投资组合基础理论

题解：
ra = 0.5 × 0.21 + 0.5 × 0.15 = 0.18
σ a 2 = [(0.5 × 18) 2 + (0.5 × 16) 2 + 2 × (−0.4 × 0.5 × 0.5 × 18 × 16)] = 87.4%
σ a = 9.34%
用矩阵的形式表示的投资组合的风险
σ (ω′x) = ω′Σω
⑴随机向量的协方差(covariance) ⑵相关系数(coefficient of correlation) ⑶用协方差表示的投资组合的风险 ⑷用矩阵的形式表示的投资组合的风险
随机向量的协方差
协方差(covariance) 的定义：
EX EY 设 ( X , Y ) 为二维随机向量， ， 均存在，
i = 1,2, L , n
例题： 例题：
2005年9月12日至9月16日的一个交易周内， 按成交量排名的前20位股票如下表所列。 假设A投资组合是在自9月12日开盘至9月 16日收盘的这段投资期间内由这20种的股 票的每种股票各100股所构成的一个投资组 合，则问每一股股票在A投资组合中所占的 权重为多少？
t =1
n
例题： 例题：
求上一个例题中的A投资组合的收益为多少？
演示用Excel计算A投资组合的收益
3．投资组合的风险
按照方差的定义，投资组合的方差可以按 照下面的方法算出。
投资组合的方差公式
σ p = ∑ wi ( E 来自 Ri ) − E ( R p ))
2 i =1
n
2
投资组合的标准差公式
演示用Excel计算每种股票的权重
2．投资组合的收益
投资组合的收益率取决于两个因素：各种 资产的类别；各种资产的投资比率。投资 组合的期望收益率记作 E ( R p ) ，其大小等 于投资组合中各种资产的平均收益率与各 自的投资比重的乘积之和，即：
投资组合的收益公式
E ( R p ) = ∑ wi E ( Ri )
σ=
∑ p (r − E (r ))
i =1 i i
n
2
方差的统计学含义
方差或者标准差的数值越大就表示投资收 益偏离预期收益的幅度越大，也就意味着 投资的风险越大。
例题： 例题：
已知某种证券在市场状况较好的情况下的 投资收益率为45%，在市场情况较差的情 况下的投资收益率为-15%，又已知未来市 场状况转好的可能性为60%，市场状况转 坏的可能性为40%，则该证券期望收益的 方差和标准差为多少？
2
收益的方差
在数学上，方差反映的是一个随机变量对 于其数学期望的偏离程度。同时，由于我 们把投资的风险定义为投资收益偏离预期 收益的潜在可能性，因此我们可以用预期 收益的方差来作为衡量风险的标准。
单个资产的方差公式
σ = ∑ pi (ri − E (r ))
2 i =1
n
2
单个资产的标准差公式
σp =
∑w (E(R ) − E(R ))
i=1 i i p
n
2
例题： 例题：
求上一个例题中的A投资组合的方差和标准 差为多少？
演示用Excel计算A投资组合的方 差和标准差
三．资产的相关关系和投资组合的风险规 避
1．资产的相关关系 2．投资组合的风险规避
1．资产的相关关系
dependency relationship
如果 存在，则称其为 E[( X − EX )(Y − EY )] ， 随机变量X与Y的协方差，记作 即： X , Y ) cov(
cov( X , Y ) = E[( X − EX )(Y − EY )]
注：
在Excel中可以用COVAR函数计算两组数 据的协方差。
相关系数 (coefficient of correlation)
假设某种证券资产在A情况下的收益率为 35%，在B情况下的投资收益率为15%，在 C情况下的投资收益率为-20%。A、B、C 三种情况发生的概率分别为20%，50%和 30%，求这种证券资产预期收益的标准差 和方差。
二．投资组合的风险与收益
1．投资组合的构成 2．投资组合的收益 3．投资组合的风险
单个资产的期望收益公式
E (r ) = ∑ pi ri
i =1
n
例题： 例题：
已知某种证券在市场状况较好的情况下的 投资收益率为45%，在市场情况较差的情 况下的投资收益率为-15%，又已知未来市 场状况转好的可能性为60%，市场状况转 坏的可能性为40%，则该证券的期望收益 为多少？
解答：
E(r) = 45%× 60% + (−15%× 40%) = 0.27 − 0.06 = 0.21 = 21%
相关系数的定义： 设 ( X , Y ) 是一个二维随机向量， 和 Y 的方差均 X 存在，且均为正，则称
ρ X ,Y =
为
cov( X , Y ) DX DY
X 与 Y 之间的相关系数。
注：
“
ρ
”的读音为“rho”。
用协方差表示的投资组合的风险
如果将资产 i 和资产 j 之间的协方差记 为 σ ij ，则投资组合的方差也可以表示为：
练习题： 练习题：
假设某种证券资产在A情况下的收益率为 35%，在B情况下的投资收益率为15%，在 C情况下的投资收益率为-20%。A、B、C 三种情况发生的概率分别为20%，50%和 30%，求这种证券资产的预期收益。
2．收益的方差
Variance
方差(variance)和标准差(standard deviation) ：
1．投资组合的构成
资产组合就是由几种资产构成的组合。投 资者可以按照各种比率（或者称为比重或 权重）将其财富分散投资于
n 种资产上，
假设投资者选择投在种资产上的比重 为 w1 、w2 、…、w ，则有如下限制条件： n
w1 + w2 + L + wn = ∑ wi = 1
i =1
,
n
wi ≥ 0
n n
σ p = ∑ ∑ w i w j σ ij
2 i =1 j =1
进一步的投资组合的方差的公式也可以写成：
σ p = ∑ wi σ i + 2∑∑ wi w j σ iσ j ρ i , j
2 2 2 i =1 i =1 j =1 j >i
n
n
n
例题： 例题：
假如我们要构造一个能源投资的Ace组合， 我们选择了雪佛龙德士古(Chevron Texaco)石油公司和巴罗德(Ballard)燃料电 池公司。由于燃料公司提供了替代汽油的 清洁能源，所以这两家公司的股票价格运 动方向相反。我们设ρ = −0.4 ，雪佛龙德士 古公司股票的标准差和预期回报分别 是： c = 18% ，rc = 21 % 。巴罗德公司股票的 σ rb σ 标准差和预期回报分别是：b = 16%， = 15%。 求解Ace组合的标准差和预期回报。
进一步，如果资产组合中的资产两两不 相关，此时投资组合的风险通过分散化投 资可以完全消除。但是这种情况在现实生 活中不可能出现，因为资本市场上的资产 价格不可避免地会受到某个共同因素的影 响，不可能表现为完全不相关的情况。
在资本市场上的一般情况下，即资产不是处于 完全不相关时的情况。我们知道充分的分散化 能够消除资产组合的部分风险，但不能消除组 合的全部风险。可以消除的那部分风险称为非 系统性风险(unsystematic risk)；不能够完全消 除的那部分风险称为系统性风险(systematic risk)，这也是资本市场上的一般情况。
第三讲 投资组合理论基础
the basic portfolio theory
投资组合理论基础
一．单个资产的收益和风险 二．投资组合的风险与收益 三．资产的相关关系和投资组合的风险规避
谢谢听讲！再见
一．单个资产的收益和风险
1．期望收益(expected return)
2．收益的方差(Variance)
名次 股票代码 股票简称 开盘价 收盘价 持有股数
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 600050 600019 600028 600005 600036 600210 600015 600688 600900 600030 600177 600247 600027 600029 600086 600816 600851 600797 600642 600747 中国联通 G 宝 钢 中国石化 武钢股份 招商银行 G 紫 江 华夏银行 上海石化 G 长 电 G 中 信 雅 戈 尔 G 物 华 华电国际 南方航空 *ST多 佳 *ST安 信 海欣股份 浙大网新 G 申 能 大显股份 2.67 4.45 4.32 3.66 6.86 2.5 4.3 3.8 7.72 0 3.93 2.53 3.08 2.75 1.6 2.69 3.78 3.73 5.72 2.35 2.69 4.46 4.25 3.69 6.85 2.55 4.4 3.9 7.53 5.1 3.86 2.81 3.17 2.79 1.76 3.02 4.27 3.82 5.99 2.52 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100
∞
在，并且其数学期望记作 EX，定义为：
EX = ∑ xi pi
i =1
期望收益
对于风险资产而言，其未来的收益是一个 随机变量。在不同的经济条件下，这个随 机变量将取不同的值，而每一种经济条件 的出现都有其概率。把资产收益的不同取 值乘以不同经济条件出现的概率，就能够 对该资产未来的收益做出估计。
1．期望收益