2020届高三数学(文理通用)一轮复习《幂函数》题型专题汇编
2020年高考数学一轮总复习：幂函数、二次函数
2020年高考数学一轮总复习：幂函数、二次函数[基础梳理]1．幂函数(1)定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中底数x是自变量，α是常数．(2)幂函数的图象比较：2．二次函数(1)解析式：一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)．两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．(2)图象与性质：(－∞，＋∞)(－∞，＋∞)1．一个易混点函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，不能盲目认为是二次函数，要注意对a 的讨论，a ＞0，a ＝0，a ＜0.2．两个条件：一元二次不等式恒成立的条件(1)ax 2＋bx ＋c ＞0(a ≠0)恒成立的充要条件是⎩⎨⎧a ＞0，b 2－4ac ＜0.(2)ax 2＋bx ＋c ＜0(a ≠0)恒成立的充要条件是⎩⎨⎧a ＜0，b 2－4ac ＜0.3．幂函数y ＝x α在第一象限的图象特征(1)α＞1时，图象过(0，0)，(1，1)，下凸递增，例如y ＝x 3； (2)0＜α＜1时，图象过(0，0)，(1，1)，上凸递增，例如y ＝x 12；(3)α＜0时，图象过(1，1)，下凸递减，且以两条坐标轴为渐近线，例如y ＝x －1. 4．巧记幂函数的图象五个幂函数在第一象限内的图象的大致情况可以归纳为“正抛负双，大竖小横”，即α＞0(α≠1)时的图象是抛物线型(α＞1时的图象是竖直抛物线型，0＜α＜1时的图象是横卧抛物线型)，α＜0时的图象是双曲线型． [四基自测]1．已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则k ＋α＝( )A.12B ．1C.32 D ．2答案：C2．幂函数f (x )＝x α(α是有理数)的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，14，则f (x )的一个单调递减区间是( ) A ．[0，＋∞) B ．(0，＋∞) C ．(－∞，0] D ．(－∞，0)答案：B3．若g (x )＝x 2＋ax ＋b ，则g (2)与12[g (1)＋g (3)]的大小关系为________． 答案：g (2)<12[g (1)＋g (3)]4．(2017·高考全国卷Ⅰ改编)函数y ＝x 2＋1x 的增区间为__________． 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫132，＋∞ 5．(2018·高考全国卷Ⅰ改编)设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋1 x ≤01 x ＞0，则f (x )＞f (1)的x 的取值范围为________． 答案：(－∞，0)考点一 幂函数的图象和性质◄考基础——练透[例1] (1)幂函数y ＝f (x )的图象过点(4，2)，则幂函数y ＝f (x )的图象是( )解析：设幂函数的解析式为y ＝x α， 因为幂函数y ＝f (x )的图象过点(4，2)， 所以2＝4α，解得α＝12.所以y ＝x ，其定义域为[0，＋∞)，且是增函数， 当0＜x ＜1时，其图象在直线y ＝x 的上方． 答案：C(2)若a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3525，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2535，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2525，则下列正确的是( )A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．c ＞a ＞bD ．b ＞c ＞a解析：因为y ＝x 25在第一象限内为增函数，所以a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3525＞c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2525，因为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25x是减函数，所以c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2525＞b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2535，所以a ＞c ＞b .答案：B1.利用幂函数的单调性比较幂值大小的技巧在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，转化为同指数幂，再选择适当的函数，借助其单调性进行比较．若底数相同，指数不同可考虑指数函数；若底数不同指数相同，可考虑幂函数.2.幂函数的单调性只与指数的正、负有关，要注意幂函数定义域.1．幂函数y ＝f (x )的图象经过点(3，33)，则f (x )是( ) A ．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 B ．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数 C ．奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数 D ．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数解析：设幂函数f (x )＝x α，代入点(3，33)，得：33＝3α，解得α＝13，所以f (x )＝x 13，可知函数为奇函数，在(0，＋∞)上单调递增． 答案：C2．若a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1223，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1523，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＜b ＜cB ．c ＜a ＜bC ．b ＜c ＜aD ．b ＜a ＜c解析：因为y ＝x 23在第一象限内是增函数，所以a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1223＞b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1523，因为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x是减函数，所以a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1223＜c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1213，所以b ＜a ＜c .答案：D考点二 二次函数的图象与性质◄考能力——知法 角度1 二次函数的单调性[例2] (1)函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－3，0) B ．(－∞，－3] C ．[－2，0]D ．[－3，0]解析：当a ＝0时，f (x )＝－3x ＋1在[－1，＋∞)上递减，满足条件． 当a ≠0时，f (x )的对称轴为x ＝3－a2a ， 由f (x )在[－1，＋∞)上递减知⎩⎪⎨⎪⎧a <0，3－a 2a ≤－1，解得－3≤a <0.综上，a 的取值范围为[－3，0]． 答案：D(2)已知函数f (x )＝log 0.5(sin x ＋cos 2x －1)，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则f (x )的取值范围是( )A ．(－∞，2]B ．(－∞，－2]C ．[2，＋∞)D ．[－2，＋∞)解析：设g (x )＝sin x ＋cos 2x －1＝sin x ＋1－sin 2x －1＝－sin 2x ＋sin x ，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∵0＜x ＜π2，∴0＜sin x ＜1.∵二次函数g (x )＝－sin 2x ＋sin x 图象的对称轴为－12×（－1）＝12，∴sin x ＝12时，g (x )取得最大值，为14，∴0＜g (x )≤14，∴log 0.5g (x )≥log 0.514＝log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝2，∴f (x )的取值范围是[2，＋∞)，故选C. 答案：C关于y ＝ax 2＋bx ＋c 的单调性问题，其关键点为： (1)定方向，根据a 的符号确定抛物线开口方向； (2)定对称轴，对称轴x ＝－b2a ；(3)定单调区间，当a >0时，增区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞，减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－b 2a ；当a <0时，增区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－b 2a ，减区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞.角度2 二次函数的最值[例3] (1)已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在x ∈[0，1]时，有最大值2，则a 的值为________．解析：函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a ＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1，对称轴方程为x ＝a . 当a ＜0时，f (x )max ＝f (0)＝1－a ， 所以1－a ＝2，所以a ＝－1. 当0≤a ≤1时，f (x )max ＝a 2－a ＋1，所以a 2－a ＋1＝2，所以a 2－a －1＝0，所以a ＝1±52(舍去)．当a ＞1时，f (x )max ＝f (1)＝a ，所以a ＝2. 综上可知，a ＝－1或a ＝2.答案：－1或2(2)已知函数f (x )＝ax 2－2x (0≤x ≤1)，求函数f (x )的最小值． 解析：①当a ＝0时，f (x )＝－2x 在[0，1]上单调递减， ∴f (x )min ＝f (1)＝－2.②当a >0时，f (x )＝ax 2－2x 的图象的开口方向向上，且对称轴为x ＝1a .(ⅰ)当1a ≤1，即a ≥1时，f (x )＝ax 2－2x 的图象对称轴在[0，1]内，∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1a 上单调递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，1上单调递增．∴f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝1a －2a ＝－1a .(ⅱ)当1a >1，即0<a <1时，f (x )＝ax 2－2x 的图象对称轴在[0，1]的右侧，∴f (x )在[0，1]上单调递减． ∴f (x )min ＝f (1)＝a －2.③当a <0时，f (x )＝ax 2－2x 的图象的开口方向向下，且对称轴x ＝1a <0，在y 轴的左侧，∴f (x )＝ax 2－2x 在[0，1]上单调递减．∴f (x )min ＝f (1)＝a －2. 综上所述f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧a －2，a <1，－1a，a ≥1.将本例(1)改为“已知函数f (x )＝－x 2＋2x ＋1－a ”在[0，a ]上的最大值记为g (a )，求g (a )并求其最大值．解析：∵f (x )＝－(x －1)2＋2－a ，关于x ＝1对称 又∵x ∈[0，a ]∴当a ≤1时，x ∈[0，a ]上为增函数， f (x )max ＝g (a )＝－a 2＋2a ＋1－a ＝－a 2＋a ＋1， 当a ＞1时，则f (x )max ＝f (1)＝g (a )＝2－a ，∴g (a )＝⎩⎨⎧－a 2＋a ＋1， a ≤12－a ， a ＞1当a≤1时，g(a)＝－(a－12)2＋54≤54，当a＞1时，g(a)＝2－a＜1，∴g(a)的最大值为5 4.主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动．不论哪种类型，解决的关键是弄清楚对称轴与区间的关系．当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论．设f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，则二次函数在闭区间[m，n]上的最大、最小值有如下的分布情况：a ＜0的情况，讨论类似．其实质是：无论开口向上或向下，都有两种结论： (1)若－b2a∈[m ，n ]，则 f (x )max ＝max⎩⎨⎧⎭⎬⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ， f (x )min ＝min {}f （m ），f （n ）； (2)若－b2a[m ，n ]，则f (x )max ＝max {f (m )，f (n )}，f (x )min ＝min{f (m )，f (n )}.(2018·衡水金卷信息卷)已知函数f (x )＝－10sin 2x －10sin x －12，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，m 的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，2，则实数m 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，0B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，0C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π6 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3解析：由题意得f (x )＝－10⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2x ＋sin x ＋14＋2，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，m ，令t ＝sin x ，则f (x )＝g (t )＝－10⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122＋2，令g (t )＝－12，得t ＝－1或t ＝0，由g (t )的图象，可知当－12≤t ≤0时，f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，2，所以－π6≤m ≤0.故选B.答案：B角度3 二次函数中的恒成立问题[例4] (1)(2019·太原模拟)设函数f (x )＝ax 2－2x ＋2，对于满足1＜x ＜4的一切x 值都有f (x )＞0，则实数a 的取值范围为________． 解析：法一：当a ＞0时，f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a 2＋2－1a ，由f (x )＞0，x ∈(1，4)得：⎩⎪⎨⎪⎧1a ≤1，f （1）＝a －2＋2≥0或⎩⎪⎨⎪⎧1＜1a ＜4，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝2－1a ＞0或⎩⎪⎨⎪⎧1a ≥4，f （4）＝16a －8＋2≥0.所以⎩⎨⎧a ≥1，a ≥0或⎩⎪⎨⎪⎧14＜a ＜1，a ＞12或⎩⎪⎨⎪⎧a ≤14，a ≥38，所以a ≥1或12＜a ＜1或， 即a ＞12，当a ＜0时，⎩⎨⎧f （1）＝a －2＋2≥0，f （4）＝16a －8＋2≥0，解得；当a ＝0时，f (x )＝－2x ＋2，f (1)＝0，f (4)＝－6， 所以不合题意．综上可得，实数a 的取值范围是a ＞12.法二：由f (x )＞0，即ax 2－2x ＋2＞0，x ∈(1，4)， 得a ＞－2x 2＋2x 在(1，4)上恒成立． 令g (x )＝－2x 2＋2x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －122＋12，1x ∈(14，1)，g (x )max ＝12，所以要f (x )＞0在(1，4)上恒成立， 只要a ＞12即可． 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞(2)已知a 是实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3在x ∈[－1，1]上恒小于零，则实数a 的取值范围为________．解析：2ax 2＋2x －3<0在[－1，1]上恒成立． 当x ＝0时，－3<0，成立；。
2020年高考理科数学一轮总复习：二次函数与幂函数
2020年高考理科数学一轮总复习：二次函数与幂函数第4讲 二次函数与幂函数1．幂函数(1)定义：形如y ＝x α(α∈R )的函数称为幂函数，其中底数x 是自变量，α为常数．常见的五类幂函数为y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝x －1.(2)五种幂函数的图象(3)性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减． 2．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． ②顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)． ③零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． (2)二次函数的图象和性质(－∞，＋∞)(－∞，＋∞)导师提醒1．巧记三类幂函数的图象特征(1)当α<0时，函数图象与坐标轴没有交点，类似于y ＝x －1的图象，且在第一象限内，逆时针方向指数在增大．(2)当0<α<1时，函数图象倾向x 轴，类似于y ＝x 12的图象．(3)当α>1时，函数图象倾向y 轴，类似于y ＝x 3的图象，且在第一象限内，逆时针方向指数在增大．2．关注一个易错点注意二次项系数对函数性质的影响，经常对二次项系数分大于零与小于零两种情况讨论． 3．记牢一元二次不等式恒成立的条件(1)ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b 2－4ac <0.(2)ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a <0，b 2－4ac <0.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝2x 12是幂函数．( )(2)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点． ( ) (3)当n <0时，幂函数y ＝x n 是定义域上的减函数．( )(4)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈[a ，b ]的最值一定是4ac －b 24a.( )(5)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c，x ∈R 不可能是偶函数．( )(6)在y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)中，a 决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．( )答案：(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)√(教材习题改编)已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝⎛⎭⎫12，22，则k ＋α＝( )A.12B ．1C.32D ．2解析：选C.因为函数f (x )＝k ·x α是幂函数，所以k ＝1，又函数f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫12，22，所以⎝⎛⎭⎫12α＝22，解得α＝12，则k ＋α＝32. (教材习题改编)如图是①y ＝x a ；②y ＝x b ；③y ＝x c 在第一象限的图象，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c <b <aB ．a <b <cC ．b <c <aD ．a <c <b解析：选D.根据幂函数的性质，可知选D.(教材习题改编)已知函数f (x )＝x 2＋4ax 在区间(－∞，6)内单调递减，则a 的取值范围是( )A ．a ≥3B ．a ≤3C ．a <－3D ．a ≤－3 解析：选D.函数f (x )＝x 2＋4ax 的图象是开口向上的抛物线，其对称轴是x ＝－2a ，由函数在区间(－∞，6)内单调递减可知，区间(－∞，6)应在直线x ＝－2a 的左侧，所以－2a ≥6，解得a ≤－3，故选D.(教材习题改编)函数g (x )＝x 2－2x (x ∈[0，3])的值域是 ( ) A ．[0，3] B ．[－1，3] C ．[－1，0]D ．[1，3]解析：选B.由g (x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，x ∈[0，3]，得g (x )在[0，1]上是减函数，在[1，3]上是增函数．所以g (x )min ＝g (1)＝－1，而g (0)＝0，g (3)＝3. 所以g (x )的值域为[－1，3]，故选B.已知函数f (x )＝ax 2＋x ＋5的图象在x 轴上方，则a 的取值范围是________．解析：因为函数f (x )＝ax 2＋x ＋5的图象在x 轴上方，所以⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝12－20a <0，解得a >120. 答案：⎝⎛⎭⎫120，＋∞幂函数的图象及性质(自主练透)1．幂函数y ＝f (x )的图象经过点(3，33)，则f (x )是( ) A ．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 B ．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数 C ．奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数 D ．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数解析：选C.设幂函数f (x )＝x α，代入点(3，33)，得：33＝3α，解得α＝13，所以f (x )＝x 13，可知函数为奇函数，在(0，＋∞)上单调递增．2．当x ∈(0，＋∞)时，幂函数y ＝(m 2＋m －1)x －5m －3为减函数，则实数m 的值为( ) A ．－2 B ．1C ．1或－2D ．m ≠－1±52解析：选B.因为函数y ＝(m 2＋m －1)x－5m －3既是幂函数又是(0，＋∞)上的减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝1，－5m －3<0，解得m ＝1. 3．若a ＝⎝⎛⎭⎫1223，b ＝⎝⎛⎭⎫1523，c ＝⎝⎛⎭⎫1213，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a <b <c B ．c <a <b C ．b <c <aD ．b <a <c解析：选D.因为y ＝x 23在第一象限内是增函数，所以a ＝⎝⎛⎭⎫1223>b ＝⎝⎛⎭⎫1523，因为y ＝⎝⎛⎭⎫12x是减函数，所以a ＝⎝⎛⎭⎫1223<c ＝⎝⎛⎭⎫1213，所以b <a <c . 4．若(a ＋1)12<(3－2a )12，则实数a 的取值范围是________．解析：易知函数y ＝x 12的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增函数， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥0，3－2a ≥0，a ＋1<3－2a ，解得－1≤a <23.答案：⎣⎡⎭⎫－1，23幂函数的性质与图象特征的关系(1)幂函数的形式是y ＝x α(α∈R )，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．(2)判断幂函数y ＝x α(α∈R )的奇偶性时，当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断． (3)若幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上单调递增，则α>0，若在(0，＋∞)上单调递减，则α<0.二次函数的解析式(师生共研)(一题多解)已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．【解】 法一：(利用一般式) 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.所以所求二次函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 法二：(利用顶点式) 设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)． 因为f (2)＝f (－1)，所以抛物线的对称轴为x ＝2＋（－1）2＝12.所以m ＝12.又根据题意函数有最大值8，所以n ＝8，所以f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x －122＋8. 因为f (2)＝－1，所以a ⎝⎛⎭⎫2－122＋8＝－1， 解得a ＝－4，所以f (x )＝－4⎝⎛⎭⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7. 法三：(利用零点式)由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1， 故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)， 即f (x )＝ax 2－ax －2a －1.又函数有最大值8，即4a （－2a －1）－a 24a ＝8.解得a ＝－4或a ＝0(舍去)，所以所求函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.求二次函数解析式的方法根据已知条件确定二次函数的解析式，一般用待定系数法，但所给条件不同选取的求解方法也不同，选择规律如下：1．已知二次函数f (x )有两个零点0和－2，且它有最小值－1，则f (x )的解析式为f (x )＝________．解析：由二次函数f (x )有两个零点0和－2，可设f (x )＝a (x ＋2)x ，则f (x )＝a (x 2＋2x )＝a (x ＋1)2－a .又f (x )有最小值－1，则a ＝1.所以f (x )＝x 2＋2x . 答案：x 2＋2x2．已知二次函数y ＝f (x )的顶点坐标为(－32，49)，且方程f (x )＝0的两个实根之差等于7，则此二次函数的解析式是________．解析：设f (x )＝a (x ＋32)2＋49(a ≠0)，方程a (x ＋32)2＋49＝0的两个根分别为x 1，x 2，则|x 1－x 2|＝2－49a＝7，所以a ＝－4，所以f (x )＝－4x 2－12x ＋40. 答案：f (x )＝－4x 2－12x ＋40二次函数的图象与性质(多维探究) 角度一 二次函数的图象已知abc >0，则二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )【解析】 A 项，因为a <0，－b2a <0，所以b <0.又因为abc >0，所以c >0，而f (0)＝c <0，故A 错． B 项，因为a <0，－b2a>0，所以b >0.又因为abc >0，所以c <0，而f (0)＝c >0，故B 错． C 项，因为a >0，－b2a <0，所以b >0.又因为abc >0，所以c >0，而f (0)＝c <0，故C 错．D 项，因为a >0，－b2a >0，所以b <0，因为abc >0，所以c <0，而f (0)＝c <0，故选D.【答案】 D角度二 二次函数的单调性函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a 的取值范围是________．【解析】 当a ＝0时，f (x )＝－3x ＋1在[－1，＋∞)上递减，满足条件． 当a ≠0时，f (x )的对称轴为x ＝3－a2a ，由f (x )在[－1，＋∞)上递减知⎩⎪⎨⎪⎧a <03－a 2a ≤－1，解得－3≤a <0.综上，a 的取值范围为[－3，0]． 【答案】 [－3，0][迁移探究] (变条件)若函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1的单调减区间是[－1，＋∞)，则a 为何值？解：因为函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1的单调减区间为[－1，＋∞)，所以⎩⎪⎨⎪⎧a <0，a －3－2a ＝－1，解得a ＝－3.角度三 二次函数的最值问题设函数f (x )＝x 2－2x ＋2，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，求函数f (x )的最小值．【解】 f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，函数图象的对称轴为x ＝1.当t ＋1<1，即t <0时，函数图象如图(1)所示，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为减函数，所以最小值为f (t ＋1)＝t 2＋1；当t ≤1≤t ＋1，即0≤t ≤1时，函数图象如图(2)所示，在对称轴x ＝1处取得最小值，最小值为f (1)＝1；当t >1时，函数图象如图(3)所示，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为增函数，所以最小值f (t )＝t 2－2t ＋2.综上可知，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋1，t <0，1，0≤t ≤1，t 2－2t ＋2，t >1.角度四 二次函数中的恒成立问题(1)已知函数f (x )＝x 2－x ＋1，在区间[－1，1]上不等式f (x )>2x ＋m 恒成立，则实数m 的取值范围是________.(2)已知a 是实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3在x ∈[－1，1]上恒小于零，则实数a 的取值范围为________．【解析】 (1)f (x )>2x ＋m 等价于x 2－x ＋1>2x ＋m ，即x 2－3x ＋1－m >0， 令g (x )＝x 2－3x ＋1－m ，要使g (x )＝x 2－3x ＋1－m >0在[－1，1]上恒成立，只需使函数g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1，1]上的最小值大于0即可． 因为g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1，1]上单调递减， 所以g (x )min ＝g (1)＝－m －1. 由－m －1>0，得m <－1 .因此满足条件的实数m 的取值范围是(－∞，－1)． (2)2ax 2＋2x －3<0在[－1，1]上恒成立． 当x ＝0时，－3<0，成立；当x ≠0时，a <32⎝⎛⎭⎫1x －132－16，因为1x ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，当x ＝1时，右边取最小值12，所以a <12. 综上，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，12. 【答案】 (1)(－∞，－1) (2)⎝⎛⎭⎫－∞，12解决二次函数图象与性质问题时应注意的三点(1)抛物线的开口，对称轴位置，定义区间三者相互制约，要注意分类讨论． (2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解)．(3)由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．两种思路都是将问题归结为求函数的最值或值域．1．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则它的图象可能是( )解析：选D.由a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，得a >0，c <0，所以函数图象开口向上，排除A ，C.又f (0)＝c <0，所以排除B ，故选D.2．已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，x ∈[－4，6]． (1)当a ＝－2时，求f (x )的最值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－4，6]上是单调函数． 解：(1)当a ＝－2时，f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，由于x ∈[－4，6]， 所以f (x )在[－4，2]上单调递减，在[2，6]上单调递增， 所以f (x )的最小值是f (2)＝－1， 又f (－4)＝35，f (6)＝15， 故f (x )的最大值是35.(2)由于函数f (x )的图象开口向上，对称轴是x ＝－a ，所以要使f (x )在[－4，6]上是单调函数，应有－a ≤－4或－a ≥6，即a ≤－6或a ≥4，故a 的取值范围是(－∞，－6]∪[4，＋∞)．分类讨论思想在二次函数问题中的应用已知函数f (x )＝ax 2－2x (0≤x ≤1)，求函数f (x )的最小值． 【解】 (1)当a ＝0时，f (x )＝－2x 在[0，1]上单调递减， 所以f (x )min ＝f (1)＝－2.(2)当a >0时，f (x )＝ax 2－2x 的图象开口向上且对称轴为x ＝1a .①当0<1a ≤1，即a ≥1时，f (x )＝ax 2－2x 的对称轴在(0，1]内，所以f (x )在⎣⎡⎦⎤0，1a 上单调递减，在⎣⎡⎦⎤1a ，1上单调递增．所以f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝1a －2a ＝－1a . ②当1a>1，即0<a <1时，f (x )＝ax 2－2x 的对称轴在[0，1]的右侧， 所以f (x )在[0，1]上单调递减． 所以f (x )min ＝f (1)＝a －2.(3)当a <0时，f (x )＝ax 2－2x 的图象开口向下且对称轴x ＝1a <0，在y 轴的左侧，所以f (x )＝ax 2－2x 在[0，1]上单调递减， 所以f (x )min ＝f (1)＝a －2.综上所述，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧a －2，a <1，－1a，a ≥1.二次函数是单峰函数(在定义域上只有一个最值点的函数)，x ＝－b2a 为其最值点横坐标，在其两侧二次函数具有相反的单调性，当已知二次函数在某区间上的最值求参数时，要根据对称轴与已知区间的位置关系进行分类讨论确定各种情况最值，建立方程求解参数．已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在区间[－1，2]上有最大值4，求实数a 的值． 解：f (x )＝a (x ＋1)2＋1－a .(1)当a ＝0时，函数f (x )在区间[－1，2]上的值为常数1，不符合题意，舍去； (2)当a >0时，函数f (x )在区间[－1，2]上是增函数，最大值为f (2)＝8a ＋1＝4，解得a ＝38； (3)当a <0时，函数f (x )在区间[－1，2]上是减函数，最大值为f (－1)＝1－a ＝4，解得a ＝－3.综上可知，a 的值为38或－3.[基础题组练]1．幂函数y ＝x m 2－4m (m ∈Z )的图象如图所示，则m 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C.因为y ＝x m 2－4m (m ∈Z )的图象与坐标轴没有交点，所以m 2－4m <0，即0<m <4. 又因为函数的图象关于y 轴对称，且m ∈Z ， 所以m 2－4m 为偶数，因此m ＝2.2．已知幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)·x n 2－3n (n ∈Z )的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为( )A ．－3B ．1C ．2D ．1或2解析：选B.由于f (x )为幂函数，所以n 2＋2n －2＝1，解得n ＝1或n ＝－3，当n ＝1时，函数f (x )＝x－2为偶函数，其图象关于y 轴对称，且f (x )在(0，＋∞)上是减函数，所以n ＝1满足题意；当n ＝－3时，函数f (x )＝x 18为偶函数，其图象关于y 轴对称，而f (x )在(0，＋∞)上是增函数，所以n ＝－3不满足题意，舍去．故选B.3．对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)与二次函数y ＝(a －1)x 2－x 在同一坐标系内的图象可能是( )解析：选A.当0<a <1时，y ＝log a x 为减函数，y ＝(a －1)x 2－x 开口向下，其对称轴为x ＝12（a －1）<0，排除C ，D ；当a >1时，y ＝log a x 为增函数，y ＝(a －1)x 2－x 开口向上，其对称轴为x ＝12（a －1）>0，排除B.故选A.4．若二次函数y ＝kx 2－4x ＋2在区间[1，2]上是单调递增函数，则实数k 的取值范围为( )A ．[2，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，0)D ．(－∞，2)解析：选A.二次函数y ＝kx 2－4x ＋2的对称轴为x ＝2k ，当k >0时，要使函数y ＝kx 2－4x＋2在区间[1，2]上是增函数，只需2k≤1，解得k ≥2.当k <0时，2k<0，此时抛物线的对称轴在区间[1，2]的左侧，该函数y ＝kx 2－4x ＋2在区间[1，2]上是减函数，不符合要求．综上可得实数k 的取值范围是[2，＋∞)．5．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，且2是f (x )的一个零点，－1是f (x )的一个极小值点，那么不等式f (x )>0的解集是( )A ．(－4，2)B ．(－2，4)C ．(－∞，－4)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(4，＋∞)解析：选C.依题意，f (x )图象是开口向上的抛物线，对称轴为x ＝－1，方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根是2，另一个根是－4.因此f (x )＝a (x ＋4)(x －2)(a >0)，于是f (x )>0，解得x >2或x <－4.6．已知点(m ，8)在幂函数f (x )＝(m －1)x n的图象上，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫⎝⎛⎭⎫1312，b ＝f (ln π)，c ＝f ⎝⎛⎭⎫－12，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c <a <bB ．a <b <cC ．b <c <aD ．b <a <c解析：选A.根据题意，m －1＝1， 所以m ＝2，所以2n ＝8， 所以n ＝3，所以f (x )＝x 3.因为f (x )＝x 3是定义在R 上的增函数，又－12<0<⎝⎛⎭⎫1312<⎝⎛⎭⎫130＝1<ln π， 所以c <a <b .7．已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若f (1)＝f (3)>f (4)，则( ) A ．a >0，4a ＋b ＝0 B ．a <0，4a ＋b ＝0 C ．a >0，2a ＋b ＝0D ．a <0，2a ＋b ＝0解析：选B.若a ＝0，f (x )不满足题意，所以a ≠0，f (x )为二次函数． 因为f (1)＝f (3)，则x ＝2为对称轴，故－b2a ＝2，则4a ＋b ＝0，又f (3)>f (4)，在(2，＋∞)上f (x )为减函数，所以开口向下，a <0. 故选B.8．已知幂函数f (x )＝x －12，若f (a ＋1)<f (10－2a )，则实数a 的取值范围是________． 解析：因为f (x )＝x －12＝1x(x >0)，易知x ∈(0，＋∞)时f (x )为减函数， 又f (a ＋1)<f (10－2a )，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1>0，10－2a >0，a ＋1>10－2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a >－1，a <5，a >3，所以3<a <5. 答案：(3，5)9．已知二次函数的图象与x 轴只有一个交点，对称轴为x ＝3，与y 轴交于点(0，3)，则它的解析式为________．解析：由题意知，可设二次函数的解析式为y ＝a (x －3)2，又图象与y 轴交于点(0，3)， 所以3＝9a ，即a ＝13.所以y ＝13(x －3)2＝13x 2－2x ＋3.答案：y ＝13x 2－2x ＋310．若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1，2]上都是减函数，则实数a 的取值范围是________．解析：因为f (x )＝－x 2＋2ax 在[1，2]上是减函数，所以a ≤1，又因为g (x )＝ax ＋1在[1，2]上是减函数，所以a >0，所以0<a ≤1.答案：(0，1]11．已知函数f (x )＝bx 2－2ax ＋a (a ，b ∈R )的图象过点⎝⎛⎭⎫12，14. (1)当a ＝2时，求函数y ＝log 12f (x )的单调增区间；(2)当a ＜0时，求使函数f (x )的定义域为[－1，1]，值域为[－2，2]的a 值． 解：因为f (x )＝bx 2－2ax ＋a 的图象过点⎝⎛⎭⎫12，14， 所以b ＝1，(1)当a ＝2时，f (x )＝x 2－4x ＋2， 令f (x )＞0可得， x ＞2＋2或x ＜2－2，所以f (x )在(2＋2，＋∞)上单调递增，在(－∞，2－2)上单调递减， y ＝log 12t 在(0，＋∞)上单调递减，根据复合函数的单调性可知函数y ＝log 12f (x )的单调增区间为(－∞，2－2)．(2)当a ＜0时，函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 的对称轴x ＝a ＜0， ①a ≤－1时，函数f (x )在[－1，1]上单调递增，当x ＝－1时，函数有最小值f (－1)＝1＋3a ＝－2， 当x ＝1时，函数有最大值f (1)＝1－a ＝2， 解得a ＝－1，②0＞a ＞－1时，函数在[－1，1]上先减后增，当x ＝a 时，函数有最小值f (a )＝a －a 2＝－2，解得，a ＝2(舍)或a ＝－1(舍)， 综上可得，a ＝－1.12．已知函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x －3.(1)当a ＝2，x ∈[－2，3]时，求函数f (x )的值域；(2)若函数f (x )在[－1，3]上的最大值为1，求实数a 的值． 解：(1)当a ＝2时，f (x )＝x 2＋3x －3，x ∈[－2，3]， 对称轴x ＝－32∈[－2，3]，所以f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫－32＝94－92－3＝－214， f (x )max ＝f (3)＝15，所以函数f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤－214，15. (2)对称轴为x ＝－2a －12.①当－2a －12≤1，即a ≥－12时，f (x )max ＝f (3)＝6a ＋3，所以6a ＋3＝1，即a ＝－13满足题意；②当－2a －12>1，即a <－12时，f (x )max ＝f (－1)＝－2a －1，所以－2a －1＝1，即a ＝－1满足题意． 综上可知，a ＝－13或－1.[综合题组练]1．已知二次函数f (x )满足f (2＋x )＝f (2－x )，且f (x )在[0，2]上是增函数，若f (a )≥f (0)，则实数a 的取值范围是 ( )A ．[0，＋∞)B ．(－∞，0]C ．[0，4]D ．(－∞，0]∪[4，＋∞)解析：选C.由f (2＋x )＝f (2－x )可知，函数f (x )图象的对称轴为x ＝2＋x ＋2－x2＝2，又函数f (x )在[0，2]上单调递增，所以由f (a )≥f (0)可得0≤a ≤4，故选C.2．(应用型)已知二次函数f (x )＝2ax 2－ax ＋1(a <0)，若x 1<x 2，x 1＋x 2＝0，则f (x 1)与f (x 2)的大小关系为( )A ．f (x 1)＝f (x 2)B ．f (x 1)>f (x 2)C ．f (x 1)<f (x 2)D ．与a 值有关解析：选C.该二次函数的图象开口向下，对称轴为直线x ＝14，又依题意，得x 1<0，x 2>0，又x 1＋x 2＝0， 所以当x 1，x 2在对称轴的两侧时， 14－x 1>x 2－14，故f (x 1)<f (x 2)． 当x 1，x 2都在对称轴的左侧时， 由单调性知f (x 1)<f (x 2)． 综上，f (x 1)<f (x 2)．3．(创新型)设f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若函数y ＝f (x )－g (x )在x ∈[a ，b ]上有两个不同的零点，则称f (x )和g (x )在[a ，b ]上是“关联函数”，区间[a ，b ]称为“关联区间”．若f (x )＝x 2－3x ＋4与g (x )＝2x ＋m 在[0，3]上是“关联函数”，则m 的取值范围为________．解析：由题意知，y ＝f (x )－g (x )＝x 2－5x ＋4－m 在[0，3]上有两个不同的零点．在同一直角坐标系下作出函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0，3])的图象如图所示，结合图象可知，当x ∈[2，3]时，y ＝x 2－5x ＋4∈⎣⎡⎦⎤－94，－2，故当m ∈⎝⎛⎦⎤－94，－2时，函数y ＝m 与y ＝x 2－5x ＋4(x ∈[0，3])的图象有两个交点．答案：⎝⎛⎦⎤－94，－2 4．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0，b ∈R ，c ∈R )． (1)若函数f (x )的最小值是f (－1)＝0，且c ＝1，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），x ＞0，－f （x ），x ＜0，求F (2)＋F (－2)的值；(2)若a ＝1，c ＝0，且|f (x )|≤1在区间(0，1]上恒成立，试求b 的取值范围． 解：(1)由已知c ＝1，a －b ＋c ＝0， 且－b2a ＝－1，解得a ＝1，b ＝2， 所以f (x )＝(x ＋1)2.所以F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋1）2，x ＞0，－（x ＋1）2，x ＜0. 所以F (2)＋F (－2)＝(2＋1)2＋[－(－2＋1)2]＝8.(2)由题意知f (x )＝x 2＋bx ，原命题等价于－1≤x 2＋bx ≤1在(0，1]上恒成立， 即b ≤1x －x 且b ≥－1x－x 在(0，1]上恒成立．又当x ∈(0，1]时，1x －x 的最小值为0，－1x －x 的最大值为－2.所以－2≤b ≤0.故b 的取值范围是[－2，0]．。
2020年高考理科数学一轮总复习：二次函数与幂函数
2020年高考理科数学一轮总复习：二次函数与幂函数第4讲 二次函数与幂函数1．幂函数(1)定义：形如y ＝x α(α∈R )的函数称为幂函数，其中底数x 是自变量，α为常数．常见的五类幂函数为y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝x －1.(2)五种幂函数的图象(3)性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减． 2．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． ②顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)． ③零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． (2)二次函数的图象和性质(－∞，＋∞)(－∞，＋∞)导师提醒1．巧记三类幂函数的图象特征(1)当α<0时，函数图象与坐标轴没有交点，类似于y ＝x －1的图象，且在第一象限内，逆时针方向指数在增大．(2)当0<α<1时，函数图象倾向x 轴，类似于y ＝x 12的图象．(3)当α>1时，函数图象倾向y 轴，类似于y ＝x 3的图象，且在第一象限内，逆时针方向指数在增大．2．关注一个易错点注意二次项系数对函数性质的影响，经常对二次项系数分大于零与小于零两种情况讨论． 3．记牢一元二次不等式恒成立的条件 (1)ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b 2－4ac <0.(2)ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a <0，b 2－4ac <0.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝2x 12是幂函数．( )(2)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点． ( ) (3)当n <0时，幂函数y ＝x n 是定义域上的减函数．( ) (4)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈[a ，b ]的最值一定是4ac －b 24a.( ) (5)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈R不可能是偶函数．( )(6)在y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)中，a 决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．( )答案：(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)√(教材习题改编)已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝⎛⎭⎫12，22，则k ＋α＝( )A.12B ．1C.32D ．2解析：选C.因为函数f (x )＝k ·x α是幂函数，所以k ＝1，又函数f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫12，22，所以⎝⎛⎭⎫12α＝22，解得α＝12，则k ＋α＝32. (教材习题改编)如图是①y ＝x a ；②y ＝x b ；③y ＝x c 在第一象限的图象，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c <b <aB ．a <b <cC ．b <c <aD ．a <c <b解析：选D.根据幂函数的性质，可知选D.(教材习题改编)已知函数f (x )＝x 2＋4ax 在区间(－∞，6)内单调递减，则a 的取值范围是( )A ．a ≥3B ．a ≤3C ．a <－3D ．a ≤－3 解析：选D.函数f (x )＝x 2＋4ax 的图象是开口向上的抛物线，其对称轴是x ＝－2a ，由函数在区间(－∞，6)内单调递减可知，区间(－∞，6)应在直线x ＝－2a 的左侧，所以－2a ≥6，解得a ≤－3，故选D.(教材习题改编)函数g (x )＝x 2－2x (x ∈[0，3])的值域是 ( ) A ．[0，3] B ．[－1，3] C ．[－1，0]D ．[1，3]解析：选B.由g (x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，x ∈[0，3]，得g (x )在[0，1]上是减函数，在[1，3]上是增函数．所以g (x )min ＝g (1)＝－1，而g (0)＝0，g (3)＝3. 所以g (x )的值域为[－1，3]，故选B.已知函数f (x )＝ax 2＋x ＋5的图象在x 轴上方，则a 的取值范围是________．解析：因为函数f (x )＝ax 2＋x ＋5的图象在x 轴上方，所以⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝12－20a <0，解得a >120. 答案：⎝⎛⎭⎫120，＋∞幂函数的图象及性质(自主练透)1．幂函数y ＝f (x )的图象经过点(3，33)，则f (x )是( ) A ．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 B ．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数 C ．奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数 D ．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数解析：选C.设幂函数f (x )＝x α，代入点(3，33)，得：33＝3α，解得α＝13，所以f (x )＝x 13，可知函数为奇函数，在(0，＋∞)上单调递增．2．当x ∈(0，＋∞)时，幂函数y ＝(m 2＋m －1)x －5m －3为减函数，则实数m 的值为( ) A ．－2 B ．1C ．1或－2D ．m ≠－1±52解析：选B.因为函数y ＝(m 2＋m －1)x－5m －3既是幂函数又是(0，＋∞)上的减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝1，－5m －3<0，解得m ＝1. 3．若a ＝⎝⎛⎭⎫1223，b ＝⎝⎛⎭⎫1523，c ＝⎝⎛⎭⎫1213，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a <b <c B ．c <a <b C ．b <c <aD ．b <a <c解析：选D.因为y ＝x 23在第一象限内是增函数，所以a ＝⎝⎛⎭⎫1223>b ＝⎝⎛⎭⎫1523，因为y ＝⎝⎛⎭⎫12x是减函数，所以a ＝⎝⎛⎭⎫1223<c ＝⎝⎛⎭⎫1213，所以b <a <c . 4．若(a ＋1)12<(3－2a )12，则实数a 的取值范围是________．解析：易知函数y ＝x 12的定义域为[0，＋∞)，在定义域内为增函数， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥0，3－2a ≥0，a ＋1<3－2a ，解得－1≤a <23.答案：⎣⎡⎭⎫－1，23幂函数的性质与图象特征的关系(1)幂函数的形式是y ＝x α(α∈R )，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．(2)判断幂函数y ＝x α(α∈R )的奇偶性时，当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断． (3)若幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上单调递增，则α>0，若在(0，＋∞)上单调递减，则α<0.二次函数的解析式(师生共研)(一题多解)已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．【解】 法一：(利用一般式) 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.所以所求二次函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 法二：(利用顶点式) 设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)． 因为f (2)＝f (－1)，所以抛物线的对称轴为x ＝2＋（－1）2＝12.所以m ＝12.又根据题意函数有最大值8，所以n ＝8，所以f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x －122＋8. 因为f (2)＝－1，所以a ⎝⎛⎭⎫2－122＋8＝－1， 解得a ＝－4，所以f (x )＝－4⎝⎛⎭⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7. 法三：(利用零点式)由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1， 故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)， 即f (x )＝ax 2－ax －2a －1.又函数有最大值8，即4a （－2a －1）－a 24a ＝8.解得a ＝－4或a ＝0(舍去)，所以所求函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.求二次函数解析式的方法根据已知条件确定二次函数的解析式，一般用待定系数法，但所给条件不同选取的求解方法也不同，选择规律如下：1．已知二次函数f (x )有两个零点0和－2，且它有最小值－1，则f (x )的解析式为f (x )＝________．解析：由二次函数f (x )有两个零点0和－2，可设f (x )＝a (x ＋2)x ，则f (x )＝a (x 2＋2x )＝a (x ＋1)2－a .又f (x )有最小值－1，则a ＝1.所以f (x )＝x 2＋2x . 答案：x 2＋2x2．已知二次函数y ＝f (x )的顶点坐标为(－32，49)，且方程f (x )＝0的两个实根之差等于7，则此二次函数的解析式是________．解析：设f (x )＝a (x ＋32)2＋49(a ≠0)，方程a (x ＋32)2＋49＝0的两个根分别为x 1，x 2，则|x 1－x 2|＝2－49a＝7，所以a ＝－4，所以f (x )＝－4x 2－12x ＋40. 答案：f (x )＝－4x 2－12x ＋40二次函数的图象与性质(多维探究) 角度一 二次函数的图象已知abc >0，则二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )【解析】 A 项，因为a <0，－b2a <0，所以b <0.又因为abc >0，所以c >0，而f (0)＝c <0，故A 错． B 项，因为a <0，－b2a>0，所以b >0.又因为abc >0，所以c <0，而f (0)＝c >0，故B 错． C 项，因为a >0，－b2a <0，所以b >0.又因为abc >0，所以c >0，而f (0)＝c <0，故C 错．D 项，因为a >0，－b2a >0，所以b <0，因为abc >0，所以c <0，而f (0)＝c <0，故选D.【答案】 D角度二 二次函数的单调性函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a 的取值范围是________．【解析】 当a ＝0时，f (x )＝－3x ＋1在[－1，＋∞)上递减，满足条件． 当a ≠0时，f (x )的对称轴为x ＝3－a2a ，由f (x )在[－1，＋∞)上递减知⎩⎪⎨⎪⎧a <03－a 2a ≤－1，解得－3≤a <0.综上，a 的取值范围为[－3，0]． 【答案】 [－3，0][迁移探究] (变条件)若函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1的单调减区间是[－1，＋∞)，则a 为何值？解：因为函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1的单调减区间为[－1，＋∞)，所以⎩⎪⎨⎪⎧a <0，a －3－2a ＝－1，解得a ＝－3.角度三 二次函数的最值问题设函数f (x )＝x 2－2x ＋2，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，求函数f (x )的最小值．【解】 f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，函数图象的对称轴为x ＝1.当t ＋1<1，即t <0时，函数图象如图(1)所示，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为减函数，所以最小值为f (t ＋1)＝t 2＋1；当t ≤1≤t ＋1，即0≤t ≤1时，函数图象如图(2)所示，在对称轴x ＝1处取得最小值，最小值为f (1)＝1；当t >1时，函数图象如图(3)所示，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为增函数，所以最小值f (t )＝t 2－2t ＋2.综上可知，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋1，t <0，1，0≤t ≤1，t 2－2t ＋2，t >1.角度四 二次函数中的恒成立问题(1)已知函数f (x )＝x 2－x ＋1，在区间[－1，1]上不等式f (x )>2x ＋m 恒成立，则实数m 的取值范围是________.(2)已知a 是实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3在x ∈[－1，1]上恒小于零，则实数a 的取值范围为________．【解析】 (1)f (x )>2x ＋m 等价于x 2－x ＋1>2x ＋m ，即x 2－3x ＋1－m >0， 令g (x )＝x 2－3x ＋1－m ，要使g (x )＝x 2－3x ＋1－m >0在[－1，1]上恒成立，只需使函数g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1，1]上的最小值大于0即可． 因为g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在[－1，1]上单调递减， 所以g (x )min ＝g (1)＝－m －1. 由－m －1>0，得m <－1 .因此满足条件的实数m 的取值范围是(－∞，－1)． (2)2ax 2＋2x －3<0在[－1，1]上恒成立． 当x ＝0时，－3<0，成立；当x ≠0时，a <32⎝⎛⎭⎫1x －132－16，因为1x ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，当x ＝1时，右边取最小值12，所以a <12. 综上，实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，12. 【答案】 (1)(－∞，－1) (2)⎝⎛⎭⎫－∞，12解决二次函数图象与性质问题时应注意的三点(1)抛物线的开口，对称轴位置，定义区间三者相互制约，要注意分类讨论． (2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解)．(3)由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．两种思路都是将问题归结为求函数的最值或值域．1．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则它的图象可能是( )解析：选D.由a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，得a >0，c <0，所以函数图象开口向上，排除A ，C.又f (0)＝c <0，所以排除B ，故选D.2．已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，x ∈[－4，6]． (1)当a ＝－2时，求f (x )的最值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－4，6]上是单调函数． 解：(1)当a ＝－2时，f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，由于x ∈[－4，6]， 所以f (x )在[－4，2]上单调递减，在[2，6]上单调递增， 所以f (x )的最小值是f (2)＝－1， 又f (－4)＝35，f (6)＝15， 故f (x )的最大值是35.(2)由于函数f (x )的图象开口向上，对称轴是x ＝－a ，所以要使f (x )在[－4，6]上是单调函数，应有－a ≤－4或－a ≥6，即a ≤－6或a ≥4，故a 的取值范围是(－∞，－6]∪[4，＋∞)．分类讨论思想在二次函数问题中的应用已知函数f (x )＝ax 2－2x (0≤x ≤1)，求函数f (x )的最小值． 【解】 (1)当a ＝0时，f (x )＝－2x 在[0，1]上单调递减， 所以f (x )min ＝f (1)＝－2.(2)当a >0时，f (x )＝ax 2－2x 的图象开口向上且对称轴为x ＝1a .①当0<1a ≤1，即a ≥1时，f (x )＝ax 2－2x 的对称轴在(0，1]内，所以f (x )在⎣⎡⎦⎤0，1a 上单调递减，在⎣⎡⎦⎤1a ，1上单调递增．所以f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝1a －2a ＝－1a . ②当1a>1，即0<a <1时，f (x )＝ax 2－2x 的对称轴在[0，1]的右侧， 所以f (x )在[0，1]上单调递减． 所以f (x )min ＝f (1)＝a －2.(3)当a <0时，f (x )＝ax 2－2x 的图象开口向下且对称轴x ＝1a <0，在y 轴的左侧，所以f (x )＝ax 2－2x 在[0，1]上单调递减， 所以f (x )min ＝f (1)＝a －2.综上所述，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧a －2，a <1，－1a，a ≥1.二次函数是单峰函数(在定义域上只有一个最值点的函数)，x ＝－b2a 为其最值点横坐标，在其两侧二次函数具有相反的单调性，当已知二次函数在某区间上的最值求参数时，要根据对称轴与已知区间的位置关系进行分类讨论确定各种情况最值，建立方程求解参数．已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在区间[－1，2]上有最大值4，求实数a 的值． 解：f (x )＝a (x ＋1)2＋1－a .(1)当a ＝0时，函数f (x )在区间[－1，2]上的值为常数1，不符合题意，舍去； (2)当a >0时，函数f (x )在区间[－1，2]上是增函数，最大值为f (2)＝8a ＋1＝4，解得a ＝38； (3)当a <0时，函数f (x )在区间[－1，2]上是减函数，最大值为f (－1)＝1－a ＝4，解得a ＝－3.综上可知，a 的值为38或－3.[基础题组练]1．幂函数y ＝x m 2－4m (m ∈Z )的图象如图所示，则m 的值为( )A ．0B ．1。
2020届高三文理科数学一轮复习《二次函数与幂函数》专题汇编(学生版)
《二次函数与幂函数》专题1．幂函数的定义形如y ＝x α(α∈R)的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α为常数．对于幂函数，只讨论α＝1,2,3，12，－1时的情形．2．五种幂函数的图象3．五种幂函数的性质(1)幂函数的图像一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性．(2)幂函数的图像过定点(1,1)，如果幂函数的图像与坐标轴相交，则交点一定是原点． (3)当α＞0时，y ＝x α在[0，＋∞)上为增加的；当α＜0时，y ＝x α在(0，＋∞)上为减少的．题型一 幂函数的定义1．已知幂函数y ＝f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫13，3，则f ⎝⎛⎭⎫12＝________.2．幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)x m 的图象过点(2,4)，则m ＝( )A ．－2B ．－1C ．1D ．23．已知幂函数f (x )＝k ·x α的图像过点⎝⎛⎭⎫12，22，则k ＋α等于4．若y ＝ax 21-2a 是幂函数，则该函数的值域是________题型二 幂函数的性质及其应用1．如图是①y ＝x a ；②y ＝x b ；③y ＝x c 在第一象限的图像，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c ＜b ＜aB ．a ＜b ＜cC ．b ＜c ＜aD ．a ＜c ＜b2．与函数y ＝x 12－1的图象关于x 轴对称的图象大致是( )3．已知a ＝345，b ＝425，c ＝1215，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．b <a <cB ．a <b <cC ．c <b <aD ．c <a <b4．若a ＝⎝⎛⎭⎫1223，b ＝⎝⎛⎭⎫1523，c ＝⎝⎛⎭⎫1213，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＜b ＜cB ．c ＜a ＜bC ．b ＜c ＜aD ．b ＜a ＜c5．幂函数y ＝f (x )的图象经过点(3，33)，则f (x )是( )A ．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数B ．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数C ．奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数D ．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数6．幂函数y ＝x|m －1|与y ＝x 3m －m 2(m ∈Z)在(0，＋∞)上都是增函数，则满足条件的整数m的值为( )A ．0B ．1和2C ．2D ．0和37．已知点(m,8)在幂函数f (x )＝(m －1)x n的图象上，设a ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫⎝⎛⎭⎫1312，b ＝f (ln π)，c ＝f (2-12)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <c <bB ．a <b <cC ．b <c <aD ．b <a <c8．若(a ＋1) 12<(3－2a )12，则实数a 的取值范围是________．9．设a ，b 满足0<a <b <1，则下列不等式中正确的是( )A ．a a <a bB ．b a <b bC ．a a <b aD ．b b <a b10．已知函数f (x )＝x 2－m是定义在区间[－3－m ，m 2－m ]上的奇函数，则f (m )＝________.11．若(2m ＋1)12>(m 2＋m －1)12，则实数m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－5－12B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫5－12，＋∞ C ．(－1,2) D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫5－12，212．函数f (x )＝(m 2－m －1)x m 是幂函数，且在(0，＋∞)上为增函数，则实数m 的值是( )A ．－1B ．2C ．3D ．－1或2题型三 求二次函数的解析式1．已知二次函数f (x )是偶函数，且f (4)＝4f (2)＝16，则函数f (x )的解析式为________．2．已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．题型四 二次函数的图象与性质1．设abc >0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )2．若函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)对任意实数x 都有f (2＋x )＝f (2－x )，则( ) A ．f (2)<f (1)<f (4) B ．f (1)<f (2)<f (4) C ．f (2)<f (4)<f (1) D ．f (4)<f (2)<f (1)3．“a ＝1”是“函数f (x )＝x 2－4ax ＋3在区间[2，＋∞)上为增函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件题型五 二次函数的最值问题1．若函数f (x )＝x 2－3x －4的定义域为[0，m ]，值域为⎣⎡⎦⎤－254，－4，则m 的取值范围是( )A ．(0,4]B .⎣⎡⎦⎤32，4 C.⎣⎡⎦⎤32，3 D.⎣⎡⎭⎫32，＋∞2．已知函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x －3.(1)当a ＝2，x ∈[－2,3]时，求函数f (x )的值域； (2)若函数f (x )在[1,3]上的最大值为1，求实数a 的值．题型六与二次函数有关的恒成立问题1．等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是_______ 2．设函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范围．3．对任意k∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(k－4)x＋4－2k的值恒大于零，则x的取值范围是____ 4．当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4＜0恒成立，则m的取值范围是________．5．已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3在x∈[－1,1]上恒小于零，则实数a的取值范围为________．。
高中数学《幂函数》题型战法试题及答案
第二章 函数2.6.1幂函数（题型战法）知识梳理一 幂函数的概念一般地，函数y x α=称为幂函数，其中α为常数.注意：幂函数中底数是自变量，而指数函数中指数为自变量.二 幂函数的图像与性质（1）五个常见幂函数的图像： 如右图所示（2）五个常见幂函数的性质：函数 性质 y ＝x12y x =y ＝x 2 y ＝x 3 1y x -=定义域 R [)0+∞， R R ()(),00,-∞+∞ 值域 R [)0+∞，[)0+∞，R ()(),00,-∞+∞奇偶性奇非奇非偶偶奇奇单调性 R 上增[)0+∞，上增 (－∞，0)上减 [0，＋∞)上增R 上增(－∞，0)上减 (0，＋∞)上减公共点（1）所有的幂函数在区间()0+∞，上都有定义，因此在第一象限内都有图像，并且图像都过点()1,1.（2）如果0α>，幂函数图像过原点，并且在[)0+∞，上是增函数 （3）如果0α<，幂函数图像过原点，并且在[)0+∞，上是减函数 题型战法题型战法一 幂函数的概念典例1．下列函数是幂函数的是（ ）A ．2y x =B ．21y x =-C ．3y x =D ．2x y =变式1-1．下列函数是幂函数的是（ ） A ．22y x = B ．1y x -=- C ．31y x = D ．2x y =变式1-2．已知幂函数()y f x =的图象过点()2,8，则()2f -的值为（ ） A ．8 B ．8- C ．4 D ．4-变式1-3．已知幂函数()22233m m y m m x --=-+的图象不过原点，则实数m 的取值为（ ）A ．1B ．2C ．-2D ．1或2变式1-4．已知幂函数()(,)f x kx k R R αα=∈∈的图象过点1(2，则k α+等于（ ） A ．12 B ．1 C ．32D ．2题型战法二 幂函数的图像典例2．函数y =的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．变式2-1．已知幂函数()f x 的图象过点()9,3，则函数()f x 的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．变式2-2．如图，①①①①对应四个幂函数的图像，其中①对应的幂函数是（ ）A ．3y x =B ．2y xC ．y x =D ．58y x =变式2-3．图中C 1、C 2、C 3为三个幂函数y x α=在第一象限内的图象，则解析式中指数α的值依次可以是（ ）A ．12、3、1- B ．1-、3、12C ．12、1-、3D ．1-、12、3变式2-4．已知幂函数()f x x α=和()g x x β=，其中0αβ>>，则有下列说法： ①()f x 和()g x 图象都过点()1,1； ①()f x 和()g x 图象都过点(1,1)-；①在区间[1,)+∞上，增长速度更快的是()f x ； ①在区间[1,)+∞上，增长速度更快的是()g x . 则其中正确命题的序号是（ ） A ．①① B ．①①C ．①①D ．①①题型战法三 幂函数的定义域典例3．下列幂函数中，定义域为R 的是（ ） A ．1y x -= B ．12y x -=C ．13y x =D ．12y x =变式3-1．若()342x --有意义，则实数x 的取值范围是（ ） A ．[)2,+∞ B ．(],2-∞ C ．()2,+∞ D ．(),2-∞变式3-2．函数()()()102121f x x x -=-+-的定义域是（ ） A ．(],1-∞ B ．11,,122⎛⎫⎛⎫-∞⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．(),1-∞-D ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭变式3-3．5个幂函数：①2y x ；①45y x =；①54y x =；①23y x =；①45y x -=.其中定义域为R 的是（ ） A ．只有①① B ．只有①① C ．只有①① D ．只有①①变式3-4．若函数()12f x x -=则函数y ＝f (4 x －3)的定义域是( )A ．(－∞，＋∞)B ．3,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．3,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭题型战法四 幂函数的值域典例4．函数2y x 在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是（ ）A ．14B ．14-C ．4D ．4-变式4-1．在下列函数中，定义域和值域不同的是（ ） A ．13y x = B ．12y x =C ．53y x =D ．23y x =变式4-2．幂函数()y f x =的图象过点(，则函数()y x f x =-的值域是（ ） A ．(),-∞+∞ B ．1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭变式4-3．已知函数f (x )={3x −2,x ⩽1,x 12,1<x ⩽4,则函数()f x 值域是（ ）A ．(],2-∞B ．(]2,2-C ．(]1,4D ．(],4∞-变式4-4．已知幂函数()f x x α=1(2,)2，则函数()f x 的值域为 A ．(,0)-∞ B ．(0,)+∞C ．(,0)(0,)-∞⋃+∞D ．(,)-∞+∞题型战法五 幂函数的单调性典例5．下列函数在(0,)+∞上为减函数的是（ ）A ．y =B ．1y x=C ．2y xD ．y x =变式5-1．已知函数()122()43f x x x =-+的增区间为（ ）A ．(3,)+∞B ．(2,)+∞C ．(,2)-∞D ．(,1)-∞变式5-2．已知函数()()()2,16,(1aa x x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩）是减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．[)7,2--B ．(),2-∞-C ．(),7-∞-D ．()7,2--变式5-3．已知幂函数()()22244m m f x m m x -=-+在()0,∞+上是增函数，则实数m 的值为（ ） A ．1或3- B ．3 C ．1- D ．1-或3变式5-4．已知幂函数()()282mf x m m x =-在()0,∞+上为增函数，则()4f =（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8题型战法六 幂函数的奇偶性典例6．下列函数是奇函数的为（ ） A ．2x y =B ．1y x -=C ．12log y x= D ．2yx变式6-1．下列函数中，值域是[)0,∞+且为偶函数的是（ ） A ．2y xB ．e e x x y -=+C ．lg y x =D ．23y x =变式6-2．下列函数中，既是奇函数又是定义域内的增函数为（ ） A ．tan y x = B ．2log y x = C ．2y x= D ．3y x =变式6-3．设1,1,22α⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭，使函数y x α=的定义域是R ，且为偶函数的所有α的值是（ ） A ．2 B ．1，2 C ．12，2D ．12，1，2变式6-4．已知幂函数()()2133a f x a a x +=-+为偶函数，则实数a 的值为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．1或2题型战法七 比较大小与解不等式典例7．设0.2 1.20.21.2,0.9,0.3a b c -===，则a ，b ，c 大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c a b >> D ．c b a >>变式7-1．0.20.21210.5,log ,0.43a b c ===，则（ ）A ．a c b >>B ．b c a >>C ．b a c >>D ．c a b >>变式7-2．设120.7a =，120.8b =，31log 2c =，则（ ） A ．c b a << B ．c a b << C ．a b c<< D ．b a c <<变式7-3．已知1122(52)(1)m m -<-，则m 的取值范围是（ ） A ．(2,+∞) B ．52,2⎛⎤⎥⎝⎦C ．(),2-∞ D ．[)1,2变式7-4．若1122(1)(32)a a +<-，则实数a 的取值范围是（ ） A ．31,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．21,3⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦第二章 函数2.6.1幂函数（题型战法）知识梳理一 幂函数的概念一般地，函数y x α=称为幂函数，其中α为常数.注意：幂函数中底数是自变量，而指数函数中指数为自变量.二 幂函数的图像与性质（1）五个常见幂函数的图像：如右图所示（2）五个常见幂函数的性质：()0,+∞()0,+∞0)上减∞)上减题型战法题型战法一幂函数的概念典例1．下列函数是幂函数的是（）A．2=B．21y x=-y xC．3y=y x=D．2x【答案】C【解析】【分析】由幂函数定义可直接得到结果.【详解】形如y xα=为幂函数.y x=的函数为幂函数，则3故选：C.变式1-1．下列函数是幂函数的是（）A ．22y x =B ．1y x -=-C ．31y x =D ．2x y =【答案】C 【解析】 【分析】根据幂函数的定义判断. 【详解】形如y x α=（α为常数且R α∈）为幂函数， 所以，函数331=xy x -=为幂函数，函数22y x =、1y x -=-、2x y =均不是幂函数. 故选：C.变式1-2．已知幂函数()y f x =的图象过点()2,8，则()2f -的值为（ ） A ．8 B ．8- C ．4 D ．4-【答案】B 【解析】 【分析】设()af x x =，由已知条件求出a 的值，可得出函数()f x 的解析式，由此可求得()2f -的值. 【详解】设()a f x x =，由()228a f ==，可得3a =，则()3f x x =，因此，()()3228f -=-=-.故选：B.变式1-3．已知幂函数()22233m m y m m x --=-+的图象不过原点，则实数m 的取值为（ ）A ．1B ．2C ．-2D ．1或2【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，可知系数为1，指数应小于0，由此列出不等式组，解得答案. 【详解】由题意可知：2233120m m m m ⎧-+=⎨--<⎩，解得1m = ,经经验，符合题意， 故选：A.变式1-4．已知幂函数()(,)f x kx k R R αα=∈∈的图象过点1(2，则k α+等于（ ） A ．12 B ．1 C ．32D ．2【答案】A 【解析】 【分析】根据幂函数的定义，结合代入法进行求解即可. 【详解】因为()f x 是幂函数，所以1k =，又因为函数()f x 的图象过点1(2，所以1211()2222ααα-=⇒=⇒=-，因此12k α+=，故选：A题型战法二 幂函数的图像典例2．函数y = ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】根据幂函数的性质判断函数值、增长特点，即可确定大致图象. 【详解】由0y ≥，排除B 、D ，根据对应幂函数的性质，第一象限增速逐渐变慢，排除C. 故选：A.变式2-1．已知幂函数()f x 的图象过点()9,3，则函数()f x 的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】设出函数的解析式，根据幂函数()y f x =的图象过点(9,3)，构造方程求出指数的值， 【详解】设幂函数的解析式为()f x x α=， ①幂函数()y f x =的图象过点(9,3)， ①39α=， 解得12α=①()y f x ==[0,)+∞，且是增函数，当01x <<时，其图象在直线y x =的上方．对照选项可知C 满足题意． 故选:C ．变式2-2．如图，①①①①对应四个幂函数的图像，其中①对应的幂函数是（ ）A ．3y x =B ．2y xC ．y x =D ．58y x =【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图象求出幂函数的指数取值范围，得到正确答案. 【详解】根据函数图象可得：①对应的幂函数y x α=在[)0,∞+上单调递增，且增长速度越来越慢，故()0,1α∈，故D 选项符合要求. 故选：D变式2-3．图中C 1、C 2、C 3为三个幂函数y x α=在第一象限内的图象，则解析式中指数α的值依次可以是（ ）A ．12、3、1- B ．1-、3、12C ．12、1-、3D ．1-、12、3【答案】D 【解析】 【分析】根据幂函数y x α=在第一象限内的图象性质，结合选项即可得出指数α的可能取值． 【详解】由幂函数y x α=在第一象限内的图象，结合幂函数的性质， 可得：图中C 1对应的0α<，C 2对应的01α<<，C 3对应的1α>， 结合选项知，指数α的值依次可以是11,,32-． 故选：D.变式2-4．已知幂函数()f x x α=和()g x x β=，其中0αβ>>，则有下列说法： ①()f x 和()g x 图象都过点()1,1； ①()f x 和()g x 图象都过点(1,1)-；①在区间[1,)+∞上，增长速度更快的是()f x ； ①在区间[1,)+∞上，增长速度更快的是()g x . 则其中正确命题的序号是（ ） A ．①① B ．①①C ．①①D ．①①【答案】A 【解析】 【分析】由幂函数的性质进行分析判断即可 【详解】幂函数的图象过定点(1,1)，①正确，在区间[1,)+∞上，α越大y x α=增长速度更快，①正确， 故选：A.题型战法三 幂函数的定义域典例3．下列幂函数中，定义域为R 的是（ ） A ．1y x -= B ．12y x -=C ．13y x =D ．12y x =【答案】C 【解析】 【分析】直接根据幂函数的定义域可直接判断，偶次根式被开方式必须大于等于0才有意义，分式则必须分母不为0 【详解】对选项A ，则有：0x ≠对选项B ，则有：0x > 对选项C ，定义域为：R 对选项D ，则有：0x ≥故答案选：C变式3-1．若()342x --有意义，则实数x 的取值范围是（ ） A ．[)2,+∞ B ．(],2-∞ C ．()2,+∞ D ．(),2-∞【答案】C 【解析】 【分析】将分式指数幂化为根式，结合根式的性质可得出关于实数x 的不等式，即可解得实数x 的取值范围. 【详解】由负分数指数幂的意义可知，()342x --=所以20x ->，即2x >，因此x 的取值范围是()2,+∞． 故选：C.变式3-2．函数()())10211f x x x -=-+-的定义域是（ ） A ．(],1-∞ B ．11,,122⎛⎫⎛⎫-∞⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．(),1-∞-D ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】根据函数解析式有意义可得出关于实数x 的不等式组，由此可解得函数()f x 的定义域. 【详解】因为()()()()100212121f x x x x -=-+-=-， 则有10210x x ->⎧⎨-≠⎩，解得1x <且12x ≠，因此()f x 的定义域是11,,122⎛⎫⎛⎫-∞⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选：B.变式3-3．5个幂函数：①2y x ；①45y x =；①54y x =；①23y x =；①45y x -=.其中定义域为R 的是（ ） A ．只有①① B ．只有①① C ．只有①① D ．只有①①【答案】C 【解析】 【分析】分别写出所给函数的定义域，然后作出判断即可. 【详解】 ①2yx 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，①45y x =的定义域为R ， ①54y x =的定义域为(0,)+∞， ①23y x =的定义域为R ，①45y x -=的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，故选：C . 【点睛】本题考查幂函数的定义，侧重考查对基础知识的理解和掌握，属于基础题.变式3-4．若函数()12f x x -=则函数y ＝f (4 x －3)的定义域是( )A ．(－∞，＋∞)B ．3,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．3,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】 先求出()43f x -=，根据幂函数的定义域求解即可. 【详解】 幂函数()12f x x-==， ()43y f x =-=所以430x ->，所以34x >，所以函数()43y f x =-的定义域是3,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，故选D. 【点睛】本题主要考函数的定义域、不等式的解法，属于简单题.定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数()f x 的定义域为[],a b ，则函数()()f g x 的定义域由不等式()a g x b ≤≤求出.题型战法四 幂函数的值域典例4．函数2y x 在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是（ ）A ．14B ．14-C ．4D ．4-【答案】A 【解析】 【分析】 由于函数2y x 在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，从而可求出其最小值【详解】 ①函数2yx 在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，①2min 124y -==， 故选：A. 【点睛】此题考查由函数的单调性求最值，属于基础题变式4-1．在下列函数中，定义域和值域不同的是（ ） A ．13y x = B ．12y x =C ．53y x =D ．23y x =【答案】D 【解析】 【分析】把幂函数写成根式的形式即可求出定义域及值域，逐项分析即可得解. 【详解】由13y x ==x ∈R ,y R ∈，定义域、值域相同； 由12y x ==[0,)x ∈+∞，[0,)y ∈+∞，定义域、值域相同； 由53y x ==x ∈R ,，定义域、值域相同y R ∈； 由23y x ==x ∈R ，[0,)y ∈+∞，定义域、值域不相同. 故选：D变式4-2．幂函数()y f x =的图象过点(，则函数()y x f x =-的值域是（ ） A ．(),-∞+∞ B ．1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】设()af x x =，带点计算可得()12f x x =，得到12y x x =-，令12t x =转化为二次函数的值域求解即可. 【详解】设()af x x =，代入点(得2a =12a ∴=， ()12f x x ∴=则12y x x =-，令12t x =，0t ≥22111244t t t y ⎛⎫=--≥- ⎪⎝⎭∴=-函数()y x f x =-的值域是1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. 故选：C.变式4-3．已知函数f (x )={3x −2,x ⩽1,x 12,1<x ⩽4,则函数()f x 值域是（ ）A ．(],2-∞B ．(]2,2-C ．(]1,4D ．(],4∞-【答案】B 【解析】 【分析】结合分段函数的单调性来求得()f x 的值域. 【详解】当1x 吋，32x y =-单调递增，值域为(]2,1-；当14x <时，12y x =单调递增，值域为(]1,2，故函数值域为(]2,2-. 故选：B变式4-4．已知幂函数()f x x α=的图象过点1(2,)2，则函数()f x 的值域为 A ．(,0)-∞ B ．(0,)+∞ C ．(,0)(0,)-∞⋃+∞ D ．(,)-∞+∞【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：()f x x α=的图象过点1(2,)2()11212a a f x x -∴=∴=-∴=，值域为(,0)(0,)-∞⋃+∞考点：幂函数值域题型战法五 幂函数的单调性典例5．下列函数在(0,)+∞上为减函数的是（ ）A ．y =B ．1y x=C ．2y xD ．y x =【答案】B 【解析】 【分析】依据幂函数的性质去判断各选项的单调性即可解决. 【详解】选项A ：由12>可得12y x ==(0,)+∞上单调递增.不符合要求，排除；选项B ：由10-<可得11y x x-==在(0,)+∞上单调递减.符合要求，可选；选项C ：由20>可得2y x 在(0,)+∞上单调递增.不符合要求，排除；选项D ：由10>可得y x =在(0,)+∞上单调递增.不符合要求，排除. 故选：B变式5-1．已知函数()122()43f x x x =-+的增区间为（ ） A ．(3,)+∞ B ．(2,)+∞ C ．(,2)-∞ D ．(,1)-∞【答案】A 【解析】先求得函数的定义域，再令243t x x =-+，结合12y t =的单调性，利用复合函数的单调性求解. 【详解】 由2430x x -+≥， 解得3x ≥或1x ≤，因为243t x x =-+在(,1]-∞递减，在[3,)+∞递增， 又因为12y t =在[0,)+∞递增， 所以()f x 增区间为(3,)+∞ 故选：A变式5-2．已知函数()()()2,16,(1aa x x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩）是减函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)7,2-- B ．(),2-∞-C ．(),7-∞-D ．()7,2--【答案】A 【解析】 【分析】由分段函数()f x 是减函数及幂函数的单调性，可得()2001621a a a a ⎧+<⎪<⎨⎪-≤+⨯⎩，解不等式组即可得答案. 【详解】解：因为函数()()()2,16,(1aa x x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩）是减函数，所以()2001621a a a a ⎧+<⎪<⎨⎪-≤+⨯⎩，解得72a -≤<-，所以实数a 的取值范围是[)7,2--， 故选：A.变式5-3．已知幂函数()()22244m m f x m m x -=-+在()0,∞+上是增函数，则实数m 的值为（ ） A ．1或3- B ．3 C ．1- D ．1-或3【答案】B 【解析】 【分析】由函数是幂函数，解得3m =或1m =，再代入原函数，由函数在()0,∞+上是增函数确定最后的m 值. 【详解】①函数是幂函数，则2441m m -+=，①3m =或1m =.当3m =时()3f x x =在()0,∞+上是增函数，符合题意；当1m =时()1f x x -=在()0,∞+上是减函数，不合题意.故选：B.变式5-4．已知幂函数()()282mf x m m x =-在()0,∞+上为增函数，则()4f =（ ）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】A 【解析】 【分析】由于幂函数在在()0,∞+上为增函数，所以可得282100m m m ⎧--=⎨>⎩，求出m 的值，从而可求出幂函数的解析式，进而可求得答案 【详解】由题意得282100m m m ⎧--=⎨>⎩，得12m =，则()12f x x =，()42f =． 故选：A题型战法六 幂函数的奇偶性典例6．下列函数是奇函数的为（ ）A ．2x y =B ．1y x -=C ．12log y x =D ．2y x【答案】B【解析】【分析】奇函数应该满足()()f x f x =--，且定义域关于原点对称，对选项一一判断即可．【详解】奇函数应该满足()()f x f x =--，22x x -≠-，12log y x=的定义域为()0,∞+显然A,C,不成立，当0x ≠时，有()11x x --=--，所以1y x -=为奇函数，由()22x x -=可知，2y x 为偶函数. 故选：B ．变式6-1．下列函数中，值域是[)0,∞+且为偶函数的是（ ）A ．2y xB ．e e x x y -=+C ．lg y x =D ．23y x = 【答案】D【解析】【分析】根据函数的奇偶性和值域确定正确选项.【详解】2y x 的值域为()0,∞+，不符合题意，A 选项错误.e e 2x x y -=≥+，当0x =时等号成立，不符合题意，B 选项错误. lg y x =的定义域为()0,∞+，是非奇非偶函数，不符合题意，C 选项错误. 令()23f x x =，其定义域为R ，()()()2233f x x x f x =-=-=，所以()f x 是偶函数， 且230x ≥，即()f x 的值域为[)0,∞+，符合题意，D 选项正确.故选：D变式6-2．下列函数中，既是奇函数又是定义域内的增函数为（ ） A ．tan y x =B ．2log y x =C ．2y x =D ．3y x = 【答案】D【解析】【分析】根据初等函数的性质及奇函数的定义结合反例逐项判断后可得正确的选项.【详解】对于A ，tan y x =的定义域为|,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭，而233ππ>，但2tan tan 33ππ==，故tan y x =在定义域上不是增函数，故A 错误.对于B ，2log y x =的定义域为()0,+∞，它不关于原点对称，故该函数不是奇函数， 故B 错误.对于C ，因为21>时，2221<，故2y x=在定义域上不是增函数，故C 错误. 对于D ，因为3y x =为幂函数且幂指数为3，故其定义域为R ，且为增函数， 而()33-=-x x ，故3y x =为奇函数，符合.故选：D.变式6-3．设1,1,22α⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭，使函数y x α=的定义域是R ，且为偶函数的所有α的值是（ ）A ．2B ．1，2C ．12，2D ．12，1，2 【答案】A【解析】【分析】 把1,1,22α=分别代入验证即可.【详解】当12α=时，y x α==[)0,∞+，故12α≠；当1α=时，y x x α==，定义域为R ，但是为奇函数，故1α≠；当2α=时，2y x x α==，定义域为R ，为偶函数，故2α=.故选：A变式6-4．已知幂函数()()2133a f x a a x +=-+为偶函数，则实数a 的值为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．1或2【答案】C【解析】【分析】 由题意利用幂函数的定义和性质，得出结论．【详解】幂函数()()2133a f x a a x +=-+为偶函数，2331a a ∴-+=，且1a +为偶数，则实数1a =，故选：C题型战法七 比较大小与解不等式典例7．设0.2 1.20.21.2,0.9,0.3a b c -===，则a ，b ，c 大小关系为（ ） A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．c b a >>【答案】C【解析】【分析】利用有理指数幂和幂函数的单调性分别求得a ，b ，c 的范围即可得答案．【详解】200. 1.211.2a >==， 1.200.90.91b =<=， b a ∴<，又0.2y x =在(0,)+∞上单调递增，0.20.20.2101 1.20.3()3a -∴<=<=，b ac ∴<<，变式7-1．0.20.21210.5,log ,0.43a b c ===，则（ ）A ．a c b >>B ．b c a >>C ．b a c >>D ．c a b >>【答案】C【解析】【分析】 利用幂函数的单调性判断a b >，再利用对数函数的单调性、对数的换底公式即可求解．【详解】幂函数0.2y x =在(0,)+∞上单调递增， 00.20.20.50.50.4∴>>，1a c ∴>>， 1221log log 313b ==>， b ac ∴>>，故选：C ．变式7-2．设120.7a =，120.8b =，31log 2c =，则（ ） A ．c b a <<B ．c a b <<C ．a b c <<D ．b a c << 【答案】B【解析】【分析】根据函数单调性和中间值比较函数值大小.【详解】因为12y x =在[)0,∞+上单调递增，0.70.8<，所以121200780..b a <=<=，而331log log 102c =<=，故c a b <<. 故选：B变式7-3．已知1122(52)(1)m m -<-，则m 的取值范围是（ ） A ．(2,+∞)B ．52,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(),2-∞D ．[)1,2【答案】B由幂函数的性质，可得0521m m ≤-<-，解不等式组可得答案【详解】 解：因为1122(52)(1)m m -<-， 所以0521m m ≤-<-， 解得522m <≤，故选：B变式7-4．若1122(1)(32)a a +<-，则实数a 的取值范围是（ ） A ．31,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．21,3⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ C ．2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ D ．3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ 【答案】B【解析】首先利用幂函数的单调性得到10320132a a a a +≥⎧⎪-≥⎨⎪+<-⎩，再解不等式组即可. 【详解】 因为1122(1)(32)a a +<-，所以10320132a a a a +≥⎧⎪-≥⎨⎪<-⎩，解得213a -≤<. 故选：B。
备考2020年高考数学一轮复习：07 二次函数与幂函数
备考2020年高考数学一轮复习：07 二次函数与幂函数一、单选题(共15题；共30分)1．（2分）已知f(x)=ax2+x−a(−1≤x≤1)且|a|≤1,则|f(x)|的最大值为()A．54B．34C．3D．12．（2分）已知a∈{−1,2,12,3,13}，若f(x)=x a为奇函数，且在(0,+∞)上单调递增，则实数a的值是()A．−1,3B．13,3C．−1,13,3D．13,12,33．（2分）设a,b是关于x的一元二次方程x2−2mx+m+6=0的两个实根，则(a−1)2+ (b−1)2的最小值是（）A．−494B．18C．8D．-64．（2分）若幂函数f(x)的图象过点(2,√2)，则函数y=f(x)+1−x的最大值为（）A．1B．54C．2D．735．（2分）已知幂函数y=f(x)的图象过点(12,√22)，则log4f(2)的值为（）A．B．C．D．6．（2分）下图给出四个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是（）A．①，②，③，④B．①，②，③，④C．①，②，③，④D．①，②，③，④7．（2分）若函数f(x)=x2+(2a−1)x+1在区间(−∞,2]上是减函数，则实数a的取值范围是()A．B．C．D．8．（2分）已知幂函数f(x)=xα(α∈R)的图象过点(16,2)，若f(m)=3，则实数m的值为()A．9B．12C．27D．819．（2分）已知二次函数f(x)=x2+bx+c(b∈R,c∈R)，M,N分别是函数f(x)在区间[−1,1]上的最大值和最小值，则M−N的最小值（）A．B．C．D．10．（2分）已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)x n2－3n(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为()A．－3B．1C．2D．1或211．（2分）若(a+1)−12<(3−2a)−12，则a的取值范围是（）A．B．C．D．12．（2分）已知函数f(x)=(x−a)(x−b)（其中a>b）的图象如图所示，则函数g(x)=a x+b的图象大致是()A．B．.C．D．13．（2分）幂函数的图象过点(2,8), 则它的单调递增区间是（）A．(0,+∞)B．[0,+∞)C．(−∞,0)D．(−∞,+∞) 14．（2分）设a=1.212，b=0.912，c=1.112它们的大小关系是（）A．c<a<b B．a<c<b C．b<a<c D．c<b<a15．（2分）已知函数f(x)=(m2−m−1)x m2−4m+3是幂函数，且其图像与y轴没有交点，则实数m=（）A．或B．C．D．二、填空题(共5题；共6分)16．（1分）已知幂函数y=f(x)的图象过点(2,√22)，则此函数的解析式为．17．（1分）若函数f(x)=x2−x+1+alnx在(0,+∞)上单调递增，则实数a的最小值是．18．（1分）已知幂函数y=x m2−9( m∈N∗)的图象关于y轴对称,且在x∈(0,+∞)上是减函数,则m=.19．（1分）设α∈{13,12,−1,−2,3}，若f(x)=xα为偶函数，则α=．20．（2分）已知二次函数f(x)=x2+mx−3的两个零点为1和n，则n=；若f(a)≤f(3)，则a的取值范围是．三、解答题(共5题；共55分)21．（10分）已知函数g(x)=ax2−2ax+1+b(a>0)在区间[2,3]上有最大值4和最小值1，设f(x)=g(x)x.（1）（5分）求a,b的值；（2）（5分）若不等式f(2x)−k⋅2x≥0在区间[−1,1]上恒成立，求实数k的取值范围. 22．（10分）函数f(x)=kx+b，(k≠0)，x∈R（1）（5分）若f(−1)=1，f(1)=5，求f(x).（2）（5分）若b=3，且函数f(x)在区间[−1，3]上的最大值为6，求k的值. 23．（10分）已知二次函数f(x)满足条件f(0)=1，f(x+1)−f(x)=2x.（1）（5分）求f(x)的解析式；（2）（5分）求f(x)在区间[−1，1]上的最值.24．（10分）如图，ABCD是块边长为100 m的正方形地皮，其中扇形AST是一半径为90 m的扇形小山，其余部分都是平地，一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点P在弧ST⃗⃗⃗⃗⃗上，相邻两边CQ、CR落在正方形的边BC、CD上。
2020届高考数学(文)一轮复习精品特训专题二：函数(7)幂函数
函数（7）幂函数1、下列函数是幂函数的是（ ）A.2-=x yB.22x y =C.x x y +=2D.1=y2、已知幂函数()y f x =的图象过点1,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭,则()42log f 的值为( ) A. 2B. 1C. 4D. 2或1?-3、已知幂函数(x)y f =的图象过12⎛⎝⎭,则2log (2)f 的值为( ) A. 2B. 2-C.12D. 12- 4、若幂函数()222333m m y m m x+-=++的图像不过原点,且关于原点对称,则( ) A. 2m =-B. 1m =-C. 2m =-或1m =-D. 31m -<<5、幂函数35()()m f x x m N -=∈在()0,?+∞上是减函数,且()(),f x f x -=则 m 可能等于( )A.1B.2C.3D.06、已知函数,,a b cy x y x y x ===的图像如图所示,则,,a b c 的大小关系为( )A. c b a <<B. a b c <<C. b c a <<D. c a b <<7、设集合{|A m =∈R 幂函数()222()33m m f x m m x--=-+的图象不过原点},则集合A 的真子集的个数为( )A. 1B. 2C. 3?D.无数8、()()2231m m f x m m x --=--是幂函数,且在()0,x ∈+∞上是减函数,则实数m = ( )A. 2B. 1-C. 4D. 2或1-9、已知函数234y x x =--的定义域是[]0,m ,值域为25,44⎡⎤--⎢⎥⎣⎦,则m 的取值范围是( )A. (]0,4B. 3,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. 3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D. 3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭10、幂函数()f x x α=的图象经过点(2,4),则(9)f = ( )A. 1B. 3C. 9D. 8111、如果幂函数221(33)m m y m m x --=-+⋅的图象不过原点,则 m 的取值是( )A. 12m ≤≤B. 1?m =或2m =C. 2m =D. 1?m =12、已知幂函数()y f x =的图像过点1,44⎛⎫⎪⎝⎭,则()2f = ( ) A. 12B.1C.2D.413、已知幂函数()n f x x =其中{}2,1,1,3?n ∈--的图象关于y 轴对称,则下列选项正确的是( )A. ()()21f f ->B. ()()21f f -<C. (2)(1)f f =D. (2)(1)f f ->-14、已知幂函数()f x x α=,当1x >时,恒有()f x x <,则α的取值范围是( ) A. ()0,1B. (),1-∞C. ()0,+∞D. (),0-∞15、幂函数2()(1)m f x m m x =--在(0,)+∞上是增函数,则m = ( )A.2B.-1C.4D.2或-116、幂函数()24222m y m m x --=--在()0,x ∈+∞上为减函数,则实数 m 的值是__________17、当()0,x ∈+∞时,幂函数()2531m y m m x --=--为减函数,则实数 m 的值为__________18、幂函数()()2231m m f x m m x +-=--在()0,?+∞为减函数,则m =__________.19、若幂函数()()21m f x m m x =--是幂函数,且在()0,+∞上为增函数,则实数m =__________.20、已知幂函数()()22231m m f x m m x --=--在()0,?+∞上是减函数,则实数m =__________21、幂函数的图象经过点4⎭,则它的单调递减区间是__________ 22、已知幂函数()n f x mx =的图象经过点(2,16)，则m n +=______.23、已知函数2222()(1)m m f x m m x--=--是幂函数,且当()0,x ∈+∞时, f ()x 是减函数,则实数 m 的值为__________答案以及解析1答案及解析：答案：A解析：2答案及解析：答案：A解析：3答案及解析：答案：C解析：4答案及解析：答案：A解析：因为函数为幂函数,所以2331m m ++=,解得1m =-或2m =-,所以41y x =或31y x = 又因为函数图像关于原点对称,所以31y x =,即2m =-5答案及解析：答案：A解析：6答案及解析：答案：A解析：由幂函数的图象特征可知, 0,1,01,c a b <<故c b a <<.7答案及解析：答案：C解析：8答案及解析：答案：A解析：9答案及解析：答案：C解析：10答案及解析：答案：D解析：11答案及解析：答案：D解析：12答案及解析：答案：A解析：13答案及解析：答案：B解析：14答案及解析：答案：B解析：15答案及解析：答案：A解析：16答案及解析：答案：3解析：17答案及解析：答案：2解析：∵幂函数()2531m y m m x --=--为减函数,211530m m m ⎧--=∴⎨--<⎩,解得: 2m = 故答案为: 2m =18答案及解析：答案：-1解析：由题意知2 1?1m m --=,则2m =或m 1=-,当2m =时, ()3f x x =在()0,?+∞上为增函数,不合题意,舍去;当m 1=-时()3f x x -=在()0,?+∞上为减函数,满足要求.19答案及解析：答案：2解析：20答案及解析：答案：2解析：21答案及解析：答案：(),0-∞和()0,?+∞解析：设幂函数y x α=,由α=得3α=-,3y x -=的单调递减区间是(),0-∞和()0,?+∞.(注意,不能写成()(),00,-∞⋃+∞)22答案及解析：答案：5解析：23答案及解析：答案：2解析：。
高考数学专题复习题：幂函数
高考数学专题复习题：幂函数一、单项选择题（共5小题）1．幂函数()f x x α=的图象过点1(,22，则()4f 等于（ ）2．若函数()22211mm y m m x −−=−−是幂函数，且在()0,x ∈+∞上是减函数，则实数m 的值为（ ）A.2B.-2C.1D.-13．已知幂函数()f x x α=的图象过点15,5⎛⎫ ⎪⎝⎭,则函数()(3)()g x x f x =−在区间1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值是（ ）A.-1B.-2C.-4D.-84．已知a ===A.a b c << B.c b a << C.b c a << D.c a b <<5．已知幂函数()f x x α=的图象过点11,28⎛⎫ ⎪⎝⎭，且(2)(2)f a f a +<，则实数a 的取值范围是（ ）A.(,2)−∞B.(2,)+∞C.(2,2)−D.(2,)−+∞二、多项选择题（共2小题）6．若幂函数()()23231mm f x a x −+=−+，其中a ，m ∈R ，则下列说法正确的是（ ）A.a =−1m <<时，()()21f f > C.若4m =时，()y f x =关于y 轴对称 D.()f x 恒过定点()1,1−−8．已知112,1,,,1,2,322α⎧⎫∈−−−⎨⎬⎩⎭，若幂函数()f x x α=为奇函数，且在()0,+∞上是严格减函数，则α取值的集合是________.9．函数32y x α=−的图象过定点________.四、解答题（共3小题）10．已知幂函数()()2157m f x m m x −=−+为偶函数． （1）求()f x 的解析式．（2）若()()34g x f x x =−+，求函数()g x 在区间[]1,2−上的值域．11．已知幂函数()23()69m f x m m x +=++在(0,)+∞上单调递减． （1）求实数m 的值．（2）若11(32)(4)m m a a −−−−−<+，求实数a 的取值范围．12．已知幂函数()m f x x =的图象过点()25,5． （1）求()4f 的值．（2）若()()132f a f a +>−，求实数a 的取值范围．。
2020高考文科数学(人教版)一轮复习讲义：第11讲 幂函数 含答案
第11讲 幂函数1．了解幂函数的概念．2．结合函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1x ，y ＝x 12的图象，了解它们的变化情况．3．能解决与幂函数有关的一些简单问题．知识梳理1．幂函数的定义一般地，函数 y ＝x α(α为常数) 叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数． 2．幂函数的图象比较1． 幂函数yα的性质1．幂函数y ＝x α(α≠0,1)在第一象限的图象有以下三种形式：2．幂函数的图象一定会出现在第一象限，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限，要看函数的定义域及奇偶性．幂函数的图象过定点(1,1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．热身练习1．已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点(12，22)，则k ＋α＝ 32 .由幂函数的定义得k ＝1，再将(12，22)代入f (x )＝x α，得(12)α＝22＝(12)12，所以α＝12，故k ＋α＝32.2．设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，1，12，3，则使函数y ＝x α的定义域为R 且为奇函数的所有α的值为(A) A ．1,3 B ．－1,1 C ．－1,3 D.12，1,3y ＝x－1的定义域为{x |x ≠0}，y ＝12x 的定义域为{x |x ≥0}，所以B ，C ，D 均可排除，选A.3．(经典真题)设x ∈R ，则“x >1”是“x 3>1”的(C) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件由于函数f (x )＝x 3在R 上为增函数，所以当x >1时，x 3>1成立，反过来，当x 3>1时，x >1也成立． 因此“x >1”是“x 3>1”的充要条件．4．下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0，＋∞)上单调递减的函数为(A)A ．y ＝x －2B ．y ＝x －1 C ．y ＝x2 D ．y ＝12xy ＝x－2和y ＝x 2是偶函数，由幂函数的图象可知，y ＝x－2在(0，＋∞)上单调递减，选A.5．(2016·全国卷Ⅲ)已知a ＝432，b ＝233，c ＝1325，则(A) A ．b <a <c B ．a <b <c C ．b <c <a D ．c <a <ba ＝432＝234，b ＝233，c ＝1325＝235.因为y ＝23x 在第一象限内为增函数， 又5>4>3，所以c >a >b .幂函数的概念(2018·抚顺期末)幂函数f (x )＝(m 2－3m －3)x m 在(0，＋∞)上为增函数，则m 的值为( ) A ．4 B ．－1 C ．2 D ．－1或4因为f (x )是幂函数，且在(0，＋∞)上是增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －3＝1，m >0，解得m ＝4.A幂函数和指数函数、对数函数一样，是一种“形式”定义，它满足如下特征： (1)以幂的底为自变量，指数为常数； (2)x α前的系数为1，x α后面不加任何项．1．当x ∈(0，＋∞)时，幂函数y ＝(m 2－m －1)x －5m －3为减函数，则实数m 的值为(A) A ．m ＝2 B ．m ＝－1C ．m ＝－1或m ＝2D ．m ≠1±52因为幂函数x 的系数为1，y ＝x α在(0，＋∞)上是减函数，则α<0，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －1＝1，－5m －3<0，解得m ＝2.比较大小(2018·保定模拟)下列选项正确的是( )A ．0.20.2>0.30.2B ．1-32<1-33 C ．0.8－0.1>1.250.2 D ．1.70.3>0.93.1选项A 中，因为函数y ＝x 0.2在(0，＋∞)上为增函数， 又0.2<0.3，所以0.20.2<0.30.2.选项B 中，因为函数y ＝1-3x 在(0，＋∞)上为减函数， 又2<3，所以1-32>1-33.选项C 中，0.8－1＝1.25，y ＝1.25x 在R 上是增函数，0．1<0.2，所以1.250.1<1.250.2，即0.8－0.1<1.250.2. 选项D 中，1.70.3>1,0.93.1<1. 所以1.70.3>0.93.1.D比较指数式大小的方法：①当底数是同一个正数时，用指数函数模型比较两个值的大小； ②当指数是同一个实数时，用幂函数模型比较两个值的大小；③当底数和指数都不同时，常常借助中间量，如“0”“1”等进行比较．2．(2016·全国卷Ⅰ)若a >b >0,0<c <1，则(B) A ．log a c <log b c B ．log c a <log c b C ．a c <b c D ．c a >c b根据式子的特征，构造函数并利用其单调性进行比较．对于选项A ，log a c ＝lg c lg a ，log b c ＝lg clg b ，因为0<c <1，所以lg c <0.而a >b >0，所以lg a >lg b ，但不能确定lg a ，lg b 的正负，所以log a c 与log b c 的大小不能确定．对于选项B ，log c a ＝lg a lg c ，log c b ＝lg b lg c ，而lg a >lg b ，两边同乘一个负数1lg c ，不等号方向改变，所以log c a <log c b ，所以选项B 正确．对于选项C ，利用y ＝x c (0<c <1)在第一象限内是增函数，可得a c >b c ，所以选项C 错误． 对于选项D ，利用y ＝c x (0<c <1)在R 上为减函数，可得c a <c b ，所以选项D 错误，故选B.幂函数的图象和性质的应用若点(2，2)在幂函数f (x )的图象上，点(2，12)在幂函数g (x )的图象上，定义h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≤g (x )，g (x )，f (x )>g (x )，试求函数h (x )的最大值以及单调区间．设f (x )＝x α，因为点(2，2)在f (x )的图象上， 所以(2)α＝2，所以α＝2，所以f (x )＝x 2； 又设g (x )＝x β，因为点(2，12)在g (x )的图象上，所以2β＝12，所以β＝－1，所以g (x )＝x －1.在同一坐标系中画出函数f (x )与g (x )的图象，如图所示(其中粗线表示h (x )的图象)：则有h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1， x <0，x 2， 0<x ≤1，x －1， x >1.根据图象可知h (x )的最大值等于1，单调递增区间为(0,1]，单调递减区间为(－∞，0)和(1，＋∞)．本题在两个函数f (x )与g (x )的基础上定义了一个新的函数h (x )，求解的关键是理解h (x )的意义，由定义可知h (x )是取f (x )和g (x )中的较小者．作出图象即可得到其最值和单调区间．3．点(2，2)在幂函数f (x )的图象上，点(－2，14)在幂函数g (x )的图象上，问当x 为何值时，有：(1)f (x )>g (x )； (2)f (x )＝g (x )； (3)f (x )<g (x )．设f (x )＝x α，则由题意得2＝(2)α， 所以α＝2，即f (x )＝x 2.再设g (x )＝x β，则由题意得14＝(－2)β，所以β＝－2.即g (x )＝x －2.在同一坐标系中作出f (x )与g (x )的图象，如图所示．由图象可知：(1)当x >1或x <－1时，f (x )>g (x )； (2)当x ＝±1时，f (x )＝g (x )； (3)当－1<x <1，且x ≠0时，f (x )<g (x )．1．幂函数y ＝x α的性质和图象，由于α的取值不同而比较复杂，因此，重点要求掌握y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1x ，y ＝x 12这五种幂函数的图象和性质． 2．幂函数y ＝x α(α为常数)的定义域是使解析式有意义的自变量x 的取值范围．当α为分数指数幂时，常常将其改写成根式形式，再根据根式有意义，得出其定义域．对幂函数的研究，关键是掌握第一象限的图象和性质，在此基础上，进而通过定义域的研究确定y轴左侧是不是有图象，通过对奇偶性的研究，确定在y轴左侧的图象和性质．3．幂函数y＝xα在第一象限的图象特征：(1)α的正负：α>0时，图象经过点(0,0)和点(1,1)，在第一象限的部分“上升”；α<0的图象不过点(0,0)，经过点(1,1)，在第一象限的部分“下降”．(2)曲线在第一象限的凹凸性：α>1时曲线下凹，0<α<1时曲线上凸，α<0时曲线下凹．4.幂函数的主要应用有：比较大小、解不等式、求参数的范围等，要注意以幂函数为载体和其他知识结合的综合问题的处理．。
2020年高考数学一轮复习专题09幂函数与二次函数(含解析)
专题09对数与对数函数最新考纲1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,3,10，12，13的对数函数的图象．3.体会对数函数是一类重要的函数模型．4.了解指数函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数.基础知识融会贯通 1．对数的概念一般地，如果a x＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中__a __叫做对数的底数，__N __叫做真数． 2．对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么： ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a M N＝log a M －log a N ； ③log a M n＝n log a M (n ∈R )． (2)对数的性质 ①log a Na＝__N __；②log a a N＝__N __(a >0，且a ≠1)．(3)对数的换底公式log a b ＝log c blog c a (a >0，且a ≠1；c >0，且c ≠1；b >0)．3．对数函数的图象与性质4.反函数指数函数y＝a x(a>0且a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．知识拓展1．换底公式的两个重要结论(1)log a b＝1log b a；(2)logmnab＝nmlog a b.其中a>0且a≠1，b>0且b≠1，m，n∈R. 2．对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0<c<d<1<a<b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．重点难点突破【题型一】对数的运算【典型例题】若函数f（x）＝1+x3，则f（lg2）+f（1g）＝（）A．2 B．4 C．﹣2 D．﹣4【解答】解：∵f（x）＝1+x3；∴．故选：A．【再练一题】已知奇函数f（x）满足f（x）＝f（x+4），当x∈（0，1）时，f（x）＝4x，则f（log4184）＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵奇函数f（x）满足f（x）＝f（x+4），当x∈（0，1）时，f（x）＝4x，∴f（log4184）＝﹣f（log4184﹣4）＝﹣（）．故选：A．思维升华对数运算的一般思路(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并．(2)合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．【题型二】对数函数的图象及应用【典型例题】设函数y＝f（x）的图象与y＝log2（x+a）的图象关于直线y＝﹣x对称，且f（﹣2）+f（﹣1）＝2，则a ＝（）A．3 B．1 C．2 D．4【解答】解：函数y＝f（x）的图象与y＝log2（x+a）的图象关于直线y＝﹣x对称，设f（x）上任意一点为（x，y），则（x，y）关于直线y＝﹣x对称的点为（﹣y，﹣x），把（﹣y，﹣x）代入y＝log2（x+a），得﹣x＝log2（﹣y+a），∴f（x）＝﹣2﹣x+a，∵f（﹣2）+f（﹣1）＝2，∴﹣22+a﹣2+a＝2，解得a＝4．故选：D．【再练一题】已知l1，l2分别是函数f（x）＝|lnx|图象上不同的两点P1，P2处的切线，l1，l2分别与y轴交于点A，B，且l1与l2垂直相交于点P，则△ABP的面积的取值范围是（）A．（0，1）B．（0，2）C．（0，+∞）D．（1，+∞）【解答】解：设P1（x1，y1），P2（x2，y2）（0＜x1＜1＜x2），当0＜x＜1时，f′（x），当x＞1时，f′（x），∴l1的斜率k1，l2的斜率k2，∵l1与l2垂直，且x2＞x1＞0，∴k1•k2•1，即x1x2＝1．直线l1：y（x﹣x1）﹣lnx1，l2：y（x﹣x2）+lnx2．取x＝0分别得到A（0，1﹣lnx1），B（0，﹣1+lnx2），|AB|＝|1﹣lnx1﹣（﹣1+lnx2）|＝|2﹣（lnx1+lnx2）|＝|2﹣lnx1x2|＝2．联立两直线方程可得交点P的横坐标为x，∴S△PAB|AB|•|x P|2，∵函数y＝x在（0，1）上为减函数，且0＜x1＜1，∴x11+1＝2，则0，∴01．∴△PAB的面积的取值范围是（0，1）．故选：A．思维升华 (1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．【题型三】对数函数的性质及应用命题点1 对数函数的单调性【典型例题】已知函数y＝log2（ax﹣1）在（﹣2，﹣1）上单调递减，则a的取值范围是．【解答】解：∵已知函数y＝log2（ax﹣1）在（﹣2，﹣1）上单调递减，∴a＜0，且﹣a﹣1＞0，求得a＜﹣1，故答案为：（﹣∞，﹣1）．【再练一题】对于任意x∈R，函数f（x）满足f（2﹣x）＝﹣f（x），且当x≥1时，函数f（x）＝lnx，若a＝f（2﹣0.3），b＝f（log3π），c＝f（）则a，b，c大小关系是（）A．b＞a＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．c＞b＞a【解答】解：对于任意x∈R，函数f（x）满足f（2﹣x）＝﹣f（x），∴函数f（x）关于（1，0）点对称，将f（x）向左平移一个单位得到y＝f（x+1），此时函数f（x）关于原点对称，则函数y＝f（x+1）是奇函数；当x≥1时，f（x）＝lnx是单调增函数，∴f（x）在定义域R上是单调增函数；由0＜2﹣0.3＜1＜log3π，∴f（）＜f（2﹣0.3）＜f（log3π），∴b＞a＞c．故选：A．命题点2 和对数函数有关的复合函数【典型例题】若函数y＝log a（x2﹣ax+1）有最小值，则a的取值范围是．【解答】解：令g（x）＝x2﹣ax+1（a＞0，且a≠1），①当a＞1时，y＝log a x在R+上单调递增，∴要使y＝log a（x2﹣ax+1）有最小值，必须g（x）min＞0，∴△＜0，解得﹣2＜a＜2∴1＜a＜2；②当0＜a＜1时，g（x）＝x2﹣ax+1没有最大值，从而不能使得函数y＝log a（x2﹣ax+1）有最小值，不符合题意．综上所述：1＜a＜2；故答案为：1＜a＜2．【再练一题】若函数有最小值，则实数a的取值范围是（）A．（1，）B．[，+∞）C．（0，1）D．（0，1）∪（1，）【解答】解：由题意，令t＝x2﹣ax（t）2，则函数f（t）＝log a t∵函数有最小值，∴a＞1要使函数有最小值，则t＝x2﹣ax有最小值，且为正数∴0∴综上，实数a的取值范围是（1，）故选：A．思维升华 (1)利用对数函数单调性时要注意真数必须为正，明确底数对单调性的影响．(2)解决与对数函数有关的复合函数问题，首先要确定函数的定义域，根据“同增异减”原则判断函数的单调性，利用函数的最值解决恒成立问题．基础知识训练1．幂函数曲线y=x b,当b>1时的图像为()A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意，根据幂函数的图象与性质，可得当b>1时,图像为选项A,当0<b<1时为选项B, 当b<0时为选项C,当b=1时为选项D，故选A.2．已知，则（）A． B．C． D．【答案】A【解析】故函数上是减函数则故选3．已知幂函数的图象过，若，则值为（）A．1 B． C．3 D．9【答案】B【解析】∵幂函数幂函数的图象过，解得．则故选：B．4．若幂函数在（0，+∞）上为增函数，则实数m=（）A． B． C． D．或4【答案】A【解析】幂函数在（0，+∞）上为增函数，，解得（舍去）故选A.5．已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上是减函数，则（）A．- B．1或2 C．1 D．2【答案】C【解析】分析：由为偶数，且，即可得结果.详解：幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数，为偶数，且，解得，故选C.点睛：本题考查幂函数的定义、幂函数性质及其应用，意在考查综合利用所学知识解决问题的能力.6．设函数，若，则A．B．C．D．【答案】A【解析】由于函数，在第一象限为单调递增函数．由于：，所以：故选：A．7．已知幂函数f（x）=x a的图象经过点（2，），则函数f（x）为（）A．奇函数且在上单调递增B．偶函数且在上单调递减C．非奇非偶函数且在上单调递增D．非奇非偶函数且在上单调递减【答案】C【解析】∵幂函数f（x）=x a的图象经过点（2，），∴2a=，解得a=，∴函数f（x）=，∴函数f（x）是非奇非偶函数且在（0，+∞）上单调递增．故选：C．8．若幂函数在区间上单调递减，则实数m的值可能为A．1 B． C． D．2【答案】C【解析】幂函数在区间上单调递减，，由选项可知，实数m的值可能为．故选：C．9．已知幂函数过点A．，且在上单调递减B．，且在单调递增C．且在上单调递减D．，且在上单调递增【答案】A【解析】幂函数过点，，解得，，在上单调递减．故选：A．10．已知幂函数的图象关于原点对称，且在上是减函数，若，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】幂函数的图象关于原点对称，且在上是减函数，所以，解得，因为，所以，时，，图象关于轴对称，不满足题意；当时，，图象关于原点对称，满足题意，不等式化为，，因为函数上递减，所以，解这个不等式，得，即实数的取值范围是，故选B .11．已知函数是在上单调递增的幂函数，则( )A．0或4 B．0或2 C．0 D．2【答案】C【解析】∵f（x）是幂函数，∴（m﹣1）2＝1，得m＝0，或m＝2，∵f（x）在（0，+∞）上单调递增，∴m2﹣4m+2＞0，则当m＝0时，2＞0成立，当m＝2时，4﹣8+2＝﹣2，不成立，故选C．12．已知幂函数的图像过点，则下列说法正确的是（）A．是奇函数，且在上单调递增B．是偶函数，且在上单调递减C．既不是奇函数也不是偶函数，且在上单调递增D．既不是奇函数也不是偶函数，且在上单调递减【答案】C【解析】∵幂函数y＝xα的图象过点（2，），∴2α，解得α，故f（x），故f（x）既不是奇函数也不是偶函数，且在（0，+∞）上是增函数，故选：C．13．已知函数的图象恒过定点P，若幂函数的图象经过点P，则的值为______．【答案】【解析】令，则恒成立故函数恒过，即幂函数的图象经过点则，解得故本题正确结果：14．若幂函数的图象经过点（2，），则f（）=______．【答案】【解析】设幂函数f（x）＝xα，α∈R；其函数图象过点（2，），∴2α，解得α；∴f（x），∴．故答案为：．15．若为幂函数，且满足，则______．【答案】【解析】为幂函数，且满足，，则，解得，，．故答案为：．16．已知幂函数满足，则______．【答案】2【解析】幂函数满足，．故答案为：2．17．已知幂函数过点（2,4）(1)求解析式(2)不等式的解集为[1,2]，求不等式的解集. 【答案】（1）；（2）【解析】（1）设幂函数解析式为因为函数图像过点（2,4），所以所以所求解析式为(2) 不等式的解集为[1,2]，的解集为，是方程的两个根，，，因此；所以不等式可化为，即，解得,所以原不等式的解集为.18．已知幂函数上单调递增．求m值及解析式；若函数上的最大值为3，求实数a的值．【答案】（1）；（2）【解析】幂函数上单调递增故：解得：故：由于所以：函数函数为开口方向向下的抛物线，对称轴为由于在上的最大值为3，时，上单调递增，故：，解得．时，上单调递减，故：，解得：．时，上单调递增，在上单调递减，故：，解得：舍去，或舍去，综上所述：．19．已知幂函数上单调递增，又函数. （1）求实数的值，并说明函数的单调性；（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）因为是幂函数，所以，解得，又因为上单调递增，所以，即，即，则，因为均在上单调递增，所以函数上单调递增.（2）因为，所以是奇函数，所以不等式可变为，由（1）知上单调递增，所以，解得.20．已知幂函数f（x）=x a的图象过点（2，4）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）设函数h（x）=4f（x）-kx-8在[5，8]上是单调函数，求实数k的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】解：（1）幂函数f（x）=x a的图象过点（2，4），∴f（2）=2α=4，∴a=2，∴f（x）=x2；（2）函数h（x）=4f（x）-kx-8，∴h（x）=4x2-kx-8，对称轴为x=；当h（x）在[5，8]上为增函数时，≤5，解得k≤40；当h（x）在[5，8]上为减函数时，≥8，k≥64；所以k的取值范围为（-∞，40]∪[64，+∞）．能力提升训练1．已知函数上为增函数，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】若函数f（x）=2x2﹣mx+3在[﹣2，+∞）上为增函数，则，解得：m∈（﹣∞，﹣8]，故选：A．2．若函数上的最大值是3，则实数（）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】A【解析】.因为所以时，，即故选A.3．已知函数，则在[0，2］上的最小值为A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】图象的对称轴方程为，故上的最小值为.答案选B.4．已知命题p：，若命题p是假命题，则的取值范围为（）A． B． C． D．或a=0【答案】B【解析】∃x∈R，ax2+x+1≤0．若命题p是假命题，即“ax2+x+1＞0恒成立”是真命题①．当a＝0 时，①不成立，当a≠0 时，要使①成立，必须，解得＜a，故实数a的取值范围为：．故选B．5．设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)，若a＝c，则函数f(x)的图象不可能是A．B．C．D．【答案】D【解析】由于，根据韦达定理，有，观察图像可以发现，对于D选项，两个根都小于，那么它们的乘积大于，故D选项不可能成立.故选D.6．已知函数的值域为，则实数m的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】∵函数的值域为，∴∴∴实数m的取值范围为故选：A7．若函数在区间上为减函数，则a的取值范围是（）A． B． C． D．（1,2]【答案】A【解析】令.∵∴函数的图象是开口向下的抛物线.∵∴若，外函数为增函数，要使复合函数在区间上为减函数，则，解得.若，外函数为减函数，要使复合函数在区间上为减函数，则，解得.综上，的取值范围是.故选A.8．已知函数（其中）的图象如图所示，则函数的图象大致是( )A． B．C． D．【答案】B【解析】法一：结合二次函数的图象可知，，所以函数单调递增，排除C，D；把函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，排除A，选B.法二：结合二次函数的图象可知，，所以，在中，取，得，只有选项B符合，故选:B.9．若函数有最小值，则实数的取值范围是( )A．(0,1) B． C． D．【答案】C【解析】.当a>1且有最小值时，f(x)才有最小值.∴⇒1<a<.10．函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(x＋1)＝f(1－x)，且f(0)＝3，则f(b x)与f(c x)的大小关系是A．f(b x)≤f(c x) B．f(b x)≥f(c x)C．f(b x)>f(c x) D．与x有关，不确定【答案】A【解析】∵f（1+x）＝f（1﹣x），∴f（x）图象的对称轴为直线x＝1，由此得b＝2．又f（0）＝3，∴c＝3．∴f（x）在（﹣∞，1）上递减，在（1，+∞）上递增．若x≥0，则3x≥2x≥1，∴f（3x）≥f（2x）．若x＜0，则3x＜2x＜1，∴f（3x）＞f（2x）．∴f（3x）≥f（2x）．故选：A．11．已知都是常数，.若的零点为，则下列不等式正确的是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，又为函数的零点，且，所以可在平面直角坐标系中作出函数的大致图像，如图所示，由图可知，故选.12．己知恒成立，则实数a的取值范围为A． B． C． D．【答案】B【解析】设对任意恒成立，即对任意都成立，当，则与讨论矛盾，当时，，则，解得，故选：B．13．函数的最小值为________．【答案】1【解析】由题意，可得，由于，所以当时，函数取最小值1.14．已知函数.若对任意的，存在，使得成立，则实数的取值范围是_______.【答案】【解析】∵的对称轴为x=a，且，∴函数f（x）=在[0，]上是减函数，在[，2]上是增函数；∴函数f（x）=的最小值为f（a）=﹣，①当2≤a＜3时，函数f（x）=（x∈）在x=0时取得最大值，且最大值为2a﹣1，由于此时2≤a＜3，则3≤2a﹣1＜5；2a﹣1∴②0＜a＜2时，函数f（x）=（x∈）在x=4时取得最大值，且最大值为42﹣8a+2a﹣1=15﹣6a，由于此时0＜a＜2，则3＜15﹣6a＜15；，∴综上，∴；即t的取值范围是：．15．已知二次函数y＝f(x)的顶点坐标为，且方程f(x)＝0的两个实根之差等于7，则此二次函数的解析式是________．【答案】【解析】设二次函数顶点式为.设的两个根为，且，依题意，两边平方并化简得，即，解得.故.16．若对任意，函数总有零点，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】∵函数总有零点，∴对任意恒成立，∴记上单调递减，∴∴故答案为：17．已知f（x）为二次函数，且f（x+1）+f（x﹣1）=2x2﹣4x，（1）求f（x）的解析式；（2）设g（x）=f（2x）﹣m•2x+1，其中x∈[0，1]，m为常数且m∈R，求函数g（x）的最小值．【答案】（1）f（x）=x2﹣2x﹣1（2）【解析】解：（1）设f（x）=ax2+bx+c，且。
2020届高考数学(理)一轮必刷题 专题07 二次函数与幂函数(解析版)
考点07 二次函数与幂函数1．)若函数f(x)＝x2＋ax＋b在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则M－m()A．与a有关，且与b有关B．与a有关，但与b无关C．与a无关，且与b无关D．与a无关，但与b有关【答案】B【解析】设x1，x2分别是函数f(x)在[0，1]上的最小值点与最大值点，则m＝x21＋ax1＋b，M＝x22＋ax2＋b. ∴M－m＝x22－x21＋a(x2－x1)，显然此值与a有关，与b无关．故选B.2．函数在区间的最大值是()A．0 B．C．D．1【答案】C【解析】y=log（x2﹣6x+10），可令t=x2﹣6x+10，对称轴为x=3，函数t在[1，2]递减，且y=log t在（0，+∞）递减，可得y=log（x2﹣6x+10）在[1，2]递增，可得x=2时，函数y取得最大值log（22﹣12+10）=﹣log32，故选：C．3．已知函数在R上是减函数，则的取值范围是A．B．C．D．【答案】B【解析】由f（x）=ax3+3x2﹣x+2，得到=3ax2+6x﹣1，因为函数在R上是减函数，所以=3ax2+6x﹣1≤0恒成立，所以，由△=36+12a≤0，解得a≤﹣3，则a的取值范围是（﹣∞，﹣3]．故答案为：B.4．，若方程f(x)=x无实根，则方程f(f(x))=x( )A．有四个相异实根B．有两个相异实根C．有一个实根D．无实数根【答案】D【解析】∵f（x）=ax2+bx+c（a≠0）方程f（x）=x 即f（x）-x=ax2+（b-1）x+c=0无实根，f（x）-x仍是二次函数，f（x）-x=0仍是二次方程，且无实根，∴△＜0．若a＞0，则函数y=f（x）-x的图象在x轴上方，∴y＞0，即f（x）-x＞0恒成立，即：f（x）＞x对任意实数x恒成立．∴对f（x），有f（f（x））＞f（x）＞x恒成立，∴f（f（x））=x无实根．故选D.5．函数的值域为A．B．C．D．【答案】D【解析】设μ=﹣x2﹣6x﹣5（μ≥0），则原函数可化为y=．又∵μ=﹣x2﹣6x﹣5=﹣（x+3）2+4≤4，∴0≤μ≤4，故∈[0，2]，∴y=的值域为[0，2]．故选：D．6．平行四边形中，点在边上，则的最大值为A．2 B．C．0 D．【答案】A【解析】∵平行四边形ABCD中，AB=2，AD=1，，点M在边CD上，∴=﹣1，cos∠A=﹣1，∴cosA=﹣，∴A=120°，以A为原点，以AB所在的直线为x轴，以AB的垂线为y轴，建立如图所示的坐标系，∴A（0，0），B（2，0），D（﹣，），设M（x，），则﹣≤x≤，∴=（﹣x，﹣），=（2﹣x，﹣），∴=x（x﹣2）+=x2﹣2x+=（x﹣1）2﹣，设f（x）=（x﹣1）2﹣，则f（x）在[﹣，1）上单调递减，在[1，]上单调递增，∴f（x）min=f（1）=﹣，f（x）max=f（﹣）=2，则的最大值是2，故答案为：A7．中国古代名词“刍童”原来是草堆的意思，关于“刍童”体积计算的描述，《九章算术》注曰：“倍上袤，下袤从之。
2020届高三数学一轮复习 《幂函数》学案
《幂函数》学案【考纲要求】1．了解幂函数的概念．2．结合函数12321,,,,y x y x y x y y x x=====的图象，了解它们的变化情况．【知识梳理】 1．幂函数的定义一般地，形如αx y =()R α∈的函数称为幂函数，其中α为常数． 2．幂函数y x =≠α(,)01在第一象限的图象α>1 01<<α α<03．常用幂函数αx y =的图象4 y x =2y x=3y x=12y x=1y x -=定义域 值域 奇偶性 单调性定点图象规律 在第一象限内，直线1x =的右侧，图象由下到上，幂指数逐渐增大．【基础自测】1．函数()(1)2f x x α=-+过定点（ ）A ．(1,3)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(0,1) 2．下列函数中，既是偶函数又在区间(,0)-∞上单调递增的是（ ）A ．21()f x x=B ．2()1f x x =+ C ．3()f x x = D ．()2xf x -= 3．已知432a =，233b =，1325c =，则（ ） A ． b a c << B ．a b c << C ．b c a << D ．c a b <<4．(2019唐山二模)函数2(),(,]1xf x x m n x -=∈+的最小值为0，则m 的取值范围是（ ） A ．(1,2) B ．(1,2)- C ．[1,2) D ．[1,2)-【典例剖析】考点一 幂函数的概念【例1】（2019南阳模拟）已知幂函数()f x k x α=⋅的图象过点1()22，，则k α+等于( ) A ．12 B ．1 C ．32D ．2【温馨提醒】幂函数的定义满足如下特征：(1)以幂的底为自变量，指数为常数；(2)x α前的系数为1，x α后面不加任何项． 【变式】幂函数253(1)m y m m x --=--在区间(0,)+∞上为减函数，则实数m =（ ）A ．1-B ．2C ．1-或2D ．1或2-考点二 幂函数的图象【例2】如图，曲线是幂函数ny x =在第一象限的图象，已知n 取2，3，12，1-四个值，则相应图象依次为（ ）A ．1C ，2C ，3C ，4CB ．3C ，2C ，1C ，4C C ．4C ，2C ，1C ，3CD ．2C ，1C ，3C ，4C【答案】D【方法技巧】判断幂指数的大小有两种方法（1）图象法：作直线(1)x t t =>与幂函数的图象相交，根据交点的“高低”来判断，越高越大； （2）特值法：自变量取一特殊值，比较函数值便可. 【变式】（2019天门质检）在下列直角坐标系的第一象限内分别画出了函数y x =，y x =，2y x =，3y x =，1y x -=的部分图象，则函数32y x =的图象通过的阴影区域是（ ）考点三 幂函数的性质及应用 命题点1 比较幂值的大小 【例3】比较大小： （1）133.5-，233.5-，235.3-； （2）232.5，23( 1.4)-，23(3)-．【方法技巧】比较指数式大小的方法：（1）当底数是同一个正数时，用指数函数模型比较两个值的大小； （2）当指数是同一个实数时，用幂函数模型比较两个值的大小；（3）当底数和指数都不同时，常常借助中间量，如“0”“1”等进行比较．【变式】(2019德州一模)已知253()5a =，352()5b =，252()5c =，则( )A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b c a <<命题点2 幂函数的性质综合【例4】若点在幂函数()f x 的图象上，点1(2,)2在幂函数()g x 的图象上， 定义(),()(),()(),()(),f x f xg xh x g x f x g x ≤⎧=⎨>⎩ 求函数()h x 的最大值以及单调区间．【变式】已知函数12()f x x =，给出下列命题：①若1x >，则()1f x >； ②若120x x <<，则2121()()f x f x x x ->-； ③若120x x <<，则2112()()x f x x f x <；④若120x x <<，则1212()()()22f x f x x xf ++<．其中，所有正确命题的序号是 ．。
2020年高考数学一轮复习考点07二次函数与幂函数必刷题(含解析)
考点07 二次函数与幂函数1、如果方程x2＋（2m－1)x＋4－2m＝0的一根大于2，一根小于2，那么实数m的取值范围是____．【答案】（－∞,－3）【解析】设f（x)＝x2＋（2m－1)x＋4－2m，由题意得,错误!解得错误!所以m〈－3，故实数m的取值范围是（－∞，－3）．2、若幂函数y＝mx n（m，n∈R)的图象经过点错误!，则n＝___．【答案】－2 3【解析】由题意可得错误!解得n＝－错误!，故n的值为－错误!.3、已知f（x)＝ax2＋bx＋3a＋b是定义在[a－1，2a］上的偶函数，则a,b的值为____．【答案】错误!，0【解析】由题意得，f（－x)＝f（x），即ax2－bx＋3a＋b＝ax2＋bx ＋3a＋b，即2bx＝0对任意x恒成立，所以b＝0。
又因为a－1＝－2a，解得a＝13,所以a，b的值分别为错误!，0。
4、函数y＝－x2＋2错误!＋3的单调减区间是____．【答案】［－1，0］和[1,＋∞）【解析】令f（x）＝－x2＋2｜x|＋3，所以f（x)＝错误!即f（x)＝错误!所以当x≥0时，函数f（x）的减区间为(1,＋∞)；当x<0时，函数f(x)的减区间为(－1，0)，故单调减区间为(－1，0)和（1，＋∞）．5、若函数f(x）＝x2－2x＋1在区间错误!上的最大值为4，则a的值为____．【答案】－1或1【解析】由题意得,f(x)＝x2－2x＋1＝（x－1）2，对称轴为直线x＝1。
当a≥0时，f（a＋2）＝4，即（a＋2)2－2（a＋2)＋1＝4，解得a＝1或a＝－3(舍去）；当a〈0时，f(a)＝4，即a2－2a＋1＝4，解得a＝－1或a＝3(舍去)．综上，a的值为1或－1.6、若不等式x4＋2x2＋a2－a－2≥0对任意实数x恒成立,则实数a 的取值范围是___。
【答案】（－∞，－1］∪[2，＋∞)【解析】由题意得x4＋2x2＋a2－a－2≥0,即（x2＋1）2≥－a2＋a＋3，所以－a2＋a＋3≤1，解得a≥2或a≤－1，所以实数a的取值范围是（－∞,－1］∪[2,＋∞）．7、设α∈错误!,则使函数y＝xα为奇函数且定义域为R的所有α的值为____．【答案】1,3【解析】当α＝－1时,y＝x－1＝错误!,此时函数的定义域为{x｜x≠0}，不符合题意；当α＝错误!时,y＝x错误!＝错误!,此时函数的定义域为[0，＋∞)，不符合题意;当α＝1时,y＝x,此时函数的定义域为R，且是奇函数，符合题意；当α＝2时，y＝x2，此时函数的定义域为R，是偶函数，不符合题意；当α＝3时，y＝x3,此时函数的定义域为R，且为奇函数，符合题意，综上α的值为1和3。
2020届高考数学(文)总复习：第二章 第六节 幂函数、二次函数
课时规范练A组基础对点练1．若存在非零的实数a，使得f(x)＝f(a－x)对定义域上任意的x恒成立，则函数f(x)可能是( )A．f(x)＝x2－2x＋1 B．f(x)＝x2－1C．f(x)＝2x D．f(x)＝2x＋1解析：由存在非零的实数a，使得f(x)＝f(a－x)对定义域上任意的x恒成立，可得函数图象的对称轴为x＝a2≠0，只有f(x)＝x2－2x＋1满足题意，而f(x)＝x2－1；f(x)＝2x；f(x)＝2x＋1都不满足题意，故选A.答案：A2．若幂函数y＝x－1，y＝x m与y＝x n在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为( )A．－1＜m＜0＜n＜1B．－1＜n＜0＜mC．－1＜m＜0＜nD．－1＜n＜0＜m＜1解析：幂函数y＝xα，当α＞0时，y＝xα在(0，＋∞)上为增函数，且0＜α＜1时，图象上凸，∴0＜m＜1；当α＜0时，y＝xα在(0，＋∞)上为减函数，不妨令x＝2，根据图象可得2－1＜2n，∴－1＜n＜0，综上所述，选D.答案：D3．已知p：|m＋1|＜1，q：幂函数y＝(m2－m－1)x m在(0，＋∞)上单调递减，则p是q的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：p：由|m＋1|＜1得－2＜m＜0，∵幂函数y＝(m2－m－1)x m在(0，＋∞)上单调递减，∴m2－m－1＝1，且m＜0，解得m＝－1，∴p是q的必要不充分条件，故选B.答案：B4．已知命题p：存在n∈R，使得f(x)＝nxn2＋2n是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递增；命题q：“x0∈R，x02＋2>3x0”的否定是“x∈R，x2＋2<3x”．则下列命题为真命题的是( )A．p∧q B．(綈p)∧qC．p∧(綈q) D．(綈p)∧(綈q)解析：当n＝1时，f(x)＝x3为幂函数，且在(0，＋∞)上单调递增，故p是真命题，则綈p是假命题；“x0∈R，x02＋2>3x0”的否定是“x∈R，x2＋2≤3x”，故q是假命题，綈q是真命题．所以p∧q，(綈p)∧q，(綈p)∧(綈q)均为假命题，p∧(綈q)为真命题，选C.答案：C5．已知函数y＝ax2＋bx＋c，如果a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，则它的图象是( )解析：∵a＞b＞c，a＋b＋c＝0，∴a＞0，c＜0，∴y＝ax2＋bx＋c的开口向上，且与y轴的交点(0，c)在负半轴上．选D.答案：D6．已知0<m<n<1，且1<a<b，下列各式中一定成立的是( )A．b m>a n B．b m<a nC．m b>n a D．m b<n a解析：∵f (x )＝x a (a >1)在(0，＋∞)上为单调递增函数，且0<m <n <1，∴m a <n a ，又∵g (x )＝m x (0<m <1)在R 上为单调递减函数，且1<a <b ，∴m b <m a . 综上，m b <n a ，故选D. 答案：D7．设函数f (x )＝⎩⎨⎧e x －1，x ＜1，x 13，x ≥1，则使得f (x )≤4成立的x 的取值范围是________．解析：f (x )的图象如图所示， 要使f (x )≤4，只需x 13≤4，∴x ≤64. 答案：(－∞，64]8．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－x 2－2x ，x ≥0，x 2－2x ，x <0，若f (3－a 2)<f (2a )，则实数a 的取值范围是__________．解析：如图，画出f (x )的图象，由图象易得f (x )在R 上单调递减，∵f (3－a 2)<f (2a )，∴3－a 2>2a ，解得－3<a <1. 答案：(－3，1)9．若x ＞1，x a －1＜1，则a 的取值范围是________． 解析：因为x ＞1，x a －1＜1，所以a －1＜0，解得a ＜1. 答案：(－∞，1)10．已知函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上为增函数，那么f (2)的取值范围是__________．解析：函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上为增函数，由于其图象(抛物线)开口向上，所以其对称轴x ＝a －12或与直线x ＝12重合或位于直线x ＝12的左侧，即应有a －12≤12，解得a ≤2，∴f (2)＝4－(a －1)×2＋5≥7，即f (2)≥7.答案：[7，＋∞)B 组 能力提升练11．已知点(m ，8)在幂函数f (x )＝(m －1)x n的图象上，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫1312，b ＝f (ln π)，c ＝f (2－12)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a ＜c ＜b B ．a ＜b ＜c C ．b ＜c ＜aD ．b ＜a ＜c解析：因为f (x )＝(m －1)x n 是幂函数，所以m －1＝1，m ＝2，所以f (x )＝x n .因为点(2，8)在函数f (x )＝x n 的图象上，所以8＝2n ⇒n ＝3.故f (x )＝x 3.a＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫1312＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1332＝133＜1，b ＝f (ln π)＝(ln π)3＞1，c ＝f (2－12)＝2－32＝122 ＞a .故a ，b ，c 的大小关系是a ＜c ＜b .故答案为A. 答案：A12．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，a ＝(cos α)cos α，b ＝(sin α)cos α，c ＝(cos α)sin α，则( ) A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜b C ．b ＜a ＜cD ．c ＜a ＜b解析：因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，所以0＜cos α＜22，cos α＜sin α，根据幂函数的性质，可得(sin α)cos α＞(cos α)cos α，根据指数函数的性质，可得(cos α)cos α＞(cos α)sin α， 所以c ＜a ＜b ，故选D. 答案：D13．(2019·保定模拟)已知函数f (x )既是二次函数又是幂函数，函数g (x )是R上的奇函数，函数h (x )＝g （x ）f （x ）＋1＋1，则h (2 018)＋h (2 017)＋h (2 016)＋…＋h (1) ＋h (0)＋h (－1)＋…＋h (－2 016)＋h (－2 017)＋h (－2 018)＝( ) A ．0B ．1C ．4 036D ．4 037解析：因为函数f (x )既是二次函数又是幂函数， 所以f (x )＝x 2，所以h (x )＝g （x ）x 2＋1＋1， 因为g (x )是R 上的奇函数， 所以h (x )＋h (－x )＝g （x ）x 2＋1＋1＋g （－x ）x 2＋1＋1＝2， h (0)＝g （0）0＋1＋1＝1，因此h (2 018)＋h (2 017)＋h (2 016)＋…＋h (1)＋h (0)＋h (－1)＋…＋h (－2 016)＋h (－2 017)＋h (－2 018)＝2 018×2＋1＝4 037，选D. 答案：D14．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足：当x ≥0时，f (x )＝x 3，若不等式f (－4t )＞f (2m ＋mt 2)对任意实数t 恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2) B ．(－2，0)C ．(－∞，0)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)解析：当x ＜0时，f (x )＝－f (－x )＝x 3，∴f (x )＝x 3(x ∈R )，易知f (x )在R 上是增函数，结合f (－4t )＞f (2m ＋mt 2)对任意实数t 恒成立，知－4t ＞2m ＋mt 2对任意实数t 恒成立⇒mt 2＋4t ＋2m ＜0对任意实数t 恒成立⇒⎩⎨⎧m ＜0，Δ＝16－8m 2＜0⇒m ∈(－∞，－2)，故选A. 答案：A15．若方程x 2＋ax ＋2b ＝0的一个根在(0，1)内，另一个根在(1，2)内，则b －2a －1的取值范围是__________．解析：令f (x )＝x 2＋ax ＋2b ，∵方程x 2＋ax ＋2b ＝0的一个根在(0，1)内，另一个根在(1，2)内，∴⎩⎨⎧f （0）>0，f （1）<0，f （2）>0，∴⎩⎨⎧b >0，a ＋2b <－1，a ＋b >－2.根据约束条件作出可行域，可知14<b －2a －1<1.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫14，116．已知函数f (x )＝x －1x ＋1，g (x )＝x 2－2ax ＋4，若对任意x 1∈[0，1]，存在x 2∈[1，2]，使f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的最小值是________．解析：由题意可得，原不等式转化为f (x )min ≥g (x )min ，显然，f (x )在区间[0，1]上是单调递增函数，所以f (x )min ＝f (0)＝－1，当a ＜1时，g (x )min ＝g (1)＝5－2a ≤－1，解得a ≥3，与a ＜1矛盾，舍去， 当 a ＞2时，g (x )min ＝g (2)＝8－4a ≤－1，解得a ≥94，所以a ≥94，当1≤a ≤2时，g (x )min ＝g (a )＝4－a 2≤－1， 解得5≤a 或a ≤－5，与1≤a ≤2矛盾，舍去． 综上所述，a ≥94，所以实数a 的最小值是94.答案：94。
【精品】2020年高考数学一轮复习对点提分专题2.4 幂函数与二次函数 (文理科通用)(学生版)
第二篇 函数及其性质专题2.04 幂函数与二次函数【考试要求】1.通过具体实例，结合y ＝x ，y ＝1x，y ＝x 2，y ＝x ，y ＝x 3的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数； 2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题．【知识梳理】1.幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如y ＝x α的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α为常数.(2)常见的5种幂函数的图象(3)幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减.2.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式：一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0).顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)，顶点坐标为(m ，n ).零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，x 1，x 2为f (x )的零点.(2)二次函数的图象和性质函数 y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0) y ＝ax 2＋bx ＋c (a <0)图象(抛物线)定义域 R值域 ⎣⎡⎭⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝⎛⎦⎤－∞，4ac －b 24a1.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关.2.若f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则当⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ<0时恒有f (x )>0，当⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0时，恒有f (x )<0. 【疑误辨析】1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)函数y ＝2x 13是幂函数.( )(2)当n >0时，幂函数y ＝x n 在(0，＋∞)上是增函数.( )(3)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (x ∈R )不可能是偶函数.( )(4)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (x ∈[a ，b ])的最值一定是4ac －b 24a.( )【教材衍化】2.(必修1P79T1改编)已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝⎛⎭⎫12，22，则k ＋α＝( ) A.12B.1C.32D.23.(必修1P44A9改编)若函数f (x )＝4x 2－kx －8在[－1，2]上是单调函数，则实数k 的取值范围是________.【真题体验】4.(2016·全国Ⅲ卷)已知a ＝243，b ＝323，c ＝2513，则( )A.b <a <cB.a <b <cC.b <c <aD.c <a <b5.(2019·衡水中学月考)若存在非零的实数a ，使得f (x )＝f (a －x )对定义域上任意的x 恒成立，则函数f (x )可能是( )A.f (x )＝x 2－2x ＋1B.f (x )＝x 2－1C.f (x )＝2xD.f (x )＝2x ＋16.(2019·菏泽检测)幂函数f (x )＝(m 2－4m ＋4)·x m 2－6m ＋8在(0，＋∞)上为增函数，则m 的值为________.【考点聚焦】考点一 幂函数的图象和性质【例1】 (1)幂函数y ＝f (x )的图象过点(4，2)，则幂函数y ＝f (x )的图象是( )(2)若a ＝⎝⎛⎭⎫1223，b ＝⎝⎛⎭⎫1523，c ＝⎝⎛⎭⎫1213，则a ，b ，c 的大小关系是( )A.a <b <cB.c <a <bC.b <c <aD.b <a <c【规律方法】 1.对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x ＝1，y ＝1，y ＝x 所分区域.根据α<0，0<α<1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定.2.在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较.【训练1】 (1)(2019·洛阳二模)已知点⎝⎛⎭⎫a ，12在幂函数f (x )＝(a －1)x b 的图象上，则函数f (x )是( ) A.奇函数 B.偶函数C.定义域内的减函数D.定义域内的增函数 (2)(2018·上海卷)已知α∈⎩⎨⎧－2，－1，－12，⎭⎬⎫12，1，2，3.若幂函数f (x )＝x α为奇函数，且在(0，＋∞)上递减，则α＝______.考点二 二次函数的解析式【例2】 (一题多解)已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定该二次函数的解析式.【规律方法】 求二次函数的解析式，一般用待定系数法，其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式，一般选择规律如下：【训练2】已知二次函数f(x)的图象经过点(4，3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，则f(x)＝________.考点三二次函数的图象及应用【例3】(1)对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)与二次函数y＝(a－1)x2－x在同一坐标系内的图象可能是()(2)设函数f(x)＝x2＋x＋a(a>0)，已知f(m)<0，则()A.f(m＋1)≥0B.f(m＋1)≤0C.f(m＋1)>0D.f(m＋1)<0【规律方法】1.研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个点是抛物线上关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向.2.求解与二次函数有关的不等式问题，可借助二次函数的图象特征，分析不等关系成立的条件.【训练3】一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图象大致是()考点四二次函数的性质角度1二次函数的单调性与最值【例4－1】已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4，6].(1)当a＝－2时，求f(x)的最值；(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－4，6]上是单调函数.角度2二次函数的恒成立问题【例4－2】(2019·浙江“超级全能生”模拟)已知在(－∞，1]上递减的函数f(x)＝x2－2tx＋1，且对任意的x1，x2∈[0，t＋1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤2，则实数t的取值范围是()A.[－2，2]B.[1，2]C.[2，3]D.[1，2]【规律方法】 1.二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想求解.2.由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键(1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数.(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离.这两个思路的依据是：a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.【训练4】已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R)，x∈R.(1)若函数f(x)的最小值为f(－1)＝0，求f(x)的解析式，并写出单调区间；(2)在(1)的条件下，f(x)>x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，试求k的取值范围.【反思与感悟】1.幂函数y＝xα(α∈R)图象的特征α>0时，图象过原点和(1，1)点，在第一象限的部分“上升”；α<0时，图象不过原点，经过(1，1)点在第一象限的部分“下降”，反之也成立.2.求二次函数的解析式就是确定函数式f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中a，b，c的值.应根据题设条件选用适当的表达形式，用待定系数法确定相应字母的值.3.二次函数与一元二次不等式密切相关，借助二次函数的图象和性质，可直观地解决与不等式有关的问题.4.二次函数的单调性与对称轴紧密相连，二次函数的最值问题要根据其图象以及所给区间与对称轴的关系确定.【易错防范】1.幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.2.对于函数y＝ax2＋bx＋c，要认为它是二次函数，就必须满足a≠0，当题目条件中未说明a≠0时，就要讨论a＝0和a≠0两种情况.【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：40分钟)一、选择题1.(2019·济宁联考)下列命题正确的是()A.y＝x0的图象是一条直线B.幂函数的图象都经过点(0，0)，(1，1)C.若幂函数y＝xα是奇函数，则y＝xα是增函数D.幂函数的图象不可能出现在第四象限2.若函数f(x)＝x2＋ax＋b的图象与x轴的交点为(1，0)和(3，0)，则函数f(x)()A.在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增B.在(－∞，3)上递增C.在[1，3]上递增D.单调性不能确定3.(2019·北京朝阳区模拟)已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0，1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为()A.1B.0C.－1D.24.(2019·岳阳一中)已知函数y ＝ax 2＋bx －1在(－∞，0]是单调函数，则y ＝2ax ＋b 的图象不可能是( )5.已知p ：|m ＋1|<1，q ：幂函数y ＝(m 2－m －1)x m 在(0，＋∞)上单调递减，则p 是q 的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件二、填空题6.已知函数f (x )为幂函数，且f (4)＝12，则当f (a )＝4f (a ＋3)时，实数a 等于________.7.(2019·泉州质检)若二次函数f (x )＝ax 2－x ＋b (a ≠0)的最小值为0，则a ＋4b 的取值范围是________.8.已知二次函数f (x )满足f (2＋x )＝f (2－x )，且f (x )在[0，2]上是增函数，若f (a )≥f (0)，则实数a 的取值范围是________.三、解答题9.已知幂函数f (x )＝(m －1)2xm 2－4m ＋2在(0，＋∞)上单调递增，函数g (x )＝2x －k .(1)求m 的值；(2)当x ∈[1，2)时，记f (x )，g (x )的值域分别为集合A ，B ，设p ：x ∈A ，q ：x ∈B ，若p 是q 成立的必要条件，求实数k 的取值范围.10.已知奇函数y ＝f (x )定义域是R ，当x ≥0时，f (x )＝x (1－x ).(1)求出函数y ＝f (x )的解析式；(2)写出函数y ＝f (x )的单调递增区间.(不用证明，只需直接写出递增区间即可)【能力提升题组】(建议用时：20分钟)11.(2019·武汉模拟)幂函数y ＝x α，当α取不同的正数时，在区间[0，1]上它们的图象是一组美丽的曲线(如图)，设点A (1，0)，B (0，1)，连接AB ，线段AB 恰好被其中的两个幂函数y ＝x a ，y ＝x b 的图象三等分，即有BM ＝MN ＝NA ，那么a －1b＝( )A.0B.1C.12D.212.已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )，若存在非零实数t ，使得f (t )＋f ⎝⎛⎭⎫1t ＝－2成立，则a 2＋4b 2的最小值为( )A.165B.145C.16D.41113.已知函数f (x )＝mx 2＋(2－m )x ＋n (m >0)，当－1≤x ≤1时，|f (x )|≤1恒成立，则f ⎝⎛⎭⎫23＝________.14.已知二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1.(1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈[－1，1]时，函数y ＝f (x )的图象恒在函数y ＝2x ＋m 的图象的上方，求实数m 的取值范围.【新高考创新预测】15.(思维创新)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 在区间[0，1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m ( )A.与a 有关，且与b 有关B.与a 有关，但与b 无关C.与a 无关，且与b 无关D.与a 无关，但与b 有关。
【高考】2020年高考数学一轮复习高分点拨专题2.7 二次函数及幂函数(文理科通用)(学生版)
第七讲二次函数与幂函数1．幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．(2)常见的五种幂函数的图象和性质比较R R R{x|x≥0}{x|x≠0}（1）二次函数解析式的三种形式：一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n)．零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点．(2)二次函数图像R R考向一 幂函数概念及性质【例1】已知幂函数()223(22)n nf x n n x－＝＋－(n ∈Z)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为________．【举一反三】1．已知函数f(x)=(m 2−m −1)x m 2+2m−3是幂函数，且其图象与两坐标轴都没有交点，则实数m =() A ．−1B ．2C ．3D ．2或−12．已知函数f （x ）=(3m 2−2m )x m 是幂函数，若f （x ）为增函数，则m 等于（ ） A ．−13B ．−1C ．1D ．−13或13．已知幂函数f(x)=x α的图像过点(2,√2)，则下列说法正确的是（ ） A ．f(x)是奇函数，且在(0,+∞)上单调递增 B ．f(x)是偶函数，且在(0,+∞)上单调递减C ．f(x)既不是奇函数也不是偶函数，且在(0,+∞)上单调递增D ．f(x)既不是奇函数也不是偶函数，且在(0,+∞)上单调递减4．设α∈{−1，1，12，3}，则使函数y =x α的定义域为R 且为奇函数的所有α的值为（ ） A ．−1，1，3B ．12，1C ．−1，3D ．1，3考向二图像问题【例2】（1）当α∈{−1,12,1,3}时，幂函数y=xα的图象不可能经过的象限是A．第二象限 B．第三象限 C．第三、四象限 D．第二、四象限（2）在同一直角坐标系中，函数f（x）＝x a（x≥0），g（x）＝log a x的图象可能是（）A． B．C． D．【举一反三】1．如图表示的是四个幂函数在同一坐标系中第一象限内的图象，则幂函数y=x 12的图象可能是（）A．① B．② C．③ D．④2．下图给出四个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是（）①②③④A．①y=x 13，②y=x2，③y=x12，④y=x−1B．①y=x3，②y=x2，③y=x 12，④y=x−1C．①y=x2，②y=x3y=x3，③y=x−1，④y=x 1 2D．①y=x 13，②y=x12，③y=x2，④y=x−13．在同一直角坐标系中，函数f(x)=x a(x≥0)，g(x)=log a x(a>0,且a≠1)的图象可能是（）．A ．B ．C ．D ．4．如图是幂函数y ＝x m 和y ＝x n 在第一象限内的图象，则( )A ．－1<n<0,0<m<1B ．n<－1,0<m<1C ．－1<n<0，m>1D ．n<－1，m>1考向三 比较大小【例3】设a =(35)25,b =(25)35,c =(25)25，则a,b,c 的大小关系是 A ．a >c >b B ．a >b >c C ．c >a >b D ．b >c >a【举一反三】1.已知点(m,9)在幂函数f(x)=(m −2)x n的图象上，设a =f(m − 13),b =f(ln 13)， c =f(√22) 则a,b,c 的大小关系为（ ） A ．a <c <bB ．b <c <aC ．c <a <bD ．b <a <c2．设a =20.3，b =30.2，c =70.1，则a 、b 、c 的大小关系为（ ） A ．a <c <bB ．c <a <bC ．a <b <cD ．c <b <a3.．已知a =(√2)125，b =925，c =4log 4e 2，则下列结论成立的是（ ） A ．a <b <c B ．c <b <a C ．b <a <c D ．a <c <b考向四 二次函数解析式【例4】 (1)已知二次函数f (x )＝x 2－bx ＋c 满足f (0)＝3，对∀x ∈R ，都有f (1＋x )＝f (1－x )成立，则f (x )的解析式为________________．(2)已知二次函数f (x )与x 轴的两个交点坐标为(0,0)和(－2,0)且有最小值－1，则f (x )＝________. (3)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R ，a ≠0)，x ∈R ，若函数f (x )的最小值为f (－1)＝0，则f (x )＝________.1.求二次函数解析式的方法【举一反三】1.已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，则f(x)＝________.2.已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．3.已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，求f(x)的解析式．4.已知二次函数f(x)＝x2＋2bx＋c(b，c∈R)．(1)若f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤1}，求实数b，c的值；(2)若f(x)满足f(1)＝0，且关于x的方程f(x)＋x＋b＝0的两个实数根分别在区间(－3，－2)，(0,1)内，求实数b的取值范围．考向五二次函数的性质【例5】（1）设二次函数f(x)＝ax2－2ax＋c在区间[0,1]上单调递减，且f(m)≤f(0)，则实数m的取值范围是________．（2）函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a的取值范围是________ （3）已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在区间[－1,2]上有最大值4，求实数a的值．【举一反三】1．已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a ，x ∈[0,1]有最大值2，则a ＝________.2．已知函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上为增函数，那么f (2)的取值范围是______．3．若函数φ(x )＝x 2＋m |x －1|在[0，＋∞)上单调递增，则实数m 的取值范围是__________．考向六 二次函数恒成立【例6】 (1)已知二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1，若不等式f (x )>2x ＋m 在区间[－1,1]上恒成立，则实数m 的取值范围为____________．（(2)函数f (x )＝a 2x ＋3a x－2(a >1)，若在区间[－1,1]上f (x )≤8恒成立，则a 的最大值为________．【举一反三】1.已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R)，x ∈R.(1)若函数f (x )的最小值为f (－1)＝0，求f (x )的解析式，并写出单调区间； (2)在(1)的条件下，f (x )>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，试求k 的范围．2.设函数f (x )＝ax 2－2x ＋2，对于满足1<x <4的一切x 值都有f (x )>0，则实数a 的取值范围为________．3.已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是____________．考向七 二次函数根的分布【例7】一元二次方程02)12(2=-+-+a x a x 的一根比1大，另一根比－1小，则实数a 的取值范围是 ．【举一反三】1.已知关于x 的方程11()()2042x x a -+=在区间[]1,0-上有实数根，则实数a 的取值范围是 ．2.若方程210x mx -+=的两实根分别为,αβ，且012αβ<<<<，则m 的取值范围是 ．3.已知二次函数()2f x x bx c =++的两个零点分别在区间()2,1--和()1,0-内，则()3f 的取值范围是（ ）A ．()12,20B ．()12,18C ．()18,20D ．()8,184.已知函数()42f x x x x =-+，存在3210x x x >>≥，使得()()()123f x f x f x ==，则()123x x f x ⋅⋅的取值范围是__________．1．已知函数f(x)=(m−1)2x m2−4m+2是在(0,+∞)上单调递增的幂函数，则m=( )A．0或4 B．0或2 C．0 D．22．已知幂函数f（x）=x a（a是常数），则（）A．f(x)的定义域为R B．f(x)在(0,+∞)上单调递增C．f(x)的图象一定经过点(1,1)D．f(x)的图象有可能经过点(1,−1)3．如图所示的曲线是幂函数y=xα在第一象限的图象，已知α∈{−4,−14,14,4}，相应曲线C1,C2,C3,C4对应的α值依次为（）A．−4，−14，14，4 B．4，14，−14，−4 C．−14，−4，4，14D．4，14，−4，−144．函数y=2|x|−x2(x∈R)的图象为( )A． B． C． D．5．已知函数g（x）=log a（x﹣3）+2（a＞0，a≠1）的图象经过定点M，若幂函数f（x）=xα的图象过点M，则α的值等于（）A．﹣1 B．12C．2 D．36．已知幂函数y=x n在第一象限内的图象如图所示，则曲线C1、C2、C3、C4的n值可能依次为A．–2，–12，12，2 B．2，12，–12，–2 C．–12，–2，2，12D．2，12，–2，–127．幂函数y=x n是奇函数，但图象不与坐标轴相交，则n的值可以是A．3 B．1 C．0 D．–18．在函数y=1x2,y=2x2,y=x2+x,y=3x中，幂函数的个数为A．0 B．1 C．2 D．39．已知函数y =x a ,y =x b ,y =c x 的图象如图所示，则a,b,c 的大小关系为（ ）A ．c <b <aB ．a <b <cC ．c <a <bD ．a <c <b 10．当α∈{−1,12,3}时，幂函数y =x α的图象不可能经过的象限是A ．第二象限B ．第三象限C ．第四象限D ．第二、四象限 11．已知正实数a,b,c 满足log a 2=2，log 3b =13，c 6=172，则a,b,c 的大小关系是（ ）A ．a <b <cB ．a <c <bC ．c <b <aD ．b <a <c12．已知幂函数f （x ）=x a的图象经过点（2，√2），则函数f （x ）为（ ） A ．奇函数且在(0,+∞)上单调递增 B ．偶函数且在(0,+∞)上单调递减 C ．非奇非偶函数且在(0,+∞)上单调递增 D ．非奇非偶函数且在(0,+∞)上单调递减13．已知函数y =x m2−5m+4（m ∈Z ）为偶函数且在区间（0，+∞）上单调递减，则m=（ ）A ．2或3B ．3C ．2D ．114．已知函数f (x )为偶函数，当x >0时，f (x )=x 2−3x ，则（ ） A ．f (tan70∘)>f (1.4)>f (−1.5) B ．f (tan70∘)>f (−1.5)>f (1.4) C ．f (1.4)>f (tan70∘)>f (−1.5)D ．f (−1.5)>f (1.4)>f (tan70∘)15．已知函数f (x )=x 2+mx +1在区间(−∞,−1]上是减函数,在区间[1,+∞)上是增函数,则实数m 的取值范围是( ) A ．[−2,2]B ．(−∞,−2]C ．[2,+∞)D ．R16．幂函数f(x)=(m 2−2m +1)x 2m−1在(0,+∞)上为增函数，则实数m 的值为____________． 17. 已知函数f(x)=(m 2−m −1)x m 是幂函数，且f(x)在(0,+∞)上单调递增，则实数m =________. 18．已知幂函数f(x)=(k 2−2k −7)x k−1在(0,+∞)上是减函数，则实数k 的值为__________． 19．若f(x)=(m −1)2x m 是幂函数且在(0,+∞)单调递增，则实数m =_______.20．已知幂函数f （x ）=（m 3–m +1）x 12(1−8m−m 2)的图象与x 轴和y 轴都无交点．（1）求f （x ）的解析式；（2）解不等式f （x +1）>f （x –2）．21．已知幂函数y=f（x）=x−2m2−m+3，其中m∈[–2，2]，m∈Z，①定区间（0，+∞）的增函数；②对任意的x∈R，都有f（–x）+f（x）=0；求同时满足①、②两个条件的幂函数f（x）的解析式，并求x∈[0，3]时，f（x）的值域．22．已知函数f(x)=(a2−2a−2)log a x是对数函数．（1）若函数g(x)=log a(x+1)+log a(3−x)，讨论函数g(x)的单调性；,2]，不等式g(x)−m+3≤0的解集非空，求实数m的取值范围．（2）在（1）的条件下，若x∈[1323．设二次函数f(x)=x2+bx+c，b，c∈R．（1）若f(x)满足：对任意的x∈R，均有f(−x)≠−f(x)，求c的取值范围；（2）若f(x)在(0，1)上与x轴有两个不同的交点，求c2+(1+b)c的取值范围．24. 已知函数f(x)=x2−2(a−1)x+4.（Ⅰ）若f(x)为偶函数，求f(x)在[−1,2]上的值域；（Ⅱ）若f(x)在区间(−∞,2]上是减函数，求f(x)在[1,a]上的最大值.25．已知函数f(x)＝x2＋(2a－1)x－3.(1)当a＝2，x∈[－2,3]时，求函数f(x)的值域；(2)若函数f(x)在[－1,3]上的最大值为1，求实数a的值．26.设函数f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函数f(x)的最小值．11。
2020年高考数学一轮复习第二章第8节幂函数与二次函数
2020年高考数学一轮复习第二章第8节幂函数与二次函数题组一幂函数咨询题1.幂函数f (x )＝x αx112 f (x ) 122那么不等式f (|x |)≤2的解集是 ( ) A.{x |－4≤x ≤4} B.{x |0≤x ≤4} C.{x |－2≤x ≤2} D.{x |0＜x ≤2} 解析：由表知22＝(12)α，∴α＝12，∴f (x )＝12x .∴12x ()≤2，即|x |≤4，故－4≤x ≤4. 答案：A2.函数y ＝1nx ()(n ∈N ，n >2)的图象的大致形状是 ( )解析：由n >2知－1n<0，∴x ≠0，且图象在第一象限内为减函数. 答案：A3.比较以下各组值的大小：(1)138--和－1319()；(2) 254.1、253.8-〔 1.9-〕35-(3)0.20.5和0.40.3.解：比较幂值的大小，一样能够借助幂函数和指数函数的单调性，有时也要借助中间值. (1)由于幂函数13y x -=在(0，＋∞)上是减函数，因此1133<89--，因此 1133<89----，即11339<18;----()(2)由于2235554.11,0 3.81, 1.9><<0<,-(-)-13y x -=因此223555><<4.11,0 3.81, 1.9-(-)-(3)由于指数函数y ＝0.2x 在R 上是减函数， 因此0.20.5<0.20.3，又由于幂函数y ＝x 0.3在(0，＋∞)上是增函数， 因此0.20.3<0.40.3，故有0.20.5<0.40.3.4.函数f (x )＝x 2＋bx ( ) A.f (－2)＜f (0)＜f (2) B.f (0)＜f (－2)＜f (2) C. f (0)＜f (2)＜f (－2) D. f (2)＜f (0)＜f (－2) 解析：∵f (1＋x )＝f (－x )，∴(x ＋1)2＋b (x ＋1)＋c ＝x 2－b x ＋c ， ∴x 2＋(2＋b )x ＋1＋b ＋c ＝x 2－bx ＋c ， ∴2＋b ＝－b ，即b ＝－1，∴f (x )＝x 2－x ＋c ，其图象的对称轴为x ＝12，∴f (0)＜f (2)＜f (－2). 答案：C5.(2018·海口模拟)方程|x 2－2x |＝a 2＋1(a ∈(0，＋∞))的解的个数是 ( )A.1个B.2个C.3个D.4个解析：∵a ∈(0，＋∞)，∴a 2＋1＞1，∴y ＝|x 2－2x |的图象与y ＝a 2＋1的图象总有两个交点，∴方程有两解.应选B. 答案：B6.二次函数f (x )的二次项系数为a ，满足不等式f (x )＞－2x 的解集为(1,3)，且方程f (x )＋6a ＝0有两个相等的实根，求f (x )的解析式.解：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0).∵f (x )＞－2x ， ∴ax 2＋bx ＋c ＞－2x ，即ax 2＋(b ＋2)x ＋c ＞0.∵解集为(1,3)，故224,0,4,<0.x x x x x x ⎧+⎪⎨-⎪⎩≥ 0,0,213,42,3<.13<a a b a b a a c c a ⎧⎪⎪⎧⎪+⎪⎪+=-⇒=--⎨⎨⎪⎪=⎩⎪⎪⨯=⎪⎩由于f (x )＝－6a 有两个相等的实根，故ax 2＋bx ＋c ＋6a ＝0中Δ＝0. ∴b 2－4a (c ＋6a )＝0. ③ 联立①②③，故a ＝－15，b ＝－65，c ＝－35，∴f (x )＝－15x 2－65x －35.7.函数f (x )＝4x 2－mx ( ) A. f (1)≥25 B.f (1)＝25 C. f (1)≤25 D.f (1)＞25 解析：由题知8m≤－2，∴m ≤－16.∴f (1)＝9－m ≥25. 答案：A8.(2018·天津高考)函数f (x )＝224,0,40<,.x x x x x x ⎧+⎪⎨-⎪⎩≥假设f (2－a 2)＞f (a )，那么实数a 的取值范畴是 ① ②( )A.(－∞，－1)∪(2，＋∞)B.(－1,2)C.(－2,1)D.(－∞，－2)∪(1，＋∞)解析：函数f (x )＝224,0,40<,.x x x x x x ⎧+⎪⎨-⎪⎩≥的图象 如图.知f (x )在R 上为增函数. ∵f (2－a 2)＞f (a )， 即2－a 2＞a . 解得－2＜a ＜1. 答案：C9.f (x )＝x 2－2x ＋3，在闭区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，那么m 的取值范畴是 . 解析：假设f (x )＝3，那么x ＝0或x ＝2；假设f (x )＝2，那么x ＝1.借助函数图象可知1≤m ≤2. 答案：1≤m ≤2题组四幂函数与二次函数的综合应用10.(2018·福建高考)函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象关于直线x ＝－2a对称.据此可估量，对任意的非零实数a ，b ，c ，m ，n ，p ，关于x 的方程m [f (x )]2＋nf (x )＋p ＝0的解集都不可能是 ( )A.{1,2}B.{1,4}C.{1,2,3,4}D.{1,4,16,64}解析：设关于f (x )的方程m [f (x )]2＋nf (x )＋p ＝0有两根，即f (x )＝t 1或f (x )＝t 2. 而f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象关于x ＝－2b a 对称，因而f (x )＝t 1或f (x )＝t 2的两根也关于x ＝－2ba对称.而选项D 中4＋162≠1＋642.答案：D11.不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4＜0对一切x ∈R 恒成立，那么a 的取值范畴是 .解析：当a －2＝0，即a ＝2时，－4＜0恒成立；当a －2≠0时，22042162<a a a -=⎧⎨∆=-+-⎩()()0解之得：－2＜a ＜2 ∴a 的取值范畴是－2＜a ≤2. 答案：(－2,2]12.设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，假设6a ＋2b ＋c ＝0，f (1)·f (3)＞0， (1)假设a ＝1，求f (2)的值；(2)求证：方程f (x )＝0必有两个不等实根x 1、x 2，且3＜x 1＋x 2＜5. 解：(1)∵6a ＋2b ＋c ＝0，a ＝1， ∴f (2)＝4a ＋2b ＋c ＝－2a ＝－2. (2)证明：第一讲明a ≠0，∵f (1)·f (3)＝(a ＋b ＋c )(9a ＋3b ＋c )＝－(5a ＋b )(3a ＋b )＞0， 假设a ＝0，那么f (1)·f (3)＝－b 2＜0与矛盾， ∴a ≠0，其次讲明二次方程f (x )＝0必有两个不等实根x 1、x 2， ∵f (2)＝4a ＋2b ＋c ＝－2a ，∴假设a ＞0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 开口向上，而现在f (2)＜0， ∴假设a ＜0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 开口向下，而现在f (2)＞0. 故二次函数图象必与x 轴有两个不同交点， ∴ 二次方程f (x )＝0必有两个不等实根x 1、x 2，(或利用Δ＝b 2－4ac ＝b 2＋4a (6a ＋2b )＝b 2＋8ab ＋24a 2＝(b ＋4a )2＋8a 2＞0来讲明) ∵a ≠0，∴将不等式－(5a ＋b )(3a ＋b )＞0两边同除以－a 2得 (b a ＋3)(ba ＋5)＜0， ∴－5＜ba ＜－3.∴3＜x 1＋x 2＝－ba ＜5.。
专题07 指数与指数函数-2020年高考数学一轮复习(文理通用)(解析版)
2020年领军高考数学一轮复习(文理通用)专题07幂函数与二次函数最新考纲1.了解幂函数的概念．2.结合函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1x，12y x 的图象，了解它们的变化情况．3.理解并掌握二次函数的定义，图象及性质．4.能用二次函数，方程，不等式之间的关系解决简单问题.基础知识融会贯通1．幂函数 (1)幂函数的定义一般地，形如y ＝x α的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数． (2)常见的5种幂函数的图象(3)常见的5种幂函数的性质2.(1)二次函数解析式的三种形式： 一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)，顶点坐标为(m ，n )． 零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，x 1，x 2为f (x )的零点． (2)二次函数的图象和性质【知识拓展】1．幂函数的图象和性质(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性．(2)幂函数的图象过定点(1,1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点． (3)当α＞0时，y ＝x α在[0，＋∞)上为增函数； 当α＜0时，y ＝x α在(0，＋∞)上为减函数．2．若f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则当⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0时恒有f (x )>0，当⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0时，恒有f (x )<0.重点难点突破【题型一】幂函数的图象和性质【典型例题】下图给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是（）A．①，②y＝x2，③，④y＝x﹣1B．①y＝x3，②y＝x2，③，④y＝x﹣1C．①y＝x2，②y＝x3，③，④y＝x﹣1D．①，②，③y＝x2，④y＝x﹣1【解答】解：②的图象关于y轴对称，②应为偶函数，故排除选项C，D①由图象知，在第一象限内，图象下凸，递增的较快，所以幂函数的指数大于1，故排除A故选：B．【再练一题】已知点（2，8）在幂函数f（x）＝x n图象上，设，则a，b，c的大小关系是（）A．b＞a＞c B．a＞b＞c C．c＞b＞a D．b＞c＞a【解答】解：点（2，8）在幂函数f（x）＝x n图象上，∴f（2）＝2n＝8，解得n＝3，∴f（x）＝x3，设，∴a＝[（）0.3]3＝（）0.9＜（）0＝1，b＝[（）0.2]3＝（）0.6＞（）0＝1，c＝（）3＜（log1）3＝0，∴a，b，c的大小关系是b＞a＞c．故选：A．思维升华(1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．(2)在区间(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴．(3)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．【题型二】求二次函数的解析式【典型例题】已知二次函数f（x）＝ax2+（b﹣2）x+3，且﹣1.3是函数f（x）的零点．（1）求f（x）解析式，并解不等式f（x）≤3；（2）若g（x）＝f（sin x），求函数g（x）的值域．【解答】解：（1）由题意得，∴f（x）＝﹣x2+2x+3，∴﹣x2+2x+3≤3，即x2﹣2x≥0，∴{x|x≤0或x≥2}，（2）令t＝sin x∈[﹣1，1]，g（t）＝﹣t2+2t+3＝﹣（t﹣1）2+4∈[0，4]，∴g（x）∈[0，4]．【再练一题】已知二次函数f（x）的最小值为1，且f（0）＝f（2）＝3．（1）求f（x）的解析式；（2）若f（x）在区间[2a，a+1]上是单调函数，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）由已知，设f（x）＝a（x﹣1）2+1，由f（0）＝3，得a＝2，故f（x）＝2x2﹣4x+3；（2）二次函数的对称轴为x＝1，2a＜a+1，即a＜1，当对称轴在区间的左侧时，函数f（x）在区间[2a，a+1]上单调递增，即2a≥1解得a；当对称轴在区间的右侧时，函数f（x）在区间[2a，a+1]上单调递减，即a+1≤1解得a≤0，综上，实数a的取值范围为（﹣∞，0]∪[，1）．思维升华求二次函数解析式的方法【题型三】二次函数的图象和性质命题点1二次函数的图象【典型例题】已知A，B分别为函数f（x）＝x2+2x+1和函数g（x）1图象上的两点，则|AB|的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：由于函数g（x）1与函数y＝x2+2x+1（x≥﹣1）关于y＝x对称，又由函数f（x）与g（x）的图象可知，当A，B最近时，点A应在函数y＝x2+2x+1（x＞﹣1）上，则|AB|的最小值为函数f（x）或g（x）图象上的点到直线y＝x距离最小值的2倍，由g'（x）l，得x，y1，g（x）图象上的点到直线y＝x距离最小值即为点（，）到直线y＝x的距离，其值为，则|AB|的最小值为，故选：B．【再练一题】设函数f（x）当x∈[，]时，恒有f（x+a）＜f（x），则实数a的取值范围是（）A．（，）B．（﹣1，）C．（，0）D．（，]【解答】解：a＝0时，显然不符题意；当x∈[，]时，恒有f（x+a）＜f（x），即为f（x）的图象恒在f（x+a）的图象之上，则a＜0，即f（x）的图象右移．故A，B错；画出函数f（x）（a＜0）的图象，当x时，f（）＝﹣a•；而f（x+a），则x时，由﹣a（a）2+a a•，解得a（舍去），随着f（x+a）的图象左移至f（x）的过程中，均有f（x）的图象恒在f（x+a）的图象上，则a的范围是（，0），故选：C．命题点2二次函数的单调性【典型例题】已知函数f（x）＝x2+|x+1﹣a|，其中a为实常数（Ⅰ）判断f（x）在[，]上的单调性（Ⅱ）若存在x∈R，使不等式f（x）≤2|x﹣a|成立，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）＝x2+|x+1﹣a|，其中a为实常数；∴当x≥a﹣1时，f（x）＝x2+x+1﹣a，它的图象是抛物线的一部分，对称轴是x，若a，则a﹣1，∴在x时，f（x）是增函数，∴f（x）在[，]上单调递增；若a，则a，∴f（x）在[a﹣1，]上是增函数；当x＜a﹣1时，f（x）＝x2﹣x﹣1+a，它的图象是抛物线的一部分，对称轴是x，若a，则a﹣1，∴在x时，f（x）是减函数，∴f（x）在[，]上单调递减；若a，则a﹣1，∴f（x）在[，a﹣1]上是减函数；综上，a时，f（x）在[，]上是增函数；a时，f（x）在[a﹣1，]上是增函数，在[，a﹣1]上是减函数；a时，f（x）在[，]上是减函数；（Ⅱ）先求使不等式f（x）＞2|x﹣a|对x∈R恒成立时a的取值范围；①当x≤a﹣1时，不等式化为x2﹣x﹣1+a＞2（a﹣x），即x2+x﹣1＞a，∴a；若a﹣1，即a，则a相矛盾；若a﹣1，即a，则a＜（a﹣1）2+（a﹣1）﹣1，即a2﹣2a﹣1＞0，解得a＞1或a＜1，∴a＜1；②当a﹣1＜x≤a时，不等式化为x2+x+1﹣a＞2（a﹣x），即x2+3x+1＞3a，∴3a；若a﹣1a，即a；若a﹣1，即a，∴3a≤（a﹣1）2+3（a﹣1）+1，即a2﹣2a﹣1≥0，解得a≥1或a≤1；结合条件及①得，a≤1；若a，3a＜a2+3a+1恒成立；综上，a＜1；③当x＞a时，不等式化为x2+x+1﹣a＞2（x﹣a），即a2﹣x+1＞﹣a；a，得﹣a，即a，结合②得a＜1；∴使不等式f（x）＞2|x﹣a|对任意x∈R恒成立的a的取值范围是a＜1，∴本题所求的a的取值范围是a≥1或a．【再练一题】已知函数f（x）＝ax2﹣|x|+2a﹣1（a为实常数）．（1）若a＝1，求f（x）的单调区间；（2）若a＞0，设f（x）在区间[1，2]的最小值为g（a），求g（a）的表达式；（3）设，若函数h（x）在区间[1，2]上是增函数，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）a＝1，f（x）＝x2﹣|x|+1∴f（x）的单调增区间为（），（，0）；f（x）的单调减区间为（），（）（2）由于a＞0，当x∈[1，2]时，①若，即，则f（x）在[1，2]为增函数g（a）＝f（1）＝3a﹣2②若，即，③若，即时，f（x）在[1，2]上是减函数：g（a）＝f（2）＝6a﹣3．综上可得（3）在区间[1，2]上任取x1、x2，则（*）∵h（x）在[1，2]上是增函数∴h（x2）﹣h（x1）＞0∴（*）可转化为ax1x2﹣（2a﹣1）＞0对任意x1、x2∈[1，2]且x1＜x2都成立，即ax1x2＞2a﹣1①当a＝0时，上式显然成立②a＞0，，由1＜x1x2＜4得，解得0＜a≤1③a＜0，，由1＜x1x2＜4得，，得所以实数a的取值范围是命题点3二次函数的最值【典型例题】【解答】解：（1）当1时，函数y＝2x2﹣2ax+3在区间[﹣1，1]上是增函数，故当x＝﹣1时，函数取得最小值是f（﹣1）＝2a+5．当﹣11时，由于函数y＝2x2﹣2ax+3对称轴是x，故当x时，函数在区间[﹣1，1]上取得最小值是f（）＝3．当1时，函数y＝2x2﹣2ax+3在区间[﹣1，1]上是减函数，故当x＝1时，函数取得最小值是f（1）＝5﹣2a．综上可得f（a）．（2）当﹣2≤a≤0时，f（a）＝3在[﹣2，0]上是增函数，由复合函数的单调性可得函数φ（a）＝log0.5f （a）在[﹣2，0]上是减函数．同理可得，数φ（a）＝log0.5f（a）在[0，2]上是增函数．【再练一题】已知函数f（x）＝log2x的定义域是[2，16]．设g（x）＝f（2x）﹣[f（x）]2．（1）求函数g（x）的解析式及定义域；（2）求函数g（x）的最值．【解答】解：（1）由题意可得g（x），且，进一步得：，且定义域为【2，8】，（2）令t＝log2x，则t∈[1，3]，h（t）＝﹣t2+t+1，∵h（t）在【1，3】递减∴h（t）的值域为【h（3），h（1）】，即【﹣5，1】，∴当x＝8时，g（x）有最小值﹣5，当x＝2时，g（x）有最大值1．命题点4二次函数中的恒成立问题【典型例题】不等式x2+a|x|+4≥0对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围为（）A．[0，+∞）B．[﹣4，+∞）C．[﹣4，4] D．（﹣∞，﹣4]【解答】解：f（x）＝x2+a|x|+4为偶函数；当a≥0，x＞0时，函数化为f（x）＝x2+ax+4，对称轴x＜0，f（0）＝4＞0，不等式恒成立；当a＜0时，x＞0时，函数化为f（x）＝x2+ax+4，可得△＝a2﹣16≤0显然成立解得﹣4≤a＜0，综上a∈[﹣4，+∞）．故选：B．【再练一题】已知对∀a∈（﹣∞，0），∀x∈（0，+∞），不等式x2+（3﹣a）x+3﹣2a2＜ke x成立，则实数k的取值范围为（）A．（3，+∞）B．[3，+∞）C．（4，+∞）D．[4，+∞）【解答】解：由不等式x2+（3﹣a）x+3﹣2a2＜ke x成立，即成立，令f（x），则f′（x）令f′（x）＝0，可得：x1＝2a﹣1，x2＝﹣a，∵a∈（﹣∞，0），∴x1＝2a﹣1＜0，x2＝﹣a＞0∵x∈（0，+∞），∴当x∈（0，﹣a），f′（x）＞0，则f（x）在x∈（0，﹣a）单调递增∴当x∈（﹣a，+∞），f′（x）＜0，则f（x）在x∈（﹣a，+∞）单调递减当x＝﹣a时，f（x）取得最大值为f（﹣a）k，即f（a）k，∵a∈（﹣∞，0），f（a）＜f（0）≤k．即k≥3．故选：B．思维升华解决二次函数图象与性质问题时要注意：(1)抛物线的开口，对称轴位置，定义区间三者相互制约，要注意分类讨论；(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解)．(3)由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键解题思路：一是分离参数；二是不分离参数．两种思路都是将问题归结为求函数的最值或值域．基础知识训练1．若，则A．B．C．D．【答案】B【解析】由得：则指数函数单调性可知：由幂函数单调性可知：综上所述：本题正确选项：2．用b，表示a，b，c三个数中的最小值设函数，则函数的最大值为A．4B．5C．6D．7【答案】B【解析】如图所示：则的最大值为交点的纵坐标，由，得即当时，．故选：B．3．已知，则x等于A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意，可知，可得，即，所以，解得．故选：A．4．三个数a＝cos，b＝lg，c之间的大小关系是（）A．B．C．D．【答案】Da＝cos∈（0，1），b＝lg0，c1，∴b＜a＜c．故选：D．5．在同一直角坐标系中，的图像可能是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为的图象为过点的递增的指数函数图象，故排除选项；的图象为过点的递减的函数图象，故排除选项，故选B．6．函数的图像必经过点（）A．（0,2）B．（4,3）C．（4,2）D．（2,3）【答案】B【解析】令，所以，因此函数过点（4,3）.故选B7．函数在区间上的最小值是A．B．C．D．4【答案】B【解析】结合指数函数的性质可知在该区间单调递减,故当取到最小值,为,故选B.8．函数的单调递减区间是( )A．B．C．D．【解析】设t＝x2﹣2x﹣3，则函数在（﹣∞，1]上单调递减，在[1，+∞）上单调递增．因为函数在定义域上为减函数，所以由复合函数的单调性性质可知，此函数的单调递减区间是（1，+∞）．故选：D．9．不等式的解集是( )A．B．C．D．【答案】D【解析】因为y＝2x在R上是增函数，，所以2x﹣7<4x﹣1，即x>﹣3所以不等式的解集是{x|x>﹣3}，故选D.10．如图，在四个图形中，二次函数与指数函数的图像只可能是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据指数函数y＝（）x可知a，b同号且不相等，则二次函数y＝ax2+bx的对称轴0可排除B与D，又二次函数，当x=0时，y=0，而A中，x=0时，y<0，故A不正确．故选C．11．若函数的最大值为2，则实数的值为（）A．-1 B．-2 C．-3 D．-4【答案】A【解析】解：函数f（x）＝3﹣|x|﹣m是偶函数，x＞0时，函数是减函数，函数的最大值为：1﹣m＝2，解得m＝﹣1．故选：A．12．已知，若对任意，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵g（x）＝﹣2，当x<时,恒成立，当x≥时，g（x）≥0，又∵∀x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0，∴f（x）＝m（x﹣2m）（x+m+3）＜0在x≥时恒成立，即m（x﹣2m）（x+m+3）＜0在x≥时恒成立，则二次函数y＝m（x﹣2m）（x+m+3）图象开口只能向下，且与x轴交点都在（，0）的左侧，∴，即，解得＜m＜0，∴实数m的取值范围是：（，0）．故选C．13．计算______．【答案】8【解析】．故答案为：8．14．函数的值域是_____．【答案】【解析】因为单调递增，所以的值域为，∴的值域为（﹣1，+∞）故答案为：（﹣1，+∞）．15．某品牌笔记本电脑的成本不断降低，若每隔4年价格就降低，则现在价格为8100元的笔记本电脑，12年后的价格将降为__________元．【答案】2400【解析】12年后的价格可降为81002400元．故答案为2400．16．函数的图象恒过定点, 点在幂函数的图象上，则=____.【答案】27【解析】当时，函数，故，设幂函数，则，解得，故.17．已知定义在R上的函数f（x）=3x．（1）若f（x）=8，求x的值；（2）对于任意的x∈[0，2]，[f（x）-3]•3x+13-m≥0恒成立，求实数m的取值范围．【答案】（1）x=2（2）m≤【解析】（1）f（x）=3x=8，即（3x）2-8•3x-9=0，解得：x=2；（2）原式转化为[f（x）-3]3x+13≥m，令g（x）=[f（x）-3]3x+13=（3x）2-3•3x+4，令t=3x，由x∈[0，2]，则t∈[1，9]，故y=t2-3t+4，当t=时，y取最小值，故m≤．18．已知奇函数的定义域为[-1,1]，当时，。
高考必备-2020年高考数学一轮复习高分点拨专题2.7 二次函数及幂函数(文理科通用)(学生版)
第七讲二次函数与幂函数1．幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．(2)常见的五种幂函数的图象和性质比较R R R{x|x≥0}{x|x≠0}（1）二次函数解析式的三种形式：一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n)．零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点．(2)二次函数图像R R考向一 幂函数概念及性质【例1】已知幂函数()223(22)n nf x n n x－＝＋－(n ∈Z)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为________．【举一反三】1．已知函数f(x)=(m 2−m −1)x m 2+2m−3是幂函数，且其图象与两坐标轴都没有交点，则实数m =() A ．−1B ．2C ．3D ．2或−12．已知函数f （x ）=(3m 2−2m )x m 是幂函数，若f （x ）为增函数，则m 等于（ ） A ．−13B ．−1C ．1D ．−13或13．已知幂函数f(x)=x α的图像过点(2,√2)，则下列说法正确的是（ ） A ．f(x)是奇函数，且在(0,+∞)上单调递增 B ．f(x)是偶函数，且在(0,+∞)上单调递减C ．f(x)既不是奇函数也不是偶函数，且在(0,+∞)上单调递增D ．f(x)既不是奇函数也不是偶函数，且在(0,+∞)上单调递减4．设α∈{−1，1，12，3}，则使函数y =x α的定义域为R 且为奇函数的所有α的值为（ ） A ．−1，1，3B ．12，1C ．−1，3D ．1，3考向二图像问题【例2】（1）当α∈{−1,12,1,3}时，幂函数y=xα的图象不可能经过的象限是A．第二象限 B．第三象限 C．第三、四象限 D．第二、四象限（2）在同一直角坐标系中，函数f（x）＝x a（x≥0），g（x）＝log a x的图象可能是（）A． B．C． D．【举一反三】1．如图表示的是四个幂函数在同一坐标系中第一象限内的图象，则幂函数y=x 12的图象可能是（）A．① B．② C．③ D．④2．下图给出四个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是（）①②③④A．①y=x 13，②y=x2，③y=x12，④y=x−1B．①y=x3，②y=x2，③y=x 12，④y=x−1C．①y=x2，②y=x3y=x3，③y=x−1，④y=x 1 2D．①y=x 13，②y=x12，③y=x2，④y=x−13．在同一直角坐标系中，函数f(x)=x a(x≥0)，g(x)=log a x(a>0,且a≠1)的图象可能是（）．A ．B ．C ．D ．4．如图是幂函数y ＝x m 和y ＝x n 在第一象限内的图象，则( )A ．－1<n<0,0<m<1B ．n<－1,0<m<1C ．－1<n<0，m>1D ．n<－1，m>1考向三 比较大小【例3】设a =(35)25,b =(25)35,c =(25)25，则a,b,c 的大小关系是 A ．a >c >b B ．a >b >c C ．c >a >b D ．b >c >a【举一反三】1.已知点(m,9)在幂函数f(x)=(m −2)x n的图象上，设a =f(m − 13),b =f(ln 13)， c =f(√22) 则a,b,c 的大小关系为（ ） A ．a <c <bB ．b <c <aC ．c <a <bD ．b <a <c2．设a =20.3，b =30.2，c =70.1，则a 、b 、c 的大小关系为（ ） A ．a <c <bB ．c <a <bC ．a <b <cD ．c <b <a3.．已知a =(√2)125，b =925，c =4log 4e 2，则下列结论成立的是（ ） A ．a <b <c B ．c <b <a C ．b <a <c D ．a <c <b考向四 二次函数解析式【例4】 (1)已知二次函数f (x )＝x 2－bx ＋c 满足f (0)＝3，对∀x ∈R ，都有f (1＋x )＝f (1－x )成立，则f (x )的解析式为________________．(2)已知二次函数f (x )与x 轴的两个交点坐标为(0,0)和(－2,0)且有最小值－1，则f (x )＝________. (3)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R ，a ≠0)，x ∈R ，若函数f (x )的最小值为f (－1)＝0，则f (x )＝________.1.求二次函数解析式的方法【举一反三】1.已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，则f(x)＝________.2.已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．3.已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，求f(x)的解析式．4.已知二次函数f(x)＝x2＋2bx＋c(b，c∈R)．(1)若f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤1}，求实数b，c的值；(2)若f(x)满足f(1)＝0，且关于x的方程f(x)＋x＋b＝0的两个实数根分别在区间(－3，－2)，(0,1)内，求实数b的取值范围．考向五二次函数的性质【例5】（1）设二次函数f(x)＝ax2－2ax＋c在区间[0,1]上单调递减，且f(m)≤f(0)，则实数m的取值范围是________．（2）函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a的取值范围是________ （3）已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在区间[－1,2]上有最大值4，求实数a的值．【举一反三】1．已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a ，x ∈[0,1]有最大值2，则a ＝________.2．已知函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上为增函数，那么f (2)的取值范围是______．3．若函数φ(x )＝x 2＋m |x －1|在[0，＋∞)上单调递增，则实数m 的取值范围是__________．考向六 二次函数恒成立【例6】 (1)已知二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1，若不等式f (x )>2x ＋m 在区间[－1,1]上恒成立，则实数m 的取值范围为____________．（(2)函数f (x )＝a 2x ＋3a x－2(a >1)，若在区间[－1,1]上f (x )≤8恒成立，则a 的最大值为________．【举一反三】1.已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R)，x ∈R.(1)若函数f (x )的最小值为f (－1)＝0，求f (x )的解析式，并写出单调区间； (2)在(1)的条件下，f (x )>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，试求k 的范围．2.设函数f (x )＝ax 2－2x ＋2，对于满足1<x <4的一切x 值都有f (x )>0，则实数a 的取值范围为________．3.已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是____________．考向七 二次函数根的分布【例7】一元二次方程02)12(2=-+-+a x a x 的一根比1大，另一根比－1小，则实数a 的取值范围是 ．【举一反三】1.已知关于x 的方程11()()2042x x a -+=在区间[]1,0-上有实数根，则实数a 的取值范围是 ．2.若方程210x mx -+=的两实根分别为,αβ，且012αβ<<<<，则m 的取值范围是 ．3.已知二次函数()2f x x bx c =++的两个零点分别在区间()2,1--和()1,0-内，则()3f 的取值范围是（ ）A ．()12,20B ．()12,18C ．()18,20D ．()8,184.已知函数()42f x x x x =-+，存在3210x x x >>≥，使得()()()123f x f x f x ==，则()123x x f x ⋅⋅的取值范围是__________．1．已知函数f(x)=(m−1)2x m2−4m+2是在(0,+∞)上单调递增的幂函数，则m=( )A．0或4 B．0或2 C．0 D．22．已知幂函数f（x）=x a（a是常数），则（）A．f(x)的定义域为R B．f(x)在(0,+∞)上单调递增C．f(x)的图象一定经过点(1,1)D．f(x)的图象有可能经过点(1,−1)3．如图所示的曲线是幂函数y=xα在第一象限的图象，已知α∈{−4,−14,14,4}，相应曲线C1,C2,C3,C4对应的α值依次为（）A．−4，−14，14，4 B．4，14，−14，−4 C．−14，−4，4，14D．4，14，−4，−144．函数y=2|x|−x2(x∈R)的图象为( )A． B． C． D．5．已知函数g（x）=log a（x﹣3）+2（a＞0，a≠1）的图象经过定点M，若幂函数f（x）=xα的图象过点M，则α的值等于（）A．﹣1 B．12C．2 D．36．已知幂函数y=x n在第一象限内的图象如图所示，则曲线C1、C2、C3、C4的n值可能依次为A．–2，–12，12，2 B．2，12，–12，–2 C．–12，–2，2，12D．2，12，–2，–127．幂函数y=x n是奇函数，但图象不与坐标轴相交，则n的值可以是A．3 B．1 C．0 D．–18．在函数y=1x2,y=2x2,y=x2+x,y=3x中，幂函数的个数为A．0 B．1 C．2 D．39．已知函数y =x a ,y =x b ,y =c x 的图象如图所示，则a,b,c 的大小关系为（ ）A ．c <b <aB ．a <b <cC ．c <a <bD ．a <c <b 10．当α∈{−1,12,3}时，幂函数y =x α的图象不可能经过的象限是A ．第二象限B ．第三象限C ．第四象限D ．第二、四象限 11．已知正实数a,b,c 满足log a 2=2，log 3b =13，c 6=172，则a,b,c 的大小关系是（ ）A ．a <b <cB ．a <c <bC ．c <b <aD ．b <a <c12．已知幂函数f （x ）=x a的图象经过点（2，√2），则函数f （x ）为（ ） A ．奇函数且在(0,+∞)上单调递增 B ．偶函数且在(0,+∞)上单调递减 C ．非奇非偶函数且在(0,+∞)上单调递增 D ．非奇非偶函数且在(0,+∞)上单调递减13．已知函数y =x m2−5m+4（m ∈Z ）为偶函数且在区间（0，+∞）上单调递减，则m=（ ）A ．2或3B ．3C ．2D ．114．已知函数f (x )为偶函数，当x >0时，f (x )=x 2−3x ，则（ ） A ．f (tan70∘)>f (1.4)>f (−1.5) B ．f (tan70∘)>f (−1.5)>f (1.4) C ．f (1.4)>f (tan70∘)>f (−1.5)D ．f (−1.5)>f (1.4)>f (tan70∘)15．已知函数f (x )=x 2+mx +1在区间(−∞,−1]上是减函数,在区间[1,+∞)上是增函数,则实数m 的取值范围是( ) A ．[−2,2]B ．(−∞,−2]C ．[2,+∞)D ．R16．幂函数f(x)=(m 2−2m +1)x 2m−1在(0,+∞)上为增函数，则实数m 的值为____________． 17. 已知函数f(x)=(m 2−m −1)x m 是幂函数，且f(x)在(0,+∞)上单调递增，则实数m =________. 18．已知幂函数f(x)=(k 2−2k −7)x k−1在(0,+∞)上是减函数，则实数k 的值为__________． 19．若f(x)=(m −1)2x m 是幂函数且在(0,+∞)单调递增，则实数m =_______.20．已知幂函数f （x ）=（m 3–m +1）x 12(1−8m−m 2)的图象与x 轴和y 轴都无交点．（1）求f （x ）的解析式；（2）解不等式f （x +1）>f （x –2）．21．已知幂函数y=f（x）=x−2m2−m+3，其中m∈[–2，2]，m∈Z，①定区间（0，+∞）的增函数；②对任意的x∈R，都有f（–x）+f（x）=0；求同时满足①、②两个条件的幂函数f（x）的解析式，并求x∈[0，3]时，f（x）的值域．22．已知函数f(x)=(a2−2a−2)log a x是对数函数．（1）若函数g(x)=log a(x+1)+log a(3−x)，讨论函数g(x)的单调性；,2]，不等式g(x)−m+3≤0的解集非空，求实数m的取值范围．（2）在（1）的条件下，若x∈[1323．设二次函数f(x)=x2+bx+c，b，c∈R．（1）若f(x)满足：对任意的x∈R，均有f(−x)≠−f(x)，求c的取值范围；（2）若f(x)在(0，1)上与x轴有两个不同的交点，求c2+(1+b)c的取值范围．24. 已知函数f(x)=x2−2(a−1)x+4.（Ⅰ）若f(x)为偶函数，求f(x)在[−1,2]上的值域；（Ⅱ）若f(x)在区间(−∞,2]上是减函数，求f(x)在[1,a]上的最大值.25．已知函数f(x)＝x2＋(2a－1)x－3.(1)当a＝2，x∈[－2,3]时，求函数f(x)的值域；(2)若函数f(x)在[－1,3]上的最大值为1，求实数a的值．26.设函数f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函数f(x)的最小值．11。
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《幂函数》题型专题汇编题型一 幂函数的图象解析：由幂函数y ＝x α，若0<α<1，在第一象限内过(1,1)，排除A 、D ，又其图象上凸，则d 的大小关系是( )A ．d >c >b >aB ．a >b >c >dC ．d >c >a >bD ．a >b >d >c答案 B解析 由幂函数的图象可知，在(0,1)上幂函数的指数越大，函数图象越接近x 轴，由题图知a >b >c >d ，故选B.3、如图是①y ＝x a ；②y ＝x b ；③y ＝x c 在第一象限的图象，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c <b <aB ．a <b <cC ．b <c <aD ．a <c <b解析：选D.根据幂函数的性质，可知选D. 4、幂函数y ＝24m mx－(m ∈Z )的图象如图所示，则m 的值为( )A ．0B ．1C ．2D ．3答案 C 解析 ∵y ＝24m mx－(m ∈Z )的图象与坐标轴没有交点，∴m 2－4m <0，即0<m <4.又∵函数的图象关于y 轴对称且m ∈Z ，∴m 2－4m 为偶数，∴m ＝2.5、已知f (x )＝x 2，g (x )＝12x ，h (x )＝x －2，当0<x <1时，f (x )，g (x )，h (x )的大小关系是______答案 h (x )>g (x )>f (x )解析 分别作出f (x )，g (x )，h (x )的图象如图所示，可知h (x )>g (x )>f (x )．题型二 幂函数的性质1、幂函数y ＝f (x )经过点(3，3)，则f (x )是( ) A ．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 B ．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数 C ．奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数 D ．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 答案 D解析 设幂函数的解析式为y ＝x α，将(3，3)代入解析式得3α＝3，解得α＝12，∴y ＝12x .2、若幂函数f (x )＝(m 2－4m ＋4)·268m m x －＋在(0，＋∞)上为增函数，则m 的值为( )A ．1或3B ．1C ．3D ．2答案 B解析 由题意得m 2－4m ＋4＝1，m 2－6m ＋8>0，解得m ＝1. 3、若幂函数的图象经过点⎝⎛⎭⎫2，14，则它的单调递增区间是( ) A ．(0，＋∞) B ．[0，＋∞) C ．(－∞，＋∞) D ．(－∞，0)答案 D解析 设f (x )＝x α，则2α＝14，α＝－2，即f (x )＝x －2，它是偶函数，单调递增区间是(－∞，0)．故选D.4、已知幂函数f (x )＝x α的图象过点(2，4)，那么函数f (x )的单调递增区间是________．解析：因为f (2)＝2α＝4，所以α＝2，故函数f (x )的解析式为f (x )＝x 2，则其单调递增区间为[0，＋∞)． 答案：[0，＋∞)5、已知α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，2，12，3，13，若f (x )＝x α为奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增，则实数α的值是( )A ．－1,3 B.13，3 C ．－1，13，3D.13，12，3 答案 B解析 因为f (x )＝x α为奇函数，所以α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，3，13.因为f (x )＝x α在(0，＋∞)上单调递增，所以α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫2，12，3，13，综上知α的值是13，3.7、已知幂函数f (x )＝23(22)n n n n x －＋－(n ∈Z )的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为( )A ．－3B ．1C ．2D ．1或2 答案 B解析 由于f (x )为幂函数，所以n 2＋2n －2＝1，解得n ＝1或n ＝－3，经检验只有n ＝1符合题意，故选B.8、已知a ＝0.40.3，b ＝0.30.4，c ＝0.3－0.2，则( )A ．b <a <cB ．b <c <aC ．c <b <aD ．a <b <c 解析：∵1>a ＝0.40.3>0.30.3>b ＝0.30.4，c ＝0.3－0.2>1，∴b <a <c ，故选A.答案：A9、下列选项正确的是( )A ．0.20.2>0.30.2B ． 2−13 <3−13 C ．0.8－0.1>1.250.2D ．1.70.3>0.93.1答案 D解析 y ＝x 0.2在(0，＋∞)上为增函数，且0.2<0.3，所以0.20.2<0.30.2，故A 错误； y ＝x － 13 在(0，＋∞)上为减函数，且2<3，所以 2−13 >3−13 ，故B 错误； 因为0.8－0.1＝1.250.1<1.250.2，故C 错误；因为1.70.3>1.70＝1,0.93.1<0.90＝1，所以1.70.3>0.93.1，故D 正确．10、已知点(m ，8)在幂函数f (x )＝(m －1)x n的图象上，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎝⎛⎭⎫1312，b ＝f (ln π)，c ＝f ⎝⎛⎭⎫－12，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c <a <b B ．a <b <c C ．b <c <aD ．b <a <c解析：选A.根据题意，m －1＝1，所以m ＝2，所以2n ＝8，所以n ＝3，所以f (x )＝x 3.因为f (x )＝x 3是定义在R 上的增函数，又－12<0<⎝⎛⎭⎫1312<⎝⎛⎭⎫130＝1<ln π， 所以c <a <b .11、已知幂函数f (x )＝x －12，若f (a ＋1)<f (10－2a )，则实数a 的取值范围是________． 解析：因为f (x )＝x －12＝1x(x >0)，易知x ∈(0，＋∞)时f (x )为减函数，又f (a ＋1)<f (10－2a )，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1>0，10－2a >0，a ＋1>10－2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a >－1，a <5，a >3，所以3<a <5.答案：(3，5)12、已知函数f (x )为幂函数，且f (4)＝12，则当f (a )＝4f (a ＋3)时，实数a 等于________．答案 15解析 设f (x )＝x α，则4α＝12，所以α＝－12.因此f (x )＝x －12，从而a －12＝4(a ＋3)－12，解得a ＝15.13、若13(1)a -＋<13(32)a -－，则实数a 的取值范围是____________．答案 (－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫23，32 解析 不等式13(1)a -＋<13(32)a -－等价于a ＋1>3－2a >0或3－2a <a ＋1<0或a ＋1<0<3－2a ，解得a <－1或23<a <32.14、已知幂函数f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫14，2，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)(x 1<x 2)是函数图象上任意不同的两点，给出以下结论：①x 1f (x 1)>x 2f (x 2)； ②x 1f (x 1)<x 2f (x 2)； ③x 22f (x 1)>x 21f (x 2)； ④x 22f (x 1)<x 21f (x 2)．其中正确结论的序号为( ) A ．①③ B ．①④ C ．②③D ．②④解析：选C.设函数f (x )＝x α，依题意有⎝⎛⎭⎫14α＝2，所以α＝－12，因此f (x )＝x －12. 令g (x )＝xf (x )＝x ·x －12＝x 12，则g (x )在(0，＋∞)上单调递增，而0<x 1<x 2，所以g (x 1)<g (x 2)，即x 1f (x 1)<x 2f (x 2)，故①错误，②正确； 令h (x )＝f （x ）x 2＝，则h (x )在(0，＋∞)上单调递减，而0<x 1<x 2，所以h (x 1)>h (x 2)， 即f （x 1）x 21>f （x 2）x 22，于是x 22f (x 1)>x 21f (x 2)， 故③正确，④错误，故选C. 15、已知幂函数f (x )＝x (m2＋m )－1(m ∈N *)的图象经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围． 解：因为函数f (x )的图象经过点(2，2)， 所以2＝2(m 2＋m )－1，即212＝2(m 2＋m )－1，所以m 2＋m ＝2，解得m ＝1或m ＝－2. 又因为m ∈N *，所以m ＝1，f (x )＝x 12.又因为f (2－a )>f (a －1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧2－a ≥0，a －1≥0，2－a >a －1，解得1≤a <32，故函数f (x )的图象经过点(2，2)时，m ＝1.满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围为1≤a <32.。