03 功和能

v 内力： 内力： பைடு நூலகம்1
B 1
v
v
m1
v f1
v f2
v v v1B v2B
v F 2
v v B v 1 1 v 1 2 2 m1 : ∫ F ⋅ dr1 + ∫ f1 ⋅ dr1 = m1v1B − m1v1A 1 A A 1 1 2 2
v v B2 v 1 v 1 2 2 m2 : ∫ F ⋅ dr2 + ∫ f2 ⋅ dr2 = m2v2B − m2v2A 2 A A 2 2 2 2
m m xg −T = xa L L m m dv dv dx dv xg − µ(L− x) g = m = m a v =m =m L L dt dx dt dx
v m m ∫a [ L xg − µ(L− x) L g]dx = ∫0 mvdv g 2 µg 2 2 v = (L − a ) − (L− a)2 L L x
b a( L)
L
b
A = ∫ （ xdx + Fydy + Fzdz） F
A= ∫
b a( L)
v F cosθ | dr | = ∫
b a( L)
F cosθ ds
注意 （1）功是代数量，且有正负 ）功是代数量， （2）合力的功等于各分力的功的代数和 ）
A= ∫
b a( L)
v v F ⋅ dr
从静止出发,沿 轴正向作直线运动。 从静止出发 沿 x 轴正向作直线运动。 前三秒内该力所作的功. 求: 前三秒内该力所作的功 一维运动可以用标量） 解： （一维运动可以用标量）
v v dx o W＝ F ⋅ dr = ∫ Fdxcos0 = ∫ 12tdx = ∫ 12t dt = ∫ 12tvdt ∫ dt
= mvdv
在质点速度由 v0 变化到 v 的过程中，外力做功为 的过程中，
1 2 1 2 ∴A = ∫ mvdv = mv − mv0 = Ek − Ek0 v0 2 2
合力做的功等于质点始、 注意（1）合力做的功等于质点始、末状态动能的增量 是一个状态量, （2）Ek 是一个状态量, A 是过程量。 是过程量。
五、保守力和非保守力
保守力：做功只与始、末位置有关， 保守力：做功只与始、末位置有关，而与质点所经的路 径无关的力。 径无关的力。
3.3 动能定理
一、质点动能定理
元功 第二定律
v v dA = F ⋅ dr v v dv F =m dt
v
v dv v v v dA = m dr =mv ⋅ dv dt
0 a
y
ρyg ≥ µ0ρ(l − y)g
µ0 ∴y ≥ l 1+ µ0
拉力大于最大静摩擦力时，链条将开始滑动。 拉力大于最大静摩擦力时，链条将开始滑动。
(2) 以整个链条为研究对象，链条在运动过程中各部 以整个链条为研究对象， 分之间相互作用的内力的功之和为零 桌面上的链条所受到的摩擦力为
l-y
B2
∫
B1
A 1
v v F ⋅ dr1 + 1
∫
B2
A2
v v B1 v v B2 v v F2 ⋅ dr2＋ f1 ⋅ dr1 + ∫ f2 ⋅ dr2 ∫
A 1 A2
记作： 记作： W外＋W内＝EKB - EKA
1 1 1 1 2 2 2 2 = ( mv1B＋ m2v2B ) − mv1A＋ m2v2A） （ 1 1 2 2 2 2 v F 1
= ∫80t dx dx =vx = 4t 2 统一变量 dt dx = 4t 2dt
y 16 → 32 m t
2 1
1→2s
A = ∫ 320t3dt =1200
力在单位时间内所做的功） 三、功率（力在单位时间内所做的功） v F 在 ∆t 时间内所做的功为 ∆A 平均功率 瞬时功率
P=
∆A ∆t
量 理 动 定 r r r r I = ∆P = P − P 2 1 n n t2 r r r F dt = ∑mi vi − ∑mi vi 0 ex ∫
t1 i =1 i =1
能 理 动 定 W +W = Ekb − Eka ex in
能 理 功 原
非 W +Win 保守 = E + E0 ex
量 恒 理 动 守 定 r F 当 ex = 0时 r r P = ∑P = 常 量
m
r r
v F
v dr
= 1 d(x2 + y2 + z2 )= 1 dr2 = rdr 2 2
mM 1 1 A= ∫ −G 3 r d r = GmM( − ) ra ( L) r rb ra 结论: 万有引力的功，也是只与始、末位置有关， 结论: 万有引力的功，也是只与始、末位置有关，而与 质点所经的路径无关。 质点所经的路径无关。
（3）动能定律适用于惯性系。 动能定律适用于惯性系。 （4）功和动能依赖于惯性系的选取。 功和动能依赖于惯性系的选取。
力的空间积累效果 二、质点系的动能定理 —力的空间积累效果
两个质点的系统
v F v 1 f2
初速度： 初速度：v1A v2A 末速度： 末速度：
m2
v v 外力： 外力：F F 1 2
1 2 根据动能定理 AP + Af = ρlv − 0 2
2 µρg ρg 2 2 2 v = − (l − a) + (l − a ) 2 ρl 2
2
y dy
y
g 2 2 µg v (l − b ) − (l − b)2 ∴ = l l
2.方法二 方法二
m m T − µ(L− x) g = (L− x) a L L
长为l 的均质链条，部分置于水平面上， 例 长为 的均质链条，部分置于水平面上，另一部分自然下 垂, 已知链条与水平面间静摩擦系数为µ0,滑动摩擦系数 为µ 满足什么条件时，链条将开始滑动？ 求 (1) 满足什么条件时，链条将开始滑动？ (2) 若下垂部分长度为 时，链条自静止 若下垂部分长度为a 开始滑动，当链条末端刚刚滑离桌面时， 开始滑动，当链条末端刚刚滑离桌面时，其 速度等于多少？ 速度等于多少？ 设链条线密度为 解 (1)设链条线密度为ρ，下垂链条长度 y
i n r r ∑mivi = ∑mivi0 i =1 i =1 n
= (Ek + Ep ) − (Ek0 + Ep0 )
械 守 定 机 能 恒 律
非保守 W 当 ex +Win = 0时
E = Ek + Ep = 常 量
3-0 基本教学要求 一、掌握功的概念, 能计算变力的功，理解保守力 掌握功的概念, 能计算变力的功，理解保守力 功的概念 万有引力、 作功的特点及势能的概念，会计算万有引力 作功的特点及势能的概念，会计算万有引力、重力 和弹性力的势能． 和弹性力的势能． 二、掌握动能定理、机械能守恒定律，掌握运用 掌握动能定理、机械能守恒定律，掌握运用 动能定理 能量守恒定律分析力学问题的思想和方法． 能量守恒定律分析力学问题的思想和方法．
Zb Za
= ∫ (−mg)dz = mg(za − zb )
结论: 结论 重力的功只与始、末位置有关，而与质点路径无关。 重力的功只与始、末位置有关，而与质点路径无关。
二、弹性力的功
弹簧弹性力
v F
0
F = −kx
由x1 到x2 路程上弹性力的功为
x
x2
x
A= ∫
结论: 结论
x2 x1
1 2 1 2 − kx dx = kx − kx2 1 2 2
g 2 2 v= (L − a ) − µ(L− a)2 L
=∫
=∫
b a( L)
b a( L)
v v v v (F +F2 +L+ Fn ) ⋅ dr 1
v v F ⋅ dr + ∫ 1
b a( L)
v v F ⋅ dr +L+ ∫ 2
b a( L)
v v F ⋅ dr n
= A + A +L+ A 1 2 n
v v 质量为2 的作用下， 例1. 质量为 kg 的质点在力 F = 12t i (SI)的作用下， 的作用下
第3章 功和能
3.1 功 3.2 几种常见力的功 3.3 动能定理 3.4 势能 机械能守恒定律
我国自制的532 nm 碘稳定固体激光器
牛 动 律 牛 运 定
力 时 的 间 积 效 累 果
量 冲 r t2 r I = ∫ F(t ) dt
t1
的 间 力 空 积 效 累 果
功
B r r W = ∫ F ⋅ dr A
F 12t dv Qa = = = 6t = m 2 dt
∴ ∫ dv = ∫ 6tdt
o 0
3 2 0
v
t
⇒v = 3t 2
3 0
3 ∴W = ∫ 12t ⋅ 3t dt = ∫ 36t 3dt = 9t 4 /0 = 729J
质量为10 kg的质点 的质点, 平面曲线运动, 例2. 质量为10 kg的质点,在外力作用下做 xy 平面曲线运动,该质 v v v 2 点速度为 v = 4 i +16j , 开始时质点位于坐标原点。 开始时质点位于坐标原点。 t 求 在质点从 y = 16 m 到 y = 32 m 的过程中，外力做的功。 的过程中，外力做的功。 r r r r dv 分析 A = ∫ F ⋅ dr F =m dt r r r dv 解 F = m = 80t i A = ∫ 320t3 dt dt r r r r r A = ∫ Fdr = ∫ F(dxi + dyj ) 确定时间的上下限 dy r r r y =16t =vy =16 = ∫80t i ⋅ (dxi + dyj ) dt