6.4确定一次函数表达式 正式
6.4 确定一次函数表达式练习题
6.4 确定一次函数表达式练习题一、目标导航知识目标：①了解两个条件确定一个一次函数；一个条件确定一个正比例函数．②能由两个条件求出一次函数的表达式，一个条件求出正比例函数的表达式，并解决有关现实问题．能力目标：①能根据函数的图象确定一次函数的表达式，培养学生的数形结合能力．②能把实际问题抽象为数学问题，也能把所学知识运用于实际，让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用．二、基础过关1．如果正比例函数的图象经过点(2,4)，那么这个函数的表达式为 ．2．已知y 与x 成正比例，且3x =时，6y =-，则y 与x 的函数关系式是 ．3．若直线1y kx =+，经过点(3,2)，则k =_______．4．已知一次函数2y kx =-，当2x =时，6y =-，则当3x =-时，y =_______．5．若一次函数(21)y kx k =-+的图象与y 轴交于点A (0,2)，则k =_____．6．已知点A (3,0)，B (0,3)-，C (1,)m 在同一条直线上，则m =______．7．已知两条直线111y k x b =+，222y k x b =+的交点的横坐标为x 0且10k >，20k <，当0x x >时，则（ ）A ．12y y =B ．12y y >C ．12y y <D ．12y y ≥8．一次函数y kx b =+的图象经过点A (0,2)-和B (3,6)-两点，那么该函数的表达式是（ ）A ．26y x =-+B ．823y x =--C ．86y x =--D ．823y x =-- 9．正比例函数y kx =的图象经过点(1,3)-，那么它一定经过的点是（ ） A ．(3,1)-B ．1(,1)3C ．(3,1)-D ．1(,1)3- 10．正比例函数的图象经过点A (3,5)-，写出这个正比例函数的解析式．11．已知一次函数的图象经过点(2,1)和(1,3)--．（1）求此一次函数的解析式．（2）求此一次函数与x 轴、y 轴的交点坐标．x O y 10020060100三、能力提升12．北京到秦皇岛全程约400千米，汽车以每小时80千米的速度从北京出发，t 小时后离秦皇岛s 千米，写出s 与t 之间的函数关系式．13．某供电公司为了鼓励居民用电，采用分段计费的方法来计算电费，月用电量x （度）与相应电费y （元）之间的函数图象如图所示． （1）填空：当用电量为100度时，应交电费_____元；（2）当100x ≥时，求y 与x 的函数关系式；（3）当用电量为260度时，应交电费多少元？14．已知点M (4,3)和N (1,2)-，点P 在y 轴上，且PM ＋PN 最短，求点P 的坐标．15．已知一次函数32y x m =+和12y x n =-+的图象都经过点A (2,0)-，且与y 轴分别交于B 、C 两点，求△ABC 的面积．16．已知一次函数y kx b =+的图象经过点(0,2)和点(1,1)-． （1）求这个一次函数的解析式；（2）在直角坐标系中画出它的图象．17．如图所示，直线l是一次函数y kx b=+在直角坐标系内的图象．（1）观察图象，试求此一次函数的表达式；（2）当20x=时，其对应的y的值是多少？（3）y的值随x值的增大怎样变化？18．已知一次函数的图象经过点(0,0)，(2,)mm-三点，且函数值随自变量x值的增-，(,3)大而增大，求这个一次函数的表达式．19．声音在空气中传播的速度y（m/s）（简称音速）是气温x（℃）的一次函数，如表所示，列出了一组不同气温时的音速：气温x（℃）0 10 15 20音速y（m/s）331 337 340 343（1）求y与x之间的函数关系式；（2）气温x为22℃时，某人看到烟花燃放5s后才听到声响，那么此人与燃放烟花所在地约相距多远？四、聚沙成塔如图所示，公路上有A、B、C三站，一辆汽车在上午8时从离A站10km的P出发向C站匀速前进，15min后离A站20km．（1）设出发x h后，汽车离A站y km，写出y与x之间的函数关系式；（2）当汽车行驶到离A站150km的B•站时，•接到通知要在中午12时前赶到离B•站30km的C处，汽车若按原来速度能否按时到达？若能，是在几点几分到达？若不能，车速最少应提高到多少？。
确定一次函数的表达式课件
实例三：经济学中的应用
总结词
通过经济数据确定一次函数表达式
详细描述
在经济学中，一次函数经常被用来描述经济 数据之间的关系。例如，在分析国内生产总 值（GDP）与时间的关系时，可以使用一次 函数来拟合数据。通过收集经济数据并使用 统计方法进行拟合，可以确定一次函数的表
达式，从而预测未来的经济趋势。
05
一次函数形式
一次函数的标准形式是$y = ax + b$，其中$a$是斜率，$b$是截距。
斜率$a$决定了函数的增减性，而截距 $b$决定了函数与y轴的交点。
一次函数性质
一次函数的图像是一条直线 。
当$a > 0$时，函数为增函数 ；当$a < 0$时，函数为减函 数。
它的斜率为$a$，截距为$b$ 。
确定一次函数表达式的应用前景
在实际生活中，一次函数有着广泛的应用。例如，在物理学中，速度与时间的关系、弹簧的伸长量与 作用力之间的关系等都可以用一次函数表示。
在经济学中，诸如成本与产量、收入与投入等关系也可以通过一次函数进行描述。确定一次函数的表达 式能帮助我们更好地理解这些关系，为决策提供依据。
03
一次函数的应用
解析几何中的应用
线性方程
一次函数与解析几何中的直线方程紧密 相关，通过一次函数可以表示直线方程 ，进而解决与直线相关的问题。
VS
距离和角度计算
利用一次函数表示的直线方程，可以方便 地计算两点之间的距离和直线之间的夹角 。
物理中的应用
匀速运动
在物理学中，匀速直线运动可以用一 次函数表示，通过一次函数可以方便 地描述速度、时间和位移之间的关系 。
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确定一次函数表达式的实例
实例一：解析几何中的应用
确定一次函数的表达式
确定一次函数的表达式
求出一次函数的表达式是数学练习题中常见的提问方式，下面介绍一下确定一次函数的表达式的三种方法。
用待定系数法确定一次函数解析式
待定系数法是确定一次函数的表达式最常用的方法，解题步骤包括“一设、二列、三解、四写”，具体内容如下：
1、根据题中所给的已知条件写出含有待定系数的函数关系式；
2、将x、y的几对值或图像上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程；
3、解方程得出未知系数的值；
4、将得到的待定系数代回所求的函数关系式中就可以得到该函数的解析式。
用图像平移法确定一次函数表达式
一次函数的图像在平移时的规律为：直线在平移的倾斜率不变，即k的值保持不变。
当b>0时，把正比例函数y=kx（k≠0）的图像向上平移b个单位，就得到一次函数：y=kx+b（k≠0）的图像；当b<0时，把正比例函数y=kx（k≠0）的图像向下平移∣b∣个单位，就得到一次函数：y=kx+b（k≠0）的图像。
根据直线的对称性确定一次函数表达式
关于y轴对称的两条直线为y=kx+b（k≠0）和y=-kx+b
（k≠0）；关于x轴对称的两条直线为y=kx+b（k≠0）和y=-kx-b （k≠0）；关于原点对称的两条直线为y=kx+b（k≠0）和y=kx-b （k≠0）。
以上为同学们介绍了确定一次函数的表达式的三种方法，同学们都掌握了吗？其中待定系数法的应用是较为广泛的，同学们一定要学好，利用图像来确定一次函数的表达式属于较为灵活的方法，可以用在选择填空中快速确定答案。
【数学课件】确定一次函数表达式
根据图象确定一次函数解析式 【例题】如图 3 是某种蜡烛在燃烧过程中高度 y(cm)与时间 x(h)之间关系的图象，由图象解答下列问题： (1)此蜡烛燃烧 1 h 后，高度为____cm；经过____h 燃烧完毕； (2)燃烧过程中高度 y 与时间 x 之间的关系式是_________．
图3
1、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之毁灭。——卢梭
4．随着海拔高度的升高，大气压强下降，空气中的含氧量 也随之下降，即含氧量 y(g/m3)与大气压强 x(kPa)成正比关系， 当 x＝36 时，y＝108，求 y 与 x 之间的函数关系式．
解：设 y 与 x 之间的函数关系式为 y＝kx，由题意， 当 x＝36 时，y＝108，即 108＝36k，∴k＝3， ∴y 与 x 之间的函数关系式为 y＝3x.
4 确定一次函数表达式
用待定系数法确定一次函数表达式(重难点) 用待定系数法求一次函数解析式的步骤为： (1)设函数解析式为 y＝kx＋b； (2)将已知点的坐标代入函数解析式，解方程组； (3)求出 k 与 b 的值，得函数解析式． 剖析：因为正比例函数含有一个基本量 k，一次函数含有两 个基本量 k、b，所以确定正比例函数的表达式需要一个条件， 确定一次函数的表达式需要两个条件．
上培养出好的品质。可是只有在集体和教师首先看到儿童优点的那些地方，儿童才会产生上进心。——苏霍姆林斯基 17、教育能开拓人的智力。——贺拉斯 18、作为一个父亲，最大的乐趣就在于：在其有生之年，能够根据自己走过的路来启发教育子女。——蒙田 19、教育上的水是什么就是情，就是爱。教育没有了情爱，就成了无水的池，任你四方形也罢、圆形也罢，总逃不出一个空虚。班主任广博格。——欧文
6.4确实一次函数表达式
当k<0时，y的值随x的增大而减小。
9
3
某物体沿一个斜坡下滑,它的速度v(米/秒)与
其下滑时间t(秒)的关系如图.
V /(米/秒) 8 7 6 5 4 3 2 1
(1)写出v与t之间的
关系式.
·
(2)下滑3秒时物体 的速度是多少?
0
1 2 3
4
5
6 7 8
t /秒
4
想一想：
确定正比例函数的表达式y=kx需要 几个条件？确定一次函数的表达式 y=kx+b ？
6
一、确定正比例函数的表达式的方法：
1、根据题意，设表达式：y=kx
2、根据给出的数据求出k的值 3、根据求出的k值，写出一般表达式 二、确定一次函数的表达式的方法： 1、根据题意，设表达式：y=kx+b 2、根据给出的数据求出k、b的值 3、根据求出的k、b的值，写出一般表达式
7
正比例函数的图象特点:
（1）正比例函数的图象都经过坐标原点的直线。
（2）作y=kx的图象时，除原点外还需找一点。
一般找（1，k）点 。 （3）当k>0时，k的值越大，函数图象与x轴
Hale Waihona Puke 正方向所成的锐角越大。（4）当k>0时，y的值随x值的增大而增大；
当k<0时，y的值随x值的增大而减小。
8
一次函数的图象的特点：
（1）不过原点，和两坐标轴相交的直线。 （2）作图象时，需描两个点。 （0，b）和（-b/k，0） （3）当k>0时，y的值随x的增大而增大；
当y=0时，x= -b/k 。
6、直线y=-2x+1过第 一、二、四 象限。 7、若点（1，3）、（0，1）在直线y=kx+b上， 则k= 2 ，b= 1 。
6.4 确定一次函数的表达式
6.4确定一次函数的表达式
【基础须知】
一、确定一次函数解析式的基本思想
1.由于一次函数的表达式y=kx+b中含有两个字母k和b，因此要确定一个一次函数，即把k和b的值确定下来即可.
2.正比例函数由于图象经过原点，所以只需求出字母k即可.
3.确定一次函数的表达式需要两个条件，确定正比例函数的表达式只需要一个条件.
二、确定一次函数表达式的步骤
1.设函数表达式y=kx+b；
2.根据已知条件列出关于k，b的方程；
3.解方程；
4.把求出的k，b值代入到表达式中即可.
三、围绕函数，主要有三种类型的运算
1.已知函数解析式及自变量的值，求自变量的值对应的因变量的值.
2.已知函数解析式和因变量的值，反过来求与已知因变量对应的自变量的值.
3.已知函数的类型，和函数的几对对应值（函数图象上几个点的坐标），求函数的解析式.
【重点梳理】
本节的重点是会根据已知条件求正比例函数和一次函数关系式．
【难点再现】
本节的难点是通过函数图象获取信息，发展形象思维．
【例题讲解】
已知直线y=kx＋b经过点(1，3)和点(-1，1)，求该函数的表达式.
解析：
求一次函数关系式时，通常先设出式子中的未知系数，再根据条件求出未知系数，从而求出这个关系式．
答案：
根据题意k＋b=3．①
-k＋b=1．②
①-②得，2k=2，
∴k=1．把k=1代入①得b=2．
∴函数关系式为y=x＋2．。
确定一次函数的表达式
确定一次函数的表达式在数学的世界里，一次函数就像是一座桥梁，连接着不同的数量关系。
而确定一次函数的表达式，则是我们能够顺利通过这座桥梁，解决各种实际问题的关键钥匙。
一次函数的一般形式是 y ＝ kx ＋ b（其中 k、b 是常数，k ≠ 0）。
这里的 k 被称为斜率，它决定了函数图像的倾斜程度；b 则是截距，也就是函数图像与 y 轴的交点。
要确定一次函数的表达式，实际上就是要找出 k 和 b 的值。
那怎么来找呢？通常有两种常见的方法：待定系数法和利用函数图像的特征。
先说待定系数法。
假设我们知道一次函数上的两个点的坐标，比如（x₁, y₁）和（x₂, y₂），把这两个点代入函数表达式 y ＝ kx ＋ b 中，就可以得到一个关于 k 和 b 的方程组。
举个例子，如果已知点（1, 3）和（2, 5）在某个一次函数上，那么把（1, 3）代入函数表达式得到 3 ＝ k×1 ＋ b，即 k ＋ b ＝ 3；把（2, 5）代入得到 5 ＝ k×2 ＋ b，即 2k ＋ b ＝ 5。
接下来解这个方程组，就能求出 k 和 b 的值。
从第一个方程 k ＋ b ＝ 3 可以得到 b ＝ 3 k，把它代入第二个方程2k ＋ b ＝ 5 中，就有 2k ＋ 3 k ＝ 5，解得 k ＝ 2。
再把 k ＝ 2 代入 b＝ 3 k ，得到 b ＝ 1。
所以这个一次函数的表达式就是 y ＝ 2x ＋ 1。
再来说说利用函数图像的特征来确定表达式。
如果我们能从图像中直接看出函数与 y 轴的交点，那这个交点的纵坐标就是 b 的值。
而斜率 k 呢，可以通过图像上任意两个点的坐标来计算。
比如说，函数图像与 y 轴交于（0, －2），并且还经过点（2, 4）。
那么 b ＝－2，而斜率 k ＝（4 （－2））÷（2 0）＝ 3 。
所以这个一次函数的表达式就是 y ＝ 3x 2 。
在实际应用中，确定一次函数的表达式非常有用。
确定一次函数的表达式
确定一次函数的表达式在数学的世界里，一次函数是我们经常会遇到的重要概念。
它不仅在数学学科中有着广泛的应用，在实际生活中也能帮助我们解决许多问题，比如计算成本、预测趋势等等。
而要有效地运用一次函数，首先我们得学会确定它的表达式。
一次函数的一般形式是 y ＝ kx ＋ b ，其中 k 是斜率，b 是截距。
确定一次函数的表达式，关键就在于求出 k 和 b 的值。
那怎么求呢？最常见的方法就是利用给定的条件来建立方程组，然后求解。
比如说，已知一次函数经过两个点的坐标，（x₁, y₁)和(x₂, y₂)。
我们把这两个点代入函数表达式 y ＝ kx ＋ b 中，就能得到两个方程：y₁＝ kx₁＋ by₂＝ kx₂＋ b这样就组成了一个关于 k 和 b 的二元一次方程组，通过解方程组，就能求出 k 和 b 的值，从而确定一次函数的表达式。
举个例子，已知一次函数经过点(1, 3)和(2, 5)。
我们把这两个点代入表达式中：对于点(1, 3)，有 3 ＝ k × 1 ＋ b ，即 k ＋ b ＝ 3 ①对于点(2, 5)，有 5 ＝ k × 2 ＋ b ，即 2k ＋ b ＝ 5 ②用②①，得到：2k ＋ b （k ＋ b) ＝ 5 32k ＋ b k b ＝ 2k ＝ 2把 k ＝ 2 代入①式，得到 2 ＋ b ＝ 3，b ＝ 1所以，这个一次函数的表达式就是 y ＝ 2x ＋ 1 。
除了已知两个点的坐标这种情况，有时候我们还会遇到已知函数图像与坐标轴的交点来确定表达式。
比如，已知一次函数图像与 x 轴交于点(a, 0)，与 y 轴交于点(0, b)。
那么，把这两个点代入表达式 y ＝ kx ＋ b 中，可得：0 ＝ ka ＋ b ③b ＝ 0 × k ＋ b ，即 b ＝ b ④由③式可得 b ＝ ka，将其代入④式，就可以求出 k 的值，进而求出b 的值，确定函数表达式。
另外，如果给定的条件是关于函数的斜率和一个点的坐标，那确定表达式就更简单了。
湘教版数学八年级下册_【例题与讲解】确定一次函数表达式
4 确定一次函数表达式1．确定一次函数表达式(1)借助图象确定函数的表达式先观察直线是否过坐标原点，若过原点，则为正比例函数，可设其关系式为y ＝kx (k ≠0)；若不过原点，则为一次函数，可设其关系式为y ＝kx ＋b (k ≠0)；然后再观察图象上有没有明确几个点的坐标．对于正比例函数，只要知道一个点的坐标即可；对于一次函数，则需要知道两个点的坐标；最后将各点坐标分别代入y ＝kx 或y ＝kx ＋b 中，求出其中的k ，b ，即可确定出其关系式．(2)确定正比例函数、一次函数表达式需要的条件①由于正比例函数y ＝kx (k ≠0)中只有一个未知系数k ，故只要一个条件，即一对x ，y 的值或一个点的坐标，就可以求出k 的值，确定正比例函数的表达式．②一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)有两个未知系数k ，b ，需要两个独立的关于k ，b 的条件，求得k ，b 的值，这两个条件通常是两个点的坐标或两对x ，y 的值．【例1】 如图，直线AB 对应的函数表达式是( )．A ．y ＝－32x ＋3 B ．y ＝32x ＋3 C ．y ＝－23x ＋3 D ．y ＝23x ＋3 解析：设直线AB 对应的函数表达式是y ＝kx ＋b (k ≠0)，当x ＝0时，y ＝3，代入得b ＝3，当x ＝2时，y ＝0，则2k ＋3＝0，k ＝－32，故y ＝－32x ＋3. 答案：A点技巧 用待定系数法求直线解析式由图象观察可知该函数为一次函数，故应设成y＝kx＋b(k≠0)的形式，再将A，B两点坐标代入该关系式，即可求出k，b，从而确定出具体的关系式．2．待定系数法(1)定义：先设出式子中的未知系数，再根据条件求出未知系数，从而写出这个式子的方法，叫做待定系数法，其中的未知数也称为待定系数．(2)用待定系数法求解析式的一般步骤：①根据已知条件写出含有待定系数的解析式；②将x，y的几对值或图象上几个点的坐标代入上述的解析式中，得到以待定系数为未知数的方程或方程组；③解方程(组)，得到待定系数的值；④将求出的待定系数代回所求的函数解析式中，得到所求函数的解析式．【例2－1】一次函数图象如图所示，求其解析式．分析：利用图象所给的信息，即直线与坐标轴交点的坐标，再用待定系数法求出k，b的值，从而确定表达式．解：设一次函数解析式为y＝kx＋b，∵一次函数图象过点(0，－2)，∴－2＝k×0＋b，∴b＝－2.∵一次函数图象过点(1,0)，∴0＝k×1＋b，∴k＝2.∴一次函数解析式为y＝2x－2.【例2－2】在直角坐标系中，一次函数y＝kx＋b的图象经过三点A(2,0)，B(0,2)，C(m, 3)，求这个函数的表达式，并求m的值．解：根据题意，得2k＋b＝0①，b＝2, km＋b＝3②，把b＝2代入①，得2k＋2＝0，即k＝－1；把b＝2，k＝－1代入②，得m＝－1.故函数的表达式为y＝－x＋2.3．如何确定一次函数的表达式确定正比例函数和一次函数的解析式是一次函数这部分内容考查的一个重要知识点．那么应该怎样确定正比例函数和一次函数的解析式呢？因为正比例函数的解析式y＝kx中，只有一个待定系数k，确定了k的值，也就确定了正比例函数的解析式．而一次函数的解析式y＝kx＋b中，有两个待定系数k和b，因此需要两个条件，此条件可以是直线上的两个点的坐标，也可以是两对变量与函数的对应值．但在实际求正比例函数和一次函数的解析式时，应该具体问题具体分析．(1)定义型若两个量y与x成正比例，可设为正比例函数形式：y＝kx(其中k是常数，k≠0)，再用待定系数法求比例系数k.(2)两(或一)点型把点的坐标代入所设的关系式中，根据点的坐标求解．(3)图象型解决看图获取信息的问题，不仅要注意坐标轴所表示的量是什么，还要抓住图中一些关键的点(如：起点、终点、折线中的折点)所反映出的信息．通过观察图象，发掘图象经过坐标轴上的两点，根据两点的坐标构造待定系数的方程组，求出k，b；它体现了数与形的完美结合，是解题的重要思想方法之一．点在函数图象上，就是说点的坐标满足该图象的函数解析式．只需把点的坐标代入函数解析式，然后求方程(组)的解即可．(4)平移型平移不改变k的大小，只改变b的大小．(5)实际应用型解这类题的方法是对问题的审读和理解，掌握用一个变量的代数式表示另一个变量，建立两个变量间的等量关系，同时从题中确定自变量的取值范围．这是求实际应用型问题的函数关系式的至关重要的一点．【例3－1】求一次函数y＝(m－2)xm2－3－m＋3的关系式．解：由一次函数的定义，得m2－3＝1，且m－2≠0.解得m＝－2.故所求关系式为y＝－4x＋5.【例3－2】直线y＝kx＋b经过点A(－3,0)和点B(0,2)，求这条直线的表达式．分析：把点A和点B的横、纵坐标分别当做x，y的值代入y＝kx＋b中，求出k，b即可．解：把点A和点B的横、纵坐标分别当做x，y的值代入y＝kx＋b中，得0＝－3k＋b,2＝b，得出k＝23，b＝2，从而得出这条直线的表达式为y＝23x＋2.【例3－3】已知某个一次函数的图象如图所示，则该函数的解析式为__________．解析：设一次函数解析式为y＝kx＋b(k≠0)，∵由图可知一次函数y＝kx ＋b的图象过点(0,2)，(1,0)，∴2＝k×0＋b,0＝k×1＋b，解得b＝2，k＝－2.∴一次函数的解析式为y＝－2x＋2.答案：y＝－2x＋2【例3－4】将直线y＝2x向上平移两个单位长度，所得的直线是( )．A．y＝2x＋2 B．y＝2x－2C．y＝2(x－2) D．y＝2(x＋2)解析：由于直线y＝kx＋b可以看做由直线y＝kx平移|b|个单位长度而得到(当b＞0时，向上平移；当b＜0时，向下平移)，所以将直线y＝2x向上平移两个单位长度，所得的直线是y＝2x＋2.答案：A【例3－5】大拇指尽量伸开时，拇指与食指的距离称为指距，某研究表明，一般情况下，人的身高h是指距d的一次函数，下表是测得指距与身高的一组数据：(1)求出h与(2)某人身高196 cm，一般情况下他的指距是多少？解：(1)设一次函数的解析式为h＝kd＋b(k，b为常数，且k≠0)．由题意，得160＝20k＋b①，169＝21k＋b②.②－①，得k＝9，代入①，得b＝－20.故一次函数的解析式为h＝9d－20.(2)当h＝196时，196＝9d－20，得d＝24.因此某人身高196 cm，一般情况下他的指距是24 cm.。
6.4确定一次函数表达式
课题 确定一次函数的关系式 学案 第 1 课时 学习目标 1、理解并掌握用两个条件求出一次函数的表达式，一个条件求出正比例函数的表达式 2、根据函数的图象确定一次函数的表达式，培养学生的数形结合能力。
3、根据一次函数表达式及正比例函数表达式的求法解决实际问题。
重、难点 根据图象信息确定一次函数的表达式。
教师引导学习过程一、复习回顾1、一次函数的表达式正比例函数的表达式2、正比例函数图象的特点3、直线y=kx 经过点（-1,3），则k 的值为 ，表达式为二、探究新知 例1、某物体沿一个斜坡下滑，它的速度v （米/秒）与其下滑时间t （秒）的关系如图所示。
（1）写出v 与t 之间的关系式？（2）下滑3秒时物体的速度是多少？同步训练：1、一个正比例函数的图象经过点A （－2,3），写出这个函数的表达式。
t/秒v/秒 5 2 0 12、写出由图中直线l 所表示的变量x ，y 之间的关系式，G 点的坐标为（1,3）yx1234–1–1–212OG想一想：确定正比例函数的表达式需要几个条件？结论：例2：在弹性限度内，弹簧的长度y （厘米）是所挂物体的质量x （千克）的一次函数、一根弹簧不挂物体时长14.5厘米；当所挂物体的质量为3千克时，弹簧长16厘米。
写出y 与x 之间的关系式，并求出所挂物体的质量为4千克时的弹簧的长度。
同步训练：1、 从地面竖直向上抛射一个物体，在落地之前，物体向上的速度v （米/秒）时运动时间t（秒）的一次函数，经测量，该物体的初始速度（t=0时物体的速度）为25米/秒，2秒后物体的速度为5米/秒（1） 写出v ，t 之间的关系式（2） 经过多长时间后，物体将达到最高点（此时物体速度为0）2、如果一次函数y=2x ＋b 的图像经过点 A （－1，1），则b=_____，该函数图像经过点B （1，____）和点C （___，0）。
3、如图，直线l 是一次函数y=kx+b 图像， （1） 求b 和k 的值 ； （2） 当x ＝30时，求y 的值 ； （3） 当y ＝30时，求x 的值 。
《确定一次函数的表达式》一次函数
详细描述
首先，我们可以根据已知条件画出函数的图 像。然后，观察图像的斜率和截距，这些特 征可以帮助我们确定函数的系数。最后，将 确定的系数代入表达式中即可得到答案。
表格法
总结词
表格法是通过列出函数的表格，观察表格中 的数据来确定函数的表达式。
详细描述
首先，我们可以列出函数的表格，包括自变 量和对应的因变量的值。然后，观察表格中 的数据，可以发现数据的规律和特征。最后 ，利用这些规律和特征来确定函数的表达式
要点二
二次函数的拓展应用
二次函数在实际生活中有着广泛的应用，如物理学中 的运动问题、经济学中的收益问题等。
一次函数与不等式的关系
不等式的性质
不等式是数学中研究数量或变量之间大小关系的数学表 达式。不等式的性质有三个：不等式的两边同时加上或 减去同一个数或整式不等号的方向不变；不等式的两边 同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；不等式 的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变。
一次函数与不等式的关系
一次函数与不等式之间存在着密切的联系。一次函数 y=kx+b的图象是一条直线，当k>0时，y随着x的增大而 增大；当k<0时，y随着x的增大而减小。因此，我们可 以通过观察一次函数的图象来判断不等式解集的位置。 例如，对于不等式kx+b>0，当k>0时，解集为x>-b/k ；当k<0时，解集为x<-b/k。
一次函数的性质
一次函数的图像是一条直线。
一次函数的斜率k决定了函数的单调性：当k>0时，函数单调递增Βιβλιοθήκη 当k<0时，函数 单调递减。
一次函数的截距b决定了函数与y轴的交点：当b=0时，函数与y轴交于原点；当b≠0 时，函数与y轴交于(0, b)点。
确定一次函数的表达式课件
通过本课件，您将学习如何确定一次函数的定义、图像、斜率、截距、表达 式以及它们的特征和应用。
确定一次函数的定义
1 自变量和因变量
了解自变量和因变量的概念。
2 函数的定义
明确一次函数的定义，包括其域和值域。
确定一次函数的图像
线性函数图像特征
探索线性函数图像的倾斜和走势。
正斜率线
掌握计算一次函数截距的方法。
截距的应用
了解截距在实际问题中的应用。
确定一次函数的表达式
学习确定一次函数的表达式的方法和步骤。 特征 正斜率 负斜率 零斜率
表达式示例 y = 2x + 1 y = -3x + 5 y=4
确定一次函数的特征
1
可变斜率
研究可变斜率对图像形态的影响。
2
斜率和截距之间的关系
探索斜率和截距之间的数学关系。
3
线性关系
学习一次函数的线性特征。
确定一次函数的应用
经济学中的应用
了解一次函数在经济学中的应用，如需求曲线和成本 函数。
物理学中的应用
探索一次函数在物理学中的应用，如运动和力的关系。
工程学中的应用
学习一次函数在工程学中的实际应用，如电路设计和
计算机科学中的应用
研究一次函数在计算机科学领域中的应用，如算法分
了解正斜率线的特点和图像。
负斜率线
了解负斜率线的特点和图像。
零斜率线
了解零斜率线的特点和图像。
确定一次函数的斜率
1
斜率的意义
2
理解斜率对应的含义和实际应用。
3
斜率的定义
掌握斜率的概念和计算方法。
不同斜率的影响
研究不同斜率值对图像的影响。
一次函数表达式的确定
一次函数表达式的确定一次函数是指函数的最高次数为一次的函数，其表达式的一般形式为y=ax+b，其中a和b是常数。
一次函数的图像呈现为一条直线，其中a决定了直线的斜率（即直线的倾斜程度），b决定了直线在y轴上与原点的位置关系。
在确定一次函数表达式时，关键是要有足够的信息来确定a和b的值。
以下是几种常见的确定一次函数表达式的方法：1. 已知两个点的坐标：假设已知直线上的两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，则可以通过计算斜率k=(y2-y1)/(x2-x1)来确定a的值，然后再利用其中一个点的坐标，代入y=ax+b的表达式，解方程得到b的值。
例如，已知直线上两个点A(2,4)和B(5,10)，则斜率k=(10-4)/(5-2)=2、代入点A的坐标，可得4=2a+b，代入任意一个点的坐标，如5=5a+b。
解这个方程组，可以得到a=2，b=0，即y=2x的一次函数表达式。
2. 已知斜率和一点坐标：有时候可能已知直线的斜率k和其中一个点的坐标，可以直接代入y=ax+b的表达式，然后解方程得到b的值。
例如，已知一次函数的斜率为3，且经过点(1, 4)，代入y=ax+b的表达式，可得4=3*1+b，解方程得到b=1、因此，一次函数的表达式为y=3x+13.已知函数图像上的一些特征：有时候，可能通过观察函数图像上的一些特征，来确定一次函数的表达式。
-如果直线与y轴平行，则直线在y轴上的截距为b，且斜率为无穷大。
此时，一次函数的表达式为y=b。
- 如果直线与x轴平行，则直线在x轴上的截距为b，且斜率为零。
此时，一次函数的表达式为y=ax+b，其中a为零。
- 如果直线经过原点，则直线在y轴上的截距为零，即b为零。
此时，一次函数的表达式为y=ax。
4.利用最小二乘法拟合数据：如果已知一些数据点，但不确定是否符合一次函数的形式，可以使用最小二乘法来拟合数据点，以确定最优的一次函数表达式。
最小二乘法通过最小化实际数据与拟合函数之间的误差来确定最优的a和b的值。
初中数学知识点精讲精析 确定一次函数表达式
6·4 确定一次函数表达式对于一个一次函数来说，确定它需要确定一次函数定义式y ＝kx ＋b （k ≠0）中常数k 和b ，确定函数的解析式，一般采用待定系数法.待定系数法：先设出所求函数式中未知的系数，再根据条件求出未知系数，从而写出这个式子，这种方法叫做待定系数法.用待定系数法求解析式的一般步骤：1．根据已知条件写出含有待定系数法的解析式；2．将x 、y 的几对值，或图像上的几个点的坐标代入上述的解析式中，得到以待定系数为未知数的方程或方程组.3．解方程（组）得到待定系数的值；4．将求出的待定系数代入所设的函数解析式中，得出所求函数的解析式.例1. 已知弹簧的长度y （cm ）在一定限度内是所挂重物质量x （kg ）的一次函数，现已测得不挂重物时弹簧的长度是6cm ，挂4kg 质量的重物时，弹簧的长度是7.2cm ，求这个一次函数的关系式.解法一：挂4kg 时，弹簧的长度是7.2cm解法二：设这个一次函数的关系式为y ＝kx ＋b由题意知：当x ＝0时，y ＝6；当x ＝4时，y ＝7.2所以，把x ＝0，y ＝6代入关系式得：6＝0·k ＋b∴b ＝6把x ＝4，y ＝7.2代入关系式得：7.2＝4·k ＋b把b ＝6代入7.2＝4·k ＋b 中，得：7.2＝4·k ＋64k ＝1.2，k ＝0.3∴y ＝0.3x ＋6点拨：在求解此类型问题时，一般采用解法二.例2. 解：()即：挂重物时，弹簧伸长了472612kg cm ..-=即：每挂的重物，弹簧伸长112403kg cm ..=∴=+y x 036.已知直线与直线的交点坐标为，，求的值。
y x a y x b a b =-+=++()28由题意知，点（，）在直线和直线上28y x a y x b =-+=+所以，，8210=-+=a a一变解：∵直线y ＝x ＋2与y 轴的交点的坐标为（0，2）二变解：∵直线y ＝kx ＋b 与直线y ＝3x ＋4平行∴k ＝3点拨：注意知识间的联系和综合应用.例3. 某同学将父母给的钱按每月相等的数额存在储蓄盒内，准备捐给希望工程，盒内原有40元，2个月后盒内有80元.（1）求盒内钱数y （元）与存钱月数x 之间的函数关系式.（2）按上述方法，该同学几个月能够存200元？解：（1）由题意知，y 与x 之间是一次函数关系答：8个月后能够存200元.例4. 如图所示，已知一次函数的图象交正比例函数的图象于第二象限内的A 点，交x 轴于点B （-6，0），已知△AOB 的面积为15，且△AOB 是等腰三角形，求正比例函数和一次函数的解析式.826=+=b b ，故a b +=+=10616一变：直线经过直线与轴的交点，求的值。
初中数学八年级上册《64确定一次函数表达式》
设y=kx+b,根椐题意，得
14.5=b
①
16=3k+b
②
把b=14.5代入②，得 k=0.5
所以在弹性限度内：y=0.5+14.5=16.5
即物体的质量为4千克时，弹簧长度为 16.5
y
8 7 6 5 4 3 2 1
0 123 4 5 678 x
2
例：
已知一次函数的图象经过 （0，-2）和（2，0）两 点，求这个一次函数的表 达式
∵这个一次函数图象过（0，-2） 和（2，0）两点，
∴ -2=b
①
0=2k+b
②
把b=-2代入② 得 0=2k-2
∴k=1 ∴这个一次函数的表 达式为y=x-2
例1：
在弹性限度内，弹簧的长度 y（厘米）是所挂物体质量 x（千克）的一次函数。一 根弹簧不挂物体时长14.5 厘米；当所挂物体的质量为 3千克时，弹簧长16厘米。 写出y与x之间的关系式， 并求当所挂物体的质量为4 千克时弹簧的长度。
八年级上册数学 第六章 一次函数
回顾与思考 1 1.什么叫一次函数?
若两个变量x,y间的关系式可以 表示成y=kx+b(k,b为常数,k不为零） 的形式,则称y是x的一次函数x为自变 量,y为因变量.
特别地,当b=0时,称y是x的正比 例函数.
某物体沿一个斜坡下滑，它的速
度v(米/秒）与其下滑时间t(秒)
1、根据题意，设表达式：y=kx
2、根据给出的数据求出k的值
3、根据求出的k值，写出一般表 达式
二、确定一次函数的表达式的方法： 1、根据题意，设表达式：y=kx+b
2、根据给出的数据求出k、b的值
6.4确定一次函数表达式w
-1
-2
X
4.在弹性限度内，弹簧的长度 y（厘米）是所挂物体质量 x（千克）的一次函 数。一根弹簧不挂物体时长14.5厘米；当所挂物体的质量为 3 千克时，弹簧长 16厘米。 （1）长度 y 是所挂物体质量 x 的一次函数 ，所以设 y 与x的函数表达式为 _______________ （2） 请写出 y 与 x 之间的关系式________________ （3） 当所挂物体的质量为4千克时弹簧的长度为______厘米
One
Two
Three Four
3 1.正比例函数y=kx的图象经过点(2,6)，则k =_____ -2 2.一次函数y = x＋b的图象经过点A(1,-1)，则b =____, -3 该函数图象经过点 B（-1，___)
x 4 2 -1 y
3.如图，直线l是一次函数y = kx＋b的图象， 填空 :
解：因为一次函数y=x＋b的图象经过点A(1,-1) 当x＝1时，y＝－1 所以－1＝1＋b 得b＝－2 所以y = x－2 当x＝－1时，y＝－3，即一次函数图象经过点（－1，－3）
函数图象上点的坐标使函数关系式成立. 反之，使函数关系式成立的点在函数图象上.
3.如图，直线l是一次函数y = k x ＋ b 的图象， 填空 : x 0 (1)由图象可知，直线经过点（2，__ ）和点 4 4 （0，___） 4 -2 (2)b =______ , k =______ ; 2 y = - 2x+4 (3)函数关系式是_______________; -1 -6 (4)当x = 5 时，y =______ ; -2 7 (5)当y = -10 时，x =______. 解：由图可知，直线经过点（0，4）和点（2，0） 当x=0时，y=4， ∴b＝4 ① 所以4＝k×0+b 2k＋b＝0 ② 即b＝4 而当x＝2时，y＝0 将b＝4代入②，得k＝－2 所以0＝2×k＋b 所以y＝－2x＋4 即2k＋b ＝ 0
八年级数学上册 6.4确定一次函数的表达式课件 北师大版
第一档
第二档 40.0
第三档 42.0
第三档 45.0
凳高x (cm) 桌高Y (cm)
37.0
70.0
74.8
78.0
82.8
㈠小明经过数据探究发现,桌高y是凳高x的 一次函数,请你求出这个一次函数的关系式 (不要求写出x的取值范围) ㈡小明回家后,测量了家里的写字台和凳子, 写字台的高度是80厘米,凳子的高度是44厘 米，请你判断它是否配套?
课堂导学待定系数法来自思考：确定 一次函数表达式所需要的步骤 是什么？
1、设——设函数表达式y=kx+b 2、代——将点的坐标代入y=kx+b中， 列出关于k、b的方程（组） 3、求——解方程（组），求k、b 4、写——把求出的k、b值代回到表 达式中即可
课堂导练
1、已知函数y=kx经过点（1，-2），则函数表达式为（ y=-2x ） 2、若一次函数图象y=2x+b 经过点（-1，1），则b= 3 该函数图
A B -1 O x 2
课堂导学
例3、已知如图，矩形ABCO在平面直角坐标系中，AB=3， BC=5 . (1)你能求出对角线交点D的坐标吗？
(2)一条直线把矩形面积二等分，且与正比例函数y= -x交 点的横坐标为2 ,你能求出这条直线的解析式吗？
y
（0，3）
C
（2.5，1.5） （0 ，0） O
课堂导练
变式训练（1）若直线y=kx+b与直线y=-0.5x+3互相 垂直，且过点（2，1）求直线解析式。 变式训练（2）已知直线m与直线y=2x+1交点的横坐 标为1，与直线y=-x-8交点的纵坐标为-4,求直线m的 解析式。 变式训练（3）如图，一次函数图象经过点A，且与 正比例函数y=-x的图象交于点B，求该一次函数的表 达式. y
鲁教版五四学制：2024-2025年七年级第一学期上册数学6.4确定一次函数的表达式学案和答案
2024-2025学年度七年级学数学上册第六章学案6.4确定一次函数的表达式【学习目标】1.会运用待定系数法确定一次函数的表达式；2.能从所给的信息中找出条件，确定一次函数的表达式，解决简单的实际问题.【自主学习】自学课本第159至160页的内容，思考并解答下列问题.1.确定一次函数表达式的一般步骤：可归纳为：“一设、二列、三解、四定”一设：设出函数关系式的一般形式y=kx+b ；二列：根据已知两点的坐标列出关于k 、b 的二元一次方程组；三解：解这个方程组，求出k 、b 的值；四定：把求得的k 、b 的值代入y=kx+b ，得出函数关系式.2.两个函数的交点坐标：交点坐标同时满足两个函数的解析式，将点的坐标代入函数解析式求解即可。
【课堂练习】知识点一 确定函数表达式1.若一次函数y=3x+b 的图像经过点P(2,5)，则该函数图像的解析式为______________2．已知一次函数()0y kx b k =+≠经过()2,1-、()0,4两点，则它的图像不经过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限知识点二 两个函数交点坐标3.如图，一次函数y 2=kx +b 的图象经过点B(0 , 4)与x 轴交于点C ，与y 1=x +2的图象交于点D ，且点D 的坐标为(12 , n)，求k 和b 的值【当堂达标】1．一次函数4y kx =+的图像经过()12-，，则这个一次函数与x 轴的交点是 2．一次函数的图象经过点(3,1)M -，且与直线23y x =-+平行，则此一次函数的解析式为 .3．直线y kx b =+与23y x =-+平行，且过点(1,2)--，k = ，b = ．4．端午节这天，甲超市进行苹果优惠促销活动，苹果的标价为10元/kg ，如果一次购买4kg 以上的苹果，超过4kg 的部分按标价六折售卖．设()kg x 表示购买苹果的重量，y (元)表示付款金额．(1)文文购买3kg 苹果需付款________元；购买5kg 苹果需付款________元；(2)求付款金额y 关于购买苹果的重量x 的函数表达式．5．如图，一个正比例函数与一个一次函数的图象交于点()3,4A ，且OA OB =．(1)求这两个函数的表达式；(2)求△ABO 的面积S ．6．某汽车行驶的路程()km s 与时间()min t 的函数图象如图所示．观察图中所提供的信息，解答下列问题：(1)汽车在前9min 内的平均速度是多少？(2)汽车在中途停了多长时间？(3)当1630t ≤≤时，求s 与t 的函数关系式．6.4确定一次函数的表达式【课堂练习】1. y=3x+12.A3.y 1=-x+1，y 2=41-x 45-4.y=-2x-1 【当堂达标】1. y=5x-22.y=2x3.y=-x+3【课后拓展】1. 16（1）设y 关于x 的函数关系式为y=kx+b ，由题意，得{35=4.2k +b 40=8.2k +b解得：∴y关于x的函数关系式为：y=x+29.75；（2）当x=6.2时，y=答：此时体温计的读数为37.5℃．。
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l
ｙ＝＿＿＿ （3）当ｙ＝30时,ｘ＝＿ -3 ） 时ｘ
-2 -1
2 1 0 -1 1 2 3 4 x
1、假如又有同画了下面一条直线的图像，你能 、假如又有同画了下面一条直线的图像， 否知道该函数的表达式呢？ 否知道该函数的表达式呢？ y 2、若一次函数 y = 2x + b 的图像 、 6 经过点A(-1，4），则 b=＿＿； ），则 ＿＿； 经过点 ， ）， 8 该函数图像经过点B(1，＿）和 ，＿）和 该函数图像经过点 ，＿） -3 （＿，0） 点C（＿， ） （＿，
一次函数 1
作
业 T 1.2.4
P196
习 题 6.5
x
y
xx
在弹性限度内， 例2 在弹性限度内，弹簧的长 度 y（厘米）是所挂物体质量 （厘米） x（千克）的一次函数。一根弹 （千克） 一次函数。 不挂物体时长 时长14.5厘米；当所 厘米； 厘米 簧不挂物体时长 挂物体的质量为3千克时 千克时， 挂物体的质量为 千克时，弹簧 厘米。 长16厘米。请写出 y 与x之间的 厘米 之间的 关系式， 关系式，并求当所挂物体的质量 千克时弹簧的长度。 为4千克时弹簧的长度。 千克时弹簧的长度
（２，５）
t/秒 秒
确定正比例函数表达式的时候需要几个条件？ 确定正比例函数表达式的时候需要几个条件？
例1、如图所示，已知 、如图所示， 直线AB和 轴交于点 轴交于点B, 直线 和x轴交于点 轴交于点A。 和y轴交于点 。 轴交于点 ①写出A、B两点 写出 、 两点 的坐标 ②求直线AB的 求直线 的 表达式
K的绝对值越大，直线与x轴所夹锐角越大，直线越陡 的绝对值越大，直线与 轴所夹锐角越大 直线越陡. 轴所夹锐角越大， 的绝对值越大
1
引例
V/(米/秒) 米秒
某物体沿一个斜坡 下滑， 下滑，它的速度 v （米/秒）与其下滑时 秒 间 t （秒）的关系如 右图所示： 右图所示： (1)请写出 (1)请写出 v 与 t 的 O 关系式； 关系式； (2)下滑 下滑3 (2)下滑3秒时物体的 速度是多少？ 速度是多少？
正 比 例 函 数 y = k x ( k≠0 ) k>0 k<0
一 次 函 数 为常数， ｙ=k x + b（k,b为常数，且k ≠0） （ 为常数 k>0 y
k>0,b>0
k<0 y x
k<0,b>0
图 象
y o x o
y x
k>0,b<0
o y o
o y
x
k<0,b<0
x
o
x
性 质
k>0,b>0时在一二三象限 时在一二三象限; 时在一二三象限 k>0时,在一、三象限 在一、 时 在一 三象限; k>0,b<0时在一三四 象限 时在一三四 k<0时,在二、四象限. 时 在二、四象限 在二 k<0, b>0时,在一二四象限 在一二四象限. 时 在一二四象限 正比例函数图象是一条 k<0, b<0时,在二三四象限 时 在二三四象限 原点的直线 过原点的直线 直线y 平行于 直线 = k x ,可由它平移 可由它平移 而得时 随 的增大而减小 的增大而增大; 的增大而减小. 当k>0时,y随x的增大而增大 当k<0时,y随x的增大而减小 时 随 的增大而增大
1 一次函数
复
y
习
是不是
判断：下列函数关系式中的 判断：
x
的一次函数。 的一次函数。
（ 1） （ 2） （ 3） （4） ） （ 5）
y=-x y = 2x - 1 y = 3( x-1) xy-x=2 y = x2
（√ ）
（√ ） （√ ） （一次函数的一般形式是什么
-3 -2 -1
y 5 4 3 2 1 0 -1 1 2 3
A B
4
x
x
确定一次函数表达式的一般步骤
可归纳为： 一设、二列、三解、四定” 可归纳为：“一设、二列、三解、四定”
一设：设出函数关系式的一般形式 一设：设出函数关系式的一般形式y=kx+b; 二列：根据已知两点的坐标列出关于 、 的二元 二列：根据已知两点的坐标列出关于k、b的二元 一次方程组； 一次方程组； 三解：解这个方程组，求出 、 的值 的值； 三解：解这个方程组，求出k、b的值； 的值代入y=kx+b，得出函数 四定：把求得的k、b的值代入 把求得的 、 的值代入 ， 关系式. 关系式
y=kx+b(k,b为常数,k≠0) 为常数,
2、一次函数图像是什么？ 、一次函数图像是什么？
正比例函数呢？ 正比例函数呢？
y=kx （k≠0） ）
3、直线y=-2x+4与x轴交于点_____，与 直线y=-2x+4与 轴交于点_____， y= _____ 轴交于点________. y轴交于点________.
4、直线y=kx+4与正比例函数 、直线 与正比例函数y=-2x图像平 与正比例函数 图像平 行，则k= _____ ，此直线的关系式为 _____ 。
• ５．一次函数y=2x-1的图象大致是（ B ） 的图象大致是（ 一次函数 的图象大致是
y y y y
O O
Ａ．
x
B．
x
C．
O
x
O
Ｄ．
x
解析式
随堂练习
1、已知一次函数y= 2x＋b图象经过点A 、已知一次函数 图象经过点 ＋ 图象经过点A （－1， ）， ），则 （－ ，1），则b=_____；该函数图象经 ； 过B（1,___）和C（__,0） （ ） （ ） 2、直线l是一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ的图象， 、直线l是一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ的图象， ｙ＝ｋｘ＋ｂ的图象 y （1）ｋ＝＿＿，ｂ＝＿＿＿ 5 ） （2）当ｘ＝30时， ） 时
2
-3
0
x
3、若直线 y = kx + b 经过点（0，2）， 、 经过点（ ， ）， 且与坐标轴围成等腰直角三角形， 且与坐标轴围成等腰直角三角形，试求 改直线的函数表达式。 改直线的函数表达式。 y = x+2 或 y = -x+2 确定一次函数表达式的时候需要几个条件？ 确定一次函数表达式的时候需要几个条件？
解：设y=kx+b(k≠0) 由题意得： 由题意得：14.5=b 16=3k+b 解得： 解得： b=14.5 k=0.5
∴
一次函数表达式为 y=0.5x+14.5
当x=4时，y＝０.５×４＋14.5=16.5（厘米） 时 ＝ ５ （厘米） 答：物体的质量为4千克时，弹簧长度为16.5厘米。 物体的质量为 千克时，弹簧长度为 厘米。 千克时 厘米