平方根 算术平方根 立方根 实数
八年级上册数学《实数》平方根和立方根_知识点整理
平方根和立方根一、知识要点1、平方根：如果一个数x 的平方等于a ，那么，这个数x 就叫做a 的平方根；也即，)0(2≥=a a x 时，我们称x 是a 的平方根，记做：)0(≥±=a a x 。
因此：① 当0=a 时，它的平方根只有一个，也就是0本身；② 当0>a 时，也就是a 为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做：a x ±=。
③ 当0<a 时，也即a 为负数时，它不存在平方根。
2、算术平方根（1）如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么，这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记为：“a ”，读作，“根号a ”，其中，a 称为被开方数。
特别规定：0的算术平方根仍然为0。
（2）算术平方根的性质：具有双重非负性，即：)0(0≥≥a a 。
（3）算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。
因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：a ；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：a ±。
例1 求下列各数的算术平方根（1）64；（2）2)3(-；（3）49151. 分析：根据算术平方根的定义，求一个数a 的算术平方根可转化为求一个数的平方等于a 的运算，更具体地说，就是找出平方后等于a 的正数.解：（1）因为6482=，所以64的算术平方根是8，即864=；（2）因为93)3(22==-，所以2)3(-的算术平方根是3，即3)3(2=-；（3）因为496449151=，又4964)78(2=，所以49151的算术平方根是78，即7849151=. 注意：这类问题应按算术平方根的定义去求.要注意2)3(-的算术平方根是3，而不是 3.另外，当这个数是带分数时，应先化为假分数，然后再求其算术平方根，不要出现类似74149161=的错误. 例2 求下列各式的值（1）81±； （2）16-； （3）259； （4）2)4(-. 分析：±81表示81的平方根，故其结果是一对互为相反数；－16表示16的负平方根，故其结果是负数；259表示259的算术平方根，故其结果是正数；2)4(-表示2)4(-的算术平方根，故其结果必为正数.解：（1）因为8192=，所以±81=±9.（2）因为1642=，所以－416-=. （3）因为253⎪⎭⎫ ⎝⎛=259，所以259=53. （4）因为22)4(4-=，所以4)4(2=-. 3、立方根（1）如果x 的立方等于a ，那么，就称x 是a 的立方根，或者三次方根。
实数-平方根、算术平方根、立方根
培根教育学科教师辅导教案学员编号：年级：初二课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：张金刚教学目的实数---平方根立方根授课日期及时段教学内容这次课我们来学习一下，形如当x2=a （a≥0）时，x是什么数的问题。
当x2=4时，因为22=4，（-2）2=4，所以x=±2；当x2=9时，因为32=9，（-3）2=9，所以x=±3；当x2=100时，因为102=100，（-10）2=100，所以x=±10；当x2=169时，因为132=169，（-13）2=169，所以x=±13；可以看出，使x2=a（a>0）成立的两个数，它们互为相反数。
数学上规定：如果x2=a （a≥0），那么x叫做a的平方根，也称作二次方根，记作“a”。
结论：一个正数有2个平方根，它们互为相反数。
0的平方根是0负数没有平方根。
求一个数的平方根的运算叫做开平方。
例一求下列各数的平方根。
（1） 25 （2）1681（3）15 （4）0.09平方根在做开平方的运算时，我们时常会碰到一些带有实际意义的量。
在这些计算时，是不是2个平方根都是可行的呢？比如正方形的面积为100平方米，那么它的边长为几？ 比如勾股定理中，一个直角三角形的斜边长为10，一条直角边长为6，另一条直角边为几？我们发现，得出的这些量都是只取了正数，而把和实际意义不符合的负数舍掉了。
规定：一个数的正平方根叫做这个数的算术平方根，记作“a ”（a 0≥）。
0的算术平方根是0.求下列各数的算术平方根（1）361 （2）12164 （3）2.25 （4）17 （6）410-三、能力检测题1、49的平方根是＿＿＿＿；算术平方根是_____________。
2、36 有 个平方根，它们是 ；它们的和是 ；它们互为 ；3、0.04的算术平方根是_________,开平方等于±5的数是_______.4、23-的算术平方根是_______, 算术平方根是5、81的平方根是 ；2(5)-的平方根是6、算术平方根等于它本身的数是＿＿＿＿；平方根等于它本身的数是＿＿＿＿7、下列说法：①任何数都有算术平方根；②一个数的算术平方根一定是正数；③ a 2的算术平方根是a ；④（π-4）2的算术平方根是π-4；⑤算术平方根不可能是负数。
第3讲 实数的有关概念及性质
第3讲 实数的有关概念及性质【学习目标】掌握算术平方根、平方根、立方根、实数的概念及性质【教学重难点】算术平方根、平方根、立方根、实数的概念及性质考点1：平方根知识点与方法技巧梳理：1．平方根：一个数x 的平方等于a ，即x2＝a （a ≥0），那么这个数x 叫做a 的平方根． 2．平方根的表示方法：①当a ≥0时，a 的平方根记为±a（特别地，0＝0）； ②当a ＜0时，a 没有平方根． 3．平方根的性质：①一个正数a 有两个平方根，一个是a 的算术平方根a，另一个是－a，它们互为相反数； ②0有一个平方根，它就是0本身； ③负数没有平方根．【例1】判断下列说法是否正确： （1）25的平方根是±5（ ） （2）|－9|的平方根是3（ ） （3）－8是64的平方根（ ） 【变式】填空：（1）0.04的平方根是_________．（2）若a 是x 的一个平方根，则x 的另一个平方根是_________． （3）若a2＝(－7)2，则a ＝_________． （4）平方根是它本身的数是_________． 【例2】求下列各数的平方根：（1）1.44 （2）2249（3）10－4 （4）|－3116| （5）292－202【变式】求下列各数的平方根：（1）2.89 （2）3625（3）0.000001 （4）|－24164| （5）852－362考点2：算术平方根知识点与方法技巧梳理：1．算术平方根：①正数a 的正的平方根，叫做a 的算术平方根，记作a； ②特别地，0的算术平方根是0．2．算术平方根的性质：非负数的算术平方根是非负数，即当a ≥0时，a≥0．3．（1）(a)2＝a （a ≥0）；（2）a2＝| a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a （a ＞0）a （a ＝0）－a （a ＜0）【例1】判断下列说法是否正确：（1）361＝±19；（ ） （2）27是(－27)2的算术平方根；（ ）（3）4的算术平方根是2．（ ）【变式1】下列说法错误的是（ ）A ．4是16的平方根B ．1的平方根是1C ．(－3)2的平方根是±3 D ．10－100的算术平方根是10－50 【变式2】填空：（1）49的平方根是_________，225的算术平方根是_________． （2）若a 2＝m ，则a ＝_________． （3）(a)2＝_________（a ≥0）； a 2＝_________．（4）算术平方根是它本身的数是________；________的算术平方根等于它的平方根．（5x ＋11的平方根是_________，算术平方根是_________． （6）a2的算术平方根是_________，(3－π)2的算术平方根是_________．（73b +＝0，则20172017a b +＝_________．（8）若4a ＋1的平方根是±5，则a2的算术平方根是__________． 【例2】求下列各数的算术平方根：（1）179（2）(－35)2 （3）8－2 （4）64（5）0.01 （6）262－102【变式】求下列各数的算术平方根：（1）3625（2）－(－19)3 （3）14－4 （4）81（5）1210- （6）372－122考点3：平方根和算术平方根的运用 知识点与方法技巧梳理：1．开平方：①求一个非负数a 的平方根的运算，叫做开平方，其中a 叫被开方数．开平方和平方互为逆运算． ②开平方与加、减、乘、除、乘方一样，都是一种运算． ③平方与开平方互为逆运算．2．被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位． 【例1】计算：（1）(－7)2（2）(5.7)2【变式】计算：（1）1 40.64－1 5100（2） 2.56×25 64【例2】利用平方根解方程：（1）16( x 2＋1 )＝41 （2）( 5x －1)2＝49【变式】利用平方根解方程：（1）25(x2＋2)＝86 （2）(3x －2)2＝(－7)2【例3】若|2x ＋3|＋4x －y＝0，求x 、y 的值．【变式】已知|3a －2|＋2a ＋3b＝0，求a ＋b 的值．考点4：无理数知识点与方法技巧梳理：无理数：无限不循环小数叫做无理数，如3、π．【例】在①0，②10，③－π5，④32，⑤3.14中，是无理数的有____________．【变式】下列各数中，是无理数的是（ ）A ．47B ．225C ．3πD ．4925考点5：立方根知识点与方法技巧梳理：1．立方根的概念：如果x3＝a ，则x 叫做a 的立方根（也叫做三次方根） 2．立方根的性质：①正数有一个立方根，仍为正数．如：64的立方根是44；0；③负数有一个立方根，仍为负数，如：－8的立方根为－22=-．任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同． 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数． 【例1】下列说法正确的是（ ）A －2B ．1的立方根是±1C ．若x ＜0xD ．0没有立方根【变式】下列说法正确的是（ ）A ．－4没有立方根B ．8的立方根是±2C ．136的立方根是16D ．－5的立方根是【例2】求下列各数的立方根： ①－216 ②0.125 ③61164- ④9【变式】求下列各数的立方根：①343 ②－0.216 ③－1558④3(11)-考点6：立方根的运算知识点与方法技巧梳理：1．开立方：①求一个数a的立方根的运算，叫做开立方，其中a叫被开方数．②正如开平方是平方的逆运算一样，开立方运算也是立方运算的逆运算．2．=②3a=③a=第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题．3．被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位．【例1】求下列各式的值：【变式】求下列各式的值：①【例2】0.30.03，则x∶y＝_________．【变式1】a__________m=．【例3】利用立方根解方程：①27x3＝－64 ②(－3＋x)3＝216＝－5 ④64(x＋1)3＋125＝0【变式】利用立方根解方程：①334364x-＝0 ②(4x＋3)3＝－8－6 ④1000－27(x－2)3＝0考点7：实数知识点与方法技巧梳理：1．实数：有理数和无理数统称为实数．2．实数的分类：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧无限不循环小数负无理数正无理数无理数小数数有限小数或无限循环小正分数、负分数分数正整数、零、负整数整数有理数实数)()()(3．实数大小的比较：在数轴上表示的两个实数，右边的数总比左边的数大．4．实数和数轴上点的对应关系：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，即实数和数轴上的点是一一对应的关系．5．实数的几个概念：①相反数；②倒数；③绝对值都和有理数范围内的概念相同． 【例1】把下列各数分别填入相应的集合中：2，1311，8，π2，－2，－7.77，00.121221222……（相邻两个1之间的2的个数逐次增加1）【变式】请把例1中的各数填入相应的集合中：正实数集合：{____________________________________________________…}；分数集合{____________________________________________________…}．【例2【变式A ．－1和0之间 B ．0和11和2之间D ．2和3之间【变式2】比较下列各组数的大小：（1（2）－π______－【变式3】3－－【例4】实数a 、b 在数轴上的对应点的位置如图所示，则的大小关系为____________． 【变式】如图，在数轴上表示2、3的对应点分别为A 、B ，点B 关于点A 的对称点为C ，则点C 表示的实数为____________．【家庭作业】1a __________m =__________；2．若正数A 的平方根是3x －2和x －6，求x A 的算术平方根．3．已知有理数a 、b 满足a2＋2b ＋2b ＝17－42，求a ＋b 的值．4．已知实数a 、b 满足条件b ．（1）求a 、b 的值；（2）求1111(1)(1)(2)(2)(2017)(2017)ab ab a b a b ++++++++++的值． C 0 A B有理数集合 无理数集合。
2018年人教版初一数学下册第二课时(算数平方根、平方根、立方根、实数提高部分)教案
算术平方根、平方根、立方根提高部分教学内容一、同步知识梳理知识点1：算术平方根的概念如果一个正数x 的平方等于a ，即2x a =，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根，记作a ，读作“根号a ”。
规定0的算术平方根是0。
知识点2：算术平方根的双重非负性负数没有平方根，即被开方数一定是正数或0, 0a ≥；算术平方根是非负数，即0a ≥。
二、同步题型分析【例1】 下列说法正确的是（ ）A ．-5是-25的平方根B ．3是（-3）2的算术平方根C ．（-2）2的平方根是2D ．8的平方根是±4【例2】 （2019•毕节地区）16的算术平方根是（ ）A ．4B ．±4C ．2D ．±2【例3】 若21(2)m n -+-＝0，则m ＝________，n ＝_________。
三、课堂达标检测题型一：算术平方根【检测题26】化简：=-2)3(π 。
【检测题27】 如果a a 21)12(2-=-，则（ ）A ．a ＜12 B. a ≤12 C. a ＞12 D. a ≥12【检测题28】已知()01522=++++-c b a 那么a+b-c 的值为___________.一、同步知识梳理知识点3：平方根的概念如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根或二次方根。
即：如果2x a =，那么x 叫做a 的平方根，记作a ±，读作“正、负根号a ”。
知识点4：平方根的性质正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。
知识点5：两个重要的公式 ①()0≥a a a =2）（； ②a a =2 二、同步题型分析【例1】 判断下列说法的是否正确(1)a 的平方根可以写成±a .( )(2)只有正数才有平方根.( )(3)(-a )2的平方根是±a .( )(4)正数a 的平方根一定比a 小.( )(5)一个正数的平方根的平方就是这个数.( )(6)一个正数的平方的平方根就是这个数.( )【例2】已知实数a b c、、在数轴上的位置如下，化简()222a b a b c a c+++---三、课堂达标检测题型一：平方根概念【检测题1】下列各数：-2，(-3)2，｜-0.5｜，0，-(-1)，其中有平方根的数有____个.【检测题2】下列说法中正确的是( )A.-1的平方根是-1B.如果一个数有平方根，那么这个数的平方根一定有两个C.任何一个非负数的平方根都是非负数D.2是4的平方根【检测题3】 9的平方根是________.【检测题4】 0.16的平方是________，0.16的平方根是________.【检测题5】 (-4)3的相反数的倒数的平方根是________.【检测题6】若13是m的一个平方根，则m的另一个平方根是________.【检测题7】若5x+4的平方根是±1，则x=________.【检测题8】求下列数的平方根⑴100 ⑵916⑶0.25 ⑷16-⑸ 0 （6）256【检测题9】 ()20.7-的平方根是（ ）A ．0.7-B ．0.7±C ．0.7D ．0.49【检测题10】 16的平方根是（ ）A ．4 B.C. 2D. 【检测题11】若7x =，则_____x =，x 的平方根是_____ 【检测题12】 求下列各数中的x 值⑴225x = ⑵2810x -= ⑶2449x =⑷225360x -= （5）().063-23252=+x【检测题13】已知a 、b 互为倒数，c 、d 互为相反数，求31ab c d -+++的值。
平方根算术平方根立方根二次根式
平方根算术平方根立方根二次根式
平方根、算术平方根、立方根和二次根式都是数学中常见的概念，它们在代数和数学分析中起着重要作用。
首先，平方根是一个数的平方根是指另一个数的平方，例如，
数x的平方根是指另一个数y，使得y的平方等于x。
一般来说，如
果一个数为正数，那么它有两个平方根，一个是正的，一个是负的。
例如，4的平方根是2和-2，因为2的平方等于4，-2的平方也等
于4。
其次，算术平方根是指一个非负数的平方根。
例如，数9的算
术平方根是3，因为3的平方等于9。
在实际应用中，算术平方根常
常用于计算几何问题和物理问题中。
接着，立方根是一个数的立方根是指另一个数的立方，例如，
数x的立方根是指另一个数y，使得y的立方等于x。
和平方根类似，如果一个数为正数，那么它有一个实数立方根，如果这个数为负数，那么它也有一个实数立方根。
最后，二次根式是指包含有平方根的代数式，例如，√2或
3√5。
二次根式在代数中经常出现，在求解方程和进行简化代数式时起着重要作用。
总的来说，平方根、算术平方根、立方根和二次根式都是数学中常见的概念，它们在代数和数学分析中有着广泛的应用，对于理解数学和解决实际问题都具有重要意义。
希望我对这些概念的解释能够帮助到你。
42数的平方根、立方根、实数
[关键词] 数的开方根/立方根/实数/知识结构 [标题] 数的开方根 立方根 实数数的开方根 立方根 实数【知识结构】1.平方根的意义：如果x 2=a ，那么x 就叫做a 的平方根。
注意：对于x 2=a ，∵x 2≥0，即a ≥0，因此正数或零有平方根，负数没有平方根， 零的平方根是零。
2.算术平方根的意义：当a ≥0时，a 表示a 的算术平方根。
注意：(1)a ≥0，(2)a ≥0，(3)零的算术平方根是零。
3.立方根的意义：如果x 3=a ，那么x 就叫做a 的立方根。
4.无理数的意义：无限不循环小数叫做无理数。
注意：用根号形式表示的数并不都是无理数。
5.实数：有理数和无理数统称实数。
实数有理数正有理数负有理数有限小数或无限循环小数无理数正无理数负无理数无限不循环小数0⎧⎨⎪⎩⎪⎫⎬⎪⎭⎪⎧⎨⎩⎫⎬⎭⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪ 【例题讲解】例1. 求下列各数的平方根 (1)49； (2)614； (3)10-2。
解：(1)∵(±7)2=49∴49的平方根是±7，即±49=±7； (2)∵614=254，(±52)2=254，∴614的平方根是±52，即±614254=±=±52；(3)∵10-2=1102，(±110)2=1102， ∴10-2的平方根是±110，即±=±=±-1011011022。
例2. 求下列各式的平方根(1)3a 2＋1； (2)5－4a ； (3)256。
解：(1)∵a 2≥0 ∴3a 2＋1＞0∴3a 2＋1的平方根是±+312a；(2)当5－4a ＞0，即a ＜54时，5－4a 的平方根是±-54a ，当5－4a =0，即a =54时，5－4a 的平方根是0； 当5－4a ＜0，即a ＞54时，5－4a 没有平方根 注意：当a ＞54即5－4a ＜0时，不能写成±-54a 的形式(3)∵(±16)2=256 ∴±256=±16 ∴256=16 ∵(±4)2=16∴±4是16的平方根，即±4是256的平方根。
《实数和二次根式》知识点
《实数和二次根式》知识点1.平方根：一般地，如果一个数x的平方等于a，那么这个数x就叫做a2的平方根，也就是若x?a，则x叫做a的平方根。
2.开平方：求一个数的平方根的运算叫做开平方。
开平方与平方互为逆运算。
3.平方根的性质：正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
4.平方根的表示：当a?0时，a的平方根记为?a。
5.算术平方根：正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，零的算术平方根是零。
注：（1）非负数才有算术平方根（2）非负数的算术平方根仍为非负数6.算术平方根的表示：当a?0时，a的算术平方根记作a7.立方根：（1）定义：一般地，如果一个数x的立方等于a，那么这个数x就叫a的3立方根，也就是若x?a，则x叫做a的立方根。
3（2）立方根的表示：a（3）开立方：求一个数的立方根的运算叫做开立方。
开立方和立方互为逆运算，开立方的结果是立方根。
（4）性质：一个正数有一个正的立方根；0的立方根是0；一个负数有一个负的立方根。
8.平方根和立方根的区别（1）被开方数的取值范围不同（2）正数的平方根有两个，而它的立方根只有一个，负数没有平方根，而它有一个立方根。
9.实数：有理数和无理数统称为实数。
实数与数轴上的点一一对应。
分类：??正有理数????有理数0??有限小数或无限循环小数???负有理数?实数????正无理数??无理数???无限不循环小数??负无理数??10.实数的相反数、绝对值、倒数、比较大小、运算律和运算法则的应用类似于有理数中的。
11.二次根式：一般地，式子a(a?0)叫做二次根式。
注：（1）含有二次根号“”（2）被开方数a是代数式且a必须是非负数（3）二次根式a(a?0)是a的算术平方根，因此a?0(a?0)212.二次根式的基本性质：(a)?a(a?0)2a?(a)(a?0) 非负数a可以写成一个数的平方的形式13.二次根式的性质：?a(a?0)a2?|a|????a(a?0)注：（1）在应用性质时，注意规范书写格式，绝对值这一步要写，然后再根据绝对值符号内的式子进行进一步化简。
八年级上册数学《实数》平方根和立方根 知识点整理
加速度学习网 我的学习也要加速平方根和立方根有疑问的题目请发在“51加速度学习网”上，让我们来为你解答51加速度学习网 整理一、本节学习指导平方根是学习实数的准备知识，是以后学习一元二次方程等知识的必备基础，也是中考的必考内容之一，此节我们要掌握平方根和立方根的概念。
本节有配套免费学习视频。
二、知识要点1、平方根：如果一个数x 的平方等于a ，那么，这个数x 就叫做a 的平方根；也即，)0(2≥=a a x 时，我们称x 是a 的平方根，记做：)0(≥±=a a x 。
因此：① 当0=a 时，它的平方根只有一个，也就是0本身；② 当0>a 时，也就是a 为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做：a x ±=。
③ 当0<a 时，也即a 为负数时，它不存在平方根。
2、算术平方根（1）如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么，这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记为：“a ”，读作，“根号a ”，其中，a 称为被开方数。
特别规定：0的算术平方根仍然为0。
（2）算术平方根的性质：具有双重非负性，即：)0(0≥≥a a 。
（3）算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。
因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：a ；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：a ±。
加速度学习网 我的学习也要加速例1 求下列各数的算术平方根 （1）64；（2）2)3(-；（3）49151. 分析：根据算术平方根的定义，求一个数a 的算术平方根可转化为求一个数的平方等于a 的运算，更具体地说，就是找出平方后等于a 的正数.解：（1）因为6482=，所以64的算术平方根是8，即864=；（2）因为93)3(22==-，所以2)3(-的算术平方根是3，即3)3(2=-； （3）因为496449151=，又4964)78(2=，所以49151的算术平方根是78，即7849151=. 注意：这类问题应按算术平方根的定义去求.要注意2)3(-的算术平方根是3，而不是3.另外，当这个数是带分数时，应先化为假分数，然后再求其算术平方根，不要出现类似74149161=的错误.例2 求下列各式的值（1）81±； （2）16-； （3）259； （4）2)4(-. 分析：±81表示81的平方根，故其结果是一对互为相反数；－16表示16的负平方根，故其结果是负数；259表示259的算术平方根，故其结果是正数；2)4(-表示2)4(-的算术平方根，故其结果必为正数.解：（1）因为8192=，所以±81=±9. （2）因为1642=，所以－416-=.（3）因为253⎪⎭⎫ ⎝⎛=259，所以259=53.（4）因为22)4(4-=，所以4)4(2=-.加速度学习网 我的学习也要加速例（1）64的立方根是（2）下列说法中：①3±都是27的立方根，②y y =33，③64的立方根是2，④()4832±=±。
第二章平方根、算术平方根和立方根
第二章平方根、算术平方根和立方根知识点汇总1. 平方根、算术平方根和立方根三者的区别与联系( 理清概念方能百战不殆)指数 2 在根号的里面。
2 ( a) 2与a2的关系( 难点)(1) 区别：①意义不同：( a) 2表示非负数 a 的算术平方根的平方；a2表示实数a的平方的算术平方根。
②取值范围不同：( a)2中的a为非负数，即a≥0；a2中的 a 为任意数。
③运算顺序不同：( a)2是先求 a 的算术平方根，再求它的算术平方根的平方；a2是先求 a 的平方，再求平方后的算术平方根。
④写法不同。
在( a) 2中，指数 2 在根号的外面；而在a2中，⑤运算结果不同：(a)2＝a(a≥0) ； a ＝| a|＝a，a≥0，－a，a<0.（2） 联系：①在运算时，都有平方和开平方的运算。
②两式运算的结果都是非负数，即 ≥0. ③仅当 a ≥0时，有 （ a ）2＝ a 2 。
3. 立方根的化简公式： 3 a 3 ＝a ；（3 a ）3＝a ； 3 a ＝－ 3 a( a ) 2≥ 0， a 21．．选择2014·南京） 8 的平方根是（ A ． 4B ．±42． （2014 。
东营 ） 的平方根是（ A ．±3 B ．3 3． 2014?连云港） 计算 A ． ﹣3 B ． 4.（2014。
厦门） 4 的算术平方根是（ A ． 16 B ．5．下列计算中，正确的是（ 典型题精选）C ．的结果是（±9 C ． C ． D ．D ．9﹣9 D ． ﹣2 D ． ±2 3 2 6 A.a · a =a B. ( π -3.14 )o =1 C. (13)1) 2C ．( ab ) 3 D. 93 6.（2014 年湖北荆门 ）下列运算正确的是 A ．3﹣1=﹣3 B ． =±3 7. 下列说法错误的是（ ） A ．5是 25 的算术平方根 C ．（－4）2 的平方根是－ 4 8．如果 x 是 0.01的算术平方根，则 A ． 0.000 1 C ．0.1 9.下 列说法中，正确的是（ ） A. 一个有理数的平 方根有两个，B. 一个有理数的 立方根，不是正数就是负数C.负数没有立方根D.如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是－ 10. 下列各式中，无意义的是（ ） x ＝（ B ． D ． 36 =a b D ．a 6 2 ÷a =a A. 32 B ．1 是 1 的一个平方根D ．0 的平方根与算术平方根都是 ）±0.000 1±0.1 它们互为相反数 1， 0，1 B. 3 ( 3)3 C. ( 3)2 D. 10 3 绝对值与算术平方根的非负性）11. 若 a,b 为实数，且满足 |a －2|+ b 2 =0，则 b －a 的值为（ ）A ．2B ．0C ．－ 2D ．以上都不对平方与算术平方根的非负性）12.（2014·福州） 若（m-1）2+ n 2 ＝0，则 m ＋ n 的值是（ A ．－ 1 B ． 0 C ．1 13. 有一个数值转换器，原理如图所示：当输入的D ．2x 错误！未找到引用源。
专题08 平方根、算术平方根和立方根(解析版)
专题08 平方根、算术平方根和立方根【基础内容与方法】±，且互为相反数，其中a称为a的算术平方根；1.非负数a的平方根为a2.如果出现开方开得尽的数，务必先化成有理数，如4要化成2；3.熟记“平方数”和“立方数”.类型一：对平方根、算术平方根和立方根概念的理解1．2±是4的()A．平方根B．算术平方根C．绝对值D．相反数【分析】根据平方根，算术平方根，绝对值，相反数的定义，依次分析各个选项，选出正确的选项即可．【解答】解：.4A的平方根是2±，即A项正确，B的算术平方根是2，即B项错误，.4C的绝对值是4，即C项错误，.4.4D的相反数是4-，即D项错误，故选：A．【点评】本题考查了实数的性质，相反数，绝对值，平方根，算术平方根，正确掌握相反数，绝对值，平方根，算术平方根的定义是解题的关键．2．9的平方根是3±，用下列式子表示正确的是()A．3=±D3=B3=±C．3=【分析】直接利用平方根的定义计算即可．【解答】解：3±的平方是9，∴的平方根是39±．故选：C．【点评】此题主要考查了平方根的定义，要注意：一个非负数的平方根有两个，互为相反数，正值为算术平方根．3．实数的平方根（）A．3B．﹣3C．±3D．±【分析】先将原数化简，然后根据平方根的性质即可求出答案．【解答】解：∵＝3，∴3的平方根是，故选：D．【点评】本题考查平方根的概念，解题的关键是将原数进行化简，本题属于基础题型．4．的算术平方根是（）A．2B．4C．±2D．±4【分析】利用算术平方根定义计算即可得到结果．【解答】解：＝4，4的算术平方根是2，故选：A．【点评】此题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解本题的关键．5()A8的算术平方根B．23<<C=±D【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【解答】解：A8的算术平方根，故A正确；B、23，故B正确；C、=C错误；D D正确；故选：C．【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001⋯，等有这样规律的数．6．下列说法错误的是（）A．﹣3是9的平方根B．的平方等于5C．﹣1的平方根是±1D．9的算术平方根是3【分析】根据平方根与算术平方根的定义即可作出判断．【解答】解：A、B、D正确；C、﹣1没有平方根，故选项错误．故选：C．【点评】此题主要考查了算术平方根的定义，算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误．7．下列说法中正确的是（）A．的算术平方根是±4B．12是144的平方根C．的平方根是±5D．a2的算术平方根是a【分析】直接利用算术平方根以及平方根的定义分别分析得出答案．【解答】解：A、＝4，4的算术平方根是2，故此选项错误；B、12是144的平方根，正确；C、＝5，5的平方根是±，故此选项错误；D、a2的算术平方根是|a|，故此选项错误．故选：B．【点评】此题主要考查了算术平方根以及平方根的定义，正确把握相关定义是解题关键．8．下列说法不正确的是（）A．的平方根是±B．﹣9是81的平方根C．0.4的算术平方根是0.2D．＝﹣3【分析】根据立方根与平方根的定义即可求出答案．【解答】解：0.4的算术平方根为，故C错误，故选：C．【点评】本题考查平方根与立方根，解题的关键是正确理解概念，本题属于基础题型．9．下列各式中正确的是（）A．＝±4B．＝﹣9C．＝﹣3D．＝【分析】利用算术平方根和立方根的性质进行计算．【解答】解：A、，即16的算术平方根是4，A错；B、＝﹣3，即﹣27的立方根为﹣3，B错；C、＝3，C错；D、＝，D对．故选：D．【点评】本题考查了算术平方根和立方根的意义，熟练掌握这些定义是关键．10．若2m﹣4与3m﹣1是同一个数的两个不等的平方根，则这个数是（）A．2B．﹣2C．4D．1【分析】根据平方根的性质即可求出答案．【解答】解：由题意可知：2m﹣4+3m﹣1＝0，解得：m＝1，∴2m﹣4＝﹣2所以这个数是4，故选：C．【点评】本题考查平方根，解题的关键是正确理解平方根的定义，本题属于基础题型．11．一个正数x的两个平方根为23a-，则x=．a-和9【分析】根据平方根的性质即可求出答案．【解答】解：由题意可知：2a﹣3+a﹣9＝0，解得：a＝4，∴2a﹣3＝5所以x是25，故填：25．【点评】本题考查平方根，解题的关键是正确理解平方根的定义，本题属于基础题型．12．已知和互为相反数，求的值．【分析】由相反数的定义可得，+＝0，由立方根的性质可得，3y﹣1+1﹣2x＝0，整理式子即可得＝．【解答】解：由题意可得，3y﹣1+1﹣2x＝0，则3y＝2x，所以＝．【点评】此题主要考查了实数的运算，解题关键是由题意得3y﹣1+1﹣2x＝0，然后即可解决问题．类型二：平方根、立方根与被开方数的数量关系1．已知＝1.147，＝2.472，＝0.5325，则的值是（）A．24.72B．53.25C．11.47D．114.7【分析】根据被开方数小数点移动3位，立方根的小数点移动1位解答．【解答】解：＝＝1.147×10＝11.47．故选：C．【点评】本题考查了立方根的应用，要注意被开方数与立方根的小数点的移动变化规律．2．已知＝0.1738，＝1.738，则a的值为（）A．0.528B．0.0528C．0.00528D．0.000528【分析】利用立方根定义计算即可求出值．【解答】解：∵＝0.1738，＝1.738，∴a＝0.00528，故选：C．【点评】此题考查了立方根，熟练掌握立方根定义是解本题的关键．3．如果≈1.333，≈2.872，那么约等于（）A．28.72B．0.2872C．13.33D．0.1333【分析】根据立方根，即可解答．【解答】解：∵≈1.333，∴＝≈1.333×10＝13.33．故选：C．【点评】本题考查了立方根，解决本题的关键是熟记立方根的定义．4．已知≈44.91，≈14.20，则≈（不用计算器）．【分析】直接利用二次根式的性质将原式变形得出答案．【解答】解：∵≈44.91，∴＝＝44.91×0.1＝4.491．故答案为：4.491．【点评】此题主要考查了算术平方根，正确理解题意是解题关键．5．已知＝2.28，＝7.22，则＝．【分析】根据算术平方根，即可解答．【解答】解：＝2.28×0.1＝0.228．故答案为：0.228．【点评】本题考查的是立方根及算术平方根，根据题意把所求式子分解为已知条件的形式是解答此题的关键．。
初中数学七年级数学第六章实数(全章节图文详解)
实 数
有理数
正整数 0 自然数 负整数 正分数
无理数
无限不循环小数
一般有三种情况
负分数 正无理数 负无理数 (1)含π 的数
2 开方开不尽的数
(3)有规律但不循环的无限小数
七年级数学第六章实数
也可以这样来分类： 正实数 实 数 0
负有理数 正有理数
正无理数
负实数
负无理数
七年级数学第六章实数
七年级数学第六章实数
几个基本公式：（注意字母 的取值范围）
a a =
2
a
0
a
3
2
a
a 0
a
a 0 a 0
(a 0)
a
3
a a
3
3
a为任何数 a为任何数 a为任何数
a
3
a =
-3 a
七年级数学第六章实数
区别
你知道算术平方根、平方根、立方根联系和区别吗？
3 47 9 11 5 3, , , , , 5 8 11 90 9
3 47 3 3.0, 0.6, 5.875, 5 8 9 11 5 0. 81, 0.1 2, 0. 5 11 90 9
事实上，任何一个有理数都可以写成有限小数或 无限循环小数。
4
3 0.13
（2）无理数集合： （3）整数集合： （4）负数集合： （5）分数集合： （6）实数集合： 9
3
5
64
3
3
9
9
3
3 4
9
3 4
0. 6
3
0.13
3 0. 6 4
第02讲 实数
(2)非负数的呈现形式 ≥ ①|a|≥0;②a2n≥0(n为正整数); ③ a 0 a ___ 0 .
(3)非负数的性质：
①非负数有最小值；
②若干个非负数之和仍为非负数；
③若干个非负数之和为零，则每个非负数分别为零.
4.有理数的运算法则、运算性质、运算律、运算顺序在实数的 混合运算中同样适用.
【例】(2011²东莞中考)按下面程序计算：输入x=3，则输出
的答案是_____.
【解题导引】理解所给程序的运算，确定出运算顺序，计算并 得出结果. 【规范解答】33=27,27-3=24,24〔2=12. 答案：12
【名师点评】通过对程序运算的分析和总结，我们可以得到以 下该类型题目的创新点拨和解题启示
意一个分数均为有理数，如 22 一定是有理数.
7
2.实数和数轴上的点一一对应.
3.只有非负数才有平方根(包括算术平方根)，而非负数的算术 平方根也是非负数，而任何数都有一个和其本身符号相同的立 方根.
实数的分类及有关概念 ◆中考指数:★★★★★
知 识 点 睛
1.无理数的相反数、绝对值、倒数 无理数的相反数、绝对值、倒数与有理数的相反数、绝对 值、倒数的意义是相同的，可以类比有理数中的方法求一 个无理数的相反数、绝对值、倒数.
知 识 点 睛
◆中考指数:★★★☆☆ 知 2.两点联系： 识 (1)都与相应的乘方运算互为逆运算； 点 (2)0的平方根与立方根都是0. 睛 1.明确
a， a， a 的不同意义， a 表示a的算术平
特 方根，a 表示a的算术平方根的相反数，± a 表示a 别 的平方根. 提 醒 2.明确( a )2与 a 2 的不同，( a )2=a(a≥0)， a 2
七年级：平方根与立方根
七年级：平方根与立方根1.平方根(1)定义：一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫作a的平方根，也叫作a的二次方根，记为“±√a”, 读作“正负根号a”, 如下：b²=a→±√a=b其中把a称之为被开方数。
(2)特性：正数有两个平方根，且互为相反数；负数没有平方根；0的平方根还是0。
2.算术平方根(1)定义：非负数的非负平方根称为算术平方根，一个数a(a≥0)的算术平方根记作√a, 读作“根号a”。
0 的算术平方根为0。
(2)算术平方根的双重非负性：被开方数a是一个非负数，其结果“√a” 也是一个非负数.3.平方根与算术平方根的联系与区别1)联系：(1)算术平方根是平方根中的一部分，是取了一个数a的平方根土√a中的非负部分；(2)平方根和算术平方根的被开方数必须是非负数，负数没有平方根和算术平方根；(3)0的平方根和算术平方根都是0。
2)区别：(1)个数上：正数的平方根有两个，且互为相反数，必有一正一负。
而算术平方根只有一个，取它的正平方根。
(2)表示方法：±√a表示平方根，前面的“±”表示其值有正负；√a表示算术平方根.特别注意的是：±√a≠ √a.4.立方根(1)定义：一般地，一个数的立方等于a，这个数就叫作a的立方根，也叫作a的三次方根3”,读作“三次根号a”.即可以表示如下：，记为“√a3=bb3=a⇒√a其中a，是被开方数，3是根指数。
(2)特性：每个数都有一个立方根，且正数有且仅有一个正的立方根，负数有且仅有一个负的立方根，0的立方根是0。
推广：一个数的奇次方根有且只有一个。
(3)与平方根的主要区别：表示方法的不同；负数也有立方根，但是没有平方根。
5. 几个关于平方根、立方根的记忆点(1)一个数的平方根是本身，这个数是0；(2)一个数的算术平方根是本身，这个数是0,1；(3)一个数的立方根是本身，这个数是一1,0,1。
平方根、算术平方根和立方根
唯一性
对于非负实数$a$，其算 术平方根是唯一的。
递增性
随着$a$的增大， $sqrt{a}$也增大。
算术平方根的运算规则
乘法运算
$sqrt{a} times sqrt{b} = sqrt{a times b}$（$a geq 0$，$b geq 0$）。
加法运算
$sqrt{a} + sqrt{b} = sqrt{(a + b)^2 - ab}$（$a geq 0$，$b geq 0$）。
能够正确计算各种平 方根、算术平方根和 立方根的值。
02 平方根的概念和性质
平方根的定义
平方根
如果一个数的平方等于给定的数， 则这个数称为给定数的平方根。
算术平方根
非负数的平方根称为算术平方根， 表示为√。
立方根
如果一个数的立方等于给定的数， 则这个数称为给定数的立方根。
平方根的性质
01
02
03
平方根、算术平方根和立方根
目 录
• 引言 • 平方根的概念和性质 • 算术平方根的概念和性质 • 立方根的概念和性质 • 平方根、算术平方根和立方根的应用 • 总结与回顾
01 引言
主题简介
平方根
平方根是数学中的一个概念，它表示一 个数的平方等于给定值。例如，4的平方 根是±2，因为2^2=4和-2^2=4。
例如
如果 $a^3 = b$，则 $a$ 是 $b$ 的立 方根。
立方根的性质
非负性
01
一个数的立方根总是非负的。
奇偶性
02
如果一个数是奇数，那么它的立方根也是奇数；如果一个数是
偶数，那么它的立方根也是偶数。
连续性
03
在实数范围内，任何两个不相等的实数都有唯一的介于它们之
小学数学中的算术平方根与立方根
小学数学中的算术平方根与立方根在小学数学中，算术平方根与立方根是两个重要的概念。
通过学习和理解这些概念，学生可以更好地掌握数学运算，培养数学思维能力。
本文将深入探讨小学数学中的算术平方根与立方根的概念、性质以及应用。
一、算术平方根的概念与性质算术平方根是指一个数的平方等于该数本身的非负实数解。
以正整数为例，我们可以通过列举一系列数的平方来寻找其算术平方根。
例如，1的平方是1，2的平方是4，3的平方是9，4的平方是16，5的平方是25，以此类推。
从中我们可以看出，1、4、9、16、25等都是完全平方数，它们的算术平方根分别是1、2、3、4、5。
对于任意一个正整数n，它的算术平方根可以用符号√n表示。
例如√16=4，√25=5。
在小学数学中，我们通常通过列举一些完全平方数的算术平方根来帮助学生掌握这一概念。
算术平方根具有以下性质：1. 非负数的算术平方根是唯一的，即一个数的算术平方根只有一个解；2. 完全平方数的算术平方根是整数，非完全平方数的算术平方根是无理数，它们不能用分数表达。
二、算术平方根的应用算术平方根在实际生活和数学问题中有广泛的应用。
下面举几个例子说明：1. 面积求解：在解决面积问题时，我们经常用到算术平方根。
例如，我们需要求解一个正方形的面积，已知边长为a。
由于正方形的四条边相等，所以面积可以表示为a^2，于是我们可以通过开方运算得到边长a的值。
2. 距离计算：在地理学或几何学中，我们需要计算两点之间的距离。
如果已知两点的坐标(x1, y1)和(x2, y2)，那么这两点之间的距离可以表示为√[(x2-x1)^2 + (y2-y1)^2]。
这个公式就是利用了算术平方根来计算两点之间的直线距离。
三、立方根的概念与性质与算术平方根类似，立方根也是一个数的立方等于该数本身的实数解。
以正整数为例，我们可以通过列举一系列数的立方来寻找其立方根。
例如，1的立方是1，2的立方是8，3的立方是27，4的立方是64，5的立方是125，以此类推。
(完整版)平方根与立方根及实数知识点总结
“平方根”与“立方根”知识点小结一、知识要点 1、平方根：⑴、定义：如果x 2=a ，则x 叫做a 的平方根，记作“（a 称为被开方数）。
⑵、性质：正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。
⑶、算术平方根：正数a 的正的平方根叫做a 的算术平。
2、立方根：⑴、定义：如果x 3=a ，则x 叫做a 的立方根，记作（a 称为被开方数）。
⑵、性质：正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。
3、开平方（开立方）：求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）。
二、规律总结：1、平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和±1。
2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。
3有意义的条件是a ≥0。
4、公式：⑴)2=a （a ≥0）=（a 取任何数）。
5、非负数的重要性质：若几个非负数之和等于0，则每一个非负数都为0（此性质应用很广，务必掌握）。
例1 求下列各数的平方根和算术平方根 （1）64；（2）2)3(-； （3）49151； ⑷ 21(3)- 例2 求下列各式的值（1）81±； （2）16-； （3）259； （4）2)4(-.（5）44.1，（6）36-，（7）4925±（8）2)25(-例3、求下列各数的立方根：⑴ 343； ⑵ 10227-； ⑶ 0.729二、巧用被开方数的非负性求值. 大家知道，当a ≥0时，a 的平方根是±a ，即a 是非负数. 例4、若,622=----y x x 求y x的立方根.练习：已知,21221+-+-=x x y 求y x 的值.三、巧用正数的两平方根是互为相反数求值.我们知道，当a ≥0时，a 的平方根是±a ，而.0)()(=-++a a例5、已知：一个正数的平方根是2a-1与2-a ，求a 的平方的相反数的立方根.练习：若32+a 和12-a 是数m 的平方根，求m 的值.四、巧解方程例6、解方程（1）（x+1）2=36 （2）27(x+1)3=64五、巧用算术平方根的最小值求值.我们已经知道0≥a ,即a=0时其值最小,换句话说a 的最小值是零.例4、已知：y=)1(32++-b a ,当a 、b 取不同的值时，y 也有不同的值.当y 最小时,求b a的非算术平方根.练习①已知233(2)0x y z -+-++=，求xyz 的值。
探讨平方根算术平方根立方根的联系与区别
探讨平方根算术平方根立方根的联系与区别首先，我们先来了解平方根的概念。
在数学中，一个数的平方根是指能使其平方等于该数的非负实数。
简单来说，一个数x的平方根就是满足x=a^2的数a。
平方根符号常用√表示，如√4=2、可以说，平方根是指对一个数进行开平方操作，得到的结果。
算术平方根是一类平方根的特殊情况。
在数学中，对一个正数x，其算术平方根指的是一个非负实数a，它的平方等于x。
也即，a^2=x。
举个例子，16的算术平方根是4，因为4^2=16、需要注意的是，算术平方根只考虑非负解，因此负数的算术平方根是不存在的。
接下来，我们来了解一下立方根的概念。
在数学中，一个数的立方根是指能使其立方等于该数的实数。
简单来说，一个数x的立方根就是满足x=a^3的数a。
立方根的符号是∛，如∛8=2、可以说，立方根是指对一个数进行开立方操作，得到的结果。
与平方根类似，立方根也只有一个实数解。
从定义上来看，平方根、算术平方根和立方根都属于根的概念，它们都是对数开方得到的结果。
然而，它们之间还是有一些区别的。
首先，平方根和立方根的符号分别是√和∛，而算术平方根没有特定的符号。
这是因为算术平方根是属于一种特殊情况的平方根，不需要用特定的符号表示。
其次，平方根和立方根都只有一个实数解，而算术平方根可能有多个解。
这是因为平方根和立方根的运算是平方和立方的逆运算，所以它们只有唯一的解。
而对于算术平方根来说，一个数可能有两个解，一个是正数解，一个是负数解。
此外，平方根和立方根的运算结果可以是非整数，而算术平方根的运算结果通常是一个整数。
这是因为平方根和立方根的运算是开方运算，它们的结果可以是一个小数。
而算术平方根是一个特殊情况的平方根，所以通常结果是一个整数。
总结起来，平方根、算术平方根和立方根都是根的概念，它们都是对数进行开方操作得到的结果。
平方根是满足x=a^2的非负实数，算术平方根是满足a^2=x的非负实数，立方根是满足x=a^3的实数。
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实数
学习目标
1.理解并掌握算术平方根、平方根、立方根等概念及性质，并会用根号表示它们.
2.会求算术平方根、平方根和立方根.
3.理解有理数、无理数以及实数的概念，知道这些数和数轴上的点的对应关系.
4.会进行实数的运算.
知识精讲
1.算术平方根.
（1）概念：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个正数x 叫作a 的算术平方根.其中a 叫作被开方数.a 的算术平方根记作)0(≥a a ，读作“根号a ”.
（2）性质：正数的算术平方根是正数；0的算术平方根是0；负数没有算术平方根.
注意：非负数a 的算术平方根a 有双重非负性：①被开方数a 是非负数；②算术平方根a 本身也是非负数.
2.平方根.
（1）概念：如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫作a 的平方根（或二次方根）.即如果a x =2，那么x 叫作a 的平方根，记作)0(≥±a a .
（2）开平方：求一个数a 的平方根的运算，叫作开平方.
注意：开平方运算与平方的运算互为逆运算.
（3）性质：正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根. 注意：①求某数的平方根，先要看这个数是不是非负数.
②要判断一个数是不是另一个数的平方根，只需验证这个数的平方是否等于另一个数.
③一个正数的正的平方根即为算术平方根.a 表示a 的算术平方根，a ±表示a 的平方根. ④在求一个数的平方根时，只要求出它的算术平方根，就可直接写出它的另一个平方根. ⑤要熟记1至20之间的整数的平方.
3.立方根.
（1）概念：一般地，如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫作a 的立方根或三次方根.即如果a x =3，那么x 叫作a 的立方根，记作3a ，读作“三次根号a ”.
注意：这里的根指数3不能省略.
（2）开立方：求一个数a 的立方根的运算叫作开立方，其中a 叫作被开方数.
注意：开立方运算与立方根运算互为逆运算.
（3）性质：正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0.
注意：①任何数的立方根都只有一个，其符号与它本身的符号一致. ②3a -=-3a ，a a a ==3333)(.
4.实数.
（1）无理数：无限不循环小数叫作无理数.
注意：无理数常见的三种形式：①开方开不尽的数；②有规律的无限的不循环小数；③含π的数.
（2）有理数和无理数统称为实数.
（3）实数的分类. 实数 有理数：有限小数或无限循环小数 无理数：无限不循环小数
正实数 正有理数 正无理数
实数 0
负实数 负有理数 负无理数
（4）实数与数轴上的点是一一对应的，即数轴上的点都表示实数；反之，实数都可以用数轴上的点来表示.
5.实数的运算：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行.另外，有理数的运算律在实数范围内任然适用.
方法提炼
1.平方根的相关结论.
（1）当被开方数扩大(或缩小)2n 倍时，它的算术平方根相应地扩大（或缩小）n 倍（0≥n ）.
（2）平方根和算术平方根与被开方数之间的关系：
①)0()(2≥=a a a ；②==a a 2 )
0()0(＜a a a a -≥ （3）若一个非负数a 介于另外两个非负数1a 、2a 之间，它的算术平方根介于21a a 、之间，即当
210a a a ＜＜≤时，
则210a a a ＜＜≤.利用这个结论我们可以估算一个非负数的算术平方根的大致范围.
2.立方根的相关结论.
（1）当被开方数扩大(或缩小)3
n 倍时，它的立方根相应地扩大（或缩小）n 倍（0≥n ）.
（2）a a =33，a a =33)(.
（3）若一个数a 介于另外两数1a 、2a 之间，它的立方根介于3231a a 、之间，即当21a a a ＜＜时，则32331a a a ＜＜.利用这个结论我们可以估算一个数的立方根的大致范围.
3.三种非负数：，02
≥a ，0≥b )0(0≥≥c c .根据非负数的性质.若其中两个或三个非负数的和为0，
则每一个非负数均为0，即若02=++c b a ，则.0,0,0===c b a
4.对于绝对值与平方根问题一般需分类讨论. 典例精析
例1 给出下列说法：(1)正数都有平方根和立方根，负数没有平方根和立方根. (2)一个数的平方根和立方根相等，这个数是0 或1. (3)任何实数都有立方根. (4)一个正数的算术平方很和一个负数的算术平方根互为相反数. (5)一个数的立方根和这个数的相反数的立方根互为相反数.其中正确的有（ ）个.
A.2
B.3
C.4
D.5
例2 已知12-a 的平方根为3±，12-+b a 的立方根为2，求b a 2+的平方根.
典例精练
1.下列语句中正确的是（ ）
A.49的算术平方根是7
B.49的平方根是-7
C.-49的平方根是7
D.49的算术平方根是7±
2.下列实数3π，71-，0，2，-
3.15，9，3
3中，无理数有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.（1）9-的平方根与-8的立方根的和是（ ）
A.1
B.-5
C.3±
D.1或-5
（2）一个数的算术平方根是a ，则比这个数大8的数是（ ）
A.a +8
B.a -4
C.82-a
D.82+a
4.若0)3(122=++-++c b a ，则c b a -+2等于（ ）
A.0
B.1
C.2
D.3
5.给出下列说法：(1)无理数就是开方开不尽的数.（2）无理数是无限u 循环小数.（3）无理数包括正无理数、0、负无理数.（4）实数都可以用数轴上的点来表示.其中正确的个数为（ ）个.
A.1
B.2
C.3
D.4 6.75-的相反数是____________，绝对值是____________.
7.当x __________时，1-x 有意义.
8.比较大小：72___________24.
9.(1)若36.25=5.036，6.253=15.906，则253600=___________.
(2)已知351.1=1.147，472.21.153=，5325.0151.03=，则31510的值是___________. 10.(1)52233221-+-+-+
- (2)3201564321691541)1(21+-++--+-+ (3)327)21()4()4()2(32
3323-÷--⨯-+-⨯-
11.求下列各式中的x .
(1)01642=-x (2)0125273=-x
12.若15+a 和19-a 是正数m 的平方根，求m 的值.
13.已知m 是313的整数部分，n 是13的小数部分，求n m -的值.
14.已知实数c b a 、、在数轴上对应点的位置如图所示，化简：3322)()(a b b c b c b a ----+-+-.
中考真题
1.（湖北鄂州）4的算术平方根为__________.
2.（安徽）设n 为正整数，且1n 65+＜＜n ，则n 的值为（
）. A.5 B.6 C.7 D.8。