高三数学一轮复习 专题六知能演练轻松闯关 新人教版

1．某公司有一批专业技术人员，对他们进行年龄状况和接受教育程度(学历)的调查，其结果(人数分布)学历 35岁以下 35～50岁 50岁以上 本科 80 30 20 研究生 x 20 y
(1)5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有1人的学历为研究生的概率； (2)在这个公司的专业技术人员中按年龄状况用分层抽样的方法抽取N 个人，其中35岁以下48人，50岁以上10人，再从这N 个人中随机抽取出1人，此人的年龄为50岁以上的概率为5
39，求x 、y 的值． 解：(1)用分层抽样的方法在35～50岁中抽取一个容量为5的样本，设抽取学历为本科的人数为m ， ∴3050＝m
5
，解得m ＝3. ∴抽取了研究生学历的2人，本科学历的3人，分别记作S 1、S 2；B 1、B 2、B 3.
从中任取2人的所有基本事件共有10个：(S 1，B 1)，(S 1，B 2)，(S 1，B 3)，(S 2，B 1)，(S 2，B 2)，(S 2，B 3)，(S 1，S 2)，(B 1，B 2)，(B 2，B 3)，(B 1，B 3)．
其中至少有1人的学历为研究生的基本事件有7个：(S 1，B 1)，(S 1，B 2)，(S 1，B 3)，(S 2，B 1)，(S 2，B 2)，(S 2，B 3)，(S 1，S 2)．
∴从中任取2人，至少有1人的教育程度为研究生的概率为7
10
.
(2)依题意，得10N ＝5
39
，解得N ＝78.
∴35～50岁中被抽取的人数为78－48－10＝20.
∴4880＋x ＝2050＝1020＋y . 解得x ＝40，y ＝5.
2．某市为了了解今年高中毕业生的体能状况，从本市某校高中毕业班中抽取一个班进行铅球测试，成绩在8.0米以上的为合格．把所得数据进行整理后，分成6组画出频率分布直方图的一部分(如图)，已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04，0.10,0.14,0.28,0.30.第6小组的频数是7.
(1)求这次铅球测试成绩合格的人数；
(2)若由直方图来估计这组数据的中位数，指出它在第几组内，并说明理由；
(3)现在要从第6小组的学生中，随机选出2人参加“毕业运动会”，已知该组a 、b 的成绩均很优秀，求两人至少有1人入选的概率．
解：(1)第6小组的频率为1－(0.04＋0.10＋0.14＋0.28＋0.30)＝0.14，
∴此次测试总人数为7
0.14
＝50(人)．
∴第4、5、6组成绩均合格，人数为(0.28＋0.30＋0.14)×50＝36(人)．
(2)直方图中中位数两侧的面积相等，即频率相等．前三组的频率和为0.28，前四组的频率和为0.56，
∴中位数位于第4组内．
(3)a 、b 均不入选的概率为C 25C 27，a 、b 至少有1人入选的概率为1－C 2
5C 27＝11
21
.
3．设函数f (x )＝x 2
－2a －1x ＋b 2
的定义域为D .
(1)a ∈{1,2,3,4}，b ∈{1,2,3}，求使D ＝R 的概率； (2)a ∈[0,4]，b ∈[0,3]，求使D ＝R 的概率． 解：(1)因为a ∈{1,2,3,4}，b ∈{1,2,3}， 所以(a ，b )的所有可能为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，共计12种．
要使D ＝R ，需4(a －1)2－4b 2
≤0，即|a －1|≤|b |，
那么满足D ＝R 的(a ，b )的所有可能为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(4,3)，共计9种．
所以其概率为P ＝912＝3
4
.
(2)因为a ∈[0,4]，b ∈[0,3]，所以所有的点(a ，b )构成的区域的面积为12，而D ＝R ，有
4(a －1)2－4b 2
≤0，即|a －1|≤|b |，满足|a －1|≤|b |，a ∈[0,4]，b ∈[0,3]的点(a ，b )构
成的区域的面积为7，故所求概率P ＝7
12
.
4．张先生家住H 小区，他工作在C 科技园区，从家开车到公司上班路上有L 1，L 2两条路线，
L 1路线上有A 1，A 2，A 3三个路口，各路口遇到红灯的概率均为1
2
；L 2路线上有B 1，B 2两个路口，
各路口遇到红灯的概率依次为34，3
5
.
(1)若走L 1路线，求最多遇到1次红灯的概率； (2)若走L 2路线，求遇到红灯次数X 的数学期望；
(3)按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助张先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由．
解：(1)设走L 1路线最多遇到1次红灯为A 事件，则P (A )＝C 0
3×⎝ ⎛⎭
⎪⎫123＋C 13×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝12.
所以走L 1路线，最多遇到1次红灯的概率为1
2
.
(2)依题意，知X 的可能取值为0,1,2.
P (X ＝0)＝(1－34)×(1－35)＝1
10，
P (X ＝1)＝34×(1－35)＋(1－34)×35＝9
20，
P (X ＝2)＝34×35＝9
20
.
随机变量X X 0 1 2
P 110 920 920
EX ＝110×0＋920×1＋920×2＝20
.
(3)设选择L 1路线遇到红灯次数为Y ，随机变量Y 服从二项分布，Y ～B (3，12)，所以EY ＝3×
1
2
＝32
. 因为EX <EY ，所以选择L 2路线上班最好．
5．A 、B 两个投资项目的利润率分别为随机变量X 1和X 2，根据市场分析，X 1和X 2的分布列分别为
(1)在A ，B 两个项目上各投资100万元，Y 1和Y 2分别表示投资项目A 和B 所获得的利润，求方差DY 1、DY 2；
(2)将x (0≤x ≤100)万元投资A 项目，100－x 万元投资B 项目，f (x )表示投资A 项目所得利润的方差与投资B 项目所得利润的方差的和．求f (x )的最小值，并指出x 为何值时，f (x )取到最小值．
解：(1)由题设可知Y 1和Y 2的分布列分别为
EY 1＝5×0.8＋10×0.2＝6，
DY 1＝(5－6)2×0.8＋(10－6)2×0.2＝4； EY 2＝2×0.2＋8×0.5＋12×0.3＝8，
DY 2＝(2－8)2×0.2＋(8－8)2×0.5＋(12－8)2×0.3＝1.2.
(2)f (x )＝D (x 100Y 1)＋D (100－x
100
Y 2)
＝(x 100)2DY 1＋(100－x 100)2
DY 2 ＝41002[x 2＋3(100－x )2
] ＝4100
2(4x 2－600x ＋3×1002
)， 当且仅当x ＝600
2×4
＝75时，f (x )＝3为最小值．
6．(2011·高考辽宁卷)某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种(分别称为品种甲和品种乙)进行田间试验．选取两大块地，每大块地分成n 小块地，在总共2n 小块地中，随机选n 小块地种植品种甲，另外n 小块地种植品种乙．
(1)假设n ＝4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为X ，求X 的分布列和数学期望；
(2)试验时每大块地分成8小块，即n ＝8，试验结束后得到品种甲和品种乙在各小块地上的
2
种植哪一品种？
附：样本数据x 1，x 2，…，x n 的样本方差s 2＝1n
[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2
]，其
中x 为样本平均数．
解：(1)X 可能的取值为0,1,2,3,4，且
P (X ＝0)＝1C 48＝170，P (X ＝1)＝C 14C 3
4C 48＝8
35，
P (X ＝2)＝C 24C 24C 48＝1835，P (X ＝3)＝C 34C 14C 48＝8
35，
P (X ＝4)＝1C 48＝1
70
.
即X 的分布列为
X 的数学期望为
EX ＝0×170＋1×835＋2×1835＋3×835＋4×1
70
＝2.
(2)品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：x 甲＝1
8
(403＋397＋390＋404＋
388＋400＋412＋406)＝400，
2S 甲＝18
[32＋(－3)2＋(－10)2＋42＋(－12)2＋02＋122＋62
]＝57.25.
品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：
x 乙＝1
8(419＋403＋412＋418＋408＋423＋400＋413)＝412，
2S 乙＝18
[72＋(－9)2＋02＋62＋(－4)2＋112＋(－12)2＋12
]＝56.
由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙．。