2011届高考数学人教A版一轮复习课时练习-第五章 第五节--数列综合
【全套解析】高三数学一轮复习 5-5 数列的综合应用课件 (理) 新人教A版
即时训练 已知曲线C：y＝x2(x>0)，过C上的点A1(1,1)作曲线C 的切线l1交x轴于点B1，再过点B1作y轴的平行线交曲线C于点A2，再过 点A2作曲线C的切线l2交x轴于点B2，再过点B2作y轴的平行线交曲线C 于点A3，…，依次作下去，记点An的横坐标为an(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式； (2)设数列{an}的前n项和为Sn，求证：anSn≤1.
解：(1)∵曲线 C 在点 An(an，an2)处的切线 ln 的斜率是 2an， ∴切线 ln 的方程是 y－an2＝2an(x－an)， 由于点 B 的横坐标等于点 An＋1 的横坐标 an＋1， ∴令 y＝0，得 an＋1＝12an， ∴数列{an}是首项为 1，公比为12的等比数列， ∴an＝2n1－1.
[例1] 已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an＋1＝(1＋q)an－qan－ 1(n≥2，q≠0)．
(1)设bn＝an＋1－an(n∈N*)，证明{bn}是等比数列； (2)求数列{an}的通项公式； (3)若a3是a6与a9的等差中项，求q的值，并证明：对任意的n∈N*， an是an＋3与an＋6的等差中项．
②乙方案获利： 1＋(1＋0.5)＋(1＋2×0.5)＋…＋(1＋9×0.5) ＝10×1＋102×9×0.5＝32.50(万元)， 银行本息和： 1．05×[1＋(1＋5%)＋(1＋5%)2＋…＋(1＋5%)9] ＝1.05×1.005.1005－1≈13.21(万元) 故乙方案纯利：32.50－13.21＝19.29(万元)； 综上可知，甲方案更好．
(2)kAnAn＋1＝aan＋n＋2－1－aan＋n 1，可用作差比较法证明．
[课堂记录] (1)∵an＋1＝ana＋n 1且 a1＝1， ∴an1＋1＝1＋a1n，∴an1＋1－a1n＝1， ∴{a1n}是以 1 为首项，1 为公差的等差数列， ∴a1n＝1＋(n－1)×1＝n，∴an＝1n.
届高考数学一轮复习第5章 第5节 数列的综合应用(新人教A版)(山东专用)PPT课件
∴a＝1，m＝2，
∴f(x)＝x(x＋1)，
f1n＝nn1＋1＝n1－n＋1 1，
用裂项法求和得 Sn＝n＋n 1.
【答案】
n n＋1
5．(2012·湖北高考)定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数 f(x)，
如果对于任意给定的等比数列{an}，{f(an)}仍是等比数列，则称 f(x) 为“保等比数列函数”．现有定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的如
故数列lg
a1n的前 6 项的和最大．
规律方法 1 1.1本题的切入点是求 a1，从而得 an 与 Sn 的关 系，转化成等比数列求通项公式；2递减的等差数列的前 n 项和 有最大值，运用函数思想求解.
2.等差数列与等比数列的联系： 1若数列{an}是等差数列，则数列{aan}是等比数列，公比为 ad，其中 a 是常数，d 是{an}的公差.a＞0 且 a≠1. 2若数列{an}是等比数列，且 an＞0，则数列{logaan}是等差数 列，公差为 logaq，其中 a 是常数且 a＞0，a≠1，q 是{an}的公比.
【解析】 每天植树的棵树构成以 2 为首项，2 为公比的 等比数列，其前 n 项和 Sn＝a111－－qqn＝211－－22n＝2n＋1－2.由 2n＋1－2≥100，得 2n＋1≥102. 由于 26＝64,27＝128，则 n＋1≥7， 即 n≥6. 【答案】 6
考向一 [096] 等差数列与等比数列的综合应用
(2)当 λ＝100 时，令 bn＝lg a1n， 由(1)知，bn＝lg 120n0＝2－nlg 2，
于是数列{bn}是公差为－lg 2 的递减数列．
b1>b2>…>b6＝lg
高考数学一轮复习讲解与练习 5.5数列的综合问题理 新人教A版.pdf
[备考方向要明了] 考 什 么怎 么 考 能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用相关知识解决相应的问题.1.以递推为背景，考查数列的通项公式与前n项和公式，如2012年新课标全国T16等．2.等差数列、等比数列综合考查数列的基本计算，如2012年江西T16，湖北T18等．3.考查数列与函数、不等式、解析几何的综合问题，且以解答题的形式出现，如2012年广东T19等. [归纳·知识整合] 1．数列综合应用题的解题步骤 (1)审题——弄清题意，分析涉及哪些数学内容，在每个数学内容中，各是什么问题． (2)分解——把整个大题分解成几个小题或几个“步骤”，每个小题或每个“步骤”分别是数列问题、函数问题、解析几何问题、不等式问题等． (3)求解——分别求解这些小题或这些“步骤”，从而得到整个问题的解答． 具体解题步骤如下框图： 2．常见的数列模型 (1)等差数列模型：通过读题分析，由题意抽象出等差数列，利用等差数列有关知识解决问题． (2)等比数列模型：通过读题分析，由题意抽象出等比数列，利用等比数列有关知识解决问题． (3)递推公式模型：通过读题分析，由题意把所给条件用数列递推式表达出来，然后通过分析递推关系式求解． [探究] 银行储蓄单利公式及复利公式分别是什么模型？ 提示：单利公式——设本金为a元，每期利率为r，存期为n，则本利和an＝a(1＋rn)，属于等差数列模型． 复利公式——设本金为a元，每期利率为r，存期为n，则本利和an＝a(1＋r)n，属于等比数列模型． [自测·牛刀小试] 1．(教材习题改编)已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2的值为( ) A．－4 B．－6 C．－8 D．－10 解析：选B 由题意知：a＝a1a4. 则(a2＋2)2＝(a2－2)(a2＋4)，解得a2＝－6. 2．已知log2x，log2y,2成等差数列，则M(x，y)的轨迹的图象为( ) 解析：选A 由于log2x，log2y,2成等差数列，则有2log2y＝log2x＋2，所以y2＝4x.又y＞0，x＞0，故M的轨迹图象为A. 2412xyz3.在如图所示的表格中，如果每格填上一个数后，每一行成等差数列，每一列成等比数列，那么x＋y＋z的值为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选C 由题意知，第三列各数成等比数列，故x＝1；第一行第五个数为6，第二行第五个数为3，故z＝； 第一行第四个数为5，第二行第四个数为，故y＝，从而x＋y＋z＝3. 4．等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，且4a1,2a2，a3成等差数列，则S4＝________. 解析：设数列{an}的公比为q，4a2＝4a1＋a3，4a1q＝4a1＋a1q2，即q2－4q＋4＝0，解得q＝2. S4＝＝15. 答案：15 5．已知数列{an}的前n项和为Sn，对任意nN*都有Sn＝an－，若1＜Sk＜9(kN*)，则k的值为________． 解析：由Sn＝an－得 当n≥2时，Sn＝(Sn－Sn－1)－， 即Sn＝－2Sn－1－1. 令Sn＋p＝－2(Sn－1＋p)得 Sn＝－2Sn－1－3p，可知p＝. 故数列是以－为首项，以－2为公比的等比数列． 则Sn＋＝－×(－2)n－1， 即Sn＝－×(－2)n－1－. 由1＜－×(－2)k－1－＜9，kN*得k＝4. 答案：4 等差数列、等比数列的综合问题 [例1] 在等比数列{an}(nN*)中，a1>1，公比q>0，设bn＝log2an，且b1＋b3＋b5＝6，b1b3b5＝0. (1)求证：数列{bn}是等差数列； (2)求{bn}的前n项和Sn及{an}的通项an. [自主解答] (1)证明：bn＝log2an， bn＋1－bn＝log2＝log2q为常数， 数列{bn}为等差数列且公差d＝log2q. (2)b1＋b3＋b5＝6，b3＝2. a1>1，b1＝log2a1>0. b1b3b5＝0，b5＝0. 解得 Sn＝4n＋×(－1)＝. ∴ ∴an＝25－n(nN*)． 在本例(2)的条件下，试比较an与Sn的大小． 解：显然an＝25－n>0， 当n≥9时，Sn＝≤0， n≥9时，an>Sn. a1＝16，a2＝8，a3＝4，a4＝2，a5＝1， a6＝，a7＝，a8＝， S1＝4，S2＝7，S3＝9，S4＝10，S5＝10，S6＝9，S7＝7， S8＝4，当n＝3，4，5，6，7，8时，anSn. ——————————————————— 解答数列综合问题的注意事项 (1)要重视审题，善于联系，将等差、等比数列与函数、不等式、方程、应用性问题等联系起来． (2)对于等差、等比数列的综合问题，应重点分析等差、等比数列的通项，前n项和以及等差、等比数列项之间的关系，往往用到转化与化归的思想方法． 1．(2013·青岛模拟)已知等差数列{an}的公差大于零，且a2，a4是方程x2－18x＋65＝0的两个根；各项均为正数的等比数列{bn}的前n项和为Sn，且满足b3＝a3，S3＝13. (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)若数列{cn}满足cn＝求数列{cn}的前n项和Tn. 解：(1)设{an}的公差为d，{bn}的公比为q. 由x2－18x＋65＝0，解得x＝5或x＝13. 因为d>0，所以a20，解得b1＝1，q＝3. 所以bn＝3n－1. (2)当n≤5时，Tn＝a1＋a2＋a3＋…＋an ＝n＋×4＝2n2－n； 当n>5时，Tn＝T5＋(b6＋b7＋b8＋…bn) ＝(2×52－5)＋＝. 所以Tn＝ 数列与函数的综合应用 [例2] (2012·安徽高考)设函数f(x)＝＋sin x的所有正的极小值点从小到大排成的数列为. (1)求数列的通项公式； (2)设的前n项和为Sn，求sin Sn. [自主解答] (1)令f′(x)＝＋cos x＝0，即cos x＝－，解得x＝2kπ±π(kZ)． 由xn是f(x)的第n个正极小值点知， xn＝2nπ－π(nN*)． (2)由(1)可知，Sn＝2π(1＋2＋…＋n)－nπ＝n(n＋1)π－， 所以sin Sn＝sin. 因为n(n＋1)表示两个连续正整数的乘积，n(n＋1)一定为偶数， 所以sin Sn＝－sin . 当n＝3m－2(mN*)时， sin Sn＝－sin＝－； 当n＝3m－1(mN*)时， sin Sn＝－sin＝； 当n＝3m(mN*)时， sin Sn＝－sin 2mπ＝0. 综上所述，sin Sn＝ ——————————————————— 解决函数与数列的综合问题应该注意的事项 (1)数列是一类特殊的函数，它的图象是一群孤立的点； (2)转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视的问题； (3)利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化． 2．已知函数f(x)＝x2＋x－1，α，β是方程f(x)＝0的两个根(α>β)，f′(x)是f(x)的导数，设a1＝1，an＋1＝an－(n＝1,2，…)． (1)求α，β的值； (2)已知对任意的正整数n，都有an>α，记bn＝ln(n＝1,2，…)，求数列{bn}的前n项和Sn. 解：(1)由方程x2＋x－1＝0解得方程的根为 x1＝，x2＝， 又α，β是方程的两个实根，且α>β， α＝，β＝. (2)f′(x)＝2x＋1， an＋1＝an－＝an－＝. an>α>β(n＝1,2,3，…)，且a1＝1， b1＝ln＝ln＝4ln. 或b1＝ln＝ln＝ln＝2ln＝2ln2＝4ln bn＋1＝ln＝ln ＝ln＝ln＝2ln＝2bn. 即{bn}是以b1为首项，2为公比的等比数列． 故数列{bn}的前n项和 Sn＝＝(2n－1)·4ln ＝(2n＋2－4)ln. 数列与不等式的综合应用 [例3] (2012·广东高考)设数列{an}的前n项和为Sn，满足2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，nN*，且a1，a2＋5，a3成等差数列． (1)求a1的值； (2)求数列{an}的通项公式； (3)证明：对一切正整数n，有＋＋…＋1)．又a1＝1满足上式， 故an＝3n－2n. (3)证明：＝＝·≤ ·＝3·， ＋＋…＋≤3 ＝3×＝0成立的最小值n. 解：(1){an}是等比数列，设其公比为q， 两式相除得，＝，q＝3或q＝， {an}为递增数列，q＝3，a1＝. an＝a1qn－1＝·3n－1＝2·3n－5， bn＝log3＝n－5， 数列{bn}的前n项和Sn＝＝(n2－9n)． (2)Tn＝b1＋b2＋b22＋…b2n－1＝(1－5)＋(2－5)＋(22－5)＋…＋(2n－1－5)＝－5n>0， 即2n>5n＋1. 245×5＋1，nmin＝5(只要给出正确结果，不要求严格证明).数列的实际应用 [例4] (2012·湖南高考)某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产．该企业第一年年初有资金2 000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元． (1)用d表示a1，a2，并写出an＋1与an的关系式； (2)若公司希望经过m(m≥3)年使企业的剩余资金为4 000万元，试确定企业每年上缴资金d的值(用m表示)． [自主解答] (1)由题意得a1＝2 000(1＋50%)－d＝3 000－d， a2＝a1(1＋50%)－d＝a1－d＝4 500－d. an＋1＝an(1＋50%)－d＝an－d. (2)由(1)得an＝an－1－d ＝－d ＝2an－2－d－d … ＝n－1a1－d. 整理得an＝n－1(3 000－d)－2d ＝n－1(3 000－3d)＋2d. 由题意，am＝4 000，即m－1(3 000－3d)＋2d＝4 000. 解得d＝＝. 故该企业每年上缴资金d的值为时，经过m(m≥3)年企业的剩余资金为4 000万元． ——————————————————— 解决数列实际应用问题的方法 解等差数列、等比数列应用题时，首先要认真审题，深刻理解问题的实际背景，理清蕴含在语言中的数学关系，把应用问题抽象为数学中的等差数列、等比数列问题，使关系明朗化、标准化，然后用等差数列、等比数列知识求解．这其中体现了把实际问题数学化的能力，即数学建模能力． 4．某市2010年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米．那么，到哪一年底， (1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2010年为累计的第一年)将首次不少于4 750万平方米？ (2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比较首次大于85%？(参考数据：1.084≈1.36,1.085≈1.47,1.086≈1.59) 解：(1)设中低价房面积形成数列{an}，由题意可知{an}是等差数列，其中a1＝250，d＝50， 则Sn＝250n＋×50＝25n2＋225n. 令25n2＋225n≥4 750， 即n2＋9n－190≥0，而n是正整数， 解得n≥10.故到2019年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4 750万平方米． (2)设新建住房面积形成数列{bn}，由题意可知{bn}是等比数列，其中b1＝400，q＝1.08，则bn＝400×(1.08)n－1. 由题意可知an>0.85bn， 有250＋(n－1)×50>400×(1.08)n－1×0.85. 当n＝5时，a50.85b6， 即满足上述不等式的最小正整数n为6. 故到2015年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%. 1个问题——分期付款问题 等比数列中处理分期付款问题的注意事项： (1)准确计算出在贷款全部付清时，各期所付款额及利息(最后一次付款没有利息)． (2)明确各期所付的款以及各期所付款到最后一次付款时所生的利息之和，等于商品售价及从购买到最后一次付款时的利息之和，只有掌握了这一点，才可顺利建立等量关系． 3个注意——递推、放缩与函数思想的考查 (1)数列与解析几何结合时注意递推． (2)数列与不等式相结合时注意对不等式进行放缩． (3)数列与函数相结合时主要考查函数的思想及函数的性质(多为单调性). 创新交汇——数列的新定义问题 1．数列题目中有时定义一个新数列，然后根据定义的新数列所具备的性质解决有关问题． 2．解决新情境、新定义数列问题，首先要根据新情境、新定义进行推理，从而明确考查的是哪些数列知识，然后熟练运用归纳、构造、正难则反、分类与整合等方法进行解题． [典例] (2011·)若数列An：a1，a2，…，an(n≥2)满足|ak＋1－ak|＝1(k＝1,2，…，n－1)，则称An为E数列．记S(An)＝a1＋a2＋…＋an. (1)写出一个满足a1＝a5＝0，且S(A5)>0的E数列A5； (2)若a1＝12，n＝2 000.证明：E数列An是递增数列的充要条件是an＝2 011； (3)对任意给定的整数n(n≥2), 是否存在首项为0的E数列An，使得S(An)＝0？如果存在，写出一个满足条件的E数列An；如果不存在，说明理由． [解] (1)0,1,2,1,0是一个满足条件的E数列A5. (答案不唯一，0,1,0,1,0也是一个满足条件的E数列A5) (2)必要性：因为E数列An是递增数列， 所以ak＋1－ak＝1(k＝1,2，…，1 999)． 所以An是首项为12，公差为1的等差数列． 所以a2 000＝12＋(2000－1)×1＝2 011. 充分性：由于a2 000－a1 999≤1， a1 999－a1 998≤1， … a2－a1≤1， 所以a2 000－a1≤1 999，即a2 000≤a1＋1 999. 又因为a1＝12，a2 000＝2 011， 所以a2 000＝a1＋1 999. 故ak＋1－ak＝1＞0(k＝1,2，…，1 999)，即An是递增数列． 综上，结论得证． (3)令ck＝ak＋1－ak(k＝1,2，…，n－1)，则ck＝±1. 因为a2＝a1＋c1， a3＝a1＋c1＋c2， … an＝a1＋c1＋c2＋…＋cn－1， 所以S(An)＝na1＋(n－1)c1＋(n－2)c2＋(n－3)c3＋…＋cn－1＝(n－1)＋(n－2)＋…＋1－[(1－c1)(n－1)＋(1－c2)(n－2 )＋…＋(1－cn－1)]＝－[(1－c1)(n－1)＋(1－c2)(n－2)＋…＋(1－cn－1)]． 因为ck＝±1，所以1－ck为偶数(k＝1，…，n－1)． 所以(1－c1)(n－1)＋(1－c2)(n－2)＋…＋(1－cn－1)为偶数， 所以要使S(An)＝0，必须使为偶数， 即4整除n(n－1)，亦即n＝4m或n＝4m＋1(mN*)． 当n＝4m(mN*)时，E数列An的项满足a4k－1＝a4k－3＝0，a4k－2＝－1，a4k＝1(k＝1,2，…，m)时，有a1＝0，S(An)＝0； 当n＝4m＋1(mN*)时，E数列An的项满足a4k－1＝a4k－3＝0，a4k－2＝－1，a4k＝1(k＝1,2，…，m)，a4m＋1＝0时，有 a1＝0，S(An)＝0； 当n＝4m＋2或n＝4m＋3(mN*)时，n(n－1)不能被4整除，此时不存在E数列An，使得a1＝0，S(An)＝0. 1．本题具有以下创新点： (1)本题为新定义问题，命题背景新颖． (2)命题方式创新，既有证明题，也有探究性问题，同一个题目中多种方式相结合． 2．解决本题要注意以下几个问题： 对于此类压轴型新定义数列题，首先要有抢分意识，得一分是一分，多尝试解答，仔细分析，认真翻译；其次，要有运用数学思想方法的意识，如构造、分类等．第(1)问中E数列A5的首尾都是0，则必须先增后减或先减后增，或者摆动；第(2)问条件在后边，因此，前推后是证明条件的必要性，不可颠倒，前推后比较容易，应该先证明；第(3)问和第(1)问相呼应，所以在推理时要善于前后联系，善于发现矛盾，从而找到解决问题的突破口． 1．已知数列{an}：a1，a2，a3，…，an，如果数列{bn}：b1，b2，b3，…bn满足b1＝an，bk＝ak－1＋ak－bk－1，其中k＝2,3，…，n，则称{bn}为{an}的“衍生数列”．若数列{an}：a1，a2，a3，a4的“衍生数列”是5，－2,7,2，则{an}为______；若n为偶数，且{an}的“衍生数列”是{bn}，则{bn}的“衍生数列”是______． 解析：由b1＝an，bk＝ak－1＋ak－bk－1，k＝2,3，…，n可得，a4＝5,2＝a3＋a4－7，解得a3＝4.又7＝a2＋a3－(－2)，解得a2＝1.由－2＝a1＋a2－5，解得a1＝2，所以数列{an}为2,1,4,5. 由已知，b1＝a1－(a1－an)，b2＝a1＋a2－b1＝a2＋(a1－an)，….因为n是偶数，所以bn＝an＋(－1)n(a1－an)＝a1.设{bn}的“衍生数列”为{cn}，则ci＝bi＋(－1)i(b1－bn)＝ai＋(－1)i·(a1－an)＋(－1)i(b1－bn)＝ai＋(－1)i(a1－an)＋(－1)i·(an－a1)＝ai，其中i＝1,2,3，…，n.则{bn}的“衍生数列”是{an}． 答案：2,1,4,5 {an} 2．(2012·上海高考改编)对于项数为m的有穷数列{an}，记bk＝max{a1，a2，…，ak}(k＝1,2，…，m)，即bk为a1，a2，…，ak中的最大值，并称数列{bn}是{an}的控制数列．如1,3,2,5,5的控制数列是1,3,3,5,5. (1)若各项均为正整数的数列{an}的控制数列为2,3,4,5,5，写出所有的{an}； (2)设{bn}是{an}的控制数列，满足ak＋bm－k＋1＝C(C为常数，k＝1,2，…，m)．求证：bk＝ak(k＝1,2，…，m)． 解：(1)数列{an}为：2,3,4,5,1；2,3,4,5,2；2,3,4,5,3；2,3,4,5,4；2,3,4,5,5. (2)证明：因为bk＝max{a1，a2，…，ak}， bk＋1＝max{a1，a2，…，ak，ak＋1}， 所以bk＋1≥bk. 因为ak＋bm－k＋1＝C，ak＋1＋bm－k＝C， 所以ak＋1－ak＝bm－k＋1－bm－k≥0，即ak＋1≥ak. 因此，bk＝ak. 一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1. 等差数列{an}中，a3＋a11＝8，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b6·b8的值( ) A．2 B．4 C．8 D．16 解析：选D {an}为等差数列，a7＝＝4＝b7. 又{bn}为等比数列，b6·b8＝b＝16. 2．数列{an}是公差不为0的等差数列，且a1，a3，a7为等比数列{bn}中连续的三项，则数列{bn}的公比为( ) A. B．4 C．2 D. 解析：选C 设数列{an}的公差为d(d≠0)，由a＝a1a7得(a1＋2d)2＝a1(a1＋6d)，解得a1＝2d，故数列{bn}的公比q＝＝＝＝2. 3．(2013·泉州模拟)满足a1＝1，log2an＋1＝log2an＋1(nN*)，它的前n项和为Sn，则满足Sn>1 025的最小n值是( ) A．9 B．10 C．11 D．12 解析：选C 因为a1＝1，log2an＋1＝log2an＋1(nN*)，所以an＋1＝2an， an＝2n－1，Sn＝2n－1，则满足Sn>1 025的最小n值是11. 4．根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n个月内累积的需求量Sn(万件)近似地满足关系式Sn＝(21n－n2－5)(n＝1,2，…，12)，按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是( ) A．5、6月 B．6、7月 C．7、8月 D．8、9月 解析：选C 由Sn解出an＝(－n2＋15n－9)，再解不等式(－n2＋15n－9)>1.5，得6<n<9. 5．数列{an}的通项an＝n2，其前n项和为Sn，则S30为( ) A．470 B．490 C．495 D．510 解析：选A 注意到an＝n2cos，且函数y＝cos的最小正周期是3，因此当n是正整数时，an＋an＋1＋an＋2＝－n2－(n＋1)2＋(n＋2)2＝3n＋，其中n＝1,4，7…，S30＝(a1＋a2＋a3)＋(a4＋a5＋a6)＋…＋(a28＋a29＋a30)＝＋＋…＋＝3×＋×10＝470. 6．(2013·株州模拟)在数列{an}中，对任意nN*，都有＝k(k为常数)，则称{an}为“等差比数列”．下面对“等差比数列”的判断： k不可能为0； 等差数列一定是等差比数列； 等比数列一定是等差比数列； 通项公式为an＝a·bn＋c(a≠0，b≠0,1)的数列一定是等差比数列． 其中正确的判断为( ) A． B． C． D． 解析：选D 若k＝0时，则an＋2－an＋1＝0，因为an＋2－an＋1可能为分母，故无意义，故k不可能为0，正确；若等差、等比数列为常数列，则错误；由定义知正确． 二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 7．(2013·安庆模拟)设关于x的不等式x2－x<2nx(nN*)的解集中整数的个数为an，数列{an}的前n项和为Sn，则S100的值为________． 解析：由x2－x<2nx(nN*)， 得0<x0)的图象在点(ak，a)处的切线与x轴交点的横坐标为ak＋1，k为正整数，a1＝16，则a1＋a3＋a5＝________. 解析：依题意得，函数y＝x2(x>0)的图象在点( ak，a)处的切线方程是y－a＝2ak(x－ak)． 令y＝0得x＝ak，即ak＋1＝ak，因此数列{ak}是以16为首项，为公比的等比数列，所以ak＝16·k－1＝25－k，a1＋a3＋a5＝16＋4＋1＝21. 答案：21 9．气象学院用3.2万元买了一台天文观测仪，已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用，第n天的维修保养费为(nN*)元，使用它直至报废最合算(所谓报废最合算是指使用的这台仪器的平均耗资最少)，一共使用了________天． 解析：由第n天的维修保养费为(nN*)元，可以得出观测仪的整个耗资费用，由平均费用最少而求得最小值成立时的相应n的值． 由题意知使用n天的平均耗资为＝ ＋＋，当且仅当＝时取得最小值，此时n＝800. 答案：800 三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分) 10．设同时满足条件：≥bn＋1；bn≤M(n∈N*，M是常数)的无穷数列{bn}叫“嘉文”数列．已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝(an－1)(a为常数，且a≠0，a≠1)． (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝＋1，若数列{bn}为等比数列，求a的值，并证明数列为“嘉文”数列． 解：(1)因为S1＝(a1－1)＝a1，所以a1＝a. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(an－an－1)，整理得＝a，即数列{an}是以a为首项，a为公比的等比数列．所以an＝a· an－1＝an. (2)由(1)知， bn＝＋1＝，(*) 由数列{bn}是等比数列，则b＝b1·b3，故2＝3·，解得a＝， 再将a＝代入(*)式得bn＝3n，故数列{bn}为等比数列，所以a＝. 由于＝>＝＝，满足条件；由于＝≤，故存在M≥满足条件.故数列为“嘉文”数列． 11．已知正项数列{an}，{bn}满足：a1＝3，a2＝6，{bn}是等差数列，且对任意正整数n，都有bn，，bn＋1成等比数列． (1)求数列{bn}的通项公式； (2)设Sn＝＋＋…＋，试比较2Sn与2－的大小． 解：(1)对任意正整数n，都有bn，，bn＋1成等比数列，且数列{an}，{bn}均为正项数列， an＝bnbn＋1(nN*)． 由a1＝3，a2＝6得又{bn}为等差数列，即有b1＋b3＝2b2， 解得b1＝，b2＝， 数列{bn}是首项为，公差为的等差数列． 数列{bn}的通项公式为bn＝(nN*)． (2)由(1)得，对任意nN*，an＝bnbn＋1＝，从而有＝＝2， Sn＝2 ＝1－. 2Sn＝2－.又2－＝2－， 2Sn－＝－＝. 当n＝1，n＝2时，2Sn2－. 12．已知数列{an}的前n项和为Sn，对一切正整数n，点Pn(n，Sn)都在函数f(x)＝x2＋2x的图象上，且过点Pn(n，Sn)的切线的斜率为kn. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若bn＝2knan，求数列{bn}的前n项和Tn； (3)设Q＝{x|x＝kn，nN*}，R＝{x|x＝2an，nN*}，等差数列{cn}的任一项cnQ∩R，其中c1是Q∩R中的最小数，110<c10<115，求{cn}的通项公式． 解：(1)点Pn(n，Sn)都在函数f(x)＝x2＋2x的图象上， Sn＝n2＋2n(nN*)． 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1， 当n＝1时，a1＝S1＝3满足上式，所以数列{an}的通项公式为an＝2n＋1. (2)由f(x)＝x2＋2x求导可得f′(x)＝2x＋2. 过点Pn(n，Sn)的切线的斜率为kn， kn＝2n＋2. bn＝2knan＝4·(2n＋1)·4n. Tn＝4×3×41＋4×5×42＋4×7×43＋…＋4×(2n＋1)×4n. 由×4，得 4Tn＝4×3×42＋4×5×43＋4×7×44＋…＋4×(2n＋1)×4n＋1. ①－得 －3Tn＝4[3×4＋2×(42＋43＋…＋4n)－(2n＋1)×4n＋1] ＝4， Tn＝·4n＋2－. (3)Q＝{x|x＝2n＋2，nN*}，R＝{x|x＝4n＋2，nN*}，Q∩R＝R. 又cn∈Q∩R，其中c1是Q∩R中的最小数，c1＝6. {cn}的公差是4的倍数，c10＝4m＋6(mN*)． 又110<c10n＋1，即 1－0时，An<Bn；当aBn. 2．已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为a(单位：m2)，其中有部分旧住房需要拆除．当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的10%建设新住房，同时也拆除面积为b(单位：m2)的旧住房． (1)分别写出第1年末和第2年末的实际住房面积的表达式； (2)如果第5年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了30%，则每年拆除的旧住房面积b是多少？(计算时取1.15≈1.6) 解：(1)第1年末的住房面积为a·－b＝1.1a－b(m2)，第2年末的住房面积为·－b＝a·2－b＝1.21a－2.1b(m2)． (2)第3年末的住房面积为·－b＝a·3－b(m2)， 第4年末的住房面积为 a·4－b(m2)， 第5年末的住房面积为 a·5－b＝1.15a－b≈1.6a－6b(m2)． 依题意可知，1.6a－6b＝1.3a，解得b＝，所以每年拆除的旧住房面积为 m2. 3．已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＋1＝kSn＋2(nN*)，且a1＝2，a2＝1. (1)求k的值和Sn的表达式； (2)是否存在正整数m，n，使得<成立？若存在，求出这样的正整数；若不存在，请说明理由． 解：(1)由条件Sn＋1＝kSn＋2(nN*)，得S2＝kS1＋2， 即a1＋a2＝ka1＋2， a1＝2，a2＝1，2＋1＝2k＋2，得k＝. 于是，Sn＋1＝Sn＋2，设Sn＋1＋x＝(Sn＋x)， 即Sn＋1＝Sn－x，令－x＝2，得x＝－4， Sn＋1－4＝(Sn－4)， 即数列{Sn－4}是首项为－2，公比为的等比数列． Sn－4＝(－2)·n－1，即Sn＝4(nN*)． (2)由不等式<， 得<，即<. 令t＝2n(4－m)，则不等式变为<， 解得2<t<6，即2<2n(4－m)<6. 假设存在正整数m，n，使得上面的不等式成立，由于2n为偶数，4－m为整数， 则只能是2n(4－m)＝4，或 解得或 于是，存在正整数m＝2，n＝1或m＝3，n＝2， 使得<成立．。
高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习教案：5.5 数列的综合应用 Word版含答案
第五节数列的综合应用数列的综合应用能在具体的问题情境中，识别数列的等差关系或等比关系，抽象出数列的模型，并能用有关知识解决相应的问题．知识点数列的实际应用问题数列应用题常见模型(1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差．(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比．(3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是a n与a n＋1的递推关系，还是前n项和S n与S n＋1之间的递推关系． 必备方法解答数列应用题的步骤：(1)审题——仔细阅读材料，认真理解题意．(2)建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的结构和特征．(3)求解——求出该问题的数学解．(4)还原——将所求结果还原到原实际问题中．具体解题步骤用框图表示如下：[自测练习]1．有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要() A．6秒钟B．7秒钟C．8秒钟D．9秒钟解析：设至少需要n秒钟，则1＋21＋22＋…＋2n－1≥100，∴1－2n 1－2≥100，∴n ≥7. 答案：B2．一个凸多边形的内角成等差数列，其中最小的内角为2π3，公差为π36，则这个多边形的边数为________．解析：由于凸n 边形的内角和为(n －2)π， 故2π3n ＋n (n －1)2×π36＝(n －2)π. 化简得n 2－25n ＋144＝0.解得n ＝9或n ＝16(舍去)． 答案：93．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n (n ∈N *)等于________．解析：每天植树的棵数构成以2为首项，2为公比的等比数列，其前n 项和S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝2(1－2n )1－2＝2n ＋1－2.由2n ＋1－2≥100，得2n ＋1≥102.由于26＝64,27＝128，则n ＋1≥7，即n ≥6.答案：6考点一 等差、等比数列的综合应用|在数列{a n }中，a 1＝2，a 2＝12，a 3＝54，数列{a n ＋1－3a n }是等比数列．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 3n －1是等差数列；(2)求数列{a n }的前n 项和S n .[解] (1)证明：∵a 1＝2，a 2＝12，a 3＝54， ∴a 2－3a 1＝6，a 3－3a 2＝18. 又∵数列{a n ＋1－3a n }是等比数列， ∴a n ＋1－3a n ＝6×3n －1＝2×3n ，∴a n ＋13n －a n3n －1＝2， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 3n －1是等差数列．(2)由(1)知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 3n －1是等差数列，∴a n 3n －1＝a 130＋(n －1)×2＝2n ， ∴a n ＝2n ×3n －1.∵S n ＝2×1×30＋2×2×31＋…＋2n ×3n －1，∴3S n ＝2×1×3＋2×2×32＋…＋2n ×3n .∴S n －3S n ＝2×1×30＋2×1×3＋…＋2×1×3n －1－2n ×3n＝2×1－3n1－3－2n ×3n＝3n －1－2n ×3n ， ∴S n ＝⎝⎛⎭⎫n －12×3n ＋12.等差数列、等比数列综合问题的解题策略(1)分析已知条件和求解目标，为最终解决问题设置中间问题，例如求和需要先求出通项、求通项需要先求出首项和公差(公比)等，确定解题的顺序．(2)注意细节：在等差数列与等比数列综合问题中，如果等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等于1的可能，在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等，这些细节对解题的影响也是巨大的．1．(2016·贵州七校联考)已知{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，a 1＝b 1＝1，且b 3S 3＝36，b 2S 2＝8(n ∈N *)．(1)求a n 和b n ；(2)若a n <a n ＋1，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和T n .解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧q 2(3＋3d )＝36，q (2＋d )＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧d ＝－23，q ＝6，∴⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝2n －1，b n ＝2n －1，或⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝13(5－2n )，b n ＝6n －1.(2)若a n <a n ＋1，由(1)知a n ＝2n －1，∴1a n a n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1，∴T n ＝12⎝⎛⎭⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝n 2n ＋1.考点二 数列的实际应用问题|为了加强环保建设，提高社会效益和经济效益，长沙市计划用若干时间更换一万辆燃油型公交车，每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车，替换车为电力型和混合动力型车．今年初投入了电力型公交车128辆，混合动力型公交车400辆；计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加50%，混合动力型车每年比上一年多投入a 辆．(1)求经过n 年，该市被更换的公交车总数S (n )； (2)若该市计划7年内完成全部更换，求a 的最小值．[解] (1)设a n ，b n 分别为第n 年投入的电力型公交车、混合动力型公交车的数量． 依题意，得{a n }是首项为128，公比为1＋50%＝32的等比数列，{b n }是首项为400，公差为a 的等差数列．所以{a n }的前n 项和S n ＝128×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫32n 1－32＝256⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫32n －1， {b n }的前n 项和T n ＝400n ＋n (n －1)2a . 所以经过n 年，该市被更换的公交车总数为S (n )＝S n ＋T n ＝256⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫32n －1＋400n ＋n (n －1)2a . (2)若计划7年内完成全部更换，则S (7)≥10 000，所以256⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫327－1＋400×7＋7×62a ≥10 000， 即21a ≥3 082，所以a ≥1461621.又a ∈N *，所以a 的最小值为147.解决数列应用题一个注意点解决数列应用问题，要明确问题属于哪一种类型，即明确是等差数列问题还是等比数列问题，要求a n 还是S n ，特别是要弄清项数．2．某工业城市按照“十二五”(2011年至2015年)期间本地区主要污染物排放总量控制要求，进行减排治污．现以降低SO 2的年排放量为例，原计划“十二五”期间每年的排放量都比上一年减少0.3万吨，已知该城市2011年SO 2的年排放量约为9.3万吨．(1)按原计划，“十二五”期间该城市共排放SO 2约多少万吨？(2)该城市为响应“十八大”提出的建设“美丽中国”的号召，决定加大减排力度．在2012年刚好按原计划完成减排任务的条件下，自2013年起，SO 2的年排放量每年比上一年减少的百分率为p ，为使2020年这一年SO 2的年排放量控制在6万吨以内，求p 的取值范围．⎝ ⎛⎭⎪⎫参考数据：823≈0.9505，923≈0.955 9解：(1)设“十二五”期间，该城市共排放SO 2约y 万吨，依题意，2011年至2015年SO 2的年排放量构成首项为9.3，公差为－0.3的等差数列， 所以y ＝5×9.3＋5×(5－1)2×(－0.3)＝43.5(万吨)．所以按原计划“十二五”期间该城市共排放SO 2约43.5万吨． (2)由已知得，2012年的SO 2年排放量为9.3－0.3＝9(万吨)，所以2012年至2020年SO 2的年排放量构成首项为9，公比为1－p 的等比数列． 由题意得9×(1－p )8<6，由于0<p <1， 所以1－p <823，所以1－p <0.950 5，解得p >4.95%.所以SO 2的年排放量每年减少的百分率p 的取值范围为(4.95%,1)．考点三 数列与不等式的综合问题|(2015·高考浙江卷)已知数列{a n }满足a 1＝12且a n ＋1＝a n －a 2n (n ∈N *)． (1)证明：1≤a na n ＋1≤2(n ∈N *)；(2)设数列{a 2n }的前n 项和为S n ，证明：12(n ＋2)≤S n n ≤12(n ＋1)(n ∈N *)． [证明] (1)由题意得a n ＋1－a n ＝－a 2n ≤0，即a n ＋1≤a n ，故a n ≤12.由a n ＝(1－a n －1)a n －1得a n ＝(1－a n －1)(1－a n －2)…(1－a 1)a 1>0. 由0<a n ≤12得a n a n ＋1＝a n a n －a 2n ＝11－a n ∈[1,2]，即1≤a na n ＋1≤2. (2)由题意得a 2n ＝a n －a n ＋1， 所以S n ＝a 1－a n ＋1.① 由1a n ＋1－1a n ＝a n a n ＋1和1≤a n a n ＋1≤2得1≤1a n ＋1－1a n ≤2， 所以n ≤1a n ＋1－1a 1≤2n ，因此12(n ＋1)≤a n ＋1≤1n ＋2(n ∈N *)．②由①②得12(n ＋2)≤S n n ≤12(n ＋1)(n ∈N *)．数列与不等式相结合问题的处理方法解决数列与不等式的综合问题时，如果是证明题要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等；如果是解不等式问题要使用不等式的各种不同解法，如列表法、因式分解法等．3．(2016·云南一检)在数列{a n }中，a 1＝35，a n ＋1＝2－1a n ，设b n ＝1a n －1，数列{b n }的前n项和是S n .(1)证明数列{b n }是等差数列，并求S n ； (2)比较a n 与S n ＋7的大小．解：(1)∵b n ＝1a n －1，a n ＋1＝2－1a n ，∴b n ＋1＝1a n ＋1－1＝1a n －1＋1＝b n ＋1，∴b n ＋1－b n ＝1，∴数列{b n }是公差为1的等差数列． 由a 1＝35，b n ＝1a n －1得b 1＝－52，∴S n ＝－5n 2＋n (n －1)2＝n 22－3n .(2)由(1)知：b n ＝－52＋n －1＝n －72.由b n ＝1a n －1得a n ＝1＋1b n ＝1＋1n －72.∴a n －S n －7＝－n 22＋3n －6＋1n －72.∵当n ≥4时，y ＝－n 22＋3n －6是减函数，y ＝1n －72也是减函数，∴当n ≥4时，a n －S n －7≤a 4－S 4－7＝0.又∵a 1－S 1－7＝－3910<0，a 2－S 2－7＝－83<0，a 3－S 3－7＝－72<0，∴∀n ∈N *，a n －S n －7≤0， ∴a n ≤S n ＋7.6.数列的综合应用的答题模板【典例】 (12分)(2015·高考四川卷)设数列{a n }(n ＝1,2,3，…)的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －a 1，且a 1，a 2＋1，a 3成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为T n ，求使得|T n －1|<11 000成立的n 的最小值．[思路点拨] 由S n ＝2a n －a 1，得a 2＝2a 1，a 3＝4a 1，再通过a 1，a 2＋1，a 3成等差数列确定首项a 1＝2是解决(1)的切入点；由(1)知⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为12，公比为12的等比数列，所以T n ＝1－12n ，然后解不等式即可． [规范解答] (1)由已知S n ＝2a n －a 1，有 a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1(n ≥2)， 即a n ＝2a n －1(n ≥2)．所以a ＝2. 从而a 2＝2a 1，a 3＝2a 2＝4a 1.(2分)又因为a 1，a 2＋1，a 3成等差数列，即a 1＋a 3＝2(a 2＋1)． 所以a 1＋4a 1＝2(2a 1＋1)，解得a 1＝2.所以，数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列． 故a n ＝2n .(6分) (2)由(1)得1a n ＝12n .所以T n ＝12＋122＋…＋12n ＝12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝1－12n .(8分)由|T n －1|<11 000，得⎪⎪⎪⎪1－12n －1<11000，即2n >1 000. 因为29＝512<1 000<1 024＝210， 所以n ≥10.(10分) 于是，使|T n －1|<11 000成立的n 的最小值为10.(12分) [模板形成][跟踪练习] (2015·湖北七市联考)数列{a n }是公比为12的等比数列，且1－a 2是a 1与1＋a 3的等比中项，前n 项和为S n ；数列{b n }是等差数列，b 1＝8，其前n 项和T n 满足T n ＝nλ·b n＋1(λ为常数，且λ≠1)．(1)求数列{a n }的通项公式及λ的值； (2)比较1T 1＋1T 2＋1T 3＋…＋1T n 与12S n 的大小．解：(1)由题意得(1－a 2)2＝a 1(a 3＋1)， 即⎝⎛⎭⎫1－12a 12＝a 1⎝⎛⎭⎫14a 1＋1， 解得a 1＝12，∴a n ＝⎝⎛⎭⎫12n . 设{b n }的公差为d ，又⎩⎪⎨⎪⎧ T 1＝λb 2，T 2＝2λb 3，即⎩⎪⎨⎪⎧8＝λ(8＋d )，16＋d ＝2λ(8＋2d )，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝12，d ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，d ＝0(舍)，∴λ＝12.(2)由(1)知S n ＝1－⎝⎛⎭⎫12n， ∴12S n ＝12－⎝⎛⎭⎫12n ＋1≥14，① 又T n ＝4n 2＋4n ，1T n ＝14n (n ＋1)＝14⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1，∴1T 1＋1T 2＋…＋1T n＝14⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1 ＝14⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1<14，② 由①②可知1T 1＋1T 2＋…＋1T n <12S n .A 组 考点能力演练1．(2015·杭州二模)在正项等比数列{a n }中，22为a 4与a 14的等比中项，则2a 7＋a 11的最小值为( )A ．16B ．8C ．6D ．4解析：因为{a n }是正项等比数列，且22为a 4与a 14的等比中项，所以a 4a 14＝8＝a 7a 11，则2a 7＋a 11＝2a 7＋8a 7≥22a 7·8a 7＝8，当且仅当a 7＝2时，等号成立，所以2a 7＋a 11的最小值为8，故选择B.答案：B2．(2016·宝鸡质检)《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的17是较小的两份之和，问最小的一份为( )A.53B.103C.56D.116解析：由100个面包分给5个人，每个人所得成等差数列，可知中间一人得20块面包，设较大的两份为20＋d,20＋2d ，较小的两份为20－d,20－2d ，由已知条件可得17(20＋20＋d＋20＋2d )＝20－d ＋20－2d ，解得d ＝556，∴最小的一份为20－2d ＝20－2×556＝53，故选A.答案：A3．(2016·豫南十校联考)设f (x )是定义在R 上的恒不为零的函数，且对任意的x ，y ∈R ，都有f (x )·f (y )＝f (x ＋y )．若a 1＝12，a n ＝f (n )(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和S n 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫12，2B.⎣⎡⎦⎤12，2 C.⎣⎡⎭⎫12，1D.⎣⎡⎦⎤12，1解析：在f (x )·f (y )＝f (x ＋y )中令x ＝n ，y ＝1，得f (n ＋1)＝f (n )f (1)，又a 1＝12，a n ＝f (n )(n∈N *)，则a n ＋1＝12a n ，所以数列{a n }是首项和公比都是12的等比数列，其前n 项和S n ＝12×⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12＝1－12n ∈⎣⎡⎭⎫12，1，故选择C. 答案：C4．已知在等差数列{a n }中，a 1>0，d >0，前n 项和为S n ，等比数列{b n }满足b 1＝a 1，b 4＝a 4，前n 项和为T n ，则( )A ．S 4>T 4B ．S 4<T 4C ．S 4＝T 4D ．S 4≤T 4解析：法一：设等比数列{b n }的公比为q ，则由题意可得q >1，数列{b n }单调递增，又S 4－T 4＝a 2＋a 3－(b 2＋b 3)＝a 1＋a 4－a 1q －a 4q ＝a 1(1－q )＋a 4⎝⎛⎭⎫1－1q ＝q －1q (a 4－a 1q )＝q －1q (b 4－b 2)>0，所以S 4>T 4.法二：不妨取a n ＝7n －4，则等比数列{b n }的公比q ＝3a 4a 1＝2，所以S 4＝54，T 4＝b 1(1－q 4)1－q ＝45，显然S 4>T 4，选A.答案：A5．正项等比数列{a n }满足：a 3＝a 2＋2a 1，若存在a m ，a n ，使得a m ·a n ＝16a 21，m ，n ∈N *，则1m ＋9n的最小值为( ) A ．2 B ．16 C.114D.32解析：设数列{a n }的公比为q ，a 3＝a 2＋2a 1⇒q 2＝q ＋2⇒q ＝2，∴a n ＝a 1·2n －1，a m ·a n ＝16a 21⇒a 21·2m＋n －2＝16a 21⇒m ＋n ＝6，∵m ，n ∈N *，∴(m ，n )可取的数值组合为(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，计算可得，当m ＝2，n ＝4时，1m ＋9n 取最小值114.答案：C6．(2016·兰州双基)等差数列{a n }的公差为2，若a 2，a 4，a 8成等比数列，则{a n }的前n 项和S n ＝________.解析：由题意，得(a 1＋3×2)2＝(a 1＋2)(a 1＋7×2)，解得a 1＝2，所以S n ＝2n ＋n (n －1)2×2＝n 2＋n .答案：n 2＋n7．(2015·高考湖南卷)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1＝1，且3S 1,2S 2，S 3成等差数列，则a n ＝________.解析：由3S 1,2S 2，S 3成等差数列，得4S 2＝3S 1＋S 3，即3S 2－3S 1＝S 3－S 2，则3a 2＝a 3，得公比q ＝3，所以a n ＝a 1q n －1＝3n －1. 答案：3n －1 8．从盛满2升纯酒精的容器里倒出1升纯酒精，然后填满水，再倒出1升混合溶液后又用水填满，以此继续下去，则至少应倒________次后才能使纯酒精体积与总溶液的体积之比低于10%.解析：设倒n 次后纯酒精与总溶液的体积比为a n ，则a n ＝⎝⎛⎭⎫12n ，由题意知⎝⎛⎭⎫12n <10%， ∴n ≥4.答案：49．已知f (x )＝2sin π2x ，集合M ＝{x ||f (x )|＝2，x >0}，把M 中的元素从小到大依次排成一列，得到数列{a n }，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记b n ＝1a 2n ＋1，设数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：T n <14. 解：(1)∵|f (x )|＝2，∴π2x ＝k π＋π2，k ∈Z ，x ＝2k ＋1，k ∈Z . 又∵x >0，∴a n ＝2n －1(n ∈N *)．(2)∵b n ＝1a 2n ＋1＝1(2n ＋1)2＝14n 2＋4n ＋1<14n 2＋4n ＝14⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1， ∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n <14⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝14－14(n ＋1)<14， ∴T n <14得证． 10．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1＝12，a n ＝－2S n ·S n －1(n ≥2)． (1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)求证：S 21＋S 22＋…＋S 2n ≤12－14n. 解：(1)∵a n ＝－2S n ·S n －1(n ≥2)，∴S n －S n －1＝－2S n ·S n －1.两边同除以S n ·S n －1，得1S n －1S n －1＝2(n ≥2)， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以1S 1＝1a 1＝2为首项，以d ＝2为公差的等差数列， ∴1S n ＝1S 1＋(n －1)·d ＝2＋2(n －1)＝2n ， ∴S n ＝12n. 将S n ＝12n代入a n ＝－2S n ·S n －1， 得a n＝⎩⎨⎧12， (n ＝1)，12n －2n 2， (n ≥2).(2)证明：∵S 2n ＝14n 2<14n (n －1)＝14⎝⎛⎭⎫1n －1－1n (n ≥2)， S 21＝14， ∴当n ≥2时，S 21＋S 22＋…＋S 2n＝14＋14×2×2＋…＋14·n ·n<14＋14⎝⎛⎭⎫1－12＋…＋14⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＝12－14n； 当n ＝1时，S 21＝14＝12－14×1. 综上，S 21＋S 22＋…＋S 2n ≤12－14n. B 组 高考题型专练1．(2015·高考浙江卷)已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝2，b 1＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N *)，b 1＋12b 2＋13b 3＋ (1)b n ＝b n ＋1－1(n ∈N *)． (1)求a n 与b n ；(2)记数列{a n b n }的前n 项和为T n ，求T n .解：(1)由a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，得a n ＝2n (n ∈N *)．由题意知：当n ＝1时，b 1＝b 2－1，故b 2＝2.当n ≥2时，1n b n ＝b n ＋1－b n ，整理得b n ＋1n ＋1＝b n n， 所以b n ＝n (n ∈N *)．(2)由(1)知a n b n ＝n ·2n ，因此，T n ＝2＋2×22＋3×23＋…＋n ·2n ，2T n ＝22＋2×23＋3×24＋…＋n ·2n ＋1， 所以T n －2T n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1. 故T n ＝(n －1)2n ＋1＋2(n ∈N *)． 2．(2015·高考安徽卷)设n ∈N *，x n 是曲线y ＝x 2n ＋2＋1在点(1,2)处的切线与x 轴交点的横坐标．(1)求数列{x n }的通项公式；(2)记T n ＝x 21x 23…x 22n －1，证明：T n ≥14n . 解：(1)y ′＝(x 2n ＋2＋1)′＝(2n ＋2)x 2n ＋1，曲线y ＝x 2n ＋2＋1在点(1,2)处的切线斜率为2n＋2，从而切线方程为y －2＝(2n ＋2)(x －1)．令y ＝0，解得切线与x 轴交点的横坐标x n ＝1－1n ＋1＝n n ＋1. 所以数列{x n }的通项公式x n ＝n n ＋1. (2)证明：由题设和(1)中的计算结果知T n ＝x 21x 23…x 22n －1＝⎝⎛⎭⎫122⎝⎛⎭⎫342…⎝⎛⎭⎫2n －12n 2. 当n ＝1时，T 1＝14. 当n ≥2时，因为x 22n －1＝⎝⎛⎭⎫2n －12n 2＝(2n －1)2(2n )2>(2n －1)2－1(2n )2＝2n －22n ＝n －1n ， 所以T n >⎝⎛⎭⎫122×12×23×…×n －1n ＝14n. 综上可得对任意的n ∈N *，均有T n ≥14n. 3．(2014·高考新课标全国卷Ⅱ)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1.(1)证明：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是等比数列，并求{a n }的通项公式； (2)证明：1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32. 证明：(1)由a n ＋1＝3a n ＋1得a n ＋1＋12＝3⎝⎛⎭⎫a n ＋12.又a 1＋12＝32， 所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是首项为32，公比为3的等比数列． 所以a n ＋12＝3n 2， 因此{a n }的通项公式为a n ＝3n －12. (2)由(1)知1a n ＝23n －1. 因为当n ≥1时，3n －1≥2×3n －1， 所以13n －1≤12×3n －1. 于是1a 1＋1a 2＋…＋1a n ≤1＋13＋…＋13n －1 ＝32⎝⎛⎭⎫1－13n <32. 所以1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32.。
高考数学一轮复习 第五章 数列 5.5 数列综合练习(含解析)
数列综合时间:50分钟 总分：70分班级： 姓名：一、 选择题（共6小题，每题5分，共30分）1．在等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a 9＋a 10a 7＋a 8＝( )A ．1＋ 2B ．1－ 2C ．3＋2 2D ．3－2 2【答案】C【解析】 设等比数列{a n }的公比为q (q ＞0)，则由题意得a 3＝a 1＋2a 2，所以a 1q 2＝a 1＋2a 1q ，所以q 2－2q－1＝0，解得q ＝1± 2.又q ＞0，因此有q ＝1＋2，故a 9＋a 10a 7＋a 8＝q 2a 7＋a 8a 7＋a 8＝q 2＝(1＋2)2＝3＋2 2.2．数列{a n }是公差不为0的等差数列，且a 1，a 3，a 7为等比数列{b n }中连续的三项，则数列{b n }的公比为( )A. 2 B ．4 C ．2 D.12【答案】C【解析】 设数列{a n }的公差为d (d ≠0)，由a 23＝a 1a 7得(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋6d )，解得a 1＝2d ，故数列{b n }的公比q ＝a 3a 1＝a 1＋2d a 1＝2a 1a 1＝2.3．《九章算术》之后，人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第一天织5尺布，现在一月(按30天计)，共织390尺布”，则每天比前一天多织布的尺数是( )A.12 B.815 C.1631D.1629【答案】D【解析】 由题意知，a 1＝5，n ＝30，S n ＝390＝30×5＋30×292d ⇒d ＝1629.4．已知各项均不为0的等差数列{a n }，满足2a 3－a 27＋2a 11＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6b 8＝( )A ．2B ．4C ．8D ．16【答案】D【解析】 因为{a n }为等差数列，所以a 3＋a 11＝2a 7，所以已知等式可化为4a 7－a 27＝0，解得a 7＝4或a 7＝0(舍去)，又{b n }为等比数列，所以b 6b 8＝b 27＝a 27＝16.5．某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产．已知该生产线连续生产n 年的产量为f (n )＝12n (n ＋1)(2n ＋1)吨，但如果年产量超过150吨，将会给环境造成危害．为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线的生产期限是( ) A ．5年 B ．6年 C ．7年 D ．8年【答案】C【解析】 令第n 年的年产量为a n ，则由题意可知第一年的产量a 1＝f (1)＝12×1×2×3＝3(吨)；第n (n ＝2,3，…)年的产量a n ＝f (n )－f (n －1)＝12n (n ＋1)(2n ＋1)－12(n －1)·n ·(2n －1)＝3n 2(吨)．令3n 2≤150，则结合题意可得1≤n ≤5 2.又n ∈N *，所以1≤n ≤7，即生产期限最长为7年． 6．数列{a n }的通项a n ＝n 2cos2n π3－sin2n π3，其前n 项和为S n ，则S 30为( )A ．470B ．490C ．495D ．510【答案】A【解析】 注意到a n ＝n 2cos 2n π3，且函数y ＝cos 2πx 3的最小正周期是3，因此当n 是正整数时，a n ＋a n ＋1＋a n ＋2＝－12n 2－12(n ＋1)2＋(n ＋2)2＝3n ＋72，其中n ＝1,4,7，…， S 30＝(a 1＋a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5＋a 6)＋…＋(a 28＋a 29＋a 30)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3×1＋72＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3×4＋72＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3×28＋72＝3×10×1＋282＋72×10＝470. 二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）7．设曲线y ＝x n(1－x )在x ＝2处的切线与y 轴交点的纵坐标为a n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n ＋1的前n 项和S n 等于________． 【答案】 2n ＋1－2【解析】 y ′＝nx n －1－(n ＋1)x n ，∴y ′|x ＝2＝n ·2n －1－(n ＋1)·2n ＝－n ·2n －1－2n .∴切线方程为y ＋2n＝(－n ·2n －1－2n)(x －2)，令x ＝0，得y ＝(n ＋1)·2n，即a n ＝(n ＋1)·2n.∴a nn ＋1＝2n ，∴S n ＝2n ＋1－2.8．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1,2S 2,3S 3成等差数列，则等比数列{a n }的公比为________． 【答案】 13【解析】 设等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，由4S 2＝S 1＋3S 3，得4(a 1＋a 1q )＝a 1＋3(a 1＋a 1q ＋a 1q 2)，即3q 2－q ＝0，又q ≠0，∴q ＝13.9．(2015·全国卷Ⅱ)设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n ＝________. 【答案】 －1n【解析】 ∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝S n S n ＋1，∴S n ＋1－S n ＝S n S n ＋1.∵S n ≠0，∴1S n －1S n ＋1＝1，即1S n ＋1－1S n ＝－1.又1S 1＝－1，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为－1，公差为－1的等差数列．∴1S n ＝－1＋(n －1)×(－1)＝－n ，∴S n ＝－1n.10．设S n 为数列{a n }的前n 项和，若S 2n S n(n ∈N *)是非零常数，则称该数列为“和等比数列”，若数列{c n }是首项为2，公差为d (d ≠0)的等差数列，且数列{c n }是“和等比数列”，则d ＝________. 【答案】 4【解析】由题意可知，数列{c n }的前n 项和为S n ＝n c 1＋cn2，前2n 项和为S 2n ＝2nc 1＋c 2n2，∴S 2nS n ＝2n c 1＋c 2n2n c 1＋c n2＝2＋2nd 4＋nd －d ＝2＋21＋4－d nd，∴当d ＝4时，S 2nS n＝4.三、解答题（共2小题，每题10分，共20分）11．(2015·山东高考)已知数列{a n }是首项为正数的等差数列，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ·a n ＋1的前n 项和为n 2n ＋1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(a n ＋1)·2a n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 【答案】见解析【解析】 (1)设数列{a n }的公差为d ，令n ＝1，得1a 1a 2＝13，所以a 1a 2＝3.① 令n ＝2，得1a 1a 2＋1a 2a 3＝25，所以a 2a 3＝15.② 由①②解得a 1＝1，d ＝2，所以a n ＝2n －1.经检验，符合题意． (2)由(1)知b n ＝2n ·22n －1＝n ·4n，所以T n ＝1·41＋2·42＋…＋n ·4n， 所以4T n ＝1·42＋2·43＋…＋n ·4n ＋1，两式相减，得－3T n ＝41＋42＋ (4)－n ·4n ＋1＝－4n1－4－n ·4n ＋1＝1－3n 3×4n ＋1－43，所以T n ＝3n －19×4n ＋1＋49＝4＋n －n ＋19.12.已知数列{a n }的首项为a 1＝5，前n 项和为S n ，且S n ＋1＝2S n ＋n ＋5(n ∈N *)．(1)证明：数列{a n ＋1}是等比数列；(2)令f (x )＝a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n，f ′(x )是函数f (x )的导函数，令b n ＝f ′(1)，求数列{b n }的通项公式；(3)若b n ＜30成立，试求n 的最大值． 【答案】见解析【解析】 (1)证明：数列{a n }中，∵S n ＋1＝2S n ＋n ＋5，∴S n ＝2S n －1＋n ＋4，∴S n ＋1－S n ＝2(S n －S n －1)＋1，即a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)， 当n ＝1时，a 2＝2a 1＋1＝11，∴a 2＋1＝12，a 1＋1＝6， ∴{a n ＋1}是首项为6，公比为2的等比数列． (2)由(1)得a n ＋1＝(a 1＋1)·2n －1＝6·2n －1＝3·2n，∴a n ＝3×2n－1，又∵f (x )＝a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n，∴f ′(x )＝a 1＋2a 2x ＋…＋na n x n －1，f ′(1)＝a 1＋2a 2＋…＋na n ＝(3×2－1)＋2(3×22－1)＋…＋n (3×2n －1)＝3(2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n)－(1＋2＋3＋…＋n )， 令S ＝2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n， 则2S ＝22＋2×23＋3×24＋…＋n ×2n ＋1，作差得S ＝(n －1)×2n ＋1＋2，∴b n ＝f ′(1)＝3(n －1)×2n ＋1－n n ＋2＋6.(3)∵当n ∈N *时，b n ＋1－b n ＝(n ＋1)(3×2n ＋1－1)＞0，∴{b n }为递增数列，又∵b 1＝5，b 2＝27，b 3＝96， ∴使b n <30成立，n 的最大值为2.。
高中一轮数学练习 第五章 第5节 数列的综合应用
第五章第五节数列的综合应用题组一等差、等比数列的综合问题1.已知a，b，c成等比数列，a，m，b和b，n，c分别成两个等差数列，则am＋cn等于() A．4B．3 C．2 D．1解析：由题意得b2＝ac,2m＝a＋b,2n＝b＋c，则am＋cn＝an＋cmmn＝a·b＋c2＋c·a＋b2a＋b2·b＋c2＝ab＋ac＋ac＋bcab＋ac＋b2＋bc2＝2.答案：C2．数列{a n}是各项均为正数的等比数列，{b n}是等差数列，且a6＝b7，则有() A．a3＋a9≤b4＋b10B．a3＋a9≥b4＋b10C．a3＋a9≠b4＋b10D．a3＋a9与b4＋b10的大小不确定解析：∵a3＋a9≥2a3a9＝2a26＝2a6＝2b7＝b4＋b10，当且仅当a3＝a9时，不等式取等号．答案：B3．(文)已知等差数列{a n}的前n项和为S n且满足a2＝3，S6＝36.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若数列{b n}是等比数列且满足b1＋b2＝3，b4＋b5＝24.设数列{a n·b n}的前n项和为T n，求T n.解：(1)∵数列{a n}是等差数列，∴S6＝3(a1＋a6)＝3(a2＋a5)＝36.∵a2＝3，∴a5＝9，∴3d＝a5－a2＝6，∴d＝2，又∵a1＝a2－d＝1，∴a n＝2n－1.(2)由等比数列{b n}满足b1＋b2＝3，b4＋b5＝24，得b 4＋b 5b 1＋b 2＝q 3＝8，∴q ＝2， ∵b 1＋b 2＝3，∴b 1＋b 1q ＝3，∴b 1＝1，b n ＝2n －1， ∴a n ·b n ＝(2n －1)·2n －1.∴T n ＝1×1＋3×2＋5×22＋…＋(2n －3)·2n －2＋(2n －1)·2n －1， 则2T n ＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n －3)·2n －1＋(2n －1)·2n ，两式相减得(1－2)T n ＝1×1＋2×2＋2×22＋…＋2·2n －2＋2·2n －1－(2n －1)·2n ，即 －T n ＝1＋2(21＋22＋…＋2n －1)－(2n －1)·2n ＝1＋2(2n －2)－(2n －1)·2n ＝(3－2n )·2n －3， ∴T n ＝(2n －3)·2n ＋3.(理)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，数列{a n ＋S n }是公差为2的等差数列． (1)求a 2，a 3；(2)证明：数列{a n －2}为等比数列； (3)求数列{na n }的前n 项和T n .解：(1)∵数列{a n ＋S n }是公差为2的等差数列， ∴(a n ＋1＋S n ＋1)－(a n ＋S n )＝2，即a n ＋1＝a n ＋22.∵a 1＝1，∴a 2＝32，a 3＝74.(2)证明：由题意得a 1－2＝－1， 又∵a n ＋1－2a n －2＝a n ＋22－2a n －2＝12，∴{a n －2}是首项为－1，公比为12的等比数列．(3)由(2)得a n －2＝－(12)n －1，∴na n ＝2n －n ·(12)n －1，∴T n ＝(2－1)＋(4－2·12)＋[6－3·(12)2]＋…＋[2n －n ·(12)n －1]，＝(2＋4＋6＋…＋2n )－[1＋2·12＋3·(12)2＋…＋n ·(12)n －1]，设A n＝1＋2·12＋3·(12)2＋…＋n ·(12)n－1，①∴12A n ＝12＋2·(12)2＋3·(12)3＋…＋n ·(12)n ， ② ①－②得12A n ＝1＋12＋(12)2＋…＋(12)n －1－n ·(12)n ，∴12A n ＝1－(12)n1－12－n ·(12)n ， ∴A n ＝4－(n ＋2)·(12)n －1，∴T n ＝n (2＋2n )2＋(n ＋2)·(12)n －1－4＝(n ＋2)·(12)n －1＋n (n ＋1)－4.4.气象学院用3.2用，第n 天的维修保养费为n ＋4910元(n ∈N ＋)，使用它直至报废最合算(所谓报废最合算是指使用的这台仪器的平均耗资最少)为止，一共使用了 ( ) A ．600天 B ．800天 C ．1 000天 D ．1 200天解析：由第n 天的维修保养费为n ＋4910元(n ∈N ＋)，可以得出观测仪的整个耗资费用，由平均费用最少而求得最小值成立时相应n 的值． 设一共使用了n 天，则使用n 天的平均耗资为3.2×104＋(5＋n ＋4910)n2n ＝3.2×104n ＋n 20＋4.95，当且仅当3.2×104n ＝n20时，取得最小值，此时n ＝800. 答案：B5．(2010·邯郸模拟)若数列{a n }满足1a n ＋1－1a n＝d (n ∈N *，d 为常数)，则称数列{a n }为调和数列．已知数列{1x n}为调和数列，且x 1＋x 2＋…＋x 20＝200，则x 5＋x 16＝________.解析：由题意，若{a n }为调和数列，则{1a n}为等差数列，所以{1x n}为调和数列，则可得数列{x n }为等差数列，由等差数列的性质可知，x 5＋x 16＝x 1＋x 20＝x 2＋x 19＝…＝20010＝20. 答案：206．数列{a n }中，a 1＝6，且a n －a n －1＝a n －1n ＋n ＋1(n ∈N *，n ≥2)，则这个数列的通项a n＝________.解析：由已知等式得na n ＝(n ＋1)a n －1＋n (n ＋1)(n ∈N *，n ≥2)，则a nn ＋1－a n －1n ＝1，所以数列{a n n ＋1}是以a 12＝3为首项，1为公差的等差数列，即a nn ＋1＝n ＋2，则a n ＝(n＋1)(n ＋2)．n ＝1时，此式也成立． 答案：(n ＋1)(n ＋2)7.2个，现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要( ) A ．6秒钟 B ．7秒钟 C ．8秒钟 D ．9秒钟 解析：设至少需要n 秒钟，则1＋21＋22＋…＋2n －1≥100， ∴1－2n1－2≥100，∴n ≥7. 答案：B8．某科研单位欲拿出一定的经费奖励科研人员，第1名得全部资金的一半多一万元，第二名得剩下的一半多一万元，以名次类推都得到剩下的一半多一万元，到第10名恰好资金分完，则此科研单位共拿出__________万元资金进行奖励．解析：设第10名到第1名得的奖金数分别是a 1，a 2，…，a 10，则a n ＝12S n ＋1，则a 1＝2，a n －a n －1＝12a n ，即a n ＝2a n －1，因此每人得的奖金额组成以2为首项，以2为公比的等比数列，所以S 10＝2(1－210)1－2＝2046.答案：20469．在如图所示的表格中，如果每格填上一个数后，每一行成等差数列，每一列成等比数列，那么 x ＋y ＋z 的值为 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：由题知表格中第三列成首项为4，公比为12的等比数列，故有x ＝1.根据每行成等差数列得第四列前两个数字依次为5，52，故其公比为12，所以y ＝5×(12)3＝58，同理z ＝6×(12)4＝38，故x ＋y ＋z ＝2.答案：B10．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意n ∈N *都有S n ＝23a n －13，若1<S k <9(k ∈N *)，则k 的值为________．解析：∵S n ＝23a n －13，∴S 1＝23a 1－13＝a 1，a 1＝－1.a n ＝S n －S n －1(n >1)，即a n ＝(23a n －13)－(23a n －1－13)＝23a n －23a n －1，整理得：a n a n －1＝－2，∴{a n }是首项为－1，公比为－2的等比数列，S k ＝a 1(1－q k )1－q ＝(－2)k －13，∵1<S k <9，∴1<(－2)k －13<9，即4<(－2)k <28，仅当k ＝4时不等式成立． 答案：411．(文)在数列{a n }中，a 1＝1,3a n a n －1＋a n －a n －1＝0(n ≥2，n ∈N)．(1)试判断数列{1a n}是否为等差数列；(2)设{b n }满足b n ＝1a n，求数列{b n }的前n 项为S n ；(3)若λa n ＋1a n ＋1≥λ，对任意n ≥2的整数恒成立，求实数λ的取值范围． 解：(1)∵a 1≠0，∴a n ≠0，∴由已知可得1a n －1a n －1＝3(n ≥2)，故数列{1a n}是等差数列．(2)由(1)的结论可得b n ＝1＋(n －1)×3，所以b n ＝3n －2， ∴S n ＝n (1＋3n －2)2＝n (3n －1)2.(3)将a n ＝1b n ＝13n －2代入λa n ＋1a n ＋1≥λ并整理得λ(1－13n －2)≤3n ＋1，∴λ≤(3n ＋1)(3n －2)3n －3，原命题等价于该式对任意n ≥2的整数恒成立．设C n ＝(3n ＋1)(3n －2)3n －3，则C n ＋1－C n ＝(3n ＋1)(3n －4)3n (n －1)>0，故C n ＋1>C n ，∴C n 的最小值为C 2＝283，∴λ的取值范围是(－∞，283]．(理)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n n )在直线y ＝12x ＋112上．数列{b n }满足b n＋2－2b n ＋1＋b n ＝0(n ∈N *)，b 3＝11，且其前9项和为153.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)设c n ＝3(2a n －11)(2b n －1)，数列{c n }的前n 项和为T n ，求使不等式T n ＞k 57对一切n ∈N *都成立的最大正整数k 的值． 解：(1)由已知得S n n ＝12n ＋112，∴S n ＝12n 2＋112n .当n ≥2时， a n ＝S n －S n －1＝12n 2＋112n －12(n －1)2－112(n －1)＝n ＋5； 当n ＝1时，a 1＝S 1＝6也符合上式． ∴a n ＝n ＋5.由b n ＋2－2b n ＋1＋b n ＝0(n ∈N *)知{b n }是等差数列， 由{b n }的前9项和为153，可得9(b 1＋b 9)2＝9b 5＝153，得b 5＝17，又b 3＝11，∴{b n }的公差d ＝b 5－b 32＝3，b 3＝b 1＋2d ，∴b 1＝5，∴b n ＝3n ＋2. (2)c n ＝3(2n －1)(6n ＋3)＝12(12n －1－12n ＋1)，∴T n ＝12(1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1)＝12(1－12n ＋1)． ∵n 增大，T n 增大， ∴{T n }是递增数列． ∴T n ≥T 1＝13.T n ＞k 57对一切n ∈N *都成立，只要T 1＝13＞k 57，∴k ＜19，则k max ＝18.。
高考数学一轮总复习 5.5数列的综合应用练习-人教版高三全册数学试题
第五节 数列的综合应用时间：45分钟 分值：100分基础必做一、选择题1．各项都是正数的等比数列{a n }中，a 2，12a 3，a 1成等差数列，则a 4＋a 5a 3＋a 4的值为( )A.5－12 B.5＋12C.1－52D.5－12或5＋12解析 设{a n }的公比为q (q ＞0)，由a 3＝a 2＋a 1，得q 2－q －1＝0，解得q ＝1＋52.而a 4＋a 5a 3＋a 4＝q ＝1＋52.答案 B2．据科学计算，运载“神舟”的“长征”二号系列火箭在点火后第一秒钟通过的路程为2 km ，以后每秒钟通过的路程增加2 km ，在到达离地面240 km 的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程需要的时间是( )A ．10秒钟B ．13秒钟C ．15秒钟D ．20秒钟解析 设每一秒钟通过的路程依次为a 1，a 2，a 3，…a n 则数列{a n }是首项a 1＝2，公差d ＝2的等差数列，由求和公式有na 1＋n n －1d2＝240，即2n ＋n (n －1)＝240，解得n ＝15.答案 C3．已知各项不为0的等差数列{a n }满足2a 2－a 26＋2a 10＝0，首项为18的等比数列{b n }的前n 项和为S n ，若b 6＝a 6，则S 6＝( )A ．16 B.318 C.638D.6316解析 由2a 2－a 26＋2a 10＝0，∴4a 6＝a 26. ∵a 6≠0，∴a 6＝4.∴b 6＝4.又∵{b n }的首项b 1＝18，∴q 5＝b 6b 1＝32.∴q ＝2. ∴S 6＝18－4×21－2＝638.答案 C4．(2014·某某八校二联)对于函数y ＝f (x )，部分x 与y 的对应关系如下表：数列{x n }1n n ＋1的图象上，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋…＋x 2 013＋x 2 014的值为( )A ．7 549B ．7 545C ．7 539D ．7 535解析 由已知表格列出点(x n ，x n ＋1)，(1,3)，(3,5)，(5,6)，(6,1)，(1,3)，…，即x 1＝1，x 2＝3，x 3＝5，x 4＝6，x 5＝1，…，数列{x n }是周期数列，周期为4,2 014＝4×503＋2，所以x 1＋x 2＋…＋x 2 014＝503×(1＋3＋5＋6)＋1＋3＝7 549.答案 A5．已知函数f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调函数，且对任意的正数x ，y 都有f (x ·y )＝f (x )＋f (y )，若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足f (S n ＋2)－f (a n )＝f (3)(n ∈N *)，则a n 为( )A ．2n －1B ．nC ．2n －1D.⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1解析 由题意知f (S n ＋2)＝f (a n )＋f (3)(n ∈N *)，∴S n ＋2＝3a n ，S n －1＋2＝3a n －1(n ≥2)， 两式相减得，2a n ＝3a n －1(n ≥2)，又n ＝1时，S 1＋2＝3a 1＝a 1＋2， ∴a 1＝1，∴数列{a n }是首项为1，公比为32的等比数列，∴a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1.答案 D6．将石子摆成如图的梯形形状，称数列5,9,14,20，…为梯形数，根据图形的构成，此数列的第2 012项与5的差即a 2 012－5＝( )A ．2 018×2 012B ．2 018×2 011C ．1 009×2 012D ．1 009×2 011解析 结合图形可知，该数列的第n 项a n ＝2＋3＋4＋…＋n ＋2.所以a 2 012－5＝4＋5＋…＋2 014＝4×2 011＋2 011×2 0102＝2 011×1 009.故选D.答案 D 二、填空题7．已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝－2，a n ＋2＝－1a n，则该数列前26项的和为________．解析 由于a 1＝1，a 2＝－2，a n ＋2＝－1a n，所以a 3＝－1，a 4＝12，a 5＝1，a 6＝－2，…，所以{a n }是周期为4的数列，故S 26＝6×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2－1＋12＋1－2＝－10. 答案 －108．植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米．开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边．使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为________米．解析 当放在最左侧坑时，路程和为2×(0＋10＋20＋…＋190)；当放在左侧第2个坑时，路程和为2×(10＋0＋10＋20＋…＋180)(减少了360米)；当放在左侧第3个坑时，路程和为2×(20＋10＋0＋10＋20＋…＋170)(减少了680米)；依次进行，显然当放在中间的第10、11个坑时，路程和最小，为2×(90＋80＋…＋0＋10＋20＋…＋100)＝2 000米．答案 2 0009．(2014·某某六校二模)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝25－n，数列{b n }的通项公式为b n ＝n ＋k ，设＝⎩⎪⎨⎪⎧b n ，a n ≤b n ，a n ，a n >b n ，若在数列{}中，c 5≤对任意n ∈N *恒成立，则实数k 的取值X围是________．解析 数列是取a n 和b n 中的最大值，据题意c 5是数列{}的最小项，由于函数y ＝25－n是减函数，函数y ＝n ＋k 是增函数，所以b 5≤a 5≤b 6或a 5≤b 5≤a 4，即5＋k ≤25－5≤6＋k 或25－5≤5＋k ≤25－4，解得－5≤k ≤－4或－4≤k ≤－3，所以－5≤k ≤－3.答案 [－5，－3] 三、解答题10．(2014·某某高考模拟考试)数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝2S n ＋1(n ∈N *)，等差数列{b n }满足b 3＝3，b 5＝9.(1)分别求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)设＝b n ＋2a n ＋2(n ∈N *)，求证：＋1<≤13. 解 (1)由a n ＋1＝2S n ＋1，① 得a n ＝2S n －1＋1(n ≥2，n ∈N *)，② ①－②得a n ＋1－a n ＝2(S n －S n －1)， ∴a n ＋1＝3a n (n ≥2，n ∈N *)， 又a 2＝2S 1＋1＝3，∴a 2＝3a 1，∴a n ＝3n －1.∵b 5－b 3＝2d ＝6，∴d ＝3，∴b n ＝3n －6. (2)证明：∵a n ＋2＝3n ＋1，b n ＋2＝3n ，∴＝3n 3n ＋1＝n 3n ，∴＋1－＝1－2n3n ＋1<0，∴＋1<<…<c 1＝13，即＋1<≤13.11．已知{a n }是等差数列，公差为d ，首项a 1＝3，前n 项和为S n .令＝(－1)n S n (n ∈N *)，{}的前20项和T 20＝330.数列{b n }满足b n ＝2(a －2)dn －2＋2n －1，a ∈R .(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＋1≤b n ，n ∈N *，求a 的取值X 围． 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ， 因为＝(－1)nS n ，所以T 20＝－S 1＋S 2－S 3＋S 4＋…＋S 20＝330，则a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 20＝330， 即10(3＋d )＋10×92×2d ＝330，解得d ＝3，所以a n ＝3＋3(n －1)＝3n . (2)由(1)知b n ＝2(a －2)3n －2＋2n －1，b n ＋1－b n ＝2(a －2)3n －1＋2n －[2(a －2)3n －2＋2n －1]＝4(a －2)3n －2＋2n －1＝4·3n －2⎣⎢⎡⎦⎥⎤a －2＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －2.由b n ＋1≤b n ⇔(a －2)＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －2≤0⇔a ≤2－12⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －2，因为2－12⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －2随着n 的增大而增大，所以n ＝1时，2－12⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －2取得最小值54.所以a ≤54.培优演练1．已知点(1，13)是函数f (x )＝a x(a >0，且a ≠1)的图象上一点，等比数列{a n }的前n项和为f (n )－c ，数列{b n }(b n >0)的首项为c ，且前n 项和S n 满足S n －S n －1＝S n ＋S n －1(n ≥2)．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式； (2)若数列{1b n b n ＋1}的前n 项和为T n ，问满足T n >1 0002 009的最小正整数n 是多少？ 解 (1)因为f (1)＝a ＝13，所以f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x.a 1＝f (1)－c ＝13－c ，a 2＝[f (2)－c ]－[f (1)－c ]＝f (2)－f (1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132－13＝－29，a 3＝[f (3)－c ]－[f (2)－c ]＝f (3)－f (2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫133－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝－227.又数列{a n }是等比数列，设其公比为q ，所以a 1＝a 22a 3＝481－227＝－23＝13－c ，所以c ＝1.又公比q ＝a 2a 1＝13，所以a n ＝－23⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫13n (n ∈N *)．因为S n －S n －1＝(S n －S n －1)(S n ＋S n －1)＝S n ＋S n －1(n ≥2)， 又b n >0，S n >0，所以S n －S n －1＝1.所以数列{S n }构成一个首项为1，公差为1的等差数列，S n ＝1＋(n －1)×1＝n ，故S n ＝n 2.当n ≥2时，b n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1，当n ＝1时，b 1＝1也适合此通项公式，所以b n ＝2n －1(n ∈N *)． (2)T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋1b 3b 4＋…＋1b n b n ＋1＝11×3＋13×5＋15×7＋…＋12n －1×2n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17＋…＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n2n ＋1. 由T n ＝n 2n ＋1>1 0002 009，得n >1 0009，所以满足T n >1 0002 009的最小正整数n 为112. 2．已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1(n ∈N *)．(1)证明：数列{b n }是等差数列；(2)若S n ＝(a 1－1)·(a 2－1)＋(a 2－1)·(a 3－1)＋…＋(a n －1)·(a n ＋1－1)，是否存在a ，b ∈Z ，使得a ≤S n ≤b 恒成立？若存在，求出a 的最大值与b 的最小值；若不存在，请说明理由．解 (1)由题意，知当n ≥2时，b n －1＝1a n －1－1，b n ＝1a n －1＝12－1a n －1－1＝a n －1a n －1－1， 所以b n －b n －1＝a n －1a n －1－1－1a n －1－1＝1(n ∈N *，n ≥2)．所以{b n }是首项为b 1＝1a 1－1＝－52，公差为1的等差数列． (2)由(1)，知b n ＝n －72.依题意，有S n ＝(a 1－1)·(a 2－1)＋(a 2－1)·(a 3－1)＋…＋(a n－1)·(a n ＋1－1)＝1b 1·1b 2＋1b 2·1b 3＋…＋1b n ·1b n ＋1＝1b 1－1b n ＋1＝－25－1n ＋1－72.设函数y ＝1x －72，当x >72时，y >0，y ′<0，则函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫72，＋∞上为减函数，故当n ＝3时，S n ＝－25－1n ＋1－72取最小值－125. 而函数y ＝1x －72在x <72时，y <0，y ′＝－1⎝ ⎛⎭⎪⎫x －722<0，函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，72上也为减函数， 故当n ＝2时，S n 取得最大值85.故a 的最大值为－3，b 的最小值为2.。
高考数学(理)一轮复习课件：5-5数列的综合应用(人教A版)
■ ·考点自测· ■
1. [2012·蚌埠二中质检]已知数列{an}的通项公式为 an＝6n－4，数列{bn}的通项公式为bn＝2n，则在数列{an}
的前100项中与数列{bn}中相同的项有( )
A. 50项
B. 34项
C. 6项
D. 5项
答案：D
解析：a1＝2＝b1，a2＝8＝b3，a3＝14，a4＝20，a5＝ 26，a6＝32＝b5，又b10＝210＝1024>a100，b9＝512 ==令=== 6n －4，则n＝86，∴a86＝b9，b8＝256 ==令=== 6n－4无解，b7 ＝128 ==令=== 6n－4，则n＝22，∴a22＝b7，b6＝64＝6n－4 无解，综上知，数列{an}的前100项中与{bn}相同的项有5 项．
∴Tn＝π2 [1·2＋3·22＋…＋(2n－3)·2n－1＋(2n－1)·2n]， 2Tn＝π2 [1·22＋3·23＋…＋(2n－3)·2n＋(2n－1)·2n＋1]，
两式相减，得
π
－Tn＝ 2 [1·2＋2·22＋2·23＋…＋2·2n－(2n－1)·
2n＋1]，∴Tn＝π[(2n－3)·2n＋3].
[规律总结] 本题把数列、导数、解析几何等知识巧 妙地融合在一起，具有较强的综合性，在解决数列知识 与其他章节知识的综合题时，要注意思维角度与解题途 径的选择，提高数字变形转换、推理等综合能力．
3. 数列知识的综合问题 (1)数列本身的综合 数列知识内部综合主要是指以等差数列和等比数列 为中心的综合问题，通常涉及到等差、等比数列的证 明，基本计算、求和等．
(2)数列与其他章节知识的综合 与数列常联系在一起命题的知识主要有函数、不等 式和解析几何，以及三角、复数等．有时带有探索性， 涉及到的方法有转化与化归、放缩、数学归纳法、反证 法、函数思想等．
届高考数学一轮总复习 第5章 数列 第五节 数列的综合应用课件 文 新人教A版
(2)bn＝log2a1＋log2a2＋…＋log2an＝1＋2＋…＋n＝nn2＋1. 要使(n－8)bn≥nk 对任意 n∈N*恒成立， 即实数n－82n＋1≥k 对任意 n∈N*恒成立． 设 cn＝12(n－8)(n＋1)，则当 n＝3 或 4 时，cn 取得最小值，为 －10，所以 k≤－10. 即实数 k 的取值范围为(－∞，－10]．
[即时应用] (2016·南昌三校联考)已知公比不为 1 的等比数列{an}的首 项 a1＝12，前 n 项和为 Sn，且 a4＋S4，a5＋S5，a6＋S6 成等 差数列． (1)求等比数列{an}的通项公式； (2)对 n∈N*，在 an 与 an＋1 之间插入 3n 个数，使这 3n＋2 个数成等差数列，记插入的这 3n 个数的和为 bn，求数列{bn} 的前 n 项和 Tn.
解：(1)证明：由已知，bn＝2an＞0. 当 n≥1 时，bbn＋n 1＝2an＋1－an＝2d. 所以，数列{bn}是首项为 2a1，公比为 2d 的等比数列． (2)函数 f(x)＝2x 在(a2，b2)处的切线方程为 y－2a2＝(2a2ln 2)(x－a2)， 它在 x 轴上的截距为 a2－ln12. 由题意，a2－ln12＝2－ln12，
第五节
数列的综合应用
考点一 等差数列与等比数列的综合问题 重点保分型考点——师生共研
[典例引领]
在等差数列{an}中，a10＝30，a20＝50. (1)求数列{an}的通项公式； (2)令 bn＝2an－10，证明：数列{bn}为等比数列； (3)求数列{nbn}的前 n 项和 Tn.
解：(1)设数列{an}的公差为 d，则 an＝a1＋(n－1)d， 由 a10＝30，a20＝50，得方程组aa11＋＋91d9＝d＝305，0， 解得ad1＝＝21.2， 所以 an＝12＋(n－1)·2＝2n＋10. (2)由(1)，得 bn＝2an－10＝22n＋10－10＝22n＝4n， 所以bbn＋n 1＝44n＋n 1＝4. 所以{bn}是首项为 4，公比为 4 的等比数列．
高考数学一轮复习第五章数列5.5数列综合学案含解析
数列综合【考纲传真】1.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用相关知识解决相应的问题.【知识扫描】知识点1 解答数列应用题的步骤(1)审题——仔细阅读材料，认真理解题意．(2)建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的结构和特征．(3)求解——求出该问题的数学解．(4)还原——将所求结果还原到原实际问题中．具体解题步骤用框图表示如下：知识点2 数列应用题常见模型(1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差．(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比．(3)递推数列模型：如果题目给出了数列前后两项的关系，或前n项和S n与S n＋1之间的关系，可考虑通过建立递推数列模型求解．必会结论；银行储蓄中的计算公式(1)复利公式：按复利计算的一种储蓄，本金为p元，每期利率为r，存期为n，则本利和S＝p(1＋r)n.(2)单利公式：利息按单利计算，本金为p元，每期利率为r，存期为n，则本利和S＝p(1＋nr)．(3)产值模型：原来产值的基础数为N，平均增长率为r，对于时间x的总产值y＝N(1＋r)x.【学情自测】1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)银行储蓄的单利公式是等差数列模型．( )(2)银行储蓄的复利公式是等比数列模型．( )(3)数列{a n}的通项公式a n＝n2－2an＋1，若数列{a n}是递增数列，则a≤1.()(4)数列{a n }是正项等比数列，b n ＝log a a n (a >0且a ≠1)，则数列{b n }是等差数列．( )2．一个蜂巢里有1只蜜蜂，第1天，它飞出去找回了5个伙伴；第2天，这6只蜜蜂又飞出去，各自找回了5个伙伴……，如果这个找伙伴的过程继续下去，第6天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有________只蜜蜂( )A ．55 986B ．46 656C ．216D ．363．若互不相等的实数a ，b ，c 成等差数列，c ，a ，b 成等比数列，且a ＋3b ＋c ＝10，则a ＝( )A ．4B ．2C ．－2D ．－44．在直角坐标系中，O 是坐标原点，P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是第一象限的两个点，若1，x 1，x 2,4依次成等差数列，而1，y 1，y 2,8依次成等比数列，则△OP 1P 2的面积是________．5.在等比数列{a n }中，a n ＞0(n ∈N *)，公比q ∈(0,1)，且a 1a 5＋2a 3a 5＋a 2a 8＝25，又a 3与a 5的等比中项为2.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和S n ；(3)是否存在k ∈N *，使得S 11＋S 22＋…＋S n n＜k 对任意n ∈N *恒成立，若存在，求出k 的最小值，若不存在，请说明理由．参考答案1.【答案】 (1)√ (2)√ (3)× (4)√2.【解析】 六天蜜蜂的总数组成等比数列{a n }，则a 1＝6，公比q ＝6，则a 6＝66＝46 656.【答案】 B3.【解析】 由c ，a ，b 成等比数列可将公比记为q ，三个实数a ，b ，c ，待定为cq ，cq 2，c .由实数a ，b ，c 成等差数列得2b ＝a ＋c ，即2cq 2＝cq ＋c ，又等比数列中c ≠0，所以2q 2－q －1＝0，解一元二次方程得q ＝1(舍去，否则三个实数相等)或q ＝－12，又a ＋3b ＋c ＝a ＋3aq ＋a q＝－52a ＝10，所以a ＝－4. 【答案】 D4.【解析】 根据等差、等比数列的性质，可知x 1＝2，x 2＝3，y 1＝2，y 2＝4.∴P 1(2,2)，P 2(3,4)．∴S △OP 1P 2＝1.【答案】 15.【解】 (1)∵a 1a 5＋2a 3a 5＋a 2a 8＝25，∴a 23＋2a 3a 5＋a 25＝25，∴(a 3＋a 5)2＝25，又a n ＞0，∴a 3＋a 5＝5，又a 3与a 5的等比中项为2，∴a 3a 5＝4，而q ∈(0,1)，∴a 3＞a 5，∴a 3＝4，a 5＝1，∴q ＝12，a 1＝16， ∴a n ＝16×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝25－n . (2)∵b n ＝log 2a n ＝5－n ，∴b n ＋1－b n ＝－1，b 1＝log 2a 1＝log 216＝log 224＝4，∴{b n }是以b 1＝4为首项，－1为公差的等差数列，∴S n ＝n －n 2. (3)由(2)知S n ＝n －n 2，∴S n n ＝9－n 2. 当n ≤8时，S n n ＞0；当n ＝9时，S n n ＝0；当n ＞9时，S n n ＜0.∴当n ＝8或9时，S 11＋S 22＋S 33＋…＋S n n＝18最大． 故存在k ∈N *，使得S 11＋S 22＋…＋S n n＜k 对任意n ∈N *恒成立，k 的最小值为19. 精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
高三数学 一轮复习 第5知识块第5讲 数列的综合应用课件 文 新人教A版
同时又以一个固定的具体量增加(或减少)时，我们称该模型为生长
模型．如分期付款问题，树木的生长与砍伐问题等． (5)递推模型：如果容易找到该数列任意一项an与它的前一项an－1(或前
几项)间的递推关系式，那么我们可以用递推关系的知识求解问题．
2．数列与其他分支的知识的综合应用 (1)主要为数列与函数、方程、不等式、三角、解析几何、极限等知识的 综合． (2)解此类综合题，首先要认真审题，弄清题意，分析出涉及哪些数学分支 内容，在每个分支中各是什么问题；其次，要精心分解，把整个大题分 解成若干个小题或“步骤”，使它们成为在各自分支中的基本问题；最 后，分别求解这些小题或步骤，从而得到整个问题的结论．
答案：B
2．(2009· 江西卷)公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn.若a4是a3与a7的等比
中项，S8＝32，则S10等于( A．18 解析：由题意可知 B．24 ) C．60 D．90
S10＝10×(－3)＋ 答案：C
×2＝60.
3．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下图的规律拼成若干个图案，则 第n个图案中有白色地面砖的块数是( )
第5讲
【考纲下载】
数列差关系或等比关系，
并能用相关知识解决相应的问题.
1．数列应用问题的常见模型 (1)等差模型：一般地，如果增加(或减少)的量有一个固定的具体量时，该模 型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差，其一般形式是：an＋1－an＝d(常数)． (2)等比模型：一般地，如果增加(或减少)的百分比是一个固定的数时，该模型是 等比模型． (3)混合模型：在一个问题中，同时涉及到等差数列和等比数列的模型． (4)生长模型：如果某一个量，每一期以一个固定的百分数增加(或减少)，
(2)该人打算连续在一家公司工作10年，仅从工资收入总量较多作为应
高考数学第一轮复习 第五篇 第5讲 数列的综合应用课件 理 新人教A版
审审题题路路线线 (1)求 f′(x) ⇒由 f′π2＝0 得 an、an＋1、an＋2 的关系式
⇒可推出数列{an}为等差数列 ⇒根据条件求公差 d ⇒得出通项 an
解（1）由题设可得，对任意 n∈N*，f′(x)＝ an－an＋1＋an＋2－an＋1sin x－an＋2cos x.
f′π2＝an－an＋1＋an＋2－an＋1＝0， 即 an＋1－an＝an＋2－an＋1，故{an}为等差数列． 由 a1＝2，a2＋a4＝8，解得 d＝1，所以 an＝2＋1·(n－1)＝n＋1.
3n1－2，
∴an＝ 3n－2. 答案 an＝ 3n－2
第十一页，共18页。
数列(shùliè)与函数、不等式的综合
考
应用
点
【例 3】设数列{an}满足 a1＝2，a2＋a4＝8，且对任意 n∈N*，函数 f(x)＝(an－an＋1＋an＋2)x＋an＋1cos x－an＋2sin x
满足 f′π2＝0.(1)求数列{an}的通项公式；(2)见下一页
等差、等比数列(děnɡ bǐ shù liè)的综合问题
考 点
【训练 1】(2014·昆明模拟)已知数列{an}是公差为 2 的等差数列， 它的前 n 项和为 Sn，且 a1＋1，a3＋1，a7＋1 成等比数列．
(1)求{an}的通项公式； (2)求数列S1n的前 n 项和 Tn.
解（1）
(2) 由(1)知 an＝2n＋1，则 Sn＝n(n＋2)，
解（2） 因为ana1n＋1＝2n－112n＋1 ＝122n1－1－2n1＋1，
所以，Tn＝121－13＋13－15 ＋…＋2n1－1－2n1＋1
＝121－2n1＋1. ∴Tn＜12，要使不等式 4Tn＜a2－a 恒成立，
高考一轮复习课时作业(人教版)：6-5数列的综合应用word版含答案
6-5数列的综合应用A 级 基础达标演练 (时间：40分钟 满分：60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．在等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a 9＋a 10a 7＋a 8＝( )．A ．1＋ 2B ．1－ 2C ．3＋2 2D ．3－2 2解析 设等比数列{a n }的公比为q (q ＞0)，则由题意得a 3＝a 1＋2a 2，所以a 1q 2＝a 1＋2a 1q ，所以q 2－2q －1＝0，解得q ＝1±2.又q ＞0，因此有q ＝1＋2，故a 9＋a 10a 7＋a 8＝q 2(a 7＋a 8)a 7＋a 8＝q 2＝(1＋2)2＝3＋2 2.答案 C2．(2011·揭阳模拟)数列{a n }是公差不为0的等差数列，且a 1，a 3，a 7为等比数列{b n }中连续的三项，则数列{b n }的公比为( )． A. 2B ．4C ．2D.12解析 设数列{a n }的公差为d (d ≠0)，由a 23＝a 1a 7得(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋6d )，解得a 1＝2d ，故数列{b n }的公比q ＝a 3a 1＝a 1＋2d a 1＝2a 1a 1＝2.答案 C3．有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要( )． A ．6秒钟B ．7秒钟C ．8秒钟D ．9秒钟解析 设至少需n 秒钟，则1＋21＋22＋…＋2n －1≥100， ∴2n －1≥100，∴n ≥7.答案 B4．(2012·郑州模拟)已知各项均不为0的等差数列{a n }，满足2a 3－a 27＋2a 11＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6b 8＝( )． A ．2B ．4C ．8D ．16解析 因为{a n }为等差数列，所以a 3＋a 11＝2a 7，所以已知等式可化为4a 7－a 27＝0，解得a 7＝4或a 7＝0(舍去)，又{b n }为等比数列，所以b 6b 8＝b 27＝a 27＝16.答案 D5．在如图所示的表格中，如果每格填上一个数后，每一行成等差数列，每一列成等比数列，那么x ＋y ＋z 的值为( ).A.1B ．解析 由题知表格中第三列中的数成首项为4，公比为12的等比数列，故有x ＝1.根据每行成等差数列得第四列前两个数字依次为5，52，故第四列的公比为12，所以y ＝5×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝58，同理z ＝6×⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝38，故x ＋y ＋z ＝2. 答案 B二、填空题(每小题4分，共12分)6．(2011·金华模拟)已知等差数列{a n }的公差d ≠0，它的第1,5,17项顺次成等比数列，则这个等比数列的公比是________．解析 由题知a 25＝a 1·a 17，即a 25＝(a 5－4d )·(a 5＋12d )， ∴8a 5d －48d 2＝0，∵d ≠0，∴a 5＝6d ， ∴公比q ＝a 5a 1＝a 5a 5－4d ＝6d6d －4d ＝3.答案 37．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1,2S 2,3S 3成等差数列，则等比数列{a n }的公比为________．解析 设等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，由4S 2＝S 1＋3S 3，得4(a 1＋a 1q )＝a 1＋3(a 1＋a 1q ＋a 1q 2)， 即3q 2－q ＝0，又q ≠0，∴q ＝13. 答案 138．(2012·安庆模拟)设关于x 的不等式x 2－x ＜2nx (n ∈N *)的解集中整数的个数为a n ，数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 100的值为________． 解析 由x 2－x ＜2nx (n ∈N *)， 得0＜x ＜2n ＋1， 因此知a n ＝2n .∴S 100＝100(2＋200)2＝10 100.答案 10 100 三、解答题(共23分)9．(11分)已知f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)，设f (a 1)，f (a 2)，…，f (a n )(n ∈N ＋)是首项为4，公差为2的等差数列．(1)设a 为常数，求证：{a n }是等比数列；(2)若b n ＝a n f (a n )，{b n }的前n 项和是S n ，当a ＝2时，求S n . (1)证明 f (a n )＝4＋(n －1)×2＝2n ＋2， ∵log a a n ＝2n ＋2，∴a n ＝a 2n ＋2.∴a na n －1＝a 2n ＋2a2(n －1)＋2＝a 2n ＋2a 2n ＝a 2(n ≥2)为定值． ∴{a n }是以a 4为首项，a 2为公比的等比数列． (2)解b n ＝a n f (a n )＝a 2n ＋2log a a 2n ＋2＝(2n ＋2)a 2n ＋2. 当a ＝2时，b n ＝(2n ＋2)(2)2n ＋2＝(n ＋1)2n ＋2. S n ＝2·23＋3·24＋4·25＋…＋(n ＋1)·2n ＋2，① 2S n ＝2·24＋3·25＋4·26＋…＋n ·2n ＋2＋(n ＋1)·2n ＋3， ②①－②得－S n ＝2·23＋24＋25＋…＋2n ＋2－(n ＋1)·2n ＋3＝16＋24(1－2n －1)1－2－(n ＋1)·2n ＋3＝16＋2n ＋3－24－n ·2n ＋3－2n ＋3＝－n ·2n ＋3. ∴S n ＝n ·2n ＋3.10．(12分)(2011·青岛模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n 且满足a 2＝3，S 6＝36.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }是等比数列且满足b 1＋b 2＝3，b 4＋b 5＝24.设数列{a n ·b n }的前n 项和为T n ，求T n .解 (1)∵数列{a n }是等差数列， ∴S 6＝3(a 1＋a 6)＝3(a 2＋a 5)＝36. ∵a 2＝3， ∴a 5＝9， ∴3d ＝a 5－a 2＝6， ∴d ＝2.又∵a 1＝a 2－d ＝1， ∴a n ＝2n －1.(2)由等比数列{b n }满足b 1＋b 2＝3， b 4＋b 5＝24， 得b 4＋b 5b 1＋b 2＝q 3＝8， ∴q ＝2. ∵b 1＋b 2＝3， ∴b 1＋b 1q ＝3， ∴b 1＝1，b n ＝2n －1， ∴a n ·b n ＝(2n －1)·2n －1.∴T n ＝1×1＋3×2＋5×22＋…＋(2n －3)·2n －2＋(2n －1)·2n －1， 则2T n ＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n －3)·2n －1＋(2n －1)·2n ，两式相减，得(1－2)T n ＝1×1＋2×2＋2×22＋…＋2·2n －2＋2·2n －1－(2n －1)·2n ， 即－T n ＝1＋2(21＋22＋…＋2n －1)－(2n －1)·2n＝1＋2(2n －2)－(2n －1)·2n ＝(3－2n )·2n －3. ∴T n ＝(2n －3)·2n ＋3.B 级 综合创新备选 (时间：30分钟 满分：40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．已知{a n }是等差数列，a 1＝15，S 5＝55，则过点P (3，a 2)，Q (4，a 4)的直线的斜率为( )． A ．4B.14 C ．－4D ．－14解析 S 5＝5a 1＋5×42d ，所以5×15＋10d ＝55，即d ＝－2.所以k PQ ＝a 4－a 24－3＝2d＝－4. 答案 C2．数列{a n }的通项a n ＝n 2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2n π3－sin 2n π3，其前n 项和为S n ，则S 30为( )． A ．470 B ．490 C ．495D ．510解析 注意到a n ＝n 2cos 2n π3，且函数y ＝cos 2πx3的最小正周期是3，因此当n 是正整数时，a n ＋a n ＋1＋a n ＋2＝－12n 2－12(n ＋1)2＋(n ＋2)2＝3n ＋72，其中n ＝1,4,7，…， S 30＝(a 1＋a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5＋a 6)＋…＋(a 28＋a 29＋a 30) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3×1＋72＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3×4＋72＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3×28＋72 ＝3×10×(1＋28)2＋72×10＝470. 答案 A二、填空题(每小题4分，共8分)3．(★)对正整数n ，若曲线y ＝x n (1－x )在x ＝2处的切线与y 轴交点的纵坐标为a n ，则数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n n ＋1的前n 项和为________．解析 (等价转化法)由题意，得y ′＝nx n －1－(n ＋1)x n ，故曲线y ＝x n (1－x )在x ＝2处的切线的斜率为k ＝n 2n －1－(n ＋1)2n ，切点为(2，－2n )，所以切线方程为y ＋2n ＝k (x －2)． 令x ＝0得a n ＝(n ＋1)2n ，即a nn ＋1＝2n ， 则数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n n ＋1的前n 项和为2＋22＋23＋…＋2n ＝2n ＋1－2.答案 2n ＋1－2【点评】 通过“化复杂为简单、化陌生为熟悉”将问题等价转化成便于解决的问题，从而得到正确的结果.4．(2012·南通模拟)在数列{a n }中，若a 2n －a 2n ＋1＝p (n ≥1，n ∈N *，p 为常数)，则称{a n }为“等方差数列”，下列是对“等方差数列”的判断：①若{a n }是等方差数列，则{a 2n }是等差数列；②{(－1)n }是等方差数列；③若{a n }是等方差数列，则{a kn }(k ∈N *，k 为常数)也是等方差数列． 其中真命题的序号为________(将所有真命题的序号填在横线上)．解析 ①正确，因为a 2n －a 2n ＋1＝p ，所以a 2n ＋1－a 2n ＝－p ，于是数列{a 2n }为等差数列．②正确，因为(－1)2n －(－1)2(n ＋1)＝0为常数，于是数列{(－1)n }为等方差数列．③正确，因为a 2kn －a 2kn ＋k ＝(a 2kn －a 2kn ＋1)＋(a 2kn ＋1－a 2kn ＋2)＋(a 2kn ＋2－a 2kn ＋3)＋…＋(a 2kn ＋k －1－a 2kn ＋k )＝kp ，则{a kn }(k ∈N *，k 为常数)也是等方差数列．答案 ①②③ 三、解答题(共22分)5．(10分)某商场因管理不善及场内设施陈旧，致使年底结算亏损，决定从今年开始投入资金进行整修，计划第一个月投入80万元，以后每月投入将比上月减少15.第一个月的经营收入约为40万元，预计以后每个月收入会比上个月增加14. (1)设n 个月内的总投入为a n 万元，总收入为b n 万元，写出a n ，b n ； (2)问经过几个月后商场开始扭亏为盈．解 (1)由题意，得a n ＝80＋80×⎝ ⎛⎭⎪⎫45＋80×⎝ ⎛⎭⎪⎫452＋…＋80×⎝ ⎛⎭⎪⎫45n －1＝80×1－⎝ ⎛⎭⎪⎫45n 1－45＝400⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫45n . b n ＝40＋40×⎝ ⎛⎭⎪⎫54＋40×⎝ ⎛⎭⎪⎫542＋…＋40×⎝ ⎛⎭⎪⎫54n －1＝40×1－⎝ ⎛⎭⎪⎫54n1－54＝160⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫54n －1. (2)由题意，令a n ＜b n ， ∴400⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫45n ＜160⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫54n －1.设t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫54n ，则5⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1t ＜2(t －1)，即2t 2－7t ＋5＞0.∵t ＞1，∴解得t ＞52，即⎝ ⎛⎭⎪⎫54n ＞52.取n ＝4，则⎝ ⎛⎭⎪⎫544＝52×⎝ ⎛⎭⎪⎫125128＜52；取n ＝5，则⎝ ⎛⎭⎪⎫545＝52×⎝ ⎛⎭⎪⎫625512＞52.∴第5月开始扭亏为盈．6．(12分)在正项数列{a n }中，a 1＝2，点A n (a n ，a n ＋1)在双曲线y 2－x 2＝1上，数列{b n }中，点(b n ，T n )在直线y ＝－12x ＋1上，其中T n 是数列{b n }的前n 项和． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证：数列{b n }是等比数列； (3)若c n ＝a n ·b n ，求证：c n ＋1＜c n .(1)解 由已知点A n 在y 2－x 2＝1上知，a n ＋1－a n ＝1， ∴数列{a n }是一个以2为首项，以1为公差的等差数列， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋n －1＝n ＋1.(2)证明 ∵点(b n ，T n )在直线y ＝－12x ＋1上，∴T n ＝－12b n ＋1，①∴T n －1＝－12b n －1＋1(n ≥2)，②①②两式相减得b n ＝－12b n ＋12b n －1(n ≥2)， ∴32b n ＝12b n －1，∴b n ＝13b n －1.令n ＝1，得b 1＝－12b 1＋1，∴b 1＝23，∴{b n }是一个以23为首项，以13为公比的等比数列． (3)证明 由(2)可知b n ＝23·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝23n . ∴c n ＝a n ·b n ＝(n ＋1)·23n ，∴c n ＋1－c n ＝(n ＋2)·23n ＋1－(n ＋1)·23n ＝23n ＋1[(n ＋2)－3(n ＋1)]＝23n ＋1(－2n －1)＜0， ∴c n ＋1＜c n .。
【名师一号】高考数学(人教版a版)一轮配套题库：5-5数列的综合应用
第五节 数列的综合应用时间：45分钟 分值：75分一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．各项都是正数的等比数列{a n }中，a 2，12a 3，a 1成等差数列，则a 4＋a 5a 3＋a 4的值为( ) A.5－12 B.5＋12 C.1－52D.5－12或5＋12解析 设{a n }的公比为q (q ＞0)，由a 3＝a 2＋a 1，得q 2－q －1＝0，解得q ＝1＋52.而a 4＋a 5a 3＋a 4＝q ＝1＋52.答案 B2．据科学计算，运载“神舟”的“长征”二号系列火箭在点火后第一秒钟通过的路程为2 km ，以后每秒钟通过的路程增加2 km ，在到达离地面240 km 的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程需要的时间是( )A ．10秒钟B ．13秒钟C ．15秒钟D ．20秒钟解析 设每一秒钟通过的路程依次为a 1，a 2，a 3，…a n 则数列{a n }是首项a 1＝2，公差d ＝2的等差数列，由求和公式有na 1＋n (n －1)d 2＝240，即2n ＋n (n －1)＝240，解得n ＝15.答案 C3．设函数f (x )＝x m＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1f (n )(n∈N *)的前n 项和是( )A.n n ＋1B.n ＋2n ＋1C.n n －1D.n ＋1n解析 由f ′(x )＝mx m －1＋a ＝2x ＋1得m ＝2，a ＝1. ∴f (x )＝x 2＋x ，则1f (n )＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1.∴S n ＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1. 答案 A4．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝log 2n ＋1n ＋2(n ∈N *)，设其前n项和为S n ，则使S n <－5成立的自然数n ( )A ．有最小值63B ．有最大值63C ．有最小值31D ．有最大值31解析 ∵a n ＝log 2n ＋1n ＋2＝log 2(n ＋1)－log 2(n ＋2)，∴S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝log 22－log 23＋log 23－log 24＋…＋log 2(n ＋1)－log 2(n ＋2)＝1－log 2(n ＋2)．由S n <－5，得log 2(n ＋2)>6，即n ＋2>64，∴n >62，∴n 有最小值63. 答案 A5．已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，且a n ，a n ＋1是函数f (x )＝x 2－b n x ＋2n 的两个零点，则b 10等于( )A ．24B ．32C ．48D ．64解析 依题意有a n a n ＋1＝2n ，所以a n ＋1a n ＋2＝2n ＋1，两式相除，得a n ＋2a n＝2，所以a 1，a 3，a 5，…成等比数列，a 2，a 4，a 6，…成等比数列．而a 1＝1，a 2＝2，所以a 10＝2·24＝32，a 11＝1·25＝32.又因为a n ＋a n ＋1＝b n ，所以b 10＝a 10＋a 11＝64. 答案 D6．抛物线y ＝(n 2＋n )x 2－(2n ＋1)x ＋1与x 轴交点分别为A n ，B n (n ∈N *)，以|A n B n |表示该两点的距离，则|A 1B 1|＋|A 2B 2|＋…＋|A 2 010B 2 010|的值是( )A.2 0092 010 B.2 0102 011 C.2 0112 012D.2 0122 013解析 令y ＝0，则(n 2＋n )x 2－(2n ＋1)x ＋1＝0. 设两根分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝2n ＋1n 2＋n ，x 1x 2＝1n 2＋n .解得x 1＝1n ，x 2＝1n ＋1.∴|A n B n |＝1n －1n ＋1.∴|A 1B 1|＋|A 2B 2|＋…＋|A n B n |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1. ∴|A 1B 1|＋|A 2B 2|＋…＋|A 2 010B 2 010|＝2 0102 011. 答案 B二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝－2，a n ＋2＝－1a n，则该数列前26项的和为________．解析 由于a 1＝1，a 2＝－2，a n ＋2＝－1a n，所以a 3＝－1，a 4＝12，a 5＝1，a 6＝－2，…， 所以{a n }是周期为4的数列，故S 26＝6×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2－1＋12＋1－2＝－10.答案 －108．已知数列{a n }满足a 1＝33，a n ＋1－a n ＝2n ，则a nn 的最小值为________．解析 a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2[(n －1)＋(n －2)＋…＋1]＋33＝33＋n 2－n ，所以a n n ＝33n ＋n －1.设f (x )＝33x ＋x －1，则f ′(x )＝－33x 2＋1. 令f ′(x )>0，得x >33或x <－33.所以f (x )在(33，＋∞)上是增函数，在(0，33)上是减函数． 因为n ∈N *，所以当n ＝5或n ＝6时，f (n )取最小值． 因为f (5)＝535，f (6)＝636＝212，535>212， 所以a n n 的最小值为212. 答案 2129．(2013·安徽卷)如图，互不相同的点A 1，A 2，…，A n ，…和B 1，B 2，…，B n ，…分别在角O 的两条边上，所有A n B n 相互平行，且所有梯形A n B n B n ＋1A n ＋1的面积均相等．设OA n ＝a n .若a 1＝1 ，a 2＝2，则数列{a n }的通项公式是________．解析 ∵A 1B 1∥A 2B 2∥A 3B 3∥…∥A n B n ，∴A 1A 2A 2A 3＝B 1B 2B 2B 3，…，不妨设OA 1＝OB 1，OA 2＝OB 2，OA 3＝OB 3，…，OA n ＝OB n .梯形A 1A 2B 2B 1，A 2A 3B 3B 2，…，A n －1A n B n B n －1的面积均为S ，∠O ＝θ.梯形A 1A 2B 2B 1的面积为S ，则S ＝12a 22·sin θ－12a 21·sin θ＝12×22sin θ－12×12sin θ＝32sin θ.梯形A 2A 3B 3B 2的面积S ＝12a 23·sin θ－12a 22·sin θ＝32sin θ，∴可解得a 3＝7，同理a 4＝10，…，故a n ＝3n －2. 答案 a n ＝3n －2三、解答题(本大题共3小题，每小题10分，共30分)10．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx 的图象过点(－4n,0)，且f ′(0)＝2n ，(n ∈N *)．(1)求f (x )的解析式；(2)若数列{a n }满足1a n ＋1＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ，且a 1＝4，求数列{a n }的通项公式．解 (1)由f ′(x )＝2ax ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2n ，16n 2a －4nb ＝0. 解之得a ＝12，b ＝2n ，即f (x )＝12x 2＋2nx (n ∈N *)． (2)由1a n ＋1＝1a n ＋2n ，∴1a n ＋1－1a n＝2n .由累加得1a n－14＝n 2－n ，∴a n ＝4(2n －1)2(n ∈N *)． 11．某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M ，M 的价值在使用过程中逐年减少．从第2年到第6年，每年初M 的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M 的价值为上年初的75%.(1)求第n 年初M 的价值a n 的表达式；(2)设A n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n ，若A n 大于80万元，则M 继续使用，否则须在第n 年初对M 更新，证明：须在第9年初对M 更新．解 (1)当n ≤6时，数列{a n }是首项为120，公差为－10的等差数列．a n ＝120－10(n －1)＝130－10n ；当n ＞6时，数列{a n }是以a 6为首项，公比为34的等比数列，又a 6＝70，所以a n ＝70×⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －6.因此，第n 年初，M 的价值a n 的表达式为a n ＝⎩⎨⎧130－10n ，n ≤6，70×⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －6，n ≥7.(2)设S n 表示数列{a n }的前n 项和，由等差及等比数列的求和公式得当1≤n ≤6时，S n ＝120n －5n (n －1)， A n ＝120－5(n －1)＝125－5n ； 当n ≥7时，由于S 6＝570，故 S n ＝S 6＋(a 7＋a 8＋…＋a n )＝570＋70×34×4×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －6 ＝780－210×⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －6，A n ＝780－210×⎝ ⎛⎭⎪⎫34n －6n.因为{a n }是递减数列，所以{A n }是递减数列．又A 8＝780－210×⎝ ⎛⎭⎪⎫3428＝824764＞80，A 9＝780－210×⎝ ⎛⎭⎪⎫3439＝767996＜80. 所以须在第9年初对M 更新． 12．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，y ＞0，y ≤－nx ＋3n所表示的平面区域为D n ，记D n内的整点个数为a n (n ∈N *)(整点即横坐标和纵坐标均为整数的点)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记数列{a n }的前n 项和为S n ，且T n ＝S n3·2n －1.若对于一切的正整数n ，总有T n ≤m ，求实数m 的取值范围．解 (1)由x ＞0，y ＞0,3n －nx ＞0，得0＜x ＜3. ∴x ＝1，或x ＝2.∴D n 内的整点在直线x ＝1和x ＝2上．记直线y ＝－nx ＋3n 为l ，l 与直线x ＝1，x ＝2的交点的纵坐标分别为y 1，y 2.则y 1＝－n ＋3n ＝2n ，y 2＝－2n ＋3n ＝n . ∴a n ＝3n (n ∈N *)．(2)∵S n ＝3(1＋2＋3＋…＋n )＝3n (n ＋1)2， ∴T n ＝n (n ＋1)2n .∴T n ＋1－T n ＝(n ＋1)(n ＋2)2n ＋1－n (n ＋1)2n ＝(n ＋1)(2－n )2n ＋1.∴当n ≥3时，T n ＞T n ＋1，且T 1＝1＜T 2＝T 3＝32. 于是T 2，T 3是数列{T n }中的最大项，故m ≥T 2＝32.。
最新高考数学1轮复习精讲精练(新人教A版)第05章 数列
最|新高中数学精讲精练第五章 数列【知识图解】【方法点拨】1．学会从特殊到一般的观察、分析、思考 ,学会归纳、猜测、验证． 2．强化根本量思想 ,并在确定根本量时注重设变量的技巧与解方程组的技巧．3．在重点掌握等差、等比数列的通项公式、求和公式、中项等根底知识的同时 ,会针对可化为等差 (比 )数列的比拟简单的数列进行化归与转化．4．一些简单特殊数列的求通项与求和问题 ,应注重通性通法的复习．如错位相减法、迭加法、迭乘法等． 5．增强用数学的意识 ,会针对有关应用问题 ,建立数学模型 ,并求出其解．第1课 数列的概念【考点导读】1． 了解数列 (含等差数列、等比数列 )的概念和几种简单的表示方法 (列表、图象、通项公式 ) ,了解数列是一种特殊的函数；2． 理解数列的通项公式的意义和一些根本量之间的关系； 3． 能通过一些根本的转化解决数列的通项公式和前n 项和的问题 . 【根底练习】}{n a 满足)(133,0*11N n a a a a n n n ∈+-==+ ,那么20a =3- .分析:由a 1 =0,)(1331++∈+-=N n a a a n n n 得⋅⋅⋅⋅⋅⋅==-=,0,3,3432a a a 由此可知: 数列}{n a 是周期变化的,且三个一循环,所以可得:.3220-==a a2．在数列{}n a 中 ,假设11a = ,12(1)n n a a n +=+≥ ,那么该数列的通项n a = 2n -1 .3．设数列{}n a 的前n 项和为n S ,*1(31)()2n n a S n N -=∈ ,且454a = ,那么1a =____2__. 4．数列{}n a 的前n 项和(51)2n n n S +=-,那么其通项n a =52n -+．【范例导析】 例1．设数列{}n a 的通项公式是285n a n n =-+ ,那么 (1 )70是这个数列中的项吗 ?如果是 ,是第几项 ? (2 )写出这个数列的前5项 ,并作出前5项的图象；(3 )这个数列所有项中有没有最|小的项 ?如果有 ,是第几项 ?分析：70是否是数列的项 ,只要通过解方程27085n n =-+就可以知道；而作图时那么要注意数列与函数的区别 ,数列的图象是一系列孤立的点；判断有无最|小项的问题可以用函数的观点来解决 ,一样的是要注意定义域问题 .解： (1 )由27085n n =-+得：13n =或5n =- 所以70是这个数列中的项 ,是第13项 .(2 )这个数列的前5项是2,7,10,11,10-----； (图象略 )(3 )由函数2()85f x x x =-+的单调性：(,4)-∞是减区间 ,(4,)+∞是增区间 , 所以当4n =时 ,n a 最|小 ,即4a 最|小 .点评：该题考察数列通项的定义 ,会判断数列项的归属 ,要注重函数与数列之间的联系 ,用函数的观点解决数列的问题有时非常方便 .例2．设数列{}n a 的前n 项和为n S ,点(,)()nS n n N n*∈均在函数y ＝3x －2的图像上,求数列{}n a 的通项公式 .分析：根据题目的条件利用n S 与n a 的关系：n a =1(1)(2)n S n S n =⎧⎨≥⎩当时当时 , (要特别注意讨论n =1的情况 )求出数列{}n a 的通项 .解：依题意得 ,32,nn nS=-即232n n n S =- .当n ≥2时 ,()22(32)312(1)651n a n n n n n n n S S ⎡⎤==-----=--⎣⎦-;当n =1时 ,111a S == 所以*65()n a n n N =-∈ .例3．数列｛a n ｝满足11=a ,)(12*1N n a a n n ∈+=+ (Ⅰ )求数列{}n a 的通项公式； (Ⅱ )假设数列{}n b 满足12111*44...4(1).()n n b b b b n a n N ---=+∈,证明：{}n b 是等差数列;分析：此题第1问采用构造等比数列来求通项问题 ,第2问依然是构造问题 . 解： (I )*121(),n n a a n N +=+∈112(1),n n a a +∴+=+{}1n a ∴+是以112a +=为首|项 ,2为公比的等比数列 .12.n n a ∴+=即 *21().n n a n N =-∈ (II )1211144...4(1).n n b b b b n a ---=+12(...)42.n n b b b n nb +++-∴=122[(...)],n n b b b n nb ∴+++-= ①12112[(...)(1)](1).n n n b b b b n n b ++++++-+=+ ②；②－① ,得112(1)(1),n n n b n b nb ++-=+- 即1(1)20,n n n b nb +--+=③∴21(1)20.n n nb n b ++-++= ④ ③－④ ,得 2120,n n n nb nb nb ++-+= 即2120,n n n b b b ++-+=*211(),n n n n b b b b n N +++∴-=-∈{}n b ∴是等差数列 .点评：本小题主要考查数列、不等式等根本知识 ,考查化归的数学思想方法 ,考查综合解题能力 . 【反应演练】1．假设数列{}n a 前8项的值各异 ,且8n n a a +=对任意n ∈N *都成立 ,那么以下数列中可取遍{}n a 前8项值的数列为 (2 ) .(1 ){}21k a + (2 ){}31k a + (3 ){}41k a + (4 ){}61k a +2．设S n 是数列{}n a 的前n 项和 ,且S n =n 2,那么{}n a 是 等差数列 ,但不是等比数列 .3．设f (n ) =n n n n 21312111+---++++++ (n ∈N ) ,那么f (n +1 )－f (n )等于221121+-+n n . 4．根据市场调查结果 ,预测某种家用商品从年初开始的n 个月内累积的需求量S n (万件 )近似地满足S n =90n (21n －n 2－5 ) (n =1 ,2 ,…… 7月、8月 . 5．在数列{}n a 中 ,12341,23,456,78910,a a a a ==+=++=+++那么10a = 505 .6．数列{}n a 中 ,21()3n n n a n N ++-=∈ , (1 )写出10a ,1n a + ,2n a ； (2 )2793是否是数列中的项 ?假设是 ,是第几项 ?解： (1 )∵21()3n n n a n N ++-=∈ ,∴10a 21010110933+-== , 1n a +()()221113133n n n n +++-++== ,2n a ()222421133n n n n +-+-==；(2 )令2793213n n +-= ,解方程得15,16n n ==-或 ,∵n N +∈ ,∴15n = , 即2793为该数列的第15项 .第2课 等差、等比数列【考点导读】1． 掌握等差、等比数列的通项公式、前n 项和公式 ,能运用公式解决一些简单的问题； 2． 理解等差、等比数列的性质 ,了解等差、等比数列与函数之间的关系； 3． 注意函数与方程思想方法的运用 .【根底练习】1．在等差数列{a n }中 ,a 5＝10 ,a 12＝31 ,首|项a 1 = -2 ,公差d = 3 . 2．一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18 ,那么它的第1项是163,第2项是 8 . 3．设{}n a 是公差为正数的等差数列 ,假设12315a a a ++= ,12380a a a = ,那么111213a a a ++=105 . 4．公差不为0的等差数列{a n }中 ,a 2 ,a 3 ,a 6依次成等比数列 ,那么公比等于 3 . 【范例导析】例1． (1 )假设一个等差数列前3项的和为34 ,最|后3项的和为146 ,且所有项的和为390 ,那么这个数列有13 项 .(2 )设数列{a n }是递增等差数列 ,前三项的和为12 ,前三项的积为48 ,那么它的首|项是 2 . 解： (1 )答案：13法1：设这个数列有n 项∵⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+=-+=-='⋅+=-dn n n a S d nd a S S S d a S n n n 2)1(6332233113313∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=-+=+3902)1(146)2(3334)(3111d n n n a n d a d a∴n ＝13法2：设这个数列有n 项∵1231234,146n n n a a a a a a --++=++=∴121321()()()3()34146180n n n n a a a a a a a a --+++++=+=+=∴160n a a +=又1()3902n n a a +=∴n ＝13 (2 )答案：2 因为前三项和为12 ,∴a 1＋a 2＋a 3＝12 ,∴a 2＝33S ＝4 又a 1·a 2·a 3＝48 , ∵a 2＝4 ,∴a 1·a 3＝12 ,a 1＋a 3＝8 , 把a 1 ,a 3作为方程的两根且a 1＜a 3 ,∴x 2－8x ＋12＝0 ,x 1＝6 ,x 2＝2 ,∴a 1＝2 ,a 3＝6 ,∴选B.点评：此题考查了等差数列的通项公式及前n 项和公式的运用和学生分析问题、解决问题的能力 . 例2． (1 )数列))}1({log *2N n a n ∈-为等差数列 ,且.9,331==a a (Ⅰ )求数列}{n a 的通项公式； (Ⅱ )证明.111112312<-+---+-+-+nn a a a a a a分析： (1 )借助.9,331==a a 通过等差数列的定义求出数列))}1({log *2N n a n ∈-的公差 ,再求出数列}{n a 的通项公式 , (2 )求和还是要先求出数列}1{1nn a a -+的通项公式 ,再利用通项公式进行求和 .解： (1 )设等差数列)}1({log 2-n a 的公差为d ,由,8log 2log )2(log 2:9,322231+=+==d a a 得 即d =1 . 所以,1)1(1)1(log 2n n a n =⨯-+=-即.12+=n n a (II )证明：因为nn n n n a a 21221111=-=-++ , 所以n n n a a a a a a 2121212111132112312++++=-+---+-+-+L点评：该题通过求通项公式 ,最|终通过通项公式解释复杂的不等问题 ,属于综合性的题目 ,解题过程中注意观察规律 .例3．数列{}n a 的首|项121a a =+ (a 是常数 ,且1a ≠- ) ,24221+-+=-n n a a n n (2n ≥ ) ,数列{}n b 的首|项1b a = ,2n a b n n += (2n ≥ ) . (1 )证明：{}n b 从第2项起是以2为公比的等比数列；(2 )设n S 为数列{}n b 的前n 项和 ,且{}n S 是等比数列 ,求实数a 的值 . 分析：第 (1 )问用定义证明 ,进一步第 (2 )问也可以求出 .解： (1 )∵2n a b n n +=∴22211)1(2)1(4)1(2)1(++++-++=++=++n n n a n a b n n nn n b n a 2222=+=(n ≥2)由121a a =+得24a a = ,22444b a a =+=+ ,∵1a ≠- ,∴20b ≠ , 即{}n b 从第2项起是以2为公比的等比数列 .(2 )1(44)(12)34(22)212n n n a S a a a -+-=+=--++- 当n ≥2时 ,111(22)234342(22)234(1)234n n n n n S a a a S a a a a ---+--+==++--+-- ∵}{n S 是等比数列, ∴1-n n S S (n ≥2)是常数 , ∴3a +4 =0 ,即43a =- .点评：此题考查了用定义证明等比数列 ,分类讨论的数学思想 ,有一定的综合性 . 【反应演练】1．等差数列{}n a 中 ,247,15a a == ,那么前10项的和10S ＝210 . 2．在等差数列{}n a 中 ,1232,13,a a a =+=那么456a a a ++＝ 42 .3．等差数列共有10项 ,其中奇数项之和15 ,偶数项之和为30 ,那么其公差是 3 . 4．如果1,,,,9a b c --成等比数列 ,那么b = 3 ,ac = -9 . 5．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 3 =12,S 12>0,S 13<0.(1)求公差d 的取值范围；(2)指出S 1、S 2、…、S 12中哪一个值最|大 ,并说明理由.解：(1)依题意有：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<⨯+=>⨯+==+=0212131302111212,12211311213d a S d a S d a a解之得公差d 的取值范围为－724＜d ＜－3. (2)解法一：由d ＜0可知a 1>a 2>a 3>…>a 12>a 13,因此 ,在S 1 ,S 2 ,… ,S 12中S k 为最|大值的条件为：a k ≥0且a k +1＜0,即⎩⎨⎧<-+≥-+0)2(0)3(33d k a d k a∵a 3 =12, ∴⎩⎨⎧-<-≥122123d kd d kd , ∵d ＜0, ∴2－d 12＜k ≤3－d 12∵－724＜d ＜－3,∴27＜－d 12＜4,得5.5＜k ＜7.因为k 是正整数 ,所以k =6,即在S 1 ,S 2 ,… ,S 12中 ,S 6最|大. 解法二：由d ＜0得a 1>a 2>…>a 12>a 13 ,因此假设在1≤k ≤12中有自然数k ,使得a k ≥0,且a k +1＜0,那么S k 是S 1 ,S 2 ,… ,S 12中的最|大值 .又2a 7 =a 1+a 13 =132S 13＜0, ∴a 7＜0, a 7 +a 6 =a 1 +a 12 =61S 12>0, ∴a 6≥－a 7>0 故在S 1 ,S 2 ,… ,S 12中S 6最|大.解法三：依题意得：)(2)212()1(221n n dd n d n n na S n -+-=-+=222)]245(21[,0,)245(8)]245(21[2dn d d d d n d --∴<----= 最|小时 ,S n 最|大； ∵－724＜d ＜－3, ∴6＜21(5－d24)＜6.5.从而 ,在正整数中 ,当n =6时 ,［n －21 (5－d24)］2最|小 ,所以S 6最|大.点评：该题的第(1)问通过建立不等式组求解属根本要求 ,难度不高 ,入手容易.第(2)问难度较高 ,为求{S n }中的最|大值S k (1≤k ≤12 )：思路之一是知道S k 为最|大值的充要条件是a k ≥0且a k +1＜0；而思路之二那么是通过等差数列的性质等和性探寻数列的分布规律 ,找出 "分水岭〞 ,从而得解；思路之三是可视S n 为n 的二次函数 ,借助配方法可求解 ,它考查了等价转化的数学思想、逻辑思维能力和计算能力 ,较好地表达了（高|考）试题注重能力考查的特点.第3课 数列的求和【考点导读】对于一般数列求和是很困难的 ,在推导等差、等比数列的和时出现了一些方法可以迁移到一般数列的求和上 ,掌握数列求和的常见方法有：(1 )公式法：⑴ 等差数列的求和公式 ,⑵ 等比数列的求和公式(2 )分组求和法：在直接运用公式求和有困难时常 ,将 "和式〞中的 "同类项〞先合并在一起 ,再运用公式法求和 (如：通项中含n(-1)因式 ,周期数列等等 )(3 )倒序相加法：如果一个数列｛a n ｝ ,与首|末两项等距的两项之和等于首|末两项之和 ,那么可用把正着写和与倒着写和的两个和式相加 ,就得到了一个常数列的和 ,这一求和方法称为倒序相加法 .特征：a n +a 1 =a n -1 +a 2(4 )错项相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列的对应项相乘所组成 ,此时求和可采用错位相减法 . (5 )裂项相消法：把一个数列的各项拆成两项之差 ,在求和时一些正负项相互抵消 ,于是前n 项之和变成首|尾假设干少数项之和 .【根底练习】1．公差不为0的正项等差数列｛a n ｝中,S n 为前n 项之和,lga 1、lga 2、lga 4成等差数列 ,假设a 5 =10, 那么S 5 = 30 .2．数列｛a n ｝是等差数列,且a 2 =8,a 8 =26,从｛a n ｝中依次取出第3项,第9项,第27项…,第3n项,按原来的顺序构成一个新的数列｛b n ｝, 那么bn =__3n +1+2___3．假设数列{}n a 满足：1,2,111===+n a a a n n ,2 ,3….那么=+++n a a a 2121n-.【范例导析】例1.等比数列432,,,}{a a a a n 中分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项 ,且1,641≠=q a 公比 (Ⅰ )求n a ；(Ⅱ )设n n a b 2log = ,求数列.|}{|n n T n b 项和的前 解： (I )依题意032),(32244342=+--+=a a a a a a a 即 (II )n b n n n -==⨯=--72log ])21(64[log 7212⎩⎨⎧>-≤-=∴7777||n n n nb n 点评：此题考查了等比数列的根本性质和等差数列的求和 ,此题还考查了转化的思想 . 例2．数列}{n a 前n 项之和n S 满足：*1(1)(21)(,0)n n t S t S n N t +⋅+=+∈≠ （1） 求证：数列}{n a 是等比数列(2)n ≥；（2） 假设数列}{n a 的公比为()f t ,数列}{n b 满足：1111,()n nb b f b +== ,求数列}{n b 的通项公式； （3） 定义数列}{nc 为11n n n c b b +=, ,求数列}{n c 的前n 项之和nT . 解： (1 )由*1(1)(21)(,0)n n t S t S n N t +⋅+=+∈≠得：1(1)(21)(2)n n t S t S n -⋅+=+≥ 两式相减得：1(21),(2)n n t a t a n +⋅=+≥ 即12112,(2)n n a t n a t t++==+≥, ∴数列}{n a 是等比数列(2)n ≥ . (2 )11()2n n nb f b b +==+ ,那么有12n n b b +-=∴21n b n =- . (3 )111111()(21)(21)22121n n n c b b n n n n +===⋅-+--+ , ∴1111111111(1)(1)2335572121221n T n n n =⋅-+-+-++-=--++ 点评：此题考查了n a 与n S 之间的转化问题 ,考查了根本等差数列的定义 ,还有裂项相消法求和问题 . 例3．数列{}n a 满足411=a ,()),2(2111N n n a a a n nn n ∈≥--=--． (Ⅰ )求数列{}n a 的通项公式n a ； (Ⅱ )设21nn a b = ,求数列{}n b 的前n 项和n S ；(Ⅲ )设2)12(sinπ-=n a c n n ,数列{}n c 的前n 项和为n T ．求证：对任意的*∈N n ,74<n T ． 分析：此题所给的递推关系式是要分别 "取倒〞再转化成等比型的数列 ,对数列中不等式的证明通常是放缩通项以利于求和 .解： (Ⅰ )12)1(1---=n n n a a,])1(1)[2()1(111---+-=-+∴n n n n a a ,又3)1(11=-+a,∴数列()⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+n n a 11是首|项为3 ,公比为2-的等比数列． 1)2(3)1(1--=-+n n n a , 即123)1(11+⋅-=--n n n a . (Ⅱ )12649)123(1121+⋅+⋅=+⋅=---n n n n b ．9264321)21(1641)41(19-+⋅+⋅=+--⋅⋅+--⋅⋅=n n S n n n n n ．(Ⅲ )1)1(2)12(sin --=-n n π , 1231)1()2(3)1(111+⋅=----=∴---n n n n n c ． 当3≥n 时 ,那么12311231123113112+⋅+++⋅++⋅++=-n n T 7484488447612811])21(1[6128112=<=+<-+=-n ． 321T T T << , ∴对任意的*∈N n ,74<n T ．点评：此题利用转化思想将递推关系式转化成我们熟悉的结构求得数列{}n a 的通项n a ,第二问分组求和法是非常常见的方法 ,第三问不等式的证明要用到放缩的方法 ,放缩的目的是利于求和 ,所以通常会放成等差、等比数列求和 ,或者放缩之后可以裂项相消求和 . 【反应演练】1．数列}{n a 的通项公式*21()n a n n N =+∈ ,其前n 项和为n S ,那么数列}{nS n的前10项的和为 75 . 2．数列}{n a 的通项公式12(21)*21(2){()n n k n n n k a k N -=--==∈ ,其前n 项和为n S ,那么9S = 377 .3．数列}{n a 的前n 项和为n S ,且21n n S a =+ ,那么数列}{n a 的通项公式为12n n a -=- . 4．数列}{n a 中 ,11,a =且有*1(21)(23)(,2)n n n a n a n N n -+=-∈≥ ,那么数列}{n a 的通项公式为311()22121n a n n =--+ ,前n 项和为321n n + . 5．数列{a n }满足a 1 =2 ,对于任意的n ∈N *都有a n ＞0, 且(n +1)a n 2+a n ·a n +1－na n +12=0 ,又知数列{b n }的通项为b n =2n －1+1.(1)求数列{a n }的通项a n 及它的前n 项和S n ； (2)求数列{b n }的前n 项和T n ；解：(1 )可解得nn a a n n 11+=+ ,从而a n =2n ,有S n =n 2+n , (2)T n =2n+n －1.6．数列{a n }中 ,a 1 =8,a 4 =2且满足a n +2 =2a n +1－a n ,(n ∈N *).(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设S n =｜a 1｜ +｜a 2｜ +… +｜a n ｜,求S n ;(3)设b n =)12(1n a n -(n ∈N *),T n =b 1 +b 2 +…… +b n (n ∈N *),是否存在最|大的整数m ,使得对任意n ∈N *均有T n ＞32m成立 ?假设存在 ,求出m 的值；假设不存在 ,说明理由. 解：(1 )由a n +2 =2a n +1－a n ⇒a n +2－a n +1 =a n +1－a n 可知{a n }成等差数列 ,d =1414--a a =－2,∴a n =10－2n .(2)由a n =10－2n ≥0可得n ≤5 ,当n ≤5时 ,S n =－n 2 +9n ,当n ＞5时 ,S n =n 2－9n +40 ,故S n =⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤≤+-540951922n n n n n n(3)b n =)111(21)22(1)12(1+-=+=-n n n n a n n)1(2)]111()3121()211[(2121+=+-++-+-=+++=∴n n n n b b b T n n ；要使T n ＞32m 总成立 ,需32m＜T 1 =41成立 ,即m ＜8且m ∈Z ,故适合条件的m 的最|大值为7. 第4课 数列的应用【考点导读】1．能在具体的问题情景中发现数列的等差、等比关系 ,并能用有关知识解决相应的问题 .2．注意根本数学思想方法的运用 ,构造思想：数列构造新数列 ,转化思想：将非等差、等比数列转化为等差、等比数列 . 【根底练习】1．假设数列{}n a 中 ,311=a ,且对任意的正整数p 、q 都有q p q p a a a =+ ,那么=n a 13n . 2．设等比数列{}n a 的公比为q ,前n 项和为n S ,假设12,,n n n S S S ++成等差数列 ,那么q 的值为 2- . 3．等差数列{}n a 的公差为2 ,假设134,,a a a 成等比数列 ,那么2a =6- . 【范例导析】例1．正数组成的两个数列}{},{n n b a ,假设1,+n n a a 是关于x 的方程02122=+-+n n n n b b a x b x 的两根 (1 )求证：}{n b 为等差数列；(2 ),6,221==a a 分别求数列}{},{n n b a 的通项公式； (3 )求数n nns n b 项和的前}2{. (1 )证明：由02,1221=++++n n n n n n b b a x b x x a a 的方程是关于的两根得：0>n b )1(2112>+=∴+-n b b b n n n }{n b ∴是等差数列(2 )由 (1 )知,822121=+=a a b ,21=∴b∴)1)(1(1>+==-n n n b b a n n n 又21=a 也符合该式 , (3 )n n n s 2124232232+++++=① 13221242321+++++=n n n s ② ① -②得n n n s 233+-=∴. 点评：此题考查了等差、等比数列的性质 ,数列的构造 ,数列的转化思想 ,乘公比错项相减法求和等 . 例2．设数列{}{}n n b a ,满足3,4,6332211======b a b a b a ,且数列{}()++∈-N n a a n n 1是等差数列 ,数列{}()+∈-N n b n 2是等比数列 . (I )求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(II )是否存在*N k ∈ ,使⎪⎭⎫ ⎝⎛∈-21,0k k b a ,假设存在 ,求出k ,假设不存在 ,说明理由 . 解：由题意得：)()()(113121--++-+-+=n n n a a a a a a a a )4(0)1()2(6-+++-+-+=n[]2)1()4()2(6--+-+=n n ＝21872+-n n ；由22,4221=-=-b b 得公比21=q ()1112142122--⎪⎭⎫⎝⎛⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-∴n n n b b(2 )k k b a k f -=)(k2171928222k k ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-+⨯⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦2k17491872242k ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=---⨯+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦,所以当4≥k 时 ,)(k f 是增函数 . 又21)4(=f , 所以当4≥k 时21)(≥k f ,又0)3()2()1(===f f f , 所以不存在k ,使⎪⎭⎫ ⎝⎛∈21,0)(k f . 【反应演练】1．制造某种产品 ,方案经过两年要使本钱降低36% ,那么平均每年应降低本钱 20% . 2．等比数列}{n a 的前n 项和为n S ,5102,6S S == ,那么1617181920a a a a a ++++= 54 . 3．设}{n a 为等差数列 ,n S 为数列}{n a 的前n 项和 ,7157,75S S == ,n T 为数列｛nS n｝的前n 项和 ,那么n T =294n n-．4.数列.4,3,,}{422S S a n S a n n ==且项和为其前为等差数列 (1 )求数列}{n a 的通项公式； (2 )求证数列}2{n a是等比数列； (3 )求使得n S S n n 的成立的22>+的集合.解： (1 )设数列d a a n 公差为的首项为,}{1 ,由题意得：⎩⎨⎧+=+⨯=+da d a d a 64)2(43111解得：122,11-=∴==n a d a n(2 )由题意知：4222232121==---n n a a n n ,}2{n a 数列∴为首|项为2 ,公比为4的等比数列(3 )由21,12,2,1n S n a d a n n =-===得5.数列{}n a 的各项均为正数 ,n S 为其前n 项和 ,对于任意*N n ∈ ,满足关系22-=n n a S . 证明：{}n a 是等比数列；证明：∵*)(22N n a S n n ∈-=①∴*)(2211N n a S n n ∈-=++② ②－① ,得*)(2211N n a a a n n n ∈-=++ ∵*)( 2,01N n a a a nn n ∈=∴≠+ 故:数列{a n }是等比数列。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第五章 第五节 数列的综合应用课下练兵场命 题 报 告难度及题号 知识点容易题 (题号) 中等题 (题号) 稍难题 (题号) 等差、等比数 列的综合问题 1、26、811数列在实际问 题中的应用 45、9、1012数列与解析几何、 不等式的综合应用37一、选择题1.已知a ，b ∈R ＋，A 为a ，b 的等差中项，正数G 为a ，b 的等比中项，则ab 与AG 的大小关系是 ( ) A.ab ＝AG B.ab ≥AG C.ab ≤AG D.不能确定 解析：依题意A ＝a ＋b2，G ＝ab ， ∴AG －ab ＝a ＋b2·ab －ab ＝ab (a ＋b2－ab ) ＝ab ·(a －b )22≥0，∴AG ≥ab . 答案：C2.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 9＝－18，S 13＝－52，等比数列{b n }中，b 5＝a 5，b 7＝a 7，则b 15的值为 ( ) A.64 B.－64 C.128 D.－128解析：因为S 9＝92(a 1＋a 9)＝9a 5＝－18，S 13＝132(a 1＋a 13)＝13a 7＝－52，所以a 5＝－2，a 7＝－4，又b 5＝a 5，b 7＝a 7，所以q 2＝2，b 15＝b 7·q 8＝－4×16＝－64. 答案：B3.在直角坐标系中，O 是坐标原点，P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是第一象限的两个点，若1，x 1，x 2,4依次成等差数列，而1，y 1，y 2,8依次成等比数列，则△OP 1P 2的面积是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析：根据等差、等比数列的性质， 可知x 1＝2，x 2＝3，y 1＝2，y 2＝4. ∴P 1(2,2)，P 2(3,4).∴S △OP 1P 2＝1. 答案：A4.(2010·黄冈模拟)据科学计算，运载“神七”的“长征”二号系列火箭在点火后第一秒钟通过的路程为2 km ，以后每秒钟通过的路程增加2 km ，在到达离地面240 km 的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程需要的时间是 ( ) A.10秒钟 B.13秒钟 C.15秒钟 D.20秒钟解析：设每一秒钟通过的路程依次为a 1，a 2，a 3，…a n ，则数列{a n }是首项a 1＝2，公差d ＝2的等差数列，由求和公式有na 1＋n (n －1)d2＝240，即2n ＋n (n －1)＝240，解得n ＝15. 答案：C5.某人为了观看2010年南非足球世界杯，从2006年起，每年的5月1日到银行存入a 元的定期储蓄，若年利率为p 且保持不变，并约定每年到期，存款的本息均自动转为新的一年的定期，到2010年的5月1日将所有存款及利息全部取出，则可取出钱(元)的总数为 ( ) A.a (1＋p )4 B.a (1＋p )5C.a p [(1＋p )4－(1＋p )]D.ap [(1＋p )5－(1＋p )] 解析：依题意，可取出钱的总数为 a (1＋p )4＋a (1＋p )3＋a (1＋p )2＋a (1＋p ) ＝a ·(1＋p )[1－(1＋p )4]1－(1＋p )＝a p [(1＋p )5－(1＋p )].答案：D6.(2009·湖北高考)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数.比如：他们研究过图1中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形 数；类似地，称图2中的1,4,9,16，…这样的数为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是 ( ) A.289 B.1024 C.1225 D.1378 解析：根据图形的规律可知第n 个三角形数为a n ＝n (n ＋1)2，第n 个正方形数为b n ＝n 2.由此可排除D(1 378不是平方数).将A 、B 、C 选项代入到三角形数表达式中检验可知，符合题意的是C 选项. 答案：C 二、填空题7.已知函数f (x )＝a ·b x 的图象过点A (2，12)，B (3,1)，若记a n ＝log 2f (n )(n ∈N *)，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S n 的最小值是 . 解析：将A 、B 两点坐标代入f (x )得 2118,,212a abab b ⎧⎧==⎪⎪⎨⎨⎪⎪==⎩⎩解得 ∴f (x )＝18·2x，∴f (n )＝18·2n＝2n －3，∴a n ＝log 2f (n )＝n －3. 令a n ≤0，即n －3≤0，n ≤3.∴数列前3项小于或等于零，故S 3或S 2最小. S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝－2＋(－1)＋0＝－3. 答案：－38.如图，它满足：(1)第n 行首尾两数均为n ；(2)图中的递推关系类似杨辉三 角，则第n (n ≥2)行的第2个数是 .解析：设第n (n ≥2)行的第2个数构成数列{a n }，则有a 3－a 2＝2，a 4－a 3＝3，a 5－a 4＝4，…，a n －a n －1＝n －1，相加得a n －a 2＝2＋3＋…＋(n －1)＝2＋n －12×(n －2) ＝(n ＋1)(n －2)2a n ＝2＋(n ＋1)(n －2)2＝n 2－n ＋22.答案：n 2－n ＋229.某科研单位欲拿出一定的经费奖励科研人员，第1名得全部资金的一半多一万元，第二名得剩下的一半多一万元，以名次类推都得到剩下的一半多一万元，到第10名恰好资金分完，则此科研单位共拿出 万元资金进行奖励.解析：设第10名到第1名得的奖金数分别是a 1，a 2，…，a 10，则a n ＝12S n ＋1，则a 1＝2， a n －a n －1＝12a n ，即a n ＝2a n －1，因此每人得的奖金额组成以2为首项，以2为公比的等比数列，所以S 10＝2(1－210)1－2＝2046.答案：2046 三、解答题10.某公司按现有能力，每月收入为70万元，公司分析部门测算，若不进行改革，经济危机后因竞争加剧收入将逐月减少.分析测算得经济危机第一个月收入将减少3万元，以后逐月多减少2万元，如果进行改革，即投入技术改造300万元，且经济危机后每月再投入1万元进行员工培训，则测算得自经济危机后第一个月起累计收入T n 与时间n (以月为单位)的关系为T n ＝an ＋b ，且经济危机第一个月时收入为90万元，第二个月时累计收入为170万元，问经济危机后经过几个月，该公司改革后的累计纯收入高于不改革时的累计纯收入.解：则该公司经济危机后经过n 个月，改革后的累计纯收入为T n －300－n ，不改革时 的累计纯收入为70n －[3n ＋n (n －1)2·2]， 9080.170210a b a a bb =+=⎧⎧∴⎨⎨=+=⎩⎩又 由题意建立不等式80n ＋10－300－n ＞70n －3n －n (n －1)， 即n 2＋11n －290＞0，得n ＞12.4. ∵n ∈N *，∴取n ＝13.则经济危机后经过13个月，该公司改革后的累计纯收入高于不改革时的累计纯收入. 11.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差d ≠0，a 1＝1，且a 1，a 2，a 7成等比数列. (1)求数列{a n }的前n 项和S n ； (2)设b n ＝2S n 2n －1，数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：2T n －9b n －1＋18＞64b n(n ＋9)b n ＋1(n ＞1). 解：(1)∵a 1，a 2，a 7成等比数列， ∴a 22＝a 1·a 7，即(a 1＋d )2＝a 1(a 1＋6d )， 又a 1＝1，d ≠0，∴d ＝4.∴S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n ＋2n (n －1)＝2n 2－n . (2)证明：由(1)知b n ＝2S n 2n －1＝2n (2n －1)2n －1＝2n ， ∴{b n }是首项为2，公差为2的等差数列， ∴T n ＝n (2＋2n )2＝n 2＋n ， ∴2T n －9b n －1＋18＝2n 2＋2n －18(n －1)＋18＝2n 2－16n ＋36＝2(n 2－8n ＋16)＋4＝2(n －4)2＋4≥4，当且仅当n ＝4时取等号.① 64b n (n ＋9)b n ＋1＝64×2n (n ＋9)×2(n ＋1)＝64nn 2＋10n ＋9＝64n ＋9n＋10≤646＋10＝4. 当且仅当n ＝9n ，即n ＝3时取等号.②又①②中等号不能同时取到， ∴2T n －9b n －1＋18＞64b n(n ＋9)b n ＋1(n ＞1).12.某一电视频道在一天内有x 次插播广告的时段，一共播放了y 条广告，第1次播放了1条和余下的y －1条的18，第2次播放了2条以及余下的18，第3次播放了3条以及余下的18，以后每次按此规律插播广告，在第x 次播放了余下的x 条(x >1).(1)设第k 次播放后余下a k 条，这里a 0＝y ，a x ＝0，求a k 与a k －1的递推关系式； (2)求这家电视台这一天内播放广告的时段x 与广告的条数y . 解：(1)依题意，第k 次播放了 k ＋18(a k －1－k )＝18a k －1＋78k ，∴a k ＝a k －1－(18a k －1＋78k ).∴a k －1＝k ＋87a k ，即a k 与a k －1的递推关系式为a k －1＝k ＋87a k .(2)∵a 0＝1＋87a 1＝1＋87(2＋87a 2)＝1＋2×87＋(87)2a 2＝1＋2×87＋3×(87)2＋(873a 3＝…＝1＋2×87＋3×(87)2＋…＋x ×(87)x －1＋(87)x a x .∵a x ＝0，∴y ＝1＋2×87＋3×(87)2＋…＋x ×(87)x －1.用错位相减法求和，可得y ＝49＋(x －7)×8x7x －1.7,,70.49.x y N x y *=⎧∴∈∴-=∴⎨=⎩ 故这家电视台这一天播放广告的时段为7段，广告的条数为49.。