【精品】最新人教版高中数学必修2同步教学课件★2.2 直线,平面平行的判定及其性质
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人教版高中数学必修2《直线与平面平行》PPT课件
D′
P
F α
E B′
C′ C
AC外，所以EF//平面AC．
A
B
显然， BE，CF都与平面AC相交．
例题 如图，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，
M，N分别是AB、PC的中点，平面PAD∩平面PBC=l．
（1）求证：l//BC； （2）MN与平面APD是否平行？ 试证明你的结论．
Pl N
D
C
又 MN平面PAD，AE平面PAD， D
C
∴ MN//平面PAD．
A
M
B
1.如图，在长方体ABCD-A′B′C′D′中，
（1）与AB平行的平面是
；
D′
（2）与AA′平行的平面是 （3）与AD平行的平面是
； A′ ．
线线平行
线面平行
D
在长方体中找到与已知直线 A 平行的直线有哪些？
C′ B′
C B
1.如图，在长方体ABCD-A′B′C′D′中，
解析：“×”
b Pa
α
3.判断下列命题，正确的打“√”，错误的打“×”．
（4）如果直线a，b和平面α满足a//b，a//α， b ， 那么， b//α．
解析：“√”
b
a
α
3.判断下列命题，正确的打“√”，错误的打“×”．
（1）如果直线a//b，那么a平行于经过b的任何平面． （2）如果直线a和平面α满足a//α，那么a与α内的任
请同学们考虑用图形语言和符号语言如何
表示定理？
βa
α
b
它可以用符号表示：
a//，a ，
= b a//b
直线与平面平行的性质定理揭示了直线与 平面平行中蕴含着直线与直线平行，这也给出 了一种作平行线的方法．
高中数学必修2课件：2.2.1《直线与平面平行的判定》课件
练习：
（1）直线 a∥平面α，平面α内有 n 条互相平行的直线，
那么这 n 条直线和直线 a ( C )
（A）全平行
（B）全异面
（C）全平行或全异面 （D）不全平行也不全异面
（2）直线 a∥平面α，平面α内有无数条直线 交于 一点，那
么这无数条直线中与直线 a 平行的（ B ）
（A）至少有一条
（B）至多有一条
（1）定义法：直线与平面没有公共点则线面平行；
（2）判定定理：（线线平行 线面平行）；
a
b
a
//
a // b
2.用定理证明线面平行时,在寻找平行直线可
以通过三角形的中位线、梯形的中位线、平 行线的判定等来完成。
D：能力提高
例2：一木块如图所示，点P在平面VAC
内，过点P将木块锯开，使截面平行于直
E、F分别是 AB，AD的中点. E
D
求证：EF∥平面BCD.
B
证明：连结BD.
∵AE=EB,AF=FD
∴EF∥BD（三角形中位线性质）
EF 平面BCD
BD 平面BCD EF//平面BCD
FE//BD
变式1:
1.如图，在空间四边形ABCD中，E、F分
别为AB、AD上的点，若
AE EB
AF FD
D1 A1
C1 B1
D A
C B
巩固练习:
2.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为DD1的中 点，求证:BD1//平面AEC.
分析：要证BD1//平面 AEC即要在平面AEC内找
A1
D1
一条直线与BD1平行.根据
E
已知条件应该怎样考虑辅
C1 B1
人教版高中数学必修二第二章2.2.1直线和平面平行的判定课件
2.2.1 直线和平面平行的判定
一、复习引入：直线与平面的位置关系
1.空间直线与平面的位置关系有哪几种?
直线 a 在平面内
a
a
无数个公共点
直线 a 与平面相交
a
A
直线 a 与平面平行
a
a∩=Aa ຫໍສະໝຸດ / 一个公共点0个公共点
二、实例探究
感受校园生活中线面平行的例子
球场地面
电棒所在的直线与天花板所在的平面
2、简记：线线平行，则线面平行。
3、定理告知我们：要证线面平行，得在面内找一条线，
使线线平行。
四、定理应用
例1 求证：空间四边形相邻两边中点的连线平行于 经过另外两边所在的平面
符号语言：
A
已知：空间四边形ABCD中，
E，F分别是AB，DA的中点。 求证：EF//平面BCD
E
F
D B
C
规范答题参考
例1 求证：空间四边形相邻两边中点的连线平
行于经过另外两边所在的平面．
已知：空间四边形ABCD中，E，F分别AB，AD的
A
中点．
求证：EF//平面BCD．
证明：连接BD. 因为 AE=EB ， AF=FD，
F E
D
所以 EF//BD（三角形中位线的性质）
B
C
因为 EF 平面BCD, BD 平面BCD
可设a P,设a与b确定的平面为，
b
则根据平面性质3，
α
P一定在交线上，即P b，与a // b矛盾，
所以，假设不成立，原命题成立。
三、抽象概括
直线与平面平行的判定定理：
平面外的一条直线与此平面内的一条
直线平行，则该直线与此平面平行 。
一、复习引入：直线与平面的位置关系
1.空间直线与平面的位置关系有哪几种?
直线 a 在平面内
a
a
无数个公共点
直线 a 与平面相交
a
A
直线 a 与平面平行
a
a∩=Aa ຫໍສະໝຸດ / 一个公共点0个公共点
二、实例探究
感受校园生活中线面平行的例子
球场地面
电棒所在的直线与天花板所在的平面
2、简记：线线平行，则线面平行。
3、定理告知我们：要证线面平行，得在面内找一条线，
使线线平行。
四、定理应用
例1 求证：空间四边形相邻两边中点的连线平行于 经过另外两边所在的平面
符号语言：
A
已知：空间四边形ABCD中，
E，F分别是AB，DA的中点。 求证：EF//平面BCD
E
F
D B
C
规范答题参考
例1 求证：空间四边形相邻两边中点的连线平
行于经过另外两边所在的平面．
已知：空间四边形ABCD中，E，F分别AB，AD的
A
中点．
求证：EF//平面BCD．
证明：连接BD. 因为 AE=EB ， AF=FD，
F E
D
所以 EF//BD（三角形中位线的性质）
B
C
因为 EF 平面BCD, BD 平面BCD
可设a P,设a与b确定的平面为，
b
则根据平面性质3，
α
P一定在交线上，即P b，与a // b矛盾，
所以，假设不成立，原命题成立。
三、抽象概括
直线与平面平行的判定定理：
平面外的一条直线与此平面内的一条
直线平行，则该直线与此平面平行 。
「精品」高中数学必修二《2.2.3直线与平面平行》课件-精品课件
M
G
D
C
HO
A
B
2.已知直线a,b和平面α，下列命 题正确的是（ D）
A.若a // ,b ,则a // b B.若a // ,b // ,则a // b C.若a // b,b ,则a // D.若a // b, a // ,则b // 或b
填空：
平行或异面
e
l
cd
b
直线a∥平面α，α内一定有直线与a平行。 你能快速地找出
一条，且有理由保证它与a平行吗？
a
β
b
直线与平面平行的性质定理：
一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平 面与这个平面的交线与该直线平行。Zxx k
符号表示： a // , a , b
作用： 可证明两直线平行。
m ∩ γ =m, ß ∩ γ =n,且l// m
求证： n// l ，n// m
例题示范
例1：有一块木料如图，已知棱BC平行于面A′C′ (1)要经过木料表面A′B′C′D′ 内的一点P和棱BC将木料锯开，
应怎样画线？ (2)所画的线和面AC有什么关系？
解：（1）过点P作EF∥B’C’，分别
交棱A’B’，C’D’于点E，F。连接
作业 . P是正方形ABCD 所在平面外一点，M,N
是 AB, PC 的中点，
l 是面 PAD 与面 PBC 的交线， （1）求证：BC // l （2）求证：MN // 面PAD.
P
N
D
C
A MB
练习：
1、已知ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD
外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，
画出过G和AP的平面。Zxx k P
高中数学人教版：2.2.1直线与平面平行的判定新人教A版必修2(共24张PPT)
平行，则这两个平面平行． 已知:
求证:
证明：用反证法证明．
假设
．
同理
这与题设 和 是相交直线是矛盾的．
17
归纳结论
二、平面与平面平行的判定定理：
(1)如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，
则这两个平面平行 .
(2)符号表示：
ba
P
①内 a , b
②交 a b P
//
③平行 a //, b //
的无数条直线
3.直线a // b,b ,则a与的位置关系是 a
A.a //
B.a与相交
C.a与不相交 D.a
b
9
例1 求证：空间四边形相邻两边中点的连线平行于 经过另外两边所在的平面．
已知：空间四边形ABCD中， E，F分别AB，AD的中点．
求证：EF//平面BCD． 证明：连接BD.
因为 AE=EB,AF=FD, 所以 EF//BD
于另一个平面
线线平行
线面平行
面面平行
19
定理的理解:
1.判断下列命题是否正确，正确的说明理由，错误的 举例说明：
（1）已知平面 , 和直线m, n ，
若 m , n , m // , n // ，则 // 错误
（2）一个平面 内两条不平行的直线都平行于另
一平面 ，则 //
正确
b
a
m n
a
3
将一本书平放在桌面上，翻动书的硬皮封面，封 面边缘AB所在直线与桌面所在平面具有什么样的位 置关系？
A
A
4
探究：直线与平面平行的判定定理
思考1：如果直线a与平面α内的一条直 线b平行，则直线a与平面α一定平行吗？
求证:
证明：用反证法证明．
假设
．
同理
这与题设 和 是相交直线是矛盾的．
17
归纳结论
二、平面与平面平行的判定定理：
(1)如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，
则这两个平面平行 .
(2)符号表示：
ba
P
①内 a , b
②交 a b P
//
③平行 a //, b //
的无数条直线
3.直线a // b,b ,则a与的位置关系是 a
A.a //
B.a与相交
C.a与不相交 D.a
b
9
例1 求证：空间四边形相邻两边中点的连线平行于 经过另外两边所在的平面．
已知：空间四边形ABCD中， E，F分别AB，AD的中点．
求证：EF//平面BCD． 证明：连接BD.
因为 AE=EB,AF=FD, 所以 EF//BD
于另一个平面
线线平行
线面平行
面面平行
19
定理的理解:
1.判断下列命题是否正确，正确的说明理由，错误的 举例说明：
（1）已知平面 , 和直线m, n ，
若 m , n , m // , n // ，则 // 错误
（2）一个平面 内两条不平行的直线都平行于另
一平面 ，则 //
正确
b
a
m n
a
3
将一本书平放在桌面上，翻动书的硬皮封面，封 面边缘AB所在直线与桌面所在平面具有什么样的位 置关系？
A
A
4
探究：直线与平面平行的判定定理
思考1：如果直线a与平面α内的一条直 线b平行，则直线a与平面α一定平行吗？
高中数学人教A版必修二2.2.1《直线与平面平行的判定 平面与平面平行的判定》ppt课件
1. 直线与平面平行的判定； 2. 平面与平面平行的判定； 3. 空间中直线、平面间的平行判定维度
转化关系 线域平行 线面平行 面面平行
[家庭作业]
《考间标》P34-P36
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
2019/8/29
最新中小学教学课件
17
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的 内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。
2019/8/29
最新中小学教学课件
16
谢谢欣赏！
① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题，有的要求回答，有的则是自问自答。一般来说，老师在课堂上提出的问 题都是学习中的关键，若能抓住老师提出的问题深入思考，就可以抓住老师的思路。
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知识 逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
教材研读
A. 研读教材P54-P55
5. 自我检测 P55练习T1, P56练习T2
B. 研读教材P56-P57 1. 判定平面与平面平行的方法
B. 研读教材P56-P57
2. 平面与平面平行判定体现了“线面” 维度间怎样的联系？
B. 研读教材P56-P57 3. 平面与平面平行判定定理能否改写成
a, b, a//, b////？
转化关系 线域平行 线面平行 面面平行
[家庭作业]
《考间标》P34-P36
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
2019/8/29
最新中小学教学课件
17
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的 内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。
2019/8/29
最新中小学教学课件
16
谢谢欣赏！
① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题，有的要求回答，有的则是自问自答。一般来说，老师在课堂上提出的问 题都是学习中的关键，若能抓住老师提出的问题深入思考，就可以抓住老师的思路。
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知识 逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
教材研读
A. 研读教材P54-P55
5. 自我检测 P55练习T1, P56练习T2
B. 研读教材P56-P57 1. 判定平面与平面平行的方法
B. 研读教材P56-P57
2. 平面与平面平行判定体现了“线面” 维度间怎样的联系？
B. 研读教材P56-P57 3. 平面与平面平行判定定理能否改写成
a, b, a//, b////？
高一数学 人教A版必修2 第二章 2.2.1、2直线与平面平行、平面与平面平行的判定 课件
(1)直线EG∥平面BDD1B1；
证明 如图，连接SB.
∵点E，G分别是BC，SC的中点，
∴EG∥SB.
又∵SB⊂平面BDD1B1，EG⊄平面BDD1B1，
∴EG∥平面BDD1B1.
证明
(2)平面EFG∥平面BDD1B1. 证明 连接SD. ∵点F，G分别是DC，SC的中点， ∴FG∥SD. 又∵SD⊂平面BDD1B1，FG⊄平面BDD1B1， ∴FG∥平面BDD1B1. 又EG∥平面BDD1B1， 且EG⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，EG∩FG＝G， ∴平面EFG∥平面BDD1B1.
证明
反思与感悟 解决线面平行与面面平行的综合问题的策略 (1)立体几何中常见的平行关系是线线平行、线面平行和面面平行，这三 种平行关系不是孤立的，而是相互联系、相互转化的. (2) 线线平行 ―判――定―→ 线面平行 ―判――定―→ 面面平行
所以平行关系的综合问题的解决必须灵活运用三种平行关系的判定定理.
第二章 §2.2 直线、平面平行的判 定及其性质
2.2.2 平面与平面平行的判定
学习目标
1.通过直观感知、操作确认，归纳出平面与平面平行的判定定理. 2.掌握平面与平面平行的判定定理，并能初步利用定理解决问题.
问题导学
知识点 平面与平面平行的判定定理
思考1 三角板的两条边所在直线分别与平面α平行，这个三角板所在平 面与平面α平行吗？ 答案 平行.
证明
Байду номын сангаас
命题角度2 以柱体为背景证明线面平行 例3 在三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是棱BC，CC1的中点，在线 段AB上是否存在一点M，使直线DE∥平面A1MC？请证明你的结论.
解答
引申探究 将本例改为在三棱柱ABC－A1B1C1中，若M为AB的中点， 求证：BC1∥平面A1CM. 证明 如图，连接AC1交A1C于点F， 则F为AC1的中点. 又因为M是AB的中点，连接MF， 所以BC1∥MF. 因为MF⊂平面A1CM，BC1⊄平面A1CM， 所以BC1∥平面A1CM.
新课标高中数学人教A版必修二全册课件2 .2.1、2.2.2直线与平面平行、平面与平面平行的判定
(1) 这两条直线共面吗？ (2) 直线 a与平面 相交吗？
a
b
直线与平面平行的判定定理：
直线与平面平行的判定定理：
平面外嘚一条直线与此平面内嘚一 条直线平行，则该直线与此平面平行.
直线与平面平行的判定定理：
平面外嘚一条直线与此平面内嘚一 条直线平行，则该直线与此平面平行.
a
b
直线与平面平行的判定定理：
， AE AF
EB FD
___E__F_/_/_平__面__B_C__D_.
A
F
E
D
B
C
变式2
2. 如图，四棱锥A—DBCE中，O为底面 正方形DBCE对角线嘚交点，F为AE嘚 中点. 求证: AB//平面DCF.
A F
D
E
O
B
C
变式2
2. 如图，四棱锥A—DBCE中，O为底面 正方形DBCE对角线嘚交点，F为AE嘚 中点. 求证: AB//平面DCF.
(3)与直线AA1平行嘚 平面是:
平面BC1和 平面DC1
D1
A1 D
A
C1
B1 C
B
定理嘚应用
例1. 如图，空间四边形ABCD中，E、F 分别是AB，AD嘚中点. 求证：EF∥平面BCD.
A
F
E
D
B
C
定理嘚应用
例1. 如图，空间四边形ABCD中，E、F
分别是AB，AD嘚中点.
求证：EF∥平面BCD.
分析:
A F
D
E
O
B
C
变式2
2. 如图，四棱锥A—DBCE中，O为底面 正方形DBCE对角线嘚交点，F为AE嘚 中点. 求证: AB//平面DCF.
数学必修2(人教A版)2.2.1直线与平面平行的判定和2.2.2平面与平面平行的判定公开课教学课件 (共23张PPT)
AD1 平面AB1D1
AD1 D1B D1
平面AB1D1 // 平面C1DB
1．证明直线与平面平行、平面与平面平行的方法： （1）利用定义：没有公共点。
（2）利用判定定理．
线线平行 线面平行 线面平行
面面平行
2．数学思想方法：转化的思想 空间问题 平面问题
小测：
如图，正方体ABCD – A1B1C1D1 中，M，N，E， F分别是棱A1B1，A1D1， B1C1，C1D1的中点.
④若 内有一条直线 平行，则 与 平行
a 与平面
×
a
命题错误
a
a //
a
a
（两平面平行）
（两平面相交）
b 与平面 ⑤若 内有两条直线 a ， 平行，则 与 平行
a // b
a
a∩b=P
a
b
b
b
P
a
（两平面平行） （两平面相交） （两平面平行） 两 种 情 况 命题错误 唯 一 命题正确
证题思路：要证明两平面平行，关键是在其中 一个平面内找出两条相交直线分别平行于另一 个平面.
P
b
a
练 α与平面β平行的条件可 练5 4．平面 ．判断下列命题是否正确，正 D 以是（ ） 确的说明理由，错误的举例说明： （A）α内有无穷多条直线都与β平行.
（1）已知平面α ， β和直线m， n ，若 m α ,n α ,m// （B）直线a∥α ，a∥β ，且直 线a β ,n// β 则α β // β ； 不在 α内，也不在 内. 错误 （2）一个平面α内两条不平行直 （ C）直线 a α,直线b ，则 β, α 且 线都平行于另一平面 β a// β,b// α // β ；
AD1 D1B D1
平面AB1D1 // 平面C1DB
1．证明直线与平面平行、平面与平面平行的方法： （1）利用定义：没有公共点。
（2）利用判定定理．
线线平行 线面平行 线面平行
面面平行
2．数学思想方法：转化的思想 空间问题 平面问题
小测：
如图，正方体ABCD – A1B1C1D1 中，M，N，E， F分别是棱A1B1，A1D1， B1C1，C1D1的中点.
④若 内有一条直线 平行，则 与 平行
a 与平面
×
a
命题错误
a
a //
a
a
（两平面平行）
（两平面相交）
b 与平面 ⑤若 内有两条直线 a ， 平行，则 与 平行
a // b
a
a∩b=P
a
b
b
b
P
a
（两平面平行） （两平面相交） （两平面平行） 两 种 情 况 命题错误 唯 一 命题正确
证题思路：要证明两平面平行，关键是在其中 一个平面内找出两条相交直线分别平行于另一 个平面.
P
b
a
练 α与平面β平行的条件可 练5 4．平面 ．判断下列命题是否正确，正 D 以是（ ） 确的说明理由，错误的举例说明： （A）α内有无穷多条直线都与β平行.
（1）已知平面α ， β和直线m， n ，若 m α ,n α ,m// （B）直线a∥α ，a∥β ，且直 线a β ,n// β 则α β // β ； 不在 α内，也不在 内. 错误 （2）一个平面α内两条不平行直 （ C）直线 a α,直线b ，则 β, α 且 线都平行于另一平面 β a// β,b// α // β ；
人教A版高中双数学必修二课件第2章平面,直线2.2.2平面和平面平行的判定
a
β
Pb
c
C
d
α
练习：
1）α、β、γ为三个不重合的平面，a,b,c为三条
不同直线，则有一下列命题，不正确的是
①a∥c b∥c
a∥b ②a∥γ b∥γ
a∥b
③α∥c β∥c
α∥a ⑥α∥γ a∥γ
a∥α
例题分析
例1、如图：A、B、C为不在同一直线上的
三点，AA1BB1CC1=∥ =∥
求证：平面ABC//平面A1B1C1
C1 A1
B1
C A
B
例2、已知正方体ABCD-A1B1C1D1，求证：平 面AB1D1∥平面C1BD。
练习：
2、棱长为a的正方体AC1中,设M、N、E、F分别为 棱A1B1、A1D1、C1D1、B1C1的中点.
(1)求证：E、F、B、D四点共面；
D1
E
(2)求证：面AMN∥面EFBD. N
（2）平面β内有两条直线与平面α平 行，α，β平行吗？
E D1 A1
D F A
C1 B1
C B
平面与平面平行的判定定理
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则
这两个平面平行。
a β,b β,a b P,a∥α,b∥α
定理的推论
β∥α.
如果一个平面内有两条相交直线分别平行于
另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行
高中数学课件
灿若寒星整理制作
2.2.2平面与平面平行 的判定
线面平行的判定定理
线线平行线面平行
如果不在一个平面内的一条直线和平面内的 一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行.
定义：如果两个平面没有公共点，那么这 两个平面互相平行，也叫做平行平面.
【人教A版】高中数学必修二：2.2《直线、平面平行的判定及其性质》ppt课件.pptx
(1)证明：∵CD∥平面 EFGH，而平面 EFGH∩平面 BCD=EF, ∴CD∥EF.同理 HG∥CD,∴EF∥HG. 同理 HE∥GF，∴四边形 EFGH 为平行四边形. 由 CD∥EF，HE∥AB，∴∠HEF 为 CD 和 AB 所成的角. 又∵CD⊥AB，∴HE⊥EF. ∴四边形 EFGH 为矩形.
证明：如图,连接 AM、AN 并延长分别交 BD、CD 于 P、Q，连接 PQ.
∵M、N 分别是△ ADB、△ ADC 的重心，
∴ AM AN =2.∴MN∥PQ. MP NQ
又 PQ α，MN α,∴MN∥α.
[反思小结，观点提炼] 请同学们总结下本节课所学习内容： 知识总结：利用线面平行的判定定理证明线面平行. 直线和平面平行的判定定理的内容
∴a∥c. ∵a∥b,∴b∥c.
∵c α,b α,∴b∥α.
例 3、如图，a∥α,A 是 α 另一侧的点，B、C、D∈a，线段 AB、AC、AD 交 α 于 E、F、G 点，若 BD=4，CF=4，AF=5，求 EG.
解：Aa，∴A、a 确定一个平面，设为 β.
∵B∈a，∴B∈β.
又 A∈β，∴AB β.
问题1：若一条直线与一个平面平行，则这条直线与平面内直线的位置关系有哪些？
若一条直线与一个平面平行，这条直线与平面内直线的位置关系不可能是 相交（可用反证法证明）,所以，该直线与平面内直线的位置关系还有两种， 即平行或异面.
问题2：怎样在平面内作一条直线与该直线平行呢（排除异面的情况）？ 经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.
(1)证法一：取 AA1,A1B1 的中点 M,N,连接 MN,NQ,MP,
∵MP∥AD,MP=
1 2
A D ,NQ∥A1D1,NQ=
证明：如图,连接 AM、AN 并延长分别交 BD、CD 于 P、Q，连接 PQ.
∵M、N 分别是△ ADB、△ ADC 的重心，
∴ AM AN =2.∴MN∥PQ. MP NQ
又 PQ α，MN α,∴MN∥α.
[反思小结，观点提炼] 请同学们总结下本节课所学习内容： 知识总结：利用线面平行的判定定理证明线面平行. 直线和平面平行的判定定理的内容
∴a∥c. ∵a∥b,∴b∥c.
∵c α,b α,∴b∥α.
例 3、如图，a∥α,A 是 α 另一侧的点，B、C、D∈a，线段 AB、AC、AD 交 α 于 E、F、G 点，若 BD=4，CF=4，AF=5，求 EG.
解：Aa，∴A、a 确定一个平面，设为 β.
∵B∈a，∴B∈β.
又 A∈β，∴AB β.
问题1：若一条直线与一个平面平行，则这条直线与平面内直线的位置关系有哪些？
若一条直线与一个平面平行，这条直线与平面内直线的位置关系不可能是 相交（可用反证法证明）,所以，该直线与平面内直线的位置关系还有两种， 即平行或异面.
问题2：怎样在平面内作一条直线与该直线平行呢（排除异面的情况）？ 经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.
(1)证法一：取 AA1,A1B1 的中点 M,N,连接 MN,NQ,MP,
∵MP∥AD,MP=
1 2
A D ,NQ∥A1D1,NQ=
高一数学人教版A版必修二课件：2.2.1 直线与平面平行的判定
a⊄α b⊂α a∥b
⇒a∥α
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题型探究
重点难点 个个击破
类型一 直线与平面平行的判定定理
例1 如果两直线a∥b,且a∥α,则b与α的位置关系是( )D
A.相交
B.b∥α
C.b⊂α
D.b∥α或b⊂α
解析 由a∥b,且a∥α,知b与α平行或b⊂α.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练1 若直线l不平行于平面α,且l⊄α,则( B) A.α内的所有直线与l异面 B.α内不存在与l平行的直线 C.α内存在唯一的直线与l平行 D.α内的直线与l都相交 解析 若在平面α内存在与直线l平行的直线,因l⊄α,故l∥α,这与题意矛 盾.
解析答案
1 23 4
3.空间四边形ABCD中,E,F分别为AB,AD的中点,判断EF与平面BCD的位 置关系. 解 设由相交直线BC,CD所确定的平面为α,如图, 连接BD,易见,EF不在平面α内, 由于E、F分别为AB、AD的中点, 所以EF∥BD. 又BD在平面α内, 所以EF∥α.
解析答案
4.如图所示,正方体ABCD－A1B1C1D1中,E,F分别是 AB , BC 的 中 点 , G 为 DD1 上 一 点 , 且 D1G∶GD ＝ 1∶2,AC∩BD＝O, 求证：直线GO∥平面D1EF. 证明 如图,设EF∩BD＝H, 连接D1H,在△DD1H中,
解析答案
1 23 4
2.以下说法(其中a,b表示直线,α表示平面)正确的个数为____.0 ①若a∥b,b⊂α,则a∥α； ②若a∥α,b∥α,则a∥b； ③若a∥b,b∥α,则a∥α；④若a∥α,b⊂α,则a∥b. 解析 ①a⊂α也可能成立； ②a,b还有可能相交或异面； ③a⊂α也可能成立； ④a,b还有可能异面.
人教A版高中数学必修2《2.2直线、平面平行的判定及其性质 2.2.4 平面与平面平行的性质》公开课课件_13
证法二：作 FH∥ AD 交 AB 于 H，连结 HE. ∵ AD∥ BC，∴ FH∥ BC， BC⊂平面 BB′ C′ C. ∴ FH∥平面 BB′ C′ C. BF BH 由 FH∥ AD， 可得 ＝ ， 又 BF＝ B′ E， BD＝ AB′， BD BA B′ E BH ∴ ＝ ， B′ A BA ∴ EH∥ B′ B， B′ B⊂平面 BB′ C′ C.
• • • •
∴EH∥平面BB′C′C，又EH∩FH＝H. ∴平面FHE∥平面BB′C′C，EF⊂平面FHE. ∴EF∥平面BB′C′C. 【规律方法】 本题证法一使用线面平行 的判定定理；证法二利用面面平行的性质 定 理 ， 关 键 就 是 找 到 过 直 线 EF 与 平 面 BB′C′• 要点一:平面与平面平行的性质的应用—— 证线线平行 • 平面与平面平行的性质定理是由面面平行 得到的线线平行，实现面面平行与线线平 行的转化．因此平面与平面平行的性质定 理是用来证明线线平行的．
• 例1 如图，已知α∥β，点P是平面α、β外 的一点(不在α与β之间)，直线PB、PD分别 与α、β相交于点A、B和C、D. • (1)求证：AC∥BD； • (2)已知PA＝4 cm， • AB＝5 cm，PC＝3 cm， • 求PD的长．
• 【解】 相交直线AA′、BB′所在平面和两平 行平面α、β分别相交于AB、A′B′. • 由面面平行的性质定理可得AB∥A′B′. • 同理相交直线BB′、CC′确定的平面和平行平 面α、β分别相交于BC、B′C′，从而BC∥B′C′. • 同理易证AC∥A′C′. • ∴∠BAC与∠B′A′C′的两边对应平行且 方向相反，
解： (1)∵PB∩PD＝P，∴直线 PB 和 PD 确定一个平面 γ， 则 α∩ γ＝ AC， β∩ γ＝ BD.又 α∥ β， ∴ AC∥ BD. PA PC (2)由 (1)得 AC∥ BD，∴ ＝ . AB CD 4 3 15 ∴ ＝ .∴ CD＝ . 5 CD 4 27 ∴ PD＝ PC＋ CD＝ (cm). 4
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a
b
m
a
b//a.
练习: (补充) 3. 如图, 平面 a、b、g 两两相交, a、b、c 为三 条交线, 且a∥b, 那么 a 与 c、b 与 c 有什么关系? 为什么?
例 1. 求证: 空间四边形相邻两边中点的连线平行 于经过另外两边所在的平面. ( 证明中需要用到图形和图形中的字母, 必须先 画出图形, 写出“已知”、“求证”.) A 已知: 空间四边形ABCD中, E F E、F分别是AB、AD的中点. D 求证: EF∥平面BCD. B C 证明： 连结BD, ∵ E、F分别是AB、AD的中点, ∴ EF∥BD, EF平面BCD, ⇒EF∥平面BCD. BD平面BCD,
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本章内容
2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系 2.2 直线、平面平行的判定及其性质
2.3 直线、平面垂直的判定及其性质 第二章 小结
2.2 直线、平面平行的判定及其性质
2.2.1 直线与平面平行的判定 2.2.3 直线与平面平行的性质 2.2.2 平面与平面平行的判定 2.2.4 平面与平面平行的性质
1.判定直线与平面平行的常用方法：
（）定义法： 1 证明直线与平面没有公共点
（2）判定定理法：
证明已知直线在平面外且在平面内找到一条直线与它平行
2.用线面平行的判定定理证明线面平行的基本步骤：
（）找：在平面内找到或作出一条与已知直线平行的直线； 1
（2）证:证明已知直线在平面外；
（3）下结论：由判定定理得到线面平行。
平面外一条直线与此平 面内的一条直线平行, 则该 直线与此平面平行.
a
b a, 线线平行线面平行. 符号表示: a a, ⇒ b∥a. b//a,
画直线平行于平面，通常把表示直线的线段画 在表示平面的平行四边形的外面，并且使它与平行 四边形的一边平行或与平行四边形内的一条线段平 行.
下面各图中，你感觉 l∥a 的有哪些图?
D A D A B
P
· B
C C
问题转化为: 过点P在平面AC内作BC的平行线.
例 3. 如图所示的一块木料中, 棱 BC 平行于面 AC. (1) 要经过面 AC 内的一点 P 和棱 BC 将木料锯 开, 应怎样画线? (2) 所画的线和面 AC 是什么关系? 解: (1) 画法: D F C ① 在平面AC内, 过点 P 画 P· A E B EF∥BC, 分别交AB、DC于 D C E、F, A B ② 连接 EB、FC, 则 BE、EF、FC就是所要画的线，平面EC就 是锯开的面。
l l l
l
a
a
a
a
图1
图2
图3
图4
( 图3、图 4 改一下, 就有平行的感觉效果了。)
例 (补充). 如图, 在长方体中, O 是底面对角线 AC 与 BD 的交点, 画出经过点 A 的一个截面与直线 CO 平行, 并说明平行的理由.
O 解: 连结上底面的对角线 A D AC, BD交于点O, C 过点O在上底面内任作一 O D A 直线交上底面的边 (这里就取 BD), 连结AD, AB, 则截面ABD为所求. 其理由: 连结AO, ∵CO OA, ∴CO//OA, ∵CO平面ABD, OA平面ABD, ∴CO//平面ABD. C B B2.2.3直线与平 Nhomakorabea平行的性质
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问题 1. 请同学们先画一直线 l∥平面a, 再经 过 l 画一平面 b 与 a 相交于m. 请问, 你画出的 l 与 m 是什么位置关系? 能说出你的理由吗?
a∩b = m, m a, l //a, l 与 a 无公共点,
l
b
则 l 与 m 无公共点. m a a∩b = m, m b, 即在同一平面 b 内的直线 l 与 m 无公共点, 那么 l //m.
例 3. 如图所示的一块木料中, 棱 BC 平行于面 AC. (1) 要经过面 AC 内的一点 P 和棱 BC 将木料锯 开, 应怎样画线? (2) 所画的线和面 AC 是什么关系? 解: (2) 所画的线中, EB与FC都与平面AC相交, A EF与面AC平行. ∵EF//BC, EF//平面BC, A 过EF的平面EC∩平面BC=BC, ∴EF//BC, 则得EF//平面AC.
D E D B
P
· B
F
C C
例4. 已知平面外的两条平行直线中的一条平行 于这个平面, 求证: 另一条也平行于这个平面.
如图, 已知直线 a、b 和平面 a, 且 a//b, a//a. 求证: b//a. 证明: 过直线 a 作平面 b∩a = m,
∵a//a, ∴a//m, 又 a//b, b//m, ma, ba,
线面平行的性质定理：
一条直线与一个平面平行, 则过这条直线的 任一平面与此平面的交线与该直线平行.
线面平行得线线平行. 符号表示:
l∥ a , l b, b∩a = m
l
⇒ l∥m.
b
a
m
问题 2. 已知a∩b = m, l1a, l2b. (1) 若 l1∥m, 则 l1∥l2吗? (2) 若 l1∥l2, 则 l1∥m 吗? (1) 不成立, 如图: l1 与 l2 不平行. (2) 成立. l1b, l2b, l1//l2, l1//b.
a
l2
l1
m
b
l1a, a∩b = m,
l1//m.
a
l2 l1
m
b
例 3. 如图所示的一块木料中, 棱 BC 平行于面 AC. (1) 要经过面 AC 内的一点 P 和棱 BC 将木料锯 开, 应怎样画线? (2) 所画的线和面 AC 是什么关系? 分析: ∵ BC //平面AB, 根据线面平行的性质, 过 BC 的锯面与平面AC相交的交线 就应过 P点, 且平行于 BC, 这样在两侧面就可以画交线了.
复习与提高
2.2.1
2.2.3
直线与平面平行 的 判定与性质
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2.2.1 直线与平面平行的判定 问题1. 我们在定义直线与平面平行时, 它的特 征是什么? 又问: 如果平面 a 外的一条直线 b 平行于 a 内 的一条直线 a, 那么直线 b 与平面 a 是否有共公点? 线面平行的判定定理: b a