安徽省滁州市重点中学2019-2020学年高一下学期期末2份数学调研试题

2019-2020学年高一下学期期末数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在三棱锥P ABC -中，222ACAB ==，10BC =，90APC ∠=，平面ABC ⊥平面PAC ，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为（） A ．4π B ．5πC ．8πD ．10π2．过点()1,3P-且垂直于直线230x y -+=的直线方程为（ ）A ．250x y --=B ．250x y ++=C ．210x y ++=D ．270x y +-=3．如图，这是某校高一年级一名学生七次月考数学成绩（满分100分）的茎叶图去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别是( )A ．87,9.6B ．85,9.6C ．87,5,6D ．85,5.64．在数列{}n a 中，121,64a a ==，且数列1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，其公比12q =-，则数列{}n a 的最大项等于（ ） A ．7aB ．8aC ．6a 或9aD ．10a5．某工厂对一批新产品的长度(单位：mm )进行检测，如下图是检测结果的频率分布直方图，据此估计这批产品的中位数与平均数分别为( )A ．20，22.5B ．22.5，25C ．22.5，22.75D ．22.75，22.756．在ABC ∆中，角A B 、均为锐角，且cos sin A B >，则ABC ∆的形状是（ ） A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形7．已知a 与b 均为单位向量，它们的夹角为60︒，那么3a b -等于（ ） A 7B 10C 13D ．48．已知()3sin 5αβ-=，()3cos 5αβ+=-，且,2παβπ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，,2παβπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则cos 2β的值为（ ）A ．2425B ．1C ．45-D ．1-9．若sinA cosB cosCa b c==，则ABC ∆是（ ） A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角或等腰三角形 D ．等腰直角三角形10．集合，那么( )A ．B ．C ．D ．11．若(0,),(,0)22ππαβ∈∈-，13cos ,cos +4342ππβα⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ,则cos 2βα⎛⎫-= ⎪⎝⎭ （ ）A ．33B ．33-C ．6-D ．53912．如图所示，在直角梯形BCEF 中，∠CBF=∠BCE=90°，A ，D 分别是BF ，CE 上的点，AD ∥BC ，且AB=DE=2BC=2AF （如图1），将四边形ADEF 沿AD 折起，连结BE 、BF 、CE （如图2）．在折起的过程中，下列说法中正确的个数（ ）①AC ∥平面BEF ；②B 、C 、E 、F 四点可能共面；③若EF ⊥CF ，则平面ADEF ⊥平面ABCD ； ④平面BCE 与平面BEF 可能垂直 A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题：本题共4小题 13．函数的定义域是_______________.14．若0x ≤，2M x x =+，42N x =-，则M 与N 的大小关系为___________． 15．在ABC ∆中，2a =，3b =，19c =，则ABC ∆的面积等于______.16．在长方体1111ABCD A B C D -中，12AA =，4=AD ，6AB =，如图，建立空间直角坐标系D xyz -，则该长方体的中心M 的坐标为_________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．设数列{}n a 的前n 项和n S .已知2*112121,,33nn S a a n n n N n +==---∈. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）是否对一切正整数n ，有121115131n a a a n ++⋯+<-+？说明理由. 18．在ABC 中，角,,A B C 对应的边分别是,,a b c ，且sin (sin sin )sin 0a A b A B c C ++-=. （1）求角C ；（2）若2c =，求+a b 的取值范围.19．（6分）如图,在△ABC 中,AB=8,AC=3,∠BAC=60°,以点A 为圆心,r=2为半径作一个圆,设PQ 为圆A 的一条直径.(1)请用,AP AB 表示BP ,用,AP AC 表示CQ ; (2)记∠BAP=θ,求·BP CQ 的最大值.20．（6分）设n S 为正项数列{}n a 的前n 项和，且满足2243n n n a a S +=+.（1）求{}n a 的通项公式； （2）令11n n n b a a +=，12n n T b b b =+++…，若n T m <恒成立，求m 的取值范围.21．（6分）已知函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭在一个周期内的图像经过点,412π⎛⎫ ⎪⎝⎭和点5,412π⎛⎫-⎪⎝⎭，且()f x 的图像有一条对称轴为12x π=.（1）求()f x 的解析式及最小正周期； （2）求()f x 的单调递增区间.22．（8分）在等差数列{}n a 中，38a =，724a a a =+. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设1n nb na =，求数列{}n b 的前n 项和n S . 参考答案一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．D 【解析】 【分析】结合题意，结合直线与平面垂直的判定和性质，得到两个直角三角形，取斜边的一半，即为外接球的半径，结合球表面积计算公式，计算，即可． 【详解】过P 点作PN AC ⊥，结合平面ABC ⊥平面PAC 可知，PN ABC ⊥平面，故PN AB ⊥，结合AB AC ⊥可知，AB PAC ⊥平面，所以AB PC ⊥，结合PC PA ⊥所以PC PAB ⊥平面,所以090CPB ∠=，故该外接球的半径等于102BC =，所以球的表面积为2210=4410S R πππ=⋅=⎝⎭，故选D ．【点睛】考查了平面与平面垂直的性质，考查了直线与平面垂直的判定和性质，难度偏难． 2．C 【解析】 【分析】先求出直线230x y -+=的斜率，再求出所求直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解. 【详解】由题得直线230x y -+=的斜率为1122-=-， 所以所求的直线的斜率为2-，所以所求的直线方程为32(1),y x +=--即210x y ++=. 故选：C 【点睛】本题主要考查互相垂直直线的性质，考查直线方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 3．D 【解析】 【分析】去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据为82，84，84，86，89，由此能求出所剩数据的平均数和方差． 【详解】 平均数8284848689855x ++++==，方差()()()()()22222282858485848586858985 5.65s -+-+-+-+-==，选D.【点睛】本题考查所剩数据的平均数和方差的求法，考查茎叶图、平均数、方差的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 4．C 【解析】 【分析】在数列{}n a 中，11a =，264a =，且数列1{}n n a a +是等比数列，其公比12q =-，利用等比数列的通项公式可得：171(1)2n n n n a a --+=-⋅．可得(2)(1)(1)(68)32221121(1)2n n n n nn n aa a a a a a a ---+--=⨯⨯⨯⨯=-，利用二次函数的单调性即可得出． 【详解】在数列{}n a 中，11a =，264a =，且数列1{}n n a a +是等比数列，其公比12q =-， ∴1171641()(1)212n n n n n a a ---+=⨯-=-⋅． ∴01(2)65(8)3211211(1)2n n nn n a a a a a a a a +++-+++--=⨯⨯⨯⨯=⨯-⨯(2)(1)(1)(68)22(1)2n n n n ---+-=-，2(1)(14)115169()2228n n n --=--+．由7n =或8时，(2)(1)2(1)1n n ---=-，6n =或9时，20692a a ==，∴数列{}n a 的最大项等于6a 或9a ．故选：C. 【点睛】本题考查等比数列的通项公式、累乘法、二次函数的单调性，考查推理能力与计算能力，属于中档题． 5．C 【解析】 【分析】根据平均数的定义即可求出．根据频率分布直方图中，中位数的左右两边频率相等，列出等式，求出中位数即可． 【详解】：根据频率分布直方图，得平均数为1（12.1×0.02+17.1×0.04+22.1×0.08+27.1×0.03+32.1×0.03）＝22.71， ∵0.02×1+0.04×1＝0.3＜0.1， 0.3+0.08×1＝0.7＞0.1； ∴中位数应在20～21内， 设中位数为x ，则0.3+（x ﹣20）×0.08＝0.1， 解得x ＝22.1；∴这批产品的中位数是22.1．故选C ． 【点睛】本题考查了利用频率分布直方图求数据的中位数平均数的应用问题，是基础题目． 6．C 【解析】cos sin ,sin 2A B sin A B π⎛⎫>∴-> ⎪⎝⎭，又角,A B 均为锐角，则022B A ππ<<-<，02A B π∴<+<，且ABC ∆中，,2A B C C πππ++=∴<<，ABC ∆的形状是钝角三角形，故选C.【方法点睛】本题主要考查利用诱导公式、正弦函数的单调性以及判断三角形形状，属于中档题.判断三角形状的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；（3）根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形. 7．A 【解析】本题主要考查的是向量的求模公式．由条件可知==，所以应选A ．8．A 【解析】 【分析】由已知求出cos()αβ-，sin()αβ+的值，再由cos 2cos[()()]βαβαβ=+--，展开两角差的余弦求解，即可得答案． 【详解】 由3sin()5αβ-=，3cos()5αβ+=-，且(2παβ-∈，)π，(2παβ+∈，)π， ∴2234cos()1()1()55sin αβαβ-=---=-=-， ∴2234sin()1()1()55cos αβαβ+=-+=--=， cos 2cos[()()]cos()cos()sin()sin()βαβαβαβαβαβαβ∴=+--=+-++-434324()()555525=-⨯-+⨯=．故选：A ． 【点睛】本题考查两角和与差的余弦、倍角公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意“拆角配角”思想的运用. 9．D 【解析】 【分析】先根据题中条件，结合正弦定理得到sin cos B Bbb =，求出角B ，同理求出角C ，进而可判断出结果. 【详解】因为sin cos cos A B Ca b c==， 由正弦定理可得sin sin sin A B Ca b c==， 所以sin cos B B b b =，即sin cos B B =，因为角B 为三角形内角，所以4B π=； 同理，4Cπ；所以2A π=，因此，ABC ∆是等腰直角三角形. 故选D 【点睛】本题主要考查判定三角形的形状问题，熟记正弦定理即可，属于常考题型. 10．D 【解析】 【分析】根据并集定义计算． 【详解】 由题意．故选D ． 【点睛】本题考查集合的并集运算，属于基础题． 11．D 【解析】 【分析】由于02＜＜πα，02πβ-＜＜，143cos πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，342cos πβ⎛⎫+=⎪⎝⎭，利用“平方关系”可得4sin πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭，42sin πβ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，变形2442cos cos βππβαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦即可得出．【详解】 ∵02＜＜πα，1043cos πα⎛⎫+=>⎪⎝⎭， ∴442πππα+＜＜，∴2221443sin cos ππαα⎛⎫⎛⎫+=-+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． ∵02πβ-＜＜，∴0424πβπ+＜＜，∵342cos πβ⎛⎫+=⎪⎝⎭， ∴2614242sin cos πβπβ⎛⎫⎛⎫+=-+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． ∴2442442442cos cos cos cos sin sin βππβππβππβαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+=+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 1322633=⨯+⨯53=． 故选D. 【点睛】本题考查了两角和的余弦公式、三角函数同角基本关系式、拆分角等基础知识与基本技能方法，属于中档题． 12．C 【解析】 【分析】根据折叠前后线段、角的变化情况，由线面平行、面面垂直的判定定理和性质定理对各命题进行判断，即可得出答案． 【详解】对①，在图②中，连接,AC BD 交于点O ，取BE 中点，连接MO ，易证AOMF 为平行四边形，即AC//FM ，所以AC//平面BEF ，故①正确；对②，如果B 、C 、E 、F 四点共面，则由BC//平面ADEF ，可得BC//EF ，又AD//BC ，所以AD//EF ，这样四边形ADEF为平行四边形，与已知矛盾，故②不正确；对③，在梯形ADEF中，由平面几何知识易得EF⊥FD，又EF⊥CF，∴EF⊥平面CDF，即有CD⊥EF，∴CD⊥平面ADEF，则平面ADEF⊥平面ABCD，故③正确；对④，在图②中，延长AF至G，使得AF=FG，连接BG，EG，易得平面BCE⊥平面ABF，BCEG四点共面．过F作FN⊥BG于N，则FN⊥平面BCE，若平面BCE⊥平面BEF，则过F作直线与平面BCE垂直，其垂足在BE上，矛盾，故④错误．故选：C．【点睛】本题主要考查线面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理的应用，意在考查学生的直观想象能力和逻辑推理能力，属于中档题．二、填空题：本题共4小题13．【解析】【分析】解方程即得函数的定义域.【详解】由题得，解之得故答案为.【点睛】本题主要考查正切型函数的定义域的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.>14．M N【解析】【分析】根据自变量的取值范围，利用作差法即可比较大小.【详解】2M x x =+，42N x =-，0x ≤，所以()()242M N x x x -=+-- 232x x =-+()()12x x =--当0x ≤时，()()120x x -->所以0M N ->，即M N >，故答案为：M N >.【点睛】本题考查了作差法比较整式的大小，属于基础题.15．2【解析】【分析】先用余弦定理求得2221cos 22a b c C ab +-==-，从而得到n si C =积公式求解.【详解】因为在ABC ∆中，2a =，3b =，c = 由余弦定理得，2221cos 22a b c C ab +-==-所以sin C ==由正弦定理得1sin 22ABC S ab C ∆==故答案为：2【点睛】 本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.16．(2,3,1)【解析】【分析】先求出点B 的坐标，再求出M 的坐标.【详解】由题得B(4,6,0),1(0,0,2)D ,因为M 点是1BD 中点，所以点M 坐标为(2,3,1).故答案为(2,3,1)【点睛】本题主要考查空间坐标的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。