武汉二中高三数学模拟(二)
湖北省武汉市第二中学2023-2024学年高三下学期模拟考试(最后一卷)数学试卷(含解析)
武汉二中2023-2024学年度下学期高三模拟考试数学试卷考试时间：2024年5月30日下午15：00-17：00 试卷满分：150分一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数满足，则（）B.1D.22.设集合，，则的子集个数为（ ）A.2B.4C.8D.163.蒙古包（Mongolianyurts ）是蒙古族牧民居住的一种房子，建造和搬迁都很方便，适于牧业生产和游牧生活，蒙古包古代称作穹庐、毡包或毡帐.已知蒙古包的造型可近似的看作一个圆柱和圆锥的组合体，已知圆锥的高为2米，圆柱的高为3米，底面圆的面积为平方米，则该蒙古包（含底面）的表面积为（）A.平方米B.平方米C.平方米D.平方米4.五一小长假前夕，甲、乙、丙三人从，，，四个旅游景点中任选一个前去游玩，其中甲到过景点，所以甲不选景点，则不同的选法有（ ）A.64B.48C.36D.245.设点，在曲线上两点，且中点，则（ ）A.1B.2C.6.已知定义域为的函数，其导函数为，且满足，，则（）A. B. C. D.z ()1i 2i z +=z =ln 2ln4e ,4A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭3ln22,lne ,2B ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭A B 64π(112π+(80π+(112π+(80π+A B C D A A A B 3log y x =AB ()P AB =R ()f x ()f x '()()20f x f x -<'()01f =()2e 11f -<()21ef >1e 2f ⎛⎫>⎪⎝⎭()11e 2f f ⎛⎫<⎪⎝⎭7.设双曲线：的左焦点为，为坐标原点，为双曲线右支上的一点，，在上的投影向量的模为，则双曲线的离心率为（ ）A.3B.4C.5D.68.设，已知函数在上恰有6个零点，则取值范围为（ ）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列四个命题正确的是（ ）A.若，，则；B.若，，则；C.若，，，则；D.若，，，则.10.盒子中有编号一次为1，2，3，4，5，6的6个小球（大小相同），从中不放回地抽取4个小球并记下编号，根据以下统计数据，可以判断一定抽出编号为6的小球的是（ ）A.极差为5B.上四分位数为5C.平均数为3.5D.方差为4.2511.已知函数，，则（ ）A.有且只有一个极值点B.在上单调递增C.不存在实数，使得D.有最小值三、填空题：本题共3小题，每小题3分，共15分12.若平面向量，，两两夹角相等且，，，写出的一个可能值为_______.C ()222210,0x y a b a b-=>>F O P C 0PF OP PF OF ⋅+⋅= FO FP 45OFC 0ω>()π5πsin 3sin 246f x x x ωω⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()0,πω197,124⎛⎤⎥⎝⎦1719,1212⎛⎤⎥⎝⎦1317,1212⎛⎤⎥⎝⎦313,412⎛⎤⎥⎝⎦m n αβm β⊂αβ⊥m a ⊥m β⊂αβ∥m α∥m α⊥m β⊥n α⊥n β⊥m α∥m β∥n α∥n β∥()xf x x =()0,x ∈+∞()f x ()f x 1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭()0,a ∈+∞()64f a =()f x 1ee-a b c 2a = 3b = 4c = a b c ++13.在等比数列中，，，则_______.14.某校数学建模社团对校外一座山的高度（单位：）进行测量，方案如下：如图，社团同学朝山沿直线行进，在前后相距米两处分别观测山顶的仰角和，多次测量相关数据取平均值后代入数学模型求解山高，这个社团利用到的数学模型_______（是用和表示的一个代数式）；多次测量取平均值是中学物理测量中常用的减小误差的方法之一，对物理量进行次测量，其误差近似满足，为使误差在的概率不小于0.9973，至少要测量______次.参考数据：若，则。
湖北省武汉市武汉二中高三数学全真模拟考试(二)试题 文(含解析)
湖北省武汉市武汉二中2014届高三数学全真模拟考试（二）试题 文（含解析）【试卷综析】本次高三数学模拟试题从整体看，既注重了对基础知识的重点考查，也注重了对能力的考查。
突出考查数学主干知识 ,侧重于中学数学学科的基础知识和基本技能的考查；侧重于知识交汇点的考查。
尤其是解答题，涉及内容均是高中数学的重点知识。
明确了中学数学的教学方向和考生的学习方向。
较多试题是以综合题的形式出现，在考查学生基础知识的同时，能考查学生的能力。
符合高考命题的趋势和学生的实际。
一、选择题(每小题5分，共50分).1．已知全集,U R =且{}{}2|12,|680,A x x B x x x =->=-+<则()U C A B I 等于( )A.[1,4)-B. (1,4)-C.(2,3)D. (2,3]【知识点】含绝对值的不等式、一元二次不等式的解法，集合的运算。
【答案解析】 D 解析 ：解：由12121213x x x x x ->⇒-<-->⇒<->或或， 所以A={}|13x x x <->或,所以{}|13U C A x x =-≤≤.由()()268024024x x x x x -+<⇒--<⇒<<，所以{}|24B x x =<<所以()U C A B I =(2,3].【思路点拨】先将集合A 化简得 A={}|13x x x <->或, 从而得{}|13U C A x x =-≤≤。
再将集合B 化简得{}|24B x x =<<，所以()U C A B I =(2,3]. 2. 下列说法正确的是( )A. 若,a R ∈则“11a<”是“1a >”的必要不充分条件 B . “p q ∧为真命题”是“p q ∨为真命题”的必要不充分条件C. 若命题:p “,sin cos 2x R x x ∀∈+≤p ⌝是真命题D. 命题“0,x R ∃∈使得20230x x ++<”的否定是“2,230x R x x ∀∈++>” 【知识点】充要条件；命题的真假；命题的否定. 【答案解析】 A 解析 ：解：对于选项A:11a<解得a>1或a<0, 则“11a <”是“1a >”的必要不充分条件，所以选项A 正确.对于选项B ：“p q ∧为真命题”是“p q ∨为真命题”的充分不必要条件，所以选项B 不正确.对于选项C ：命题:p “,sin cos 2x R x x ∀∈+≤p ⌝是假命题，所以选项C 不正确.对于选项D ：命题“0,x R ∃∈使得20230x x ++<”的否定是“2,230x R x x ∀∈++≤” 所以选项D 不正确.综上：故答案选A. 【思路点拨】对于选项A:11a<解得a>1或a<0, 则“11a <”是“1a >”的必要不充分条件，所以选项A 正确.对于选项B ：“p q ∧为真命题”是“p q ∨为真命题”的充分不必要条件，所以选项B 不正确.对于选项C ：命题:p “,sin cos 2x R x x ∀∈+≤”，是真命题，则p ⌝是假命题，所以选项C 不正确.对于选项D ：命题“0,x R ∃∈使得200230x x ++<”的否定是“2,230x R x x ∀∈++≤”所以选项D 不正确.3.圆22:12,C x y +=上任意一点A 到直线:4325.l x y +=的距离小于2的概率为( )A.21B.31 C.32 D.61 【知识点】点到直线的距离公式，几何概型概率求法【答案解析】D 解析 ：解：因为圆心到直线的距离是5，而与直线:4325.l x y +=平行且到圆心C 距离为3的弦长为360o，所以圆C 上到直线:4325.l x y +=的距离小于2的点构成的弧长是圆周长的六分之一，故选D.【思路点拨】先求圆心到直线的距离是5，而与直线:4325.l x y +=平行且到圆心C 距离为3的弦长为23它等于半径，所以它所对的圆心角为60o，所以圆C 上到直线:4325.l x y +=的距离小于2的点构成的弧长是圆周长的六分之一.4.在△ABC 中，AB =3，AC =4，BC =5，AM ⊥BC 于M ，点N 是△ABC 内部或边上一点， 则 ⋅的最大值为( ) A.25144B. 25C.16D. 9【知识点】平面向量数量积的性质及其运算律．【答案解析】 A 解析 ：解：由AB=3，AC=4，BC=5可知△ABC 为直角三角形，AB ⊥AC 以A 为原点，以AB ，AC 为x 轴、y 轴建立直角坐标系，则A （0，0），B （3，0），C （0，4），设M （a ，b ） （a ，b ＞0） N （x ，y ）则由点N 是△ABC 内部或边上一点可得，030443120x y x y ≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪+-≤⎩则()()1234?5||BC AM a b AM -u u u u r u u u r u u u u r ＝，，＝，，＝由AM ⊥BC 于M 可知0AM BC ⋅u u u u r u u u r ＝，125||AM u u u u r ＝可得3648 2525b a ＝，＝令483625x y Z AM AN +=⋅u u u u r u u u r ＝，从而转化为线性规划问题，求目标函数Z 在平面区域△ABC 内的最大值 利用线性规划知识可得当过边界BC 时将取得最大值，此时Z= 14425【思路点拨】由题意，以AB ，AC 为x 轴、y 轴建立直角坐标系，由AM ⊥BC 于M 可得0AM BC ⋅u u u u r u u u r＝，125||AM u u u u r ＝，联立可得M 的坐标，由点N （x ，y ）是△ABC 内部或边上一点可得030443120x y x y ≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪+-≤⎩25AM AN ⋅u u u u r u u u r ＝，从而转化为求目标函数在平面区域（△ABC ）内最大值问题． 【典型总结】此题是一道综合性较好的试题，以向量的相关知识（向量的垂直、向量的模的坐标表示）为载体，把向量的数量积的问题转化为线性规划的问题.5．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 9>0，S 10<0，则 992212,....,2,2a a a 中最大的是( )A. 992aB. 662aC. 552aD.12a 【知识点】等差数列的前n 项和、通项公式、性质等【答案解析】C 解析 ：解：由S 9>0，S 10<0，得191100,0a a a a +>+<，从而560,0a a ><，所以等差数列{a n }是首项大于零公差小于零的递减数列，所以选C.【思路点拨】由S 9>0，S 10<0，得560,0a a ><，所以等差数列{a n }是首项大于零公差小于零的递减数列.6. 程序框图如图，如果程序运行的结果为132S =,那么判断框中可填入( )A.. 11k ≤B. 11k ≥C. 10k ≤D. 10k ≥【知识点】当型循环结构的程序框图.【答案解析】 C 解析 ：解：由题意知，程序框图的功能是求S=1×12×11×…， ∵程序运行的结果为S=132，∴终止程序时，k=10， ∴判断框的条件是k≤10，故答案选C.【思路点拨】程序框图的功能是求S=1×12×11×…，由程序运行的结果为S=132，得终止程序时，k=10，从而求出判断框的条件．【典型总结】本题是当型循环结构的程序框图，解题的关键是判断程序框图功能及判断终止程序的k 值．7．过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一个焦点F 引它到渐进线的垂线，垂足为M ，延长FM 交y 轴于E ，若ME FM 2=，则该双曲线离心率为( )A.3B.3C.23 D.26 【知识点】双曲线的渐近线及离心率，向量的有关知识.【答案解析】B 解析 ：解：由点到直线的距离公式得：FM=b,从而OM=a,又ME FM 2= 所以ME=2b ，因为2OM FM EM =⋅,所以()22221122a b c a =⋅=-，解得3e =. 【思路点拨】根据点到直线的距离公式求得：FM=b,从而OM=a,又ME FM 2=所以ME=2b ，因为2OM FM EM =⋅,所以()22221122a b c a =⋅=-，解得3e =. 8. 球面上有三个点A 、B 、C ，其中AB ＝18,BC ＝24,AC ＝30，且球心到平面ABC 的距离为球半径的一半，那么这个球的半径为( )A.20B.30C. 103D.153【知识点】球的内接多面体，空间想象能力，计算能力，勾股定理.【答案解析】 C 解析 ：解：球面上三点A 、B 、C ，平面ABC 与球面交于一个圆，三点A 、B 、C 在这个圆上∵AB=18，BC=24，AC=30， AC 2=AB 2+BC 2，∴AC 为这个圆的直径，AC 中点M 圆心球心O 到平面ABC 的距离即OM=球半径的一半=12R △OMA 中，∠OMA=90°，OM= 12R ，AM= 12AC=30×12=15，OA=R由勾股定理（12R ）2+152=R 2，34R 2=225,解得R=10 3【思路点拨】说明三角形ABC 是直角三角形，AC 是斜边，中点为M ，OA=OB=OC 是半径，求出OM ，利用球半径是球心O 到平面ABC 的距离的2倍，求出半径即可. 9.若ABC ∆为锐角三角形，则下列不等式中一定能成立的是( )A.0cos cos log cos >B AC B. 0sin cos log cos >B AC C.0cos sin log sin >BACD. 0sin sin log sin >BAC【知识点】锐角的三角函数值的取值范围。
湖北省武汉市武汉二中高三数学全真模拟考试(二)试题 理(含解析)
试卷类型：A武汉二中2014届高三全真模拟试卷二数学试题(理科)【试卷综述】试卷在考查基本知识、基本技能和基本思想的基础上,突出了对考生数学空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力以及应用意识和创新意识的考查.对支撑高中数学学科的主干知识模块,如三角、数列、概率及统计、函数及导数、立体几何、解析几何等继续进行了重点考查；对新增内容继续进行了部分考查,但难度相对较小,体现命题者坚定推行新课程改革的决心及勇气,也充分遵循了《考试说明》中“难度适中”的命题原则.试题很好地区分了不同层次的考生对基本概念、公式、定理等掌握的情况.试卷具有较高的信度、效度和区分度,达到了考基础、考能力、考素质、考潜能的目标. 命题人：刘官毅一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1. 已知i 是虚数单位,则21ii-等于（ ）A. 1i -+B. 1i -C. 22i -+D. 1i + 【知识点】复数的除法. 【答案解析】 A 解析 2(1)(1)1(1)(1)i i i i i i i +==+=-+-+,故选答案A. 【思路点拨】分子和分母都乘以分母的共轭复数,变成a+bi 这种形式即可. 2. 设集合}}{{|(1)0,|0A x x x B x x =+>=≥,则A B ＝（ ）A. [)0,+∞B. ()0,+∞C. RD. ∅【知识点】一元二次不等式;集合的并集运算.【答案解析】 B 解析 ：解：{01}A x x x =><-或,(0,)A B ⋂=+∞,故选B.【思路点拨】把集合A 的范围求出后和集合B 取交集即可. 3. 定义行列式运算：12142334a a a a a a a a -＝,若将函数sin ()cos x f x x=的图象向左平移(0)m m > 个单位长度后,所得图象对应的函数为偶函数,则m 的最小值是（ ）A. 8πB. 3πC. 56πD. 23π【知识点】三角函数的化一公式;图象的平移;偶函数.【答案解析】 C 解析 ：解：()sin 2cos()6f x x x x π=-=+,其图象向左平移(0)m m >个单位长度后解析式为()2cos()6fx x m π=++,其为偶函数,则6m k ππ+=,当0k =时, min 56m π=. 【思路点拨】由行列式的定义得到函数f(x)的解析式,再平移后其新的函数解析式为偶函数得到关于m 的式子,求得最小值.4. 已知点(1,1),(2,)A B y -,向量(1,2)a =,若//AB a ,则实数y 的值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7D. 8【知识点】向量平行的坐标运算.【答案解析】 C 解析 ：解：(3,1),(1,2)AB y a =-=,//AB a ,则6-(y-1)=0,解得y=7. 【思路点拨】找到AB 和a 的坐标,利用向量共线的充要条件12210x y x y -=即可求得.5. 设实数,x y 满足条件41002800,0x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩,若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为12,则23a b+的最小值为（ ） A. 256 B. 83 C. 113D. 4【知识点】基本不等式;简单线性规划的应用.【答案解析】 A 解析 ：解：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,6. 某公司有普通职员150人、中级管理人员40人、高级管理人员10人,现采用分层抽样的方法从这200人中抽取40人进行问卷调查,若在已抽取的40人的问卷中随机抽取一张,则 所抽取的恰好是一名高级管理人员的答卷的概率＝（ ）A. 14B. 15C. 120D. 1100【知识点】抽样方法;概率的计算.【答案解析】 C 解析 ：解：抽取40人中高级管理人员共40102200⨯=人, 则 所抽取的恰好是一名高级管理人员的答卷的概率214020P ==,答案C 正确. 【思路点拨】抽取的40人中高级管理人员共2人,可求出所抽取的恰好是一名高级管理人员的答卷的概率.7.如图是两个全等的正三角形,给定下列三个命题：①存在四棱锥,其正视图、侧视图如图； ②存在三棱锥,其正视图、侧视图如图；③存在圆锥,其正视图、侧视图如图.其中真命题 的个数是（ ）A. 3B. 2C. 1D. 0 【知识点】三视图和直观图的转化.【答案解析】 A 解析 ：解：易知①③成立,对于②,存在满足题意的三棱锥,其底面为等腰直角三角形,顶点在底面上的投影为斜边的中点,侧棱长是底面直角三角形直角边的. 【思路点拨】由正视图和侧视图得到三棱锥底面三角形的特点、顶点在底面上射影的位置、 侧棱长和底面三角形直角边的等量关系.8. 已知函数||2()x f x e x =+（e 为自然对数的底数）,且(32)(1)f a f a ->-,则实数a 的取值范围 为（ ）A. 13,,24⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B. 1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C. 1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ D. 130,,24⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【知识点】函数单调性的性质．【答案解析】 A 解析 ：解：∵f （x ）=e |x|+x 2,∴f （-x ）=e |-x|+（-x ）2=e |x|+x 2=f （x ）则函数f （x ）为偶函数且在[0,+∞）上单调递增∴f （-x ）=f （x ）=f （|-x|）∴f （3a-2）=f （|3a-2|）＞f （a-1）=f （|a-1|）,即|3a-2|＞|a-1|,两边平方得：8a 2-10a+3＞0, 解得a ＜12或a ＞34故选A ．【思路点拨】先判定函数的奇偶性和单调性,然后将f （3a-2）＞f （a-1）转化成f （|3a-2|）＞f （|a-1|）,根据单调性建立不等关系,解之即可．【典型总结】本题主要考查了函数的单调性和奇偶性的综合应用,绝对值不等式的解法,同时考查了转化的思想和计算能力,属于基础题．9. p 是双曲线221916x y -=左准线上一点,12F F 、分别是其左、右焦点,2PF 与双曲线右支交于点Q,且23PQ QF =,则1||QF 的值为（ ）A. 165B. 4C. 10225D. 172【知识点】定比分点坐标公式;双曲线的第二定义.【答案解析】 D 解析 ：解：设Q 的横坐标为x,因为23PQ QF =得x=3310,由双曲线的第二定义得21533917()()31052a QF e x c =+=+=.【思路点拨】由定比分点坐标公式求得Q 的横坐标,再利用双曲线的第二定义得1||QF 的值. 10. 定义在R 上的函数()f x 满足1(0)0,()(1)1,()()32x f f x f x f f x =+-==,且当1201x x ≤<≤时,12()()f x f x ≤,则1()2014f 的值为（ ）A. 1256B. 1128C. 164D. 132【知识点】函数单调性的判断与证明;函数的值.【答案解析】 B 解析 ：解：∵定义在R 上的函数f （x ）满足f (0)＝0,f (x )+f (1−x )＝1,1()()32x f f x =,11(1)(0)1,(1)1;()(1)122f f f f f ∴+=∴=+-=,1111();()(1)f f f ∴==14582014>1()2014f ≥又211111()()()145824862162f f f === 71(1)2f ==二、填空题(本大题共6小题,考生共需作答5小题,每小题5分,共25分) (一)必考题(1114题)11. 某部门计划对某路段进行限速,为调查限速60/km h 是否合理,对通过该路段的300辆汽车 的车速进行检测,将所得数据按[)[)[)[)40,50,50,60,60,70,70,80分组,绘制成如图所示的频率分布直方图,则这300辆汽车中车速低于限速的汽车有 辆. 【知识点】频率分布直方图.【答案解析】 180 解析 ：解：车速低于限速的频率为 1-0.3-0.1=0.6,则车速低于限速的汽车数量为300*0.6=180 【思路点拨】求出低于限速的频率,再用样本容量乘以频率即可 得到满足题意的汽车数量.12. 某程序的框图如图所示,若输出的结果不大于37,则输入的整数i的最大值为. 【知识点】程序框图的应用.【答案解析】 5 解析 ：解：由S=0,n=0得出S=0+20+1=2,n=1；由S=2,n=1得出S=2+21+1=5,n=2；由S=5,n=2得出S=5+22+1=10,n=3；由S=10,n=3得出S=10+23+1=19,n=4；由S=19,n=4得出S=19+24+1=36＜37,n=5；由S=36,n=5得出S=36+25+1＞37,∴当S=36时为满足条件时输出的结果,应终止循环,因此判定输入的整数i 的最大值为5．【思路点拨】分别计算n=1,2,3,…时的S 的值,直到满足S 不大于37时,进而即可得出结论．13. 已知不等式|1|22a x y z -≥++,对满足2221x y z ++=的一切实数x y z 、、都成立,则实数a 的取值范围为 .【知识点】柯西不等式在函数极值中的应用.【思路点拨】由柯西不等式可得9=（1+2+2）（x +y +z ）≥（1×x+2×y+2×z），即可得出x+2y+2z 的取值范围,进而求得a 的取值范围.11题图12题图14. 如图,对大于等于2的自然数m 的n 次幂进行如下方式的“分裂”：仿此,26的“分裂”中最大的数是 ；32013的“分裂”中最大的数是 . 【知识点】归纳推理．【答案解析】 11 220132012+解析 ：解：对大于或等于2的自然数m 的n 次幂进行如下方式的“分裂”,不难发现：在n 2中所分解的最大的数是2n-1；故62的“分裂”中最大的数是11；在m 3（m 为奇数）的“分拆”的最大数是m 2+m-1,所以20132+2012=4054181,写成“20132+2012”或“4054181”故答案为：11；20132+2012．【思路点拨】根据所给的数据,不难发现：在n 2中所分解的最大的数是2n-1；在m 3中,所分解的最大数是m 2+m-1．根据发现的规律可求．(二)选考题(1516题)15. （几何证明选讲）如图,在O 中,直径AB 与弦CD 垂直,垂足为E,EF BC ⊥,垂足为F,若AB ＝6,5CF CB =,则AE ＝ .【知识点】与圆有关的比例线段．【答案解析】 1 解析 ：解：根据射影定理得： CE 2=CF •CB,且CE 2=AE •EB,又CF •CB=5,∴AE •EB=5, 即AE •（AB-AD ）=5,又AB=6,∴AE •（6-AE ）=5,解之得AE=1．故答案为：1【思路点拨】由于CD 垂直于直径AB,且EF ⊥BC,AB 为圆的直径,根据射影定理得,CE 2=CF •CB,且CE 2=AE •EB,从而得出AE •EB=5,又AB=6,从而有AE •（6-AE ）=5,由此可解出AE 的值．16. （坐标系与参数方程）曲线C 的极坐标方程是2sin ρθ=,设直线l 的参数方程是32545x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）,直线l 与x 轴的交点是M,而N 为曲线C 上一动点,则||MN 的最大值是 . 以ρ,化为普通方程为 x 2+y 2=2y,即 x 2+（y-1）2=1,表示以（0,1）为圆心,以1为半径的圆．直线l 的参数方程是32545x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）,消去参数t 可14题图【思路点拨】曲线C 化为普通方程为 x 2+y 2=2y,即 x 2+（y-1）2=1,直线l 的方程是三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. （本题满分12分）已知函数2()2sin()sin cos 3f x x x x x π⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦,x R ∈.（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.【知识点】三角函数的最小正周期;二倍角公式;化一公式;三角函数的最值.【答案解析】 （1）T π=（2）max min ()2,()1f x f x ==解析 ：解：（1）2()[2(sin coscos sin )sin ]cos 33f x x x x x x ππ=++-222sin cos x x x x =sin 222sin(2)3x x x π=+=+于是（1）函数()f x 的最小正周期2(6)2T ππ==分 （2）50,24336x x ππππ≤≤∴≤+≤ 1sin(2)1,1223x y π∴≤+≤≤≤则max min ()2,()1f x f x ∴== （12分）【思路点拨】(1)利用化一公式把函数化为2sin(2)3x π+,即可求出最小正周期T;(2)由x 得范围得到23x π+的范围，从而求得最大值和最小值.18. （本题满分12分）设数列}{n a 的前n 项和为n S ,11a =,且对任意正整数n,点1(,)n n a S +在直线220x y +-=上.（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）若2n n b na =,求数列}{n b 的前n 项和.【知识点】数列的求和;等差数列的通项公式.【答案解析】 （1）11()2n n a -= （2）11634994n n n T -+=-⨯解析 ：解：（1）因为点1(,)n n a S +在直线220x y +-=上,所以1220n n a S ++-= （1分）当1n >时,1220n n a S -+-= （2分）两式相减得11220n n n n a a S S +--+-=,即111220,2n n n n n a a a a a ++-+== （3分）又当1n =时,2121211122220,22a S a a a a +-=+-=== （4分）所以数列}{n a 是首项11a =,公比12q =的等比数列,其通项公式为11()2n n a -= （6分）（2）由（1）知,214n n n nb na -==, （7分） 记数列}{n b 的前n 项和为n T ,则22123114444n n n n nT ---=+++++ （8分）3231442444n n n n nT ---=+++++ （9分）两式相减得32111111634354444334n n n n n n n T ----+=++++-=-⨯ （11分）所以数列}{n b 的前n 项和为11634994n n n T -+=-⨯ （12分）【思路点拨】（1）由已知条件可得1? 2a +S 20n n +-=,可得n ≥2时, 1220n n a S -+-=,19. （本题满分12分）如图,直角梯形ABCD 与等腰直角三角形ABE 所在的平面互相垂直.//,,222,.AB CD AB BC AB CD BC EA EB ⊥===⊥ （1）求直线EC 与平面ABE 所成角的正弦值；（2）线段EA 上是否存在点F,使//EC FBD 平面？若存在,求出EFEA；若不存在,请说明理由.【知识点】用空间向量求直线与平面的夹角;直线与平面平行的判定; 向量语言表述线面的垂直、平行关系. 【答案解析】（1（2）略解析 ：解：（1）设O 为AB 的中点,连接OD 、OE,因为平面ABE ⊥平面ABCD,且EO AB ⊥,所以EO ⊥平面ABCD,所以EO OD ⊥,在直角梯形ABCD 中,由CD ＝OB,//CD OB 可得OD AB ⊥,由OB 、OD 、OE 两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -.因为三角形EAB 为等腰直角三角形,所以OA ＝OB ＝OD ＝OE ＝1 （2分） 由AB ＝2CD ＝2BC ＝2得(0,0,0),(1,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(0,0,1)O A B C D E -,所以(1,1,1)EC =-,平面ABE 的一个法向量为(0,1,0)OD = （4分） 设直线EC 与平面ABE 所成的角为θ,所以||3sin |cos ,|||||EC OD EC OD EC OD θ=〈〉==即直线EC 与平面ABE （6分） （2）存在点F,且13EF EA =时,有//EC 平面FBD （7分） 证明如下：由111,0,333EF EA ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭,所以42,0,33FB ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ （8分）设平面FBD 的法向量为(,,)n a b c =,则有0n BD n FB ⎧=⎪⎨=⎪⎩,所以042033a b a c -+=⎧⎪⎨-=⎪⎩,取得1a =,得(1,1,2)n = （10分）因为(1,1,1)(1,1,2)0EC n =-=,且EC ⊄平面FBD,所以//EC 平面FBD.即点F 满足13EF EA =时,有//EC 平面FBD. （12分）【思路点拨】（1）由平面ABE ⊥平面ABCD,且EO ⊥AB,可得EO ⊥平面ABCD,从而可得EO ⊥OD ．建立空间直角坐标系,确定平面ABE 的一个法向量为(0,1,0)OD =, (1,1,1)EC =-,利用向量的夹角公式,可求直线EC 与平面ABE 所成的角;=0EC v ⋅=即可.20. （本题满分12分）中国蓝球职业联赛（CBA ）的总决赛采用七局四胜制,当两支实力水平相当的球队进入总 决赛时,根据以往经验,第一场比赛中组织者可获票房收入3a 万元,以后每场比赛票房收 入比上一场增加a 万元,当两队决出胜负后,求： （1）组织者至少可以获得多少票房收入？ （2）决出胜负所需比赛场次的均值.【知识点】排列、组合的实际应用;数列的应用. 【答案解析】解析 ：解：（1）设n 为比赛的场数,n a 为第n 场比赛的票房收入,则2153,2,2n n n na a a an a S a +==+= （2分）4n ≥,∴组织者至少可以获得票房收入是：24454182S a a +⨯==万元 （2）（理）当ξ表示决出胜负的比赛场数,则ξ的取值为4,5,6,7, （5分）14211(4)()28P C ξ=== （6分） 1352411(5)()24P C C ξ=== （7分）1362515(6)()216P C C ξ=== （8分） 1372615(7)()216P C C ξ=== （9分）ξ的概率分布列为：4567 5.8125841616E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=, （11分）所以决出胜负的比赛场次的均值为6场. （12分）【思路点拨】（1）根据题意,分析可得分出胜败至少要4局,由等差数列的性质可得此时组织者可以获得的票房为3a+（3a+a ）+（3a+2a ）+（3a+3a ）,计算可得答案； （2）根据题意,要求的决出胜负所需比赛场次的均值就是变量决出胜负所需比赛场次的期望,可以设两队为甲队、乙队,再设决出胜负所需比赛场次的值为ξ,分析可得ξ可取的值为4、5、6、7,分别计算ξ=4、5、6、7时的概率,进而由期望计算公式计算可得答案． 21. （本题满分13分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点A ,且离心率e .（1）求椭圆C 的方程；（2）是否存在过点(1,0)B -的直线l ,使得l 与椭圆C 交于M 、N 两点,且以MN 为直径的圆经过坐标原点O ？若存在,求出直线l 的方程；若不存在,说明理由.【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程. 【答案解析】（1）2214x y +=（2）略解析 ：解：（1）由题意知c e a =, 即22222231,44c a b a c a ==-=,所以,椭圆的方程为222241x y a a+= （2分）又因为A 为椭圆上的点,所以2211214a a +=解得24a =,可知21b =,所以,椭圆C 的方程为2214x y += （5分）（2）因为直线l 经过椭圆内的点(1,0)B -,所以直线l 与椭圆恒有两个不同的交点M,N,当直线l的斜率不存在时,其方程是1x =,代入2214x y +=得y =,可知((1,M N --,所以,以MN 为直径的圆不经过坐标原点O （7分）当直线l 的斜率存在时,可设l 的方程为1122(1),(,),(,)y k x M x y N x y =+,由2214(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得2222(14)8440k x k x k +++-=, 22121222844,1414k k x x x x k k --+==++, （9分） 若以MN 为直径的圆经过坐标原点O,则0OM ON = （10分） 可得222121212121212(1)(1)(1)()0x x y y x x k x k x k x x k x x k +=+++=++++=即2222222448(1)01414k k k k k k k--+++=++,解得2k =±.综上所述,存在过点(1,0)B -的直线l ,使得以l 被椭圆C 截得的弦为直径的圆经过原点O,l 的方程为2222y x y x =+=--或 （13分）221(0,0)y a bb =>>经过点 A (1,2,且离心率e=,结合b 2=a 2-c 2,即可求得椭圆C 的方程; （2）因为直线l 经过椭圆内的点B （-1,0）,所以直线l 与椭圆恒有两个不同的交点M,N ．当直线l 的斜率不存在时,其方程是：x=-1,以MN 为直径的圆不经过坐标原点O,当直线l 的斜率存在时,设方程是y=k （x+1）,将直线方程与椭圆方程联立,利用以MN 为直径的圆经过坐标原点O. 22. （本题满分14分）设函数2()ln(1)f x x b x =++.（1）若对定义域内的任意x ,都有()(1)f x f ≥成立,求实数b 的值； （2）若函数()f x 是定义域上的单调函数,求实数b 的取值范围；（3）若1b =-,证明对任意的正整数n ,不等式33311111()123n k f k n=∑<++++成立.【知识点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性.【答案解析】解析 ：解：（1）由10x +>,得1x >-. ()f x ∴的定义域为()1,-+∞ （1分）因为对(1,)x ∈-+∞,都有()(1),(1)()f x f f f x ≥∴是函数的最小值,故有'(1)0f =. （2分） 又'()2,'(1)2012b b f x x f x =+∴=+=+,解得4b =- （3分） 经检验,当4b =-时,()f x 在(1,1)-上单调递减,在(1,)+∞上单调递增,(1)f 为最小值, 故满足()(1)f x f ≥成立. （4分）（2）222'()211b x x b f x x x x ++=+=++,又函数()f x 在定义域上是单调函数. '()0'()0f x f x ∴≥≤或在()1,-+∞上恒成立 （6分） 即2211222()22b x x x ≥--=-++恒成立,由此得12b ≥； （8分） 若'()0f x ≤,则201b x x +≤+在()1,-+∞上恒成立.即2211222()22b x x x ≤--=-++恒成立. 因为2112()22x -++在()1,-+∞上没有最小值,∴不存在实数b 使'()0f x ≤恒成立. 综上所述,实数b 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. （10分） （3）当1b =-时,函数2()ln(1)f x x x =-+. 令332()()ln(1)h x f x x x x x =-=-+-+ 则32213(1)'()3211x x h x x x x x +-=-+-=-++,当(0,)x ∈+∞时,'()0h x <, 所以函数()h x 在()0,+∞上单调递减又(0)0,h =∴当[)0,x ∈+∞时,恒有()(0)0h x h <=, 即23ln(1)x x x -+<恒成立.故当(0,)x ∈+∞时,有3()f x x < （12分）*1,(0,)k N ∈∴∈+∞,取1x =,则有311()f <.33311111()1n k f n=∴∑<++++ （14分） 3n ++。
2014年湖北省武汉二中高考数学模拟试卷(二)(文科)
2014年湖北省武汉二中高考数学模拟试卷（二）（文科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共10小题，共50.0分)1.已知全集U=R，且A={x||x-1|＞2}，B={x|x2-6x+8＜0}，则（∁U A）∩B等于（）A.（2，3）B.[2，3]C.（2，3]D.（-2，3]【答案】C【解析】解：A={x|x＞3或x＜-1}，C U A={x|-1≤x≤3}B={x|2＜x＜4}，∴（C U A）∩B=（2，3]，故答案为C．先解绝对值不等式求出集合A，再求出其补集，解一元二次不等式解出集合B，然后利用集合交集的定义求出即可．本题主要考查了集合的运算，属于以不等式为依托，求集合的交集、补集的基础题，也是高考常会考的题型．2.下列说法正确的是（）A.若a∈R，则“＜1”是“a＞1”的必要不充分条件B.“p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的必要不充分条件C.若命题p：“∀x∈R，sinx+cosx≤”，则￢p是真命题D.命题“∃x0∈R，使得x02+2x0+3＜0”的否定是“∀x∈R，x2+2x+3＞0”【答案】A【解析】解：若“＜1”成立，则“a＞1”或“a＜0”，故“＜1”是“a＞1”的不充分条件，若“a＞1”成立，则“＜1”成立，故“＜1”是“a＞1”的必要条件，综上所述，“＜1”是“a＞1”的必要不充分条件，故A正确；若“p∧q为真命题”，则“p，q均为真命题”，则“p∨q为真命题”成立，若“p∨q为真命题”则“p，q存在至少一个真命题”，则“p∧q为真命题”不一定成立，综上所述，“p∧q为真命题”是“p∨q为真命题”的充分不必要条件，故B错误；命题p：“∀x∈R，sinx+cosx=sin（x+）≤”为真命题，则￢p是假命题，故C错误；命题“∃x0∈R，使得x02+2x0+3＜0”的否定是“∀x∈R，x2+2x+3≥0”，故D错误；故选：A．利用充要条件的定义，可判断A，B，判断原命题的真假，进而根据命题的否定与原命题真假性相反，可判断C，根据存在性（特称）命题的否定方法，可判断D．本题以命题的真假判断为载体，考查了充要条件，命题的否定等知识点，是简单逻辑的简单综合应用，难度中档．3.圆C：x2+y2=12上任意一点A到直线l：4x+3y=25的距离小于2的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】解：由题意知本题是一个几何概型，试验发生包含的事件是从这个圆上随机的取一个点，对应的圆上整个圆周的弧长，满足条件的事件是到直线l的距离小于2，过圆心做一条直线交直线l与一点，∵圆心到直线的距离是=5，∴在这条垂直于直线l的半径上找到圆心的距离为3的点做半径的垂线，根据弦心距，半径，弦长之间组成的直角三角形得到符合条件的弧长对应的圆心角是60°=根据几何概型的概率公式得到P=°°故选：D．试验发生包含的事件是从这个圆上随机的取一个点，对应的圆上整个圆周的弧长，根据题意做出符合条件的弧长对应的圆心角是60°，根据几何概型概率公式得到结果．本题考查几何概型，考查学生的计算能力，确定测度是关键．4.在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，AM⊥BC于M，点N是△ABC内部或边上一点，则的最大值为（）A.9B.16C.25D.【答案】D【解析】解：由AB=3，AC=4，BC=5可知△ABC为直角三角形，AB⊥AC以A为原点，以AB，AC为x轴、y轴建立直角坐标系，则A（0，0），B（3，0），C（0，4），设M（a，b）（a，b＞0）N（x，y）则由点N是△ABC内部或边上一点可得，则，，，，由AM⊥BC于M可知，可得，令Z=，从而转化为线性规划问题，求目标函数Z在平面区域△ABC内的最大值利用线性规划知识可得当过边界BC时将取得最大值，此时Z=故选D由题意，以AB，AC为x轴、y轴建立直角坐标系，由AM⊥BC于M可得|，，联立可得M的坐标，由点N（x，y）是△ABC内部或边上一点可得，从而转化为求目标函数在平面区域（△ABC）内最大值问题．此题是一道综合性较好的试题，以向量的相关知识（向量的垂直、向量的模的坐标表示）为载体，把向量的数量积的问题转化为线性规划的问题，突破难点的关键要看到两点①点N是△ABC内部或边上一点⇒②．5.设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S9＞0，S10＜0，则，，，中最大的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解：∵＞，＜∴a5＞0，a5+a6＜0，a6＜0∴等差数列{a n}中，a1＞a2＞a3＞a4＞a5＞0＞a6＞…∴＜＜＜＜＜则＜＜＜＜故选B由＞，＜可得，a5＞0，a6＜0结合等差数列的通项可得，a1＞a2＞a3＞a4＞a5＞0＞a6＞…即可得，＜＜＜＜＜，则可得＜＜＜＜本题主要考查了利用等差数列前n项和公式来判断数列项的取值范围，灵活利用等差数列的性质（若m+n=p+q，则a m+a n=a p+a q）是解决本题的关键．6.程序框图如下：如果上述程序运行的结果为S=132，那么判断框中应填入（）A.k≤10B.k≥10C.k≤11D.k≥11【答案】D【解析】解：当k=12，S=1，应该满足判断框的条件；经过第一次循环得到S=1×12=12，k=12-1=11应该满足判断框的条件；经过第二次循环得到S=12×11=132，k=11-1=10，应该输出S，此时应该不满足判断框的条件，即k=10不满足判断框的条件．所以判断框中的条件是k≥11故选D经过第一次循环得到的结果，判断是否是输出的结果，不是说明k的值满足判断框的条件；经过第二次循环得到的结果，是需要输出的结果，说明k的值不满足判断框中的条件．得到判断框中的条件．本题考查解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次循环的结果，从中找到规律．7.过双曲线-=1（a＞0，b＞0）的一个焦点F引它到渐近线的垂线，垂足为M，延长FM交y轴于E，若=2，则该双曲线离心率为（）A. B. C. D.3【答案】C【解析】解：设F（c，0），则c2=a2+b2∵双曲线-=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x∴垂线FM的斜率为-∴直线FM的方程为y=-（x-c）令x=0，得点E的坐标（0，）设M（x，y），∵=2，∴（x-c，y）=2（-x，-y）∴x-c=-2x且y=-2y即x=，y=代入y=x得=，即2a2=b2，∴2a2=c2-a2，∴=3，∴该双曲线离心率为故选C先利用FM与渐近线垂直，写出直线FM的方程，从而求得点E的坐标，利用已知向量式，求得点M的坐标，最后由点M在渐近线上，代入得a、b、c间的等式，进而变换求出离心率本题考查了双曲线的几何性质，求双曲线离心率的方法，向量在解析几何中的应用8.球面上有三个点A、B、C，其中AB=18，BC=24，AC=30，且球心到平面ABC的距离为球半径的一半，那么这个球的半径为（）A.20B.30C.10D.15【答案】C【解析】解：由题意AB=18，BC=24，AC=30，∵182+242=302，可知三角形是直角三角形，三角形的外心是AC的中点，球心到截面的距离就是球心与三角形外心的距离，设球的半径为R，球心到△ABC所在平面的距离为球半径的一半，所以R2=（R）2+152，解得R2=300，∴R=10．故选：C．求出三角形ABC的外心，利用球心到△ABC所在平面的距离为球半径的一半，求出球的半径．本题是中档题，考查球的内接多面体，找出球的半径满足的条件是解题的关键．9.若△ABC为锐角三角形，则下列不等式中一定能成立的是（）A.log cos C＞0B.log cos C＞0C.log sin C＞0D.log sin C＞0【答案】B【解析】解：由锐角三角形ABC，可得1＞cos C＞0，0＜A＜，0＜B＜，＜＜，∴0＜＜B＜，∴sin B＞sin（-A）=cos A＞0，∴1＞＞0，∴＞0．故选：B．由锐角三角形ABC，可得1＞cos C＞0，0＜A＜，0＜B＜，＜＜，利用正弦函数的单调性可得sin B＞sin（-A）=cos A＞0，再利用对数函数的单调性即可得出．本题考查了锐角三角形的性质、锐角三角函数函数的单调性、对数函数的单调性等基础知识与基本技能方法，属于中档题．10.设函数y=f（x）的定义域为D，若函数y=f（x）满足下列两个条件，则称y=f（x）在定义域D上是闭函数．①y=f（x）在D上是单调函数；②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上值域为[a，b]．如果函数f（x）=为闭函数，则k的取值范围是（）A.（-1，-]B.[，1﹚C.（-1，+∞）D.（-∞，1）【答案】A【解析】解：若函数f（x）=为闭函数，则存在区间[a，b]，在区间[a，b]上，函数f（x）的值域为[a，b]，即，∴a，b是方程x=的两个实数根，即a，b是方程x2-（2k+2）x+k2-1=0（x，x≥k）的两个不相等的实数根，当k时，＞＞，解得-1＜k≤-．当k＞-时，＞＞＞，无解．故k的取值范围是（-1，-]．故选A．若函数f（x）=为闭函数，则存在区间[a，b]，在区间[a，b]上，函数f（x）的值域为[a，b]，即，故a，b是方程x2-（2k+2）x+k2-1=0（x，x≥k）的两个不相等的实数根，由此能求出k的取值范围．本题考查函数的单调性及新定义型函数的理解，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．二、填空题(本大题共7小题，共35.0分)11.函数f（x）=+lg（1-tanx）的定义域是______ ．【答案】{x|＜或＜＜或＜＜}，【解析】解：要使函数有意义，则＞，即＜，则＜＜，即＜或＜＜或＜＜，即函数的定义域为：{x|＜或＜＜或＜＜}，故答案为：{x|＜或＜＜或＜＜}根据函数成立的条件，建立不等式关系即可得到结论．本题主要考查函数定义域的求法，要求熟练掌握常见函数成立的条件．12.对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的中位数、众数、极差分别是______ ．【答案】46，45，56【解析】解：样本数据有30个，则位于中间的两个数分别为15，17，则中位数为=16，众数为45，最大值为68，最小值为12，则极差为68-12=56，故答案为：46，45，56根据茎叶图中的数据，结合中位数、众数、极差的概念分别进行计算即可得到结论．本题主要考查茎叶图的应用，要求熟练掌握中位数、众数、极差的概念以及求法，比较基础．13.复数z满足，设|z|max=m，|z|min=n，则m•n= ______ ．【答案】9【解析】解：表示复平面内的点，到（-3，）的距离是的点的轨迹，是圆，|z|的几何意义是复平面内的点到原点的距离，所以最大值为：（-3，）与（0，0）的距离加上半径，m=2+=3；最小值为：（-3，）与（0，0）的距离减去半径，n=2-=；mn=3=9故答案为：9说明的轨迹，|z|的几何意义，最大值为：（-3，）与（0，0）的距离加上半径，最小值为：（-3，）与（0，0）的距离减去半径，求出n，m；再求mn即可．本题考查复数代数形式的乘除运算，复数求模，考查逻辑思维能力，是基础题．14.已知函数f（x）=A cos2（ωx+φ）+1（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的最大值为3，f（x）的图象与y轴的交点坐标为（0，2），其相邻两条对称轴间的距离为2，则f（1）+f（2）+…+f（2014）= ______ ．【答案】4027【解析】解：∵函数f（x）=A cos2（ωx+φ）+1=A•+1=cos（2ωx+2φ）+1+（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的最大值为3，∴+1+=3，∴A=2．根据函数图象相邻两条对称轴间的距离为2，可得函数的最小正周期为4，即=4，∴ω=．再根据f（x）的图象与y轴的交点坐标为（0，2），可得cos（2φ）+1+1=2，∴cos2φ=0，2φ=，∴φ=．故函数的解析式为f（x）=cos（x+）+2=-sin x+2，∴f（1）+f（2）+…+f（2014）=-（sin+sin+sin+…+sin）+2×2014=[503×0-（sin+sin）]+4028=（0-1-0）+4028=4027，故答案为：4027．由条件利用二倍角的余弦公式可得f（x）=cos（2ωx+2φ）+1+，由函数的最值求出A，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，可得函数的解析式，再利用函数的周期性求得所求式子的值．本题主要考查由函数y=A sin（ωx+φ）的部分图象求解析式，二倍角的余弦公式，由函数的最值求出A，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，三角函数的周期性，属于中档题．15.某四棱锥的三视图如图所示，则最长的一条侧棱长度是______ ．【答案】【解析】解：由三视图可知：该几何体是一个四棱锥，如图所示，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=2，底面ABCD是一个直角梯形，AD∥BC，AD⊥DC，AD=2，DC=3，BC=4，BD=5．∴则最长的一条侧棱PB，其长度是=．故答案为：．由三视图可知：该几何体是一个四棱锥，如图所示，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=2，底面ABCD是一个直角梯形，AD∥BC，AD⊥DC，AD=2，DC=3，BC=4．据此可计算出最长的一条侧棱长．本题考查由三视图求面积、体积，考查空间想象能力，由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．是基础题．16.对于函数，若f（x）有六个不同的单调区间，则a的取值范围为______ ．【答案】（1，2）【解析】解：∵f（-x）=|-x|3-a（-x）2+（2-a）|-x|+b=|x|3-ax2+（2-a）|x|=f（x），∴f（x）为偶函数，又f（x）有六个不同的单调区间，∴当x＞0时，f（x）=x3-ax2+（2-a）x+b有三个不同的单调区间，∴f′（x）=x2-2ax+2-a与x正半轴有两交点，即x2-2ax+2-a=0有两异正根，∴＞＞＞，解得1＜a＜2．故答案为：1＜a＜2．由题意可知，f（x）为偶函数，当x＞0时，f（x）有三个不同的单调区间，利用其导函数与x正半轴有两交点即可求得a的取值范围．本题考查带绝对值的函数，考查利用导数研究函数的单调性，明确当x＞0时，f（x）有三个不同的单调区间，是解决问题的关键，突出转化思想与函数与方程思想的考查运用，属于难题．17.古埃及数学中有一个独特现象：除用一个单独的符号表示以外，其他分数都要写成若干个单位分数和的形式．例如=+，可以这样来理解：假定有两个面包，要平均分给5个人，每人不够，每人余，再将这分成5份，每人得，这样每人分得+．形如（n=5，7，9，11，…）的分数的分解：=+，=+，=+，…，按此规律，则（1）= ______ ．（2）= ______ ．（n=5，7，9，11，…）【答案】+；+【解析】解：（1）假定有两个面包，要平均分给11个人，每人不够，每人分则余，再将这分成11份，每人得，这样每人分得+．故=+；（2）假定有两个面包，要平均分给n（n=5，7，9，11，…）个人，每人不够，每人分则余，再将这分成n份，每人得，这样每人分得+．故=+；故答案为：+，+（1）由已知中=+，可以这样来理解：假定有两个面包，要平均分给5个人，每人不够，每人余，再将这分成5份，每人得，这样每人分得+，类比可推导出=+；（2）由已知中=+，可以这样来理解：假定有两个面包，要平均分给5个人，每人不够，每人余，再将这分成5份，每人得，这样每人分得+，类比可推导出=+．此题考查学生在学习了“分数的基本性质、分数加减法的计算方法”等知识后，运用它解决有一定思维难度的数学问题的能力．三、解答题(本大题共5小题，共65.0分)18.已知函数，，．（1）求的值；（2）求f（x）的单调区间；（3）若不等式|f（x）-m|＜2恒成立，求实数m的取值范围．【答案】解：（1）．（2）=．又，，∴，当时，f（x）单调递增；当时，f（x）单调递减，所以f（x）的单调递增区间是，；f（x）的单调递减区间是，．（3）由（2）得，∴f（x）的值域是[2，3]．|f（x）-m|＜2⇔f（x）-2＜m＜f（x）+2，，．∴m＞f（x）max-2且m＜f（x）min+2，∴1＜m＜4，即m的取值范围是（1，4）．【解析】（1）根据所给的解析式，代入所给的自变量的值，计算出结果，本题也可以先化简再代入数值进行运算．（2）把所给的三角函数的解析式进行恒等变形，整理出y=A sin（ωx+φ）的形式，根据正弦曲线的单调性写出ωx+φ所在的区间，解出不等式即可．（3）根据前面整理出来的结果，得到f（x）的值域，不等式|f（x）-m|＜2恒成立，解出关于绝对值的不等式，求出结果．本题考查三角函数的恒等变换和三角函数的最值，本题解题的关键是正确整理出函数的最简结果，本题的难度和高考卷中出现的题目的难度相似．19.已知数列{a n}的奇数项是首项为1公差为d的等差数列，偶数项是首项为2公比为q 的等比数列．数列{a n}前n项和为S n，且满足S3=a4，a3+a5=2+a4．（1）求d和q的值；（2）求数列{a n}的通项公式和前n项和为S n．【答案】解：（1）由题意得a1=1，a2=2，又S3=a4，a3+a5=2+a4，∴，∴即解得d=2，q=3；（2）当n为奇数时，s n=（a1+a3+…+a n）+（a2+a4+…+a n-1）=+=[1+1+（-1）•2]+=+-1；当n为偶数时，s n=（a1+a3+…+a n-1）+（a2+a4+…+a n）=+=[1+1+（-1）•2]+=+-1．【解析】（1）由题意联立方程组解得即可；（2）分n为奇数、偶数分别求得．本题主要考查等差数列、等比数列的性质及前n项和公式等知识，考查学生的运算求解能力及分类讨论思想的运用，属难题．20.在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形，AB=1，AA1=，D为AA1的中点，BD与AB1交于点O，CO⊥侧面ABB1A1．（1）证明：BC⊥AB1；（2）若OC=OA，求点B1到平面ABC的距离．【答案】（1）证明：∵侧面ABB1A1为矩形，D为AA1的中点，AB=1，AA1=，AD=，∴在直角三角形ABD中，tan∠ABD==，在直角三角形ABB1中，tan∠AB1B==，∴∠AB1B=∠ABD，∵∠BAB1+∠AB1B=90°，∴∠BAB1+∠ABD=90°，∴∠BAB1+∠ABD=90°，即∠BOA=90°，即BD⊥AB1，∵OC⊥侧面ABB1A1，∴OC⊥AB1，∵OC∩BD=O，OC⊂平面BCD，BD⊂平面BCD，∴AB1⊥平面BCD，∵BC⊂平面BCD，∴BC⊥AB1．（2）解：∵在R t△ABB1中，BO⊥AB，∴AB2=AO•AB1，∴A0===，∵OC=OA，∴OC=，S△ABB1=•AB•BB1=×1×=，∴V C-ABB1=OC•S△ABB1=××=，∵OC=OA=，∴AC==，OB==，BC==1，∴S△ABC=××=，设B1到平面ABC的距离为d，则V B1-ABC=•d•S△ABC=•d=V C-ABB1=，∴d=，即B1到平面ABC的距离为【解析】（1）分别求得tan∠ABD和tan∠AB1B，知∠AB1B=∠ABD，进而根据∠BAB1+∠AB1B=90°，∠BAB1+∠ABD=90°，推断出∠BAB1+∠ABD=90°，即∠BOA=90°，即BD⊥AB1，由OC⊥侧面ABB1A1，推断出OC⊥AB1，进而根据线面垂直的判定定理推断出AB1⊥平面BCD，进而可知BC⊥AB1．（2）利用射影定理求得AO，则OC可知，进而可求得三棱锥C-ABB1的体积．利用勾股定理分别求得AC，BC的值，进而求得三角形ABC的面积，利用等体积法求得点B1到平面ABC的距离．本题主要考查了线面垂直的判定定理，点到面的距离的计算．在立体几何中等体积法是求点到面的距离的一个常用方法．21.已知函数f（x）=，其中a∈R．（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在原点处的切线方程；（2）求f（x）的单调区间；（3）若f（x）在[0，2）上存在最大值和最小值，求a的取值范围．【答案】解：（1）当a=1时，f（x）==，∴′．∴f（0）=0，f′（0）=2．∴曲线y=f（x）在原点处的切线方程为：y=2x．（2）∵f（x）=，∴′=，①当a=0时，f′（x）=．所以f（x）在（0，+∞）单调递增，在（-∞，0）单调递减．当a≠0，f′（x）=．②当a＞0时，令f'（x）=0，得x1=-a，x2=，f（x）与f'（x）的情况如下：故f（x）的单调减区间是（-∞，-a），（，+∞）；单调增区间是（-a，）．…（7分）③当a＜0时，f（x）与f'（x）的情况如下：所以f（x）的单调增区间是（-∞，）；单调减区间是（-，-a），（-a，+∞）．（3）解：由（2）得，a=0时不合题意．当a＞0时，由（Ⅱ）得，f（x）在（0，）单调递增，在（，+∞）单调递减，若f（x）在[0，2）上存在最大值和最小值，则f（0）≤f（2），且＜2，即a2-1≤且a＞，解得：＜a≤，当a＜0时，由（Ⅱ）得，f（x）在（0，-a）单调递减，在（-a，+∞）单调递增，若f（x）在[0，2）上存在最大值和最小值，则f（0）≥f（2），且-a＜2，即a2-1≥且a＞-2，解得：-2＜a≤，综上，a的取值范围是（-2，]∪（，]．【解析】（1）利用导函数求出切线的斜率，用直线的点斜式方程求切线的方程；（2）利用导函数值的正负得到函数的单调区间，注意导函数中有参数a，故可能要分类讨论；（3）利用导数研究函数在区间上的最值情况，得到a的取值范围．本题主要考查了函数的导数的几何意义的应用，导数在函数的单调区间及函数的最值求解中的应用，属于中档试题22.已知F1，F2分别是椭圆＞＞的左右焦点，已知点，，满足且，设A、B是上半椭圆上满足的两点，其中，．（1）求此椭圆的方程；（2）求直线AB的斜率的取值范围．【答案】解：（1）由于，，∴，解得，∴椭圆的方程是．（2）∵，∴A，B，N三点共线，而N（-2，0），设直线的方程为y=k（x+2），（k≠0），由消去x得：由＞，解得＜＜．设A（x1，y1），B（x2，y2），由韦达定理得，①，又由得：（x1+2，y1）=λ（x2+2，y2），∴y1=λy2②．将②式代入①式得：，消去y2得：．设，当，时，ϕ（λ）是减函数，∴，∴，解得，又由＜＜得，∴直线AB的斜率的取值范围是，．【解析】（1）有题意及椭圆的方程和性质利用且，可以列出a，b，c的方程，解出即可；（2）由题意先设直线的方程为y=k（x+2）（k≠0），把直线方程与椭圆方程进行联立，利用韦达定理整体代换，借助于与，得到k，λ的关系式，用λ表示k，有λ的范围再求出k的范围．此题考查了椭圆的方程及椭圆的基本性质，直线方程与椭圆方程进行联立设而不求及整体代换的思想，还考查了利用均值不等式求值域．。
武汉二中届高三高考模拟考试数学试题及答案(二)(理)
湖北省武汉二中2015届高三高考模拟考试（二）（理）一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1. 已知i 是虚数单位,则21ii-等于（ ）A. 1i -+B. 1i -C. 22i -+D. 1i +【知识点】复数的除法. 【答案解析】 A 解析 ：解：22(1)(1)11(1)(1)i i i i i i i i i +==+=-+--+,故选答案A. 【思路点拨】分子和分母都乘以分母的共轭复数,变成a+bi 这种形式即可. 2. 设集合}}{{|(1)0,|0A x x x B x x =+>=≥,则A B ＝（ ）A. [)0,+∞B. ()0,+∞C. RD. ∅【知识点】一元二次不等式;集合的并集运算.【答案解析】 B 解析 ：解：{01}A x x x =><-或,(0,)A B ⋂=+∞,故选B. 【思路点拨】把集合A 的范围求出后和集合B 取交集即可. 3. 定义行列式运算：12142334a a a a a a a a -＝,若将函数sin ()cos x f x x=的图象向左平移(0)m m > 个单位长度后,所得图象对应的函数为偶函数,则m 的最小值是（ ）A.8πB.3π C.56π D.23π 【知识点】三角函数的化一公式;图象的平移;偶函数.【答案解析】 C 解析：解：()sin 2cos()6f x x x x π=-=+,其图象向左平移(0)m m >个单位长度后解析式为()2cos()6fx x m π=++,其为偶函数,则6m k ππ+=,当0k =时, min 56m π=. 【思路点拨】由行列式的定义得到函数f(x)的解析式,再平移后其新的函数解析式为偶函数得到关于m 的式子,求得最小值.4. 已知点(1,1),(2,)A B y -,向量(1,2)a =,若//AB a ,则实数y 的值为（ ）A. 5B. 6C. 7D. 8【知识点】向量平行的坐标运算.【答案解析】 C 解析 ：解：(3,1),(1,2)AB y a =-=,//AB a ,则6-(y-1)=0,解得y=7. 【思路点拨】找到AB 和a 的坐标,利用向量共线的充要条件12210x y x y -=即可求得.5. 设实数,x y 满足条件41002800,0x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩,若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值为12,则23a b+的最小值为（ ） A.256B.83C.113D. 4【知识点】基本不等式;简单线性规划的应用.【答案解析】 A 解析 ：解：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线ax+by=z （a ＞0,b ＞0）过直线4x-y-10=0与直线x-2y+8=0的交点（4,6）时,目标函数z=ax+by （a ＞0,b ＞0）取得最大12∴4a+6b=12即2a+3b=6则23231(23)()6a b a b a b +=++⨯6613131225666a b b a +++===,当且仅当66b a ab =即 65a b ==时取等号,故选A.【思路点拨】由已知可得2a+3b=6,则23231(23)()6a b a ba b +=++⨯,然后利用基本不等式可求最小值.【典型总结】综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题,要求能准确地画出不等式表示的平面区域,并且能够求得目标函数的最值.6. 某公司有普通职员150人、中级管理人员40人、高级管理人员10人,现采用分层抽样的方法从这200人中抽取40人进行问卷调查,若在已抽取的40人的问卷中随机抽取一张,则 所抽取的恰好是一名高级管理人员的答卷的概率＝（ ）A.14B.15C.120D.1100【知识点】抽样方法;概率的计算.【答案解析】 C 解析 ：解：抽取40人中高级管理人员共40102200⨯=人, 则 所抽取的恰好是一名高级管理人员的答卷的概率214020P ==,答案C 正确. 【思路点拨】抽取的40人中高级管理人员共2人,可求出所抽取的恰好是一名高级管理人员的答卷的概率.7. 如图是两个全等的正三角形,给定下列三个命题：①存在四棱锥,其正视图、侧视图如图； ②存在三棱锥,其正视图、侧视图如图；③存在圆锥,其正视图、侧视图如图.其中真命题 的个数是（ ）A. 3B. 2C. 1D. 0【知识点】三视图和直观图的转化.【答案解析】 A 解析 ：解：易知①③成立,对于②,存在满足题意的三棱锥,其底面为等腰直角三角形,顶点在底面上的投影为斜边的中点,侧棱长是底面直角三角形直角边的2. 【思路点拨】由正视图和侧视图得到三棱锥底面三角形的特点、顶点在底面上射影的位置、 侧棱长和底面三角形直角边的等量关系.8. 已知函数||2()x f x e x =+（e 为自然对数的底数）,且(32)(1)f a f a ->-,则实数a 的取值范围为（ ） A. 13,,24⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B. 1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C. 1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D. 130,,24⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【知识点】函数单调性的性质．【答案解析】 A 解析 ：解：∵f （x ）=e |x|+x 2,∴f （-x ）=e |-x|+（-x ）2=e |x|+x 2=f（x ）则函数f （x ）为偶函数且在[0,+∞）上单调递增∴f （-x ）=f （x ）=f （|-x|） ∴f （3a-2）=f （|3a-2|）＞f （a-1）=f （|a-1|）,即|3a-2|＞|a-1|,两边平方得：8a 2-10a+3＞0, 解得a ＜12或a ＞34故选A ．【思路点拨】先判定函数的奇偶性和单调性,然后将f （3a-2）＞f （a-1）转化成f （|3a-2|）＞f （|a-1|）,根据单调性建立不等关系,解之即可．【典型总结】本题主要考查了函数的单调性和奇偶性的综合应用,绝对值不等式的解法,同时考查了转化的思想和计算能力,属于基础题．9. p 是双曲线221916x y -=左准线上一点,12F F 、分别是其左、右焦点,2PF 与双曲线右支交于点Q,且23PQ QF =,则1||QF 的值为（ ）A. 165B. 4C.10225D.172【知识点】定比分点坐标公式;双曲线的第二定义.【答案解析】 D 解析 ：解：设Q 的横坐标为x,因为23PQ QF =得x=3310,由双曲线的第二定义得21533917()()31052a QF e x c =+=+=.【思路点拨】由定比分点坐标公式求得Q 的横坐标,再利用双曲线的第二定义得1||QF 的值. 10. 定义在R 上的函数()f x 满足1(0)0,()(1)1,()()32x f f x f x f f x =+-==,且当1201x x ≤<≤时,12()()f x f x ≤,则1()2014f 的值为（ ） A.1256B.1128C.164D.132【知识点】函数单调性的判断与证明;函数的值.【答案解析】 B 解析 ：解：∵定义在R 上的函数f （x ）满足f(0)＝0,f(x)+f(1−x)＝1, 1()()32x f f x =,11(1)(0)1,(1)1;()(1)122f f f f f ∴+=∴=+-=,1111();()(1)2232f f f ∴==11()32f ∴=.111145820142187>>,且当0≤x1＜x2≤1时,有f （x1）≤f （x2）, ∴111()()()145820142187f f f ≥≥,又211111()()()145824862162f f f ===611()22f =712=,7625771111111()()()(1)3232322f f f f =====,711()20142f ∴=1128=,故选B.【思路点拨】根据已知条件,可求出1111(),()2232f f ==,再因为当0≤x1＜x2≤1时,有f （x1）≤f （x2）,可找到1()2014f 的范围为111()()()145820142187f f f ≥≥,再根据1111(),()2232f f ==求出11()()14582187f f 和的值, 为同一个值, 所以1()2014f 的值也等于这个值．二、填空题(本大题共6小题,考生共需作答5小题,每小题5分,共25分) (一)必考题(1114题)11. 某部门计划对某路段进行限速,为调查限速60/km h 是否合理,对通过该路段的300辆汽车 的车速进行检测,将所得数据按[)[)[)[)40,50,50,60,60,70,70,80分组,绘制成如图所示的频率分布直方图,则这300辆汽车中车速低于限速的汽车有 辆. 【知识点】频率分布直方图.【答案解析】 180 解析 ：解：车速低于限速的频率为 1-0.3-0.1=0.6,则车速低于限速的汽车数量为300*0.6=180 【思路点拨】求出低于限速的频率,再用样本容量乘以频率即可11题图得到满足题意的汽车数量.12. 某程序的框图如图所示,若输出的结果不大于37,则输入的整数i 的最大值为 . 【知识点】程序框图的应用.【答案解析】 5 解析 ：解：由S=0,n=0得出S=0+20+1=2,n=1； 由S=2,n=1得出S=2+21+1=5,n=2； 由S=5,n=2得出S=5+22+1=10,n=3； 由S=10,n=3得出S=10+23+1=19,n=4； 由S=19,n=4得出S=19+24+1=36＜37,n=5； 由S=36,n=5得出S=36+25+1＞37,∴当S=36时为满足条件时输出的结果,应终止循环, 因此判定输入的整数i 的最大值为5．【思路点拨】分别计算n=1,2,3,…时的S 的值,直到满足S 不大于37时,进而即可得出结论． 13. 已知不等式|1|22a x y z -≥++,对满足2221x y z ++=的一切实数x y z 、、都成立,则实数a 的取值范围为 .【知识点】柯西不等式在函数极值中的应用.【答案解析】 (,2][4,-∞-⋃+∞ 解析 ：解：由柯西不等式可得9=（12+22+22）（x2+y2+z2）≥（1×x+2×y+2×z ）2，∴-3≤x+2y+2z≤3，当且仅当2221221x y zx y z ⎧==⎪⎨⎪++=⎩, 即y ＝z ＝2x ＝23时，右边取等号；同理当且仅当y ＝z ＝2x ＝− 23时左边取等号．所以13a ->,解得a ∈(,2][4,)-∞-⋃+∞【思路点拨】由柯西不等式可得9=（12+22+22）（x 2+y 2+z 2）≥（1×x+2×y+2×z）2，即可得出x+2y+2z 的取值范围,进而求得a 的取值范围.14. 如图,对大于等于2的自然数m 的n 次幂进行如下方式的“分裂”：仿此,26的“分裂”中最大的数是 ；32013的“分裂”中最大的数是 . 【知识点】归纳推理．【答案解析】 11 220132012+12题图解析 ：解：对大于或等于2的自然数m 的n 次幂进行如下方式的“分裂”,不难发现：在n 2中所分解的最大的数是2n-1；故62的“分裂”中最大的数是11；在m 3（m 为奇数）的“分拆”的最大数是m 2+m-1,所以20132+2012=4054181,写成“20132+2012”或“4054181”故答案为：11；20132+2012．【思路点拨】根据所给的数据,不难发现：在n 2中所分解的最大的数是2n-1；在m 3中,所分解的最大数是m 2+m-1．根据发现的规律可求．(二)选考题(1516题)15. （几何证明选讲）如图,在O 中,直径AB 与弦CD 垂直,垂足为E,EF BC ⊥,垂足为F,若AB ＝6,5CF CB =,则AE ＝ . 【知识点】与圆有关的比例线段．【答案解析】 1 解析 ：解：根据射影定理得： CE 2=CF •CB,且CE 2=AE •EB,又CF •CB=5,∴AE •EB=5,即AE •（AB-AD ）=5,又AB=6,∴AE •（6-AE ）=5,解之得AE=1．故答案为：1【思路点拨】由于CD 垂直于直径AB,且EF ⊥BC,AB 为圆的直径,根据射影定理得,CE 2=CF •CB,且CE 2=AE •EB,从而得出AE •EB=5,又AB=6,从而有AE •（6-AE ）=5,由此可解出AE 的值．16. （坐标系与参数方程）曲线C 的极坐标方程是2sin ρθ=,设直线l 的参数方程是32545x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）,直线l 与x 轴的交点是M,而N 为曲线C 上一动点,则||MN 的最大值是 .【知识点】简单曲线的极坐标方程；直线的参数方程．解析 ：解：∵曲线C 的极坐标方程是p=2sin θ,两边同时乘14题图以ρ,化为普通方程为 x 2+y 2=2y,即 x 2+（y-1）2=1,表示以（0,1）为圆心,以1为半径的圆．直线l 的参数方程是32545x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）,消去参数t 可【思路点拨】曲线C 化为普通方程为 x 2+y 2=2y,即 x 2+（y-1）2=1,直线l 的方程是三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. （本题满分12分）已知函数2()2sin()sin cos 3f x x x x x π⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦,x R ∈.（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.【知识点】三角函数的最小正周期;二倍角公式;化一公式;三角函数的最值. 【答案解析】 （1）T π=（2）max min ()2,()1f x f x == 解析 ：解：（1）2()[2(sin coscos sin )sin ]cos 33f x x x x x x ππ=++ 222sin cos x x x x =sin 222sin(2)3x x x π==+于是（1）函数()f x 的最小正周期2(6)2T ππ==分（2）50,24336x x ππππ≤≤∴≤+≤1sin(2)1,1223x y π∴≤+≤≤≤则max min ()2,()1f x f x ∴== （12分）【思路点拨】(1)利用化一公式把函数化为2sin(2)3x π+,即可求出最小正周期T;(2)由x 得范围得到23x π+的范围，从而求得最大值和最小值.18. （本题满分12分）设数列}{n a 的前n 项和为n S ,11a =,且对任意正整数n,点1(,)n n a S +在直线220x y +-=上.（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）若2n n b na =,求数列}{n b 的前n 项和.【知识点】数列的求和;等差数列的通项公式.【答案解析】 （1）11()2n n a -= （2）11634994n n n T -+=-⨯解析 ：解：（1）因为点1(,)n n a S +在直线220x y +-=上,所以1220n n a S ++-= （1分）当1n >时,1220n n a S -+-= （2分）两式相减得11220n n n n a a S S +--+-=,即111220,2n n n n n a a a a a ++-+== （3分）又当1n =时,2121211122220,22a S a a a a +-=+-=== （4分） 所以数列}{n a 是首项11a =,公比12q =的等比数列,其通项公式为11()2n n a -= （6分） （2）由（1）知,214n nn nb na -==, （7分） 记数列}{n b 的前n 项和为n T ,则22123114444n n n n nT ---=+++++ （8分） 3231442444n n n n nT ---=+++++ （9分） 两式相减得32111111634354444334n n n n n n n T ----+=++++-=-⨯ （11分）所以数列}{n b 的前n 项和为11634994n n n T -+=-⨯ （12分） 【思路点拨】（1）由已知条件可得1? 2a +S 20n n +-=,可得n ≥2时, 1220n n a S -+-=,（2）根据（1）和条件求出b n ,再利用错位相消法求出其前n 项和T n ,然后化简整理求出前n 项和．19. （本题满分12分）如图,直角梯形ABCD 与等腰直角三角形ABE 所在的 平面互相垂直.//,,222,.AB CD AB BC AB CD BC EA EB ⊥===⊥ （1）求直线EC 与平面ABE 所成角的正弦值；（2）线段EA 上是否存在点F ,使//EC FBD 平面？若存在,求出EFEA；若不存在,请说明理由.【知识点】用空间向量求直线与平面的夹角;直线与平面平行的判定; 向量语言表述线面的垂直、平行关系.【答案解析】（12）略解析：解：（1）设O为AB的中点,连接OD、OE,因为平面ABE⊥平面ABCD,且EO AB⊥, 所以EO⊥平面ABCD,所以EO OD⊥,在直角梯形ABCD中,由CD＝OB,//CD OB可得OD AB⊥,由OB、OD、OE两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系O xyz-.因为三角形EAB为等腰直角三角形,所以OA＝OB＝OD＝OE＝1 （2分）由AB＝2CD＝2BC＝2得(0,0,0),(1,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(0,0,1)O A B C D E-, 所以(1,1,1)EC=-,平面ABE的一个法向量为(0,1,0)OD =（4分）设直线EC与平面ABE所成的角为θ,所以||3 sin|cos,|||||ECODEC ODEC ODθ=〈〉==即直线EC与平面ABE（6分）（2）存在点F,且13EFEA=时,有//EC 平面FBD （7分）证明如下：由111,0,333EF EA⎛⎫==--⎪⎝⎭,所以42,0,33FB⎛⎫=-⎪⎝⎭（8分）设平面FBD 的法向量为(,,)n a b c=,则有n BDn FB⎧=⎪⎨=⎪⎩,所以4233a ba c-+=⎧⎪⎨-=⎪⎩,取得1a=,得(1,1,2)n=（10分）因为(1,1,1)(1,1,2)0EC n=-=,且EC⊄平面FBD,所以//EC平面FBD.即点F满足13EFEA=时,有//EC平面FBD. （12分）【思路点拨】（1）由平面ABE⊥平面ABCD,且EO⊥AB,可得EO⊥平面ABCD,从而可得EO⊥OD．建立空间直角坐标系,确定平面ABE的一个法向量为(0,1,0)OD=, (1,1,1)EC=-,利用向量的夹角公式,可求直线EC与平面ABE所成的角;=EC v⋅=即可.20. （本题满分12分）中国蓝球职业联赛（CBA ）的总决赛采用七局四胜制,当两支实力水平相当的球队进入总 决赛时,根据以往经验,第一场比赛中组织者可获票房收入3a 万元,以后每场比赛票房收 入比上一场增加a 万元,当两队决出胜负后,求： （1）组织者至少可以获得多少票房收入？ （2）决出胜负所需比赛场次的均值.【知识点】排列、组合的实际应用;数列的应用. 【答案解析】解析 ：解：（1）设n 为比赛的场数,n a 为第n 场比赛的票房收入,则2153,2,2n n n n a a a an a S a +==+= （2分）4n ≥,∴组织者至少可以获得票房收入是：24454182S a a +⨯==万元 （2）（理）当ξ表示决出胜负的比赛场数,则ξ的取值为4,5,6,7, （5分） 14211(4)()28P C ξ=== （6分） 1352411(5)()24P C C ξ=== （7分）1362515(6)()216P C C ξ=== （8分） 1372615(7)()216P C C ξ=== （9分）ξ的概率分布列为：4567 5.8125841616E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=, （11分）所以决出胜负的比赛场次的均值为6场. （12分）【思路点拨】（1）根据题意,分析可得分出胜败至少要4局,由等差数列的性质可得此时组织者可以获得的票房为3a+（3a+a ）+（3a+2a ）+（3a+3a ）,计算可得答案；（2）根据题意,要求的决出胜负所需比赛场次的均值就是变量决出胜负所需比赛场次的期望,可以设两队为甲队、乙队,再设决出胜负所需比赛场次的值为ξ,分析可得ξ可取的值为4、5、6、7,分别计算ξ=4、5、6、7时的概率,进而由期望计算公式计算可得答案． 21. （本题满分13分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点A ,且离心率e =.（1）求椭圆C 的方程；（2）是否存在过点(1,0)B -的直线l ,使得l 与椭圆C 交于M 、N 两点,且以MN 为直径的圆经过坐标原点O ？若存在,求出直线l 的方程；若不存在,说明理由.【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程. 【答案解析】（1）2214x y +=（2）略解析 ：解：（1）由题意知c e a =, 即22222231,44c a b a c a ==-=,所以,椭圆的方程为222241x y a a+= （2分）又因为A 为椭圆上的点,所以2211214a a +=解得24a =,可知21b =,所以,椭圆C 的方程为2214x y += （5分）（2）因为直线l 经过椭圆内的点(1,0)B -,所以直线l 与椭圆恒有两个不同的交点M,N,当直线l 的斜率不存在时,其方程是1x =,代入2214x y +=得y =,可知(1(1,M N --,所以,以MN 为直径的圆不经过坐标原点O （7分） 当直线l 的斜率存在时,可设l 的方程为1122(1),(,),(,)y k x M x y N x y =+, 由2214(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得2222(14)8440k x k x k +++-=, 22121222844,1414k k x x x x k k --+==++, （9分）若以MN 为直径的圆经过坐标原点O,则0OM ON = （10分） 可得222121212121212(1)(1)(1)()0x x y y x x k x k x k x x k x x k +=+++=++++=即2222222448(1)01414k k k k k k k--+++=++,解得2k =±.综上所述,存在过点(1,0)B -的直线l ,使得以l 被椭圆C 截得的弦为直径的圆经过原点O,l的方程为2222y x y x =+=--或 （13分）221(0,0)y ab b +=>>经过点A (1,)2,且离心率e=,结合b 2=a 2-c 2,即可求得椭圆C 的方程;（2）因为直线l 经过椭圆内的点B （-1,0）,所以直线l 与椭圆恒有两个不同的交点M,N ．当直线l 的斜率不存在时,其方程是：x=-1,以MN 为直径的圆不经过坐标原点O,当直线l 的斜率存在时,设方程是y=k （x+1）,将直线方程与椭圆方程联立,利用以MN 为直径的圆经过坐标原点O. 22. （本题满分14分）设函数2()ln(1)f x x b x =++.（1）若对定义域内的任意x ,都有()(1)f x f ≥成立,求实数b 的值； （2）若函数()f x 是定义域上的单调函数,求实数b 的取值范围； （3）若1b =-,证明对任意的正整数n ,不等式33311111()123nk f k n =∑<++++成立. 【知识点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性. 【答案解析】解析 ：解：（1）由10x +>,得1x >-. ()f x ∴的定义域为()1,-+∞ （1分）因为对(1,)x ∈-+∞,都有()(1),(1)()f x f f f x ≥∴是函数的最小值, 故有'(1)0f =. （2分） 又'()2,'(1)2012b bf x x f x =+∴=+=+,解得4b =- （3分） 经检验,当4b =-时,()f x 在(1,1)-上单调递减,在(1,)+∞上单调递增,(1)f 为最小值, 故满足()(1)f x f ≥成立. （4分） （2）222'()211b x x bf x x x x ++=+=++,又函数()f x 在定义域上是单调函数. '()0'()0f x f x ∴≥≤或在()1,-+∞上恒成立 （6分）即2211222()22b x x x ≥--=-++恒成立,由此得12b ≥； （8分）若'()0f x ≤,则201b x x +≤+在()1,-+∞上恒成立.即2211222()22b x x x ≤--=-++恒成立. 因为2112()22x -++在()1,-+∞上没有最小值,∴不存在实数b 使'()0f x ≤恒成立.综上所述,实数b 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. （10分）（3）当1b =-时,函数2()ln(1)f x x x =-+. 令332()()ln(1)h x f x x x x x =-=-+-+则32213(1)'()3211x x h x x x x x +-=-+-=-++,当(0,)x ∈+∞时,'()0h x <, 所以函数()h x 在()0,+∞上单调递减又(0)0,h =∴当[)0,x ∈+∞时,恒有()(0)0h x h <=,即23ln(1)x x x -+<恒成立.故当(0,)x ∈+∞时,有3()f x x < （12分）*1,(0,)k N k ∈∴∈+∞,取1x k =,则有311()f k k <.33311111()123n k f k n =∴∑<++++（14分） 【思路点拨】（1）由x+1＞0,得f （x ）的定义域为（-1,+∞）.因为对x ∈（-1,+∞）,都有f （x ）≥f （1）,所以f （1）是函数f （x ）的最小值,故有f ′（1）=0由此能求出b. (2)由()21bf x x x '=++,函数f （x ）在定义域上是单调函数,知f ′（x ）≥0或f ′（x ）≤0在（_1,+∞）上恒成立．由此能求出实数b 的取值范围．（3）当b=1时,函数f （x ）=x 2-ln （x+1）．令h （x ）=f （x ）-x 3=-x 3+x 2-ln （x+1）,则2()32h x x x '=-+33311111()123n f k n =∑<++++。
2020年湖北省武汉二中高考数学全仿真试卷2(5月份) (含答案解析)
2020年湖北省武汉二中高考数学全仿真试卷2（5月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|(x+3)(2−x)>0}，B={x|(12)x≤4}，则()A. A∩B={x|−2<x<2}B. A∩B={x|−3<x<−2}C. A∪B={x|x≥−2}D. A∪B={x|x>−3}2.已知复数z1=1+7i，z2=−2−4i，则z1+z2等于()A. −1+3iB. −1+11iC. 3+3iD. 3+11i3.在数列{a n}中，若a2n=2a2n−2+1，a16=127，则a2的值为()A. −1B. 0C. 2D. 84.已知p：0<x<2，q：1x≥1，则￢p是￢q的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.已知函数且a≠1)的最大值为1，则a的取值范围是()A. [12,1) B. (0,1) C. (0,12] D. (1,+∞)6.已知，则()A. a<b<cB. c<b<aC. c<a<bD. b<c<a7.如图是一棱锥的三视图，在该棱锥的侧面中，面积最大的侧面的面积为()A. 4B. √7C. 2D. √38.在如图所示的正方形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是()A. 3π32B. 38C. π8D. 3π169. 已知△ABC 中，点D 满足AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则( )A. 点D 不在直线BC 上B. 点D 在BC 的延长线上C. 点D 在线段BC 上D. 点D 在CB 的延长线上10. 若函数在区间[−3π2,π2]上单调递增，则正数ω的最大值为( )A. 18B. 16C. 14D. 1311. 在▵ABC 中，若cosA =45,cosB =513,则sinC 的值是( )A. 1665B. 5665 C. 1665或5665 D. 636512. 关于不等式x 的不等式ax −2a >2x −lnx −4(a >0)的解集中有且仅含有两个整数，则实数a的取值范围是( )A. (ln3,2)B. [2−ln3,2)C. (0,2−ln3]D. (0,2−ln3)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 电视台组织中学生知识竞赛，共设有5个版块的试题，主题分别是：立德树人、我的中国梦、依法治国理念、中国优秀传统文化、创新能力.某参赛队从中任选2个主题作答，则“立德树人”主题被该队选中的概率是____．14. (x −1x )(2x +1x )5的展开式中，常数项为______． 15. 已知F 1、F 2分别是双曲线x 2a 2−y 2b 2=1的左右焦点，P 是双曲线上任意一点，|PF 2|2|PF 1|的最小值为8a ，则此双曲线的离心率e 的取值范围是______．16. 已知△ABC 是边长为2√3的正三角形，D 为BC 的中点，沿AD 将△ABC 折成一个大小为60°的二面角B −AD −C ，设O 为四面体ABCD 的外接球球心.则(1)球心O 到平面BCD 的距离为________；(2)球O 的体积为________．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17. △ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin 2A −2cos 2B+C 2=14．(1)求A的大小；(2)若a=6√3，b+c=18，求△ABC的内切圆的半径．18.为了对某地的降雨情况进行统计，气象部门对当地汛期连续9天内记录了其中100小时的降雨情况，得到每小时降雨情况的频率分布直方如图所示：若根据往年防汛经验，每小时降雨量在[75,90)时，要保持二级警戒，每小时降雨量在[90,100)时，要保持一级警戒．(l)若以每组的中点代表该组数据值，求这100小时内每小时的平均降雨量：(2)若从记录的这100小时中按照警戒级别采用分层抽样的方法抽取10小时进行深度分析．再从这10小时中随机抽取3小时，求抽取的这3小时中属于一级警戒时间的分布列与数学期望．19. 如图，AE ⊥平面ABCD ，CF//AE, AD//BC ，AD ⊥AB, AB =AD =1, AE =BC =2．(Ⅰ)求证：BF//平面ADE ；(Ⅱ)求直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值；(Ⅲ)若二面角E −BD −F 的余弦值为13，求线段CF 的长．20. 如图，在由圆O ：x 2+y 2=1和椭圆C ：x 2a 2+y 2=1(a >1)构成的“眼形”结构中，已知椭圆的离心率为√63，直线l 与圆O 相切于点M ，与椭圆C 相交于两点A ，B ． (1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在直线l ，使得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2，若存在，求此时直线l 的方程；若不存在，请说明理由．21.已知函数f(x)=xlnx−12ax2−x+a2+1．(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为2x+y+b=0，求实数a，b的值；(2)令ℎ(x)=f′(x)，若函数ℎ(x)恰有两个零点，求实数a的取值范围．22.在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点、x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈[0,π2]．(1)求曲线C的参数方程；(2)设点D在曲线C上，C在点D处的切线与直线l:y=√3x+2垂直，根据(1)中所得到的参数方程，确定点D的坐标．23.设函数f(x)=|x−2|+|2x−a|．(Ⅰ)当a=1时，求不等式f(x)≥3的解集；(Ⅱ)当f(x)=|x−a+2|时，求实数x的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：【分析】本题主要考查集合的运算，属于基础题．先解不等式化简集合A、B，再根据交集和并集的定义计算，即可得到答案．【解答】解：A={x|(x+3)(2−x)>0}={x|−3<x<2}，B={x|(12)x⩽4}={x|x≥−2}，所以A∪B={x|x>−3}；A∩B={x|−2≤x<2}故选D．2.答案：A解析：解：z1+z2=1+7i−2−4i=−1+3i，故选：A．利用复数的运算法则即可得出．本题考查了复数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.答案：B解析：解：由a2n=2a2n−2+1，得a2n+1=2(a2n−2+1)，即a2n+1a2n−2+1=2，∴数列{a2n+1}是以a2+1为首项，以2为公比的等比数列，则a16+1=(a2+1)⋅27，即(a2+1)=12827=1，∴a2=0．故选：B．由已知数列递推式可得，数列{a2n+1}是以a2+1为首项，以2为公比的等比数列，写出等比数列的通项公式，代入已知条件求得a2的值．本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了等比数列的通项公式，是中档题．4.答案：A解析：解：条件q ：1x ≥1，即0<x ≤1￢p ：x ≥2或x ≤0，∴￢q ：x >1或x ≤0，∵(−∞,0]∪[2,+∞)⊂(−∞,0]∪(1，+∞)， ∴￢p 是￢q 成立的充分不必要条件． 故选A ．依集合的观点看，若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件，B 是A 的必要条件；若A =B ，则A 是B 的充要条件．本题主要考查了命题的必要条件，充分条件与充要条件的判断，较为简单，要求掌握好判断的方法．是基础题．5.答案：A解析： 【分析】本题考查分段函数的最值问题以及指数函数和对数函数的单调性，对x 进行分类讨论，由最大值为1得到a 的取值范围，属中档题． 【解答】解：∵当x ≤2时，f (x )=x −1， ∴f (x )max =f (2)=2−1=1， ∵函数f(x)的最大值为1， ∴当x >2时，2+log a x ≤1. ∴{0<a <1log a 2≤−1， 解得12≤a <1． 故选A .6.答案：C解析： 【分析】本题考查指数函数和对数函数的性质，属于基础题．由指数函数和对数函数的性质，分别得出a ，b ，c 的范围即可求解．【解答】解： 因为a =(13)3<(13)0=1，且a >0， b =313>30=1，，所以c <a <b ． 故选C ．7.答案：B解析：解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥， 其直观图如下所示：EF 分别为边AB 和CD 的中点， 则面积最大的侧面为△VCD ， CD =2，VF =√3，VE =√7， 故△VCD 的面积S =√7， 故选：B ．由已知中的三视图可得：该几何体是一个以正视图为底面的四棱锥，画出直观图，判断出最大的侧面，计算可得答案．本题考查空间几何体的三视图，棱锥的侧面积，是基础题．8.答案：A解析： 【分析】本题考查了与面积有关的几何概型知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于基础题．把阴影部分拼起来就是此圆圆心角为所对应的扇形，求出此扇形面积，再利用几何概型的概率公式即可得解． 【解答】解：由图可知，阴影部分可以构成一个圆心角为135°的扇形， 则设圆半径为1，则阴影部分面积为，又正方形面积为2·2=4，∴在正方形ABCD 内随机取一点， 则此点取自阴影部分的概率是38π4=332π，故选A ．9.答案：B解析：解：如图，延长AC 到E ，使C 为AE 中点，延长BC 到D ，使C 为BD 中点， 连结AD 、BE 、DE ，∵△ABC 中，点D 满足AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴2AC⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴△ABC 中，点D 满足AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 则点D 在BC 的延长线上． 故选：B ．延长AC 到E ，使C 为AE 中点，延长BC 到D ，使C 为BD 中点，则2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，从而点D 在BC 的延长线上． 本题考查命题真假的判断，考查向量的加法法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10.答案：B解析： 【分析】本题主要考查了函数的单调性与单调区间，正弦余弦函数图象的性质，属于基础题． 由在区间[−32π,π2]上单调递增，利用正弦函数的单调性能求出正数ω的最大值． 【解答】 解：，由函数f(x)在区间上单调递增，根据单调区间的对称性， ，即，结合ω>0，可得0<ω≤16， ∴正数ω的最大值为16． 故选B ．11.答案：D解析：在▵ABC 中，0<A <π,0<B <π，cosA =45，cosB =513，∴sinA =35，sinB =1213，所以sinC =sin[π−(A +B)]=sin(A +B)=sinAcosB +cosAsinB =35×513+45×1213=6365．12.答案：C解析： 【分析】本题主要考查了函数的单调性，图象，以及函数的交点，属于中档题，可作出图象进行分析． 由题意可知f(x)>0，即ax −2a >2x −lnx −4(a >0)． 设g(x)=2x −lnx −4，ℎ(x)=ax −2a ， 在同一坐标系中作出g(x)，ℎ(x)的图象， 可得{a >0ℎ(1)>g(1)ℎ(3)≤g(3)，由此求出a 的范围．【解答】解：由题意可知，ax −2a >2x −lnx −4，设g (x )=2x −lnx −4，ℎ(x )=ax −2a.由g′(x )=2−1x =2x−1x．可知g (x )=2x −lnx −4在(0,12)上为减函数，在(12,+∞)上为增函数，ℎ(x )=ax −2a 的图象恒过点(2,0)，在同一坐标系中作出g (x )，ℎ(x )的图象如下，若有且只有两个整数x 1，x 2，使得f (x 1)>0，且f (x 2)>0， 则{a >0ℎ(1)>g (1)ℎ(3)≤g (3)，即{a >0−a >−2a ≤2−ln3，解得0<a ≤2−ln3， 故选C ．13.答案：25解析： 【分析】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用． 先求出基本事件总数，由“立德树人”主题被该队选中的对立事件是从我的中国梦、依法治国理念、中国优秀传统文化、创新能力选两个主题，利用对立事件概率计算公式能求出“立德树人”主题被该队选中的概率． 【解答】解：电视台组织中学生知识竞赛，共设有5个版块的试题， 某参赛队从中任选2个主题作答，基本事件总数n =C 52=10，“立德树人”主题被该队选中的对立事件是从我的中国梦、依法治国理念、中国优秀传统文化、创新能力选两个主题，∴“立德树人”主题被该队选中的概率P =1−C 42C 52=25，故答案为25．14.答案：−40解析： 【分析】本题主要考查了二项式定理的应用问题，属于基础题．根据(x −1x )(2x +1x )5展开式中常数项是(2x +1x )5展开式中的1x 项与x 的乘积，加上x 项与−1x 的乘积；利用(2x +1x )5展开式的通项公式求出对应的项即可． 【解答】解：(x −1x )(2x +1x )5展开式中常数项是(2x+1x )5展开式中的1x项与x的乘积，加上x项与−1x的乘积；(2x+1x)5展开式的通项公式为T r+1=C5r⋅(2x)5−r⋅(1x)r=25−r⋅C5r⋅x5−2r，令5−2r=−1，解得r=3，∴T4=22×C53×1x =40x；令5−2r=1，解得r=2，∴T3=23×C52×x=80x；所求展开式的常数项为40 x ⋅x+80x⋅(−1x)=40−80=−40．故答案为−40．15.答案：(1,3]解析：解：由定义知：|PF1|−|PF2|=2a，|PF1|=2a+|PF2|，∴|PF2|2|PF1|=4a2|PF2|+4a+|PF2|≥8a，当且仅当4a 2|PF2|=|PF2|，即|PF2|=2a时取得等号设P(x0,y0)(x0≤−a)由焦半径公式得：|PF2|=−ex0−a=2a，∴ex0=−3ae=−3ax0≤3又双曲线的离心率e>1∴e∈(1,3]故答案为：(1,3]．由定义知：|PF1|−|PF2|=2a，|PF1|=2a+|PF2|，|PF2|2|PF1|=4a2|PF2|+4a+|PF2|≥8a，当且仅当4a2|PF2|=|PF2|，即|PF2|=2a时取得等号．再由焦半径公式得双曲线的离心率e>1的取值范围．本题考查双曲线的性质和应用，解题时要认真审题，注意焦半径公式的合理运用．16.答案：(1)32；(2)13√13π6解析：【分析】本题主要考查了棱锥的特征，球的体积公式，考查了二面角，属于中档题．(1)根据条件可知OE等于球心O到平面BCD的距离，取AD的中点F，可知OF⊥AD，故可求得OE= DF=12AD；(2)利用正弦定理求出DE，从而求出半径OD，利用球的体积公式可得答案．【解答】解：(1)如图，在四面体ABCD 中，AD ⊥DC ，AD ⊥DB ，平面ADC ∩平面ADB =AD ，DC 在平面ADC 内，DB 在平面ADB 内， 所以∠BDC 即为二面角B −AD −C 的平面角， 则∠BDC =60°．因为DB =DC =√3，则BC =√3． 设△BCD 的外心为E ，则OE ⊥平面BCD ．因为AD ⊥DC ，AD ⊥DB ，DC 、DB 为平面DCB 内两条相交直线， 所以AD ⊥平面BCD ，则OE//AD ．取AD 的中点F ，因为OA =OD ，则OF ⊥AD ， 所以OE =DF =12AD =32． (2)在正△BCD 中，由正弦定理，得．在Rt △OED 中，OD =√1+94=√132，所以V 球=43π·(√132)3=13√13π6．故答案为(1)32；(2)13√13π6．17.答案：解：(1)由sin 2A −2cos 2B+C 2=14，得4sin 2A −8cos 2B+C 2=1，即4sin 2A −8cos 2(π2−A2)=1，亦即4sin 2A −8sin 2A2=1， 所以4sin 2A +4(1−2sin 2A2)=5，即4cos 2A −4cos A +1=0， 所以cosA =12，从而A =π3；(2)由余弦定理结合(1)可知，a 2=(b +c)2−2bc(1+cos A)， 所以(6√3)2=182−2bc(1+12)，得bc =72. 所以S ▵ABC =12bcsinA =12×72×√32=18√3，故△ABC 的内切圆的半径r =2S ▵ABC a+b+c=√36√3+18=3(√3−1)．解析：本题考查余弦定理，三角形的面积公式，二倍角公式及其应用，诱导公式及同角三角函数的基本关系，属于中档题．(1)由诱导公式及同角三角函数的基本关系及二倍角公式化简可得4cos 2A −4cos A +1=0，解出cosA =12，即可求得角A ；(2)由余弦定理求得bc =72，再由三角形面积公式求得面积，由此可得答案．18.答案：解：(1)这五组数据对应的频率分别为：0.05，0.35，0.3，0.2，0.1．故这100小时的平均降雨量为：0.05×77.5+0.35×82.5+0.3×87.5+0.2×92.5+0.1×97.5=87.25(mm)．(2)由频率分步直方图可知，属于一级警戒的频率为：(0.04+0.02)×5=0.3， 则属于二级警戒的频率为1−0.3=0.7．所以，抽取的这10个小时中，属于一级警戒的有3小时， 属于二级警戒的有7小时．从这10小时中抽取3小时，用ξ表示一级警戒的小时数． 于是ξ的取值可能为0，1，2，3． 则P(ξ=0)=C 73C 103=724，P(ξ=1)=C 31C 72C 103=2140，P(ξ=2)=C 32C 71C 103=740，P(ξ=3)=C 33C 103=1120．所以，ξ的分布列为： ξ 0 1 2 3 P 724 2140 740 1120则ξ的期望值为：Eξ=0×724+1×2140+2×740+3×1120=0.9(小时)．解析：本题主要考查频率分布直方图的应用，平均值的计算，以及离散型随机变量的分布列及期望． (1)由频率分布直方图，求均值； (2)由离散型随机变量的分布列求期望．19.答案：(Ⅰ)证明：以A 为坐标原点，分别以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，可得A(0,0，0)，B(1,0，0)，C(1,2，0)，D(0,1，0)，E(0,0，2)． 设CF =ℎ(ℎ>0)，则F(1,2，ℎ)．则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,0)是平面ADE 的法向量，又BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,ℎ)，可得BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0．又∵直线BF ⊄平面ADE ，∴BF//平面ADE ；(Ⅱ)解：依题意，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,0)，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,2)，CE⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−2,2)．设n⃗ =(x,y,z)为平面BDE 的法向量， 则{n ⃗ ⋅BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−x +y =0n ⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−x +2z =0，令z =1，得n⃗ =(2,2,1)． ∴cos <CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|CE |⋅|n ⃗⃗ |=−49． ∴直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值为49； (Ⅲ)解：BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,ℎ)，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,0)， 设m⃗⃗⃗ =(a,b,c)为平面BDF 的法向量， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−a +b =0m ⃗⃗⃗ ⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2b +ℎc =0，取b =1，可得m ⃗⃗⃗ =(1,1,−2ℎ)， 由题意，|cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >|=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=|4−2ℎ|3×√2+ℎ2=13，解得ℎ=87．经检验，符合题意． ∴线段CF 的长为87．解析：本题主要考查利用空间向量判定线面平行，求解线面角与二面角问题，属于中档题． (Ⅰ)以A 为坐标原点，分别以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，求得A ，B ，C ，D ，E 的坐标，设CF =ℎ(ℎ>0)，根据向量的坐标运算和向量垂直的条件得到BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，进而结合线面平行的判定定理得BF//平面ADE ；(Ⅱ)求出直线CE 的方向向量和平面BDE 的法向量的坐标，利用数量积求夹角公式得直线CE 与平面BDE 的法向量所成角的余弦值，即可得CE 与平面BDE 所成角的正弦值；(Ⅲ)求出平面BDF 的法向量的坐标，结合(Ⅱ)中所得平面BDE 的法向量的坐标，由两平面法向量所成角的余弦值为13列式，求得线段CF 的长．20.答案：解：(1)∵椭圆C ：x 2a 2+y 2=1(a >1)的离心率为√63， ∴e =√a 2−1a =√63解得：a 2=3，所以所求椭圆C 的方程为x 23+y 2=1 (5分)(2)假设存在直线l ，使得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2， 当直线l 垂直于x 轴时，不符合题意，故设直线l 方程为y =kx +b ， 由直线l 与圆O 相切，可得b 2=k 2+1 …(1)(7分) 直线ly =kx +b 代入椭圆C 的方程为x 23+y 2=1，可得(1+3k 2)x 2+6kbx +3b 2−3=0设A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)，则x 1+x 2=−6kb1+3k 2，x 1x 2=3b 2−31+3k ∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=(1+k 2)x 1x 2+kb(x 1 +x 2)+b 2=4b 2−3k 2−31+3k 2=12 (2)由(1)(2)可得k 2=1，b 2=2故存在直线l ，方程为y =±x ±√2，使得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2．解析：(1)根据椭圆C ：x 2a2+y 2=1(a >1)的离心率为√63，可得a 2=3，从而可求椭圆C 的方程； (2)假设存在直线l ，使得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2，当直线l 垂直于x 轴时，不符合题意，故设直线l 方程为y =kx +b ，由直线l 与圆O 相切，可得b 2=k 2+1，直线l 代入椭圆C 的方程为x 23+y 2=1，可得(1+3k 2)x 2+6kbx +3b 2−3=0设A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)，进而利用OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2，即可知存在直线l ． 本题以椭圆的几何性质为载体，考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，同时考查了存在性问题，合理运用向量的数量积运算是解题的关键．21.答案：解：(1)由题知，函数f (x )的定义域为(0,+∞)，f′(x )=lnx −ax ，f (1)=0，f′(1)=−a ，由切线方程为2x +y +b =0，得−a =−2，解得a =2， ∵点(1,0)在切线上，∴2+b =0，解得b =−2， ∴实数a ，b 的值分别为2，−2． (2)由题知，，∴ℎ′(x)=1−ax x，当a ⩽0时，ℎ′(x )>0，∴ℎ(x )在区间(0,+∞)上是增函数，∴ℎ(x )最多一个零点，舍去， 当a >0时，当0<x <1a 时，ℎ′(x )>0，当x >1a 时，ℎ′(x )<0， ∴ℎ(x )在区间(0,1a )上是增函数，在区间(1a ,+∞)上是减函数； ∴x =1a 时，ℎ(x )取得极大值，，∵当a >0时，当x 趋向0时，ℎ(x)为负数， 当x 趋近于无穷大时，ℎ(x)为负数， 故要使ℎ(x )有两个零点，则，解得0<a <1e ，故实数a 的取值范围为(0,1e )．解析：本题考查了求切线方程问题，考查函数的单调性问题，函数的零点，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．(1)求出函数的导数，计算f(1)，f′(1)的值，由切线方程求得a ，b 即可；(2)求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间，求出函数的极大值，确定a 的范围即可．22.答案：解：(1)由题意知：ρ=2cosθ，θ∈[0,π2]，所以ρ2=2ρcosθ，θ∈[0,π2]，即x 2+y 2−2x =0， 可化为(x −1)2+y 2=1，y ∈[0,1]，可得C 的参数方程为{x =1+costy =sint (t 为参数，0≤t ≤π)． (2)设D(1+cost,sint)，由(1)知C 是以G(1,0)为圆心，1为半径的上半圆． ∵C 在点D 处的切线与l 垂直， ∴直线GD 与l 的斜率相同，∴sint−0(1+cost)−1=√3，解得tant =√3，即t =π3， 故D 的直角坐标为(1+cos π3,sin π3)， 即(32,√32).解析：本题考查了参数方程、普通方程以及极坐标方程的转化，考查直线的斜率问题，是一道中档题．(1)根据极坐标方程求出C 的普通方程，从而求出参数方程即可；(2)设D(1+cost,sint)，结合题意得到直线GD 与l 的斜率相同，求出t 的值．23.答案：(1)当a =1时，f (x )={−3x +3,x ⩽12x +1,12<x <23x −3,x ⩾2，不等式f (x )⩾3可化为{−3x +3⩾3x ⩽12 或{x +1⩾312<x <2 或{3x −3⩾3x ⩾2 ， 解得：x ≤0或x ≥2，∴不等式的解集为(−∞,0]∪[2,+∞)．(2)f(x)⩾|2x−a−(x−2)|=|x−a+2|，当且仅当(2x−a)(x−2)⩽0时，取“=”⩽x⩽2；当a⩽4时，x的取值范围为a2当a>4时，x的取值范围为2⩽x⩽a．2解析：本题考查绝对值不等式的解法以及绝对值不等式的性质，属于中档题．(1)对x分类讨论，去绝对值，再解不等式，即可得到答案;(2)运用绝对值不等式的性质，求出f(x)的最小值，验证等号成立条件，即可得到答案．。
湖北省武汉二中高考数学全仿真试卷(文科)(5月份)解析版
高考数学全仿真试卷（文科）（5月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A＝{x|x＜1}，B＝{x|2x＞1}，则( )A. A∪B＝{x|x＜1}B. A∪B＝{x|x＞0)C. A∩B＝{x|0＜x＜1)D. A∩B＝{x|x＜0)2.设复数z1满足，z2=a+i（a∈R），且|z1-z2|=5，则a=（）A. 1B. 7C. -1D. 1或73.若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为（）A. 0.3B. 0.4C. 0.6D. 0.74.已知p：ln（x-1）＜0，q：x（x-2）≥0，则下列说法正确的是（）A. ￢p是q的充分不必要条件B. q是￢p的充分不必要条件C. p是q的充分不必要条件D. 对∀x∈R，￢p和￢q不可能同时成立5.若函数f（x）=的最小值为f（2），则实数a的取值范围为（）A. a＜0B. a＞0C. a≤0D. a≥06.已知a＞b＞0，且a+b=1，x=（）b，y=log ab（），z=log b，则x，y，z的大小关系是（）A. z＞x＞yB. x＞y＞zC. z＞y＞xD. x＞z＞y7.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的四个侧面三角形中，最大面积为（）A.B. 6C.D.8.运行如图所示的程序框图，输出的结果是（）A. 22B. 35C. 484D. 5199.过△ABC内一点M任作一条直线l，再分别过顶点A，B，C作l的垂线，垂足分别为D，E，F，若=恒成立，则点M是△ABC的（）A. 垂心B. 重心C. 外心D. 内心10.已知函数f（x）=2cos x，且函数y=f（ωx）在上单调递增，则正数ω的最大值为（）A. B. 1 C. D.11.在直角坐标平面内, 已知,以及动点是的三个顶点, 且, 则动点的轨迹曲线的离心率是（）A. B. C. D.12.已知函数f（x）=4x2-2x，数列{a n}满足，数列的前n项和为S n，若∃M∈Z，使得S n＜M恒成立，则M的最小值是（）A. 2B. 3C. 4D. 5二、填空题（本大题共3小题，共15.0分）13.若数列{a n}是等差数列，对于，则数列{b n}也是等差数列．类比上述性质，若数列{c n}是各项都为正数的等比数列，对于d n＞0，则d n=______时，数列{d n}也是等比数列．14.F1，F2分别是双曲线左右焦点，P是双曲线上一点，△PF1F2内切圆被渐近线所截得弦长不大于实半轴，且与y轴相切，则双曲线离心率取值范围是______．15.三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的球面上，已知PA，PB，PC两两垂直，且PA=1，PB+PC=4，则当三棱锥的体积最大时，球O的表面积为______．三、解答题（本大题共8小题，共89.0分）16.若x，y满足约束条件，则z=3x+2y的最大值为______．17.已知△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin（A+C）=4sin2．（1）求cos B；（2）若b=2，△ABC面积为2，求a+c的值．18.在平行四边形中，，，以为折痕将折起，使点到达点的位置，且．⑴证明：平面平面；⑵为线段上一点，为线段上一点，且，求三棱锥的体积．19.根据以往的经验，某建筑工程施工期间的降水量N（单位：mm）对工期的影响如表：根据某气象站的资料，某调查小组抄录了该工程施工地某月前天的降水量的数据，绘制得到降水量的折线图，如图所示．（1）求这20天的平均降水量；（2）根据降水量的折线图，分别估计该工程施工延误天数X=0，1，3，6的概率．20.设椭圆M：的左顶点为A、中心为O，若椭圆M过点，且AP⊥PO．（1）求椭圆M的方程；（2）若△APQ的顶点Q也在椭圆M上，试求△APQ面积的最大值；（3）过点A作两条斜率分别为k1，k2的直线交椭圆M于D，E两点，且k1k2=1，求证：直线DE恒过一个定点．21.设函数f（x）=a（x+1）2-ln x，a∈R．（1）当a=1时，求函数f（x）在（1，f（x））处的切线方程；（2）证明：当时，不等式在区间（1，+∞）上恒成立．22.以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立的极坐标系中，直线C1：ρsin（θ）=；在平面直角坐标系xOy中，曲线C2：（φ为参数，a＞0）．（1）求直线C1的直角坐标方程和曲线C2的极坐标方程；（2）曲线C3的极坐标方程为（ρ＞0），且曲线C3分别交C1，C2于A，B两点，若|OB|=4|OA|，求a的值．23.已知函数f（x）=|2x+1|+|ax-1|．（1）当a=-1时，求不等式f（x）＞2的解集；（2）若0＜a＜2，且对任意x∈R，恒成立，求a的最小值．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查交集、并集的求法及应用，涉及指数函数单调性的应用，是基础题．先求出集合B，再利用交集定义和并集定义能求出结果．【解答】解：由2x＞1得x＞0，所以B={x|x＞0}．又集合A＝{x|x＜1}，所以A∩B={x|0＜x＜1}．A∪B=R，故选C．2.【答案】D【解析】解：由，得z1==4+5i，又z2=a+i，∴z1-z2=（4-a）+4i，再由|z1-z2|=5，得（4-a）2+16=25，解得a=1或7．故选：D．由已知求得z1，得到z1-z2，再由复数模的计算公式列式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3.【答案】B【解析】【分析】本题考查互斥事件的概率的求法，判断事件是互斥事件是解题的关键，是基本知识的考查．直接利用互斥事件的概率的加法公式求解即可．【解答】解：某群体中的成员只用现金支付，既用现金支付也用非现金支付，不用现金支付，是互斥事件，所以不用现金支付的概率为：1-0.45-0.15=0.4．故选B．4.【答案】B【解析】解：已知p：ln（x-1）＜0，q：x（x-2）≥0，解得：p即为“1＜x＜2”，q即为“x≤0或x≥2”，则：￢p：x≤1或x≥2；￢q：0＜x＜2；由充要条件的定义可知答案B成立．故选：B．根据充分条件和必要条件的定义和或且非逻辑连词的命题真假判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，或且非逻辑连词的命题真假判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．5.【答案】D【解析】【分析】中档题．由分段函数分别讨论函数在不同区间上的最值，从而可得log2（x+a）≥1恒成立，可解得a的范围．【解答】解：当x≤2时，f（x）=2|x-2|=22-x，单调递减，∴f（x）的最小值为f（2）=1，当x＞2时，f（x）=log2（x+a）单调递增，若满足题意，只需log2（x+a）≥1恒成立，即x+a≥2恒成立，∴a≥（2-x）max，∴a≥0，故选D．6.【答案】D【解析】【分析】本题为比较大小的题目，考查了对数函数的单调性的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．由题意a＞b＞0，a+b=1，可得1＞a b＞0，利用指数函数和对数函数的单调性即可比较大小．【解答】解：∵a＞b＞0，a+b=1，∴1＞a b＞0，∴1，∴x=（）b＞（）0=1，y=log（ab）（）=log（ab）=-1，z=log b=-log b a＞-1．∴x＞z＞y．故选D．7.【答案】D【解析】解：根据题中所给的三视图，可得该几何体是底面边长为3的正方形的四棱锥，且高为2，从而可求得其四个侧面三角形面积分别为，，通过比较可得最大的面积为．故选：D．根据题中所给的三视图，可得该几何体是底面边长为3的正方形的四棱锥，且高为2，本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．8.【答案】C【解析】解：模拟程序的运行，可得i=1，a=0，S=1，执行循环体，a=1，满足条件i为奇数，S=2，i=4不满足条件i≥13，执行循环体，a=5，不满足条件i为奇数，S=10，i=7不满足条件i≥13，执行循环体，a=12，满足条件i为奇数，S=22，i=10不满足条件i≥13，执行循环体，a=22，不满足条件i为奇数，S=484，i=13此时，满足条件i≥13，退出循环，输出S的值为484．故选：C．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．9.【答案】B【解析】解：本题采用特殊位置法较为简单．因为过△ABC内一点M任作一条直线，可将此直线特殊为过点A，则|AD|=0，有．如图：则有直线AM经过BC的中点，同理可得直线BM经过AC的中点，直线CM经过AB的中点，所以点M是△ABC的重心．故选：B．△ABC内一点M作一条直线l，可将此直线特殊为过点A、B、C三个点，则一条向量为零向量可得答案．本题考查向量的加法运算，将向量转化为两个向量的和，然后抵消掉相反向量是解题的关键，属中档题．10.【答案】B【解析】解：依题意，f（x）=2cos x=cos x•sin x+=，则f（ωx）=，又函数y=f（ωx）在上单调递增，∴，即0＜ω，∴2，即，则，得ω≤1．故选：B．把已知函数利用辅助角公式化积，求得f（ωx），由函数y=f（ωx）在上单调递增，求得ω的范围，再由求得正数ω的最大值．本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，考查y=A sin（ωx+φ）型函数的图象和性质，是中档题．11.【答案】A【解析】【分析】本题考查了三角函数的化简，考查了点的轨迹方程的求法及椭圆的离心率，属于中档题．将sin A sin B-2cos C=0，化简得tan A tan B=2，即k AC•k BC=-2，设C（x，y），依题意得k AC•k BC=-2，由A（-2，0），B（2，0），得（y≠0），由此能求出动点C的轨迹方程，进而求得离心率．【解答】解：∵sin A sin B-2cos C=0，∴sin A sin B=2cos C=-2cos（A+B）=-2（cos A cos B-sin A sin B），∴sin A sin B=2cos A cos B，即tan A tan B=2，∴k AC•k BC=-2，设C（x，y），又A（-2，0），B（2，0），所以有（y≠0），整理得，∴a=，c=2，离心率为：,故选：A．12.【答案】A【解析】解：函数f（x）=4x2-2x，数列{a n}满足，∴2a n+1=4a n2-2a n+1=2a n（2a n-1）+1，∴2a n+1-1=2a n（2a n-1），∴==-，∴=-，∴=2（-），∴S n=++…+=2（-+-+…+-）=2（1-），∵f（x）=4x2-2x，可知数列{a n}为递增数列，且a1=1，∴2（1-）＜2，∴整数M的最小值是2，故选：A．先根据数列的函数特征，得到2a n+1-1=2a n（2a n-1），整理可得=2（-），再利用裂项求和即可得到S n=2（1-），由已知函数得到数列为增数列，根据首项且a1=1，利用放缩法即可求出答案．本题是对数列与函数的综合，在数列与函数的综合题中，一般是利用函数的单调性来研究数列的单调性，并考查了裂项求和和放缩法，属于难题．13.【答案】【解析】解：在类比等差数列的性质推理等比数列的性质时，我们一般的思路有：由加法类比推理为乘法，由减法类比推理为除法，由算术平均数类比推理为几何平均数等，故我们可以由数列{c n}是等差数列，则对于，则数列{b n}也是等差数列．类比推断：若数列{c n}是各项均为正数的等比数列，则当dn=时，数列{d n}也是等比数列．故答案为：本题考查的知识点是类比推理，在类比等差数列的性质推理等比数列的性质时，我们一般的思路有：由加法类比推理为乘法，由减法类比推理为除法，由算术平均数类比推理为几何平均数等，故我们可以由数列{a n}是等差数列，则对于，则数列{b n}也是等差数列．类比上述性质，若数列{c n}是各项均为正数的等比数列，则当dn=时，数列{d n}也是等比数列．类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．14.【答案】[2+2，+∞）【解析】解：根据题意，不妨设P在第一象限，M，N，A分别为△PF1F2内切圆与△PF1F2三边的切点，如图所示：∵2a=|PF1|-|PF2|=（|PM|+|MF1|）-（|PN|+|NF2|）=|MF1|-|NF2|=|AF1|-|AF2|，∴A在双曲线上，故△PF1F2内切圆圆心为（a，a），半径为a，∴圆心到渐近线bx+ay=0的距离是d==∴弦长BC=2=2=2a，依题得2a≤a，即≥．∴b-a≥c，∴b2≥（c+a）2，∵b2=c2-a2，∴c2-4ac-8a2≥0，同时除以a2得e2-4e-8≥0∴e≥2+2，故答案为e∈[2+2，+∞）．根据内切圆中切线长定理以及双曲线的性质可得内心（a，a），根据弦长公式和已知可得．本题考查了双曲线的性质，属中档题．15.【答案】9π【解析】【分析】本题考查三棱锥体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．当且仅当PB=PC=2时，三棱锥的体积最大，如图所示，将P-ABC视为正四棱柱的一部分，求出△ABC外接圆的半径，即可求出球的表面积．【解答】解：由题意，V=1•PB•PC≤（PB+PC）2=，当且仅当PB=PC=2时，三棱锥的体积最大，如图所示，将P-ABC视为正四棱柱的一部分，则CD=2R，即PA2+PB2+PC2=4R2=9，可得R=，故球的表面积是：S=4π=9π，故答案为：9π．16.【答案】6【解析】【分析】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义以及数形结合是解决本题的关键．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=3x+2y得y=-x+z，平移直线y=-x+z，由图象知当直线y=-x+z经过点A（2，0）时，直线的截距最大，此时z最大，最大值为z=3×2=6，故答案为：617.【答案】解：（1）由题设及A+B+C=π，得：sin B=4sin2，故sin B=2（1-cos B）．上式两边平方，整理得：5cos2B-8cos B+3=0，解得：cos B=1（含去），cos B=．（2）由cos B=，得sin B=，又S△ABC=ac sin B=2，则ac=5．由余弦定理，b2=a2+c2-2ac cos B=（a+c）2-2ac（1+cos B）=（a+c）2-16=4．所以a+c=2．【解析】本题考查了三角形面积公式及余弦定理的运用，考查了二倍角公式的应用，属于基础题．（1）化简已知sin（A+C）=4sin2，平方得到关于cos B的方程，解之即可．（2）由三角形面积公式可得ac，再由余弦定理解得a+c．18.【答案】解：（1）证明：∵在平行四边形ABCM中，∠ACM=90°，∴AB⊥AC，又AB⊥DA．且AD∩AC=A，∴AB⊥面ADC，∵AB⊂面ABC，∴平面ACD⊥平面ABC；（2）∵AB=AC=3，∠ACM=90°，∴AD=AM=3，∴BP=DQ=DA=2，由（1）得DC⊥AB，又DC⊥CA，∴DC⊥面ABC，∴三棱锥Q-ABP的体积V==××==1．【解析】（1）可得AB⊥AC，AB⊥DA．且AD∩AC=A，即可得AB⊥面ADC，平面ACD⊥平面ABC；（2）首先证明DC⊥面ABC，再根据BP=DQ=DA，可得三棱锥Q-ABP的高，求出三角形ABP的面积即可求得三棱锥Q-ABP的体积．本题考查面面垂直，考查三棱锥体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19.【答案】解：（1）这20天的平均降水量为+120×2+450+500×5+850+1200+240+300）=mm．（2）∵N＜400mm的天数为10，∴X=0的频率为，故估计X=0的概率为0.5．∵400mm≤N＜600mm的天数为6，∴X=1的频率为，故估计X=1的概率为0.3．∵600mm≤N＜1000mm的天数为2，∴X=3的频率为，故估计X=3的概率为0.1．∵N≥1000mm的天数为2，∴X=6的概率为，故估计X=6的概率为0.1．【解析】（1）直接利用平均数公式计算．（2）N＜400mm的天数为10，400mm≤N＜600mm的天数为6，600mm≤N＜1000mm的天数为2，N≥1000mm的天数为2，由此能求出该工程施工延误天数X=0，1，3，6的频率．在估计概率本题考查平均值、频率、概率的求法，是中档题．20.【答案】解：（1）由AP⊥OP，可知k AP•k OP=-1，又A点坐标为（-a，0），故，可得a=1，…（2分）因为椭圆M过P点，故，可得，所以椭圆M的方程为．…（4分）（2）AP的方程为，即x-y+1=0，由于Q是椭圆M上的点，故可设，…（6分）所以…（8分）=当，即时，S△APQ取最大值．故S△APQ的最大值为．…（10分）（3）直线AD方程为y=k1（x+1），代入x2+3y2=1，可得，，又x A=-1，故，，…（12分）同理可得，，又k1k2=1且k1≠k2，可得且k1≠±1，所以，，，直线DE的方程为，…（14分）令y=0，可得．故直线DE过定点（-2，0）．…（16分）（法二）若DE垂直于y轴，则x E=-x D，y E=y D，此时与题设矛盾．若DE不垂直于y轴，可设DE的方程为x=ty+s，将其代入x2+3y2=1，可得（t2+3）y2+2tsy+s2-1=0，可得，…（12分）又，可得，…（14分）故，可得s=-2或-1，又DE不过A点，即s≠-1，故s=-2．所以DE的方程为x=ty-2，故直线DE过定点（-2，0）．…（16分）【解析】（1）利用AP⊥OP，可知k AP•k OP=-1，A点坐标为（-a，0），得a，求出b，然后求解椭圆方程．（2）求出AP的方程x-y+1=0，通过Q是椭圆M上的点，故可设，然后利用三角形的面积求解最大值即可．（3）直线AD方程为y=k1（x+1），代入x2+3y2=1，求出D、E坐标，得到直线DE的方程，利用直线系得到定点坐标．（法二）若DE垂直于y轴，则x E=-x D，y E=y D，此时与题设矛盾．若DE不垂直于y轴，可设DE的方程为x=ty+s，将其代入x2+3y2=1，利用韦达定理结合斜率关系推出DE的方程为x=ty-2，推出直线DE过定点（-2，0）．本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系，考查转化思想以及计算能力．21.【答案】（1）解：当a=1时，f（x）=（x+1）2-ln x，则f′（x）=2（x+1）-，∴f（1）=4，f′（1）=3，则函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程为：y-4=3（x-1），即3x-y+1=0；（2）证明：令h（x）=f（x）-2ax-==，则h′（x）=2ax-=＞0，∴函数h（x）在求区间（1，+∞）上单调递增，∴h（x）＞h（1）=2a-1≥0，∴当a时，不等式在区间（1，+∞）上恒成立．【解析】（1）当a=1时，f（x）=（x+1）2-ln x，求出原函数的导函数，得到f（1）与f′（1）的值，再由直线方程的点斜式得答案；（2）令h（x）=f（x）-2ax-==，求其导函数，可得h′（x）＞0，得到函数h（x）在求区间（1，+∞）上单调递增，再由h（x）＞h（1）=2a-1≥0，即可求得当a时，不等式在区间（1，+∞）上恒成立．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数求函数的最值，考查数学转化思想方法，属中档题．22.【答案】解：（1）由ρsin（θ）=，得，即x+y=1．由，消去参数φ得C2的普通方程：x2+（y-1）2=a2．又x=ρcosθ，y=ρsinθ，得C2的极坐标方程为：（ρcosθ）2+（ρsinθ-1）2=a2．即C2的极坐标方程为ρ2-2ρsinθ+1-a2=0；（2）曲线C3的直角坐标方程为y=x（x＞0），由，得A（，）．|OA|=，|OB|=．即点B的极坐标为（，），代入ρ2-2ρsinθ+1-a2=0，得a=．【解析】（1）利用极坐标方程、参数方程与普通方程的互化公式直接转化即可；（2）在直角坐标系下求得A点的坐标，可得OB长，即得B的极坐标，代入C2的极坐标方程即可．本题考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查曲线的极坐标的应用，是中档题．23.【答案】解：（1）当a=-1时，f（x）=|2x+1|+|x+1|∴f（x）＞2等价于或或，解得：x＞0或，∴f（x）＞2的解集为{x|或x＞0}；（2）∵0＜a＜2，∴，2+a＞0，2-a＞0，则f（x）=|2x+1|+|ax-1|=，∴函数f（x）在（-）上单调递减，在[]上单调递增，在（）上单调递增，∴当时，f（x）取得最小值，∵对∀x∈R，恒成立，∴，又∵a＞0，∴a2+2a-3≥0，解得a≥1（a≤-3不合题意），∴a的最小值为1．【解析】（1）将a=1代入f（x）中，去绝对值后分别解不等式即可；（2）恒成立，只需求出f（x）的最小值，根据最小值大于等于可求出a的范围．本题考查了绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题，属中档题．。
2014年湖北省武汉二中高考数学模拟试卷(二)(文科)
2014年湖北省武汉二中高考数学模拟试卷（二）（文科）一、选择题（每小题5分，共50分）.2＜≤22．C D．4．（5分）（2010•嘉兴一模）在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，AM⊥BC于M，点N是△ABC内部或边上一点，则的最大值为（）．5．（浙江）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S9＞0，S10＜0，则中最大的是（）．C D．7．（5分）过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点F引它到渐近线的垂线，垂足为M，延长FM交y轴于E，若=2，则该双曲线离心率为（）．C D8．（5分）球面上有三个点A、B、C，其中AB=18，BC=24，AC=30，且球心到平面ABC的距离为球半径的一半，cosC cosC＞sinC＞sinC＞10．（5分）（2012•许昌县一模）设函数y=f（x）的定义域为D，若函数y=f（x）满足下列两个条件，则称y=f（x）在定义域D上是闭函数．①y=f（x）在D上是单调函数；②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上值域为[a，，﹣[二、填空题（每小题5分，共35分）.11．（5分）函数f（x）=+lg（1﹣tanx）的定义域是_________．12．（5分）（2014•湖北）对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的中位数、众数、极差分别是_________．13．（5分）复数z满足，设|z|max=m，|z|min=n，则m•n=_________．14．（5分）已知函数f（x）=Acos2（ωx+φ）+1（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的最大值为3，f（x）的图象与y轴的交点坐标为（0，2），其相邻两条对称轴间的距离为2，则f（1）+f（2）+…+f（2014）=_________．15．（5分）（2013•石景山区一模）某四棱锥的三视图如图所示，则最长的一条侧棱长度是_________．16．（5分）对于函数，若f（x）有六个不同的单调区间，则a的取值范围为_________．17．（5分）古埃及数学中有一个独特现象：除用一个单独的符号表示以外，其他分数都要写成若干个单位分数和的形式．例如=+，可以这样来理解：假定有两个面包，要平均分给5个人，每人不够，每人余，再将这分成5份，每人得，这样每人分得+．形如（n=5，7，9，11，…）的分数的分解：=+，=+，=+，…，按此规律，则（1）=_________．（2）=_________．（n=5，7，9，11，…）三、解答题（65分）.18．（12分）已知函数，．（1）求的值；（2）求f（x）的单调区间；（3）若不等式|f（x）﹣m|＜2恒成立，求实数m的取值范围．19．（12分）已知数列{a n}的奇数项是首项为1公差为d的等差数列，偶数项是首项为2公比为q的等比数列．数列{a n}前n项和为S n，且满足S3=a4，a3+a5=2+a4．（1）求d和q的值；（2）求数列{a n}的通项公式和前n项和为S n．20．（12分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形，AB=1，AA1=，D为AA1的中点，BD与AB1交于点O，CO⊥侧面ABB1A1．（1）证明：BC⊥AB1；（2）若OC=OA，求点B1到平面ABC的距离．21．（15分）已知函数f（x）=，其中a∈R．（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在原点处的切线方程；（2）求f（x）的单调区间；（3）若f（x）在[0，2）上存在最大值和最小值，求a的取值范围．22．（14分）已知F1，F2分别是椭圆的左右焦点，已知点，满足，设A、B是上半椭圆上满足的两点，其中．（1）求此椭圆的方程；（2）求直线AB的斜率的取值范围．2014年湖北省武汉二中高考数学模拟试卷（二）（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共50分）.2＜”“＜“＜“““sin）22．C=5=4．（5分）（2010•嘉兴一模）在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，AM⊥BC于M，点N是△ABC内部或边上一点，则的最大值为（）|内部或边上一点可得，，可得Z=，从而转化为线性规划问题，求目标函数Z=②．5．（浙江）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S9＞0，S10＜0，则中最大的是（）．D解：∵6．（5分）（2011•河南模拟）程序框图如下：7．（5分）过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点F引它到渐近线的垂线，垂足为M，延长FM交y轴于E，若=2，则该双曲线离心率为（）．∵双曲线﹣±的斜率为﹣），∵=2﹣﹣x=x =，∴，∴该双曲线离心率为8．（5分）球面上有三个点A、B、C，其中AB=18，BC=24，AC=30，且球心到平面ABC的距离为球半径的一半，5RR=10cosC cosCsinC＞sinC＜＜，＜＜﹣＞，∴10．（5分）（2012•许昌县一模）设函数y=f（x）的定义域为D，若函数y=f（x）满足下列两个条件，则称y=f（x）在定义域D上是闭函数．①y=f（x）在D上是单调函数；②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上值域为[a，，﹣，x，时，．时，，﹣二、填空题（每小题5分，共35分）.11．（5分）函数f（x）=+lg（1﹣tanx）的定义域是{x|或或}，．，即，或或或12．（5分）（2014•湖北）对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的中位数、众数、极差分别是46，45，56．，则中位数为的轨迹，，）与（）与（表示复平面内的点，到（﹣）的距离是的点的轨迹，是圆，，）m=2=3，n=2﹣；14．（5分）已知函数f（x）=Acos2（ωx+φ）+1（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）的最大值为3，f（x）的图象与y轴的+1+•+1+）的最大值为+1+，即．，∴．x+）x+2sin+sin+sin+sin）15．（5分）（2013•石景山区一模）某四棱锥的三视图如图所示，则最长的一条侧棱长度是．=故答案为：16．（5分）对于函数，若f（x）有六个不同的单调区间，则a的取值范|x|+b=，解得17．（5分）古埃及数学中有一个独特现象：除用一个单独的符号表示以外，其他分数都要写成若干个单位分数和的形式．例如=+，可以这样来理解：假定有两个面包，要平均分给5个人，每人不够，每人余，再将这分成5份，每人得，这样每人分得+．形如（n=5，7，9，11，…）的分数的分解：=+，=+，=+，…，按此规律，则（1）=+．（2）=+．（n=5，7，9，11，…））由已知中=，可以这样来理解：假定有两个面包，要平均分给个人，每人不够，每人余分成，这样每人分得+，类比可推导出=+；）由已知中=，可以这样来理解：假定有两个面包，要平均分给个人，每人不够，每人余分成，这样每人分得+，类比可推导出=+．个人，每人则余，再将这分成份，每人得，这样每人分得+．故=+）个人，每人不够，则余，再将这分成+．故=+；故答案为：++三、解答题（65分）.18．（12分）已知函数，．（1）求的值；（2）求f（x）的单调区间；）=，∴，时，）的单调递增区间是）的单调递减区间是，19．（12分）已知数列{a n}的奇数项是首项为1公差为d的等差数列，偶数项是首项为2公比为q的等比数列．数列{a n}前n项和为S n，且满足S3=a4，a3+a5=2+a4．，∴即+﹣=+=﹣）20．（12分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形，AB=1，AA1=，D为AA1的中点，BD与AB1交于点O，CO⊥侧面ABB1A1．（1）证明：BC⊥AB1；（2）若OC=OA，求点B1到平面ABC的距离．，，ABD=，B==A0==•=×，OC=××=，===××===的距离为21．（15分）已知函数f（x）=，其中a∈R．（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在原点处的切线方程；，，=，），；单调减区间是（﹣，）单调递增，在（，，且＜且，解得：＜≥≤，∪（，22．（14分）已知F1，F2分别是椭圆的左右焦点，已知点，满足，设A、B是上半椭圆上满足的两点，其中．）有题意及椭圆的方程和性质利用）由于，∴，解得．）∵得：，解得，由韦达定理得式得：得：，当，又由得的斜率的取值范围是。
2025届湖北省武汉二中高三第二次调研数学试卷含解析
2025届湖北省武汉二中高三第二次调研数学试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知直线22y x a =-是曲线ln y x a =-的切线，则a =（ ） A ．2-或1B ．1-或2C ．1-或12D ．12-或1 2．函数的图象可能是下面的图象( )A ．B ．C ．D ．3．在精准扶贫工作中，有6名男干部、5名女干部，从中选出2名男干部、1名女干部组成一个扶贫小组分到某村工作，则不同的选法共有( )A ．60种B ．70种C ．75种D ．150种4．函数y =2x sin2x 的图象可能是A ．B ．C ．D ．5．M 、N 是曲线y=πsinx 与曲线y=πcosx 的两个不同的交点,则|MN|的最小值为( )A ．πB ．2πC ．3πD ．2π6．设2,(10)()[(6)],(10)x x f x f f x x -≥⎧=⎨+<⎩ ,则(5)f =( ) A ．10 B ．11 C ．12 D ．137．△ABC 中，AB ＝3，BC 13=，AC ＝4，则△ABC 的面积是（ ）A ．33B ．332C ．3D ．328．已知a ，b ，c 是平面内三个单位向量，若a b ⊥，则232a c a b c +++-的最小值（ ）A ．29B ．2932-C ．1923-D ．59．某空间几何体的三视图如图所示（图中小正方形的边长为1），则这个几何体的体积是（ ）A ．323B ．643C ．16D ．3210．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若13a =，535S =，则数列{}n a 的公差为（ ）A ．-2B ．2C ．4D ．711．已知三棱锥A BCD -的所有顶点都在球O 的球面上，AD ⊥平面,120ABC BAC ︒∠=，2AD =，若球O 的表面积为20π，则三棱锥A BCD -的体积的最大值为（ ）A 3B 23C 3D ．2312．已知复数z 满足i •z ＝2+i ，则z 的共轭复数是（）A ．﹣1﹣2iB ．﹣1+2iC ．1﹣2iD ．1+2i二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
湖北省武汉市第二中学2021-2022学年高三上学期暑期模拟数学试题
武汉二中2022届新高三暑期模拟考试数学试卷考试时间：2021年8月22日上午7:30-9:30 试卷满分：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．2. 复数321i i -（i 为虚数单位）的虚部是（ ）A.15B.15iC. 15i -D. 15- 3. 已知且都不为0（），则“”是“关于的不等式与同解”的（ ） A. 充分不必要条件 B . 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.在流行病学中，基本传染数是指每名感染者平均可传染的人数．当基本传染数高于时，每个感染者平均会感染一个以上的人，从而导致感染这种疾病的人数量指数级增长．当基本传染数持续低于时，疫情才可能逐渐消散．广泛接种疫苗可以减少疾病的基本传染数．假设某种传染病的基本传染数为，个感染者在每个传染期会接触到个新人，这人中有个人接种过疫苗(称为接种率)，那么个感染者新的传染人数为．已知新冠病毒在某地的基本传染数为了使个感染者传染人数不超过，该地疫苗的接种率至少为（ ） A.B.C.D.5. 过正方体1111ABCD A B C D -顶点A 作平面α，使//α平面11A B CD ，11A D 和11D C 的中点分别为E 和F ，则直线EF 与平面α所成角的正弦值为( )A ．12B 3C ．23D 36. 已知在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且4b =，点O 为其外接圆的圆心.已知6CO BA ⋅=，则角A 的最大值为（ ）A ．6π B ．3π C ．4π D ．2π 7. 如图所示，已知()1,0F c -和()2,0F c 分别是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点，圆()2224x c y c ++=与双曲线位于x 轴上方的图像从左到右依次交于、两点，如果12120AF F ∠=，则21BF F ∠的余弦值为( )。
武汉二中数学试题及答案
武汉二中数学试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个数不是实数？A. √2B. -2C. πD. i2. 已知函数f(x) = 2x^2 + 3x - 5，求f(-2)的值。
A. 1B. -1C. -3D. 33. 以下哪个选项是二次方程x^2 + 4x + 4 = 0的解？A. x = -2B. x = 2C. x = -6D. x = 64. 圆的半径为3，求其面积。
A. 28πB. 9πC. 18πD. 36π5. 已知等差数列的首项为2，公差为3，求第5项的值。
A. 17B. 14C. 11D. 86. 以下哪个是正弦函数的周期？A. 2πB. πC. 1D. 37. 已知三角形ABC，∠A = 60°，∠B = 45°，求∠C。
A. 75°B. 30°C. 45°D. 15°8. 以下哪个是复数z = 3 + 4i的共轭复数？A. 3 - 4iB. 4 + 3iC. 3 - 2iD. 4 - 3i9. 已知点P(1, 2)和Q(4, 6)，求线段PQ的长度。
A. √5B. √10C. 5D. 1010. 以下哪个是二项式定理展开式(a + b)^3的第3项？A. a^2bB. ab^2C. a^3D. 3a^2b二、填空题（每题2分，共20分）11. 函数y = x^3 - 2x^2 + x - 2的导数是________。
12. 已知向量a = (2, 3)和b = (-1, 4)，求向量a与b的点积。
__________。
13. 已知集合A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，求A∪B。
__________。
14. 已知等比数列的首项为8，公比为2，求第4项的值。
__________。
15. 已知直线l的方程为y = 2x + 3，求直线l的斜率。
__________。
16. 已知圆的方程为(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 9，求圆心坐标。
2022年湖北省武汉市第二中学高三数学理模拟试题含解析
2022年湖北省武汉市第二中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数y=lgx的定义域为A，B={x|0≤x≤1}，则A∩B=（）A．（0，+∞）B．[0，1] C．[0，1）D．（0，1]参考答案：D【考点】交集及其运算．【专题】集合．【分析】求出函数y=lgx的定义域确定出A，找出A与B的交集即可．【解答】解：函数y=lgx中，x＞0，即A=（0，+∞），∵B={x|0≤x≤1}=[0，1]，∴A∩B=（0，1]．故选：D【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2. 若点P为抛物线y=2x2上的动点，F为抛物线的焦点，则|PF|的最小值为（）A．2 B．C．D．参考答案：D【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据题意，设P到准线的距离为d，则有|PF|=d，将抛物线的方程为标准方程，求出其准线方程，分析可得d的最小值，即可得答案．【解答】解：根据题意，抛物线y=2x2上，设P到准线的距离为d，则有|PF|=d，抛物线的方程为y=2x2，即x2=y，其准线方程为：y=﹣，分析可得：当P在抛物线的顶点时，d有最小值，即|PF|的最小值为，故选：D．【点评】本题考查抛物线的几何性质，要先将抛物线的方程化为标准方程．3. 在平行四边形中，，，，为的中点，则=（）A． B． C． D．参考答案：A4. sin163°sin223°+sin253°sin313°等于（）A．﹣B．C．﹣D．参考答案：B【考点】GQ：两角和与差的正弦函数；GO：运用诱导公式化简求值．【分析】通过两角和公式化简，转化成特殊角得出结果．【解答】解：原式=sin163°?sin223°+cos163°cos223°=cos=cos（﹣60°）=．故答案选B5. 已知，满足约束条件若恒成立，则的取值范围是（）A．B．C．D．参考答案：D6. （09年宜昌一中12月月考理）直线与圆切于点P则的值为（）A．1 B.-1 C．3 D.-3参考答案：C7. 已知数列{a n}满足a1=1，且，且n∈N*），则数列{a n}的通项公式为( )A．a n=B．a n=C．a n=n+2 D．a n=（n+2）3n参考答案：B考点：数列递推式．分析：由题意及足a1=1，且，且n∈N*），则构造新的等差数列进而求解．解答：解：因为，且n∈N*）?，即，则数列{b n}为首项，公差为1的等差数列，所以b n=b1+（n﹣1）×1=3+n﹣1=n+2，所以，故答案为：B点评：此题考查了构造新的等差数列，等差数列的通项公式．8. 台风中，C,A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区。
武汉二中高三数学模拟(二)
D． ( ,0) (1, )
6．平行六面体 ABCD － A1B1C1D 1 中 AB＝ 1, AD＝ 2, AA1 ＝ 3, ∠ BAD ＝90 , ∠ BAA1＝∠ DAA 1＝
60 , 则 AC 1的长度 ( )
A． 23
B． 17
C． 5
D． 11
7．设 a, b, c 分别为△ ABC 三个角 A、 B、 C 所对的边 , 则 a2=b(b+c)是 A＝ 2B 的(
的取值围； (3)设 P1, P2 分别为 C2 的两条渐近线上的点 求△ P1OP2 的面积 .
uuuuv , 且点 M 在 C2 上 , OM
1 2
(
uuuv OP1
uuuv OP2 ) .
1
20. 设函数 f (x)
( x 0 且 x 1 ).
x ln x
(1)求函数 f ( x) 的单调区间；
A．充要条件
B．充分不必要
C ．必要不充分
D ．均不是
)条件 .
8．在同一平面上有△ ABC 及一点 O 满足关系式 | OA |2 | BC |2 | OB |2 | CA |2 | OC |2 | AB |2 ,
则 O 为△ ABC 的 ( )
A．外心
B．心
C ．垂心
D ．重心
9．若一条直线与一个平面平行 , 称此直线与平面构成一个“平行线面对”在平行六面体中由两
16. 解法 1：建系
445 525
A( , ), D( , )
33
33
y A
C(2,0),| AC | 2 21 3
D
在△ ABC 中, AC BC sin A 70
sin B sin A
湖北省武汉市2023届高三下学期二月调研数学试题(含答案解析)
湖北省武汉市2023届高三下学期二月调研数学试题(含答案解析)湖北省武汉市2023届高三下学期二月调研数学试题(含答案解析)试题一：1. 设函数f(x) = x^2 - 3x + 2，求f(x)的零点。
解析：零点即f(x) = 0的解，代入函数得x^2 - 3x + 2 = 0，化简得(x - 1)(x - 2) = 0，解得x = 1或x = 2。
所以f(x)的零点为x = 1或x = 2。
2. 已知函数f(x) = 2x + 1，g(x) = x^2 - 4x + 3，求f(x)与g(x)的交点坐标。
解析：交点坐标即f(x) = g(x)的解，代入函数得2x + 1 = x^2 - 4x + 3，整理得x^2 - 6x + 2 = 0。
使用求根公式可以解得x = 3 + √7或x = 3 - √7。
将这两个解分别代入f(x)或g(x)中，即可得到对应的y值。
所以f(x)与g(x)的交点坐标为(3 + √7, 17 + 2√7)和(3 - √7, 17 - 2√7)。
试题二：1. 计算sin(π/4) + cos(π/6)的值。
解析：利用三角函数的定义及基本关系，可得sin(π/4) = cos(π/4) =√2/2，cos(π/6) = √3/2。
代入计算得sin(π/4) + cos(π/6) = √2/2 + √3/2 = (√2 + √3)/2。
2. 求解方程2cos^2(x) - 3sin(x) = 0。
解析：将cos^2(x)用1 - sin^2(x)替代，得2(1 - sin^2(x)) - 3sin(x) = 0，整理得2sin^2(x) + 3sin(x) - 2 = 0。
解这个二次方程，可以使用求根公式得sin(x) = 1/2或sin(x) = -2/2。
通过求解这两个方程，可以得到x = π/6或x = 5π/6以及x = 7π/6或x = 11π/6。
所以方程2cos^2(x) - 3sin(x) = 0的解为x = π/6, 5π/6, 7π/6, 11π/6。
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武汉二中高三数学模拟(二)一、选择题.1．函数22()log ()f x x ax a =--的值域为R 且在(,1-∞上单减, 则a 范围( )A ．a >0B ．0≤a ≤2C ．20a -<D ．－4<a <22．点P 到1(,0),(,2)2A B a 及到直线12x =-的距离都相等, 如果这样的点恰有且只有一个, 则a 的值为( ) A ．12B ．32C ．1322或D ．1122-或3．已知抛物线23y x =-+上存在关于直线x +y =0对称的相异两点A 、B , 则|AB |＝( )A ．3B ．4C ．D ．4．以()x Φ表示标准正态总体在区间(,)x -∞内取值的概率, 若随机变量2~(,)N ξμδ, 则(||)P ξμδ-<＝( )A ．()()μδμδΦ+-Φ- C ．1()μδ-ΦB ．(1)(1)Φ-Φ- D ．2()μδΦ+5．2()lg()1f x a x=+-为奇函数, 使f(x )<0的方程为( )A ．(－1, 0)B ．(0, 1)C ．(,0)-∞D ．(,0)(1,)-∞⋃+∞ 6．平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中AB ＝1, AD ＝2, AA 1＝3, ∠BAD ＝90︒, ∠BAA 1＝∠DAA 1＝60︒, 则AC 1的长度( )A B C D 7．设a , b , c 分别为△ABC 三个内角A 、B 、C 所对的边, 则a 2=b (b +c )是A ＝2B 的( )条件. A ．充要条件 B ．充分不必要 C ．必要不充分 D ．均不是 8．在同一平面上有△ABC 及一点O 满足关系式22222||||||||||OA BC OB CA OC +=+=2||AB +, 则O 为△ABC 的( ) A ．外心 B ．内心 C ．垂心 D ．重心9．若一条直线与一个平面平行, 称此直线与平面构成一个“平行线面对”在平行六面体中由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面对”个数为( ) A ．60 B ．48 C ．36 D ．24 10．已知22:16,(2,0),(2,0)O x y A B +=- 为两定点, l 为O 的一条切线, 若过A 、B 两点的抛物线以直线l 为准线, 由抛物线的焦点所在轨迹是( )111A ．双曲线B ．椭圆C ．抛物线D ．圆二、填空题.11. 过A(2, －2)作曲线33y x x =-的切线, 其切线方程为.12. 直线:(0)l x my n n =+>过点A ,若可行域00x my n y y ≤+⎧-≥≥⎩, 则实数n 的值为 .13. 已知随机变量~(,)B n p ξ, 若4,23, 3.2E D ξηξη==+=, 则(2)p ξ+=.(结果用数字表示) 14. 已知函数()f x =, 则()f x 的值域为 .15. 对有(4)n n ≥个元素的总体{1,2,3,,}n 进行抽样, 先将总体分成两个子总体{1,2,,}m 和{1,2,}m m n ++ (m 是给定的正整数, 且22m n ≤≤-)再从每个子总体中各随机抽取2个元素组成样本, 用ij p 表示元素i 和j 同时出现在样本中的概率, 则1n p = 所有(1)ij p i j n≤≤≤的和等于.三、解答题.16. 在△ABC 中, 已知AB B ==边上的中线BD =求sin A 的值.17. 如图, 在边长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中, E 为AD 中点.(1)求二面角E －A 1C 1－D 1的平面角的余弦值；(2)求四面体B －A 1C 1E 的体积.18. 袋中有5个红球和5个白球, 每次从中至少取一个球, 取得一个红球得2分, 取得一个白球得1分, 如果取一次得分超过12分, 则该次取球无效.(1)求取球一次得分恰好为12分的概率；(2)如果规定一次取四个球, 求得分ξ的数学期望； (3)若每次取一个球, 取后放回, 连续取n 次, 设取得红球次数的概率为n a , 求40.5a =, 且10.5(4)n a n -≤≤的概率.19. 已知椭圆221:14x C y +=, 双曲线2C 的左、有焦点分别是1C 的左右顶点, 而2C 的左右顶点分别是1C 的左右焦点. (1)求双曲线2C 的方程；(2)若直线y kx =2C 恒有两个不同的交点A 、B, 且2OA OB >(O 为原点)求k 的取值范围；(3)设12,P P 分别为2C 的两条渐近线上的点, 且点M 在2C 上, 121()2OM OP OP =+.求△P 1OP 2的面积.20. 设函数1()ln f x x x=(0x >且1x ≠). (1)求函数()f x 的单调区间；(2)已知12a xx >对任意(0,1)x ∈成立, 求实数a 的取值范围.21. 已知点1(,)n n a a +在曲线()f x =上, 且11a =. (1)求()f x 的定义域；(2)求证：2233121111(1)14(1)1(*)4n n n n N a a a +-≤+++≤+-∈ ；(3)求证：数列{}n a 前n项和3(1,*)2n S n n N ≤-≥∈x11A 高三数学模拟(二)答案一、选择题.二、填空题.11. 2,9160y x y =-+-= 12. 813.3262514. 4[,2]315.4,6()m n m -二、解答题.16. 解法1：建系45((33A D (2,0),||C AC =在△ABC 中, sin sin sin AC BC A B A =⇒=解法1：向量 1()2BD BA BC =+∴221(2)4S BA BC BA BC =++∴238280,2a a a +-== 余统定理||AC ⇒=正弦定理sin A ⇒ 解法3：几何△ABE 中, 余弦定理2AE ⇒= 17. 解：①1cos 3θ=②如右图所示解法1：自量法解法2：直接法 EP ⊥面A1BC11111111134B E V AC E V A BC S A BC EP -=-== 解法3：转移法11//BE A E11111111B E E V AC E V AC E V A E C -=-=-11111134S A E C == 解法4：割初法111111111111B B E E E E V AC E V V A BC V A DC V AA B V DDC C V BCC -=----------正18. 解：①设取到x 个红球, y 球, 整数,x y 满足的约束条件1102120505x y x y x y ≤+≤⎧⎪+≤⎪⇒⎨≤≤⎪⎪≤≤⎩可行解有5+6+6+6+5+3=31(组) 其中最段解有44x y =⎧⎨=⎩或52x y =⎧⎨=⎩共2组∴取球一次恰好为12的概率2()31P A = ②ξ 45678P 142 1042 2042 1042 142E ξ=6③由40.5a =知, 连续取球4次, 共取到2个红球, 2个白球, 第4次一定取到白球第2式第3次取到一红一白14211()()28P B C ==19. ①222:13x C y -=②2222(13)9033y kx k x x y ⎧=⎪⇒---=⎨-=⎪⎩ 2301130k k >⎧⇒<⎨-≠⎩ 且213k ≠设122112212213(,),(,)913x x k A x y B x y x x k ⎧+=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩2121212()2y y k x x x x =++222(3)(31)0OA OB k k >⇒--< 2133k ⇒<<综合k的取值范围(1,-③111222(),(,)P x P x x 121()2OM OP OP =+12()2x x M + M点在双曲线上212()]32x x +-= ∴123x x =12121||||sin602POP S OP OP =︒20. (1)22ln 1'()x f x +=-, 若'()0f x =, 则1x =, 列表如下 (2)在12a xx >两边取对数, 得1ln2ln a x x >, 由于01x <<, 所以1ln 2ln a x x>. ① 由①的结果可知, 当(0,1)x ∈时, 1()()f x f e e ≤=-, 为使①式对所有(0,1)x ∈成立, 当且仅当ln2ae >-, 即ln 2a e >-. 21. (1)()f x 定义域为：(,1](0,)-∞-+∞ (2)222111121111n n na a a a a a +++++=-=- 要证明：2233121111(1)14(1)14n n n a a a +-≤+++≤+-只需证明：1133122n n a n ≤≤(*)下面使用数学归纳法证明：113312(1,)2n n a n n n N ≤≤≥∈①在1n =时, 1111,22a a =<<, 则1n =时(*)式成立②假设n k =时, 1133122k k a k ≤≤成立, 由22233111331124412k k a k k a k k +=≤+=+ 要证明：223313244(1)k k k+≤+只需1233212(1)k k k +≤+ 只需22(21)8(1)k k k +≤+ 只需2142k k ≤+ 而2421k k +≥在1k ≥时恒成立, 于是22314(1)k a k +≤+于是1312(1)k a k +≤+ 又22231311142k k k aa k a k +=+≥=要证：223313111(1)442k k k =≥+只需证：12332(1)k k k +≥+只需证：241180k k ++>, 而241180k k ++>在1k ≥时恒成立. 于是：22311(1)4k ak +≥+ 因此113311(1)2(1)2k k a k ++≤≤+得证.综合①②可知(*)式得证, 从而原不等式成立.(3)要证明：32n S ≤由(2)2)n ≥(* *) 下面用分析法证明：(* *)式成立.要使(* *)成立, 只需证：(3(3n n ->- 即只需证：33(32)(31)(1)n n n n ->-- 只需证：21n >而21n >在1n ≥时显然成立, 故(* *)式得证于是由(* *)54-因此有：121n n S a a a =+++≤+32=-。