：（1）因为数列为等差数列,所以∴即,故结论成立.或：设数列的公差为,则即,故结论成立.（2）∵∴时：时：时：∴.【点睛】本题主要考查了等差数列的性质运用,同时也考查了等差数列求和以及缩放证明数列不等式的问题,属于中等题型. 21.已知函数.（1）若，试判断函数是否存在零点，并说明理由；（2）若，，对，恒成立，求的最大值.【答案】（1）当时，只有一个零点. 时函数存在零点.（2）.【解析】【分析】(1)分与两种情况,结合函数图像与零点存在定理进行分析即可.(2) 化简得,构造函数求导求解函数的单调性,再构造函数求的最值即可.【详解】（1）由得令,①当时,结合函数图象知,显然只有一个零点.②当时,由于时,,,∴而时,,,∴所以时,函数存在零点.（2）时,∴,即令∴∴当时,由由∴在上单调递减,在上单调递增.∴时,∴则令则设由由∴在上单调递增,在上单调递减.∴当时,综上得当,时取最大值为.【点睛】本题主要考查了零点的存在定理以及利用导函数分析函数单调性,从而解决恒成立问题等.构造函数分析单调性是重点,属于难题.（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；（2）若、是直线上的动点，且，，求的面积.【答案】（1）的普通方程为，的直角坐标方程为.（2）.【解析】【分析】(1)根据参数方程与极坐标的运算化简即可.(2)求出到的距离再利用三角形面积公式求解即可.【详解】（1）,两式平方相加后可得曲线的方程为,直线的方程可化为,即,故,即直线的直角坐标方程为.（2）直线方程：到的距离.【点睛】本题主要考查了坐标系与参数方程的互化,同时也考查了点到直线的距离公式,属于基础题型.23.选修4-5：不等式选讲已知.（1）当时，求不等式的解集；（2）证明：当，时，恒成立.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】【分析】(1)分,,三种情况进行分情况分段讨论即可.(2)根据,即可对去绝对值.再分与两种情况讨论即可.【详解】（1）时,或或或所以,原不等式的解集为.（2）由题意得：在是减函数,在是增函数.,成立.【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求解,以及参数讨论的方法等.属于中等题型.2020届高三数学上学期12月阶段性考试试题理（含解析）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数，则（）A. B. C. 1 D. 2【答案】C【解析】【分析】根据复数模长的性质直接求解即可.【详解】因为,故.故选：C【点睛】本题主要考查了复数模长的性质,属于基础题型.2.设集合，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】用列举法写出B集合，再求交集．【详解】，故选D【点睛】集合的运算--交集：取两个集合共同的元素．3.《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》是我国古典小说四大名著.若在这四大名著中，任取2种进行阅读，则取到《红楼梦》的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出基本事件总数，再求《红楼梦》被选中包括的基本事件个数，由此可计算出任取2种进行阅读，取到《红楼梦》的概率．【详解】4本名著选两本共有种，选取的两本中含有《红楼梦》的共有种，所以任取2种进行阅读，则取到《红楼梦》的概率为．故选B.【点睛】本题考查古典概型，属于基础题．4.若α是第二象限角，且，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据角的范围可确定，利用同角三角函数的平方关系和商数关系可求得结果.【详解】是第二象限角本题正确选项：【点睛】本题考查同角三角函数值的求解问题，属于基础题.5.已知，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据对数函数和指数函数单调性，利用临界值和可得到所处的大致范围，从而得到结果.【详解】本题正确选项：【点睛】本题考查根据指数函数和对数函数单调性比较大小的问题，关键是能够确定临界值，利用临界值确定所求式子所处的大致区间.6.已知满足不等式组，则的最大值为（）A. 2B. -2C. 1D. -1【答案】D【解析】【分析】画出可行域,再分析的截距的最大值即可.【详解】画出可行域为阴影部分,易得在即处取最大值,代入有故选：D【点睛】本题主要考查了线性规划的一般问题,属于基础题型.7.函数的部分图象大致为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】图像分析采用排除法，利用奇偶性判断函数为奇函数，再利用特值确定函数的正负情况．【详解】，故奇函数，四个图像均符合．当时，，，排除C、D当时，，，排除A．故选B．【点睛】图像分析采用排除法，一般可供判断的主要有：奇偶性、周期性、单调性、及特殊值．8.执行如图所示的程序框图，输出的值为（）A. 32B. 33C. 31D. 34【答案】B【解析】【分析】将利用累加改写赋值表达式,再分析当的情况即可.【详解】由图即.故当有.当时, ,下一步得.此时满足下一步,下一步得.不满足退出.此时.故选：B【点睛】本题主要考查了框图与对数运算的综合问题,可将类的累加求和改写成和的结果的形式分析即可.属于中等题型.9.若曲线在点处的切线过点，则函数的单调递增区间为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用导数的几何意义求解，取切线斜率列方程，求解参数，再求解单调区间．【详解】，求导解得，则当时，．则的单调递增区间是．故选A【点睛】导数几何意义：函数在某点处的导数等于切线的斜率．已知两点坐标也可求斜率．本题还考察了导数在研究函数性质中的应用．10.等比数列的前项和为，若，，则（）A. 5B. 10C. 15D. -20【答案】C【解析】【分析】根据等比数列分段求和的性质求解即可.【详解】由题有等比数列的前项和满足成等比数列.设的公比为则,故.故,即.因为故.又故,故.故选：C【点睛】本题主要考查了等比数列前项和的分段求和成等比数列的性质,属于中等题型.11.向量，且，则与所成角的余弦值是（）A. B. C. D. 0【答案】B【解析】分析】将两边平方,再利用得出即可得模长与夹角的关系,再求与所成角的余弦值即可.【详解】两边平方有.又有设夹角为则,故.因为,故且夹角.不妨设.故设与所成角为则故选：B【点睛】本题主要考查了向量的基本运算,若已知模长关系与角度关系,可以直接利用向量的坐标表示进行计算从而简化运算量.属于中等题型.12.设函数的定义域为，若满足：①在内是单调增函数；②存在，使得在上的值域为，那么就称是定义域为的“成功函数”.若函数（且）是定义域为的“成功函数”，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用成功函数的定义以及对数函数的单调性可构造,再换元利用方程有两个正根进行列式求解即可.【详解】因为（且）是定义域为的“成功函数”,所以为增函数,且在上的值域为,故.即有两个不相同的实数根.又,即.令,即有两个不同的正数根,由零点存在性定理列式得 .解得故选：A【点睛】不同在于考查了新定义的函数问题以及零点的分布问题,同时也考查了与二次函数相关的复合函数问题,属于中等题型.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若，则______.【答案】1【解析】根据定积分的运算，得到，代入即可求解．【详解】由，解得．故答案为．【点睛】本题主要考查了定积分的计算，其中解答中求得被积函数的原函数，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．14.某校高三年级有400名学生，在一次数学测试中，成绩都在（单位：分）内，其频率分布直方图如图，则这次测试数学成绩不低于100分的人数为_____.【答案】220【解析】【分析】根据先由总频率为1计算出a的值，再频率分布直方图计算出数学成绩不低于100分的频率，再乘总人数即可．【详解】根据频率分布直方图知：；计算出数学成绩不低于100分的频率为：；所以这次测试数学成绩不低于100分的人数为人【点睛】本题考查频率分布直方图，需要注意的是频率分布直方图的纵坐标为频率组距．属于基础题15.在中，内角所对的边分别为，若，，，则__________．【答案】【分析】由题已知角度的关系可求得,再根据正弦定理求即可.【详解】由且可求得,.故.又由正弦定理 .故答案为：【点睛】本题主要考查了正弦定理运用以及和差角公式等.需要根据题中所给的信息决定所用的定理并计算,属于中等题型.16.两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作，第2个五角形数记作，第3个五角形数记作，第4个五角形数记作，…，第个五角形数记作，已知，则前个五角形数中，实心点的总数为__________.[参考公式：]【答案】【解析】【分析】由题意得再累加求得即可得出第个五角形数.再进行求和即可.【详解】由题得.故前个五角形数中,实心点的总数故答案为：【点睛】本题主要考查了累加法求数列的通项公式方法以及数列求和的内容,属于中等题型.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：60分17.已知：函数在上是增函数，：，，若是真命题，求实数的取值范围.【答案】【解析】【分析】本题是组合命题真值判断，先分别求解P真和q真时的参数取值范围，再由简单的逻辑联结词判断p，q的真假．进而求参数取值范围【详解】解：真时，，，真时，，，为真时，或，∵为真，∴与都为真，∴，即【点睛】且命题：全真为真，一假即假．非命题：与原命题真值相反．18.已知，.（1）若，求的值；（2）若，将函数的图象向右平移个单位长度后，得到的图象，求及的最小正周期.【答案】（1）1；（2），周期．【解析】【分析】(1)利用计算可得,再根据同角三角函数的关系的齐次式方法求解即可.(2)计算,利用辅助角公式求得再根据平移求得即可.【详解】（1）由得,则.（2）周期：【点睛】本题主要考查了平面向量平行的用法以及三角函数中的同角关系与辅助角公式和图像平移的方法等.属于基础题型.19.在平面直角坐标系中，设的内角所对的边分别为，且，.（1）求；（2）设，，且，与的夹角为，求的值.【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】(1)利用正弦定理得.再由平方与余弦定理求得进而求得即可.(2)将(1)所得的代入条件即可求得,.再利用平面向量的公式求解即可.【详解】（1）∵∴∴由正弦定理得∵∴根据余弦定理得：∴（2）由（1）知,代入已知,并结合正弦定理得,解得或（舍去）所以,∴而∴．【点睛】本题主要考查了正弦定理角化边的用法以及余弦定理的用法等.同时也结合了向量的运用,属于中等题型.20.已知数列为等差数列.（1）求证：；（2）设，且其前项和，的前项和为，求证：.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】【分析】(1)利用等差数列的性质,再根据基本不等式即可证明.(2)由等差数列的求和公式求解,再由裂项相消的缩放法求证即可.【详解】证明：（1）因为数列为等差数列,所以∴即,故结论成立.或：设数列的公差为,则即,故结论成立.（2）∵∴时：时：时：∴.【点睛】本题主要考查了等差数列的性质运用,同时也考查了等差数列求和以及缩放证明数列不等式的问题,属于中等题型.21.已知函数.（1）若，试判断函数是否存在零点，并说明理由；（2）若，，对，恒成立，求的最大值.【答案】（1）当时，只有一个零点. 时函数存在零点.（2）.【解析】【分析】(1)分与两种情况,结合函数图像与零点存在定理进行分析即可.(2) 化简得,构造函数求导求解函数的单调性,再构造函数求的最值即可.【详解】（1）由得令,①当时,结合函数图象知,显然只有一个零点.②当时,由于时,,,∴而时,,,∴所以时,函数存在零点.（2）时,∴,即令∴∴当时,由由∴在上单调递减,在上单调递增.∴时,∴则令则设由由∴在上单调递增,在上单调递减.∴当时,综上得当,时取最大值为.【点睛】本题主要考查了零点的存在定理以及利用导函数分析函数单调性,从而解决恒成立问题等.构造函数分析单调性是重点,属于难题.（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；（2）若、是直线上的动点，且，，求的面积.【答案】（1）的普通方程为，的直角坐标方程为.（2）.【解析】【分析】(1)根据参数方程与极坐标的运算化简即可.(2)求出到的距离再利用三角形面积公式求解即可.【详解】（1）,两式平方相加后可得曲线的方程为,直线的方程可化为,即,故,即直线的直角坐标方程为.（2）直线方程：到的距离.【点睛】本题主要考查了坐标系与参数方程的互化,同时也考查了点到直线的距离公式,属于基础题型.23.选修4-5：不等式选讲已知.（1）当时，求不等式的解集；（2）证明：当，时，恒成立.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】【分析】(1)分,,三种情况进行分情况分段讨论即可.(2)根据,即可对去绝对值.再分与两种情况讨论即可.【详解】（1）时,或或或所以,原不等式的解集为.（2）由题意得：在是减函数,在是增函数.,成立.【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求解,以及参数讨论的方法等.属于中等题型.。
安徽省A10联盟2020届高三数学上学期摸底考试试题理科含答案
（1号卷）安徽省A10联盟2020届高三数学上学期摸底考试试题 理 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ券(非选择题)两部部分。
满分150分，考试时间120分钟。
请在答题卷上作答。
第Ⅰ卷 选择题(共60分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1.设全集{}{}2,60,ln(1)U R A x x x B x y x ==--<==-，则()U A B ð＝( )A.[1，3)B. (1，3]C.(1，3)D.(－2，1]2.在复平面内，复数247i z i-=+ (i 是虚数单位)对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.设S n 是等差数列{}n a 的前n 项和，若741413a a =，则137S S ＝( ) A.2 B.12 C.1413 D.13144.已知偶函数()f x 满足(4)()f x f x +=，且在区向[0，2]上是增函数，则(2019),(),(4)f f f π-的大小关系是( )A.(2019)(4)()f f f π<-<B.()(4)(2019)f f f π<-<C.(4)()(2019)f f f π-<<D.(4)(2019)()f f f π-<<5.某高中数学兴趣小组准备选拔x 名男生、y 名女生，若x 、y 满足约束条件251127x y y x x -≥⎧⎪⎪≥-⎨⎪≤⎪⎩，则数学兴趣小组最多选拔学生( )A.21人B.16人C.13人D.11人6.函数cos ()f x x=的部分图象大致为( )7.中国古代近似计算方法源远流长，早在八世纪，我国著名数学家张遂在编制《大衍历》中发明了一种二次不等距插值算法：若函数()y f x =在x ＝x 1，x ＝x 2，x ＝x 3(x 1<x 2<x 3)处的函数值分别为y 1＝f(x 1)，y 2＝f(x 2)，y 3＝f(x 3)，则在区间[x 1，x 3]上f(x)可以用二次函数来近似代替：1112()()()()f x y k x x k x x x x ≈++---，其中3221112213231,,y y y y k k k k k x x x x x x ---===---。
安徽省A10联盟2020届高三数学上学期摸底考试试题理科含答案
（1号卷）安徽省A10联盟2020届高三数学上学期摸底考试试题理本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ券(非选择题)两部部分。
满分150分，考试时间120分钟。
请在答题卷上作答。
第Ⅰ卷选择题(共60分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1.设全集2,60,ln(1)UR A x xx B x y x ，则()U A B e ＝( )A.[1，3)B. (1，3]C.(1，3)D.(－2，1]2.在复平面内，复数247i zi(i 是虚数单位)对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限 D.第四象限3.设S n 是等差数列n a 的前n 项和，若741413a a ，则137S S ＝( )A.2B.12C.1413D.13144.已知偶函数()f x 满足(4)()f x f x ，且在区向[0，2]上是增函数，则(2019),(),(4)f f f 的大小关系是( )A.(2019)(4)()f f fB.()(4)(2019)f f fC.(4)()(2019)f f f D.(4)(2019)()f f f 5.某高中数学兴趣小组准备选拔x 名男生、y 名女生，若x 、y 满足约束条件251127xy y x x，则数学兴趣小组最多选拔学生( ) A.21人 B.16人 C.13人 D.11人6.函数cos ()f x x的部分图象大致为( )7.中国古代近似计算方法源远流长，早在八世纪，我国著名数学家张遂在编制《大衍历》中发明了一种二次不等距插值算法：若函数()y f x 在x ＝x 1，x ＝x 2，x ＝x 3(x 1<x 2<x 3)处的函数值分别为y 1＝f(x 1)，y 2＝f(x 2)，y 3＝f(x 3)，则在区间[x 1，x 3]上f(x)可以用二次函数来近似代替：1112()()()()f x y kx x k x x x x---，其中3221112213231,,y y y y k k k kk x x x x x x 。