2014高考数学(新人教A版)大一轮复习特训：第6章 不等式、推理与证明第4讲 Word版含解析

第六章 第4讲
(时间：45分钟 分值：100分)
一、选择题
1. [2013·常州质检]已知f (x )＝x ＋1x －2(x <0)，则f (x )有( )
A. 最大值为0
B. 最小值为0
C. 最大值为－4
D. 最小值为－4
答案：C
解析：∵x <0，∴－x >0，
∴x ＋1x －2＝－(－x ＋1
－x )－2≤－2(－x )·1
－x －2＝－4，
当且仅当－x ＝1
－x ，即x ＝－1时，等号成立．
2. [2013·长沙质检]若0<x <1，则当f (x )＝x (4－3x )取得最大值时，x 的值为(
) A. 13 B. 1
2
C. 3
4 D. 2
3
答案：D
解析：∵0<x <1，
∴f (x )＝x (4－3x )＝1
3·3x (4－3x )
≤1
3×(3x ＋4－3x
2)2＝4
3，
当且仅当3x ＝4－3x ，即x ＝2
3时，取得“＝”，故选D.
3. 函数y ＝x 2＋2x ＋2
x ＋1(x >－1)的图象最低点的坐标为( )
A. (1,2)
B. (1，－2)
C. (1,1)
D. (0,2)
答案：D
解析：y ＝(x ＋1)2
＋1
x ＋1＝x ＋1＋1
x ＋1≥2， 当x ＋1＝1
x ＋1，即x ＝0时，y 最小值为2，故选D 项．
4. 已知m ＝a ＋1a －2
(a >2)，n ＝(12)x 2－2(x <0)，则m ，n 之间的大小关系是( ) A. m >n
B. m <n
C. m ＝n
D. m ≤n
答案：A
解析：∵a >2，x <0，
∴m ＝(a －2)＋1a －2
＋2 ≥2(a －2)·1a －2＋2＝4， n ＝22－x 2<22＝4，∴m >n ，故选A.
5. [2013·商丘模拟]若向量a ＝(x －1,2)，b ＝(4，y )相互垂直，则9x ＋3y 的最小值为( ) A. 12
B. 2 3
C. 32
D. 6
答案：D
解析：依题意得4(x －1)＋2y ＝0，即2x ＋y ＝2,9x ＋3y ＝32x ＋3y ≥232x ×3y ＝232x ＋y ＝232＝6，当且仅当2x ＝y ＝1时取等号，因此9x ＋3y 的最小值是6，选D.
6. 已知a ，b 为正实数且ab ＝1，若不等式(x ＋y )(a x ＋b y
)>m 对任意正实数x ，y 恒成立，则实数m 的取值范围是( )
A. [4，＋∞)
B. (－∞，1]
C. (－∞，4]
D. (－∞，4) 答案：D
解析：因为(x ＋y )(a x ＋b y )＝a ＋b ＋ay x ＋bx y ≥a ＋b ＋2≥2ab ＋2＝4，当且仅当a ＝b ，ay x ＝bx y
时等号成立，即a ＝b ，x ＝y 时等号成立，故只要m <4即可，正确选项为D.
二、填空题 7. [2013·金版原创]规定记号“⊗”表示一种运算，即a ⊗b ＝ab ＋a ＋b (a ，b 为正实数)．若
1⊗k ＝3，则k 的值为________，此时函数f (x )＝k ⊗x x
的最小值为________． 答案：1 3
解析：1⊗k ＝k ＋1＋k ＝3，
即k ＋k －2＝0，
∴k ＝1或k ＝－2(舍)，
∴k ＝1.
f (x )＝1⊗x x ＝x ＋x ＋1x ＝1＋x ＋1x
≥1＋2＝3， 当且仅当x ＝1x
即x ＝1时等号成立． 8. [2013·西安质检]函数f (x )＝1＋log a x (a >0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx
＋ny －2＝0上，其中mn >0，则1m ＋1n
的最小值为________． 答案：2
解析：由题知，函数图象恒过点A (1,1)，且点A 在直线mx ＋ny －2＝0上，所以m ＋n ＝2，
其中mn >0，所以1m ＋1n ＝12(1m ＋1n )(m ＋n )＝12(2＋n m ＋m n )≥12
×(2＋2)＝2，当且仅当m ＝n ＝1时取得最小值，故所求的最小值为2.
9. [2013·鹤岗模拟]若a ，b ，c >0，且a 2＋ab ＋ac ＋bc ＝4，则2a ＋b ＋c 的最小值为________． 答案：4
解析：由已知得a 2＋ab ＋ac ＋bc ＝(a ＋b )(a ＋c )＝4，
则2a ＋b ＋c ＝(a ＋b )＋(a ＋c )≥2(a ＋b )(a ＋c )＝4，
∴2a ＋b ＋c 的最小值为4.
三、解答题
10. [2013·梅州质检]已知lg(3x )＋lg y ＝lg(x ＋y ＋1)．
(1)求xy 的最小值；
(2)求x ＋y 的最小值．
解：由lg(3x )＋lg y ＝lg(x ＋y ＋1)
得⎩⎪⎨⎪⎧
x >0y >03xy ＝x ＋y ＋1
(1)∵x >0，y >0，
∴3xy ＝x ＋y ＋1≥2xy ＋1，
∴3xy －2xy －1≥0，
即3(xy )2－2xy －1≥0，
∴(3xy ＋1)(xy －1)≥0，
∴xy ≥1，∴xy ≥1，
当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立．
∴xy 的最小值为1.
(2)∵x >0，y >0，
∴x ＋y ＋1＝3xy ≤3·(x ＋y 2
)2， ∴3(x ＋y )2－4(x ＋y )－4≥0，
∴[3(x ＋y )＋2][(x ＋y )－2]≥0，
∴x ＋y ≥2，
当且仅当x ＝y ＝1时取等号，
∴x ＋y 的最小值为2.
11. [2013·房山区模拟]已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：
(1)1a ＋1b ＋1ab
≥8； (2)(1＋1a )(1＋1b
)≥9. 证明：(1)1a ＋1b ＋1ab ＝1a ＋1b ＋a ＋b ab ＝2(1a ＋1b
)， ∵a ＋b ＝1，a >0，b >0，
∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋a b ＋b a
≥2＋2＝4， ∴1a ＋1b ＋1ab ≥8(当且仅当a ＝b ＝12
时等号成立)． (2)方法一 ∵a >0，b >0，a ＋b ＝1，
∴1＋1a ＝1＋a ＋b a ＝2＋b a
， 同理，1＋1b ＝2＋a b
， ∴(1＋1a )(1＋1b
) ＝(2＋b a )(2＋a b
) ＝5＋2(b a ＋a b
)≥5＋4＝9. ∴(1＋1a )(1＋1b )≥9(当且仅当a ＝b ＝12
时等号成立)． 方法二 (1＋1a )(1＋1b )＝1＋1a ＋1b ＋1ab .由(1)知，1a ＋1b ＋1ab
≥8， 故(1＋1a )(1＋1b )＝1＋1a ＋1b ＋1ab
≥9.
12. [2013·三明模拟]某住宅小区为了使居民有一个优雅、
舒适的生活环境，计划建一个正八边形的休闲小区，它的主体
造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD 和EFGH 构成的面
积为200 m 2的十字型区域．现计划在正方形MNPQ 上建一花坛，造价为4200元/m 2，在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪，造价为210元/m 2，再在四个空角上铺草坪，造价为80元/m 2.
(1)设总造价为S 元，AD 的长为x m ，试建立S 关于x 的函数关系式；
(2)计划至少投入多少元，才能建造这个休闲小区．
解：(1)设DQ ＝y ，
则x 2
＋4xy ＝200，y ＝200－x 2
4x . S ＝4200x 2＋210×4xy ＋80×4×12
y 2 ＝38000＋4000x 2＋400000x 2
(0<x <102)． (2)S ＝38000＋4000x 2＋400000x 2
≥38000＋216×108＝118000，
当且仅当4000x 2＝400000x 2
，即x ＝10时，S min ＝118000(元)， 即计划至少要投入11.8万元才能建造这个休闲小区．。