初三数学图形的认识、图形与证明(一)：上海科技版知识精讲.doc

合集下载

初三数学比例线段知识精讲上海科技版

初三数学比例线段知识精讲某某科技版【同步教育信息】一. 本周教学内容：比例线段二. 教学要求1. 结合现实情景了解线段的比和成比例线段，理解并掌握比例的基本性质及其简单应用2. 了解黄金分割，体会其中的文化和艺术价值，进一步理解线段的比和成比例线段。

三. 重点及难点重点：1、了解线段的比和成比例线段，理解并掌握比例的基本性质。

2、了解黄金分割，理解线段的比、成比例线段等相关知识。

难点：1、比例基本性质的简单应用。

2、成比例线段的应用。

四. 课堂教学［知识要点］知识点1、线段的比当用同一长度单位量得两条线段AB ，CD 的长度分别是m ， n ，那么就说这两条线段的比AB:CD=m: n 或写成k nmCD AB ==，其中线段AB ，CD 分别叫做这两条线段比的前项和后项，k 叫做它们的比值。

说明：（1）两线段的比是指用同一长度单位度量的两线段长度的比（2）两线段的比值与所用的长度单位无关。

知识点2、成比例线段（1）成比例线段的定义：四条线段a ，b ，c ，d ，中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即dcb a =，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段，其中a ，d 可称为比例外项，b ，c 可称为比例内项，d 可称为a ，b ，c 的第四比例项。

（2）比例的基本性质如果dcb a =，那么ad=bc如果ad=bc （a ，b ，c ，d ，都不等于0），那么dcb a =。

说明：①比例的基本性质是比例变形的重要依据。

②比例的基本性质的互逆关系的变形，可引用比值k 的方法，设dcb a ==k ，那么a=kb ，c=k d ，a d=k b ·d=b ·k d=b c知识点3、比例的性质（1）合比性质：如果d cb a =，那么dd c b b a ±=± （2）等比性质：如果dcb a ==…=n d b mc a ),0nd b (n m ++++++≠+++ 那么=b a知识点4、黄金分割：如图，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果ACBCAB AC =，那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点。

沪科版初三数学知识点总结资料讲解.doc

初三数学知识点总结一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如y ax2 bx c，c是常数，a 0）的函数，叫做二次函数。

这（ a ，b里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a 0 ，而b，c可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2.二次函数 y ax2 bx c 的结构特征：⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式， x 的最高次数是 2．⑵ a ，b ，c 是常数， a 是二次项系数，b是一次项系数， c 是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：y ax2的性质：a的绝对值越大，抛物线的开口越小。

a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a 0 0 ，0 x 0 时， y 随x的增大而增大；x 0 时， y 随向上y 轴x 的增大而减小；x 0 时， y 有最小值 0 ．a 0 0 ，0 x 0 时， y 随x的增大而减小；x 0 时， y 随向下y 轴x 的增大而增大；x 0 时， y 有最大值 0 ．2.y ax2 c 的性质：上加下减。

a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a 0 向上0 ，c y 轴x 0 时， y 随x的增大而增大； x 0 时， y 随x 的增大而减小；x 0时，y有最小值 c ．a 0 向下0 ，c y 轴x 0 时， y 随x的增大而减小； x 0 时， y 随x 的增大而增大；x 0时，y有最大值 c ．3. y a x2的性质：h左加右减。

a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a 0 向上h ，0 X=h x h 时， y 随x的增大而增大； x h 时， y 随x 的增大而减小；x h时，y有最小值0．a 0 向下h ，0 X=h x h 时， y 随x的增大而减小； x h 时， y 随x 的增大而增大；x h时，y有最大值0．4. y a x 2k 的性质：ha 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a 0h ，kx h 时， y 随 x 的增大而增大； x h 时， y 随向上X=hx 的增大而减小； x h 时， y 有最小值 k ．a 0h ，kx h 时， y 随 x 的增大而减小； x h 时， y 随向下X=hx 的增大而增大； x h 时， y 有最大值 k ．三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式y a x h 2h ，kk ，确定其顶点坐标； ⑵ 保持抛物线 yax 2 的形状不变，将其顶点平移到h ，k 处，具体平移方法如下：向上 (k>0)【或向下 (k<0)】平移 |k|个单位y=ax2y=ax 2+k向右 (h>0)【或左 (h<0)】向右 ( h>0) 【或左 ( h<0) 】向右 (h>0)【或左 (h<0)】平移 |k|个单位平移 |k|个单位向上 ( k>0) 【或下 ( k<0) 】平移 |k|个单位平移 |k|个单位y=a( x-h)2向上 (k>0) 【或下 (k<0)】平移 |k|个单位y=a (x-h)2+k2. 平移规律在原有函数的基础上 “h 值正右移，负左移； k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法二：⑴ yax 2 bx c 沿 y 轴平移 :向上（下）平移 m 个单位， yax 2 bx c 变成y ax 2 bx c m （或 yax 2 bx c m ）⑵ yax 2 bx c 沿轴平移：向左（右）平移 m 个单位， yax 2 bx c 变成y a( x m)2 b(x m) c （或 ya( x m) 2 b( x m) c ）四、二次函数 ya x2k 与 y ax 2bx c 的比较h从解析式上看， y a x h2ax 2bx c 是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前k 与 yb 24ac b 2b，k 4ac b 2者，即 y a x，其中 h ．2a 4a2a 4a五、二次函数 y ax2 bx c 图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数y ax2 bx c 化为顶点式y a(x h) 2 k ，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图 . 一般我们选取的五点为：顶点、与 y 轴的交点0，c 、以及0 ，c 关于对称轴对称的点2h ，c 、与 x 轴的交点x1，0 ， x2，0 （若与 x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数 y ax2 bx c 的性质1. 当a 0 时，抛物线开口向上，对称轴为x b ，顶点坐标为 b ，4ac b2 ．2a 2a 4a当 x b 时， y 随x的增大而减小；当x b 时， y 随x的增大而增大；当x b 时， y 有最小2a 2a 2a2值 4ac b ．4a2. 当a 0 时，抛物线开口向下，对称轴为x b ，顶点坐标为 b ，4ac b2 ．当x b时， y 随2a 2a 4a 2 ab时， y 随x的增大而减小；当x 时， y 有最大值4ac 2x 的增大而增大；当 x b b ．2a 2a 4a七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式： y ax2 bx c （ a ，b， c 为常数，a 0 ）；2. 顶点式： y a(x h)2 k （ a ，h，k为常数，a 0 ）；3. 两根式： y a(x x1 )( x x2 ) （a 0， x1， x2是抛物线与 x 轴两交点的横坐标） .注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只2有抛物线与 x 轴有交点，即 b 4ac 0 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化 .八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1.二次项系数 a二次函数y ax2 bx c 中， a 作为二次项系数，显然 a 0．⑴当 a 0 时，抛物线开口向上， a 的值越大，开口越小，反之 a 的值越小，开口越大；⑵当 a 0 时，抛物线开口向下， a 的值越小，开口越小，反之 a 的值越大，开口越大．总结起来， a 决定了抛物线开口的大小和方向， a 的正负决定开口方向， a 的大小决定开口的大小．2.一次项系数 b在二次项系数 a 确定的前提下， b 决定了抛物线的对称轴．⑴在 a0 的前提下，当 b 0时，b0 ，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；2a当 b 0 时，b0 ，即抛物线的对称轴就是y 轴；2a当 b 0 时，b0 ，即抛物线对称轴在y轴的右侧．2a⑵在 a 0 的前提下，结论刚好与上述相反，即当 b 0 时，b0 ，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；2a当 b 0 时，b0 ，即抛物线的对称轴就是y 轴；2a当 b 0 时，b0 ，即抛物线对称轴在y轴的左侧．2a总结起来，在 a 确定的前提下， b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴x b0 ，概括的说就是在 y 轴左边则 ab 0 ，在 y 轴的右侧则 ab2a“左同右异”总结：3.常数项 c⑴当 c 0 时，抛物线与y 轴的交点在x轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正；⑵当 c 0 时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为 0 ；⑶当 c 0 时，抛物线与y 轴的交点在x轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来， c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要 a ，b ，c 都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1.已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2.已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3.已知抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4.已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1.关于 x 轴对称y ax2 bx c 关于 x 轴对称后，得到的解析式是y ax2 bx c ；y a x h 2y a x h2 k 关于 x 轴对称后，得到的解析式是k ；2.关于 y 轴对称y ax2 bx c 关于y轴对称后，得到的解析式是y ax2 bx c ；y a x h 2y a x h2 k 关于y轴对称后，得到的解析式是k ；3.关于原点对称y a x h 2y a x2k ；k 关于原点对称后，得到的解析式是h4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2 y ax2 bx c 关于顶点对称后，得到的解析式是y ax2 bx c b ；2ay a x h 2y a x2k ．k 关于顶点对称后，得到的解析式是h5.关于点 m，n 对称2k 关于点22n ky a x h m，n 对称后，得到的解析式是 y a x h 2m根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此 a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程 ax 2 bx c 0 是二次函数 y ax2 bx c 当函数值 y 0 时的特殊情况 .图象与 x 轴的交点个数：① 当b2 4ac 0 时，图象与 x 轴交于两点 A x1，0 ，B x2，0 ( x1 x2 ) ，其中的 x1，x2是一元二次方程 ax2 bx c 0 a 0 的两根．这两点间的距离AB x2 x1 b2 4ac .a② 当0 时，图象与 x 轴只有一个交点；③ 当0 时，图象与 x 轴没有交点 .1' 当 a 0 时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有y 0 ；2' 当 a 0 时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有y 0 ．2. 抛物线 y ax2 bx c 的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0 ， c) ；3.二次函数常用解题方法总结：⑴求二次函数的图象与 x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶根据图象的位置判断二次函数y ax2bx c 中 a ，b， c 的符号，或由二次函数中 a ，b， c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.⑸与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax2bx c(a 0) 本身就是所含字母x 的二次函数；下面以 a0 时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：0 抛物线与x 轴有二次三项式的值可正、一元二次方程有两个不相等实根两个交点可零、可负0 抛物线与x 轴只二次三项式的值为非负一元二次方程有两个相等的实数根有一个交点0 抛物线与x 轴无二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根 .交点二次函数图像参考：y=2x 2 y=3(x+4) 2y=3x2y=3(x-2)2y=x2y=2x 2 y=2(x-4) 2x2y=2y=2(x-4) 2 -3y=2 x2 +2y=2 x2y=2 x2 -4x 2y= -2y= -x 2 y=-2(x+3)2y=-2x 2 y=-2(x-3) 2y=-2x 2十一、函数的应用刹车距离二次函数应用何时获得最大利润最大面积是多少二次函数考查重点与常见题型1．考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以 x 为自变量的二次函数y (m 2)x2m 2m 2 的图像经过原点，则m的值是2．综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，如果函数 y kx b 的图像在第一、二、三象限内，那么函数 y kx 2 bx 1的图像大致是（）y y y y1 10 x o-1 x 0 x 0 -1 xA B C D3．考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：已知一条抛物线经过(0,3) ， (4,6) 两点，对称轴为x 5，求这条抛物线的解析式。

沪科版九年级上册数学第22章相似形相似图形

总结
知3－讲
因为两个四边形相似，因此可根据相似多边形的对应边的比相等来解题.
1如图所示的两个四边形相似，则α的度数是( ) A．87°B．60°C．75°D．120°
知3－练
2 若一个三角形三边之比为3∶5∶7，与它相似的三角形的最长 3 边的长为21，则最短边的长为( ) 4 A．15B．10C．9D．3
知2－练
1 如图，矩形ABCD与A1B1C1D1相似吗？为什么？
（来自教材）
知2－练
2放大镜中的多边形与原多边形的关系是( ) A．形状不同，大小不同B．形状相同，大小相同 C．形状相同，大小不同D．形状不同，大小相同 3 如图，三个矩形中，相似的是( )
A．甲和丙B．甲和乙 C．乙和丙D．甲、乙和丙
知4－练
1如果两个相似多边形的一组对应边长分别为3cm
和2cm，那么它们的相似比是( )
A. B. 3C. D.
6
4
5
3
9
2
4
2 六边形ABCDEF相似于六边形A′B′C′D′E′F′，若
对应边AB与A′B′的长分别为50厘米和40厘米，则六
边形A′B′C′D′E′F′与六边形ABCDEF的相似比是
总结
知1－讲
判断两个图形是否为相似图形的方法：看两个图形的形状是否相同，即看其中一个图形是否是由另一个图形放大或缩小得到的.如果是，那么它们是相似图形，否则就不是相似图形.
知1－练
1 在图形(A) ～ (F)中，哪些是由图形（1）或（2）放大或缩小
得到的？
（来自教材）
2 下列四组图形中，不是相似图形的是( )
第二十二章相似形
22.1比例线段
第1课时相似图形

2021年中考数学沪科版教材知识梳理系统复习第四单元图形的初步认识与三角形

第四单元图形的初步认识与三角形第14讲平面图形与相交线、平行线一、知识清单梳理第15讲一般三角形及其性质如图①，AD平分∠BAC，AE⊥BC，则∠α=12∠BAC-∠CAE=12(180°-∠B-∠C）-（90°-∠C）=12(∠C-∠B）；如图②，BO、CO分别是∠ABC、∠ACB的平分线，则有∠O=12∠A+90°；如图③，BO、CO分别为∠ABC、∠ACD、∠OCD的平分线，则∠O=12∠A，∠O’=12∠O；如图④，BO、CO分别为∠CBD、∠BCE的平分线，则∠O=90°-12∠A.知识点二：三角形全等的性质与判定6.全等三角形的性质(1)全等三角形的对应边、对应角相等．(2)全等三角形的对应角平分线、对应中线、对应高相等．(3)全等三角形的周长等、面积等．失分点警示：运用全等三角形的性质时，要注意找准对应边与对应角.7.三角形全等的判定一般三角形全等SSS（三边对应相等）SAS（两边和它们的夹角对应相等）ASA（两角和它们的夹角对应相等）AAS（两角和其中一个角的对边对应相等）失分点警示如图，SSA和AAA不能判定两个三角形全等.直角三角形全等(1)斜边和一条直角边对应相等（HL）(2)证明两个直角三角形全等同样可以用SAS,ASA和AAS.8.全等三角形的运用（1）利用全等证明角、边相等或求线段长、求角度：将特征的边或角放到两个全等的三角形中，通过证明全等得到结论.在寻求全等的条件时，注意公共角、公共边、对顶角等银行条件.（2）全等三角形中的辅助线的作法：①直接连接法：如图①，连接公共边，构造全等.②倍长中线法：用于证明线段的不等关系，如图②，由SAS可得△ACD≌△EBD，则AC=BE.在△ABE中，AB+BE＞AE，即AB+AC＞2AD.③截长补短法：适合证明线段的和差关系，如图③、④.例：如图，在△ABC中，已知∠1=∠2，BE=CD，AB=5，AE=2，则CE=3.第16讲等腰、等边及直角三角形二、知识清单梳理知识点一：等腰和等边三角形关键点拨与对应举例1.等腰三角形（1）性质①等边对等角：两腰相等，底角相等，即AB＝AC ∠B＝∠C；②三线合一：顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合;③对称性：等腰三角形是轴对称图形，直线AD是对称轴.（2）判定（1）三角形中“垂线、角平分线、中线、等腰”四个条件中，只要满足其中两个，其余均成立. 如：如左图，已知AD⊥BC,D为BC的中点，则三角形的形状是等腰三角形.失分点警示：当等腰三角形的腰和底不明确时，需分类讨论. 如若等腰三角形ABC的一个内角为①定义：有两边相等的三角形是等腰三角形；②等角对等边：即若∠B＝∠C，则△ABC是等腰三角形. 30°，则另外两个角的度数为30°、120°或75°、75°.2.等边三角形（1）性质①边角关系：三边相等，三角都相等且都等于60°.即AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠B＝∠C＝60°；②对称性：等边三角形是轴对称图形，三条高线(或角平分线或中线)所在的直线是对称轴.（2）判定①定义：三边都相等的三角形是等边三角形；②三个角都相等（均为60°）的三角形是等边三角形；③任一内角为60°的等腰三角形是等边三角形.即若AB＝AC，且∠B＝60°，则△ABC是等边三角形.（1）等边三角形是特殊的等腰三角形，所以等边三角形也满足“三线合一”的性质.（2）等边三角形有一个特殊的角60°，所以当等边三角形出现高时，会结合直角三角形30°角的性质，即BD=1/2AB.例：△ABC中，∠B=60°，AB=AC，BC=3，则△ABC的周长为9.知识点二：角平分线和垂直平分线3.角平分线（1）性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．即若∠1 ＝∠2，PA⊥OA，PB⊥OB，则PA＝PB.（2）判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的角平分线上．例：如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，CD=2，则AC=6.4.垂直平分线图形（1）性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端点距离相等．即若OP垂直且平分AB，则PA＝PB.（2）判定：到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．知识点三：直角三角形的判定与性质5.直角三角形的性质(1)两锐角互余.即∠A＋∠B＝90°；(2) 30°角所对的直角边等于斜边的一半.即若∠B＝30°则AC＝12AB；(3)斜边上的中线长等于斜边长的一半．即若CD是中线，则CD＝12AB.(4)勾股定理：两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方．即a2＋b2＝c2 .（1）直角三角形的面积S=1/2ch=1/2ab(其中a,b为直角边，c为斜边，h是斜边上的高)，可以利用这一公式借助面积这个中间量解决与高相关的求长度问题.（2）已知两边，利用勾股定理求长度，若斜边不明确，应分类讨论.（3）在折叠问题中，求长度，往往需要结合勾股定理来列方程解决.6.直角三角形的判定(1)有一个角是直角的三角形是直角三角形.即若∠C＝90°，则△ABC是Rt△；(2) 如果三角形一条边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．即若AD＝BD＝CD，则△ABC是Rt△(3)勾股定理的逆定理：若a2＋b2＝c2，则△ABC是Rt△.21P COBAPCO BADABC abcDABC abc第17讲相似三角形知识点一：比例线段关键点拨与对应举例1. 比例线段在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即a cb d=，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段．列比例等式时，注意四条线段的大小顺序，防止出现比例混乱. 2.比例的基本性质(1)基本性质：a c b d =⇔ ad ＝bc ；（b 、d ≠0）(2)合比性质：a c b d =⇔a b b ±＝c dd ±；（b 、d ≠0）(3)等比性质：a c b d =＝…＝mn ＝k (b ＋d ＋…＋n ≠0)⇔......a c mb d n++++++＝k .（b 、d 、···、n ≠0）已知比例式的值，求相关字母代数式的值，常用引入参数法，将所有的量都统一用含同一个参数的式子表示，再求代数式的值，也可以用给出的字母中的一个表示出其他的字母，再代入求解.如下题可设a=3k,b=5k ,再代入所求式子，也可以把原式变形得a=3/5b 代入求解. 例：若35a b =，则a b b +=85. 3.平行线分线段成比例定理（1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.即如图所示，若l 3∥l 4∥l 5，则AB DEBC EF=. 利用平行线所截线段成比例求线段长或线段比时，注意根据图形列出比例等式，灵活运用比例基本性质求解. 例：如图，已知D ，E 分别是△ABC 的边BC 和AC 上的点，AE=2，CE=3，要使DE ∥AB ，那么BC ：CD 应等于53.（2）平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例.即如图所示，若AB ∥CD ，则OA OBOD OC=. （3）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似．如图所示，若DE ∥BC ，则△ADE ∽△ABC.4.黄金分割点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果ACAB ＝=5－12≈0.618，那么线段AB 被点C 黄金分割．其中点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比．例：把长为10cm 的线段进行黄金分割，那么较长线段长为5(5－1)cm ．知识点二：相似三角形的性质与判定5.相似三角形的判定(1) 两角对应相等的两个三角形相似(AAA). 如图，若∠A ＝∠D ，∠B ＝∠E ，则△ABC ∽△DEF.判定三角形相似的思路：①条件中若有平行线，可用平行线找出相等的角而判定；②条件中若有一对等角，可再找一对等角或再找夹这对等角的两组边对应成比例；③条件中若有两边对应成比例可找夹角相等；④条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明直角边和斜边对应成比例；⑤条件中若有等腰关系，可找顶角相等或找一对底角相等或找底、腰对应成比例.(2) 两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似．如图，若∠A ＝∠D ，AC ABDF DE=，则△ABC ∽△DEF. (3) 三边对应成比例的两个三角形相似．如图，若AB AC BCDE DF EF==，则△ABC ∽△DEF. F E D CB A l 5l 4l 3l 2l 1ODCBAED CBAFEDC BAFEDC B AFE DC B A6.相似三角形的性质(1)对应角相等，对应边成比例．(2)周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．(3)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于相似比．例：(1)已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为2，则△ABC与△DEF的面积之比为9：4.(2) 如图，DE∥BC，AF⊥BC,已知S△ADE:S△ABC=1:4，则AF:AG=1：2.7.相似三角形的基本模型（1）熟悉利用利用相似求解问题的基本图形，可以迅速找到解题思路，事半功倍.（2）证明等积式或者比例式的一般方法：经常把等积式化为比例式，把比例式的四条线段分别看做两个三角形的对应边.然后，通过证明这两个三角形相似，从而得出结果.第18讲解直角三角形知识点一：锐角三角函数的定义关键点拨与对应举例1.锐角三角函数正弦: sin A＝∠A的对边斜边＝ac余弦: cos A＝∠A的邻边斜边＝bc正切: tan A＝∠A的对边∠A的邻边＝ab.根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形.2.特殊角的三角函数值度数三角函数30°45°60°sinA122232 cosA322212 tanA3313知识点二：解直角三角形3.解直角三角形在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．科学选择解直角三角形的方法口诀：已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；已知直边求直边，理所当然用正切；：解直角三角形的应用(1)仰、俯角：视线在水平线上方的角叫做仰角.视线在水平线下方的角叫做俯角．（如图①）(2)坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(或者叫做坡比)，用字母i表示．坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用α表示，则有i＝tanα. （如图②）(3)方向角：平面上，通过观察点Ο作一条水平线(向右为东向)和一条铅垂线(向上为北向)，则从点O出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角，叫做观测的方向角．（如图③）解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型：（1）叠合式（2）背靠式解题方法：这两种模型种都有一条公共的直角边，解题时，往往通过这条边为中介在两个三角形中依次求边，或通过公共边相等，列方程求解.(1)弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型；。

上海沪科版初中数学九年级上册21.5 第2课时反比例函数的图象和性质ppt课件

数图象上有两点 A( 2 7 ，y1)，B(5，y2)，则 y1与y2
的大小关系为
(C )
A. y1 > y2
B. y1 = y2
C. y1 < y2
D. 无法确定
提示：由题可知反比例函数的解析式为 y 6 ，因 x
为6＞0，且 A，B 两点均在该函数图象的第一象限
部分，根据 2 7 >5，可知y1，y2的大小关系.
两点，填写表格：
y
P Q
SS21
y 4 x
O
x
S1的值 S2的值
P (－1，4) Q (－2，2)
4
4
S1与S2 的关系 S1=S2
学习目标
1. 经历画反比例函数的图象、归纳得到反比例函数的图象特征和性质的过程 (重点、难点)
2. 会画反比例函数图象，了解和掌握反比例函数的图象和性质. (重点)
3. 能够初步应用反比例函数的图象和性质解题. (重点、难点)
导入新课
复习引入我们已经学习过的函数有哪些？你还记得画这些函数图象时的方法吗？
y y 6 x
O
x
反比例函数 y k (k＜0) 的图象和性质：
x
●由两条曲线组成，且分别位于第二、四象限它们与x轴、y轴都不相交；
●在每个象限内，y随x的增大而增大.
归纳：一般地，反比例函数
y
k
的图象是双曲线，
x
它具有以下性质：
(1) 当 k > 0 时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每一象限内，y 随 x 的增大而减小；
y
6 x
… －1
－1.2
－1.5
－2
－3 －6

上海科学技术出版社九年级(初三)数学上册全套PPT课件

y
y
o
y=x2
x
o
x
y=-x2
二次函数y=ax2的性质:
1.顶点坐标与对称轴 2.位置与开口方向 3.增减性与最值
根据图形填表：
抛物线
y=x2
顶点坐标
(0，0)
对称轴
y轴
y x2
y=-x2 (0，0) y轴
y x2
位置开口方向
在x轴的上方（除顶点外）向上
在x轴的下方（除顶点外）向下
2
y (x 2)(56 x)
y x2 58x 112
上述四个问题中的函数解析式具有哪些共同的特征?
经化简后都具有y=ax²＋bx＋c的形式。
(a，b，c是常数，a≠0)
我们把形如y=ax²＋bx＋c(其中a，b，c 是常数，a≠0)的函数叫做二次函数。
称：a为二次项系数， b为一次项系数， c为常数项。
x
2

6
x

21
也能化成这样的形式？
4.经历确定二次函数表达式的过程，体会求二次函数表达式的思想方法，培养数学应用意识。 5.会利用待定系数法求二次函数的表达式。 6.灵活应用二次函数的三种形式：一般式、顶点式、交点式，以便在用待定系数法求解二次函数表达式时减少未知数的个数，简化运算过程。
3
轴的左侧，y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧，
y随着x的增大而减小，当x=0时，函数y的值最大，最
大值是 0 ，当x 0时，y<0。
小结拓展
由二次函数y=x2和y=-x2知： 1.抛物线y=ax2的顶点是原点，对称轴是y轴。
2.当a>0时，抛物线y=ax2在x轴的上方（除

沪科版九年级数学上册《位似图形的概念与性质》说课课件

(4)位似中心不可能在图形上( × )
(5)位似中心与对应点距离的比值相等，但比不一定等于相似比(
×
)
典型例题
例如图，在△ABC内部画△A‘B’C‘，使△A’B‘C’∽△ABC，且使相似比为1:5.
(1)位似中心在△ABC的一条边AB上；
A
(2)以点C为位似中心.
B
分析：因为相似比是1:5，所以新图形是按比例缩小的.
′ ′ ′ ′
=
=
=
= 2；
使

确定对应点
(4)连接A′B′，B′C′，C′D′，D′A′，所得四边形A′B′C′D ′ ，即为所求.
连线（顺次）
合作探究
方法二：(1)在四边形ABCD所在平面内任取一点O；
(2)分别以点A，B，C，D为端点作射线AO，BO，CO，DO；
(3)分别在射线AO，BO，CO，DO上取点A′，B′，C′，D′，使
′ ′ ′ ′
=
=
=
=2

(4)连接A′B′，B′C′，C′D′，D′A′，所得四边形A′B′C′D′即为所求.
合作探究
所得四边形A′B′C′D′∽四边形ABCD，你能证明吗？相似比等于2吗？
A
C
典型例题
例如图，在△ABC内部画△A‘B’C‘ ，使△A’B‘C’∽△ABC，且使相似比为1:5.
(1)位似中心在△ABC的一条边AB上；
A
(2)以点C为位似中心.
B'●
o
A'
●
●●Biblioteka C'作图步骤：
图形对应顶点的连
线必过位似中心
位似图形

九年级数学图形的认识、图形与证明(一)：上海科技版知识精讲

九年级数学图形的认识、图形与证明（一）：某某科技版【本讲教育信息】一. 教学内容：图形的认识、图形与证明（一）：几何初步、三角形二. 教学目标：通过对几何初步、三角形基础知识的复习，解决中考中常见的问题三. 教学重点、难点：熟练地解决与几何初步、三角形相关的问题四. 课堂教学：知识点1、几何初步知识知识点2、三角形【典型例题】例1、如图所示，直线l与直线a，b相交，且a∥b，∠1=80°，则∠2的度数是（）A. 60°B. 80°C. 100°D. 120°答案：B例2、如图所示，AB∥CD，点E在CB的延长线上，若∠ABE=60°，则∠ECD的度数为（）A. 120°B. 100°C. 60°D. 20°答案：A例3、经过任意三点中的两点共可以画出的直线条数是（）A. 一条或三条B. 三条C. 两条D. 一条答案：A例4、现在有2厘米，4厘米，5厘米，8厘米长的四根木棒，任意选取三根组成一个三角形，那么可以组成三角形的个数为（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个答案：B例5、如图所示，点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E，已知PE=3，则点P到AB的距离是（）A. 3B. 4C. 5D. 6答案：A例6、如图所示，△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，若AD=6，则CD=（）答案：3例7、如图所示，点D，E分别在线段AB、AC上，BE，CD相交于点O，AE=AD，要使△ABE≌△ACD，需要添加一个条件是（）（只要写出一个条件既可）。

答案：AB=AC等。

例8、已知，如图所示，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，BE=BF，连接AE，EF和CF（1）求证：AE=CF（2）若∠CAE=30°，求∠EFC的度数。

九年级数学图形的认识、图形与证明(二)上海科技版知识精讲

九年级数学图形的认识、图形与证明（二）某某科技版【本讲教育信息】一. 教学内容：图形的认识、图形与证明（二）：四边形与平行四边形、梯形二. 教学目标：通过对四边形与平行四边形、梯形基础知识的复习，解决中考中常见的问题三. 教学重点、难点：熟练地解决与四边形、平行四边形、梯形相关的问题四. 课堂教学：知识点1、图形世界知识点2、矩形、菱形、正方形知识点3、梯形【典型例题】例1. 如图，在平行四边形ABCD中，已知对角线AC和BD相交于点O，△AOB•的周长为15，AB＝6，那么对角线AC+BD＝_______.答案：18例2. 如图，在△MBN中，BM＝6，点A，C，D分别在MB，NB，MN•上，•四边形ABCD为平行四边形，∠NDC＝∠MDA，则平行四边形ABCD的周长是（）A. 24B. 18C. 16D. 12答案：D例3. 用两个全等的直角三角形拼下列图形：①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形；⑤等腰三角形；⑥等边三角形；一定可以拼成的是________（只填序号）.答案：①②⑤例4. 如图所示，梯形纸片ABCD，∠B＝60°，AD∥BC，AB＝AD＝2，BC＝6，将纸片折叠，使点B与点D重合，折痕为AE，则CE＝________.答案：4例5. 如图所示，梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝CD，E，F分别是AB，BC的中点，若∠1＝35°，则∠D＝（）答案：110°例6. 如图所示，矩形的对角线相交于点O ，过点O 的直线交AD ，BC 于点E ，F ，AB ＝2，BC ＝3，则图中阴影部分的面积为（）DCBAEFO答案：3例7. 两组邻边分别相等的四边形我们称它为筝形，如图所示，在筝形ABCD 中，AB ＝AD ，BC ＝DC ，AC ，BD 相交于点O ，（1）求证：①△ABC ≌△ADC ②OB ＝OD ，AC ⊥BD（2）如果AC ＝6，BD ＝4，求筝形ABCD 的面积。

九年级数学图形的认识、图形与证明(三)：相似三角形上海科技版知识精讲

九年级数学图形的认识、图形与证明（三）：相似三角形某某科技版【本讲教育信息】一. 教学内容：图形的认识、图形与证明（三）：相似三角形二. 教学目标：通过对相似三角形基础知识的复习，解决中考中常见的问题三. 教学重点、难点：熟练地解决与相似三角形相关的问题四. 课堂教学：⎪⎩⎪⎨⎧黄金分割比例的性质成比例线段比例线段⎩⎨⎧相似三角形判定相似三角形性质相似三角形 1、相似三角形定义：形状相同的三角形是相似三角形2、相似三角形的判断（1）两角对应相等的两个三角形（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形（3）三边对应成比例的两个三角形 3、相似三角形的性质（1）对应角相等，对应线段（对应边及对应边上的高线、中线和对应角的平分线）成比例，都等于相似比（2）周长之比等于相似比（3）面积之比等于相似比的平方4、了解图形的位似，灵活运用位似将一个图形放大或缩小；【典型例题】例1、（2007.某某）如图所示，已知AB ∥CD ，AD 与BC 相交于点P ，AB=4，CD=7，AD=10，则AP=（）。

答案：1140例2、（2007·某某）如图所示，在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是CD 上一点，且CF=41CD ，下列结论：（1）∠BAE=30°，（2）△ABE ～△AEF ，（3）AE ⊥EF ，（4） △ADF ～△ECF ，其中正确结论的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4答案：B例3、（2006·某某市）如图，△ABC 中，∠B= 90，AB=6，BC=8，将△ABC 沿DE 折叠，使点C 落在AB 边上的C ′处，并且C ′D ∥BC ，则CD 的长是（）A. 409B. 509C. 154D. 254答案：A例4、为了测量校园水平地面上一棵不可攀的树的高度，学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据《科学》中光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如下图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在离树底（B ）的点E 处，然后沿着直线BE 后退到点D ，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A ，再用皮尺量得DE=，观察者目高CD=，则树（AB ）的高度约为________米（精确到）.答案：例5、（2006·鄂尔多斯市）如图所示，某校宣传栏后面2米处种了一排树，每隔2米一棵，共种了6棵，小勇站在距宣传栏中间位置的垂直距离3米处，正好看到两端的树干，其余的4棵均被挡住，那么宣传栏的长为米. （不计宣传栏的厚度）答案：6例6、如图所示，△ABC 与△A ′B ′C ′是位似图形，且位似比为1：2，若AB=2厘米，则A ′B ′=（）厘米，并在图中画出位似中心O.答案：4 图略例7、（2007.某某市）如图所示，点O 是△ABC 外一点，分别在射线OA ，OB ，OC 上取一点A ′，B ′，C ′，使得3='='='OCC O OB B O OA A O ，连接A ′B ′，B ′C ′，C ′A ′，所得△A ′B ′C ′与△ABC 是否相似？证明你的结论。

九年级数学图形的认识、图形与证明(四)上海科技版知识精讲

九年级数学图形的认识、图形与证明（四）某某科技版【本讲教育信息】一. 教学内容：图形的认识、图形与证明（四）：解直角三角形二. 教学目标：通过对解直角三角形基础知识的复习，解决中考中常见的问题三. 教学重点、难点：熟练地解决与解直角三角形相关的问题。

四. 课堂教学：中考导航解直角三角形⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧实习作业解直角三角形的应用已知斜边和一直角边已知两直角边已知直角边和一锐角已知斜边和一锐角四种类型边角的关系两锐角的关系三边的关系三种关系锐角三角函数的增减性关系互为余角的三角函数的特殊角的三角函数值锐角三角函数的定义锐角三角形函数【典型例题】例1、如图所示，P 是∠α的边OA 上一点，且点P 的坐标为（3，4），则sin α=（）A.53B.54 C.43 D.34 答案：B例2、化简()130(tan 2=-︒ ）答案：331-例3、如图所示，在高楼前D 点测得楼顶的仰角为30°，向楼前进60米到C 点，又测得仰角为45°，则该高楼的高度大约为（）答案：82米。

例4、如图所示，客轮在海上以30千米/小时的速度由B 向C 航行，在B 处测得灯塔A 的方位角为北偏东80°，测得C 处的方位角为南偏东25°，航行1小时后到达C 处，在C 处测得A 的方位角为北偏东20°，则C 到A 的距离是（）。

答案：)236(5+千米。

例5、已知，如图所示，有一飞行中的热气球，在A 处时热气球的探测器显示：从热气球看正前方一栋高楼顶部的仰角为45°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球离地面的高度为150米，为了安全，避免热气球撞上高楼，请问热气球此时至少应再上升多少米？（注：732.13≈，结果精确到1米）解：如图，在△BDA 中，因为∠BAD=45°，∠ADB=90°，所以∠ABD=45°，所以BD=AD ，在Rt △ADC 中，因为∠ADC=90°，∠DAC=60° 所以∠ACD=30°，因为CD=150，所以AD=CD ·tan30°=15087732.15033≈⨯≈⨯即BD=87答：热气球此时至少应再上升87米。

初三数学图形的认识、图形与证明(五)上海科技版知识精讲

初三数学图形的认识、图形与证明（五）某某科技版【本讲教育信息】一. 教学内容：图形的认识、图形与证明（五）圆的有关性质、直线与圆、圆与圆的位置关系二. 教学目标：通过对圆的有关性质、直线与圆、圆与圆的位置关系基础知识的复习，解决中考中常见的问题三. 教学重点、难点：熟练地解决与圆的有关性质、直线与圆、圆与圆的位置关系相关的问题四. 课堂教学：知识点1、知识点2、知识点3、【典型例题】例1. （2007·某某）如图所示，已知A、B、C、D是圆O上的四个点，AB＝BC，BD 交AC于点E，连接CD，AD（1）求证：DB平分∠ADC（2）若BE ＝3，ED ＝6，求AB 的长。

AB CD E证明：（1）因为AB ＝BC所以BDA BDC ∠=∠，所以BD 平分∠ADC （2）因为∠BAC ＝∠BDC 所以∠BAC ＝∠ADB 又∠ABE ＝∠DBA 所以△ABE ～△ADE所以93BD BE AB ,BD ABAB BE 2⨯=⋅==所以所以33=AB例2. （2007·某某市）如图所示，等腰三角形ABC 中，AC ＝BC ，以BC 为直径作⊙O 交AB 于点D ，交AC 于点G ，DF ⊥AC ，垂足为F ，交CB 的延长线于点E 。

求证：直线EF 是⊙O 的切线。

C证明：连接CD ，OD 因为AC ＝BC 所以∠A ＝∠ABC 又OD ＝OB所以∠ABO ＝∠ODB 所以∠ODB ＝∠A 所以OD ∥AC 因为EF ⊥AC 所以OD ⊥EF即EF 是⊙O 的切线。

例3. （2007·某某市）已知，如图所示，△ABC 中，CA ＝CB ，点D 为AC 中点，以AD 为直径的⊙O 切BC 于点E ，AD ＝2.（1）求BE 的长。

（2）过点D 作DF ∥BC 交⊙O 于点F ，求DF 的长。

ABCDF EO证明：（1）连接OE ，AF因为D 是AC 中点，AD ＝2，所以AC ＝4，AO ＝OD ＝1 所以OC ＝3OE 为半径，所以OE ＝1 根据勾股定理得22=CE 所以224-=BECE（2）因为DF ∥BC ，所以∠C ＝∠ADF ， AD 为直径，BC 为切线所以∠AFD ＝∠OEC 所以△AFD ～△OEC 所以3243222,=⨯==DF OC AD EC DF 所以例4. 如图所示，已知在⊙O 中，AB ＝34，AC 是⊙O 的直径，AC ⊥BD 于F ，∠A ＝30°，求图中扇形OBCD 的面积，若用扇形OBCD 围成一个圆锥侧面，请求出这个圆锥的底面圆的半径。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

初三数学图形的认识、图形与证明（一）：上海科技版【本讲教育信息】一. 教学内容：图形的认识、图形与证明（一）：几何初步、三角形二. 教学目标：通过对几何初步、三角形基础知识的复习，解决中考中常见的问题三. 教学重点、难点：熟练地解决与几何初步、三角形相关的问题四. 课堂教学：知识点1、几何初步知识知识点2、三角形【典型例题】例1、如图所示，直线l与直线a，b相交，且a∥b，∠1=80°，则∠2的度数是（）A. 60°B. 80°C. 100°D. 120°答案：B例2、如图所示，AB∥CD，点E在CB的延长线上，若∠ABE=60°，则∠ECD的度数为（）A. 120°B. 100°C. 60°D. 20°答案：A例3、经过任意三点中的两点共可以画出的直线条数是（）A. 一条或三条B. 三条C. 两条D. 一条答案：A例4、现在有2厘米，4厘米，5厘米，8厘米长的四根木棒，任意选取三根组成一个三角形，那么可以组成三角形的个数为（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个答案：B例5、如图所示，点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E，已知PE=3，则点P 到AB的距离是（）A. 3B. 4C. 5D. 6答案：A例6、如图所示，△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，若AD=6，则CD=（）答案：3例7、如图所示，点D，E分别在线段AB、AC上，BE，CD相交于点O，AE=AD，要使△ABE ≌△ACD，需要添加一个条件是（）（只要写出一个条件既可）。

答案：AB=AC等。

例8、已知，如图所示，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E 在BC上，BE=BF，连接AE，EF和CF（1）求证：AE=CF（2）若∠CAE=30°，求∠EFC的度数。

证明：（1）在△ABE和△CBF中，因为AB=BC，∠ABE=∠CBF=90°，BE=BF所以△ABE≌△CBF∴AE=CF（2）因为∠CAE=30°所以∠AEB=75°又因为△ABE≌△CBF所以∠CFB=∠AEB=75°，又因为∠EFB=45°所以∠EFC=∠CFB-∠EFB=30°例9、如图所示，延长△ABC的各边，使得BF=AC，AE=CD=AB，顺次连接D，E，F得到△DEF为等边三角形。

求证：（1）△AEF≌△CDE（2）△ABC为等边三角形证明：（1）因为BF=AC.AB=AE，所以FA=EC因为△DEF为等边三角形所以EF=DE，又因为AE=CD，所以△AEF≌△CDE（2）由△AEF≌△CDE，得到∠FEA=∠EDC，因为∠BCA=∠EDC+∠DEC=∠DEF△DEF是等边三角形，所以∠DEF=60°。

所以∠BCA=60°，同理可得∠BAC=60°所以△ABC中，AB=AC，所以△ABC是等边三角形。

【模拟试题】（答题时间：60分钟）一、填空题1、如图，AB∥CD，∠CFE＝112°，ED平分∠BEF，交CD于D，则∠EDF＝2、若一个角的余角是这个角的4倍，则这个角的度数是3、把63.5°用度分秒表示，把18°18′18″用度表示4、如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=8cm，BD=5cm，那么D•点到直线AB 的距离是_______cm.5、如图，∠A=65°，∠B=75°，将纸片的一角折叠，使点C•落在△ABC内，则∠1+∠2的度数为______.6、如图所示，∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF，给出下列结论：①∠1=∠2；②BE=CF；③△ACN≌△ABM；④CD=DN，其中正确的结论是_________.7、如图，已知CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD•交于点O，•且AO•平分∠BAC，那么图中全等三角形共有________对.8、如果两个角的两边分别平行且一个角比另一个角的3倍少30°，则这两个角的度数分别为9、如图，•将一副三角板的直角顶点重合，•摆放在桌面上，•若∠AOD=145°，则∠BOC=_______度.10、如图，AB∥CD，若∠ABE=120•°，• ∠DCE=•35•°，•则有∠BEC=_______度.二、选择题1、在平面上画出四条直线，交点的个数最多应该是（）A. 4个B. 5个C. 6个D. 8个2、用一副三角板可以作出大于0°而小于180°的角的个数（）A. 5个B. 10个C. 11个D. 以上都不对3、已知三条直线a，b，c，下列命题中错误的是（）A. 如果a∥b，b∥c，那么a∥cB. 如果a⊥b，b⊥c，那么a⊥cC. 如果a⊥b，b⊥c，那么a∥cD. 如果a⊥b，a∥c，那么b⊥c4、下列命题中（1）过一点有且只有一条直线垂直于已知直线；（2）经过一点有且只有一条直线和已知直线平行；（3）过线段AB外一点P作线段AB的中垂线；（4）如果直线l1与l2相交，直线l3与l4相交，那么l1∥l3；（5）如果两条直线都与同一条直线垂直，那么这两条直线平行；（6）两条直线没有公共点，那么这两条直线一定平行；（7）两条直线与第三条直线相交，如果内错角相等，则同旁内角互补；其中正确命题的个数为（）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个5、如图，是中国共产主义青年团团旗上的图案，点A、B、C、D、E五等分圆，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数是（）A. 180°B. 150°C. 135°D. 120°三、解答题1、已知：如图，△ABC是等边三角形，过AB边上的点D作DG∥BC，交AC于点G，•在GD 的延长线上取点E，使DE=DB，连结AE、CD.（1）求证：△AGE≌△DAC；（2）过点E作EF∥DC，交BC于点F，请你连结AF，并判断△AEF是怎样的三角形，试证明你的结论.2、如图，在△ABD和△ACE中，有下列四个等式：①AB=AC ②AD=AE ③∠1=∠2 ④BD=CE.请你以其中三个等式作为题设，余下的作为结论，写出一个真命题（•要求写出已知，求证及证明过程）3、已知：如图∠A=2∠B，CD平分∠ACB，求证：BC=AD+AC4、如图（1），P为Rt△ABC所在平面内任意一点（不在直线AC上），∠ACB = 90°，M 为A B边中点.操作：以PA、PC为邻边作平行四边形PA DC，连结P M并延长到点E，使ME = PM，连结DE.探究：⑴请猜想与线段DE有关的三个结论；⑵请你利用图（2），图（3）选择不同位置的点P按上述方法操作；⑶经历⑵之后，如果你认为你写的结论是正确的，请加以证明；如果你认为你写的结论是错误的，请用图（2）或图（3）加以说明；（注意：错误的结论，只要你用反例给予说明也得分）⑷若将“Rt△ABC”改为“任意△ABC”，其他条件不变，利用图（4）操作，并写出与线段DE有关的结论（直接写答案）.图（1）图（2）图（3）图（4）试题答案一、填空题1、56°2、18°3、63°30′；18.305°4、35、80°6、①②③7、48、52.5°，127.5°9、3510、95二、选择题1、C2、C3、B4、C5、A三、解答题1、证明：（1）因为DG∥BC，△ABC是等边三角形所以△ADG也是等边三角形，即AD=DG=AG因为DE=DB 所以EG=AB=AC在△AGE和△DAC中EG=AC，∠EGA=∠DAC=60°，AG=AD所以△AGE≌△DAC（2）因为ED∥BC，EF∥DC所以EF=DC又△AGE≌△DAC所以EA=DC所以AE=EF，所以△EAF是等腰三角形。

2、已知：AB=AC，AD=AE，∠1=∠2求证：BD=CE证明：因为∠1=∠2所以∠BAD=∠EAC因为AB=AC，AD=AE所以△ABD≌△AEC所以BD=CE3、证明：在BC上截取CE=AC，连接DE因为∠1=∠2，AC=EC，DC=DC所以△ADC≌△EDC，所以AD=DE，∠CED=∠A又因为∠CED=∠B+∠3所以∠B+∠3=∠A=2∠B 所以∠B=∠3 所以BE=DE即BC=CE+BE=AC+AD4、（1）DE∥BC，DE=BC，DE⊥AC（2）略（3）连接BE因为M为中点所以PM=EM，AM=BM，∠AMP=∠BME所以△APM≌△BEM所以PA=BE，∠APM=∠BEM所以PA=BE且PA∥BE又因为PADC为平行四边形所以CD=PA，CD∥PA所以BE=CD，BE∥CD所以CDEB是平行四边形所以DE=BC，DE∥BC又BC⊥AC所以DE⊥AC（4）DE=BC，DE∥BC。