Matlab数值积分与数值微分
Matlab中常用的数值计算方法
Matlab中常用的数值计算方法数值计算是现代科学和工程领域中的一个重要问题。
Matlab是一种用于数值计算和科学计算的高级编程语言和环境，具有强大的数值计算功能。
本文将介绍Matlab中常用的数值计算方法，包括数值积分、数值解微分方程、非线性方程求解和线性方程组求解等。
一、数值积分数值积分是通过数值方法来近似计算函数的定积分。
在Matlab中，常用的数值积分函数是'quad'和'quadl'。
'quad'函数可以用于计算定积分，而'quadl'函数可以用于计算无穷积分。
下面是一个使用'quad'函数计算定积分的例子。
假设我们想计算函数f(x) = x^2在区间[0, 1]上的定积分。
我们可以使用如下的Matlab代码：```f = @(x) x^2;integral = quad(f, 0, 1);disp(integral);```运行这段代码后，我们可以得到定积分的近似值，即1/3。
二、数值解微分方程微分方程是描述自然界各种变化规律的数学方程。
在科学研究和工程应用中，常常需要求解微分方程的数值解。
在Matlab中，可以使用'ode45'函数来求解常微分方程的数值解。
'ode45'函数是采用基于Runge-Kutta方法的一种数值解法。
下面是一个使用'ode45'函数求解常微分方程的例子。
假设我们想求解一阶常微分方程dy/dx = 2*x，初始条件为y(0) = 1。
我们可以使用如下的Matlab代码：```fun = @(x, y) 2*x;[x, y] = ode45(fun, [0, 1], 1);plot(x, y);```运行这段代码后，我们可以得到微分方程的数值解，并绘制其图像。
三、非线性方程求解非线性方程是指方程中包含非线性项的方程。
在很多实际问题中，我们需要求解非线性方程的根。
Matlab中的数值积分和微分方法
Matlab中的数值积分和微分方法在数学和工程领域，数值积分和微分是解决问题的常见方法之一。
而在计算机科学中， Matlab作为一种强大的数值计算软件，提供了许多数值积分和微分的函数，使得这两个问题的解决变得更加简单和高效。
本文将探讨 Matlab 中常用的数值积分和微分方法，包括不定积分、定积分、数值微分和高阶数值微分。
我们将逐一讨论这些方法的原理和使用方法，并展示一些实际的应用案例，以帮助读者更好地理解和应用这些技术。
一、不定积分不定积分是指求一个函数的原函数。
在 Matlab 中，我们可以使用 `int` 函数来实现不定积分的计算。
例如，如果我们想求解函数 f(x) = x^2 的不定积分，可以使用下面的代码：```syms x;F = int(x^2);```这里的 `syms x` 表示将 x 定义为一个符号变量，`int(x^2)` 表示求解函数 x^2 的不定积分。
得到的结果 F 将是一个以 x 为变量的符号表达式。
除了求解简单函数的不定积分外，Matlab 还支持求解复杂函数的不定积分，例如三角函数、指数函数等。
我们只需要将函数表达式作为 `int` 函数的参数即可。
二、定积分定积分是指求函数在一个闭区间上的积分值。
在 Matlab 中，我们可以使用`integral` 函数来计算定积分。
例如，如果我们想计算函数 y = x^2 在区间 [0, 1] 上的积分值，可以使用下面的代码：```y = @(x) x^2;result = integral(y, 0, 1);```这里的 `@(x)` 表示定义一个匿名函数，`integral(y, 0, 1)` 表示求解函数 y = x^2 在区间 [0, 1] 上的积分。
得到的结果 result 将是一个数值。
与不定积分类似，Matlab 还支持对复杂函数求解定积分，只需要将函数表达式作为 `integral` 函数的第一个参数，并指定积分的区间。
Matlab与工程计算 第七章 数值积分、微分
Xiamen University
Matlab and Engineering Calculation
dx=diff(f([x,3.01]))/0.01; %直接对f(x)求数值导数 gx=g(x); %求函数f的导函数g在假设点的导数
plot(x,dpx,x,dx,'.',x,gx, 'r-'); %作图
Xiamen University
Matlab and Engineering Calculation
f ' ( x) =
f ( x + h) − f ( x ) h
Xiamen University
Matlab and Engineering Calculation
例6-6 生成以向量V=[1,2,3,4,5,6]为基础的范得蒙矩阵，按列 进行差分运算。 命令如下： V=vander(1:6) DV=diff(V) %计算V的一阶差分
7.1.2 数值积分的实现方法(Quadrature)
1．自适应辛普生法 基于变步长辛普生法，MATLAB给出了quad函数来 求定积分。该函数的调用格式为： [I,n]=quad(fun,a,b,tol,trace) fun是被积函数名、句柄或内联函数对象; a和b分别是定积分的下限和上限; tol用来控制积分精度，缺省时取tol=10-6; trace控制是否展现积分过程，若取非0则展现积分过 程，取0则不展现，缺省时取trace=0 I即定积分值，n为被积函数的调用次数。
如何在Matlab中进行数值积分和数值解
如何在Matlab中进行数值积分和数值解在数学和工程领域，数值积分和数值解是常见的技术手段，可以帮助我们求解复杂的数学问题和实际工程中的模型。
本文将介绍如何使用Matlab进行数值积分和数值解，以及一些注意事项和常用的方法。
一、数值积分数值积分是计算定积分的近似值的方法，可以通过数值逼近或数值插值来实现。
在Matlab中，有几种常用的函数可以用于数值积分，比如trapz、quad等。
1. trapz函数trapz函数是用梯形法则计算积分的函数。
它的使用方法是将要积分的函数作为输入的第一个参数，x轴上的点作为输入的第二个参数。
例如，要计算函数f(x)在区间[a, b]上的积分，可以使用以下代码：result = trapz(x, f(x));2. quad函数quad函数是使用自适应数值积分算法计算积分的函数。
它的使用方法是将要积分的函数作为输入的第一个参数，积分区间的下限和上限作为输入的第二个和第三个参数。
例如，要计算函数f(x)在区间[a, b]上的积分，可以使用以下代码：result = quad(@(x) f(x), a, b);二、数值解数值解是使用数值方法求解复杂的数学问题或实际工程中的模型的近似解。
在Matlab中，有几种常用的函数可以用于数值解，比如fsolve、ode45等。
1. fsolve函数fsolve函数是用于求解非线性方程组的函数。
它的使用方法是将非线性方程组表示为一个函数，然后将该函数作为输入的第一个参数。
例如，要求解方程组f(x) = 0，可以使用以下代码：x = fsolve(@(x) f(x), x0);其中x0是方程的初始猜测值。
2. ode45函数ode45函数是求解常微分方程初值问题的函数。
它的使用方法是将微分方程表示为一个函数，然后将该函数作为输入的第一个参数。
例如，要求解常微分方程dy/dx = f(x, y)，可以使用以下代码：[t, y] = ode45(@(t, y) f(t, y), tspan, y0);其中tspan是时间区间，y0是初始条件。
matlab中的微分方程的数值积分
MATLAB是一种流行的数学软件，用于解决各种数学问题，包括微分方程的数值积分。
微分方程是许多科学和工程问题的数学描述方式，通过数值积分可以得到微分方程的数值解。
本文将介绍在MATLAB中如何进行微分方程的数值积分，以及一些相关的技巧和注意事项。
一、MATLAB中微分方程的数值积分的基本方法1. 常微分方程的数值积分在MATLAB中，常微分方程的数值积分可以使用ode45函数来实现。
ode45是一种常用的数值积分函数，它使用4阶和5阶Runge-Kutta 方法来求解常微分方程。
用户只需要将微分方程表示为函数的形式，并且提供初值条件，ode45就可以自动进行数值积分，并得到微分方程的数值解。
2. 偏微分方程的数值积分对于偏微分方程的数值积分，在MATLAB中可以使用pdepe函数来实现。
pdepe可以求解具有定解条件的一维和二维偏微分方程，用户只需要提供偏微分方程的形式和边界条件，pdepe就可以进行数值积分，并得到偏微分方程的数值解。
二、在MATLAB中进行微分方程数值积分的注意事项1. 数值积分的精度和稳定性在进行微分方程的数值积分时，需要注意数值积分的精度和稳定性。
如果数值积分的精度不够，可能会导致数值解的误差过大；如果数值积分的稳定性差，可能会导致数值解发散。
在选择数值积分方法时，需要根据具体的微分方程来选择合适的数值积分方法，以保证数值解的精度和稳定性。
2. 初值条件的选择初值条件对微分方程的数值解有很大的影响，因此在进行微分方程的数值积分时，需要选择合适的初值条件。
通常可以通过对微分方程进行分析，或者通过试验求解来确定合适的初值条件。
3. 数值积分的时间步长在进行微分方程的数值积分时，需要选择合适的时间步长，以保证数值积分的稳定性和效率。
选择时间步长时，可以通过试验求解来确定合适的时间步长，以得到最优的数值解。
三、MATLAB中微分方程数值积分的实例以下通过一个简单的例子来演示在MATLAB中如何进行微分方程的数值积分。
如何在MATLAB中进行数值计算
如何在MATLAB中进行数值计算1.基本数学操作：-加法、减法、乘法、除法：使用+、-、*、/操作符进行基本算术运算。
-幂运算：使用^或.^(点乘)操作符进行幂运算。
- 开平方/立方：可以使用sqrt(或power(函数进行开平方和立方运算。
2.矩阵操作：- 创建矩阵：可以使用矩阵构造函数如zeros(、ones(、rand(等创建矩阵。
- 矩阵运算：使用*操作符进行矩阵相乘，使用transpose(函数进行矩阵转置。
- 矩阵求逆和求解线性方程组：使用inv(函数求矩阵的逆，使用\操作符求解线性方程组。
3.数值积分和微分：- 数值积分：使用integral(函数进行数值积分。
可以指定积分函数、积分上下限和积分方法。
- 数值微分：使用diff(函数进行数值微分。
可以指定微分函数和微分变量。
4.解方程：- 一元方程：使用solve(函数可以解一元方程。
该函数会尝试找到方程的精确解。
- 非线性方程组：使用fsolve(函数可以求解非线性方程组。
需要提供初始值来开始求解过程。
-数值方法：可以使用牛顿法、二分法等数学方法来求解方程。
可以自定义函数来实现这些方法。
5.统计分析：- 统计函数：MATLAB提供了丰富的统计分析函数，如mean(、std(、var(等用于计算均值、标准差、方差等统计量。
- 直方图和密度估计：使用histogram(函数可以绘制直方图，并使用ksdensity(函数进行核密度估计。
- 假设检验：使用ttest(或anova(函数可以进行假设检验，用于比较多组数据之间的差异。
6.数值优化：- 非线性最小化：使用fminunc(函数可以进行非线性最小化。
需要提供目标函数和初始点。
- 线性规划：使用linprog(函数可以进行线性规划。
需要提供目标函数和限制条件。
- 整数规划：使用intlinprog(函数可以进行整数规划。
需要提供目标函数和整数约束。
7.拟合曲线：- 线性拟合：使用polyfit(函数进行线性拟合。
数值积分与微分MATLAB公式
数值积分与微分实验目的：1）用matlab软件掌握梯形公式、辛普森公式和蒙特卡罗方法计算数值积分；2）通过实例学习用数值积分和数值微分解决实际问题。
实验内容：第一题：用梯形、辛普森和蒙特卡罗方法计算积分。
改变步长（对梯形），改变精度要求（对辛普森），改变随机点数目（对蒙特卡罗），进行比较、分析。
1e22x-,-2≤x≤2y=π2解：用三种方法计算积分的源程序如下：10-,108-；对对梯形公式取h=4/50,4/100,4/10000;对辛普森分别取精度为103-，7从得到的结果可以看到对梯形公式，步长越小，计算的积分结果越准确；对于辛普森公式，在一般的103-精度下结果已经很准确（小数点后前六位均为准确数字），提高精度后结果更加精确，可见辛普森具有很高的优越性，但它的局限性在于必须要有函数解析式；对于蒙特卡罗方法，虽然结果具有随机性，但随着n 增大，得到的结果越来越接近准确值。
解：用中点公式计算导数k.则∆P＝k∆V。
因为∆V＝1，所以∆P数值上等于k。
取h=0.1，利用三次样条计算P在V－h，V+h处的数值，从而利用中点公式计算导数。
结果为 ∆p =2.3341（2/in lbf ） 同理可以算出V=50时,∆p=2.7891（2/in lbf ） 求导的问题也可以用书后补充知识中样条求导的方法解决，计算后可以得到相同结果。
利用三次样条插值计算V 在40～70之间时相应的一系列P 值，然后用梯形公式计算积分即得气体作功。
第三题：冰淇淋的下部为锥体，上部为半球。
设它由锥面z=22y x +和球面1)1(222=-++z y x 围成，用蒙特卡罗方法计算它的体积。
解：两个曲面方程联立可以解得几何体的边界方程为单位圆：22y x +＝1。
应用蒙特卡罗均值估计法计算体积的思路如下：利用计算机每次产生两个0～1的随机数x,y ，若落在单位圆内，则计算球面与锥面上在（x,y ）处的z 值之差，产生n 次随机数，并将得到的z 值累加，累即所求冰淇淋的体积为3.1336。
matlab 常微分方程 数值积分 间断点处理
MATLAB是一种流行的数学软件，常被用于解决数值计算问题。
在数学建模中，常微分方程是一个重要的领域，而MATLAB提供了许多工具来进行常微分方程的数值积分。
然而，当常微分方程存在间断点时，数值积分就变得更加复杂和有挑战性。
本文将介绍MATLAB中常微分方程数值积分的基本概念和方法，以及如何处理常微分方程中的间断点。
一、常微分方程数值积分基本概念1. 常微分方程（ODE）是描述自变量和函数的导数之间关系的方程。
常微分方程的解通常是一组函数，这些函数满足原方程。
常微分方程数值积分是通过数值方法来求解常微分方程的近似解。
2. 在MATLAB中，常微分方程数值积分的基本函数是ode45，它是一种采用龙格-库塔方法（Runge-Kutta method）的数值积分器。
ode45通过迭代计算来逼近常微分方程的解，并返回一个包含解的矩阵。
3. 通常，数值积分的精度会随着步长的减小而提高，但这也会增加计算时间。
选择合适的步长对于数值积分的精度和计算效率都是非常重要的。
在MATLAB中，可以通过设定选项参数来调整ode45的步长和其他计算参数。
二、处理常微分方程中的间断点1. 当常微分方程中存在间断点时，数值积分就会变得更加复杂。
间断点可能发生在函数本身的值上，也可能发生在函数的导数上，这会导致数值积分器无法正确估计解在间断点附近的行为。
2. 为了处理常微分方程中的间断点，可以在MATLAB中使用事件函数。
事件函数是一个在特定条件下触发的MATLAB函数，它可以用来检测常微分方程的解是否接近于一个间断点，并在这种情况下对数值积分进行调整。
3. 通过给ode45函数指定事件函数，可以让数值积分器在接近间断点时自动调整步长，以保证数值积分的精度和稳定性。
这种方法在处理常微分方程中的间断点时非常有效，能够提高数值积分的精度和计算效率。
三、总结在MATLAB中，常微分方程数值积分是一个重要的数值计算工具，在实际工程和科学计算中有着广泛的应用。
matlab的积分函数
matlab的积分函数一、引言积分是数学中的一个重要概念，它是微积分的核心内容之一。
在实际应用中，积分可以用来计算曲线下面的面积、求解定积分、解决微分方程等问题。
在MATLAB中，有多种方法可以进行积分计算，包括符号积分、数值积分等。
本文将介绍MATLAB中的数值积分函数，包括quad、quadl、quadgk和integral。
这些函数可以用来计算定积分和不定积分，并且具有高精度和高效率的特点。
二、数值积分函数1. quad函数quad函数是MATLAB中最基本的数值积分函数之一，它可以用来计算定积分。
其语法格式如下：I = quad(fun,a,b)其中fun表示被积函数句柄（或匿名函数），a和b表示求解区间。
该函数返回一个标量I，表示被积函数在[a,b]区间上的定积分值。
例如，我们想要求解sin(x)在[0,pi]区间上的定积分，则可以使用如下代码：fun = @(x) sin(x);a = 0;b = pi;I = quad(fun,a,b)运行结果为：I =2.00002. quadl函数quadl函数是MATLAB中专门用于计算有限区间上的定积分的函数。
其语法格式如下：I = quadl(fun,a,b)其中fun表示被积函数句柄（或匿名函数），a和b表示求解区间。
该函数返回一个标量I，表示被积函数在[a,b]区间上的定积分值。
例如，我们想要求解sin(x)在[0,pi]区间上的定积分，则可以使用如下代码：fun = @(x) sin(x);a = 0;b = pi;I = quadl(fun,a,b)运行结果为：I =2.0000与quad函数相比，quadl函数对于有限区间上的定积分计算更加精确。
3. quadgk函数quadgk函数是MATLAB中用于计算任意区间上的定积分的高斯-库恩数值积分法的函数。
其语法格式如下：I = quadgk(fun,a,b)其中fun表示被积函数句柄（或匿名函数），a和b表示求解区间。
数值分析实验(4)
页脚内容1实验四 数值积分与数值微分专业班级：信计131班 姓名：段雨博 学号：2013014907 一、实验目的1、熟悉matlab 编程。
2、学习数值积分程序设计算法。
3、通过上机进一步领悟用复合梯形、复合辛普森公式，以及用龙贝格求积方法计算积分的原理。
二、实验题目 P1371、用不同数值方法计算积分049xdx =-⎰。
（1）取不同的步长h .分别用复合梯形及复合辛普森求积计算积分，给出误差中关于h 的函数，并与积分精确值比较两个公式的精度，是否存在一个最小的h ，使得精度不能再被改善？（2）用龙贝格求积计算完成问题（1）。
三、实验原理与理论基础1.1复合梯形公式及其复合辛普森求解[]()()()11101()()222n n n k k k k k h h T f x f x f a f x f b --+==⎡⎤=+=++⎢⎥⎣⎦∑∑误差关于h 的函数：()()212n b a R fh f η-''=-页脚内容2复合辛普森公式：()()()()111/201426n n n k k k k h S f a f x f x f b --+==⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦∑∑误差关于h 的函数：()()441802n n b a h R f I S f η-⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭1.2龙贝格求积算法：龙贝格求积公式是梯形法的递推化，也称为逐次分半加速法，它是在梯形公式、辛普森公式和柯特斯公式之间的关系的基础上，构造出一种计算积分的方法，同时它有在不断增加计算量的前提下提高误差的精度的特点。
计算过程如下：（1）取0,k h b a ==-，求：()()()[]()00.,.2hT f a f b k a b =+→⎡⎤⎣⎦令k 1记为区间的二分次数 （2）求梯形值02k b a T -⎛⎫⎪⎝⎭即按递推公式12102122n n n k k h T T f x -+=⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑计算0k T .（3）求加速值，按公式()()()111444141m m k k k mm m m m T T T +--=---逐个求出T 表的地k 行其余各元素()()1,2,,k j j T j k -=（4）若()()001k k T T ε--<（预先给定的精度），则终止计算，并取()()0;1k T I k k ≈+→否则令转（2）继续计算。
数值分析matlab实验报告
数值分析matlab实验报告数值分析 Matlab 实验报告一、实验目的数值分析是研究各种数学问题数值解法的学科，Matlab 则是一款功能强大的科学计算软件。
本次实验旨在通过使用 Matlab 解决一系列数值分析问题，加深对数值分析方法的理解和应用能力，掌握数值计算中的误差分析、数值逼近、数值积分与数值微分等基本概念和方法，并培养运用计算机解决实际数学问题的能力。
二、实验内容（一）误差分析在数值计算中，误差是不可避免的。
通过对给定函数进行计算，分析截断误差和舍入误差的影响。
例如，计算函数＄f(x) ＝＼sin(x)＄在＄x ＝ 05$ 附近的值，比较不同精度下的结果差异。
（二）数值逼近1、多项式插值使用拉格朗日插值法和牛顿插值法对给定的数据点进行插值，得到拟合多项式，并分析其误差。
2、曲线拟合采用最小二乘法对给定的数据进行线性和非线性曲线拟合，如多项式曲线拟合和指数曲线拟合。
（三）数值积分1、牛顿柯特斯公式实现梯形公式、辛普森公式和柯特斯公式，计算给定函数在特定区间上的积分值，并分析误差。
2、高斯求积公式使用高斯勒让德求积公式计算积分，比较其精度与牛顿柯特斯公式的差异。
（四）数值微分利用差商公式计算函数的数值导数，分析步长对结果的影响，探讨如何选择合适的步长以提高精度。
三、实验步骤（一）误差分析1、定义函数｀compute_sin_error` 来计算不同精度下的正弦函数值和误差。
｀｀｀matlabfunction value, error ＝ compute_sin_error(x, precision)true_value ＝ sin(x)；computed_value ＝ vpa(sin(x)， precision)；error ＝ abs(true_value computed_value)；end｀｀｀2、在主程序中调用该函数，分别设置不同的精度进行计算和分析。
（二）数值逼近1、拉格朗日插值法｀｀｀matlabfunction L ＝ lagrange_interpolation(x, y, xi)n ＝ length(x)；L ＝ 0;for i ＝ 1:nli ＝ 1;for j ＝ 1:nif j ～＝ ili ＝ li （xi x(j)）／（x(i) x(j)）；endendL ＝ L ＋ y(i) li;endend｀｀｀2、牛顿插值法｀｀｀matlabfunction N ＝ newton_interpolation(x, y, xi)n ＝ length(x)；％计算差商表D ＝ zeros(n, n)；D(：， 1) ＝ y'；for j ＝ 2:nfor i ＝ j:nD(i, j) ＝（D(i, j 1) D(i 1, j 1)）／（x(i) x(i j ＋ 1)）；endend％计算插值结果N ＝ D(1, 1)；term ＝ 1;for i ＝ 2:nterm ＝ term （xi x(i 1)）；N ＝ N ＋ D(i, i) term;endend｀｀｀3、曲线拟合｀｀｀matlab％线性最小二乘拟合p ＝ polyfit(x, y, 1)；y_fit_linear ＝ polyval(p, x)；％多项式曲线拟合p ＝ polyfit(x, y, n)；％ n 为多项式的次数y_fit_poly ＝ polyval(p, x)；％指数曲线拟合p ＝ fit(x, y, ＇exp1'）；y_fit_exp ＝ p(x)；｀｀｀（三）数值积分1、梯形公式｀｀｀matlabfunction T ＝ trapezoidal_rule(f, a, b, n)h ＝（b a) ／ n;x ＝ a:h:b;y ＝ f(x)；T ＝ h （（y(1) ＋ y(end)）／ 2 ＋ sum(y(2:end 1)））；end｀｀｀2、辛普森公式｀｀｀matlabfunction S ＝ simpson_rule(f, a, b, n)if mod(n, 2) ～＝ 0error(＇n 必须为偶数'）；endh ＝（b a) ／ n;x ＝ a:h:b;y ＝ f(x)；S ＝ h ／ 3 （y(1) ＋ 4 sum(y(2:2:end 1)）＋ 2 sum(y(3:2:end 2)）＋ y(end)）；end｀｀｀3、柯特斯公式｀｀｀matlabfunction C ＝ cotes_rule(f, a, b, n)h ＝（b a) ／ n;x ＝ a:h:b;y ＝ f(x)；w ＝ 7, 32, 12, 32, 7 ／ 90;C ＝ h sum(w y)；end｀｀｀4、高斯勒让德求积公式｀｀｀matlabfunction G ＝ gauss_legendre_integration(f, a, b)x, w ＝ gauss_legendre(5)；％选择适当的节点数t ＝（b a) ／ 2 x ＋（a ＋ b) ／ 2;G ＝（b a) ／ 2 sum(w f(t)）；end｀｀｀（四）数值微分｀｀｀matlabfunction dydx ＝ numerical_derivative(f, x, h)dydx ＝（f(x ＋ h) f(x h)）／（2 h)；end｀｀｀四、实验结果与分析（一）误差分析通过不同精度的计算，发现随着精度的提高，误差逐渐减小，但计算时间也相应增加。
MATLAB中的微积分运算（数值符号）
MATLAB中的微积分运算（数值符号）显然这个函数是单词differential（微分）的简写，⽤于计算微分。
实际上准确来说计算的是差商。
如果输⼊⼀个长度为n的⼀维向量，则该函数将会返回长度为n-1的向量，向量的值是原向量相邻元素的差，于是可以计算⼀阶导数的有限差分近似。
(1)符号微分1.常⽤的微分函数函数:diff(f) 求表达式f对默认⾃变量的⼀次微分值diff(f,x) 求表达式f对⾃变量x的⼀次积分值diff(f,n) 求表达式f对默认⾃变量的n次微分值diff(f,t,n)求表达式f对⾃变量t的n次微分值>> x=1:10x =1 2 3 4 5 6 7 8 9 10>> diff(x)ans =1 1 1 1 1 1 1 1 1例1:求矩阵中各元素的导数求矩阵[1/(1+a) (b+x)/cos(x)1/(x*y) exp(x^2)]对x的微分,可以输⼊以下命令A = sym('[1/(1+a),(b+x)/cos(x);1,exp(x^2)]');B = diff(A,'x')可得到如下结果:例2:求偏导数求的偏导数。
syms x y;f = x*exp(y)/y^2;fdx = diff(f,x)fdy = diff(f,y)可得到如下结果：例3:求复合函数的导数求的导数sym('x');y = 'x*f(x^2)'y1 = diff(y,'x')得到结果如下：例4:求参数⽅程的导数对参数⽅程求导syms a b tf1 = a*cos(t);f2 = b*sin(t);A = diff(f2)/diff(f1) %此处代⼊了参数⽅程的求导公式B = diff(f1)*diff(f2,2)-diff(f1,2)*diff(f2)/diff(f1)^3 %求⼆阶导数可得到如下结果：例5:求隐函数的导数求的⼀阶导数syms x yp = 'x*y(x)-exp(x+y(x))'%隐函数可进⾏整体表⽰%注意y（x）这种写法，它代表了y是关于x的函数p1 = diff(p,x)可得到如下结果：2.符号积分1符号函数的不定积分函数:int功能:求取函数的不定积分语法:int(f)int(f,x)说明:第⼀个是求函数f对默认⾃变量的积分值;第⼆个是求⾃变量f对对⾃变量t的不定积分值。
【MATLAB】实验五：数值微积分与方程数值求解
实验五 数值微积分与方程数值求解一、实验目的1. 掌握求数值导数和数值积分的方法。
2. 掌握代数方程数值求解的方法。
3. 掌握常微分方程数值求解的方法。
二、实验内容要求：命令手工 ( )输入1. 求函数在指定点的数值导数。
232()123,1,2,3026x x x f x x x x x==2. 用数值方法求定积分。
(1) 210I π=⎰的近似值。
(2) 2220ln(1)1x I dt xπ+=+⎰3. 分别用三种不同的数值方法解线性方程组。
6525494133422139211x y z u x y z u x y z u x y u +-+=-⎧⎪-+-=⎪⎨++-=⎪⎪-+=⎩4. 求非齐次线性方程组的通解。
1234123412342736352249472x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩解：先建立M 函数文件,然后命令窗口中写命令。
121/119/112/115/111/1110/11100010X k k --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，其中12,k k 为任意常数。
5. 求代数方程的数值解。
(1) 3x +sin x -e x =0在x 0=1.5附近的根。
(2) 在给定的初值x 0=1，y 0=1，z 0=1下，求方程组的数值解。
23sin ln 70321050y x y z x z x y z ⎧++-=⎪+-+=⎨⎪++-=⎩ans =1289/6826. 求函数在指定区间的极值。
(1) 3cos log ()xx x x x f x e ++=在(0,1)内的最小值。
(2) 33212112122(,)2410f x x x x x x x x =+-+在[0,0]附近的最小值点和最小值。
（以下选作题，是微分方程的数值解）7. 求微分方程的数值解。
x 在[1.0e-9,20]2250(0)0'(0)0xd y dy y dx dx y y ⎧-+=⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩解：M 文件：运行结果：8. 求微分方程组的数值解，并绘制解的曲线。
matlab数值分析实验报告
matlab数值分析实验报告Matlab数值分析实验报告引言数值分析是一门研究利用计算机进行数值计算和模拟的学科，它在科学计算、工程技术和金融等领域有着广泛的应用。
本次实验报告将介绍在Matlab环境下进行的数值分析实验，包括数值微分、数值积分和线性方程组求解等内容。
一、数值微分数值微分是通过数值方法计算函数的导数，常用的数值微分方法有前向差分、后向差分和中心差分。
在Matlab中，可以使用diff函数来计算函数的导数。
例如，对于函数f(x)=x^2，在Matlab中可以使用如下代码进行数值微分的计算：```matlabsyms x;f = x^2;df = diff(f, x);```二、数值积分数值积分是通过数值方法计算函数的定积分，常用的数值积分方法有梯形法则、辛普森法则和龙贝格积分法。
在Matlab中，可以使用trapz、quad和integral等函数来进行数值积分的计算。
例如，对于函数f(x)=sin(x)，可以使用如下代码进行数值积分的计算：```matlabx = linspace(0, pi, 100);y = sin(x);integral_value = trapz(x, y);```三、线性方程组求解线性方程组求解是数值分析中的重要问题，常用的求解方法有高斯消元法和LU 分解法。
在Matlab中，可以使用\操作符来求解线性方程组。
例如，对于线性方程组Ax=b，可以使用如下代码进行求解：```matlabA = [1, 2; 3, 4];b = [5; 6];x = A\b;```四、实验结果与分析在本次实验中，我们分别使用Matlab进行了数值微分、数值积分和线性方程组求解的计算。
通过实验结果可以发现，Matlab提供了丰富的数值计算函数和工具，能够方便地进行数值分析的计算和求解。
数值微分的计算结果与解析解相比较，可以发现数值微分的误差随着步长的减小而减小，但是当步长过小时，数值微分的误差会受到舍入误差的影响。
MATLAB教程第8章MATLAB数值积分与微分
MATLAB教程第8章MATLAB数值积分与微分1.数值积分数值积分是计算函数的定积分值的近似方法。
在MATLAB中，有几个函数可以帮助我们进行数值积分。
(1) quad函数quad函数是MATLAB中用于计算一维定积分的常用函数。
它的语法如下：I = quad(fun, a, b)其中，fun是被积函数的句柄，a和b分别是积分区间的下界和上界，I是近似的积分值。
例如，我们可以计算函数y=x^2在区间[0,1]内的积分值：a=0;b=1;I = quad(fun, a, b);disp(I);(2) integral函数integral函数是在MATLAB R2024a版本引入的新函数，它提供了比quad函数更稳定和准确的积分计算。
integral函数的语法如下：I = integral(fun, a, b)其中fun、a和b的含义与quad函数相同。
例如，我们可以使用integral函数计算函数y = x^2在区间[0, 1]内的积分值：a=0;b=1;I = integral(fun, a, b);disp(I);2.数值微分数值微分是计算函数导数的近似方法。
在MATLAB中，可以使用diff 函数计算函数的导数。
(1) diff函数diff函数用于计算函数的导数。
它的语法如下：derivative = diff(fun, x)其中，fun是需要计算导数的函数，x是自变量。
例如，我们可以计算函数y=x^2的导数：syms x;fun = x^2;derivative = diff(fun, x);disp(derivative);(2) gradient函数gradient函数可以计算多变量函数的梯度。
它的语法如下：[g1, g2, ..., gn] = gradient(fun, x1, x2, ..., xn)其中fun是需要计算梯度的函数，x1, x2, ..., xn是自变量。
例如，我们可以计算函数f=x^2+y^2的梯度：syms x y;fun = x^2 + y^2;[gx, gy] = gradient(fun, x, y);disp(gx);disp(gy);以上是MATLAB中进行数值积分和微分的基本方法和函数。
第7章 MATLAB数值微分与积分_习题答案
1第7章 MATLAB 数值微分与积分习题7一、选择题1．diff([10,15])的值是（ ）。
AA ．5B ．10C ．15D ．252．数值积分方法是基于（ ）的事实。
DA ．求原函数很困难B ．原函数无法用初等函数表示C ．无法知道被积函数的精确表达式D ．A ，B ，C 三个选项3．求数值积分时，被积函数的定义可以采取（ ）。
DA ．函数文件B ．内联函数C ．匿名函数D ．A ，B ，C 三个选项4．以下选项不能用来求数值积分的函数是（ ）。
BA ．quadgkB ．quad2C ．integralD ．integral25．以下选项不是离散傅里叶变换的函数是（ ）。
CA ．fftB ．fft2C ．fft1D ．fftn二、填空题1．在MATLAB 中，没有直接提供求 的函数，只有计算 的函数diff 。
数值导数，向前差分2．基于变步长辛普森法，MATLAB 给出了 函数和 函数来求定积分。
quad ，quadl3．MA TLAB 提供了基于全局自适应积分算法的 函数来求定积分，该函数的积分限 （可以或不可以）为无穷大。
integral ，可以4．MATLAB 提供的 、 、 函数用于求二重积分的数值解， 、 函数用于求三重积分的数值解。
integral2，quad2d ，dblquad ，integral3，triplequad5．MA TLAB 提供了离散傅里叶变换函数fft ，对应的逆变换函数是 。
ifft三、应用题1．求函数在指定点的数值导数。
（1）2346x x x x f 22ππππ,,,,cos sin)(=+= （2）321x 1x x f 2,,,)(=+=2(1):(2):直接用导数函数求:f=inline('x./sqrt(x.^2+1)');f(1)用拟合函数求:f=inline('sqrt(x.^2+1)');x=0:0.001:5;p=polyfit(x,f(x),5);dp=polyder(p);dpx=polyval(dp,1)2．求定积分。
matlab 数值解
matlab 数值解Matlab 数值解Matlab 是一种强大的数学软件，它包含了很多数学工具箱，可以用于数值分析和求解数学问题。
在本文中，我们将介绍Matlab 中的数值解方法，包括数值积分、数值微分、非线性方程求解和常微分方程的数值解法。
数值积分数值积分是一种数学方法，用于求解函数的定积分。
在Matlab 中，可以使用 quad 和 quadl 函数进行数值积分。
其中，quad 函数用于计算一般积分，而 quadl 函数用于计算不定积分。
数值微分数值微分是一种数学方法，用于计算函数的导数。
在Matlab 中，可以使用diff 和gradient 函数进行数值微分。
其中，diff 函数用于计算一维函数的导数，而 gradient 函数用于计算多维函数的梯度。
非线性方程求解非线性方程是一种形式为 f(x)=0 的方程，其中 f(x) 是一个非线性函数。
在 Matlab 中，可以使用 fzero 和 fsolve 函数进行非线性方程求解。
其中，fzero 函数用于求解单变量非线性方程，而fsolve 函数用于求解多变量非线性方程。
常微分方程的数值解法常微分方程是一种形式为y'=f(t,y) 的方程，其中y 是未知函数，t 是自变量，f(t,y) 是已知函数。
在Matlab 中，可以使用ode45 和ode23 函数进行常微分方程的数值解法。
其中，ode45 函数是一种常用的数值解法，可以求解大部分常微分方程，而 ode23 函数则是一种高效的数值解法，适用于求解简单的常微分方程。
总结在本文中，我们介绍了Matlab 中的数值解方法，包括数值积分、数值微分、非线性方程求解和常微分方程的数值解法。
这些方法可以帮助我们快速、准确地求解数学问题，提高数学建模的效率和精度。
matlab 常微分方程 数值积分 导数不连续点
【主题】matlab 常微分方程数值积分导数不连续点一、常微分方程的数值解法在实际应用中，许多常微分方程难以通过解析方法求得确切解，因此需要通过数值解法进行求解。
常用的数值解法包括欧拉法、隐式欧拉法、四阶龙格-库塔法等。
在matlab中，可以借助ode45函数来求解常微分方程的数值解。
在实际应用中，常微分方程往往涉及到边值问题或者初值问题，例如生物种群的增长模型、电路中的振荡模型等。
通过matlab对常微分方程进行数值求解，可以有效地得到系统的演化趋势，为实际问题的分析提供重要参考。
二、数值积分的应用数值积分是对定积分的一种数值逼近计算方法，可以用于求解函数在一段区间上的积分值。
在实际应用中，我们经常会遇到需要对曲线下的面积进行估计的情况，例如在工程计算中求取物体的质心、在物理学中求取曲线下的动能等。
matlab提供了丰富的数值积分函数，例如trapz、quad、quadl等，可以满足不同情况下的积分计算需求。
在使用数值积分时，需要注意选择合适的积分方法、积分区间的划分等因素，以确保得到精确的积分结果。
三、导数不连续点的处理在实际问题中，很多函数在某些点上可能存在导数不连续的情况，例如绝对值函数在零点处的导数。
对于这类函数，需要特殊的数值方法来处理其导数不连续点。
在matlab中，可以通过diff函数来对函数进行数值求导，但是当函数在某些点上导数不连续时，这种普通的数值求导方法就显得力不从心。
针对导数不连续点，可以考虑使用分段函数的导数近似计算方法，将连续区间内的导数计算和导数不连续点处的处理相结合，以获得更精确的数值导数值。
四、个人观点和理解对于matlab中常微分方程、数值积分和导数不连续点的处理，我个人认为需要综合利用matlab提供的丰富函数库和数值计算方法，结合实际问题的特点进行分析和求解。
在处理数值解法和数值积分时，需要注意数值稳定性和精度问题，以获得可靠的计算结果。
对于导数不连续点的处理，则需要结合函数图像分析和数值方法，谨慎处理导数的不连续性，以确保得到正确的导数结果。
matlab已知加速度曲线求速度的方法
Matlab已知加速度曲线求速度的方法1.引言在运动学中，速度和加速度是两个重要的物理量。
在某些情况下，我们已知物体的加速度曲线，希望通过该曲线来求解物体的速度曲线。
本文将介绍使用M at la b来实现已知加速度曲线求速度的方法。
2.方法一2.1离散化加速度曲线首先，我们将已知的加速度曲线离散化。
假设加速度曲线是一个连续函数，我们可以通过设置一个时间步长来将其离散化。
将加速度曲线在每个时间步长上的值保存在一个数组中。
2.2数值积分已知加速度曲线的离散化表示后，我们可以使用数值积分的方法来求解速度曲线。
数值积分的基本思想是将加速度曲线在每个时间步长上的值与时间步长相乘，然后将得到的结果累加起来。
具体步骤如下：1.初始化速度数组为0；2.从第一个时间步长开始，将加速度数组中的每个元素与时间步长相乘，并累加到速度数组中；3.重复步骤2，直到处理完加速度数组中的所有元素。
3.方法二3.1数值微分除了数值积分的方法外，我们还可以使用数值微分的方法来求解速度曲线。
数值微分的基本思想是通过已知的加速度曲线，求解速度曲线上每个点的斜率。
3.2有限差分法在数值微分中，可以采用有限差分法来计算速度曲线上每个点的斜率。
有限差分法的基本思想是使用相邻点的差值来近似求解微分。
具体步骤如下：1.初始化速度数组为0；2.从第二个点开始，计算该点的斜率，斜率的计算公式为当前点的加速度减去前一个点的加速度，然后再除以时间步长；3.将计算得到的斜率保存到速度数组中；4.重复步骤2和步骤3，直到处理完加速度数组中的所有元素。
4.案例演示为了更加直观地理解上述方法，现在我们将通过一个简单的案例来演示。
假设某物体的加速度曲线是一个抛物线，在t=0时刻加速度为0，在t=5时刻加速度为4m/s²，在t=10时刻加速度为-4m/s²。
下面是相应的已知加速度曲线和求解的速度曲线示意图：```[示意图]```通过使用上述方法一或方法二，我们可以得到该物体的速度曲线。
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M a t l a b数值积分与数值微分Prepared on 21 November 2021M a t l a b数值积分与数值微分Matlab数值积分1.一重数值积分的实现方法变步长辛普森法、高斯-克朗罗德法、梯形积分法1.1变步长辛普森法Matlab提供了quad函数和quadl函数用于实现变步长辛普森法求数值积分.调用格式为:[I,n]=Quad(@fname,a,b,tol,trace)[I,n]=Quadl(@fname,a,b,tol,trace)Fname是函数文件名，a,b分别为积分下限、积分上限；tol为精度控制，默认为1.0×10-6，trace控制是否展开积分过程，若为0则不展开，非0则展开，默认不展开.返回值I为积分数值；n为调用函数的次数.---------------------------------------------------------------------例如：求∫e e.ee eee(e+ee)e e3π的值.先建立函数文件fesin.mfunction f=fesin(x)f=exp(-0.5*x).*sin(x+(pi/6));再调用quad函数[I,n]=quad(@fesin,0,3*pi,1e-10)I=0.9008n=365---------------------------------------------------------------------例如：分别用quad函数和quadl函数求积分∫e e.ee eee(e+ee)e e3π的近似值，比较函数调用的次数.先建立函数文件fesin.mfunction f=fesin(x)f=exp(-0.5*x).*sin(x+(pi/6));formatlong[I,n]=quadl(@fesin,0,3*pi,1e-10)I=n=198[I,n]=quad(@fesin,0,3*pi,1e-10)I=n=365---------------------------------------------------------------------可以发现quadl函数调用原函数的次数比quad少，并且比quad函数求得的数值解更精确.1.2高斯-克朗罗德法Matlab提供了自适应高斯-克朗罗德法的quadgk函数来求震荡函数的定积分，函数的调用格式为：[I,err]=quadgk(@fname,a,b)Err返回近似误差范围，其他参数的意义与quad函数相同，积分上下限可以是-Inf或Inf，也可以是复数，若为复数则在复平面上求积分.---------------------------------------------------------------------例如：求积分∫e eee ee+eee e eee π的数值.先编写被积函数的m文件fsx.mfunction f=fsx(x)f=x.*sin(x)./(1+cos(x).^2);再调用quadgk函数I=quadgk(@fsx,0,pi)I=2.4674---------------------------------------------------------------------例如：求积分∫e eee ee+eee e eee +∞−∞的值.先编写被积函数的m文件fsx.mfunction f=fsx(x)f=x.*sin(x)./(1+cos(x).^2);再调用quadgk函数I=quadgk(@fsx,-Inf,Inf)I=-9.0671e+017---------------------------------------------------------------------1.3梯形积分法对于一些不知道函数关系的函数问题，只有实验测得的一组组样本点和样本值，由表格定义的函数关系求定积分问题用梯形积分法，其函数是trapz函数，调用格式为：I=Traps(X,Y)X,Y为等长的两组向量，对应着函数关系Y=f(X)X=(x1,x2,…,x n)(x1<x2<…<x n),Y=(y1,y2,…,y n)，积分区间是[x1,x n]---------------------------------------------------------------------例如：已知某次物理实验测得如下表所示的两组样本点.现已知变量x和变量y满足一定的函数关系，但此关系未知，设y=f(x)，求积分13.39∫e(e)ee1.38的数值.X=[1.38,1.56,2.21,3.97,5.51,7.79,9.19,11.12,13.39];Y=[3.35,3.96,5.12,8.98,11.46,17.63,24.41,29.83,32.21];I=trapz(X,Y)I=217.1033---------------------------------------------------------------------例如：用梯形积分法求积分：∫e −e ee 2.51的数值.x=1:0.01:2.5; y=exp(-x); I=trapz(x,y) I=0.2858---------------------------------------------------------------------2. 多重数值积分的实现重积分的积分函数一般是二元函数f(x,y)或三元函数f(x,y,z)；形如：∫∫e (e ,e )eeee ee ee∫∫∫e (e ,e ,e )eeeeee e ee ee eMatlab 中有dblquad 函数和triplequad 函数来对上述两个积分实现.调用格式为： I=dblquad(@fun,a,b,c,d,tol) I=triplequad(@fun,a,b,c,d,e,f,tol)Fun 为被积函数，[a,b]为x 的积分区间；[c,d]为y 的积分区间；[e,f]为z 的积分区间.Dblquad 函数和triplequad 函数不允许返回调用的次数，如果需要知道函数调用的次数，则在定义被积函数的m 文件中增加一个计数变量，统计出被积函数被调用的次数.---------------------------------------------------------------------例如:计算二重积分I =∫∫√e e +e e eeee e e−eee e−ee 的值.先编写函数文件fxy.mfunction f=fxy(x,y) global k; k=k+1;f=sqrt(x.^2+y.^2);再调用函数dblquadglobalk; k=0;I=dblquad(@fxy,-pi/2,pi/2,-pi/2,pi/2,1.0e-10) I= 11.8629 k k= 37656---------------------------------------------------------------------例如：求三重积分∫∫∫eeee −ee e −e eeeeeee eeeeee的值.编写函数文件fxyz1.m function f=fxyz1(x,y,z) global j; j=j+1;f=4*x.*z.*exp(-z.*z.*y-x.*x); 调用triplequad 函数 edit globalj; j=0;I=triplequad(@fxyz1,0,pi,0,pi,0,1,1.0e-10) I= 1.7328 jj=1340978---------------------------------------------------------------------Matlab数值微分1.数值微分与差商导数的三种极限定义e′(e)=eeee→e e(e+e)−e(e)ee′(e)=eeee→e e(e)−e(e−e)ee′(e)=eeee→e e(e+ee)−e(e−e e)e上述公式中假设h>0，引进记号：e(e)=e(e+e)−e(e)e(e)=e(e)−e(e−e)ee(e)=e(e+ee)−e(e−ee)称上述e(e)、e(e)、ee(e)为函数在x点处以h(h>0)为步长的向前差分、向后差分、中心差分，当步长h足够小时，有：e′(e)≈e(e) ee′(e)≈e(e) ee′(e)≈ee(e)ee(e) e 、e(e)e、ee(e)e也分别被称为函数在x点处以h(h>0)为步长的向前差商、向后差商、中心差商.当h足够小时，函数f(x)在x点处的导数接近于在该点的任意一种差商，微分接近于在该点的任意一种差分.2.函数导数的求法2.1用多项式或样条函数g(x)对函数f(x)进行逼近(插值或拟合)，然后用逼近函数g(x)在点x处的导数作为f(x)在该点处的导数.2.2用f(x)在点x处的差商作为其导数.3.数值微分的实现方法Matlab中，只有计算向前差分的函数diff，其调用格式为：·DX=diff(X):计算向量X的向前差分，DX(i)=X(i+1)-X(i),i=1,2,…,n-1·DX=diff(X,n):计算向量X的n阶向前差分，例如diff(X,2)=diff(diff(X))·DX=diff(A,n,dim):计算矩阵A的n阶向前差分，dim=1(默认值)按列计算差分，dim=2按行计算差分.---------------------------------------------------------------------例如：生成6阶范德蒙德矩阵，然后分别按行、按列计算二阶向前差分A=vander(1:6)A=111111321684212438127931102425664164131256251252551777612962163661D2A1=diff(A,2,1)D2A1=180501220057011018200132019424200255030230200D2A2=diff(A,2,2)D2A2=000084211083612457614436920004008016540090015025---------------------------------------------------------------------例如：设e(e)=√e e+ee e−e+ee+√(e+e)e+ee+e求函数f(x)的数值导数，并在同一坐标系中作出f’(x)的图像.已知函数f(x)的导函数如下：e′(e)=ee e+ee−ee e e+ee e−e+ee+ee+e编辑函数文件fun7.m和fun8.mfunctionf=fun7(x)f=sqrt(x.^3+2*x.^2-x+12)+(x+5).^(1/6)+5*x+2;functionf=fun8(x)f=(3*x.^2+4*x-1)/2./sqrt(x.^3+2*x.^2-x+12)+1/6./(x+5).^(5/6)+5; x=-3:0.01:3;p=polyfit(x,fun7(x),5);用5次多项式拟合曲线dp=polyder(p);对拟合多项式进行求导dpx=polyval(dp,x);对dp在假设点的求函数值dx=diff(fun7([x,3.01]))/0.01;直接对dx 求数值导数gx=fun8(x);求函数f 的函数在假设点的导数plot(x,dpx,x,dx,'.',x,gx,'-')可以发现，最后得到的三条曲线基本重合.--------------------------------------------------------------------- 练习：A. 用高斯-克朗罗德法求积分∫ee e +e e +∞−∞ 的值并讨论计算方法的精确度.（该积分值为π） function f=fun9(x)f=1./(1+x.^2);formatlong[I,err]=quadgk(@fun9,-Inf,Inf)I=err=B.设函数 e (e )=eee e + 用不同的办法求该函数的数值导数，并在同一坐标系中作出e ′(e )的图像. 已知e ′(e )=e eee e +eee e eee ee −eee e +e eee e eee ee (e eee ee ) function f=fun10(x)f=sin(x)./(x+cos(2*x));function f=fun11(x)f=(x.*cos(x)+cos(x).*cos(2*x)-sin(x)-2*sin(x).*sin(2*x))/(x+cos(2*x)).^2; x=-3:0.01:3;p=polyfit(x,fun10(x),5);dp=polyder(p);dpx=polyval(dp,x);dx=diff(fun10([x,3.01]))/0.01;gx=fun11(x);plot(x,dpx,'r:',x,dx,'.g',x,gx,'-k')。