河南省濮阳市高三数学第一次摸底考试试题 理(扫描版)

河南省濮阳市2013届高三数学第一次摸底考试试题理（扫描版）
2013年高中三年级摸底考试
理科数学试题答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

二、 填空题: 本大题共4小题, 每小题5分, 共20分。

（13）32- （14）8 （15）4 （16）π
43
三、解答题：本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

（17）解析：（Ⅰ）由正弦定理，得B C A B C sin sin sin 3cos cos -= ………………………………2分
即B A C B C B cos sin 3sin cos cos sin =+
∴B A C B cos sin 3)sin(=+ ∴B A A cos sin 3sin =…………………………4分
∴31cos =
B ∴232sin =B ……………………………………………………6分
（Ⅱ）由余弦定理，,2cos 2
22ac b c a B -+= ……………………………………………8分
31
cos ,,24===B c a B ， ∴242=c ……………………………………………10分 ∴28sin 21sin 212===∆B c B ac S ABC …………………………………12分
（18）（本小题满分12分）
解：（I ）这辆汽车是A 型车的概率约为
3A 3A,B =出租天数为天的型车辆数出租天数为天的型车辆数总和300.63020=+
这辆汽车是A 型车的概率为0.6 ………………3分
（II ）设“事件i A 表示一辆Ａ型车在一周内出租天数恰好为i 天”，
“事件j B 表示一辆Ｂ型车在一周内出租天数恰好为j 天”，其中
,1,2,3,...,7i j = 则该公司一辆A 型车，一辆B 型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率为
132231132231()()()()P A B A B A B P A B P A B P A B ++=++ ………………5分
132231()()()()()()P A P B P A P B P A P B =++
52010203014100100100100100100
9125=
⋅+⋅+⋅= 该公司一辆A 型车，一辆B 型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率为9
125 ………………7分
（Ⅲ）设X 为A 型车出租的天数，则X 的分布列为
设Y 为B 型车出租的天数，则Y 的分布列为
-------9分 ()10.1420.203E Y =⨯+⨯+ =3.48 ……………11分
一辆A 类型的出租车一个星期出租天数的平均值为3.62天，B 类车型一个星期出租天数的平均值为3.48天. 从出租天数的数据来看，A 型车出租天数的方差小于B 型车出租天数的方差,综合分析，选择A 类型的出租车更加
合理 . ………………12分
（19）（本小题满分12分） （Ⅰ）CM 与BN 交于F ，连结EF .
由已知可得四边形BCNM 是平行四边形，
所以F 是BN 的中点.
因为E 是AB 的中点，
所以//AN EF .…………………………2分
又EF ⊂平面MEC ， AN ⊄平面MEC ，
()10.0520.1030.3040.3550.1560.0370.02 =3.62E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯
所以//
AN平面MEC. ……………………………………………………………5分（Ⅱ）由于四边形ABCD是菱形，E是AB的中点，可得DE AB
⊥.
如图建立空间直角坐标系D xyz
-，则(0,0,0)
D
，
E, (0,2,0)
C，
M-
.
(3, 2.0)
CE=-
，
(0,
EM=-
.…………………………………………7分
设平面MEC的法向量为(,,)
x y z
=
n.
则
0,
0.
CE
EM
⎧⋅=
⎪
⎨
⋅=
⎪⎩
n
n
所以
20,
0.
y
y z
-=
⎨
=
⎪
⎩
令2
x
=.
所以3
=
n
.……………………………………………………………10分
又平面ADE的法向量(0,0,1)
=
m，
所以
1
cos,
2
⋅
<>==
m n
m n
m n
.
所以二面角M EC D
--的大小是60°. ………………………………………12分
（20）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）设C1的方程为
2
2
2
1
x
y
a
+=
,C2的方程为
2
2
2
1
x
y
b
+=
,其中
1,01
a b
><<． C1 ,C2的离心率相同，所以
2
2
2
1
1
a
b
a
-
=-
,所以1
ab=，……………………….…2分∴C2的方程为2221
a x y
+=．
当m=时，
A
(
2
a
-
,C
1
(
2a．.………………………………………….4分
又 54AC =,所以，15224a a +=，解得a =2或a =12(舍)，
∴C1 ,C2的方程分别为2
214x y +=，2241x y +=．………………………………….6分
（Ⅱ）
A(-
,m) ． OB ∥AN,∴OB AN k k =,
∴
m =,∴211m a =- ． …………………………………….8分
2221a e a -=，∴2211a e =-，∴221e m e -=． ………………………………………10分
01m <<，∴2
2101e e -<<，
∴1
2e <<．........................................................12分
（21）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）∵()ln()f x a x b =+，∴
()a
f x x b '=
+，则()f x 在点(0,l n )A a b 处切线的斜率(0)a k f b '==，切点(0,ln )A a b ，则()f x 在点(0,ln )A a b 处切线方程为ln a y x a b b =+， 又()e 1x g x a =-，∴()e x g x a '=，则()g x 在点(0,1)B a -处切线的斜率(0)k g a '==，切点
(0,1)B a -，则()g x 在点(0,1)B a -处切线方程为1y ax a =+-， 由,ln 1,a a b a b a ⎧=⎪⎨⎪=-⎩解得1a =，1b =． 3分
（Ⅱ）由()1x m g x ->+
得e x x m ->
e x m x <在[0,)+∞上有解，
令()e x h x x =，只需max ()m h x <．
当0x =
时，()e 0x h x x ==，所以0m <；-----------------------------------5分
当0x >
时，∵()1e )1x x x
h x '=-+=-，
∵0x >
，e 1x >
，∴x +>，
故()10
x h x '=-<
，即函数()e x h x x =在区间[0,)+∞上单调递减， 所以max ()(0)0h x h ==，此时0m <．
综合①②得实数m 的取值范围是(,0)-∞． 8分
（Ⅲ）令()()()e 1ln(1)(1)x u x g x f x x x =-=--+>-，
1()e 1x u x x '=-+e e 11x x x x +-=+． 令()e e 1(1)x x v x x x =+->-，则()e (2)0x v x x '=+>在(0,)+∞上恒成立，
∴当0x >时，()(0)0v x v >=成立，∴()0u x '>在(0,)+∞上恒成立，
故函数()u x 在区间(0,)+∞上单调递增，∴当0x >时，()(0)0u x u >=恒成立， 故对于任意210x x >>，有2121()()g x x f x x ->-． 10分 又∵212121111()1011x x x x x x x x +--+-=>++，∴2212111ln(1)ln ln(1)ln(1)1x x x x x x +-+>=+-++． ∴2121()()()f x x f x f x ->-，从而2121()()()g x x f x f x ->-． 12分
（22）解：（Ⅰ）连结AC ，因为OA OC =，所以OAC OCA ∠=∠， 2分
因为CD 为半圆的切线，所以OC CD ⊥，又因为AD CD ⊥，所以OC ∥AD ， 所以OCA CAD ∠=∠，OAC CAD ∠=∠，所以AC 平分BAD ∠．
4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知BC CE =， 6分
连结CE ，因为ABCE 四点共圆，B CED ∠=∠，所以cos cos B CED =∠， 8分 所以DE CB CE
AB =，所以2BC =． 10分
（23）解：(Ⅰ)
2cos,
2sin 2.
x
y
α
α
=
⎧
⎨
=+
⎩且参数
[]
0,2
απ
∈
，
所以点P的轨迹方程为
22
(2)4
x y
+-=．3分
(Ⅱ)因为
)
4
sin(
2
10
π
θ
ρ
-
=
，所以
)10
4
π
θ-=
，
所以
sin cos10
ρθρθ
-=，所以直线l的直角坐标方程为100
x y
-+=．6分
由(Ⅰ) 点P的轨迹方程为
22
(2)4
x y
+-=，圆心为(0,2)，半径为
2.
d==
，所以点P到直线l
距离的最大值2. 10分（24）解：（Ⅰ）由
26
x a a
-+≤
得
26
x a a
-≤-
，∴626
a x a a
-≤-≤-，即33
a x
-≤≤，∴32
a-=-，∴1
a=．5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
()211
f x x
=-+
,令
()()()
n f n f n
ϕ=+-
，
则
()
1
24,
2
11
212124,
22
1
24, n
2
n n
n n n n
n
ϕ
⎧
-≤-
⎪
⎪
⎪
=-+++=-<≤
⎨
⎪
⎪
+>
⎪⎩
∴
()n
ϕ
的最小值为4，故实数m的取值范围是
[)
4,+∞
．10分。