二次函数顶点式公开课
二次函数(配顶点式)——公开课
公开课教案第六课时2.1 二次函数（6）授课人：涂瑞珊 授课时间：2016.12.28 授课班级：九年级 教学目标：1．使学生掌握用描点法画出函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象。
2．使学生掌握用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。
3．让学生经历探索二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质的过程，理解二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的性质。
重点：用描点法画出二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象和通过配方确定抛物线的对称轴、顶点坐标。
难点：理解二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的性质以及它的对称轴(顶点坐标分别是x ＝－b 2a 、(－b 2a ，4ac －b 24a)是教学的难点。
教学过程：一、提出问题导入新课1．你能说出函数y ＝－4(x －2)2＋1图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？具有哪些性质?2．函数y ＝－4(x －2)2＋1图象与函数y ＝－4x 2的图象有什么关系?3．不画出图象，你能直接说出y ＝2x 2-8x+7函数的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?通过今天的学习你就明白了二、学习新知1、 思考： 像函数 y ＝－4(x －2)2＋1很容易说出图像的顶点坐标，函数y ＝2x 2-8x+7能画成y=a(x －h)2＋k 这样的形式吗？2、 师生合作探索：y ＝2x 2-8x+7 变成 y=a(x －h)2＋k 的过程3、做一做（1）． 通过配方变形，说出函数y ＝－2x 2＋8x －8的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，这个函数有最大值还是最小值?这个值是多少?在学生做题时，教师巡视、指导； 让学生总结配方的方法；思考函数的最大值或最小值与函数图象的开口方向有什么关系?这个值与函数图象的顶点坐标有什么关系?4、课本做一做：确定下列函数图像的对称轴和顶点坐标（1）y ＝3x 2-6x+7 （2）y ＝2x 2-12x+85、y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的配方以上讲的，都是给出一个具体的二次函数，来研究它的图象与性质。
【精品讲义】二次函数一般式、顶点式、交点式
二次函数一般式、顶点式、交点式这节课我们学什么1. 会用待定系数法求二次函数的解析式；2. 会平移二次函数2(0)y ax a =≠的图象得到二次函数2()y a x h k =-+的图象；了解特殊与一般相互联系和转化的思想；3. 根据交点求解解析式．知识点梳理1、顶点式：()2y a x h k =-+的图像与性质2、交点式：12()()y a x x x x =--的图像与性质1x 、2x 分别是二次函数与x 轴的两个交点坐标，如果二次函数与x 轴的交点坐标已知，则我们可以设解析式为12()()y a x x x x =--，然后再根据条件求出a 即可；3、一般式2y ax bx c =++的性质对于一般式：2(0)y ax bx c a =++≠，我们怎么能知道二次函数的对称轴以及顶点坐标呢？将一般式配方成顶点式：2y ax bx c =++=2()b c a x x a a ++=22222()44b b b c a x x a a a a ++-+ =222(())()22b b c b a x x a a a a+++- =222424b b ac a x a a -⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 所以，任意二次函数，其对称轴方程为：直线2b x a =-；顶点坐标为2424b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 1． 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为直线2b x a=-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，． 当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a>-时，y 随x 的增大而增大； 2． 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为直线2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，． 当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a>-时，y 随x 的增大而减小；典型例题分析1、 二次函数一般式；例1、抛物线1422-+-=x x y 的对称轴是直线 ．【答案：1x =】例2、抛物线2243y x x =-+的顶点坐标是 ．【答案：(1,1)】例3、二次函数223y x x =--，当0y <时，自变量x 的取值范围是 ． 【答案：根据一般式，画出图像，求出与x 轴的两个交点，位于x 轴下方的部分就是0y <；∴13x -<<】例4、已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图，则a 、b 、c 的正负性分别是 ．【答案：0a <；0b <；0c >】例5、如果)21y A ，（-，)12y B ，（-为二次函数241y x x =-+的图像上的两点，试判断1y 与2y 的大小为 ．【答案：21y y <】例6、若二次函数()32122--++=m m x m y 的图象经过原点，则m 的值为 ． 【答案：3】例7、二次函数2y ax bx c =++的图像如图所示，那么2,4,2,abc b ac a b a b c -+++值为正数的有 个．【答案：2】例8、已知二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于点(2,0)-、1(,0)x 且112x <<，与y 轴的正半轴的交点在(0,2)的下方．下列结论：①420a b c -+=；②0a b c -+>；③0a b c ++<；④0a b <<．其中正确结论的是 ．【答案：①正确，将2x =-即可；②正确，将1x =-代入得：0a b c -+>； ③错误，将1x =代入得：0a b c ++>；④正确，将2x =-代入得：420a b c -+=，将1x =代入得：0a b c ++>，所以(42)()0a b c a b c -+-++<，整理得：330a b -<】例9、已知二次函数2231y x x =++的顶点是A ，与x 轴的两个交点为B 、C （B 点在C 点的左侧）与y 轴的交点为D ，求四边形ABCD 的面积．【答案：31(,)48A --；(1,0)B -；1(,0)2C -；(0,1)D ；面积为932】2、 二次函数顶点式；例10、把二次函数221x y =的图像向左平移1个单位，再向上平移3个单位，则所得图像的解析式为： ． 【答案：21(1)32y x =++或21722y x x =++】例11、如果抛物线23y x mx m =-++的顶点在x 轴上，那么m = ． 【答案：6m =或2m =-】例12、抛物线21y ax =-上有一点(2,2)P ，平移该抛物线，使其顶点落在点(1,1)A (1,1)A 处，这时，点P 落在点Q 处，则点Q 的坐标为 ．【答案：(3,4)Q ，原函数顶点坐标是(0,1)-】例13、将函数2287y x x =-+-写成()2y a x m k =++的形式为_______________． 【答案：22(2)1y x =--+】例14、已知函数()422-++=m mx m y 是关于x 的二次函数，求：（1）满足条件的m 的值；（2）m 为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，当x 为何值时，y 随x 的增大而增大；（3）m 为何值时，抛物线有最大值？最大值是多少？当x 为何值时，y 随x 的增大而减小？【答案：（1）3m =-或2m =；（2）2m =，(0,0)；当0x =时，y 有最小值为0，当0x >，y 随x 的增大而增大（3）3m =-，(0,0)；当0x =时，y 有最大值为0，当0x >，y 随x 的增大而减小】例15、（1）若抛物线m mx x y 22++=的顶点在y 轴右侧，求m 的取值范围； （2）已知抛物线22(1)16y x k x =-++的顶点在x 轴上，求k 的值； （3）若抛物线22(1)16y x k x =-++的顶点在y 轴，求k 的值．【答案：（1）0m <；（2）3k =或5k =-；（3）1k =-】3、 二次函数交点式；例16、抛物线c bx x y ++=2经过点(0,3)-和)0,1(-，那么抛物线的解析式是 ． 【答案：223y x x =--】例17、二次函数的图像经过点(1,0)-，(3,0)，且最大值是3，求二次函数的解析式．【答案：2339424y x x =-++】例18、已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴的两交点的横坐标分别是1-和3，与y 轴交点的纵坐标是32-；（1）确定抛物线的解析式；（2）用配方法确定抛物线的开口方向，对称轴和顶点坐标．【答案：（1）21322y x x =--；（2）开口向上；对称轴：直线1x =；顶点坐标(1,2)】课后练习练1． 抛物线265y x x -=+的顶点坐标为 ．【答案：(3,4)-】练2． 已知一元二次方程230x bx -=+的一根为3-，在二次函数23y x bx +=-的图象上有三点14(,)5y -、25(,)4y -、31(,)6y -，1y 、2y 、3y 的大小关系是 ． 【答案：123y y y <<】练3． 已知函数21()32y k x x +=+－的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是 ． 【答案：4k ≤】练4． 若二次函数232y x x c =-+图象的顶点在x 轴上，则c = ． 【答案：916c =】练5． 抛物线2y ax bx c =++在点(3,1)处达到最高点，抛物线与y 轴交点的纵坐标为8-，则它的解析式为 ．【答案：268y x x =-+-】练6． 已知抛物线2y ax bx c =++经过(1,2)、(3,0)两点，它在x 轴上截得线段的长为6．求此抛物线的函数解析式．【答案：21327828y x x =-+或21944y x =-+】练7． 已知抛物线22y x mx =-+-与直线2y x b =-+相交于M N 、两点，点M 、点N 的横坐标分别是7和－2．求：（1）M N 、两点的坐标；（2）直线和抛物线的解析式；（3）若坐标原点是O ，求MON ∆的面积．【答案：（1）(7,30)M -，(2,12)N --；（2）232y x x =-+-；216y x =--；（3）72MON S ∆=】练8． 抛物线2y ax bx c =++过点()0,1-与点()3,2，顶点在直线33y x =-上，0a <，求此二次函数的解析式．【答案：142-+-=x x y 】练9． 已知二次函数图象与x 轴交于(2,0)A -，(3,0)B 两点，且函数有最大值是2． （1） 求二次函数的图象的解析式；（2） 设次二次函数的顶点为P ，求ABP ∆的面积．【答案：（1）25482582582++-=x x y ；（2）5ABP S ∆=】练10． 已知抛物线22y x mx m =-+-． （1）求证此抛物线与x 轴有两个不同的交点；（2）若m 是整数，抛物线22y x mx m =-+-与x 轴交于整数点，求m 的值； （3）在（2）的条件下，设抛物线顶点为A ，抛物线与x 轴的两个交点中右侧交点为.B 若M 为坐标轴上一点，且MA MB =，求点M 的坐标．【答案：（1）240b ac ∆=->；（2）2m =；（3）(1)0，或(0,1)】课后小测验1. 将抛物线231x y =向下平移2个单位得到的抛物线的解析式为 ，再向右平移3个单位得到的抛物线的解析式为 ，并分别写出这两个函数的顶点坐标 、 ．【答案：2123y x =-；21(3)23y x =--；(0,2)-；(3,2)-】2. 抛物线1662--=x x y 的顶点坐标为_________．【答案：(3,25)-】3. 二次函数c bx x y ++=2的图象沿x 轴向左平移2个单位，再沿y 轴向上平移3个单位，得到的图象的函数解析式为122+-=x x y ，则b 与c 分别等于________． 【答案：－6，6】4. 已知抛物线的顶点坐标为(1,1)，且抛物线过原点，则抛物线的关系式是 ．【答案：22y x x =-+】5. 抛物线c bx x y ++=2与x 轴的正半轴交于点A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且线段AB 的长为1，ABC ∆的面积为1，则b 的值为______．【答案：3-】本章小结精品文档考试教学资料施工组织设计方案。
《二次函数》公开课教案
二次函数教学 目 标1、会画二次函数的顶点式y ＝a (x －h)2＋k 的图象 2、掌握二次函数y ＝a (x －h)2＋k 的性质； 3、会应用二次函数y ＝a (x －h)2＋k 的性质解题 重 点 掌握二次函数y ＝a (x －h)2＋k 的性质； 难 点会应用二次函数y ＝a (x －h)2＋k 的性质解题课堂教学设计知识回忆——整理知识点y ＝ax 2y ＝ax 2＋ky ＝a (x-h)2开口方向顶点对称轴最值增减性 〔对称轴左侧〕2．对于二次函数的图象，只要｜a ｜相等，那么它们的形状_________，只是_________不同．二、探索新知：画出函数y ＝－12(x ＋1)2－1的图象，指出它的开口方向、对称轴及顶点、最值、增减性．列表：x … －4 －3 －2 －1 0 1 2 …y ＝－12(x ＋1)2－1 … … y ＝12(x-1)2+1 ……由图象归纳： 1．函数开口方向 顶点对称轴最值 增减性y ＝－12(x ＋1)2－1y ＝12 (x-1)2+12．把抛物线y ＝－12x 2向_______平移______个单位，再向_______平移_______个单位，就得到抛物线y ＝－12(x ＋1)2－1．三、理一理知识点y ＝ax 2y ＝ax 2＋ky ＝a (x-h)2y ＝a (x －h)2＋k开口方向顶点 对称轴2．抛物线y ＝a (x －h)2＋k 与y ＝ax 2形状___________，位置________________．四、课堂练习 1．y ＝3x 2y ＝－x 2＋1y ＝12 (x ＋2)2 y ＝－4 (x －5)2－3开口方向 顶点对称轴最值增减性〔对称轴左侧〕增减性 〔对称轴右侧〕2．y ＝6x 2＋3与y ＝6 (x －1)2＋10_____________相同，而____________不同．3．顶点坐标为〔－2，3〕，开口方向和大小与抛物线y ＝12x 2相同的解析式为〔 〕A ．y ＝12 (x －2)2＋3B ．y ＝12 (x ＋2)2－3C ．y ＝12 (x ＋2)2＋3D ．y ＝－12(x ＋2)2＋34．二次函数y ＝(x －1)2＋2的最小值为__________________．5．将抛物线y ＝5(x －1)2＋3先向左平移2个单位，再向下平移4个单位后，得到抛物线的解析式为_______________________．6．假设抛物线y ＝ax 2＋k 的顶点在直线y ＝－2上，且x ＝1时，y ＝－3，求a 、k 的值．最值增减性 〔对称轴右侧〕增减性 〔对称轴左侧〕7．假设抛物线y＝a (x－1)2＋k上有一点A〔3，5〕，那么点A关于对称轴对称点A’的坐标为 __________________．五、目标检测1．开口方向顶点对称轴y＝x2＋1y＝2 (x－3)2y＝－ (x＋5)2－42．抛物线y＝－3 (x＋4)2＋1中，当x＝_______时，y有最________值是________．3．足球守门员大脚开出去的球的高度随时间的变化而变化，这一过程可近似地用以下哪幅图表示〔〕A B C D4．将抛物线y＝2 (x＋1)2－3向右平移1个单位，再向上平移3个单位，那么所得抛物线的表达式为________________________．5．一条抛物线的对称轴是x＝1，且与x轴有唯一的公共点，并且开口方向向下，那么这条抛物线的解析式为____________________________．〔任写一个〕反思通过复习类比，大局部同学对于二次函数的理解都比拟好，会画二次函数的顶点式y＝a (x －h)2＋k的图象；会应用二次函数y＝a (x－h)2＋k的性质解题会找自变量，会列简单的函数关系式，总体效果良好！学生对展开图通过各种途径有了一些了解，但仍不能把平面与立体很好的结合；在遇到问题时，多数学生不愿意自己探索，都要寻求帮助。
二次函数的顶点式ppt课件
❖ 2.y2+3y+ （
3 ）2 2
3
=(y+ 2
)2
❖ 3.函数y=x2+6x化为顶点式是 y(x3)29 。
❖ 4.函数y=2x2-6x+9化为顶点式是y2(x23)2。92
❖ 5. 函数y=ax2+bx+c化为顶点式是
.
精选ppt课件
12
根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：
1y2x23x1;
点在x轴上方 点在x轴下方 点在x轴上
a-b+c>0 a-b+c<0 a-b+c=0
练习
11、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所 示，下列结论中下不正确的是 （ D ）
A、abc＞0
y
B、b2-4ac＞0
C、2a+b＞0 D、4a-2b+c＜0
-1 o 1 x
试一试：已知;二次函数y=2x2-(m+1)x+(m-1). (1)求证:不论m为何值时,函数的图像与x轴总 有交点,并指出m为何值时,只有一个交点； (2)当m为何值时,函数图像过原点,并指出此时 函数图像与x轴的另一个交点； (3)若函数图像的顶点在第四象限,求m的取值 范围.
整理:前三项化为平方形式，后两 项合并同类项
配方后的表达 3x122. 化简:去掉中括号
式通常称为顶
点式
简单说成：一提、二配、三化简
函数y=3x2-6x+5的图象特征
2.根据配方式(顶点式)确定开口方向,对称 轴,顶点坐标.
y3 x1 22.
∵a=3>0,∴开口向上; 对称轴:直线x=1; 顶点坐标:(1,2).
二次函数顶点式公开课教学设计
二次函数顶点式公开课教学设计2019-2020学年度第一学期校际公开课一、基本信息：学科（版本）：新人教版初中数学学校：XXX设计者：XXX二、教学目标：知识与技能：掌握二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象的性质并会应用；会用描点法画出y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象。
过程与方法：用联系、类比等方法探究数学问题，提高学生数学思维分析能力；使学生在小组合作探究中体会合作与交流的重要性。
情感、态度与价值观：培养学生对数学的兴趣和自信心，激发学生的研究热情。
三、研究者分析：学生在此前已经研究了二次函数y=ax2+k(a≠0)和y=a(x-h)2(a≠0)的图象和性质。
四、教学重难点分析：教学重点：二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象的性质并会应用。
教学难点：理解二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)与y=ax2(a ≠0)之间的联系。
五、教学准备：XXX白板、班级优化大师等软件。
六、教学过程：教学环节：教学内容1.二次函数y=-2x2的开口、顶点坐标、对称轴和最值。
2.把y=-2x2的图像向上平移3个单位，向左平移2个单位。
3.请猜测一下：二次函数y=-2(x+2)2+3的图象是否可以由y=-2x2平移得到？你认为该如何平移呢？4.画出函数y=-(x+1)2-1的图像，指出它的开口方向、顶点与对称轴。
师生活动：1.抽选学生上台填写答案，教师擦去蒙层检查答案。
2.抽选学生上台移动抛物线，教师做点评。
3.学生回答问题并讨论。
4.学生利用班级优化大师等软件画出函数图象，教师做即时点评。
本次校际公开课的教学目标是通过掌握二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象的性质并会应用，以及会用描点法画出y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象，提高学生的数学思维分析能力和合作交流能力，培养学生对数学的兴趣和自信心。
在学生已经研究了二次函数y=ax2+k(a≠0)和y=a(x-h)2(a≠0)的图象和性质的基础上，本次教学重点是教授二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象的性质并会应用，教学难点是理解二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)与y=ax2(a ≠0)之间的联系。
二次函数 公开课一等奖课件
解 ： 方 程 x 2 2 x = k 在 [ - 1 , 1 ] 有 解 ,
即 y x 2 2 x (x 1 )2 1 , x [ 1 ,1 ] 与直线y =k有交点,
fm in(x)≤ k≤ fm a x(x),
y
由图象 ,得 f(1)≤ k≤f(1).
1≤ k≤ 3.
Y=k
x -1 1
(k )
k 0
f (k) 0
根的分布
k1x1x2k2
图象 y
k1 o k2 x
充要条件
0
k
1
b 2a
k2
f (k1) 0
f ( k 2 ) 0
m npq
y f (m ) 0
m x1 n
p x2 q
np mo
q
x
f (n ) 0 f(p) 0 f (q ) 0
主页
根的分布
两个实根有 且仅有一根 在区间[ k 1 , k 2 ] 内
图象
y
充要条件
k1
o x1
k2
x2 x
f(k1)f(k2)0
y
f (k1) 0
x1
o k1
k2
x2 x
k1
b 2a
k1
2
k2
y
x1
o k1
k2
x2 x
主页
f (k2) 0
k1
k2 2
b 2a
k2
【1】假设方程x2 -2x =k在区间[ -1,1]上有解, 那么实数k的取值范围为-_1_≤__k_≤__3______.
方,
f (2) 0, f (2) 0,
即22xx2 2 22xx130,0,
二次函数顶点式ppt课件
x
y 1 x2 3 3
–2（0,-3） –3 –4精选ppt课件 –5
y 1 x2
3
6
3.左右 平移
如何由
y
1 3
x2
y
的图1象(得x到2y)2的图13(象x。2)、2
y
3
5
x= - 2 4 x= 2
3
2
(-2,0) 1
y 1 x –252–4–3–2–1–O1
3
–2
1
(2,0) 23
a的绝对值越大，开口越小
直线ｘ＝ｈ
(ｈ,0)
顶点是最低点
顶点是最高点
在对称轴左精选侧pp递t课件减
在对称轴左侧递增 4
在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减
复习回顾: 1.填表
抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标
y0.5x2
y0.5x21
y0.5x21
y 2x2
y2(x1)2 y2(x1)2
向下
x=0
…
-5.5 -3 -1.5
再描点、连线
-1 0 1 2 …
-1 -1.5 -3 -5.5 … 直线x=－1
(1)抛物线 y1(x1)2 1
2
的开口方向、对称轴、顶点? 抛物线 y1(x1)2 1 的开口向下, 2
y 1
-5 -4 -3 -2 -1-1 o 1 2 3 4 5 x -2 -3 -4 -5
与y = ax2形状相同精选，ppt课位件 置不同。
16
如何平移：
y 3 (x 1)2 4
y3(x1)2 2 4
y3(x3)2 3 4
y3(x5)2 2 4
精选ppt课件
17
例4.要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直 安装一根水管.在水管的顶端安装一个喷水 头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水 平距离为1m处达到最高,高度为3m,水柱落 地处离池中心3m,水管应多长?
求二次函数的表达式PPT课件一等奖新名师优质课获奖比赛公开课
倍速课时学练
• 一、二次函数常用旳几种解析式旳拟定
1、一般式
已知抛物线上三点旳坐标，一般选择一般式。 2、顶点式 已知抛物线上顶点坐标（对称轴或最值），一般选择顶点式。 3、交点式
已知抛物线与x轴旳交点坐标或对称轴，选择交点式。 4、平移式
旳图像如图所示，
倍速课时学练
∴ y = a (x+1) (x- 3) 又 C（1，4）在抛物线上
∴ 4 = a (1+1) (1-3) ∴ a = -1 ∴ y = - ( x+1) (x-3)
即
评析：
本题可采用一般式、顶点式和交点式求 解，经过对比可发觉用顶点式和交点式求解 比用一般式求解简便。同步也培养学生一题 多思、一题多解旳能力，从不同角度进行思 维开放、解题措施开放旳培养。注重解题技 巧旳养成训练，可事半功倍。
（2）再将
向下平移3个单位得 （上加下减）
即所求旳解析式为
倍速课时学练
四、尝试练习
1、已知二次函数旳图像过原点，当x=1时，y有最小值为 -1，求其解析式。
解：设二次函数旳解析式为
∵ x = 1, y= -1 , ∴顶点（1，-1）。 ∴ 又（0，0）在抛物线上， ∴ ∴ a =1 ∴ 即
倍速课时学练
当水位为2.5米时， y = 水位+船高 =2.5+1.4 =3.9 ＞ 3.6
∴ 船不能经过拱桥。
复习二次函数四种平移关系
倍速课时学练
三、应用举例
例3、将抛物线
向左平移4个单位，
再向下平移3个单位，求平移后所得抛物线旳解析式。
人教版数学九年级上册优质课课件《二次函数的顶点式》
与y=-3x² 有 关哟
开口向下, 当x=1时y有 最大值:且 对称轴仍是平行于y轴的直线 最大值= 2 (x=1);增减性与y= -3x2类似. (或最大值=-2).
二次函数y=a(x-h)² +k与y=ax² 的关系
一般地,由y=ax² 的图象便可得到二次函数y=a(x-h)² +k 的图象:y=a(x-h)² +k(a≠0) 的图象可以看成y=ax² 的 图象先沿x轴整体左(右)平移|h|个单位(当h>0时,向 右平移;当h<0时,向左平移),再沿对称轴整体上(下) 平移|k|个单位 (当k>0时向上平移;当k<0时,向下平 移)得到的. 因此,二次函数y=a(x-h)² +k的图象是一条抛物线,它 的开口方向、对称轴和顶点坐标与a,h,k的值有关. 抛物线y=a(x-h)² +k有如下特点： （1）当a＞0时，开口向上;当a＜0时，开口向下； （2）对称轴是直线x=h； （3）顶点坐标是（h，k）。
y
y 3x 1 2
2
y 3x 2
y 3x 1
2 2
二次函数y=-3(x-1)2+2与 y=-3(x-1)2+2的图象可 以看作是抛物线y=-3x2 先沿着x轴向右平移1个 单位,再沿直线x=1向上 (或向下)平移2个单位后 得到的.
y 3x 1 2
X=1
y
解：如图建立直角坐标系，点（1、3）是 顶点，设抛物线的解析式为 Y=a（x-1）² +3 （0≤x≤3） 点（3、0）在抛物线上，所以有 0=a（3-1）² +3 ∴ a=-¾ 点（1、3） ∴ y=-¾（x-1）² +3 （0≤x≤3） 是顶点，知 当x=0时，y=2.25， 道h=1， 即水管应长2.25m。 k=3，求出 a就好啦!
中考数学《二次函数》公开课获奖课件百校联赛一等奖课件
y=(-7)2+6×(-7)+5=12.
又∵抛物线与y轴交于点B(0，5)，
∴CD边上旳高为12-5=7，
∴S△BCD=
1×8×7=28.
2
【知识拓展】二次函数旳图象是抛物线，是轴对称图形， 图象上纵坐标相等旳两个点有关对称轴对称.
热点考向四 二次函数与方程或不等式
【例3】(2023·牡丹江中考)抛物线
二、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)旳图象与性质
1.当a>0时
(1)开口方向：向上.(2)顶点坐标：(___2b_a_
4ac b2
, 4a ).(3)对称
轴：直线__x____2b_a__.
(4)增减性：当x< b 时，y随x旳增大而_减__小__；当x> b 时，
2a
2a
y随x旳增大而_增__大__.
2a
2a
y随x旳增大而_____减. 小
4ac b2
(5)最值：当x= b 时，y最大值=____4_a____.
2a
【思维诊疗】(打“√”或“×”) 1.y=ax2+2x+3是二次函数. ( × ) 2.二次函数y=3(x+3)2-2旳顶点坐标是(3，-2). ( × ) 3.二次函数y=x2-2旳对称轴是y轴，有最小值-2. ( √ ) 4.二次函数y=x2先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得 到旳函数体现式是y=(x+2)2-3. ( × )
(3)∵抛物线对称轴为x=1，∴抛物线在2<x<3这一段与在1<x <0这一段有关对称轴对称，又直线l与直线AB有关对称 轴对称，结合图象能够观察到抛物线在-2<x <-1这一段位于 直线l旳上方，在-1< x<0这一段位于直线l旳下方.∴抛物线与 直线l旳交点横坐标为-1； 当x=-1时，y=-2×(-1)+2=4，则抛物线过点(-1，4).当x=-1 时，m+2m -2=4，m=2. ∴抛物线旳体现式为y=2x2-4x-2.
(第6套)人教版九年级数学上册 22《二次函数》二次函数的应用公开课精品教学课件
度如A何D表示4？0 X 30 40
3 AD (40 x)
4
M
30cm
(2)设矩y 3形(40的 x)x面 3积(x2 为 40xy) ,求3 (xy 2与0)2 x30的0 函数关系式 D
C
并直接写4 出x的4取值范围4 ？
┐
当x取何值时,y的最大值是多少?
A
B
N
40cm
（0 ＜ x ＜ 40）
(2)每件商品的售价定为多少元时，每月可获得最大利润？最大利润是多少 元？ y=-10x2+110x+2100 =-10（x-5.5）2+2402.5
∵x为正整数∴由函数图像可知：x=5或x=6时，y有最大值为2400. ∴每件商品的售价定为55或56元时，每月可获得最大利润为2400元。
(3) 每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润等于2200元？并直接回答 售价在什么范围内时，每个月的利润不低于2200元？
（3）根据图像回答下列问题 y= -2x2-4x+8
-4 (-1,10)
8
2
(1)若-2≤x ≤3,则函数的 最大值是 10
(2)若1≤x ≤3,则函数的
最大值是 2
-2 -3
3 11 3
（3当y≥2时,x的取值
范围是 -3≤x ≤1
2、如图所示的二次函数的解析式为：
(1)若-1≤x≤2，该 函数的最大值是
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活动一：
（1）将二次函数 y= -2x2-4x+8 化为顶点式。
y= -2（x+1）2+10
北师大版九年级数学下册《已知二个条件确定二次函数的表达式》公开课课件_16
初步探究
问题一：若二次函数y=2x²+3x+c图象过点（-1，10），
可以确定这个二次函数的表达式吗？ 能
问题二：若二次函数y=2x²+bx+c图象过点（-1，10），
可以确定这个二次函数的表达式吗？ 不能
复习引入
3.y=kx (k≠0)
找 一个点
y
k（k
系数
0）
k 需待定
确定 一 个方程
x
找 两个点
4.y=kx+b (k≠0) 两系数 k,b 需待定
两 个方程
解一元一次方程
解二元一次方程组
如果如确定果如果确确定定二二次次函数函y=a数x2+yb=x+acx(a2, +b,bc为x+常c数(a, a,≠b0,）c为的关常系式数时，，通a≠常0） 的又表需要达几式个条时件，？ 通常又需要几个条件？
独立 作业
驶向胜利 的彼岸
P42 做一做 P43 习题2.6 1题 P45 习题2.7 2题+“顶点”
学习目标
1.会用待定系数法确定二次函数表达 式. 2.能根据抛物线上两个或三个点的坐 标，选择恰当的表达式确定二次函数 的表达式。
复习引入
1.二次函数表达式的一般形式是什么?
y=ax²+bx+c (a,b,c为常数,a ≠0)
2.二次函数表达式的顶点式是什么?
y=a(x-h)2+k (a ≠0)
问题三：已知二次函数y=ax2+c 的图象过点（2, 3） 和（0，-5），可以确定这个二次函数的表达式吗？
二次函数的图像和性质(原创公开课)
配方
解：
1 2 y x 6 x 21 2
1 2 y x 6 x 21 2 转化为上 提取二次项系数 1 x 2 12 x 42 2 一节课所 1 2 学知识 配方 x 12x 36 36 42 2 1 2 整理 x 6 6 顶点式 2 2 1 2 y a ( x h) k 化简:去掉中括号 x 6 3. 2
写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。
1.
3.
y 3x 2x 1 2 y x - 4x 3 2
2
2.
y x 2x 3
2
例1：指出抛物线:
y x 3x 2
2
的开口方向，求出它的对称轴、顶点坐标、 与y轴的交点坐标、与x轴的交点坐标。并画 出草图。
对于y=ax2+bx+c我们可以确定它的开口 方向，求出它的对称轴、顶点坐标、与y 轴的交点坐标、与x轴的交点坐标（有交 点时），这样就可以画出它的大致图象。
1 2 y x 6 x 21 2
归纳：如何配方
配 方
方法1：看成方程进行配方； 方法2： （1）“提”：提出二次项系数 （2）“配”：括号内配成完全平方； （3）“化”：化成顶点式
2 1 y= — (x―6) +3 2
1 2 解：配方可得 y x 6 x 21 2 1 2 x 6 3 2
2、说出下列抛物线y=a(x －h)2＋k的开口方向、对 称轴及顶点： 2 2
（ 1 ）y （ 2 x 3） 5；（2）y （ 3 x 1 ） 2；
a=2>0,开口向上 a=-3<0,开口向下
二次函数的性质公开课一等奖课件省赛课获奖课件
②顶点式 y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，其中(h，k)是抛物线的顶 点．当已知抛物线的顶点坐标或对称轴，能够先求出抛物线 顶点时，设顶点式解题十分简捷．加上其他条件确定 a 的值， 即可求出函数的解析式；
③两根式 y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中 x1、x2 就是方程 ax2＋bx＋c＝0 的两根，即抛物线与 x 轴两交点的横坐标．当 题中已知抛物线与 x 轴交点的坐标时，设出零点式解题比较 简单．
已知顶点为(1，－3)，∴h＝－1，k＝－3， 即所求的二次函数 y＝a(x－1)2－3. 又∵图像经过点 P(2,0)， ∴0＝a×(2－1)2－3，∴a＝3， ∴函数的解析式为 y＝3(x－1)2－3，即 y＝3x2－6x.
解法四：设解析式为 y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)， 其中 x1，x2 是抛物线与 x 轴的两交点的横坐标， 已知抛物线与 x 轴的一个交点 P(2,0)，对称轴是 x＝1， ∴抛物线与 x 轴的另一个交点为(0,0)， ∴x1＝0，x2＝2， ∴所求的解析式为 y＝a(x－0)(x－2)， 又∵顶点为(1，－3)，∴－3＝a×1×(1－2)，∴a＝3， ∴所求函数的解析式为 y＝3x2－6x.
∴函数的解析式为 y＝3x2－6x.
解法二：设所求函数的解析式为 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
4a＋2b＋得 ab＝ ＝3－，6， c＝0.
∴函数的解析式为 y＝3x2－6x.
解法三：设所求函数的解析式为 y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)， 则顶点坐标为(－h，k)，
[分析] 本题中已知二次函数 f(x)的解析式，故可考虑用 配方法将 f(x)化成顶点式，进而确定对称轴和顶点坐标．然后 再结合对称性求 f(3)及比较 f(－12)与 f(32)的大小．
二次函数的顶点式图像与性质教案
二次函数的顶点式图像与性质教案第一章：二次函数的顶点式图像1.1 引入二次函数的一般形式：y = ax^2 + bx + c1.2 解释二次函数的顶点式图像：y = a(x h)^2 + k，其中(h, k)为顶点坐标1.3 探讨顶点式图像的特点：开口方向、对称轴、顶点坐标等1.4 利用顶点式图像分析二次函数的增减性、最大值或最小值等性质第二章：开口方向与a的取值2.1 分析a的取值对开口方向的影响：a > 0时，开口向上；a < 0时，开口向下2.2 利用顶点式图像观察不同开口方向的二次函数特点2.3 引导学生通过观察图像判断开口方向及a的取值范围第三章：对称轴与顶点坐标3.1 解释二次函数的对称轴公式：x = h3.2 探讨对称轴与顶点坐标的关系：对称轴经过顶点3.3 利用顶点式图像分析二次函数的对称性质3.4 引导学生通过图像找到对称轴及顶点坐标第四章：增减性与最值4.1 解释二次函数的增减性：a > 0时，函数在顶点左侧递减，在顶点右侧递增；a < 0时，函数在顶点左侧递增，在顶点右侧递减4.2 探讨最值的求法：当a > 0时，最小值为顶点的y坐标；当a < 0时，最大值为顶点的y坐标4.3 利用顶点式图像观察二次函数的最值及增减性4.4 引导学生通过图像分析二次函数的最值和增减性第五章：实际问题与二次函数的顶点式图像5.1 引入实际问题：如抛物线运动、物体的抛物线轨迹等5.2 解释实际问题中的二次函数顶点式图像与性质的应用5.3 利用顶点式图像解决实际问题，如求物体的最大高度等5.4 引导学生将实际问题与二次函数的顶点式图像和性质相结合，提高解决问题的能力第六章：二次函数图像的平移6.1 回顾一次函数图像的平移规律：上加下减，左加右减6.2 介绍二次函数图像的平移规律：上加下减，左加右减，改变顶点坐标6.3 利用顶点式图像展示二次函数图像的平移过程6.4 引导学生通过实际例子，掌握二次函数图像的平移规律第七章：二次函数图像的叠加7.1 解释二次函数图像的叠加原理：两个函数图像在同一坐标系中绘制，观察交点情况7.2 利用顶点式图像展示两个二次函数图像的叠加情况7.3 探讨二次函数图像的叠加规律：开口方向、对称轴、顶点坐标等7.4 引导学生通过实际例子，理解二次函数图像的叠加原理第八章：二次函数图像与坐标轴的交点8.1 分析二次函数图像与x轴的交点：令y = 0，解方程得到x的值8.2 分析二次函数图像与y轴的交点：令x = 0，解方程得到y的值8.3 利用顶点式图像找出二次函数图像与坐标轴的交点8.4 引导学生通过实际例子，求解二次函数图像与坐标轴的交点第九章：二次函数图像的应用9.1 引入实际应用场景：如抛物线运动、物体的抛物线轨迹等9.2 解释实际应用中二次函数图像的重要性9.3 利用顶点式图像解决实际应用问题，如求物体的最大速度等9.4 引导学生将实际应用与二次函数图像相结合，提高解决问题的能力10.2 强调二次函数图像在实际问题中的应用价值10.3 提出拓展问题，激发学生对二次函数图像与性质的深入研究兴趣10.4 引导学生进行拓展练习，巩固所学知识重点和难点解析一、二次函数的顶点式图像重点和难点解析：理解顶点式图像的开口方向、对称轴、顶点坐标等特点是教学的重点，也是学生理解的难点。
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F
（x2，0）
第一段抛物线y 1 (x 6)2 +4，OC 4 3+6 12
将第一段抛物线向下平移2个单位， 再向右平移h个单位得到第二段抛物线。
设第二段抛物线的解析式为： y 1 (x 6) h2 4 2
12
此图象过点C（4 3+6, 0），代入求出h,从而 求出CD, 再求出BD
12
对已于求第C（一4 段3+抛6）物，线即ByC4 13 (x 6)2 +4，令y 2 球落地后会弹起，如果弹起后12的抛物线与原来的抛物线
解方形运状动程相员或同乙E，要F最抢= 大到x1高第度二x减个2 少落 到点原Db,2来他a最应（4大再a取c高向2度前的跑6 一多 半5少）。米？
2E
（x1，0）
2
1.二次函数的一些性质。 2.二次函数的实践应用。
1.本节课主要的数学思想：
（1）函数思想 （2）数形结合思想 （3）方程思想 （4）平移变换思想
2.主要方法: 待定系数法
布置作业： 课时作业P31-32
9 设篮球高度能达到篮圈中心3米高，
令y 1 x 42 4=3，
9 解之，得x1=（1 不合题意，舍去），x2 =7
即篮球与小明的水平距离没有达到8米，此球不能投中。
y
4
3
0,
20 9
O
（4，4） 4
（8，3）
8,
20 9
8
x
y
（4，4） （5，4）
4
3
0,
20 9
A（7，3）
平Leabharlann 平移移y = ax2 + k
y = a(x – h )2
上下平移
左右平移
y = ax2
（上加下减，左加右减）
知识回顾 用待定系数法求二次函数的解析式
常见类型
1、一般式：y ax2本节b重x 点 c
运用
2、顶点式：y a(x h)2 k
3、交点式：y a(x x1)(x x2 )
知识回顾
抛物线y ax2 bx （c a 0）与x轴交于两点A（x1，0）、 B（x2，0），用含a、b、c的式子表示的AB距离。
简析： AB= x1-x2 = （x1-x2）2 = （x1+x2）2 4x1x2
( b )2 4 c b2 4ac b2 4ac
a
a
a2
a
条件：小明球出手时离地面高 20 米，
●
B（8，3）
O
45
8
x
用抛物线知识解决一些实际问题的一般步骤：
建立直角坐标系（有则不画） 二次函数的图象和性质 问题求解 找出实际问题的答案
如图，点O处有一足球守门员，他在离地面1 米的点A处开出一高球飞出，球的路线是抛物线。 运动员乙距O点6米的B处发现球在自己头顶正上方 达到最高点M，距地面约4米高。
9
小明与篮圈中心的水平距离为8米，
球出手后水平距离为4米时最高4米， 篮圈中心距离地面3米。
出手高度要增加 解这：段如抛图物，线建的立顶平3点面为直2（角04坐，标47系）米，，
设其对应的函数解析9式为：3
解之，得a 1 9
y 1 x 42 4 (0≤x≤8)
y a x 4 2 4 (0≤x≤8)
抛物线经过点
0，20 9
9
当x 8时，y 20 9
此球没有达到篮圈中心距离地面3
20 a0 42 4
米的高度，不能投中。
9
条件：小明球出手时离地面高 20 米，
9
小明与篮圈中心的水平距离为8米，
球出手后水平距离为4米时最高4米，
篮圈中心距离地面3米。
问题小：明此球向能前否平投中移？1米 解法二：前面可解法投相中同，得y 1 x 42 （4 0≤x≤8）
知识回顾 二次函数的对称轴与顶点：
二次函数 对称轴
y=a(x－h)2+k （ a≠ 0）
x=h
顶点坐标 (h , k)
y=ax2+bx+c
（ a≠ 0）
x b 2a
b 2a
,
4ac 4a
b2
知识回顾
各种形式的二次函数（ a≠ 0）的图象 （平移）关系
y = a( x – h )2 + k
左
上
右
下
求足球落地点C 距守门员地点O大约多远？
（取4 3 7）
简析：易求抛物线解析式为y 1 (x 6)2 +4 12
令y 0，解方程得x 4 3 6 1（3 负值舍去）
即OC 13米
简已析求：第C一D的次落长地即前E抛F的物线长解，析求式出为Ey、 F的1 (横x 坐6)2标+4即可