最新华师大版九年级数学下册：27.3圆中的计算问题(1)
华师大版九年级数学下册教案：27.3圆中的计算问题
27． 3圆中的计算问题第 1 课时弧长和扇形面积教课目的一、基本目标研究弧长公式和扇形面积公式推导过程，并会应用公式解决问题．二、重难点目标【教课要点】弧长及扇形面积计算公式．【教课难点】弧长及扇形面积计算公式的推导过程．教课过程环节 1自学纲要，生成问题【5 min 阅读】阅读教材 P58～P61 的内容，达成下边练习．【3 min 反应】πR 1．在半径为 R 的圆中， 1°的圆心角所对的弧长是180，n°的圆心nπR角所对的弧长是180.2πR 2．在半径为 R 的圆中， 1°的圆心角所对应的扇形面积是360，n°2nπR36013．半径为 R，弧长为 l 的扇形面积 S＝2lR.4．已知⊙ O 的半径 OA＝6，∠AOB＝90°，则∠ AOB 所对的弧长AB 的长是 3π.5．一个扇形所在圆的半径为 3 cm，扇形的圆心角为120°，则扇形的面积为 3πcm2.6．在一个圆中，假如 60°的圆心角所对的弧长是 6πcm ，那么这个圆的半径 r ＝18 cm.环节 2合作研究，解决问题活动 1小组议论(师生互学)【例 1】制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下︵料，试计算如下图的管道的展直长度，即AB 的长(结果精准到0.1 mm)．【互动研究】 (引起学生思虑 )直接运用弧长公式求解．【解答】∵ R＝40 mm，n＝110，︵πR 110×40π．∴AB 的长＝n＝≈18018076.8(mm)∴管道的展直长度约为 76.8 mm.【互动总结】 (学生总结，老师评论 )运用弧长公式解决问题时，必定要找准弧所对的圆心角与半径．【例 2】扇形 AOB 的半径为︵12 cm，∠AOB＝120°，求AB 的长(结果精准到 0.1 cm)和扇形 AOB 的面积 (结果精准到 0.1 cm2)．︵【互动研究】 (引起学生思虑 )直接运用弧长公式求出 AB 的长，再直接运用扇形公式求解．︵120π×≈．【解答】 AB 的长＝1218025.1(cm)扇形＝12022Sπ×≈)．36012150.7(cm【互动总结】 (学生总结，老师评论)本题求扇形的面积也可利用1公式 S＝2lR 解决．活动 2稳固练习(学生独学)41．已知半径为 2 的扇形，面积为3π，则它的圆心角的度数＝120°.42．已知半径为 2 cm 的扇形，其弧长为3πcm，则这个扇形的面积4S＝3πcm2.44 3．已知半径为 2 的扇形，面积为3π，则这个扇形的弧长＝3π.4．已知扇形的半径为5 cm，面积为20 cm2，则扇形弧长为8 cm.5．已知扇形的圆心角为210°，弧长是28π，则扇形的面积为336π. 活动 3 拓展延长 (学生对学 )︵【例 3】如图，两个齐心圆被两条半径截得的AB 的长为 6πcm，︵CD 的长为 10πcm，又 AC＝12 cm，求暗影部分的面积．【互动研究】图中的暗影部分是圆环的一部分，要求暗影部分的面积，需求扇形COD 的面积与扇形 AOB 的面积之差．依据扇形面积1S＝2lR，l 已知，则需要求两个半径 OC 与 OA，由于 OC＝OA＋AC，AC 已知，因此只需能求出 OA 即可．【解答】设 OA＝R cm，OC＝(R＋12) cm，∠ O＝n°.依据已知条件有n6π＝180πR，①n10π＝180πR＋12 ，②①3R②得，5＝R＋12，∴ R＝18.∴O C＝18＋12＝30，∴S＝S 扇形COD－S 扇形AOB＝12×10π×30－21×6π×18＝96πcm2.∴暗影部分的面积为96πcm2.【互动总结】 (学生总结，老师评论 )利用我们所学的知识，不可以直接求出暗影部分的面积，需要将它转变为两个扇形的面积之差．在求不规则图形的面积时，需要将其转变为规则图形面积的和 (差)形式，进而解决问题．环节 3讲堂小结，当堂达标(学生总结，老师评论 )弧长和扇形面积nπR半径为 R，n°的圆心角所对的弧长 l＝1802nπR半径为 R，n°的圆心角所对的扇形面积S＝3601半径为 R，弧长为 l的扇形面积 S＝2lR练习设计请达成本课时对应训练！第 2 课时圆锥的侧面积和全面积教课目的一、基本目标1．认识圆锥母线和高的观点，理解圆锥侧面积计算公式．2．理解圆锥全面积的计算公式，并会应用公式解决问题．二、重难点目标【教课要点】圆锥侧面积和全面积的计算．【教课难点】研究圆锥侧面积计算公式．教课过程环节 1自学纲要，生成问题【5 min 阅读】阅读教材 P62～P63 的内容，达成下边练习．【3 min 反应】1．圆锥是由一个底面和一个侧面围成的．把圆锥底面圆周上随意一点与圆锥极点的线段叫做圆锥的母线，连接极点与底面圆心的线段叫做圆锥的高．2．沿着圆锥的母线，把圆锥的侧面睁开，获得一个扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，而扇形的半径等于圆锥的母线长.3．圆锥的母线为l，圆锥的高为h，底面圆的半径为r，存在关系式：l2＝h2＋r2，圆锥的侧面积 S＝πlr；圆锥的全面积 S 全＝S 底＋S 侧＝πr2＋πlr.4．已知圆锥的底面直径为4，母线长为 6，则它的侧面积为12π.5．圆锥的底面半径为 3 cm，母线长为 6 cm，则这个圆锥侧面展开图扇形的圆心角是180°.6．假如圆锥的高为 3 cm，母线长为 5 cm，则圆锥的全面积是36πcm2.环节 2合作研究，解决问题活动 1小组议论(师生对学)【例 1】圣诞节快要，某家商铺正在制作圣诞节的圆锥形纸帽．已知纸帽的底面周长为58 cm，高为 20 cm，要制作 20 顶这样的纸帽至少要用多少平方厘米的纸？(结果精准到 0.1 cm2)【互动研究】 (引起学生思虑 ) “圆锥形纸帽”的侧面睁开图是什么？要求纸帽的面积，即求圆锥的侧面积，需要哪些条件？设纸帽的底面半径为r cm，母线长为 l cm.则 r＝58，l2π＝582＋202 ≈，S圆锥侧＝1lR≈1×58×22.03 ＝2π22.03(cm)22638.87(cm2).638.87 20×＝12 777.4(cm2)．即起码需要 12 777.4 cm2的纸．【互动总结】 (学生总结，老师评论 )在解决实质问题时，第一要考虑求的是圆锥的侧面积仍是全面积，确立好此后，找到需要的数据，代入公式计算即可．活动 2稳固练习(学生独学)1．圆锥的侧面积是底面积的 2 倍，这个圆锥的侧面睁开图扇形的圆心角是 180°.2．一个扇形，半径为30 cm，圆心角为 120°，用它做成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的底面半径为10 cm.3．如下图，已知扇形AOB 的半径为 6 cm，圆心角为 120°，现要将此扇形围成一个圆锥．(1)求围成的圆锥的侧面积；(2)求该圆锥的底面半径；120π×62解： (1)圆锥的侧面积＝360＝12π(cm2)．120π×6(2)该圆锥的底面半径为r.依据题意，得 2πr＝180，解得r＝2.即圆锥的底面半径为 2 cm.活动 3拓展延长(学生对学)【例 2】如图，已知 Rt△ABC 的斜边 AB＝13 cm，一条直角边 AC＝5 cm，以直线 AB 为轴旋转一周得一个几何体．求这个几何体的表面积．【互动研究】察看图形，几何体由两个圆锥构成，且共用圆锥底面，要求其表面积，只需求出两个圆锥的侧面积之和即可．【解答】在 Rt△ABC 中， AB＝13 cm，AC＝5 cm，∴BC＝12 cm.∵OC·AB＝BC·AC，∴r＝OC＝BC·AC＝5×12＝60，AB13 136010202)．∴S 表＝πr(BC＋AC)＝π××(12＋5)＝π1313(cm【互动总结】 (学生总结，老师评论 )在计算组合体的表面积时，需要将其拆分红简单的几何体，分别计算各几何体的表面积，注意重叠的部分不需要计算．环节 3讲堂小结，当堂达标(学生总结，老师评论 )圆锥的侧面睁开图是一个扇形圆锥的圆锥的侧面积 S＝πlr有关计算圆锥的全面积 S全＝S底＋S侧＝πr2＋πlr练习设计请达成本课时对应训练！。
华师大九年级下《27.3圆中的计算问题》同步练习含答案解析
华师大版数学九年级下册第27章第3节圆中的计算问题课时练习一、单项选择题〔共15小题〕1．如图，要制作一个圆锥形的烟囱帽，使底面圆的半径与母线长的比是4：5，那么所需扇形铁皮的圆心角应为〔〕A．288°B．144°C．216°D．120°答案：A解析：解答：∵底面圆的半径与母线长的比是4：5，∴设底面圆的半径为4x，那么母线长是5x，设圆心角为n°，那么2×4x=5 180n x π⨯，解得：n=288，应选：A．分析：由底面圆的半径与母线长比的关系去设，然后利用底面圆的周长等于弧长列式计算．2．一块圆心角为300°的扇形铁皮，用它做一个圆锥形的烟囱帽〔接缝忽略不计〕，圆锥的底面圆的直径是80cm，那么这块扇形铁皮的半径是〔〕A．24cm B．48cm C．96cm D．192cm答案：B解析：解答：设这个扇形铁皮的半径为r cm，由题意得300180rπ=π×80，解得r=48．故这个扇形铁皮的半径为48cm．应选：B．分析：底面周长=展开图的弧长3．在长方形ABCD中AB=16，如下图裁出一扇形ABE，将扇形围成一个圆锥〔AB和AE 重合〕，那么此圆锥的底面半径为〔〕A．4 B．16 C．2D．8答案：A解析：解答：设圆锥的底面圆半径为r，依题意，得2πr= 9016 180π⨯，解得r=4．故小圆锥的底面半径为4．应选：A．分析：圆锥的底面圆半径为r，由圆锥的底面圆周长=扇形的弧长，列方程求解．4．圆锥的侧面展开图是一个弧长为12π的扇形，那么这个圆锥底面积的半径是〔〕A．24 B．12 C．6D．3答案：C解析：解答：设底面圆半径为r，那么2πr=12π，化简得r=6．应选：C．分析：此题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算，用圆锥侧面展开扇形的弧长等于底面圆的周长．5．假设用一张直径为20cm的半圆形铁片做一个圆锥的侧面，接缝忽略不计，那么所得圆锥的高为〔〕A．3B．5C．5152cm D．10cm答案：A解析：解答：设这个圆锥的底面半径为r，根据题意得2πr = 18010180π⨯，解得r =5， 所以这个圆锥的高=22105- =53〔cm 〕． 应选：A ． 分析：设圆锥的底面半径为r ，由圆锥的底面周长和弧长公式得到2πr =18010180π⨯，解得r =5，在利用勾股定理计算这个圆锥的高． 6．如图，用一个半径为30cm ，面积为300πcm 2的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥〔不计损耗〕，那么圆锥的底面半径r 为〔 〕A ． 5cmB ． 10cmC ． 20cmD ． 5πcm 答案：B解析：解答：设铁皮扇形的半径和弧长分别为R 、l ，圆锥形容器底面半径为r ， 那么由题意得R=30，由12R l =300π得l =20π； 由2πr =l 得r =10cm ．应选： B ．分析：由圆锥的几何特征，圆锥的底面周长等于扇形的弧长，据此求得圆锥的底面圆的半径．7．将圆心角为90°，面积为4πcm 2的扇形围成一个圆锥的侧面，那么所围成的圆锥的底面半径为〔 〕A ． 1cmB ． 2cmC ． 3cmD ． 4cm 答案： A 解析：解答：设扇形的半径为R ，根据题意得290360R π =4π，解得R=4， 设圆锥的底面圆的半径为r ，那么12•2π•r •4=4π，解得r =1，即所围成的圆锥的底面半径为1cm ．应选：A ．分析：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．8．假设一个圆锥的侧面展开图是半径为18cm ，圆心角为240°的扇形，那么这个圆锥的底面半径长是〔 〕A ． 6cmB ． 9cmC ． 12cmD ． 18cm 答案：C解析：解答：圆锥的弧长为：24018180π⨯=24π， ∴圆锥的底面半径为24π÷2π=12．应选： C分析：圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长．9．将弧长为2πcm ，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的高及侧面积分别是〔 〕A ． cm ，3πcm 2B ．cm ，3πcm 2C ．cm ，6πcm 2D ，6πcm 2 答案：B解析：解答：〔2π×180〕÷120π=3〔cm 〕，2π÷π÷2=1〔cm 〕，〔cm 〕， 21203360π⨯=3π〔cm 2〕．故这个圆锥的高是，侧面积是3πcm 2．应选：B ．分析：圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．10．圆锥的侧面积是20πcm 2，母线长为5cm ，那么圆锥的底面半径为〔 〕A ． 2cmB ． 3cmC ． 4cmD ． 6cm答案：C解析：解答：∵圆锥的母线长是5cm ，侧面积是20πcm 2，∴圆锥的侧面展开扇形的弧长为：l =2s r =405π=8π， ∵锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长，∴r =2l π=82ππ=4〔cm 〕． 应选：C分析：圆锥的侧面积和圆锥的母线长求得圆锥的弧长，利用圆锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长求得圆锥的底面半径．11．一个圆锥的底面圆的周长是2π，母线长是3，它侧面展开图的圆心角的度数是〔 〕A ． 60°B ． 90°C ． 120°D ． 150° 答案：C解析：解答：圆锥侧面展开图的扇形面积半径为6cm ，弧长为4πcm ，代入扇形弧长公式l =180n r π， 即2π=3180n π⨯， 解得n =120，即扇形圆心角为120度．应选：C ．分析：圆锥的母线长等于扇形的半径，圆锥的底面周长等于扇形的弧长．因而根据扇形的弧长公式就可以求出n 的值．12．如图，从一块半径是1m 的圆形铁皮〔⊙O 〕上剪出一个圆心角为60°的扇形〔点A ，B ，C 在⊙O 上〕，将剪下的扇形围成一个圆锥，那么这个圆锥的底面圆的半径是〔 〕A．36m B．312m C．32m D．1m答案：A解析：解答：如下图连接OA，作OD⊥AB于点D．在直角△OAD中，OA=1，∠OAD=12∠BAC=30°，那么AD=OA•cos30°=32．那么3那么扇形的弧长是：603180=33，设底面圆的半径是r，那么2πr=33，解得：r3应选：A．分析：连接OA，作OD⊥AB于点D，利用三角函数即可求得AD的长，那么AB的长可以求得，利用弧长公式即可求得弧长；再利用圆的周长公式即可求得半径．13．圆锥的侧面积为10πcm2，侧面展开图的圆心角为36°，那么该圆锥的母线长为〔〕A．100cm B．10C． 10cm D．1010cm答案：C解析：解答：设母线长为R ，圆锥的侧面积=2360n R π=10π， ∴R=10cm应选：C分析：利用了扇形的面积公式求解，扇形的面积公式=2360n r π． 14．如图，扇形OAB 是圆锥的侧面展开图，假设小正方形方格的边长均为1厘米，那么这个圆锥的底面半径为〔 〕厘米．A ．12 B ．22 C ． 2D ．2答案：B解析：2222+2厘米， ∴扇形的弧长为902180π⨯2π厘米， 2122应选：B 分析：利用弧长公式可求得扇形的弧长，圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长．15．圆锥形模具的母线长、半径分别是12cm 、4cm ，求得这个模具的侧面积是〔 〕A ． 100πcm 2B ． 80πcm 2C ． 60πcm 2D ． 48πcm 2 答案：D解析：解答：半径是4cm ，那么底面周长=8πcm ，侧面积=12×8π×12=48πcm 2． 应选：D分析：利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解．二、填空题〔共5小题〕16．圆锥的底面圆半径为3，母线长为5，那么圆锥的全面积是．答案：24π解析：解答：底面周长是：2×3π=6π，那么侧面积是：12×6π×5=15π，底面积是：π×32=9π，那么全面积是：15π+9π=24π．故答案为：24π．分析：首先求得底面周长，即侧面展开图的扇形弧长，然后根据扇形的面积公式即可求得侧面积，即圆锥的侧面积，再求得圆锥的底面积，侧面积与底面积的和就是全面积．17．用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径是．答案：2解析：解答：扇形的弧长=1206180π⨯=4π，∴圆锥的底面半径为4π÷2π=2．故答案为：2分析：圆锥的弧长等于底面周长．18．圆锥的侧面积等于60πcm2，母线长10cm，那么圆锥的高是cm．答案：8解析：解答：设圆锥的底面圆的半径为r，根据题意得12•2π•r•10=60π，解得r=6，所以圆锥的高〔cm〕．故答案为8分析：设圆锥的底面圆的半径为r，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形面积公式得到r，然后根据勾股定理计算圆锥的高．19．用一个圆心角为90°，半径为4的扇形围成一个圆锥的侧面，该圆锥底面圆的半径 ．答案：1解析：解答：根据扇形的弧长公式l =180n r π=904180π⨯=2π， 设底面圆的半径是r ，那么2π=2πr∴r =1．故答案为：1分析：圆锥的底面周长等于扇形的弧长．20．圆锥的底面半径是1cm ，母线长为3cm ，那么该圆锥的侧面积为 cm 2． 答案：3π解析：解答：圆锥的侧面积=2π×3×1÷2=3π．故答案为：3π分析：圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长．三、解答题〔共5小题〕21．如下图的粮仓可以看成圆柱体与圆锥体的组合体，其底面半径为6米，高为4米，下方圆柱高为3米．〔1〕求该粮仓的容积；答案：解答：体积V=π×62×3+13×π×62×〔4﹣3〕=108π+12π=120π； 〔2〕求上方圆锥的侧面积．〔计算结果保存根号〕答案：解答：圆锥的母线长为l 2261+37，所以圆锥的侧面积为s 3737π．解析：分析：〔1〕确定该几何体为圆锥和圆柱的组合体，然后计算圆锥和圆柱的体积的和；〔2〕利用圆锥的侧面积公式直接计算．22．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，假设圆锥的底面圆的半径r =2cm ，扇形的圆心角θ=120°，求该圆锥的高h 的长．答案：解答：如下图： 1202360AB r ππ=，而r =2， ∴AB=12，∴由勾股定理得：AO 2=AB 2﹣OB 2，而AB=12，OB=2，∴AO=235．即该圆锥的高为235．解析：分析：运用弧长公式求出AB 的长度，即可．23．一个几何体的三视图如下图，根据图示的数据计算出该几何体的外表积．答案：解答：由三视图可知该几何体是圆锥，圆锥的高为12，圆锥的底面圆的半径为5， 圆锥的母线长22512+=13，圆锥的外表积=π•52+12•2π•5•13=90π．解析：分析：根据三视图可判断该几何体是圆锥，利用勾股定理计算出母线长，然后求底面积与侧面积的和即可．24．一个几何体的三视图如图，根据图示的数据计算该几何体的全面积及侧面展开图的圆心角〔结果保存π〕．答案：解答：∵如下图可知，圆锥的高为4，底面圆的直径为6，∴圆锥的母线为：5，∴根据圆锥的侧面积公式：πrl=π×3×5=15π，底面圆的面积为：πr2=9π，∴该几何体的外表积为24π．∴圆心角的度数：6360216 10ππ⨯︒=︒解析：分析：根据圆锥侧面积公式首先求出圆锥的侧面积，再求出底面圆的面积，即可得出外表积．25．在△ABC中，3，2，BC=1．〔1〕求证：∠A≠30°；答案：解答：证明：∵BC2+AC2=1+2=3=AB2，∴△ABC是直角三角形，且∠C=90°．∵1sin sin3023BCAAB==>=︒，∴∠A≠30°．〔2〕将△ABC绕BC所在直线旋转一周，求所得几何体的外表积．答案：解答：将△ABC绕BC所在直线旋转一周，所得的几何体为圆锥，∴圆锥的底面圆的半径，∴圆锥的底面圆的周长π，23π+π×〕2π+2π．解析：分析：〔1〕根据勾股定理的逆定理得到△ABC是直角三角形，利用三角函数计算出sin A，然后与sin30°进行比拟判断∠A≠30°；〔2〕将△ABC绕BC所在直线旋转一周，所得的几何体为圆锥，几何体的外表积分为底面积和侧面积，分别根据圆的面积公式和扇形的面积公式进行计算．。
九年级数学下册 第27章 圆 27.3 圆中的计算问题同步习题(含解析)(新版)华东师大版
27.3圆中的计算问题一．选择题1．如图，从一块半径为20cm的圆形铁皮上剪出一个圆心角是60°的扇形ABC，则此扇形围成的圆锥的侧面积为（）A．200πcm2B．100πcm2C．100πcm2D．50πcm22．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，AB＝4，以A为圆心，AC长为半径作弧，交AB于点D，则阴影部分的面积是（）A．2πB．8 C．8﹣2πD．16﹣2π3．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以BC的中点O为圆心，OB的长为半径作半圆交AC于点D，若AD＝1，DC＝3，则图中阴影部分的面积为（）A．B．C．D．3π﹣24．将某圆锥形的冰淇淋纸套沿它的一条母线展开若不考虑接缝，它是一个半径为12cm，圆心角为120o的扇形，则（）A．圆锥形冰淇淋纸套的底面半径为8cmB．圆锥形冰淇淋纸套的底面半径为6cmC．圆锥形冰淇淋纸套的高为D．圆锥形冰淇淋纸套的高为5．如图，边长为4的正方形ABCD外切于圆O，则阴影部分面积为（）A．2π﹣4 B．2π+4 C．15 D．146．如图，正方形ABCD的边长为4，以点A为圆心，AD为半径，画圆弧DE得到扇形DAE （阴影部分，点E在对角线AC上）．若扇形DAE正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是（）A．B．1 C．D．7．如图，已知点C，D是以AB为直径的半圆的三等分点，弧CD的长为π，则图中阴影部分的面积为（）A．πB．πC．πD．π+8．如图，半径为10的扇形AOB中，∠AOB＝90°，C为上一点，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D、E．若∠CDE为36°，则图中阴影部分的面积为（）A．10πB．9πC．8πD．6π9．在△ABC中，已知∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1．如图所示，将△ABC绕点A 按逆时针方向旋转90°后得到△AB′C′．则图中阴影部分面积为（）A．B．C．D．π10．如图，点O为Rt△ABC的斜边AB的中点，∠C＝90°，∠A＝30°，以点O为旋转中心顺时针旋转△ABC得到△A1B1C1，若BC＝2，当BC∥A1C1时，图中弧BC1所构成的阴影部分面积为（）A．B．C．D．二．填空题11．如图，△ABC绕点A逆时针旋转45°得到△ADE，若AB＝5，则图中阴影部分的面积为．12．如图，半径为10的扇形AOB中，∠AOB＝90°，C为上一点，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D、E．若∠CDE＝36°，则图中阴影部分的面积为．13．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C为半径OA的中点，以点O为圆心，OC 的长为半径作弧CD交OB于点D，点E为弧AB的中点，连接CE、DE．若OA＝4，则阴影部分的面积为．14．圆锥的母线长为5，圆锥高为3，则该圆锥的侧面积为．（结果保留π）15．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABOC是正方形，点A的坐标为（1，1），弧AA1是以点B为圆心，BA为半径的圆弧；弧A1A2是以点O为圆心，OA2为半径的圆弧；弧A2A3是以点C为圆心，CA2为半径的圆弧；弧A3A4是以点A为圆心，AA3为半径的圆弧，继续以点B，O，C，A为圆心，按上述作法得到的曲线AA1A2A3A4A5…，称为正方形的“渐开线”，则点A2021的坐标是．三．解答题16．如图，扇形OAB的半径OA＝4，圆心角∠AOB＝90°，点C是弧AB上异于A、B的一点，过点C作CD⊥OA于点D，作CE⊥OB于点E，连结DE，过点C作弧AB所在圆的切线CG交OA的延长线于点G．（1）求证：∠CGO＝∠CDE；（2）若∠CGD＝60°，求图中阴影部分的面积．17．如图，已知AB，CD为⊙O的直径，过点A作弦AE垂直于直径CD于F，点B恰好为的中点，连接BC，BE．（1）求证：AE＝BC；（2）若AE＝2，求⊙O的半径；（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．18．矩形ABCD的一边长AB＝4，且BC＞AB，以边AB为直径的圆O交对角线AC于H，AH＝2．如图，点K为优弧AKB上一点．（Ⅰ）求∠HKA的度数；（Ⅱ）求CH的长；（Ⅲ）求图中阴影部分的面积；（Ⅳ）设AK＝m，若圆O的圆周上到直线AK的距离为1的点有且仅有三个，求实数m的值．参考答案一．选择题1．解：作OD⊥AB于D，如图，则AD＝BD，∵∠OAD＝∠BAC＝30°，∴OD＝OA＝10，AD＝OD＝10，∴AB＝2AD＝20，∴扇形围成的圆锥的侧面积＝＝200π（cm2）．故选：A．2．解：∵△ACB是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠B＝45°，∵AB＝4，∴AC＝BC＝AB×sin45°＝4，∴S△ACB＝＝8，S扇形ACD＝＝2π，∴图中阴影部分的面积是8﹣2π．故选：C．3．解：连接OD、BD、作DE⊥BC于点E，∵BC是⊙O的直径，∴∠BDC＝90°，∴∠DBC+∠BCD＝90°，∵∠ABC＝90°，∴∠A+∠BCD＝90°，∴∠A＝∠DBC，又∵∠ADB＝∠BDC，∴△ADB∽△BDC，∴，∵AD＝1，DC＝3，∴，∴BD＝，∴BC＝＝2，∴∠DCB＝30°，OD＝OC＝，∴∠DOC＝120°，∵DE⊥BC，∴DE＝1.5，∴阴影部分的面积是：＝π﹣＝，故选：A．4．解：半径为12cm，圆心角为120°的扇形弧长是：（cm）设圆锥的底面半径是r（cm）则：2πr＝8π，解得：r＝4即个圆淋的底面半径是4cm；圆锥形冰淇淋纸套的高为＝8（cm）．故选：C．5．解：如图，连接HO，延长HO交BC于点P，∵正方形ABCD外切于⊙O，∴∠A＝∠B＝∠AHP＝90°，∴四边形AHPB为矩形，∴∠OPB＝90°，又∠OFB＝90°，∴点P与点F重合则HF为⊙O的直径，同理EG为⊙O的直径，由∠D＝∠OGD＝∠OHD＝90°且OH＝OG知，四边形BGOH为正方形，同理四边形OGCF、四边形OFBE、四边形OEAH均为正方形，∴DH＝DG＝GC＝CF＝2，∠HGO＝∠FGO＝45°，∴∠HGF＝90°，GH＝GF＝＝＝2，则阴影部分面积＝S⊙O+S△HGF＝•π•22+×2×2＝2π+4，故选：B．6．解：设圆锥的底面圆的半径为r，根据题意可知：AD＝AE＝4，∠DAE＝45°，底面圆的周长等于弧长：∴2πr＝，解得r＝．答：该圆锥的底面圆的半径是．故选：D．7．解：连接CD、OC、OD．∵C，D是以AB为直径的半圆的三等分点，∴∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝60°，AC＝CD，又∵OA＝OC＝OD，∴△OAC、△OCD是等边三角形，∴∠AOC＝∠OCD，∴CD∥AB，∴S△ACD＝S△OCD，∵弧CD的长为，∴＝，解得：r＝1，∴S阴影＝S扇形OCD＝＝．故选：A．8．解：连接OC，∵∠AOB＝90°，CD⊥OA，CE⊥OB，∴四边形CDOE是矩形，∴CD∥OE，∴∠DEO＝∠CDE＝36°，由矩形CDOE易得到△DOE≌△CEO，∴∠COB＝∠DEO＝36°∴图中阴影部分的面积＝扇形OBC的面积，∵S扇形OBC＝＝10π∴图中阴影部分的面积＝10π，故选：A．9．解：∵∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，∴AB＝BC＝，AC＝2BC＝2，∴图中阴影部分面积＝﹣﹣＝，故选：B．10．解：设A1C1与AB的交点为D，连接OC1，作DE⊥OC1于E，∵在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，∴AB＝2BC＝4，∠ABC＝60°，∵点O为Rt△ABC的斜边AB的中点，∴OC＝AB＝2，∴OC1＝OA1＝2，∴∠A1＝∠A1C1O＝30°，∴∠A1OC1＝120°，∵BC∥A1C1，∴∠ADA1＝∠ABC＝60°，∵∠A1＝∠A＝30°，∴∠A1OD＝90°，∴∠DOC1＝30°，∴∠DOC1＝∠A1C1O，∴OD＝DC1，∴OE＝EC1＝1，∴DE＝OE＝，∴S阴影＝S扇形﹣S＝﹣＝﹣，故选：A．二．填空题11．解：作DM⊥AB于M，∵△ABC绕点A逆时针旋转45°得到△ADE，AB＝5，∴△AED的面积＝△ABC的面积，∠BAD＝45°，AB＝AD＝5，∴DM＝AD＝，∴S△ABD＝＝×＝，∵图中阴影部分的面积＝△AED的面积+△ADB的面积﹣△ABC的面积＝△ADB的面积，∴S阴影＝，故答案为：．12．解：连接OC，∵∠AOB＝90°，CD⊥OA，CE⊥OB，∴四边形CDOE是矩形，∴CD∥OE，∴∠DEO＝∠CDE＝36°，由矩形CDOE易得到△DOE≌△CEO，∴∠COB＝∠DEO＝36°∴图中阴影部分的面积＝扇形OBC的面积，∵S扇形OBC＝＝10π∴图中阴影部分的面积＝10π，故答案为10π．13．解：如图，连接AB，CD，OE，OE交CD于J．∵OC＝AC，OD＝DB，∴CD∥AB，∵＝，∴OE⊥AB，∴CD⊥OE，∵OC＝OD＝2，∴CJ＝OJ，∵∠COD＝90°，∴CD＝＝＝2，∴S四边形OCED＝•CD•OE＝4，∴S阴＝S扇形AOB﹣S四边形OCED＝•π•42﹣4＝4π﹣4，故答案为：4π﹣4．14．解：圆锥的底面圆的半径为＝4，所以该圆锥的侧面积＝×2π×4×5＝20π．故答案为20π．15．解：A（1，1），由题意得，A1（2，0），A2（0，﹣2），A3（﹣3，1），A4（1，5），A5（6，0），A6（0，﹣6），A7（﹣7，1），A8（1，9）…，∴A4n（1，4n+1），A4n+1（4n+2，0），A4n+2（0，﹣（4n+2）），A4n+3（﹣（4n+3），1）．∵2021＝505×4+1，∴A2021的坐标为（2022，0）．故答案为：（2022，0）．三．解答题16．解：（1）连接OC交DE于F，∵CD⊥OA，CE⊥OB，∴∠CEO＝∠AOB＝∠CDO＝90°，∴四边形CEOD是矩形，∴CG＝DF＝EF＝OF，∠ECD＝90°，∴∠FCD＝∠CDF，∠ECF+∠FCD＝90°，∵CG是⊙O的切线，∴∠OCG＝90°，∴∠OCD+∠GCD＝90°，∴∠ECF＝∠GCD，∵∠DCG+∠CGD＝90°，∴∠FCD＝∠CGD，∴∠CGO＝∠CDE；（2）由（1）知，∠CGD＝∠CDE＝60°，∴∠DCO＝60°，∴∠COD＝30°，∵OC＝OA＝4，∴CD＝2，OD＝2，∴图中阴影部分的面积＝﹣2×2＝π﹣2．17．（1）证明：连接BD，∵AB，CD为⊙O的直径，∴∠CBD＝∠AEB＝90°，∵点B恰好为的中点，∴＝，∴∠A＝∠C，∵∠ABE＝90°﹣∠A，∠CDB＝90°﹣∠C，∴∠ABE＝∠CDB，∴＝，∴AE＝BC；（2）解：∵过点A作弦AE垂直于直径CD于F，∴＝，∵＝，∴＝＝，∴∠A＝∠ABE，∴∠A＝30°，在Rt△ABE中，cos∠A＝，∴AB＝＝＝4，∴⊙O的半径为2．（3）连接OE，∵∠A＝30°，∴∠EOB＝60°，∴△EOB是等边三角形，∵OB＝OE＝2，∴S△EOB＝×2×＝，∴S阴＝S扇形﹣S△EOB＝﹣＝﹣．18．解：（Ⅰ）连接BH，∵AB为⊙O的直径，∴∠AHB＝90°，∵AB＝4，AH＝2，∴sin∠ABH＝＝＝，∴∠ABH＝30°，∴∠HKA＝∠ABH＝30°；（Ⅱ）∵∠AHB＝90°，∠ABH＝30°，∴∠BAH＝60°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∴AC＝2AB＝8，∴CH＝AC﹣AH＝6；（Ⅲ）连接OH，则△AOH是等边三角形，∴AO＝AH＝2，∠AOH＝60°，过H作HE⊥AO于E，则HE＝，∵AC＝8，CD＝AB＝4，∴AD＝4，∴图中阴影部分的面积＝×44﹣（﹣×2×）＝9﹣π；（Ⅳ）过O作平行于AK的直线交⊙O于MN，过O作OP⊥AK于Q交⊙O于P，∵⊙O的半径＝2，则PQ＝OQ＝1，∵OA＝2，∴AQ＝，∴AK＝2AQ＝2，∴m＝2．。
华东师大初中数学九下《27.3圆中的计算问题》word教案 (1)
27.3 实践与探索教材：华东师大版九年级下1.教学目标1）知识目标：①掌握如何将实际问题抽象出二次函数模型；②能运用函数关系中的对应法则并解释自变量取值范围的实际意义；③学会根据题意，合理建系，并准确标识题意；④能运用并合理解释二次函数模型。
2）能力目标：①数学思考能力：联系实际，感知数学与现实世界的密切联系，让学生经历数学建模过程，渗透数学建模思想，体会二次函数是刻画现实世界的有效数学模型。
②解决问题的能力：结合具体情境，发现并提出问题，并寻找解决问题的方法。
能与他人合作交流，并通过反思来体验解决问题策略的多样性，以此来获得解决问题的经验。
3）情感目标：了解数学理论的实用价值，提高学生对数学的好奇心和求知欲；增强学数学的自信心，同时借助题目中丰富的背景知识来充实自己的精神世界，形成良好的个性品质。
2.教学重点——建立并合理解释数学模型3.教学难点——实际问题数学化过程4.教学过程1）教学思路实际问题的提出，说明引入二次函数模型的必要性。
——体现构建二次函数数学模型解决实际问题的思想——通过丰富的问题情景，形成用二次函数解决实际问题的一般性策略和方法。
——合理解释相应的数学模型2）教学环节分析环节一：抛砖引玉，点明主旨环节二：自主探索，实践新知环节三：拓展转化，加深理解环节四：合作探索，学以致用环节五：反思小结，形成新知环节六：布置作业，巩固新知用活几1）喷出的水流距水平面的最大高度是多少？2) 如果不计其他因素，那么水池的半径至少为多少时，才能使喷出的水流都落在水池内？(x-2最大高度为－教榜样启发、同伴启发在三份获奖作品中任选一份，模仿问题计题。
反思和发表对本堂课时，测得涵洞顶点与水面的距离为2.4m离开3)一只宽为１m，高为１.5m的小船能否通过？为什么？让学生充分探究各种AE D学§27.3 二次函数的实践与探索 课堂卷例1：某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面竖一根柱子，上面的A 处安装一个喷头向外喷水。
27.3 圆中的计算问题(1)-2020-2021学年华东师大版九年级数学下册课件
半径r=__6__．
半径r=_2_4__．
4.已知扇形的圆心角为150°，弧长为20πcm ，则扇形的
面积为_2_4_0_π_c_m__2__．
5.扇形的面积为S,它的半径为r,则这个扇形的弧长是____.
6.扇形的面积为6π,弧长为2π,则这个扇形的半径为____6, 圆心角为_6_0_°_.
课堂小结
下列图中各圆心角所对的弧长分别是圆周长的几分之几？
180°
90°
45°
n°
180
(1)圆心角是180°,占整个周角的 ，因此它所对的弧长是圆周长的_______；
360 (2)圆心角是90°，占整个周角的 90 ,因此它所对的弧长是圆周长的_______；
360
(3)圆心角是45°，占整个周角的____，因此它所对的弧长是圆周长的_______；
一.ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ长公式：
如果弧长为l，圆心角的度数为n，圆的半径为r，
那么，弧长的计算公式为：
二.扇形面积公式：
如果圆心角是n°的扇形面积为S,圆的半径为r,
那么扇形的面积为：
或
知二求二
已知S,l,n,r四个量中的任意两个量,可以求出另外两个量.
作业与课外学习任务
1.作业：课本P62 练习1,2 P63 习题27.3 1,2 练习：学习检测 P33-35 1～17
2.已知一条弧的半径为9，弧长为8π，那么这条弧所对的
圆心角为_1_6_0_o.
3. 钟表的轴心到分针针端的长为5cm,那么经过40分钟,
分针针端转过的弧长是( B ).
A. 10 cm
3
B. 20 cm
3
C. 25 cm
3
D. 50 cm
27.3 圆中的计算问题 华东师大版九年级数学下册同步练习(含答案)
华师大版九下 27.3 圆中的计算问题一、选择题（共12小题）1. 已知一个扇形的弧长为 π，半径是 3，则这个扇形的面积为 ( )A. πB. 2π3C. 3π2D. 3π2. 如图，AB 为 ⊙O 的切线，点 A 为切点，OB 交 ⊙O 于点 C ，点 D 在 ⊙O 上，连接 AD ，CD ，OA ．若 ∠ADC =28∘，则 ∠B 的度数为 ( )A. 28∘B. 34∘C. 56∘D. 62∘ 3. 若扇形的圆心角为 90∘，半径为 6，则该扇形的弧长为 ( )A. 32πB. 2πC. 3πD. 6π4. 已知圆锥的母线为 5 cm ，底面直径为 4 cm ，这个圆锥的侧面积为 ( )A. 20π cm 2 B. 20 cm 2 C. 10π cm 2 D. 10 cm 25. 如图，在 5×5 的正方形网格中，每个小正方形的边长都为 1，若将 △AOB 绕点 O 顺时针旋转 90∘ 得到 △AʹOBʹ，则 A 点运动的路径 AAʹ 的长为 ( )A. πB. 2πC. 4πD. 8π6. 一块等边三角形的木板，边长为 1，现将木板沿水平线翻滚（如图），那么点 B 从开始至结束所走过的路径长度为 ( )A. 3π2B. 4π3C. 4D. 2+3π27. 如图，AB 为 ⊙O 的直径，AB =30，点 C 在 ⊙O 上，∠A =24∘，则 AC 的长为 ( )A. 9πB. 10πC. 11πD. 12π8. 如图所示，草地上一根长 5 米的绳子，一端拴在墙角的木桩上，另一端栓着一只小羊 R ．那么，小羊在草地上的最大活动区域的面积是 ( )A. 132π m 2B. 274π m 2C. 132π m 2D. 274π m 29. 如图，半径为 10 的扇形 AOB 中，∠AOB =90∘，C 为 AB 上一点，CD ⊥OA ，CE ⊥OB ，垂足分别为 D ，E ．若 ∠CDE 为 36∘，则图中阴影部分的面积为 ( )A. 10πB. 9πC. 8πD. 6π10. 如图，线段 AB 经过 ⊙O 的圆心，AC ，BD 分别与 ⊙O 相切于点 C ，D ，若AC =BD =4，∠A =45∘，则 CD 的长度为 ( )A. πB. 2πC. 22πD. 4π11. 如图，正方形ABCD内接于⊙O，⊙O的半径为2，以点A为圆心，以AC长为半径画弧交AB的延长线于点E，交AD的延长线于点F，则图中阴影部分的面积是( )A. 4π―4B. 4π―8C. 8π―4D. 8π―812. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，∠B=30∘，AC=1，以A为圆心，AC为半径画圆，交AB于点D，则阴影部分面积是( )A. 32―π3B. 32―π6C. 3―π6D. 23―π二、填空题（共6小题）13. 如图，图中阴影部分的面积等于．14. 如图，将边长为6的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心，AB为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得的扇形DAB的面积为．15. 已知圆锥的底面半径为2 cm，侧面积为10π cm2，则该圆锥的母线长为cm． cm2，则这个扇形的弧长为cm（结果保16. 若一个扇形的圆心角为60∘，面积为π6留π）．17. 如图，以△ABC的边BC为直径的⊙O分别交AB，AC于点D，E，连接OD，OE，若∠A=65∘，则∠DOE=．18. 如图，某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心、AB为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得的扇形DAB的面积为．三、解答题（共7小题）19. 若120∘的圆心角所对的弧长是12π cm，则此弧所在圆的半径为多少cm?20. 如果圆的直径d=8 cm，那么圆心角为90∘的扇形面积是多少?21. 如图，大正方形ABCD与小正方形BEFH并排放在一起，已知大正方形的边长是6，以点B为圆心，边AB长为半径画圆弧，连接AF，CF．（1）计算：（1）当小正方形边长是2，求阴影部分的面积；（2）当小正方形边长是3，求阴影部分的面积．（2）探究：由上述计算，你感到阴影部分的面积与小正方形边长有关吗?请说明理由．22. 如图，正方形的边长为2，以各边为直径在正方形内画半圆，求所围成的图形（阴影部分）的面积．23. 一支手枪的有效射程是300米，如果在90∘范围内射击，则它的控制面积是多少平方米?24. 如图，将一块三角板和半圆形量角器按图中方式叠放，三角板一边与量角器的零刻度线所在直线重合，重叠部分的量角器弧（AB）对应的圆心角（∠AOB）为120∘，OC的长为2 cm，求三角板和量角器重叠部分的面积．25. 如图，在△ABC中，∠C=90∘，AC=8，AB=10，点P在AC上，AP=2，若⊙O的圆心在线段BP上，且⊙O与AB，AC都相切，求⊙O的半径．答案一选择题1. C【解析】扇形面积为S=nπr2360，弧长公式为l=nπr180，∴S=12lr，∵l=π，r=3，∴S=3π2．2. B3. C【解析】该扇形的弧长=90×π×6180=3π．4. C5. B6. B7. C【解析】如图，连接OC，∵OA=OC，∴∠OCA=∠A=24∘，∴∠AOC=180∘―24∘×2=132∘，∴AC的长=132π×5180=11π．故选C．8. B【解析】S=90π×52360+2×90π×12360=274π m2．9. A【解析】连接OC交DE为F点，如下图所示：由已知得：四边形 DCEO 为矩形，∵∠CDE =36∘，且 FD =FO ，∴∠FOD =∠FDO =54∘，△DCE 面积等于 △DCO 面积， S 阴影=S 扇形AOB ―S 扇形AOC =90⋅π⋅102360―54⋅π⋅102360=10π．10. B【解析】如图，连接 OC ，OD ，∵AC ，BD 分别与 ⊙O 相切于 C ，D ，∴OC ⊥AC ，OD ⊥BD ，∵∠A =45∘，∴∠AOC =45∘，∴AC =OC =4，∵AC =BD =4，OC =OD =4，∴OD =BD ，∴∠BOD =45∘，∴∠COD =180∘―45∘―45∘=90∘，∴CD 的长度为90π×4180=2π．11. A【解析】利用对称性可知，S 阴影=S 扇形EAF ―S △ABD =90×π×42360―12×4×2=4π―4．12. B【解析】在 Rt △ACB 中，∠ACB =90∘，∠B =30∘，AC =1， ∴BC =3AC =3，∠A =60∘，∴S △ABC =12AC ⋅BC =12×1×3=32， S 扇形ACD =60∘π×12360=16π，∴S 阴影部分=S △ABC ―S 扇形ACD =32―π6．二 填空题13. 1.1414. 36【解析】∵ 正方形的边长为 6，∴ 弧 BD 的弧长 =6+6=12，∴S 扇形ABD =12lr =12×12×6=36．15. 516. π3【解析】设扇形的半径为 r cm ，则60πr 2360=π6．解得 r =1(cm) 或 r =―1(cm)（不符题意，舍去）．则这个扇形的弧长为60π×1180=π3(cm)．17. 50∘18. 9三 解答题19. 由题意得 120πr180=12π，解得 r =18．20. 12.56 cm 221. （1） （1）28.26．（2）28.26．（2） 无关（理由略）．22. 2.28．23. 70650 平方米．24. 因为 ∠AOB =120∘，所以 ∠BOC =60∘．在 Rt △OBC 中，OC =2 cm ，∠BOC =60∘，所以 ∠OBC =30∘．所以 OB =4 cm ，BC =23 cm ．则 S 扇形OAB =120π×42360=16π3(cm 2)， S △OBC =12OC ×BC =23(cm 2)．故 S 重叠=S 扇形OAB +S △OBC =+2) .25. ∵BP =2⋅BC =62，设半径为 r ，OP =2r ．∴BO=BP―OP，而BO2=OE2+BE2，而AE=FA=PA+FP=2+r，∴(BP―OP)2=OE2+(BA―EA)2，即：(62―r2)2=r2+[10―(2+r)]2，∴r=1．提示：过点O分别作OE⊥AB，OF⊥AC，⊙O的半径为1．。
九年级下册数学课件(华师版)圆中的计算问题
知识要点
弧长公式
l n 2 R n R
360
180
注意 用弧长公式 l n R ，进行计算时，要注意公式中n的
180
意义．n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位的.
算一算 已知弧所对的圆心角为60°，半径是4，则弧 长为__43__.
例1 制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下 料，试计算图所示管道的展直长度l.(单位：mm，精确到1mm)
则整个旋转过程中线段OH所扫过的面积为 （C ）
A1
A.
7 3
7 8
C.
3
B．
4 3
7 8
3
D. 4 3 3
H
A
O
C
O1 H1
B
C1
3.如图，☉A、☉B、 ☉C、 ☉D两两不相交，且半径都是2cm，
则图中阴影部分的面积是12cm2 .
C B
A
D
4.（例题变式题）如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面 半径是0.6cm，其中水面高0.9cm，求截面上有水部分的面积.
．
3
3.已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则这个扇形的
面积S扇=
4 3
.
例2 如图，圆心角为60°的扇形的半径为10cm.求这个扇形的 面积和周长.（精确到0.01cm2和0.01cm）
解：∵n=60，r=10cm，
∴扇形的面积为
S = n r2 = 60 102 = 50 52.36(cm2 ).
扇形.
B B
弧 圆心角 O
A
扇形 O
A
判一判
下列图形是扇形吗？
想一想
问题1 半径为R的圆,面积是多少？
九年级数学下册27.3圆中的计算问题(一)教案(新版)华东师大版
27.3圆中的计算问题（一）教学内容：课本P58~61教学目标：1、掌握扇形的弧长和面积计算公式；会用公式求阴影部分的面积；2、对图形进行正确的切分，综合运用所学知识进行计算；教学重难点重点：掌握扇形的弧长和面积计算公式；会用公式求阴影部分的面积;难点：对图形进行正确的切分，综合运用所学知识进行计算；教学准备：课件教学方法：讲授法教学过程：一、引入100m,圆心角为90°, 1、提出问题：如图是圆弧形状的铁轨示意图，其中铁轨的半径为你能求出这段铁轨的长度吗？（精确到0.1m）2、学生回答后，老师总结：我们容易石岀这段铁轨址圆周的j，所以，挟轨的氏度2二$ * "舱二50TT“ 15X08（卷｝.43、提出新的问题：如果圆心角是任意的角度，如何计算它所对的弧长呢?二、思考与探索1、思考：如图，各圆心解所对的弧长分别是圆周长的几分之几？2、探索180（1 ）圆心角是180°，占整个周角的180，因此它所对的弧长是圆周长的36090（2）圆心角是90°，占整个周角的上0，因此它所对的弧长是圆周长的360（3）圆心角是45°，占整个周角的 _____________ ，因此它所对的弧长是圆周长的 _____________ ；（4 ）圆心角是1°,占整个周角的________________ ，因此它所对的弧长是圆周长的 _____________ ；（5）圆心角是n°，占整个周角的________________ ，因此它所对的弧长是圆周长的 _____________ ；3、教师总结如果弧长为I，圆心角的度数为n，圆的半径为r，那么，弧长为因此弧长的计算公式为I =4、提出问题扇形的面积与组成扇形的弧所对的圆心角的大小有关。
圆心角越大，扇形的面积也越大。
怎样计算圆心角为n的扇形的面积呢？三、思考与探索扇形的面积1、思考：如下图所示的各扇形面积分别是圆面积的几分之几?2、探索180(1 )圆心角是180°，占整个周角的180，因此圆心角是180°的扇形面积是圆面积360的______________ ;90(2)圆心角是90°，占整个周角的上0，因此圆心角是90°的扇形面积是圆面积360的______________ ;(3)________________________________________ 圆心角是45°，占整个周角的，因此圆心角是45。
2019秋华师大版九年级数学下册教案设计：27.3圆中的计算问题
2019秋华师大版九年级数学下册教案设计：27.3圆中的计算问题27．3圆中的计算问题第1课时弧长和扇形的面积教学目标☞知识与技能1．理解弧长、扇形面积公式的由来．2．会利用公式计算弧长及扇形的面积．☞过程与方法1．在探究弧长计算公式时，体验从特殊到一般的学习方法．在推导扇形面积公式的过程中，学会类比的数学思想方法．2．能用弧长、扇形面积公式解决一些实际问题．☞情感、态度与价值观通过弧长和扇形面积的发现与推导，提高学生运用已有知识探究问题获得新知的能力．重点难点☞重点弧长和扇形面积公式，准确计算弧长和扇形的面积．☞难点运用弧长和扇形的面积公式计算比较复杂图形的面积．教学过程一、自学导纲1．圆的周长公式是什么？2．圆的面积公式是什么？3．什么叫弧长？4．如图是圆弧形状的铁轨示意图，其中铁轨的半径为100米，圆心角为90°.你能求出这段铁轨的长度吗？(π取3.14)二、合作互动问题一弧长公式1．探索上面的问题就是求90°的圆心角所对的弧长，若圆心角为n°，如何计算它所对的弧长呢？还记得圆的周长公式吗？弧是圆上的一部分，你能否借助圆的周长公式，来寻找弧长公式？请同学们计算半径为3cm，圆心角分别为180°、90°、45°、1°、n°所对的弧长．说明：(1)教师可引导学生通过等分圆周和圆心角的方法，探索计算弧长公式．(2)等待同学们计算完毕，与同学们一起总结出弧长公式(这里关键是1°圆心角所对的弧长是多少，进而求出n°的圆心角所对的弧长)弧长的计算公式为：l＝·2πr＝.2．对应练习(1)75度的圆心角所对的弧长是2.5cm，则此弧所在的圆的半径是________cm.(2)有一段弯道是圆弧形的，道长是12m，弧所对的圆心角是81度，求这段圆弧的半径R(精确到0.1m)．(3)如图，在△AB C中，∠ACB＝90°，∠B＝25°，以C为圆心，CA为半径的圆交AB与D，若AC＝6，则的长为________．问题二扇形的面积1．探索(1)定义：如图由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形．(2)由弧长推导公式，你能推导出扇形的面积公式吗？说明：让学生完成下列填空：(1)圆心角是180°，占整个周角的________，因此圆心角是180°的扇形面积是圆面积的________；(2)圆心角是90°，占整个周角的________，因此圆心角是90°的扇形面积是圆面积的________；(3)圆心角是45°，占整个周角的________，因此圆心角是45°的扇形面积是圆面积的________；(4)圆心角是1°，占整个周角的________，因此圆心角是1°的扇形面积是圆面积的________；(5)圆心角是n°，占整个周角的________，因此圆心角是n°的扇形面积是圆面积的________．如果设圆心角是n°的扇形面积为S，圆的半径为r，那么扇形的面积为：S＝＝×＝lr.因此扇形面积的计算公式为S＝或S＝lr.2．对应练习(1)如果扇形的圆心角是230°，那么这个扇形的面积等于这个扇形所在圆的面积的________．(2)圆心角为60°的扇形的半径为10厘米，求这个扇形的面积和周长．(π≈3.14)(3)一个扇形的弧长是20πcm，面积是240πcm2，则扇形的圆心角是________．3．例题精讲例1如图，半圆O的直径AB＝10，P为AB上一点，点C、D为半圆的三等分点，求阴影部分的面积．分析：阴影部分是一个不规则的图形，因此要设法将它转化为规则图形的面积．连结OC、OD，则S△PCD＝S△COD，所以S阴＝S扇COD.解答：连结CD，OC，OD.∵点C，D是半圆的三等分点，∴＝＝.∴∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝60°.又OC＝OD，∴△OCD为正三角形，∴∠ODC＝60°，∴CD∥AB，∴S△PCD＝S△COD.∴S阴影＝S扇形OCD ＝×π×52＝π.总结反思：扇形的面积公式一般用于求组合图形或不规则图形的面积，常用的方法有：割补法，和差重组法，方程法，等积变形法等．计算时，要注意观察和分析图形，学会分解和组合图形．例2如图，已知扇形AOB的半径为10，∠AOB＝60°，求的长(结果精确到0.1)和扇形AOB的面积(结果精确到0.1)．分析：要求弧长和扇形面积，只知道圆心角，半径便可求，本题已满足．解：的长＝π×10＝π≈10.5，S扇形＝π×102＝π≈52.3.因此，的长为10.5，扇形AOB的面积为52.3.例3如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，O为直角边BC上一点，以O为圆心、OC为半径的圆恰好与斜边AB相切于点D，与BC交于另一点E.(1)求证：△AOC≌△AOD；(2)若BE＝1，BD＝3，求⊙O的半径及图中阴影部分的面积S.解答：(1)证明：∵AB切⊙O于D，∴OD⊥AB.在Rt△AOC和Rt△AOD中，∴Rt△AOC≌Rt△AOD(H.L)．(2)设半径为r，在Rt△ODB中，r2＋32＝(r＋1)2，解得r＝4.由(1)有AC＝AD，∴AC2＋92＝(AC＋3)2，解得AC＝12.∴S＝AC·BC－πr2＝×12×9－π×42＝54－8π.三、反馈训练1．如图，⊙A、⊙B、⊙C两两不相交，且半径都是2cm，则图中三个扇形(阴影部分)的面积之和为( )A.cm2B.cm2C．πcm2 D．2πcm22．如图，扇形AOB的圆心角为直角，正方形OCDE内接于扇形．点C、E、D分别在OA、OB、上，过点A作AF⊥ED交ED的延长线于F，垂足为F.如果正方形的边长为1，那么阴影部分的面积为________．3．如图，一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平线翻滚，那么B点从开始至结束所走过的路径长度是多少？4．如图是某工件形状，圆弧BC的度数为60°，AB＝6cm，点B到点C的距离等于AB，∠BAC＝30°，求工件的面积．四、导学归纳本节课你有什么收获？还有什么疑惑？五、作业1．《名师学案》“综合练·能力提升”部分．2．如图1，从P点引⊙O的两切线PA、PB，A、B为切点，已知⊙O的半径为2，∠P＝60°，求图中阴影部分的面积．图1图23．如图2，△ABC是正三角形，曲线CDEF叫做“正三角形的渐开线”，其中、、的圆心依次按A、B、C循环，它们依次相连接，若AB＝1，那么曲线CDEF的长是( ) A．2πB．4πC．6πD．8π4．如图，已知在⊙O中，AB＝4，AC是⊙O的直径，AC⊥BD于F，∠A＝30°.求图中阴影部分的面积．课后反思：教学过程中，强调学生应熟记相关公式并灵活运用，特别是求阴影部分的面积时，要灵活运用割补法、转化法等．第2课时圆锥的侧面积和全面积教学目标☞知识与技能掌握圆锥的特征，了解圆锥的侧面积计算公式，并会应用公式解决圆锥的侧面积和全面积问题．☞过程与方法让学生通过观察、想象，再猜想结果，最后经过实践得出结论．☞情感、态度与价值观培养学生初步的空间想象能力和相应的计算能力．重点难点☞重点圆锥的侧面展开图，计算圆锥的侧面积和全面积．☞难点经历探索圆锥侧面积计算公式．教学过程一、自学导纲如图是蒙古包，请你仔细观察图片，说说整体框架近似地看成是由哪些几何体构成的？你知道包围在它外表毯的面积吗？二、合作互动1．圆锥的概念我们知道圆锥是由一个底面和一个侧面围成的．如图：(1)母线：圆锥底面圆周上任意一点与圆锥顶点的连线叫做圆锥的母线．(2)圆锥的高：连接顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高．如图中a就是圆锥的一条母线，而h就是圆锥的高．2．探究归纳教师把事先做好的圆锥分发给每个学习小组，引导学生，沿一条母线将侧面剪开．并思考下列问题：(1)圆锥的侧面展开图是什么图形？(2)这个扇形的弧长与底面图的周长有什么关系？(3)圆锥侧面展开图是扇形，这个扇形是半径与圆锥中的哪一条线段相等？归纳：如图，圆锥的底面周长就是侧面展开图扇形的弧长，圆锥的母线就是其侧面展开图扇形的半径．圆锥的侧面积就是弧长为圆锥底面周长、半径为圆锥的一条母线的长的扇形面积，而圆锥的全面积就是它的侧面积与它的底面积的和．设圆锥的母线为a，底面圆的半径为r，那么这个圆锥侧面展开图扇形的半径为a，扇形的弧长为2πr，所以可得圆锥的侧面积为S圆锥侧面积＝πra，S全面积＝πra＋πr2.3．典型例题例1已知圆锥的侧面展开图的圆心角为120°，圆锥的底面积为16π，求圆锥的侧面积．分析：设圆锥底面半径为r，侧面展开图的半径为R，根据2πr＝×πR求出R，再利用S ＝即可求出侧面积．解答：设圆锥底面半径为r，侧面展开图的半径为R，由πr2＝16π，得r＝4，由＝2π×4得R＝12，∴S扇形＝＝48π.总结反思：求圆锥的侧面积时一定要弄清两个公式的区别：是立体图形时S侧＝πrl，r 是底面圆的半径，l是母线长；是侧面展开图形时，圆锥侧面积就是扇形的面积公式S＝，这里的R是扇形的半径，也是圆锥的母线长．例2一个圆锥形零件的母线长为a，底面的半径为r，求这个圆锥形零件的侧面积和全面积．解答：圆锥的侧面展开后是一个扇形，该扇形的半径为a，扇形的弧长为2πr，所以S侧＝×2πr×a＝πra；S底＝πr2；S全＝πra＋πr2.答：这个圆锥形零件的侧面积为πra，全面积为πra＋πr2.三、反馈训练1．小红量得一个圆锥的母线长为15cm，底面圆的直径是6cm，它的侧面积为________cm2(结果保留π)．2．小刚制作了一个高12cm，底面直径为10cm的圆锥，这个圆锥的侧面积是________cm2.3．圆柱的底面半径为1，母线长为2，则它的侧面积为________(结果保留π)．4．某抗震篷的顶部是圆锥形，这个圆锥的底面直径为10米，母线长为6米，为了防雨，需要在它的顶部铺上油毡，所需油毡的面积至少是( )A．30米2 B．60米2 C．30π米2 D．60π米25．一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，这个圆锥的侧面展开图扇形的圆心角是( ) A．60°B．90°C．120°D．180°6.在如图所示的扇形中，半径R＝10，圆心角＝144°，用这个扇形围成一个圆锥的侧面．(1)求这个圆锥的底面半径r；(2)求这个圆锥的高(精确到0.1)．四、拓展练习1．如图，从一个直径是2的圆形铁皮中剪下一个圆心角为90°的扇形．(1)求这个扇形的面积(结果保留π)．(2)在剩下的三块余料中，能否从第③块斜料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成一个圆锥？请说明理由．2．(难题)已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm.求：(1)以BC所在直线为中心轴旋转一周得到的几何体的侧面积和全面积；(2)以AB所在直线为中心轴旋转一周得到的几何体的侧面积和全面积．五、导学归纳1．圆锥的侧面积和全面积．2．圆锥母线a、底面圆半径r，高h满足关系式h2＋r2＝a2；圆锥侧面展开图中扇形的弧长等于底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．六、作业1．根据下列条件求圆锥的侧面积和全面积．①底面半径1cm，母线长3cm；②俯视图半径为1cm，母线长3cm；③底面周长4πcm，高1cm；④主视图是等腰直角三角形且斜边长6cm.2．《名师学案》“综合练·能力提升”部分．3．李老师在与同学进行“蚂蚁怎样爬最近”的课题研究时设计了以下三个问题，请你根据下列所给的条件分别求出蚂蚁需要爬行的最短路程的长．(1)如图(1)，正方体的棱长为5cm，一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A沿着正方体表面爬到点C1处；(2)如图(2)，正四棱柱的底面边长为5cm，侧棱长为6cm，一只蚂蚁从正四棱柱底面上的点A沿着棱柱表面爬到C1处；(3)如图(3)，圆锥的母线长为4cm，圆锥的侧面展开图如图(4)所示，且∠AOA1＝120°，一只蚂蚁欲从圆锥的底面上的点A出发，沿圆锥侧面爬行一周回到点A.课后反思：教学过程中，强调学生应熟悉掌握相关公式并会灵活运用．要充分发挥空间想象力，把立体图形与展开后的平面图形各个量准确对应起来．2019秋华师大版九年级数学下册教案设计：27.3圆中的计算问题11 / 11。
华师版九年级下册数学第27章 圆 目标三 用三角函数解圆中的计算问题
2 如图，已知⊙O 的两条弦 AC，BD 相交于点 E，∠A＝
70°，∠C＝50°，那么 cos ∠AEB 的值为( C )
A. 3
B.
3 3
C.12
D.
3 2
3 【中考·乐山】在△ABC 中，AB＝AC＝5，sin B＝45.⊙O 过 B，C 两点，且⊙O 的半径 r＝ 10，则 OA 的长为( A ) A．3 或 5 B．5 C．4 或 5 D．4
∵tan∠EAF＝EAFF＝ 3， ∴EF＝ 3AF＝12， ∴EC＝CF＋EF＝12＋4 3.
11 如图，已知AB是⊙O的直径，P是BA延长线上一点， PC切⊙O于点C，CG是⊙O的弦，CG⊥AB，垂足为D.
(1)求证：∠PCA＝∠ABC；
证明：连结OC.∵PC与⊙O相切于点C， ∴∠PCA＋∠OCA＝90°. ∵AB是⊙O的直径， ∴∠OCB＋∠OCA＝90°， ∴∠PCA＝∠OCB. ∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠ABC， ∴∠PCA＝∠ABC.
(2)若OC＝3，DE＝2，求tanF的值.
解：由(1)知OB＝OC＝3，OC是⊙O的半径， ∴CE是⊙O的直径． ∴CE＝2OC＝6. ∴CD＝CE＋DE＝6＋2＝8. 易得OD＝5.
在 Rt△OBD 中，由勾股定理得 BD＝ OD2－OB2＝ 52－32＝4.∵∠OBD＝∠ACD＝90°，∠ODB＝∠ADC，
交CD于点F.
(1)求证：∠ADC＝∠AOF；
证明：连结OD，如图所示． ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴AD⊥BD. ∵OF⊥AD， ∴OF∥BD， ∴∠AOF＝∠B.
∵CD是⊙O的切线，D为切点， ∴∠CDO＝90°， ∴ ∠ CDA ＋ ∠ ADO ＝ ∠ ADO ＋ ∠ BDO ＝ 90° ， ∴∠CDA＝∠BDO. ∵OD＝OB， ∴∠ODB＝∠B， ∴∠ADC＝∠AOF.
华师大版九年级数学下册第二十七章《圆中的计算问题(第1课时)》精品课件
90•2r90•r1r
360 180 2
360
45
（3）圆心角是45°，占整个周角的___3_60_____，因此它所对
的弧长_______；
45•2r45r1r
360 180 4
1
（4）圆心角是1°，占整个周角的____3_60_____，因此它所对
的弧长_______；
1 •2r 1 r
360 180
结论：
如果设圆心角是n°的扇形面积为S，圆的半径为r，那么
扇形的面积为： Snr2 nrr1lr
3601802 2
因此扇形面积的计算公式为
S nr 2
360
或
S
1 lr 2
小试牛刀：
1、如果扇形的圆心角是2３0°，那么这个扇形的面积
等于这个扇形所在圆的面积的____________；
2
2、扇形的面积是它所在圆的面积的 ，这个扇形的圆
探索
图23.3.4
（1）
如图，圆心角是180°，占整个周角的
180 360
，因此圆心角
是180°的扇形面积是圆面积的_________；
（2） 圆心角是90°，占整个周角的________，因此圆心角 是90°的扇形面积是圆面积的________； （3） 圆心角是45°，占整个周角的________，因此圆心角 是45°的扇形面积是圆面积的________； （4） 圆心角是1°，占整个周角的________，因此圆心角是 1°的扇形面积是圆面积的_________； （5） 圆心角是n°，占整个周角的________，因此圆心角是 n°的扇形面积是圆面积的_________．
1、人才教育不是灌输知识，而是将开发文化宝库的钥匙，尽我们知道的交给学生。 2、一个人的知识如果只限于学校学习到的那一些，这个人的知识必然是十分贫乏的2021/10/142021/10/142021/10/1410/14/2021 5:56:48 PM 3、意志教育不是发扬个人盲目的意志，而是培养合于社会历史发展的意志。 4、智力教育就是要扩大人的求知范围 5、最有价值的知识是关于方法的知识。 6、我们要提出两条教育的诫律，一、“不要教过多的学科”；二、“凡是你所教的东西，要教得透彻”2021年10月2021/10/142021/10/142021/10/1410/14/2021 7、能培养独创性和唤起对知识愉悦的，是教师的最高本领2021/10/142021/10/14October 14, 2021 8、先生不应该专教书，他的责任是教人做人；学生不应该专读书，他的责任是学习人生之道。2021/10/142021/10/142021/10/142021/10/14
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2 2、扇形的面积是它所在圆的面积的 ，这个扇 形的圆心角的度数是_________°； 3
3、扇形的面积是S，它的半径是r，这个扇形的弧 长是_____________.
答案：
23 36
240°，
2s r
例题讲解
例1 如图23.3.5，圆心角为60°的扇形的半径为 10厘米，求这个扇形的面积和周长．（π≈3.14） 解:因为n＝60°，r＝10厘米，所以扇形面积为
nr 60 3.1410 S 360 360
2
2
≈52.33(平方厘米)；
扇形的周长为
nr 60 3.14 10 l 2r 20 180 180
≈ 30.47（厘米）。
例2.
扇形AOB 的半径为12cm， AOB =120，
求AB的长（精确到0.1cm）和扇形 AOB 的面积 （精确到0.1cm2）.
解:∵n＝1200,r=12厘米 ∴弧AB为
120 3.14 12 25.12 25.1 cm 180 1 1 ∴扇形AOB面积为 s lr 2 25.12 12 2 2 cm 150 . 7 =150.72
nr l 180
下面是圆弧形桥拱,其每拱的跨度为40m,拱形的 半径为29m,求拱形的高.
90
0
45
0
n
0
n 2r 360
结论：
如果弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r， 那么，弧长的计算公式为：
练一练：
n nr l 2r 360 180
已知圆弧的半径为50厘米，圆心角为60°， 求此圆弧的长度。 n nr 50 2r 解： l cm = 360 180 3
n nr l 2r 360 180
二、扇形面积计算公式
n 2 s r 360
1 或s lr 2
50 答：此圆弧的长度为 cm 3
扇形： 如图，由组成圆心角的两条半径
和圆心角所对的弧所围成的图形 叫扇形．
Q l n° r O
扇 形面 积 S
怎样计算圆心角是n0 的扇形面积？
圆心角占整个周角的
所对扇形面积是
1800
180 360 90 360 45 360 n 360
180 2 r 360 90 2 r 360 45 2 r 360
90
结论：
如果扇形面积为s，圆心角度数为n，圆 半径是r，那么 扇形面积计算公式为
Q l n° r O
扇 形面 积 S
n 2 s r 360
nr r 1 lr 180 2 2
1 或s lr 2
n 2 s r 360
小试牛刀： 1、如果扇形的圆心角是2３0°，那么这个扇形的 面积等于这个扇形所在圆的面积的____________；
弧长和扇形的面积
知识回顾
圆的周长公式 o
r
p
C=2πr
圆的面积公式
2 S=πr
问题情景：
如图23.3.1是圆弧形状的铁轨示意图，其中铁 轨的半径为100米，圆心角为90°．你能求出 这段铁轨的长度吗?
解:∵圆心角900
图 23.3.1 1 ∴铁轨长度是圆周长的 4 1 2 100 50米 则铁轨长是
C
转化为数学模型为: 有一圆弧形桥拱,拱的 跨度AB=40m,拱形的半 径R=29m,求拱形的高.
D
A B
1 AB =20m 解:如图:由垂径定理得:BD= 2
在直角三角形BOD中: OD2 =OB2 - BD2 OD2 =292 - 202 OD=21 m 所以拱形的高CD=29-21=8m
O
一、弧长的计算公式
4
问题探究
上面求的是的圆心角900所对的弧长，若圆 心角为n0，如何计算它所对的弧长呢？
思考：
请同学们计算半径为 r，圆心角分别为1800、 900、450、n0所对的弧长。
图 23.3.2
圆心角占整个周角的 180
0
所对弧长是
180 360 90 360 45 360 n 360
180 2r 360 90 2r 360 45 2r 360