考研数学必做客观题1500题精析
考研数学高频考点必刷题
考研数学高频考点必刷题
1.未定式极限的计算、无穷小比较以及极限的局部逆问题(客观题和解答题必考)
2.判断函数的连续性及间断点的分类(一般考客观题)
3.导数定义及几何意义相关题目(客观题和解答题都可能考)
4.各类函数(包括复合函数、幂指函数、隐函数、参数方程、变上限函数)的求导(客观题和解答题都可能考)
5.利用7个中值定理(零点定理、介值定理、罗尔定理、拉格朗日定理、柯西中值定理、泰勒定理、积分中值定理)证明等式或不等式(考证明题)
6.利用函数单调性和最值、中值定理证明函数或数值不等式(考证明题)
7.利用函数性态讨论方程的根的个数或曲线交点个数问题(考解答题)
8.判断函数的极值、拐点(客观题和解答题都可能考)
9.求曲线的渐近线或渐近线的条数(一般考客观题)
10.不定积分和原函数的概念的理解(一般考客观题)
11.不定积分的计算(一般考解答题)
12.定积分的计算和定积分性质的应用(客观题和解答题都可能考)
13.定积分的几何应用和物理应用的考查(一般考解答题，有时会和其他知识结合考综合题，物理应用仅数一、数二要求)
14.反常积分的计算和判断敛散性(一般考客观题)。
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2023年全国硕士研究生招生考试《数学二》真题及答案解析【完整版】
2023年全国硕士研究生招生考试《数学二》真题及答案解析【完整版】一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。
1．1ln 1y x e x ⎛⎫=+⎪-⎝⎭曲线的渐近线方程为（ ）。
A ．y ＝x ＋e B ．y ＝x ＋1/e C ．y ＝xD ．y ＝x －1/e 〖答案〗B〖解析〗1ln 11lim lim lim ln 1,1x x x x e y x k e x x x →∞→∞→∞⎛⎫+ ⎪-⎛⎫⎝⎭===+= ⎪-⎝⎭ ()()()11lim lim ln lim ln 11111lim ln 1lim 11x x x x x b y kx x e x x e x x x x e x e x e →∞→∞→∞→∞→∞⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=+-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥--⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎡⎤=+==⎢⎥--⎣⎦所以斜渐近线方程为y ＝x ＋1/e ．2．函数()()01cos ,0x f x x x x ≤=+>⎩的原函数为（ ）。
A ．())()ln ,01cos sin ,0x x F x x x x x ⎧≤⎪=⎨⎪+->⎩B ．())()ln 1,01cos sin ,0x x F x x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪+->⎩C ．())()ln ,01sin cos ,0x x F x x x x x ⎧≤⎪=⎨⎪++>⎩D ．())()ln 1,01sin cos ,0x x F x x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪++>⎩〖答案〗D〖解析〗当x ≤0时，()(1d ln f x x x C ==+⎰当x ＞0时，()()()()()2d 1cos d 1dsin 1sin sin d 1sin cos f x x x x xx x x x x x x x x C =+=+=+-=+++⎰⎰⎰⎰原函数在（－∞，＋∞）内连续，则在x ＝0处(110lim ln x x C C -→++=，()220lim 1sin cos 1x x x x C C +→+++=+ 所以C 1＝1＋C 2，令C 2＝C ，则C 1＝1＋C ，故())()ln 1,0d 1sin cos ,0x C x f x x x x x C x ⎧++≤⎪=⎨⎪+++>⎩⎰，综合选项，令C ＝0，则f （x ）的一个原函数为())()ln 1,01sin cos ,0x x F x x x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪++>⎩.3．设数列{x n }，{y n }满足x 1＝y 1＝1/2，x n ＋1＝sinx n ，y n ＋1＝y n 2，当n →∞时（ ）。
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2020全国硕士研究生入学统一考试数学(二)真题及答案解析
kx
x1x
lim
x
1
x
x
1 e
x
lim
x
x
1
1 1
x
x
1
e
令t
1 lim
x t0
1
e 1t t
1
et 1 t t
1 e2
1ln(1t )
et lim
t 0
t
e
1 lim
e t0
1ln(1t )1
et
1
t
1 lim
1ln(1t )1 t
1 lim ln(1 t) t
.
答案： 1 ga3 3
【解析】 F
a
2 g(a y) ydy 2 g
a (ay y2 )dy 2 g(1 a3 1 a3) 1 ga3
0
0
23 3
13.设 y yx满足 y 2y y 0,
且
y0
0
，
y0
1
，则
0
yx
dx
.
答案：1
【解析】 y 2y y 0, 所以特解方程： 2 +2+1=0，（+1）2 =0 1=2 =-1； y通 =(C1 C2x)ex ； y通' ex (C2 C1 C2x) ；又 y(0) 0，y' (0) 1 ；
三、解答题：15～23 小题，共 94 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答． 题．纸．指定位置上．
15.（本题满分 10 分）.
求曲线
y
x1 x
1 xx
x
0 的斜渐近线。
x1 x
【解析】：斜率 k
lim x
高等数学考研必做课后题
高等数学考研必做课后题第一篇：高等数学考研必做课后题同济五版，课后典型习题习题1--4.题6.题7.习题1--5题1中选做偶数的。
习题1--6题2.题4中的第三小题。
习题1--7题4.习题1--8题2.题3.习题1--9题3题4.习题1--10题2.题4题5.总习题一题8.题13 习题2--1题6.题16.习题2--2题6题7题8题12.习题2--3题3.题4题9.习题2--4题1.题7.题8.总习题二题2.题5习题3--1题1.题5.题6.题8.题9.题10.题12.题13.习题3--2题1中做偶数的。
题4.习题3--3题4.题5.题7.题10.题3--4题4.题5.题14.习题3--5题2题3.总习题全做。
习题4--1题1.习题4--2题2习题4--3做偶数的。
习题4--4做2.5.6.13.15.20.总习题四全做习题5--2题1.题2.题3.题5.题6.题9.题10.题11.题12.习题5--3题1做偶数的.题8.题10.习题5--4题2.题3.总习题五题3.题5题7.题8.题10.习题6--2题2.题7.题13.数一数二再做题25，题30.第七章空间解析几何和向量代数数二数三不考。
数一看看基本内容就行。
同济六版高数下册课后的习题9-2题3.题4题7.题8习题9-3题1题2题5习题9-4题5题7题10题12习题9-5题6题7题8习题9-8题1题2题5总习题题5题10.数一题18.数三题19 习题10-1题2习题10--2题1题2题6题13题14题15数一习题10--3题5题9题10习题11-1题3中的奇数11--2题3中的偶数习题11--3题1题5题9习题11--4题6习题11-5题3习题11--6题1习题11--7题2总习题十一题4题7习题12--3题2习题12--4题3题4题5题6数一题2第二篇：历年考研数学真题高等数学部分考查历年考研数学真题高等数学部分考查重点一、函数、极限与连续1.求分段函数的复合函数;2.求极限或已知极限确定原式中的常数;3.讨论函数的连续性，判断间断点的类型;4.无穷小阶的比较;声明：本资料由大家论坛考研论坛5.讨论连续函数在给定区间上零点的个数，或确定方程在给定区间上有无实根。
考研数学试题真题及答案
考研数学试题真题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)=x^3-3x，求f'(x)的值。
A. 3x^2-3B. 3x^2+3C. x^2-3xD. x^3-3答案：A2. 计算定积分∫(0,1) x^2 dx。
A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 1/4答案：B3. 已知矩阵A=\[\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\]，求A的行列式。
A. -2B. 2C. -5D. 5答案：B4. 设随机变量X服从正态分布N(0,1)，则P(X>1)的值是多少？A. 0.1587B. 0.8413C. 0.1587D. 0.8413答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6，求f(2)的值。
答案：12. 已知等差数列的前三项分别为2，5，8，求第n项的通项公式。
答案：a_n = 2 + 3(n-1)3. 计算极限lim(x→0) (sin x)/x。
答案：14. 设函数f(x)=x^2-4x+c，若f(x)在x=2处取得最小值，则c的值为。
答案：4三、解答题（每题10分，共60分）1. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的极值点。
答案：函数f(x)的导数为f'(x)=3x^2-12x+11，令f'(x)=0，解得x=1或x=11/3。
经检验，x=1为极大值点，x=11/3为极小值点。
2. 已知函数f(x)=x^3-3x，求其在区间[-2,2]上的最大值和最小值。
答案：函数f(x)的导数为f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0，解得x=±1。
经检验，f(-2)=-2，f(-1)=2，f(1)=-2，f(2)=2。
因此，在区间[-2,2]上，最大值为2，最小值为-2。
3. 计算定积分∫(0,π) sin x dx。
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2023考研数学一真题试卷+详细答案解析
2023年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题及答案考试时间：180分钟，满分：150分一、选择题：1～10小题，每小题5分，共50分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上．（1）曲线1ln()1yx e x =+−的斜渐近线方程为（ ） （A）y x e =+ （B）1y x e=+（C）y x = （D）1y x e=−【答案】B 【解析】1limlimln()11x x y ke x x →∞→∞==+=−，11lim()lim()lim[ln(]lim [ln(ln ]11x x x x b y kx y x x e x x e e x x →∞→∞→∞→∞=−==−=+−=+−−−111lim ln(1lim (1)(1)x x x x e x e x e→∞→∞=+==−−，所以渐进线方程为1y x e =+，答案为B（2）若微分方程0y ay by ′′′++=的解在(,)−∞+∞上有界，则（ ） （A ）0,0a b <>（B ）0,0a b >>（C ）0,0ab =>（D ）0,0ab =<【答案】C 【解析】0y ay by ′′′++=的解一共三种情形：①240a b Δ=−>，1212x xy C e C e λλ=+，但此时无论12,λλ取何值，y 在(,)−∞+∞上均无界；②240a b Δ=−=，12()xy C C x eλ=+，但此时无论λ取何值，y 在(,)−∞+∞上均无界；③240a b Δ=−<，12(cos sin )xy e C x C x αββ=+，此时若y 在(,)−∞+∞上有界，则需满足0α=，所以0,0a b =>，答案为（C）（3）设函数()y f x =由2sin x t ty t t⎧=+⎪⎨=⎪⎩确定，则（ ） （A）()f x 连续，(0)f ′不存在（B）(0)f ′不存在，()f x ′在0x =处不连续（C）()f x ′连续，(0)f ′′不存在（D）(0)f ′′存在，()f x ′′在0x =处不连续【答案】C【解析】当0t =时，有0x y ==①当0t >时，3sin x t y t t=⎧⎨=⎩，可得sin 33x xy =，故()f x 右连续；②当0t <时，sin x ty t t=⎧⎨=−⎩，可得sin y x x =−，故()f x 左连续，所以()f x 连续；因为0sin 033(0)lim 0x x x y x ++→−′==；0sin 0(0)lim 0x x x y x −−→−−′==，所以(0)0f ′=；③当0x >时，1sin sin cos 333393x x x x x y ′⎛⎫′==+ ⎪⎝⎭，所以0lim ()0x y x +→′=，即()f x ′右连续；④当0x <时，()sin sin cos y x x x x x ′′=−=−−，所以0lim ()0x y x −→′=，即()f x ′左连续，所以()f x ′连续；考虑01sin cos 23393(0)lim 9x x x xf x ++→+′′==；0sin cos (0)lim 2x x x x f x −−→−−′′==−，所以(0)f ′′不存在，答案为C（4）已知(1,2,)nn a b n <= ，若级数1n n a ∞=∑与1n n b ∞=∑均收敛，则“1n n a ∞=∑绝对收敛”是“1n n b ∞=∑绝对收敛”的（ ）（A ）充分必要条件（B ）充分不必要条件（C ）必要不充分条件（D ）既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】因为级数1nn a ∞=∑与1nn b ∞=∑均收敛，所以正项级数1()nn n ba ∞=−∑收敛又因为()()n n n n n n n n n nb b a a b a a b a a =−+≤−+=−+所以，若1nn a∞=∑绝对收敛，则1n n b ∞=∑绝对收敛；同理可得：()()n n n n n n n n n na ab b a b b b a b =−+≤−+=−+所以，若1nn b ∞=∑绝对收敛，则1nn a∞=∑绝对收敛；故答案为充要条件，选（A）（5）已知n 阶矩阵A ，B ，C 满足ABC O =，E 为n 阶单位矩阵，记矩阵OA BC E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，ABC O E ⎛⎫⎪⎝⎭，E AB AB O ⎛⎫⎪⎝⎭的秩分别为123,,r r r ，则（ ） （A ）123r r r ≤≤（B ）132r r r ≤≤（C ）321r r r ≤≤（D ）213r r r ≤≤【答案】B【解析】根据初等变换可得：OA O O O O BC E BC E O E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎯⎯→⎯⎯→⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭行列，所以1r n =；AB C AB O O E O E ⎛⎫⎛⎫⎯⎯→ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭行，所以2()r n r AB =+；2()E AB E O E O AB O AB ABAB O AB ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎯⎯→⎯⎯→ ⎪ ⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭⎝⎭行列，所以23()r n r AB ⎡⎤=+⎣⎦；又因为20()()r AB r AB ⎡⎤≤≤⎣⎦，所以132r r r ≤≤（6）下列矩阵中不能相似于对角矩阵的是（）（A ）11022003a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （B ）1112003a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （C ）11020002a ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（D ）11022002a ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】（A ）特征值互异，则可对角化；（B ）为实对称矩阵，必可对角化； 选项（C ），特征值为1，2，2，且特征值2的重数（代数重数）2(2)312n r E A =−−=−=（几何重数），故矩阵可对角化；选项（D ），特征值为1，2，2，且特征值2的重数（代数重数）2(2)321n r E A ≠−−=−=（几何重数），故矩阵不可对角化；（7）已知向量1123α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2211α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，1259β⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2101β⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭，若γ既可由12,αα线性表示，也可由12,ββ线性表示，则γ=（ ）（A ）33,4k k R ⎛⎫ ⎪∈ ⎪ ⎪⎝⎭（B ）35,10k k R ⎛⎫ ⎪∈ ⎪ ⎪⎝⎭（C ）11,2k k R −⎛⎫ ⎪∈ ⎪ ⎪⎝⎭（D ）15,8k k R ⎛⎫ ⎪∈ ⎪ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】令γ11221122k k l l ααββ=+=+，则有112211220k k l l ααββ+−−=，即12121212(,)0k k l l ααββ⎛⎫ ⎪ ⎪−−= ⎪ ⎪⎝⎭而121212211003(,)2150010131910011ααββ−−⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪−−=−→− ⎪ ⎪⎪ ⎪−−⎝⎭⎝⎭所以1212(,,,)(3,1,1,1),TT k k l l c c R =−−∈，所以12(1,5,8)(1,5,8),T T c c c k k R γββ=−+=−=∈，答案为D（8）设随机变量X 服从参数为1的泊松分布，则()E X EX −=（ ）（A）1e（B）12（C）2e（D）1【答案】C【解析】因为(1)X P ，所以1EX =，()()1110022112(1)(1)!0!!k k e e e E X EX E X k k E X k k e e−−−∞∞==−=−=−=+−=+−=∑∑，答案为C（9）设12,,,n X X X 为来自总体21(,)N μσ的简单随机样本，12,,,m Y Y Y 为来自总体22(,2)N μσ的简单随机样本，且两样本相互独立，记11n i i X X n ==∑，11m i i Y Y m ==∑，22111()1n i i S X X n ==−−∑， 22211()1mi i S Y Y m ==−−∑，则（ ） （A）2122(,)S F n m S （B）2122(1,1)S F n m S −−（C）21222(,)S F n m S （D）21222(1,1)S F n m S −− 【答案】D【解析】由正态分布的抽样性质可得，2212(1)(1)n S n χσ−− ，2222(1)(1)2m S m χσ−− 又因为2212,S S 相互独立，所以212222(1)1(1,1)(1)21n S n F n m m S m σσ−−−−−− ，即21222(1,1)S F n m S −− ，答案为D （10）设12,X X 为来自总体2(,)N μσ的简单随机样本，其中(0)σσ>是未知参数，记12a X X σ=−,若()E σσ=，则a =（ ）（A）2π（B）2π【答案】A【解析】由已知可得，令212(0,2)Z X X N σ=− ，所以22221212()()()z Z E E a X X aE X X aE Z az f z dz a dzσσ−+∞+∞⋅−∞−∞=−=−===⎰⎰2222440z z a zdz aσσ−−+∞+∞==−=⎰若()E σσ=，则有2a π=，答案为A二、填空题：11～16小题，每小题5分，共30分，请将答案写在答题纸指定位置上． （11）当0x →时，函数2()ln(1)f x ax bx x =+++与2()cos x g x e x =−是等价无穷小，则ab =________【答案】2−【解析】由已知可得：2222200022221(())()ln(1)2lim lim lim 1()cos (1())(1())2x x x x ax bx x x o x f x ax bx x g x e x x o x x o x →→→++−++++==−++−−+220221(1)(()2lim 13()2x a x b x o x x o x →++−+==+所以1310,22a b +=−=，即1,2a b =−=,所以2ab =− （12）曲面222ln(1)z x y x y =++++在点(0,0,0)处的切平面方程为________【答案】20x y z +−=【解析】两边微分可得，222221xdx ydydz dx dy x y +=++++，代入(0,0,0)得2dz dx dy =+，因此法向量为(1,2,1)−，切平面方程为20x y z +−=（13）设()f x 是周期为2的周期函数，且()1,[0,1]f x x x =−∈，若01()cos 2n n a f x a n x π∞==+∑，则21nn a∞==∑_________【答案】0【解析】由已知得01(0)12n n a f a ∞==+=∑，01(1)(1)02n n n a f a ∞==+−=∑ 相加可得021(0)(1)21nn f f a a∞=+=+=∑显然()f x 为偶函数，则(0,1,2,)n a n = 为其余弦级数的系数，故1002()1a f x dx ==⎰，因此210n n a ∞==∑.（14）设连续函数()f x 满足：(2)()f x f x x +−=，2()0f x dx =⎰，则31()f x dx =⎰_______【答案】12【解析】323211121()()()()(2)f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx=+=++⎰⎰⎰⎰⎰[]2121111()()()022f x dx f x x dx f x dx xdx =++=+=+=⎰⎰⎰⎰（15）已知向量11011α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，21101α−⎛⎫ ⎪− ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，30111α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪− ⎪⎝⎭，1111β⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪−⎝⎭，112233k k k γααα=++，若(1,2,3)T T i i i γαβα==，则222123k k k ++=_______【答案】119【解析】由已知可得，123,,ααα两两正交，通过计算可得：11113TT k γαβα=⇒=；2221T T k γαβα=⇒=−；33213T T k γαβα=⇒=−，则222123k k k ++=119（16）设随机变量X 与Y 相互独立，且1(1,3X B ，1(2,2Y B ，则{}P X Y ==________ 【答案】13【解析】212211111{}{0}{1}(323223P X Y P X Y P X Y C ====+===⋅+⋅⋅=三、解答题：17～22小题，共70分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（17）（本题满分10分）设曲线:()(0)L y y x x =>经过点(1,2)，该曲线上任一点(,)P x y 到y 轴的距离等于该点处的切线在y 轴上的截距（1）求()y x ；（2）求函数1()()xf x y t dt =⎰在(0,)+∞上的最大值【答案】（1）()(2ln )y x x x =− （2）454e −【解析】（1）曲线L 上任一点(,)P x y 处的切线方程为()Y y y X x ′−=−，令0X =，则y 轴上的截距为Y y xy ′=−，由题意可得x y xy ′=−，即11y y x′−=−，解得(ln )y x C x =−，其中C 为任意常数，代入(1,2)可得2C =，从而()(2ln )y x x x =−（2）()(2ln )f x x x ′=−，显然在2(0,)e 上()0f x ′>，()f x 单调递增；在2(,)e +∞上()0f x ′<，()f x 单调递减，所以()f x 在(0,)+∞上的最大值为22422211515()(2ln )ln 424e e ef e t t dt t t t −⎛⎫=−=−=⎪⎝⎭⎰（18）（本题满分12分）求函数23(,)()()f x y y x y x =−−的极值【答案】极小值为2104(,)327729f =−【解析】先求驻点42235(32)020xy f x x x y f y x x ⎧′=−+=⎪⎨′=−−=⎪⎩，解得驻点为(0,0)，(1,1)，210(,327下求二阶偏导数，3220(62)322xx xy yyf x x yf x xf ⎧′′=−+⎪⎪′′=−−⎨⎪′′=⎪⎩①对于点(0,0)，(0,0)0f =，5(,0)f x x =，由定义可得(0,0)不是极值点；②代入点(1,1)，解得1252xxxy yy A f B f C f ⎧′′==⎪⎪′′==−⎨⎪′′==⎪⎩，210AC B −=−<，所以(1,1)不是极值点；③代入点210(,)327，解得10027832xx xy yyA fB fC f ⎧′′==⎪⎪⎪′′==−⎨⎪⎪′′==⎪⎩，2809AC B −=>且0A >，所以210(,)327是极小值点，极小值为2104(,)327729f =−（19）（本题满分12分）设空间有界区域Ω由柱面221x y +=与平面0z =和1x z +=围成，Σ为Ω的边界曲面的外侧，计算曲面积分2cos 3sin I xzdydz xz ydzdx yz xdxdy Σ=++⎰⎰【答案】54π【解析】由高斯公式可得，2cos 3sin (2sin 3sin )I xzdydz xz ydzdx yz xdxdy z xz y y x dvΣΩ=++=−+⎰⎰⎰⎰⎰ 因为Ω关于平面xoz 对称，所以(sin 3sin )0xz y y x dv Ω−+=⎰⎰⎰所以1222022(1)(:1)xyxyxxy D D I zdv dxdy zdz x dxdyD x y −Ω===−+≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰22221(21)()2xyxyxyD D D x x dxdy x dxdy x y dxdy ππ=−+=+=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 2130015244d r dr πππθππ=+=+=⎰⎰（20）（本题满分12分）设函数()f x 在[,]a a −上具有2阶连续导数，证明： （1）若(0)0f =，则存在(,)a a ξ∈−，使得21()[()()]f f a f a aξ′′=+−（2）若()f x 在(,)a a −内取得极值，则存在(,)a a η∈−，使得21()()()2f f a f a aη′′≥−−【答案】（1）利用泰勒公式在0x =处展开，再利用介值性定理； （2）利用泰勒公式在极值点处展开，再利用基本不等式进行放缩；【解析】（1）在0x =处泰勒展开，22()()()(0)(0)(0)2!2!f c f c f x f f x x f x x ′′′′′′=++=+， 其中c 介于0与x 之间；代入两个端点有：211()()(0),(0,)2!f f a f a a a ξξ′′′=+∈222()()(0)(),(,0)2!f f a f a a a ξξ′′′−=−+∈− 两式相加可得：212()()()()2f f f a f a a ξξ′′′′++−=即122()()1[()()]2f f f a f a a ξξ′′′′++−= 因为()f x 在[,]a a −上具有2阶连续导数，所以()f x ′′存在最大值M 与最小值m ， 根据连续函数的介值性定理可得，12()()2f f m M ξξ′′′′+≤≤，所以存在(,)a a ξ∈−，使得12()()()2f f f ξξξ′′′′+′′=，即21()[()()]f f a f a a ξ′′=+−成立；（2）若()f x 在(,)a a −内取得极值，不妨设0x 为其极值点，则由费马引理可得，0()0f x ′=将()f x 在0x 处泰勒展开，22000000()()()()()()()()()2!2!f d f d f x f x f x x x x x f x x x ′′′′′=+−+−=+−其中d 介于0x 与x 之间； 代入两个端点有：210010()()()(),(,)2!f f a f x a x x a ηη′′=+−∈ 220020()()()(),(,)2!f f a f x a x a x ηη′′−=+−−∈−两式相减可得：221200()()()()()()22f f f a f a a x a x ηη′′′′−−=−−−−所以22120022()()11()()()()2222f f f a f a a x a x a a ηη′′′′−−=−−−− 22102021[()()()()]4f a x f a x aηη′′′′≤−++，记112()max[(),()]f f f ηηη′′′′′′=， 又因为22220000()()[()()]4a x a x a x a x a −++≤−++=，所以21()()()2f a f a f a η′′−−≤成立 （21）（本题满分12分）已知二次型2221231231213(,,)2222f x x x x x x x x x x =+++−，22212312323(,,)2g y y y y y y y y =+++（1）求可逆变换x Py =，将123(,,)f x x x 化成123(,,)g y y y ； （2）是否存在正交变换x Qy =将123(,,)f x x x 化成123(,,)g y y y ?【答案】（1）111010001P −⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭（2）不存在（二者矩阵的迹不相同）【解析】（1）利用配方法将123(,,)f x x x 化成123(,,)g y y y ， 先用配方法将123(,,)f x x x 化成标准形：22222212312312131232323(,,)2222()2f x x x x x x x x x x x x x x x x x =+++−=+−+++2212323()()x x x x x =+−++再用配方法将123(,,)g y y y 化成标准形：2222212312323123(,,)2()g y y y y y y y y y y y =+++=++令11232233y x x x y x y x =+−⎧⎪=⎨⎪=⎩，即11232233x y y y x y x y=−+⎧⎪=⎨⎪=⎩， 则在可逆变换112233*********x y x y x y −⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭下，其中111010001P −⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，二次型123(,,)f x x x 即可化成123(,,)g y y y （2）因为二次型123(,,)f x x x 与123(,,)g y y y 的矩阵分别为111120102A −⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪−⎝⎭，100011011B ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭显然()5tr A =，()3tr B =，所以矩阵A ，B 不相似，故不存在正交矩阵Q ，使得1T Q AQ Q AQ B −==， 所以也不存在正交变换x Qy =，将123(,,)f x x x 化成123(,,)g y y y .11 /11 （22）（本题满分12分）设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为22222(),1(,)0,x y x y f x y else π⎧++≤⎪=⎨⎪⎩，求 （1）求X 与Y 的斜方差；（2）X 与Y 是否相互独立？（3）求22Z X Y =+概率密度【答案】（1）0 （2）不独立 （3）2,01()0,z z f z else <<⎧=⎨⎩【解析】（1）由对称性可得：222212()0x y EX x x y dxdy π+≤=+=⎰⎰，同理0EY =，0EXY =所以(,)()()()0Cov X Y E XY E X E Y =−=； （2）22)11()(,)0,X x y dy x f x f x y dy else +∞−∞⎧+−≤≤⎪==⎨⎪⎩⎰24(121130,x x elseπ⎧+−≤≤⎪=⎨⎪⎩同理可得，24(1211()30,Y y y f y else π⎧+−≤≤⎪=⎨⎪⎩所以(,)()()X Y f x y f x f y ≠，X 与Y 不独立 （3）先求分布函数22(){}{}Z F z P Z z P X Y z =≤=+≤ 当0z <时，()0Z F z =；当01z ≤<时，2222222320022(){}()Z x y z F z P X Y z x y dxdy d dr z πθππ+≤=+≤=+==⎰⎰⎰；当1z ≤时，()1Z F z =；所以22Z X Y =+概率密度为2,01()()0,Z Z z z f z F z else <<⎧′==⎨⎩。
2023年全国硕士研究生招生考试试题及答案解析(数学一)
2023年全国硕士研究生招生考试数学试题（数学一）一、选择题:1～10小题,每小题5分,共50分,下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的，请将所选选项前的字母填在答题卡指定位置．(1)曲线1ln(1y x e x =+-的渐近线方程为()(A)y x e=+(B)1y x e =+(C)y x=(D)1y x e=-(2)若微分方程0y ay by '''++=的解在(,)-∞+∞上有界，则()(A)0,0a b <>(B)0,0a b >>(C)0,0a b =>(D)0,0a b =<(3)设函数()y f x =由2sin x t ty t t⎧=+⎪⎨=⎪⎩确定，则()(A)()f x 连续，(0)f '不存在(B)(0)f '存在，()f x '在0x =处不连续(C)'()f x 连续，(0)f ''不存在(D)(0)f ''存在，()f x ''在0x =处不连续(4)已知(1,2,)n n a b n <=L ，若级数1nn a∞=∑与1nn b∞=∑均收敛，则“1nn a∞=∑绝对收敛”是“1nn b∞=∑绝对收敛的”()(A)充分必要条件(B)充分不必要条件(C)必要不充分条件(D)既不充分也不必要条件(5)已知n 阶矩阵,,A B C 满足0ABC =，E 为n 阶单位矩阵，记矩阵0A BC E ⎛⎫⎪⎝⎭，0AB C E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，0E AB AB⎛⎫⎪⎝⎭的秩分别为123,,γγγ，则()(A)123γγγ≤≤(B)132γγγ≤≤(C)312γγγ≤≤(D)213γγγ≤≤(6)下列矩阵中不能相似于对角矩阵的是()(A)11022003a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭(B)1112003a a ⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭(C)11020002a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭(D)11022002a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭(7)已知向量1123α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2211α⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，1259β⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2101β⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，若γ既可由12,αα线性表示，也可由12,ββ线性表示，则γ=()(A)33,4k k R⎛⎫⎪∈ ⎪ ⎪⎝⎭(B)35,10k k R⎛⎫ ⎪∈ ⎪ ⎪⎝⎭(C)11,2k k R-⎛⎫ ⎪∈ ⎪ ⎪⎝⎭(D)15,8k k R⎛⎫ ⎪∈ ⎪ ⎪⎝⎭(8)设随机变量X 服从参数为1的泊松分布，则()E X EX -=()(A)1e(B)12(C)2e(D)1(9)设12,,,n X X X L 为来自总体21(,)N μσ的简单随机样本，12,,,m Y Y Y L 为来自总体22(,2)N μσ的简单随机样本，且两样本相互独立，记11n i i X X n ==∑，11m i i Y Y m ==∑，22111(1n i i S X X n ==--∑，22211(1mi i S Y Y m ==--∑，则()(A)2122~(,)S F n m S (B)2122~(1,1)S F n m S --(C)21222~(,)S F n m S (D)21222~(1,1)S F n m S --(10)设12,X X 为来自总体2(,)N μσ的简单随机样本，其中(0)σσ>是未知参数.若12ˆa X X σ=-为σ的无偏估计，则a =()(A)2(B)2(C)(D)二、填空题:11～16小题，每小题5分，共30分．(11)当0x →时，函数2()ln(1)f x ax bx x =+++与2()cos x g x e x =-是等价无穷小，则ab =____.(12)曲面222ln(1)z x y x y =++++在点(0,0,0)处的切平面方程为________.(13)设()f x 为周期为2的周期函数，且()1,[0,1]f x x x =-∈，若01()+cos 2n n a f x a n x π∞==∑，则21nn a∞==∑_______.(14)设连续函数()f x 满足2(2)(),()0f x f x x f x dx +-==⎰，则31()f x dx =⎰_______.(15)已知向量12311223311010111,,,,10111111k k k αααβγααα-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪-=====++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，若(1,2,3)TTi i i γαβα==，则222123k k k ++=________.(16)设随机变量与Y 相互独立，X 且11~(1,),~(2,)32X B Y B 则{}P X Y ==________.三、解答题:17～22小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(17)(本题满分10分)设曲线)()(0y x x y =>经过点(1,2)，该曲线上任一点(,)P x y 到y 轴的距离等于该点处的切线在y 轴上的截距.(I)求()y x ;(II)求函数1()()xf x y t dt =⎰在(0,)+∞上的最大值.(18)(本题满分12分)求函数23(,)()()f x y y x y x =--的极值.(19)(本题满分12分)设空间有界区域Ω中，柱面221x y +=与平面0z =和1x z +=围成，∑为Ω边界的外侧，计算曲面积分2cos 3sin I xzdydz xz ydzdx yz xdxdy ∑=++⎰⎰Ò.(20)设函数()f x 在[,]a a -上具有二阶连续导数，证明：(I)若(0)0f =，则存在(,)a a ξ∈-，使得21()[()()]f f a f a a ξ''=+-;(II)若()f x 在(,)a a -内取得极值，则存在(,)a a η∈-使得21()()()2f f a f a a η''≥--.(21)已知二次型2221231231213(,,)2222f x x x x x x x x x x =+++-,22212312323(,,)2g y y y y y y y y =+++(I)求可逆变换x Py =，将123(,,)f x x x 化为123(,,)g y y y ;(II)是否存在正交变换x Qy =，将123(,,)f x x x 化为123(,,)g y y y .(22)设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为22222(),1(,)0,x y x y f x y π⎧++≤⎪=⎨⎪⎩其它(I)求X 与Y 的斜方差;(II)求X 与Y 是否相互独立;(IIi)求22Z X Y =+的概率密度.答案及解析(1)【答案】(B)【解析】1limlim ln()11x x y k e x x →∞→∞==+=-，11lim()lim[ln(]lim [ln()1]11→∞→∞→∞=-=+-=+---x x x b y kx x e x x e x x 11lim ln[1]lim .(1)(1)→∞→∞=+==--x x x x e x e x e所以斜渐近线方程为1.=+y x e(2)【答案】(C)【解析】微分方程0'''++=y ay by 的特征方程为20++=a b λλ，当240∆=->a b 时，特征方程有两个不同的实根12,λλ，则12,λλ至少有一个不等于零，若12,C C 都不为零，则微分方程的解1212--=+xx y C eC e λλ在(,)-∞+∞无界；当240∆=-=a b 时，特征方程有两个相同的实根，1,22=-a λ，若20≠C ，则微分方程的解2212--=+a x a x y C eC xe 在(,)-∞+∞无界；当240∆=-<a b时，特征方程的根为1,222=-±a i λ，则通解为212(cos sin )22-=+ax y eC x C x ，此时，要使微分方程的解在(,)-∞+∞有界，则0=a ，再由240∆=-<a b ，知0.>b (3)【答案】(C)【解析】0t ≥时，3sin x t y t t =⎧⎨=⎩，得sin 33x xy =；0t <时，sin x t y t t=⎧⎨=-⎩，得sin y x x =-；综上，sin ,033sin ,0xx x y x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩，从而由00sin 0sin 033(0)lim 0,(0)lim 0x x x xx x y y x x +-+-→→---''====，得(0)0y '=；于是1sin cos ,033930,0sin cos ,0x x x x y x x x x x ⎧+>⎪⎪'==⎨⎪--<⎪⎩，得y '连续；又由001sin cos 02sin cos 03393(0)lim ,(0)lim 29x x x x x x x x y y x x+++-→→+----''''====-，得(0)y ''不存在.(4)【答案】(A)【解析】由条件知1()nn n ba ∞=-∑为收敛的正项级数，进而绝对收敛；设1nn a∞=∑绝对收敛，则由n n n n n n n b b a a b a a =-+≤-+与比较判别法，得1nn b∞=∑绝对收敛；设1nn b∞=∑绝对收敛，则由n n n n n n n a a b b b a b =-+≤-+与比较判别法，得1nn a∞=∑绝对收敛.(5)【答案】(B)【解析】因初等变换不改变矩阵的秩，10000,A ABC r r r r n BC E BC E BC E -⎛⎫⎛⎫⎛⎫====⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭20(),00AB C AB r r r r AB n E E ⎛⎫⎛⎫===+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭300EAB Er r r AB AB ABAB ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭0()()0E r r ABAB n r AB nABAB ⎛⎫==+≤+ ⎪-⎝⎭故选(B).(6)【答案】(D)【解析】选项(A)矩阵的特征值为三个不同特征值，所以必可相似对角化；选项(B)矩阵为实对称矩阵，所以必可相似对角化；选项(C)矩阵特征值为1,2,2，二重特征值的重数()232r C E =--，所以必可相似对角化；选项(D)矩阵特征值为1,2,2，二重特征值的重数()232r D E ≠--，所以不可相似对角化.故选(D).(7)【答案】(D)【解析】设11221122r x x y y ααββ=+=+,则112211220x x y y ααββ+--=.又()121212211003,,,2150010131910011ααββ--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--=-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭,故()()1212,,,3,1,1,1,TTx x y y c c R =--∈.所以()()()121,5,81,5,81,5,8,T T Tr c c c c k k R ββ=-+=---=-=∈.(8)【答案】(C)【解析】由题可知()1E X =，所以1,0||1,1,2,X X EX X X =⎧-=⎨-=⎩L，故()1||1{0}(1){}k E X EX P X k P X k ∞=-=⋅=+-=∑01(1){}(01){0}k k P X k P X e ∞==+-=--=∑112(1)(01)E X e e e=+---=，故选(C).(9)【答案】(D)【解析】12,,...,n X X X 的样本方差()221111n i i S X Xn ==--∑，12,,...,n Y Y Y 的样本方差()222111mi i S Y Y m ==--∑，则()()21221~1n S n χσ--，()()22221~12m S m χσ--，两个样本相互独立，所以()()()()()2122221122222222112~1,11212n S n S S F n m m S S S m σσσσ--==----，故选(D).(10)【答案】(A)【解析】由题可知212~(0,2)X X N σ-.令12Y X X =-，则Y 的概率密度为2222()y f y σ-⋅=.22222240(||)||y y E Y y dy yedy σσ--+∞+∞⋅-∞===⎰，12(||)(||)E a X X aE Y -==.由12ˆ||)a X X σ=-为σ的无偏估计，有^()E σσ=，得2a =.故选(A).二、填空题:11～16小题，每小题5分，共30分．(11)【答案】2-【解析】2200()ln(1)lim lim ()cos x x x f x ax bx x g x e x →→+++=-222022221()2lim 11()1()2x ax bx x x x x x x x οοο→++-+=⎡⎤++--+⎢⎥⎣⎦1=,可得10a +=，1322b -=，即1,2a b =-=,故2ab =-.(12)【答案】20x y z +-=【解析】22(,,)2ln(1)F x y z x y x y z =++++-,222222(,,)(1,2,1)11x y z x yF F F x y x y'''==++-++++n ，即在点(0,0,0)处的法向量为()1,2,1-，即切平面方程为20x y z +-=.(13)【答案】0【解析】由()f x 展开为余弦级数知，()f x 为偶函数.由傅里叶系数计算公式有12(1)cos n a x n xdxπ=-⎰()112cos cos n xdx x n xdx ππ=-⎰⎰1100112sin sin n x xd n x n n ππππ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎰102sin xd n x n ππ=-⎰()11002sin sin x n x n xdxn πππ-=-⎰102sin n xdx n ππ=⎰12202cos n x n ππ-=()222cos 1n n ππ-=-.故()()2222211cos 2111022n a n n n πππ--=-=-=.(14)【答案】12【解析】323112()()()f x dx f x dx f x dx=+⎰⎰⎰()211()(2)2f x dx f t dt x t =++=+⎰⎰令211()(2)f x dx f x dx=++⎰⎰[]211()()f x dx f x x dx=++⎰⎰2111()()f x dx f x dx xdx=++⎰⎰⎰21()f x dx xdx=+⎰⎰1xdx=⎰12=.(15)【答案】119【解析】11111221331123111130013TTTTTk k k k k k k γαβααααααα==⇒++=⇒⋅+⋅+⋅=⇒=.同理2311,3k k =-=-.所以，222123119k k k ++=.(16)【答案】13【解析】因为1~1,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以0,1X =;1~2,2Y B ⎛⎫⎪⎝⎭，所以0,1,2Y =.又因为X 与Y 相互独立，所以{}{0,0}{1,1}P X Y P X Y P X Y ====+=={0}{0}{1}{1}P X P Y P X P Y ===+==2201222111132323C C ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.三、解答题:17～22小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(17)【解析】(I)设点(,)x y 处的切线方程为()Y y y X x '-=-，故y 轴的截距为y y x '-，则x y y x '=-，解得(ln )y x C x =-，其中C 为任意常数.由(1)2y C ==，故()(2ln )y x x x =-.(II)由(I)知1()(2ln )xf x t t dt =-⎰，故()(2ln )0f x x x '=-=，则驻点为2x e =.当20x e <<时，()0f x '>；当2x e >时，()0f x '<,故()f x 在2x e =处取得极大值，同时也取得最大值，且最大值为224115()(2ln )44e f e x x dx e =-=-⎰.(18)【解析】323(235)020x y f x y xy x f y x x '⎧=-+-=⎪⎨'=--=⎪⎩，得驻点为(0,0)，(1,1)，210(,)327.32(235)(315)xxf y xy x x y x ''=-+---,(23)xy f x x ''=-+，2yy f ''=.代入(0,0)，002xxxyyyA fB fC f ''⎧==⎪''==⎨⎪''==⎩，则20AC B -=，故充分条件失效，当0x →时，取23(0)y x kx k =+>，2332355(,)()()[(1)]()f x y y x y x kx x k x kx o x =--=+-=+，则555500(,)()lim lim 0x x f x y kx o x k x x →→+==>，由极限的局部保号性：存在0δ>，当(,0)x δ∈-时，5(,)0f x y x >，(,)0(0,0)f x y f <=，当(0,)x δ∈时，5(,)0f x y x>，(,)0(0,0)f x y f >=，故(0,0)不是极值点；代入(1,1)，1252xxxyyy A f B f C f ''⎧==⎪''==-⎨⎪''==⎩，则20AC B -<，故(1,1)不是极值点；代入210(,327的10027832xx xyyyA fB fC f ⎧''==⎪⎪⎪''==-⎨⎪''==⎪⎪⎩，则20AC B ->且0A >，故210(,)327是极小值点；故2104(,)327729f =-为极小值.(19)【解析】由高斯公式可得：()2sin 3sin I z xz y y x dVΩ=-+⎰⎰⎰2zdV Ω=⎰⎰⎰102xy x D dxdy zdz -=⎰⎰⎰()21xy D x dxdy =-⎰⎰()22:1xy D x y +≤()212xy D x x dxdy =-+⎰⎰()2212xyD x y dxdy π=++⎰⎰2130012d r dr ππθ=+⎰⎰544πππ=+=.(20)【解析】(I)证明：22()()()(0)(0)(0),02!2!f f f x f f x x f x x x ηηη''''''=++=+介于与之间，则211()()(0),02!f f a f a a a ηη'''=+<<.①()222()()(0),02!f f a f a a a ηη'''-=-+-<<.②①+②得：[]212()()()()2a f a f a f f ηη''''+-=+.③又()f x ''在[]21,ηη上连续，则必有最大值M 与最小值m ，即,()()12,,m f M m f M ηη''''≤≤≤≤从而()()122f f m M ηη''''+≤≤.由介值定理得：存在[]()21,,a a ξηη∈⊂-，有()()()122f f f ηηξ''''+''=，代入③得：()()22()()()(),f a f a f a f a a f f a ξξ+-''''+-==即.(II)设()0(),f x x x a a =∈-在取极值，且0()f x x x =在可导，则0()0f x '=.又()()()22000000()()()()()(),02!2!f f f x f x f x x x x x f x x x x γγγ'''''=+-+-=+-介于与之间，则()21001()()(),02!f f a f x a x a γγ''-=+---<<.()22002()()(),02!f f a f x a x a γγ''=+-<<.从而()()()()22020111()()22f a f a a x f a x f γγ''''--=--+()()()()2202011122a x f a x f γγ''''≤-++.又()f x ''连续，设(){}()12max ,M f f γγ''''=，则()()()222200011()()22f a f a M a x M a x M a x --≤++-=+又()0,x a a ∈-，则()2220()()2f a f a M a x Ma --≤+≤，则21()()2M f a f a a ≥--，即存在()12,a a ηγηγ==∈-或，有()21()()2f f a f a aη''≥--.(21)【解析】(I)利用配方法将123(,,)f x x x 和123(,,)g y y y 化为规范形,从而建立两者的关系.先将123(,,)f x x x 化为规范形.2221231231213(,,)222f x x x x x x x x x x =+++-2221232323()2x x x x x x x =+-+++2212323()()x x x x x =+-++令112322333z x x x z x x z x =+-⎧⎪=+⎨⎪=⎩,则2212312(,,)f x x x z z =+.即112233*********z x z x z x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,使得2212312(,,)f x x x z z =+.再将123(,,)g y y y 化为规范形.2222212312323123(,,)2()g y y y y y y y y y y y =+++=++令1122333z y z y y z y =⎧⎪=+⎨⎪=⎩,则2212312(,,)g y y y z z =+.即112233100011001z y z y z y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,使得2212312(,,)g y y y z z =+.从而有112233*********z x z x z x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭123100011001y y y ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,于是可得112233x y x P y x y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,其中1111100111011011010001001001P ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭为所求矩阵，可将化为.(II)二次型和的矩阵分别为111120102A -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭,100011011B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.由题意知,若存在正交变换x Qy =，则1T Q AQ Q AQ B -==，可得和相似.易知()5,()3tr A tr B ==，从而和不相似，于是不存在正交变换x Qy =，使得化为.(22)设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为【解析】(I)()222()0D E X xx y d σπ=+=⎰⎰，()222()0D E Y yx y d σπ=+=⎰⎰，()222()0DE XY xyx y d σπ=+=⎰⎰，所以(,)()()()0Cov X Y E XY E X E Y =-=.(II)22),11()0X x y dy x f x ⎧+-<<⎪=⎨⎪⎩，其他24(121130x x π⎧+-<<⎪=⎨⎪⎩，其他同理，得：24(1211()30Y y y f y π⎧+-<<⎪=⎨⎪⎩，其他.因为，()()(,)X Y f x f y f x y ≠,所以X 与Y 不相互独立.(III)22(){}{}Z F z P Z z P X Y z =≤=+≤当0z <时，()0Z F z =；当01z ≤<时，222320022()()z Z D F z x y d d dr z πσθππ=+==⎰⎰⎰⎰；当1z ≥时，()1Z F z =；所以，Z 的概率密度为2,01()0,Z z z f z <<⎧=⎨⎩其他.。
2023年考研数学(一)答案解析
2023年全国硕士研究生统一入学考试数学（一）试题解析一、选择题：1-10小题，每小题5分，共50分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1）【答案】：B【解析】：1ln()11lim lim limln(11x x x x e y x k e x x x）11lim()lim[ln()]lim [ln()1]11x x x b y kx x e x x e x x11lim ln[1]lim (1)(1)x x x x e x e x e所以斜渐近线方程为：1y x e（2）【答案】：C 【解析】：微分方程"'0y ay by 的特征方程为20a b ，当240a b 时，特征方程有2个不同的实数根12, ，则12, 至少有一个不等于零，若12,C C 都不为零，则微分方程的解1212x xy C e C e 在(,) 无界当240a b ，特征方程有2个相等的实根，1,22a若20C ，则微分方程的解212()a x y C C x e在(,) 无界当240a b时，特征方程的根为1,222a i则通解为：212(cos sin )22ax y eC C 此时，要使微分方程的解在在(,) 有界，则0a ，再由240a b 知0b （3）【答案】：C 【解析】：1）当0t 时，3sin cos ,sin 3x t dy t t ty t t dx；当0t 时，,sin sin sin x t dyt t t y t t dx；当0t 时，因为'00()(0)sin (0)lim lim 03x t f x f t tf x t'00()(0)sin (0)lim lim 0x t f x f t t f x t所以'(0)0f 2）0sin cos lim '()lim 0'(0)3x t t t t f x f；'00sin cos lim '()lim 0(0);3x t t t t f x f所以0lim '()'(0)0x f x f ，所以'()f x 在0x 处连续3）当0t 时，因为"00'()'(0)sin cos 2(0)lim lim 339x t f x f t t t f x t"00'()'(0)sin cos (0)lim lim 2x t f x f t t t f x t所以"(0)f 不存在（4）【答案】：A 【解析】由条件知1()nn n ba为收敛的正项级数，进而绝对收敛；设1nn a绝对收敛，则由||||||||n n n n n n n b b a a b a a ，由比较判别法知，得1nn b绝对收敛设1nn b绝对收敛，则由||||||||n n n n n n n a a b b b a b ，由比较判别法知，1nn a绝对收敛（5）答案：B 【解析】：对分块矩阵使用推广的初等行变换，注意到初等变换不改变矩阵的秩，如下：0000E A A E BC E BC E ，000A r r n BCE BC E，1n 00E C AB C AB E OE OE， 20ABC ABr r r AB n O E OE2E OE O E AB E AB AB E ABO OO OAB，则有： 2132E AB n r n r AB n r AB ABO（6）答案：D 【解析】：选项A 矩阵得特征值为三个不同得特征值，所以必可以相似对角化；选项B 矩阵为实对称矩阵，所以必定可以相似对角化选项C 矩阵得特征值为1，2，2，二重特征值的重数23(2)r C E ，所以必可以相似对角化选项D 矩阵的特征值为1，2，2,二重特征值的重数23(2)r D E ，所以不可相似对角化.（7）【答案】：D【解析】：根据题意，即是存在1234,,,k k k k ，使得11223344k k k k ，等价于求解12123434(,,,)0k k k k ,得到通解：12343111k k k k k，代入34,k k k k ，得到：15,8k k R（8）【答案】：C【解析】：由X服从参数为1的泊松分布，得到1EX ，1111110212211!!!!k k k k e e e e E X EX k e k e k k k k e（9）【答案】：D 【解析】：注意到：2212221222121222111,1,2211,11n S m S Z n Z m Z S n Z F n m Z S m（10）【答案】：A【解析】：注意到： 0,1Y N，根据：ˆ()E E a Y，则a，22222y y E Y y，解出2a二、填空题：11~16小题，每小题5分，共30分.请将答案写在答题纸指定位置上.（11）【解析】：注意到22220ln 1ln 11limlim1cos 11cos x x x x ax bx x x x bx x a e xe x，首先得到：1a ，另外根据等价无穷小替换， 2222001ln 12lim lim 1311cos 2x x x b x x x bx x e x，得到：2b ，则2ab （12）【解析】：切平面法向量为：''0,0,01211x y z n z，根据点法式方程，切平面方程为：2z x y （13）【解析】由 f x 展开为余弦级数知， f x 为偶函数，由傅里叶级数公式知122221cos cos 1n a x n xdx n n所以20n a ，21nn a（14）【解析】32323112122121111u+2u+21=++2=++x =2f x dx f x dx f x dx f x dx f d f x dx f x dx f x dx f x dx dx（15）【解析】11111222333123111130013T T T T T k k k k k k k同理：2311,3k k所以222123119k k k（16）【解析】由于11,3X B，所以x=0,1，1Y 2,2B，所以y=0,1,2 22012221111=0=0+=1=1=32323p X Y p X Y p X Y C C，，三、解答题：17~22小题，共70分.请将解答写在答题纸指定位置上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（17）【解析】（1）曲线L 在点 x,y P 处的切线方程为'y=y (X -x)Y ，令X=0,切线在y 轴上的截距为'Y y xy ，即'11y y x，解得 ln y x x c x ，又经过点 1,2，所以c=2， 2ln y x x x （2）由（1）知 x1=2ln f x t t dt ， '=x 2-lnx 0f x ，得到驻点2x e，由单调性知 f x 的最大值在驻点处取得，最大值241544f ee .（18）【解析】'3'23(235)020x yf x y xy x f y x x得驻点为210(0,0),(1,1),(,)327，''32''''(235)(315),(23),2xx xy yy f y xy x x y x f x x f ，代入''''''0(0,0),02xx xyyy A f B f C f，则20AC B ，充分条件无法判断，利用定义法，当0x 时，取232332355(0),(,)()()[(1)](),y x kx k f x y y x y x kx x k x kx o x 则555500(,)()lim lim x x f x y kx o x k x x，由极限的局部保号性：0,(,0)x 时，(,)0f x y ，(0,)x时，(,)0f x y ，故在(0,0)处(,)f x y 不取极值；代入''''''12(1,1),52xx xy yy A f B f C f，则20AC B ，所以在(1,1)处(,)f x y 不取极值；代入''''''100272108(,32732xx xy yyA fB fC f，则20AC B ，且0A 所以在210(,)327处(,)f x y 取极小值4729.（19）【解析】利用高斯公式得102122320(2sin 3sin )2dz(1)cos 54xyxyxyx D D D I z xz y y x dV dxdy z x dxdy x dxdy d r dr其中因为 关于yoz 对称，被积函数是x 的奇函数所以(sin 3sin )0I xz y y x dV，22:1xy D x y （20）【证明】（1）22111''()''()()(0)'(0)'(0),022f f f x f f x x f x x x 介于与之间，则222''()()'(0),(0,)2f f a f a a a ，233''()()'(0),,0)2f f a f a a a (-，则223()()''()''()2a f a f a f f ，由()f x 在 ,a a 上具有2阶连续导数，故()f x 在 32, 上具有2阶连续导数，所以()f x 在 32, 上必存在最大值M 和最小值m ，使得 231''()''()2m f f M由介值定理存在存在 32,(,)a a ，使得 23211''()''()''()()()2f f f f a f a a，得证.（1）设()f x 在x x 点处取得极值，则0'()0f x ，221100000010''()''()()()'()())()(),22f f f x f x f x x x x x f x x x x x 介于与之间，220020''()()()(),,2f f a f x a x a x()，230030''()()()(),,2f f a f x a x a x()，222232003020''()''()1|()()||()()||''()|()|''()|()222f f f a f a a x a x f a x f a x 32(,),''()max{|''()|,|''()|}a a f f f ，故223020222001|()()||''()|()|''()|()2|''()|[()()]2|''()|2f a f a f a x f a x f a x a x a f命题得证。
考研数学题目
考研数学题目第一篇考研数学题目:2021考研数学真题答案解析的内容我先说一下数学3，通过看了一下题目，总体上题目跟2021年相比难度下降。
计算量有肯定难度，但是按真正的计算量比2021年稍有所下降。
从总体来看，第一题，我讲解高数部分，选择题，是常规的极限题目，信任大家都能拿到分数，极限法问题，最终三小时给出了这样的方法。
第2题是求函数的极值点，多元函数极值，这也是我们在最终三小时和上课过程当中反复强调的问题。
那么第3题也是争论函数的性质。
总体来说，选择题难度不大，没有难题，大家应当把基础题拿到分。
之后再来看填空题，第一题也是常规的定积分运算，依靠于定积分的定义和奇偶性来得出结论。
是定积分的计算。
第10题是数3，考了差分方程，这也是我们最终三小时反复强调的题型。
应当是还有重根的状况。
第11题考察了边际，经济学应用，作为重点强调的内容以填空题形式消失，也不是很难。
第12题考察了全微分形式消失。
我们可以看出题目本身没有偏题难题怪题，是常规的题目，大家对于常规题目肯定要仔细去答给出正确答案。
我信任大家最终的成果会比较抱负。
重点看大题，计算量有一些，大题对大家略微有一些困难，第15题，平常的极限问题，和2021年、 2021年的反差不大，是变限积分，先做变换做进行处理。
先做代换。
第16题是二重积分的问题，这种题目要求题目不难，划出区域仔细积分就可以了。
要求把计算稳住，也不是难题。
第17题看似，17题本身不是很难的题目，它是一个定积分定义，转换成什么?转换成分布积分。
其实这种题目根据2021年标准是填空题的标准，2021年以一个大题消失，能不能看出来转成分布积分。
那么从高数15、16、17三个题，盼望大家把不难的题目拿下。
后面题目略微有一些难度18、19相对是一些难题。
19题，是一个级数问题，是一个跟，争论级数某些性质，有同学反应这道题稍显难度。
对于这种题不要想拿全分，把基本分拿到手，选择填空假如稳中分值不会差太多，应当取得比较抱负的分数。
考研数一真题试卷分析
考研数一真题试卷分析考研数学一（简称数一）是众多考研学子在备考过程中必须面对的科目之一。
数一主要考察的是高等数学、线性代数和概率论与数理统计三个部分。
真题试卷分析对于考生来说至关重要，它不仅能够帮助考生了解考试的难度和重点，而且能够指导考生在复习过程中有所侧重。
试卷结构分析考研数学一的试卷通常由选择题、填空题和解答题三部分组成。
选择题和填空题主要考察基础知识点的掌握情况，解答题则更侧重于综合运用能力和解题技巧。
试卷的分值分配通常为：选择题40分，填空题20分，解答题90分。
题型特点分析1. 选择题：选择题通常覆盖面广，但难度相对较低。
考生需要掌握好基本概念和基本公式，以快速准确地选出正确答案。
2. 填空题：填空题往往需要考生对公式和定理有更深入的理解，能够灵活运用。
3. 解答题：解答题是试卷中分值最高的部分，也是最能体现考生综合能力的题型。
解答题通常包括证明题、计算题和综合应用题，要求考生不仅要掌握知识点，还要能够灵活运用解题技巧。
考点分布分析通过对历年考研数学一真题的分析，我们可以发现一些常见的考点分布规律：1. 高等数学：重点考察微积分、级数、多元函数微分学等部分，其中微积分是重点中的重点。
2. 线性代数：矩阵理论、线性空间、特征值问题等是常见的考点。
3. 概率论与数理统计：随机事件的概率、随机变量及其分布、大数定律和中心极限定理等是重点内容。
备考策略建议1. 基础知识打牢：数学一的备考首先要从基础知识抓起，确保对每个知识点都有清晰的理解和记忆。
2. 真题训练：通过做历年真题，熟悉考试的题型和难度，了解命题的规律。
3. 查漏补缺：在做题过程中，要及时总结自己的不足，针对性地进行复习和强化。
4. 解题技巧掌握：掌握一些常用的解题技巧和方法，提高解题效率。
5. 模拟考试：定期进行模拟考试，检验自己的备考效果，调整复习计划。
总结考研数学一的备考是一个系统工程，需要考生有计划、有条理地进行。
通过对真题试卷的深入分析，考生可以更好地把握考试的方向，制定出适合自己的备考策略。
2020考研数学一真题及解析【完整版】
2020考研数学一真题及解析（完整版）一、选择题：1~8小题，第小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将选项前的字母填在答题纸指定位置上.1.x 0 时，下列无穷小阶数最高的是A. 0xe t 21d tB. 0xln 1+t 3d t C.sin 20sin d xt tD.1cos 30sin d x t t1.答案：D解析：A.232001~3xx t x e dt t dtB.35322002ln 1~5x x t dt t dt x C.sin 223001sin ~3xxt dt t dt x D.2311cos 3220sin ~xx tdt t dt25122025x t 5252152x2.设函数()f x 在区间（-1，1）内有定义，且0lim ()0,x f x 则（）A.当0()lim 0,()0||x f x f x x x在处可导.B.当2()lim0,()0x f x f x x x在处可导.C.当()()0lim0.||x f x f x x x 在处可导时,D.当2()()0lim 0.x f x f x x x在处可导时,2.答案：B解析:0200()()()()lim 0lim 0lim 0,lim 0||x x x x f x f x f x f x x x x x00()lim 0,lim ()0x x f x f x x00()(0)()lim lim 0(0)0x x f x f f x f x x()f x 在0x 处可导 选B3.设函数(,)f x y 在点（0，0）处可微，(0,0)(0,0)0,,,1f ff x yn 且非零向量d 与n 垂直，则（）A.22(,)(0,0)|(,,(,))|lim 0x y x y f x y x y存在n B.22(,)(0,0)|(,,(,))|lim 0x y x y f x y x y存在n C.22(,)(0,0)|(,,(,))|lim 0x y x y f x y x y存在d D.22(,)(0,0)|(,,(,))|lim 0x y x y f x y x yd 3.答案：A 解析：(,)(0,0)f x y 在处可微.(0,0)0f =22(,)(0,0)(0,0)(0,0)lim 0x y x y f x y f f x f yx y即2200(,)(0,0)(0,0)lim 0x yx y f x y f x f y x y,,(,)(0,0)(0,0)(,)x y n x y f x y f x f y f x y22(,)(0,0),,(,)lim 0x y n x y f x y x y存在选A.4.设R 为幂级数1nn n a r的收敛半径，r 是实数，则（）A.1nn n a r发散时，||r R B.1nnn a r发散时，||r RC.||r R 时，1n nn a r发散D.||r R 时，1nnn a r发散4.答案：A 解析：∵R 为幂级数1nn n a x的收敛半径.∴1n nn a x在(,)R R 内必收敛.∴1nnn a r发散时，||r R .∴选A.5.若矩阵A 经初等列变换化成B ，则（）A.存在矩阵P ，使得PA =BB.存在矩阵P ，使得BP =AC.存在矩阵P ，使得PB =AD.方程组Ax =0与Bx =0同解5.答案：B 解析：A 经初等列变换化成B.存在可逆矩阵1P使得1AP B 1111A BP P P 令..A BPB 选6.已知直线22211112:x a y b c L a b c 与直线33322222:x a y b c L a b c相交于一点，相交于一点，法法向量,1,2,3.i i i i a a b i c则A.1a 可由23,a a 线性表示B.2a 可由13,a a 线性表示C.3a 可由12,a a 线性表示D.123,,a a a 线性无关6.答案：C 解析：令1L的方程222111=x a y b z c t a b c即有21212121=a a x y b t b t z c c由2L 的方程得32323223=a a x yb t b t zc c由直线1L 与2L 相交得存在t 使2132t t 即312(1)t t ，3 可由12, 线性表示，故应选C.7.设A,B,C 为三个随机事件，且1()()(),()04P A P B P C P AB 1()()12P AC P BC，则A,B,C 中恰有一个事件发生的概率为A.34B.23C.12D.5127.答案：D解析：()()()[()]P ABC P ABUC P A P A BUC ()()()()()()111004126P A P AB AC P A P AB P AC P ABC ()()()[()]()()()()111004126P BAC P B AUC P B P B AUC P B P BA P BC P ABC ()()()[()]()()()()111104121212P CBA P CBUA P C P CU BUA P C P CB P CA P ABC()()()()1115661212P ABC ABC ABC P ABC P ABC P ABC选择D8.设12,,,nX X X…为来自总体X 的简单随机样本，其中1(0)(1),()2P X P X x 表示标准正态分布函数，则利用中心极限定理可得100155i i P X的近似值为A.1(1) B.(1) C.1(2) D.(2)8.答案：B解析：由题意11,24EX DX1001001110050.10025i i i i E X X EX D X DX由中心极限定理1001~(50,25)i i X N∴1001001155555055(1)55i i i i X P X P故选择B二、填空题：9—14小题，每小题2分，共24分。
内蒙古自治区考研数学复习资料典型题型精讲与应用
内蒙古自治区考研数学复习资料典型题型精讲与应用数学是考研的一门重要科目，因此，对于考生来说，复习数学是非常重要的一项任务。
而内蒙古自治区考研数学复习资料中的典型题型则是考生们备考过程中应该重点关注的内容之一。
本文将对内蒙古自治区考研数学复习资料中的典型题型进行精讲，并提供实际应用的方法，帮助考生们更好地备考。
一、高等数学高等数学作为考研数学的基础部分，占据了数学复习的重要位置。
在内蒙古自治区考研数学复习资料中，高等数学的典型题型包括极限、导数、积分等。
以下是对几个典型题型的精讲和应用方法。
1.1 极限极限是高等数学中的重要概念，考生在复习过程中应该熟练掌握常见的极限计算方法和性质。
在解题过程中，可以通过代入法、夹逼准则、洛必达法则等方法进行求解。
同时，要注意掌握不同类型极限的特点和求解思路。
1.2 导数导数作为数学中的重要概念，是解析几何和微积分的基础。
在复习过程中，考生需要熟练掌握导数的计算方法、性质和应用，包括极值、最值、凹凸性、中值定理等。
在解题过程中，要注意运用导数的性质和定理，灵活运用解题思路。
1.3 积分积分作为高等数学中的重要内容，是导数的逆运算，也是解析几何和微积分的重要基础。
在复习过程中，考生需要熟练掌握积分的计算方法和性质，包括不定积分、定积分、换元积分法、分部积分法等。
在解题过程中，要注意掌握积分的基本性质和常见的积分计算技巧。
二、线性代数线性代数是考研数学中的另一门重要科目，也是内蒙古自治区考研数学复习资料中的典型题型之一。
线性代数的典型题型包括矩阵、向量、行列式等。
以下是对几个典型题型的精讲和应用方法。
2.1 矩阵矩阵作为线性代数中的重要内容，是向量运算和线性方程组求解的基础。
在复习过程中，考生需要熟练掌握矩阵的基本运算法则和性质，包括矩阵的加法、乘法、转置等。
在解题过程中，要注意灵活应用矩阵的性质和法则，解决线性方程组和线性变换等相关问题。
2.2 向量向量作为线性代数中的重要概念，是矩阵运算和空间解析几何的基础。
考研数学客观题1500题精析(经典)
个人经验分享：考研复习与考试过程中，科目专业知识繁多，需要接收的知识量非常大，对阅读量要求都非常的高，考试时也要阅读很多字的试题，大家一定要学会提高效率，如果没有学会提高效率，无论是复习还是考试，时间都非常拮据，成功几率很低。
建议平时要学会快速阅读的习惯，一般人每分钟才看200字左右，我们要学会一眼尽量多看几个字，甚至是以行来计算（特别是在阅读大量内容的时候），把我们的速读提高，然后再提高阅读量。
学会快速阅读，在复习过程中效率非常高，在考试过程中也能够节省大量的时间，赢得考试。
在我们一眼多看几个字的时候，还能高度的集中我们的思维，大大的利于归纳总结，养成习惯后，非常利于《政治》《英语》《数学》以及各个专业课的复习、考试。
我在去年有幸学习了快速阅读，以前一个月才能读完的书现在五六天不到就能够读完，主要是复习速度和效率变化非常的明显。
我读本科的成绩不怎么好，考研我妈说我只是碰运气，最后的成绩却比我们班上成绩很好的同学还高，连我自己都有些意想不到，速读记忆的习惯绝对要记头等功。
推荐大家一个训练速读的软件（还有记忆部分，思维导图对提高理科方面的成绩非常的管用），就是去年我用过的那个（刚才看了下好像还出了更优秀的版本了），找了好半天，给大家找到了下载的地址，这里直接给做了个超链接，先按住键盘最左下角的“ctrl”按键不要放开，然后鼠标点击此行文字就可以下载了。
认真练习，练上20小时就够用了，很快就能够看到效果！（也可以进这个地址：/d451-2555-14778kaoyanlt.html ）最后还要补充一点就是，入考场之前的状态吧，宝剑一出谁与争锋，有必胜的把握，舍我其谁的自信。
但绝不是骄傲。
当你看到大纲应该大体想起厚厚的指南，看到指南很快就能总结重点。
可以自己就出一份题。
此时无所谓押题不押题，成功就在手中。
此段是纯粹个人经验分享，可能在多个地方看见，大家读过的就不用再读了，只是希望能和更多的童鞋分享，让大家多走捷径。