名师PPT-二次函数

的图象如图所示，则下列说法：①c=0；
②该抛物线的对称轴是直线x=-1；③
当x=1时，y=2a；④am2+bm+a>0(m≠-1).
其中正确的个数是 A.1 B.2 ( ) C.3 D.4
【思路点拨】二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)根据a确定开口方向， 顶点坐标为(h，k)，对称轴为直线x=h，增减性结合开口方向， 分对称轴左右两部分来考虑.
【自主解答】∵C在对称轴上，A，B关于对称轴对称，∴C是OB
9 ，把C点坐标代入y=x2+bx+ 9 ， 的中点，∴C点坐标为 (－ b ， ) 2 4
2
得 9 ＝(－ b ) 2 b(－ b )＋ 9 ，解得b=3(舍去)或b=-3，所以D点坐
4 2 2 2
标为 ( 3 ， 0) . 设平移后的抛物线的表达式为y=x2+kx+ 9 ，将D点坐标代入
2.几何法：通过画图的方法，根据图中顶点坐标的变化，写出
变化后的表达式的顶点式.
【真题专练】
1.在同一平面直角坐标系内，将函数y=2x2+4x-3的图象向右平
移2个单位，再向下平移1个单位得到图象的顶点坐标是( )
A.(-3，-6)
C.(1，-6)
B.(1，-4)
D.(-3，-4)
【解析】选C.y=2x2+4x-3=2(x+1)2-5，把y=2(x+1)2-5的图象向 右平移2个单位，再向下平移1个单位，
2a
【解析】(1)∵对称轴是 x － b －3 ，∴b=6.
2
又∵抛物线y=x2+bx+c过点A(-4，-3)， ∴(-4)2+6×(-4)+c=-3，解得c=5. ∴抛物线的表达式为y=x2+6x+5.
(2)∵和x轴平行的直线与抛物线交于C，D两点，点C在对称
轴左侧，且CD=8，∴点C的横坐标为-7，∴点C的纵坐标为
【自主解答】(1)当x=0时，y=-2，∴A(0，-2).抛物线对称轴 为 x＝－－2m 1，∴B(1，0).
2m
(2)A点关于对称轴的对称点为A′(2，-2)，则直线l经过A′， B .设直线的表达式为y=kx+b(k≠0).
k －2， 2k b －2， 则 解得 k b 0， b 2.
【解析】选C.把抛物线y=-2x2向右平移1个单位长度，得到抛 物线的函数关系式为y=-2(x-1)2，再向上平移2个单位长度， 得到抛物线的函数关系式为y=-2(x-1)2+2.
3.下列二次函数的图象，不能通过函数y=3x2的图象平移得到 的是 ( ) B.y=3(x-1)2 D.y=2x2
A.y=3x2+2 C.y=3(x-1)2+2
2
y=x2+kx+ 9 ，解得k= 9 ，故平移后的抛物线的表达式为
y=x2- 9 x+ 9 .
2 2 2 2
2
答案：y=x2- 9 x+ 9
2
2
【规律方法】解决抛物线平移的两种方法 1.代数法：抛物线的平移遵循“左加右减，上加下减”的原则，
据此，可以直接由表达式中常数的加或减求出变化后的表达式 .
二、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与性质
1.当a>0时
2 b 4ac b , (1)开口方向：向上.(2)顶点坐标：(_____ 2a 4a ).(3)对称 b x 轴：直线_________. 2a
减小 ；当x> b 时， (4)增减性：当x< b 时，y随x的增大而_____
∴y=2(x+1-2)2-5-1=2(x-1)2-6，
∴平移后的图象的顶点坐标是(1，-6).
2.把抛物线y=-2x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单 位长度后，所得函数的关系式为( A.y=-2(x+1)2+2 C.y=-2(x-1)2+2 )
B.y=-2(x+1)2-2 D.y=-2(x; b 时，y随x的增大而_____
2a 2a
减小 y随x的增大而_____.
4ac b 2 (5)最值：当x= b 时，y最大值=_________. 4a 2a
【思维诊断】(打“√”或“× ”) 1.y=ax2+2x+3是二次函数. ( ×) ( ×) (√)
(1)求点A，B的坐标. (2)设直线l与直线AB关于该抛物线的对称轴对称，求直线 l的表达式. (3)若该抛物线在-2<x<-1这一段位于(2)中直线l的上方， 并且在2<x<3这一段位于直线AB的下方，求该抛物线 的表达式.
【思路点拨】(1)令x=0求出y的值，即可得到点A的坐标，求出 对称轴方程，即可得到点B的坐标. (2)求出点A关于对称轴的对称点(2，-2)，然后设直线l的表达 式为y=kx+b(k≠0)，利用待定系数法求一次函数表达式即可. (3)根据二次函数的对称性判断在2<x<3这一段与在-1<x<0这一 段关于对称轴对称，然后判断出抛物线与直线 l的交点的横坐 标为-1，代入直线l求出交点坐标，然后代入抛物线求出m的值 即可得到抛物线的表达式.
二 次 函 数
一、二次函数的概念及其关系式 y=ax2+bx+c ，b，c是常数，a≠0) 1.二次函数的概念：形如__________(a 的函数. 2.二次函数的关系式： y=ax2+bx+c(a≠0) (1)一般式：________________. (h，k) (2)顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0)，其顶点坐标是_______.
【审题视点】
创新 二次函数与几何变换 点
(1)由已知得到C为OB中点，可得C点坐标 (－ ， )， 切 入 点 代入原表达式求b值，得D点坐标 (2)由平移可知a不变，又∵图象过A点，所以c=
9 9 2 ，可设平移后的表达式为y=x +kx+ 2 2
b 9 2 4
(3)利用D点坐标代入平移后的表达式求k值
当x<h时，y随x的增大而增大.
【真题专练】 1.二次函数y=-x2+bx+c的图象如图所示，
若点A(x1，y1)，B(x2，y2)在此函数图
象上，且x1<x2<1，则y1与y2的大小关
系是
(
)
B.y1<y2
A.y1≤y2
C.y1≥y2
D.y1>y2
【解析】选 B. 根据二次函数的图象性质可知当x<1 时， y 随着 x 的增大而增大； ∵x1<x2<1，∴点A，点B在对称轴的左侧，∴y1<y2.
2a
可知③正确；函数图象与x轴有两个交点可知④正确；由图象 可知⑤⑥错误.
命题新视角 二次函数图象的平移
【例】如图，抛物线y=x2+bx+
9 与y轴相交 2
于点A，与过点A平行于x轴的直线相交于
点B(点B在第一象限).抛物线的顶点C在
直线OB上，对称轴与x轴相交于点D.平移
抛物线，使其经过点A，D，则平移后的 抛物线的表达式为 .
个解.
(2)二次函数的图象与x轴交点的个数由相应的一元二次方程的
根的判别式的符号确定.
2.利用二次函数图象解不等式的方法 不等式ax2+bx+c>0(或ax2+bx+c<0)的解集就是二次函数 y=ax2+bx+c的图象在x轴上(下)方的点所对应的x的取值范围， 不等式如果带有等号，其解集也相应带有等号.a>0时，y>0取 两边，y<0取中间.
【方法技巧】当二次函数的表达式与已知点的坐标中含有未知 字母时，可以用三种方法比较函数值的大小： (1)用含有字母的代数式表示各函数值，然后进行比较. (2)在相应的范围内取未知字母的特殊值，采用特殊值法求解. (3)根据二次函数的性质，结合函数图象比较.
热点考向二 二次函数表达式的确定 【例2】在平面直角坐标系xOy中， 抛物线y=mx2-2mx-2(m≠0)与y轴 交于点A，其对称轴与x轴交于点B.
y=(-7)2+6×(-7)+5=12.
又∵抛物线与y轴交于点B(0，5)，
∴CD边上的高为12-5=7，
∴S△BCD=
1 ×8×7=28. 2
【知识拓展】二次函数的图象是抛物线，是轴对称图形， 图象上纵坐标相等的两个点关于对称轴对称.
热点考向四 二次函数与方程或不等式
【例3】(2013·牡丹江中考)抛物线 y=ax2+bx+c(a<0)如图所示，则 关于x的不等式ax2+bx+c>0的解 集是 A.x<2 ( ) B.x>-3
【规律方法】二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的性质 1.a>0时，开口向上，a<0时，开口向下.
2.对称轴为x=h；顶点坐标为(h，k).
3. 增减性：当 a>0 时，当 x>h 时， y 随 x 的增大而增大，当x<h 时，
y随x的增大而减小；当a<0时，当x>h时，y随x的增大而减小，
【规律方法】二次函数的三种表达式
1.一般式y=ax2+bx+c(a≠0).
2.顶点式y=a(x-m)2+n(a≠0)，其中(m，n)为顶点坐标.
3.交点式y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)，其中(x1，0)，(x2，0)为抛 物线与x轴的交点. 一般已知三点坐标用一般式；已知顶点及另一个点坐标用顶点 式；已知抛物线与x轴的两个交点坐标及另一个点的坐标用交 点式.