(最新整理)人教版数学九年级上册-21.1一元二次方程-优秀课件
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九年级数学人教版(上册)21.1一元二次方程课件
练习
7.关于的方程 2m2 m可x能m1是 一3x元 6二次方程吗？
8.若关于x的一元二次方程 (m 1)x2 的2常x 数m项2 为1 0，0 求m的值是多少？
练习
9.根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一般形式 ①一个长方形的宽比长少3，面积是75，求长方形的长x
②两个连续偶数的积为168，求较小的偶数x
作业布置
7.根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式. （1）4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x. （2）一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长x. （3）一个直角三角形的斜边长为10，两条直角边相差2，求较长的直角边长x.
作业布置
8.已知关于x的方程(m²-1)x²-(m+1)x+m=0． （1）m为何值时，此方程是一元一次方程？ （2）m为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系 数、一次项系数及常数项。
例8.若x=3是方程x2+kx=0的一个根，试求常数k的值？
练习
1. 在下列方程中，一元二次方程的个数是（ ）．
①3x2 ② 7 0 ax③2 bx c 0④ x 2x 5 x2 1
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2. 2 x2m1 是10关x 于m的一0 元二次方程，则m的值应为（ ）
3.下列各数是方程 1 (x2 解 2的) 是 2（ ） 3
A、6 B、2 C、4 D、0
作业布置
4.如果关于x的方程 m 3xm是27关 x于x3的一0 元二次方程，那么m的值为（ ）
A．±3 B．3 C．-3 D．都不对 5.以-2为根的一元二次方程是（ ） A．x²+2x-x=0 B．x²-x-2=0 C．x²+x+2=0 D．x²+x-2=0 6.方程3(x-1)²=5(x+2)的二次项系数________；一次项系数_________；常数项 _________.
人教版九年级数学上21.1一元二次方程1共16张PPT
(1)(m－1)x2＋3x＝5； (2)4xm＋3－x－1＝0. 解：(1)由题意，得 m－1≠0，∴m≠1. (2)∵m＋3＝2，∴m＝－1.
自学检测2一元2 二次方程的一般形式
【例 2】 将方程(8－2x)(5－2x)＝18 化成一元二次方程的 一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．
思路点拨：一元二次方程的一般形式 ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 具有两个特征：(1)方程的右边为 0；(2)左边的二次项系数不能 为 0.注意：写二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常 数项时，不要漏掉其前面的符号．
解：去括号，得 40－16x－10x＋4x2＝18， 移项，得 4x2－26x＋22＝0， 其中二次项系数为 4，一次项系数为－26，常数项为 22.
解：(1)是一元二次方程的有：2x－x2＝3， 5 ＋x2＝3和x ＝27x2；
(2)一元二次方程必须满足四个条件： ①未知数的最高次数是 2； ②二次项系数不为 0； ③是整式方程； ④只含有一个未知数．
1．下列方程：①4x2＝3x；②(x2－2)2＋3x－1＝0；③13x2＋
4x －
3 3
＝
0
第二十一章 一元二次方程
21．1 一元二次方程
二、学习目标
• 1.知道一元二次方程的定义和它的一 般形式；
• 2.会分出二次项系数，一次项系数， 常数项；
• 3.掌握一元二次方程的解的概念。
三、自学指导
• （一）自学课本第2---3页，并完成以下问题 。
1．一元二次方程的概念
次数只是含_有__2____一__个_____未知数，并且未知数项的最高 的___整_式____方程，叫做一元二次方程．
3．把方程 x(2x－1)＝1 化成 ax2＋bx＋c ＝0 的形式，则 a， b，c 的一组值是( A )
自学检测2一元2 二次方程的一般形式
【例 2】 将方程(8－2x)(5－2x)＝18 化成一元二次方程的 一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．
思路点拨：一元二次方程的一般形式 ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 具有两个特征：(1)方程的右边为 0；(2)左边的二次项系数不能 为 0.注意：写二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常 数项时，不要漏掉其前面的符号．
解：去括号，得 40－16x－10x＋4x2＝18， 移项，得 4x2－26x＋22＝0， 其中二次项系数为 4，一次项系数为－26，常数项为 22.
解：(1)是一元二次方程的有：2x－x2＝3， 5 ＋x2＝3和x ＝27x2；
(2)一元二次方程必须满足四个条件： ①未知数的最高次数是 2； ②二次项系数不为 0； ③是整式方程； ④只含有一个未知数．
1．下列方程：①4x2＝3x；②(x2－2)2＋3x－1＝0；③13x2＋
4x －
3 3
＝
0
第二十一章 一元二次方程
21．1 一元二次方程
二、学习目标
• 1.知道一元二次方程的定义和它的一 般形式；
• 2.会分出二次项系数，一次项系数， 常数项；
• 3.掌握一元二次方程的解的概念。
三、自学指导
• （一）自学课本第2---3页，并完成以下问题 。
1．一元二次方程的概念
次数只是含_有__2____一__个_____未知数，并且未知数项的最高 的___整_式____方程，叫做一元二次方程．
3．把方程 x(2x－1)＝1 化成 ax2＋bx＋c ＝0 的形式，则 a， b，c 的一组值是( A )
人教版九年级数学上册21.1《一元二次方程》课件(共23张PPT)
（1）3x(x+2)=4(x-1)+7
（2）(2x+3)2=(x+1)(4x-1)
【解题过程】
解：（1）原方程整理得：3x2+2x-3=0，所以是一元二次方程； 二次项系数是3，一次项系数是2，常数项是-3. （2）原方程整理得：9x+10=0，因此它不是一元二次方程. 【思路点拨】将方程化成一般形式，再根据其一般形式确定它的 二次项系数、一次项系数和常数项.
ax2 bx 0a 0
ax2 c 0a 0
ax2 0a 0
当b=0,c=0时，
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
重点、难点知识★▲
探究一：一元二次方程的概念和一般形式 活动5
问题1：一元一次方程的根是什么？
使一元一次方程成立的未知数的值叫做一元一次 方程的解（或根）.
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
重点、难点知识★▲
探究二：利用一元二次方程的概念解决简单的问题
活动2
一元二次方程的一般形式的应用
21.1 一元二次方程
知识回顾
问题探究
课堂小结
随堂检测
重点、难点知识★▲
探究一：一元二次方程的概念和一般形式 活动1
问题：有一块矩形铁皮,长100cm,宽50cm,在它的四角各切 去一个正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无 盖长方体盒子.如果要制作的无盖长方体盒子底面积为 3600cm² ,那么铁皮各角应切去边长为多少cm的正方形? 请大家根据题目设未知数、列出方程. 设铁皮各角应切去边长为x cm的正方形，由题意知
问题2：类比一元一次方程的根的定义，说一说 一元二次方程的根的概念是什么？
人教版数学九年级上册21.1 一元二次方程课件(共24张PPT)
解：设小道的宽度为x米，得(20－2x)(10－x)＝120整理得x2-要建造一个长10m，宽5m玻璃顶观景亭，如图所示在它的四角建造四个截面为正方形的承重柱. 已知需要用到玻璃的面积为45m2，那么承重柱的宽度多少？
解：设承重柱的宽度为x米，得(10－x)(5-x)＝45整理得x2-15x+5＝0.
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
ax2 称为二次项， a 称为二次项系数， bx 称为一次项， b 称为一次项系数， c 称为常数项.
为什么一般形式 ax2 + bx + c = 0 中要限制 a ≠ 0？b，c 可以为 0 吗？
21.1 一元二次方程
1.能根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程(2022年版课标调整为“能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出一元二次方程”)2.理解一元二次方程的概念及一元二次方程根的意义；3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.
某社区按照“崇尚自然、接近自然、回归自然”的原则，打造独具特色的“幸福林”，要对社区公园景观化进行改造.任务1 打造“郁金香”观赏带为了增加观赏性，要在一个占地面积为10000km2的正方形郁金香观赏园，求郁金香种植园的边长是多少呢？
例1 根据问题列出方程，判断是否为一元二次方程，若是请指出二次项系数，一次项系数和常数项
解：根据题意列方程为4x(x+2)=100去括号化为一般式为x2＋2x-25=0该方程是一元二次方程二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为-25
(2)若公园的长比宽长2，周长为100，求公园边长x;
解：根据题意列方程为2x+(x+2)=100去括号得3x-98=0该方程不是一元二次方程
解：设承重柱的宽度为x米，得(10－x)(5-x)＝45整理得x2-15x+5＝0.
等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
ax2 称为二次项， a 称为二次项系数， bx 称为一次项， b 称为一次项系数， c 称为常数项.
为什么一般形式 ax2 + bx + c = 0 中要限制 a ≠ 0？b，c 可以为 0 吗？
21.1 一元二次方程
1.能根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程(2022年版课标调整为“能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出一元二次方程”)2.理解一元二次方程的概念及一元二次方程根的意义；3.理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.
某社区按照“崇尚自然、接近自然、回归自然”的原则，打造独具特色的“幸福林”，要对社区公园景观化进行改造.任务1 打造“郁金香”观赏带为了增加观赏性，要在一个占地面积为10000km2的正方形郁金香观赏园，求郁金香种植园的边长是多少呢？
例1 根据问题列出方程，判断是否为一元二次方程，若是请指出二次项系数，一次项系数和常数项
解：根据题意列方程为4x(x+2)=100去括号化为一般式为x2＋2x-25=0该方程是一元二次方程二次项系数为1，一次项系数为2，常数项为-25
(2)若公园的长比宽长2，周长为100，求公园边长x;
解：根据题意列方程为2x+(x+2)=100去括号得3x-98=0该方程不是一元二次方程
人教版九年级上册21.1一元二次方程课件
解：当a=1,b≠2时符合题意
（2）此方程是关于x的一元二次方程
解：当a≠1,b是任意实数时符合题意
解：当a= -2时符合题意
三：一元二次方程的解
使方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的 解，一元二次方程的解也叫一元二次方程的根
活动3：
当x取哪些数值时是方程x2+x-12=0的根？
-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4
x=3,x= -4
小试牛刀
你能判断下列等式哪些是一元二次方程， 哪些不是吗？
① 2x+3y=5 ② x2＋3x+2=0
③ 2x2-9x=0
1 x2 3 0 x
④ x(x+2)=11+2(20x-5)
课堂小结
概念：一元二次方程，满足三个条件 1. 是整式方程， 2. 含有一个未知数， 3. 未知数的最高次数是2。
5、已知关于x的方程（m+2）x|m|+3x+m=0 是一元二次方程，求此一元二次方程.
解：由题意有|m|=2且m+2≠0, 那么m=2,
因此关于x的一元二次方程为4x²+3x+2=0.
拓展延伸：如果x=2是方程x2-c=0的一个根，那 么常数c是多少？方程还有其它的根吗？
解：由题意可知方程中x2=c, 当x=2时，常数c=4, 当x=-2时，也有常数c=4， 那么方程应该有两根，分别是x1=2和x2=-2
活动1：
规则：两人一组， 每人编一个表达式，
由同伴判断是不是一元二次方程
辨析 （1）判断：下列表达式中哪些是一元二次方程？ （2） 若是一元二次方程，请指出各项的系数
表达式
一元二次 方程？
二次项
（2）此方程是关于x的一元二次方程
解：当a≠1,b是任意实数时符合题意
解：当a= -2时符合题意
三：一元二次方程的解
使方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的 解，一元二次方程的解也叫一元二次方程的根
活动3：
当x取哪些数值时是方程x2+x-12=0的根？
-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4
x=3,x= -4
小试牛刀
你能判断下列等式哪些是一元二次方程， 哪些不是吗？
① 2x+3y=5 ② x2＋3x+2=0
③ 2x2-9x=0
1 x2 3 0 x
④ x(x+2)=11+2(20x-5)
课堂小结
概念：一元二次方程，满足三个条件 1. 是整式方程， 2. 含有一个未知数， 3. 未知数的最高次数是2。
5、已知关于x的方程（m+2）x|m|+3x+m=0 是一元二次方程，求此一元二次方程.
解：由题意有|m|=2且m+2≠0, 那么m=2,
因此关于x的一元二次方程为4x²+3x+2=0.
拓展延伸：如果x=2是方程x2-c=0的一个根，那 么常数c是多少？方程还有其它的根吗？
解：由题意可知方程中x2=c, 当x=2时，常数c=4, 当x=-2时，也有常数c=4， 那么方程应该有两根，分别是x1=2和x2=-2
活动1：
规则：两人一组， 每人编一个表达式，
由同伴判断是不是一元二次方程
辨析 （1）判断：下列表达式中哪些是一元二次方程？ （2） 若是一元二次方程，请指出各项的系数
表达式
一元二次 方程？
二次项
人教版九年级数学上册21.1 一元二次方程一等奖优秀课件
x
（100－2x）（50－2x）=3600.
整理，得
4x2－300x+1400=0.
化简，得
x2－75x+350=0 .
②
由方程②可以得出所切正方形的具体尺寸．
问题3: 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要 比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每 天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？
一元二次方程的概念
• 像这样的等号两边都是整式, 只含有 一个未知数(一元)，并且未知数的最 高次数是2(二次)的方程叫做一元二次 方程。 即：一元二次方程的共同特点: ① 只含一个未知数;
②未知数的最高次数是2. ③ 都是整式方程;
牛刀小试
判断下列方程是否为一元二次方程？
(1) 1 x2 0 (3) 9x2 5 4x
念，并能解决相关问题
要设计一座2m高的人体雕像，修雕像的 上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度 比，等于下部与全部的高度比，雕像的下 部应设计为多高？
A
雕像上部的高度AC，下部的高度BC应有如下关系：
C 2cm
AC = BC BC 2
BC2 =2AC
设雕像下部高xm，于是得方程
B
x2=2(2－x)
由上面三个问题，我们可以得到三个方程：
x2＋2x－4=0
x2 x 56
x2 75x 350 0
观察思考：1、联系我们以前学过的一元一次 方程和分式方程说说上述三个方程有什么共同
特点？
2、和以前所学的方程比较它们叫什么方程？ 请定义。
特点: ①只含一个未知数; ②未知数的最高次数是2. ③都是整式方程;
移项，合并同类项，得一元二次方程的一 般形式：
九年级数学上册人教版(课件)：21.1 一元二次方程1
• 1) x2 36 0
• 2) x2 36 0
• 3) (x 6)2 0
随堂练习
1.当m＝
时，方程x2＋(m＋1)x＋m＋1＝０
1.x(5x-2)=x(x+1)+4x2 2. 7x2+6=2x(3x+1)
3.
1 2
x2
7
5 . 2x2=5y
4. 6x2=x 6. -x2=0
一元一次方程与一元二次方程有什么区别与联系？
一般式 相同点 不同点
一元一次方程
一元二次方程
ax=b (a≠0）
ax2+bx+c=0 (a≠0）
整式方程，只含有一个未知数
整理得 x2 2x 4 0
?
问题(2) 有一块矩形铁皮,长100㎝,宽50㎝,在
它的四角各切去一个正方形,然后将四周突出部 分折起,就能制作一个无盖方盒,如果要制作的方 盒的底面积为3600平方厘米,那么铁皮各角应切 去多大的正方形?
分析:
设切去的正方形的边长为xcm,
则盒底的长为 (100-2x)cm ,宽
x2 x 56 0 5x2＋10x－2.2=0.
这四个方程都不是一元一次方程.那么这两个 方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么 共同特点呢？
特点: ①都是整式方程(方程两边的分母中不 能含有未知数）; ②只含一个未知数;
③未知数的最高次数是2.
一元二次方程的概念
• 像这样的等号两边都是整式, 只含有 一个未知数(一元)，并且未知数的最 高次数是2(二次)的方程叫做一元二次 方程（必须满足三个特征）
（3)指出一元二次方程各项系数时，不要漏掉前面的符 号
?
• 2) x2 36 0
• 3) (x 6)2 0
随堂练习
1.当m＝
时，方程x2＋(m＋1)x＋m＋1＝０
1.x(5x-2)=x(x+1)+4x2 2. 7x2+6=2x(3x+1)
3.
1 2
x2
7
5 . 2x2=5y
4. 6x2=x 6. -x2=0
一元一次方程与一元二次方程有什么区别与联系？
一般式 相同点 不同点
一元一次方程
一元二次方程
ax=b (a≠0）
ax2+bx+c=0 (a≠0）
整式方程，只含有一个未知数
整理得 x2 2x 4 0
?
问题(2) 有一块矩形铁皮,长100㎝,宽50㎝,在
它的四角各切去一个正方形,然后将四周突出部 分折起,就能制作一个无盖方盒,如果要制作的方 盒的底面积为3600平方厘米,那么铁皮各角应切 去多大的正方形?
分析:
设切去的正方形的边长为xcm,
则盒底的长为 (100-2x)cm ,宽
x2 x 56 0 5x2＋10x－2.2=0.
这四个方程都不是一元一次方程.那么这两个 方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么 共同特点呢？
特点: ①都是整式方程(方程两边的分母中不 能含有未知数）; ②只含一个未知数;
③未知数的最高次数是2.
一元二次方程的概念
• 像这样的等号两边都是整式, 只含有 一个未知数(一元)，并且未知数的最 高次数是2(二次)的方程叫做一元二次 方程（必须满足三个特征）
（3)指出一元二次方程各项系数时，不要漏掉前面的符 号
?
人教版九年级数学上册21.1一元二次方程课件(共19张)
分析: 全部比赛共
4×7=28场
设应邀请x个队参赛,每个队要与其他 (x-1) 个队各赛1场,
由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛
是同一场比赛,所以全部比赛共 1 x(x 1) 28 场. 2
即 x2 x 56
新知探究
方程① ② ③有什么特点？ x2＋2x－4=0 ①
x2－75x+350=0 ②
(4)x(x 1) 2 x2
(5)a2 1 0 a
(6)(m 2)2 1
是一元二次方程的有： (1) (6)
巩固练习
2.将方程（3x-2）(x+1)=8x-3 化为一元二次方程的一般情势， 并写出二次项系数、一次项系数及常数项.
解：去括号，得 3x2+3x-2x-2=8x-3
移项，合并同类项得 3x2-7x+1=0
知数的最高次数是2(二次)的方程叫做一元二次方程.
1 x2
10x 900
0是一元二次方程吗？
新知探究
一元二次方程的一般情势
一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以
化为ax2 bx c 0 的情势,我们把 ax2 bx c 0
(a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般情势. 想一想
区分与联系？
一元一次方程
一元二次方程
一般式 相同点 不同点
ax=b (a≠0）
ax2+bx+c=0 (a≠0）
整式方程，只含有一个未知数
未知数最高次数是1
未知数最高次数是2
新知探究
例: 将方程3x(x－1)=5(x+2)化成一元二次方程的一般 情势，并写出其中的二次项系数，一次项系数及常数项．
解：去括号，得 3x2－3x=5x+10.
人教版数学九年级上册21.1一元二次方程课件
这种情势叫做一元二次方程的一般情势．
其中——是二次项，——是二次项系数；—— 是一次项，——是一次项系数；——是常数 项．
3.判断下列方程是否为一元二次方程？
(1)x2+x =36
(2) x3+ x2=36
(3)x+3y=36
(4)
1 x2
2 x
0
(5) x+1=0
4.把下列方程化成一元二次方程的一般情势， 并写出它的二次项系数，一次项系数和常数 项。
3)若4a 2b c 0,则一元二次方程
ax2 bx c 0必有一解为 2.
4)根据下表的对应值, 试判断一元二次
方程ax2 bx c 0的一解的范围是C
x
3.23
ax2 bx c -0.06
3.24 -0.02
3.25 0.03
3.26 0.07
A 3＜x ＜3.23
B 3.23＜x ＜3.24
21.1一元二次方程
•一元二次方程的概念
揭示目标
1.一元二次方程的概念
2、一元二次方程的一般情势 3、一元二次方程的解或一元二次方程的根
预习检测
1.什么是一元二次方程？
(1)方程的两边都是整式， (2)方程中只含有一个未知数， (3)并且未知数的最高次数是2.
2.一般地，任何一个关于x的一元二 次方程，经过整理，都能化成如下情势
解：当a≠2时是一元二次方程； 当a＝2，b≠0时是一元一次方程；
变式
关于x的方程(m2-9) x2+(m-3) x +5m-1=0，
(1)当m取何值时是一元二次方程？
m ≠±3
(2)当m取何值时是一元一次方程？
m =-3
其中——是二次项，——是二次项系数；—— 是一次项，——是一次项系数；——是常数 项．
3.判断下列方程是否为一元二次方程？
(1)x2+x =36
(2) x3+ x2=36
(3)x+3y=36
(4)
1 x2
2 x
0
(5) x+1=0
4.把下列方程化成一元二次方程的一般情势， 并写出它的二次项系数，一次项系数和常数 项。
3)若4a 2b c 0,则一元二次方程
ax2 bx c 0必有一解为 2.
4)根据下表的对应值, 试判断一元二次
方程ax2 bx c 0的一解的范围是C
x
3.23
ax2 bx c -0.06
3.24 -0.02
3.25 0.03
3.26 0.07
A 3＜x ＜3.23
B 3.23＜x ＜3.24
21.1一元二次方程
•一元二次方程的概念
揭示目标
1.一元二次方程的概念
2、一元二次方程的一般情势 3、一元二次方程的解或一元二次方程的根
预习检测
1.什么是一元二次方程？
(1)方程的两边都是整式， (2)方程中只含有一个未知数， (3)并且未知数的最高次数是2.
2.一般地，任何一个关于x的一元二 次方程，经过整理，都能化成如下情势
解：当a≠2时是一元二次方程； 当a＝2，b≠0时是一元一次方程；
变式
关于x的方程(m2-9) x2+(m-3) x +5m-1=0，
(1)当m取何值时是一元二次方程？
m ≠±3
(2)当m取何值时是一元一次方程？
m =-3
新人教版数学九上21.1 一元二次方程精品公开课优质课PPT课件
3
-2
1
4x2 5
4x2 5 0
4
0
-5
(2 x)(3x 4) 3 3x2 2x 5 0 3
-2
-5
3.关于x的方程(k2－1)x2 ＋ 2 (k－1) x ＋ 2k ＋ 2＝0,
当k ≠±1 时，是一元二次方程． 当k ＝－1 时，是一元一次方程．
4.已知方程5x²+mx-6=0的一个根为4，则ｍ的值 为_______．
少了限制条件 a≠0
提示 判断一个方程是不是一元二次方程，首先看是不 是整式方程；如是再进一步化简整理后再作判断.
判断下列方程是否为一元二次方程？
(1) x2+ x=36
(2) x3+ x2=36
(3)x+3y=36
(4)
1 x2
2 x
0
(5) x+1=0
x 2
(6) 6 3
整理，得 x2 2500 0 ①
200cm
(2) 如图，据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量 为75万辆，两年后增加到108万辆.求该市两年来汽车拥 有量的年平均增长率x应满足的方程.
解：该市两年来汽车拥有量的 年平均增长率为x 根据题意有，
751 x2 108
整理，得 25x2 50x 11 0 ②
(7)4x2 1 (2x 3)2
(8)( x )2 2 x 6 0
例2:a为何值时，下列方程为一元二次方程？
(1)ax2－x=2x2 (2) (a－1)x |a|+1 －2x－7=0.
解：(1)将方程式转化为一般形式，得(a-2)x2-x=0, 所以当a-2≠0，即a≠2时，原方程是一元二次方程； (2)由∣a ∣+1 =2，且a-1 ≠0知，当a=-1时，原方 程是一元二次方程.
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少了限制
化简整理成x2-3x+2=0
条件a≠0
巩固练习
21.1 一元二次方程/
变式题1 判断下列方程是否为一元二次方程？
(1) x2+ x=36 (3) x+3y=36 (5) x+1=0 (7) 4x2 1 (2x 3)2
(2) x3+ x2=36
12
(4)x2 x 0
(6)
x2 3
C
2m
整理，得
x2+2x-4=0
【思考】上述所列的方程与我们以前学习的方程
B
一样吗？这种方程与以前学习的方程有哪些联系？
素养目标
21.1 一元二次方程/
3.理解一元二次方程解（根）的概念，并能 解决相关问题. 2.灵活应用一元二次方程概念解决有关问题.
1.理解一元二次方程的概念，根据一元二 次方程的一般形式，确定各项系数.
（2）当a=2 且 b ≠0 时是一元一次方程.
探究新知
21.1 一元二次方程/
【思考】一元一次方程与一元二次方程有什 么区别与联系？
一元一次方程
一元二次方程
一般式 Ax+b=0 (a≠0）
ax2+bx+c=0 (a≠0）
相同点 整式方程，只含有一个未知数 不同点 未知数最高次数是1 未知数最高次数是2
(2)由∣a ∣+1 =2，且a-1 ≠0知，当a=-1时，原 方程是一元二次方程.
巩固练习
21.1 一元二次方程/
变式题2 方程(2a-4)x2－2bx+a=0.
（1）在什么条件下此方程为一元二次方程？
（2）在什么条件下此方程为一元一次方程？
解：（1）当 2a-4≠0，即a ≠2 时是一元二次 方程.
问题2 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要
比赛一场.根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天， 每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？
【分析】设应邀请x个队参赛，每个队要与其他(x-1)个队
各比赛一场，因为甲对乙与乙对甲是同一场比赛，所以全部
比赛 1 x（x-1）场。
2 可列方程 1
2 x（x-1）=7×4
整理，得
x2-x=56
探究新知
21.1 一元二次方程/
【思考】x2-75x+350=0和x2-x-56=0这两个 方程都不是一元一次方程.那么这两个方程 与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么 共同特点呢？
区 别 未知数最
高次数为2
特 （1）这两个方程的两边都是整式； 点 （2）都只含一个未知数x；
【结论】只要满足a≠0，a,b,c可以为任意实数.
探究新知
21.1 一元二次方程/
素养考点 1 一元二次方程的识别
含两个未知数
例1 下列选项中，关于x的一元二次方程的是（ C）
1 不是整式方程
A. x2+ x2=0
B. 3x2-5xy+y2=0
C.（x-1）（x-2）=0
D. ax2+bx+c=0
1
【想一想】 x2
-10x-900=0是一元二次方程吗？
【分析】不是。等号左边含有分式；化简整理后，未
知数的最高次数为3次。
探究新知
21.1 一元二次方程/
一元二次方程的一般形式
一般地,任何一个关于x 的一元二次方程，经 过整理，都可以化为 ax2+bx+c=0 的形式,我们把 ax2+bx+c=0 (a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方 程的一般形式. 其中ax2是二次项，a是二次项系 数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项.
探究新知
21.1 一元二次方程/
一元二次方程的一般形式
二次项
一次项
a x 2 + b x + c = 0 (a ≠ 0)
二次项系数
一次项系数
探究新知
21.1 一元二次方程/
【思考】为什么要限制a≠0，b,c可以为零吗？
当a=0时，ax2+bx+c=0 bx+c=0（一元一次方程）
当a≠0，b=0时，ax2+bx+c=0 ax2+c=0 一元 当a≠0，c=0时，ax2+bx+c=0 ax2+bx=0 二次 当a≠0，b=0,c=0时，ax2+bx+c=0 ax2=0 方程
（3）它们的未知数的最高次数都是 2 次的.
探究新知
21.1 一元二次方程/
一元二次方程的概念
像上述两个方程式这样的等号两边都是整 式, 只含有一个未知数(一元)，并且未知数的 最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程 （必须满足三个特征）.
探究新知
21.1 一元二次方程/
一元二次方程的概念
九年级数学上册
21.1 一元二次方程/
21.1 一元二次方程
导入新知
21.1 一元二次方程/
【想一想】要设计一座2m高的人体雕像（如左下图所示）， 要求雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于 下部与全部的高度比，雕像的下部应设计为多高？
A
设雕像下部高x m，依题意得方程
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x2=2(2-x)
3x2-8x-10=0
其中二次项系数是3，一次项系数是-8，常数项是-10.
21.1 一元二次方程/
【分析】 设切去的正方形的边长为x cm,
x
则盒底的长为(100-2x)cm ,宽为 (50-2x)cm.
50㎝ 根据方盒的底面积为3600cm2,得
3600cm2
（100-2x）（50-2x）=3600
整理，得
100㎝
x2-75x+350=0
探究新知
21.1 一元二次方程/
6
(8)( x)2 2 x 6 0
探究新知
21.1 一元二次方程/
素养考点 2 利用一元二次方程的定义求字母的值
例2 a为何值时，下列方程为一元二次方程？
(1)ax2-x=2x2
(2) (a－1)x |a|+1 －2x－7=0.
解：(1)将方程转化为一般形式，得(a-2)x2x=0,当a-2≠0，即a≠2时，原方程是一元二次方程；
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21.1 一元二次方程/
知识点 1 一元二次方程的概念
问题1 有一块矩形铁皮,长100㎝,宽50㎝,在它的四角各切去一
个正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒,
如果要制作的方盒的底面积为3600平
方厘米,那么铁皮各角应切去多大的 50㎝ 正方形?
3600cm2
100㎝
探究新知
探究新知
21.1 一元二次方程/
素养考点 3 一元二次方程一般形式的有关概念
例3 将方程 3x（x-1）=5（x+2）化成一元二次
方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次
项系数和常数项. 解： 去括号，得 3x2-3x=5x+10
整理，得
二次项、二次 项系数、一次项、 一次项系数、常数 项都是包括符号的