高三数学一轮复习 专题六知能演练轻松闯关 新人教版

1．某公司有一批专业技术人员，对他们进行年龄状况和接受教育程度(学历)的调查，其结果(人数分布)学历 35岁以下 35～50岁 50岁以上 本科 80 30 20 研究生 x 20 y

(1)5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有1人的学历为研究生的概率； (2)在这个公司的专业技术人员中按年龄状况用分层抽样的方法抽取N 个人，其中35岁以下48人，50岁以上10人，再从这N 个人中随机抽取出1人，此人的年龄为50岁以上的概率为5

39，求x 、y 的值． 解：(1)用分层抽样的方法在35～50岁中抽取一个容量为5的样本，设抽取学历为本科的人数为m ， ∴3050＝m

5

，解得m ＝3. ∴抽取了研究生学历的2人，本科学历的3人，分别记作S 1、S 2；B 1、B 2、B 3.

从中任取2人的所有基本事件共有10个：(S 1，B 1)，(S 1，B 2)，(S 1，B 3)，(S 2，B 1)，(S 2，B 2)，(S 2，B 3)，(S 1，S 2)，(B 1，B 2)，(B 2，B 3)，(B 1，B 3)．

其中至少有1人的学历为研究生的基本事件有7个：(S 1，B 1)，(S 1，B 2)，(S 1，B 3)，(S 2，B 1)，(S 2，B 2)，(S 2，B 3)，(S 1，S 2)．

∴从中任取2人，至少有1人的教育程度为研究生的概率为7

10

.

(2)依题意，得10N ＝5

39

，解得N ＝78.

∴35～50岁中被抽取的人数为78－48－10＝20.

∴4880＋x ＝2050＝1020＋y . 解得x ＝40，y ＝5.

2．某市为了了解今年高中毕业生的体能状况，从本市某校高中毕业班中抽取一个班进行铅球测试，成绩在8.0米以上的为合格．把所得数据进行整理后，分成6组画出频率分布直方图的一部分(如图)，已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04，0.10,0.14,0.28,0.30.第6小组的频数是7.

(1)求这次铅球测试成绩合格的人数；

(2)若由直方图来估计这组数据的中位数，指出它在第几组内，并说明理由；

(3)现在要从第6小组的学生中，随机选出2人参加“毕业运动会”，已知该组a 、b 的成绩均很优秀，求两人至少有1人入选的概率．

解：(1)第6小组的频率为1－(0.04＋0.10＋0.14＋0.28＋0.30)＝0.14，

∴此次测试总人数为7

0.14

＝50(人)．

∴第4、5、6组成绩均合格，人数为(0.28＋0.30＋0.14)×50＝36(人)．

(2)直方图中中位数两侧的面积相等，即频率相等．前三组的频率和为0.28，前四组的频率和为0.56，

∴中位数位于第4组内．

(3)a 、b 均不入选的概率为C 25C 27，a 、b 至少有1人入选的概率为1－C 2

5C 27＝11

21

.

3．设函数f (x )＝x 2

－2a －1x ＋b 2

的定义域为D .

(1)a ∈{1,2,3,4}，b ∈{1,2,3}，求使D ＝R 的概率； (2)a ∈[0,4]，b ∈[0,3]，求使D ＝R 的概率． 解：(1)因为a ∈{1,2,3,4}，b ∈{1,2,3}， 所以(a ，b )的所有可能为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，共计12种．

要使D ＝R ，需4(a －1)2－4b 2

≤0，即|a －1|≤|b |，

那么满足D ＝R 的(a ，b )的所有可能为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(4,3)，共计9种．

所以其概率为P ＝912＝3

4

.

(2)因为a ∈[0,4]，b ∈[0,3]，所以所有的点(a ，b )构成的区域的面积为12，而D ＝R ，有

4(a －1)2－4b 2

≤0，即|a －1|≤|b |，满足|a －1|≤|b |，a ∈[0,4]，b ∈[0,3]的点(a ，b )构

成的区域的面积为7，故所求概率P ＝7

12

.

4．张先生家住H 小区，他工作在C 科技园区，从家开车到公司上班路上有L 1，L 2两条路线，

L 1路线上有A 1，A 2，A 3三个路口，各路口遇到红灯的概率均为1

2

；L 2路线上有B 1，B 2两个路口，

各路口遇到红灯的概率依次为34，3

5

.

(1)若走L 1路线，求最多遇到1次红灯的概率； (2)若走L 2路线，求遇到红灯次数X 的数学期望；

(3)按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助张先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由．

解：(1)设走L 1路线最多遇到1次红灯为A 事件，则P (A )＝C 0

3×⎝ ⎛⎭

⎪⎫123＋C 13×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝12.

所以走L 1路线，最多遇到1次红灯的概率为1

2

.

(2)依题意，知X 的可能取值为0,1,2.

P (X ＝0)＝(1－34)×(1－35)＝1

10，

P (X ＝1)＝34×(1－35)＋(1－34)×35＝9

20，

P (X ＝2)＝34×35＝9

20

.

随机变量X X 0 1 2

P 110 920 920

EX ＝110×0＋920×1＋920×2＝20

.

(3)设选择L 1路线遇到红灯次数为Y ，随机变量Y 服从二项分布，Y ～B (3，12)，所以EY ＝3×

1

2