怎样求解线面平行的存在性问题——从2010年陕西理第18题说起

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高中数学证明线面平行的方法

高中数学证明线面平行的方法在高中数学学习中，证明线面平行是一个常见的问题。

这个问题需要我们运用一定的数学知识和技巧，来证明两条线段或两个平面之间的平行关系。

下面介绍一些证明线面平行的方法：1. 向量法向量法是证明线面平行的常见方法。

我们可以用向量来表示线段和平面的方向，然后通过向量的内积来判断它们是否平行。

具体来说，如果两个向量的内积为0，那么它们就是垂直的；如果内积不为0，那么它们就是平行的。

例如，如果要证明直线AB与平面P平行，则可以假设向量AB和平面P的法向量n不平行。

然后计算向量AB和n的内积，如果结果为0，则AB与P垂直；如果结果不为0，则AB与P平行。

2. 三角形相似法如果两个平行线段或两个平面之间的平行关系不容易用向量法证明，可以使用三角形相似法。

具体来说，我们可以选择一个三角形，在两个平行线段或平面上各取一个点，然后通过证明两个三角形相似来证明它们平行。

例如，如果要证明平面P和平面Q平行，则可以选择一个三角形ABC，在平面P上取点A和B，在平面Q上取点C，然后证明三角形ABC和三角形ACB相似，从而得出平面P和平面Q平行的结论。

3. 平行四边形法平行四边形法是证明线段平行或平面平行的一种简单方法。

具体来说，我们可以找到一个平行四边形，其中两条边分别是要证明平行的线段或平面，然后证明它的另外两条边也平行，从而得出结论。

例如，如果要证明线段AB与线段CD平行，则可以找到一个平行四边形ABCD，其中AB和CD是相邻的两条边，AC和BD是另外两条边，然后证明AC和BD也平行，从而得出线段AB与线段CD平行的结论。

综上所述，证明线面平行的方法有很多种，我们可以根据具体情况选择合适的方法进行证明。

除了上述方法，还有投影法、反证法等方法。

大家可以尝试学习和运用这些方法，提高数学证明的能力。

线面平行的判定定理

线面平行的判定定理线面平行的判定定理是几何学中非常重要的定理之一，它帮助我们判断线和面是否平行，从而在解决问题中起到了重要的作用。

本文将介绍线面平行的判定定理的相关概念和推导过程，帮助读者更好地理解这一定理的应用。

首先，我们来了解一下什么是线面平行。

在三维空间中，线和面之间的平行关系是指线和面的方向相同，但它们不一定在同一个平面内。

如果我们能够判断出线和面之间的平行关系，就可以在实际问题中更好地进行分析和求解。

线面平行的判定定理可以分为两个部分，一是线面平行的充分条件，二是线面平行的必要条件。

下面我们将分别介绍这两个部分。

1. 线面平行的充分条件。

线面平行的充分条件是指如果一条直线与一个平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行。

这个定理可以通过以下推导来证明。

假设有一条直线l和一个平面P，如果直线l与平面P内的一条直线m平行，那么我们可以得到以下结论，直线l与直线m的方向向量相同。

设直线l上一点为A，直线m上一点为B，平面P上一点为C。

则有向量AB与平面P的法向量n垂直，即AB·n=0。

又因为直线l与直线m平行，所以直线l上的任意一点与直线m 上的任意一点的连线与平面P的法向量n平行，即AB·n=AC·n=0。

所以直线l 与平面P平行。

通过以上推导，我们可以得出线面平行的充分条件，如果一条直线与一个平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行。

2. 线面平行的必要条件。

线面平行的必要条件是指如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与这个平面内的一条直线平行。

这个定理可以通过以下推导来证明。

假设有一条直线l和一个平面P，如果直线l与平面P平行，那么我们可以得到以下结论，直线l与平面P的法向量n垂直，即l·n=0。

设直线l上一点为A，平面P上一点为B，平面P内的一条直线m上一点为C。

则有向量AB与直线m 的方向向量相同，即AB与m平行。

又因为直线l与平面P平行，所以直线l上的任意一点与平面P内的一点的连线与直线m的方向向量平行，即AB与m平行。

如何证面面平行的判定定理

如何证面面平行的判定定理一、引言平行是几何学中一个重要的概念，它描述了两条直线或两个平面在空间中永远不会相交的关系。

在解决几何问题时，判定两条直线或两个平面是否平行是非常关键的一步。

本文将介绍如何通过证明来判定两个平面是否平行。

二、定义和定理在开始介绍证明过程之前，我们先来回顾一下与本文相关的定义和定理。

定义：•平行：两条直线或两个平面如果在空间中没有交点，则它们被称为平行。

定理：•面面平行的判定定理：如果一条直线与一个平面垂直相交，则这条直线上的任意一点到该垂线上任意一点所作的垂线都与该平面垂直相交。

三、证明过程下面我们将通过详细的步骤来证明“面面平行的判定定理”。

步骤1：假设有一个平面A和另外一个与A垂直相交的直线L。

步骤2：取L上任意一点P，并以P为圆心作一个小圆C1，使得C1与A相交于一点M。

步骤3：连接M与P，并延长直线MP，使其与平面A相交于一点N。

步骤4：取MP上任意一点Q，并以Q为圆心作一个小圆C2，使得C2与A相交于一点S。

步骤5：连接S与Q，并延长直线SQ，使其与平面A相交于一点R。

步骤6：根据构造的方式可知，MQ是垂直于平面A的直线。

同时，由于S、Q、R三点共线，则SR也是垂直于平面A的直线。

步骤7：根据步骤6可知，对于MP上任意一点Q所作的垂线SQ都与平面A垂直相交。

步骤8：由于P是L上任意一点，因此对L上任意一点P所作的垂线都与平面A垂直相交。

综上所述，我们证明了“如果一条直线与一个平面垂直相交，则这条直线上的任意一点到该垂线上任意一点所作的垂线都与该平面垂直相交”的定理。

四、应用举例例1：已知平面A和B分别由以下方程确定：•平面A: 2x + 3y - z = 4•平面B: x + 2y - 3z = 5求证平面A和平面B是平行的。

证明过程：根据定理，我们只需要找到一条直线与两个平面垂直相交即可判定它们是平行的。

以平面A为例，令x = t, y = 0, z = -4t + 4，其中t为参数。

谈谈证明线面平行问题常用的几种方法

证明线面平行的问题侧重于考查同学们的空间想象能力与数学运算能力.根据直线与平面平行的定义可知，要判断直线与平面是否平行，只需判定直线与平面有没有公共点.但由于直线是无限延伸的，平面是无限延展的，因此利用定义法不易快速证明线面平行，需运用转化思想，把线面平行问题转化为线线平行问题、面面平行问题、空间向量之间的位置关系问题，利用线面平行的判定定理、面面平行的性质定理，通过空间向量运算来求解.下面谈一谈证明线面平行的三种方法.一、利用线面平行的判定定理进行证明线面平行的判定定理：如果平面外一条直线与平面内的一条直线平行，那么该直线与该平面平行.利用线面平行的判定定理，可由线线平行推出线面平行.在证明线面平行时，可根据题意和几何图形的特点，添加合适的辅助线，利用中位线的性质、平行四边形的性质寻找或作出平行线，以利用线面平行的判定定理证明线面平行.例1.如图1，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，O为AC的中点，M为PD的中点，证明：PB//平面ACM.证明：如图1，连接MO，BD.在平行四边形ABCD中，O为AC的中点，∴O为BD的中点，∵M为PD的中点，∴MO为ΔPBD的中位线，∴PB//MO，又PB⊄平面ACM，MO⊂平面ACM，∴PB//平面ACM.想要证明PB//平面ACM，需在平面ACM内找到一条与直线PB平行的直线，于是添加辅助线，作出ΔPBD的中位线MO.由三角形中位线的性质可知MO//PB，即可利用线面平行的判定定理证明线面平行.例2.如图2，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为直角梯形，侧棱AP⊥平面ABCD，AB⊥AD，AD=2BC.若点E为棱PD的中点.求证：CE//平面ABP.证明：如图2所示，取PA的中点F，连接BF，EF，在ΔPAD中，点F，E分别是PA，PD的中点，∴EF为ΔPAD的中位线，∴EF//AD，EF=12AD，∵ AD=2 BC，∴AD//BC，BC=12AD，∴EF//BC，EF=BC，∴四边形EFBC是平行四边形，∴CE//BF，∵CE⊄平面ABP，BF⊂平面ABP，∴CE//平面ABP.通过作辅助线构造出平行四边形EFBC，再利用中位线的性质和平四边形的性质即可证明EF//AD、CE//BF.而CE在平面ABP外，BF在平面ABP内，利用线面平行的判定定理，就能证明CE//平面ABP.例3.如图3，S是平行四边形ABCD外一点，M，N分别是SA、BD上的点，且AMSM=BN ND，求证：MN//平面SDC.证明：连接AN，并延长AN延长线交CD于点P，连接SP，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//PD，∴ΔABN∽ΔPDN，∴BNND=AN NP，又AMMS=AN NP，∴AMAS=AN AP，∴MN//SP，∵MN⊄平面SDC，SP⊂平面SDC，∴MN//平面SDC.通过作辅助线，构造出两个相似三角形ΔABN与ΔPDN，再根据相似三角形的性质可证明MN//SP.而图1图2图346方法集锦图4三、利用空间向量进行证明若几何图形中有两两垂直的三条线，为坐标轴，建立空间直角坐标系，分别求出直线的方向向量和平面的法向量的方向向量与平面的法向量垂直，平面平行.。

线面平行的判定与性质

线面平行的判定与性质
没有交点
直观感知
感受现实生活中线面平行的实际例子
水平面
线面平行的判定与性质
直观感知
感受现实生活中线面平行的实际例子
天花板平面
线面平行的判定与性质
直观感知
感受现实生活中线面平行的实际例子
球场地面
线面平行的判定与性质
观察与猜想
实例1：这生两活个中实，例我中们你注意到门扇的两边是
平行、相交、在平面内
2、反映直线和平面三种位置关系
的依据是什么？公共点的个数
没有公共点：平行仅有一个公共点：相交无数个公共点：在平面内线面平行的判定与性质
3、直线和平面平行的判定定理如果平面外的一条直线和平面
内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.
线面平行的判定与性质
二、问题引领：
真题演练8
P
N
E
D
M
C
A
B
线面平行的判定与性质
真题演练9
已知正方体 ABCDA1B1C1D 1，O 是底面 ABCD
对角线的交点. 求证：C1O ∥面 A B1 D 1
D1 A1
E
C1
B1
D
C
O
线面平行的判定与性质
A
B
真题演练10
P是长方形ABCD所在平面外的一点，AB、PD两点 M、N满足AM：MB=ND：NP。
平转的动行一时的边们，.l 当与可观门门结以察扇框门得论绕所扇出？着在转什一平动么边面
的位置关系如何？
l
实在观与猜直条桌桌察例直想线封面面2：和线：面上所平如这若边，在果个行将缘翻的一平平，所动平本面面那在书面书外内么直的具平一的这线封有放条一条面怎l ，样

线面平行知识点

线面平行知识点线面平行是几何学中的一个重要概念，指的是两个平面在三维空间中没有交点，且两个平面的法线向量相互平行。

线面平行的性质与应用在现实生活和工程领域中都有着广泛的应用。

下面将介绍线面平行的概念、性质以及其在几何学和工程领域中的应用。

一、线面平行的概念线面平行是指两个平面在三维空间中没有交点，且两个平面的法线向量相互平行。

具体来说，如果两个平面P1和P2的法线向量分别为n1和n2，那么线面平行的条件可以表示为n1∥n2。

二、线面平行的性质1.平行平面的法线向量相互平行：对于线面平行的两个平面P1和P2，它们的法线向量n1和n2相互平行，即n1∥n2。

这是线面平行的基本性质。

2.平行平面之间的距离相等：对于线面平行的两个平面P1和P2，它们之间的距离是恒定的。

这是因为两个平面之间的距离可以通过一个垂直于这两个平面的向量来定义，而这个向量的大小是恒定的。

3.平行平面的投影关系：对于线面平行的两个平面P1和P2，它们在一个垂直于它们的共同法线上的投影长度是相等的。

这意味着如果我们从一个平面上垂直投影到另一个平面上，投影的长度是保持不变的。

三、线面平行的应用1.几何学中的应用：线面平行的概念和性质在几何学中有广泛的应用。

例如，在计算两个平面之间的距离时，可以利用线面平行的性质来简化计算。

此外，在计算两个平面的夹角时，线面平行的概念也可以起到辅助的作用。

2.工程领域中的应用：线面平行的概念和性质在工程领域中也有重要的应用。

例如，在建筑设计中，如果希望两个墙面之间保持平行，可以利用线面平行的性质来进行构造。

此外，在机械设计中，线面平行的概念可以应用于零件的安装和对位，保证机械零件之间的平行关系。

四、总结线面平行是几何学中一个重要的概念，指的是两个平面在三维空间中没有交点，且两个平面的法线向量相互平行。

线面平行的性质包括平行平面的法线向量相互平行、平行平面之间的距离相等以及平行平面的投影关系。

线面平行的概念和性质在几何学和工程领域中都有广泛的应用，可以用于简化计算、辅助设计和保证零件之间的平行关系。

证明线面平行的方法

证明线面平行的方法在几何学中，线面平行是一个重要的概念。

在我们的日常生活和工作中，我们经常会遇到需要证明线面平行的问题，因此了解如何证明线面平行的方法是非常重要的。

下面，我将介绍几种常用的证明线面平行的方法。

首先，我们来看一种常用的证明线面平行的方法——同位角相等。

同位角是指两条直线被一条截线所切割，所形成的相对位置相同的角。

当两条直线被一条截线所切割时，如果同位角相等，那么这两条直线就是平行的。

这是由于同位角相等是线面平行的充分必要条件。

因此，当我们需要证明两条直线是平行的时候，可以通过证明它们的同位角相等来实现。

其次，我们可以利用平行线的性质来证明线面平行。

平行线的性质是指，如果一条直线与两条平行线相交，那么它所形成的对应角相等。

这个性质可以用来证明线面平行的方法是非常常用的。

例如，当我们需要证明一条直线与一条平行线平行时，可以通过证明它们所形成的对应角相等来实现。

另外，我们还可以利用垂直线的性质来证明线面平行。

垂直线的性质是指，如果一条直线与一条平行线相交，那么它所形成的对应角互补。

这个性质也可以用来证明线面平行的方法。

例如，当我们需要证明一条直线与一条平行线平行时，可以通过证明它们所形成的对应角互补来实现。

除了以上提到的方法外，我们还可以利用平行线的性质来证明线面平行。

平行线的性质是指，如果一条直线与两条平行线相交，那么它所形成的内角相等，外角相等。

这个性质也可以用来证明线面平行的方法。

例如，当我们需要证明一条直线与一条平行线平行时，可以通过证明它们所形成的内角相等，外角相等来实现。

综上所述，证明线面平行的方法有很多种，我们可以根据具体的情况选择合适的方法来进行证明。

在实际应用中，我们需要根据具体的问题来选择合适的方法，从而有效地解决问题。

通过掌握这些方法，我们可以更加灵活地应用几何知识，提高解决问题的效率。

希望本文的介绍能够帮助大家更好地理解和运用证明线面平行的方法。

平行四边形的存在性问题解题策略

04平行四边形的存在性问题解题策略1．（2010陕西西安）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过A （—1，0），B （3，0），C （0，—1）三点。

（1）求该抛物线的表达式；（2）点Q 在y 轴上，点P 在抛物线上，要使以点Q 、P 、A 、B 为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P 的坐标。

【答案】解：（1）设该抛物线的表达式为c bx ax y =+=2。

根据题意，得、⎪⎩⎪⎨⎧-==++=+-.1,039,0c c b a c b a 解之，得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=-==.1,32,31c b a∴所求抛物线的表达式为.132312--=x x y （2）①当AB 为边时，只要PQ//AB ，且PQ=AB=4即可，又知点Q 在y 轴上，∴点P 的横坐标为4或-4，这时，将合条件的点P 有两个，分别记为P 1，P 2。

而当x=4时，.7,4,35=-==y x y 时当此时).7,4(),35,4(21-P P②当AB 为对角线时，只要线段PQ 与线段AB 互相平分即可，又知点Q 在y 轴上，且线段AB 中点的横坐标为1，∴点P 的横坐标为2，这时，符合条件的点P 只有一个，记为P 3，而当x=2时，y=-1，此时P 3（2，-1）综上，满足条件的点)1,2(),7,4(),35,4(321--P P P P 为1. （2011山东威海，25，12分）如图，抛物线2y ax bx c =++交x 轴于点(3,0)A -，点(1,0)B ,交y 轴于点(0,3)E -．点C 是点A 关于点B 的对称点，点F 是线段BC 的中点，直线l 过点F 且与y 轴平行．直线y x m =-+过点C ，交y 轴于点D ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点K 为线段AB 上一动点，过点K 作x 轴的垂线与直线CD 交于点H ，与抛物线交于点G ,求线段HG 长度的最大值；（3）在直线l 上取点M ，在抛物线上取点N ，使以点A ，C ，M ，N 为顶点的四边是平行四边形，求点N 的坐标．图① 备用图【答案】解：（1）设抛物线的函数表达式(1)(3)y a x x =-+ ∵抛物线与y 轴交于点(0,3)E -，将该点坐标代入上式，得1a =． ∴所求函数表达式(1)(3)y x x =-+，即223y x x =+-．（2）∵点C 是点A 关于点B 的对称点，点(3,0)A -，点(1,0)B ， ∴点C 的坐标是(5,0)C ．将点C 的坐标是(5,0)C 代入y x m =-+，得5m =． ∴直线CD 的函数表达式为5y x =-+．设K 点的坐标为(,0)t ，则H 点的坐标为(,5)t t -+，G 点的坐标为2(,23)t t t +-．∵点K 为线段AB 上一动点， ∴31t -≤≤．∴222341(5)(23)38()24HG t t t t t t =-+-+-=--+=-++． ∵3312-≤-≤， ∴当32t =-时，线段HG 长度有最大值414．（3）∵点F 是线段BC 的中点，点(1,0)B ，点 (5,0)C ， ∴点F 的坐标为(3,0)F ． ∵直线l 过点F 且与y 轴平行， ∴直线l 的函数表达式为3x =． ∵点M 在直线l 上，点N 在抛物线上，∴设点M 的坐标为(3,)M m ，点N 的坐标为2(,23)N n n n +-．∵点(3,0)A -，点 (5,0)C ，∴8AC =．分情况讨论：① 若线段AC 是以点A ，C ，M ，N 为顶点的四边是平行四边形的边，则须MN ∥AC ，且MN ＝AC ＝8．当点N 在点M 的左侧时，3MN n =-． ∴38n -=，解得5n =-． ∴N 点的坐标为(5,12)N -．当点N 在点M 的右侧时，3MN n =-．∴38n -=，解得11n =． ∴N 点的坐标为(11,40)N ．②若线段AC 是以点A ，C ，M ，N 为顶点的平行四边形的对角线，由“点C 与点A 关于点B 中心对称”知：点M 与点N 关于点B 中心对称．取点F 关于点B 对称点P ，则点P 的坐标为(1,0)P -．过点P 作NP ⊥x 轴，交抛物线于点N ．将1x =-代入223y x x =+-，得4y =-．过点N ，B 作直线NB 交直线l 于点M ．在△BPN 和△BFM 中，∵90NPB MBF BF BP BPN BFM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩∴△BPN ≌△BFM ． ∴NB ＝MB ．∴四边形点ANCM 为平行四边形． ∴坐标为(1,4)--的点N 符合条件．∴当点N 的坐标为(5,12)-，(11,40)，(1,4)--时，以点A ，C ，M ，N 为顶点的四边是平行四边形．2、（2009重庆綦江）如图，已知抛物线(1)233(0)y a x a =-+≠经过点(2)A -，0，抛物线的顶点为D ，过O 作射线OM AD ∥．过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ，B 在x 轴正半轴上，连结BC ．（1）求该抛物线的解析式；（2）若动点P 从点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为()t s ．问当t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？（3）若O C O B =，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t ()s ，连接PQ ，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长．*26．解：（1）抛物线2(1)33(0)y a x a =-+≠经过点(20)A -，，309333a a ∴=+∴=-··········································································································· 1分 ∴二次函数的解析式为：232383333y x x =-++ ··························································· 3分（2）D 为抛物线的顶点(133)D ∴，过D 作DN OB ⊥于N ，则33DN =， 2233(33)660AN AD DAO =∴=+=∴∠=，°····························································· 4分 OM AD ∥①当AD OP =时，四边形DAOP 是平行四边形66(s)OP t ∴=∴= ························································· 5分 ②当DP OM ⊥时，四边形DAOP 是直角梯形过O 作OH AD ⊥于H ，2AO =，则1AH =（如果没求出60DAO ∠=°可由Rt Rt OHA DNA △∽△求1AH =）55(s)OP DH t ∴=== ·············································································································· 6分xyM CDPQO AB N E HxyM C DPQOAB③当PD OA =时，四边形DAOP 是等腰梯形26244(s)OP AD AH t ∴=-=-=∴=综上所述：当6t =、5、4时，对应四边形分别是平行四边形、直角梯形、等腰梯形． 7分（3）由（2）及已知，60COB OC OB OCB ∠==°，，△是等边三角形则6262(03)OB OC AD OP t BQ t OQ t t =====∴=-<<，，，过P 作PE OQ ⊥于E ，则32PE t =······················································································· 8分 113633(62)222BCPQ S t t ∴=⨯⨯-⨯-⨯=233633228t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ ··················································································································· 9分当32t =时，BCPQ S 的面积最小值为6338··············································································· 10分∴此时3339333324444OQ OP OE QE PE ==∴=-==，=， 222233933442PQ PE QE ⎛⎫⎛⎫∴=+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ································································ 11分 3.（2009年内蒙古包头）已知二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象经过点(10)A ，，(20)B ，，(02)C -，，直线x m =（2m >）与x 轴交于点D ．（1）求二次函数的解析式；（2）在直线x m =（2m >）上有一点E （点E 在第四象限），使得E D B 、、为顶点的三角形与以A O C 、、为顶点的三角形相似，求E 点坐标（用含m 的代数式表示）；（3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点F ，使得四边形ABEF 为平行四边形？若存在，请求出m 的值及四边形ABEF 的面积；若不存在，请说明理由． yxOBADC(F 2)F 1 E 1 (E 2)yxO26．（12分）解：（1）根据题意，得04202.a b c a b c c ++=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩，，解得132a b c =-==-，，．232y x x ∴=-+-． ···································· （2分）（2）当EDB AOC △∽△时，得AO CO ED BD =或AO COBD ED=， ∵122AO CO BD m ===-，，，当AO CO ED BD =时，得122ED m =-， ∴22m ED -=，∵点E 在第四象限，∴122m E m -⎛⎫⎪⎝⎭，． ··············································································· （4分）当AO CO BD ED =时，得122m ED=-，∴24ED m =-， ∵点E 在第四象限，∴2(42)E m m -，． ··············································································· （6分）（3）假设抛物线上存在一点F ，使得四边形ABEF 为平行四边形，则1EF AB ==，点F 的横坐标为1m -，当点1E 的坐标为22m m -⎛⎫ ⎪⎝⎭，时，点1F 的坐标为212m m -⎛⎫- ⎪⎝⎭，，∵点1F 在抛物线的图象上， ∴22(1)3(1)22mm m -=--+--， ∴2211140m m -+=， ∴(27)(2)0m m --=， ∴722m m ==，（舍去）， ∴15324F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，， ∴33144ABEFS=⨯=． ··········································································································· （9分）当点2E 的坐标为(42)m m -，时，点2F 的坐标为(142)m m --，， ∵点2F 在抛物线的图象上，∴242(1)3(1)2m m m -=--+--， ∴27100m m -+=，∴(2)(5)0m m --=，∴2m =（舍去），5m =，∴2(46)F -，， ∴166ABEFS=⨯=． ·········································································································· （12分）注：各题的其它解法或证法可参照该评分标准给分．4、（2009柳州）如图11，已知抛物线b ax ax y --=22（0>a ）与x 轴的一个交点为(10)B -，，与y 轴的负半轴交于点C ，顶点为D ．（1）直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与x 轴的另一个交点A 的坐标；（2）以AD 为直径的圆经过点C ．①求抛物线的解析式；O xyA BCD图11②点E 在抛物线的对称轴上，点F 在抛物线上，且以E F A B ，，，四点为顶点的四边形为平行四边形，求点F 的坐标．解：（1）对称轴是直线：1=x ，点A 的坐标是（3，0）． ····································································· 2分（说明：每写对1个给1分，“直线”两字没写不扣分）（2）如图11，连接AC 、AD ，过D 作轴 y DM ⊥于点M ，解法一：利用AOC CMD △∽△∵点A 、D 、C 的坐标分别是A （3，0），D （1，b a --）、C （0，b -），∴AO ＝3，MD =1．由MD OC CM AO =得13ba = ∴03=-ab ············································································································ 3分又∵b a a --⋅--⋅=)1(2)1(02··········································································· 4分∴由⎩⎨⎧=-=-0303b a ab 得⎩⎨⎧==31b a ············································································· 5分∴函数解析式为：322--=x x y ································································ 6分解法二：利用以AD 为直径的圆经过点C∵点A 、D 的坐标分别是A （3，0）、D （1，b a --）、C （0，b -）， ∴29b AC +=，21a CD +=，2)(4b a AD --+=∵222AD CD AC =+∴03=-ab …① ······························································································· 3分又∵b a a --⋅--⋅=)1(2)1(02…② ······························································· 4分由①、②得13a b ==，·············································································· 5分∴函数解析式为：322--=x x y ······································································· 6分（3）如图所示，当BAFE 为平行四边形时则BA ∥EF ，并且BA ＝EF ．∵BA =4，∴EF =4由于对称为1=x ，∴点F 的横坐标为5． ······················································· 7分将5=x 代入322--=x x y 得12=y ，∴F （5，12）． ·································································· 8分根据抛物线的对称性可知，在对称轴的左侧抛物线上也存在点F ，使得四边形BAEF 是平行四边形，此时点F 坐标为（3-，12）． 9分当四边形BEAF 是平行四边形时，点F 即为点D ，此时点F 的坐标为（1，4-）． ······································· 10分综上所述，点F 的坐标为（5，12），（3-，12）或（1，4-）．（其它解法参照给分）5、(2009烟台市) 如图，抛物线23y ax bx =+-与x 轴交于AB ，两点，与y 轴交于C 点，且经过点(23)a -，，对称轴是直线1x =，顶点是M ．（1）求抛物线对应的函数表达式；（2）经过C,M 两点作直线与x 轴交于点N ，在抛物线上是否存在这样的点P ，使以点P A C N ，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设直线3y x =-+与y 轴的交点是D ，在线段BD 上任取一点E （不与B D ，重yxO A B CD图11E F合），经过A B E ，，三点的圆交直线BC 于点F ，试判断AEF △的形状，并说明理由；（4）当E 是直线3y x =-+上任意一点时，（3）中的结论是否成立？（请直接写出结论）． O B xyA MC 13-。

线面平行证明的常用方法

线面平行证明的常用方法张磊立体几何在高考解答题中每年是必考内容，必有一个证明题；重点考察：平行与垂直（线线平行、线面平行、面面平行、线线垂直、线面垂直、面面垂直等），我们现在对线面平行这一方面作如下探讨：方法一：中位线型：找平行线。

例1、如图⑴，在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD -中，点E 是PD 的中点.求证：//PB 平面AEC 分析：如图⑴ 如图⑵ 如图⑶ 方法二：构造平行四边形，找平行线例2、如图⑵, 平行四边形ABCD 和梯形BEFC 所在平面相交，BE//CF ，求证：AE//平面DCF.分析：过点E 作EG//AD 交FC 于G ， DG 就是平面AEGD与平面DCF 的交线，那么只要证明AE//DG 即可。

方法三：作辅助面使两个平面是平行, 即：作平行平面，使得过所证直线作与已知平面平行的平面例3、如图⑷，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 为菱形， M 为OA 的中点，N 为BC 的中点，证明：直线MN OCD 平面‖ 分析：：取OB 中点E ，连接ME ，NE ，只需证平面MEN 平面OCD 。

方法四：利用平行线分线段成比例定理的逆定理证线线平行。

例4、已知正方形ABCD 和正方形ABEF 和BF 上，且AM=FN. 求证：MN ‖平面BCE.如图⑷ 如图⑸ 如图⑹E B A D C GF F y C B E D A Sz_ M _ D_ A B _ O E P E D C B O A B CD E F N M例5．如图⑸，已知三棱锥Ｐ—ＡＢＣ，Ａ′，B ′，C ′是△PBC,△PCA,△PAB 的重心.(1)求证：Ａ′Ｂ′∥面ＡＢＣ；(2)求S △A ′B ′C ′：S △ABC .方法五：（向量法）所证直线与已知平面的法向量垂直，关键：建立空间坐标系（或找空间一组基底）及平面的法向量。

例6、如图⑹，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为正方形，侧棱SD ⊥底面ABCD E F ，，分别为AB SC ，的中点．证明EF ∥平面SAD ；分析：因为侧棱SD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，所以很容易建立空间直角坐标系及相应的点的坐标。

证明线面平行的三种措施

探索探索与与研研究究线面平行指的是直线与平面平行，是一种较为常见的空间位置关系.证明线面平行问题侧重于考查线线平行、面面平行、线面平行的定义以及定理.下面主要介绍三种证明线面平行的思路.一、利用线面平行的判定定理线面平行的判定定理：如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则这条直线与这个平面平行.利用线面平行的判定定理证明线面平行，关键在于找到一组平行线，使其分别位于平面内外.可从下面两个角度寻找：1.利用中位线的性质三角形的中位线有一个重要的性质：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半.在证明线面平行时，可根据几何图形的特点，寻找或选取中点，并添加辅助线，构造出三角形的中位线，以根据中位线的性质找到一组平行线，使两条直线分别在平面内外，即可利用线面平行的判定定理证明线面平行.例1.如图1所示，在直三棱柱ABC -AB C 1中，D ,E 分别是AB ,BB 1的中点，AA 1=AC =CB =AB ，证明：BC 1∥平面A 1CD .图1证明：连接AC 1，交A 1C 于点F ，则F 为A 1C 的中点，因为D 是AB 的中点，连接DF ，则在△ABC 1中，DF 是△ABC 1的中位线，所以BC 1∥DF ，又因为DF ⊂平面A 1CD ，所以BC 1∥平面A 1CD .观察图形，可以发现BC 1∥DF .而D ,E 分别是线段AB ,BB 1的中点，于是依次连接AC 1和DF .此时线段DF 为△ABC 1的中位线，根据三角形的中位线平行于第三边的性质可得出BC 1∥DF ，即可根据线面平行的判定定理证明BC 1∥平面A 1CD .2.利用平行四边形的性质我们知道，平行四边形的两组对边平行且相等.在证明线面平行时，可以将平面内的一条直线平移到平面外的某一点，使两条直线成为平行四边形的一组对边，即可根据平行四边形的性质：一组对边平行且相等，构造出一组平行线，就可以直接根据线面平行的判定定理证明线面平行.例2.如图2所示，在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为等腰梯形，AB =2CD ，点M 为AB 的中点，求证：C 1M ∥平面A 1ADD 1.图2证明：连接AD 1，因为底面ABCD 为等腰梯形，所以AB ∥CD ，因为点M 为AB 的中点，所以CD 平行且等于MA ，因为在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，CD 平行且等于C 1D 1，所以四边形AMC 1D 1为平行四边形，所以C 1M ∥D 1A ，又D 1A ⊂平面A 1ADD 1，C 1M ⊄平面A 1ADD 1，51所以C 1M ∥平面A 1ADD 1.连接AD 1，构造出平行四边形AMC 1D 1，即可得到一组平行线C 1M 、D 1A .此时AD 1为平面A 1ADD 1内的一条直线，C 1M 为平面A 1ADD 1外的一条直线，根据线面平行的判定定理，即可证明C 1M ∥平面A 1ADD 1.二、利用面面平行的性质当无法直接根据线面平行的判定理证明线面平行时，可以先根据面面平行的判定定理找到或证明两个平面平行；然后利用面面平行的性质：如果两个平面平行，则在一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面，来证明线面平行.例3.如图3，线段AC 、DF 分别为正方形ABCD 和正方形CDEF 的对角线，M ,N 分别是线段AC 、DF 上的点，且AM =12MC ，DN =12NF ，证明：MN ∥平面BCF .证明：如图3，在DC 上取G 点，使DG =12GC ，连接NG 、MG ，则G 点是DC 上的一个三等分点，所以GC DG =MCAM，所以MG ∥AD ，而AD ∥BC ，可得MG ∥BC ，所以MG ∥平面BCF ，同理可得DG GC =DNNF，所以NG ∥FC ，所以NG ∥平面BCF ，所以平面MNG ∥平面BCF ，又因为MN ⊂平面MNG ，所以MN ∥平面BCF .我们根据题意，在平面BCF 内很难找到一条直线与MN 平行.于是根据AM =12MC ，DN =12NF ，添加辅助线，构造出一个与平面BCF 平行的平面NMG .根据线面平行的判定定理证明平面MNG ∥平面BCF 后，即可根据面面平行的性质定理证明MN ∥平面BCF .三、构造空间向量在证明线面平行受阻时，可以根据几何体的结构特征，构造出空间向量，通过空间向量运算，证明直线的方向向量与平面的法向量垂直，即可证明直线与平面平行.在解题时，要根据几何体的特征，寻找或构造垂直关系，使三条垂线相交于一点，并将其视为三条坐标轴，即可构造出空间直角坐标系.例4.如图4所示，已知四边形ABEF 是矩形，△ABC 是等腰三角形，平面ABEF ⊥平面ABC ，∠BAC =120°，AB =12AF =4，CN =3NA ，M ,P ,Q 分别是AF ,EF ,BC 的中点，求证：直线PQ ∥平面BMN .图4图5证明：以A 为原点、AB 为x 轴、AF 为z 轴，建立如图5所示的空间直角坐标系，可得A (0,0,0)，B (4,0,0)，C (-2,23,0)，F (0,0,8)，E (4,0,8)，P (2,0,8)，Q (1,3,0)，M (0,0,4)，N (-12)，则 BN =()-920， BM =()-4,0,4，设平面BMN 的法向量n=(x,y,z )，则ìíîn ⋅ BN =0,n ⋅BM =0,得ìíîïï-92x +y =0,-4x +4z =0,令x =1，则ìíîy =33,z =1,所以n =(1,33,1)，因为PQ =(-1,3,-8)，所以n ⋅ PQ =-1+9-8=0，所以n ⊥ PQ ，因为PQ ⊄平面BMN ，所以PQ ∥平面BMN .我们根据平面ABEF ⊥平面ABC ，以A 为原点、AB 为x 轴、AF 为z 轴、垂直于AB 的直线为y 轴，建立空间直角坐标系，求得PQ 以及平面MNB 的法向量，证明二者垂直，即可证明PQ ∥平面BMN .总之，在证明线面平行时，要注意：（1）根据题意寻找平行关系，如中位线、平行四边形的对边；（2）灵活运用线面平行的判定定理、面面平行的性质定理；（3）合理添加辅助线，构造空间直角坐标系.（作者单位：宁夏回族自治区银川市灵武市第一中学）探索探索与与研研究究图352。

证线面平行的常见方法

证线面平行的常见方法1. 用对称性证明线面平行如果两条线段或两个平面之间具有对称性，那么这两者之间的关系就是平行的。

如果两个平面对于某个轴对称，那么它们就是平行的。

如果两条线段相对称，那么就可以通过平移来证明它们平行。

举个例子，如果我们有两个互相垂直的平面，那么它们对于它们的交线具有对称性。

我们可以通过将一个平面上的点对称到另一个平面上来证明这两个平面平行，其中每个点都延伸至它们与交线的距离相等。

另一种证明线面平行的方法是使用投影。

这种方法将两个物体的轮廓投射到同一个平面上，以确定它们是否平行。

如果我们有两条相交的线段，我们可以将它们沿着它们的交点投影到一个新的平面上，然后判断它们是否平行。

如果它们在新平面上的投影是平行的，那么它们本身应该是平行的。

相似三角形定理是在几何学中非常有用的，它可以帮助我们证明三角形之间的相似性以及线面之间的平行性。

当两个三角形中每个角度的大小相等时，它们就是相似的。

根据相似三角形定理，相似的三角形具有相同的比例。

假设我们有两个平行的直线和一条横跨它们的任意直线，如果我们从这条横跨的线上任意选择两个点来与两个平行直线相交，那么与它们相交的各个线段所代表的三角形就是相似的。

因为这些三角形都有相同的角度大小和形状，它们之间的相似性可以用相同的比例来表示。

垂直线性质是在证明线面平行时经常用到的一种方法。

如果一条线段与另外两条直线的夹角均为直角，则这两条直线是平行的。

这个性质也适用于平面上两个直角相交的线。

举个例子，如果我们有两条相交的直线和一条平行于其中一条直线的第三条直线，那么与平行线相交的其他直线的夹角应该是直角，否则平行线将无法保持平行。

这证明了平行线的存在。

向量是另一种证明线面平行的有用工具。

向量的方向和大小定义了一条直线或一个平面的性质。

如果给定两个向量，我们可以通过它们的点积和叉积来计算它们之间的夹角和平行性。

总结：证明线面平行是建立几何学定理的基础之一，在几何学中有重要的应用。

三招搞定立体几何线面平行问题

立体几何---线面平行证明三招轻松搞定招一:构造平行四边形招二:构造三角形招三:先用一次转换,再用上面两种方法下面我就以2014年全国各地高考题为例作说明招一:构造平行四边形；适用条件一般在求证线中有1个点为中点（这个大家要记住）。

1．[2014·北京卷] 如图，在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，AB ⊥BC ，AA 1＝AC ＝2，BC ＝1，E ，F 分别是A 1C 1，BC 的中点．(1)求证：平面ABE ⊥平面B 1BCC 1；(2)求证：C 1F ∥平面ABE ；(3)求三棱锥E ABC 的体积．分析：我们只谈第2小问。

F 为中点，在求证“C 1F ∥平面ABE ”中已有C 1、、F 、E 三点存在，还差1个点就可构成平行四边形。

下面是最重要的，A 、B 没有用到，我们就选AB 的中点G ，作为第四个点，构成一个平行四边形。

证GF 平行且等于EC1，记住一般证不了C1F ∥EG 。

（大家记住这个模板，这类问题就解决了）下面用个例子给大家体会一下：例1．5、已知正方体1111ABCD A BC D -，O 是底ABCD 对角线的交点. 求证：(１) C 1O ∥面11AB D ；(2)1AC ⊥面11AB D ．D 1O D B A C 1B 1A 1C招二:构造三角形；适用条件一般在求证线中没有点为中点（这个大家要记住）。

[2014·新课标全国卷Ⅱ] 如图，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为矩形，P A ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点．(1)证明：PB ∥平面AEC ；(2)删去分析：这类题目必有一个中点不在求证线段PB 上，我们只要找到除了这个中点（本题中为E ），另外两个点的中点就搞定（本题中为AC 的中点），然后利用三角形中位线就行了。

下面用个例子给大家体会一下：例2．如图，在正方体1111ABCD A B C D 中，E 是1AA 的中点，求证： 1//AC 平面BDE 。

线面平行的判定定理的证明

线面平行的判定定理的证明今天咱们来聊聊一个有趣的数学话题，那就是线面平行的判定定理。

乍一听，这个名字是不是听起来有点高大上？其实嘛，咱们用简单的语言来拆开这个大馅饼，绝对让你听得懂，还能轻松记住！好，开门见山，咱们就直接上干货。

线面平行，这可是几何中一个很重要的概念。

就好比你在街上走，看到两条平行的马路，心里不禁感叹，哎呀，这路真宽敞，真是两条不打交道的平行线。

再回到数学上，线面平行的意思就是一条线和一个面永远不相交。

是不是很简单呢？咱们接下来就来说说，怎样判定它们到底平行不平行。

我们得明白，判定线面平行的基本方法就是看线的方向和面上法线的关系。

法线，听起来是不是像魔法师的法杖？其实它就是一个与面垂直的线。

你想象一下，如果这个法线和我们的线方向一致，那就说明这条线跟这个面是平行的。

如果法线和线的方向不一样，那就得好好琢磨琢磨了。

就像两个人站在一个舞台上，一个人往左走，另一个人往右走，永远都碰不到对方，哈哈，真有意思！线面平行的一个小秘密就是，它们的关系可以用角度来判断。

如果线和面之间的夹角是零度，嘿，那毫无疑问，它们就是平行的。

就像你和好朋友在同一条路上并肩而行，那种默契，真是太棒了！所以，当你看到一条线与一个面形成一个零度的角度时，就可以放心大胆地说，它们是平行的，嘿嘿。

还有一种情况，也很有趣。

假如线和面之间的夹角是90度，这说明这条线跟面是垂直的。

哎，真是个好消息，对吧？因为一条线如果和面垂直，那它就不会和面上的任何点相交，自然也就不可能是平行的。

就好比一棵树长得很高，树影洒在地上，树干和地面呈90度，那这树影就绝对不会跟树干相交，真是个绝妙的比喻。

我们还得聊聊另外一个有趣的方面。

假如有两条平行线，它们和同一个面平行，那可就不得了了。

这就像你和你的朋友一起跑步，结果你们的速度一样快，那你们就一直在同一个水平线上，永远不相交。

数学上也是如此，如果两条线都平行于同一个面，那么它们就是绝对平行的！这就像是数学里的铁打的友谊，不离不弃！说到这，可能有小伙伴会问，万一不巧，这条线和这个面有个交点怎么办？别着急，咱们还有办法。

解答线面平行问题的两种途径

考点透视线面平行问题经常出现在立体几何试题中.这类问题对同学们的空间想象能力和运算能力的要求非常高，主要考查线面平行的性质定理、判定定理，以及面面平行的性质定理.下面以一道题目为例，探讨一下解答线面平行问题的途径.例题：如图1所示，在正四棱锥S -ABCD 中，SA =SB =SC =SD =2，AB =2，P 为侧棱SD 上的一点．如果SP =3PD ，那么在侧棱SC 上是否存在一点E ，使得BE //平面PAC .若存在，求出SEEC的值；若不存在，试说明理由．要判断点E 是否存在，关键是看能否在侧棱SC 上找一点E ，使得BE //平面PAC .由线面平行的判定定理：若平面外一条直线与平面内的一条直线平行，则这条直线与这个平面平行，可知解题的关键在于能否在平面PAC 内，找到一条直线与BE平行.有如下几种解法.图1图2一、利用面面平行的性质我们知道，面面平行的性质定理：（1）如果两个平面平行，则在一个平面内的任意一条直线平行于另外一个平面；（2）如果两个平面平行，且分别和第三个平面相交，则这两条交线平行.在解答线面平行问题时，可以先根据平面平行的判定定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条直线平行，则这两个平面平行，构造或作出平行平面；然后根据面面平行的性质来证明线面平行，或寻找平行关系.解法一：连接BD ，设BD ⋂AC =O ，连接OP 、SO ，取线段SO 上靠近点O 的三等分点M ，连接MB ，取线段SC 上靠近点C 的三等分点N ，连接MN 、BN ，如图2.在正四棱锥S -ABCD 中，SO ⊥平面ABCD ，∵BD ⊂平面ABCD ，∴SO ⊥BD ，∵在正方形ABCD 中，AB =2，∴BC =CD =2，∴在RtΔBCD 中，BD =BC 2+CD 2=()22+()22=2，∴OB =OD =12BD =1，∴在RtΔSOD 中，SO =SD 2-OD 2=22-12=3，∴∠SDO =60°，且MO =13SO∴在RtΔMOB 中，tan∠MBO =MO OB ∵∠MBO ∈()0°,90°，∴∠MBO =30°，在ΔPOD 中，PD =14SD =12，由余弦定理得OP 2=OD 2+PD 2-2OD ⋅PD cos∠SDO ，∴OP 2=12+()122-2×1×12×12=34，∴OP 2+PD 2=34+()122=1=OD 2，∴OP ⊥PD ，即∠OPD =90°，∴∠POD =180°-∠OPD -∠SDO =30°，∴∠MBO =∠POD ，∴BM //OP ，∵OP ⊂平面PAC ，BM ⊄平面PAC ，∴BM //平面PAC ，∵在ΔSOC 中，SM SO =SN SC =23，∴MN //OC ，即MN //AC ，∵AC ⊂平面PAC ，MN ⊄平面PAC ，∴MN //平面PAC ，∵BM ⋂MN =M ，BM ⊂平面BMN ，MN ⊂平面BMN ，∴平面BMN //平面PAC ，∵BN ⊂平面BMN ，∴BN //平面PAC ，∴点E 与N 点重合，即侧棱SC 上存在点E ，使得BE //平面PAC ，此时SE EC =SN NC=2.由于正四棱锥S -ABCD 的顶点S 与底面正方形中心O 的连线SO 垂直于底面ABCD ，因此在线段SO 上取一点M ，作辅助线BM .既然在平面PAC 内很难找到与BN 平行的直线，那么不妨构造出与平面PAC 平行的平面35考点透视BMN ，再利用面面平行的判定定理加以证明，最后再根据面面平行的性质定理推出线面平行，即可确定点E 的位置.解法二：连接BD ，设BD ⋂AC =O ，连接OP ，取线段SD 的中点Q ，取线段SC 上靠近点C 的三等分点N ，连接BN 、NQ 、BQ ，如图3所示.∵在ΔSPC 中，SN SC =SQ SP =23，∴NQ //PC ，∵PC ⊂平面PAC ，NQ ⊄平面PAC ，∴NQ //平面PAC ，∵在正方形ABCD 中，BD ⋂AC =O ，∴O 为BD 中点，∵P 为QD 的中点，∴在ΔBDQ 中，BQ //OP ，∵OP ⊂平面PAC ，BQ ⊄平面PAC ，∴BQ //平面PAC ，∵NQ ⋂BQ =Q ，NQ ⊂平面BNQ ，BQ ⊂平面BNQ ，∴平面BNQ //平面PAC ，∵BN ⊂平面BNQ ，∴BN //平面PAC ，∴点E 与N 点重合，即侧棱SC 上存在一点E ，使得BE //平面PAC ，此时SE EC =SN NC=2.首先根据比例关系和中位线的性质证明NQ //平面PAC ，BQ //平面PAC ；再根据面面平行的判定定理证明平面BNQ //平面PAC ，即可根据面面平行的性质定理：如果两个平面平行，则在一个平面内的任意一条直线平行于另外一个平面，证明线BN//平面PAC .图3图4二、构造空间向量若根据题目中的垂直关系，容易找出或作出三条互相垂直的线段，即可将其视为x 、y 、z 轴，构造空间直角坐标系，给各个点赋予坐标，就能将线面平行问题转化为空间向量问题.只需使直线的方向向量与平面的法向量互相垂直，即可判定该直线与平面平行.解法三：连接BD ，设BD ⋂AC =O ，在正四棱锥S -ABCD 中，SO ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，∵AC ⊂平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，AB =2，∴SO ⊥AC ，SO ⊥BD ，AC ⊥BD ，BC =CD =2，以O 为原点，AC 、BD 、OS 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图4所示.∵在RtΔBCD 中，BD =BC 2+CD 2=()22+()22=2，∴OB =OD =OC =12BD =1，∴在RtΔSOC 中，SO =SC 2-OC 2=22-12=3，tan∠SCO =SOOC=3，设EC =2t ，得O ()0,0,0，C ()1,0,0，B ()0,-1,0，P (0,34，E ()1-t,0,3t ，∴ BE =()1-t,1,3t ， OC =()1,0,0， OP =(0,34，设平面PAC 的法向量为m=()x,y,z ，∴ìíîïï m 1⋅OC =x =0, m 1⋅OP =3y 4+3z 4=0,取y =1，得ìíîx =0z =-3，∴ m =()0,1,-3，当BE //平面PAC 时， BE ⊥m ，∴ BE ⋅ m=()1-t ×0+1×1+3t ×()-3=1-3t =0，∴t =13，∴EC =2t =23，∴SE EC =SC -EC EC =2-2323=2.先根据题意和正方形的性质证明SO ⊥AC 、SO ⊥BD 、AC ⊥BD ，即可找到三条互相垂直的线段，于是以O 为原点，AC 、BD 、OS 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系；然后设出点E 的坐标，分别求得直线的方向向量BE以及平面PAC 的法向量m ，得出 BE ⋅ m =0，即可断定存在E 点，使得BE //平面PAC .可见，解答线面平行问题，同学们需熟记并灵活运用线线平行、线面平行和面面平行的判定定理及性质定理，根据几何图形的特征合理添加辅助线，构建空间直角坐标系，以寻找到最佳的解题方案.本文系江苏省教育学会“十四五”教育科研规划课题《高中生自学能力培养的途径和方法研究》（批准号：22A09SXSQ324）研究成果.（作者单位：江苏省泗洪姜堰高级中学）36。

证明线线平行的方法

证明线线平行的方法：1.垂直于同一平面的两条直线平行2.平行于同一直线的两条直线平行3.一个平面与另外两个平行平面相交,那么2条交线也平行4.两条直线的方向向量共线,则两条直线平行5.线面平行的性质定理：一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。

证明线面平行的方法：1.直线与平面平行的判定性定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

2.平面与平面平行的性质定理：如果两个平面是平行，那么在其中一个平面内的直线和另一个平面平行。

证明面面平行的方法：1.如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。

2.面面平行的传递性：如果两个平面都和第三个平面平行，则这两个平面平行。

3.垂直与同一直线的两个平面平行。

4.利用向量法证明。

证明线线垂直的方法：1.定义法：两直线夹角90度2.三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直3.直线与平面的定义：若1条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面的所有直线4.法向量：在空间直角坐标系中，三点两向量确定一个平面，分别于这两个向量垂直的向量也就是分别与这两个向量乘积为0的向量垂直于这个平面，也就叫这个平面的法向量。

证明线面垂直的方法：1.直线垂直于平面内两条相交直线，则线与面垂直。

2.两条平行线一条垂直于平面，则另一条也垂直于这个平面。

3.如果两个面垂直，则其中一个面内垂直交线的线垂直另一个平面。

4.如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面。

5.向量法。

就是用向量乘积为零则两向量垂直来证线线垂直，再用方法1来证。

（向量法一般不用来证线面垂直，多用于求二面角，线面角等）6.直线于平面的法向量共线。

证明面面垂直的方法：1.定义：两个平面相交，它们所成的二面角是直二面角。

2.如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直。

关于线面平行问题的探讨

关于线面平行问题的探讨刘玉扬中市第二高级中学中学二级教师摘要:本文重要通过几个例题，对高考中常见的线面平行问题做一些简单的探讨，主要讨论如何运用判定定理来证明线面平行问题。

关键词: 高考线面平行立体几何正文直线和平面平行是立体几何初步中的一类重要题型，如何判断并证明线面平行，也是历年高考中的常见题型。

本文拟从几个经典的线面平行例题出发，结合往年高考题对线面平行做进一步的探讨。

【例1】如图，E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，求证：（1）四点H G F E ,,,共面；（2）FGH BD E //平面，EFGH //平面AC 。

分析：（1）要证明H G F E ,,,四点共面，可以根据公理3的第3个推论，证明这四点所在的两条直线EH 和FG 平行，或者直线EF 和HG 平行；（2）易得，FG BD //，EF AC //，从而根据线面平行的判定定理证明。

解：（1）的中点，，分别为BC AB ,F EAC EF //∴同理 AC HG //，从而 HG EF //所以，直线EF 和直线HG 可以确定一个平面α，α⊂∈EF EF ，直线直线E ，α∈∴E 。

同理，α∈H G F ,,故H G F E ,,,四点共面。

（2）由（1）知，AC EF //，又EFGH 面⊂EF ，EFGH 面⊄AC ，EFGH //面AC ∴。

同理，EFGH //面BD点拨：本题是苏教版数学必修2第36页习题第3题，第（2）问主要考查线面平行的判定定理，比较简单。

【探究一】将上例改为：E ，F ，G ，分别是空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，的中点，试在边DA 上找一点H ，使得四点H G F E ,,,共面，并讨论当BD 和AC 满足什么关系时，四边形EFGH 为菱形、正方形？分析：本题可以利用线面平行的性质定理，将HG 看成是平面EFGH 与平面ACD 的交线，从而HG EF //，从而易知四边形EFGH 为平行四边形，再根据边的关系进一步探讨平行四边形ABCD 的形状。

立体几何中线面平行经典方法经典题附详细解答

高中立体几何证明平行方法) C的专题(基本立体几何中证明线面平行或面面平行都可线线平行，而证明线线平行一般有以下的一些 (1)通过“平移” 。

(2)利用三角形中位线的四边形的性质。

(4)利用对应线段成比例。

(5)利用面面平行，等等。

(1)通过“平移”再利用平行四边形的性质 1.如图，四棱锥P -ABCD 勺底面是平行四边形，点 E 、F 分转化为方法：性质。

(3)利用平行别为棱AB PD 的中点.证：AF//平面PCE 分析：取PC 的中点G,连EG., FG贝踢证AEGF四边形 2、如图，已知直角梯形 ABCD 中, AB// CD , AB 丄BC, AB是平(第 1题 BC=2, CD= 1+ 3 , 过A 作AE± CD 垂足为E, G F 分别为AD CE 的中点，现将△ ADE 沿 AE 折叠，使得DEI EC.(I)求证：BC 丄面CDE (U)求证：FG//面 BCD 分析：取DB 的中点H,连GH,HC 则易证FGHC 是平行四边形D E F C 3、已知直三棱柱 ABC- ABC 中，D, E, M 为BE 的中点，AC 丄BE.求证:分别为AA, CC i , AB/的 DC(I) CD 丄 BC; 分析：连EA 易证C i EAD 是平行四边形，于是4、如图所示，四棱锥P ABCD底面是直角梯形，证明:EB//平面PAD ; A B A B B 1FM. K 匚〃匚△ B 1«IVIr/ZEA w BA AD C \M AD,C D(U) C i D//平面 A gAB,E 为PC 的中点,A i F分析::取PD 的中点F ,连EF,AF 则易证ABEF 是平行四边形(2)利用三角形中位线的性质 5、如图，已知E 、F 、G 、M 分别是四面体的棱AD 、平面EFG 。

分析：连 MD 交GF 于 H,易证已日是厶AMD 勺中位线求证：AM //是平行四边形10、在四棱锥 P-ABCD 中, AB// CD, AB=- DC2是平行四边形CD, EF//AE,FG//EC,EG//AC . AB =2EF .(I) 若M 是线段AD 的中点，求证：GM //平面ABFE6、如图，ABCD 是正方形，0是正方形的中心, 中点。

平面几何平行线如何证明，用这种方法快速解题！

平面几何平行线如何证明，用这种方法快速解题！
数学几何是较为抽象而且难懂的内容之一，很多同学在学完这些内容解题时基本无从下手，实际上几何的证明就是由出题者设计出的一个迷宫，因为证明的结论都是成立的，只是我们不知道入口在什么地方，接下来的路该怎么走而已。

要想知道平面几何题如何解答，首先就要弄清楚相对性应的性质和定理，例如平行线有如下的性质和判定定理：
平行线性质1：两直线平行，同位角相等。

平行线性质2：两直线平行，内错角相等。

平行线性质3：两直线平行，同旁内角互补。

平行线判定1：同位角相等，两直线平行。

平行线判定2：内错角相等，两直线平行。

平行线判定3：同旁内角互补，两直线平行。

平行线判定4：如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行。

平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。

以上六种解法无一例外都用到了平行线的各大定理和判定条件，
由此可见对于平面几何来说，熟悉相对应的定理是做好这类证明题最关键的步骤，其次就是要掌握解题规律和知识规律，只有深入本质，才能一通百通，最后实现高分高能！
欢迎大家在评论处留言讨论！。

浅析线面平行的解题技巧

空间中的线面平行关系，在空间几何体中是出现频率非常高的一种位置关系。

线面平行问题是线面位置关系问题中的一种常见问题。

我们应本着以下步骤来看待这类问题：首先，解决问题应当立足于线面平行的判定定理；其次，在应用判定定理时应当在其中渗透“线面平行”转化为“线线平行”的数学思想；最后，解决“线线平行”这一问题时又要特别注意利用的比例关系来达到目的。

1、方法——直线与平面平行的判定定理（1）文字语言：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行（2）符号语言：a⊄α，b⊂α，a∥b=>a∥α例1如图1所示，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面相互垂直，EF∥AC,AB=2，CE=EF=1.求证：AF∥平面BDE证明：设AC与BD交于点G，因为EF∥AC，所以EF∥AG。

因为四边形ABCD为正方形，AB=2,则AC=2，所以AG=1/2AC=1，EF=1，所以四边形AGEF为平行四边形，于是有AF∥EG.又EG⊂平面BDE，AF⊄平面BDE,所以AF∥平面BDE.小结运用直线与平面平行的判定定理证明线面平行的目的很单纯，如该题就是围绕“AF∥EG”做文章。

只要“AF∥EG”那么“AF∥平面BDE”就成立。

2、技巧1——把“线面平行”转化为“线线平行”进行证明证明线面平行最直接的方法就是利用直线与平面平行的判定定理，即确定平面外的直线与平面内的一条直线平行，则平面外的直线就与该平面平行。

这一证明过程的本质就是把“线面平行”转化为“线线平行”进行证明。

例2如图2所示，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD 是边长为1的菱形，∠ABC=45°，OA⊥底面ABCD，M为OA的中点，N为BC的中点，证明：MN∥平面OCD证明：如图3所示，延长AN和DC，且两条直线相交于点H,再连接OH.由已知得BN=NC,∠ABN=∠HCN=45°，∠ANB=∠CNH，于是△ABN≅△HCN.所以AN=NH，即点N为线段AH的中点，∵点M为线段OA的中点，∴MN∥OH。

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ＡＢ、ＡＤ、所在的直线ＡＡ分别为ｚ轴、轴、ｚ轴建立空间直角坐标系，设
Ｆ（２２，Ａ（０，）ｚ，，）则０，０，
Ｂ（Ｏ，）Ｂ（，２，２，Ｏ，２Ｏ，）Ａ０，，）Ｅ（２１．（０２，０，，）
ＦＭ、Ａ１ＡＢ１ＤＣ１Ｍ、、．
１１１
平行于另一个平面． ③ 设ｚ是平面ａ外的一条直线，是Ｚ的一个方＇，
向向量，。ｖ是ａ内２个不共线的向量．／ａ存与ｚ／甘
在２个实数，使ｌ１ｖ．，，一＋ｙ２
Ｂ１，Ｆ，ＦＥｏＥ．
因为Ｅ是棱Ｄ的中Ｄ
点，０１／ＨＣ，则Ｂ／ＨＣ
ＥＦ，以０Ｂ所ＥＦ，四边
形０ＢＦ是平行四边形，Ｅ
ＢＦ／ｏＥ．／
因为ＢＦ平面
图２
ＡＥ，Ｅ（平面ＡＢＢ０二二Ｅ，
④ 设Ｚ平面ａ外的一条直线，是Ｚ的一个方是＇，
则ＡＭ寺ＡＢ ÷ＡＥ寺ＤＢ，ＮＢ，ＦＣ，
厶厶厶
ＡＢ／所以Ｂ１／ＤＣ．ＮＡＭ，ＮＥＦ，边形Ｂ四
向向量，ｎ是ａ的一个法向量．／ａ＝上，１ｔＩ１／ｖ．
依据上述４依据，面的试题有如下４种解题个上
思路．
ＡＢＮＭ和ＢＦ分别为平行四边形，ＮＥ所以ＭＮ／／
ＡＢ，ＮＦ／ＢＥ／．又ＭＮｎＮＦ＝Ｎ，以平面ＭＮＦ∥平面ＡＢ所Ｅ．因为平面ＭＮＦｎ平面ＡＢＣＤ一ＢＦ，以Ｂ。所ＦＣ平面ＭＮＦ，以ＢＦ∥平面ＡＥ所Ｂ．
一
条直线平行，么这条直线和这个平面平行．那 ② 如果两个平面平行，么一个平面内的直线必那
ＡＢＢＡ分别向上、向前延展得到以Ｍ、为中心的Ｎ
正方形ＡＢＱＰ和ＢＢＧＨ，接ＭＮ、连ＮＢ、ＮＦ、Ｆ、Ｅ
寻找实数对，使ＢＦ—ｍＢ，Ｅ＋ＢＡ．解法３如图５设正方体ＡｌＤ—ＡＢＣＤ，ＢＣ的
１４
种子牢记着雨滴献身的叮嘱，强了冒尖的勇气增
棱长为２以Ａ为原点，线，直
体ＡＢＤ— Ｂ１１ＣＡ１ＣＤ１中，
Ｅ是棱ＤＤ的中点．（）略．１（）在棱ＣＤ２上是
否存在点Ｆ，ＢＦ∥ 平使
面ＡＢＥ？证明你的结论．
让我们先来回顾一下证明直线与平面平行的理论依据：
— — —
所以ＢＥ一（２，１，一２，）
ＢＡ一（２０，）Ｂ＝一，２，Ｆ
（ｚ一２，０１２，）．
— — — — — — — — —
图５
｝
— ——— —＋
◇
山东
孙梅彦
．
设Ｂ１Ｆ＝ｍＢＥ＋７ＢＡ１即（ｚ，一２２，），Ｏ一
所以ＢＦ ∥平面ＡＢ故Ｅ．
◇ 北京何爽
当Ｆ为棱ＣＤ的中点时，／平面ＡＢＢＦ／Ｅ．
直线与平面平行问题是高中数学新课程中的重要内容，高考的热点．面平行中更为深刻的内容是线
．
故当Ｆ为棱ｃＤ的中点时， ∥平面ＡＢＥＢＦ．分析３设棱ｃＤ上存在点Ｆ，ＢＦ∥ 平面使
ＡＢ适当建立空间直角坐标系并设出点Ｆ的坐标，Ｅ．
— — — — —
＋
—— —＋
— —— —— ÷
是探究线面平行的存在性问题，这是考查考生分析问题，运用所学知识解决问题的一种好题型．请看２１００年陕西理第１题：８
如图１所示，正方在
喜
面Ａ１ＢＥ．
主兰
平面ＡＢＥ，平面ＡＢ从而有ＢＦ／ＢＦＥ，／平
分析１注意到Ｅ是正方体ＡＢＤ— ＣＡＢＣＤ棱ＤＤ的中点，０为ＡＢ的中点，０取则Ｅ∥ 平面
ＡＢＣＤ．０Ｅ与Ｂ由确定的平面交棱ＣＤ于Ｆ，满足ＢＦ ∥平面ＡＢＥ，时Ｆ为棱Ｃ。的中点．此Ｄ解法ｌ如图２在正方体ＡＢＤ— ＢＣＤ，ＣＡ棱ＤＤ中，接ＡＢ与ＡＢ连交于点０，接Ｃ与连ＤＤＣ交于点Ｈ，接０Ｈ．棱ＣＤ连取的中点Ｆ，接连
图１
圈３图４
分析２过点Ｂ。作平面使之与平面ＡＢＥ平行，
则这个平面与平面ＡＢＣＤ的交线即为ＢＦ．解法２如图４取棱ＣＤ，的中点Ｆ，面把
① 如果不在一个平面内的一条直线和平面内的